专题15 运用构造法研究函数的最值问题(原卷版)
高中数学解题方法之构造法(含答案)
十、构造法解数学问题时，常规的思考方法是由条件到结论的定向思考，但有些问题用常规的思维方式来寻求解题途径却比较困难，甚至无从着手。
在这种情况下,经常要求我们改变思维方向，换一个角度去思考从而找到一条绕过障碍的新途径。
历史上有不少著名的数学家，如欧几里得、欧拉、高斯、拉格朗日等人，都曾经用“构造法”成功地解决过数学上的难题。
数学是一门创造性的艺术，蕴含着丰富的美,而灵活、巧妙的构造令人拍手叫绝，能为数学问题的解决增添色彩，更具研究和欣赏价值。
近几年来，构造法极其应用又逐渐为数学教育界所重视，在数学竞赛中有着一定的地位。
构造需要以足够的知识经验为基础，较强的观察能力、综合运用能力和创造能力为前提，根据题目的特征，对问题进行深入分析，找出“已知”与“所求（所证）”之间的联系纽带，使解题另辟蹊径、水到渠成。
用构造法解题时，被构造的对象是多种多样的，按它的内容可分为数、式、函数、方程、数列、复数、图形、图表、几何变换、对应、数学模型、反例等，从下面的例子可以看出这些想法的实现是非常灵活的，没有固定的程序和模式，不可生搬硬套。
但可以尝试从中总结规律：在运用构造法时，一要明确构造的目的，即为什么目的而构造；二要弄清楚问题的特点，以便依据特点确定方案，实现构造。
再现性题组 1、求证： 31091022≥++=x x y （构造函数） 2、若x > 0, y > 0, x + y = 1，则42511≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+y y x x （构造函数） 3、已知01a <<，01b <<，求证：22)1()1()1()1(22222222≥-+-+-+++-++b a b a b a b a（构造图形、复数）4、求证：9)9(272≤-+x x ，并指出等号成立的条件。
（构造向量） 5、已知：a>0、b>0、c>0 ,求证：222222c ac a c bc b b ab a ++≥+-++-当且仅当ca b 111+=时取等号。
2023年新高考数学大一轮复习专题15 三角形中的范围与最值问题(原卷版)
专题15 三角形中的范围与最值问题【方法技巧与总结】1.在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点。
解决这类问题，通常有下列五种解题技巧:(1)利用基本不等式求范围或最值；(2)利用三角函数求范围或最值；(3)利用三角形中的不等关系求范围或最值；(4)根据三角形解的个数求范围或最值；(5)利用二次函数求范围或最值.要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题.这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大.2.解三角形中的范围与最值问题常见题型：(1)求角的最值；(2)求边和周长的最值及范围；(3)求面积的最值和范围.【题型归纳目录】题型一：周长问题题型二：面积问题题型三：长度问题题型四：转化为角范围问题题型五：倍角问题题型六：角平分线问题题型七：中线问题题型八：四心问题题型九：坐标法题型十：隐圆问题题型十一：两边夹问题题型十二：与正切有关的最值问题题型十三：最大角问题题型十四：费马点、布洛卡点、拿破仑三角形问题题型十五：托勒密定理及旋转相似题型十六：三角形中的平方问题题型十七：等面积法、张角定理【典例例题】 题型一：周长问题例1．（2022·云南·昆明市第三中学高一期中）设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设sin cos()6a C c A π=-．(1)求A ；(2)从三个条件：①ABCb =a =ABC 周长的取值范围．例2．（2022·重庆·高一阶段练习）已知向量(3sin ,cos )a x x =，(1,1)b =，函数()f x a b =⋅． (1)求函数()f x 在[]0,π上的值域；(2)若ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且()2f A =，1a =，求ABC 的周长的取值范围．例3．（2022·浙江·高三专题练习）锐角ABC 的内切圆的圆心为O ，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .()222tan b c a A =+-，且ABC 的外接圆半径为1，则BOC 周长的取值范围为___________.例4．（2022·浙江省新昌中学模拟预测）已知函数21()cos sin 2f x x x x ωωω=-+，其中0>ω，若实数12,x x 满足()()122f x f x -=时，12x x -的最小值为2π． (1)求ω的值及()f x 的对称中心；(2)在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若()1,f A a =-=ABC 周长的取值范围．题型二：面积问题例5．（2022·贵州黔东南·高一期中）在面积为S 的△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()22sin sin 2sin sin sin C A S a b A B C ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭. (1)求C 的值；(2)若ABC 为锐角三角形，记2Sm a =，求m 的取值范围.例6．（2022·浙江·高二阶段练习）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,,cos 2a b c A A =． (1)求角A ；(2)若点D 满足34AD AC =，且2BC =，求BCD △面积的取值范围．例7．（2022·浙江·杭师大附中模拟预测）在ABC 中，D 的边BC 的中点，32,2cos cos2()2AD C A B =-+=． (1)求角C ；(2)求ABC 面积的取值范围．例8．（2022·江苏省天一中学高一期中）在ABC 中，角A ､B ､C 所对应的边分别为a ､b ､c ，若2cos 24a cb C ==-，.ABC 是锐角三角形，则ABC 面积的取值范围是___________.题型三：长度问题例9．（2022·辽宁·模拟预测）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()sin sin sin 3sin c a b C A B a B +--+=．(1)求角C 的大小；(2)设1m ，若ABC 的外接圆半径为4，且2a mb +有最大值，求m 的取值范围．例10．（2022·河南·模拟预测（文））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．22cos 22C C =，4c =，a b +=．(1)求ABCS ；(2)求11a b-的取值范围．例11．（2022·江苏·高三专题练习）已知ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2A+C =B ，ABC的面积S . (1)求边c ；(2)若ABC 为锐角三角形，求a 的取值范围.例12．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测（文））已知()()cos ,cos ,3sin ,cos a x x b x x ==-，()f x a b =⋅，(1)求()f x 的单调递增区间；(2)设ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()12f A =，且a =22b c +的取值范围.例13．（2022·江苏南京·模拟预测）请在①向量,sin c a x B b c -⎛⎫=⎪+⎝⎭，,sin b c y A c a -⎛⎫= ⎪+⎝⎭，且x y ；②π2sin 3c A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭这两个条件中任选一个填入横线上并解答．在锐角三角形ABC 中，已知角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，． (1)求角C ；(2)若ABC 的面积为2a b +的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．例14．（2022·全国·模拟预测）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()()sin sin 2sin sin sin a A c C B b C B =-++．(1)求角A ；(2)若ABC 为锐角三角形，求)2b c a-的取值范围．例15．（2022·辽宁·抚顺市第二中学三模）在①()()222sin 2sin Bc a C b c a b-=+-，②23cos cos cos 24A C A C --=tan tan A B =+这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中，问题：在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，b =_______． (1)求角B ﹔ (2)求2a c -的范围．例16．（2022·浙江·模拟预测）在△ABC 中，角A B C ，，所对的边分别是a b c ，，，若2sin (2)tan c B a c C =+，sin sin b A C B =，则ac 的最小值为________．例17．（2022·安徽黄山·二模（文））在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，1a =，34A π=，若b c λ+有最大值，则实数λ的取值范围是_____．例18．（2022·浙江·高三专题练习）已知ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，角B 是钝角，则2()a c ab -的取值范围是________.例19．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若3sin c b A =，则2()a b ab+的取值范围是（ ）A ．[3,5]B ．[4,6]C ．[4,2D ．[4,2题型四：转化为角范围问题例20．（2022·河北秦皇岛·二模）在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-.(1)求A ；(2)求cos cos B C -的取值范围.例21．（2022·广东茂名·模拟预测）已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且()cos cos a b c B A -=-．(1)判断ABC 的形状并给出证明； (2)若a b ，求sin sin sin A B C ++的取值范围．例22．（2022·浙江温州·三模）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知1,a b ==. (1)若π4B ∠=，求角A 的大小； (2)求πcos cos 6A A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的取值范围.例23．（2021·河北·沧县中学高三阶段练习）已知函数()223sin 4sin cos cos f x x x x x =+-．(1)求函数()f x 的最大值；(2)已知在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且满足224B c af a π++⎛⎫=⎪⎝⎭，求sin sin sin A B C ⋅⋅的取值范围．例24．（2022·山西·模拟预测（理））已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2(cos )c a b C =-. (1)求B ；(2)若ABC 为锐角三角形，求22sin sin A C +的取值范围.例25．（2022·安徽省舒城中学模拟预测（理））锐角ABC 的内角,,A B C 所对的边是,,a b c ，且1,cos cos 1a b A B =-=，若,A B 变化时，2sin 2sin B A λ-存在最大值，则正数λ的取值范围是______例26．（2022·江西·南昌十中模拟预测（理））锐角ABC 中，π3A =，角A 的角平分线交BC 于点M ，2AM = ,,则BM CM ⋅ 的取值范围为_________.例27．（2022·辽宁·高一期中）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知tan a b A =，且B 为钝角，则B A -=______，sin sin A C +的取值范围是______．例28．（2021·云南师大附中高三阶段练习（理））如图所示，有一块三角形的空地，已知7,12ABC BC π∠==千米，AB ＝4千米，则∠ACB ＝________；现要在空地中修建一个三角形的绿化区域，其三个顶点为B ，D ，E ，其中D ，E 为AC 边上的点，若使6DBE π∠=，则BD ＋BE 最小值为________平方千米．例29．（2021·浙江·舟山中学高三阶段练习）如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，2AC CB ==P 是ABC 内一动点，120BPC ∠=︒，则ABC 的外接圆半径r =______，AP 的最小值为____________．例30．（2022·湖北·武汉二中模拟预测）在锐角ABC 中，22a b bc -=，则角B 的范围是________，556sin tan tan A B A-+的取值范围为__________.例31．（2022·新疆喀什·一模）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2A B =，且A 为锐角，则1cos c b A+的最小值为（ ）A．1 B ．3 C ．2 D ．4例32．（2021·北京·高三专题练习）在锐角ABC 中2A B =，B ，C 的对边长分别是b ，c ，则bb c+的取值范围是（ ） A ．11,43⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．23,34⎛⎫ ⎪⎝⎭例33．（2022•石家庄模拟）如图，平面四边形ABCD 的对角线的交点位于四边形的内部，1AB =，2BC =，AC CD =，AC CD ⊥，当ABC ∠变化时，对角线BD 的最大值为 ．题型五： 倍角问题例34．（2021·安徽·芜湖一中高一期中）ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2C B =，则c b的取值范围为______.例35．（2021·全国·高三专题练习（文））已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2A B =，则82c bb a+的取值范围为______.例36．（2020·全国·高二单元测试）已知ABC ∆是锐角三角形，,,a b c 分别是,,A B C 的对边.若2A B =，则ab ba+的取值范围是_________.例37．（2020·陕西·无高一阶段练习）已知ABC ∆是锐角三角形，若2A B =，则ab的取值范围是_____.例38．（2019·四川·成都外国语学校高二开学考试（文））已知ABC ∆的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，若2A B =，则22c b b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的取值范围为______例39．（2021·江西鹰潭·一模（理））已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2A B =，则22ac b ab+的取值范围为__________．例40．（2022•芜湖模拟）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2A B =，则2()b ac b+最小值是 ．例41．（2022•道里区校级一模）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2A B =，则82c bb a+的取值范围为 ．题型六： 角平分线问题例42．（2022·河北保定·高一阶段练习）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos cos 2cos b C c B a A +=.(1)求A 的大小；(2)若BC A 的角平分线交BC 于点D ，求AD 的最小值.例43．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .且满足（a +2b ）cos C +c cos A =0. (1)求角C 的大小；(2)设AB 边上的角平分线CD 长为2，求△ABC 的面积的最小值.题型七： 中线问题例44．（2022·江苏省天一中学高一期中）已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足22222sin 2sin sin 2sin sin cos cos2A B C B C C C ---=-.(1)求角A ；(2)若AD 是ABC 的中线，且2AD =，求b c +的最大值.例45．（2022·山西运城·高一阶段练习）已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,cos sin a b c B a B =+.(1)若8,a ABC =的面积为D 为边BC 的中点，求中线AD 的长度； (2)若E 为边BC 上一点，且1,:2:AE BE EC c b ==，求2b c +的最小值.例46．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）锐角ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且tan tan .cos aB C c B=+ (1)求角C 的大小；(2)若边2c =，边AB 的中点为D ，求中线CD 长的取值范围．例47．（2022·山东滨州·二模）锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2sin cos C a A B =．(1)求A ；(2)若2b =，D 为AB 的中点，求CD 的取值范围．例48．（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））在①3(cos )sin b c A C-，②1tan (1)2tan a Cb B =+，③πsin cos()6c B b C =-这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足________． (1)求C ；(2)若ABC 的面积为D 为AC 的中点，求BD 的最小值．例49．（2022·山东师范大学附中模拟预测）在①2sin cos sin b C B c B =+，②cos cos 2B bC a c=-两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且________. (1)求角B ；(2)若a c +=D 是AC 的中点，求线段BD 的取值范围.例50．（多选题）（2022·甘肃定西·高一阶段练习）ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2a =，BC 边上的中线2AD =，则下列说法正确的有：（ ） A ．3AB AC ⋅= B ．2210b c +=C ．3cos 15A ≤<D ．∠BAD 的最大值为60°题型八： 四心问题例51．（2022·山东泰安·模拟预测）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点O 是ABC 的外心，cos 3||||AO AB AO AC a C AB AC π⋅⋅⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭．(1)求角A ；(2)若ABC 外接圆的周长为，求ABC 周长的取值范围，例52．（2021·河南南阳·高三期末（理））在 ABC sin sin cos sin B CC C A++=.(1)求A ；(2)若 ABC 的内切圆半径2r =，求+AB AC 的最小值.例53．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知O 是三角形ABC 的外心，若2||||2()||||AC AB AB AO AC AO m AO AB AC ⋅+⋅=，且2sin sin B C +=m 的最大值为（ ） A ．34B ．35C ．23D ．12例54．（2022·全国·高三专题练习）已知O 是三角形ABC 的外心，若()22AC ABAB AO AC AO m AO AB AC⋅+⋅=，且sin sin B C +=，则实数m 的最大值为（ ） A ．3 B ．35C ．75D ．32例55．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a （B 4π+），c =5且O 为△ABC 的外心，G 为△ABC 的重心，则OG 的最小值为（ ）A 1BC 1D例56．（2022·全国·高三专题练习）已知ABC 的周长为9，若cos 2sin 22A B C-=，则ABC 的内切圆半径的最大值为（ ）A ．12 B ．1 C ．2 D例57．（2022·全国·高三专题练习）在钝角ABC 中，,,a b c 分别是ABC 的内角,,A B C 所对的边，点G 是ABC 的重心，若AG BG ⊥，则cos C 的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．45⎡⎢⎣⎭C ．⎫⎪⎪⎝⎭D ．4,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭例58．（2022·广东深圳·高三阶段练习）在ABC 中，7cos 25A =，ABC 的内切圆的面积为16π，则边BC 长度的最小值为（ ）A ．16B ．24C ．25D ．36题型九： 坐标法例59．（2022·全国·模拟预测（文））在Rt ABC △中，2BAC π∠=，2AB AC ==，点M 在ABC 内部，3cos 5AMC ∠=-，则22MB MA -的最小值为______．例60．（2022•南通一模）在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆224x y +=上两点，点(1,1)A ，且AB AC ⊥，则线段BC 的长的取值范围为 ．例61．M 为等边ABC ∆内一动点，且120CMB ∠=︒，则AMMC的最小值为 ．例62．（2022•江苏模拟）已知ABC ∆是边长为3的等边三角形，点P 是以A 为圆心的单位圆上一动点，点Q 满足2133AQ AP AC =+，则||BQ 的最小值是 ．例63．（2022秋•新华区校级期末）“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于120︒时，“费马点”与三个顶点的连线正好三等分“费马点”所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为120︒，根据以上性质，函数222222()(1)(1)(2)f x x y x y x y=-++++++-的最小值为()A．2B．3C．23-D．23+例64．（2022•唐山二模）在等边ABC∆中，M为ABC∆内一动点，120BMC∠=︒，则MAMC的最小值是()A．1B．34C．32D．33例65．（2022春•仁寿县校级期末）锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2225a b c +=，则cos C 的取值范围是( ) A ．1(2，6)3B ．1(2，1)C ．4[5，6)3D ．4[5，1)例66．（2022春•博望区校级月考）在等腰ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中B 为钝角，3sin cos2b a A b A -=．点D 与点B 在直线AC 的两侧，且33CD AD ==，则BCD ∆的面积的最大值为( ) A ．334B ．43C ．534D ．3例67．（2022•淮安模拟）拿破仑定理是法国著名的军事家拿破仑⋅波拿马最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三个角形的顶点”．在ABC ∆中，120A ∠=︒，以AB ，BC ，AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为1O ，2O ，3O ，若△123O O O 的面积为3，则ABC ∆的周长的取值范围为 ．题型十： 隐圆问题例68．（2022•盐城二模）若点G 为ABC ∆的重心，且AG BG ⊥，则sin C 的最大值为 ．例69．（2022•江苏三模）在平面四边形ABCD 中，90BAD ∠=︒，2AB =，1AD =，若43AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅，则12CB CD +的最小值为 ．例70．（2022•涪城区校级开学）若ABC ∆满足条件4AB =，2AC BC =，则ABC ∆面积的最大值为 ．例71．已知A ，B 是圆22:10O x y +=上的动点，42AB =，P 是圆22(6)(8)1C x y -+-=上的动点，则|3|PA PB +的取值范围是 ．例72．（2022•合肥模拟）锐角ABC ∆中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 所对的边，点G 为ABC ∆的重心，若AG BG ⊥，则cos C 的取值范围为( ) A ．3[2，5]3B ．4[5，6)3C ．6[5，)+∞D ．5[6，5]3例73．（2022•江汉区校级模拟）ABC ∆中3AB AC ==，ABC ∆所在平面内存在点P 使得22233PB PC PA +==，则ABC ∆面积最大值为( )A ．2233B ．52316C ．354D ．33516例74．（2022•上城区校级模拟）设a ，b 为单位向量，向量c 满足|2|||c a a b +=，则||c b -的最大值为() A ．2 B ．1 C ．3 D ．2例75．（2022春•瑶海区月考）在平面四边形ABCD 中，连接对角线BD ，已知9CD =，16BD =，90BDC ∠=︒，4sin 5A =，则对角线AC 的最大值为( ) A ．27 B ．16 C ．10 D ．25例76．已知圆22:5O x y +=，A ，B 为圆O 上的两个动点，且||2AB =，M 为弦AB 的中点，(22C ，)a ，(22D ，2)a +．当A ，B 在圆O 上运动时，始终有CMD ∠为锐角，则实数a 的取值范围为( ) A ．(,2)-∞- B ．(-∞，2)(0-⋃，)+∞ C ．(2,)-+∞ D ．(-∞，0)(2⋃，)+∞题型十一：两边夹问题例77．（2022•合肥一模）设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边长a ，b ，c 成等比数列，1cos()cos 2A CB --=，延长BC 至D ，若2BD =，则ACD ∆面积的最大值为 ．例78．（2022•静安区二模）设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ．已知a ，b ，c 依次成等比数列，且1cos()cos 2A CB --=，延长边BC 到D ，若4BD =，则ACD ∆面积的最大值为 ．例79．（2022•常德一模）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2c ab =，且3cos()cos 2A B C -+=． （Ⅰ）求角C ；（Ⅰ）延长BC 至D ，使得4BD =，求ACD ∆面积的最大值．例80．在ABC ∆中，若cos cos 2sin sin A B B A +=，且ABC ∆的周长为12． （1）求证：ABC ∆为直角三角形；（2）求ABC ∆面积的最大值．题型十二：与正切有关的最值问题例81．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin sin 2B C b a B +=．求： (1)A ；(2)a c b-的取值范围．例82．（2022·全国·模拟预测）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若220c bc a +-=，则()2114sin cos tan tan C C C A ++-的取值范围为（ ）A ．()B ．()8,9C ．4,9⎫⎪⎪⎝⎭D ．()4,9 例83．（2022·山西吕梁·二模（文））锐角ABC 是单位圆的内接三角形，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22224cos 2cos +-=-a b c a A ac B ，则ac b 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．⎝D ．⎝例84．（2022·全国·高三专题练习）在锐角三角形ABC 中，角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，且满足22b a ac -=，则11tan tan A B-的取值范围为___________.例85．（2022·全国·高三专题练习）在锐角ABC 中，角、、A B C 所对的边分别为,,a b c ，若22a c bc -=，则113sin tan tan A C A-+的取值范围为（ ）A ．)+∞B ．C ．D ． 例86．（2022·全国·高三专题练习）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC 的面积，且()222S a b c =--，则bc 的取值范围为（ ） A ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．23,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．34,43⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．35,53⎛⎫ ⎪⎝⎭题型十三：最大角问题例87．（2022春•海淀区校级期中）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M ，N 是锐角AQB ∠的一边QA 上的两点，试在QB 边上找一点P ，使得MPN ∠最大”．如图，其结论是：点P 为过M ，N 两点且和射线QB 相切的圆的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy 中，给定两点(1,2)M -，(1,4)N ，点P 在x 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标是( )A．7-B．1或7-C．2或7-D．1例88．（2022秋•青羊区校级期中）（理科）E、F是椭圆22142x y+=的左、右焦点，l是椭圆的一条准线，点P在l上，EPF∠的最大值是()A．60︒B．30︒C．90︒D．45︒例89．（2022春•辽宁期末）设ABC∆的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且3 cos cos5a Bb A c-=，则tan()A B-的最大值为()A．35B．13C．38D．34例90．（2022•滨州二模）最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般称为“米勒问题”．如图，树顶A离地面a米，树上另一点B离地面b米，在离地面()c c b<米的C处看此树，离此树的水平距离为米时看A，B的视角最大．例91．如图，足球门框的长AB 为2(1 3.66)dw dw m =，设足球为一点P ，足球与A ，B 连线所成的角为(090)αα︒<<︒．（1）若队员射门训练时，射门角度30α=︒，求足球所在弧线的方程；（2）已知点D 到直线AB 的距离为3dw ，到直线AB 的垂直平分线的距离为2dw ，若教练员要求队员，当足球运至距离点D 为2dw 处的一点时射门，问射门角度α最大可为多少？题型十四：费马点、布洛卡点、拿破仑三角形问题 例92．（2022秋•安徽月考）17世纪法国数学家费马曾提出这样一个问题：怎样在一个三角形中求一点，使它到每个顶点的距离之和最小？现已证明：在ABC ∆中，若三个内角均小于120︒，当点P 满足120APB APC BPC ∠=∠=∠=︒时，则点P 到三角形三个顶点的距离之和最小，点P 被人们称为费马点．根据以上性质，已知a 为平面内任意一个向量，b 和c 是平面内两个互相垂直的单位向量，则||||||a b a b a c -+++-的最小值是( )A ．23-B ．23+C ．31-D ．31+例93．（2022•深圳模拟）著名的费马问题是法国数学家皮埃尔⋅德费马(16011665)-于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当ABC ∆的三个内角均小于120︒时，则使得120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒的点P 即为费马点．已知点P 为ABC ∆的费马点，且AC BC ⊥，若||||||PA PB PC λ+=，则实数λ的最小值为 ．例94．（2022秋•全国月考）费马点是指到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于120︒时，费马点在三角形内，且费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点对三角形三边的张角相等，均为120︒．已知ABC ∆的三个内角均小于120︒，P 为ABC ∆的费马点，且3PA PB PC ++=，则ABC ∆面积的最大值为 ．例95．（2022春•湖北期末）拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑⋅波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点．”已知ABC ∆内接于半径为6的圆，以BC ，AC ，AB 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为A '，B '，C '．若30ACB ∠=︒，则△A B C '''的面积最大值为 ．例96．（2022春•润州区校级期中）拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑⋅波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点．”已知ABC ∆内接于单位圆，以BC ，AC ，AB 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为A '，B '，C '．若90ACB ∠=︒，则△A B C '''的面积最大值为 ．题型十五：托勒密定理及旋转相似例97．（2022春•五华区月考）数学家托勒密从公元127年到151年在亚历山大城从事天文观测，在编制三角函数表过程中发现了很多重要的定理和结论，如图便是托勒密推导倍角公式“2cos212sin αα=-”所用的几何图形．已知点B ，C 在以线段AC 为直径的圆上，D 为弧BC 的中点，点E 在线段AC 上且AE AB =，点F 为EC 的中点．设2AC r =，DAC α∠=，那么下列结论：①2cos DC r α=，②2cos2AB r α=，③(1cos2)FC r α=-，④2(2)DC r r AB =-其中正确的是( )A．②③B．②④C．①③④D．②③④例98．（2022春•扬州期中）托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和．其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．已知四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC、BD是其两条对角线，42BD=，且ACD∆为正三角形，则四边形ABCD的面积为()A．8B．16C．83D．163例99．（2021秋•宝山区校级月考）凸四边形就是没有角度数大于180︒的四边形，把四边形任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形，如图，在凸四边形ABCD中，AB=，31BC=，AC CD∠变化时，对角线BD的最大值为()⊥，AC CD=，当ABCA ．3B ．4C ．61+D ．723+例100．（2022•冀州市校级模拟）在ABC ∆中，2BC =，1AC =，以AB 为边作等腰直角三角形(ABD B 为直角顶点，C 、D 两点在直线AB 的两侧）．当C ∠变化时，线段CD 长的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4例101．（2022•日照一模）如图所示，在平面四边形ABCD 中，1AB =，2BC =，ACD ∆为正三角形，则BCD∆面积的最大值为( )A．232+B．312+C．322+D．31+题型十六：三角形中的平方问题例102．（2021秋•河南期末）在ABC∆中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，23Bπ=，23b=，2223b c a bc+-=．若BAC∠的平分线与BC交于点E，则(AE=) A．6B．7C．22D．3例103．（2022•洛阳二模）已知ABC ∆的三边分别为a ，b ，c ，若满足22228a b c ++=，则ABC ∆面积的最大值为( )A ．55B ．255C ．355D ．53例104．（2022春•张家界期末）秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”如果把以上这段文字写成公式就是2222221[()]42a b c S a b +-=-，其中a ，b ，c 是ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边，若sin 2sin cos B A C =且2b ，2，2c 成等差数列，则ABC ∆面积S 的最大值为( )A ．55 B ．235 C ．1 D ．255例105．（2022•晋城一模）在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC ∆的面积为S ，若222sin()S A C b c +=-，则1tan 2tan()C B C +-的最小值为( ) A ．2B ．2C ．1D ．22例106．（2022•秦淮区模拟）在锐角三角形ABC 中，已知2224sin sin 4sin A B C +=，则111tan tan tan A B C ++的最小值为 ．例107．（2022•浙江三模）在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若已知224sin()6b c bc A π+=+，则tan tan tan A B C ++的最小值是 ．例108．（2022春•鼓楼区校级期中）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2233cos 0a b ab C -+=，则cos cos ()A B c a b +的最小值为 ．例109．（2022·全国·高三专题练习）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC 的面积，且()222S a b c =--，则22224121741213b bc c b bc c -+-+的取值范围为（ ）． A ．973,537⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．2819,1815⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．732,37⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．281,2181⎛⎤ ⎥⎝⎦例110．（2022·安徽·南陵中学模拟预测（理））在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足222533a b c +=，则sin A 的取值范围是___________.题型十七：等面积法、张角定理例111．（2022秋•厦门校级期中）给定平面上四点A ，B ，C ，D ，满足2AB =，4AC =，6AD =，4AB AC =，则DBC ∆面积的最大值为 ．例112．（2022春•奎屯市校级期末）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为( )A ．8B ．9C ．10D ．7例113．（2022•云南一模）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 对的边分别为a ，b ，c ，23ABC π∠=，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，2BD =，则ABC ∆的面积的最小值为( ) A ．33B ．43C ．53D ．63例114．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则23a c +的最小值为( )A ．25B ．526+C ．5D ．342+。
巧用构造法妙解最值题
正解：去括号，得８髫一４—３０ｘ一６＝２４．
防错诀窍：去括号、不漏乘；正不变、负改变．
三、移项
常常是把含未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程
右边．注意移项要变号，其理论依据是等式性质１． 例３ ８ｘ一４—３０ｘ一６＝２４．
错解：移项，得８ｘ＝３０ｘ＝２４＋４—６． 错因分析：（１）一３０ｘ仍在方程左边，没有移项，不应变号； （２）一６由等号左边移项到等号右边应变为６． 正解：移项，得８ｘ～３０ｘ＝２４＋４＋６． 防错诀窍：移项易、符号变． 四、合并同类项 根据法则将同类项合并，要防止发生符号错误和分组错误． 例４ ８ｘ一３０ｘ＝２４＋４＋６．
于是Ｐ到ＢＢ’的距离最大，即将直线向上平移到与抛物线有唯
一交点Ｐ处．设与直线ＢＢ’平行的直线Ｚ的解析式为Ｙ＝一算＋
ｍ，与Ｙ＝一ｚ２＋（√３—１）ｚ＋√３联立，消元后令ａ＝０可得所求．
点评：涉及底边为定值，且三角形第三个顶点在函数图象上
运动的面积类最值问题，常可借助一元二次方程根的判别式加
以解决．
三、利用函数构造反比例函数的性质
最多有４４名同学．
点评：在解决有关“不足、至少、至多、不超过”等的最值问
题时，尝试将如上关键词准确转化为不等量关系，并用不等式
加以刻画往往能收到较好的解决效果．
２．构造方程
例４（芜湖卷）如图２，在平面 直角坐标系中放置一直角三角板，其
顶点为Ａ（一１，Ｏ），曰（０，√３），０（０， ０），将此三角板绕原点Ｄ顺时针旋转 ９００，得到ＡＡ’Ｂ’０．
错解：合并同类项，得２２ｘ＝３４． 错因分析：系数相加时忘记符号的判断． 正解：合并同类项，得一２２ｘ＝３４． 防错诀窍：合并时、准确算；一判号，二定值． 五、系数化为１ 根据等式性质２在方程两边同时除以未知数的系数或乘以 它的倒数进行计算．易发生两种类型错误，一是符号错误，二是
专题15 运用构造法研究函数的最值问题(解析版)
专题15 运用构造法研究函数的最值问题一、题型选讲题型一、恒成立与存在问题中的构造函数求参数范围不等式的恒成立问题处理，通过分类讨论，合理的代数变形，将问题进一步转化为熟悉的问题，结合图像，通过构造函数，利用导数进行求解.特别要注意要构造熟悉的函数，便于求解。
例1、(2019宿迁期末）已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝kx ＋b(k ，b ∈R )． (1) 求函数y ＝f (x )的定义域和单调区间；(2) 当b ＝－k 时，若存在x ∈[e ，e 2]，使得f (x )≤g (x )＋12，求k 的取值范围．例2、(2015宿迁一模）已知函数f (x )＝e x (其中e 是自然对数的底数)，g (x )＝x 2＋ax ＋1，a ∈R .(1) 记函数F (x )＝f (x )·g (x )，且a >0，求F (x )的单调增区间；(2) 若对任意x 1，x 2∈[]0，2，x 1≠x 2，均有|f (x 1)－f (x 2)|>||g (x 1)－g (x 2)成立，求实数a 的取值范围．例3、(2019苏锡常镇调研）．已知e 为自然对数的底数，函数的图像恒在直线上方，则实数a 的取值范围为 ．题型二、构造函数证明不等式2()xf x e ax =-32y ax =不等式的证明是高中数学的一个热点，也是数学的一个难点，考查了数学的综合能力和对知识点的处理。
对于这种问题最常见的处理方式就是讲不等式进行变形，构造函数，研究这个函数的最值问题。
例4、(2019南通、泰州、扬州一调）已知函数f(x)＝ax ＋ln x(a ∈R )．(1) 讨论f (x )的单调性；(2) 设f (x )的导函数为f ′(x )，若f (x )有两个不相同的零点x 1，x 2. ①求实数a 的取值范围；②证明：x 1f ′(x 1)＋x 2f ′(x 2)>2ln a ＋2.例5、(2017苏州期末）已知函数f (x )＝(ln x －k －1)x (k ∈R )． (1) 当x ＞1时，求函数f (x )的单调区间和极值；(2) 若对于任意x ∈[e ，e 2]，都有f (x )＜4ln x 成立，求实数k 的取值范围； (3) 若x 1≠x 2，且f (x 1)＝f (x 2)，证明：x 1x 2＜e 2k .题型三 、构造函数求线段的长度、斜率等问题对于涉及到求距离斜率等问题，运用集合法不好解决的可以考虑所给的形式，构造是的的函数进行求解。
八年级数学下册 4.5 一次函数的应用 构造一次函数求最值素材 (新版)湘教版
构造一次函数求最值许多最值问题需要建立一次函数模型，进而应用一次函数的知识加以解决．这里凸显了“构造”的重要性．一、构造一次函数确定最大产值例1 日照市是中国北方最大的对虾养殖产区，被国家农业部列为对虾养殖重点区域；贝类产品西施舌是日照特产．沿海某养殖场计划今年养殖无公害标准化对虾和西施舌，由于受养殖水面的制约，这两个品种的苗种的总投放量只有50吨．根据经验测算，这两个品种的种苗每投放一吨的先期投资、养殖期间的投资以及产值如下表：（单位：千元/吨）养殖场受经济条件的影响，先期投资不超过360千元，养殖期间的投资不超过290千元．设西施舌种苗的投放量为x吨．（1）求x的取值范围；（2）当x等于多少时，两个品种产出后的总产值有最大值？最大值是多少？解：（1）设西施舌的投放量为x吨，则对虾的投放量为（50－x）吨，根据题意，得：94(50)360,310(50)290.x xx x+-≤⎧⎨+-≤⎩解之，得：32,30.xx≤⎧⎨≥⎩∴30≤x≤32；（2）设这两个品种产出后的总产值为y（千元），依题意，y=30x+20（50-x）=10x+1000．∵30≤x≤32，k＝100>0，∴y随x的增大而增大，因此当x=32时，y有最大值，且最大值是1320千元．二、构造一次函数确定最大销售利润例2 某食品批发部准备用10000元从厂家购进一批出厂价分别为16元和20元的甲、乙两种酸奶，然后将甲、乙两种酸奶分别加价20％和25％向外销售.如果设购进甲种酸奶为x（箱），全部售出这批酸奶所获销售利润为y（元）.（1）求所获销售利润y（元）与x（箱）之间的函数关系式；（2）根据市场调查，甲、乙两种酸奶在保质期内销售量都不超过300箱，那么食品批发部怎样进货获利最大，最大销售利润是多少？解：（1）y=16·x·20％+（10000-16x）·25％=-0.8x+2500.（2）由题意知，300,1000016300.20x x ≤⎧⎪-⎨≤⎪⎩解得250≤x≤300. 由（1）知y=-0.8x+2500，∵k=-0.8＜0，∴y 随x 的增大而减小.∴当x=250时，y 值最大，此时y=-0.8×250+2500=2300（元）.∴100001610000162503002020x -⨯==－ （箱）. 所以当购进甲种酸奶250箱，乙种酸奶300箱时，所获销售利润最大，最大销售利润为2300元.三、构造一次函数确定最少运费例3 今年6月份，我市某果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆将这批水果全部运往深圳，已知甲种货车可装荔枝4吨和香蕉1吨，一种货车可装荔枝香蕉各2吨；（1）该果农按排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来（2）若甲种货车每辆要付运输费2000元，乙种货车每辆要付运输费1300元，则该果农应选择哪种方案？使运费最少？最少运费是多少元？解：（1）设安排甲种货车x 辆，则安排乙种货车（10－x ）辆，依题意，得⎩⎨⎧≥-+≥-+13)10(230)10(24x x x x 解这个不等式组，得 ⎩⎨⎧≤≥75x x 75≤≤∴x x Θ是整数，∴x 可取5、6、7，即安排甲、乙两种货车有三种方案：①甲种货车5辆，乙种货车5辆；②甲种货车6辆，乙种货车4辆；③甲种货车7辆，乙种货车3辆；（2）设运费为W ，则W=2000x+1300（10－x ）=700x+13000．因为k ＝700>0，所以W 随x 的增大而增大，所以当x ＝5时，运费最少，故该果农应选择①．70051300016500W =⨯+=最少（元）．。
专题15 导数中同构与放缩的应用(原卷版)
专题15 导数中同构与放缩的应用同构法是将不同的代数式(或不等式、方程)通过变形，转化为形式结构相同或者相近的式子，通过整体思想或换元等将问题转化的方法，这体现了转化思想．此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式或不等式问题．当然，用同构法解题，除了要有同构法的思想意识外，对观察能力，对代数式的变形能力的要求也是比较高的，考点一 部分同构携手放缩法（同构放缩需有方，切放同构一起上） 【方法总结】在学习指对数的运算时，曾经提到过两个这样的恒等式：(1)当a ＞0且a ≠1时，有log a x x a =，(2)当a ＞0且a ≠1时，有log x a x a =再结合指数与对数运算法则，可以得到下述结论(其中x ＞0) (“e x ”三兄弟与“ln x ”三姐妹)(3)ln x x x x +=ｅｅ，ln ln()x x x x +=ｅ (4)ln x x xx-=ｅｅ，ln ln x x x x -=ｅ(6)ln x xx x -=ｅｅ，ln ln x x x x -=ｅ再结合常用的切线不等式：1x x ≥+ｅ，e xx ≥ｅ，ln 1x x ≤+，ln xx ≤ｅ等，可以得到更多的结论 (7)ln ln 1x x x x x x +=≥++ｅｅ，ln ln()e 1xx x x x x +=≤-ｅ． ln (ln )xx xx x x +=≥+ｅｅｅ，1e ln ln()x xx x x x x x -+=≤ｅ＝ｅｅ． (8)ln ln 1x x x x x x -=≥-+ｅｅ，ln ln x x x x x x-=≤ｅｅ－１ln (ln )x x xx x x -=≥-ｅｅｅ，1ln ln x x x x x x--=≤ｅｅ (9)ln ln 1x xx x x x -=≥-+ｅｅ，ln ln x x x x x x -=≤－１ｅｅln (ln )x x x x x x -=≥-ｅｅｅ，1ln ln x x x x x x +-=≤ｅｅ[例1] (1)已知1()ln x f x x x x +=+-ｅ，则函数()f x 的最大值为________．(2)函数ln 1()xx f x x+=-ｅ的最小值是________． (3)函数22ln ()1x x xf x x -=+ｅ的最小值是________．[例2] (1)不等式ln 10x xax x ---≥ｅ恒成立，则实数a 的最大值是________． (2)不等式(ln 1)0xxa x x -++≥ｅ恒成立，则正数a 的取值范围是________．(3)不等式(ln )0x xa x x -+≥ｅ恒成立，则正数a 的取值范围是________． (4)已知函数()ln 1(1)bxf x x a x x x =--->ｅ，其中b ＞0，若()0f x ≥恒成立，则实数a 与b 的大小关系是________．(5)已知函数()ln 1x f x ax =--ｅ，若()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是________． (6)已知不等式1ln xkx x -≥+ｅ，对任意的正数x 恒成立，则实数k 的取值范围是________． (7)已知不等式ln 10axax x x -+--≥ｅ，对任意的正数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________． (8)已知函数()(ln )x f x xa x x =-+ｅ有两个零点，则实数a 的取值范围是________． [例3] (2020届太原二模)已知函数()ln 1f x x ax =++. (1)若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围； (2)若()e x f x x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．【对点精练】1．函数()ln xf x xx x =--ｅ的最小值为________． 2．函数ln ()1x x xf x x -=+ｅ的最小值为________．3．函数()(ln 1)x f x x x x -=++-ｅ的最大值是________． 4．已知不等式(1)ln xxa x x -+≥ｅ，对任意正数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 5．已知函数()(ln 1)xf x xa x x =+-++ｅｅ，若()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是________． 6．已知函数2()ln 1x f x ax =--ｅ，若()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是________． 7．已知a ，b 分别满足23e e , (ln 1)e a a b b =-=，则ab ＝________． 8．已知x 0是函数22()e ln 2x f x x x -=+-的零点，则020e ln x x -+=________．考点二 整体同构携手脱衣法 【方法总结】在成立或恒成立命题中，很有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型（即不等式两边对应的同一个函数），无疑大大加快解决问题的速度，找到这个函数模型的方法，我们就称为整体同构法．如，若F (x )≥0能等价变形为f [g (x )]≥f [h (x )]，然后利用f (x )的单调性，如递增，再转化为g (x )≥h (x )，这种方法我们就可以称为同构不等式（等号成立时，称为同构方程），简称同构法．1．地位同等同构（主要针对双变量，合二为一泰山移） (1)f x 1－f x 2x 1－x 2>k (x 1<x 2)⇔f (x 1)－f (x 2)<kx 1－kx 2⇔f (x 1)－kx 1<f (x 2)－kx 2⇔y ＝f (x )－kx 为增函数；(2)f x 1－f x 2x 1－x 2<k x 1x 2(x 1<x 2)⇔f (x 1)－f (x 2)>k (x 1－x 2) x 1x 2＝k x 2－k x 1⇔f (x 1)＋k x 1>f (x 2)＋k x 2⇔y ＝f (x )＋kx 为减函数；含有地位同等的两个变x 1，x 2或p ，q 等的不等式，进行“尘化尘，土化土”式的整理，是一种常见变形，如果整理（即同构）后不等式两边具有结构的一致性，往往暗示单调性（需要预先设定两个变量的大小）2．指对跨阶同构（主要针对单变量，左同右同取对数）(1)积型：ln e (ln )e ()e e ln e ln e ln ()ln ln ln ln(ln )()ln a b x a a a a b f x x a b b b b f x x xa ab b f x x x ⎧≤−−−−→=⎪⎪≤−−−−−→≤−−−−→=⎨⎪+≤+−−−−→=+⎪⎩构造函数三种同构方式构造函数构造函数同左 同右 取对 如，322222ln ln e ln ln xx xx m x x me x x x x e x≥⇔≥⇔≥ｅ，后面的转化同(1)说明；在对“积型”进行同构时，取对数是最快捷的，同构出的函数，其单调性一看便知． (2)商型：ln e e e () ln e e ()ln ln e ln ln ln ln ln(ln )()ln a b x a a a f x a b x b b x f x a b b x a a b b f x x x ⎧<−−−−→=⎪⎪⎪<−−−−−→<−−−−→=⎨⎪⎪-<-−−−−→=-⎪⎩构造函数三种同构方式构造函数构造函数同左 同右 取对 (3)和差：ln e e ln ()e e ln e ln e ln ()ln a b x aa a ab f x x a b b b b f x x x ⎧±>±−−−−→=±⎪±>±−−−−−→⎨±>±−−−−→=±⎪⎩构造函数两种同构方式构造函数同左 同右 如；ln(1)ln(1)1ln(1)ln(1)ax ax x ax x x ax x ax x ++>+++⇔+>++⇔>+ｅｅｅ． 3．无中生有同构（主要针对非上型，凑好形式是关键）(1)e ln e ln 21ax x ax a x ax x x >−−−−−→>同乘(无中生有)，后面的转化同()； (2)ln ln 1e ln()e ln (1)1e ln ln(1)1e +ln x x x a x x a a ax a a a x a x x a a-->--⇔>--⇔->--−−−−−→->同加(无中生有)ln(1)ln(1)1ln(1)ln ln(1)x x x x x a x --+-=-⇔->-ｅ＋；(3)ln ln ln log e ln e ln 21ln x x a x a a xa x x a x x a>⇔>⇔> ()，后面的转化同()． 【例题选讲】[例4] (1)若1201x x <<<，则A ．2121e e ln ln x x x x ->-B ．2121e e ln ln x x x x -<-C ．1221e e x x x x >D ．1221e e x x x x < (2)若120x x a <<<，都有211212ln ln x x x x x x -≤-成立，则a 的最大值为( )A ．2１B ．1C ．eD ．2e(3)已知2()ln(1)f x a x x =+-，在区间(1, 2)内任取两实数p ，q ，且p ≠q ，不等式(1)(1)1f p f q p q+-+<-恒成立，则实数a 的取值范围为________．[例5] 对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的一个同构函数 (1)2log 20kx x k -⋅≥ (2)2ln 0mxx x m -≥ｅ(3)1(1)2()ln axa x x x+≥+ｅ(4)ln (1)xa x a x x x -++≥>ｅ(5)2ln 0xx x +=ｅ [例6] (1)已知不等式log (0, 1)x a a x a a >>≠，对任意正数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．(2)已知函数()ln(1)33f x m x x =+--，若不等式()3e x f x mx >-在(0, )+∞上恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．03m ≤≤B ．3m ≥C ．3m ≤D ．0m ≤ (3)对任意0x >，不等式22e ln ln 0x a x a -+≥恒成立，则实数a 的最小值为________．(4)已知函数()ln()(0)xf x a ax a a a =--->ｅ，若关于x 的不等式()0f x >恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．2(0, e ]B ．2(0, e )C ．2[1, e ]D ．2(1, e ](5)对任意0x >，不等式1(e 1)2()ln ax a x x x+≥+恒成立，则实数a 的最小值为________．(6)已知不等式1ln ea x x a x x ++≥对任意的(1, )x ∈+∞恒成立，则实数a 的最小值为( ) A ．e B ．e2- C ．e - D ．2e -[例7] 已知函数ln(1)()x f x x+=. (1)判断()f x 在(0, )+∞上的单调性； (2)若0x >，证明：2(e 1)ln(1)x x x -+>．[例8] (2020·新高考Ⅰ)已知函数f (x )＝a e x －1－ln x ＋ln a ．(1)当a ＝e 时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)若f (x )≥1，求a 的取值范围．【对点精练】1．已知函数()ln ()xf x m x m =+∈R ｅ，若对任意正数x 1，x 2，当x 1＞x 2时，都有1212()()f x f x x x ->- 成立，则实数m 的取值范围是________．2．已知函数()xf x ax x=-ｅ，(0, )x ∈+∞，当x 2＞x 1时，不等式1221()()0f x f x x x -<恒成立，则实数a的取值范围是( )A ．(, e]-∞B ．(, e)-∞C ．e (, )2-∞D ．e(, ]2-∞3．对不等式20xx λλ-ｅ进行同构变形，并写出相应的一个同构函数．4．对方程2ln 0xx x ---=ｅ进行同构变形，并写出相应的一个同构函数． 5．对不等式ln(1)2(1)2xa x x ax -+-≥+ｅ进行同构变形，并写出相应的一个同构函数．6．设实数0λ>，若对任意的(0, )x ∈+∞，不等式ln 0xxλλ-≥ｅ恒成立，则λ的最小值为________．7．已知函数1()ln (0)x f x a ax a a +=-+>ｅ，若关于x 的不等式()0f x >恒成立，则实数a 的取值范围 是________．8．已知对任意0x >，不等式1(e 1)(1)ln 0kx k x x+-+>恒成立，则实数k 的取值范围为________．9．已知0a <，不等式1ln 0a x x a x ++≥ｅ，对任意的实数1x >恒成立，则实数a 的最小值是( ) A ．12e-B ．1e -C ．e -D ．2e -1013()2ln ()m xf x x x m x -=--ｅ()0f x ≥A ．(, 4e]-∞ B ．(, 3e]-∞ C ．(, 2e]-∞ D ．3e(, ]2-∞。
2023年中考数学考点总结+题型专训专题15 一次函数的应用与综合篇(原卷版)
知识回顾专题15一次函数的应用与综合1. 一次函数的图像与性质：一次函数与x 轴的交点坐标公式为：⎪⎭⎫ ⎝⎛-0 ，k；与y轴的交点坐标公式为：()b ，0。
2. 一次函数的平移：①左右平移，自变量上进行加减。
左加右减。
即若()0≠+=k b kx y 向左移动了m 个单位，则平移后的函数解析式为：()()0≠++=k b m x k y ；若()0≠+=k b kx y 向右移动了m 个单位，则平移后的函数解析式为：()()0≠+-=k b m x k y 。
②上下平移，解析式整体后面进行加减。
上加下减。
k 的取值 b 的取值 所在象限y 随x 的变化情况大致图像0＞k0＞b （图像交于y 轴正半轴）一二三象限y 随x 增大而增大0＜b （图像交于y 轴负半轴）一三四象限0＜k0＞b （图像交于y 轴正半轴）一二四象限y 随x 减小而减小0＜b （图像交于y 轴负半轴）二三四象限即若()0≠+=k b kx y 向上移动了m 个单位，则平移后的函数解析式为：()0≠++=k m b kx y ；若()0≠+=k b kx y 向下移动了m 个单位，则平移后的函数解析式为：()0≠-+=k m b kx y 。
3. 一次函数的对称变换：①若一次函数关于x 轴对称，则自变量不变，函数值变为相反数。
即()0≠+=k b kx y 关于x 轴的函数解析式为：()0≠+=-k b kx y ，即()0≠--=k b kx y 。
②若一次函数关于y 轴对称，则函数值不变，自变量变成相反数。
即()0≠+=k b kx y 关于y 轴的函数解析式为：()()0≠+-=k b x k y ，即()0≠+-=k b kx y 。
③若一次函数关于原点对称，则自变量与函数值均变成相反数。
即()0≠+=k b kx y 关于原点的函数解析式为：()()0≠+-=-k b x k y ，即()0≠-=k b kx y 。
高中数学必修二：函数极值与最值习题解析
高中数学必修二：函数极值与最值习题解析函数极值和最值是高中数学中一个重要的概念和知识点，在解析这一内容之前，我们首先要明确什么是函数极值和最值。
函数的极值包括两种情况，一种是函数在某一区间内取得最大值或最小值，另一种是函数在某一点处取得最大值或最小值。
函数的最值则是针对整个定义域内的最大值或者最小值。
在解析函数极值和最值的相关习题时，我们可以根据题目的要求，使用不同的方法来求解。
下面我们将通过一些常见的习题来进行解析。
【习题一】已知函数$f(x)=x^3-6x^2+9x+2$，求函数$f(x)$在区间[-2, 4]上的极值和最值。
解析：首先我们需要求 $f'(x)$ ，将函数$f(x)$对$x$求导得：$f'(x)=3x^2-12x+9$为了求得函数$f(x)$在区间[-2, 4]上的极值点，我们需要将导函数$f'(x)$等于零，并求解方程：$3x^2-12x+9=0$将方程进行因式分解，得到：$(x-3)(x-1)=0$解得$x=3$或$x=1$。
将$x=3$和$x=1$代入原函数$f(x)$中，可以得到两个函数值：$f(3)=20$ 和 $f(1)=6$因此，函数$f(x)$在区间[-2, 4]上的极小值为6，极大值为20。
对于最值的求解，我们可以直接将区间[-2, 4]的端点分别代入函数$f(x)$中，求得函数值，并和极值进行比较。
$f(-2)=-12$， $f(4)=66$综上所述，函数$f(x)$在区间[-2, 4]上的最小值为-12，最大值为66。
【习题二】已知函数$g(x)=x^3-9x^2+24x$，求函数$g(x)$的最小值和最大值所对应的$x$的值。
解析：首先我们需要求函数$g(x)$的导函数$g'(x)$，将函数$g(x)$对$x$求导得：$g'(x)=3x^2-18x+24$为了求得函数$g(x)$的极值点，我们需要将导函数$g'(x)$等于零，并求解方程：$3x^2-18x+24=0$将方程进行因式分解，得到：$(x-4)(x-2)=0$解得$x=4$或$x=2$。
高三数学构造函数模型,求三角形的最值问题学法指导
构造函数模型，求三角形的最值问题刘显伟构造法是一种重要的数学思想方法，利用构造法解题往往能起到很好的效果，下面举例说明如何构造函数模型求有关三角形的最值问题。
1. 构造函数模型，解三角形中有关涉及角的最值问题例1 在△ABC 中，已知三边a 、b 、c 满足ac b 2=，求B cos B sin B 2sin 1y ++=的取值范围。
错解：因为()⎪⎭⎫ ⎝⎛π+=+=++=++=4B sin 2B cos B sin B cos B sin B cos B sin B cos B sin B 2sin 1y 2，所以2y 2≤≤-。
错误剖析：若2y -=，14B sin -=⎪⎭⎫ ⎝⎛π+，则234B π=π+，所以π>π=45B ，这超出了三角形中内角的取值范围。
事实上，条件ac b 2=还没有利用，因此应重新求B 的取值范围。
正解：由ac b 2=和正弦定理，可得()()[]C A cos C A cos 21B cos 1C sin A sin B sin 22+--=-⇒= ()()0C A cos 11B cos B cos 2B cos C A cos B cos 2222≥--=-+⇒+-=-⇒。
∴()()01B cos 1B cos 2≥+-又()π∈,0B ，01B cos >+，所以01B cos 2≥-，得1B cos 21<≤。
所以3B 0π≤<，1274B 4π≤π+<π，可知14B sin 22≤⎪⎭⎫ ⎝⎛π+<。
因为⎪⎭⎫ ⎝⎛π+=4B sin 2y ，所以∈y ]2,1(。
说明：本题若能从函数的观点来观察、分析问题，上述的错解就可能不会发生，事实上，本题求的是函数()B f y =的值域，而值域固然受对应法则f 的制约，但它也依赖于函数()B f 的定义域，在这里为了求得自变量B 的取值范围，应先求B cos 的取值范围，为此建立关于B cos 的不等式，至此，也就能理解为什么把()B cos C A cos B cos 222+-=-变形为()C A cos 11B cos B cos 22--=-+的理由了。
(2021年整理)高中数学专题之函数的值域与最值(内附练习及答案)
高中数学专题之函数的值域与最值(内附练习及答案)(推荐完整)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学专题之函数的值域与最值(内附练习及答案)(推荐完整)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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函数的值域与最值【基本概念】求函数最值的基本方法： 1、配方法（二次函数） 2、分离常数法（分式函数） 3、反函数法（分式函数） 4、基本函数性质法5、换元法[换元必换限]（无理函数、高次函数等）6、基本不等式法(耐克函数）7、单调性法（单调区间上的值域与最值） 8、数形结合法 【典型例题】例1：求下列函数的值域。
(1）2121x y x -=+； (2）()lg 12cos y x =-; (3）2y x =；(4）2211x x y x -+=+；（5）()2lg 612y x x x x =-+≤≤； （6)3sin 2cos xy x-=-。
专题15圆的有关概念性质及计算(原卷版)
专题15 圆的有关概念、性质及计算弧长的计算1．（2023•温州）若扇形的圆心角为40°，半径为18，则它的弧长为．2．（2021•温州）若扇形的圆心角为30°，半径为17，则扇形的弧长为．3．（2022•温州）若扇形的圆心角为120°，半径为，则它的弧长为．4．（2022•丽水）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为2m，高为2m，则改建后门洞的圆弧长是（）A．m B．m C．m D．（+2）m 5．（2023•金华）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠BAC＝50°，以AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的长为cm．6．（2021•台州）如图，将线段AB绕点A顺时针旋转30°，得到线段AC．若AB＝12，则点B经过的路径长度为．（结果保留π）扇形面积的计算7．（2021•衢州）已知扇形的半径为6，圆心角为150°，则它的面积是（）A．πB．3πC．5πD．15π8．（2022•衢州）如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，∠CAB＝∠DBA，连结BC，CD．（1）求证：CD∥AB．（2）若AB＝4，∠ACD＝30°，求阴影部分的面积．9．（2022•台州）一个垃圾填埋场，它在地面上的形状为长80m，宽60m的矩形，有污水从该矩形的四周边界向外渗透了3m，则该垃圾填埋场外围受污染土地的面积为（）A．（840+6π）m2B．（840+9π）m2C．840m2D．876m2 10．（2023•温州）图1是4×4方格绘成的七巧板图案，每个小方格的边长为，现将它剪拼成一个“房子”造型（如图2），过左侧的三个端点作圆，并在圆内右侧部分留出矩形CDEF作为题字区域（点A，E，D，B在圆上，点C，F在AB上），形成一幅装饰画，则圆的半径为．若点A，N，M在同一直线上，AB∥PN，DE＝EF，则题字区域的面积为．11．（2023•浙江）一副三角板ABC和DEF中，∠C＝∠D＝90°，∠B＝30°，∠E＝45°，BC＝EF＝12．将它们叠合在一起，边BC与EF重合，CD与AB相交于点G（如图1），此时线段CG的长是．现将△DEF绕点C（F）按顺时针方向旋转（如图2），边EF与AB相交于点H，连结DH，在旋转0°到60°的过程中，线段DH扫过的面积是．12．（2022•宁波）已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则圆锥的侧面积为（）A．36πcm2B．24πcm2C．16πcm2D．12πcm2 13．（2023•宁波）如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为30cm，母线长为50cm，则烟囱帽的侧面积为cm2．（结果保留π）14．（2021•金华）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形的顶点E，F，G，H，M，N都在同一个圆上．记该圆面积为S1，△ABC面积为S2，则的值是（）A．B．3πC．5πD．圆周角定理15．（2022•嘉兴）如图，在⊙O中，∠BOC＝130°，点A在上，则∠BAC的度数为（）A．55°B．65°C．75°D．130°16．（2022•湖州）如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC 的延长线交⊙O于点D．若∠APD是所对的圆周角，则∠APD的度数是．17．（2023•杭州）如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC ＝19°，则∠BAC＝（）A．23°B．24°C．25°D．26°18．（2022•温州）如图，AB，AC是⊙O的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，连结OB，OC．若∠DOE＝130°，则∠BOC的度数为（）A．95°B．100°C．105°D．130°19．（2023•绍兴）如图，四边形ABCD内接于圆O，若∠D＝100°，则∠B的度数是．20．（2023•温州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC∥AD，AC⊥BD．若∠AOD＝120°，AD＝，则∠CAO的度数与BC的长分别为（）A．10°，1B．10°，C．15°，1D．15°，切线的性质21．（2023•金华）如图，点A在第一象限内，⊙A与x轴相切于点B，与y轴相交于点C，D，连结AB，过点A作AH⊥CD于点H．（1）求证：四边形ABOH为矩形．（2）已知⊙A的半径为4，OB＝，求弦CD的长．22．（2023•浙江）如图，点A是⊙O外一点，AB，AC分别与⊙O相切于点B，C，点D在上．已知∠A＝50°，则∠D的度数是．23．（2022•衢州）如图，AB切⊙O于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连结BC．若∠A＝40°，则∠C的度数为．24．（2022•绍兴）如图，半径为6的⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点A，交边BC于点C，D，∠B＝90°，连结OD，AD．（1）若∠ACB＝20°，求的长（结果保留π）．（2）求证：AD平分∠BDO．25．（2021•宁波）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，延长AC，BD交于点P．若∠P＝120°，⊙O的半径为6cm，则图中的长为cm．（结果保留π）26．（2021•温州）如图，⊙O与△OAB的边AB相切，切点为B．将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O′A′B，使点O′落在⊙O上，边A′B交线段AO于点C．若∠A′＝25°，则∠OCB＝度．27．（2023•绍兴）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CD，交AB的延长线于点D，过点A作AE⊥CD于点E．（1）若∠EAC＝25°，求∠ACD的度数；（2）若OB＝2，BD＝1，求CE的长．28．（2021•衢州）如图，在△ABC中，CA＝CB，BC与⊙A相切于点D，过点A作AC的垂线交CB的延长线于点E，交⊙A于点F，连结BF．（1）求证：BF是⊙A的切线．（2）若BE＝5，AC＝20，求EF的长．圆的综合运用29．（2023•杭州）如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，设正六边形ABCDEF的面积为S1，△ACE的面积为S2，则＝．30．（2022•金华）如图1，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答下列问题：作法如图2．1．作直径AF．2．以F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N．3．连接AM，MN，NA．（1）求∠ABC的度数．（2）△AMN是正三角形吗？请说明理由．（3）从点A开始，以DN长为边长，在⊙O上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值．31．（2022•台州）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，连接AD．（1）求证：BD＝CD．（2）若⊙O与AC相切，求∠B的度数．（3）用无刻度的直尺和圆规作出劣弧的中点E．（不写作法，保留作图痕迹）32．（2023•浙江）已知，AB是半径为1的⊙O的弦，⊙O的另一条弦CD满足CD＝AB，且CD⊥AB于点H（其中点H在圆内，且AH＞BH，CH＞DH）．（1）在图1中用尺规作出弦CD与点H（不写作法，保留作图痕迹）；（2）连结AD，猜想：当弦AB的长度发生变化时，线段AD的长度是否变化？若发生变化，说明理由；若不变，求出AD的长度；（3）如图2，延长AH至点F，使得HF＝AH，连结CF，∠HCF的平分线CP交AD的延长线于点P，点M为AP的中点，连结HM．若PD＝AD，求证：MH⊥CP．33．（2022•杭州）如图是以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上，将该圆形纸片沿直线CO对折，点B落在⊙O上的点D处（不与点A重合），连接CB，CD，AD．设CD与直径AB交于点E．若AD＝ED，则∠B＝度；的值等于．34．（2022•宁波）如图1，⊙O为锐角三角形ABC的外接圆，点D在上，AD交BC于点E，点F在AE上，满足∠AFB﹣∠BFD＝∠ACB，FG∥AC交BC于点G，BE＝FG，连结BD，DG．设∠ACB＝α．（1）用含α的代数式表示∠BFD．（2）求证：△BDE≌△FDG．（3）如图2，AD为⊙O的直径．①当的长为2时，求的长．②当OF：OE＝4：11时，求cosα的值．35．（2022•温州）如图1，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆于点D，BE⊥CD，交CD延长线于点E，交半圆于点F，已知BC＝5，BE＝3，点P，Q分别在线段AB，BE上（不与端点重合），且满足＝．设BQ＝x，CP＝y．（1）求半圆O的半径．（2）求y关于x的函数表达式．（3）如图2，过点P作PR⊥CE于点R，连结PQ，RQ．①当△PQR为直角三角形时，求x的值．②作点F关于QR的对称点F′，当点F′落在BC上时，求的值．36．（2021•衢州）如图1，点C是半圆O的直径AB上一动点（不包括端点），AB＝6cm，过点C作CD⊥AB交半圆于点D，连结AD，过点C作CE∥AD交半圆于点E，连结EB．牛牛想探究在点C运动过程中EC与EB的大小关系．他根据学习函数的经验，记AC＝xcm，EC＝y1cm，EB＝y2cm．请你一起参与探究函数y1、y2随自变量x变化的规律．通过几何画板取点、画图、测量，得出如下几组对应值，并在图2中描出了以各对对应值为坐标的点，画出了不完整图象．x…0.300.80 1.60 2.40 3.20 4.00 4.80 5.60…y1… 2.01 2.98 3.46 3.33 2.83 2.11 1.270.38…y2… 5.60 4.95 3.95 2.96 2.06 1.240.570.10…（1）当x＝3时，y1＝．（2）在图2中画出函数y2的图象，并结合图象判断函数值y1与y2的大小关系．（3）由（2）知“AC取某值时，有EC＝EB”．如图3，牛牛连结了OE，尝试通过计算EC，EB的长来验证这一结论，请你完成计算过程．37．（2021•温州）如图，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点O，分别交x轴、y轴于点A （2，0），B（0，8），连结AB．直线CM分别交⊙M于点D，E（点D在左侧），交x轴于点C（17，0），连结AE．（1）求⊙M的半径和直线CM的函数表达式；（2）求点D，E的坐标；（3）点P在线段AC上，连结PE．当∠AEP与△OBD的一个内角相等时，求所有满足条件的OP的长．38．（2023•丽水）如图，在⊙O中，AB是一条不过圆心O的弦，点C，D是的三等分点，直径CE交AB于点F，连结AD交CF于点G，连结AC，过点C的切线交BA的延长线于点H．（1）求证：AD∥HC；（2）若＝2，求tan∠F AG的值；（3）连结BC交AD于点N，若⊙O的半径为5．下面三个问题，依次按照易、中、难排列．请根据自己的认知水平，选择其中一道问题进行解答．①若OF＝，求BC的长；②若AH＝，求△ANB的周长；③若HF•AB＝88，求△BHC的面积．39．（2022•舟山）如图1，在正方形ABCD中，点F，H分别在边AD，AB上，连结AC，FH交于点E，已知CF＝CH．（1）线段AC与FH垂直吗？请说明理由．（2）如图2，过点A，H，F的圆交CF于点P，连结PH交AC于点K．求证：＝．（3）如图3，在（2）的条件下，当点K是线段AC的中点时，求的值．40．（2021•宁波）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，BD为直径，上存在点E，满足＝，连结BE并延长交CD的延长线于点F，BE与AD交于点G．（1）若∠DBC＝α，请用含α的代数式表示∠AGB．（2）如图2，连结CE，CE＝BG．求证：EF＝DG．（3）如图3，在（2）的条件下，连结CG，AD＝2．①若tan∠ADB＝，求△FGD的周长．②求CG的最小值．41．（2023•杭州）如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点E，连接AC，AD，BC，作CF ⊥AD于点F，交线段OB于点G（不与点O，B重合），连接OF．（1）若BE＝1，求GE的长．（2）求证：BC2＝BG•BO．（3）若FO＝FG，猜想∠CAD的度数，并证明你的结论．42．（2023•台州）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置．如图，AB是⊙O的直径，直线l是⊙O的切线，B为切点．P，Q是圆上两点（不与点A重合，且在直径AB的同侧），分别作射线AP，AQ 交直线l于点C，点D．（1）如图1，当AB＝6，BP长为π时，求BC的长；（2）如图2，当，时，求的值；（3）如图3，当，BC＝CD时，连接BP，PQ，直接写出的值．43．（2023•宁波）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，E为AB边上一点，以AE为直径的半圆O与BC相切于点D，连结AD，BE＝3，BD＝3．P是AB边上的动点，当△ADP 为等腰三角形时，AP的长为．44．（2023•宁波）如图1，锐角△ABC内接于⊙O，D为BC的中点，连结AD并延长交⊙O 于点E，连结BE，CE，过C作AC的垂线交AE于点F，点G在AD上，连结BG，CG，若BC平分∠EBG且∠BCG＝∠AFC．（1）求∠BGC的度数．（2）①求证：AF＝BC．②若AG＝DF，求tan∠GBC的值．（3）如图2，当点O恰好在BG上且OG＝1时，求AC的长．45．（2022•丽水）如图，以AB为直径的⊙O与AH相切于点A，点C在AB左侧圆弧上，弦CD⊥AB交⊙O于点D，连结AC，AD．点A关于CD的对称点为E，直线CE交⊙O 于点F，交AH于点G．（1）求证：∠CAG＝∠AGC；（2）当点E在AB上，连结AF交CD于点P，若＝，求的值；（3）当点E在射线AB上，AB＝2，以点A，C，O，F为顶点的四边形中有一组对边平行时，求AE的长．46．（2021•台州）如图，BD是半径为3的⊙O的一条弦，BD＝4，点A是⊙O上的一个动点（不与点B，D重合），以A，B，D为顶点作▱ABCD．（1）如图2，若点A是劣弧BD的中点．①求证：▱ABCD是菱形；②求▱ABCD的面积．（2）若点A运动到优弧BD上，且▱ABCD有一边与⊙O相切．①求AB的长；②直接写出▱ABCD对角线所夹锐角的正切值．47．（2021•金华）在扇形AOB中，半径OA＝6，点P在OA上，连结PB，将△OBP沿PB 折叠得到△O′BP．（1）如图1，若∠O＝75°，且BO′与所在的圆相切于点B．①求∠APO′的度数．②求AP的长．（2）如图2，BO′与相交于点D，若点D为的中点，且PD∥OB，求的长．48．（2021•杭州）如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，交BC边于点F，连接BG．（1）求证：△ABG∽△AFC．（2）已知AB＝a，AC＝AF＝b，求线段FG的长（用含a，b的代数式表示）．（3）已知点E在线段AF上（不与点A，点F重合），点D在线段AE上（不与点A，点E重合），∠ABD＝∠CBE，求证：BG2＝GE•GD．。
2023年新高考数学大一轮复习专题15 单调性问题(原卷版)
专题15单调性问题【考点预测】知识点一：单调性基础问题 1．函数的单调性函数单调性的判定方法：设函数()y f x =在某个区间内可导，如果()0f x '>，则()y f x =为增函数；如果()0f x '<，则()y f x =为减函数．2．已知函数的单调性问题①若()f x 在某个区间上单调递增，则在该区间上有()0f x '≥恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足()0f x '>，才能得出()f x 在某个区间上单调递增；②若()f x 在某个区间上单调递减，则在该区间上有()0f x '≤恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足()0f x '<，才能得出()f x 在某个区间上单调递减．知识点二：讨论单调区间问题 类型一：不含参数单调性讨论（1）求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间)； （2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)；（3）求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x 轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论)；（4）未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)； （5）正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)；（6）一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导)； 求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导． （7）借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段)；类型二：含参数单调性讨论（1）求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间)；（2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)；（3）恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求有效根；（4）根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)； （5）导数图像定区间； 【方法技巧与总结】1．求可导函数单调区间的一般步骤 （1）确定函数()f x 的定义域；（2）求()f x '，令()0f x '=，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；（3）把函数()f x 的间断点（即()f x 的无定义点）的横坐标和()0f x '=的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数()f x 的定义域分成若干个小区间；（4）确定()f x '在各小区间内的符号，根据()f x '的符号判断函数()f x 在每个相应小区间内的增减性. 注①使()0f x '=的离散点不影响函数的单调性，即当()f x '在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，()f x 在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在(,)-∞+∞上，3()f x x =，当0x =时，()0f x '=；当0x ≠时，()0f x '>，而显然3()f x x =在(,)-∞+∞上是单调递增函数.②若函数()y f x =在区间(,)a b 上单调递增，则()0f x '≥（()f x '不恒为0），反之不成立.因为()0f x '≥，即()0f x '>或()0f x '=，当()0f x '>时，函数()y f x =在区间(,)a b 上单调递增.当()0f x '=时，()f x 在这个区间为常值函数；同理，若函数()y f x =在区间(,)a b 上单调递减，则()0f x '≤（()f x '不恒为0），反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论：()0f x '>⇒()f x 单调递增；()f x 单调递增()0f x '⇒≥； ()0f x '<⇒()f x 单调递减；()f x 单调递减()0f x '⇒≤.【题型归纳目录】题型一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像 题型二：求单调区间题型三：已知含量参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间，求参数范围 题型四：不含参数单调性讨论 题型五：含参数单调性讨论 情形一：函数为一次函数 情形二：函数为准一次函数 情形三：函数为二次函数型 1.可因式分解 2.不可因式分解型情形四：函数为准二次函数型 题型六：分段分析法讨论 【典例例题】题型一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像例1．（2022·陕西·汉台中学模拟预测（文））设函数()f x 在定义域内可导，()f x 的图象如图所示，则其导函数()'f x 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．例2．（2022·云南曲靖·二模（文））设()'f x 是函数()f x 的导函数，()f x ''是函数()'f x 的导函数，若对任意R ()0,()0x f x f x '''∈><，恒成立，则下列选项正确的是（ ）A ．0(3)(3)(2)(2)f f f f ''<<-<B ．0(3)(2)(2)(3)f f f f ''<-<<C ．0(3)(2)(3)(2)f f f f ''<<<-D ．0(2)(3)(3)(2)f f f f ''<<<-例3．（2022·安徽马鞍山·三模（理））已知定义在R 上的函数()f x ，其导函数()f x '的大致图象如图所示，则下列结论正确的是( )A ．()()()f b f c f a >>B ．()()()f b f c f e >=C ．()()()f c f b f a >>D ．()()()f e f d f c >>【方法技巧与总结】原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数()f x 单调递增⇔导函数()0f x '≥（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足()0f x '>）；原函数单调递减⇔导函数()0f x '≤（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足0()0f x <）.题型二：求单调区间例4．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知函数f (x )满足()()()2212e 02x f x f f x x -'=-+，则f (x )的单调递减区间为（ ） A ．(-∞,0)B ．(1,+∞)C ．(-∞,1)D ．(0,+∞)例5．（2021·西藏·林芝市第二高级中学高三阶段练习（理））函数()()3e xf x x =-的单调增区间是( )A ．()2-∞，B ．()03，C ．()14，D ．()2+∞，例6．（2022·全国·高三专题练习（文））函数(2)e ,0()2,0x x x f x x x ⎧-≥=⎨--<⎩的单调递减区间为__________．【方法技巧与总结】求函数的单调区间的步骤如下： （1）求()f x 的定义域 （2）求出()f x '.（3）令()0f x '=，求出其全部根，把全部的根在x 轴上标出，穿针引线.（4）在定义域内，令()0f x '>，解出x 的取值范围，得函数的单调递增区间；令()0f x '<，解出x 的取值范围，得函数的单调递减区间.若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间不能用“”、“或”连接，而应用“和”、“，”隔开.题型三：已知含量参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间，求参数范围例7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()32391f x x mx mx =-++在()1,+∞上为单调递增函数，则实数m的取值范围为（ ） A ．(),1-∞-B ．[]1,1-C ．[]1,3D ．[]1,3-例8．（2021·河南·高三阶段练习（文））已知函数()()41x f x ax x e =+-在区间[]1,3上不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2,416e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．2,416e e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦C ．32,3616e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．3,416e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭例9．（2022·全国·高三专题练习）若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调递减区间为(－1，3)，则b ＋c ＝（ ） A ．－12B ．－10C ．8D ．10例10．（2022·全国·高三专题练习）若函数()32236f x x mx x =-+在区间()1,+∞上为增函数，则实数m 的取值范围是_______.例11．（2022·全国·高三专题练习）若函数()313f x x ax =-+有三个单调区间，则实数a 的取值范围是________．例12．（2022·全国·高三专题练习）若函数()324132x a f x x x =-++在区间(1，4)上不单调，则实数a 的取值范围是___________.例13．（2022·河北·高三阶段练习）若函数()2()e xf x x mx =+在1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上存在单调递减区间，则m 的取值范围是_________．例14．（2022·全国·高三专题练习（文））若函数h (x )＝ln x －12ax 2－2x (a ≠0)在[1,4]上存在单调递减区间”，则实数a 的取值范围为________.例15．（2020·江苏·邵伯高级中学高三阶段练习）若函数3y x ax =-+在[)1,+∞上是单调函数，则a 的最大值是______.例16．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数f (x )＝3xa－2x 2＋ln x (a >0)，若函数f (x )在[1,2]上为单调函数，则实数a 的取值范围是________.【方法技巧与总结】（1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为导函数恒大于等于或恒小于等于零求解，先分析导函数的形式及图像特点，如一次函数最值落在端点，开口向上的抛物线最大值落在端点，开口向下的抛物线最小值落在端点等.（2）已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法求解参变量范围. （3）已知函数在区间上存在单调递增或递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解. 题型四：不含参数单调性讨论例17．（2022·山东临沂·三模）已知函数()21ln ax f x x-=，其图象在e x =处的切线过点()22e,2e ．(1)求a 的值；(2)讨论()f x 的单调性；例18．（2022·天津·模拟预测）已知函数()()()1ln 10x f x x x++=>.试判断函数()f x 在()0+∞，上单调性并证明你的结论；例19．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学三模）已知函数()()ln 1x a x a f x x+++=(1)若函数()f x 在点()()e,e f 处的切线斜率为0，求a 的值．(2)当1a =时．设函数()()()xf x G x f x '=，求证：()y f x =与()y G x =在[]1,e 上均单调递增；例20．（2022·浙江·杭州高级中学模拟预测）已知函数()()ln ln e1,,0x af x x a x a a +=+-+>->. 当1a =时，求()f x 的单调区间题型五：含参数单调性讨论 情形一：函数为一次函数例21．（2022·江西·二模（文））己知函数()ln 1(),()e 1x f x ax x a R g x x =++∈=-． 讨论()f x 的单调性；例22．（2022·北京八十中模拟预测）已知函数()axf x=. (1)当1a =时，求函数()f x 在(1,(1))f 处的切线方程； (2)求函数()f x 的单调区间；例23．（2022·广东·模拟预测）已知函数()ln(1)(),()22f x x mx m g x x n =--∈=+-R ． 讨论函数()f x 的单调性；情形二：函数为准一次函数例24．（2022·全国·模拟预测（文））设函数()1ln a xf x x+=，其中R a ∈. 当0a ≥时，求函数()f x 的单调区间；例25．（2022·江苏·华罗庚中学三模）已知函数()()2e 3x R f x ax a =-+∈ ，()ln e x g x x x =+（e 为自然对数的底数，25e 9<）． 求函数()f x 的单调区间；例26．（2022·云南师大附中模拟预测（理））已知函数()()21ln 12f x x x ax a x =-+-，其中0a .讨论()f x 的单调性；例27．（2022·云南师大附中高三阶段练习（文））已知函数()ln f x x x ax =-. 讨论()f x 的单调性；情形三：函数为二次函数型 1.可因式分解例28．（2022·全国·模拟预测）已知函数[]21()2ln ln(1),02=-+-≠f x k x x kx k . 讨论()f x 的单调性；例29．（2022·天津·二模）已知函数221()2ln ()2f x a x x ax a R =-++∈． (1)当1a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程； (2)求函数()f x 的单调区间；例30．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（文））已知函数()()2ln 21f x x ax a x =+++讨论f （x ）的单调性；例31．（2022·浙江省江山中学模拟预测）函数2()ln 1(,0)x f x x a R a a=-+∈≠．讨论函数()y f x =的单调性；例32．（2022·广东·潮州市瓷都中学三模）已知函数()()()322316R f x x m x mx x =+++∈.讨论函数()f x 的单调性；例33．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）已知函数()()()21ln 2a f x x a x x a R =+--∈． 求函数()f x 的单调区间；例34．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测（文））已知函数()()()21212ln R 2f x ax a x x a =-++∈ (1)当1a =-时，求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； (2)当0a >时，求函数()f x 的单调递增区间.2.不可因式分解型例35．（2022·江苏徐州·模拟预测）已知函数2()4ln ,f x x x a x a =-+∈R ，函数()f x 的导函数为()'f x ． 讨论函数()f x 的单调性；例36．（2022·天津南开·三模）已知函数()()()211ln 2f x x ax ax x a R =+-+∈，记()f x 的导函数为()g x 讨论()g x 的单调性；【方法技巧与总结】1．关于含参函数单调性的讨论问题，要根据导函数的情况来作出选择，通过对新函数零点个数的讨论，从而得到原函数对应导数的正负，最终判断原函数的增减．（注意定义域的间断情况）．2．需要求二阶导的题目，往往通过二阶导的正负来判断一阶导函数的单调性，结合一阶导函数端点处的函数值或零点可判断一阶导函数正负区间段．3．利用草稿图像辅助说明． 情形四：函数为准二次函数型例37．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））设函数23ln 2()2,()2,e e x xx x f x ax ax g x ax a x =+-=++∈R ． 讨论()f x 的单调性;例38．（2022·全国·二模（理））已知函数()()2x e 2e xf x a ax =+++．讨论()f x 的单调性；例39．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（理））已知函数()e e x x f x ax -=--（e 为自然对数的底数），其中R a ∈．试讨论函数()f x 的单调性；例40．（2022·浙江·模拟预测）已知函数()()2e 2e x x f x a a x =+--.讨论()f x 的单调性；题型六：分段分析法讨论例41．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知函数()()12211ln x f x a x x x a -+=+-++-（0a >，且1a ≠）求函数()f x 的单调区间；【方法技巧与总结】1．二次型结构2ax bx c ++，当且仅当0a =时，变号函数为一次函数．此种情况是最特殊的，故应最先讨论，遵循先特殊后一般的原则，避免写到最后忘记特殊情况，导致丢解漏解．2．对于不可以因式分解的二次型结构2ax bx c ++，我们优先考虑参数取值能不能引起恒正恒负． 3．注意定义域以及根的大小关系．【过关测试】 一、单选题1．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（理））已知函数()sin 2cos f x a x x =+在ππ,34x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦上单调递增，则a 的取值范围为（ ） A ．0a ≥B ．22a -≤≤C ．2a ≥-D ．0a ≥或2a ≤-2．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（理））已知()21cos 4f x x x =+，()f x '为()f x 的导函数，则()y f x '=的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（2022·江西师大附中三模（理））下列函数中既是奇函数又是增函数的是（ ）A ．1()f x x x=-B ．122()xxf x ⎛+⎫⎪⎝⎭= C ．3()tan f x x x =+ D ．)()lnf x x =4．（2022·北京·首都师范大学附属中学三模）下列函数中，既是偶函数又在()0,2上单调递减的是（ ） A ．2x y = B ．3y x =- C ．cos 2x y =D ．2ln2xy x-=+ 5．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（文））已知函数()3ln 2f x x x =--，则不等式()()2325f x f x ->-的解集为（ ）A ．()4,2-B ．()2,2-C ．()(),22,∞∞--⋃+D ．()(),42,-∞-+∞6．（2022·江西宜春·模拟预测（文））“函数sin y ax x =-在R 上是增函数”是“0a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．（2022·江西宜春·模拟预测（文））已知函数()()1e x f x x mx =--在区间[]2,4上存在单调减区间，则实数m 的取值范围为（ ）A ．()22e ,+∞B ．(),e -∞C ．()20,2eD ．()0,e8．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知1,1a b >>,且1(1)e e (e a b b a a ++=+为自然对数),则下列结论一定正确的是（ ）A ．ln()1a b +>B ．ln()0-<a bC ．122a b +<D ．3222a b +< 二、多选题9．（2022·广东·信宜市第二中学高三开学考试）已知()ln x f x x =，下列说法正确的是（ ） A ．()f x 在1x =处的切线方程为1y x =+ B ．()f x 的单调递减区间为(),e +∞C ．()f x 的极大值为1eD ．方程()1f x =-有两个不同的解 10．（2022·全国·模拟预测）已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，其导函数为()f x '，对于任意,()0x ∈+∞，都有()ln ()0x xf x f x '+>，则使不等式1()ln 1f x x x +>成立的x 的值可以为（ ） A ．12 B ．1 C ．2 D ．311．（2022·全国·高三专题练习）下列函数在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ）A ．y ＝x ﹣（12）x B ．y ＝x +sin x C ．y ＝3﹣x D ．y ＝x 2+2x +112．（2022·广东·模拟预测）已知()2121()1e 2x f x a x -=--，若不等式11ln 1f f x x ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭在(1,)+∞上恒成立，则a 的值可以为（ ）A ．B ．1-C ．1D 三、填空题13．（2022·山西运城·模拟预测（理））若命题3:[1,1],2p x x a x ∀∈-≥-为假命题，则实数a 的取值范围是___________.14．（2022·重庆八中模拟预测）写出一个具有性质①②③的函数()f x =____________.①()f x 的定义域为()0,+∞；②()()()1212f x x f x f x =+；③当()0,x ∈+∞时，()0f x '>.15．（2022·全国·高三专题练习）如果5533cos θsin θ7(cos θsin θ),θ[0,2π]->-∈ ，则θ的取值范围是___________．16．（2022·江西萍乡·二模（文））已知函数()f x 是R 上的奇函数，且()33f x x x =+，若非零正实数,m n 满足()()20f m mn f n -+=，则11m n+的小值是_______．四、解答题17．（2022·北京工业大学附属中学三模）已知函数()ln R k f x x k k x =--∈， (1)讨论函数()f x 在区间(1,e)内的单调性；(2)若函数()f x 在区间(1,e) 内无零点，求k 的取值范围．18．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室二模（文））已知函数()21ln 2f x x a x ax =--()0a >． (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 恰有一个零点，求a 的值．19．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()(1)=--x f x k x e x ，其中k ∈R.当k 2≤时，求函数()f x 的单调区间；20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()e x f x ax -=+.讨论()f x 的单调性；21．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln e xx a f x +=.当1a =时，判断()f x 的单调性；22．（2022·全国·高三专题练习）讨论函数2(x)e 2x x f x -=+的单调性，并证明当0x >时，(2)e 20x x x -++>.。
高考数学二轮复习专题15 周期性、单调性、奇偶性、对称性的灵活运用(精讲精练)(解析版)
专题15周期性、单调性、奇偶性、对称性的灵活运用【命题规律】从近五年的高考情况来看，本节是高考的一个重点，函数的单调性、奇偶性、周期性是高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图像、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想．【核心考点目录】核心考点一：函数单调性的综合应用核心考点二：函数的奇偶性的综合应用核心考点三：已知()f x =奇函数M +核心考点四：利用轴对称解决函数问题核心考点五：利用中心对称解决函数问题核心考点六：利用周期性和对称性解决函数问题核心考点七：类周期函数核心考点八：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性核心考点九：函数性质的综合【真题回归】1．（2022·全国·统考高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑（）A ．3-B ．2-C ．0D ．1【答案】A【解析】[方法一]：赋值加性质因为()()()()f x y f x y f x f y ++-=，令1,0x y ==可得，()()()2110f f f =，所以()02f =，令0x =可得，()()()2f y f y f y +-=，即()()f y f y =-，所以函数()f x 为偶函数，令1y =得，()()()()()111f x f x f x f f x ++-==，即有()()()21f x f x f x ++=+，从而可知()()21f x f x +=--，()()14f x f x -=--，故()()24f x f x +=-，即()()6f x f x =+，所以函数()f x 的一个周期为6．因为()()()210121f f f =-=-=-，()()()321112f f f =-=--=-，()()()4221f f f =-==-，()()()5111f f f =-==，()()602f f ==，所以一个周期内的()()()1260f f f +++= ．由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑．故选：A ．[方法二]：【最优解】构造特殊函数由()()()()f x y f x y f x f y ++-=，联想到余弦函数和差化积公式()()cos cos 2cos cos x y x y x y ++-=，可设()cos f x a x ω=，则由方法一中()()02,11f f ==知2,cos 1a a ω==，解得1cos 2ω=，取3πω=，所以()2cos3f x x π=，则()()()()2cos 2cos 4cos cos 333333f x y f x y x y x y x y f x f y ππππππ⎛⎫⎛⎫++-=++-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()2cos 3f x x π=符合条件，因此()f x 的周期263T ππ==，()()02,11f f ==，且()()()()()21,32,41,51,62f f f f f =-=-=-==，所以(1)(2)(3)(4)(5)(6)0f f f f f f +++++=，由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑．故选：A ．【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +-=--=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则()221k f k ==∑（）A ．21-B ．22-C ．23-D ．24-【答案】D【解析】因为()y g x =的图像关于直线2x =对称，所以()()22g x g x -=+，因为()(4)7g x f x --=，所以(2)(2)7g x f x +--=，即(2)7(2)g x f x +=+-，因为()(2)5f x g x +-=，所以()(2)5f x g x ++=，代入得[]()7(2)5f x f x ++-=，即()(2)2f x f x +-=-，所以()()()()35212510f f f +++=-⨯=- ，()()()()46222510f f f +++=-⨯=- ．因为()(2)5f x g x +-=，所以(0)(2)5f g +=，即()01f =，所以()(2)203f f =--=-．因为()(4)7g x f x --=，所以(4)()7g x f x +-=，又因为()(2)5f x g x +-=，联立得，()()2412g x g x -++=，所以()y g x =的图像关于点()3,6中心对称，因为函数()g x 的定义域为R ，所以()36g =因为()(2)5f x g x ++=，所以()()1531f g =-=-．所以()()()()()()()()221123521462213101024()k f f f f f f f f f k =+++++++++=----=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=∑ ．故选：D3．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则（）A ．(0)0f =B ．102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．(1)(4)f f -=D ．(1)(2)g g -=【答案】BC【解析】[方法一]：对称性和周期性的关系研究对于()f x ，因为322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为偶函数，所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①，所以()()3f x f x -=，所以()f x 关于32x =对称，则(1)(4)f f -=，故C 正确；对于()g x ，因为(2)g x +为偶函数，(2)(2)g x g x +=-，(4)()g x g x -=，所以()g x 关于2x =对称，由①求导，和()()g x f x '=，得333333222222f x f x f x f x g x g x ''⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫''-=+⇔--=+⇔--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，所以()()30g x g x -+=，所以()g x 关于3(,0)2对称，因为其定义域为R ，所以302g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合()g x 关于2x =对称，从而周期34222T ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，所以13022g g ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎝⎭⎝⎭，()()()112g g g -==-，故B 正确，D 错误；若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误．故选：BC ．[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法．由方法一知()g x 周期为2，关于2x =对称，故可设()()cos πg x x =，则()()1sin ππf x x c =+，显然A ，D 错误，选BC ．故选：BC ．[方法三]：因为322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(2)(2)g x g x +=-，所以()()3f x f x -=，(4)()g x g x -=，则(1)(4)f f -=，故C 正确；函数()f x ，()g x 的图象分别关于直线3,22x x ==对称，又()()g x f x '=，且函数()f x 可导，所以()()30,32g g x g x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以()(4)()3g x g x g x -==--，所以()(2)(1)g x g x g x +=-+=，所以13022g g ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()112g g g -==-，故B 正确，D 错误；若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误．故选：BC ．【整体点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．4．（2022·全国·统考高考真题）若()1ln 1f x a b x++-=是奇函数，则=a _____，b =______．【答案】12-；ln 2．【解析】[方法一]：奇函数定义域的对称性若0a =，则()f x 的定义域为{|1}x x ≠，不关于原点对称a ∴≠若奇函数的1()||1f x ln a b x =++-有意义，则1x ≠且101a x+≠-1x ∴≠且11x a≠+，函数()f x 为奇函数，定义域关于原点对称，111a ∴+=-，解得12a =-，由(0)0f =得，102ln b +=，2b ln ∴=，故答案为：12-；2ln ．[方法二]：函数的奇偶性求参111()111a ax ax a f x ln a b ln b ln b x x x-+--=++=+=+---1()1ax a f x lnb x++-=++ 函数()f x 为奇函数11()()2011ax a ax a f x f x lnln b x x--++∴+-=++=-+2222(1)201a x a lnb x -+∴+=-22(1)1210112a a a a +∴=⇒+=⇒=-1222241,22b ln b ln a b ln ln-==-⇒=∴=-=[方法三]：因为函数()1ln 1f x a b x++-=为奇函数，所以其定义域关于原点对称．由101a x+≠-可得，()()110x a ax -+-≠，所以11a x a +==-，解得：12a =-，即函数的定义域为()()(),11,11,-∞-⋃-⋃+∞，再由()00f =可得，ln 2b =．即()111ln ln 2ln 211xf x x x+=-++=--，在定义域内满足()()f x f x -=-，符合题意．故答案为：12-；ln 2．【方法技巧与总结】1、单调性技巧（1）证明函数单调性的步骤①取值：设1x ，2x 是()f x 定义域内一个区间上的任意两个量，且12x x <；②变形：作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；③定号：判断差的正负或商与1的大小关系；④得出结论．（2）函数单调性的判断方法①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．（3）记住几条常用的结论：①若()f x是增函数，则()f x-为减函数；若()f x是减函数，则()f x-为增函数；②若()f x和()g x均为增（或减）函数，则在()f x和()g x的公共定义域上()()f xg x+为增（或减）函数；③若()0f x>且()f x为增函数，则函数为增函数，1()f x为减函数；④若()0f x>且()f x为减函数，则函数为减函数，1()f x为增函数．2、奇偶性技巧（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称．（2）奇偶函数的图象特征．函数()f x是偶函数⇔函数(f x的图象关于y轴对称；函数()f x是奇函数⇔函数()f x的图象关于原点中心对称．（3）若奇函数()y f x=在0x=处有意义，则有(0)0f=；偶函数()y f x=必满足()(||)f x f x=．（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同．（5）若函数()f x的定义域关于原点对称，则函数()f x能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记1()[()()]2g x f x f x=+-，1()[()()]2h x f x f x=--，则()()()f xg xh x=+．（6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如()(),()(),()(),()()f xg x f x g x f x g x f x g x+-⨯÷．对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇()⨯÷奇=偶；奇()⨯÷偶=奇；偶()⨯÷偶=偶．（7）复合函数[()]y f g x=的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇．（8）常见奇偶性函数模型奇函数：①函数1()()01x x a f x m x a +=≠-()或函数1()()1x x a f x m a -=+．②函数()()x x f x a a -=±-．③函数2()log log (1aa x m m f x x m x m +==+--或函数2()log log (1)a a x m m f x x m x m-==-++④函数()log )a f x x =+或函数()log )a f x x =．注意：关于①式，可以写成函数2()(0)1x m f x m x a =+≠-或函数2()()1x mf x m m R a =-∈+．偶函数：①函数()()x x f x a a -=±+．②函数()log (1)2mx a mxf x a =+-．③函数(||)f x 类型的一切函数．④常数函数3、周期性技巧4、函数的的对称性与周期性的关系（1）若函数()y f x =有两条对称轴x a =，()x b a b =<，则函数()f x 是周期函数，且2()T b a =-；（2）若函数()y f x =的图象有两个对称中心(,),(,)()a c b c a b <，则函数()y f x =是周期函数，且2()T b a =-；（3）若函数()y f x =有一条对称轴x a =和一个对称中心(,0)()b a b <，则函数()y f x =是周期函数，且4()T b a =-．5、对称性技巧（1）若函数()y f x =关于直线x a =对称，则()()f a x f a x +=-．（2）若函数()y f x =关于点()a b ，对称，则()()2f a x f a x b ++-=．（3）函数()y f a x =+与()y f a x =-关于y 轴对称，函数()y f a x =+与()y f a x =--关于原点对称．【核心考点】核心考点一：函数单调性的综合应用【典型例题】例1．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知函数()224,1,1,1x ax x f x x x⎧-++⎪=⎨>⎪⎩ 是1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上的减函数，则a 的取值范围是（）A ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．(],1-∞-C ．11,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭D ．(),1-∞-【答案】A【解析】显然当1x >时，()1f x x=为单调减函数，()()11f x f <=当1x时，()224f x x ax =-++，则对称轴为()221ax a =-=⨯-，()123f a =+若()f x 是1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上减函数，则12231a a ⎧≤-⎪⎨⎪+≥⎩解得11,2a ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，故选：A ．例2．（2023·全国·高三专题练习）设函数()()11sin 1e e 4x xf x x x --=-+--+，则满足()()326f x f x +-<的x 的取值范围是（）A ．()3,+∞B ．()1,+∞C ．(),3-∞D ．(),1-∞【答案】B【解析】假设()sin e e ,R x xg x x x x -=+--∈，所以()()sin e e x xg x x x --=-+-+，所以()()0g x g x +-=，所以()g x 为奇函数，而()()()11sin 1e e 13x xf x x x --=-+---+是()g x 向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度，所以()f x 的对称中心为()1,3，所以()()62f x f x =+-，由()()11sin 1e e 4x xf x x x --=-+--+求导得()()()11111cos 1e e 1e +cos 11e x x x xf x x x ----'=-++-=+--因为111e 2e x x --+≥=，当且仅当111ee x x --=即1x =，取等号，所以()0,f x '≥所以()f x 在R 上单调递增，因为()()()()3262f x f x f x f x +-<=+-得()()322f x f x -<-所以322x x -<-，解得1x >，故选：B例3．（2023·全国·高三专题练习）已知02,1,1b a b a b <<<≠≠，且满足log b a a b =，则下列正确的是（）A ．1ab >B ．1(1)b a a b +<+C ．11a b a b a a b b ++->-D ．52+>a b 【答案】B【解析】由log b a a b =，可得1log log log b a b a b a==，所以log 1b a =，或log 1b a =-，∴b a =（舍去），或1b a=，即1ab =，故A 错误；又02b a b <<<，故120a a a<<<，∴1a <<，对于函数(11y x x x=+<<，则2221110x y x x-'=-=>，函数(11y x x x =+<<单调递增，∴1a b a a ⎛+=+∈ ⎝⎭，故D 错误；∵02b a b <<<，11a b<=<∴1212a b b <<<+<，令()()ln 12x g x x x=<<，则()21ln 0xg x x -'=>，∴函数()()ln 12xg x x x=<<单调递增，∴()ln 1ln 1b a a b +<+，即()()1ln ln 1b a a b +<+，∴()1ln ln 1ab a b +<+，即1(1)b a a b +<+，故B 正确；∵011b a b <<<<+，∴函数,x x y a y b ==-单调递增，故函数x x y a b =-单调递增，∴11a a b b a b a b ++-<-，即11a b a b a a b b ++-<-，故C 错误．故选：B ．核心考点二：函数的奇偶性的综合应用【典型例题】例4．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x 在(],3-∞上单调递增，且()3f x +为偶函数，则不等式()()12f x f x +>的解集为（）A ．51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()5,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．(),1-∞D ．()1,+∞【答案】B【解析】∵()3f x +为偶函数，∴()()33f x f x -+=+，即函数()f x 关于3x =对称，又函数()f x 在(],3-∞上单调递增，∴函数()f x 在[)3,+∞上单调递减，由()()12f x f x +>，可得1323x x +-<-，整理得，23850x x -+>，解得1x <或53x >．故选：B ．例5．（2023·全国·高三专题练习）设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()2f x x =，不等式()()24f x f x ≥的解集为（）A ．(][),04,-∞+∞UB ．[]0,4C ．(][),02,-∞⋃+∞D ．[]0,2【答案】C【解析】根据题意，当0x ≥时，()2f x x =，所以()f x 在[0,)+∞上为增函数，因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x 在R 上为增函数，因为20x ≥，所以24()f x x =，24124xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以221()42x f x f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以不等式()()24f x f x ≥可化为2()2x f f x ⎛⎫≥⎪⎝⎭，所以22x x ≥，解得0x ≤或2x ≥，所以不等式()()24f x f x ≥的解集为(][),02,-∞⋃+∞，故选：C例6．（2023·全国·高三专题练习）已知偶函数()f x 的定义域为R ，且当0x ≥时，()11x f x x -=+，则使不等式()2122f a a -<成立的实数a 的取值范围是（）A ．()1,3-B ．()3,3-C ．()1,1-D ．(),3-∞【答案】A【解析】当0x ≥时，()()12121111x x f x x x x +--===-+++，所以()f x 在[)0,∞+上单调递增，且()132f =，不等式()2122f a a -<即为()()223f a a f -<．又因为()f x 是偶函数，所以不等式()()223f a a f -<等价于()()223f a a f -<，则223a a -<，所以，222323a a a a ⎧-<⎨->-⎩，解得13a -<<．综上可知，实数a 的取值范围为()1,3-，故选：A ．例7．（2023·全国·高三专题练习）定义在R 上的奇函数()f x 在(,0]-∞上单调递增，且(2)2f -=-，则不等式1(lg )lg 4f x f x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭的解集为（）A ．10,100⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,100⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(0,100)D ．(100,)+∞【答案】D【解析】因为函数()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，又(2)2f -=-，(2)2f =，所以不等式1(lg )lg 4f x f x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，可化为()2(lg )422f x f >=，即()(lg )2f x f >，又因为()f x 在(,0]-∞上单调递增，所以()f x 在R 上单调递增，所以lg 2x >，解得100x >．故选：D ．例8．（2023春·广西·高三期末）()f x 是定义在R 上的函数，1122f x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭为奇函数，则()()20232022f f +-=（）A ．－1B ．12-C ．12D ．1【答案】A【解析】()f x 是定义在R 上的函数，1122f x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭为奇函数，则1111111222222f x fx f x f x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++=-++⇒-+++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．∴()()40451404512023202212222f f f f ⎛⎫⎛⎫+-=++-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：A例9．（2023春·甘肃兰州·高三兰化一中校考阶段练习）若函数f （x ）=e e sin x x x x --+-，则满足()()22ln 102x f a x f ⎛⎫-++≥⎪⎝⎭恒成立的实数a 的取值范围为（）A ．12ln 2,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．1(ln 2,)4-+∞C ．[7,)4+∞D ．[3,)2+∞【答案】A【解析】因为()e e sin ()x x f x x x f x ---=-+=-，所以()f x 是R 上的奇函数，由()e +e cos 1x x f x x -'=+-cos 11cos 0x x ≥-=+≥，所以()f x 是R 上的增函数，所以2(2ln(1))02x f a x f ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭等价于：22(2ln(1))22x x f a x f f ⎛⎫⎛⎫-+≥-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即22ln(1)2x a x -+≥-，所以22ln(1)2x a x ≥-++，令2()2ln(1)2x g x x =-++，则问题转化为：max ()a g x ≥，因为()()g x g x -=且定义域为R ，所以()g x =22ln(1)2xx -++是R 上的偶函数，所以只需求()g x 在()0,∞+上的最大值即可．当[)0,x ∈+∞时，2()2ln(1)2x g x x =-++，()()22122()111x x x x g x x x x x +---+'=-+==-+++，则当()0,1x ∈时，()0g x '>；当()1,x ∈+∞时，()0g x '<；所以()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，可得：max 1()(1)2ln 22g x g ==-，即12ln 22a ≥-，故选：A ．核心考点三：已知()f x =奇函数+M 【典型例题】例10．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知()34f x ax =+（a ，b 为实数），()3lg log 102022f =，则()lg lg3f =______．【答案】-2014【解析】()()3lg log 10lg lg32022f f =-=，因为()()34g x f x ax =-=+所以()()lg lg3lg lg3g g -=-，其中()()lg lg3lg lg342018g f -=--=，所以()()lg lg34lg lg32018g f -=-=，解得：()lg lg32014f =-故答案为：-2014例11．（2022·河南·西平县高级中学模拟预测（理））已知函数()2sin 414x xf x x -=++，且()5f a =，则()f a -=（）A ．2B ．3C ．－2D ．－3【答案】D 【解析】设()2sin 44x x g x x -=+，因为()()()()()22sin 4sin 444x x x x g x g x x x -----==-=-+-+，所以()g x 为奇函数，因为()()14g a f a =-=，所以()()14g a f a -=--=-，则()3f a -=-．故选：D ．例12．（2022·福建省福州第一中学高二期末）若对,x y R ∀∈，有()()()4f x y f x f y +=+-，函数2sin ()()cos 1xg x f x x =++在区间[2021,2021]-上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为（）A ．4B ．8C ．12D ．16【答案】B 【解析】由题设，()(0)()()4f x x f f x f x -==+--且(0)()()(0)4f x f x f x f +==+-，∴(0)4f =，则()()8f x f x +-=，∴()()4m x f x =-为奇函数，令2sin ()cos 1()()4xm h x g x x x =-++=，∴2sin()2sin ()()()()cos()1cos 1x xh x m x m x h x x x --=+-=--=--++，即()h x 是奇函数，∴()h x 在[2021,2021]-上的最小、最大值的和为0，即max min ()4()40g x g x -+-=，∴max min ()()8g x g x +=．故选：B核心考点四：利用轴对称解决函数问题【典型例题】例13．（2022·全国·高三专题练习）若1x 满足25x x =-，2x 满足2log 5x x +=，则12x x +等于（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】由题意1152xx -=，故有2225log x x -=故1x 和2x 是直线5y x =-和曲线2x y =、曲线2log y x =交点的横坐标．根据函数2x y =和函数2log y x =互为反函数，它们的图象关于直线y x =对称，故曲线2x y =和曲线2log y x =的图象交点关于直线y x =对称．即点（x 1，5﹣x 1）和点（x 2，5﹣x 2）构成的线段的中点在直线y =x 上，即12125522x x x x +-+-=，求得x 1+x 2=5，故选：D ．例14．（2021春·高一单元测试）设函数()21228log (1)31f x x x =+++，则不等式212(log )(log )2f x f x +≥的解集为（）A ．（0，2]B ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[2，＋∞）D ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦∪[2，＋∞）【答案】B【解析】由题意，函数()21228log (1)31f x x x =+++的定义域为R ，且()()2211222288log [()1]log (1)3()131f x x x f x x x -=-++=++=-++，所以函数()f x 为R 的偶函数，且在[0,)+∞上为单调递减函数，令2log t x =，可得12log x t =-，则不等式212(log )(log )2f x f x +≥可化为()()2f t f t +-≥，即()22f t ≥，即()1f t ≥，又因为()1281log 2131f =+=+，且()f x 在[0,)+∞上单调递减，在R 为偶函数，所以11t -≤≤，即21log 1x -≤≤，解得122x ≤≤，所以不等式的解集为1[,2]2．故选：B ．例15．（2021春·西藏拉萨·高三校考阶段练习）已知函数()()11332cos 1x x x f x --+=+--，则()()0.52310.5log 9log 2f f f -⎛⎫ ⎪⎝⎭、、的大小关系（）A ．()()0.5231log 9log 0.52f f f -⎛⎫>> ⎪⎝⎭B ．0.5321(log )(0.5)(log 9)2f f f ->>C ．0.5321(0.5)(log (log 9)2f f f ->>D ．0.5231(log 9)(0.5)(log 2f f f ->>【答案】A【解析】令()(1)332cos x x g x f x x -=+=+-，()()g x g x -=，所以()g x 是偶函数；()ln 3(33)2sin x x g x x -'=-+，当(0,)x π∈时，()0g x '>，()g x 在(0,)π上是增函数，将()g x 图像向右平移一个单位得到()f x 图像，所以()f x 关于直线1x =对称，且在(1,1)π+单调递增．∵23log 94<<，0.50.5-=()3312log 2log 22,32-=+∈，∴0.52314log 92log 0.512->>->>，∴()()0.5231log 92log 0.52f f f -⎛⎫>-> ⎪⎝⎭，又∵()f x 关于直线1x =对称，∴3311log 2log 22f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()()0.5231log 9log 0.52f f f -⎛⎫>> ⎪⎝⎭．故选：A核心考点五：利用中心对称解决函数问题【典型例题】例16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 是R 上的偶函数，且()f x 的图象关于点()1,0对称，当[]0,1x ∈时，()22x f x =-，则()()()()0122022f f f f +++⋅⋅⋅+的值为（）A ．2-B ．1-C ．0D ．1【答案】C【解析】()f x 图象关于点()1,0对称，()()2f x f x ∴=--，又()f x 为R 上的偶函数，()()f x f x ∴=-，()()()22f x f x f x ∴=--=--，()()()()42f x f x f x f x ∴+=-+=--=⎡⎤⎣⎦，()f x \是周期为4的周期函数，()()()311220f f f ∴=-==-=，又()01f =，()()201f f =-=-，()()()()()()()()()012202250501232020f f f f f f f f f ∴+++⋅⋅⋅+=+++++⎡⎤⎣⎦()()()()()()2021202250510100121010f f f f f +=⨯+-++++=+-=．故选：C ．例17．（2021春·安徽六安·高三校考阶段练习）已知函数()()()33sin cos tan 1221sin 2sin x x x f x x xππππ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=++-+，函数()1y g x =-为奇函数，若函数()y f x =与()y g x =图象共有6个交点为()11,x y 、()22,x y 、L 、()66,x y ，则()61i i i x y =+=∑（）A ．0B ．6C ．12D ．24【答案】B【解析】因为()()()cos sin tan 111sin 1sin sin sin x x x f x x xx x-⋅-=++=++，函数()f x 的定义域为,Z 2k x x k π⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭，()()()11sin 1sin 1sin sin f x x x x x-=-++=--+-，所以，()()2f x f x +-=，故函数()f x 的图象关于点()0,1对称，因为函数()1y g x =-为奇函数，则()()110g x g x --+-=，即()()2g x g x +-=，故函数()g x 的图象也关于点()0,1对称，函数()y f x =与()y g x =图象共有6个交点为()11,x y 、()22,x y 、L 、()66,x y ，且这六个点也关于点()0,1对称，所以，()610236i i i x y =+=+⨯=∑．故选：B ．例18．（2021春·贵州黔东南·高一凯里一中校考期中）已知函数()1f x -是奇函数，若函数11y x=+与()y f x =图象的交点分别为()11,x y ，()22,x y ，…，()66,x y ，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为（）A ．12B ．10C ．8D ．6【答案】D【解析】由题可得()f x 关于点(0,1)对称，11y x=+的图象也关于点(0,1)对称，即若点()11,x y 为交点，则点()11,2x y --也为交点，同理若()22,x y 为交点，则点()22,2x y --也为交点，……则交点的所有横坐标和纵坐标之和为()()()112266x y x y x y ++++⋅⋅⋅++=()()()111122122x y x y x y ⎡++-+-++⎣()()()226666226x y x y x y ⎤+-+-+⋯+++-+-=⎦，故选：D ．例19．（2022春·湖北恩施·高一恩施市第一中学校考阶段练习）已知定义在R 上的奇函数()f x 的图象与x 轴交点的横坐标分别为1x ，2x ，3x ，L ，2023x ，且122023x x x m +++= ，则不等式23(2)1x m x m -+-≤的解集为（）A ．1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]0,3C ．(),0∞-D ．∅【答案】A【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则()00f =，且函数()f x 的图象与x 轴交点关于原点对称，不妨设1232023x x x x <<<< ，则()202401,2,32023i i x x i -+== ，所以1220230m x x x =+++= ，则不等式23(2)1x m x m -+-≤，即为23210x x --≤，解得113x -≤≤，所以不等式23(2)1x m x m -+-≤的解集为1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．故选：A ．例20．（2021春·四川绵阳·高一四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知函数())()3sin lnf x x x x x R =++∈，函数()g x 满足()()()20g x g x x R +-=∈，若函数()()()1h x f x g x =--恰有2021个零点，则所有这些零点之和为（）A ．2018B ．2019C ．2020D ．2021【答案】D【解析】函数()g x 满足()(2)0g x g x +-=，则函数()g x 的图象关于点(1,0)对称，且g （1）0=，函数())3sin lnf x x x x =+++，则))33()()sin()lnsin ln ()f x x x x x x x f x ⎡⎤-=-+-+=-+=-⎢⎥⎣⎦，所以函数()f x 为奇函数，其图象关于点(0,0)对称，又函数(1)=-y f x 是由函数()y f x =向右平移一个单位得到的函数，故函数(1)=-y f x 的图象关于点(1,0)对称，令()(1)()0h x f x g x =--=，则(1)()f x g x -=，因为函数()g x 与(1)f x -的图象都关于点(1,0)对称，所以两个函数图象的交点也关于点(1,0)对称，因为函数()(1)()h x f x g x =--恰有2021个零点，所以2021个零点除1x =之外的个零点关于(1,0)对称，则所有这些零点之和为20202120212⨯+=．故选：D ．核心考点六：利用周期性和对称性解决函数问题【典型例题】例21．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为R ，()22f x +为偶函数，()1f x +为奇函数，且当[]0,1x ∈时，()f x ax b =+．若()41f =，则3112i f i =⎛⎫+= ⎪⎝⎭∑（）A ．12B ．0C ．12-D ．1-【答案】C【解析】因为()22f x +为偶函数，所以()()2222f x f x -+=+，用1122x +代替x 得：()()13f x f x -+=+，因为()1f x +为奇函数，所以()()11f x f x -+=-+，故()()31f x f x +=-+①，用2x +代替x 得：()()53f x f x +=-+②，由①②得：()()51f x f x +=+，所以函数()f x 的周期4T =，所以()()401f f ==，即1b =，因为()()11f x f x -+=-+，令0x =得：()()11f f =-，故()10f =，()10f a b =+=，解得：1a =-，所以[]0,1x ∈时，()1f x x =-+，因为()()11f x f x -+=-+，令12x =，得2123f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中1111222f ⎛⎫=-+=⎪⎝⎭，所以3122f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为()()2222f x f x -+=+，令14x =得：12214422f f ⎛⎫⎛⎫-⨯+=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即235212f f ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为4T =，所以7714222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为()()11f x f x -+=-+，令32x =得：151222f f ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2721f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，311111122235722222i f i f f f =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=--+=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑．故选：C例22．（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x -为偶函数，()()20f x f x -+-=，当[]2,1x ∈--时，()14xf x ax a =--（0a >且1a ≠），且()24f -=．则()131k f k ==∑（）A ．16B ．20C ．24D ．28【答案】C【解析】因为()2f x -是偶函数，所以()2(2)f x f x --=-，所以()(4)f x f x =--，所以函数()f x 关于直线2x =-对称，又因为()()20f x f x -+-=，所以()()2f x f x --=-，所以()(2)f x f x =---，所以()f x 关于点(1,0)-中心对称，由()(4)f x f x =--及()(2)f x f x =---得(4)(2)f x f x --=---所以(4)(2)()f x f x f x --=---=-所以函数()f x 的周期为4，因为当[]2,1x ∈--时，()14x f x ax a=--（0a >且1a ≠），且()24f -=，所以21424a a -=+-，解得：2a =或4a =-，因为0a >且1a ≠，所以2a =．所以当[]2,1x ∈--时，()1()242xf x x =--，所以(2)4,(1)0f f -=-=，(3)(1)0f f -=-=，(0)(2)4f f =--=-，(1)(14)(3)0f f f =-=-=，(2)(2)4f f =-=，(3)(1)0f f =-=，(4)(0)4f f ==-，所以(1)(2)(3)(4)8f f f f +++=，所以()131(1)+3824k f k f ==⨯=∑，故选：C ．例23．（2023·山东济宁·高三嘉祥县第一中学校考阶段练习）已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x -=+，且当01x ≤≤时，()21f x x =-．若直线y x a =+与曲线()y f x =恰有三个公共点，那么实数a 的取值的集合为（）A ．51,4k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭（Z k ∈）B ．521,24k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭（Z k ∈）C ．52,214k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭（Z k ∈）D ．5,14k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭（Z k ∈）【答案】B【解析】定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x -=+，所以()f x 的图像关于1x =对称，且()f x 为周期是2的偶函数，当11x -≤≤时，()21f x x =-，所以画出函数图像如下图所示：①当1a =±时，结合图像可知y x a =+与()21f x x =-（[)1,1x ∈-）有两个公共点；②当y x a =+与()21f x x =-（[)1,1x ∈-）相切时，满足21x a x +=-，即210x x a ++-=，令()1410a ∆=--=，解得54a =．当54a =时，结合图像可知y x a =+与()y f x =（x R ∈）有两个公共点；由图像可知，51,4a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，直线y x a =+与()y f x =（x R ∈）有三个公共点；又因为()f x 周期2T =，可知521,24a k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭（Z k ∈）．故选：B ．例24．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=，且当[)1,1x ∈-时，()2f x x =，若函数()log 1a g x x =+图象与()f x 的图象恰有10个不同的公共点，则实数a 的取值范围为（）A ．()4,+∞B ．()6,+∞C ．()1,4D ．()4,6【答案】D【解析】因为函数()f x 满足()()2f x f x +=，所以函数()f x 是周期为2的周期函数，又函数()log 1a g x x =+的图象可由函数log a y x =的图象向左平移一个单位可得，所以函数()log 1a g x x =+的图象的对称轴为=1x -，当[)1,1x ∈-时，()2f x x =，所以函数()f x 的图象也关于=1x -对称，在平面直角坐标系中作出函数()y f x =与()y g x =在=1x -右侧的图象，数形结合可得，若函数()log 1a g x x =+图象与()f x 的图象恰有10个不同的公共点，则由函数图象的对称性可得两图象在=1x -右侧有5个交点，则()()13log 415log 61a a a g g ⎧>⎪=<⎨⎪=>⎩，解得()4,6a ∈．故选：D ．例25．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，x ∀∈R ，恒有(4)()f x f x +=-，且当[2,0)x ∈-时，()f x x =--1，则(0)(1)(2)(2020)(2021)f f f f f +++++= （）A ．1B ．-1C ．0D ．2【答案】B【解析】因为(4)(),(8)(4)()f x f x f x f x f x +=-+=-+=，所以()f x 的最小正周期是8，因为(0)0,(2)(2)1,(3)(1)0f f f f f ==--=-=--=，(4)(0)0,(1)(3)f f f f =-==--=(3)0f =，(5)(1)0f f =-=，(6)(2)1f f =-=，(7)(3)0,(8)(4)0f f f f =-==-=，又()f x 是周期为8的周期函数，所以(0)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)f f f f f f f f +++++++==(2008)(2009)(2010)(2011)(2012)(2013)(2014)(2015)0f f f f f f f f +++++++=，(2016)(2017)(2018)(2019)(2020)(2021)(0)(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f f f f f f f f +++++=+++++00(1)0001=++-+++=-，所以(0)(1)(2)(2020)(2021)1f f f f f +++++=- ．故选：B例26．（2023·山东济宁·高三嘉祥县第一中学校考阶段练习）已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x -=+，且当01x ≤≤时，()21f x x =-．若直线y x a =+与曲线()y f x =恰有三个公共点，那么实数a 的取值的集合为（）A ．51,4k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭（Z k ∈）B ．521,24k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭（Z k ∈）C ．52,214k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭（Z k ∈）D ．5,14k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭（Z k ∈）【答案】B【解析】定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x -=+，所以()f x 的图像关于1x =对称，且()f x 为周期是2的偶函数，当11x -≤≤时，()21f x x =-，所以画出函数图像如下图所示：①当1a =±时，结合图像可知y x a =+与()21f x x =-（[)1,1x ∈-）有两个公共点；②当y x a =+与()21f x x =-（[)1,1x ∈-）相切时，满足21x a x +=-，即210x x a ++-=，令()1410a ∆=--=，解得54a =当54a =时，结合图像可知y x a =+与()y f x =（x R ∈）有两个公共点；由图像可知，51,4a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，直线y x a =+与()y f x =（x R ∈）有三个公共点；又因为()f x 周期2T =，可知521,24a k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭（Z k ∈）．故选：B ．例27．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=，且当[)1,1x ∈-时，()2f x x =，若函数()log 1a g x x =+图象与()f x 的图象恰有10个不同的公共点，则实数a 的取值范围为（）A ．()4,+∞B ．()6,+∞C ．()1,4D ．()4,6【答案】D【解析】因为函数()f x 满足()()2f x f x +=，所以函数()f x 是周期为2的周期函数，又函数()log 1a g x x =+的图象可由函数log a y x =的图象向左平移一个单位可得，所以函数()log 1a g x x =+的图象的对称轴为=1x -，当[)1,1x ∈-时，()2f x x =，所以函数()f x 的图象也关于=1x -对称，在平面直角坐标系中作出函数()y f x =与()y g x =在=1x -右侧的图象，数形结合可得，若函数()log 1a g x x =+图象与()f x 的图象恰有10个不同的公共点，则由函数图象的对称性可得两图象在=1x -右侧有5个交点，则()()13log 415log 61a a a g g ⎧>⎪=<⎨⎪=>⎩，解得()4,6a ∈．故选：D ．例28．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，x ∀∈R ，恒有(4)()f x f x +=-，且当[2,0)x ∈-时，()f x x =--1，则(0)(1)(2)(2020)(2021)f f f f f +++++= （）A ．1B ．-1C ．0D ．2【答案】B【解析】因为(4)(),(8)(4)()f x f x f x f x f x +=-+=-+=，所以()f x 的最小正周期是8，因为(0)0,(2)(2)1,(3)(1)0f f f f f ==--=-=--=，(4)(0)0,(1)(3)f f f f =-==--=(3)0f =，(5)(1)0f f =-=，(6)(2)1f f =-=，(7)(3)0,(8)(4)0f f f f =-==-=，又()f x 是周期为8的周期函数，所以(0)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)f f f f f f f f +++++++==(2008)(2009)(2010)(2011)(2012)(2013)(2014)(2015)0f f f f f f f f +++++++=，(2016)(2017)(2018)(2019)(2020)(2021)(0)(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f f f f f f f f +++++=+++++00(1)0001=++-+++=-，所以(0)(1)(2)(2020)(2021)1f f f f f +++++=- ．故选：B核心考点七：类周期函数【典型例题】例29．（2022·天津一中高三月考）定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[]0,2x 时，()[)[)232,0,11,1,22x x x x f x x -⎧-∈⎪⎪=⎨⎛⎫-∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩，若当[)4,2x ∈--时，不等式()2142m f x m ≥-+恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．[]2,3B ．[]1,3C ．[]1,4D ．[]2,4【答案】B 【解析】因为当[)4,2x ∈--时，不等式()2142m f x m ≥-+恒成立，所以()2min 142m f x m ≥-+，当[)[)4,2,40,2x x ∈--+∈时，()()()112424f x f x f x =+=+()()[)[)2342144,40,1411,41,242x x x x x +-⎧⎡⎤+-++∈⎪⎣⎦⎪=⎨⎛⎫⎪-+∈ ⎪⎪⎝⎭⎩当[)40,1x +∈时，()()()211114444416f x x x ⎡⎤=+-+≥-⨯=-⎣⎦，当[)41,2x +∈时，()342111424x f x +-⎛⎫=-≥-⎪⎝⎭，因此当[)4,2x ∈--时，()2min 1113442m f x m m =-≥-+∴≤≤，选B ．例30．（2022·浙江·杭州高级中学高三期中）定义域为R 的函数()f x 满足(2)3()f x f x +=，当[0,2]x ∈时，2()2f x x x =-，若[4,2]x ∈--时，13()()18≥-f x t t恒成立，则实数t 的取值范围是（）A ．(](],10,3-∞- B．((,-∞ C ．[)[)1,03,-+∞ D．))⎡+∞⎣ 【答案】C 【解析】因为[]4,2x ∈--，所以[]40,2x +∈，因为[]0,2x ∈时，()22f x x x =-，所以()()()22442468f x x x x x +=+-+=++，因为函数()f x 满足()() 23f x f x +=，所以()()()4329f x f x f x +=+=，所以()()()21146899f x f x x x =+=++，[]4,2x ∈--，又因为[]4,2x ∈--，()13t 18f x t ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭恒成立，故()131t 189minf x t ⎛⎫-≤=- ⎪⎝⎭，解不等式可得t 3≥或1t 0-≤<．例31．（2022山西省榆林市高三二模理科数学试卷）定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[)0,2x ∈时，()[)[)2213,0,1{ln ,1,2x x x f x x x x -+∈=∈，若当[)4,2x ∈--时，函数()22f x t t ≥+恒成立，则实数t 的取值范围为A ．30t -≤≤B ．31t -≤≤C ．20t -≤≤D ．01t ≤≤【答案】C 【解析】当[)0,2x ∈时，()min 0f x =，又()()22f x f x +=，因此当[)4,2x ∈--时，函数()min 0f x =，从而20220t t t ≥+⇒-≤≤，选C ．核心考点八：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性【典型例题】例32．（2023·广东·高三统考学业考试）已知函数()f x 对任意,R x y ∈，都有()()()f x y f x f y +=+成立．有以下结论：①()00f =；②()f x 是R 上的偶函数；③若()22f =，则()11f =；④当0x >时，恒有()0f x <，则函数()f x 在R 上单调递增．则上述所有正确结论的编号是________【答案】①③【解析】对于①令0x y ==，则()()()0000f f f +=+，解得()00f =，①正确；对于②令y x =-，则()()()00f f x f x =+-=，∴()()f x f x -=-，∴()f x 是R 上的奇函数，②错误；对于③令1x y ==，则()()()()211212f f f f =+==，∴()11f =，③正确；对于④设12x x >，则120x x ->，∴()()()12120f x x f x f x -=+-<，则()()()122f x f x f x <--=，∴()f x 在R 上单调递减，④错误．故答案为：①③．例33．（2022·山东聊城·二模）已知()f x 为R 上的奇函数，()22f =，若对1x ∀，()20,x ∈+∞，当12x x >时，都有()()()1212210f x f x x x x x ⎡⎤--<⎢⎥⎣⎦，则不等式()()114x f x ++>的解集为（）A ．()3,1-B ．()()3,11,1---C ．()(),11,1-∞--D ．()(),31,-∞-⋃+∞【答案】B 【解析】由()()121221()[0f x f x x x x x --<，得()()11221212()[0x f x x f x x x x x --<，因为121200x x x x ->>，，所以()()11220x f x x f x -<，即()()1122x f x x f x <，设()()g x xf x =，则()g x 在()0,∞+上单调递减，而()()()()()1114222g x x f x f g +=++>==，则012x <+<，解得：11x -<；因为()f x 为R 上的奇函数，所以()()()()g x xf x xf x g x -=--==，则()g x 为R 上的偶函数，故()g x 在(,0)-∞上单调递增，()()()()11142g x x f x g +=++>=-，则210x -<+<，解得：31x -<<-；综上，原不等式的解集为(),111)3(,--- ．故选：B ．例34．（2022·全国·模拟预测（理））已知定义在R 上的奇函数()f x 的图象关于直线1x =对称，且()y f x =在[]0,1上单调递增，若()3a f =-，12b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2c f =，则a ，b ，c的大小关系为（）A ．c b a <<B ．b a c<<C ．b c a<<D ．c a b<<【答案】C 【解析】。
构造向量求函数最值
证明
6 7 < $ ! 9 9 ’ $ $ $ & 96 & 97 & 9< 6 7 1! $9 $ & & & & 96 & 97 9 9 $ $ $ & 96 & 97 & 9< 9 < $ 立知 6 7 < 有最 $’( $9 $9 $ & 9< & 96 & 97 & 9<
构造 +1! 8& ( 97 8" ( $ 97 8 7 6 6 $ 依定理 则 ( ! 8& ’ 9! # ’ ( 1! 8& ( $ ( 8& ’ ( 7 6 ,
$ $ $ 97 8" ’ 9! $ 97 8# ’ 16 +-. $ ! +/, ’ $ , $ ! 87 9& 9$ 6 9$ 7 8# 8$ 6 87 9# ’ & 1 1 ( $ $ $ # ! 8& ’ 9$ 9! 8& ’ 97 8" $ 6 97 8# 即 8& 6 当且仅当7 1 1 ( 6 8& $ 8& : : 该式取最小值 & 1 时( ) 1 ( 7 $ # # 求分式函数最值 ; 构造向量 ( $ 例 ; 已知 6 且 6 $ ( ( =! % ( 9>’ ( 7 < & 96 $ $ 7 < 6 7 求 9 ( $9 $1 $ $9 $9 & 97 & 9< & 96 & 97 < 的最大值 ) $ & 9< 希望杯 A 全国数 学 邀 请赛 ! & ? ? %年首届 @
解几最值求有妙法,构造函数多方出击-高考数学一题多解
解几最值求有妙法，构造函数多方出击一、攻关方略与圆锥曲线有关的最值或范围问题大都是综合性问题，解法灵活，技巧性强，涉及代数函数、三角函数、平面几何等方面的知识，求最值常见的解法有几何法和代数法两种，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，如与圆锥曲线的定义相关或涉及过焦点的弦长、焦半径、焦点三角形等，则考虑利用图形性质来解决；若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，圆锥曲线中的最值问题的载体是直线与圆锥曲线的关系，特别是相交所引出的图形的最值问题，大致可分为两类：①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题．本讲重点放在用目标函数法求最值的策略．建立目标函数解与圆锥曲线有关的最值问题是一种常规方法，其关键是选取适当的变量建立目标函数，然后运用求函数最值的方法确定最值．运用目标函数法解此类题的难点体现在两个方面：①如何建立目标函数．关键要把相关图形的特点吃透，变量可以是直线的斜截、截距、曲线上的动点坐标、变动的线段等等，通常所得到的解析式的形式不会太简单，对下一步的求解会带来困难．②对所求得的目标函数如何求其最值，常常需要进行再次构造为常见函数并运用相应的解题策略解之，比如转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用配方法、基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等，尤其是对复杂函数解析式的再构造，其方法并非唯一，不同的构造必有多种不同的解法，或繁或简，通过解题经验的积累，尽可能找到最为巧妙的构造，得到最为简捷的解法，真可谓：解几最值求有妙法，构造函数多方出击．思维发散或繁或简，纵横联结枝繁叶茂．【典例】已知点()0,2A -，圆2222:1x y E a b +=（0a b >>F 是椭圆E的右焦点，直线AF O 为坐标原点．（1）求E 的方程；（2）设过点A 的直线l 与椭圆E 相交于P ，Q 两点，当OPQ △的面积最大时，求l 的方程．解题策略解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科，代数方法当然离不开比较复杂的计算，高考命题特别提出“多考想，少考算”，突出考查学生分析推理、转化的数学逻辑思维能力，如何在解析几何中避免繁杂、冗长的计算，即简化计算，也就成了处理这类问题的难点与关键，解析几何题目中常用的简化运算的技巧有：圆锥曲线的概念、条件等价转化、以形助数、设而不求以及通过构造以巧妙的方法减少运算量等，本例第（1）问，根据已知条件，利用基本量求椭圆方程；第（2）问，先建立OPQ △面积的函数表达式，再求最值，其中函数变量的选取尤为重要，不同的解析式有不同的求最值的方法．策略一由弦长公式求PQ ，由点到直线距离公式求d ，由12=⋅S PQ d 得解析式，换元法转化为用基本不等式求最值和l 的方程策略二由POQ AOQ AOP S S S =-△△△得函数解析式再进一步求解策略三利用坐标法求解析式再进一步求解（1）解：设(c,0)F ，由条件知，23c =，得c =又2c a =，∴2a =，2221b a c =-=，故E 的方程为2214x y +=．（2）解法一当l x ⊥轴时，不合题意，故设:2l y kx =-，()11,P x y 、()22,Q x y ，将2y kx =-代入椭圆方程，整理得()224116120k x kx +-+=．则()()222(16)48411643k k k ∆=-+=-当0∆>，即234k >时由弦长公式得12||PQ x =-==．又由点到直线的距离公式得点O 到直线l的距离d =∴OPQ △的面积221||24141S PQ k k d ===++⨯．t =，244144t S t t t ==++．则2243k t =+且0t >，当4t t =，即2t =时，OPQ △2=，解得2k =．故所求直线l的方程为2y =-或2y =-．解法二设直线:2l y kx =-交椭圆E 于()11,P x y ，()22,Q x y ．且P 在线段AQ 上．由222,440y kx x y =-⎧⎨+-=⎩得()224116120k x kx +-+=，1221641k x x k +=+，1221241x x k =+．由0∆>得234k ≥．则21122POQ AOQ AOP S S S x x =-=⨯-==△△△同解法一得所求直线l 的方程为2y =-或2y =-．解法三设l 的方程为2y kx =-，与椭圆方程联立得222,44,y kx x y =-⎧⎨+=⎩消去y 整理得()224116120k x kx +-+=．则1221641k x x k +=+，1221241x x k =+，且由0∆>，得234k >．设点P 、Q 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ．点O 的坐标为(0,0)，用坐标法求OPQ △的面积S 可表示为11221112001x y S x y =．即()()1221122112112222S x y x y x kx x kx x x =-=---=-⎡⎤⎣⎦241k k ==+．同解法一得所求直线l 的方程为2y =-或2y =-．【点评】运用目标函数法解此类题的难点体现在两个方面：①如何建立目标函数．关键要把相关图形的特点吃透，变量可以是直线的斜截、截距、曲线上的动点坐标、变动的线段等等，通常所得到的解析式的形式不会太简单，对下一步的求解会带来困难．②对所求得的目标函数如何求其最值，常常需要进行再次构造为常见函数并运用相应的解题策略解之，【针对训练】1．已知椭圆的方程为22143x y +=，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，线段PQ 是椭圆上过点2F 的弦，则1PFQ △内切圆面积的最大值为______．2．已知抛物线2:4C y x =上一点()4,4M -，A ，B 是抛物线C 上的两动点，且0MA MB ⋅= ，则点M 到直线AB 距离的最大值是______．（2021全国乙卷理11）3．设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（）A ．,12⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦（2021全国新高考Ⅰ卷5）4．已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（）A ．13B ．12C ．9D ．65．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2．(1)求C 的方程;(2)已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值.6．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，且F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4．(1)求p ；(2)若点P 在M 上，,PA PB 是C 的两条切线，,A B 是切点，求PAB 面积的最大值．（2022·浙江）7．如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于M （B ，M 不同于A ）．(1)若116=p ，求抛物线2C 的焦点坐标；(2)若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．（2022·浙江）8．如图，已知F 是抛物线()220y px p =>的焦点，M 是抛物线的准线与x 轴的交点，且2MF =，(1)求抛物线的方程；(2)设过点F 的直线交抛物线与A ､B 两点，斜率为2的直线l 与直线,,MA MB AB ，x 轴依次交于点P ，Q ，R ，N ，且2RN PN QN =⋅，求直线l 在x 轴上截距的范围.（2019年高考数学浙江卷第21题）9．如图所示，已知点()1,0F 为抛物线22y px =（0p >）的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC 的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧，记AFG 、CQG 的面积分别为1S ，2S．(1)求p 的值及抛物线的准线方程；(2)求的12S S 最小值及此时点G 的坐标．10．如图，已知抛物线2x y =.点A 1139-2424B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，抛物线上的点P （x,y ）13-x 22⎛⎫ ⎪⎝⎭＜＜,过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q（I）求直线AP斜率的取值范围；PA PQ的最大值（II）求·参考答案：1．9π16【分析】()111142PF Q S PF QF PQ r r =++⋅=△，∴14PF Q S r =△，解法一：112PF Q S PQ d =⋅ ，点1F 到直线PQ 的距离为d ．由弦长公式和点到直线距离公式，求最大值.解法二：1121212PF Q S F F y y =- ，由弦长公式和基本不等式求最大值.【详解】解法一如图所示，1PFQ △的()111142PF Q S PF QF PQ r r =++⋅=△，∴14PF Q S r =△．当直线PQ 的斜率不存在时，易得||3PQ =，此时1121||32PF Q S F F PQ =⋅⋅=△，∴34r =；当直线PQ 的斜率为k 时，直线PQ 的方程为(1)y k x =-．将(1)y k x =-代入22143x y +=，并整理得：()22224384120k x k x k +-+-=．设()11,P x y 、()22,Q x y ，则2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+．||PQ ==()2212143k k +==+．∵点1F 到直线PQ 的距离d =．则12112|||243PF Qd k S PQ k ==⋅+△，则()()()()222222222211124331PFQ k k k k S k k k ++⎛⎫== ⎪⎡⎤⎝⎭+++⎣⎦△，设21u k =+，2v k =，则122112(3)96PF Q S uv u v u v v u⎛⎫== ⎪+⎝⎭⨯++△，且2211u k v k +=>，设(1)u t t v=>，设1()96f t t t =++，则21()9f t t '=-，当1t >时，()0f t '>，∴96(1)16u v f v u ⋅++>=，则1212116PF Q S ⎛⎫ ⎪⎝<⎭△，∴13PF Q S <△，∴34r <．综上，当直线PQ 垂直于x 轴时，1PFQ △的内切圆半径r 取得最大值34，∴1PFQ △的内切圆面积的最大值为9π16．解法二显然直线PQ 的斜率不为0，故可设其方程为1x my =+，将1x my =+代入22143x y+=，并整理得()2234690m y my ++-=，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122634m y y m +=-+，122934y y m =-+，∴1121221234PF Q S F F y y m =-===+△121，令1t ≥．设1()3f t t t =+，则21()3f t t'=-，则当1t >时，()0f t '>[]1,+∞，∴(1)4f =≥（当0m =时等号成立），∴1PF Q S △的最大值为3．此时1344PF Q S r ==△，即r 的最大值为34．∴1PFQ △的内切圆面积的最大值为9π16．故答案为：9π162．【分析】解法一：首先利用坐标表示直线MA ，MB 和直线AB 的斜率，并利用坐标表示1MA MB k k ⋅=-，代入直线AB 的方程，化简求直线所过定点，利用几何法表示点M 到直线AB距离的最大值；解法二：利用1MA MB k k ⋅=-得()()12124324y y y y y x +-++=，利用换元得直线AB 的方程为44320x ty t -+-=，列出点到直线距离公式d ==关系求函数最大值；解法三：首先设直线AB 的方程为x ky b =+，与抛物线方程联立，并利用韦达定理表示0MA MB ⋅=，得22123616164b b k k -+=-+，化简后表示,k b 的关系，可求得定点坐标，再利用两点距离表示点到直线距离的最大值.【详解】解法一：如图所示，设()11,A x y ，()22,B x y ，则直线MA 的斜率为()()()11111144444444MA y y k x y y y ++===-+--．同理可得直线MB 的斜率为244MB k y =-．直线AB 的斜率为12122212121244AB y y y y k y y x x y y --===--+．由1244144MA MB k y y k =⨯=---⋅，得()1212432y y y y -+=-．又直线AB 的方程为()11124y y x x y y -=-+，故()12124y y y y y x +-=．∴()()12124324y y y y y x +-++=．即()12(4)4(8)y y y x +-=-，∴直线AB 过定点()8,4P ．点M 到直线AB距离的最大值为||MP ==解法二：同解法一得()()12124324y y y y y x +-++=．令12y y t +=，则直线AB 的方程为44320x ty t -+-=．点M 到直线AB的距离d ==令2t s -=，则有d =，当10s =-时等号成立，即点M 到直线AB距离的最大值为解法三：设直线AB 的方程为x ky b =+，211,4y A y ⎛⎫⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭．由24x ky by x=+⎧⎨=⎩，得2440y ky b --=．∴()2160k b ∆=+>，124y y k +=，124y y b =-．∴0MA MB ⋅= ，即2212124,44,4044y y y y ⎛⎫⎛⎫-+⋅-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()()22212121212122432016y y y y y y y y y y ⎡⎤-+-++++=⎣⎦．①把121244y y ky y b+=⎧⎨=-⎩代入（1）式整理得22123616164b b k k -+=-+．即22(6)(42)b k -=-，∴48b k =-+或44b k =+．当44b k =+时，直线AB 的方程为(4)4x k y =++，恒过点(4,4)-M ，不符合题意；当48b k =-+时，直线AB 的方程为(4)8x k y =-+，恒过点()8,4P ，符合题意．∴点M 到直线AB的距离的最大值是||MP =故答案为：3．C【分析】设()00,P x y ，由()0,B b ，根据两点间的距离公式表示出PB ，分类讨论求出PB 的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．【详解】设()00,P x y ，由()0,B b ，因为2200221x y a b+=，222a b c =+，所以()()2223422222220000022221y c b b PB x y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0b y b -≤≤，当32b b c-≤-，即22b c ≥时，22max 4PB b =，即max 2PB b =，符合题意，由22b c ≥可得222a c ≥，即0e <≤当32b b c->-，即22b c <时，42222max b PB a b c =++，即422224b a b b c ++≤，化简得，()2220c b -≤，显然该不等式不成立．故选：C ．【点睛】本题解题关键是如何求出PB 的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．4．C【分析】法一：根据椭圆定义得到1226MF MF a +==，结合基本不等式进行求解；法二：设出()00,M x y ，使用焦半径结合033x -≤≤进行求解.【详解】法一：由题意，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）．法二：设()00,M x y ，033x -≤≤，由焦半径公式可得：1002003,3MF a ex MF a ex =+=+=-=-，故21200053399MF MF x x ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为033x -≤≤，所以2009x ≤≤，当200x =，即00x =时，12MF MF ⋅取得最大值，最大值为9.故选：C ．5．(1)24y x =(2)13【分析】（1）由抛物线焦点与准线的距离即可得解；（2）设()00,Q x y ，由平面向量的知识可得()00109,10P x y -，代入抛物线方程，进而可得20025910y x +=，可得点Q 的轨迹，再由斜率公式及基本不等式即可得解.【详解】（1）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为222p p p ⎛⎫--== ⎪⎝⎭，所以该抛物线的方程为24y x =；（2）设()00,Q x y ，则()00999,9PQ QF x y ==--，所以()00109,10P x y -，由P 在抛物线上可得()()200104109y x =-，即20025910y x +=，据此整理可得点Q 的轨迹方程为229525=-y x ，所以直线OQ 的斜率000220001025925910OQ y y y k y x y ===++，当00y =时，0OQ k =；当00y ≠时，0010925OQ k y y =+，当00y >时，因为0092530y y +≥=，此时103OQ k <≤，当且仅当00925y y =，即035y =时，等号成立；当00y <时，0OQ k <；综上，直线OQ 的斜率的最大值为13.6．(1)2p =(2)()max = PAB S 【分析】(1)方法一利用两点间距离公式求得FN 关于圆M 上的点()00,N x y 的坐标的表达式，进一步转化为关于0y 的表达式，利用二次函数的性质得到最小值，进而求得p 的值；方法二，利用圆的性质，F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值，简洁明快，为最优解；(2)方法一设点()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y ，利用导数求得两切线方程，由切点弦方程思想得到直线AB 的坐标满足方程00220x x y y --=，然手与抛物线方程联立，由韦达定理可得1202x x x +=，1204x x y =，利用弦长公式求得AB 的长，进而得到面积关于()00,P x y 坐标的表达式，利用圆的方程转化得到关于0y 的二次函数最值问题；方法二，同方法一得到1202x x x +=，1204x x y =，过P 作y 轴的平行线交AB 于Q ，则2000,2⎛⎫- ⎪⎝⎭x Q x y ．由121||2PAB S PQ x x =⋅- 求得面积关于()00,P x y 坐标的表达式，并利用三角函数换元求得面积最大值，方法灵活，计算简洁，为最优解；方法三直接设直线:AB l y kx b =+，联立直线AB 和抛物线方程，利用韦达定理判别式得到20k b +>，且12124,4x x k x x b +==-．利用点P 在圆M 上，求得,k b 的关系，然后利用导数求得两切线方程，解方程组求得P 的坐标(2,)P k b -，进而利用弦长公式和点到直线距离公式求得面积关于b 的函数表达式，然后利用二次函数的性质求得最大值；【详解】（1）[方法一]：利用二次函数性质求最小值由题意知，0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设圆M 上的点()00,N x y ，则()22041++=x y ．所以()()22001453=-+-≤≤-x y y ．从而有||=FN =因为053y -≤≤-，所以当03y =-时，min ||4==FN ．又0p >，解之得2p =，因此2p =．[方法二]【最优解】：利用圆的几何意义求最小值抛物线C 的焦点为0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，42pFM =+，所以，F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4142p+-=，解得2p =；（2）[方法一]：切点弦方程+韦达定义判别式求弦长求面积法抛物线C 的方程为24x y =，即24x y =，对该函数求导得=2xy '，设点()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y ，直线PA 的方程为()1112x y y x x -=-，即112x xy y =-，即11220x x y y --=，同理可知，直线PB 的方程为22220x x y y --=，由于点P 为这两条直线的公共点，则10102020220220x x y y x x y y --=⎧⎨--=⎩，所以，点A 、B 的坐标满足方程00220x x y y --=，所以，直线AB 的方程为00220x x y y --=，联立0022204x x y y x y --=⎧⎪⎨=⎪⎩，可得200240x x x y -+=，由韦达定理可得1202x x x +=，1204x x y =，所以，AB ==，点P 到直线AB的距离为d =，所以，()3220011422PABS AB d x y =⋅=-△，()()2222000000041441215621x y y y y y y -=-+-=---=-++ ，由已知可得053y -≤≤-，所以，当05y =-时，PAB的面积取最大值321202⨯=[方法二]【最优解】：切点弦法+分割转化求面积+三角换元求最值同方法一得到1201202,4+==x x x x x y ．过P 作y 轴的平行线交AB 于Q ，则2000,2⎛⎫- ⎪⎝⎭x Q x y．()32221200001111||242222⎛⎫=⋅-=-=- ⎪⎝⎭PABS PQ x x x y x y ．P 点在圆M 上，则00cos ,4sin ,x y αα=⎧⎨=-+⎩()()333222222001114cos 4sin 16(sin 2)21222ααα⎡⎤=-=-+=-++⎣⎦ PABS x y ．故当sin 1α=-时PAB 的面积最大，最大值为[方法三]：直接设直线AB 方程法设切点A ，B 的坐标分别为211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭．设:AB l y kx b =+，联立AB l 和抛物线C 的方程得2,4,y kx b x y =+⎧⎨=⎩整理得2440x kx b --=．判别式2Δ16160=+>k b ，即20k b +>，且12124,4x x k x x b +==-．抛物线C 的方程为24x y =，即24x y =，有2x y '=．则()2111:42-=-PA x x l y x x ，整理得21124x x y x =⋅-，同理可得222:24=⋅-PB x x l y x ．联立方程211222,24,24x x y x x xy x ⎧=⋅-⎪⎪⎨⎪=⋅-⎪⎩可得点P 的坐标为1212,24x x x x P +⎛⎫ ⎪⎝⎭，即(2,)P k b -．将点P 的坐标代入圆M 的方程，得22(2)(4)1+-+=k b ，整理得221(4)4b k --=．由弦长公式得12||=-=AB x=点P 到直线AB的距离为d =所以21||222==+== PABS AB d k b=其中[5,3]=-∈--P y b ，即[3,5]∈b ．当5b =时，()max = PAB S 7．(1)1(,0)32(2)max p 【分析】（1）根据抛物线的焦点坐标公式求解即可；（2）设直线:l x y m λ=+，与椭圆联立，结合韦达定理得到中点M 的坐标，代入抛物线，再将直线与抛物线联立，结合韦达定理用参数表示点A 坐标，再将椭圆与抛物线联立得到点A 坐标，结合均值不等式，分析即得解.【详解】（1）当116=p 时，2C 的方程为218y x =，故抛物线2C 的焦点坐标为1(,0)32；（2）由题意，直线l 的斜率不为0，设()()()112200,,,,,,:A x y B x y M x y l x y m λ=+，由()22222222220x y y my m x y mλλλ⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩，1200022222,,222m m my y y x y m λλλλλλ--∴+===+=+++，由M 在抛物线上，所以()222222244222m pm mp λλλλλ=⇒=+++，又22222()220y pxy p y m y p y pm x y m λλλ⎧=⇒=+⇒--=⎨=+⎩，012y y p λ∴+=，2101022x x y m y m p m λλλ∴+=+++=+，2122222mx p m λλ∴=+-+.由2222142,22x y x px y px ⎧+=⎪⇒+=⎨⎪=⎩即2420x px +-=12x p ⇒=-+222221822228162p p p m p p p λλλλλ+⇒-++⋅=++≥+，18p ≥，21160p ≤，p ≤所以，p，此时A .8．(1)24y x=(2)(,7[7(1,)-∞---++∞ ．【分析】（1）根据2MF =，求p ，再求抛物线方程；（2）方法一：主要是用()()1122,,,A x y B x y 坐标表示直线,MA MB ，利用弦长公式将线段长度关系转为纵坐标关系，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围；方法二：利用焦点弦的性质求得直线,MA MB 的斜率之和为0，再利用线段长度关系即为纵坐标关系，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围.方法三：利用点,A B 在抛物线上，巧妙设点坐标，借助于焦点弦的性质求得点,A B 横坐标的关系，这样有助于减少变元，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围.【详解】（1）因为2MF =，故2p =，故抛物线的方程为：24y x =.（2）[方法一]：通式通法设:1AB x ty =+，()()1122,,,A x y B x y ，(),0N n ，所以直线:2yl x n =+，由题设可得1n ≠且12t ≠.由214x ty y x=+⎧⎨=⎩可得2440y ty --=，故12124,4y y y y t =-+=，因为2RN PN QN =⋅，故2R P Q ⎫=⎪⎪⎭，故2R P Q y y y =⋅.又()11:11y MA y x x =++，由()11112y y x x y x n⎧=+⎪+⎪⎨⎪=+⎪⎩可得()1112122P n y y x y +=+-，同理()2222122Q n y y x y +=+-，由12x ty yx n =+⎧⎪⎨=+⎪⎩可得()2121R n y t -=-，所以()()()2212211212121=212222n n y n y t x y x y -++⎡⎤⨯⎢⎥-+-+-⎣⎦，整理得到()()()2212221112112222y y n t n x y x y -⎛⎫=- ⎪++-+-⎝⎭，()22221214212222t y y y y -=⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()()2222222121212112214212134+++2+442t t t y y y y y y y y y y y y --==+--⨯-+故()222134121n t n t ++⎛⎫= ⎪-⎝⎭-，令21s t =-，则12s t +=且0s ≠，故()22222234242411331+444421t s s s s s s t +++⎛⎫==+=++≥ ⎪⎝⎭-，故213141n n n ⎧+⎛⎫≥⎪ ⎪-⎨⎝⎭⎪≠⎩即214101n n n ⎧++≥⎨≠⎩，解得7n ≤--71n -+≤<或1n >.故直线l 在x 轴上的截距的范围为7n ≤--71n -+<或1n >.[方法二]：利用焦点弦性质设直线AB 的方程为11x k y =+，直线MA 的方程为21x k y =-，直线MB 的方程为31x k y =-，直线l 的方程为221212,,,,,(,0)244y y y x m A y B y N m ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由题设可得1m ≠且112k ≠．由121,4x k y y x=+⎧⎨=⎩得21440y k y --=，所以121124,4y y k y y +==-．因为2112231121114,44y y y k k y y y +==+=+，12121223111212110444y y y y y y k k k k y y y y ++∴+=++++=-=，()21221212231121212111111441642y y y y y y k k k y y y y y y +⎛⎫⎛⎫=++=+⋅+-=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．由21,2x k y y x m =-⎧⎪⎨=+⎪⎩得2112p m y k +=-．同理3112Q m y k +=-．由11,2x k y y x m =+⎧⎪⎨=+⎪⎩得1112R m y k -=-．因为2||||||RN PN QN =⋅，所以2R P Q y y y -⋅=即222211231(1)(1)13112422m m m k k k k ⎛⎫ ⎪-++== ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪-+--- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故22121314112k m m k ++⎛⎫= ⎪-⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭．令112t k =-，则222221111113311244m t t m t t t t +++⎛⎫⎛⎫==++=++≥ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．所以210,1410,m m m -≠⎧⎨++≥⎩，解得7m ≤--71m -+≤<或1m>．故直线l 在x轴上的截距的范围为(,7[7)(1,)-∞---++∞ ．[方法三]最优解设()()22,2(0),,2A a a a B b b >，由,,A F B 三点共线得22222221b a ab a a b a -==-+-，即1ab =-．所以直线MA 的方程为22(1)1a y x a =++，直线MB 的方程为2222(1)(1)11b ay x x b a -=+=+++，直线AB 的方程为22(1)1ay x a =--．设直线l 的方程为2(2)y x m m =+≠-，则222(2)(2)(2),,,1112P Q R N m a m a m a my y y x a a a a a a ----====--+++--．所以()()2222222222(2)(2)||||||11m a m a RN PN QN aa aa +-=⋅⇔=--+-．故()()2222222222221112(1)2140,2133111a a a m t t t a m t t a a a a ⎛⎫-- ⎪--+--+⎛⎫⎡⎤⎝⎭====∈ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎣⎦⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭（其中1t a a =-∈R ）．所以(,14[14)m ∈-∞-++∞ ，且2m ≠-，因此直线l 在x轴上的截距为(,7[7(1,)2m-∈-∞---++∞ ．9．(1)2p =，=1x -(2)最小值为1(2,0)．【分析】（1）根据焦点坐标求解p ，再根据准线方程公式求解即可；（2）直线AB 的方程为(1)y k x =-，与抛物线联立，得到关于y 的韦达定理，用坐标表示12S S ，求得取得最小值时t 的值，再由()()22212312311312G x x x x y y y =++=++，结合韦达定理，求解即可.【详解】（1）由题意得12p=，即2p =，∴抛物线的准线方程为=1x -．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,,C x y 不妨设12y y >，又Q 在点F 的右侧，故1230y y y >>>，又直线AB 的方程为(1)y k x =-．联立2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩，得2440y y k --=，∴124y y =-．1112AGB AGB AF y S S S AB y y ==-△△，3231AGC AGC CQ y S S S CA y y -==-+△△，由G 为ABC 的重心，有AGB AGC S S =△△，且1230y y y ++=．故2424211311121111122422421231212121121224242416S y y y y y y y y y y y S y y y y y y y y y y y y y -++---=⋅=⋅===---+---．令12S n S =，21y t =，则222416t t n t -=-，即2(2)4160n t t n --+=．①当2n =时，122S S =，此时8t =；②当2n ≠时，二次方程至少有一个正根，故0∆≥，解得22n ≥，若方程有两个非正根，此时12124021602x x n n x x n ⎧+=≤⎪⎪-⎨⎪=≥⎪-⎩，不等式组无解，故22n +≥，即12min1S S ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭8t =+．()()()222222123123121211131212G x x x x y y y y y y y ⎡⎤=++=++=+++⎣⎦()22121216y y y y =++．而218y t ==+2221168y y ==-，故G 点坐标为(2,0)．10．（I ）（-1，1）；（II ）2716.【详解】（Ⅰ）设直线AP 的斜率为k ，2114122x k x x -==-+，因为1322x -<<，所以直线AP 斜率的取值范围是(1,1)-．（Ⅱ）联立直线AP 与BQ 的方程110,24930,42kx y k x ky k ⎧-++=⎪⎪⎨⎪+--=⎪⎩解得点Q 的横坐标是22432(1)Q k k x k -++=+．因为|PA12x +1)k +，|PQ|=2)Q x x -=-，所以3(1)(1)k k PA PQ ⋅--+=．令3()(1)(1)f k k k =--+，因为2'()(42)(1)f k k k =--+，所以f (k )在区间1(1,2-上单调递增，1(,1)2上单调递减，因此当k =12时，||||PA PQ ⋅取得最大值2716．【点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，通过表达||PA 与||PQ 的长度，通过函数3()(1)(1)f k k k =--+求解||||PA PQ ⋅的最大值．。
专题15 导数与函数的极值、最值(原卷版)
1．已知极值求参数。若函数f(x)在点(x0，y0)处取得极值，则f′(x0)＝0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反。
2、对于求解析式中含有参数的函数极值问题，一般要对方程f′(x)＝0的根的情况进行讨论，分两个层次讨论．第一层次，讨论在定义域内是否有根；第二层次，在有根的条件下，再讨论根的大小．
2023高考一轮复习讲与练
专题15导数与函数的极值、最值
练高考 明方向
1.（2022·全国甲（文T8）(理T6)）.当 时，函数 取得最大值 ，则 （）
A. B. C. D. 1
2.（2022·新高考Ⅰ卷T10）已知函数 ，则（）
A. 有两个极值点B. 有三个零点
C.点 是曲线 的对称中心D.直线 是曲线 的切线
8.(2019·北京高考理科·T19同2019·北京高考文科·T20)已知函数f(x)= x3-x2+x.
(1)求曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程.
(2)当x∈[-2,4]时,求证:x-6≤f(x)≤x.
(3)设F(x)=|f(x)-(x+a)|(a∈R),记F(x)在区间[-2,4]上的最大值为M(a),当M(a)最小时,求a的值.
(2)对于求解析式中含有参数的函数极值问题，一般要对方程f′(x)＝0的根的情况进行讨论，分两个层次讨论．第一层次，讨论在定义域内是否有根；第二层次，在有根的条件下，再讨论根的大小．
类型三、含参的极值问题
基本题型：
1．（求参数的值）设函数f(x)＝lnx＋ax2－ x，若x＝1是函数f(x)的极大值点，则函数f(x)的极小值为()
基本方法：
求函数f(x)在[a，b]上的最值的方法
(1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，则f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值；
专题15 运用构造法研究函数的最值问题(解析版)
专题15 运用构造法研究函数的最值问题一,题型选讲题型一,恒成立与存在问题中的构造函数求参数范围不等式的恒成立问题处理,通过分类讨论,合理的代数变形,将问题进一步转化为熟悉的问题,结合图像,通过构造函数,利用导数进行求解.特别要注意要构造熟悉的函数,便于求解. 例1,(2019宿迁期末)已知函数f(x)＝xln x ,g(x)＝kx ＋b(k,b ∈R )．(1) 求函数y ＝f (x )的定义域和单调区间；(2) 当b ＝－k 时,若存在x ∈[e,e 2],使得f (x )≤g (x )＋12,求k 的取值范围．规范解答 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ln x≠0，x>0，得y ＝f(x)的定义域x ∈(0,1)∪(1,＋∞)．f′(x)＝ln x －1ln 2x,(2分) 由f′(x)＝ln x －1ln 2x >0得x ∈(e ,＋∞)；由f′(x)＝ln x －1ln 2x<0得x ∈(0,1)∪(1,e ),所以y ＝f(x)的单调增区间为(e ,＋∞),单调减区间为(0,1)和(1,e )．(4分) (2)解法1令φ(x)＝f(x)－g(x)＝x ln x －kx ＋k(e ≤x≤e 2),依题意知φ(x)min ≤12.φ′(x)＝ln x －1ln 2x －k ＝－⎝⎛⎭⎫1ln x －122＋14－k 的值域为⎣⎡⎦⎤－k ，14－k .(12分) ①当－k≥0,即k≤0时,φ′(x)≥0,φ(x)在[e ,e 2]上单调递增, 所以φ(x)min ＝φ(e )＝e －k(e －1)≤12,解得k≥e －12e －1,与k≤0矛盾,不合题意．②当14－k≤0,即k≥14时,φ′(x)≤0,φ(x)在[e ,e 2]上单调递减,所以φ(x)min＝φ(e 2)＝e 22－k(e 2－1)≤12, 解得k≥12.(14分)③当0<k<14时,存在唯一x 0∈(e ,e 2)满足φ′(x 0)＝0.当x ∈(e ,x 0)时,φ′(x)<0；当x ∈(x 0,e 2)时,φ′(x)>0, 所以φ(x)在(e ,x 0)上单调递减,在(x 0,e 2)上单调递增, 所以φ(x)min ＝φ(x 0)＝x 0ln x 0－k(x 0－1)≤12,解得k≥1x 0－1⎝⎛⎭⎫x 0ln x 0－12>1x 0－1⎝⎛⎭⎫x 02－12＝12,这与0<k<14矛盾,不合题意． 综上所述,k 的取值范围为k≥12．(16分例2,(2015宿迁一模)已知函数f (x )＝e x (其中e 是自然对数的底数),g (x )＝x 2＋ax ＋1,a ∈R .(1) 记函数F (x )＝f (x )·g (x ),且a >0,求F (x )的单调增区间；(2) 若对任意x 1,x 2∈[]0，2,x 1≠x 2,均有|f (x 1)－f (x 2)|>||g (x 1)－g (x 2)成立,求实数a 的取值范围．思路分析 (1) 求出函数F (x )的导函数F ′(x ),可由F ′(x )≥0得到函数F (x )的单调递增区间；(2) 由于所研究的问题与绝对值有关,因此首先要去掉绝对值符号,注意到不等式的左边以及f (x )＝e x 的单调性,为了去掉左边的绝对值,为此增设一个条件x 1>x 2,从而去掉了左边的不等式符号,再考虑不等式的右边,若直接去绝对值就需要进行分类讨论,这是很难的！注意到n (x )>|m (x )|的充要条件是－n (x )<m (x )<n (x ),从而去除了右边的绝对值,下面进行归类,即将含有x 1,x 2的式子分别归于不等式的两边,从而构造出新函数,由此研究新函数的单调性就可解决问题．规范解答 (1) 因为F (x )＝f (x )·g (x )＝e x (x 2＋ax ＋1),所以F ′(x )＝e x []x ＋(a ＋1)(x ＋1)．(2分) 令F ′(x )>0,因为a >0,所以x >－1或x <－(a ＋1),(5分) 所以F (x )的单调增区间为(－∞,－a －1)和(－1,＋∞)．(6分)(2) 因为对任意x 1,x 2∈[]0，2且x 1≠x 2,均有||f (x 1)－f (x 2)>||g (x 1)－g (x 2)成立, 不妨设x 1>x 2,根据f (x )＝e x 在[]0，2上单调递增, 所以有f (x 1)－f (x 2)>||g (x 1)－g (x 2)对x 1>x 2恒成立,(8分)所以f (x 2)－f (x 1)<g (x 1)－g (x 2)<f (x 1)－f (x 2)对x 1,x 2∈[]0，2,x 1>x 2恒成立,即⎩⎪⎨⎪⎧f (x 1)＋g (x 1)>f (x 2)＋g (x 2)，f (x 1)－g (x 1)>f (x 2)－g (x 2)对x 1,x 2∈[]0，2,x 1>x 2恒成立,所以f (x )＋g (x )和f (x )－g (x )在[]0，2上都是单调递增函数．(11分) 所以f ′(x )＋g ′(x )≥0在[]0，2上恒成立,所以e x ＋(2x ＋a )≥0在[]0，2上恒成立,即a ≥－(e x ＋2x )在[]0，2上恒成立． 因为－(e x ＋2x )在[]0，2上是单调减函数,所以－(e x ＋2x )在[]0，2上取得最大值－1, 所以a ≥－1.(13分)当f ′(x )－g ′(x )≥0在[]0，2上恒成立,所以e x －(2x ＋a )≥0在[]0，2上恒成立,即a ≤e x －2x 在[]0，2上恒成立．因为e x －2x 在[]0，ln2上单调递减,在[]ln2，2上单调递增,所以e x －2x 在[]0，2上取得最小值2－2ln2, 所以a ≤2－2ln2.(15分)所以实数a 的取值范围为[]－1，2－2ln2.(16分)解后反思 研究与不等式有关的恒成立问题,我们通常通过构造函数法,转化为研究新函数的性质来解决问题．例3,(2019苏锡常镇调研)．已知e 为自然对数的底数,函数的图像恒在直线上方,则实数a 的取值范围为 ．【答案】.⎥⎦⎤⎝⎛-0,2e ． 解法1：由题意得不等式ax ax e x232>-在()+∞∞-∈,x 上恒成立,即ax ax e x 232+>恒成立,根据图像可得当0>a 时不等式不恒成立；当0=a 时,不等式恒成立；当0<a 时,令x e x g =)(,ax ax x h 23)(2+=,设函数)(x g 与)(x h 图像的公切线l ,切点),(t e t P ,且.0<t 因为x e x g =)(' ,a ax x h 232)('+= ,所以l 的斜率at at e k t 232+==①,因为点P 在函数)(x h 的图像上,所以at at e t 232+=②,由①②可得23=t (舍)1-=t ,则e a 2-=,所以.02≤<-a e解法2：同解法1得0≤a ,当0≥x 时,因为1≥x e ,0232≤+ax ax ,所以不等式ax ax e x 232+>恒成立；当0<x 时,不等式ax ax e x232+>等价于a ax x e x 23+<,令x e x p x =)(,)23(23)(+=+=x a a ax x q 2()xf x e ax =-32y ax =则22')1()(xx e x e x e x p x x x -=-= ,因为0<x ,所以0)('<x p ,故函数)(x p 在)0,(-∞上递减,设函数)(x p 的图像在),(s e s Q s 处的切线经过点)0,23(- ,则切线斜率230)1(2+-=-=s s e s s e k ss ,化简得0322=--s s ,即0)32)(1(=-+s s ,解得23=s (舍)1-=s ,所以e k 2-=,结合图像可得.02≤<-a e解后反思：本题条件函数)(x f 的图像恒在函数)(x g 的图像的上方,可以将问题等价转化为不等式0)()(>-x g x f 恒成立问题处理.如果函数)()(x g x f -的最值求解比较困难,则需将问题进一步转化为更熟悉的问题来处理.本题解法1通过对参数a 分类讨论,将问题转化为两个熟悉函数的问题,通过对两函数图像公切线这一临界情况的讨论使得问题得以解决.解法2则对变量x 进行分类讨论,通过代数变形,将问题转化为直线与函数的图像的位置关系进行处理. 题型二,构造函数证明不等式不等式的证明是高中数学的一个热点,也是数学的一个难点,考查了数学的综合能力和对知识点的处理.对于这种问题最常见的处理方式就是讲不等式进行变形,构造函数,研究这个函数的最值问题. 例4,(2019南通,泰州,扬州一调)已知函数f(x)＝ax ＋ln x(a ∈R )．(1) 讨论f (x )的单调性；(2) 设f (x )的导函数为f ′(x ),若f (x )有两个不相同的零点x 1,x 2. ①求实数a 的取值范围； ②证明：x 1f ′(x 1)＋x 2f ′(x 2)>2ln a ＋2.思路分析 (1)求导函数f′(x),对a 分类讨论,确定导函数的正负,即可得到f(x)的单调性(2)①根据第(1)问的函数f(x)的单调性,确定a>0,且f(x)min ＝f(a)<0,求得a 的取值范围,再用零点判定定理证明根的存在性．② 对所要证明的结论分析,问题转化为证明x 1x 2>a 2,不妨设0<x 1<a<x 2,问题转化为证明x 1>a 2x 2,通过对f(x)的单调性的分析,问题进一步转化为证明f ⎝⎛⎭⎫a 2x 2>f(x 2),构造函数,通过导数法不难证得结论． 解：(1)f(x)的定义域为(0,＋∞),且f′(x)＝x －ax 2. (1.1)当a≤0时,f′(x)>0成立,所以f(x)在(0,＋∞)为增函数；(2分) (1.2)当a>0时,(i )当x>a 时,f′(x)>0,所以f(x)在(a,＋∞)上为增函数； (ii )当0<x<a 时,f′(x)<0,所以f(x)在(0,a)上为减函数．(4分) (2)①由(1)知,当a≤0时,f(x)至多一个零点,不合题意；当a>0时,f(x)的最小值为f(a),依题意知f(a)＝1＋ln a<0,解得0<a<1e.(6分)一方面,由于1>a,f(1)＝a>0,f(x)在(a,＋∞)为增函数,且函数f(x)的图像在(a,1)上不间断． 所以f(x)在(a,＋∞)上有唯一的一个零点． 另一方面, 因为0<a<1e ,所以0<a 2<a<1e .f(a 2)＝1a ＋ln a 2＝1a ＋2ln a,令g(a)＝1a ＋2ln a,当0<a<1e 时,g′(a)＝－1a 2＋2a ＝2a －1a 2<0,所以f(a 2)＝g(a)＝1a＋2ln a>g ⎝⎛⎭⎫1e ＝e －2>0 又f(a)<0,f(x)在(0,a)为减函数,且函数f(x)的图像在(a 2,a)上不间断． 所以f(x)在(0,a)有唯一的一个零点． 综上,实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，1e .(10分) ② 设p ＝x 1f′(x 1)＋x 2f′(x 2)＝1－a x 1＋1－ax 2＝2－⎝⎛⎭⎫a x 1＋a x 2. 又⎩⎨⎧ln x 1＋a x 1＝0，ln x 2＋a x 2＝0，则p ＝2＋ln (x 1x 2)．(12分) 下面证明x 1x 2>a 2.不妨设x 1<x 2,由①知0<x 1<a<x 2. 要证x 1x 2>a 2,即证x 1>a 2x 2.因为x 1,a 2x 2∈(0,a),f(x)在(0,a)上为减函数,所以只要证f ⎝⎛⎭⎫a 2x 2>f(x 1)．又f(x 1)＝f(x 2)＝0,即证f ⎝⎛⎭⎫a 2x 2>f(x 2)．(14分) 设函数F(x)＝f ⎝⎛⎭⎫a 2x －f(x)＝x a －a x －2ln x ＋2ln a(x>a)． 所以F′(x)＝（x －a ）2ax 2>0,所以F(x)在(a,＋∞)为增函数．所以F(x 2)>F(a)＝0,所以f ⎝⎛⎭⎫a 2x 2>f(x 2)成立． 从而x 1x 2>a 2成立．所以p ＝2＋ln (x 1x 2)>2ln a ＋2,即x 1f′(x 1)＋x 2f′(x 2)>2ln a ＋2成立．(16分) 例5,(2017苏州期末)已知函数f (x )＝(ln x －k －1)x (k ∈R )． (1) 当x ＞1时,求函数f (x )的单调区间和极值；(2) 若对于任意x ∈[e,e 2],都有f (x )＜4ln x 成立,求实数k 的取值范围； (3) 若x 1≠x 2,且f (x 1)＝f (x 2),证明：x 1x 2＜e 2k .思路分析 (1) 只要注意对k 的讨论． (2) 分离出k ,转化为k ＞K (x )恒成立问题．(3) 先说明0＜x 1＜e k＜x 2,从而只要证e k＜x 2＜e 2k x 1,只要证f (x 1)＝f (x 2)＜f ⎝⎛⎭⎫e 2k x 1.转化为关于x 1的不等式对0＜x 1＜e k 恒成立问题．规范解答 (1) f ′(x )＝ln x －k ,其中x ＞1.(1分)①若k ≤0,则x ＞1时,f ′(x )＞0恒成立,f (x )在(1,＋∞)上单调递增,无极值；(2分) ②若k ＞0,则f (x )在(1,e k ]上单调递减,在[e k ,＋∞)上单调递增,(4分) 有极小值f (e k )＝－e k ,无极大值．(5分)(2) 问题可转化为k ＞⎝⎛⎭⎫1－4x ln x －1对x ∈[e,e 2]恒成立．(7分) 设K (x )＝⎝⎛⎭⎫1－4x ln x －1,则K ′(x )＝4x 2ln x ＋⎝⎛⎭⎫1－4x 1x ＝4x 2(ln x －1)＋1x.当x ∈[e,e 2]时,K ′(x )≥1x ＞0,所以K (x )在[e,e 2]上单调递增,K (x )max ＝K (e 2)＝1－8e 2.(9分)所以实数k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1－8e 2，＋∞.(10分) (3) 因为f ′(x )＝ln x －k ,所以f (x )在(0,e k ]上单调递减,在[e k ,＋∞)上单调递增． 不妨设0＜x 1＜e k＜x 2.要证x 1x 2＜e 2k ,只要证x 2＜e 2kx 1.因为f (x )在[e k,＋∞)上单调递增,所以只要证f (x 1)＝f (x 2)＜f ⎝⎛⎭⎫e 2kx 1 ,即要证(ln x 1－k －1)x 1＜(k －ln x 1－1)e2kx 1.(12分)令t ＝2(k －ln x 1)＞0,只要证(t －2)e t ＋t ＋2＞0.设H (t )＝(t －2)e t ＋t ＋2,则只要证H (t )＞0对t ＞0恒成立．H ′(t )＝(t －1)e t ＋1,H ″(t )＝t e t ＞0对t ＞0恒成立． 所以H ′(t )在(0,＋∞)上单调递增,H ′(t )＞H ′(0)＝0.(14分) 所以H (t )在(0,＋∞)上单调递增,H (t )＞H (0)＝0. 综上所述,x 1x 2＜e 2k .(16分)题型三 ,构造函数求线段的长度,斜率等问题对于涉及到求距离斜率等问题,运用集合法不好解决的可以考虑所给的形式,构造是的的函数进行求解.一般地,对于以下结构的问题需要注意其式子的几何意义：(1)（x －a ）2＋（y －b ）2表示两点间的距离或向量的模；(2)k ＝y －bx －a表示过点(a,b)与(x,y)的直线的斜率；(3)Ax ＋By 与直线Ax ＋By ＋C ＝0的截距有关；(4)P(cos θ,sin θ)表示单位圆x 2＋y 2＝1上的任意一点；(5)a 2±ab ＋b 2与余弦定理有关,在解题过程中可以利用这些式子的几何意义构造一些特殊的函数.例6,(2018苏州期末)已知直线y ＝a 分别与直线y ＝2x －2和曲线y ＝2e x ＋x 相交于点A,B,则线段AB 长度的最小值为________． 【答案】. 12(3＋ln 2)【解析】设点C 在直线y ＝2x －2上,且BC ⊥AB,则BC ＝2AB.只要先求BC 的最小值．考虑h(x)＝(2e x ＋x)－(2x －2)＝2e x －x ＋2,则h′(x)＝2e x －1. 令h′(x)＝0,得e x ＝12,即x ＝ln 12＝－ln 2,可得h(x)min ＝h(－ln 2)＝3＋ln 2,所以BC 的最小值为3＋ln 2,从而AB 的最小值为12(3＋ln 2)．例7,(2017镇江期末) 已知不等式(m －n)2＋(m －ln n ＋λ)2≥2对任意m ∈R ,n ∈(0,＋∞)恒成立,则实数λ的取值范围为________．【答案】[1,＋∞)【解析】思路分析 由于条件“(m －n )2＋(m －ln n ＋λ)2≥2”中平方和的特征,可联想到两点(m ,m ＋λ),(n ,ln n )的距离公式,而点(m ,m ＋λ),(n ,ln n )分别是直线y ＝x ＋λ和曲线f (x )＝ln x 上动点,故可转化为直线y ＝x ＋λ和曲线f (x )＝ln x 上点之间的距离大于等于 2.条件“不等式(m －n )2＋(m －ln n ＋λ)2≥2对任意m ∈R ,n ∈(0,＋∞)恒成立”可看作“直线y ＝x ＋λ以及曲线f (x )＝ln x 上点之间的距离恒大于等于2”．如图,当与直线y ＝x ＋λ平行的直线与曲线f (x )＝ln x 相切时,两平行线间的距离最短,f ′(x )＝1x ＝1,故切点A (1,0),此切点到直线y ＝x ＋λ的距离为|1＋λ|2≥2,解得λ≥1或λ≤－3(舍去,此时直线与曲线相交)．二,达标训练1,(2019扬州期末) 若存在正实数x,y,z 满足3y 2＋3z 2≤10yz,且ln x －ln z ＝e y z ,则xy的最小值为_________．【答案】. e 2【解析】由3y 2＋3z 2≤10yz,得(3y －z)(y －3z)≤0,解得z 3≤y≤3z,即13≤yz ≤3.由ln x －ln z ＝e y z ,得ln x －ln y ＋ln y －ln z ＝e y z ,即ln x y ＝－ln y z ＋e y z .令y z ＝t,t ∈],得ln xy ＝－ln t ＋e t ＝f(t),则f′(t)＝－1t ＋e ＝0,得t ＝1e .当t ∈⎝⎛⎭⎫13，1e 时,f′(t)<0,f(t)单调递减；当t ∈⎝⎛⎭⎫1e ，3时,f′(t)>0,f(t)单调递增,所以当t ＝1e 时,f(t)有唯一的极小值,即最小值f(t)min ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝2,故⎝⎛⎭⎫ln x y min ＝2＝lne 2,所以x y的最小值为e 2 2,(2016盐城三模) 若函数f (x )＝e x ＋x 3－12x －1的图像上有且只有两点P 1,P 2,使得函数g (x )＝x 3＋mx 的图像上存在两点Q 1,Q 2,且P 1与Q 1,P 2与Q 2分别关于坐标原点对称,则实数m 的取值集合是________．【答案】 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫e －22e【解析】设函数f (x )的图像上两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),则Q 1(－x 1,－y 1),Q 2(－x 2,－y 2),故有⎩⎪⎨⎪⎧－⎝⎛⎭⎫e x 1＋x 31－12x 1－1＝－x 31＋m－x 1，－⎝⎛⎭⎫e x 2＋x 32－12x 2－1＝－x 32＋m －x2，)即方程－(e x ＋x 3－12x －1)＝－x 3－mx在(－∞,0)∪(0,＋∞)上有两解,即方程x e x －12x 2－x ＝m 在(－∞,0)∪(0,＋∞)上有两解,即函数h (x )＝x e x －12x 2－x (x ≠0)的图像与y ＝m 的图像有两个交点,令h ′(x )＝(e x －1)(x ＋1)＝0得,x ＝0(舍去)或x ＝－1,作出函数h (x )图像知,当且仅当x ＝－1时有两解,所以m ＝h (－1)＝e －22e.3,(2019苏锡常镇调研(一)) 已知函数f(x)＝x 2＋|x －a|,g(x)＝(2a －1)x ＋a ln x,若函数y ＝f(x)与函数y ＝g(x)的图像恰好有两个不同的交点,则实数a 的取值范围为________．【答案】 (1,＋∞)【解析】解法1 因为函数g(x)的定义域为(0,＋∞),所以函数y ＝f(x)与函数y ＝g(x)的图像在区间(0,＋∞)上恰好有两个不同的交点．当a≤0时,函数f(x)＝x 2＋x －a 在(0,＋∞)上递增,函数g(x)在(0,＋∞)上递减,函数y ＝f(x)与函数y ＝g(x)的图像在区间(0,＋∞)上最多有一个交点,所以a>0,令F(x)＝f(x)－g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2ax －a ln x ＋a ，0<x<a ，x 2＋2（1－a ）x －a ln x －a ，x≥a ，因为当0<x<a 时,F′(x)＝2(x －a)－ax<0,当x≥a 时,F′(x)＝2x ＋2－2a －ax ＝2(x －a)＋2x －a x >0,所以F(x)在(0,a)上递减,在(a,＋∞)上递增,故F(x)min ＝F(a)＝－a 2＋a －a ln a,结合F(x)的图像可得,要使得F(x)有两个零点,只需要F(a)<0,即a －1＋ln a>0,令h(a)＝a －1＋ln a,则h′(a)＝1＋1a >0,所以h(a)在(0,＋∞)上递增,又因为h(1)＝0,h ⎝⎛⎭⎫1e <0,h(e )>0,所以a>1,故实数a 的取值范围为(1,＋∞)． 解法2 x 2＋|x －a|＝(2a －1)x ＋a ln x ⇒x 2＋|x －a|＝2ax －x ＋a ln x⇒x 2－2ax ＋a 2＋|x －a|＝－x ＋a ln x ＋a 2 ⇒(x －a)2＋|x －a|＝－x ＋a ln x ＋a 2令h(x)＝(x －a)2＋|x －a|,φ(x)＝－x ＋a ln x ＋a 2.当a≤0时,n(x)＝h(x)－φ(x)单调递增,至多有一个零点,不符合题意．当a>0时,φ'(x)＝－1＋a x ＝a －x x 在(0,a)上单调递增,在(a,＋∞)上单调递减,故在x ＝a 处去极大值也就是最大值φ(a),而函数h(x)＝(x －a)2＋|x －a|对称轴是x ＝a,在此处取最小值h(a)．只需要φ(a)>h(a)＝0(如图所示),即a ln a －a ＋a 2>0⇒ln a －1＋a>0,令m(a)＝ln a －1＋a(a>0)．m′(a)＝1a ＋1>0,m(a)在(0,＋∞)单调递增,又m(1)＝0,m(1e )<0,m(e)>0故所以a>1,故实数a 的取值范围为(1,＋∞)．4,(2017南通,扬州,淮安,宿迁,泰州,徐州六市二调)已知对任意的x ∈R,3a (sin x ＋cos x )＋2b sin2x ≤3(a ,b ∈R )恒成立,则当a ＋b 取得最小值时,a 的值是________． 【答案】 －45【解析】 由a ＋b 取最小值,故令3(sin x ＋cos x )＝2sin2x ＝λ＜0,则a ＋b ≥3λ,即a ＋b 的最小值是3λ.设sin x ＋cos x ＝t ,其中t ∈[－2,2],则sin2x ＝t 2－1.由λ＝3t ＝2(t 2－1),解得t ＝－12,则λ＝－32,此时－32(a ＋b )≤3,所以a ＋b ≥－2.当a ＋b 取最小值－2时,3at ＋2(－a －2)(t 2－1)≤3对t ∈[－2,2]恒成立,即2(a ＋2)t 2－3at －2a －1≥0对t ∈[－2,2]恒成立．记f (t )＝2(a ＋2)t 2－3at －2a －1,t ∈[－2,2]．因为f ⎝⎛⎭⎫－12＝0是f (t )的最小值,所以只能把f (t )看成以t 为自变量的一元二次函数, 所以⎩⎪⎨⎪⎧2(a ＋2)＞0，3a 4(a ＋2)＝－12，解得a ＝－45. 5,(2017南通,扬州,淮安,宿迁,泰州,徐州六市二调)已知函数f (x )＝1e x ,g (x )＝ln x ,其中e 为自然对数的底数． (1) 求函数y ＝f (x )g (x )在x ＝1处的切线方程；(2) 若存在x 1,x 2(x 1≠x 2),使得g (x 1)－g (x 2)＝λ[f (x 2)－f (x 1)]成立,其中λ为常数,求证：λ＞e ；(3) 若对任意的x ∈(0,1],不等式f (x )g (x )≤a (x －1)恒成立,求实数a 的取值范围．思路分析 (1) 记φ(x )＝ln x e x ,所求的切线方程为y －φ(1)＝φ′(1)(x －1)． (2) 记p (x )＝λf (x )＋g (x ),则存在x 1,x 2(x 1≠x 2),使p (x 1)＝p (x 2),即函数p (x )在定义域(0,＋∞)上不是单调函数．可先考虑其对立情况：函数p (x )在定义域(0,＋∞)上是单调函数,求得λ≤e.(3) 由第(1)题,画出曲线y ＝ln x e x (x ∈(0,1])及切线y ＝1e (x －1),可猜想,a ≤1e . 考虑到当x ＝1时,ln x e x 与x －1均等于零,所以用分离参数的方法不太合适． 因为f (x )g (x )－a (x －1)＝ln x e x －a (x －1)＝1e x [ln x －a (x －1)e x ]． 可设F (x )＝ln x －a (x －1)e x ,注意到F (1)＝0.再证,当a ≤1e 时,F (x )≤F (1)对x ∈(0,1]恒成立；当a ＞1e时,存在x 0∈(0,1),使得F (x 0)＞F (1)． 规范解答 (1) 函数y ＝ln x e x ,y ′＝⎝⎛⎭⎫1x －ln x 1e x ,当x ＝1时,y ＝0,y ′＝1e. 所求的切线方程为y ＝1e(x －1),即x －e y －1＝0.(2分) (2) 记p (x )＝λf (x )＋g (x ),则存在x 1,x 2(x 1≠x 2),使得p (x 1)＝p (x 2)．即函数p (x )在定义域(0,＋∞)上不是单调函数．(4分)假设p (x )在定义域(0,＋∞)上是单调函数,则p ′(x )＝－λe x ＋1x ≥0或p ′(x )≤0对x ∈(0,＋∞)恒成立,即λ≤e x x 或λ≥e x x对x ∈(0,＋∞)恒成立． 记h (x )＝e x x ,x ∈(0,＋∞),则h ′(x )＝(x －1)e x x 2,易得h (x )的值域为[e,＋∞)． 综上所述,函数p (x )在定义域(0,＋∞)上是单调函数的充要条件是λ≤e,(7分)所以函数p (x )在定义域(0,＋∞)上不是单调函数的充要条件是λ＞e.因此,λ＞e.(9分)(3) 因为f (x )g (x )－a (x －1)＝ln x e x －a (x －1)＝1e x [ln x －a (x －1)e x ]．设F (x )＝ln x －a (x －1)e x ,则F (x )≤0对x ∈(0,1]恒成立．考虑F ′(x )＝1x－ax e x ＝x e x ⎝⎛⎭⎫1x 2e x －a . 当x ∈(0,1]时,1x 2e x 单调递减,取值范围为⎣⎡⎭⎫1e ，＋∞. ①当a ≤1e时,F ′(x )≥0对x ∈(0,1]恒成立,所以F (x )在(0,1]上单调递增,F (x )max ＝F (1)＝0,满足题意；(12分) ②当a ＞1e时,F ′(x )在(0,1]上有唯一零点x 0∈(0,1)． 易得F (x )在(0,x 0]上单调递增,在[x 0,1]上单调递减,所以F (x 0)＞F (1)＝0,不合题意．综上所述,实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，1e .(16分) 6,(2017苏州暑假测试)已知函数f (x )＝x －ln x ,g (x )＝x 2－ax .(1) 求函数f (x )在区间[t ,t ＋1](t ＞0)上的最小值m (t )；(2) 令h (x )＝g (x )－f (x ),A (x 1,h (x 1)),B (x 2,h (x 2))(x 1≠x 2)是函数h (x )图像上任意两点,且满足h (x 1)－h (x 2)x 1－x 2＞1,求实数a 的取值范围；(3) 若∃x ∈(0,1],使f (x )≥a －g (x )x成立,求实数a 的最大值．规范解答 (1) f ′(x )＝1－1x,x ＞0, 令f ′(x )＝0,则x ＝1.当t ≥1时,f (x )在[t ,t ＋1]上单调递增,f (x )的最小值为f (t )＝t －ln t ；(1分)当0＜t ＜1时,f (x )在区间(t,1)上为减函数,在区间(1,t ＋1)上为增函数,f (x )的最小值为f (1)＝1.综上,m (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ t －ln t ，t ≥1，1，0＜t ＜1.)(3分)(2) h (x )＝x 2－(a ＋1)x ＋ln x ,不妨取0＜x 1＜x 2,则x 1－x 2＜0,则由h (x 1)－h (x 2)x 1－x 2＞1,可得h (x 1)－h (x 2)＜x 1－x 2,变形得h (x 1)－x 1＜h (x 2)－x 2恒成立．(5分)令F (x )＝h (x )－x ＝x 2－(a ＋2)x ＋ln x ,x ＞0,则F (x )＝x 2－(a ＋2)x ＋ln x 在(0,＋∞)上单调递增,故F ′(x )＝2x －(a ＋2)＋1x ≥0在(0,＋∞)上恒成立,(7分)所以2x ＋1x ≥a ＋2在(0,＋∞)上恒成立．因为2x ＋1x ≥22,当且仅当x ＝22时取“＝”,所以a ≤22－2.(10分)(3) 因为f (x )≥a －g (x )x ,所以a (x ＋1)≤2x 2－x ln x .因为x ∈(0,1],则x ＋1∈(1,2],所以∃x ∈(0,1],使得a ≤2x 2－x ln x x ＋1成立．令M (x )＝2x 2－x ln x x ＋1,则M ′(x )＝2x 2＋3x －ln x －1(x ＋1)2.(12分)令y ＝2x 2＋3x －ln x －1,则由y ′＝(x ＋1)(4x －1)x ＝0 可得x ＝14或x ＝－1(舍)．当x ∈⎝⎛⎭⎫0，14时,y ′＜0,则函数y ＝2x 2＋3x －ln x －1在⎝⎛⎭⎫0，14上单调递减；当x ∈⎝⎛⎭⎫14，＋∞时,y ′＞0,则函数y ＝2x 2＋3x －ln x －1在⎝⎛⎭⎫14，＋∞上单调递增．所以y ≥ln4－18＞0, 所以M ′(x )＞0在x ∈(0,1]时恒成立, 所以M (x )在(0,1]上单调递增． 所以只需a ≤M (1),即a ≤1.(15分) 所以实数a 的最大值为1.(16分)。
九年级数学依据特征构造——最值问题(二)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：几何综合的处理思路是什么？问题2：处理函数综合问题要注意________和________的分析研究，并结合特征灵活调用处理手段解决问题．①隐含信息主要是由表达式、坐标而得到的____________；②几何特征分析通常是寻找图形中的______________、___________________等．依据特征构造——最值问题（二）一、单选题(共4道，每道25分)1.已知直线与x轴、y轴分别交于点A，B，动点P在线段OA上由原点O 向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点C，设运动时间为t秒．（1）当k=-1时，另一动点Q在线段OA上由点A向点O运动，且它与点P以相同的速度同时出发，当点P到达点A时两点同时停止运动．若以Q，C，A为顶点的三角形与△AOB相似，则t的值为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数处理框架2.（上接第1题）（2）当时，设以C为顶点的抛物线与直线AB的另一交点为D，则CD的长为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数处理框架3.（上接第1，2题）（3）在（2）的条件下，设△COD的边OC上的高为h，当t的值为( )时，h的值最大．A. B. C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数处理框架4.在Rt△POQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中点，把一块直角三角板的直角顶点放在点M处，并将此三角板绕点M旋转，三角板的两直角边与边OP，OQ分别交于点A，B，连接AB．则在旋转三角板的过程中，△AOB周长的最小值为( )A. B.C.6D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：斜直角的处理思路（斜转直）。
高中数学专题之函数的值域与最值(内附练习及答案)
学客教育——做您身旁最负责的教育专家4008117114函数的值域与最值【基本观点】求函数最值的基本方法： 1、配方法（二次函数） 2、分别常数法（分式函数） 3、反函数法（分式函数） 4、基本函数性质法5、换元法 [ 换元必换限 ] （无理函数、高次函数等）6、基本不等式法（耐克函数）7、单一性法（单一区间上的值域与最值）8、数形联合法 【典型例题】例 1：求以下函数的值域。
（ 1） y2 x 1 ；2 x 1（ 2） y lg 1 2cos x ；（ 3） y 2 x2 x 1 ；22 x 1 ；（ 4） yxx1（ 5） y lg x x 2 6x 1 x2 ；（ 6） y3 sin x 。
2 cosx解： （ 1） [ 解一 ] 分别常数法： y 2 x 1 2 x 1 2 2 1y ,1 U 1,2 x 1 2x 1 12x1[ 解二 ] 反函数法： y2x 1 2 y 2 x1 yxy 1 y 12x 12 y2（ 2）基本函数性质法： cos x 1,1 1 2cos x1,3 又1 2cosx 01 2cos x0,3y,lg3（ 3）换元法：令 t2x 1 0 ，则 22 x t1y 2x2x 1 t 2123又 t 01 tt y 1,2 4t 22 t114 （ 4）基本不等式法：令 tx 1 0 ，则 x t 11tyt4t当 t 0 时， y2 t4 0 ，当且仅当 t 2 即 x1时取等号4t学客教育——做您身旁最负责的教育专家4008117114当 t 0 时，y 2 t 448 ，当且仅当t 2 即 x3时取等号t∴y, 8 U 0,（ 5）单一性法：y1 lg x 在1,2 上单一增且 y2 x2 6 x 在1,2 上单一增y y1 y2在1,2 上单一增y 5,8 lg 2（ 6）数形联合法：设P cos ,sin 、Q 2,3 ，则 k PQ 3 sin xy 2 cos x设 y 3 k x 2 3 2k 1 k 2 2 3,22 3即 y 2 2 3,2 2 3 k2 1 3 3 3 3例 2：函数 f x ax 2a 1 在区间1,1 上的值有正有负，务实数 a 的取值范围。
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专题15 运用构造法研究函数的最值问题
一,题型选讲
题型一,恒成立与存在问题中的构造函数求参数范围
不等式的恒成立问题处理,通过分类讨论,合理的代数变形,将问题进一步转化为熟悉的问题,结合图像,通过构造函数,利用导数进行求解.特别要注意要构造熟悉的函数,便于求解.
例1,(2019宿迁期末)已知函数f(x)＝x ln x
,g(x)＝kx ＋b(k,b ∈R )． (1) 求函数y ＝f (x )的定义域和单调区间；
(2) 当b ＝－k 时,若存在x ∈[e,e 2],使得f (x )≤g (x )＋12
,求k 的取值范围．
例2,(2015宿迁一模)已知函数f (x )＝e x (其中e 是自然对数的底数),g (x )＝x 2＋ax ＋1,a ∈R .(1) 记函数F (x )＝f (x )·g (x ),且a >0,求F (x )的单调增区间；
(2) 若对任意x 1,x 2∈[]0，2,x 1≠x 2,均有|f (x 1)－f (x 2)|>||g (x 1)－g (x 2)成立,求实数a 的取值范围．
例3,(2019苏锡常镇调研)．已知e 为自然对数的底数,函数的图像恒在直线上方,2()x f x e ax =-32
y ax =
则实数a的取值范围为．
题型二,构造函数证明不等式
不等式的证明是高中数学的一个热点,也是数学的一个难点,考查了数学的综合能力和对知识点的处理.对于这种问题最常见的处理方式就是讲不等式进行变形,构造函数,研究这个函数的最值问题.
例4,(2019南通,泰州,扬州一调)已知函数f(x)＝a
x＋ln x(a∈R)．
(1) 讨论f(x)的单调性；
(2) 设f(x)的导函数为f′(x),若f(x)有两个不相同的零点x1,x2.
①求实数a的取值范围；
②证明：x1f′(x1)＋x2f′(x2)>2ln a＋2.
例5,(2017苏州期末)已知函数f(x)＝(ln x－k－1)x(k∈R)．
(1) 当x＞1时,求函数f(x)的单调区间和极值；
(2) 若对于任意x∈[e,e2],都有f(x)＜4ln x成立,求实数k的取值范围；
(3) 若x 1≠x 2,且f (x 1)＝f (x 2),证明：x 1x 2＜e 2k .
题型三 ,构造函数求线段的长度,斜率等问题
对于涉及到求距离斜率等问题,运用集合法不好解决的可以考虑所给的形式,构造是的的函数进行求解.一般地,对于以下结构的问题需要注意其式子的几何意义：(1)（x －a ）2＋（y －b ）2表示两点间的距离或向量的模；(2)k ＝y －b x －a
表示过点(a,b)与(x,y)的直线的斜率；(3)Ax ＋By 与直线Ax ＋By ＋C ＝0的截距有关；(4)P(cos θ,sin θ)表示单位圆x 2＋y 2＝1上的任意一点；(5)a 2±ab ＋b 2与余弦定理有关,在解题过程中可以利用这些式子的几何意义构造一些特殊的函数.
例6,(2018苏州期末)已知直线y ＝a 分别与直线y ＝2x －2和曲线y ＝2e x ＋x 相交于点A,B,则线段AB 长度的最小值为________．
例7,(2017镇江期末) 已知不等式(m －n)2＋(m －ln n ＋λ)2≥2对任意m ∈R ,n ∈(0,＋∞)恒成立,则实数λ的取值范围为________．
二,达标训练
1,(2019扬州期末) 若存在正实数x,y,z 满足3y 2＋3z 2≤10yz,且ln x －ln z ＝e y z ,则x y
的最小值为_________． 2,(2016盐城三模) 若函数f (x )＝e x ＋x 3－12x －1的图像上有且只有两点P 1,P 2,使得函数g (x )＝x 3＋m x
的图像
上存在两点Q 1,Q 2,且P 1与Q 1,P 2与Q 2分别关于坐标原点对称,则实数m 的取值集合是________．
3,(2019苏锡常镇调研(一)) 已知函数f(x)＝x 2＋|x －a|,g(x)＝(2a －1)x ＋a ln x,若函数y ＝f(x)与函数y ＝g(x)的图像恰好有两个不同的交点,则实数a 的取值范围为________．
4,(2017南通,扬州,淮安,宿迁,泰州,徐州六市二调)已知对任意的x ∈R,3a (sin x ＋cos x )＋2b sin2x ≤3(a ,b ∈R )恒成立,则当a ＋b 取得最小值时,a 的值是________．
5,(2017南通,扬州,淮安,宿迁,泰州,徐州六市二调)已知函数f (x )＝1e x ,g (x )＝ln x ,其中e 为自然对数的底数． (1) 求函数y ＝f (x )g (x )在x ＝1处的切线方程；
(2) 若存在x 1,x 2(x 1≠x 2),使得g (x 1)－g (x 2)＝λ[f (x 2)－f (x 1)]成立,其中λ为常数,求证：λ＞e ；
(3) 若对任意的x ∈(0,1],不等式f (x )g (x )≤a (x －1)恒成立,求实数a 的取值范围．
6,(2017苏州暑假测试)已知函数f (x )＝x －ln x ,g (x )＝x 2－ax .
(1) 求函数f (x )在区间[t ,t ＋1](t ＞0)上的最小值m (t )；
(2) 令h (x )＝g (x )－f (x ),A (x 1,h (x 1)),B (x 2,h (x 2))(x 1≠x 2)是函数h (x )图像上任意两点,且满足h (x 1)－h (x 2)x 1－x 2
＞1,求实数a 的取值范围；
(3) 若∃x ∈(0,1],使f (x )≥a －g (x )x
成立,求实数a 的最大值．。