高考数学解题方法攻略值域与最值理
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函数的值域与最值
（一）、最值与值域的高考地位
传统高考数学中的应用题中凡涉及到利润最大（或最小），最少的人力、物力等，均可归结于最值与值域的求解；当今高考数学中的求字母参数的取值范围问题很大一部分归结于最值与值域的求解
通过求函数的最值与值域可大大的加深对一些数学思想的领会，提高运用数学思想解题的能力。
（二）、最值与值域的关系 1、有的函数知道值域就可以求最值
如：函数2
x y =的值域是{}0|≥y y ，可知0min =y
2、有的函数知道最值就可以求值域
3、有的函数有值域但无最值 如：函数x
y 1
=
的值域是{}0|≠y y ，但无=min y ,无=max y 4、有的函数有最大值但无最小值
如：函数2
x y -=，0max =y ，但无=min y 5、有的函数有最小值但无最大值 如：函数2
12
x
y +-
=，2min -=y ，但无=max y 6、值域有可能是一个数，也可能是几个数构成的集合，但大多是一个不等式构成的集合 如：常数函数2)(=x f 的值域是{}2
7、求最值与值域的方法大同小异
8、在由值域确定函数的最值时，需注意等号成立的条件下才能取到。 如：已知值域{}13|<≤-y y ，只有3min -=y ，而无=max y 9、最值存在定理：连续函数在闭区间上一定存在最大值和最小值
（四）、函数的最值与值域的求解技巧
即是求函数值的集合或是找到的y 的不等式出来（以后者为重） 如：已知函数12)(-=x x f ，{}5,3,2,1,0∈x 则此函数的值域是（ ） A 、{}5,3,2,1,9；B 、{}3,1,1-；C 、{}5,3,1,1,9-；D 、{}91|≤≤-x x 法（一）：观察法 【及时反馈】
1、函数12)(-=x
x f 的值域是（ ） A 、)1,(--∞；B 、),1[+∞；C 、R ；D 、),1(+∞-
法（二）：反函数法
ⅱ、求反函数的步骤（“三步曲”）
①求)(y x Φ=；②x 、y 互换；③通过求原函数的值域得出反函数的定义域 【及时反馈】 （1）、求函数1
4
2)(-+=
x x x f 的值域
（2）、求函数4
53)(-=
x x
x f 的值域
法（三）：分离变量法 常用于求形如)0()(≠++=
ac d
cx b
ax x f 的函数的值域
求解技巧：“分子对分母说，我要变成你”，即把)(x f 化成“常量+d
cx +常量
”的形式
来。
【及时反馈】
（1）、求函数14
2)(-+=
x x x f 的值域 （2）、求函数4
53)(-=x x
x f 的值域
通过以上两题的值域的求解，你发现了什么？
（3）、已知函数123)(2+-=x x a x f 的值域是⎭⎬⎫⎩
⎨⎧
-≠21|y y ，则a 的值是
法（四）：基本不等式法
若a>0,b>0，则ab b a 2≥+ , 2
)2
(b a ab +≤ 【及时反馈】
(1)、若a 、b 是正数且ab b a =++3，则ab 、a+b 的取值范围分别是
（2）、已知实数m 、n 满足mn>0,则mn
n m 2
2+的值（ ）
A 、有最小值但没有最大值；
B 、有最大值但没有最小值；
C 、既有最大值也有最大值；
D 、没有最大值也没有最小值； ①2
b
y k x
=
+型，可直接用不等式性质， 【及时反馈】
求232y x =+的值域（答：3
(0,]2
） ②2bx
y x mx n
=++型，先化简，再用均值不等式，
【及时反馈】
（2）求函数y =
1
[0,]2
）
③2x m x n y mx n ''++=+型，可用判别式法或均值不等式法，
【及时反馈】求21
1
x x y x ++=+的值域（答：(,3][1,)-∞-+∞）
在使用均值不等式求函数的最值与值域时注意：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针 法（五）：配方法
常用于二次型函数)0()()(2
≠++=a c x bf x af y 的最值与值域的求解。
配方步骤：
1、把二次项系数化为1；
2、在一次项之后加上又同时减去一次项的一半的平方；
3、把前三项凑成完全平方式。 （一）、不带限制条件的二次型函数的最值与值域的求解
技巧1：通过配方后得到a
b a
c a b x a y 44)2(2
2-+
+= 当0>a 时，a b ac y 442
min
-=；值域是⎪⎪⎭