精编泰州市高二下期末联考数学试卷(文)有答案

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2021学年江苏省泰州市高二(下)期末数学复习试卷(5)(文科)(有答案)

2021学年江苏省泰州市高二（下）期末数学复习试卷（5）（文科）一、填空题（共14小题，每小题3分，满分42分）1. 函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y =e x 关于y 轴对称，则f(x)=________．2. 已知函数f(x)=3x −1，g(x)={x 2−1，x ≥02−x,x <0，若x ≥13，则g （f(x)）=________．3. 若命题p:x +y ≠5，命题q:x ≠2或y ≠3，则命题p 是命题q 成立的________条件．4. 已知f(x)=log 2(x 2−2x −3)的单调增区间为________．5. 曲线y =x 3+3x 2+6x −10的切线中，斜率最小的切线方程是________．6. 已知|z 1|=|z 2|=|z 1+z 2|=1，则|z 1−z 2|等于________．7. 设f(x)为定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f(x)=2x +2x +m （m 为常数），则f(1)=________．8. 函数f(x)=kx 3−3(k +1)x 2−k 2+1(k >0)，的单调减区间是(0, 4)，则实数k =________．9. 若x +y =1，则x 2+y 2的最小值为________．10. 已知函数f(x)={−x 2+ax,x ≤1，ax −1,x >1，若存在x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，使得f(x 1)=f(x 2)成立，则实数a 的取值范围是________．11. 对于大于1的自然数m 的3次幂有如下分解方式：23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…根据上述分解规律，若m 3(m ∈N ∗)的分解中有一个数为59，则m =________．12. 已知y =lg (ax −1)−lg (x −1)在(10, +∞)上是增函数，则a 的取值范围________．13. 设a，b>0，且ab=1，不等式aa2+1+bb2+1≤λ恒成立，则λ的取值范围是________．14. 已知f(x)=2ln x−1x ，对于任意的x1，x2∈(0, +∞)，有|f(x1)−f(x2)|≥m|1x1−1x2|，则实数m的取值范围为________．二、解答题（共6小题，满分0分）求二次函数f(x)=x2−4x−1在区间[t, t+2]上的最小值g(t)，其中t∈R．已知函数f(x)=e x+e−x，其中e是自然对数的底数．（1）证明：f(x)是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf(x)≤e−x+m−1在(0, +∞)上恒成立，求实数m的取值范围．已知f(x)=x2−2ax+5(a>1)(I)若f(x)的定义域和值域均为[1, a]，求a的值；(II)若f(x)在区间(−∞, 2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1, a+1]，总有|f(x1)−f(x2)|≤4，求a的取值范围．某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a件，通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为x(0<x<1)，那么月平均销售量减少的百分率为x2．记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y（元）．（1）写出y与x的函数关系式；（2）改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大．已知函数f(x)＝a(x−1x)−2ln x(a∈R)．（1）若a＝2，求曲线y＝f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程；（2）求函数f(x)的单调区间；（3）设函数g(x)=−ax．若至少存在一个x0∈[1, e]，使得f(x0)>g(x0)成立，求实数a的取值范围．已知函数f(x)=1+ln xx（1）若函数f(x)在区间(a, a+1)上有极值，求实数a的取值范围（2）当n∈N∗，n≥2时，求证：nf(n)<2+12+13+...+1n−1（提示：证明ln(1+x)<x，(x>0)）参考答案与试题解析2021学年江苏省泰州市高二（下）期末数学复习试卷（5）（文科）一、填空题（共14小题，每小题3分，满分42分）1.【答案】e−（x+1）【考点】函数的图象变换【解析】可以将题目中的图象变换过程逆回去，即先得到与曲线y=e x关于y轴对称的函数解析式，再根据（左+右-）向左平移1个单位得到f(x)的解析式．【解答】解：∵y=f(x)与y=f(−x)的图象关于y轴对称，∴图象与曲线y=e x关于y轴对称的函数是y=e−x，再将y=e−x的图象向左平移1个单位得到y=e−（x+1）的图象，∴f(x)=e−（x+1）．2.【答案】9x2−6x【考点】函数的求值【解析】利用分段函数的性质求解．【解答】解：∵f(x)=3x−1，g(x)={x2−1，x≥02−x,x<0，x≥13，∴f(x)=3x−1≥0，∴g（f(x)）=[f(x)]2−1=(3x−1)2−1=9x2−6x．故答案为：9x2−6x．3.【答案】充分不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】根据逆否命题的等价性，结合充分条件和必要条件的定义判断即可得到结论．【解答】解：∵命题p:x+y≠5，命题q:x≠2或y≠3，∴命题￢p:x+y=5，命题￢q:x=2且y=3，当x=1且y=4时，满足x+y=5，但x=2且y=3不成立，若x=2且y=3则x+y=5，则￢q是￢p的充分不必要条件，即命题p是命题q成立的充分不必要条件，故答案为：充分不必要4.【答案】(3, +∞)【考点】复合函数的单调性【解析】令t=x2−2x−3>0，求得函数的定义域为{x|x<−1, 或x>3}，且f(x)=g(t)= log2t，本题即求函数t在定义域内的增区间．再利用二次函数的性质可得t=(x−1)2−4在定义域内的增区间．【解答】解：令t=x2−2x−3>0，求得x<−1，或x>3，故函数的定义域为{x|x<−1, 或x>3}，t，且f(x)=g(t)=log2本题即求函数t在定义域内的增区间．利用二次函数的性质可得t=(x−1)2−4在定义域内的增区间为(3, +∞)，故答案为：(3, +∞)．5.【答案】3x−y−11=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】先对函数f(x)进行求导，然后求出导函数的最小值，其最小值即为斜率最小的切线方程的斜率，进而可求得切点的坐标，最后根据点斜式可得到切线方程．【解答】解：∵f(x)=x3+3x2+6x−10∴f′(x)=3x2+6x+6=3(x+1)2+3∵当x=−1时，f′(x)取到最小值3∴f(x)=x3+3x2+6x−10的切线中，斜率最小的切线方程的斜率为3∵f(−1)=−1+3−6−10=−14∴切点坐标为(−1, −14)∴切线方程为：y+14=3(x+1)，即3x−y−11=0故答案为：3x−y−11=0．6.【答案】√3【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】不妨设z1=1，z2=cosθ+i sinθθ∈[0, 2π)．由于|z1+z2|=1，可得√(1+cosθ)2+sin2θ=1，化为cosθ=−1．于是|z1−z2|=√(1−cosθ)2+sin2θ，即2可得出．【解答】解：不妨设z1=1，z2=cosθ+i sinθθ∈[0, 2π)．∵|z1+z2|=1，∴√(1+cosθ)2+sin2θ=1，化为cosθ=−12．则|z1−z2|=√(1−cosθ)2+sin2θ=√94+34=√3．故答案为：√3．7.【答案】52【考点】函数奇偶性的性质【解析】根据题意，由奇函数的性质，可得f(0)=0，代入函数解析式并解方程可得m的值，由函数的解析式可得f(−1)的值，结合奇函数的性质，可得答案．【解答】解：根据题意，f(x)为定义在R上的奇函数，则必有f(0)=0，即20+2×0+m=0，解可得m=−1，∴f(−1)=2−1−2−1=−52，故f(1)=−f(−1)=52；故答案为52．8.【答案】1【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】先求导函数f′(x)，令f′(x)<0，求出函数f(x)的单调减区间，而f(x)的单调减区间为(0, 4)，它们是同一区间，建立等式关系，即可求出k的值【解答】解：f′(x)=3kx2−6(k+1)x=0(k>0)，解得：x=0或2k+2k，而2k+2k>2令f′(x)=3kx2−6(k+1)x<0，解得x∈(0, 2k+2k)∴f(x)的单调减区间为(0, 2k+2k)根据题意可知(0, 4)=(0, 2k+2k)，即2k+2k=4，解得k =1，故答案为：1． 9. 【答案】12【考点】点到直线的距离公式【解析】在平面直角坐标系中作出直线x +y =1，由x 2+y 2=(√x 2+y 2)2可知x 2+y 2的最小值是原点到直线x +y =1的距离的平方．【解答】解：如图，由题意可知，求x 2+y 2的最小值是求原点到直线x +y =1的距离的平方，化x +y =1为一般式，即x +y −1=0，则(0, 0)到x +y −1=0的距离为|0×1+0×1−1|√2=√22，所以原点到直线x +y =1的距离的平方为(√22)2=12．故答案为：12．10.【答案】 (−∞, 2) 【考点】函数恒成立问题【解析】若∃x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，使得f(x 1)＝f(x 2)成立，则f(x)不是单调函数，结合二次函数和一次函数的图象和性质，分类讨论不同情况下函数的单调性，综合讨论结果可得答案．【解答】解：由题意得，在定义域内，f(x)不是单调的．分情况讨论：(1)若x ≤1时，f(x)=−x 2+ax 不是单调的，即对称轴在x =a2满足a2<1，解得：a <2(2)x ≤1时，f(x)是单调的，此时a≥2，f(x)为单调递增．最大值为f(1)=a−1故当x>1时，f(x)=ax−1为单调递增，最小值为f(1)=a−1，因此f(x)在R上单调增，不符条件．综合得：a<2，故实数a的取值范围是(−∞, 2).故答案为：(−∞, 2).11.【答案】8【考点】归纳推理【解析】观察可看出：等式左边：第1项是(1+1)2，第2项是(2+1)2，第3项是(3+1)2，依此类推，第n项是(n+1)2；等号右边：可以把所给的项逐项排列如下3+57+9+1113+15+17+19以后每一行比上一行多一个数，因为59数不大，所以可以逐行写出，最终可确定59在第几行，可求得结果．【解答】解：由已知，根据前面几行的规律，左边是第n行，则为(n+1)2，右端是等差数列3，5，7，9，…中的项，每行比上一行多一项，依此可逐行写出后面的每一行：23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，53=21+23+25+27+29，63=31+33+35+37+39+41，73=43+45+47+49+51+53+55，83=57+59+61+63+65+67+69+71，…m=8故答案为812.【答案】[110, 1)【考点】函数单调性的判断与证明【解析】应先满足函数的定义域，即当x∈(10, +∞)时ax−1>0恒成立，由此可得a≥110；然后将原函数化为y=lg ax−1x−1=lg(a+a−1x−1)，结合已知应有y=a−1x−1在(10, +∞)上递增，结合“反比例”函数的性质可求得a<1②最后根据①②可得a的取值范围是[110, 1)．【解答】解：由函数的定义域，即当x∈(10, +∞)时，ax−1>0恒成立，显然a>0，∴y=ax−1是增函数，∴只需10a−1≥0，即a≥110①原函数可化为y=lg ax−1x−1=lg(a+a−1x−1)，由题意只需y=a−1x−1在(10, +∞)上递增，结合“反比例”函数的图象性质可知，只需a−1<0，即a<1②结合①②可得a的取值范围是[110, 1)．故答案为：[110, 1)13.【答案】λ≥1【考点】函数恒成立问题【解析】只需求得aa2+1+bb2+1的最大值，由基本不等式可求．【解答】解：aa2+1+bb2+1≤a2a+b2b=1，当且仅当a=b=1时取得等号，∴λ≥1，故答案为：λ≥1．14.【答案】m≤1【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】利用函数f(x)的单调性，去掉绝对值，构造函数g(x)=f(x)+mx，求函数的导数，利用导数和函数单调性之间的关系即可得到结论．【解答】解：函数f(x)=2ln x−1x，在x>0时，单调递增，∵任意的x1，x2∈(0, +∞)，∴当x1=x2时，不等式恒成立，不妨设任意的x1>x2，则f(x1)>f(x2)，1x1−1x2<0，则不等式等价为f(x1)−f(x2)≥−m(1x1−1x2)，即f(x1)+mx1≥f(x2)+mx2，令g(x)=f(x)+m x ，则f(x 1)+m x 1≥f(x 2)+mx 2，等价为g(x 1)≥g(x 2)，即函数g(x)=f(x)+m x=2ln x −1x +mx 单调递增即可，即g′(x)≥0在x >0恒成立，即g′(x)=2x +1x 2−mx 2=2x+1−m x 2≥0，则m ≤2x +1恒成立，∵ x >0，∴ 2x +1>1，则m ≤1，故答案为：m ≤1．二、解答题（共6小题，满分0分）【答案】解：函数f(x)=(x −2)2−5的图象的对称轴方程为x =2，开口向上．当2∈[t, t +2]，即t ≤2≤t +2，也就是0≤t ≤2时，g(t)=f(2)=−5；当2∉[t, t +2]时，①当t >2时，f(x)在[t, t +2]上为增函数，故g(t)=f(t)=t 2−4t −1．②当t +2<2，即t <0时，f(x)在[t, t +2]上为减函数，故g(t)=f(t +2)=(t +2)2−4(t +2)−1=t 2−5．故g(t)的解析式为g(t)={t 2−4t −1，t >2−5,0≤t ≤2t 2−5，t <0.．【考点】二次函数的性质【解析】利用二次函数的对称轴以及开口方向，通过对称轴是否的区间内，讨论求函数的最小值．【解答】解：函数f(x)=(x −2)2−5的图象的对称轴方程为x =2，开口向上．当2∈[t, t +2]，即t ≤2≤t +2，也就是0≤t ≤2时，g(t)=f(2)=−5；当2∉[t, t +2]时，①当t >2时，f(x)在[t, t +2]上为增函数，故g(t)=f(t)=t 2−4t −1．②当t +2<2，即t <0时，f(x)在[t, t +2]上为减函数，故g(t)=f(t +2)=(t +2)2−4(t +2)−1=t 2−5．故g(t)的解析式为g(t)={t 2−4t −1，t >2−5,0≤t ≤2t 2−5，t <0.．【答案】（1）证明：∵ f(x)=e x +e −x ，∴ f(−x)=e −x +e x =f(x)，即函数：f(x)是R 上的偶函数；（2）解：若关于x 的不等式mf(x)≤e −x +m −1在(0, +∞)上恒成立，即m(e x +e −x −1)≤e −x −1， ∵ x >0，∴ e x +e −x −1>0，即m ≤e −x −1e x +e −x −1在(0, +∞)上恒成立，设t =e x ，(t >1)，则m ≤1−tt 2−t+1在(1, +∞)上恒成立，∵ 1−tt 2−t+1=−t−1(t−1)2+(t−1)+1=−1t−1+1t−1+1≥−13，当且仅当t =2时等号成立，∴ m ≤−13．【考点】函数恒成立问题【解析】（1）根据函数奇偶性的定义即可证明f(x)是R 上的偶函数；（2）利用参数分离法，将不等式mf(x)≤e −x +m −1在(0, +∞)上恒成立，进行转化求最值问题即可求实数m 的取值范围．【解答】（1）证明：∵ f(x)=e x +e −x ，∴ f(−x)=e −x +e x =f(x)，即函数：f(x)是R 上的偶函数；（2）解：若关于x 的不等式mf(x)≤e −x +m −1在(0, +∞)上恒成立，即m(e x +e −x −1)≤e −x −1， ∵ x >0，∴ e x +e −x −1>0，即m ≤e −x −1e x +e −x −1在(0, +∞)上恒成立，设t =e x ，(t >1)，则m ≤1−tt 2−t+1在(1, +∞)上恒成立，∵ 1−tt 2−t+1=−t−1(t−1)2+(t−1)+1=−1t−1+1t−1+1≥−13，当且仅当t =2时等号成立，∴ m ≤−13．【答案】解：f(x)=(x −a)2+5−a 2(I)．由f(x)的对称轴是x =a 知函数在[1, a]递减，故{f(1)=a f(a)=1，解可得a =2 (II)由f(x)在区间(−∞, 2]上是减函数得a ≥2，当f(x 1)、f(x 2)分别是函数f(x)的最小值与最大值时不等式恒成立．故函数在区间[1, a +1]上的最小值是f(a)=5−a 2，又因为a −1≥(a +1)−a ，所以函数的最大值是f(1)=6−2a ，由|f(x 1)−f(x 2)|≤4知(6−2a)−(5−a 2)≤4，解得2≤a ≤3．【考点】函数的值域及其求法函数单调性的性质【解析】(I)由f(x)的对称轴是x =a 知函数在[1, a]递减，列出方程组即可求得a 值；(II)先由f(x)在区间(−∞, 2]上是减函数得a ≥2，当f(x 1)、f(x 2)分别是函数f(x)的最小值与最大值时不等式恒成立．从而函数在区间[1, a +1]上的最小值是f(a)=5−a 2得出函数的最大值是f(1)最后结合|f(x 1)−f(x 2)|≤4知(6−2a)−(5−a 2)≤4，解得a 的取值范围即可．【解答】解：f(x)=(x −a)2+5−a 2(I)．由f(x)的对称轴是x =a 知函数在[1, a]递减，故{f(1)=a f(a)=1，解可得a =2 (II)由f(x)在区间(−∞, 2]上是减函数得a ≥2，当f(x 1)、f(x 2)分别是函数f(x)的最小值与最大值时不等式恒成立．故函数在区间[1, a +1]上的最小值是f(a)=5−a 2，又因为a −1≥(a +1)−a ，所以函数的最大值是f(1)=6−2a ，由|f(x 1)−f(x 2)|≤4知(6−2a)−(5−a 2)≤4，解得2≤a ≤3．【答案】解：（1）改进工艺后，每件产品的销售价为20(1+x)，月平均销售量为a(1−x 2)件，则月平均利润y =a(1−x 2)•[20(1+x)−15]，∴ y 与x 的函数关系式为y =5a(1+4x −x 2−4x 3)．故函数关系式为：y =5a(1+4x −x 2−4x 3)(0<x <1) （2）由y ′=5a(4−2x −12x 2)=0得x =12或x =−23（舍）当0<x <12时 y ′>0；12<x <1时 y ′<0，∴ 函数y =5a(1+4x −x 2−4x 3)(0<x <1)在x =12取得最大值故改进工艺后，产品的销售价为20(1+12)=30元时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大【考点】函数的表示方法导数求函数的最值【解析】（1）由题易知每件产品的销售价为20(1+x)，则月平均销售量为a(1−x 2)件，利润则是二者的积去掉成本即可．（2）由①可知，利润函数是一元三次函数关系，可以对其求导解出其最值．【解答】解：（1）改进工艺后，每件产品的销售价为20(1+x)，月平均销售量为a(1−x 2)件，则月平均利润y =a(1−x 2)•[20(1+x)−15]，∴ y 与x 的函数关系式为y =5a(1+4x −x 2−4x 3)．故函数关系式为：y =5a(1+4x −x 2−4x 3)(0<x <1) （2）由y ′=5a(4−2x −12x 2)=0得x =12或x =−23（舍）当0<x <12时 y ′>0；12<x <1时 y ′<0，∴ 函数y =5a(1+4x −x 2−4x 3)(0<x <1)在x =12取得最大值故改进工艺后，产品的销售价为20(1+12)=30元时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大【答案】当a ＝2时，函数f(x)=2(x −1x )−21nx ，f′(x)=2x 2−2x+2x 2，因为f(1)＝0，f′(1)＝2．所以曲线y＝f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程为y−0＝2(x−1)，即2x−y−2＝0．函数f(x)的定义域为(0, +∞)．①当a≤0时，ℎ(x)＝ax2−2x+a<0在(0, +∞)上恒成立，则f′(x)<0在(0, +∞)上恒成立，此时f(x)在(0, +∞)上单调递减．②当a>0时，△＝4−4a2，(ⅰ)若0<a<1，由f′(x)>0，即ℎ(x)>0，得x<1−√1−a2a 或x>1+√1−a2a；由f′(x)<0，即ℎ(x)<0，得1−√1−a2a <x<1+√1−a2a．所以函数f(x)的单调递增区间为(0,1−√1−a2a )和(1+√1−a2a,+∞)，单调递减区间为(1−√1−a2a ,1+√1−a2a)．(ⅱ)若a≥1，ℎ(x)≥0在(0, +∞)上恒成立，则f′(x)≥0在(0, +∞)上恒成立，此时f(x)在(0, +∞)上单调递增．）因为存在一个x0∈[1, e]使得f(x0)>g(x0)，则ax0>2ln x0，等价于a>21nx0x0．令F(x)=21nxx，等价于“当x∈[1, e]时，a>F(x)min”．对F(x)求导，得F′(x)=2(1−ln x)x2．因为当x∈[1, e]时，F′(x)≥0，所以F(x)在[1, e]上单调递增．所以F(x)min＝F(1)＝0，因此a>0．【考点】函数的最值及其几何意义利用导数研究函数的单调性利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】（1）当a＝2时求出f(1)，切线斜率k＝f′(1)，利用点斜式即可求得切线方程；（2）求出函数定义域，分①当a≤0，②当a>0两种情况讨论解不等式f′(x)>0，f′(x)<0即可；（3）存在一个x0∈[1, e]使得f(x0)>g(x0)，则ax0>2ln x0，等价于a>21nx0x0，令F(x)=21nxx，等价于“当x∈[1, e]时，a>F(x)min”．利用导数易求其最小值．【解答】当a＝2时，函数f(x)=2(x−1x )−21nx，f′(x)=2x2−2x+2x2，因为f(1)＝0，f′(1)＝2．所以曲线y＝f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程为y−0＝2(x−1)，即2x−y−2＝0．函数f(x)的定义域为(0, +∞)．①当a≤0时，ℎ(x)＝ax2−2x+a<0在(0, +∞)上恒成立，则f′(x)<0在(0, +∞)上恒成立，此时f(x)在(0, +∞)上单调递减．②当a>0时，△＝4−4a2，(ⅰ)若0<a<1，由f′(x)>0，即ℎ(x)>0，得x<1−√1−a2a 或x>1+√1−a2a；由f′(x)<0，即ℎ(x)<0，得1−√1−a2a <x<1+√1−a2a．所以函数f(x)的单调递增区间为(0,1−√1−a2a )和(1+√1−a2a,+∞)，单调递减区间为(1−√1−a2a ,1+√1−a2a)．(ⅱ)若a≥1，ℎ(x)≥0在(0, +∞)上恒成立，则f′(x)≥0在(0, +∞)上恒成立，此时f(x)在(0, +∞)上单调递增．）因为存在一个x0∈[1, e]使得f(x0)>g(x0)，则ax0>2ln x0，等价于a>21nx0x0．令F(x)=21nxx，等价于“当x∈[1, e]时，a>F(x)min”．对F(x)求导，得F′(x)=2(1−ln x)x2．因为当x∈[1, e]时，F′(x)≥0，所以F(x)在[1, e]上单调递增．所以F(x)min＝F(1)＝0，因此a>0．【答案】解：（1）∵f(x)=1+ln xx ，∴f′(x)=−ln xx2，∴当x∈(0, 1)时，f′(x)>0；当x∈(1, +∞)时，f′(x)<0；∴函数f(x)在区间(0, 1)上为增函数；在区间(1, +∞)为减函数，∴当x=1时，函数f(x)取得极大值，而函数f(x)在区间(a, a+1)有极值．∴{a<1a+1>1，解得：0<a<1，（2）∵函数f(x)在区间(1, +∞)为减函数，而1+1n>1(n∈N∗, n≥2)，∴f(1n+1)<f(1)=1，∴1+ln(1+1n )<1+1n，即ln(n+1)−ln n<1n，∴ln n=ln2−ln1+ln3−ln2+...+ln n−ln(n−1)<1+12+13+...+1n−1，∴1+ln n<2+12+13+...+1n−1，而n⋅f(n)=1+ln n，∴nf(n)<2+12+13+...+1n−1，结论成立．【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性导数求函数的最值【解析】（1）函数f(x)在区间(a, a+1)上有极值⇒f′(x)=0在(a, a+1)上有根，结合条件由函数的单调性可得函数有唯一极值点x=1，1∈(a, a+1)．（2）结合函数f(x)在(1, +∞)上的单调性可得，f(1n +1)<f(1)=1⇒1+f(1+1n)<1+f(1)⇒ln(n+1)−ln n<1n，利用该结论分别把n=1，2，3，…代入叠加可证．【解答】解：（1）∵f(x)=1+ln xx ，∴f′(x)=−ln xx2，∴当x∈(0, 1)时，f′(x)>0；当x∈(1, +∞)时，f′(x)<0；∴函数f(x)在区间(0, 1)上为增函数；在区间(1, +∞)为减函数，∴当x=1时，函数f(x)取得极大值，而函数f(x)在区间(a, a+1)有极值．∴{a<1a+1>1，解得：0<a<1，（2）∵函数f(x)在区间(1, +∞)为减函数，而1+1n>1(n∈N∗, n≥2)，∴f(1n+1)<f(1)=1，∴1+ln(1+1n )<1+1n，即ln(n+1)−ln n<1n，∴ln n=ln2−ln1+ln3−ln2+...+ln n−ln(n−1)<1+12+13+...+1n−1，∴1+ln n<2+12+13+...+1n−1，而n⋅f(n)=1+ln n，∴nf(n)<2+12+13+...+1n−1，结论成立．。

2020年江苏省泰州市数学高二下期末检测试题含解析

2020年江苏省泰州市数学高二下期末检测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知i 为虚数单位，复数z 满足(1)2i z i -⋅=，z 是复数z 的共轭复数，则下列关于复数z 的说法正确的是（） A ．1i z =-- B ．2z z ⋅=C ．2z =D ．复数z 在复平面内表示的点在第四象限【答案】B 【解析】【分析】由复数的乘法除法运算求出z ，进而得出答案【详解】由题可得()()()2121111i i i z i i i i +===-+--+，在复平面内表示的点为()1,1-，位于第二象限，z =，故A,C,D 错误；1z i =--，2z z ⋅=，故B 正确；【点睛】本题考查复数的基本运算与几何意义，属于简单题． 2．已知全集{}1,2,3,4,5U =，{}1,3A =，则UA（）A ．∅B ．{}1,3C ．{}2,4,5D ．{}1,2,3,4,5【答案】C 【解析】【分析】根据补集的定义可得结果. 【详解】因为全集{1,2,3,4,5}U =，{1,3}A =，所以根据补集的定义得{}2,4,5UA =，故选C.【点睛】若集合的元素已知，则求集合的交集、并集、补集时，可根据交集、并集、补集的定义求解．3．函数()2log ,0,2,0,x x x f x x ⎧>=⎨≤⎩则函数()()()2384g x f x f x =-+的零点个数是（）A ．5B ．4C ．3D ．6【答案】A 【解析】【分析】通过对()g x 式子的分析，把求零点个数转化成求方程的根，结合图象，数形结合得到根的个数，即可得到零点个数．【详解】函数()()()2384g x f x f x =-+=()()322f x f x --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的零点即方程()23f x =和()2f x =的根，函数()2log ,0,2,0x x x f x x ⎧>=⎨≤⎩的图象如图所示：由图可得方程()23f x =和()2f x =共有5个根，即函数()()()2384g x f x f x =-+有5个零点,故选：A . 【点睛】本题考查函数的零点与方程的根的个数的关系，注意结合图象，利用数形结合求得结果时作图很关键，要标准．4．圆221:2880C x y x y +++-=与222:4420C x y x y +-+-=的位置关系是（）A ．相交B ．外切C ．内切D ．相离．【答案】A 【解析】【分析】【详解】试题分析：由题是给两圆标准方程为：()()()()222212:1425,:2216C x y C x y +++=-++=，因为12|9454|C C =+<+，所以两圆相离，故选D. 考点：圆与圆的位置关系．5．已知直线2:2l y x =与双曲线()2222:10,0x y E a b a b -=>>分别交于点,A B ，若,A B 两点在x 轴上的射影恰好是双曲线E 的两个焦点，则双曲线E 的离心率为（） ABC ．4D【答案】A 【解析】【分析】由直线:2l y x =与双曲线2222:1x y E a b -=联立，可知x=c ±为其根，整理可得.【详解】解：由22221x y a b y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩⇒222212x x a b -=． A ，B 两点在x 轴上的射影恰好是双曲线E 的两个焦点，∴222212c ca b-=．⇒22212(1)e e e e -=⇒=-．故选：A ．【点睛】本题考查双曲线的离心率，双曲线的有关性质和双曲线定义的应用，属于中档题． 6．已知奇函数()f x 在R 上是单调函数，函数()f x '是其导函数，当0x >时，1()ln ()f x x f x x'<-，则使()0f x >成立的x 的取值范围是（） A ．(,0)-∞ B ．(1,0)-C ．(0,1)D ．(0,)+∞【答案】A 【解析】【分析】将不等式变形，并构造函数()()ln g x f x x =⋅，利用导函数可判断在0x >时()f x 的取值情况；根据奇函数性质，即可判断当0x <时()f x 的符号，进而得解. 【详解】当0x >时，1()ln ()f x x f x x '<-，即1()ln ()0f x x f x x'+<；令()()ln g x f x x =⋅，则()()()1ln g x f x x f x x'='⋅+，由题意可知()0g x '<，即()()ln g x f x x =⋅在0x >时单调递减，且()()11ln10g f =⋅=，所以当01x <<时，()()ln 0g x f x x =⋅>，由于此时ln 0x <，则()0f x <不合题意；当1x >时，()()ln 0g x f x x =⋅<，由于此时ln 0x >，则()0f x <不合题意；由以上可知0x >时()0f x <，而()f x 是R 上的奇函数，则当0x <时，()0f x >恒成立，所以使()0f x >成立的x 的取值范围为(,0)-∞，故选：A. 【点睛】本题考查了导数与函数单调性的关系，利用构造函数法分析函数单调性，奇函数性质解不等式，属于中档题.7． “3<<7m ”是“方程22173x y m m +=--的曲线是椭圆”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】方程22173x ym m +=--的曲线是椭圆，故应该满足条件：73303557.70m m m m m m -≠-⎧⎪->⇒<<<<⎨⎪->⎩或故37m <<”是“方程22173x y m m +=--的曲线是椭圆”的必要不充分条件.故答案为：B.8．已知命题p ：∀x∈R，2x >0；q ：∃x 0∈R，x ＋x 0＝－1．则下列命题为真命题的是( ) A ．p∧q B ．(┐p)∧(┐q)C ．(┐p)∧qD ．p∧(┐q)【答案】D 【解析】分析：分别判断p ，q 的真假即可. 详解：指数函数的值域为(0，＋∞)，∴对任意x∈R ，y ＝2x >0恒成立，故p 为真命题；x 2＋x ＋1＝2＋>0恒成立,不存在x 0∈R，使x ＋x 0＝－1成立，故q 为假命题，则p∧q，┐p 为假命题，┐q 为真命题，┐p∧┐q ，┐p∧q 为假命题，p∧┐q 为真命题．故选：D.点睛：本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了指数函数的性质与二次函数方面的知识. 9．某个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的表面积 (结果保留π)为A ．242+πB ．244π+C ．24π+D ．24π-【答案】C 【解析】分析：上面为球的二分之一，下面为长方体．面积为长方体的表面积与半球的面积之和减去半球下底面面积.详解：球的半径为1，故半球的表面积的公式为2S 2πr 2π==，半球下底面表面积为π 长方体的表面积为24，所以几何体的表面积为242ππ24π+-=+．点睛：组合体的表面积，要弄懂组合体的结构，哪些被遮挡，哪些是切口． 10．在三棱锥S ABC -中，41SA BC ==，5SB AC ==，34SC AB ==S ABC -外接球的表面积为（） A ．25π B ．100C ．50πD ．502π【答案】C 【解析】分析：首先通过题中的条件，得到棱锥的三组对棱相等，从而利用补体，得到相应的长方体，列式求得长方体的对角线长，从而求得外接球的半径，利用球体的表面积公式求得结果. 详解：对棱相等的三棱锥可以补为长方体（各个对面的面对角线），设长方体的长、宽、高分别是,,a b c ，则有222222412534a b b c a c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，三个式子相加整理可得22250a b c ++=，所以长方体的对角线长为52所以其外接球的半径2R =，所以其外接球的表面积2450S R ππ==，故选C.点睛：该题考查的是有关几何体的外接球的体积问题，在解题的过程中，注意根据题中所给的三棱锥的特征，三组对棱相等，从而将其补体为长方体，利用长方体的外接球的直径就是该长方体的对角线，利用相应的公式求得结果.11．从8名女生4名男生中,选出3名学生组成课外小组,如果按性别比例分层抽样,则不同的抽取方法数为( ) A ．112种 B ．100种C ．90种D ．80种【答案】A 【解析】分析：根据分层抽样的总体个数和样本容量，做出女生和男生各应抽取的人数，得到女生要抽取2人，男生要抽取1人，根据分步计数原理得到需要抽取的方法数．详解：∵8名女生，4名男生中选出3名学生组成课外小组，∴每个个体被抽到的概率是14，根据分层抽样要求，应选出8×14=2名女生，4×14=1名男生，∴有C 82•C 41=1．故答案为：A ．点睛：本题主要考查分层抽样和计数原理，意在考查学生对这些知识的掌握水平. 12．函数()x f x xe -=在[0,4]x ∈上的极大值为（）A ．1eB ．0C ．44eD ．22e【答案】A 【解析】【分析】先算出1()x xf x e-'=，然后求出()f x 的单调性即可【详解】由()xf x xe-=可得1()x xf x e-'=当(]0,1x ∈时()0f x '>，()f x 单调递增当(]1,4x ∈时()0f x '<，()f x 单调递减所以函数()xf x xe -=在[0,4]x ∈上的极大值为()11f e=故选：A 【点睛】本题考查的是利用导数求函数的极值，较简单. 二、填空题：本题共4小题13．在数列1，2，3，4，5，6中，任取k 个元素位置保持不动，将其余6k -个元素变动位置，得到不同的新数列，记不同新数列的个数为()P k ，则()6k kP k =∑的值为________.【答案】720 【解析】【分析】根据题意，只需分别计算出(),{1,2,3,4,5,6}P k k ∈即可. 【详解】()6(1)2(2)3(3)4(4)5(5)6(6)k kP k P P P P P P ==+++++∑11112113146423633626(3)234061C C C C C C C C C C =⨯⨯+⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯+++⨯720=故答案为：720 【点睛】本题考查排列与组合的应用以及组合数的计算，考查学生的逻辑思想，是一道中档题. 14．已知a R ∈，且复数2i1ia ++是纯虚数,则a =_______. 【答案】2- 【解析】【分析】由复数的运算法则可得2(2)(2)12a i a a ii +++-=+，结合题意得到关于a 的方程，解方程即可确定实数a 的值. 【详解】由复数的运算法则可得：222(2)(1)22(2)(2)1112a i a i i a i ai a a ii i i ++-+-+++-===+--，复数为纯虚数，则：2020a a +=⎧⎨-≠⎩，据此可得：2a =-.故答案为2-．【点睛】本题主要考查复数的运算法则，纯虚数的概念及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 15．参加某项活动的六名人员排成一排合影留念，其中一人为领导人，则甲乙两人均在领导人的同侧的概率为_______. 【答案】23【解析】【分析】首先求出六名人员排成一排合影留念的总的基本事件的个数，再求出一人为领导人，则甲乙两人均在领导人的同侧的基本事件的个数，利用古典概型的概率公式求解即可．【详解】解：根据题意，六名人员排成一排合影留念的总的基本事件的个数为66720A =，一人为领导人，则甲乙两人均在领导人的同侧的基本事件的个数为3236232480C A A =，甲乙两人均在领导人的同侧的概率为48027203= 故答案为：23．【点睛】本题考查古典概型的求解，是基础题．16．已知双曲线Γ上的动点P 到点()11,0F -和()21,0F 的距离分别为1d 和2d ，122F PF θ∠=，且2121sin 3d d θ⋅⋅=，则双曲线Γ的方程为_______.【答案】2212133x y -= 【解析】【分析】在△12PF F 中，利用余弦定理和双曲线的定义得到2212()83)(2d d a -==，从而求得2a ，2b ，最后求出双曲线的方程即可．【详解】在△12PF F 中，由余弦定理得：222221212121212||42cos 2()4sin F F d d d d d d d d θθ==+-=-+2121sin 3d d θ⋅⋅=，∴2212()83)(2d d a -==∴22 3a=，2221 3b c a=-=，则双曲线方程为221 2133x y-=．故答案为：221 2133x y-=．【点睛】本小题考查双曲线的定义、余弦定理、三角恒等变换等知识的交会，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2020年江苏省泰州市数学高二第二学期期末检测试题含解析

2020年江苏省泰州市数学高二第二学期期末检测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．将函数sin y x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将所得图象上所有的点向左平移π4个单位长度，则所得图象对应的函数解析式为（） A ．sin(2)4y x π=+ B ．sin()24x y π=+C ．cos 2xy = D ．cos 2y x =【答案】D 【解析】【分析】由正弦函数的周期变换以及平移变换即可得出正确答案. 【详解】函数sin y x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）得到sin 2y x =，再将所得图象上所有的点向左平移π4个单位长度，得到sin 2sin 2cos 242y x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：D 【点睛】本题主要考查了正弦函数的周期变换以及平移变换，属于中档题.2．若函数())cos(2)f x x x θθ=+++为奇函数，且在[,0]4π-上为减函数，则θ的一个值为（）A ．3π-B ．6π-C ．23π D ．56π 【答案】D 【解析】由题意得()()()2cos 22sin 26f x x x x πθθθ⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭， ∵函数()f x 为奇函数， ∴,6k k Z πθπ+=∈，故,6k k Z πθπ=-+∈．当6πθ=-时，()2sin2f x x =，在,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，不合题意．当56πθ=时，()2sin2f x x =-，在,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为减函数，符合题意．选D ．3．某单位为了了解用电量y (度)与气温x (C ︒)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温(C ︒) 10 13 18 －1 用电量(度)38342464由表中数据得回归直线方程ˆˆˆybx a =+中的ˆ2b =-，预测当气温为4C -︒时，用电量度数约为（） A ．64 B ．65C ．68D ．70【答案】C 【解析】【分析】先求解出气温和用电量的平均数,x y ，然后将样本点中心(),x y 代入回归直线方程，求解出a 的值，即可预测气温为4C -︒时的用电量. 【详解】因为()10131813834246410,4044x y +++-+++====，所以样本点中心()10,40，所以40210a =-⨯+，所以60a =，所以回归直线方程为：ˆ260yx =-+，当4x =-时，68y =. 故选：C. 【点睛】本题考查回归直线方程的求解以及利用回归直线方程估计数值，难度较易.注意回归直线方程过样本点的中心(),x y .4．已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()0a c b c -⋅-=，则c 的最大值是( ) A ．1 B ．2C ．D ．【答案】C 【解析】【分析】【详解】试题分析：由于垂直，不妨设，，，则，，表示到原点的距离，表示圆心，为半径的圆，因此的最大值，故答案为C ．考点：平面向量数量积的运算． 5．若随机变量X 的分布列为（）X12P13ab且()1E X =，则随机变量X 的方差()D X 等于（） A ．13B ．0C ．1D ．23【答案】D 【解析】分析：先根据已知求出a,b 的值，再利用方差公式求随机变量X 的方差()D X .详解：由题得1113,,130213a b a b a b ⎧++=⎪⎪∴==⎨⎪⨯++=⎪⎩ 所以2221112()(01)(11)(21).3333D X =-⋅+-⋅+-⋅= 故答案为D.点睛：（1）本题主要考查分布列的性质和方差的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，那么D ξ＝211()x E p ξ-⋅＋222()x E p ξ-⋅＋…＋2()n n x E p ξ-⋅,称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的E ξ是随机变量ξ的期望．6．如表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产品x （吨）与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为0.80.9y x =+，那么表中t 的值为（）A ．4.5B ．3.75C ．4D ．4.1【答案】C 【解析】【分析】根据回归直线必过(),x y ，求出,x y 代入回归直线可构造出方程求得结果. 【详解】由数据表可知：3456 4.54x +++==， 3.55 5.51444t ty ++++==由回归直线可知：0.80.9y x =+，即：140.8 4.50.94t+=⨯+，解得：4t = 本题正确选项：C 【点睛】本题考查利用回归直线求解实际数据点的问题，关键是能够明确回归直线必过点(),x y ，属于基础题. 7．在平行四边形ABCD 中，E 为线段BC 的中点，若AB AE AD λμ=+，则λμ+=（） A ．12-B ．12C ．32D ．32-【答案】B 【解析】分析：利用向量的平行四边形法则，向量共线定理即可得出.详解：111222AB AE CB AE BC AE AD =+=-=-， 111,,22λμλμ∴==-+=，故选：B.点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．8．空间四边形OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，点M 在线段AC 上，且2AM MC =，点N 是OB 的中点，则MN =（）A ．212323a b c +- B ．212323a b c -+ C ．112323a b c -+- D ．111323a b c +- 【答案】C 【解析】分析：由空间向量加法法则得到MN MO ON MA AO ON =+=++，由此能求出结果．详解：由题空间四边形OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，点M 在线段AC 上，且2AM MC =，点N 是OB 的中点，则()221,,332MA CA OA OC ON OB ==-= MN MO ON MA AO ON =+=++()2132a c a b =--+ 112 .323a b c =-+-故选C.点睛：本题考查向量的求法，考查空间向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．9．从一口袋中有放回地每次摸出1个球，摸出一个白球的概率为0.4，摸出一个黑球的概率为0.5，若摸球3次，则恰好有2次摸出白球的概率为A．0.24 B．0.26 C．0.288 D．0.292【答案】C【解析】【分析】首先分析可能的情况：（白，非白，白）、（白，白，非白）、（非白，白，白），然后计算相应概率.【详解】因为摸一次球，是白球的概率是0.4，不是白球的概率是0.6，P=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，所以0.40.60.40.40.40.60.60.40.40.288故选C.【点睛】本题考查有放回问题的概率计算，难度一般.10．若函数的导函数的图像关于原点对称，则函数的解析式可能是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】求出导函数，导函数为奇函数的符合题意．【详解】A中为奇函数，B中非奇非偶函数，C中为偶函数，D中+1非奇非偶函数．故选A．【点睛】本题考查导数的运算，考查函数的奇偶性．解题关键是掌握奇函数的图象关于原点对称这个性质．11．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为A．0.6B．0.5C．0.4D．0.3【答案】D【解析】分析：分别求出事件“2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务”的总可能及事件“选中的2人都是女同学”的总可能，代入概率公式可求得概率. 详解：设2名男同学为12,A A ，3名女同学为123,,B B B ，从以上5名同学中任选2人总共有12111213212223121323,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B B B B B B B 共10种可能，选中的2人都是女同学的情况共有121323,,B B B B B B 共三种可能则选中的2人都是女同学的概率为30.310P ==，故选D.点睛：应用古典概型求某事件的步骤：第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出事件A ；第二步，分别求出基本事件的总数n 与所求事件A 中所包含的基本事件个数m ；第三步，利用公式()mP A n=求出事件A 的概率. 12．在54(1)(1)x y -+的展开式中，记m n x y 项的系数为(,)f m n ，则(1,0)(2,1)f f ++(3,2)(4,3)f f +=（） A ．125 B ．5C ．5-D ．15-【答案】C 【解析】【分析】根据题意，表示出展开式的项对应次数，由二项式定理展开式的性质即可求得各项对应的系数，即可求解. 【详解】由题意记mnx y 项的系数为(,)f m n ，可知(1,0)f 对应的项为x ；(2,1)f 对应的项为21x y ；(3,2)f 对应的项为32x y ；(4,3)f 对应的项为43x y ；而54(1)(1)x y -+展开式中x 项的系数为()1515C -=-；(2,1)f 对应的项的系数为()22154140C C -⋅=； (3,2)f 对应的项的系数为()33254160C C -⋅=-; (4,3)f 对应的项的系数为()44354120C C -⋅=; 所以(1,0)(2,1)(3,2)(4,3)f f f f +++()()54060205=-++-+=-，故选：C. 【点睛】本题考查了二项式定理展开式及性质的简单应用，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题13．如图，已知四面体ABCD 的棱//AB 平面α，且2AB =，其余的棱长均为1，四面体ABCD 以AB 所在的直线为轴旋转x 弧度，且始终在水平放置的平面α上方，如果将四面体ABCD 在平面α内正投影面积看成关于x 的函数，记为()S x ，则函数()S x 的取值范围为______.【答案】22,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】用极限法思考.当直线CD ⊥平面α时, ()S x 有最小值,当直线//CD 平面α时, ()S x 有最大值,这样就可以求出函数()S x 的取值范围. 【详解】取AB 的中点M ,连接,CM DM ,,DA DB CA CB ==,,AB CM AB DM ∴⊥⊥,于是有AB ⊥平面CDM ,所以AB CD ⊥,2AB =，其余的棱长均为1,所以2,AC BC CM DM CM DM ∴⊥==∴⊥,M到CD 的距离为12, 当直线CD ⊥平面α时,()S x 有最小值,最小值为：1122224=；当直线//CD 平面α时, ()S x 有最大值,最大值为122122=.故答案为：42⎢⎣⎦【点睛】本题考查了棱锥的几何性质,考查了线面垂直的判定与应用,考查了空间想象能力. 14．某研究性学习小组调查研究学生玩手机对学习的影响，部分统计数据如表经计算2K 的值，则有__________%的把握认为玩手机对学习有影响．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++. 【答案】99.5 【解析】分析：由已知列联表计算出2K 后可得．详解：2230(42168)1012182010K ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯，∵7.8791010.828<<，∴有99.5%的把握认为玩手机对学习有影响．点睛：本题考查独立性检验，解题关键是计算出2K ，然后根据对照表比较即可． 15．已知函数()()()1f x x x b =-+为偶函数，则()30f x -<的解集为__________．【答案】()2,4 【解析】【分析】先求出()()21f x x b x b =+--，根据()f x 为偶函数，即可得出1b =,从而得出 ()21f x x =-，从而判断()f x 在[)0,+∞上单调递增，且()10f =，这样即可由()30f x -<，得出()()31f x f -<，从而得出31x -<，这样解不等式即可. 【详解】由题知函数()()()1f x x x b =-+为偶函数，则()()()()211f x x x b x b x b -=---+=+--()()()1,x x b f x =-+=解得1b =，所以()()()11f x x x =-+，()10f =，故()()()3031f x f x f -<⇔-< 312 4.x x ⇔-<⇔<<即答案为()2,4. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，属于中档题.已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用关系式：奇函数由()()+0f x f x -=恒成立求解，偶函数由()()0f x f x --=恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由()00f =求解，偶函数一般由()()110f f --=求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.16．用“五点法”画函数()2sin 03y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在一个周期内的简图时，五个关键点是,06π⎛⎫-⎪⎝⎭，,212π⎛⎫ ⎪⎝⎭，,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，7,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭，5,06π⎛⎫⎪⎝⎭，则ω=_______. 【答案】2 【解析】【分析】根据五点法得出函数2sin 3y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期T ，再由公式2Tπω=计算出ω的值. 【详解】由题意可知，函数2sin 3y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期566T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，22Tπω∴==. 故答案为：2. 【点睛】本题考查利用周期公式求参数的值，解题的关键在于求出函数的最小正周期，考查运算求解能力，属于基础题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2022-2023学年江苏省泰州市高二下学期期末考数学试卷含详解

2022～2023学年度第二学期期末考试高二数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知向量()1,2,3m =与()2,,6n x =r垂直，则实数x 的值为（）A.10- B.4- C.4D.102.书架上有3本不同的数学书，4本不同的物理书，图书管理员从中任取2本，则不同的取法种数为（）A.7B.12C.21D.423.口袋中有2个黑球，2个红球和1个白球，这些球除颜色外完全相同.任取两球，用随机变量X 表示取到的黑球数，则()2P X =的值为（）A.15B.110C.310D.354.某中学通过问卷调查的形式统计了该校1000名学生完成作业所需的时间，发现这些学生每天完成作业所需的时间（单位：小时）近似地服从正态分布11,16N ⎛⎫⎪⎝⎭.则这1000名学生中每天完成作业所需的时间不少于1.5小时的人数大约为（）附：随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.683P μσξμσ-<<+≈，()220.954P μσξμσ-<<+≈.A.23B.46C.158D.3175.在()()()()1234x x x x ++++的展开式中，含3x 的项的系数为（）A.6B.10C.24D.356.已知x ，y 的取值如下表所示，从散点图分析可知y 与x 线性相关，如果线性回归方程为0.95 2.5y x =+$，则下列说法不正确的是（）x1234y2.3 4.3 4.44.8mA.m 的值为6.2B.回归直线必过点（2，4.4）C.样本点（4，m ）处的残差为0.1D.将此图表中的点（2，4.4）去掉后，样本相关系数r 不变7.已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为2，底面ABC 是边长为2的正三角形，1160A AB A AC ∠=∠=︒，若1B C和1BC 相交于点M .则AM =（）A.B.2C.D.8.在概率论中，马尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于某正数的概率的上界，它以俄国数学家安德雷·马尔可夫命名，由马尔可夫不等式知，若ξ是只取非负值的随机变量，则对0a ∀>，都有()()E P a aξξ≥≤.某市去年的人均年收入为10万元，记“从该市任意选取3名市民，则恰有1名市民去年的年收入超过100万元”为事件A ，其概率为()P A .则()P A 的最大值为（）A.271000B.2431000 C.427D.49二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.随机变量X 服从以下概率分布：X 1-123P13ab16若()1E X =，则下列说法正确的有（）A.16a =B.16b =C.()313E X -= D.()73D X =10.关于二项式522x⎛⎝的展开式，下列说法正确的有（）A.含5x 的项的系数为80-B.二项式系数和为32C.常数项为10D.只有第3项的二项式系数最大11.下列说法正确的有（）A.若随机变量X ～0－1分布，则方差()14D X ≤B.正态密度曲线在曲线下方和x 轴上方范围内的区域面积为1C.若两个变量的相关性越强，则其相关系数越接近于1D.若()12P A =，()13P B =，()16P AB =，则事件A 与B 相互独立12.如图，正方形ABCD 的边长为2，AE 和CF 都与平面ABCD 垂直，24AE CF ==，点P 在棱DE 上，则下列说法正确的有（）A.四面体BDEF 外接球的表面积为68π3B.四面体BDEF 外接球的球心到直线AE 2C.当点P 为DE 的中点时，点P 到平面BEF 的距离为62D.直线EF 与平面PAB 所成角的正弦值的最大值为63三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.计算：01233456C C C C +++=______.（用数字作答）14.设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，且()13P A =，()12P B =，则()|P A B 的一个可能的值为______.15.在棱长为6的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD 中，3BC BM = ，3AD AN =uuur uuu r ，则直线AM 与CN 夹角的余弦值为______.16.一质点从平面直角坐标系原点出发，每次只能向右或向上运动1个单位长度，且每次运动相互独立，质点向上运动的概率为13.质点运动5次后，所在位置对应的坐标为（3，2）的概率为______，质点运动2023次后，最有可能运动到的位置对应的坐标为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.设()92390123921x a a x a x a x a x -=++++⋅⋅⋅+.（1）求12a a +的值；（2）求39122392222a a a a +++⋅⋅⋅+的值.18.某市举办大型车展，为了解该市人民对此次大型车展的关注情况，在该市随机地抽取男性和女性各100人进行调查统计，得到如下22⨯列联表：关注不关注合计男性5050100女性3070100合计80120200（1）能否有99%的把握认为男性和女性对此次大型车展的关注程度有明显差差异？（2）有3位市民去参观此次大型车展，假设每人去新能源汽车展区的概率均为13，且相互独立.设这3位市民参观新能源汽车展区的人数为ξ，求ξ的概率分布和数学期望.附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++()20P x χ≥0.0500.0100.0010x 3.8416.63510.82819.某校举行劳动技术比赛，该校高二（1）班的班主任从本班的5名男选手和4名女选手中随机地选出男、女选手各2名参加本次劳动技术比赛中的团体赛，并排好团体赛选手的出场顺序.在下列情形中各有多少种不同的安排方法？（1）男选手甲必须参加，且第4位出场；（2）男选手甲和女选手乙都参加，且出场的顺序不相邻；（3）男选手甲和女选手乙至少有一人参加.20.设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和m （2m ≥，*N m ∈）个红球，这些球除颜色外完全相同，现先从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任意取出2个球，已知从乙袋中取出的是两个红球的概率为514.（1）求m 的值；（2）在从乙袋中取出的两球是一个红球和一个白球的条件下，求从甲袋中取出的是两个红球的概率.21.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，11AA =，D 为AC 的中点.请从条件①、②、③中选择合适的两个作为已知，并解答下面的问题：（1）求二面角11A BDB --所成角的正弦值；（2）点P 是矩形11AA B B （包含边界）内任一点，且CP =CP 与平面1B BD 所成角的正弦值的取值范围.条件①：平面1A BC的面积为2；条件②：11C D A B ⊥；条件③：1B 点到平面1A BC 的距离为63.22.某软件科技公司近8年的年利润y 与投入的年研发经费x （单位：千万元）如下表所示.x 34566789y1y 2y 3y 4y 5y 6y 7y 8y （1）根据散点图可以认为x 与y 之间存在线性相关关系，且相关系数8384r =，请用最小二乘法求出线性回归方程y bx a =+$$$（ a，b 用分数表示）；（2）某配件加工厂加工的单个零件尺寸与标准件尺寸的误差60,1N c ε⎛⎫⎪+⎝⎭:，其中c 为单个零件的加工成本（单位：元），且10.9542P ε⎛⎫<= ⎪⎝⎭.引进该公司最新研发的某工业软件后，加工的单个零件尺寸与标准件尺寸的误差110,22N c ε⎛⎫ ⎪+⎝⎭:.若保持零件加工质量不变（即误差的概率分布不变），则单个零件加工的成本下降了多少元？附：（1）参考数据：8213452ii y==∑，()821252i i y y=-=∑.（2）参考公式：()()ni i x xy yr --=∑，()()()121nii i nii xx y ybxx==--=-∑∑ ，a y bx =-$$.（3）若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.683P μσξμσ-<<+≈，()220.954P μσξμσ-<<+≈.2022～2023学年度第二学期期末考试高二数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知向量()1,2,3m =与()2,,6n x =r垂直，则实数x 的值为（）A.10-B.4- C.4D.10【答案】A【分析】由向量垂直，数量积等于0,直接应用空间向量的数量积坐标运算公式即可.【详解】向量()1,2,3m = 与()2,,6n x =r 垂直，122362200,m n x x ∴⋅=⨯++⨯=+=解得10,x =-故选：A.2.书架上有3本不同的数学书，4本不同的物理书，图书管理员从中任取2本，则不同的取法种数为（）A.7B.12C.21D.42【答案】C【分析】根据分类加法原理以及组合数的概念，可得答案.【详解】由题可知不同的取法的种数为2776C 2121⨯==⨯.故选：C.3.口袋中有2个黑球，2个红球和1个白球，这些球除颜色外完全相同.任取两球，用随机变量X 表示取到的黑球数，则()2P X =的值为（）A.15B.110C.310D.35【答案】B【分析】根据题意，由超几何分布的概率计算公式，代入计算即可得到结果.【详解】由题意可得，()2225C 12C 10P X ===.故选：B4.某中学通过问卷调查的形式统计了该校1000名学生完成作业所需的时间，发现这些学生每天完成作业所需的时间（单位：小时）近似地服从正态分布11,16N ⎛⎫⎪⎝⎭.则这1000名学生中每天完成作业所需的时间不少于1.5小时的人数大约为（）附：随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.683P μσξμσ-<<+≈，()220.954P μσξμσ-<<+≈.A.23B.46C.158D.317【答案】A【分析】求出11,0.254μσ===，可得()11 1.50.9542P ξ<<≈⨯，则()111.50.9540.02322P ξ≥≈-⨯=，进而可得答案.【详解】因为学生每天完成作业所需的时间（单位：小时）近似地服从正态分布11,16N ⎛⎫⎪⎝⎭，所以11,0.254μσ===，因为()220.954P μσξμσ-<<+≈，则()0.95 1.50.954P ξ<<≈，所以()11 1.50.9542P ξ<<≈⨯，则()111.50.9540.02322P ξ≥≈-⨯=，所以这1000名学生中每天完成作业所需的时间不少于1.5小时的人数大约为：0.023100023⨯=（人），故选：A.5.在()()()()1234x x x x ++++的展开式中，含3x 的项的系数为（）A.6B.10C.24D.35【答案】B【分析】分四个因式中有一个因式选常数相乘时，则剩余三个因式都选x 相乘求解.【详解】解：当1x +选1相乘时，2,3,4x x x +++都选x 相乘，此时3x 的项的系数为1；当2x +选2相乘时，1,3,4x x x +++都选x 相乘，此时3x 的项的系数为2；当3x +选3相乘时，2,1,4x x x +++都选x 相乘，此时3x 的项的系数为3；当4x +选4相乘时，2,3,1x x x +++都选x 相乘，此时3x 的项的系数为4；综上：3x 的项的系数为1+2+3+4=10.故选：B6.已知x ，y 的取值如下表所示，从散点图分析可知y 与x 线性相关，如果线性回归方程为0.95 2.5y x =+$，则下列说法不正确的是（）x1234y2.3 4.3 4.44.8mA.m 的值为6.2B.回归直线必过点（2，4.4）C.样本点（4，m ）处的残差为0.1D.将此图表中的点（2，4.4）去掉后，样本相关系数r 不变【答案】C【分析】根据平均数的定义及样本中心在经验回归直线方程上，利用残差的定义及样本相关系数的公式即可求解.【详解】由题意可知，()1012342,5x =⨯++++=()()112.3 4.3 4.4 4.815.8,55y m m =⨯++++=⨯+所以样本中心为15.82,5m +⎛⎫⎪⎝⎭，将点15.82,5m +⎛⎫ ⎪⎝⎭代入0.95 2.5y x =+$，可得15.80.952 2.55m +=⨯+，解得 6.2m =，故A 正确；由 6.2m =，得样本中心为()2,4.4，所以回归直线必过点（2，4.4），故B 正确；当4x =时，0.954 2.5 2.375y =⨯+=$，由 6.2m =，得样本点()4,6.2处的残差为6.2 2.375 3.825-=，故C 错误；因为样本中心为()2,4.4，所以33220, 4.4 4.40,x x y y -=-=-=-=由相关系数公式知，()()5iix x y y r --=∑2，4.4）去掉后，样本相关系数r 不变，故D 正确；故选：C.7.已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为2，底面ABC 是边长为2的正三角形，1160A AB A AC ∠=∠=︒，若1B C和1BC 相交于点M.则AM =（）A.B.2C.D.【答案】D【分析】以{}1,,AB AC AA 为基底表示AM，利用平方的方法求得AM .【详解】依题意可知M 是1BC 的中点，所以()11111222AM AC AB AC AB =+=+()111111122222AC AA AB AC AA AB =++=++，所以A M =====故选：D8.在概率论中，马尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于某正数的概率的上界，它以俄国数学家安德雷·马尔可夫命名，由马尔可夫不等式知，若ξ是只取非负值的随机变量，则对0a ∀>，都有()()E P a aξξ≥≤.某市去年的人均年收入为10万元，记“从该市任意选取3名市民，则恰有1名市民去年的年收入超过100万元”为事件A ，其概率为()P A .则()P A 的最大值为（）A.271000B.2431000 C.427D.49【答案】B【分析】记该市去年人均收入为X 万元，从该市任意选取3名市民，年收入超过100万元的人数为Y ,设从该市任选1名市民，年收入超过100万元的概率为p ，根据马尔可夫不等式可得1010p ≤≤，再根据二项分布求得()()23231363P A p p p p p =-=-+，令32()363f p p p p =-+，求导判断单调性即可求得最大值.【详解】记该市去年人均收入为X 万元，从该市任意选取3名市民，年收入超过100万元的人数为Y .设从该市任选1名市民，年收入超过100万元的概率为p ，则根据马尔可夫不等式可得()()10110010010010E X p P X =≥≤==，1010p ∴≤≤，因为~(3,)Y B p ，所以()()()()2213231C 131363P A P Y p p p p p p p ===-=-=-+，令32()363f p p p p =-+，则2()91233(31)(1)f p p p p p '=-+=--，10,310,1010p p p ≤≤∴-<-< ，即()0f p '>，()f p ∴在10,10⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增.2max111243()311010101000f p f ⎛⎫⎛⎫∴==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即max243()1000P A =.故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.随机变量X 服从以下概率分布：X 1-123P13ab16若()1E X =，则下列说法正确的有（）A.16a =B.16b =C.()313E X -=D.()73D X =【答案】AD【分析】根据离散型随机变量的性质，以及均值的计算公式，建立方程组，可得参数的值，根据均值的性质以及方差的计算公式，可得答案.【详解】由题意，11136a b +++=，则12a b +=；()112132E X a b =-+++=，则526a b +=.由方程组12526a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得1613a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.()()31312E X E X -=-=，()()()2211437136323D XE X E X =-=+++-=.故选：AD.10.关于二项式522x⎛⎝的展开式，下列说法正确的有（）A.含5x 的项的系数为80-B.二项式系数和为32C.常数项为10D.只有第3项的二项式系数最大【答案】BC【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后逐个分析判断即可.【详解】二项式522x⎛⎝的展开式的通项公式为()()5105252155C 2C 21rr rr rr r r T xx---+⎛==⋅⋅- ⎝，对于A ，令51052r -=，得2r =，所以含5x 的项的系数为()2235C 2180⋅⋅-=，所以A 错误，对于B ，二项式系数和为5232=，所以B 正确，对于C ，令51002r -=，得4r =，所以常数项为()445C 2110⋅⋅-=，所以C 正确，对于D ，因为二项式522x⎛⎝的展开式共有6项，所以第3项和第4项的二项式系数最大，即2355C C 10==，所以D 错误，故选：BC11.下列说法正确的有（）A.若随机变量X ～0－1分布，则方差()14D X ≤B.正态密度曲线在曲线下方和x 轴上方范围内的区域面积为1C.若两个变量的相关性越强，则其相关系数越接近于1D.若()12P A =，()13P B =，()16P AB =，则事件A 与B 相互独立【答案】ABD【分析】对于A ，根据两点分布的方差公式，再利用基本不等式即可；对于B ，由正态密度曲线在曲线下方和x 轴上方范围内的区域面积为概率，即可判定；对于C ，当两个变量为负相关时，相关性越强，相关系数越接近于1,-可判定错误；对于D,根据相互独立事件的定义，结合概率计算，即可判定正确.【详解】对于A ，因为随机变量X ～0－1分布，所以()211(1)24p p D X p p +-⎛⎫=-≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1,p p =-即12p =时，等号成立，所以A 正确；对于B ，因为正态密度曲线在曲线下方和x 轴上方范围内的区域面积就是概率，全区域概率为1，所以面积为1，故B 正确；对于C ,当两个变量为负相关时，相关性越强，其相关系数越接近于1-，故C 错误；对于D,()12P A = ，()13P B =，()16P AB =，()()(),P AB P A P B ∴=则事件A 与B 相互独立，故D 正确.故选：ABD.12.如图，正方形ABCD 的边长为2，AE 和CF 都与平面ABCD 垂直，24AE CF ==，点P 在棱DE 上，则下列说法正确的有（）A.四面体BDEF 外接球的表面积为68π3B.四面体BDEF 外接球的球心到直线AEC.当点P 为DE 的中点时，点P 到平面BEF 的距离为2D.直线EF 与平面PAB 所成角的正弦值的最大值为63【答案】ACD【分析】建立空间直角坐标系，列方程确定四面体BDEF 外接球球心O 的坐标和半径，再求球的表面积判断A ，利用向量方法求球心到直线AE 的距离判断B ，求平面BEF 的法向量，利用向量方法求点P 到平面BEF 的距离判断C ，求平面PAB 的法向量，结合向量夹角公式求直线EF 与平面PAB 所成角的正弦值的最大值判断D.【详解】因为AE 与平面ABCD 垂直，,AB AD ⊂平面ABCD ，所以,AE AB AE AD ⊥⊥，因为四边形ABCD 为正方形，所以AB AD ⊥，以点A 为原点，,,AB AD AE为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则()()()()2,0,0,0,2,0,0,0,4,2,2,2B D E F ，设四面体BDEF 外接球的球心O 的坐标为(),,x y z ，则,,OB OD OB OE OB OF ===，所以()()()()()()()()22222222222222222222242222x y z x y z x y z x y z x y z x y z ⎧-++=+-+⎪⎪-++=++-⎨⎪-++=-+-+-⎪⎩，化简可得232x y x z y z =⎧⎪=-⎨⎪+=⎩，所以115,,333x y z ===，所以球心O 的坐标为115,,333⎛⎫⎪⎝⎭，所以球O的半径513R OB ===，所以四面体BDEF 外接球的表面积21768π4π4π33S R ==⨯=，A 正确；直线AE 的方向向量()0,0,4AE =，又115,,333AO ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以向量AO 在向量AE 上的投影向量的模的大小为115004533343AO AE AE⨯+⨯+⨯⋅== ，所以点O 到直线AE23=，B 错误；设平面BEF 的法向量为()1,,n a b c =，则1100n BF n FE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，又()0,2,2BF = ，()2,2,2FE =-- ，所以2202220b c a b c +=⎧⎨--+=⎩，取2a =,则1,1c b ==-，所以()12,1,1n =-为平面BEF 的一个法向量，若点P 为DE 的中点，则点P 的坐标为()0,1,2，所以()0,1,2PD =-，所以点P 到平面BEF的距离为112PD n n ⋅== ，C 正确；设DP DE λ=，01λ≤≤，则()()()0,2,00.2,40.22,4AP AD DP λλλ=+=+-=- ，又()2,0,0AB =，()2,2,2EF =- ，设平面PAB 的法向量为()2,,n p q r =，则2200n AP n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以()224020q r p λλ⎧-+=⎨=⎩，取2q λ=，则0,1p q λ==-，所以()20,2,1n λλ=-为平面PAB 的一个法向量，设直线EF 与平面PAB 所成角为θ，所以2sin cos ,EF n θ==，所以sin θ==设31t λ+=，[]1,4t ∈，则13t λ-=，22219t t λ-+=，所以222319942115215162051652193t t t t t t t t t λλλ+===-+--+-+⎛⎫+-⋅-⋅+ ⎪⎝⎭，由基本不等式可得当[]1,4t ∈时，44t t +≥=，当且仅当2t =，即13λ=时等号成立，所以231999452154164516t t λλλ+=≤=-+⨯-⎛⎫+- ⎪⎝⎭，当且仅当13λ=时等号成立，所以15106sin 153θ=≤=，当且仅当13λ=时等号成立，所以当点P 为棱DE 的靠近点D 的三分点时，直线EF 与平面PAB 所成角的正弦值的最大，最大值为63，D 正确；故选：ACD .【点睛】知识点点睛：本题考查的知识点有四面体的外接球，球的表面积，点到直线的距离，点到平面的距离，直线与平面的夹角，考查直观想象，数学运算方面的核心素养.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.计算：01233456C C C C +++=______.（用数字作答）【答案】35【分析】利用组合数公式计算即可.【详解】0123345654654C C C C 141410203521321⨯⨯⨯+++=+++=+++=⨯⨯⨯.故答案为：3514.设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，且()13P A =，()12P B =，则()|P A B 的一个可能的值为______.【答案】13（答案不唯一，在20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦内均可）【分析】先求出()P AB 的范围，然后利用条件概率公式求解即可.【详解】因为A ，B 是一个随机试验中的两个事件，且()13P A =，()12P B =，当事件A ，B 为互斥事件时，()0P AB =，当事件B 包含事件A 时，()13P AB =，即()103P AB ≤≤，所以()()()1230|132P AB P A B P B ≤=≤=，所以()|P A B 的一个可能的值为13（答案不唯一，在20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦内均可）.故答案为：13（答案不唯一，在20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦内均可）15.在棱长为6的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD 中，3BC BM = ，3AD AN =uuur uuu r ，则直线AM 与CN 夹角的余弦值为______.【答案】914【分析】根据题意，连接DM ，取DM 上的三等分点E ，使得13ME MD =，连接CE ，NE ，即可得到直线AM与CN 夹角为ENC ∠，再结合余弦定理，即可得到结果.【详解】由题意，连接DM ，取DM 上的三等分点E ，使得13ME MD =，连接CE ，NE ，因为3AD AN =uuu r uuu r，则//NE AM ，所以直线AM 与CN 夹角为ENC ∠，因为四面体ABCD 的棱长为6，则123BM BC ==,6AB =，且60ABM ∠=︒，在ABM 中，由余弦定理可得，2222cos 60AMAB BM AB BM =+-⋅⋅︒22162262282=+-⨯⨯⨯=，则AM NC ==//NE AM ，则DAM DNE ∽，且23NE AM=，所以NE =，因为()11213333CE CM ME CM MD CM CD CM CM CD =+=+=+-=+，所以22222141212cos 60339933CE CM CD CM CD CM CD ⎛⎫=+=++⨯⨯⋅⋅︒⎪⎝⎭414114816364699929=⨯+⨯+⨯⨯⨯=，在NEC中，由余弦定理可得，(22222148939cos 42142NC NE CE ENC NC NE +-+-⎝⎭∠===⋅⨯.故答案为：914.16.一质点从平面直角坐标系原点出发，每次只能向右或向上运动1个单位长度，且每次运动相互独立，质点向上运动的概率为13.质点运动5次后，所在位置对应的坐标为（3，2）的概率为______，质点运动2023次后，最有可能运动到的位置对应的坐标为______.【答案】①.80243②.()1349,674【分析】根据二项分布的概率公式，以及组合数的对称性质，可得答案.【详解】由运动5次后，所在位置对应坐标为()3,2，则运动中有3次向右，2次向上，由题意可得：其概率23251180C 133243P ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；设质点运动2023次，所在位置对应的坐标为(),2023n n -，则其概率2023202320232023111C12C 333nn n n n P -⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=-= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令112023202311202320232C 2C 2C 2C n nn nn n n n--++⎧<⎨<⎩，()()()()()()112023!2023!221!20231!!2023!2023!2023!221!20231!!2023!n nn nn n n n n n n n -+⎧<⎪--+-⎪⎨⎪<⎪+---⎩，解得4049404533n >>，故当1349n =时，P '取得最大值，此时质点所在位置对应的坐标为()1349,674.故答案为：80243；()1349,674.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.设()92390123921x a a x a x a x a x -=++++⋅⋅⋅+.（1）求12a a +的值；（2）求39122392222a a a a +++⋅⋅⋅+的值.【答案】（1）126-（2）1【分析】（1）利用二项式定理即可求解；（2）利用赋值法即可求解.【小问1详解】依题意得，()8819C 2118a =⨯⨯-=，()77229C 21144a =⨯⨯-=-，∴1218144126a a +=-=-【小问2详解】令0x =，得01a =-，令12x =，得3912023902222a a a a a ++++⋅⋅⋅+=，∵01a =-，∴391223912222a a a a +++⋅⋅⋅+=.18.某市举办大型车展，为了解该市人民对此次大型车展的关注情况，在该市随机地抽取男性和女性各100人进行调查统计，得到如下22⨯列联表：关注不关注合计男性5050100女性3070100合计80120200（1）能否有99%的把握认为男性和女性对此次大型车展的关注程度有明显差差异？（2）有3位市民去参观此次大型车展，假设每人去新能源汽车展区的概率均为13，且相互独立.设这3位市民参观新能源汽车展区的人数为ξ，求ξ的概率分布和数学期望.附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++()20P x χ≥0.0500.0100.0010x 3.8416.63510.828【答案】（1）有（2）分布列见解析，数学期望为1【分析】（1）根据表中的数据利用公式()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++求解2χ，再根据临界值表进行判断即可，（2）由题意知ξ的可能取值为：0，1，2，3，而13,3B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，所以利用二项分布的概率公式求出各自对应的概率，从而可求得ξ的概率分布和数学期望.【小问1详解】提出假设0H ：男性和女性对此次大型车展的关注程度没有明显差异.由列联表中的数据可得：()2220050705030258.333100*********χ⨯-⨯==≈⨯⨯⨯，因为当0H 成立时，()26.6350.010P χ≥≈，这里的28.000 6.635χ≈>，所以我们有99%的把握认为男性和女性对此次大型车展的关注程度有明显差异.【小问2详解】由题意知ξ的可能取值为：0，1，2，3.因为13,3B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()3312C 33k kk P k ξ-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中k =0，1，2，3，故ξ的概率分布表为：ξ0123P8274929127所以()842101231279927E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=，所以随机变量ξ的数学期望为1.19.某校举行劳动技术比赛，该校高二（1）班的班主任从本班的5名男选手和4名女选手中随机地选出男、女选手各2名参加本次劳动技术比赛中的团体赛，并排好团体赛选手的出场顺序.在下列情形中各有多少种不同的安排方法？（1）男选手甲必须参加，且第4位出场；（2）男选手甲和女选手乙都参加，且出场的顺序不相邻；（3）男选手甲和女选手乙至少有一人参加.【答案】（1）144（2）144（3）1008【分析】根据先选后排的原则，结合排列数、组合数运算求解.【小问1详解】完成该件事情可分两步进行：第一步，选出选手，有1244C C 种方法；第二步，排好出场顺序，有33A 种方法，所以，共有123443C C A 144=种不同的安排方法.【小问2详解】完成该件事情可分两步进行：第一步，选出选手，有1143C C 种方法；第二步，排好出场顺序，有2223A A 种方法，所以，共有11224323C C A A 144=种不同的安排方法.【小问3详解】完成该件事情可分两步进行：第一步，选出选手，“有男选手甲且无女选手乙”的选法种数为1243C C ；“无男选手甲且有女选手乙”的选法种数为2143C C ；“有男选手甲且有女选手乙”的选法种数为1143C C ；第二步，排好出场顺序，有44A 种排法，所以，共有()12211144343434C C +C C +C C A =1008种不同的安排方法.20.设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和m （2m ≥，*N m ∈）个红球，这些球除颜色外完全相同，现先从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任意取出2个球，已知从乙袋中取出的是两个红球的概率为514.（1）求m 的值；（2）在从乙袋中取出的两球是一个红球和一个白球的条件下，求从甲袋中取出的是两个红球的概率.【答案】（1）2（2）419【分析】（1）根据从乙袋中取出的是两个红球的概率列方程，化简求得m 的值.（2）先求得“从乙袋中取出1个红球和1个白球”的概率、求得“从甲袋中取出2个红球”且“从乙袋中取出1个红球和1个白球”的概率，根据条件概率计算公式求得正确答案.【小问1详解】记事件1A ：从甲袋中取出2个红球，事件2A ：从甲袋中取出2个白球，事件3A ：从甲袋中取出1个红球和1个白球，事件B ：从乙袋中取出2个红球，事件C ：从乙袋中取出1个红球和1个白球.因为()()()222112232334142222221737373C C C C C C C 5|C C C C C C 14m m m i i i m m m P B P A P B A ++=+++==⋅+⋅+⋅=∑，所以297220m m --=，所以2m =（负舍），故m 的值为2.【小问2详解】()()()21111112133323423442222221757575C C C C C C C C C 19C |C C C C C C 35i i i P C P A P A ===⋅++⋅=∑，()21144112275C C C 4C C 35P A C =⋅=，()()()114435|191935P AC P A C P C ===.所以在从乙袋中取出1个红球和1个白球的条件下，从甲袋中取出两个红球的概率为419.21.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，11AA =，D 为AC 的中点.请从条件①、②、③中选择合适的两个作为已知，并解答下面的问题：（1）求二面角11A BD B --所成角的正弦值；（2）点P 是矩形11AA B B（包含边界）内任一点，且CP =CP 与平面1B BD 所成角的正弦值的取值范围.条件①：平面1A BC的面积为2；条件②：11C D A B ⊥；条件③：1B 点到平面1A BC 的距离为63.【答案】（1）147（2）,55⎢⎣⎦【分析】首先以{}1,,CA CB CC为一组正交基底，建立空间直角坐标系C xyz -.(1)若选①②，通过条件①②，,CA CB 的长度，进一步利用平面法向量的求法，求出平面1B BD 和平面1A BD 的法向量，利用公式计算即可；若选①③，通过条件①③，,CA CB 的长度，进一步利用平面法向量的求法，求出平面1B BD 和平面1A BD 的法向量，利用公式计算即可；若选②③，通过条件②③，,CA CB 的长度，进一步利用平面法向量的求法，求出平面1B BD 和平面1A BD 的法向量，利用公式计算即可；(2)解法一：根据条件确定点P 的轨迹，设出点P 的坐标后，利用条件可建立坐标横坐标和纵坐标之间的关系式，近一步利用向量求出线面的正弦值，利用函数关系可求出范围；解法二：利用1,,BP BA BB三个向量共面，建立三个向量之间的线性关系，转化为坐标后，可表示出点P 的坐标，利用条件可建立坐标横坐标和纵坐标之间的关系式，近一步利用向量求出线面的正弦值，利用函数关系可求出范围.【小问1详解】因为直三棱柱111ABC A B C -，所以1C C ⊥平面ABC ，又CA ，CB ⊂平面ABC ，所以1CC CA ⊥，1CC CB ⊥，又CA CB ⊥.以{}1,,CA CB CC为一组正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -.设CA a =，CB b =（0a >，0b >），则(),0,0A a ，()1,0,1A a ，,0,02a D ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,,0B b ，()10,,1B b ，()10,0,1C.(1)选①②因为直三棱柱111ABC A B C -中，平面11A ACC ⊥平面,ABC 且平面11A ACC ⋂平面,ABC AC =又90ACB ∠=︒，BC ∴⊥平面11A ACC ,又1AC ⊂ 平面11A ACC ，1BC A C ∴⊥.则又由①得平面1A BC的面积为1622=，由②得()211,,1,0,11022a a A B C D a b ⎛⎫⋅=--⋅-=-+= ⎪⎝⎭uuu r uuu r ，解得a =b =.所以)1BA =uuu r，2,2BD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭uu u r ，()10,0,1BB =，设平面1B BD 的一个法向量为()111,,x n y z =，则100BD n BB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，1112020x z =⎨⎪=⎩，取11y =，则()2,1,0n = ，设平面1A BD 的一个法向量为()222,,m x y z =，则100BD m BA m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,22222020x z =⎪-+=，取21y =，则(2,1,m =u r ，设二面角11A BD B --所成角的平面角为θ，所以35cos cos ,7m n m n m nθ⋅====⋅，因为[]0,θπ∈，所以sin 7θ=，所以二面角11A BD B --所成角的正弦值为147.选①③因为直三棱柱111ABC A B C -中，平面11A ACC ⊥平面,ABC 且平面11A ACC ⋂平面,ABC AC =又90ACB ∠=︒，BC ∴⊥平面11A ACC ,又1AC ⊂ 平面11A ACC ，1BC A C ∴⊥.又由①得平面1A BC的面积为1622=，由①③得1111B A BC A BB C V V --=，即166132332ba ⨯⨯=⨯⨯，解得a =b =，所以)1BA =uuu r，2BD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭uu u r ，()10,0,1BB =设平面1B BD 的一个法向量为()111,,x n y z =，则100BD n BB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，111020x z =⎨⎪=⎩，取11y =，则()2,1,0n = ，设平面1A BD 的一个法向量为()222,,m x y z =，则100BD m BA m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,22222020x z =⎪⎨-+=，取21y =，则(2,1,m =u r 设二面角11A BD B --所成角的平面角为θ，所以35cos cos ,7m n m n m nθ⋅====⋅因为[]0,θπ∈，所以sin 7θ=，所以二面角11A BD B --所成角的正弦值为7.选②③，由②得()211,,1,0,11022a a A B C D a b ⎛⎫⋅=--⋅-=-+= ⎪⎝⎭uuu r uuu r ，由②③得1111B A BC A BB C V V --=，即1132332ba ⨯⨯=⨯⨯，解得a =b =，所以)1BA =uuu r，22BD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭uu u r ，()10,0,1BB =设平面1B BD 的一个法向量为()111,,x n y z =，则100BD n BB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，1112020x z =⎨⎪=⎩，取11y =，则()2,1,0n = ，设平面1A BD 的一个法向量为()222,,m x y z =，则100BD m BA m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,222222020x z =⎪-+=，取21y =，则(2,1,m =u r 设二面角11A BD B --所成角的平面角为θ，所以35cos cos ,7m n m n m nθ⋅====⋅，因为[]0,θπ∈，所以sin 7θ=，所以二面角11A BD B --所成角的正弦值为147.【小问2详解】解法一：取AB 中点Q ，连接PQ ，CQ ，因为CQ ⊥平面11A ABB ，PQ ⊂平面11A ABB ，所以CQ PQ ⊥，因为1CQ =，CP =1PQ =，所以点P 的轨迹是以Q 为圆心，半径为1的半圆，设点(),,P x y z '''，所以2x ⎡'∈⎣，因为2CP =，1PQ =，所以22222222122x y z x y ⎧++=⎪⎪⎛⎛⎨-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭'⎭'''⎩'⎝，所以2x y ''+=，设CP 与平面1B BD 所成角为α，由(),,CP x y z '''=uu r 及平面1B BD 的一个法向量为()2,1,0n = 知22sin cos ,2510x y x CP n α++=='''=⋅ ，因为2x ⎡'∈⎣，所以525sin 55α∈⎣⎦，所以CP 与平面1B BD 所成角的正弦值的取值范围为525,55⎢⎣⎦.解法二：设)())12,2,00,0,12,2,BP BA BB λμλμλλμ=+=+=uu r uu r uuu r，由()2,0B 得)222,P λλμ，因为2CP =，所以22440λλμ-+=，即22440λλμ-=≥，所以01λ≤≤.设CP 与平面1B BD 所成角为α，)222,CP λλμ=uu r，又由（1）知，平面1B BD 的一个法向量为()2,1,0n =，所以，1sin cos ,5CP n λα+== 01λ≤≤，所以525sin 55α∈⎥⎣⎦.所以CP 与平面1B BD 所成角的正弦值的取值范围为525,55⎢⎣⎦.故答案为：(1)147；(2)525,55⎢⎣⎦.22.某软件科技公司近8年的年利润y 与投入的年研发经费x （单位：千万元）如下表所示.x 34566789y1y 2y 3y 4y 5y 6y 7y 8y （1）根据散点图可以认为x 与y 之间存在线性相关关系，且相关系数8384r =，请用最小二乘法求出线性回归方程y bx a =+$$$（ a，b 用分数表示）；（2）某配件加工厂加工的单个零件尺寸与标准件尺寸的误差60,1N c ε⎛⎫⎪+⎝⎭:，其中c 为单个零件的加工成本（单位：元），且10.9542P ε⎛⎫<= ⎪⎝⎭.引进该公司最新研发的某工业软件后，加工的单个零件尺寸与标准件尺寸的误差110,22N c ε⎛⎫ ⎪+⎝⎭:.若保持零件加工质量不变（即误差的概率分布不变），则单个零件加工的成本下降了多少元？附：（1）参考数据：8213452ii y==∑，()821252i i y y=-=∑.（2）参考公式：()()niix x y y r --=∑，()()()121nii i nii xx y ybxx==--=-∑∑ ，a y bx =-$$.（3）若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.683P μσξμσ-<<+≈，()220.954P μσξμσ-<<+≈.【答案】（1）83312814y x =+$（2）8元【分析】（1）由8213452i i y ==∑，()821252i i y y=-=∑可求出y ，然后求出()821i i x x =-∑，然后利用相关系数8384r =求出可求出b，再由a y bx =-$$求出 a，从而可求出线性回归方程；（2）未引进新的工业软件前，由60,1N c ε⎛⎫ ⎪+⎝⎭:，得0μ=，σ=，再由10.9542P ε⎛⎫<= ⎪⎝⎭可得12=，从而可求出c ，同理引进新的工业软件后，可求出其对应的c ，从而可进行判断.【小问1详解】由()821252i i y y=-=∑，得88221128252i i i i y y y y ==-⋅+=∑∑，。

2020届泰州市高二下期末联考数学试卷(文)有答案

泰州市第二学期期末考试高二数学（文科）试题(考试时间：120分钟总分：160分)注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．（参考公式：样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑．）一、填空题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．） 1．已知集合}{1,0,1A =-，{}0,1,2B =，则A B =U ▲． 2．函数2()1f x x =-的定义域为 ▲． 3．命题“x ∀∈R ，21x ≥”的否定是 ▲．4．已知幂函数()f x 的图象过点(2,4)，则(3)f 的值是 ▲．5．用系统抽样的方法从某校600名高二学生中抽取容量为20的样本，将600名学生随机编号为1～600，按编号顺序平均分为20个组（1～30号，31～60号，……，571～600号），若第1组中用抽签的方法确定抽出的号码为2，则第4组抽取的号码为 ▲．6．根据如图所示的伪代码，可知输出的S 的值是 ▲．7．已知某学生准备利用暑假时间到北京研学旅游，其乘火车、汽车、飞机去的概率分别为0.5，0.2，0.3，则这名学生不乘汽车的概率为 ▲． 8．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，若(2)(0)(3)2f f f -++=，则(2)(3)f f -的值是 ▲． 9．为了了解某校高二年级300名男生的健康状况，随机抽测了其中50 名学生的身高（单位：cm ），所得数据均在区间[155,185]上，其频率分布直方图（部分图形）如图所示，则估计该校高二年级身高在180 cm 以上的男生人数为 ▲．10．已知某市2016年6月26日到6月30日的最高气温依次为28 C ︒，29 C ︒，25 C ︒，25 C ︒，28 C ︒，那么这5天最高气温的方差为 ▲．（单位：2(C)︒）11．已知定义在R 上的函数3()21f x x x =-+，若方程()10f x a x --=恰有4个互不相等的实数根，则所有满足条件的实数a 组成的集合为 ▲．12．已知0a >，函数322114, 1,323()1(1)ln , 1,2a x x ax x f x a x x ax x -⎧-++-≤⎪⎪=⎨⎪-+->⎪⎩若()f x 在区间(,2)a a -上单调递增，则实数a 的取值范围是 ▲．0S ←1i ←While 5i ≤2S S i ←+2i i ←+End While Print S（第6题）二、解答题（本大题共8小题，共100分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 13．（本小题满分12分）已知集合}{13A x x =≤≤，}{1B x =. （1）求A B I ；（2）若A B I 是集合{}x x a ≥的子集，求实数a 的取值范围．14．（本小题满分12分）一根直木棍长为6 m ，现将其锯为2段．（1）若两段木棍的长度均为正整数，求恰有一段长度为2 m 的概率；（2）求锯成的两段木棍的长度均大于2 m 的概率．15．（本小题满分12分）已知:p 11x -≤≤， :q e x a b ≤≤，其中a ，b 为实数．（1）若p 是q 的充要条件，求ab 的值；（2）若1a =，2e b =，且p ，q 中恰有一个为真命题，求实数x 的范围．16．（本小题满分12分）（1）求lg4lg50lg2+-的值；（2）若实数a ，b 满足2361log 2log log ()a b a b +=+=+，求11a b+的值．17．（本小题满分12分）已知1是函数3()3f x ax x =-的一个极值点，其中a 为实数．（1）求实数a 的值；（2）求函数()f x 在区间[2,2]-上的最大值．18．（本小题满分12分）某公司科技小组研发一个新项目，预计能获得不少于1万元且不多于5万元的投资收益，公司拟对研发小组实施奖励，奖励金额y （单位：万元）和投资收益x （单位：万元）近似满足函数()y f x =，奖励方案满足如下两个标准：①()f x 为单调递增函数，②0()f x kx ≤≤，其中0k >．（1）若12k =，试判断函数()f x 是否符合奖励方案，并说明理由；（2）若函数()ln f x x =符合奖励方案，求实数k 的最小值．19.（本题满分14分）已知函数2()f x x ax =-，x ∈R ，其中0a >．（1）若函数()f x 在R 上的最小值是1-，求实数a 的值；（2）若存在两个不同的点(,)m n ，(,)n m 同时在曲线()f x 上，求实数a 的取值范围．20．（本小题满分14分）已知函数()e ln x f x a x b =-+，0x >，其中0a >，b ∈R ．（1）若1a b ==，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）证明：存在唯一的正实数0x ，使函数()f x 在0x 处取得极小值；（3）若0a b +=，且函数()f x 有2个互不相同的零点，求实数a 的取值范围．高二数学（文科）答案一、填空题1．}{1,0,1,2- 2．[1,1]- 3．x ∃∈R ，21x < 4．9 5．92 6．35 7．0.8 8．2- 9．30 10．14511．51,4⎧⎫⎨⎬⎭⎩ 12．10(0,]9二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）13．解：（1）∵{ 1 }B x =≥，∴{ 2 }B x x =≥， …………3分 ∵{ 1 3 }A x x =≤≤，∴{ 2 3 }A B x x =≤≤I ． …………7分（2）由（１）得：{ 2 3 }A B x x =≤≤I ， ∴集合{ 2 3 }x x ≤≤是集合{}x x a ≥的子集，∴2a ≤． …………12分 14．解：（1）∵两段木棍的长度均为正整数，∴两段木棍的长度分别为1 m 和5 m ，2 m 和4 m ，3 m 和3 m ，4 m 和2 m ，5 m 和1 m ，共计5种可能的情况， …………2分其中恰有一段长度为2 m 的情况共计2种， …………4分记“若两段木棍的长度均为正整数，恰有一段长度为2 m ”为事件A ， ∴2()5P A =， …………6分答：若两段木棍的长度均为正整数，恰有一段长度为2 m 的概率为25． …………7分（2）记“锯成的两段木棍的长度均大于2 m ”为事件B ， ∴21()63P B ==， …………11分答：锯成的两段木棍的长度均大于2 m 的概率为13． …………12分15．解：（1）∵:p 11x -≤≤，且p 是q 的充要条件，∴q 等价于11e e e x -≤≤， …………3分 ∴1e a -=，1e b =，∴1ab =． …………6分（2）由题意得:q 21e e x ≤≤，即:q 02x ≤≤，∵p ，q 中恰有一个为真命题， …………7分当p 真，q 假时，∴11, 02,x x x -≤≤⎧⎨<>⎩或即10x -≤<， …………9分当p 假，q 真时，∴11, 02, x x x <->⎧⎨≤≤⎩或即12x <≤， …………11分综上所述：实数x 的范围为[1,0)(1,2]-U ． …………12分 16．解：（1）原式=2lg2lg51lg22++-=， …………6分（2）设2361log 2log log ()a b a b k +=+=+=， ∴122,3,6k k k a b a b --==+=，∴121161823k k k a b a b ab --++===⋅． …………12分 17．解：（1）∵3()3f x ax x =-，∴2()33f x ax '=-， …………2分 ∵1是函数3()3f x ax x =-的一个极值点，∴(1)0f '=， …………3分 ∴330a -=，∴1a =， …………5分当1a =时，2()333(1)(1)f x x x x '=-=-+，满足题意． …………6分（2）由（1）得：2()333(1)(1)f x x x x '=-=-+，令()0f x '=，∴11x =-，21x =， …………8分10分∵(1)2f -=，(2)2f =，∴()f x 在区间[2,2]-上的最大值是2． …………12分18．解：（1）∵()f x =， ∴()0f x '>，∴函数()f x =是区间[1,5]上的单调递增函数，满足标准①， …………2分当[1,4)x ∈时，1()2f x x x =>，不满足标准②，综上所述：()f x = …………4分（2）∵函数()ln f x x =符合奖励标准， ∴()f x kx ≤，即ln x kx ≤， ∴ln xk x≥， …………6分 ∴设ln ()xg x x=，[1,5]x ∈， ∴21ln ()xg x x -'=，令()0g x '=，∴x e =，…………8分∴ln ()x g x x =的极大值是1(e)eg =，且为最大值， ∴1ek ≥， …………10分又∵函数()ln f x x =，[1,5]x ∈， ∴1()0f x x'=>，∴函数()f x 在区间[1,5]上单调递增，满足标准①， ∵[1,5]x ∈，∴()ln 0f x x =≥，综上所述：实数k 的最小值是1e． …………12分19．解：（1）∵22()()24a a f x x ax x =-=--，x ∈R ，∴当2ax =时，2min ()14a f x =-=-， …………2分∵0a >，∴2a =． …………4分（2）∵(,)m n ，(,)n m 同时在函数()f x 的图象上，∴22,,m am n n an m ⎧-=⎨-=⎩…………6分∴22()()m n a m n n m ---=-， …………7分 ∵m n ≠，∴1m n a +-=-，且12a m -≠，∴1n a m =--， …………9分 ∴21m am a m -=--，∴方程2(1)10m a m a +-+-=有解，12a m -≠， …………11分 ∴2(1)4(1)0a a ---≥，且211()(1)()1022a a a a --+-+-≠ ∴14a -≥或10a -≤，且3,1a ≠-， …………13分 ∵0a >，∴1a >． …………14分（注：若没有考虑12a m -≠，得到1a ≥，扣2分） 20．解：∵()e ln x f x a x b =-+， ∴()e x a f x x'=-，（1）∵1a b ==，∴()e ln 1x f x x =-+，1()e x f x x'=-， …………2分 ∴切点为(1,(1))f ，即(1,e 1)+，切线的斜率为(1)f '，即切线的斜率为e 1-， ∴函数()f x 在1x =处的切线方程为(e 1)(e 1)(1)y x -+=--，即(e 1)2y x =-+． …………4分（2）令()0f x '=，得e 0x x a -=，设()e x h x x a =-，0x >，∴()(1)e 0x h x x '=+>，∴()h x 在区间(0,)+∞上单调递增， ∵(0)0h a =-<，()(e 1)0a h a a =->，∴(0)()0h h a <，且()h x 在区间(0,)+∞上的图象不间断，∴存在唯一的0(0,)x a ∈，使0()0h x =， …………6分0(0,)x ∈+∞，使函数()f x 在0x x =处取得极小∴存在唯一的值． …………8分（3）∵0a b +=，∴()e ln xf x a x a =--，0x >， ∴e ()e x xa x af x x x-'=-=，由（2）可得：函数()f x 的极小值为0()f x ，且00e 0x x a -=， ∴0000000()e ln e (1ln )x x f x a x a x x x =--=--，设()1ln r x x x x =--，0x >，∴()ln 2r x x '=--，∴当20e x -<<时，()0r x '>，当2e x ->时，()0r x '<， …………10分由（2）可得：函数()e x h x x a =-在区间(0,)+∞上单调递增，（ⅰ）当0e a <≤时，∵00e x a x e =≤，∴0()(1)h x h ≤，∴001x <≤， ∴00000()e [(1)(ln )]0x f x x x x =-->，∴当0x >，()0f x >，无零点， …………12分（ⅱ）当e a >时，∵00e e x a x =>，∴0()(1)h x h >，∴01x >， ∵()1ln r x x x x =--在区间(1,)+∞上单调递减， ∴0()(1)0r x r <=， ∴000()e ()0x f x r x =<，∵1111()e ln e (ln 1)0aa f a a a a a a =--=+->，其中010x a<<，∴01()()0f f x a<，且函数()f x 在区间上0(0,)x 单调递减，图象不间断，∴()f x 在区间上0(0,)x 上有唯一的零点，又∵()e ln a f a a a a =--，e a >，设()e ln a t a a a a =--，e a >，∴()e ln 2a t a a '=--， ∵e 11(e ln 2)e e 0ea a a a '--=->->，∴()e ln 2at a a '=--在区间(e,)+∞上单调递增， ∴e ()(e)e 30t a t ''>=->，∴()e ln a t a a a a =--在区间(e,)+∞上单调递增， ∴e ()(e)e 20t a t e >=->，即()0f a >，又∵000e x a x x =>，∵0()()0f x f a <，且函数()f x 在区间上0(,)x +∞单调递增，图象不间断， ∴()f x 在区间上0(,)x +∞上有唯一的零点，综上所述：函数()f x 有2个互不相同的零点时，实数a 的取值范围为(e,)+∞．……16分。

2019-2020学年江苏省泰州市数学高二第二学期期末统考试题含解析

2019-2020学年江苏省泰州市数学高二第二学期期末统考试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．中国诗词大会的播出引发了全民读书热，某学校语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如右图，若规定得分不低于85分的学生得到“诗词达人”的称号，低于85分且不低于70分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号.根据该次比赛的成绩按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为（）A ．6B ．5C ．4D ．22．已知集合，则( ) A ．B ．C ．D ．3．小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制,5人坐成一排.若小明的父母都不与他相邻,则不同坐法的总数为（） A ．12B ．36C ．84D ．964．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为5，2，则输出的n =（）A ．5B ．4C ．3D ．95．已知函数()2()ln f x xf e x '=+，则()f e =( ) A ．e -B ．eC ．1-D ．16．已知函数()32f x x ax bx c =+++，且()()()01233f f f <==≤，则c 的取值范围为（）A ．(),6-∞-B ．()6,3--C ．(]6,3--D ．[)6,3--7．已知α满足1sin 3α=，则cos()cos()44ππαα+-=（）A ．718B ．2518C ．718-D ．2518-8．安排5位同学摆成一排照相.若同学甲与同学乙相邻，且同学甲与同学丙不相邻，则不同的摆法有（）种 A ．20 B ．24C ．36D ．489．若220a x dx =⎰，230b x dx =⎰，20sin c xdx =⎰，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．c a b <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．a c b <<10．已知i 为虚数单位，复数z 满足(1)2i z i -⋅=，z 是复数z 的共轭复数，则下列关于复数z 的说法正确的是（） A ．1i z =-- B ．2z z ⋅=C ．2z =D ．复数z 在复平面内表示的点在第四象限11．若A ＝{(x ，y)|y ＝x}， B={(x,y)|=1}yx，则A ，B 关系为( ) A ．A ≠⊆BB ．B ≠⊆AC ．A ＝BD ．A ⊆B12．水以恒速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面的容器中，则此容器里水的高度h 与时间t 的函数关系图象是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．在61()x x-的展开式中的常数项为_______.14．已知椭圆22214x y a +=与双曲线2212x y a -=有相同的焦点，则实数a ＝________.15．若幂函数()222341--=-+m m y m m x 为()0,∞+上的增函数，则实数m 的值等于______ ．16．条件:25p x -<<，条件2:0x q x a+<-，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是______________．三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知函数ln 1()x f x x+=. (Ⅰ)证明：2()f x e x e ≤-； (Ⅱ)若直线(0)yax b a =+>为函数()f x 的切线，求b a的最小值.18．如图，AB 切o d 于点B ，直线AO 交o d 于,D E 两点，BC DE ⊥,垂足为C .（1）证明：CBD DBA ∠=∠ （2）若3AD DC =,2BC =.19．（6分）我校为了解学生喜欢通用技术课程“机器人制作”是否与学生性别有关，采用简单随机抽样的办法在我校高一年级抽出一个有60人的班级进行问卷调查，得到如下的22⨯列联表：喜欢不喜欢合计男生 18 女生 6 合计60已知从该班随机抽取1人为喜欢的概率是3． (Ⅰ)请完成上面的22⨯列联表；(Ⅱ)根据列联表的数据，若按90%的可靠性要求，能否认为“喜欢与否和学生性别有关”？请说明理由．参考临界值表：20()P K k ≥ 0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828参考公式：22(),()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++其中n a b c d =+++ 20．（6分）某校在本校任选了一个班级，对全班50名学生进行了作业量的调查，根据调查结果统计后，得到如下的22⨯列联表，已知在这50人中随机抽取2人，这2人都“认为作业量大”的概率为1249. 认为作业量大认为作业量不大合计男生 18 女生 17 合计50（Ⅰ）请完成上面的列联表；（Ⅱ）根据列联表的数据，能否有99%的把握认为“认为作业量大”与“性别”有关？（Ⅲ）若视频率为概率，在全校随机抽取4人，其中“认为作业量大”的人数记为X ，求X 的分布列及数学期望. 附表：20()P K k ≥0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k2.7063.8415.0246.63510.828附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++21．（6分）已知函数f(x)＝ln11x x +-. (1)求函数f(x)的定义域，并判断函数f(x)的奇偶性； (2)对于x ∈[2，6]，f(x)＝ln11x x +-＞ln (1)(7)m x x --恒成立，求实数m 的取值范围．22．（8分）高二年级数学课外小组10人:（1）从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法? （2）从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法?参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．C【解析】【分析】有茎叶图，找出获得“诗词能手”的称号的学生人数，求得概率，再利用分层抽样求得答案. 【详解】由茎叶图可得，低于85分且不低于70分的学生共有16人，所以获得“诗词能手”的称号的概率为：162 405=所以分层抽样抽选10名学生，获得“诗词能手”称号的人数为：2 1045⨯=故选C【点睛】本题考查了茎叶图以及分层抽样，属于基础题.2．C【解析】【分析】由题意，集合，，再根据集合的运算，即可求解.【详解】由题意，集合，，所以，故选C.【点睛】本题主要考查了对数函数的性质，以及不等式求解和集合的运算问题，其中解答中正确求解集合，再根据集合的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3．B【解析】【分析】记事件小明的父亲与小明相邻，事件小明的母亲与小明相邻，利用捆绑法计算出事件、事件、事件的排法种数、、，利用容斥原理可得出所求的坐法种数为，于此可计算出所求坐法种数。

江苏省泰州高二下册第二学期期末考试数学(文)试题-含答案【精选】.doc

江苏省泰州中学第二学期期末考试高二数学（文科）试题一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1. 已知集合{}{}1,0,1,0,1,2A B =-=，则A B =U .2. 函数()21f x x =-的定义域为 .3.命题“2,1x R x ∀∈≥”的否定是 .4.已知幂函数()f x 的图象过点()2,4，则()3f 的值是 .5．用系统抽样法从某校600名学生中抽取容量为20的样本，将600名学生随机编号为1—600，按编号顺序平均分为20个小组，若第1小组中用抽签法确定抽出的号码为2，则第4小组抽取的号码为 .6.根据如图所示的伪代码，可知输出的S 的值是 .7.已知某学生准备利用暑假时间到北京研学旅游，其乘火车、汽车、飞机去的概率分别为0.5,0.2,0.3，则这名学生不乘汽车的概率是 .8.已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，若()()()2032f f f -++=，则()()23f f -的值是 .9.为了了解某校高二年级300名男生的健康状况，随机抽测了其中50名学生的身高（单位：cm ），所得数据均在区间[]155,185上，其频率分布直方图（部分图形）如图所示，则估计该校高二年级身高在180cm 以上的男生的人数为 .10.已知某市6月26日到6月30日的最高气温依次为28,29,25,25,28C C C C C o o o o o ，那么这5天最高气温的方差为 .（单位：C o ）11.已知定义在上的函数()321f x x x =-+，若方程()10f x a x --=恰有4个互不相等的实数根，则所有满足条件的实数a 组成的集合为 .12.已知0a >，函数()()322114,132311ln ,12a x x ax x f x a x x ax x -⎧-++-≤⎪⎪=⎨⎪-+->⎪⎩，若()f x 在区间(),2a a -上单调递增，则实数a 的取值范围是 .二、解答题：本大题共8小题，共100分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.13.（本题满分12分）已知集合{}{}|13,|1.A x x B x =≤≤=≥（1）求A B I ；（2）若A B I 是集合{}|x x a ≥的子集，求实数a 的取值范围.14.（本题满分12分）一根直木棍长6m ，现将其锯为2段.（1）若两段木棍的长度均为正整数，求恰有一根长度为2m 的概率；（2）求锯成的两段木棍的长度均大于2m 的概率.15.（本题满分12分）已知:11,:x p x q a e b -≤≤≤≤，其中,a b 是实数.（1）若p 是q 的充要条件，求ab 的值；（2）若21,a b e ==，且,p q 中恰有一个为真命题，求实数x 的范围.16.（本题满分12分）（1）求lg 4lg50lg 2+-的值；（2）若实数,a b 满足()2361log 2log log a b a b +=+=+，求11a b+的值.17.（本题满分12分）已知1是函数()33f x ax x =-的一个极值点，其中a 为实数.（1）求实数a 的值；（2）求函数()f x 在区间[]2,2-上的最大值.18.（本题满分12分）某公司科技小组研发一个新项目，预计能获得不少于1万元且不多于5万元的投资收益.公司拟对研发小组实施奖励，奖励金额y （单位：万元）和投资收益x （单位：万元）近似满足函数()y f x =，奖励方案满足如下两个标准：①()f x 是单调递增函数；②()0f x kx ≤≤，其中0k >.（1）若12k =，试判断函数()f x （2）若函数()ln f x x =符合奖励方案，求实数k 的最小值.19.（本题满分14分）已知函数()2,f x x ax x R =-∈，其中0a >.（1）若函数()f x 是R 上的最小值为-1，求实数a 的值；（2）若存在两个不同的点()(),,,m n n m 同时在曲线()f x 上，求实数a 的取值范围.20.（本题满分14分）已知函数()ln ,0x f x e a x b x =-+>，其中0,.a b R >∈（1）若1a b ==，求曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）证明：存在唯一的正实数0x ，使函数()f x 在0x 处取得极小值；（3）若0a b +=，且函数()f x 有2个互不相同的零点，求实数a 的取值范围.。

江苏省泰州市西城中学2021年高二数学文下学期期末试题含解析

江苏省泰州市西城中学2021年高二数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的导函数为（A）（B）（C）（D）参考答案：D略2. 如图，点P为△ABC的外心，且，则等于( )A．2 B．4 C．6 D．8参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】根据向量数量积的公式，结合三角形外心的性质可得可得==8，同理可得==2，利用向量数量积运算法则计算即可．【解答】解：作PD⊥AC于D，则∵P为△ABC的外心，∴，可得==8同理可得==2=6故选C【点评】本题在三角形中给出外心，求向量数量积的式子．着重考查了三角形的外心的性质、向量数量积的定义与运算性质等知识，属于中档题．3. 如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，，则直线与直线夹角的余弦值为（）A. B. C. D.参考答案：A略4. 已知数列满足，且，则数列的值为（）A． 2011 B．2012 C．D．参考答案：D5. 函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为（）A. B.C. D.参考答案：D试题分析：函数f（x）=2x2–e|x|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于轴对称，因为，所以排除选项；当时，有一零点，设为，当时，为减函数，当时，为增函数．故选D6. 有下面事件：①如果a，b R，那a·b＝b·a；②某人买彩票中奖；③ 3 + 5>10．其中必然事件有（）A．② B．③ C．① D．②③参考答案：C7. 的展开式中不含项的各项系数之和为（）A．－26 B．230 C．254 D．282参考答案：D展开式中，令得展开式的各项系数和为而展开式的的通项为则展开式中含项系数为故的展开式中不含项的各项系数之和为8. 函数有极值的充要条件是 ( )A. B． C．D．参考答案：C略9. 已知向量，如果∥，那么（）A．k=1且与同向 B．k=1且与反向C．k=－1且与同向 D．k=－1且与反向参考答案：D10. 直线与椭圆相交于不同的两点、，若的中点横坐标为2，则直线的斜率等于（）A． B． C． D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（）A. 直线B. 圆C. 双曲线D. 抛物线参考答案：D12. 已知x∈R,[x]表示不超过x的最大整数，若函数有且仅有3个零点，则实数的取值范围是▲参考答案：13. 若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为，则a= ．参考答案：4试题分析：，．考点：棱柱的体积．【名师点睛】1．解答与几何体的体积有关的问题时，根据相应的体积公式，从落实公式中的有关变量入手去解决问题，例如对于正棱锥，主要研究高、斜高和边心距组成的直角三角形以及高、侧棱和外接圆的半径组成的直角三角形；对于正棱台，主要研究高、斜高和边心距组成的直角梯形．2．求几何体的体积时，若给定的几何体是规则的柱体、锥体或台体，可直接利用公式求解；若给定的几何体不能直接利用公式得出，常用转换法、分割法、补形法等求解．14. 在直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程是，若以O为极点，x轴的正半轴为极轴，则曲线C的极坐标方程可写为。

江苏省泰州市2016-2017学年高二下学期期末联考数学(文科)试卷-含答案

泰州市2016～2017学年度第二学期期末考试高二数学（文科）试题(考试时间：120分钟总分：160分)命题人：张圣官吴春胜审核人：杨鹤云唐咸胜注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．（参考公式：样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑．）一、填空题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．已知集合}{1,0,1A =-，{}0,1,2B =，则A B =U ▲． 2．函数()f x =的定义域为 ▲． 3．命题“x ∀∈R ，21x ≥”的否定是 ▲．4．已知幂函数()f x 的图象过点(2,4)，则(3)f 的值是 ▲．5．用系统抽样的方法从某校600名高二学生中抽取容量为20的样本，将600名学生随机编号为1～600，按编号顺序平均分为20个组（1～30号，31～60号，……，571～600号），若第1组中用抽签的方法确定抽出的号码为2，则第4组抽取的号码为 ▲．6．根据如图所示的伪代码，可知输出的S 的值是 ▲． 7．已知某学生准备利用暑假时间到北京研学旅游，其乘火车、汽车、飞机去的概率分别为0.5，0.2，0.3，则这名学生不乘汽车的概率为 ▲．8．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，若(2)(0)(3)2f f f -++=，则(2)(3)f f -的值是 ▲． 9．为了了解某校高二年级300名男生的健康状况，随机抽测了其中50 名学生的身高（单位：cm ），所得数据均在区间[155,185]上，其频率分布直方图（部分图形）如图所示，则估计该校高二年级身高在180 cm 以上的男生人数为 ▲．10．已知某市2016年6月26日到6月30日的最高气温依次为28 C ︒，29 C ︒，25 C ︒，25 C ︒，28 C ︒，那么这5天最高气温的方差为 ▲．（单位：2(C)︒） 11．已知定义在R 上的函数3()21f x x x =-+，若方程()10f x a x --=恰有4个互不相等的实数根，则所有满足条件的实数a 组成的集合为 ▲．12．已知0a >，函数322114, 1,323()1(1)ln , 1,2a x x ax x f x a x x ax x -⎧-++-≤⎪⎪=⎨⎪-+->⎪⎩若()f x 在区间(,2)a a -上单调递增，则实数a 的取值范围是 ▲．二、解答题（本大题共8小题，共100分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 13．（本小题满分12分）已知集合}{13A x x =≤≤，}{1B x =≥. （1）求A B I ；（2）若A B I 是集合{}x x a ≥的子集，求实数a 的取值范围．14．（本小题满分12分）一根直木棍长为6 m ，现将其锯为2段．（1）若两段木棍的长度均为正整数，求恰有一段长度为2 m 的概率；（2）求锯成的两段木棍的长度均大于2 m 的概率．15．（本小题满分12分）已知:p 11x -≤≤， :q e x a b ≤≤，其中a ，b 为实数．（1）若p 是q 的充要条件，求ab 的值；（2）若1a =，2e b =，且p ，q 中恰有一个为真命题，求实数x 的范围．16．（本小题满分12分）（1）求lg4lg50lg2+-的值；（2）若实数a ，b 满足2361log 2log log ()a b a b +=+=+，求11a b+的值．17．（本小题满分12分）已知1是函数3()3f x ax x =-的一个极值点，其中a 为实数．（1）求实数a 的值；（2）求函数()f x 在区间[2,2]-上的最大值．18．（本小题满分12分）某公司科技小组研发一个新项目，预计能获得不少于1万元且不多于5万元的投资收益，公司拟对研发小组实施奖励，奖励金额y （单位：万元）和投资收益x （单位：万元）近似满足函数()y f x =，奖励方案满足如下两个标准：①()f x 为单调递增函数，②0()f x kx ≤≤，其中0k >．（1）若12k =，试判断函数()f x =是否符合奖励方案，并说明理由；（2）若函数()ln f x x =符合奖励方案，求实数k 的最小值．19.（本题满分14分）已知函数2()f x x ax =-，x ∈R ，其中0a >．（1）若函数()f x 在R 上的最小值是1-，求实数a 的值；（2）若存在两个不同的点(,)m n ，(,)n m 同时在曲线()f x 上，求实数a 的取值范围．20．（本小题满分14分）已知函数()e ln x f x a x b =-+，0x >，其中0a >，b ∈R ．（1）若1a b ==，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）证明：存在唯一的正实数0x ，使函数()f x 在0x 处取得极小值；（3）若0a b +=，且函数()f x 有2个互不相同的零点，求实数a 的取值范围．2016～2017学年度第二学期期末考试高二数学（文科）答案一、填空题1．}{1,0,1,2- 2．[1,1]- 3．x ∃∈R ，21x < 4．9 5．92 6．35 7．0.8 8．2- 9．30 10．14511．51,4⎧⎫⎨⎬⎭⎩ 12．10(0,]9二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）13．解：（1）∵{ 1 }B x =，∴{ 2 }B x x =≥， …………3分∵{ 1 3 }A x x =≤≤，∴{ 2 3 }A B x x =≤≤I ． …………7分（2）由（１）得：{ 2 3 }A B x x =≤≤I ， ∴集合{ 2 3 }x x ≤≤是集合{}x x a ≥的子集，∴2a ≤． …………12分 14．解：（1）∵两段木棍的长度均为正整数，∴两段木棍的长度分别为1 m 和5 m ，2 m 和4 m ，3 m 和3 m ，4 m 和2 m ，5 m 和1 m ，共计5种可能的情况， …………2分其中恰有一段长度为2 m 的情况共计2种， …………4分记“若两段木棍的长度均为正整数，恰有一段长度为2 m ”为事件A ， ∴2()5P A =， …………6分答：若两段木棍的长度均为正整数，恰有一段长度为2 m 的概率为25． …………7分（2）记“锯成的两段木棍的长度均大于2 m ”为事件B ， ∴21()63P B ==， …………11分答：锯成的两段木棍的长度均大于2 m 的概率为13． …………12分15．解：（1）∵:p 11x -≤≤，且p 是q 的充要条件，∴q 等价于11e e e x -≤≤， …………3分 ∴1e a -=，1e b =，∴1ab =． …………6分（2）由题意得:q 21e e x ≤≤，即:q 02x ≤≤，∵p ，q 中恰有一个为真命题， …………7分当p 真，q 假时，∴11, 02,x x x -≤≤⎧⎨<>⎩或即10x -≤<， …………9分当p 假，q 真时，∴11, 02, x x x <->⎧⎨≤≤⎩或即12x <≤， (11)分综上所述：实数x 的范围为[1,0)(1,2]-U ． …………12分16．解：（1）原式=2lg2lg51lg22++-=， …………6分（2）设2361log 2log log ()a b a b k +=+=+=， ∴122,3,6k k k a b a b --==+=，∴121161823k k k a b a b ab --++===⋅． …………12分17．解：（1）∵3()3f x ax x =-，∴2()33f x ax '=-， …………2分 ∵1是函数3()3f x ax x =-的一个极值点，∴(1)0f '=， …………3分 ∴330a -=，∴1a =， …………5分当1a =时，2()333(1)(1)f x x x x '=-=-+，满足题意． …………6分（2）由（1）得：2()333(1)(1)f x x x x '=-=-+，令()0f x '=，∴11x =-，21x =， …………8分10分∵(1)2f -=，(2)2f =，∴()f x 在区间[2,2]-上的最大值是2． …………12分18．解：（1）∵()f x =， ∴()0f x '=>，∴函数()f x =[1,5]上的单调递增函数，满足标准①， …………2分当[1,4)x ∈时，1()2f x x x ==>，不满足标准②，综上所述：()f x 不符合奖励方案． …………4分（2）∵函数()ln f x x =符合奖励标准， ∴()f x kx ≤，即ln x kx ≤， ∴ln xk x≥， …………6分 ∴设ln ()xg x x=，[1,5]x ∈， ∴21ln ()xg x x -'=，令()0g x '=，∴x e =，…………8分∴ln ()x g x x =的极大值是1(e)eg =，且为最大值， ∴1ek ≥， …………10分又∵函数()ln f x x =，[1,5]x ∈， ∴1()0f x x'=>，∴函数()f x 在区间[1,5]上单调递增，满足标准①，∵[1,5]x ∈，∴()ln 0f x x =≥，综上所述：实数k 的最小值是1e． (12)分19．解：（1）∵22()()24a a f x x ax x =-=--，x ∈R ，∴当2ax =时，2min ()14a f x =-=-， (2)分∵0a >，∴2a =． …………4分（2）∵(,)m n ，(,)n m 同时在函数()f x 的图象上，∴22,,m am n n an m ⎧-=⎨-=⎩ (6)分∴22()()m n a m n n m ---=-， …………7分 ∵m n ≠，∴1m n a +-=-，且12a m -≠， ∴1n a m =--， …………9分∴21m am a m -=--，∴方程2(1)10m a m a +-+-=有解，12a m -≠， …………11分∴2(1)4(1)0a a ---≥，且211()(1)()1022a a a a --+-+-≠ ∴14a -≥或10a -≤，且3,1a ≠-， …………13分 ∵0a >，∴1a >． …………14分（注：若没有考虑12a m -≠，得到1a ≥，扣2分） 20．解：∵()e ln x f x a x b =-+， ∴()e x a f x x'=-，（1）∵1a b ==，∴()e ln 1x f x x =-+，1()e x f x x'=-， …………2分∴切点为(1,(1))f ，即(1,e 1)+，切线的斜率为(1)f '，即切线的斜率为e 1-， ∴函数()f x 在1x =处的切线方程为(e 1)(e 1)(1)y x -+=--，即(e 1)2y x =-+． …………4分（2）令()0f x '=，得e 0x x a -=，设()e x h x x a =-，0x >，∴()(1)e 0x h x x '=+>，∴()h x 在区间(0,)+∞上单调递增， ∵(0)0h a =-<，()(e 1)0a h a a =->，∴(0)()0h h a <，且()h x 在区间(0,)+∞上的图象不间断，∴存在唯一的0(0,)x a ∈，使0()0h x =， …………6分 ∴存在唯一的0(0,)x ∈+∞，使函数()f x 在处取得极小x x =值． …………8分（3）∵0a b +=，∴()e ln xf x a x a =--，0x >， ∴e ()e x xa x af x x x-'=-=，由（2）可得：函数()f x 的极小值为0()f x ，且00e 0x x a -=， ∴0000000()e ln e (1ln )x x f x a x a x x x =--=--，设()1ln r x x x x =--，0x >，∴()ln 2r x x '=--，∴当20e x -<<时，()0r x '>，当2e x ->时，()0r x '<， …………10分由（2）可得：函数()e x h x x a =-在区间(0,)+∞上单调递增，（ⅰ）当0e a <≤时，∵00e x a x e =≤，∴0()(1)h x h ≤，∴001x <≤， ∴00000()e [(1)(ln )]0x f x x x x =-->，∴当0x >，()0f x >，无零点， …………12分（ⅱ）当e a >时，∵00e e x a x =>，∴0()(1)h x h >，∴01x >， ∵()1ln r x x x x =--在区间(1,)+∞上单调递减， ∴0()(1)0r x r <=， ∴000()e ()0x f x r x =<，∵1111()e ln e (ln 1)0aa f a a a a a a =--=+->，其中010x a<<，∴01()()0f f x a<，且函数()f x 在区间上0(0,)x 单调递减，图象不间断，∴()f x 在区间上0(0,)x 上有唯一的零点，又∵()e ln a f a a a a =--，e a >，设()e ln a t a a a a =--，e a >，∴()e ln 2a t a a '=--， ∵e 11(e ln 2)e e 0ea a a a '--=->->，∴()e ln 2at a a '=--在区间(e,)+∞上单调递增， ∴e ()(e)e 30t a t ''>=->，∴()e ln a t a a a a =--在区间(e,)+∞上单调递增， ∴e ()(e)e 20t a t e >=->，即()0f a >，又∵000e x a x x =>，∵0()()0f x f a <，且函数()f x 在区间上0(,)x +∞单调递增，图象不间断， ∴()f x 在区间上0(,)x +∞上有唯一的零点，综上所述：函数()f x 有2个互不相同的零点时，实数a 的取值范围为(e,)+∞．……16分。

江苏省泰州市兴化舍陈高级中学高二数学文期末试卷含解析

江苏省泰州市兴化舍陈高级中学高二数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知两点，向量若，则实数k的值为（）A．-2 B．-1 C．1 D．2参考答案：B2. 有一排7只发光二极管，每只二极管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有3只二极管点亮，但相邻的两只二极管不能同时点亮，根据这三只点亮的二极管的不同位置或不同颜色来表示不同的信息，则这排二极管能表示的不同信息种数是（）A．80 B．48 C．60D．56参考答案：A略3. 用数学归纳法证明1＋＋＋…＋＝-(≠1，n∈N*)，在验证n＝1成立时，左边的项是( )A．1 B．1＋ C．1＋＋ D．1＋＋+参考答案：C4. 抛物线上两点、关于直线对称，且，则等于（）A． B． C． D．参考答案：A略5. 已知直线，直线平面，有下列四个命题：①，②l∥m，③l∥m，④∥，其中正确命题的序号是（A）①和②（B）③和④（C）②和④（D）①和③ 参考答案：D6. 已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点距离为（）A. B. C. D.参考答案：D7. 若复数(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)是虚数，则实数m满足（）A.m≠－1 ；B.m≠6 ；C. m≠－1或m≠6；D. m≠－1且m≠6参考答案：C8. 已知集合，，下列选项成立的是（）A. B. C. D.参考答案：C略9. 已知命题：，，那么命题为( )A.，B.，C.，D.，参考答案： C10. 设等差数列的前n 项和为，若，，，则( )A ．3B ．4C ．5D ．6参考答案：C 略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知圆和点则过点P 的圆的最短弦所在直线的方程是参考答案：12. 若直线被两平行线所截得的线段的长为，则该直线的倾斜角可以是： ①②③④⑤其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）参考答案：①⑤13. 甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是团支书，一位是学习委员，已知丙比学习委员的年龄大，甲与团支书的年龄不同，团支书比乙的年龄小，据此推断班长是_______．参考答案：乙【分析】推导出丙是团支书，年龄从大到小是乙丙团支书，由此得到乙不是学委，故乙是班长．【详解】根据甲与团支书的年龄不同，团支书比乙年龄小，得到丙是团支书，丙的年龄比学委的大，甲与团支书的年龄不同，团支书比乙年龄小，得到年龄从大到小是乙丙学委，由此得到乙不是学委，故乙是班长．故答案为：乙．【点睛】本题考查简单推理的应用，考查合情推理等基础知识，是基础题．14. 若函数是函数的反函数，则。

2020年江苏省泰州市数学高二下期末检测试题含解析

2020年江苏省泰州市数学高二(下)期末检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题，每人均有23的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，甲解答不正确的概率（） A ．1320B ．920C ．15D ．1202．若存在实数a ，b ，使不等式24ln 22e x ax b x ≤+≤+对一切正数x 都成立（其中e 为自然对数的底数），则实数a 的最小值是（）. A ．2eB ．4C ．eD ．23．给定下列两个命题：①“p q ∧”为真是“p q ∨”为真的充分不必要条件；②“x R ∀∈，都有0x e x +>”的否定是“0x R ∃∈，使得000xe x +≤”，其中说法正确的是（） A ．①真②假B ．①假②真C ．①和②都为假D ．①和②都为真4．已知，是单位向量，且，向量与，共面，，则数量积=（） A ．定值－1B ．定值1C ．最大值1，最小值－1D ．最大值0，最小值－15．已知~(10,4)Z N ，则()6P Z <≈ （）附：若()2,X N μσ:，则()0.6826P X μσμσ-<<+≈，(22)0.9544P X μσμσ-<<+≈A ．0.3174B ．0.1587C ．0.0456D ．0.02286．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60︒的共有（） A ．24对B ．30对C ．48对D ．60对7．已知幂函数()()22322n nf x n n x-=+- ()n Z ∈的图象关于y 轴对称，且在()0,+∞上是减函数，则n =（） A ．3--B ．1或2C ．1D ．28．已知曲线42:1C x y +=，给出下列命题：①曲线C 关于x 轴对称；②曲线C 关于y 轴对称；③曲线C 关于原点对称；④曲线C 关于直线y x =对称；⑤曲线C 关于直线y x =-对称，其中正确命题的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．49．若复数z 满足2z i z i ++-=，则复数z 在复平面上所对应的图形是（）A ．椭圆B ．双曲线C ．直线D ．线段10．在一个袋子中装有12个除颜色外其他均相同的小球，其中有红球6个、白球4个、黄球2个，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸3次，则记下的颜色中有红有黄但没有白的概率为（） A ．13B ．14C ．16D ．1811．已知直线l 与抛物线24x y =交于A 、B 两点，若四边形OAMB 为矩形，记直线OM 的斜率为k ，则k 的最小值为（）．A ．4B ．C ．2D12．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（） A ．若//,//m n αβ，且//αβ，则//m n B ．若,m αβα⊥⊥，则//m β C ．若,m n αβ⊥⊥，αβ⊥，则m n ⊥ D ．若//,m n αβ⊥，且αβ⊥，则//m n二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．已知随机变量1~6,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()E X 的值为__________． 14．二项式51(2)x x-的展开式中含3x 项的系数为____15．已知球O 的半径为1，A 、B 是球面上的两点，且AB =P 是球面上任意一点，则PA PB ⋅u u u v u u u v的取值范围是__________． 16．在极坐标系中A(2,)3π-，2B(4,)3π两点间的距离______. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知函数()()ln ,f x x ax b a b R =--∈.（1）若函数()f x 的图象在1x =处的切线过点()2,0，求2a b +的值；（2）当0b =时，函数()y f x =在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上没有零点，求实数a 的取值范围；（3）当0a >时，存在实数()1212,x x x x ≠使得()()12f x f x =，求证：1202x x f +⎛⎫'<⎪⎝⎭. 18．某有机水果种植基地试验种植的某水果在售卖前要成箱包装，每箱80个，每一箱水果在交付顾客之前要按约定标准对水果作检测，如检测出不合格品，则更换为合格品．检测时，先从这一箱水果中任取10个作检测，再根据检测结果决定是否对余下的所有水果作检测．设每个水果为不合格品的概率都为()01p p <<，且各个水果是否为不合格品相互独立．(Ⅰ)记10个水果中恰有2个不合格品的概率为()f p ，求()f p 取最大值时p 的值0p ；(Ⅱ)现对一箱水果检验了10个，结果恰有2个不合格，以(Ⅰ)中确定的0p 作为p 的值．已知每个水果的检测费用为1.5元，若有不合格水果进入顾客手中，则种植基地要对每个不合格水果支付a 元的赔偿费用()*a N ∈．(ⅰ)若不对该箱余下的水果作检验，这一箱水果的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ；(ⅱ)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，当种植基地要对每个不合格水果支付的赔偿费用至少为多少元时，将促使种植基地对这箱余下的所有水果作检验？19．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，对于点00(,)P x y 、直线:0l ax by c ++=，我们称δ=为点00(,)P x y 到直线:0l ax by c ++=的方向距离.（1）设双曲线2214x y -=上的任意一点(,)P x y 到直线1:20l x y -=，2:20l x y +=的方向距离分别为12,δδ，求12δδ的值；（2）设点(,0)(,0)E t F t -、、到直线:cos 2sin 20l x y αα+-=的方向距离分别为12,ηη，试问是否存在实数t ，对任意的α都有121ηη=成立？说明理由；（3）已知直线:0l mx y n -+=和椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，设椭圆E 的两个焦点12F F 、到直线l 的方向距离分别为12λλ、满足212b λλ>，且直线l 与x 轴的交点为A 、与y 轴的交点为B ，试比较||AB 的长与+a b 的大小.20．（6分）在极坐标系中，曲线1C ：2sin 4cos ρθθ=，以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系xoy ，曲线2C的参数方程为122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.（1）求1C 、2C 的直角坐标方程；（2）若曲线1C 与曲线2C 交于A 、B 两点，且定点P 的坐标为()2,0，求PA PB ⋅的值.21．（6分）如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，//EF AB ，90BAF ∠=︒，2AD =，1AB AF ==，点P 在线段DF 上.（1）求证：AF ⊥平面ABCD ；（2）若二面角D AP C --的余弦值为63，求PF 的长度. 22．（8分）已知函数()()ln sin 1f x x x =--，()f x '为()f x 的导函数.证明：（1）()f x '在区间()0,2存在唯一极小值点；（2）()f x 有且仅有2个零点.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．C 【解析】【分析】记“三人中至少有两人解答正确”为事件A ；“甲解答不正确”为事件B ，利用二项分布的知识计算出()P A ，再计算出()P AB ，结合条件概率公式求得结果.【详解】记“三人中至少有两人解答正确”为事件A ；“甲解答不正确”为事件B则()2323332122033327P A C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；()122433327P AB =⨯⨯= ()()()15P AB P B A P A ∴== 本题正确选项：C 【点睛】本题考查条件概率的求解问题，涉及到利用二项分布公式求解概率的问题. 2．B【解析】【分析】分别画出()4f x elnx =和2()22g x x =+的图象，依题意存在实数a ，b ，使不等式24ln 22e x ax b x ≤+≤+对一切正数x 都成立，要求参数a 的最小值，临界条件即为直线l ：y ax b =+恰为函数()4f x elnx =和2()22g x x =+的公切线，设函数2()22g x x =+上的切点()00,A x y ，则04a x =，即转化为求0x ，设函数()4f x elnx =的切点为()11,B x y ，表示出切线方程，即可得到方程组，整理得到2002ln 10x e x --=，令()20002ln 1g x x e x =--，求出令0x 即可得解；【详解】解：分别画出()4f x elnx =和2()22g x x =+的图象，依题意存在实数a ，b ，使不等式24ln 22e x ax b x ≤+≤+对一切正数x 都成立，要求参数a 的最小值，临界条件即为直线l ：y ax b =+恰为函数()4f x elnx =和2()22g x x =+的公切线，设函数2()22g x x =+上的切点()00,A x y ，()00x >，()4g x x '=，所以04a x =，所以切线方程为()()2000224y x x x x -+=-，整理得200422y x x x =-+，同时直线l 也是函数()4f x elnx =的切线，设切点为()11,B x y ，所以切线方程为()11144ln ey e x x x x -=-，整理得11444ln ey x e e x x =-+，所以01201442244ln e x x x e e x⎧=⎪⎨⎪-+=-+⎩，整理得200122ln e x e e x ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭，即2002ln 10x e x --=，令()20002ln 1g x x e x =--，则()(00000222x xe g x x x x +'=-=，所以()0g x在(上单调递减，在)+∞上单调递增，故()0min 10g x g==-<，显然()10g =，故当01x =时044a x ==取得最小值，即实数a 的最小值为4，故选：B ．【点睛】本题考查利用导数分析恒成立问题，两曲线的公切线问题，属于中档题． 3．D 【解析】【分析】由充分条件和必要条件的定义对①进行判断，由全称命题的否定是特称命题对②进行判断，从而得到答案。

2023-2024学年江苏省泰州市高二下学期6月期末考试数学试题(含答案)

2023-2024学年江苏省泰州市高二下学期6月期末考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设m是实数，已知a=(2,2m−1,1)，b=(4,3m−5,2)，若a//b，则m的值为A. −6B. −3C. 3D. 62.对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是( )A. r1<r4<0<r3<r2B. r4<r1<0<r3<r2C. r4<r2<0<r3<r1D. r2<r4<0<r1<r33.学校安排3位教师任教6个班级，每位教师任教2个班，则不同的安排方法的总数为A. 15B. 90C. 120D. 5404.抛掷一颗质地均匀的骰子一次，设X表示结果向上的点数，则X的方差为A. 0B. 1056C. 72D. 35125.若某银行储蓄卡的密码由6位数字组成．某人在银行自助取款机上输入密码时，忘记了密码的最后1位数字，如果某人记得密码的最后1位是偶数，那么这个人不超过2次就输对密码的概率为A. 15B. 14C. 25D. 5126.已知(1−x)n的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数的最小值为A. −126B. −84C. −56D. −357.已知20条试题中有8条选择题，甲无放回地依次从中抽取5条题，乙有放回地依次从中抽取5条题，甲、乙每次均抽取一条试题，抽出的5条题中选择题的条数分别为ξ1，ξ2，ξ1，ξ2的期望分别为E(ξ1)，E(ξ2)，方差分别为D(ξ1)，D(ξ2)，则A. E(ξ1)=E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2)B. E(ξ1)=E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)C. E(ξ1)<E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2)D. E(ξ1)<E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)8.在空间直角坐标系中，已知点A(1,1,1)，B(0,2,0)，D(−1,−1,5)，若点D到平面ABC的距离为14，则点C 的坐标可以是A. (2,3,−1)B. (2,−3,1)C. (−2,3,1)D. (2,3,1)二、多选题：本题共3小题，共15分。

2021学年江苏省泰州市高二(下)期末数学综合复习试卷(1)(文科)(有答案)

2021学年江苏省泰州市高二（下）期末数学综合复习试卷（1）（文科）一、填空题1. 已知集合A ={1, 2, 3}，B ={x|x <3}，则A ∩B =________．2. 命题“∀x ∈[1, 2]，x 2<4”的否定是________．3. 设0≤x ≤2，则函数f(x)=√x(8−2x)的值域为________．4. 设p:x >2或x ≤−5；q:x+52−x <0，则非q 是非p 的________条件．5. 设i 是虚数单位，若复数z 满足z1+i =2−3i ，则复数z 的虚部为________．6. 设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)=x 2+2xf′ （1），则f′（2）=________．7. 曲线y =x 3−x 2在点P(2, 4)处的切线方程为________．8. 设函数f(x)是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0, 1]时，f(x)=x +1，则f(32)=________．9. 已知O 是坐标原点，点A(−1, 1)．若点M(x, y)为平面区域{x +y ≥2x ≤1y ≤2 上的一个动点，则OA →⋅OM →的取值范围是________．10. 若函数f(x)=x 3−6bx +3b 在(0, 1)内有极小值，则实数b 的取值范围是________．11. 已知函数f(x)=ln (x −a)（a 为常数）在区间(1, +∞)上是增函数，则a 的取值范围12. 若存在x∈[2, +∞)，使不等式1+axx⋅2x≥1成立，则实数a的最小值为________．13. 已知函数y=1x 的图象的对称中心为(0, 0)，函数y=1x+1x+1的图象的对称中心为(−12，0)，函数y=1x+1x+1+1x+2的图象的对称中心为(−1, 0)，…，由此推测，函数y=1x +1x+1+1x+2+⋯+1x+n的图象的对称中心为________．14. 若△ABC的内角满足sin A+√2sin B=2sin C，则cos C的最小值是________．二、解答题已知集合A={x|1−xx−7>0}，B={x|x2−2x−a2−2a<0}．(1)当a=4时，求A∩B；(2)若A⊆B，求实数a的取值范围．设命题p：函数y=lg(ax2−x+a)的定义域为R．命题q：函数y=lg(x2−ax+1)的值域为R．如果命题“p或q”为真命题，命题“p且q”为假命题，求实数a的范围．二次函数f(x)满足f(x+1)−f(x)=2x，且f(0)=1．(1)求f(x)的解析式；(2)在区间[−1, 1]上，y=f(x)的图象恒在y=2x+m的图象上方，试确定实数m的范围．已知函数f(x)=14x4+13ax3−a2x2+a4(a>0).(1)求函数y=f(x)的单调区间；(2)若函数y=f(x)的图象与直线y=1恰有两个交点，求a的取值范围．如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路l（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标≤系，若池边AE满足函数y=−x2+2(0≤x≤√2)的图象，且点M到边OA距离为t(23 )．t≤43(1)当t=2时，求直路l所在的直线方程；3(2)当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？，x∈[0,2]．已知函数f(x)=4x3x2+3（1）求f(x)的值域；ax3−a2x，x∈[0, 2]．若对任意x1∈[0, 2]，总存在（2）设a≠0，函数g(x)=13x2∈[0, 2]，使f(x1)−g(x2)=0．求实数a的取值范围．参考答案与试题解析2021学年江苏省泰州市高二（下）期末数学综合复习试卷（1）（文科）一、填空题1.【答案】{1, 2}【考点】交集及其运算【解析】直接根据两个集合的交集的定义求得A∩B．【解答】解：∵已知集合A={1, 2, 3}，B={x|x<3}，则A∩B={1, 2}，故答案为{1, 2}．2.【答案】∃x∈[1, 2]，x2≥4【考点】全称命题与特称命题命题的否定【解析】直接依据全称命题的否定写出即可．【解答】解：命题“∀x∈[1, 2]，x2<4”是个全称命题，否定是∃x∈[1, 2]，x2≥4，故答案为：∃x∈[1, 2]，x2≥43.【答案】[0, 2√2]【考点】函数的值域及其求法【解析】设t=x(8−2x)，0≤x≤2，由二次函数的知识可得t的范围，进而可得答案．【解答】解：设t=x(8−2x)=−2x2+8x=−2(x−2)2+8，0≤x≤2，由二次函数的知识可知函数t在[0, 2]单调递增，∴0≤t≤8，∴0≤√t≤2√2，∴当0≤x≤2时，函数f(x)=√x(8−2x)的值域为[0, 2√2]故答案为：[0, 2√2]4.【答案】【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】先求出非q和p，然后根据非p的取值范围和q的取值范围来确定非q与p的相互关系．【解答】解：∵p:x>2或x≤−5，∴非q:−5<x≤2，∵q:x+52−x<0，即q:−5<x<2，∴非q是p的必要不充分条件．故答案为：必要不充分5.【答案】−1【考点】复数代数形式的乘除运算复数的基本概念【解析】利用复数的运算法则和虚部的意义即可得出．【解答】解：∵复数z满足z1+i =2−3i，∴z(1−i)(1+i)(1−i)=2−3i，化为z(1−i)(1+i)=2(2−3i)(1+i)，∴z=5−i，故复数z的虚部为−1．故答案为−1．6.【答案】【考点】导数的运算函数的求值【解析】先对f(x)=x2+2xf′(1)两边求导，然后代入x=1得f′(1)，从而得到f′(x)，进而求得答案．【解答】解：∵f(x)=x2+2xf′(1)，∴f′(x)=2x+2f′(1)，令x=1，得f′(1)=2+2f′(1)，解得f′(1)=−2，则f′(x)=2x−4，所以f′（2）=2×2−4=0，7.8x −y −12=0 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】由求导公式和法则求出导数，再把x =2代入求出切线的斜率，再代入点斜式方程化为一般式即可．【解答】解：由题意得，y′=3x 2−2x ，则点P(2, 4)处的切线斜率k =12−4=8，∴ 点P(2, 4)处的切线方程是：y −4=8(x −2)，即8x −y −12=0，故答案为：8x −y −12=0． 8. 【答案】 32【考点】函数的周期性函数的求值【解析】利用函数的周期性先把f(32)转化成f(−12)，再利用函数f(x)是定义在R 上的偶函数转化成f(12)，代入已知求解即可．【解答】解：∵ 函数f(x)是定义在R 上的周期为2的函数， ∴ f(32)=f(−12+2)=f(−12)，又∵ 函数f(x)是定义在R 上的偶函数， ∴ f(−12)=f(12)，又∵ 当x ∈[0, 1]时，f(x)=x +1， ∴ f(12)=12+1=32，则f(32)=32．故答案为：32．9.【答案】 [0, 2] 【考点】简单线性规划平面向量数量积坐标表示的应用【解析】先画出满足约束条件{x +y ≥2x ≤1y ≤2 的平面区域，求出平面区域的角点后，逐一代入OA →⋅OM →分析比较后，即可得到OA →⋅OM →的取值范围．【解答】满足约束条件{x +y ≥2x ≤1y ≤2 的平面区域如下图所示：将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式当x ＝1，y ＝1时，OA →⋅OM →=−1×1+1×1＝0 当x ＝1，y ＝2时，OA →⋅OM →=−1×1+1×2＝1 当x ＝0，y ＝2时，OA →⋅OM →=−1×0+1×2＝2 故OA →⋅OM →和取值范围为[0, 2] 10. 【答案】(0,12) 【考点】函数在某点取得极值的条件【解析】由题意知，f ′ (0)<0，f′(1)>0，解不等式组求得实数b 的取值范围．【解答】解：由题意得，函数f(x)=x 3−6bx +3b 的导函数为 f ′ (x)=3x 2−6b 且f ′(x)在(0, 1)内有零点，又f ′(x)在(0,1)上单调递增， ∴ f ′ (0)<0，f ′(1)>0，解得0<b <12，故答案为：(0,12)． 11.【答案】 (−∞, 1] 【考点】对数函数的单调性与特殊点【解析】由条件根据对数函数的定义域可得1−a ≥0，由此求得a 的范围．【解答】解：由于函数f(x)=ln (x −a)（a 为常数）在区间(1, +∞)上是增函数，则1−a ≥0，求得a ≤1，故答案为(−∞, 1]．72【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用其他不等式的解法【解析】依题意知，a ≤2x −1x ，构造函数y =2x −1x ，通过导数法可判断y =2x −1x 在[2, +∞)上是增函数，从而可求y min ，继而可得实数a 的最小值．【解答】解：∵ 存在x ∈[2, +∞)，使不等式1+ax x⋅2x≥1成立，∴ 1+ax ≥x ⋅2x ，即a ≥2x −1x ，令y =2x −1x ，则y′=2x ln 2+1x 2>0，∴ y =2x −1x ，在[2, +∞)上是增函数，∴ 当x =2时，y 取得最小值，y min =22−12=72， ∴ a ≥72，即实数a 的最小值为72．故答案为：72．13. 【答案】 (−n2，0) 【考点】归纳推理【解析】题中所涉及的函数的对称中心的横坐标依次为0，−12，−1，…，即0，−12，−22，…，此数列通项公式易求．【解答】解：题中所涉及的函数的对称中心的横坐标依次为0，−12，−1，…，即0，−12，−22，…，由此推测，函数y =1x +1x+1+1x+2+⋯+1x+n 的图象的对称中心为(−n2，0) 故答案为：(−n2，0)√6−√24【考点】正弦定理余弦定理【解析】此题暂无解析【解答】由已知sin A +√2sin B =2sin C 及正弦定理可得a +√2b =2c,cos C =a 2+b 2−c 22ab=a 2+b 2−(a+√2b 2)22ab=3a 2+2b 2−2√2ab8ab≥2√6ab−2√2ab8ab=√6−√24，当且仅当3a 2=2b 2即a b=√2√3时等号成立，所以cos C 的最小值为√6−√24．二、解答题【答案】解：(1)A ={x|1<x <7}，当a =4时，B ={x|x 2−2x −24<0}={x|−4<x <6}, ∴ A ∩B ={x|1<x <6}(2)B ={x|(x +a)(x −a −2)<0}①当a =−1时，∵ B =⌀，∴ A ⊆B 不成立；②当a +2>−a ，即a >−1时，B =(−a, a +2)，∵ A ⊆B ，∴ {−a ≤1a +2≥7，解得a ≥5；③当a +2<−a ，即a <−1时，B =(a +2, −a)，∵ A ⊆B ，∴ {a +2≤1−a ≥7解得a ≤−7；综上，当A ⊆B ，实数a 的取值范围是(−∞, −7]∪[5, +∞)．【考点】其他不等式的解法交集及其运算集合的包含关系判断及应用【解析】(1)先化简集合，即解分式不等式1−x x−7>0和一元二次不等式x 2−2x −24<0，再求交集.(2)先把x 2−2x −a 2−2a <0转化为|(x +a)(x −a −2)<0形式，再−a 和a +2进行讨论，确定集合B 后，再由A ⊆B 求解．【解答】解：(1)A ={x|1<x <7}，当a =4时，B ={x|x 2−2x −24<0}={x|−4<x <6}， ∴ A ∩B ={x|1<x <6}(2)B ={x|(x +a)(x −a −2)<0}①当a =−1时，∵ B =⌀，∴ A ⊆B 不成立；②当a +2>−a ，即a >−1时，B =(−a, a +2)，∵ A ⊆B ，∴ {−a ≤1a +2≥7，解得a ≥5；③当a +2<−a ，即a <−1时，B =(a +2, −a)，∵ A ⊆B ，∴ {a +2≤1−a ≥7解得a ≤−7；综上，当A ⊆B ，实数a 的取值范围是(−∞, −7]∪[5, +∞)．【答案】解：若p 真，则{a >0(−1)2−4a 2<0，解得a >12．若q 真，则(−a)2−4≥0，解得a ≤−2或者a ≥2．因为命题“p 或q ”为真命题，命题“p 且q ”为假命题，所以命题p 和q 有且仅有一个为真．所以实数a 范围为：a ≤−2或12<a <2．【考点】命题的真假判断与应用【解析】命题p 真则真数大于0恒成立⇔开口向上；判别式小于0；求出a 的范围；命题q 真则真数的值域包含所有的正实数⇔判别式大于0求出a 的范围；据p 且q 为假命题⇔命题p 和q 有且仅有一个为真．求出a 的范围【解答】解：若p 真，则{a >0(−1)2−4a 2<0，解得a >12．若q 真，则(−a)2−4≥0，解得a ≤−2或者a ≥2．因为命题“p 或q ”为真命题，命题“p 且q ”为假命题，所以命题p 和q 有且仅有一个为真．所以实数a 范围为：a ≤−2或12<a <2．【答案】解：(1)设f(x)=ax 2+bx +c ，由f(0)=1得c =1，故f(x)=ax 2+bx +1．因为f(x +1)−f(x)=2x ，所以a(x +1)2+b(x +1)+1−(ax 2+bx +1)=2x ．即2ax +a +b =2x ，所以{2a =2a +b =0，所以{a =1,b =−1,所以f(x)=x 2−x +1.(2)由题意得x 2−x +1>2x +m 在[−1, 1]上恒成立，即x 2−3x +1−m >0在[−1, 1]上恒成立．设g(x)=x 2−3x +1−m ，其图象的对称轴为直线x =32，所以g(x)在[−1, 1]上递减．故只需g(1)>0，即12−3×1+1−m >0，【考点】二次函数的性质函数的零点与方程根的关系【解析】(1)先设f(x)=ax2+bx+c，在利用f(0)=1求c，再利用两方程相等对应项系数相等求a，b即可．（2）转化为x2−3x+1−m>0在[−1, 1]上恒成立问题，找其在[−1, 1]上的最小值让其大于0即可．【解答】解：(1)设f(x)=ax2+bx+c，由f(0)=1得c=1，故f(x)=ax2+bx+1．因为f(x+1)−f(x)=2x，所以a(x+1)2+b(x+1)+1−(ax2+bx+1)=2x．即2ax+a+b=2x，所以{2a=2a+b=0，所以{a=1,b=−1,所以f(x)=x2−x+1.(2)由题意得x2−x+1>2x+m在[−1, 1]上恒成立，即x2−3x+1−m>0在[−1, 1]上恒成立．设g(x)=x2−3x+1−m，其图象的对称轴为直线x=32，所以g(x)在[−1, 1]上递减．故只需g(1)>0，即12−3×1+1−m>0，解得m<−1．【答案】解：(1)因为f′(x)=x3+ax2−2a2x=x(x+2a)(x−a)，令f′(x)=0得x1=−2a，x2=0，x3=a，由a>0时，f′(x)在f′(x)=0根的左右的符号如表所示：所以f(x)的递增区间为(−2a, 0)与(a, +∞)，f(x)的递减区间为(−∞, −2a)与(0, a).(2)由(1)得到f(x)极小值=f(−2a)=−53a4，f(x)极小值=f(a)=712a4，f(x)极大值=f(0)=a4，要使f(x)的图象与直线y=1恰有两个交点，故只要−53a4<1<712a4或a4<1，即a >√1274或0<a <1．【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性【解析】（1）对函数f(x)求导，根据导数大于0时原函数单调增，导数小于0时原函数单调减可得到答案．（2）求出函数的极值点，根据图象可得答案．【解答】解：(1)因为f ′(x)=x 3+ax 2−2a 2x =x(x +2a)(x −a)，令f ′(x)=0得x 1=−2a ，x 2=0，x 3=a ，由a >0时，f ′(x)在f ′(x)=0根的左右的符号如表所示：所以f(x)的递增区间为(−2a, 0)与(a, +∞)，f(x)的递减区间为(−∞, −2a)与(0, a).(2)由(1)得到f(x)极小值=f(−2a)=−53a 4， f(x)极小值=f(a)=712a 4，f(x)极大值=f(0)=a 4，要使f(x)的图象与直线y =1恰有两个交点，故只要−53a 4<1<712a 4或a 4<1，即a >√1274或0<a <1．【答案】解：(I)∵ y =−x 2+2，∴ y′=−2x ，∴ 过点M(t, −t 2+2)的切线的斜率为−2t ，所以，过点M 的切线方程为y −(−t 2+2)=−2t(x −t)，即y =−2tx +t 2+2，当t =23时，切线l 的方程为y =−43x +229，即当t =23时，直路l 所在的直线方程为12x +9y −22=0；(II)由(I)知，切线l 的方程为y =−2tx +t 2+2，令y =2，得x =t 2，故切线l 与线段AB 交点为F(t 2,2)，令y =0，得x =t 2+1t ，故切线l 与线段OC 交点为(t 2+1t ,0)．地块OABC 在切线l 右上部分为三角形FBG ，如图，则地块OABC 在直路l 不含泳池那侧的面积为S =12(2−t 2−1t +2−t 2)×2=4−t −1t =4−(t +1t )≤2．当且仅当t =1时，取等号． ∴ 当t =100米时，地块OABC 在直路l 不含游泳池那侧的面积最大，最大值为20000平方米．【考点】基本不等式利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】(I)求当t =23时，直路l 所在的直线方程，即求抛物线y =−x 2+2(0≤x ≤√2)在x =23时的切线方程，利用求函数的导函数得到切线的斜率，运用点斜式写切线方程； (II)求出x =t 时的抛物线y =−x 2+2(0≤x ≤√2)的切线方程，进一步求出切线截正方形在直线右上方的长度，利用三角形面积公式写出面积，得到的面积是关于t 的函数，利用导数分析面积函数在(0<t <√2)上的极大值，也就是最大值．【解答】解：(I)∵ y =−x 2+2，∴ y′=−2x ，∴ 过点M(t, −t 2+2)的切线的斜率为−2t ，所以，过点M 的切线方程为y −(−t 2+2)=−2t(x −t)，即y =−2tx +t 2+2，当t =23时，切线l 的方程为y =−43x +229，即当t =23时，直路l 所在的直线方程为12x +9y −22=0；(II)由(I)知，切线l 的方程为y =−2tx +t 2+2，令y =2，得x =t 2，故切线l 与线段AB 交点为F(t2,2)，令y =0，得x =t 2+1t ，故切线l 与线段OC 交点为(t 2+1t ,0)．地块OABC 在切线l 右上部分为三角形FBG ，如图，则地块OABC 在直路l 不含泳池那侧的面积为S =12(2−t 2−1t +2−t 2)×2=4−t −1t =4−(t +1t )≤2．当且仅当t =1时，取等号． ∴ 当t =100米时，地块OABC 在直路l 不含游泳池那侧的面积最大，最大值为20000平方米．【答案】解：（1）对函数f(x)求导，f′(x)=43⋅1−x 2(x 2+1)2．令f ′(x)=0得x =1或x =−1．当x ∈(0, 1)时，f ′(x)>0，f(x)在(0, 1)上单调递增；当x ∈(1, 2)时，f ′(x)<0，f(x)在(1, 2)上单调递减．又f(0)=0,f(1)=23，f(2)=815，所以当x ∈[0, 2]，f(x)的值域是[0,23]；（2）设函数g(x)在[0, 2]上的值域是A ．∵ 对任意x 1∈[0, 2]，总存在x 0∈[0, 2]，使f(x 1)−g(x 0)=0，∴ [0,23]⊆A ．对函数g(x)求导，g ′(x)=ax 2−a 2．①当a <0时，若x ∈(0, 2)，g ′(x)<0，所以函数g(x)在(0, 2)上单调递减． ∵ g(0)=0,g(2)=83a −2a 2<0，∴ 当x ∈[0, 2]时，不满足[0,23]⊆A ；②当a >0时，g′(x)=a(x −√a)(x +√a)．令g ′(x)=0，得x =√a 或x =−√a （舍去）．(I)当x ∈[0, 2]，0<√a <2时，列表：√a)又∵ [0,23]⊆A ，∴ g(2)=83a −2a 2≥23，解得13≤a ≤1．(II)当x ∈(0, 2)，√a ≥2时，g ′(x)<0，∴ 函数在(0, 2)上单调递减，∵ g(0)=0，∴ g(2)=83a −2a 2<0∴ 当x ∈[0, 2]时，不满足[0,23]⊆A ．综上，实数a 的取值范围是[13，1]．【考点】利用导数研究函数的极值函数的值域及其求法【解析】（1）求出f(x)的导函数，令导函数等于求出x 的值，然后由x 的值，分区间讨论导函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到函数的最大值和最小值即可得到f(x)的值域；（2）设函数g(x)在[0, 2]上的值域是A ，根据题意对任意x 1∈[0, 2]，总存在x 2∈[0, 2]，使f(x 1)−g(x 2)=0，得到区间[0, 2]是A 的子集，求出g(x)的导函数，分a 小于0和a 大于0两种情况讨论导函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到函数的最大值和最小值，即可得到函数在相应区间的值域，根据区间[0, 2]是A 的子集判断出符合这一条件的情况，列出关于a 的不等式，求出不等式的解集即可得到满足题意a 的取值范围．【解答】解：（1）对函数f(x)求导，f′(x)=43⋅1−x 2(x 2+1)2．令f ′(x)=0得x =1或x =−1．当x ∈(0, 1)时，f ′(x)>0，f(x)在(0, 1)上单调递增；当x ∈(1, 2)时，f ′(x)<0，f(x)在(1, 2)上单调递减．又f(0)=0,f(1)=23，f(2)=815，所以当x ∈[0, 2]，f(x)的值域是[0,23]；（2）设函数g(x)在[0, 2]上的值域是A ．∵ 对任意x 1∈[0, 2]，总存在x 0∈[0, 2]，使f(x 1)−g(x 0)=0，∴ [0,23]⊆A ．对函数g(x)求导，g ′(x)=ax 2−a 2．①当a <0时，若x ∈(0, 2)，g ′(x)<0，所以函数g(x)在(0, 2)上单调递减． ∵ g(0)=0,g(2)=83a −2a 2<0，∴ 当x ∈[0, 2]时，不满足[0,23]⊆A ； ②当a >0时，g′(x)=a(x −√a)(x +√a)．令g ′(x)=0，得x =√a 或x =−√a （舍去）．(I)当x ∈[0, 2]，0<√a <2时，列表：又∵ [0,23]⊆A ，∴ g(2)=83a −2a 2≥23，解得13≤a ≤1． (II)当x ∈(0, 2)，√a ≥2时，g ′(x)<0，∴ 函数在(0, 2)上单调递减，∵ g(0)=0，∴ g(2)=83a −2a 2<0∴ 当x ∈[0, 2]时，不满足[0,23]⊆A ．综上，实数a 的取值范围是[13，1]．。

2020年江苏省泰州市沈高中学高二数学文下学期期末试卷含解析

2020年江苏省泰州市沈高中学高二数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 将8分为两数之和，使其立方之和最小，则分法为( )A．2和6 B．4和4C．3和5 D．以上都不对参考答案：B2. 正项等比数列｛a n｝与等差数列｛b n｝满足且，则，的大小关系为（）A. =B.＜C.＞D.不确定参考答案：B略3. 已知：，直线和曲线有两个不同的交点，它们围成的平面区域为M，向区域上随机投一点A，点A落在区域M内的概率为，若，则实数m的取值范围为A． B．C． D．参考答案：解析：已知直线过半圆上一点（－２，０），当时，直线与ｘ轴重合，这时ｍ＝０，故可排除A,C,若ｍ＝１，如图可求得当，故选D.4. 已知Ω={（x，y）|}，直线y=mx+2m和曲线y=有两个不同的交点，它们围成的平面区域为M，向区域Ω上随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P（M），若P（M）∈[，1]，则实数m的取值范围（）A．[，1] B．[0，] C．[，1] D．[0，1]参考答案：D【考点】直线和圆的方程的应用．【专题】压轴题．【分析】画出图形，不难发现直线恒过定点（﹣2，0），结合概率范围可知直线与圆的关系，直线以（﹣2，0）点为中心顺时针旋转至与x轴重合，从而确定直线的斜率范围．【解答】解：画出图形，不难发现直线恒过定点（﹣2，0），圆是上半圆，直线过（﹣2，0），（0，2）时，它们围成的平面区域为M，向区域Ω上随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P（M），此时P（M）=，当直线与x轴重合时，P（M）=1；直线的斜率范围是[0，1]．故选D．【点评】本题考查直线与圆的方程的应用，几何概型，直线系，数形结合的数学思想，是好题，难度较大．5. 函数的最小值是（）A． 4 B. 5 C. 6D. 7参考答案：B6. 已知，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．参考答案：C略7. 已知、取值如下表:从所得的散点图分析可知:与线性相关,且,则（）A．1.30 B．1.45 C．1.65 D．1.80参考答案：B 8. 椭圆，为上顶点，为左焦点，为右顶点，且右顶点到直线的距离为，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.参考答案：C9. 在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为.若分别为的最小值、最大值，其中，,则满足.A. B.C. D.参考答案：D略10. 将函数的图象向右平移个单位长度得到图象,若的一个对称中心是，则的一个可能取值是（）[A． B．C． D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在可行域内任取一点，规则如流程图所示，则能输出数对（x，y）的概率是.参考答案：12. 给出下列命题：①命题“若b2－4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”的否命题；②命题“△ABC中，AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题；③命题“若a>b>0，则>>0”的逆否命题；④“若m>1，则mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为R”的逆命题.其中真命题的序号为________.参考答案：①②③略13. 已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽8米。

江苏省泰州市西城中学2022年高二数学文期末试题含解析

江苏省泰州市西城中学2022年高二数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知满足约束条件则的最大值为( )A . B. C.D.参考答案：D2. 在2017年3月15日，某物价部门对本市5家商场某商品一天的销售额及其价格进行调查，5家商场的价格与销售额之间的一组数据如下表所示：价格元(单位：元) 8 9.5 10 10.512销售额(单位：千元)由散点图可知，销售额与价格之间有较好的线性相关关系，且回归直线方程是，则( )A.－24B.35.6C.40D.40.5 参考答案：C3. 如图所示的数阵中，用表示第m行的第n个数，则依此规律为（）A. B. C. D.参考答案：C分析：在数阵中找出规律，每行中除两端数外其余数字等于上一行两数字和详解：由数阵知，，依此类推，故选点睛：本题考查了数列中数阵的规律，找出内在规律是本题关键。

4. 设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，则甲是丁的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要参考答案：A5. 若曲线在点处的切线与平行,则a的值为（）A．-2 B．0 C． 1 D．2参考答案：D6. 若点P是以F1，F2为焦点的椭圆上一点，且tan∠PF1F2＝则此椭圆的离心率e＝（）A、B、C、D、参考答案：A略7. 函数的图象是( )A．B．C．D．参考答案：D【考点】函数的图象．【专题】数形结合．【分析】本题考查的知识点是分段函数图象的性质，及函数图象的作法，由绝对值的含义化简原函数式，再分段画出函数的图象即得．【解答】解：函数可化为：当x＞0时，y=1+x；它的图象是一条过点（0，1）的射线；当x＜0时，y=﹣1+x．它的图象是一条过点（0，﹣1）的射线；对照选项，故选D．【点评】本小题主要考查函数、函数的图象、绝对值的概念等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．8. 在各项均不为零的等差数列中,若,则（）A．B．C．D．参考答案：A略9. 一个球与它的外切圆柱，外切等边圆锥的体积之比为（）Ａ．2:3:5 Ｂ．2:3:4 C．3:5:8 D．4:6:9参考答案：D10. 已知点, 则下列曲线中:①②③④曲线上存在点P,满足|MP|=|NP|的是( )A.①B.②④C.①②③D.①②③④参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若函数图像的一条对称轴为，则实数m的值为参考答案：12. 已知幂函数的图象过点（2，16）和（，m），则m= ．参考答案：【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】计算题；对应思想；待定系数法；函数的性质及应用．【分析】设出幂函数的解析式，用待定系数法求出解析式，再计算m 的值．【解答】解：设幂函数的解析式为y=x a，其图象过点（2，16），则2a=16，解得a=4，即y=x 4；又图象过点（，m ），则m==．故答案为：．【点评】本题考查了用待定系数法求幂函数解析式的应用问题，是基础题目．13. 已知三个球的半径，，满足，则它们的表面积，，，满足的等量关系是___________参考答案：14. 已知P 为椭圆+=1上的一个点，M ，N 分别为圆（x+3）2+y 2=1和圆（x ﹣3）2+y 2=4上的点，则|PM|+|PN|的最小值为．参考答案：7【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆+=1可得焦点分别为：F 1（﹣3，0），F 2（3，0）．|PF 1|+|PF 2|=2a ．圆（x+3）2+y 2=1的圆心与半径分别为：F 1，r 1=1；圆（x ﹣3）2+y 2=4的圆心与半径分别为：F 2，r 2=2．利用|PM|+r 1≥|PF 1|，|PN|+r 2≥|PF 2|．即可得出．【解答】解：由椭圆+=1可得a=5，b=4，c=3，因此焦点分别为：F 1（﹣3，0），F 2（3，0）．|PF 1|+|PF 2|=2a=10．圆（x+3）2+y 2=1的圆心与半径分别为：F 1（﹣3，0），r 1=1；圆（x ﹣3）2+y 2=4的圆心与半径分别为：F 2（3，0），r 2=2． ∵|PM|+r 1≥|PF 1|，|PN|+r 2≥|PF 2|． ∴|PM|+|PN|≥|PF 1|+|PF 2|﹣1﹣2=7．故答案为：7．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、三角形三边大小关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15. 在四面体ABCD 中，已知AB ＝CD ＝5，AC ＝BD ＝5，AD ＝BC ＝6．则四面体ABCD 的体积为；四面体ABCD 外接球的面积为．参考答案：；16. 为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为=x+．已知=225，=1600，=4．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高．参考答案：166【考点】BK ：线性回归方程．【分析】首先求出样本中心点，然后结合回归方程过样本中心点求得回归方程，最后利用回归方程的预测作用求解该班某学生的脚长为24的身高即可．【解答】解：由题意可得：，则数据的样本中心点（22.5，160），由回归直线方程样本中心点，则，∴回归直线方程为，当x=24时，，则估计其身高为166，故答案为：166． 17. 函数的定义域为．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。