一道课本例题的探究教学尝试
让学生思维的火花绽放——一道课本例题的探究式教学实践与思考
让学生思维的火花绽放——一道课本例题的探究式教学实践与思考引言传统的教学模式通常是老师讲，学生听，而探究式教学则是以学生为中心的教学模式，通过让学生探究问题，发现问题，解决问题，培养学生的思维能力和独立思考能力。
本文旨在通过一道课本例题的探究式教学实践，探索探究式教学的优势及如何落实到课堂教学中，从而让学生的思维火花绽放。
实践过程我们选取了《数学（七年级上册）》中的一道例题作为探究式教学的实践案例，该例题如下：计算 $(0.25 \\div 0.5) \\times 2$ 的值。
为了能够让学生更深入地理解该例题，我们采用了如下的教学方式：第一步：引导学生提出问题在学生还没有开始思考之前，我们先引导学生提出问题。
通过问学生“这道题目让你思考了什么问题？”来引导学生思考。
第二步：学生自主探究接下来，老师启发学生，让学生自主探究问题，让学生先自己试着去解决问题，教师只是起到引导作用。
这样能够增加学生思考题目、解决问题的兴趣，同时也增强了学生的自信心。
第三步：分组交流学生自探究过程中产生了大量的思维火花，而我们就是要激发这些思维火花，让学生对解决问题时的思考进行比较和交流，进一步加深学生的认识。
我们将全班分成小组，由小组成员交流归纳各自的探究思路，思考受到什么影响，有什么体会，进而分享自己的解题方法，最后让小组代表报告，形成大家共同思考的氛围。
第四步：整理答案学生自行思考、小组交流后，学生的答案有什么共同点？有什么不同的点？在老师的引导下，让同学们进行比较答案，找出自己的错误，进一步深入思考解题思路。
第五步：再次交流在学生自行整理完答案后，老师会再次约请同学之间交流。
通过这个环节带领学生成果评价和解题方法讲解，更直接地突出知识点、强化学生对问题的印象。
比如这题入手容易出错的原因是什么，些许不同的解法背后的共性，等等。
第六步：讲解通过整理答案，引领学生理解知识点，归纳方法和步骤，落实定理，强化学习效果。
总结通过以上实践，我们发现探究式教学以学生为中心，能更好地引导学生自主思考，激发学生的探究兴趣，增强学生的自信心，提升学生的思维能力和独立思考能力。
一道课本例题的探究与思考
结论 １ ： Ａ、 Ｂ是 抛物 线 ＇ ， ＝２ ｐ （ Ｐ ＞０ ）
上 异 于顶点 的两 动点 ， ０ 为坐 标原点 ， 则 （ １ ） 若 ｋ ｏ Ａ ｋ ： （ 常数 ） ， 则 直 线 ＡＢ过 定点（ 一Ｌ ｐ ＿ ） ， ０ ） ；
ｎ
，
ｒ ｎ 故 凡：一２ ｐ 则直线 Ａ Ｂ的方程 ￡
．
，
例 Ｏ 为直角 坐标 系 中的坐标 原点 ， Ａ、 Ｂ是抛 物线 Ｙ ＝２ ｐ （ Ｐ＞０ ） 上异 于顶点 的两动点且 Ｏ Ａ ｊ ＿Ｏ Ｂ， Ｏ Ｍ上 Ａ Ｂ并与 Ａ Ｂ 相交 于点 ， 求 Ｍ 点 的轨 迹方 程 ． 此 题可 谓是 有关抛 物线 问题 的一道 经典 例题 ， 进 一 步 研究 发 现 ， 以此题 为 背景 ， 可 以 得出一 系列 与 圆锥 曲线 有 关 的定 值 定 点
，
证明 ： 当 ｋ Ｍ 存 在 时 ， 设 ｋ＝ ｋ 肼 ， 则
二 Ｑ
．
二
２ 一 ０
＝
，
） ． 注 意 到
＋
１ 一
０
（ １ ） 设 ＭＮ 的直线方
程为 Ｙ＝ ｋ ｘ＋ ｍ， 联立 双 曲线 方程 得 （ 口 ｋ
一
ｙ ０＋ ｙ ２
＋
：／ ＝ Ｚ ， 。 故 ∞ 【 ｙ ｖ １ ｙ ｖ ：： １
一
一
６
过定点 （） ｍ ＋（ ２ ２ ａ ｋ ｘ ０—
问题 ．
ｏ ｒ 为 ＝ ｍｙ一２ ｐ ： ｍ（ ｙ一 ） ， 故直 线
，
过定 点 （ ０ ， ） ． 注： 巧 构 关 于 的 一元 二 次 方 程 ， 利 用
一道课本习题的教学探讨
扣教材出新题， 是高考命题方向之一， 而
对提高学生思维和对问题的进 ： 教材的丰富内涵是高考命题的源泉，命题者常 想方法进行提炼 ，从而丧失习题潜在的教育功 方法进行提升，
（） ２写出（ ） １中命题 的逆命题 ， 并判断真假 ，
课堂问题 的变式是熟练技能 ， 促进理解的
说明理 由。 已知 ： 直线 ｙ ｘ ２与抛物线 ｙ＝ｘ交 于点 必要步骤 ，数学教学应让学生体验有限变异这 ： ＝一 ￣２ 过程 ， 这些 问题的变异 ， 看似简单重复 ， 实 ： 其 六、 再思考 Ａ。 Ｂ。
： 自己的一些观点：选择课本上一道习题作为教
那么， ．Ｏ Ｚ Ｂ是锐角 ， ， Ａ 直角 还是钝角？ ： 为 效地进行习题课教学？ 在这篇文章中 ， 我给出了 新课程标准要求，学生应尝试从不同角度 两点 ，
思考 问题 ， 一题多解 ， 不仅可沟通各部分 知识 的 什么？
联系 ， 拓宽解题思路 ，Байду номын сангаас少胜多” 并且能够激 “ ， 发学生对数学研究的兴趣。
０
・－—
—！－ —－
通过多角度思考， 提炼方法 ， 变式训练。 编拟开
放性 习题 ， 以此来呈现课本习题的教学功能 ： 巩
义・ ‘ ‘ ’ ｏ Ａ
・ ． ．
固知识， 技能。 拓宽思维， 培养创新与探究能力。
倡导在 以后的教学 中 要重视课本习题 ， 充分挖掘
０ ｉｏ ７＂ － ｆ ． 二、 方法提炼 。 并提升到“ 思想” 层面
范文：一道经典例题教学的有效探究
一道经典例题教学的有效探究本文试以八年级第二学期课本22.6(2)中例8的教学为例,浅谈如何对经典例题进行教学的有效探究。
例8:如图(图1),已知:梯形ABCD中,AD∥BC,E为AB中点,AD+BC=DC。
求证:DE⊥EC,DE平分∠ADC,CE平分∠BCD。
一、一题多解,培养学生的探究意识探究意识是一种愿意发现问题、积极地去探求事物的发展变化规律的心理取向,它是创新的动力源泉,而培养学生的探究意识,是改变学生的学习方式,形成探究能力的前提和基础。
此题的图形是一个基本图形,它有着及其丰富的内涵。
可与“梯形的中位线定理” 、“全等三角形” 、“等腰三角形三线合一”等定理产生联系,并综合应用。
课本中仅出现了一种解法,而在教学过程中学生通过自主探究和教师的引导,共得出了三种不同的证明方法。
分别如下:方法一:取CD中点G,连接EG,如图2。
方法二:延长DE、CB相交与点F,如图3。
方法三:延长CB至F,使BF=AD,连接EF,如图3。
第一种方法是课本上介绍的方法,此方法需要结合前一节所学新内容“梯形的中位线定理” 以及三角形的相关性质定理进行证明,是教师应该传授的相关知识。
在课堂教学中,我通过方法一的证明过程,引导学生总结并提升出从“已知”想“可知”,从“需知”找“已知”相结合的思考方法,并由此放手让学生活动,激发学生去探究其他的解法,进而他们又发现了第二和第三种证法。
尤其是第二种证法,因为能与“8字形”(在学习全等三角形证明时,我把两个全等的对顶三角形图形形象地概括为“8字形” )内容产生联系,整个思维过程较为顺畅。
后两种方法的产生过程,也正是学生探究意识的形成过程。
二、举一反三,让学生掌握探究的方法在几何教学中,教师适时、适当地将例题变形转化,将例题的潜在功能挖掘出来,不仅可以培养学生举一反三、触类旁通的解题能力,还能有效地训练学生思维的灵活性和深刻性,促进学生掌握科学的探究方法。
基于学生对例题的掌握情况较好,我对例题稍作改动“如图1,已知:梯形ABCD中,AD∥BC,E为AB中点,DE⊥EC。
一道课本例题教学的探索
ＡＯ Ｃ Ｆ （ Ｅ ｍ ＡＯ Ｄ 证明此两个三角形全等与例题证明方法相
同）
得 Ｓ Ｅ ＝ ＡＯ Ｄ 而 Ｓ Ｄ ＝ ＡＯ Ｄ Ｓ Ｆ △Ｏ Ｃ Ｓ Ｆ △Ｏ Ｃ Ｓ Ｆ ＋ ＡＯ Ｃ
含 ４￣ ５ 角的三角板 ， Ｄ ＡＯ Ｅ是另一块含 ３ 。 ０ 的三角板 ， 且点 Ｏ是
Ｂ Ｃ的中点 ， △Ｏ Ｅ绕着点 Ｏ旋转 ， 把 Ｄ 上述结论 成立 吗？
Ｃ
一
Ｎ Ａ ／
图２
ＢＭ Ｄ
￡
图３
分析 ： 变形 １２的结论都成立 ， 、 其解题 思路和例题类 似 ， 证 明方法完全相同（ 请读 者 自己证 明） 通过改变 图形 ， 变形 ， 操作等 创造 出系列新题 ， 关键是抓住题 目的本质属性 ， 解决 实际问题 ，
２０ ０ ８年 １ ０月
（ 总第 ９ 期 ） ２
搴Ｈ 论 ’Ｉ 坛 Ｓ Ｕ 磁 Ｚ
Ｊ Ａ Ｏ Ｙ Ｕ ＬＵ Ｎ Ｉ ＴＡ Ｎ
一
ＮＯ．０， ０ １ ２ ０８
（ ｕ ｌｔ ｅｙ Ｏ９ ） Ｃ ｍｕａｉ ｔＮ ． ｖ ２
道课 本例题 教学 的探索
沈桂斌
江 苏省兴 化 市林 潭 学校 ， 苏 兴化 ２ ５４ 江 ２ ７５
点， 如果 点 Ｍ、 Ｎ分别在线段 Ａ 、 Ｃ上移动 中保 持 Ｍ Ｎ ９ 。 ＢＡ Ｏ ＝ ０，
请判断 Ａ ＝ Ｍ ， Ｍ＝ Ｎ， Ｎ Ｂ Ｏ Ｏ 并证 明你 的结论 。
Ｃ
硼
？ 邀 Ａ Ｃ ｉ ・ Ｂ Ｄ、～ ＣＤ 是 ＡＢ 一 Ｅ
由一道课本例题引发的探究
由一道课本例题引发的探究
本中的例、习题作为教材的重要组成部分，都有一定的示范性、典型性和探究性，或寓一般性的结论、或蕴含着深刻的背景材料，是课本的精髓，也是高考命题的源头。
在课堂教学中，对课本中的例习题进行变式探究、引申拓展、横向联想，并能巧妙运用其中一些结论，以题攻题，可以提高复习的针对性和有效性，有利于提高学生的数学素养和教师把握高考的能力。
新课程改革的核心理念是倡导探究学习。
探究学习是一个过程，是一个学生在做数学中学习数学的过程，倡导探究学习的根本目的就是要让学生在学习的过程中培养科学精神、养成科学态度、掌握科学方法、获得科学知识，从而全面提高科学素养。
探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，它要求解答者自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括。
它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求。
它有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程。
一道课本例题的探究性教学
并且 面积比原来的矩形面积大 （ 图２ 如 的
引 导 １ 许 多 同 学 都 在 计 算 罔 １ 况 情
（ 即课 本情 况 ） 的矩 形 面 积 的最 大 值 ， 生 下 你
多
学
虚 线 部 分 ） 对 于 这 种 情 况 ， 可 以 找 ．即 总
到 一 个 面 积 比它 大 的矩 形 ， 并且 此 矩 形 至 少 有 两个 顶 点 在 扇 形边 界上．
（ ） 矩 形 绕４点逆 时针 方 向旋 转 直 １将
到边ＡＢ存 半径 ０ Ｐ上 ：
（ ） 得 到 的 矩 形 平 移 ， 持 点 ， ２将 保 Ｂ 在半径０ 上． Ｐ 直到 点 在扇 形 的 另一 条半
径 上为止 ．
很 快 同学 们发 现 ． 不论 如 何 变化 矩形 ＡＢＣ Ｄ的 位 置 ． 于 图 １ 和 图 ｌ 的情 形 中 对 ２ ３
更大的“ 内接 矩 形 ” 是不 是 这 种面 积 更大 ， 的内 接矩 形 不存 在 呢？
就在 学 生作 图 遇到 困难 时 ， 一部 分 学
生 开 始 怀 疑 这种 “ 积 更 大 的 内接 矩 形 ” 面
的存 在 性 ， 但是 更 多 的人 坚信 ， 种 “ 积 这 面
更 大 的 内接 矩 形 ” 仅 存 在 ， 小 而且 就 是 图 １
的课 本 情形 ！ 于 是笔 者 给 出下 面 的提 示．
引导９ 我 们 能 否 像 图 ９ 样 ， 用旋 那 采
转 变换 来 寻求 问题 的解 决 呢？
此 言一 出 ， 几乎 所 有 的学 生都 想 到利 用 计 算 机 来 演 示 探 求．于 是 有 学 生 要 求
利用 教 室多 媒 体进 行 实验．
一道课本例题探究性学习的实践与思考
一
二 册 （ ） １ 页 的 例 ３ “ 率 为 １ 直 线 经 过 抛 物 线 上 １８ ：斜 的
Ｙ ＝ ４ ｘ的 焦 点 且 与 抛 物 线 相 交 于 Ａ、 求 线 段 Ａ Ｂ， Ｂ的 长 ”的 教 学 为 例 ， 谈 如 何 在 例 题 教 学 中 引 导 学 生 开 谈 展探 究性 学 习 ， 大家 参考 ， 供
使 用 这 一 模 型 进 行 各 种 变 量 的 测 算 ， 一 模 型 尽 管 这
来 源 于 房 地 产 市 场 ， 它 的 应 用 远 远 不 仅 于 此 ， 实 但 事
上 ， 诸 如 保 险 、 赁 、 券 等 行 业 也 有 十 分 广 泛 的 在 租 证
应 用． 然 它在 不 同领 域 的应 用 各有 其 特点 ， 兴趣 当 有
＞０ ）的 焦 点 ， 抛 物 线 相 交 于 Ａ、 两 点 ， 线 段 与 Ｂ 且 ｌ Ｂ ｌ ＝ ８ 求 Ｐ的 值 ． Ａ ，
Ｊ ’ ｌ
思 路 １ 先 求 交 点 坐 标 ， 后 直 接 运 用 两 点 间 然 的 距 离 公 式 求 线 段
ＩＡＢ ｌ的 长 ．
学 科 的核 心知 识 为 内 容 ， 探 究 发 现 为 主 的学 习方 以
式 ， 中学数 学教 学 中 ， 导 学 生 开 展 探 究性 学 习 ， 在 引 对 每 一个数 学教 师 来说 ， 一 个 不 可 回避 的新 课题 ． 是 本 文 以 现 行 高 中 新 教 材 （ 验 修 订 本 ・ 修 ） 学 第 试 必 数
③ 如 何 求 线 段 ｌ Ｂ ｌ的 长 ？ Ａ 由 于 创 设 了 一 题 多 解 的 情 境 ， 于 问题 ③ ， 生 对 学
一道课本例题的探究开发
一道课本例题的探究开发663312云南省广南县篆角乡中心学校 陆智勇课本的例题不仅仅是传授知识、巩固方法、培养能力、积淀素养的载体，如果我们对它们进行特殊联想、类比联想、可逆联想和推广引申，这些例题也可作为探究教学的重要材料。
笔者尝试着从课本例题入手，合理开发课本例题，引导学生反思、深化与推广，并结合数学探究教学作了初步的探讨.题目：如图(1)，AD 是△ABC 的高，点P,Q 在BC 上，点R 在AC 上，点S 在AB 上，边BC=60cm ，高AD=40cm,四边形PQRS 是正方形.(1)相似吗？与ABC ASR ∆∆ (2)求正方形PQRS 的边长.分析：由于四边形PQRS 为正方形，所以SR ∥BC ，故ASR ∆∽ABC ∆.利用相似三角形对应高的比等于相似比列方程求解.解：（1）ASR ∆∽ABC ∆.理由： 是正方形，因为PQRS 所以SR ∥BC. 所以 .,ACB ARS ABC ASR ∠=∠∠=∠ 所以ASR ∆∽ABC ∆ .（2）由（1）可知ASR ∆∽ABC ∆.根据“相似三角形对应高的比等于相似比，可得设正方形PQRS 的边长 为 AE=(40- χ )cm, 所以 解得：所以正方形PQRS 的边长为24cm.此题是北师大版九年义务教育课程标准实验教科书八年级数学下册第147页.BCSRAD AE =，cm χ.24=χ604040χχ=-的一道例题。
该题是典型的利用“相似三角形对应高的比等于相似比”解决实际问题的例题。
笔者在教学过程中没有停留在问题的解决上，而是以此题为切入口，精心设计了一组变式，恰当设置问题梯度，使难易程度尽量贴近学生的最近发展区，使设计的问题触及学生的兴奋点，把学生从某种抑制状态下激奋起来，使之产生一种一触即发的效果。
变式1：如图(2),△ABC 的内接矩形EFGH 的两邻边之比EF ：FG=9：5，长边在BC 上，高AD=16cm,BC=48cm,求矩形EFGH 的周长。
一道课本例题的探究
（
）２ ｔ ）化 简 为２ ｔ ｘ （村２（９１ ） … …（ ） （ － ， ｐ ｐ￣ ＝ｔ ）２ ￡ ．… － 。 Ｉ ４
一 ｙ － ．做 到 这 里 后 ， ２ ｈＯ ｐ 这
解 析 根 据 条 件 ， 点 ， 日的 坐 标 分 别 为 （ ） ，２ ｑ ， 设 Ａ， ，） （ ， ｐ
投 稿邮箱： ｊ ｖ ３ ｏ ｓｋ ｉ１ ． ｒ ｘ ＠ ｐ ｃｎ ６
数学教学通 讯 （ 教师版 ）
试 题研究＞ 试题探究
霸圄
刘 菊 秋
湖 南株 洲 南 方 中学
４ ２０ １０ ２
舯
笔者 在 人教 版 选修４ 《 物线 的参 数方 程 》 —４ 抛 的教 学 中 ， 到 遇 了两个 很 有意 思 的 问题 ， 对拓 宽 学生 的 思 维 、 开 学生 的思路 、 打 活
即 ＋ ２ ｘ Ｏ（ 一 ｐ ＝ ｘ＃Ｏ ． ）
这 就 是 点 的 轨 迹 方 程 ．
０
在 本 例 的教 学 中 ， 者 让 一 位 数 学 成 绩 较 好 的学 生 上 黑 板 笔
板 他 到 面的 ２ 后， 用 ∥ 得 － ２ ｔ ） 演， 做 前 （ 式 利 （ ｘ ｐ 。 ＝ ） ；（
０ ５ ５
试题 研究 ＞ 题探究 试
数学教学通讯 （ 教师版 ）
投稿邮 ｓｊ ｖ ３ｏ 箱： ｋ ｉ１ ．ｒ ｘ＠ ｐ６ｃｎ
求 有困难 ， 一 这时笔者提示大家能否进行整体代换？学生们情绪
高 昂 ， 上将 ＋ 代入 （） ， 马 一 １ ４ 式 问题得 到 圆满解 决．
孚 ｔ≤ ， 詈 ａ一 詈 ｎ孚 一
≥ 中 的 等 号不 能 取 到 ， 致 角 的 导
由一道例题教学引发的探索与反思
B C由观摩一道例题教学片段引发的思考廉州学区 李建文 韩国会 武小慧 卢凡近日，在观课过程中，我们看到了两位初中教师的的同一例题的教学过程，观课之后有所感想。
下面，结合我们的认识就课本中的这一例题及教师的教学做一分析，与大家共同做一探索和交流，不当之处还请指正。
此例题是人教版教材八年级上册12.3等腰三角形例1（P50）。
原题及解答过程如下：已知：如图，在ΔABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ，求ΔABC 各角的度数。
解：∵AB=AC ，BC=BD=AD ，∴∠ABC=∠C=∠BDC ，∠A=∠ABD （等边对等角）。
设∠A=x ，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x ，从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x 。
于是在ΔABC 中，有∠A+∠ABC+∠C=180°.解得X=36°。
在ΔABC 中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°。
一、教师的教学过程分析（一）、例题教学过程简录第一位教师的教学过程：1、 先让学生自己尝试解答此问题，同时指名学生1上黑板板书解法；2、 指名让学生1讲解自己的解法；3、 指名学生2指出学生1解法中存在的问题。
第二位教师的教学过程：1、投影出示问题让学生思考；2、指名学生1回答解法；3、投影课本解法。
（二）、教学过程简单分析1、例题的作用认识 课本中的例题的一般具有巩固性、综合性、典型性和示范性。
两位教师的教学都能体现了巩固基础知识、提高基本技能和对推理的示范的作用，对于本例题所体现出来的综合性、典型性教师还可作进一步挖掘，以使例题的作用实现最大化。
2、例题思路的分析通过教师的教学学生们知道了例题答案，但是学生只知道这么解答，没有思考为什么这么解答，教师也没有说为什么这么解答。
对于部分数学生来说，如果不是课前学生看了课本的解法，或者不看投影内容是想不出这种列方程的解法。
学生们虽然现在知道怎样做此题了，但是今后再遇到这类问题，可能还是不知道怎么思考。
习题 反思 变式 探究——从一道课本习题出发进行专题复习的尝试
点 评 ：本题 是 一 道综 合 题 ，在 引
（ 、 ２ ） 亨“
＋ ＝
＝ 鲁 ” ， 得Ｅ Ｑ ＝ ｙ ＝
例 的基础上 ，把正方形换为矩形 （ 这时
“
８ 一 。 则 ｓ 矩形 即ｐ ： ・
：
音” 变 为“
＝ 吾”） ，
｛（ － ５ ） ＋ ２ ０ ， 当 ｘ ＝ ５ 时，
反思 ２ ：引例是 已知 一边长及这边
Ｑ
图 ５
面 积 之和 等于 △Ａ Ｂ Ｃ的 面积求 解 。本
题 比较简单 ， 大多学生 能够正确解答 ，
但如果只满足 于能够解 答 ，那是远远 不
Ｃ
１ ｇ ．
ｊ Ｉ 案 例 再 现 ｊ
Ａ
中ｙ ＝ Ｅ Ｑ），由此得证 ；
，
“
一
变式 ２ ：（ ２ ０ １ １ 年 山西省 中考试题 ） 如图 ４ ，Ａ Ａ Ｂ Ｃ中，Ａ Ｂ － － Ａ Ｃ，点 Ｄ、Ｅ
反思 １ ：在引例 中 ，如果不求 出正 方形 的边 长 ，如何用 尺规作 出这个 正方
形？
分 别是 边 Ａ Ｂ 、 Ａ Ｃ的 中点 ，点 Ｇ 、Ｆ在
Ｂ Ｃ边上 ， 四边 形 Ｄ Ｅ Ｆ Ｇ是正 方形 ，若
并增加 了求矩形 、三角形 、梯形 的面积 及二次 函数知识的应用等 ，同时融人 了 运动变化观点 以及函数和分类讨论 的数
学思想方法 ，把课本习题演变到极致 。 反思 ５ ：如果 Ａ Ａ Ｂ Ｃ的内接 四边形
Ｂ
Ｆ
Ｃ
． ｓ 膨 刚 有最大值 ，最大值为 ２ Ｏ 。
义 的但叉 不太 复杂的题 ，去帮助学生发 掘 问题 的各个 方面 ，使得通 过这道题 ，
对一道课本例题的探究式教学
Ｐ在圆上运动时 ， 线段 Ｐ Ａ的 中点 Ｍ 的轨迹是什么？
此例看似普通 和 一般 ， 仔 细分 析我 们发 现该 但 例有着极为广泛 的拓 展空 间． 因此 在学 生 理解课 本 解答过程之后 ， 教师可以创设 问题情境 ， 出新 的 问 提
题： 原例中的定点 Ａ（ ２ Ｏ 能不能改 变？ 中点 Ｍ 能 １，）
回 Ｉ＋ｂ 能等于 ｌ—ｂ 的 ２ ， 由是平 行 四边 答 口 Ｉ ｎ Ｉ 倍 理 形的大小没 有确定 ，口 Ｉ 于 Ｉ—６的 多少倍都 ｌ＋６等 ４ ｌ
是可能的． 针对这一情况 ， 笔者组 织学生进行 了如 下 探究．
３推广 引申 ， ） 探究一般 规律． 两个 非零 向量 的 设 夹 角为 口口 Ｏ ， Ｉ＋ｂ ＝ Ｉ 一ｂ 中的 的取 ，∈［ ， 则 口 ｌ 口 Ｉ
如 图 １ 已知点 Ｐ是圆 ｚ ，
厂 Ｐ
／ ８ １
图１
果 ， 到资源共享 、 习共进 的 目的． 达 学 探究 １ 变定 点 Ａ（ ２ Ｏ一 …—＿（ ，） １ ，） Ａ 口６．
（ 甲组 展 示 ）
＋ ＝ １ ６上 的 一 个 动
点 ， Ａ 是 ｚ 轴 上 的 定 点
２ 问题探 究
一
石击起千层浪 ， 顿时学生 的思维活跃起来 ：
变定点 ： １ ，） Ａ（２ Ｏ 一… （ ，） 口６．
变定比：
ｌ 一…＿ 一 ．
不断 的探究过 程 中体 验数 学发 现 和创 造 的历程 ， 感 受成功 的喜悦 和快乐 ， 发展学 生的创新 意识 ， 培养学
在原例 中’ ＋ｙ ＝１ ， Ｚ ６
＝１均不变 ， 则有 ；
点， 坐标 为 （２ Ｏ ． １ ， ） 当点
数学探究课尝试 一一道课本例题的探究连堂课的教学设计
经许可复制著作权人姓名: 尚爱军数学探究课尝试一一道课本例题的探究连堂课的教学设计北京工大附尚爱军提要：数学探究课在新大纲中已被列入必修课内容中，必须引起我们广大数学教师的高度重视。
当前数学课堂教学的主要弊病是教师讲述时间过长，学生处于被动地位。
推进素质教育就要冲破“以讲为主”的束缚，“把课堂还给学生”，确立学生在课堂教学活动中的主体地位，本文尝试性地设计了“一道课本例题的探究课”，通过学生对TI图形计算器的操作，充分提供了让学生动手、动脑、参与的机会，激发学生的学习兴趣，接受问题的挑战。
动态几何又让学生充分领略到了数学美以及辩证法在数学中的体现。
培养学生的创新意识和实践能力，培养21世纪的创造性人才，已经成为迎接未来知识经济社会，全面推进素质教育的重点。
数学探究课不拘泥于课本上的统一的方法和同一种答案，强调发挥学生自身的主动探索和创造精神，给每个学生的个性发展留下了广阔的空间，更能充分体现学生的主体地位，集中表现为学生在探究活动中可以充分发展其能动性、自主性和创造性。
科技以人为本，我们的教育当然也应该以人（学生）为本。
“国际21世纪教育委员会”的报告中强调：“满足每个人在校和工作中不断学习需要的唯一途径是学会学习。
”按照建构主义学习理论，学生的学习应当以自主学习为基础，以智力参与为前提，以个人体验为终结。
其中活动是第一位的，对处于认识发展阶段的学生来说，这种活动开始表现为外部活动，由于主体自身的智力参与，使外部的活动过程内化为主体的心理过程，产生个人的体验，同时活动必须是学生主动和积极进行的。
在教学中，我们必须要积极引导学生自主活动，注重智力参与，完成个人体验的全过程。
这堂课的教学目标是通过对一道几何例题的不断探究，使学生巩固与圆相关的基本概念，熟练掌握切线的性质定理、切线长定理、弦切角定理等的应用。
通过对例题及变式图形的分析和证明，提高学生画图和推理论证的基本技能。
通过学生操作TI—92图形计算器，使学生平行移动直线的基本功更加扎实。
一道课本例题的探究教学尝试
一道课本例题的探究教学尝试
1问题的提出
苏教版数学选修2-1第二章P29“圆锥曲线和方程”中例2：将圆x2+y2=4上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得曲线的方程，并说明它是什么曲线.
本题求曲线方程所采用的方法是“坐标转移法”，即利用中间变量所在的已知曲线方程得到动点的轨迹方程.除此之外，它还揭示了椭圆和圆之间的内在联系：椭圆可用圆通过伸缩变换得到.教学中，笔者就该题进行了一次教学尝试，在学生理解这种变换后，根据学生的实际情况，引导学生进行更深层次的探究活动：借助伸缩变换，能否将椭圆的问题转化为圆的问题来解决呢？如果可以的话，能否用来简化椭圆中一些复杂的计算问题？通过学生亲身经历数学发展和创造的历程，发展他们的创新意识，体会数学发现之愉悦.。
一道课本例题的探索
２ ． 明确 教 学 目标 教 学 目标 分 为 三 大 领 域 ， 即认 知 领 域 、 情感领域和动作技能领 域。因此 ， 在 备 课 时 要 围 绕 这 些 目标 选 择 教 学 的策 略 、 方法 和媒 体 ， 进 行 必 要 的 内容 重组 。 在 数 学 教 学 中， 要 通过 师生 的共 同努 力 ， 使 学 生 在知 识 、 能力 、 技能 、 心理 、 思 想 品德 等 方 面 达 到 预 定 的 目标 ， 以提 高 学 生 的综 合 索 质 。 ３ ． 善 于应 用 现 代 化 教 学 手 段 在 新 课 标 和 新 教 材 的 背 景 下， 教师掌握现代化 的 多媒体 教学 手段显 得尤 为重 要 和迫 切。 计 算 机 提 供 了一 种 动 态 的 画 图 的手 段 ， 像正弦曲线 、 余 弦 曲 线 的 图形 、 定 积 分 概 念 的形 成 过 程 都 可 以用 计 算 机来 演 示 ， 它 还 提 供 了许 多 有 效 的 途 径 去 表 达 数 学 思 想 。使 用 计 算 机 和 科 学 计 算 器， 学 生能 够 解 决 日常 生 活 中有 关 的现 实 问 题 ， 同 时激 发 他 们 对 数学产生持久的兴趣 ， 并 且 让 学 生 有 更 多 的 时 间 去 发 展 对 数 学 过程的理解和推理能力 ， 从 而 提 高 了学 生 解 决 问 题 的 能 力 ， 进 而 提 高 了教 学 效 益 。 ４ ． 不 断 改进 教 学 方 法 “ 教学 有法 ， 但无 定法 ” ， 教 师 要 能 随 着 教 学 内容 的 变 化 ， 教 学对象 的变化 ， 教学设 备 的变化 ， 灵 活 应 用 教 学 方 法 。 数学 教学 的方 法 很 多 ， 对于新授课 ， 我 们 往 往 采 用 讲 授 法 来 向学 生 传 授 新 知 识 。而 在 立 体 几 何 中 ， 我 们 还 时 常 穿插演示法 ， 来 向学 生 展 示 几 何 模 型 ， 或 者 验 证 几 何 结 论 。如 在 教授立体几何之前 ， 要 求 学 生 每 人 用 铅 丝 做 一 个 立 方 体 的 几 何 模型 ， 观察 其 各 条 棱 之 间 的相 对 位 置 关 系 ， 各 条 棱 与正 方 体 对 角 线之间 、 各 个 侧 面 的对 角 线 之 间所 形 成 的 角 度 。这 样 在 讲 授 空 间 两 条 直 线 之 间 的 位 置关 系 时 ， 就可以通过这些几何模型 ， 直 观 地 加 以 说 明 。每 一 堂课 都 有 规 定 的 教 学 任 务 和 目标 要 求 ， 为了 激 发 学 生 的 学 习 兴趣 ， 提高学生的学习积极性 ， 培 养 学 生 的 思 维 能力 ， 教 师 要 能 随着 教 学 内 容 的变 化 ， 教 学对象 的变化 ， 教 学 设 备 的变 化 ， 灵 活 选 择 恰 当 的教 学 方 法 。 ５ ． 创新教学模 式 著 名 物 理 学 家 爱 因斯 坦 曾 经 说 过 ： “ 兴 趣是最好的老师” ， 英 国著 名 生 物 学 家 达 尔 文 也 指 出 ： “ 最 有 价 值 的 知 识 是 关 于 方 法 的 知识 ” 。长 期 以来 ， 传 统 的” 灌 输式 ” 教 学 方 法 忽 视 了学 生 的 兴 趣 、 个 性 化 因素 及 心 理 发 展 规 律 ， 不 可 避 免 地 导致学生独立人格丧失、 思维收敛 、 想 象 力 及 创 造 潜 力 受 压 抑 等 不 良后 果 ， 高分 低 能 现 象 屡 见 不 鲜 。新 课 程 重 视 以人 为 本 ， 关 注
一道课本例题的教学探究
2016年12月新颖试题>教学--参谋一道课本例题的教学探究!江苏省如皋市第二中学何敏在高中数学课堂教学中，教材中的例题、习题的解 答是学生获得系统知识的主要来源.因此，如何充分展 示每道例习题的教学功能成为了摆在每位数学教师面 前的一个核心课题.笔者认为，教师要充分发挥每道例 习题的教学功能，应该深人挖掘例习题的内涵，引导学 生对教材中的一些典型例习题进行一题多解、变式推 广、归纳猜想、类比迁移等多方面的探究，调动每一位学 生学习数学的积极性，使不同层次学生的数学思维能力 都得到提升，从而逐步培养学生探究精神和创新意识.笔者在教学实践中，从一道课本例题出发，对此题进行 了推广探究，希望能给高三复习提供一些思路.一、 例题呈现例1已知0是直角坐标原点，点是抛物线%2& 2p((其中J9>0)上异于顶点的两个点，且0#丄0$，O M丄并相交于点），求点）的轨迹.(人教A版4-4第33页）原题解答是用参数方程，笔者给出另一种解法，并 就此推出一般结论.解:设# ((1，％1)，$((2，％2)，直线#$的方程为（&,%+.. 代人%并整理，得%2-2j9,y-2j9.=0,因此%1+%2&2户,，从而（(^-^.^^+之户.,2-.2,因为0/ 丄0$,所以 (1(2+%1%2&0,即.2-2户.=0,因为.#0,所以.=2p.因此直线 /$经过定点(2p,0),由0)丄/$可知，点）的轨迹是圆(c-p)2+y2&p2.二、 推广探究若将原题中的抛物线改为圆，其余条件不变，又有 什么结论？经过推理论证可得：命题1若0是直角坐标原点，点/、$是圆0:(2+/& 12上的两个点，且0/丄0$,0)丄/$于点）,则点）的轨迹是圆丨2-%2:1.2证法1:如图1，连接0$，0/，则由已知可知0)是等腰直角$的斜边/$上的高，所以0)&■%^1.故点）的轨迹是圆(2+证法2:设/ ((1，%1)，$((2，%2)，/$的方程为（=,%+.，代入圆0的方程并整理，得（1+,2)%2+2,.%+.2-12=0,因此2,. .2-12师&i，y1y2&^F.又（1(2=(,%1+.) (,%2+.) =,2%1%2+., (%1+%2) +.2& ,2(.2-12) 2.2,2+ 2&.2-，212—\+k2i+^+.& 1+,2*由0/ 丄0$可得(1(2+%1%2&0，所以.乂1+ . 1 &0,1+,21+,2即2.2-,212-12&0.因此，即,&± % 2.2-^~，所以121直线/$的方程为（&± %2.1%+.，即（±%2.1%-.&110，因此点0(0,0)到/$的距离为2& &-^，所以，点）的轨迹为圆2若将原题中的抛物线改为椭圆、双曲线，其余条件 不变，则结论又如何？仿上面的证明可得：命题2若#、$是椭圆4:4+ ^2 = 1(5>6>0)上不同a b的两点，且0/丄0$，0)丄/$于点）(0为坐标原点，下高中版十-?炎.757教学参谋1新颖试题同），则点！的轨迹是/"2+$2=a2'2 a2#'2'证明:设）("#，$#)，*("2，$2)，直线的方程为"=+$+ - <代入橢圆.的方程并整理，得(a*2*,' 2+2)$2+2+-' 2$,'2(-2-a2)=0,因此$i+$2:2+-'2，$1$2='(-2-a2) a2#'2k2a2#'2k2所以"1"2=+2$1$2#-+ ($1+$2)+-2一'2k2(-2—a2)2k2-2'2# 2_ a2-2-a2'2k2% a2#'2k2^—a2#'2k2#- _ a2#'2k2■由0)丄0*可得"1"2+$1$2_〇<a2-2—a2'2k2'2-2—a2'2n艮P--------,--------一0,a2,'2k2a2,'2k2所以k2_a2-2+'2-2—a2'2，即k_± V a V+'2-2—a2'2 ■a2'2a'因此直线）*的方程为:"± "^+'2-2—&2'2$--_0■a'所以点〇(0,0)到）*的距离为3_-1-1&+a2-2+'2-2-a2'2a2'2 a'v o w所以，点！的轨迹是圆"2+，a2'2 :^+^命题3若）、*是双曲线.:4-4_1('>&>0)上不a2'2同的两点，且0)丄0*<0!丄）*于点则点！的轨迹是圆^2,^2一a 2'2'2—a21其证明与命题2的证法完全类似，故此处略去■由上面的证明可知:直线）*始终是点！的轨迹的切 线，因此可以得到：命题4过圆5# :"2+$2_62上任一点）作圆52:"2+$2_ 6的切线交5#于另一点*，则0)丄0*■2命题5过抛物线L:y2_2j9"(i9>0)上异于顶点的任 一点）作圆C:("，)2+$2_，的切线交.于另一点*，则0) 丄0*1命题6过椭圆L:4+4_l(a>'>0)上任一点）作圆a2'25:"2a 2'2的切线交.于另一点*，则0)丄0*■命题7过双曲线.:^-<_1('>a>0)上任一点）作a2'2&2'2圆5:"2+$2_^7的切线交.于另一点*，则0)丄0*■'2—a2命题4~7的证明留给读者自己去完成■经过探究发现，命题4~7的逆命题也成立即卩有：命题8过圆51:"2+$2_62上任一点）作直线:交5于另一点*<若0)丄0*<则堤圆52:"2+$2_6的切线■命题9过抛物线i:y2_28(P>0)上异于顶点的任一点）作直线:交.于另一点*<若0)丄0*<则:是圆：（-户)»2的切线.命题10过椭圆.:美+^1(&>'>〇)上任一点）作a2'2a2'2直线:交.于另一点*<若0)丄0*<则堤圆C:"2+$2_^7a2+'2的切线1命题11过双曲线.:<-<_l('>a>0)上任一点）a2'2作直线:交.于另一点*<若0)丄0*，则:是圆5:"2+$2_^的切线■'2—a2命题8~11的证明请读者自己去探究完成.三、应用举例题1设）、*是椭圆：f+y2_l上的两个动点<0为坐标原点，且0$•0$_0■又设点；在直线）*上，且0;丄）*<求10;丨的值.(2014年全国高中数学联赛天津赛区预赛试题)题2已知焦点在"轴上的椭圆<:,+^2_1内含圆8 '25:"2+$2_j<圆5的切线:与椭圆<交于点）、*<满足0)丄0*.(2013年河北省高中数学竞赛试题）⑴求'2的值；(2)求丨）*丨的取值范围.%艮于篇幅，只给出答案：题1:丨0;丨_3_&一\V a2+'2题2:'2_4;丨）*丨&4,2^^(.V 3 3 J/2016年12月58十.方龙.1?高中版2016年12月新颖试题教学参谋四、几点思考对课本中典型例、习题的探究，不仅能丰富我们的 研究资源，而且能获得与之相关的新命题，从而达到培 养学生的探究能力和应变能力的目的，起到使学生重视 课本中例、习题的作用.下面结合笔者的教学实践，谈谈 自己对数学复习的几点思考.1.揭示概念本质，提升学生认知水平由于课本中不少数学概念，反映了数学知识的本质 属性，蕴含着思维的细胞，是数学内容的基石.高三数学 复习中教师要揭示数学概念的本质，对课本中的概念给 予足够的重视，并结合学生主体认知功能，立足于理解 好概念，用好概念，才会使我们复习数学的目的明确、方 法对头，提升学生的认知水平，才能使数学复习质量得 以提升.教师在概念复习时需要要帮助学生足够重视课本，揭示概念的本质，拓展概念的内涵和外延，关注其基本 特征和概念表征的多元化，引导学生加强对数学知识背 景及数学本源的挖掘.在概念本质探究中力争透过纷繁 的现象看清问题的本质，要从变的现象中发现不变的本 质，从不变的本质中探究变的规律，只有这样的复习教 学才能使解题更具有深度和广度，才能提升学生的认识 水平，实现数学复习质量的提升.2.再现知识形成过程，提升学生思维能力数学概念是数学理论的核心，故教学时就要突出数 学定义、公式、定理的来龙去脉和表达形式，了解它们的 区别和联系，再现知识的形成过程.虽然高一、高二都有 所涉及，但经过这么长时间，学生都有些遗忘，这些都需 学生复习时重视课本，拓展思路，并逐步学会如何运用 这些知识来分析和解决问题.关注对数学本质的考查，这能在一定程度上有效的规避模式化的解题，抑制题海 战术，实现数学复习质量的提升具有重要作用.对于联系密切的公式群，一定要让学生经历公式的 推导和建构，对于数学复习起到事半功倍的作用，是解 决问题的根本.在复习教学时，要足够重视课本，对课本 中的定义、定理、公式等基础知识和基本技能，做到知其 然知其所以然，探究他们的形成过程，提升学生的思维 能力，方能实现数学复习质量的提升.3.典型例题重点分析，提升学生解题策略课本是课程标准的具体体现，课本中的例习题是教 材编写组专家精挑细选出来的精品，不少高考试题都是 命题人员对课本例习题加工改编而成的.数学复习中要 有目的地选择课本中的例习题，对其条件和结论进行重 点分析，剖析思维方法形成过程，有效帮助学生提升解 题策略.例题教学是复习课的主旋律，如何用好课本的典型 例题是复习数学能否更加优质、实效的关键，发挥例题 的思维策略，达到“做一题、带一类、连一片”的效果，能 有效实现课本典型例题的示范性功能，提升解题的质 量.4.渗透数学思想方法，提升学生数学综合能力多年来结果表明，高考数学试题都在体现“考查基 础知识的同时，注重对数学思想方法的考查，注重对数 学能力的考查”的命题指导思想，常常涉及的思想方法 有：函数与方程的思想、数形结合的思想、分类讨论的思 想和转化与化归的思想.而试题相当一部分来源于课 本，即使是综合题也是课本例习题的组合、改编和拓展，充分体现了课本的基础作用.数学题的解答一般不需要 高深的数学知识和高难度的变形技巧，而需要一定的创 新意识和发散意识，因此我们有必要深人地探究课本中 的习题，把握例习题的思想性的本质，提高数学素养，学 会思考数学问题，提升学生数学综合解题能力，使课本 中的例习题的作用发挥到极致，以达到最佳提升数学复 习的质量.只有重视课本中的例习题，理解、领会它们蕴 含的思想方法，通过系统的归纳总结、变式训练，才能触 类旁通、由此及彼积累足够的题型，形成数学解题能力，提升学生数学综合能力，实现数学复习质量的提升.正如数学教育家波利亚所说：“没有一道题是可以 解决得十全十美的，总剩下些工作要做，经过充分的探 讨与研究，总会有点滴的发现，总能改进这个解答，而且 在任何情况下，我们都能提高自己对这个解答的理解水 平.”笔者从一道课本习题出发进行深人探究及引申推 广得到了一系列优美的结论.在教学中经常“研题”，有 助于促进教师专业知识的增长，通过研究习题可以提高 学生的数学解题能力，培养良好的数学兴趣，提高课堂 教学的有效性.M高中版十.？龙.759。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
入静 的课 堂 ，一 定是平静 的表层 下裹着 的热
烈．学生在宁静中涵涵品味，他们 的思想是活跃的， 情感是奔放 的，心灵是 自由的 ，思维的列车在宁静
中驶 向远 方 ．
入静是一种高度 ，入静是一种境界 ．入静如 山 之静默 ，入静如水之潺溪 ，入静是 “ 春雨惊 出清谷 天” ，入静是 “ 于无声处 昕晾雷” ．入静的数学课 堂深深扎根于科学和艺术 的广袤 的大地 ，是最朴实 而 又 高效 的 ． 这 样 的数学 课 ，真好 ！
１ 问题 的提 出 苏 教版 数学 选修 ２ ． １第二 章 Ｐ ２ ９ “ 圆锥 曲线 和方 程” 中例 ２ ：将 圆 Ｘ ＋Ｙ ＝４上 的点 的横 坐 标保 持 不
变 ，纵坐标变为原来的一半 ，求所得曲线 的方程 ， 并说明它是什么 曲线 ． 本题 求 曲线 方程 所采 用 的方法 是“ 坐标 转移法 ” ， 即利 用中 间变 量 所在 的 已知 曲线 方程得 到动 点 的轨 迹 方程 ．除此之外 ，它还揭示 了椭 圆和圆之 间的内 在联系 ：椭 圆可用圆通过伸缩变换得到 ．教学中 ， 笔者就该题进行了一次教 学尝试 ，在学生理解这种
师 ：这 种 变 换 我们 称 之 为伸 缩 变 换 ，它把 圆变
以变换 前后 直线 和（ 椭） 四之 间 的位置 关系 不变 ． 性 质 ｌ伸缩 变换 后 ，点变 成点 ；直线 变成 直线 （ 斜率 改变 ）；曲线 变成 曲线 （ 弯 曲程度 改变 ） ．若 点 （ 不 ）在 线 上 ，变 换 后 的点 （ 不 ）在 线 上 ；若直 线 与 直线 平 行 或相 交 ，变换 后 仍 平行 或相 交 ；若直
２ ． １情境创设 ，引入课题 首先出示例题让学生求出动点的轨迹方程 ． 生 １ ：设 所求 曲线 上任一 点坐 标为 （ Ｘ ， ），与 圆
２ ０ １ ４ 年第１ ０ 期
福 建 中学数 学
１ ９
上对 应 点 的坐 标 为 （ ， Ｙ ） ，则 Ｘ ＝ ，Ｙ ＝２ ｙ． 由
其 实 考量 一 个 数 学教 师 的水 平 ，不 仅 要看 他 让
入静的学生— — 入静是一种真学习的状态 能入 静 的 学 生 ，一 定 能享 受 思 维 的快 乐 ．他 们 在学 习中会认真思考 自己的理解对不对、全不全 ， 通 过 内心 的 品味 ，反 复推 敲 ，参 考 比照 等 方法 寻 求
美 的 鉴赏者 和传递 着 ．
让他们在不被打扰 中静静地思考 、领悟与表达 ，借 助 自己的生命体验和生活经验 ，实现对 知识正确、 全新高度的解读和有真情、有思想、高水平的领悟 与表 达 ． 入静的数学课堂并不高深 ，但一定要有入静 的 教师、入静的学生，进而才可能有入静的课堂 ． 入静的教师— — 胸有成竹者方能静 能 入 静 的教 师 ，课 堂 外 的 准备 一定 多于课 堂 内
线 与 曲线相 切 ，变换 后仍 相切 ． 生４ ：设 点 Ａ （ ｘ １ ， Ｙ １ ） ，Ｂ （ ｘ ２ ， Ｙ ２ ） ，Ｃ （ ｘ ３ ， Ｙ ３ ） 在直
１ ８
福 建 中学数 学
２ ０ １ ４ 年 第１ ０ 期
碰 撞 ，稚嫩 的思 想在 拔 节 生长 ，思维 振 动翅 膀 准备
自由的飞翔 …
度． “ 讲 ” 时不 高谈 阔论 ，惜字 如 金 ，往 往 切 中要
让“ 课堂静一会儿” 的声音早 已从一线教师心里
出来 ，江 苏著 名 的语 文 特级 教 师严 华 银 就极 力主 张
ｖ
中 得： ± 善 二 ｚ ＋ — ２ ｂ — ｋ ＋ （ ６ ： 一 ） ： ０ ， ． ． △ ： ４ ｂ Ｚ ｋ ２ 一
：
．
．
．
２
垃 ＋ Ｙ ＝ ４ 得到 ： ＋ ４ ＝ ４ ，即 ＋ Ｙ ＝ １ ．它表
４
．
示 一 个椭 圆 ．
△ ， 与△ ， 同号 或 同为 ０ ，所
能入静的学生，一定能善于积累 ，喜欢钻研做 题 ．他们更能发现和欣赏数学的美 ，课堂 内外 ，他 们起如走进百花园的境堂 ，时而驻足这朵 ，时而陶 醉于 那枝 ，时 而又 惊 艳于 这 一树 ．流连 其 间 ，将 这 些美 沉 淀于 心 ，又 将 其真 情 地表 达 出来 ，他 是 数 学
能 入静 的教 师 ，课 堂上 的教学有 力度更 有深
一
道课本例题 的探究教 学尝试
黄群力 江苏省启东中学 （ ２ ２ ６ ２ ０ ０ ） 变换后 ，根据学生的实际情况，引导学生进行更深 层 次 的探究 活 动 ：借 助伸 缩 变换 ，能否 将椭 圆 的 问 题 转 化 为 圆 的问题 来 解决 呢？如 果 可 以 的话 ，能 否 用来简化椭 圆中一些复杂 的计算 问题？通过学生亲 身经历数学发展和创造的历程 ，发展他们 的创新意 识，体会数学发现之愉悦 ． ２教学过程筒录
最佳 的答案 ，他 们是 学 习的主人 ．
课 堂动起来 的能力 ，更要关注他 让课堂 入静 的能 力 ．数学课堂只有在静中方显其博大与深邃 ． 数学课堂要能入静 ，只有这样才能给教 师一片 宁静 的 天地 ，让 他 们 充分 展 示 自 己对教 学 的理解 和
斐 然 的才情 ；只 有这样 才能 还学 生一 个高远 的天 空 ，
害 ，举一反三 ． “ 教”时不灌输 ，善点拨 ，往往能 四 两拨 千斤 ； “ 问” 时 问题 精炼 ，指 向清 楚 ，更 注
重 问题 的品质 与 内在 联 系 ，往往 是 “ 一石 激起 千 层 浪” …教得 轻松 ，学得 快乐 ，他 是课 堂 的艺 术家 ．
“ 让语文课堂安静” ．他说 ： “ 让学生真正 自主并成为 主体 ，静静地读书 ，静静地思索 ，接着与 同学、与 老师静静地研讨 ，悄悄地对话 ，正是在这一神圣 的 殿堂里 ， ． 静谧的情境下 ，语文的营养如随风潜入 的 春 夜细 雨 ，在有 无之 间缓 缓注 入 ．” 数 学课 堂又何 尝 不是如 此 呢？