第6章证明题_答案

合集下载

第六章：证明(一)经典试题

第一部分：基础复习八年级数学(下)第六章：证明(一)一、中考要求：l．理解证明的必要性和设置公理的必要性．2．关注现实，并通过具体例子了解定义、命题、定理的含义，会区分命题的条件和结论，知道反倒的意义和作用．3．初步掌握用综合法证明的格式，会证明两直线平行的有关判定定理，两直线平行的有关性质定理，三角形内角和定理及其椎论．4．体会推理的严谨性和结论的确定性，初步树立步步有据的推理意识，发展推理论证能力，同时，要善于表达自己的想法，并能与同伴交流．新课标对本章的要求不高，但比较简单的几何证明题仍是2006年中考的热点．二、中考卷研究(一)中考对知识点的考查：2004、2005年部分省市课标中考涉及的知识点如下表:(二)中考热点：新课标对本章的要求不高，但比较简单的几何证明题仍是2006年中考的热点．三、中考命题趋势及复习对策本章主要考查对命题，定理等概念的理解以及运用定义、定理证明问题的过程，在中考题中以证明题的形式出现，一般占5～7分，因此同学们在复习时应注意认真理解概念，分清题目的条件和结论，正确的写出证明过程．★★★(I)考点突破★★★考点1：一、考点讲解：定义：对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，就叫做定义·命题：判断一件事情的句子叫命题，每个命题都由条件和结论两部分一组成，条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项，一般地，命题都可以写成“如果……，那么……”的形式，其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论．命题分为真命题和假命题．真命题：正确的命题是真命题；假命题：不正确的命题是假命题；要说明一个命题是假命题，通常可以举出一个例子，使之具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例．公理：公认的真命题称为公理．证明：除了公理外，其他真命题的正确性都通过推理的方法证实，推理的过程称为证明．定理：经过证明的真命题称为定理．逆命题：把原命题的结论作为命题的条件，原命题的条件作为命题的结论，所组成的命题叫原命题的逆命题．逆定理：如果一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命题就叫原定理的逆定理．二、经典考题剖析：【考题1－1】（2004、宁安，9分）如图l－6－1，四边形ABCD中，点E在边CD上，连结AE、BE。

第6章常微分方程与差分方程

第六章常微分方程与差分方程一、基本盖帘 1.常微分方程含有自变量、自变量未知函数及未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程，当未知函数是一元函数时，则称为常微分方程 2．微分方程的阶在微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶 3.微分方程的解若把某函数及其导数代入微分方程能使该方程称为恒等式，则称这个函数是该微分方程的一个解。

通常要求微分方程的解具有和该微分方程的阶数同样阶数的连续导数 4.微分方程的通解和特解含有与微分方程的阶数同样个数的独立任意常数的解，称为微分方程的通解，不含任意常数的解，称为微分方程的特解 5.微分方程的初始条件给定微分方程中未知函数及其导数在指定点的函数值的条件，称为微分方程的初始条件，初始条件的个数应与微分方程的阶数相同二、一阶微分方程一阶微分方程的基本类型是变量可分离的方程和一阶线性微分方程，而齐次微分方程可通过变量代换为变量可分离的方程（一）变量可分离的方程 1.变量可分离方程的概念称为变量可分离的方程或dy y N x Q dx y M x P y g x f y )()()()()()('==2.变量可分离方程的特解⎰⎰⎰⎰+=+=≠≠方程的通解就是分别上述两个微分分，然后求积分，所得积端，把变量分离分别同除微分方程的两或时，用或用变量分离法：当,)()()()()()()()()(0)()(,0)(C dx x Q y P dy y M y N C dx x f y g dyy N x Q y g y N x Q y g（二）齐次微分方程1.齐次微分方程的标准形式)('xy f y =2.齐次微分方程的求解丢掉解，在求解过程中不要常数的解也是原微分方程的或注意：即可得到原方程的通解换回最后把可得通解于是有则首先作变量代换，令)()(0)(,0)(;0)(ln )()(','',u u f y M x Q y g xyu Cx C x dxu u f du u u f xu xu u y xyu -===+=+=--=+==⎰⎰(三)一阶线性微分方程1.一阶线性微分方程的标准形式性微分方程否则称为一阶非齐次线方程，称为一阶齐次线性微分即方程，当其中的自由项0)(',0)()()('=+≡=+y x p y x q x q y x p y 2.一阶线性微分方程的求解[]，即得通解公式两端积分后再同乘乘积的导数公式同乘方程的两端，根据，积分因子法，用方法：性微分方程的通解公式代入即得一阶非齐次线积分可求出满足微分方程，把它代入原来的非齐次解即设非齐次微分方程的该为函数把其中的常数的通解，性微分方程先求对应的一阶齐次线：常数变易法方法公式：公式法直接利用通解方法⎰⎰=+⎰=⎰+⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰+⎰=⎰+==⎰⎰=⎰==+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰+⎰=⎰⎰⎰-----dxx p dx x p dx x p dx x p dx x p dx x p dxx p dx x p dx x p dx x p dx x p dx x p dxx p dx x p dx x p e e x q y x p y e e x yp e y ye e e x q C e y e x q C x C x q e x C x C e x C y x C C Ce y y x p y e x q C e y )(-)()()()()()()()()()()()()()()()(')(''3)()()(),()(')()(),(0)('2)(1三、线性微分厂房解的性质与结构二阶线性方程的一般形式均为连续函数，其中)(),(),()()(')(''x f x q x p x f y x q y x p y =++ 否则称为非齐次方程称二阶线性齐次方程，当右端项0)(≡x f的特解是则的两个特解与分别是方程与，设解的性质（叠加原理）)()()(')('')()()()(')('')()(')('')()(.121212121x f x f y x q y x p y x y x y x f y x q y x p y x f y x q y x p y x y x y +=+++=++=++是非齐次方程的解则其的任意特解一阶、二阶为齐次方程的一个特解，一阶、二阶为非齐次方程若的特解一阶、二阶是对应齐次方程则其差的两个特解一阶、二阶为非齐次方程，若的解一阶、二阶仍为齐次方程则其线性组合的两个特解一阶、二阶为齐次方程，若)()()()()()()3()()(-)()()()()2()()()()()()()1(2121221121x y x y x y x y x y x y x y x y x y C x y C x y x y ++**为任意常数其中的通解为解，则二阶非齐次方程是二阶非齐次方程的特由二阶齐次方程的通解为个线性无关的特解，则为二阶非齐次方程的两，若为任意常数解，其中是一阶非齐次方程的通则个特解是一阶非齐次方程的一又的通解为特解，则一阶齐次方程是一阶齐次方程的非零设通解的结构212211*********,)()()()()()()()()2()()()(),()()1(.2C C x y x y C x y C y x y x y C x y C y x y x y C x y x Cy y x y x Cy y x y ****++=+=+==四、二阶常系数齐次线性微分方程（一）二阶常系数齐次线性微分方程的形式,0)(')(''2=++=++q p q p y x q y x p y λλ为常数，其特征方程为，其中分方程二阶常系数齐次线性微（二）二阶常系数齐次线性微分方程通解的形式依据特征方程判别式的符号，其通解有三种形式为两个任意实数，其中，通解，特种方程有共轭复根，通解，特种方程有重根，通解，的实根，特种方程有两个相异212121*********),sin cos ()(04.3)()(04.2)(04.11121C C x C x C e x y i q p e x C C x y q p e C e C x y q p x xx x βββαλλλλλλλλ+=±-=∆+===-=∆+=-=∆五、二次常系数非齐次线性微分方程（一）二阶常系数非齐次微分方程的一般形式自由项已知函数，称为方程的的为一个不恒等于为常数，，其中微分方程二阶常系数非齐次线性0)(,)()(')(''x f q p x f y x q y x p y =++（二）二阶常系数非齐次微分方程的通解形式为待定系数次多项式，为系数待定的表中的B A n x R n ,)(六、含变限积分的方程对某些含变限积分的方程，可通过对方程求导的方法，转化为求解相应的微分方程的通解或微分方程初值问题的特解七、差分的概念及其性质（一）差分的概念tt t t t t t t t t t t t t t t t t n t y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y t t f y +-=--=∆-∆=∆∆=∆-=∆∆-=++++++++1211212112102)(-)()(,...,,...,,,)(二阶差分分，记为的差分，也称为一阶差称为函数差个数列，则其值可以排列成一记其函数值为取所有的非负整数，并中的自变量设函数（二）差分的性质tt t t t t t t t t t t t t z y y z z y y z z y b a z b y a bz ay ∆+∆=∆+∆=⋅∆∆+∆=+∆++11)()2(,,)()1(为常数其中八、一阶常系数线性差分方程（一）一阶常系数线性差分方程的概念及一般形式0),(11=+≠=+++t t t t ay y a t f ay y 对应的齐次方程为其中常数式为线性差分方程的一般形分方程，一阶常系数及其差分方程，称为差自变量，自变量未知数同微分方程类似，含有（二）一阶常系数线性差分方程的通解与特解tt t t t t t t t t t t a C y y y t f ay y a C y C y C a C y ay y )()()(,)(010001-+==+-==-==+**++通解之和，与对应齐次方程的一个特解其通解也是非齐次方程对于非齐次方程即为满足该条件的特解则定初始条件是一个任意常数，若给，其中的通解齐次方程为下表总结了几种常见情形下非齐次方程特解所应具有的形式形式两种情况来设定特解的他们可以分别归结为前，而当，或当是两个待定系数和次多项式，是待定系数的上表特解中t m M t N t M M t N t M B A m t Q )1(sin cos ,sin cos 20)(-=+∏==+∏==ωωωωωωω九、常考题型及其解题方法与技巧题型一、变量可分离的方程与齐次微分方程的解法题型二、一阶线性微分方程的解法题型三、有关线性微分方程解的性质及解的机构问题题型四、二阶常系数线性微分方程的解法题型五、含变限积分方程的求解题型六、由自变量与因变量增量间的关系给出的一阶方程题型七、综合题与证明题题型八、一阶常系数线性差分方程的解法题型九、微分方程的应用问题。

第6章相关与回归分析习题解答

第六章相关与回归分析思考与练习一、判断题1.产品的单位成本随着产量增加而下降，这种现象属于函数关系。

答：错。

应是相关关系。

单位成本与产量间不存在确定的数值对应关系。

2.相关系数为0表明两个变量之间不存在任何关系。

答：.错。

相关系数为零，只表明两个变量之间不存在线性关系，并不意味着两者间不存在其他类型的关系。

3.单纯依靠相关与回归分析，无法判断事物之间存在的因果关系。

答：对，因果关系的判断还有赖于实质性科学的理论分析。

4.圆的直径越大，其周长也越大，两者之间的关系属于正相关关系。

答：错。

两者是精确的函数关系。

5.总体回归函数中的回归系数是常数，样本回归函数中的回归系数的估计量是随机变量。

答：对。

6.当抽取的样本不同时，对同一总体回归模型估计的结果也有所不同。

答：对。

因为，估计量属于随机变量，抽取的样本不同，具体的观察值也不同，尽管使用的公式相同，估计的结果仍然不一样。

二、选择题1.变量之间的关系按相关程度分可分为：b 、c 、da.正相关；b. 不相关；c. 完全相关；d.不完全相关； 2.复相关系数的取值区间为：aa. 10≤≤R ；b.11≤≤-R ；c.1≤≤∞-R ；d.∞≤≤-R 1 3.修正自由度的决定系数a 、b 、da.22R R ≤； b.有时小于0 ； c. 102≤≤R ；d.比2R 更适合作为衡量回归方程拟合程度的指标 4.回归预测误差的大小与下列因素有关：a 、b 、c 、da 样本容量；b 自变量预测值与自变量样本平均数的离差c 自变量预测误差；d 随机误差项的方差三、问答题1．请举一实例说明什么是单相关和偏相关？以及它们之间的差别。

答：例如夏季冷饮店冰激凌与汽水的消费量，简单地就两者之间的相关关系进行考察，就是一种单相关，考察的结果很可能存在正相关关系，即冰激凌消费越多，汽水消费也越多。

然而，如果我们仔细观察，可以发现一般来说，消费者会在两者中选择一种消费，也就是两者之间事实上应该是负相关。

北师大版八年级下册数学第六章平行四边形含辅助线证明题—截长补短类训练

北师大版数学八年级下册第六章平行四边形含辅助线证明题——截长补短类1.在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，F为AB边上一点，连接CF，交AE于点G，CF=CB=AE．（1）若AB=2√2，BC=√7，求CE的长；（2）求证：BE=CG-AG．2.在平行四边形ABCD中，以边AD为边在平行四边形内作等边△ADE，连接BE.（1）如图1，若点E在对角线BD上，且∠DAB=75°，AB=√6，求BE的长；（2）如图2，若点F是BE的中点，且CF⊥BE，过点E作MN∥CF，分别交AB，CD于点M，N，求证：DN=CN+EN.3.如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，AE=CE.BF⊥AC，垂足为F，分别与AE，AD交于点G，H.（1）若AG=GE=BE=1，求▱ABCD的面积；（2）若CH平分∠BCD，求证：BC=AG+CH.4.已知在▱ABCD中，AE⊥CD，且AB=AE，F为AE上一点，且BF平分∠ABC，（1）若∠ABC=60°，AB=√3，求EF的长；（2）求证：AF+DE=BC.5.在平行四边形ABCD中，E为对角线AC上任意一点，连接BE（1）如图①所示，若AB=BE，AC=BC，∠BAC=75°，AB=2√2，求平行四边形ABCD的面积；（2）如图②所示，延长BE至F，使得EF=EB，连接CF，FD，求证：CE=AE+FD．6.在平行四边形ABCD中，连接BD，过点B作BE⊥BD于点B交DA的延长线于点E，过点B作BG⊥CD于点G．（1）如图1，若∠C=60°，∠BDC=75°，BD=6√2，求AE的长度；（2）如图2，点F为AB边上一点，连接EF，过点F作FH⊥FE于点F交GB的延长线于点H，在△ABE的异侧，以BE为斜边作Rt△BEQ，其中∠Q=90°，若∠QEB=∠BDC，EF=FH，求证：BF+BH=BQ．7.在平行四边形ABCD中，以AB为边作等边△ABE，点E在CD上，以BC为边作等边△BCF，点F在AE上，点G在BA延长线上且FG=FB．（1）若CD=6，AF=3，求△ABF的面积；（2）求证：BE=AG+CE．8.如图，在▱ABCD中，点F是对角线BD上一点，且满足AB=AF，过点F作EG交AD于E，交BC于G，作AH⊥BC于点H，交BD于M．（1）若F为MD中点，AF=2，AM=√3，求BC的长度；（2）若∠ABH=∠AFE，求证：BH+FG=HG．9.如图，平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，点G是线段BC的中点，点E是线段AD上的一点，点F是线段AB延长线上一点，连接DF，且∠ABE=∠CDG=∠FDG.（1）∠A=45°，∠ADF=75°，CD=3+√3，求线段BC的长；（2）求证：AB=BF+DF.10.如图，△ABC的高AD与中线BE相交于点F，过点C作BE的平行线，过点F作AB的平行线，两平行线相交于点G，连接BG，FG．（1）若AE＝2.5，CD＝3，BD＝2，求AB的长；（2）若∠CBE＝30°，求证：CG＝AD+EF．11.如图，在□ABCD中，E为BC边的中点，连接AE，F为CD边上一点，且满足∠DFA=2∠BAE.（1）若∠D=100°，∠DAF=30°，求∠FAE的大小；（2）求证：AF=CD+CF.12.已知在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥BC于点E，且AD=DE．连接AC交DE于点F，作DG⊥AC于点G．（1）如图1，若EFDF =12，AF=√13，求DG的长；（2）如图2，作EM⊥AC于点M，连接DM，求证：AM-EM=2DG．13.如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，AE=AD，EG⊥AB于点G，延长GE、DC交于点F，连接AF.（1）若BE=2EC，AB=√13，求AD的长；（2）请猜想线段EG、BG、FC之间的等量关系并证明.14.如图，已知平行四边形ABCD中，DE⊥BC于点E，DH⊥AB于点H，AF平分∠BAD，分别交DC、DE、DH于点F、G、M，且DE=AD，CE=3，AB=5．(1)求线段CF的长度；(2)求证：AB=DG+CE．15.如图所示，在平行四边形ABCD中，∠DAC=60°，点E是BC边上一点，连接AE，AE=AB，点F是对角线AC边上一动点，连接EF.（1）如图1，若点F与对角线交点O重合，已知BE=4，OC：EC=5：3，求AC的长度；（2）如图2，若EC=FC，点G是AC边上一点，连接BG、EG，已知∠AEG=60°，∠AGB+∠BCD=180°，求证：BG+EG=DC.16.如图所示，平行四边形ABCD和平行四边形CDEF有公共边CD，边AB和EF在同一条直线上，AC⊥CD且AC=AF，过点A作AH⊥BC交CF于点G，交BC于点H，连接EG．（1）若AE=2，CD=5，求△BCF的周长；（2）求证：BC=AG+EG．。

第6章线性空间练习题

第6章线性空间练习题一、填空题（3515''⨯=）1. 已知三维向量空间的一组基是123(1,0,1),(1,1,0),(2,1,1)ααα==-=，则向量(3,2,1)β=在这组基下的坐标是．2. 从R 2的基1211,01αα⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭到基1211,12ββ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的过渡矩阵为．3. 已知132326583945A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则0AX =解空间的维数是，解空间一组基是．4. 设2R 中定义11(,)(,)(,),(,)(,)a b c d a c b d k k a b ka kb αβα⊕=⊕=++++⋅=⋅=，则2(,,)R R ⊕⋅，不作成线性空间的理由可以为．5. 设Q 是有理数域，{,}Q a a b Q =+∈，关于实数的加法和乘法作成线性空间(,,)Q Q +⋅，该空间的维数是．二、单项选择题（3515''⨯=）1. 在下列集合中，对指定的运算不能构成实数域R 上的一个线性空间的是 ( )．(A) 所有m ×n 的实矩阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法 (B) 所有n 阶实对称矩阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法 (C) 所有n 阶实反对称矩阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法 (D) 所有n 阶可逆矩阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法 2. 设V ＝R 3，下列集合为V 的子空间的是 ( )． (A) {}(,,)0a b c a b c ++= (B) {}(,,)0a b c a ≥(C) {}222(,,)1a b c a b c ++≤ (D) {}(,,),,a b c a b c Q ∈(Q 为有理数域) 3. 下列线性空间中， ( )与其它三个空间不同构． (A) 2(,,,)R R +⋅ (B) (,,,)C R C +⋅是复数域 (C) 230{(,,)|}V x y z x y z =+-= (D) (,,,)C C C +⋅是复数域 4. 向量空间{}12123(,,,)20n W x x x x x x =-+=，则W 的维数为( ) ．(A) 1 (B) 2 (C) n (D) n -1 5. 在nR 中，由基12,,,n ααα到基12,,,n βββ的过渡矩阵为C ，则C ＝ ( )．(A) 11212()()n n αααβββ- (B) 11212()()n n αααβββ-(C) 11212()()n n βββααα- (D) 11212()()n n βββααα-三、计算题（41040''⨯=）1. 在线性空间3R 中，（1）求基向量组123(1,0,1),(0,1,0),(1,2,2)T T Tααα===到基向量组123(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)T T T βββ===的过渡矩阵C ；（2）求(1,3,0)T γ=在基123,,a a a 下的坐标． 2. 设3[]P x 的有两个基向量组222123()1,()2,()1f x x f x x x f x x x =-=++=++和22123(),()1,()12g x x x g x x g x x x =+=-+=++，(1) 求2()965h x x x =++在这两组基下的坐标；(2) 求向量()k x ，使它在这两组基下有相同的坐标． 3. 在23R ⨯中，求子空间000{|,,,,}x y W x y z x y z t R t z ⎛⎫=++=∈⎪⎝⎭的一组基和维数．4.在4P 中，12(1,1,0,1),(1,0,2,3)T T αα=-=，两个子空间11221234124(,),{(,,,)|20}T V L V x x x x x x x αα==+-=分别求1212,V V V V +⋂一组基和维数．四、证明题()6530''⨯=1．设线性空间V 中12,,,,(1)s s αααβ>为1s +向量，且12s βααα=+++，证明：向量组12,,,s βαβαβα---线性无关的充分必要条件是12,,,s ααα线性无关．2．设12,V V 是线性空间V 的两个子空间，证明：12V V ⋃是V 的子空间的充分必要条件是1221V V V V ⊂⊂或．3．设12,V V 是线性空间V 的两个子空间，证明：12+V V 是直和的充分必要条件是12+V V 中至少有一个向量α可以唯一地表示为12+αα，其中1122V V αα∈∈，． 4．叙述并证明有限维线性空间上关于两个子空间的维数公式．5．设{(,,)|,}W a a b a b a b R =+-∈，证明：（1）W 是3R 的子空间；（2）W 与2R 同构．参考答案一、填空题（3515''⨯=)1. (-1，0，2)；2. 2312⎛⎫⎪--⎝⎭；3. 2 ，12(3,1,0,0),(1,0,2,1)T Tηη=-=-（不唯一）； 4. ()k k k αβαβ⊕≠⊕；5. 2．二、选择题(3515''⨯=)1. D ；2. A ；3. D4. D ；5. B三、计算题（41040''⨯=）1.（1）221231110C ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭，（2） (2, 5, -1)T2.(1) 011132244⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭；(2) Y ＝(0, -4, 5) T ，X ＝(1, 2, 4) T ；(3) ()0k x =。

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第六章

第六章微分中值定理及其应用一、填空题1．若0,0>>b a 均为常数，则=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+→x x x x b a 302lim ________。

2．若21sin cos 1lim 0=-+→x x b x a x ，则=a ______，=b ______。

3．曲线x e y=在0=x 点处的曲率半径=R _________。

4．设2442-+=x x y ，则曲线在拐点处的切线方程为___________。

5．=-+→x e x xx 10)1(lim ___________。

6．设)4)(1()(2--=x x x x f ，则0)(='x f 有_________个根，它们分别位于________ 区间；7．函数x x x f ln )(=在[]2,1上满足拉格朗日定理条件的__________=ξ；8．函数3)(x x f =与21)(x x g +=在区间[]2,0上满足柯西定理条件的_____=ξ；9．函数x y sin =在[]2,0上满足拉格朗日中值定理条件的____=ξ；10．函数2)(xe xf x=的单调减区间是__________； 11．函数x x y 33-=的极大值点是______，极大值是_______。

12．设x xe x f =)(，则函数)()(x f n 在=x _______处取得极小值_________。

13．已知bx ax x x f ++=23)(，在1=x 处取得极小值2-，则=a _______，=b_____。

14．曲线22)3(-=x k y 在拐点处的法线通过原点，则=k________。

15．设)2,1()1()( =-⨯=n x n x f n ，n M 是)(x f 在[]1,0上的最大值，则=∞→n n M lim ___________。

16．设)(x f 在0x 可导，则0)(0='x f 是)(x f 在点0x 处取得极值的______条件；17．函数x bx x a x f ++=2ln )(在1=x 及2=x 取得极值，则______,==b a ；18. 函数3223)(x x x f -=的极小值是_________; 19．函数xx x f ln )(=的单调增区间为__________； 20. 函数x x x f cos 2)(+=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最大值为______，最小值为_____； 21. 设点)2,1(是曲线b a x y +-=3)(的拐点,则___________,==b a ;22. 曲线x e y =的下凹区间为_______,曲线的拐点为________;23. 曲线323x x y -=的上凹区间为________;24. 曲线)1ln(2x y +=的拐点为__________;25．曲线x y ln =在点______处曲率半径最小。

习题答案(第六章)

1、R n 中分量满足下列条件的全体向量1(,,)n x x 的集合，是否构成R n的子空间？①10n x x ++=；②120n x x x ⋅⋅⋅=；③2211n x x ++=。

解：①是，设(){}111,,|0n n V x x x x =++=，显然V 1≠∅，1,,,a b F V ξη∀∈∀∈，设1212(,,),(,,)x x y y ξη==，则()()()1111,,,,,,n n n n a b a x x b y y ax by ax by ξη+=+=++，而1111()()()()000n n n n ax by ax by a x x b y y a b ++++=+++++=+=所以1a b V ξη+∈，所以V 1是R n 的子空间； ②不是，取(1,0,,0),(0,1,,1)αβ==，则(){}11,,,|0n n V x x x x αβ∈=⋅⋅=，但(1,1,,1)V αβ+=∉，所以V 不是R n 的子空间；③不是，取(1,0,,0),(0,1,0,,0)αβ==，则(){}2211,,,|1n n V x x x x αβ∈=++=，但(1,1,0,,0)V αβ+=∉，所以V 不是R n 的子空间。

2、子集{}1|,,V X AX XB A B n ==为已知的阶矩阵是否是()n M F 的子集？解：是()n M F 的子集；证：显然1V ≠∅，1,,,X Y V a b F ∀∈∈，有()()A aX bY aAX bAY aXB bYB aX bY B +=+=+=+，所以1aX bY V +∈，所以1V 是()n M F 的子集。

3、设12(1,0,1,0),(1,1,2,0)αα==-，求含12,αα的R 4的一组基。

解：因为101010101010112001100010⎛⎫⎛⎫⎛⎫→→⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，取34(0,0,1,0),(0,0,0,1)αα==，所以{}1234,,,αααα为R 4的一组基。

应用多元统计分析课后习题答案高惠璇(第六章习题解答) - 副本 (15)

n n
第六章聚类分析
ab ( xti xi ) x nx a b n n t 1 t 1 ( a b) 1 [n (a b)] (a b)(c d ) n n
n n 2 2 ti 2 i
2
8
第六章聚类分析
ac ( xtj x j ) x nx a c n n t 1 t 1 ( a c) 1 [n (a c)] (a c)(b d ) n n
13
第六章聚类分析
用类平均法:
D ( 0 ) D (1) 0 4 6 1 6 0 9 7 3 0 10 0 5 8 0
① 合并{X(1),X(4)}=CL4,并类距离 D1=1.
0 X ( 2) 2 0 92 X ( 3) 3 2 5 0 X ( 5) 65 136 100 0 CL 4 2 2 2
0, ( 1)
p q (1 )
11
18
故可变类平均法具有单调性。
第六章聚类分析
对于可变法，因
1 1 0, p 0, q 0, ( 1) 2 2 1 1 p q 11 2 2
( L 1) pq
DL (k p, q) DL (i, j r , p, q)
( L) ij
( L) ij
( L 1) ij
故第L＋1步的并类距离:
DL1 min(D ) DL ,
即最短距离法具有单调性. 类似地,可以证明最长距离法也具有单调性.
21
第六章聚类分析
6-6 设A,B,C为平面上三个点,它们之间的距离为

高等代数(二)第六章习题

第六章习题一、填空题1、已知000,,00a V a bc a b c R c b ⎧⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=+∈⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎩⎭是33R ⨯的一个子空间，则维(V ) ＝， V 的一组基是 .2、在4P 中，若1234(1,2,0,1),(1,1,1,1),(1,,1,1),(0,1,,1)k k αααα===-=线性无关，则k 的取值范围是 . 3、已知a 是数域P 中的一个固定的数，而1{(,,,),1,2,,}n i W a x x x P i n =∈= 是1n P +的一个子空间，则a ＝，而维(W )＝ .4、设nP 是数域P 上的n 维列向量空间，2,n n A P A A ⨯∈=且记12{},{,0},n n W AX X P W X X P AX =∈=∈=则12,W W 都是nP 的子空间，则12W W +＝，12W W ＝5、设123,,εεε是线性空间V 的一组基，112233x x x αεεε=++，则由基123,,εεε到基231,,εεε的过渡矩阵T ＝，而α在基321,,εεε下的坐标是6、复数域C 作为实数域R 上的向量空间，维数等于，它的一个基为。

7、复数域看成它本身上的向量空间，其维数为，它的一个基为。

8、实数域R 上全体n 阶上三角形矩阵，对矩阵的加法和纯量乘法作成向量空间，它的维数等于。

9、设⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛=R d c b a d c b a V ,,,，(){}R e d e d W ∈=,都是实数域R 上的向量空间。

=V dim ；=W dim 。

10、数域P 上一切次数n ≤的多项式加零多项式构成的向量空间[]1n P x +维数等于，[]6P x 的维数等于，它的一个基为。

二、判断题1、设n nV P⨯=，则{,0}n nW A A P A ⨯=∈=是V 的子空间. （）2、已知{(,),,,}V a bi c di a b c d R =++∈为R 上的线性空间，则维(V ）＝2.（）3、设,n n A B P ⨯∈，V 是0A X B ⎛⎫=⎪⎝⎭的解空间，1V 是0Ax =的解空间，2V 是()0A B x +=的解空间，则12V V V = . （）4、设线性空间V 的子空间W 中每个向量可由W 中的线性无关的向量组12,,,sααα 线性表出，则维(W )＝s . （）5、若把同构的子空间算作一类，n 维向量空间的子空间能分1+n 成类。

北师大八年级下册-第六章-平行四边形证明题专项练习(包含答案)

北师大八年级下册-第六章-平行四边形证明题专项练习(包含答案)本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March1.如图,四边形ABCD是平行四边形,DE平分∠ADC,交AB于点E,BF平分∠ABC,交CD于点F.求证:DE=BF2.如图,在平行四边形ABCD中,将△BCD沿BD翻折,使点C落在点E处,BE和AD相交于点O.求证:OA=OE.3.如图所示,把平行四边形ABCD折叠,使点C与点A重合,这时点D落在点D1处,折痕为EF,若∠BAE=55°,求∠D1AD的度数4.如图(1),▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,EF过点O且与AD、BC分别相交于点E、F,则OE=OF.若将EF向两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交(如图(2)和图(3)),OE与OF还相等吗?若相等,请你说明理由.5.如图,点E为▱ABCD的边AB上一点,将△BCE沿CE翻折得到△FCE,点F落在对角线AC上,且AE=AF,若∠BAC=28°,求∠BCD的度数。

6.如图,在▱ABCD中,点E是BC边的中点,连接AE并延长与DC的延长线交于F.(1)求证:CF=CD;(2)若AF平分∠BAD,连接DE,试判断DE与AF的位置关系,并说明理由.7.如图,在▱ABCD中,连接BD,在BD的延长线上取一点E,在DB的延长线上取一点F,使BF=DE,连接AF、CE.求证:AF∥CE.8.如图,在▱ABCD中,O是对角线AC的中点,EF经过点O交AD,BC于E,F.四边形AFCE是平行四边形吗?请说明理由.9.如图,四边形ABCD是平行四边形,直线EF∥BD,与CD、CB的延长线分别交于点E、F,与AB、AD 交于点G、H.(1)求证:四边形FBDH为平行四边形;(2)求证:FG=EH.10.如图,已知△ABC是等边三角形,点D、F分别在线段BC、AB上,∠EFB=60°,EF=DC.(1)求证:四边形EFCD是平行四边形;(2)若BF=EF,求证:AE=AD.11.如图①,已知在△ABC中,AB=AC,点P为底边BC上(端点B、C除外)的任意一点,且PE∥AC,PF∥AB.(1)线段PE、PF、AB之间有什么数量关系?并说明理由;(2)如图②,将“点P为底边BC上任意一点”改为“点P为底边BC延长线上任意一点”,其他条件不变,上述结论还成立吗如果不成立,你能得出什么结论请说明你的理由.12.如图,已知△ABC是等边三角形,点D、F分别在线段BC、AB上,∠EFB=60°,EF=DC.(1)求证:四边形EFCD是平行四边形;(2)若BF=EF,求证:AE=AD.13.如图,在平行四边形ABCD中,∠C=60°,M、N分别是AD、BC的中点,BC=2CD.(1)求证:四边形MNCD是平行四边形;(2)求证:BD=3MN.14.如图,已知△ABC的中线BD、CE交于点O,F、G分别是OB、OC的中点.求证:四边形DEFG是平行四边形.15.如图,在△ABC中,D、E分别是边AB、AC的中点,∠B=50°.将△ADE沿DE折叠,使点A落在点A1处,求∠BDA1的度数.16.如图,M是△ABC的边BC的中点,AN平分∠BAC,BN⊥AN于点N,延长BN交AC于点D,已知AB=10,BC=15,MN=3.(1)求证:BN=DN;(2)求△ABC的周长.17.如图,在△ABC中,BC=AC,E、F分别是AB、AC的中点,延长EF交∠ACD的平分线于点G.(1)AG与CG有怎样的位置关系?说明你的理由;(2)求证:四边形AECG是平行四边形.18.我们知道“连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线”“三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半”.类似地,我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线.如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,点E,F分别是AB,CD的中点,那么EF就是梯形ABCD的中位线,通过观察、测量,猜想EF和AD,BC有怎样的位置和数量关系,并证明你的结论.19.如图,四边形纸片ABCD中,∠A=70°,∠B=80°,将纸片折叠,使C,D落在AB边上的C',D'处,折痕为MN,求∠AMD'+∠BNC' 的度数20.如图所示，E，F分别为平行四边形ABCD中AD，BC的中点，G，H在BD上，且BG＝DH，求证四边形EGFH是平行四边形．21.如图所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24 ㎝，BC＝26㎝，动点P从点A 开始沿AD边以每秒1㎝的速度向D点运动，动点Q从点C开始沿CB边以每秒3㎝的速度向B运动，P，Q分别从A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t s．（1）t为何值时，四边形PQCD为平行四边形? （2）t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形? （3）t为何值时，四边形ABQP为矩形?22.如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB＝10，BC＝15，MN＝3 （1）求证：BN＝DN；（2）求△ABC的周长．23.（1）如图①，口ABCD的对角线AC，BD交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F．求证：AE ＝CF．（2）如图②，将口ABCD（纸片）沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处，设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD，DE于点H，I．求证：EI＝FG．答案1.证法一:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=CB,∠A=∠C,∠ADC=∠CBA.∵DE平分∠ADC,BF平分∠ABC,∴∠ADE= ∠ADC,∠CBF= ∠CBA,∴∠ADE=∠CBF,∴△ADE≌△CBF(ASA).∴DE=BF.证法二:∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC∥AB,∴∠CDE=∠AED,∵DE平分∠ADC,∴∠ADE=∠CDE,∴∠ADE=∠AED,∴AE=AD.同理,CF=CB,又AD=CB,∴AE=CF,∵AB=CD,∴DF=BE,∴四边形DEBF是平行四边形,∴DE=BF.2.证法一:∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BC,且AD=BC,∴∠ADB=∠CBD,由折叠可知∠EBD=∠CBD,BE=BC,∴∠EBD=∠ADB,AD=BE,∴BO=DO,∴AD-DO=BE-BO,即OA=OE.证法二:∵四边形ABCD为平行四边形,∴∠A=∠C,且AB=DC.由折叠可知∠E=∠C,DE=DC,∴∠A=∠E,AB=DE.在△AOB和△EOD中,∴△AOB≌△EOD,∴OA=OE.3.∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠BAD=∠C,由折叠性质知,∠D1AE=∠C,∴∠D1AE=∠BAD,∴∠D1AD=∠BAE=55°.4.题图(2)中OE=OF.理由:在▱ABCD中,AB∥CD,OA=OC,∴∠E=∠F,又∵∠AOE=∠COF,∴△AOE ≌△COF(AAS),∴OE=OF题图(3)中OE=OF.理由:在▱ABCD中,AD∥BC,OA=OC,∴∠E=∠F,又∵∠AOE=∠COF,∴△AOE≌△COF(AAS),∴OE=OF5.∵∠BAC=28°,AE=AF,∴∠AFE=∠AEF= =76°,∴∠EFC=180°-76°=104°,由折叠的性质知,∠B=∠EFC=104°,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠B+∠BCD=180°,∴∠BCD=180°-104°=76°.6. (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,∵点F为DC的延长线上一点,∴AB∥DF,∴∠BAE=∠CFE,∠ECF=∠EBA,∵E为BC的中点,∴BE=CE,则在△BAE和△CFE中,∴△BAE≌△CFE(AAS),∴AB=CF,∴CF=CD.(2)DE⊥AF.理由:∵AF平分∠BAD,∴∠BAF=∠DAF,∵∠BAF=∠F,∴∠DAF=∠F,∴DA=DF,又由(1)知△BAE≌△CFE,∴AE=EF,∴DE⊥AF.7.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC.∴∠ADF=∠CBE.又∵BF=DE,∴BF+BD=DE+BD,∴DF=BE.∴△ADF≌△CBE.∴∠AFD=∠CEB.∴AF∥CE.8.四边形AFCE是平行四边形.理由如下:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC.∴∠DAC=∠BCA.又∵O是AC的中点,∴OA=OC.又∵∠AOE=∠COF,∴△AOE≌△COF.∴OE=OF.∵OE=OF,OA=OC,∴四边形AFCE是平行四边形.9. (1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,又∵EF∥BD,∴四边形FBDH为平行四边形.(2)由(1)知四边形FBDH为平行四边形,∴FH=BD,∵EF∥BD,AB∥DC,∴四边形BDEG是平行四边形, ∴BD=EG,∴FH=EG,∴FH-GH=EG-GH,∴FG=EH.10.(1)∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°.∵∠EFB=60°,∴∠ABC=∠EFB.∴EF∥BC.又∵EF=DC,∴四边形EFCD是平行四边形.(2)连接BE.∵BF=EF,∠EFB=60°∴△BEF是等边三角形∴EB=EF∠ABE=60°又∵EF=DC∴BE=DC∵△ABC是等边三角形,∴∠ACB=60°,AB=AC.∴∠ABE=∠ACD,又∵BE=DC,AB=AC,∴△ABE≌△ACD,∴AE=AD.11. (1)PE+PF=AB.理由:∵PE∥AC,PF∥AB,∴∠EPB=∠C,四边形PEAF是平行四边形,∴PF=AE,∵AC=AB,∴∠B=∠C,∴∠EPB=∠B,∴PE=BE.∵BE+AE=AB,∴PE+PF=AB.(2)(1)中结论不成立.此时结论为PE-PF=AB.理由:∵PE∥AC,PF∥AB,∴∠FPC=∠ABC,四边形PEAF 是平行四边形,∴PE=AF,又AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∴∠FPC=∠ACB=∠FCP,∴PF=FC,∴PE-PF=AF-FC=AC=AB.12. (1)∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°.∵∠EFB=60°,∴∠ABC=∠EFB.∴EF∥BC.又∵EF=DC,∴四边形EFCD是平行四边形.(2)连接BE.∵BF=EF,∠EFB=60°,∴△BEF是等边三角形.∴EB=EF,∠ABE=60°.又∵EF=DC,∴BE=DC. ∵△ABC是等边三角形,∴∠ACB=60°,AB=AC.∴∠ABE=∠ACD,又∵BE=DC,AB=AC,∴△ABE≌△ACD,∴AE=AD.13. (1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC.∵M、N分别是AD、BC的中点,∴MD=NC,又MD∥NC,∴四边形MNCD是平行四边形.(3)如图,连接DN.∵N是BC的中点,BC=2CD,∴CD=NC.∵∠C=60°,∴△DCN是等边三角形.∴ND=NC,∠DNC=∠NDC=60°.∴ND=NB=CN.∴∠DBC=∠BDN=30°.∴∠BDC=∠BDN+∠NDC=90°. ∴∵四边形MNCD是平行四边形,∴MN=CD.∴BD= MN.1BC,又∵F、G分别是14.∵D,E分别为AC、AB的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴DE∥BC,且DE=2OB、OC的中点,1BC,∴DE∥FG,DE=FG,∴四边形DEFG是平行四边形. ∴FG是△BCO的中位线,∴FG∥BC,且FG= 215.∵D、E分别是边AB、AC的中点,∴DE∥BC,∴∠ADE=∠B=50°(两直线平行,同位角相等),又∵∠ADE=∠A1DE,∴∠A1DA=2∠B,∴∠BDA1=180°-2∠B=80°.16. (1)证明:∵AN平分∠BAC,∴∠1=∠2,∵BN⊥AN,∴∠ANB=∠AND=90°,又AN=AN,∴△ABN≌△ADN,∴BN=DN.(2)由△ABN≌△ADN知,AD=AB=10,点N为BD的中点,又M是BC的中点,∴MN为△BCD的中位线,∴CD=2MN=6,∴AC=AD+CD=16,∴△ABC的周长=AB+BC+AC=10+15+16=41.17. (1)AG ⊥CG.理由:∵E 、F 分别是AB 、AC 的中点,∴EF 是△ABC 的中位线,AF=CF,∴EF ∥BC,∴∠FGC=∠GCD,∵CG 平分∠ACD,∴∠FCG=∠GCD,∴∠FCG=∠FGC,∴FG=FC,又∵AF=CF,∴AF=FG,∴∠FAG=∠AGF,∵∠FAG+∠AGC+∠ACG=180°,∴∠AGC=90°,∴AG ⊥CG.(2)证明:由(1)知,FG= 21AC,∵EF 是△ABC 的中位线,∴EF= 21BC,∴FG=EF,又∵AF=CF,∴四边形AECG 是平行四边形.18. 结论:EF ∥AD ∥BC,EF= 21(AD+BC).证明如下:如图所示,连接AF 并延长交BC的延长线于点G,∵AD ∥BC,∴∠DAF=∠G,在△ADF 和△GCF 中,∠DAF=∠G,∠DFA=∠CFG,DF=FC,∴△ADF ≌△GCF(AAS),∴AF=FG,AD=CG,又∵AE=EB,∴EF ∥BG,EF= 21BG,即EF ∥AD ∥BC,EF= 21(AD+BC). 19.四边形纸片ABCD 中,∠A=70°,∠B=80°,∴∠D+∠C=360°-∠A-∠B=210°.∵将纸片折叠,使C,D 落在AB 边上的C',D'处,∴∠MD'B=∠D,∠NC'A=∠C,∴∠MD'B+∠NC'A=210°, ∴∠AD'M+∠BC'N=150°,∴∠AMD'+∠BNC'=360°-∠A-∠B-∠AD'M-∠BC'N=60°20. 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC （平行四边形对边平行且相等）．∴∠EDH ＝∠FBG ．又∵E ，F 分别为AD ，BC 的中点，∴DE ＝BF ．又∵BG ＝DH ，∴．△DEH ≌△BFG （SAS ），∴EH ＝FG ，∠DHE ＝∠BGF ．∴∠EHG ＝∠FGH （等角的补角相等）．∴EH ∥FG ．∴四边形EGFH 是平行四边形21.由已知得AP ＝t ，CQ ＝3t ，PD ＝24－t ，BQ ＝26－3t ．（1）∵PD ∥CQ ，∴当PD ＝CQ 时，即3t ＝24－t 时，四边形PQCD 为平行四边形，解得t ＝6．故当t ＝6时，四边形PQCD 为平行四边形．（2）如图3—38所示，作DE ⊥BC ，PF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，则CE ＝2．当QF ＝CE 时，即QF+CE ＝2CE ＝4时，四边形PQCD 是等腰梯形．此时有CQ －EF ＝4，即3t —（24一t ）＝4，解得t ＝7．故当t ＝7时，四边形PQCD 为等腰梯形．（3）若四边形ABQP 为矩形，则AP ＝BQ ，即t ＝26—3t ，解得t ＝213．故当t ＝213时，四边形ABQP 为矩形． 22.（1）证明：在△ABN 和△ADN 中， ∵12AN ANANB AND ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABN ≌△ADN ， ∴BN ＝DN ．（2）解：∵△ABN ≌△ADN ，∴AD ＝AB ＝10，DN ＝NB ，又∵点M 是BC 中点，∴MN 是△BDC 的中位线，∴CD ＝2MN ＝6，故△ABC 的周长＝AB ＋BC ＋CD ＋AD ＝10＋15＋6＋10＝41．23.证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，OA ＝OC ，∴∠1＝∠2，∵在△AOE 和△COF 中，1234OA OC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AOE ≌△COF （ASA ），∴AE ＝CF ；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A ＝∠C ，∠B ＝∠D ，由（1）得AE ＝CF ，由折叠的性质可得：AE ＝A 1E ，∠A 1＝∠A ，∠B 1＝∠B ，∴A 1E ＝CF ，∠A 1＝∠A ＝∠C ，∠B 1＝∠B ＝∠D ，又∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，∵∠5＝∠3，∠4＝∠6，∴∠5＝∠6，∵在△A 1IE 与△CGF 中，1156A C A E CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△A 1IE ≌△CGF （AAS ），∴EI ＝FG ．。

华东师范大学离散数学章炯民课后习题第6章答案

华东师范大学离散数学章炯民课后习题第6章答案p992.f:x？y、有什么需要吗？x、定义f（a）={f（x）|x？a}。

（1）证明f（a？B）=f（a）？f（b）（3）举例说明f(a?b)≠f(a)?f(b)。

证明：（1）? Y∈f（a？b）??x∈a?b，使y=f(x)??x∈a或?x∈b，使y=f(x)?y=f(x)∈f(a)或y=f(x)∈f(b)?y∈f(a)?f(b)?f(a?b)=f(a)?f(b)（2）举例：设f（x）=X2，a={1,2}，B={1，-2}。

则f(a?b)={1}，而f(a)={1,4}f(b)={1,4}f(a)?f(b)={1,4}故，f(a?b)≠f(a)?f(b)基本正确。

一些学生错误地认为函数值是一个值而不是一个集合。

4F:x？y、以下命题正确吗？（1）f是一对一的当且仅当对任意a,b?x，当f(a)=f(b)时，必有a=b；（2）f是一对一的当且仅当对任意a,b?x，当f(a)≠f(b)时，必有a≠b。

解：（1）设立（2）不成立，如f(x)=x2,部分学生第（2）判断错误5.下图显示了五种关系的关系图。

问：这些关系中哪些是函数？什么是一对一功能？它的功能是什么？哪些是一对一的通信？解：1是一个函数，一对一，但不是顶部；2是一个高达但不是一对一的函数；3是一个函数，一对一对应；4是功能；5不是一个函数。

对的9(1).f：x?y，g：y?z。

命题“f？G是一对一的当且仅当f和G都是一对一的”这是真的吗？解决方案：不成立。

F是一对一。

假设f不是一对一的,不妨设f(a)=b,f(b)=b(a≠b)f?g(a)=g(f(a))=g(b),f?g(b)=g(f(b))=g(b)Fg（a）=f？G（b），哪个和f相同？G是一对一的矛盾。

但g不一定是一对一的。

反例:如f的论域{1,2}:f(1)=5,f(2)=6,g的论域{4,5,6}:g(4)=a,g(5)=a,g(6)=c,f是一对一的,f?g也是一对一的,但g不是一对一的部分学生判断错误。

第6章集合代数

10
运算的优先权规定
1 类运算：初级运算, , , ，优先顺序由括号确定 2 类运算：广义运算和运算，运算由右向左进行混合运算：2 类运算优先于1 类运算
例1 A={{a},{a,b}}，计算A(AA). 解： A(AA) = {a,b}({a,b}{a}) = (ab)((ab)a) = (ab)(ba) = b
25
基本要求
熟练掌握集合的两种表示法能够判别元素是否属于给定的集合能够判别两个集合之间是否存在包含、相等、真包含等关系熟练掌握集合的基本运算（普通运算和广义运算）掌握证明集合等式或者包含关系的基本方法
26
练习1
1．判断下列命题是否为真 (1) (2) (3) {} (4) {} (5) { a, b } { a, b, c, {a, b, c}} (6) { a, b } { a, b, c, {a, b}} (7) { a, b} { a, b, {{a, b}}} (8) { a, b} { a, b, {{a,b}}}
| A B C |
= 1000(200+166+125)+(33+25+41)8 = 600
14
6.3 集合恒等式
集合算律 1．只涉及一个运算的算律：交换律、结合律、幂等律
交换结合幂等 AB=BA (AB)C =A(BC) AA=A AB=BA (AB)C= A(BC) AA=A AB=BA (AB)C =A(BC)
解 (1)、(3)、(4)、(5)、(6)、(7)为真，其余为假.
27
方法分析
(1) 判断元素a与集合A的隶属关系是否成立基本方法：把 a 作为整体检查它在A中是否出现，注意这里的 a 可能是集合表达式. (2) 判断AB的四种方法若A,B是用枚举方式定义的，依次检查A的每个元素是否在B中出现. 若A,B是谓词法定义的，且A, B中元素性质分别为P和Q, 那么“若P则Q”意味 AB，“P当且仅当Q”意味Ａ=Ｂ．通过集合运算判断AB，即AB = B, AB = A, AB = 三个等式中有一个为真. 通过文氏图判断集合的包含（注意这里是判断，而不是证明

第六章线性空间综合练习题及解答

第六章线性空间（综合练习题）一．填空题1．在4P 中，若1234(1,2,0,1),(1,1,1,1),(1,,1,1),(0,1,,1)k k αααα===-=线性无关，则k 的取值范围是3≠k ．2．设V 是有限维线性空间，21,V V 是V 的两个子空间，则它们的维数满足等式)dim (dim dim )dim (212121V V V V V V -+=+．3．线性子空间中最小的子空间是 _____{0}__ _ ． 4．生成子空间),,,(21r L ααα 的维数等于 ),,,(21r R ααα ．5．(){}123123,,,0i W a a a a F a a a =∈++=,则dim W =__2__ ．基是 )1,0,1(,)0,1,1(-- 6．设W 是齐次线性方程组054321=++++x x x x x 的解空间，则维（W ）= ___4_____ ，W 的一组基是)1,0,0,0,1(,)0,1,0,0,1(,)0,0,1,0,1(,)0,0,0,1,1(----．7．设V 与W 都是P 上的两个有限维线性空间，则⇔≅W V W V dim dim =． 8．()()()()()()121,1,0,1,0,1,0,1,1,1,2,3W L W L ==，则()=+21dim W W ____3____． 9．设1W ．2W 都是V 的子空间，且1W +2W 为直和，那么()12dim W W =___0____． 10．数域P 上任一n 维线性空间V 都与线性空间____n P ____同构. 11．下列集合有____3____个是n R 的子空间； 11212{(,,)|,0}n i n W x x x x R x x x α==∈+++=； 21212{(,,)|,}n i n W x x x x R x x x α==∈===；3{(,,,,,,)|,}W a b a b a b a b R α==∈； 412{(,,)|}n i W x x x x α==为整数．二．选择题1．线性空间V 是零线性空间，则V 中所含向量的个数是（ B ）． A ．0个； B ． 1 个； C ．n 个； D ．无穷多个． 2．设V 是线性空间，V ∈γβα,,，则一定有（ B ）．A ．βαγ+=；B ．)(γαβγβα++=++ ；C ．γββα+=+；D ．γβα,,线性无关． 3．12,,,s ααα线性无关的充要条件是( C )． A ．12,,,s ααα均非零向量； B ．12,,,s ααα的任两个向量分量成比例；C ．12,,,s ααα中任一向量不能由其余的向量线表示；D ．12,,,s ααα中有一部分线性无关．4．设1V ，2V 是数域P 上n 维线性空间V 的两个非零子空间，则 12dim dim V V +=（ B ）． A ．1212dim()dim()V V V V +-⋂； B ．1212dim()dim()V V V V ++⋂ ； C ．12dim()V V +； D ． 0．5．下列关于子空间21V V 与是直和的描述中不正确的是（ C ）． A ．任一向量21ααα+分解式是唯一的； B ．零元素表示法唯一； C ．φ=21V V ； D ．2121dim dim )dim (V V V V +=+．三．计算题1、在4P 中，求向量ζ在基4321,,,εεεε下的坐标。

高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明6_5合情推理与演绎推理课件理新人教A版

解析由于甲不知道自己的成绩，故乙、丙的成绩中一个为优秀、一个为良好，所以丁看到甲的成绩后一定能断定自己的成绩，乙看到丙的成绩后可以知道自己的成绩。故选 D。
答案 D
4．(2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3，甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片上的数字是________。
【例 3】 (1)(2019·山东淄博一模)有一段“三段论”推理是这样的：对
于可导函数 f(x)，若 f′(x0)＝0，则 x＝x0 是函数 f(x)的极值点，因为 f(x)＝x3 在 x＝0 处的导数值为 0，所以 x＝0 是 f(x)＝x3 的极值点，以上推理( )
A．大前提错误
B．小前提错误
C．推理形式错误 D．结论正确
解析根据类比推理的特点可知：等比数列和等差数列类比，在等差数列中是和，在等比数列中是积，故有 b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，且 n∈N*)。
答案 b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，且 n∈N*)
二、走近高考 3．(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩。根据以上信息，则( ) A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩
三维测度(体积)V＝43πr3，应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测

线性代数证明题答案

第一章行列式21 证明: 设112210)(----++++=n n n n x c xc x c c x f Λ )1()(n i b a f i i ≤≤=Θ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++∴------------n n n n n n n nn n n n n n n n ba c a c a c cb ac a c a c c b a c a c a c c 11221021212222101111212110ΛM ΛΛ (1)（1）式是一个关于1210,,,--n n c c c c Λ的线性方程组，系数行列式∏≤<≤----==ni j j in nn n n a aa a a a a a D 11122111)(111ΛMM ΛΛ因为1221,,,--n n a a a a Λ是互不相同的实数，所以0≠D ，根据克拉默法则知（1）式有唯一解，即存在唯一的满足题意的多项式.第二章矩阵6 证明: 令ij E 是只有第i 行第j 列元素为1，其他全为0的n 阶方阵，则⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0000001ΛΛM M M ΛΛM M ΛΛni ii i ij a a a AE ,只有第j 列元素分别为ni i i a a a ,,,21Λ，其它元素全为0；而⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0000001ΛΛM M M ΛΛMM ΛΛjn jj j ij a a a A E ,只有第i 行元素分别为jn j j a a a ,,,21Λ, 其它元素全为0；A E AE ij ij =Θ01,1,1,1,11============∴+-+-jn j j j j j ni i i i i i a a a a a a a a ΛΛΛΛ且jj ii a a =；取n j n i ,,1;,,1ΛΛ==，则可知：⎩⎨⎧≠====)(0),,1;,,1(j i a n j n i a a ijjj ii ΛΛ即A 为数量阵；若A 为数量阵，则kE A =，任给一n 阶方阵B ，则有： BA BkE kB kEB AB ==== 即A 与任一n 阶方阵B 可交换，综上所述,与任一n 阶方阵B 可交换的矩阵为数量阵。

高中数学第六章名题赏析6.5哥德巴赫猜想全国公开课一等奖百校联赛微课赛课特等奖PPT课件

D.布朗、哈代
答案:A
9/13
重难点拨
思悟升华
一
1937 年,最早基本证明猜想(B)的数学家是(
A.哈代
B.李特尔伍德
C.欧拉
D.维诺格拉多夫
答案:D
二
三
).
哈代、李特尔伍德在证明哥德巴赫猜想时建13
重难点拨
思悟升华
一
二
三
三、关于哥德巴赫猜想(A)的证明
【例 4】在中国最早研究哥德巴赫猜想的数学家是(
).
A.19 世纪 20 年代
B.20 世纪 20 年代
C.20 世纪 40 年代
D.20 世纪 60 年代
答案:B
【例 3】在假定广义黎曼猜想成立的前提之下,证明命题“每个
充分大的奇数 n 都是 3 个素数之和,即 n=p1+p2+p3”的数学家是
(
).
A.哈代、李特尔伍德
B.黎曼、哈代
C.李特尔伍德、黎曼
术委员会委员,兼贵阳民族学院、
河南大学、青岛大学、
华中工学院、
福建师范大学等校教授,国家科委数学学科组成员,《数学季刊》主
编等职.主要从事解析数论方面的研究,并在哥德巴赫猜想研究方面
取得国际领先的成果.这一成果国际上誉为陈氏定理,被广泛引用.与
王元、潘承洞共同获得 1978 年国家自然科学奖一等奖.其后对上述
这就是著名的哥德巴赫猜想.
2.哥德巴赫猜想第一次重大的突破是 20 世纪 20 年代获得的.
哈代、李特尔伍德(J.E.Littlewood)建立了圆法.使用这种圆法,在假定
一条未经证明的著名猜想——广义黎曼猜想成立的前提之下,他们
证明了两个命题: