高中数学(必修)模块2平面解析几何初步教材

合集下载

高中数学必修2第2章212第二课时两点式课件(_1

化，形成用联系的观点看问题的习惯.
1．直线的两点式方程
(1)条件：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)． (2)方程：_y_y2－_－_yy_11_＝__xx2_－－_x_x1_1 __ 2．直线的截距式方程 (1)条件：A(a,0)，B(0，b)且___a_b_≠__0_______ (2)方程：__xa_＋__by_＝__1______
1．在例1的条件下，求过点B且平行于AC的直线方程．解：设所求的直线为 l，由于 l 与直线 AC 平行，则这两条直线的倾斜角相等，所以 kl＝kAC＝3－0－－22＝－25，故直线 l 的方程为 y－2＝－25(x－3)．
直线的截距式方程求过定点P(2,3)且在两轴上截距相等的直线方程．
(本题满分 12 分)求过点 A(4,2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线 l 的方程．
[解] 当直线过原点时，它在 x 轴、y 轴上的截距都是 0，满足题意，此时，直线的斜率为12，所以直线方程为 y＝12x.2 分当直线不过原点时，由题意可设直线方程为xa＋by＝1，又过点 A，所以4a＋2b＝1①，4 分因为直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，所以|a|＝|b| ②，
[错因与防范] (1)方程xa＋by＝1 中的 a 与 b 是直线在 x 轴与 y 轴上的截距，而不是距离，所以由三角形面积为 4，应该有12|a||b| ＝4. (2)直线的截距是指直线在坐标轴上对应的坐标，因此可为正、可为负、可为零；而距离是线段的长度，是非负的．截距不是距离，解题中应注意准确把握两者的区别．
2．求过点 A(3,4)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线 l 的方程．解：(1)当直线 l 在坐标轴上截距互为相反数且不为 0 时，可设直线 l 的方程为xa＋－ya＝1.又 l 过点 A(3,4)，所以3a＋－4a＝1，解得 a＝－1.

高中数学必修二第二章第一节课件

如图2 1 21,已知两点Px1, y1 , Qx2, y2 ,如果 x1 x2,那么直线PQ 的斜率 slope为
k y2 y1 x1 x2 .
x2 x1
如果x1 x2,那么直线PQ的斜率不
存在(图2 1 22).
图2 1 2
y
l
第 2章平面解析几何初步
如果代数与几何各自分开发展, 那它的进步将十分缓慢,而且应用范围也很有限.但若两者互相结合而共同发展, 则就会互相加强, 并以快速的步伐向着完美化的方向猛进.
点的集合是一条曲线.
我们知道, 直线和圆是基本的几何图形.那么如何建立它们的方程? 如何通过方程来研究它们的性质?
2.1 直线与方程
高二（19）
直线是最常见的图形, 过一点沿着确定的方向就可以画出一条直线.
为什么?
在直角坐标系中, 对于一条与x 轴相交的直线,把 x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转
过的最小正角称为这条直线的倾斜角(inclination),并规定:
y B
A
O

N
图2 1 51
与 x 轴平行或重合的直线的倾斜角为00 . 由定义可知,直线的倾斜角的取值范围是00 1800 . 当直线的斜率为正时, 直线的倾斜角
x 为锐角图2 1 51,此时,
k y BN tan .

高中数学必修2第2章211直线的斜率课件(31张)_1

(2)设直线 l 过坐标原点，它的倾斜角为 α，如果将直线 l 绕坐标原点按逆时针方向旋转 45°，得到直线 l1，那么 l1 的倾斜角为__当__0_°__≤__α_＜__1_3_5_°__时__，__倾___斜__角__为__α_＋__4_5_°__，__当__1_3_5_°__≤__α___ _＜__1_8_0_°__时__，__倾___斜__角__为__α_－__1_3_5_°________ (3)已知直线 l1 的倾斜角 α1＝15°，直线 l1 与 l2 交点为 A，直线 l1 和 l2 向上的方向之间所成的角为 120°，如图所示，则直线 l2 的倾斜角为__1_3_5_°___． (链接教材 P79 倾斜角定义)
[解析] (1)上述说法中，⑤正确，其余均错误，原因是： ①与 x 轴垂直的直线倾斜角为 90°，但斜率不存在； ②举反例说明，120°＞30°，但 tan 120°＝－ 3＜tan 30°＝ 33； ③平行于 x 轴的直线的倾斜角为 0°； ④如果两直线的倾斜角都是 90°，那么两直线的斜率都不存在，也就谈不上相等．
2．已知点 A(1,2)，若在坐标轴上有一点 P，使直线 PA 的倾斜角为 135°，则点 P 的坐标为____(_3_,0_)_或__(_0_,3_)_____．解析：由题意知 kPA＝－1，设 x 轴上点(m,0)，y 轴上点(0，n)，由m0－－21＝n0－－12＝－1，得 m＝n＝3.
[解] 如图，由斜率公式可知 kPA＝1－1－－23＝－4，kPB＝11－－－－23＝34. 要使直线 l 与线段 AB 相交，则直线 l 的斜率 k 的取值范围是
(－∞，－4]∪34，＋∞.
[感悟提高] (1)本题关键是利用图形找到斜率变化的区间；画出图形，借助图形可以看出，若直线 l 与线段 AB 有公共点，则倾斜角应介于直线 PA，PB 的倾斜角之间，故斜率的变化范围也随之确定． (2)借助图形，用运动变化的观点看问题，是这类题的一般解法．本题容易把直线 l 的倾斜角介于直线 PA，PB 的倾斜角之间与斜率介于二者之间混为一谈，得出错误答案为－4≤k≤34，因此应注意倾斜角为 90°的“跨越”．

苏教版高中高一数学必修2《平面解析几何初步》评课稿

苏教版高中高一数学必修2《平面解析几何初步》评课稿一、教材简介《平面解析几何初步》是苏教版高中高一数学必修2教材中的一章，主要介绍平面解析几何的基本概念和基本方法。

通过学习本章内容，学生可以掌握平面坐标系的建立与运用，了解平面解析几何的基本思想和基本定理，培养学生的几何建模、问题分析和解决问题的能力。

二、教学目标本章的主要教学目标如下：1.理解平面直角坐标系的概念和性质；2.掌握平面直角坐标系中的点、线段的坐标表示方法；3.熟练掌握坐标表示法求解距离、斜率、中点等问题的方法；4.理解直线的方程及其性质，能够求解直线的方程；5.学会判定两条直线相交、平行或重合的方法；6.掌握解直线方程组的方法，理解直线方程组解的几何意义。

三、教学重点1.平面直角坐标系的建立与应用；2.直线方程的求解与性质；3.直线方程组的解与几何意义。

四、教学难点1.直线的判定；2.直线方程组的解法。

五、教学准备1.课前准备：教师需要提前准备好教材、教具等教学资源；2.课堂准备：教师需要准备黑板、彩笔等辅助教学工具。

六、教学过程1. 导入与激发兴趣（5分钟）引导学生回顾上一堂课的内容，并提出与本节课相关的问题，激发学生对本节课内容的兴趣与思考。

2. 新知呈现（15分钟）第一部分：平面直角坐标系1.教师通过示意图引入平面直角坐标系的概念和性质；2.教师展示如何在平面上建立直角坐标系，并解释坐标的表示方法；3.通过具体的例子，教师讲解点、线段在坐标系中的表示方法，并进行示范。

第二部分：距离、斜率和中点1.教师引入距离的概念，并介绍计算两点距离的方法；2.教师讲解斜率的概念和计算方法，并通过实例演示；3.教师引入线段的中点概念，并讲解求解中点坐标的方法。

3. 知识拓展与巩固（20分钟）第一部分：直线的方程1.教师引导学生探讨直线的特征和性质，进一步理解直线方程的意义；2.教师介绍直线方程的一般形式和斜截式，并通过例题演示解题方法；3.学生通过练习题巩固直线方程的求解方法。

《平面解析几何初步》教材分析

人教B版高中数学必修2第二章教材分析平面解析几何初步人大附中吴中才一、课标要求（1）直线与方程①在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素．②理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式．③能根据斜率判定两条直线平行或垂直．④根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系．⑤能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．⑥探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．（2）圆与方程①回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程．②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系．③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．（3）在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想．（4）空间直角坐标系①通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置．②通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式．二、北京高考考试说明要求三、解析几何的基本思想方法解析几何是几何学的一个分支，是通过坐标法运用代数工具研究几何问题的一门学科，它把形与数有机地结合起来．一方面，将几何问题代数化------用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；另一方面，将代数问题几何化------分析代数语言的几何含义，使代数语言更直观、更形象地表达出来．解析几何的基本思想：用代数的方法解决几何问题．解析法，就是坐标法，解析几何就是在坐标系的基础上，用代数的方法研究几何问题一门学科．用解析法研究几何图形的性质，须先将几何图形置于坐标系下，对“形”进行翻译转化：把点转化为坐标、把曲线转化为方程，把题目中明显的或隐含的解题所需要的一切几何特征，用数式和数量关系表示出来.把“形”翻译为“数”是用坐标法解决几何问题时首要工作.曲线方程几何特征数式和数量关系四、教材分析（一）本章地位和作用在必修4中学过《平面向量》，这为本章的学习打下了一定的基础.本章的学习把数学的两个基本对象——形和数有机地联系起来，这就使得坐标法的作用更加明显，这对于人们发现新结论也具有重大意义．近代数学的巨大发展，在很大程度上应该归功于解析几何．本章的主要学习内容是：在平面直角坐标系中建立直线和圆的方程，运用代数方法研究它们的几何性质及其相互间的位置关系，初步形成用代数方法解决几何问题的能力，体现数形结合的思想方法．这也为今后学习圆锥曲线打下基础．（二）本章重点与难点1、重点：直线的点斜式方程、一般式方程，圆的方程2、难点：在平面直角坐标系中，求直线和圆的方程以及由方程研究直线与圆的性质(坐标法的应用)（三）课时分配建议（共约18课时）2.1.1数轴上的基本公式---------------------------------------- 1课时2.1.2平面直角坐标系中的基本公式------------------------- 1课时2.2.1直线方程的概念与直线的斜率-------------------------1课时2.2.2直线方程的几种形式-------------------------------------2课时2.2.3两条直线的位置关系-------------------------------------2课时2.2.4点到直线的距离--------------------------------------------1课时2.2复习课----------------------------------------------------------1课时2.3.1圆的标准方程----------------------------------------------- 1课时2.3.2圆的一般方程----------------------------------------------- 2课时2.3.3直线与圆的位置关系--------------------------------------1 课时2.3.4圆与圆的位置关系----------------------------------------- 1课时2.4.1空间直角坐标系-------------------------------------------- 1课时2.4.2空间两点的距离公式--------------------------------------1 课时复习小结------------------------------------------------------------2课时（四）分节教材分析2．1 平面直角坐标系中的基本公式--------共2课时2.1.1数轴上的基本公式-------- 1课时重点：理解和掌握数轴上的基本公式难点：建立实数与数轴的点或位移的对应关系教学建议：（1）学生已有向量学习的基础，不妨结合向量理解坐标及AC=AB+BC 等；（2）在记忆公式的同时，理解它们的几何意义及符号语言；（3）用几何意义研究书后练习题中含绝对值的不等式的解集．具体说明：（1）坐标是解析几何的工具，没有坐标就无法实现几何问题的代数化．本节讲述了数轴——直线坐标系，即一维坐标或数量，以及直线坐标系下的两点距离公式，这与下一节课讲述平面直角坐标系，即二维坐标系下的两点距离公式，以及第四节讲述空间直角坐标系下，即三维坐标系下的两点距离公式，形成一个统一的体系，同时也为第二、三节打下铺垫．（2）数轴上任意三点之间的关系式AC=AB+BC 是我们学习解析几何的基础，由此可以推出，数轴上的基本公式：AB=21x x -，d(A ，B)=21x x -．2.1.2平面直角坐标系中的基本公式-------- 1课时重点：平面上两点间的距离公式、中点坐标公式难点：用坐标方法研究几何问题教学建议：（1）引导学生把二维坐标问题转化为一维坐标问题处理，构造直角三角形推导两点距离公式，利用数轴上的基本公式AB=21x x -推导中点坐标公式；（2）教学时适当介绍算法思想；（3）平面内两点距离公式和中点坐标公式也可结合向量推导．具体说明：（1）结合上一节课的教学，突出由坐标求距离的算法思想，即给出坐标，就可求出距离，这也是在突出解析思想．（2）例3是学生正式接触坐标法的第一个例子，教学时要渗透一般的解答过程与方法，即：先建立直角坐标系（代数化），再利用坐标进行运算，最后回到几何问题．努力让学生体会到坐标法在研究几何问题中的作用和威力．2．2 直线的方程--------共 6+1课时2.2.1直线方程的概念与直线的斜率--------1课时重点：直线斜率的概念及其公式难点：理解直线斜率的几何意义教学建议：（1）正确理解直线与方程的关系，比较一次函数与直线方程的区别和联系；（2）明确直线斜率的几何意义，引导学生研究倾斜角与斜率间的关系；（3）结合向量，明确方向向量、斜率、倾斜角的关系，明确他们都可表示直线的方向．最后甚至可给出法向量的概念．具体说明：（1）直线的倾斜角和斜率是直线的基本特征量，都反映直线的倾斜程度．倾斜角是个几何概念，用它来刻画直线方向不符合解析思想.使用斜率就可以从代数角度刻画直线，因此，教材先从方程组的解得出斜率的概念212121()y y k x x x x -=≠-，再从几何意义理解(0)y k x x∆=∆≠∆，最后再讲倾斜角的概念．（2）用比值(0)y k x x∆=∆≠∆定义斜率为导数的学习埋下了伏笔.在此定义下推导两直线垂直时的斜率关系更简捷.教材从斜率反映直线相对x 轴的倾斜程度，继而引入刻画倾斜程度的另一直观几何量——倾斜角的概念．倾斜角的范围是[)π,0，可先由学生思考，探索，进而得到结论.（3）特别注意0x ∆=或0y ∆=时直线的斜率与倾斜角的意义．关于斜率与倾斜角的理解： ①都反映直线的倾斜程度.②直线不垂直x 轴时，k=tanα．③倾斜角为900或x 1=x 2⇔斜率不存在；k ＝0⇔倾斜角为零角；k >0⇔倾斜角为锐角；k <0⇔倾斜角为钝角.④斜率公式与两点的顺序无关，直线上两点的取点位置无关.⑤斜率公式是推导直线方程、研究直线的位置关系等许多问题的关键，也是学好本章的关键. ⑥研究直线时斜率公式更为方便.2.2.2直线方程的几种形式---------2课时重点：点斜式直线方程的推导难点：直线与二元一次方程的对应关系教学建议：（1）在推导直线的点斜式方程时，注意求动点轨迹方程的思路和步骤；（2）理解直线方程的点斜式与斜截式、两点式与截距式之间的关系，了解它们表示直线的特征；（3）掌握直线方程不同形式间的转化和不同直线方程形式的选用；（4）理解直线一般方程与二元一次方程之间的关系；（5）视时间和学生情况，是否渗透点向式与点法式方程的推导．（轨迹法）具体说明：（1）直线方程是“数形结合”的根基，从中要让学生了解点与坐标的对应，直线与直线斜率的对应，直线与直线方程的对应.（2）直线方程的点斜式是最基本的，斜截式和两点式都由点斜式推出，截距式由两点式推出．点斜式、两点式给出了根据常见的条件求直线方程的方法和途径，而斜截式和截距式则被用来进一步讨论直线的有关问题．教学中要重视学生的自主探索和归纳能力的培养.要引导学生从斜率公式推导出点斜式，进而得到其它各种形式.再引导学生去观察特点、适用条件、记忆方法.①点斜式最为重要，推导直线的点斜式时要使学生了解：建立点斜式的主要依据是：经过直线上一个定点与这条直线上任意一点的直线是唯一的. 渗透求轨迹方程的方法．② 讲解点斜式方程时，要注意到k x x y y =--11与)(11x x k y y -=-是不同的，前者表示的直线少一个点111(,)P x y ，后者才是整条直线；③ 斜率不存在的直线不能用点斜式；④ 斜截式是点斜式的特殊情形，需斜率存在，还要注意截距不是距离，可正、可负、可零； ⑤ 两点式：121121x x x x y y y y --=--，适用于斜率存在且不为0的直线，变成等积式则普适； ⑥ 截距式是两点式的特殊情形，截距不为0，故截距式不能表示过原点及平行于坐标轴的直线； ⑦ 讲解直线方程的一般式时，要注意A 、B 不全为零，注意对斜率k 存在与不存在的情况进行有条理的分类；还要特别注意：1x x =也可看成关于x 、y 的二元一次方程，其中y 的系数为0；⑧ 确定一条直线必须要有两个独立条件，无论哪种方程形式都一样：比如：直线一般式方程0Ax By C ++=表面上看要求A 、B 、C 三个系数，由于A 、B 不同时为零，则：若0A ≠，则方程化为：0B C x y A A ++=，只需确定B C A A与的值；若0B ≠，则方程化为：0A C x y B B ++=，只需确定A C B B与的值． ⑨ 注意直线方程五种形式间的关系与适用条件，发挥各自的优势，优化解题方法；⑩ 待定系数法是求直线方程的一种重要方法，体现了方程的思想，教学时可适当渗透．（3）在具体应用中，尽管点斜式、两点式是基本形式，但参数较多，常把它们化为斜截式和一般式.斜截式与初中的一次函数有相同的形式，易于沟通，形式比较简单，参数有明显的几何意义；截距式方程尽管是以习题的形式出现，但它的形式简明对称，参数意义明显，能为画直线提供方便.斜截式是学习平行与垂直的基础，学生要能从直线的各种形式灵活变到斜截式.另外，理解参数的几何意义是数形结合的第一步，由“数”到“形”历来也是学生的一个薄弱，本节开始要重视画图教学.2.2.3两条直线的位置关系---------2课时重点：两直线平行、重合、相交与垂直的条件难点：用直线的方程研究两直线平行、重合、相交与垂直的条件，体会思维的完备性教学建议：（1）教师设计好探究的过程，帮助学生体会用代数方法研究几何问题的思想过程；（2）掌握直线的一般方程和斜截式方程下的平行、垂直条件，注意两直线平行或垂直时，它们的斜截式方程或一般式方程的系数间的关系．（3）视时间及学生情况，是否渗透与直线有关的对称问题，结合方向向量和法向量探究直线的位置关系．具体说明：（1）研究两直线的位置关系是从研究两条直线的交点开始的，这对应到一个二元一次方程组有唯一解．如果没有唯一解（即无解或有无穷多个解），则两直线平行或重合．垂直是相交的特例，教材放到下一节课专门探究．（2）教材研究两直线的交点、平行与重合，运用的是直线的一般方程，这相对解方程组而言比较方便．因此，教材用“思考与讨论”栏目提出了用斜率判定两直线平行或重合的条件，这也要求学生理解掌握：斜率反映直线的倾斜程度，如果两条直线倾斜程度相同，则它们平行或重合．（3）用斜率刻画两条直线的位置关系，由两直线斜率的数量关系来判断直线是否平行，运用的是解析的思想方法.分类讨论是本节重点渗透的数学思想，对两条直线平行和垂直的判定问题，常对斜率是否存在进行讨论.两直线平行：对不同的两条直线12,l l ，①121212(,)l l k k k k ⇔=均存在②12,k k 均不存在，12l l两直线垂直： ① 两条直线斜率都存在且不等于零，12121-=⇔⊥k k l l ；② 两直线中，一条斜率不存在，同时另一条斜率等于零；（4）教材推导两直线垂直的判定条件，是先推必要条件的，并且借助了勾股定理，然后利用推导过程的可逆性，得到充分条件．（5）教材给出了判断两直线平行或垂直的算法步骤，教学时适当渗透．2.2.4点到直线的距离---------1课时重点：点到直线的距离公式难点：点到直线的距离公式的推导教学建议：（1）在公式的推导过程中，体会解析几何中“设而不求”的解题方法和技巧；（2）推导两平行直线间的距离公式；（3）视情况尝试运用向量等其他方法推导点到直线的距离公式．具体说明：（1）点到直线的距离公式推导方法很多，如面积法、函数法、三角法、向量法、不等式法等，可以作为学生研究性学习课题，让学生探究．本课是用两点的距离公式来推导的：（2）两平行直线间的距离可以化归到点到直线的距离，教材是用例2给出的．使用点到直线的距离公式时，直线方程必须是一般式，求两平行线之间的距离，两直线方程的x 、y 系数必须相同．公式教学，要让学生去发现、探究，要让学生尝试着用已经学过的数学知识，结合问题的转化，知识的迁移，探索到新的数学结论，培养学生的数学能力和数学素养.切不可直接给出结果．“告诉”的知识不具有增长性！2.2复习课---------1课时建议站位高一点，带领学生再看直线的教学：平面几何的基本元素是点与线（包括直线和圆），所以，首先研究这些基本元素的代数表述．平面几何的基本元素的代数表述是什么？点P ←→有序实数对（a , b ）直线←→一次函数，是一次函数吗？从一次函数的图象是一条直线引入．直线的解析式是否一定就是一次函数？显然不是，如0x =．用方程可能更合适．那么{直线的方程}是一个什么样的集合呢？回过头来，大多数的直线都可以用一次函数表示，我们先来看一看，一次函数是怎样表示直线的？用二元一次方程更准确，从此提出方程的概念．建立了平面上直线的集合与二元一次方程的集合之间的一一对应关系．奠定了基础：研究直线，就是研究二元一次方程．不光研究直线的代数表达，还需清楚关键量的作用．方法一：从几何上考虑：直线的陡、平对应于代数方程中的那个量？直线过特殊点对应于方程？方法二：从代数的解析式入手，特征量k ，b 的几何意义是什么？直线的方向，倾斜程度：k （斜率，两点确定一条直线，两点能否确定斜率？），倾斜角特殊点：纵截距．b ．从辩证的角度看：直线l 的方程是21y x =+，（0,1）在线上，（2,1）不在，在哪儿？一般地说，若()00,x y 满足什么条件，则该点在直线l 上，若()00,x y 满足什么条件，则该点不在直线l 上．换句话说：如果把平面看成点的集合，以点与直线的位置为标准，可将平面上的点分成几类？分别用集合表示．直线方程的几种形式虽然我们已经知道{}二元一次方程与{}直线之间有了一一对应的关系，但究竟那条直线对应哪一个二元一次方程需要搞清楚．给一条直线，能否立刻指出它的方程？给一条直线，能否立即给出几何上的定位？几何上，确定一条直线的条件是：根据哪些条件，你能迅速求出相应的直线方程？1）给两点，求方程，落实待定系数法（斜截式方程），注意严谨．2）给定一点，一个方向（如何给出方向？倾斜角，斜率？划归到直线方程的特征量）；仍然从待定系数法引出，00b y kx =-，直线方程为00y kx y kx =+-．重新认识该方程，引出轨迹法．3）从轨迹法的角度再认识：给出两点，求直线方程．或用化归的思想，化归到已求出的方程．单个几何元素（点、直线）研究完成后，研究多个几何元素之间的关系：1）再认识点与直线．将代数形式与几何特征对应00y kx b >+是什么含义．2）认识直线与直线，仍然先从几何出发，研究两条直线的位置关系：平行（与直线的方向有关），相交（仍可用方向（系数特征）表述，但细致一点的比如说交点，则与方程组的解有关），特别地——垂直（仅与直线的方向有关），寻求相应的代数表述．3）点到直线的距离：有多种研究方法，是研究性学习的好课题．方法一：垂线，求交点（课本），注意运算中体现出的数学美．方法二：A 版教材给出的方法（几何上多走一步，代数上省却无数功夫）方法三：距离的本质定义．d ==≥=== 2.3圆的方程-------- 共5课时2.3.1圆的标准方程-------- 1课时重点：圆的标准方程以及根据已知条件求圆的方程难点：根据已知条件求圆的方程教学建议：（1）根据求轨迹方程的方法与步骤求圆的标准方程，会读、写圆的标准方程，特别是圆心在原点的圆的标准方程；（2）会判断点在圆内、圆外所满足的条件．具体说明：（1）继求直线的点斜式方程，进一步巩固和渗透求轨迹方程的思路，可按这一思路设计教学．由圆的定义推导圆的标准方程，这就是求曲线的方程．要分析圆的标准方程的特点，使学生理解其中参数的含义，能从中读出圆心和半径．（2）圆的标准方程中有三个独立的参数，因而求解圆的方程需三个独立的条件，渗透方程思想．待定系数法是求圆的标准方程的重要方法．例1（3）、例2解法2、例3都采用了待定系数法，尤其例3属于应用问题，它的教学要注意首先数学化，即先建立恰当的直角坐标系．坐标系不同，所求得的方程也不一样．2.3.2圆的一般方程-------- 2课时重点：圆的一般方程、由圆的一般方程读出圆心与半径及二元二次方程表示圆的条件．难点：由圆的一般方程读出圆心与半径教学建议：（1）由圆的标准方程得到一般方程，它是一个二元二次方程，再由二元二次方程研究表示圆的条件；（2）会读写圆的一般方程，会将一般方程与标准方程进行互化，强调配方法的应用．具体说明：（1）方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的条件：A C =、0B =、2240D E AF +->，这些要对照圆的标准方程，让学生总结得出．（2）圆的一般方程中也含有三个独立的参数，因而求解圆的一般方程也需要三个独立的条件，进一步巩固待定系数法和方程思想，例2是巩固这个的典型例题．（3）例3是阿波罗尼斯圆的特殊情形，教学是可视情况拓展，该例的教学要突出求轨迹方程的方法与步骤．2.3.3直线与圆的位置关系--------1 课时重点：直线和圆的位置关系的判断和应用难点：联立方程组研究直线和圆的位置关系，并从代数与几何的角度灵活判断．教学建议：从几何的角度直线与圆的关系可以从直线与圆的交点个数来判断，从代数的角度，可以联立直线与圆的方程，看所得到的方程组的解的情况；也可以进一步看圆心到直线的距离与半径的关系来进行判断．这些方法进行比较，多用一些几何关系，就可能少一些代数运算．具体说明：（1）判断直线和圆的位置关系一般有两种：一是线心距法（几何方法），运算量小，直观简单；二是差别式法（代数方法），运算量较大. 这里经常会遇到直线与圆相切、相交的情形．直线和圆相的判断还可以根据直线过圆内一定点来判断．直线和圆相交时，半弦、弦心距、半径构成一个直角三角形，在相关计算中有着重要作用．（2）过圆上一点的切线方程教材是通过例2给出的，它对于斜率不存在的情况也适用．这一结论可以视情况要求学生掌握．教学中还可以引导学生思考其他求解方法．2.3.4圆与圆的位置关系-------- 1课时重点：两圆位置关系的判断难点：通过两圆方程联立方程组的解来研究两圆的位置关系，并从代数与几何角度灵活判断．教学建议：（1）从圆心距与半径之间的大小关系来判断两圆的位置关系较为简便，从联立方程组的解的情况来判断两圆的位置关系较复杂，但两种方法都要引导学生思考．（2）求圆心距时需要用到两圆的圆心坐标和半径，因此将圆的一般方程进行配方，变为圆的标准方程，或从圆的一般方程读出圆心坐标与半径，是研究两圆的位置关系的基础．具体说明：坐标法讨论两圆的位置关系，让学生再次感受到坐标法在研究几何问题中的作用．（2）对于圆系方程与圆的根轴在教学中请慎重考虑，建议不作介绍．2.4空间直角坐标系--------共2课时2.4.1空间直角坐标系-------- 1课时重点：空间直角坐标系和点在空间直角坐标系中的坐标难点：确定点在空间直角坐标系中的坐标教学建议：（1）了解空间直角坐标系、x坐标、y坐标、z坐标、点P的坐标、坐标平面、八个卦限、每个卦限内点的坐标分量的符号；（2）空间中任意一点与三个实数的有序数组一一对应．具体说明：（1）空间直角坐标系是学习空间向量以及用空间向量来解决立体几何问题的基础，也是学习选修2－1的重要基础．教学时，应该通过具体情景，感受建立空间直角坐标系的必要性——坐标系将几何对象和数、几何关系和方程函数之间建立了密切的联系，这样就可以对空间形式的研究归结成比较成熟也容易驾驭的数量关系的研究.（2）空间直角坐标与前面学过的直线坐标、平面直角坐标首尾呼应，形成一个体系．因此，在空间直角坐标系的教学中，要充分利用平面直角坐标系进行类比和对比，让学生有效地建立空间直角坐标系的概念，体会确定空间一点的位置需要三个坐标，会用空间直角坐标系刻画点的位置．（2）通过习题，会求已知点关于坐标轴、坐标平面的对称点的坐标，进一步加强空间观念，培养空间想象力．教学中要引导学生探索空间中八个卦限中的点以及各种特殊位置的点的坐标特点．2.4.2空间两点的距离公式--------1 课时重点：空间两点的距离公式难点：空间两点的距离公式的推导教学建议：（1）教师设计好探究的过程，类比平面两点间距离公式，推导空间两点的距离公式；（2）结合实例，让学生体会将空间几何问题转化为平面几何问题的方法．具体说明：（1）空间两点间的距离可以化归到平面两点间的距离，教学时注意这个化归过程的设计．例如：首先让学生明白由长方体的棱长,,a b c 求对角线l的公式：l =12PP 学生注意：1P 与A 的x 、y 坐标相同，因而它们之间的距离就可以转化为直线坐标运算，即112P A z z =-，同理，12AB y y =-，212BP x x =-，代入即可得空间两点的距离公式．反过来，可将一些简单的平面公式推广到空间，如两点的中点公式，圆的方程到球面方程.（2）对于空间两点的距离公式，当其中一个点为坐标原点时，就得到一种特殊情形：OP =（五）本章所蕴涵的数学思想方法本章主要数学思想方法有：对应思想、数形结合思想、转化与化归思想、函数与方程思想、分类讨论思想等．数学思想方法的教学原则为：反复渗透，渐进发展，学生反思领悟.（六）教学中的几个注意点1．注意把握教学要求教学中，注意控制教学的难度，避免进行综合性强、难度较大的数学题的训练，避免在解题技巧上做文章.如用坐标法证明平面几何题要求不宜过高，适可而止.2．关注重要数学思想方法的教学重要的数学思想方法不怕重复.思想方法的教学应该渗透在平时的教学中.《普通高中数学课程标准》要求“坐标法”贯穿平面解析几何教学的始终，帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法.在教学中应自始至终强化这一思想方法，这是解析几何的特点.教学中注意“数”与“形”的结合.“数形结合”是双向的：几何问题代数解答与代数关系几何解释.3．关注学生的动手操作和主动参与P 1P 2 A。

高中数学第二章平面解析几何初步 2.1 平面直角坐标

第二章平面解析几何初步
2.1 平面直角坐标ຫໍສະໝຸດ 中的基本公式课程目标1.理解实数与数轴上的点的对应关系,理解实数与位移的对应关系. 2.掌握数轴上两点间的距离公式,理解数轴上的向量加法的坐标运算. 3.探索并掌握平面直角坐标系中两点的距离公式和中点公式. 4.通过对两点的距离求解过程的探索,进一步体会“坐标法”的基本思想,学会构造直角三角形解决问题的基本思路.
思考 4 点 P(x,y)关于点 G(x0,y0)的对称点的坐标是什么?
提示:点 P(x,y)关于点 G(x0,y0)的对称点的坐标为(2x0-x,2y0-y).
思考 5 教材中的“?”
如果数轴上的单位长取作 1 cm,你能在数轴上标出数 0.001,0.000 1 和 2对应的点吗?你能说明在数轴上确实存在这些点吗?
若 AB∥x 轴或与 x 轴重合,则|AB|=|x2-x1|;若 AB∥y 轴或与 y 轴重合,则 |AB|=|y2-y1|.
思考 3 算术平方根 ��2 + ��2的几何意义是什么?
提示: ��2 + ��2表示点(x,y)到原点的距离.
3.中点公式 (1)直线上的中点坐标公式. 已知数轴上两点 A(x1),B(x2),则线段 AB 的中点 M 的坐标为��1+2��2. (2)平面内的中点坐标公式. 设平面内两点 A(x1,y1),B(x2,y2)的中点 M(x,y),则 x=��1+2��2,y=��1+2 ��2.
2.平面直角坐标系中的基本公式平面直角坐标系中两点 A(x1,y1),B(x2,y2)的距离公
式:d(A,B)= (��2-��1)2 + (��2-��1)2.

必修2教学模块起始设计

高中数学必修模块（二）教学设计一．课程目标本模块的内容包括：立体几何初步、平面解析几何初步。

1．通过立体几何初步的教学，教学应达到的目标：①使学生经历直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质的过程；②使学生直观认识和理解空间点、线、面的位置关系，能用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论证，了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法；③培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力；④使学生感受、体验从整体到局部、从具体到抽象，由浅入深、由表及里、由粗到细等认识事物的一般科学方法。

2．通过平面解析几何初步的教学，教学应达到的目标：①使学生经历在平面直角坐标系中建立直线和圆的方程的过程，学会运用代数方法研究它们的几何性质及其相互位置关系；②了解空间直角坐标系；③体会数形结合的思想，初步形成用代数方法解决几何问题的能力；④培养学生运动变化、相互联系、相互转化的辩证唯物主义观点。

二．教学要求1．立体几何初步（1）空间几何体①直观了解柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些结构特征描述现实生活中简单物体的结构。

②能画出简单空间图形（棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会使用纸板等材料制作简单空间图形（例如长方体、圆柱、圆锥等）的模型，会用斜二测法画出它们的直观图。

③了解空间图形的两种不同表示形式（三视图和直观图），了解三视图、直观图与它们所表示的立体模型之间的内在联系。

④会画某些简单实物的三视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，直观图的尺寸、线条等不作严格要求）。

⑤了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算（不要求记忆公式）。

（2）点、线、面之间的位置关系①理解空间点、线、面的位置关系；②会用数学语言规范地表述空间点、线、面的位置关系；③了解如下可以作为推理依据的4条公理、3条推论和1条定理：◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

新教材高中数学第2章平面解析几何两条直线的位置关系第2课时两条直线的垂直课件新人教B版选择性必修

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若两条直线垂直，则它们的斜率的乘积一定等于－1.( × ) (2)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线都与 x 轴垂直．( √ ) (3)两条直线的斜率分别为 k1，k2，若 k1·k2≠－1，则两条直线一定不垂直．( √ )
2．做一做
第二章平面解析几何
2.2 直线及其方程 2.2.3 两条直线的位置关系第2课时两条直线的垂直
(教师独具内容) 课程标准：1.能根据斜率判定两条直线垂直.2.理解并掌握两条直线垂直的条件.3.能利用两条直线垂直进行实际应用．学法指导：从法向量和倾斜角两个角度结合图形探求两直线垂直的条件．教学重点：两条直线垂直的条件．教学难点：利用两条直线垂直的条件解决对称问题及其他实际问题.
1．对两直线垂直与斜率的关系要注意的几点 (1)l1⊥l2⇔k1k2＝－1 成立的前提条件：①两条直线的斜率都存在；② k1≠0 且 k2≠0. (2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则这两条直线垂直． (3)判定两条直线垂直的一般结论：l1⊥l2⇔k1k2＝－1 或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．
2．常用对称的特例 (1)A(a，b)关于 x 轴的对称点为 A′(a，－b)； (2)B(a，b)关于 y 轴的对称点为 B′(－a，b)； (3)C(a，b)关于直线 y＝x 的对称点为 C′(b，a)； (4)D(a，b)关于直线 y＝－x 的对称点为 D′(－b，－a)； (5)P(a，b)关于直线 x＝m 的对称点为 P′(2m－a，b)； (6)Q(a，b)关于直线 y＝n 的对称点为 Q′(a,2n－b)．
所以直线 l 的方程为 4x＋3y－6＝0.

人教B版高中数学必修二《第二章平面解析几何初步 2.4 空间直角坐标系 2.4.1 空间直角坐标系》_3

直线与双曲线的位置关系一、教材分析直线与圆锥曲线位置关系的问题始终是解析几何的一个主要问题。

是充分反映代数与几何不可分割关系的一个非常好的素材。

二、教学对象分析高二学生逻辑思维有了一定的基础，已经学习了直线与圆、直线与椭圆的位置关系。

三、学习目标掌握由于直线斜率的变化引起直线与双曲线位置关系的变化，主要方法：由直线方程与双曲线方程式组成的方程组，用判别式法判定根的个数即直线与双曲线公共点的个数，从而知道它们的位置关系。

判别式法；基本量法利用多媒体，几何画板动画演示四、设计思想直线和圆锥曲线的位置关系是解析几何教学中的一个重要内容。

特别在研究直线与双曲线位置关系时，一些学生对直线与双曲线的交点个数认识模糊，认为可能有四个交点，三个交点…；若单纯从解析式的角度讲，由于缺乏感性认识，学生理解、接受有一定的困难。

所以我在推导结论的基础上，利用多媒体进行演示，借助《几何画板》的强大功能，运用运动变化的观念，让学生在自主探究的过程中，直接观察、运动变化、归纳证明，在轻松的学习环境中激发潜能、体验成功，领会到数形结合解决问题的美妙。

直线与双曲线的位置关系能够作这样的研究，那么直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系就更能轻易地解决了。

五、教学内容师：已经学习了直线与圆、直线与椭圆的位置关系，有相离、相切、相交、公共点的个数分别为无公共点、一个公共点、两个公共点。

今天这节课，我们主要对过定点直线与双曲线的位置关系作一下探讨。

而研究它们的位置关系时，常将直线方程与双曲线方程联立消元，得到一个一元二次方程，利用二次方程的判别式进行判断，最终归结为讨论一元二次方程解的个数问题。

但要注意特殊情况的讨论。

引入；已知双曲线C :1422=-y x ，直线L 过定点P(0，2)，试讨论直线L 与曲线C 的公共点个数。

解：设过点P(0,2)直线方程为y=kx+2，联立⎪⎩⎪⎨⎧=-+=14222y x kx y 消y 得：084)4(22=---kx x k 当042=-k 时，直线L 与双曲线C 只有一个公共点。

高中数学必修二平面解析几何

高中数学必修二平面解析几何
本文从知识点梳理、圆的方程、两个经典的解题和圆的方程的解释过程三个方面，分享了高中数学必修课《二平面解析几何》中圆的方程的介绍。

一、知识梳理
1．圆的定义及方程
2.点与圆的位置关系
二、平面解析几何——圆的方程两个易误点
三、经典考题
1、求圆的方程
(1)(2016·高考天津卷)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为________．
(2)(2016·高考浙江卷)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x ＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是
________．
解题方法：求圆的方程的两种方法
2、与圆有关的最值问题
已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
(1)求的最大值和最小值；
(2)求y－x的最大值和最小值．
与圆有关的最值问题解题方法
3、与圆有关的轨迹问题
(2015·高考广东卷节选)已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B．
(1)求圆C1的圆心坐标；
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程．
求与圆有关的轨迹方程的方法
(2017·湖南箴言中学三模)已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0.
(1)若此方程表示圆，求实数m的取值范围；
(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值；
(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．。

高中数学第2章平面解析几何初步2.1.6点到直线的距离3高一数学

页。
点到直线的距离 (zhíxiàn) 第二页，共十六页。
一、点到直线(zhíxiàn)的距离的定义
过点 P 作直线 l 的
垂线，垂足为 Q 点，线
段 P Q 的长度叫做点P
y
到直线 l 的距离。
用 d 表示。
当点 Pl时， d0
O
Q· ·P
x
第三页，共十六页。
问题一、求点到下列(xiàliè)直线的距离：
(1)点P(3,4)到直线l : x 0 (2)点P(3,4)到直线l : y 3 (3)点P(3,4)到直线l : AxC0(A0) (4)点P(3,4)到直线l : ByC0(B0)
小结：（1）点P(x0,y0)到直线l:AxC0(A0) （2）点P(x0,y0)到直线l:ByC0(B0)
第四页，共十六页。
2. 已知△ABC的三个顶点(dǐngdiǎn)坐标分别为A(2，1)、 B(5，3)、C(1，5)，求△ABC的 BC边上的高。解：直线(zhíxiàn)BC的方程为x+3y14=0,
根据距离公式得 d|2314|910. 1232 10
点A到BC所在 (suǒzài)直线的距离。
第十三页，共十六页。
四、总结(zǒngjié)
（1）知识(zhī shi)概括：
点到直线的距离公式的推导和应用。
（2）数学(shùxué)思想方法：
类比、转化、数形结合、特殊到一般等思想方法。
（3）收获：
字母的运算。
第十四页，共十六页。
五、作业(zuòyè)
(1)写出求点到直线距离公式的多种算法，并选择你最喜欢(xǐ huan)的一种算法推导公式。 (2)课本习题2.1的7、9、10、11。

高中数学必修2解析几何初步教材分析及教学建议之一

高中数学必修2《解析几何初步》教材分析及教学建议之一三明九中李宇宙一、解析几何内容的设计：1. 几何的内容按三个层次设计（1）必修课程中的几何，主要包括：立体几何初步、解析几何初步、平面向量、解三角形等。

（2）选修系列1、系列2中的几何，主要包括：圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。

（3）选修系列3、系列4（专题）中的几何．主要包括：球面上的几何、坐标系与参数方程、几何证明选讲等。

2．解析几何内容的变化突出了用代数方法解决几何问题的过程，同时也强调代数关系的几何意义。

解析几何的内容也是分层次设计的：在必修课程中，主要是直线与方程、圆与方程；圆锥曲线与方程的内容则放在选修系列1、系列2中。

3．必修2削弱的内容两条直线的位置关系（删除了两条直线的夹角）等。

4．必修2增删的内容(1) 解析几何增加的内容：直线与圆、圆与圆的位置关系；空间直角坐标系(2) 解析几何删除的内容：曲线与方程；圆的参数方程；圆锥曲线；线性规划移至必修5(第三章)不等式部分二、数学必修2《解析几何初步》的教学建议认真把握教学要求教学中，注意控制教学的难度，避免进行综合性强、难度较大的数学题的训练，避免在解题技巧上做文章。

关注重要数学思想方法的教学重要的数学思想方法不怕重复。

《标准》要求“坐标法”应贯穿平面解析几何教学的始终，帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法。

在教学中应自始至终强化这一思想方法，这是解析几何的特点。

教学中注意“数”与“形”的结合，在通过代数方法研究几何对象的位置关系以后，还可以画出其图形，验证代数结果；同时，通过观察几何图形得到的数学结论，对结论进行代数证明，即用解析方法解决某些代数问题，不应割断它们之间的联系，应避免只强调“形”到“数”的方面，而忽视“数”到“形”的方面。

关注学生的动手操作和主动参与学习方式的转变是课程改革的重要目标之一。

教学中，注意适当给学生数学活动和交流的机会，引导他们在自主探索的过程中获得知识、增强技能、掌握基本的数学思想方法。

高中数学第二章平面解析几何初步22直线的方程223两条直线的位置关系课件新人教B版必修2

∴n＝－1，
∴所求直线方程为 x＋2y－1＝0.
2021/4/17
高中数学第二章平面解析几何初步22直线的方
25
程223两条直线的位置关系课件新人教B版必修
【知识点拨】 (1)与定直线 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直的直线方程为 Bx－Ay＋m＝0；
(2)与定直线 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平行的直线方程为 Ax＋By＋n＝0(n≠C)．
已知两直线 l1：x＋my＋3＝0，l2：(m－
1)x＋2my＋2m＝0，若 l1∥l2，则 m 为( )
A．0
B．－1 或12
C．3
D．0 或 3
解析：由 1·2m－m(m－1)＝0，得 m＝0 或 m＝3.
当 m＝3 时，l1：x＋3y＋3＝0，l2：2x＋6y＋6＝0，
l1 与 l2 重合，∴m≠3；
根据下列条件，分别求直线方程： (1)经过点 A(3,0)且与直线 2x＋y－5＝0 垂直的直线方程； (2)经过直线 x－y－1＝0 与 2x＋y－2＝0 的交点，且平行于直线 x＋2y－3＝0 的直线方程．
2021/4/17
高中数学第二章平面解析几何初步22直线的方
23
程223两条直线的位置关系课件新人教B版必修
A．2
B．－2
C．12
D．－12
【解析】由 l1⊥l2，得 m＋2×(－1)＝0，∴m＝2.故选 A．
【答案】 A
2021/4/17
高中数学第二章平面解析几何初步22直线的方
20
程223两条直线的位置关系课件新人教B版必修
直线 y＝kx 与直线 y＝2x＋1 垂直，则 k
等于( )
A．－2

新教材2025版高中数学第2章平面解析几何初步2

2．2.3 直线的一般式方程最新课程标准(1)驾驭直线的一般式方程．(2)理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线．(3)会进行直线方程的五种形式之间的转化．新知初探·课前预习——突出基础性教材要点要点直线方程的一般式1．定义：关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0❶(其中A，B不同时为0)都表示一条直线，把它称为直线的一般式方程，简称一般式．2．适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示．3．系数的几何意义：当B≠0时，则－＝k(斜率)，－＝b(y轴上的截距)；当B＝0，A≠0时，则－＝a(x轴上的截距)，此时不存在斜率．批注❶虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程．基础自测1.推断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)平面直角坐标系中的随意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程来表示．( )(2)随意一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．( )(3)直线l：Ax＋By＋C＝0的斜率为－.( )(4)当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)表示过原点的直线．( )2．直线3x＋4y＋12＝0的斜率为( )A． B．C．－ D．－3．直线x－y－1＝0的倾斜角α为( )A．30° B．45°C．60° D．90°4．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满意的条件为( )A．A≠0 B．B≠0C．A·B≠0 D．A2＋B2≠05．斜率为2，且经过点A(1，3)的直线的一般式方程为________．题型探究·课堂解透——强化创新性题型1 求直线的一般式方程例1 依据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式．(1)斜率是－，经过点A(8，－2)；(2)经过点B(4，2)，平行于x轴；(3)在x轴和y轴上的截距分别是，－3；(4)经过两点P1(3，－2)，P2(5，－4)．方法归纳求直线的一般式方程的策略巩固训练1 (1)过点P(－2，3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是( )A．x－y＋1＝0B．x－y＋1＝0或3x＋2y＝0C．x－y－5＝0D．x－y＋5＝0或3x＋2y＝0(2)过点A(－2，1)，且倾斜角的余弦值为－的直线的一般式方程为________．题型2 用直线的一般式方程解决直线与坐标轴形成三角形问题例2 设直线l的方程为(a＋1)x＋y－2－a＝0(a∈R)，若a＞－1，直线l与x，y轴分别交于M，N两点，O为坐标原点，求△OMN面积取最小值时，直线l的方程．方法归纳由直线的一般式方程表示直线与坐标轴形成三角形的面积的步骤巩固训练2 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0，(k∈R)与x轴负半轴和y轴正半轴坐标轴围成的三角形面积为，求k的值．题型3 由含参数的一般式方程求参数(或取值范围)例3 已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线l不经过其次象限，求a的取值范围．变式探究1 本例中若直线不经过第四象限，则a的取值范围是什么？变式探究2 本例中将方程改为“x－(a－1)y－a－2＝0”，若直线不经过其次象限，则a的取值范围又是什么？方法归纳求直线过定点的2种方法巩固训练3 已知(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0为直线l的方程，求证：不论k取何实数，直线l必过定点，并求出这个定点的坐标．2．2.3 直线的一般式方程[基础自测]1．(1)√(2)√(3)×(4)√2．解析：直线方程的斜截式为：y＝－x－3，斜率为－.答案：D3．解析：依据题意，易知直线x－y－1＝0的斜率k＝1，由tan α＝k＝1，得α＝45°.答案：B4．解析：依据直线方程的一般式可知，要使得Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B不能同时为零，即A2＋B2≠0.答案：D5．解析：由直线点斜式方程可得y－3＝2(x－1)，化为一般式为：2x－y＋1＝0.答案：2x－y＋1＝0题型探究·课堂解透例1 解析：选择合适的直线方程形式．(1)由点斜式得y－(－2)＝－(x－8)，即x＋2y－4＝0.(2)由斜截式得y＝2，即y－2＝0.(3)由截距式得＝1，即2x－y－3＝0.(4)由两点式得＝，即x＋y－1＝0.巩固训练1 解析：(1)若直线在坐标轴上的截距为0，设直线方程为y＝kx(x≠0)，因为直线过点P(－2，3)，所以3＝－2k，即k＝－，所以直线方程为y＝－x，即3x＋2y＝0；若直线在坐标轴上的截距不为0，设直线方程为＝1(a≠0)，因为直线过点P(－2，3)，所以＝1，解得a＝－5，所以直线方程为＝1，即x－y＋5＝0.故所求直线方程为x－y＋5＝0或3x＋2y＝0.解析：(2)设直线的倾斜角为θ，则θ∈[0，π)，因为cos θ＝－，所以sin α＝＝＝，所以直线的斜率k＝tan θ＝＝＝－2，所以直线的方程为y－1＝－2(x＋2)，所以直线的一般式方程为2x＋y＋3＝0.答案：(1)D (2)2x＋y＋3＝0例2 解析：令y＝0，求得M点坐标为M(，0)，令x＝0，求得N点坐标为N(0，2＋a)，∵a＞－1，∴S△OMN＝··(2＋a)＝＝(a＋1＋＋2)≥2，当且仅当a＋1＝，即a＝0时等号成立．故所求直线l的方程为x＋y－2＝0.巩固训练2 解析：设直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，则k＞0，令y＝0，得A(－，0)；令x＝0，得B(0，1＋2k)，三角形OAB的面积为·OA·OB＝×(1＋2k)＝，即4k2－5k＋1＝0，解得k＝1或.例3 解析：(1)方法一将直线l的方程整理为y－＝a(x－)，∴直线l的斜率为a，且过定点A()，而点A()在第一象限内，故不论a为何值，l恒过第一象限．方法二直线l的方程可化为(5x－1)a－(5y－3)＝0.∵上式对随意的a总成立，必有即即l过定点A()．以下同方法一．(2)直线OA的斜率为k＝＝3.如图所示，要使l不经过其次象限，需斜率a≥k OA＝3，∴a的取值范围为[3，＋∞)．变式探究1 解析：由本例(2)解法可知直线OA的斜率为3，要使直线不经过第四象限，则有a≤3.变式探究2 解析：①当a－1＝0，即a＝1时，直线为x＝3，该直线不经过其次象限，满意要求．②当a－1≠0，即a≠1时，直线化为斜截式方程为y＝x－，因为直线不过其次象限，故该直线的斜率大于等于零，且在y轴的截距小于等于零，即解得，所以a＞1.综上可知a≥1.巩固训练3 证明：整理直线l的方程得(x＋y)＋k(x－y－2)＝0.无论k取何值，该式恒成立，所以解得所以直线l经过定点M(1，－1)．。

高中数学第2章平面解析几何初步2.1.3两条直线的平行与垂直讲义苏教版必修2

2.1.3 两直线的平行与垂直1．两条直线平行(1)若直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2，则l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2(k1，k2均存在)．(2)设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)思考：两平行直线的斜率是否一定相等．提示：只要斜率存在，则斜率一定相等．2．两条直线垂直(1)如图①，如果两条直线都有斜率且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直．即l1⊥l2⇔k1k2＝－1(k1，k2均存在)．(2)如图②，若l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是垂直．①②思考：两直线垂直，则两直线斜率乘积是否一定为－1?提示：两直线斜率存在的前提下，斜率乘积为－1.1.思考辨析(1)若直线l1与l2斜率相等，则l1∥l2. ( )(2)若直线l1∥l2(两条直线的斜率存在，分别为k1，k2)，则k1＝k2.( )(3)若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行．( )[答案](1)×(2)√(3)√2．已知A(2，0)，B(3，3)，直线l∥AB，则直线l的斜率k＝________．3 [k AB ＝3－03－2＝3，k l ＝k AB ＝3.]3．与直线x ＋2y ＋7＝0垂直的一条直线的斜率k ＝______．2 [直线x ＋2y ＋7＝0的斜率k ＝－12，故与其垂直的一条直线的斜率k ＝2.]4．过点(0，1)且与直线2x －y ＝0垂直的直线的一般式方程是________．x ＋2y －2＝0 [直线2x －y ＝0的斜率是k ＝2，故所求直线的方程是y ＝－12x ＋1，即x＋2y －2＝0.]12(1)l 1的斜率为1，l 2经过点P (1，1)，Q (3，3)；(2)l 1经过点A (－3，2)，B (－3，10)，l 2经过点C (5，－2)，D (5，5)； (3)l 1经过点A (0，1)，B (1，0)，l 2经过点C (－1，3)，D (2，0)； (4)l 1：x －3y ＋2＝0，l 2：4x －12y ＋1＝0.思路探究：依据斜率公式，求出斜率，利用l 1∥l 2或l 1，l 2重合⇔k 1＝k 2或k 1，k 2不存在判断．[解] (1)k 1＝1，k 2＝3－13－1＝1，k 1＝k 2，∴l 1与l 2重合或l 1∥l 2.(2)l 1与l 2都与x 轴垂直，通过数形结合知l 1∥l 2.(3)k 1＝0－11－0＝－1，k 2＝0－32－（－1）＝－1，k 1＝k 2，数形结合知l 1∥l 2.(4)l 1的方程可变形为y ＝13x ＋23；l 2的方程可变形为y ＝13x ＋112.∵k ＝13，b 1＝23，k 2＝13，b 2＝112，∵k 1＝k 2且b 1≠b 2，∴l 1∥l 2.判断两条直线平行的方法1．根据下列给定的条件，判断直线l 1与直线l 2的位置关系． (1)l 1经过点A (2，1)，B (－3，5)，l 2经过点C (3，－3)，D (8，－7)；(2)l 1的倾斜角为60°，l 2经过点M (3，23)，N (－2，－33)． [解] (1)由题意知k 1＝5－1－3－2＝－45，k 2＝－7－（－3）8－3＝－45.因为k 1＝k 2，且A ，B ，C ，D 四点不共线，所以l 1∥l 2. (2)由题意知k 1＝tan 60°＝3，k 2＝－33－23－2－3＝ 3.因为k 1＝k 2，所以l 1∥l 2或l 1与l 2重合．12(1)直线l 1：2x －4y ＋7＝0，直线l 2：2x ＋y －5＝0； (2)直线l 1：y －2＝0，直线l 2：x －ay ＋1＝0；(3)直线l 1经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54，⎝ ⎛⎭⎪⎫53，0，l 2经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－78，⎝ ⎛⎭⎪⎫76，0. 思路探究：利用两直线垂直的斜率关系判定． [解] (1)k 1＝12，k 2＝－2，∵k 1·k 2＝12×(－2)＝－1，∴l 1与l 2垂直．(2)当a ＝0时，直线l 2方程为x ＝－1，即l 2斜率不存在，又直线l 1的斜率为0，故两直线垂直．当a ≠0时，直线l 2的斜率为1a，又直线l 1的斜率为0，故两直线相交但不垂直．(3)k 1＝0－5453－0＝－34，k 2＝0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－7876－0＝34.∵k 1·k 2≠－1，∴两条直线不垂直．1.判断两直线是否垂直的依据是：当这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与x 轴垂直，另一条直线与x 轴平行时，两直线也垂直．2.直接使用A 1A 2＋B 1B 2＝0判断两条直线是否垂直更有优势．2．判断下列各组中的直线l 1与l 2是否垂直：(1)l 1经过点A (－1，－2)，B (1，2)，l 2经过点M (－2，－1)，N (2，1)； (2)l 1的斜率为－10，l 2经过点A (10，2)，B (20，3)；(3)l 1经过点A (3，4)，B (3，100)，l 2经过点M (－10，40)，N (10，40)．[解] (1)直线l 1的斜率k 1＝2－（－2）1－（－1）＝2，直线l 2的斜率k 2＝1－（－1）2－（－2）＝12，k 1k 2＝1，故l 1与l 2不垂直．(2)直线l 1的斜率k 1＝－10，直线l 2的斜率k 2＝3－220－10＝110，k 1k 2＝－1，故l 1⊥l 2.(3)l 1的倾斜角为90°，则l 1⊥x 轴．直线l 2的斜率k 2＝40－4010－（－10）＝0，则l 2∥x 轴．故l 1⊥l 2.1．如图，设直线l 1与l 2的倾斜角分别为α1与α2，且α1<α2，斜率分别为k 1，k 2，若l 1⊥l 2，α1与α2之间有什么关系？为什么？[提示] α2＝90°＋α1.因为三角形任意一外角等于不相邻两内角之和．2．已知A (－4，3)，B (2，5)，C (6，3)，D (－3，0)四点，若顺次连接A ，B ，C ，D 四点，试判定四边形ABCD 的形状．[提示] 四边形ABCD 为直角梯形，理由如下：如图，由斜率公式得k AB ＝5－32－（－4）＝13，k CD ＝0－3－3－6＝13， k AD ＝0－3－3－（－4）＝－3，k BC ＝3－56－2＝－12， ∵k AB ＝k CD ，AB 与CD 不重合．∴AB ∥CD ，又k AD ≠k BC ，∴AD 与BC 不平行．又∵k AB ·k AD ＝13×(－3)＝－1，∴AB ⊥AD ，故四边形ABCD 为直角梯形．【例3】已知点A (2，2)和直线l ：3x ＋4y －20＝0，求： (1)过点A 和直线l 平行的直线方程； (2)过点A 和直线l 垂直的直线方程．思路探究：利用两直线平行和垂直的条件求解或利用与已知直线平行与垂直的直线系方程求解．[解] 法一：∵3x ＋4y －20＝0，∴k l ＝－34.(1)设过点A 与l 平行的直线为l 1.∵kl 1＝k l ＝－34，∴l 1的方程为y －2＝－34(x －2)，即3x ＋4y －14＝0.(2)设过点A 与l 垂直的直线为l 2.∵k l kl 2＝－1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－34×kl 2＝－1，∴kl 2＝43.∴l 2的方程为y －2＝43(x －2)，即4x －3y －2＝0.法二：(1)设与直线l 平行的直线方程为3x ＋4y ＋m ＝0，则6＋8＋m ＝0，∴m ＝－14，∴3x ＋4y －14＝0为所求．(2)设与直线l 垂直的直线方程为4x －3y ＋n ＝0，则8－6＋n ＝0，∴n ＝－2， ∴4x －3y －2＝0为所求．两直线平行或垂直的应用(1)求与已知直线平行或垂直的直线．此类问题有两种处理方法：一是利用平行与垂直的条件求斜率，进而求方程；二是利用直线系方程求解，与已知直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程为Ax ＋By ＋D ＝0(C ≠D )，垂直的直线系方程为Bx －Ay ＋D ＝0.(2)由直线平行或垂直求参数的值，此类问题直接利用平行和垂直的条件，列关于参数的方程求解即可．3．(1)已知四点A (5，3)，B (10，6)，C (3，－4)，D (－6，11)，求证：AB ⊥CD ； (2)已知直线l 1的斜率k 1＝34，直线l 2经过点A (3a ，－2)，B (0，a 2＋1)，且l 1⊥l 2，求实数a 的值．[解] (1)证明：由斜率公式得：k AB ＝6－310－5＝35， k CD ＝11－（－4）－6－3＝－53，则k AB ·k CD ＝－1，∴AB ⊥CD . (2)∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝－1，即34×a 2＋1－（－2）0－3a ＝－1，解得a ＝1或a ＝3.1．本节课的重点是理解两条直线平行或垂直的判定条件，会利用斜率判断两条直线平行或垂直，难点是利用斜率判断两条直线平行或垂直．2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)判断两条直线平行的步骤．(2)利用斜率公式判断两条直线垂直的方法． (3)判断图形形状的方法步骤．3．本节课的易错点是利用斜率判断含字母参数的两直线平行或垂直时，对字母分类讨论．1．下列说法正确的有( ) A ．若两直线斜率相等，则两直线平行 B ．若l 1∥l 2，则k 1＝k 2C ．若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交D ．若两直线斜率都不存在，则两直线平行C [A 中，当k 1＝k 2时，l 1与l 2平行或重合，错误；B 中，若l 1∥l 2，则k 1＝k 2或两直线的斜率都不存在，错误；D 中两直线可能重合．]2．过点(3，6)，(0，3)的直线与过点(6，2)，(2，0)的直线的位置关系为________．垂直 [过点(3，6)，(0，3)的直线的斜率k 1＝6－33－0＝2－3；过点(6，2)，(2，0)的直线的斜率k2＝2－06－2＝3＋ 2.因为k1·k2＝－1，所以两条直线垂直．]3．已知直线(a－1)x＋y－1＝0与直线2x＋ay＋1＝0平行，则实数a＝________．2[由已知，得(a－1)a－2＝0，解得a＝－1或a＝2，当a＝－1时，两直线重合，故a ＝2.]4．已知直线l1：ax＋3y＝3，l2：x＋2ay＝5，若l1⊥l2，求a的值．[解]直线l1：ax＋3y－3＝0，直线l2：x＋2ay－5＝0.∵l1⊥l2，∴a×1＋3×2a＝0，即a＝0.。

高中数学课程内容

高中数学课程内容必修课程由5个模块组成:必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数）必修2：立体几何初步、平面解析几何初步必修3：算法初步、统计、概率。

必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。

必修5：解三角形、数列、不等式。

以上是每一个高中学生所必须学习的。

选修课程由4个系列：系列1：由2个模块组成。

选修1--1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。

选修1---2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图。

系列2：由3个模块组成。

选修2--1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。

选修2--2：导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数。

选修2--3：计数原理、随机变量及其分布列、统计案例。

系列3：由6个专题组成。

选修3--1：................................................................................................................................................... .............................................................................................................................................................. ......................................................................................................................................................重难点及考点：重点：函数、数列、三角函数、平面向量、圆锥曲线、立体几何、导数难点：函数、圆锥曲线。

高中数学第二章平面解析几何初步2.1平面直角坐标系中的基本公式2.1.2平面直角坐标系中的基本公式

课堂探究(tànjiū)·素养提升
类型(lèixí两ng点)一的距离(jùlí)公式【例 1】已知点 A(-3,4),B(-2, 3 ),试在 x 轴上找一点 P,使得 d(P,A)=d(P,B). 并求出 d(P,A).
解:设 P(x,0),由题意得 d(P,A)= x 32 0 42 = x2 6x 25 ,
d(P,B)= x 22 0 3 2 = x2 4x 7 ,
由 d(P,A)=d(P,B),即 x2 6x 25 = x2 4x 7 得 x=-9,
故 P(-9,0),d(P,A)= 9 32 0 42 =2 13 .
2021/12/12
第十一页，共二十三页。
变式训练(xùnliàn)1-1:已知三点A(3,2),B(0,5),C(4,6),则△ABC的形状是( )
故点 M 的坐标为( 0 b , c 0 ),即( b , c ).
22
22
由两点的距离公式得 d(B,C)= c2 b2 ,
d(A,M)=
b2 c2
=
b2 c2 ,
44
2
故 1 d(B,C)=d(A,M),即|AM|= 1 |BC|.
2
2
2021/12/12
第十九页，共二十三页。
类型(lèixíng两)四点间距离公式(gōngshì)的综合应用
2021/12/12
第八页，共二十三页。
3.已知线段AB的中点在坐标(zuòbiāo)原点,且A(x,2),B(3,y),则x+y等于( ) D
(A)5
(B)-1
(C)1
(D)-5
解析:因为 AB 的中点为坐标原点,则有 x 3 =0, 2 y =0,
2

人教版高中必修2(B版)第二章平面解析几何初步课程设计

人教版高中必修2(B版)第二章平面解析几何初步课程设计一、课程简介本课程是人教版高中必修2(B版)第二章平面解析几何初步课程。

本章的内容主要包括向量、点、直线、平面以及它们之间的关系和运算。

本课程的目的是使学生掌握平面解析几何的基本概念、基本方法和基本技能，培养学生的逻辑思维能力、数学分析能力和解决问题的能力。

二、教学目标1.了解平面解析几何基本概念和基本原理；2.掌握向量的概念、性质和加减法运算；3.掌握点、直线、平面的定义、性质和基本运算；4.掌握平面解析几何的基本定理；5.能够解决平面解析几何问题，提高数学分析和逻辑思维能力。

三、教学内容及教学方法1. 向量的概念与运算向量是平面解析几何的基本概念之一，掌握向量的概念和运算对于后面的学习非常重要。

教学方法：讲解+练习2. 点、直线、平面的方程点、直线、平面的方程是平面解析几何的另一个重要内容，掌握方程的表示方法和解题方法可以应对各种不同情况的问题。

教学方法：讲解+练习3. 一次函数和二次函数一次函数和二次函数是数学中非常基本的概念，也是平面解析几何中的重要内容。

在本章中，我们将学习一次函数和二次函数的基本性质和图像。

教学方法：讲解+练习4. 直线的性质直线是平面解析几何中非常重要的概念，学生需要掌握直线的基本性质、相交和平行线的判定方法以及直线方程的求法。

教学方法：讲解+练习5. 角的概念和性质角是平面几何中的基本概念，掌握角的概念和性质可以应对各种不同情况的问题。

教学方法：讲解+练习6. 平面的性质平面是平面解析几何中的基本概念之一，学生需要掌握平面的基本性质和平面方程的求法。

教学方法：讲解+练习四、教学进度和安排本课程共涉及6个知识点，每个知识点需要2小时完成，总共需要12个小时的教学时间。

第1~2课时：向量的概念与运算第3~4课时：点、直线、平面的方程第5~6课时：一次函数和二次函数第7~8课时：直线的性质第9~10课时：角的概念和性质第11~12课时：平面的性质五、教学评价方法1.课堂测试课堂测试可以考查学生对本节课程知识的掌握程度，测试内容包括选择题、填空题、计算题等。