高中数学 2.2.1圆的方程(1)教案苏教版必修2

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高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修2 2.2.1 圆的方程》4

《圆的方程》第一课时教学设计宿豫中学汪雪松一、教材分析《圆的方程》是在认识《直线与方程》等知识的基础上对解析几何进一步深入认识，提高学生运用坐标法、几何法、数形结合的思想研究解析几何的能力，为后来进一步学习圆锥曲线奠定基础。

圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用圆的方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是方法上都有着积极的意义，所以本节内容在整个解析几何中起着承前启后的作用。

在义务教育阶段，学生已经学习了圆的定义和一些性质。

前面又刚刚学习了直线的方程，接触解析几何也有一段时间，但由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，且对坐标法的运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难。

还有我校学生普遍计算能力较弱，对于解析几何中将几何问题转化为代数问题，计算环节上常常会出现困难。

另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有待加强，课堂上应尽量给学生自主思考的时间，以及合作交流的机会。

二、教学目标1、掌握圆的标准方程；能够根据圆的标准方程写出圆心和半径；能够根据条件求出圆的标准方程；2、进一步培养学生利用代数方法解决几何问题的能力；加深对数形结合思想的理解和对待定系数法的运用；3、通过学生的自主学习和探索，培养学生自主学习的能力；培养学生研究问题的能力和对问题敏锐、细致的观察能力；提高学生“应用”数学的能力和“应用”数学的意识。

三、教学重点与难点教学重点：圆的标准方程及其应用。

教学难点：会根据不同的已知条件求圆的标准方程四、授课类型：新课五、课时安排： 1课时六、教学方法：引导、探究七、教学准备：直尺、圆规、多媒体八、教学过程一、情境引入请同学们欣赏一组图片，感受生活中处处都有圆，圆也是最美的曲线。

【设计意图】用一组生活中的美丽图片调动一下学生的积极性，调节一下课堂气氛。

同时感受圆的美，可以很快引出“圆”。

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微专题 “隐圆”问题【高考重温】（2021江苏17） 1．如图，在平面直角坐标系中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l ．设圆的半径为，圆心在上．（1）若圆心也在直线1-=x y 上，过点作圆的切线，求切线的方程；（2）若圆上存在点，使MO MA 2=，求圆心的横坐标的取值范围．（2021江苏13） 2．在平面直角坐标系xOy 中，(12,0)A -，(0,6)B ，点P 在圆O ：2250x y +=上，若20PA PB ≤，则点P 的横坐标的取值范围是【经典再现】１．如果22:(2)(3)4C x a y a -+--=上总存在两点到原点的距离为１，则实数a 的取值范围是２．在平面直角坐标系xOy 中，直线12:0,:120l kx y k l x ky k ++=---=，1l 与2l 相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线40x y --=的距离的最大值为３．已知(2,0),(2,0)A B -，点P 在圆222:(3)(4)(0)C x y r r -+-=>上，满足2240PA PB +=，若这样的点P 有两个，则r 的取值范围是４．已知圆22:4O x y +=与x 轴负半轴的交点为A ，点P 在直线0l y a +-=上，过点P 作圆O 的切线，切点为T ．（１）若8a =，切点1)T -，求直线AP 的方程；（２）若2PA PT =，求实数a 的取值范围．１．解：（1）由24,1y x y x =-⎧⎨=-⎩得圆心C 为（3,2）． ∵圆的半径为，∵圆的方程为1)2()3(22=-+-y x ．显然切线的斜率一定存在，设过A （0，3）的圆的切线方程为3+=kx y ．由题意，得113232=++-k k ，解得0=k 或者43-=k ， ∵所求圆C 的切线方程为3=y 或者01243=-+y x ．（2）∵圆的圆心在直线42:-=x y l 上，所以，可设圆心C 为(,24)a a -．则圆的方程为[]1)42()(22=--+-a y a x ．设M 为（,），∵MO MA 2=，∵22222)3(y x y x +=-+，整理得4)1(22=++y x ，所以点M 在以D （0，-1）为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M （,在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点， ∵[]12)1()42(1222+≤---+≤-a a ．由08852≥+-a a 得R x ∈；由01252≤-a a 得5120≤≤x ．终上所述，点的横坐标的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡512,0．２．【解析】设(,)P x y ．由20PA PB ≤得22(6)(3)65x y ++-≤，则点P 的集合为圆O ：2250x y +=在圆22(6)(3)65x y ++-=内的部分．可求得两圆交点为(1,7)，(5,5)--．结合图形可得1x -≤．另解：设(,)P x y ．由20PA PB ≤得22126200x y x y ++--≤．又2250x y +=，所以50126200x y +--≤，即250x y -+≤．则点P 的集合为圆O ：2250x y +=在直线250x y -+=上方的部分．可求得直线与圆的交点为(1,7)，(5,5)--．结合图形可得1x -≤．。

数学：第2章2.2.1圆的方程课件(苏教版必修2)

备选例题
1.求圆心在直线5x－3y－8＝0上，且与两坐标
轴都相切的圆的标准方程．
解：法一：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2
＝r2， ∵圆与坐标轴相切，∴a＝±b，r＝|a|.
又∵圆心(a，b)在直线5x－3y－8＝0上，∴5a
－3b＝8.
a＝±b， a＝4， a＝1，由5a－3b＝8，得b＝4，或b＝－1， r＝|a|， r＝4， r＝1. ∴所求圆的方程为(x－4)2＋(y－4)2＝16 或(x－ 1)2＋(y＋1)2＝1. 法二：圆与两坐标轴都相切，那么圆心必在直线 y＝±x 上．
3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的标准方程．
【思路点拨】
解答本题可以先根据所给条
件确定圆心和半径，再写方程，也可以设出方程用待定系数法求解．
【解】
法一：设点C为圆心．
∵点C在直线l：x－2y－3＝0上， ∴可设点C的坐标为(2a＋3，a)．(2分)
名师微博
据定义，求圆心，定半径，方便快捷.
①当 D2＋E2－4F＞0 为圆心，
D E －，－ 2 2 时，表示以____________
1 2 D ＋E2－4F 2 ____________为半径的圆； ②当 D2＋E2－4F＝0 时，方程只有实数解 x＝ D E D E －，－－， y＝－，即只表示一个点____________； 2 2 2 2 ③当 D2＋E2－4F＜0 时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．
名师微博
这里采用的是待定系数法，此法常用，勿必掌握.
a＝－1 解得b＝－2，(10 分) 2 r ＝10 故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10. (14 分)

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课题：圆的标准方程江苏省石庄高级中学肖雄伟一、教材内容与内容分析“圆的标准方程”是高中苏教版《数学》必修2第二章平面解析几何初步第二节圆与方程中的第1小节内容．本节内容的教学需要两个课时，而本节课是这一节内容的第一课时．本课时内容主要培养学生用坐标法研究几何问题的能力，增强学生用代数的方法解决几何问题的意识．圆的方程研究是基础，为后续研究位置关系作下铺垫．在高考考点要求中是C级要求，是必考内容，也是高考当中的热点和重点，需要掌握基础题型，并有很好的计算能力，才能解决好本节问题，综合体现了新课标下高考的要求，是非常重要的一节内容．二、教学目标与目标分析1．学习目标（1）掌握圆的标准方程，并能根据方程写出圆心的坐标和圆的半径；（2）能根据所给条件，通过求半径和圆心的方法求圆的标准方程；（3）掌握求曲线的方程的方法．2．教学重点、难点（1）重点：圆的标准方程的形式．（2）难点：通过求半径和圆心的方法求圆的标准方程．3．学情分析通过对必修部分的学习，学生已经有了一定的知识储备，所以在本节课中出现的大量的数学问题，学生是易于理解和掌握．初中学生已经学过圆的定义，并且有第一节直线与方程作基础，学生很容易在一些问题情境的基础上得到圆的标准方程．在教学中，我们可以利用学生熟悉的知识来辅助“圆的标准方程”的推导，进而运用待定系数法求出圆的标准方程，解决相关问题．三、教学过程活动一、掌握圆的标准方程的推导问题1 圆是怎样定义的？【设计意图】通过请学生观察实际生活中的实物，抽象出共同的图形——圆．再通过请同学们回忆初中圆的定义，加深学生对圆的理解．问题2 在平面直角坐标系中，圆由哪些量确定？【设计意图】通过圆的定义，得到确定圆的两个量：圆心坐标和半径大小．问题3 在平面直角坐标系中，若以(),a b 为圆心，r【设计意图】通过建系、设点、列式、代入、化简、验证，推导出以(),a b 为圆心，r 为半径的圆的方程．小结1 圆的标准方程例1 分别说出下列圆方程所表示圆的圆心和半径．（1）()()73222=-+-y x ；（2）()()184522=+++y x ；（3）()3122=++y x ；（4）()4422=+-y x ．【设计意图】加深学生对圆的标准方程的理解．变式方程()()222m b y a x =-+-一定表示圆吗？【设计意图】让学生进一步理解圆的标准方程的形式．活动二、掌握圆的标准方程的求法例2 分别根据下列条件求圆的标准方程．（1）圆心在原点，半径为2；（2）圆心在点()2,3C -，且经过坐标原点；（3）圆心在点()1,5C --，且与y 轴相切；（4）圆心在x 轴上，半径为5，且过点()2,3A -．【设计意图】让学生掌握运用待定系数法求圆的标准方程的一般步骤．小结2 求圆的标准方程的一般步骤变式1 求过两点()2,3A -，()2,5B -，且圆心在x 轴上圆的标准方程．变式2 求过两点()2,3A -，()10,3B -，且半径为5的圆的标准方程．变式3 已知两点()2,3A -，()2,5B -，求以AB 为直径的圆的标准方程．【设计意图】让学生进一步掌握运用待定系数法求圆的标准方程．思考1 一般地，已知两点()11,y x A ，()22,y x B ，则以线段AB 为直径的圆的方程为．【设计意图】让学生通过具体题目归纳得到求曲线的方程的一般步骤．小结3 求曲线的方程的一般步骤活动三、圆的标准方程在实际问题中的应用例3 已知隧道的截面是半径为4m 的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为3m ，高为5.3m 的货车能不能驶入这个隧道？思考2假设货车的最大的宽度为a m ，那么货车要驶入该隧道，限高为多少？【设计意图】让学生体验圆的标准方程在实际问题中的应用．【课堂小结】【检测反馈】1．分别根据下列条件求圆的标准方程．（1）圆心在点()3,4C -，半径为5；（2）圆心在点()1,3C ，且与x 轴相切；（3）经过点()2,0A ，()0,4B -，且圆心在直线y x =-上；（4）经过点()1,2A 且与两坐标轴同时相切．2 已知点()4,5A --，()6,1B -，求以线段AB 为直径的圆．3．已知一个圆与y 轴相切，圆心在直线30x y -=上，且该圆经过点()6,1A ，求这个圆的方程．四、预期教学实效“圆的标准方程”作为高中数学传统的重点内容，难点内容．希望通过本节课的教学，让学生准确地理解方程的形式，能运用这一知识．并希望能够通过较为愉悦的课堂环境，使学生保持浓厚的学习兴趣，不要产生畏难情绪．课后，将根据本节课实际教学过程中出现的问题，在下一课时的教学中作出调整和弥补，并在下一课时中，加强对学生运用知识解决问题环节的训练．板书设计：圆的标准方程一、圆的标准方程()()222r b y a x =-+-，其中(),a b 为圆心，r 为半径．二、求圆的标准方程的一般步骤（1）根据题意，设出圆的标准方程；（2）根据条件，列关于a，b，r的方程组；（3）解出a，b，r代入得标准方程。

数学：2.2《圆的标准方程》教案(苏教教必修2).doc

普通高中课程标准实验教科书一数学第册［苏教版］第13课时的标准方程教学目标(1)认识圆的标准方程并掌握推导圆的方程的思想方.法；(2)掌握圆的标准方程，并能根据方程写出圆心的坐标和圆的半径;(3)能根据所给条件，通过求半径和圆心的方法求圆的标准方程.教学重点圆的标准方程及其运用.教学难点圆的标准方程的推导和运用.教学过程一、问题情境1-情境：河北赵州桥是世界上历史最悠久的石拱桥，其圆拱所在的曲线是圆，我们能否表示出该圆弧所在圆的方程呢?2.问题:在表示方程以前我们应该先考察有没有坐标系？如果没有坐标系，我们应该怎样建立坐标系？如何找到表示方程的等式?二、学生活动IE忆初中有关圆的定义，怎样用方程将圆表示出来?三、建构数学1.由引例赵州桥圆弧所在圆的方程的求导一般圆的标准方程：一般地，设点P(x,y)是以C(a,b)为圆半径的圆上的任意一点，则ICPI=r,由两点式，得到：J(x-a)2+(y-b)2=r即(x-a)2 +(y-b)2= r2 ( 1 )；反过来，若点Q的坐标(％,光)是方程⑴的解，则(x0-fl)2+(y0-b)2=r2,即J"。

-。

)％。

-。

旧=尸，这说明点Q(&，光)到点C (。

,幻的距离为，•即点。

在以C(a,b)为圆心，尸为半径的圆上；2.方程(x-cz)2+(y-Z?)2=/*2(r>0)叫做以怎力)为圆心，尸为半径的圆的标准方程；3.当圆心在原点(0,0)时，圆的方程则为r +)F =产(尸>0)；特别地，圆心在原点且半径为1的圆通常称为尊位圆；其方程为x2 + y2 =1四、数学运用1.例题：例1.分别说出下列圆方程所表示圆的圆心与半径：(l)(x-2)2 + (y-3)2=7；(2)(x + 5)2+(y + 4)2 =18⑶ F +(y+ 1)2 =3 (4)—2 + y2 = 144(5)(x-4)2 + y2=4解：(如下表)例写出圆心为半径长为的圆的方程，并判断点N(-g-l)是否在这个圆上；(2)求圆心是C(2,3),且经过原点的圆的方程。

苏教版数学必修二新素养同步课件：2.2.1 第2课时圆的一般方程

栏目导引
第2章平面解析几何初步
设内切圆半径为 r，点 P 的坐标为(x，y)，则有 2r＋AB＝CA ＋CB，所以 r＝1. 故内切圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，化简得， x2＋y2－2x－2y＋1＝0，① 又因为 PA2＋PB2＋PC2＝(x－4)2＋y2＋x2＋(y－3)2＋x2＋y2＝ 3x2＋3y2－8x－6y＋25，②
栏目导引
第2章平面解析几何初步
3.已知两定点 A(－2，0)、B(8，0)，动点 P 在圆 C：(x－3)2＋y2＝1 上移动． (1)求证：AP2＋BP2 恒为定值； (2)据(1)猜测：对任意圆 C′，当两定点 A、B 与点 C′满足什么关系时，AP2＋BP2 恒为定值．
栏目导引
第2章平面解析几何初步
半径长 r＝2
a2－2a＋2
|a|
.
栏目导引
第2章平面解析几何初步
判断二元二次方程是否是圆的方程时，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆．此时有两种途径：一是看 D2＋E2－ 4F 是否大于零；二是直接配方变形，看方程等号右端是否为大于零的常数．
解：(1)2x2＋y2－7y＋5＝0 中 x2 与 y2 的系数不相同，故原方程不能表示圆． (2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0 中含有 xy 项，故原方程不能表示圆． (3)因为 D2＋E2－4F＝1－8＝－7＜0，所以原方程不能表示圆．
栏目导引
第2章平面解析几何初步
(4)法一：因为 a≠0，所以原方程可化为 x2＋y2－4（aa－1）x ＋4ay＝0，即x－2（aa－1）2＋y＋2a2＝4[（a－a12）2＋1]＞0，所以原方程表示圆，

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修2 2.2.1 圆的方程》52

高中数学苏教版必修2 第2章第2节圆与方程圆的方程〔第一课时〕南京市金陵中学于健【教材分析】本节课?圆的标准方程?是苏教版必修2第二章第二节第一课时的内容，本节课主要研究圆的标准方程，圆的标准方程是本章的重点内容之一．圆的方程在我们江苏?考试说明?中要求为C级，要求学生能到达综合应用的能力．一方面圆的方程与前面学习的直线方程有密切的联系；另一方面，学习圆的方程又为进一步学习圆锥曲线等内容提供了思路．学习圆的方程要类比前一节直线的方程．学习圆的标准方程是学生探究二次曲线的开始，它对以后圆锥曲线的学习，无论在知识上，还是在思维上都具有借鉴的作用．【教学目标】1．通过圆的标准方程的推导，进一步领会坐标法研究几何问题的方法和步骤，渗透“曲线的方程〞和“方程的曲线〞的思想；2．掌握圆的标准方程的结构形式，能运用待定系数法或圆的性质求出圆的标准方程，也能根据圆的标准方程说出圆的一些具体特征；3．感受“数〞与“形〞的对立和统一，渗透运动变化、相互联系和相互转化等辩证观点．【教学重点】掌握圆的标准方程，会根据条件求圆的方程；并能根据方程写出圆心的坐标和圆的半径．【教学难点】“圆的方程〞与“方程表示的圆〞的理解．教学过程一、创设情境，导入新课〔一〕图片观察，问题思考1．图片观察：生活中，我们经常接触一些圆形，下面我们一起来认识一下〔圆的图片欣赏〕课件展示：同一硬币的正反面、摩天轮、汽车轮胎等。

2．问题1：有人说，圆是平面内最完美的曲线，通过观察这几幅图片，大家能从数学的角度说说为什么吗？【设计意图】同一硬币的正反面，它们的轮廓是两个圆心位置不同、半径相等的圆；摩天轮快速旋转后里面是一个个圆心相同半径不等的同心圆轮廓．暗示了确定一个圆需要两个条件：圆心的位置和半径的大小．生活中圆的图形无处不在，圆具有对称美，以图片吸引学生，把学生的目光吸引到研究圆的问题．〔二〕问题导入，启发探究问题2：在平面几何中，圆是怎样定义的？如何用集合语言描述以点C为圆心，r为半径的圆？问题3：在平面几何中，我们学习了圆的哪些主要性质？问题4：确定一个圆需要哪些条件？【设计意图】三个问题逐个呈现．圆的定义是列式推导圆方程的关键；回忆圆的几何性质为使用几何法求圆的方程作准备；确定一个圆需要明确圆心和半径，为后面推导圆的标准方程打下根底．启发与提问：前面我们学习了立体几何，知道立体几何研究的是空间点、线、面的位置关系，现在又学习解析几何，即用代数的方法研究几何图形的性质，那么我们是如何用代数方法研究几何图形的性质的呢？通过建立平面直角坐标系，将点与坐标、直线与方程建立了一一对应的关系，从而将几何问题转化为代数问题．问题5：我们学习过了直线与方程，请大家回忆一下，我们是如何研究的呢？【设计意图】解析几何的核心思想是通过建立平面直角坐标系，将点与坐标、曲线与方程建立一一对应的关系．回忆研究直线与方程，一方面是根据条件求直线方程，另一方面是根据直线方程研究直线的性质和位置关系．类比这一方法，为研究圆的方程做铺垫．二、深入探究，螺旋建构问题6：圆的半径为r12．设点：设圆上任一点2；4圆心为C2，－3．5求圆心在直线＝－上，且过两点A2，0，B0，－4的圆的标准方程．【设计意图】5个问题分层次出示．题1、2、3比拟根底，学生很容易完成，既能增加他们学习的兴趣和信心，还能加深其对圆的标准方程的理解和应用；题4可以直接求半径，从而得到圆的方程，也可以运用待定系数法，设所求方程－22＋＋32＝r2，将0，0代人求出r．题5可以用待定系数法，也可以运用圆的几何性质，即弦AB的垂直平分线经过圆心．让学生总结出圆的标准方程的两种求法——待定系数法和几何法．要求学生在解题过程中能择优应用，进一步培养学生一题多解的发散思维能力和数形结合的思想．例2说出以下方程所表示的图形的特征：12＋2＝16≥0；2－22＋－12＝1≥2；3－a2＋2＝4；4＝错误!．【设计意图】在数学应用的环节，教师应充分发挥“引导者〞、“组织者〞的角色，为了将学生学习“圆的方程〞认知过程中的难点和细节点拨到位，我设置了例2这一题组，将学生运用知识时可能会产生的错误暴露出来并及时纠正到位，让学生在例题应用过程中加深知识的理性认知，最终到达对知识的透彻理解，而诸如数形结合、运动变化等思想也能渐渗渐透．四、反应训练，形成方法求满足以下条件的圆的方程：1．A0，－5，B0，－1，以线段AB为直径的圆；2．圆心为C3，－5，并且与直线－7＋2＝0相切；3．圆过点0，1和0，3，半径等于1；〔学生独立完成，暴露出问题，教师及时纠正〕【设计意图】设计三个小题作为稳固性训练，使学生掌握求不同条件下的圆的方程的求法，要求学生限时、独立完成，让学生体验解决数学问题的乐趣、成功的喜悦，从而增强学好数学的信心．五、课堂小结问题10：这节课我们学习了什么？请大家总结一下：学生：思考交流，小组展示．教师：及时补充．表达三个方面：〔1〕知识：圆的标准方程的推导和方程的结构特点．〔2〕方法：求圆的方程的两种方法：1待定系数法；2几何法．〔3〕思想：数形结合思想．【设计意图】在这个环节里，先由同学们组内交流、小组展示，使学生在互相交流中获得更多的学习经验，同时培养学生的团队合作精神、口头表达能力、归纳概括能力．最后由老师作全面总结，这样，学生对本节课的知识掌握的才更加系统牢固．六、布置作业作业1、课本第111页练习第1，3两题作业2、思考题：将圆的标准方程展开，我们将会得到什么样的方程？是否所有的这种形式的方程都可以表示圆的方程？【设计意图】我设计两个作业作为本节课的稳固和延伸，完成作业一，到达稳固本节知识的效果；完成作业二，为下节课学习圆的一般方程做好预习工作，从而起到温故知新的作用．教学设计说明：数学课堂教学不再是灌输式的、填鸭式的教学模式，我们在课堂教学中要更多的以学生为主体，要精心设计好每一节课的教学环节，要精细到每一个问题以及提问的方式，以便让学生不仅在课堂上学习到知识，更重要的是要让学生在学习的过程中学会学习，通过自己发现问题并解决问题；使学生在知识方面得到拓展、延伸，同时还在思维、创新意识方面也能够得到提升为此，本节课我采用以问题为中心，以探索为主线，以培养学生思维能力和创新意识为核心的数学课堂教学模式，每个环节都力争给学生创造一种思维情景，一种主动参与的学习时机，激发学生的求知欲，促使学生解决问题的同时锻炼了思维能力、培养了学习兴趣、增强了学好数学的愿望与信心．在本节课堂教学中，我采用了“问题探究〞教学法，课堂上采用学生“自主、合作、探索〞的教学方式，即把教学内容设计为假设干问题，从而引导学生进行充分地探究思考，教师充当组织者、效劳者的身份，使学生在课堂上的主体地位会得到充分发挥，极大地激发了学生的学习兴趣．。

2.2.1圆的方程(1) 教案高中数学必修二苏教版 Word版

2.2 圆与方程单元规划圆是最简单的曲线之一.本单元教材安排在学习了直线之后，学习三大圆锥曲线之前，旨在熟悉曲线和方程的理论，为后继学习作好准备.同时，有关圆的问题，特别是直线与圆的位置关系问题，也是解析几何中的基本问题，这些问题的解决为圆锥曲线问题的解决提供了基本的思想方法.因此教学中应加强练习，使学生确实掌握这一单元的知识和方法.在解决有关圆的问题的过程中多次用到配方法、待定系数法等思想方法，教学中应多总结.解决有关圆的问题，要经常用到一元二次方程的理论、平面几何知识和前边学过的解析几何的基本知识，教师在教学中要注意多复习、多运用，培养学生的运算能力和简化运算过程的意识.有关圆的内容非常丰富，有很多有价值的问题.建议适当选择一些内容供学生研究.例如由过圆上一点的切线方程引申到切点弦方程就是一个很有价值的问题.类似地,还有圆系方程等问题.内容组成本单元内容由三部分组成：1.《圆的方程》和直线的方程一样，教材先设计一个问题情境，通过具体问题的解决，最后上升到一般理论的获得，教学中可以让学生讨论，并注意引导学生分析圆上的点在运动时，不变的是什么.2.《直线与圆的位置关系》是在学生掌握直线的方程和圆的方程后，借助于代数方法来研究直线与圆的位置关系的，教材开始仿照研究两条直线对应方程组的解的问题研究直线的位置关系的方法，通过联立直线与圆的方程组，由方程组的解的个数问题来表示直线和圆的位置关系.另外，还可以通过点到直线的距离来研究圆心距，从而得到圆的半径与圆心距间的大小关系，进而得到直线与圆的位置关系.3 《圆与圆的位置关系》是在掌握了圆的方程后，结合已学过的知识研究两圆的位置关系的.教材中，对圆与圆的位置关系的判定只要求从几何的角度加以分析，教学中注意难度不能提高.教材研究两圆的位置关系时给出了判定的步骤，渗透了算法思想.教学重点1.掌握圆的一般方程及其特点.2.能将圆的一般方程转化为圆的标准方程，从而求出圆心和半径.3.能用待定系数法由已知条件求出圆的一般方程.4.通过本单元学习，进一步掌握配方法和待定系数法.教学难点1.用配方法把圆的一般方程转化成标准方程，求出圆心和半径.2.用待定系数法求圆的方程.课时安排从容说课本节课先设计一个问题情境，通过具体问题的解决，最后上升到一般理论的获得、教学中可以让学生讨论，并注意引导学生分析圆上的点在运动时的特点.圆是最简单的曲线之一,以后还将学习较为复杂的圆锥曲线，所以，这节课的学习关系着我们以后内容的学习，处于非常重要的地位.教学重点圆的标准方程及其运用.教学难点求圆的标准方程的条件的确定. 教具准备多媒体. 课时安排1课时三维目标一、知识与技能1.掌握圆的标准方程，并能根据方程写出圆心的坐标和圆的半径.2.会选择适当的坐标系解决与圆有关的实际问题. 二、过程与方法1.实际问题引入，师生共同探讨.2.探究曲线方程的基本方法. 三、情感态度与价值观培养用坐标法研究几何问题的兴趣. 教学过程导入新课 (投影并讲解)师如果把直线放在直角坐标系下，那么其对应的方程是二元一次方程.那么如果把一个圆放在坐标系下，其方程有什么特征？下面我们先看一个实例：河北省赵县的赵州桥，是世界上历史最悠久的石拱桥，赵州桥的跨度约为37.4m ，圆拱高约为7.2m,如何写出这个圆拱所在的圆的方程？师把圆拱抽象成圆弧，如上图.要求圆的方程，需建立适当的直角坐标系，我们通常以互相垂直的两条直线为坐标轴，或以图形的对称轴为坐标轴建立直角坐标系，接下来问题转化为求圆上任意一点P (x ，y )所满足的关系式.下面我们一起探讨如何求圆拱所在的方程.第一步建立坐标系.以圆拱所对的弦所在的直线为x 轴，弦的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，根据平面几何知识知道圆拱所在圆的圆心O 1必在y 轴上，故可设O 1(0，b ).第二步设点写条件.设圆拱所在圆的半径为r ，那么圆上任意一点P (x ，y )应满足O 1P =r ，即22)(0)-(x b y -+=r ，(x -0)2+(y -b )2=r 2(*),因此，只需确定b 和r 的值，就能写出圆的方程.第三步求相关量.将点B(18.7,0)、C(0,7.2)分别代入(*),得⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-,)2.7()00(,)0()07.18(222222r b r b 解得b ≈20.7,r ≈27.9. 第四步写出所求的方程.故赵州桥圆拱所在的圆的方程为x 2+(y -20.7)2=27.92.一般地，设点P (x ，y )是以C(a ，b )为圆心，r 为半径的圆上的任意一点，则C P ＝r ，由两点间的距离公式得22)()(b y a x -+-=r ，即(x -a )2+(y -b )2=r 2.①反过来，若点P 1的坐标(x 1，y 1)是方程①的解，则(x 1-a )2+(y 1-b )2=r 2，即)()(2121b y a x ++-=r.这说明点P 1(x 1，y 1)在以C(a ，b )为圆心，r 为半径的圆上，所以(x -a )2+(y -b )2=r 2的解为坐标对应的点是在以C(a ，b )为圆心，r 为半径的圆上.方程(x -a )2+(y -b )2=r 2(r>0)叫做以(a ，b )为圆心，r 为半径的圆的标准方程.特别地，当圆心为原点O(0，0)时，圆的方程为x 2+y 2=r 2.推进新课【例1】求圆心是C(2，－3)，且经过原点的圆的方程.师要写出圆的方程，关键是如何求出圆心和半径，现在就缺少半径，半径能否求出？生利用距离公式求出原点到C 点的距离即可.解:因为圆C 经过坐标原点，所以圆C 的半径r=13(-3)222=+.因此，所求圆的方程是(x -2)2+(y +3)2=13.【例2】已知一隧道的截面是半径为4m 的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7m 、高为3m 的货车能不能驶入这个隧道？师此题是一道实际问题，能否直接用平面几何的方法解决？生可以,如图,转化为求AB 的长度，若求出AB 的长度超过4m ，则不能通过，否则就能够通过.师很好！我们还可以建立直角坐标系，来处理这个问题.下面一起看一看是如何处理的.解:以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB 所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，那么半圆的方程为x 2+y 2=16(y ≥0),将x ＝2.7代入，得y =71.87.2162=-<3,即在离中心线2.7m 处，隧道的高度低于货车的高度，因此货车不能驶入这个隧道. 思考:假设货车的最大宽度为a m.那么货车要驶入该隧道，限高为多少？【例3】求过两点A(0,4)、B(4,6)，且圆心在直线x -2y -2=0上的圆的标准方程.分析一：由圆的标准方程(x -a )2+(y -b )2=r 2,知要确定圆的标准方程，只需确定a 、b 、r 三个量，可用待定系数法.解法一:设圆心坐标为(a ,b )，圆半径为r.则圆方程为(x -a )2+(y -b )2=r 2， ∵圆心在直线x -2y -2=0上，∴a -2b -2=0. ① 又∵圆过两点A(0,4)、B(4,6)，∴(0-a )2+(4-b )2=r 2, ②且(4-a )2+(6-b )2=r 2. ③ 由①②③得a =4,b =1,r=5，∴圆方程为(x -4)2+(y -1)2=25.分析二：由垂径定理知圆心在弦AB 的垂直平分线上，又由已知条件知圆心在直线x -2y -2=0上，因此，圆心是这两条直线的交点.解法二:线段AB 的中点坐标为(2,5)，直线AB 的斜率为210446=--， ∴线段AB 的垂直平分线方程为y -5=-2(x -2)，即2x +y -9=0. 解方程组⎩⎨⎧=-+=--,082,022y x y x 得圆心O 的坐标为(4,1)，半径OA=,5)41()04(22=-+-∴圆方程为(x -4)2+(y -1)2=25.点评:垂径定理是圆的一条非常重要的几何性质，利用这一性质很多时候能给解题带来方便.【例4】已知两点A(4,9)、B(6,3)，求以AB 为直径的圆的方程，并且判断点M(6,9)、N(3,3)、Q (5,3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？分析：线段AB 的中点即为圆心，AB 长即为直径.判断点与圆的位置关系只需判断点到圆心距离与半径的大小关系.解:线段AB 中点为O(5,6)，即为圆心，圆半径为109)(34)-(6212122=++=AB ， ∴以AB 为直径的圆的方程为(x -5)2+(y -6)2=10. ∵OM=10，ON=13>10，O P =3<10，∴点M 在圆上，点N 在圆外，点P 在圆内.点评:判断点与圆的位置关系只需将点到圆心距离d 与圆半径r 比较，若d=r ，则点在圆上；若d>r ，则点在圆外；若d<r ，则点在圆内.师通过本节学习，我们掌握了圆的标准方程，了解了待定系数法，进一步熟悉了求曲线方程的一般步骤，并能解决一些简单的有关圆的实际问题.布置作业略.板书设计2.2.1 圆的方程(1)圆的标准方程:以A(x1,y1)、B(x2,y2)为直径的圆的方程……例1例2例3例4课堂练习证明以A(x1,y1)、B(x2,y2)为直径的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.活动与探究提示：向量方法设圆上任意一点P（x,y），则AP⊥BP，AP、BP=0，即（x1-x2,y-y1）·(x-x2,y-y2)=0.所以（x-x1）(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.备课资料备选练习或例题1.圆(x-3)2+(y+2)2=13的周长和面积分别为()A.26π,169πB.213π,13πC.26π,13πD.213π,169π2.若点(1,2)在圆(x-2)2+(y+1)2=m的内部,则实数m的取值范围是()A.0<m<10B.0<m<10C.m>10D.m>103.若⊙C过点(1,2)和(2,3),则下列直线中一定经过该圆圆心的是()A.x-y-1=0B.x-y+1=0C.x+y-4=0D.x+y+4=04.若圆(x-a)2+(y+2)2=5过点(-1,-1)，则a=__________.5.已知⊙C过点(1,0),且与两条直线y=x,y=-x相切,则⊙C的方程为__________.6.已知圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r＞0)，确定下述情况中a、b、r应满足的条件：(1)圆心在y轴上：__________；(2)圆与x轴相切：__________；(3)圆心在直线x+3y-1=0上：__________.7.试求⊙A：(x-3)2+(y+2)2=36关于直线x-y+1=0对称的⊙A′的标准方程.8.若⊙C经过两点(2,2)和(3,1),圆心在直线2x+y+4=0上,求⊙C的方程.1.B2.C3.C4.1或-35.(x-1)2+(y-1)2=1或(x-1)2+(y+1)2=16.a=0 |b|=r a+3b-1=07.(x+3)2+(y-4)2=36.8.(x+1)2+(y+2)2=25.。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修2 2.2.1 圆的方程》2

一、课题：一类动点轨迹问题的探究——解决与隐形圆有关的问题二、教学目标：通过对圆的定义、性质和圆的方程的理解寻找动点轨迹，进而将问题化归为圆的相关问题。

三、教学重点、难点：1、通过对圆的定义、性质和圆的方程的理解发现隐形圆；2、从数和形两个角度探究隐形圆的呈现形式和性质。

四、教学过程：（一）、课前热身1、△ABC中，三边a、b、c所对的角分别为A、B、C，假设a=1，b=2，那么∠A的取值范围为。

2、假设圆C：〔x-a〕2+〔y+a〕2=1上总存在两个点到原点的距离为1，那么实数a的取值范围为。

3、假设圆C：〔x-3〕2+〔y+4〕2=1和两点A〔-m，0〕B〔m，0〕〔m>0〕，圆C 上存在点P使∠APB=90°，那么m的最大值为。

变式1：假设圆C：〔x-3〕2+〔y+4〕2=1和两点A〔-m，0〕B〔m，0〕〔m>0〕，圆C上存在点P使PA2+PB2=4m2，那么m的最大值为。

变式2：假设圆C：〔x-3〕2+〔y+4〕2=1和两点A〔-m，0〕B〔m，0〕〔m>0〕，圆C上存在点P使PA2+PB2=3m2，那么m的最大值为。

y变式3：假设圆C ：〔x -3〕2+〔y+4〕2=1和两点A 〔-m ，0〕B 〔m ，0〕〔m>0〕，圆C 上存在点P 使=m 2，那么m 的最大值为。

4、假设A 〔4,0〕B 〔1,0〕PA=2PB ，点P 到C 〔-4,0〕的距离的取值范围为。

（二）、例题解析例1、等腰三角形ABC 中，三边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，假设AB=AC ，，CD=2，那么△ABC 面积的最大值为。

例2、在直角坐标系中，圆O ：，点P 〔1，2〕，M ，N 为圆O 上不同的两点，且=0，x x yx yx yx y假设，那么的最小值为。

yx例3、在平面直角坐标系xOy中，A〔-12，0〕，B〔0，6〕，点P在圆O：x2+y2=50上．假设≤2021点P的横坐标的取值范围是______．yx（三）、稳固练习1、O〔0，0〕A〔0,3〕假设圆C：〔x-a〕2+〔y-2a+4〕2=1上总存在点M，使MA=2MO，圆心C的横坐标a的取值范围为______．2、，与圆C:均无公共点，那么m的取值范围为______．3、点A〔2,3〕B〔6，-3〕，p在3x-4y+3=0上，假设的点P有两个，在的取值范围为______．4、线段AB=2，动点C满足〔为常数〕，点C总不在以B为圆心，以为半径的圆内，那么负数的最大值为______．5、B、C为圆O：上的两点，点A〔1,1〕，，那么线段BC的长度的取值范围为______．6、在△ABC中∠C=45°，O是△ABC的外心，那么m+n的取值范围为______．（四）、课堂小结隐形圆：1、2、3、4、（五）、板书设计x y xyxyxy。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修2 2.2.1 圆的方程》1

必修二第四章圆的标准方程教学目标1知识与技能：〔1〕掌握圆的标准方程的形式；；〔2〕能够根据题目给定条件求圆的标准方程；〔3〕能够根据圆的标准方程找到圆心和半径。

2过程与方法：加深对数形结合思想和待定系数法的理解；增强应用数学的意识。

从高考开展的趋势看，高考越来越重视学生的分析问题、解决问题的能力。

因此，要求学生在学习中遇到问题时，不要急于求成，而要根据问题提供的信息回忆所学知识，涉及到转化思想，数形结合的思想，应用平面解析几何的相关知识。

经历公理的推导过程，体验由特殊到一般、数形结合的数学思想方法。

使学生初步学会把一些实际问题转化为直线和平面的问题,关键是要使该问题是否满足点、直线、平面以及它们之间的关系，培养学生分析问题、解决问题的能力3情感态度价值观：〔1〕空间教学的核心问题是让学生了解圆的特征，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些现象；〔2〕用有现实意义的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索，善于发现的创新思想。

培养学生掌握“理论的辨证思想重点难点1教学重点：圆的标准方程的推导以及根据条件求圆的标准方程；2教学难点：根据条件求圆的标准方程一、引入新课知识链接：1．两点间的距离公式？2．具有什么性质的点的轨迹称为圆？圆的定义？平面内与一定点的距离等于定长的点的轨迹称为圆，定点是圆心，定长是半径圆在我们的生活中无处不在，日出东方，车行天下，这些都是圆的具体表现形式．那么车轮为何设计为圆形，而不是其他的形状？师生活动：假设是方形，走起来颠簸，不舒服；不是圆形，转不起来正是圆，可以让车轮上的每一点到轴心的距离相等，才保证了轮子转起来而不颠簸【设计意图】从身边的实例引入，激发学生学习兴趣，也为复习圆的定义做好铺垫问题1：什么是圆？问题2：在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也可以确定一条直线，那么在什么条件下可以确定一个圆？【设计意图】使学生在已有知识的根底上，结合圆的定义答复出确定圆的两个要素—圆心〔定位〕和半径〔定形〕．问题3：直线可以用一个方程表示，圆也可以用一个方程来表示吗？【设计意图】使学生在已有知识和经验的根底上，探索新知，引出本课题．二、探究新知问题4：圆的圆心坐标为，半径为〔其中、、都是常数，〕，如何确定圆的方程？方程的一般步骤．12写出适合条件2〔〕3 2 2 41028 = 0【设计意图】熟练掌握圆的标准方程与圆心坐标,半径长的关系．四、运用新知例1 写出圆心为,半径长等于5的圆的方程，并判断点是否在这个圆上．分析：判断圆心是否在圆上，可以从计算点到圆心的距离入手．解：圆心是，半径长等于5的圆的标准方程是把点的坐标代人方程，左右两边相等，点的坐标适合圆的方程，所以点在这个圆上；把点的坐标代人方程，左右两边不相等，点的坐标不适合圆的方程，所以点不在这个圆上．【设计意图】通过对圆的标准方程的直接应用，培养学生分析问题、解决问题的能力和良好的解题习惯．探究：怎样判断点在圆上？圆内？还是圆外？〔1〕点在圆外〔2〕点在圆上〔3〕点在圆内【设计意图】学生自己探讨发现点与圆的位置关系的判定方法，从而归纳出以下结论,培养学生分析问题、解决问题的能力．变式训练：1点与圆的位置关系〔〕Ａ．在圆外Ｂ．在圆上Ｃ．在圆内Ｄ．在圆上或圆外5，1，圆心在点C8，-3的圆的标准方程．3求圆心为且与直线相切的圆的标准方程．【设计意图】根据圆心和半径熟练写出圆的标准方程．例2 的三个顶点的坐标是，求它的外接圆的方程．分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆．从圆的标准方程可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定三个参数．还可以先求圆心〔是线段AB 和线段BC 的中垂线的交点〕，然后求半径，代入圆的标准方程．解法一：设所求圆的方程是 1因为都在圆上，所以它们的坐标都满足方程〔1〕．于是所以，的外接圆的方程为．解法二：〔师生共同完成〕因为，所以线段的中点的坐标为，直线的斜率，因此线段的垂直平分线的方程是，即，同理可得线段的垂直平分线的方程是．圆心的坐标是方程组的解．解此方程组，得，所以圆心的坐标是．圆心的圆的半径长．所以，的外接圆的方程为．总结归纳：〔教师启发，学生自己比拟、归纳〕比拟例2得出外接圆的标准方程的两种求法：方法一：代数法—待定系数法；方法二：几何法—数形结合．L【设计意图】结合例2的理解，学生自己归纳出求任意三角形外接圆的标准方程的两种方法，并比拟两种方法的优劣．例3 圆心为的圆经过点，且圆心在直线上，求圆心为的圆的标准方程．解法一：因为，，所以线段的中点的坐标为，直线的斜率．因此线段的垂直平分线的方程是，圆心的坐标是方程组的解．解此方程组，得，所以圆心的坐标是圆心为的圆的半径长．所以圆心为的圆的标准方程是．解法二：设所求圆的方程为．由题意得，解得所以所求圆的方程是．【设计意图】结合对例2的理解，找两位同学分别用两种不同的方法到黑板上解该题，让学生体会根据不同的条件，灵活适当地选取恰当的方法求圆的标准方程，并比拟两种方法的优劣，同时学生爬黑板板书解题过程，以标准学生的解题步骤．五、课堂小结教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？学生作答：1．知识：〔1〕圆的标准方程的结构特点．〔2〕点与圆的位置关系的判定．3 求圆的标准方程的方法：①待定系数法；②几何法2．思想：数形结合的思想．教师总结: 圆的标准方程的推导方法用到了前面学过的知识，提醒学生: 在学习新知时，也要经常复习前面学过的内容,“温故而知新〞．在应用中增强对知识的理解，及时查缺补漏,从而更好地运用知识,解题要有目的性，加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用．【设计意图】加强对学生学习方法的指导．六、布置作业1阅读教材 P118-120212．书面作业必做题：P124 习题A组2，3选做题：P124 习题B组3七、板书设计。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修2 2.2.1 圆的方程》40

圆的方程〔高三文科班第一轮复习课〕梅州市五华县皇华中学巫文标一、教材分析本章在第三章“直线与方程〞的根底上，在直角坐标系中建立圆的方程，并通过圆的方程研究直线与圆、圆与圆的位置关系．在直角坐标系中建立几何对象的方程，并通过方程研究几何对象，这是研究几何问题的重要方法，通过坐标系把点与坐标、曲线与方程联系起来，实现空间形式与数量关系的结合．坐标法是贯穿本章的灵魂，在教学中要让学生充分的感受体验．结合．二、学情分析本章是在在学习了直线之后，学习三大圆锥曲线之前，旨在熟悉曲线和方程的理论为后继学习作好准备．同时有关圆的问题，特别是直线与圆的位置问题，也是解析几何中的根本问题，这些问题的解决为圆锥曲线问题的解决提供了根本的思想方法．应此教学中应加强练习，使学生确实掌握这单元的知识和方法．本课是本单元的第一课，和直线方程一样，教学中先设计一个问题情景，让学生讨论，并引导学生观察圆上点在运动时，不变的是什么，抓住圆的本质，突破难点．三、课型复习课四、教学目标1、知识与技能了解解析几何的根本思想，了解用坐标法研究几何问题；掌握圆的标准方程和一般方程，加深对圆的方程的认识．2、方法与过程通过实例引入，复习有关根底概念，掌握确定圆的几何要素和求圆的方程的一般方法．3 、情感态度价值观通过本节的复习，使学生形成系统的知识结构，掌握解析几何的思想方法，形成一定的分析问题和解决问题的能力．五、教学重点解析几何解题的根本思路和解题方法的形成．六、教学难点根据具体问题确定圆心及方程组求解．七、教学过程〔一〕目标及考情1、目标〔1〕掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．〔2〕掌握数形结合思想．2、考情〔二〕梳理知识1、定义：在平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆．2、圆的标准方程：圆心为，半径为如1、〔1〕圆，圆心为_______，半径为______；〔2〕以为圆心，半径为的圆的方程是____________________．3、圆的一般方程：圆心为，半径为如2、〔1〕圆的圆心坐标为_______，半径为______．〔2〕圆的圆心坐标为_________．〔三〕例题讲解例1、〔2021年新课标全国Ⅱ卷，理7改编〕求过三点，，的圆的方程．跟踪练习1、〔2021年新课标全国Ⅱ卷，文7〕三点，，，那么外接圆的圆心到原点的距离为A B C D跟踪练习2、圆经过点和，且圆心在直线上，求圆的方程．例2、〔2021年新课标全国Ⅱ卷，文6〕圆的圆心到直线的距离为1，那么〔A〕−〔B〕−〔C〕〔D〕2例3、假设方程表示一个圆，求的取值范围．〔四〕课堂小结求圆的方程，可以概括成“圆不离三〞，即圆心和半径，需要三个独立条件，注意数形结合，充分运用圆的性质．〔五〕作业布置学生用书P287八、教后反思本课适合本班学生根底薄弱的学情；知识讲解到位，特别是梳理知识时，结合简单的问题，可使学生及时掌握公式的直接应用；环节齐全，时间分配合理，重点难点问题解决了，把例1做成微课，通过微课激发学生学习兴趣，微课也可以在课后反复观看，适合本班不同层次的学生．学生积极参与课堂活动，参与的广度大，且从课堂练习的效果看，学生学习效率很高．通过本课，学生获得了“四基〞，提高了“四能〞，开展了相关的学科核心素养．。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修2 2.2.1 圆的方程》84

§ 圆的方程教学目标：掌握圆的标准方程；能根据圆心的坐标、半径熟练写出圆的标准方程；能从圆的标准方程熟练地写出圆心和半径教学重点：圆的标准方程)0()()(222>=-+-r r b y a x222r y x =+教学难点：根据条件利用待定系数法确定圆的三个参数，从而求出圆的标准方程教学过程：一、问题情境1．情境引入：展示历史最悠久的石拱桥赵州桥，介绍赵州桥的相关背景资料2．提出问题：如果将圆拱抽象成几何图形是什么形状？圆的定义是什么？基本要素是什么？二、学生活动问题1：要求圆拱所在圆的方程，首先要做什么工作？问题2：这样建立直角坐标系最适当？问题3：图形中那些点的坐标我们已知？三、建构数学1求解圆的方程第一步：建系第二步：设点第三步：代入2求解一般圆的方程一般地，设点),(y x M 是以),(b a C 为圆心，r 为半径的圆上的任一点，则r MP =，由两点见的距离公式得r b y a x =-+-22)()(即 222)()(r b y a x =-+-反过来，……四、数学理论1圆的标准方程方程)0()()(222>=-+-r r b y a x叫做以),(b a 为圆心，r 为半径的圆的标准方程2回顾反思：（1）a 、b 、r 为常数（2）以原点为圆心的圆的方程是222r y x =+（3）单位圆122=+y x五、数学运用1例题例1．课本P99例1（要确定圆的方程，只要确定a 、b 、r 三个量）例2．求过两点)4,0(A 、)6,4(B ，且圆心在直线022=--y x 上的圆的标准方程[法一]待定系数法；[法二]几何分析法例3．已知两点)9,4(A 、)3,6(B ，求以AB 为直径的圆的标准方程，并且判断点)9,6(M ，)3,3(N ，)3,5(Q 是在圆内、圆上还是在圆外？判断点与圆位置关系的依据：点到圆心的距离与半径的比较问题延伸：证明以),(11y x A ),(22y x B 为直径的圆的方程是0))(())((2121=--+--y y y y x x x x例4．课本P99例2２．练习：可以讨论课本P102练习六、总结反思1圆的标准方程形式)0()()(222>=-+-r r b y a x ；2待定系数法，几何分析法求解圆的标准方程；3判断点与圆的位置关系。

【优化方案】2012高中数学第2章2.2.1圆的方程课件苏教版必修2

知新益能 1．圆的标准方程．
思考感悟 1．方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(a，b，r∈R)表示一．方程－－，， ∈ 表示一个圆吗？为什么？个圆吗？为什么？提示：未必表示圆． ≠ 时表示圆心为(a，提示：未必表示圆．当r≠0时，表示圆心为，b), 半径为|r|的圆；＝时表示一个点(a，．半径为的圆；当r＝0时，表示一个点，b)．的圆
1 D2＋E2－4F 2 为半径的圆；心， _______________为半径的圆；为半径的圆
D ②当 D ＋E －4F＝0 时，方程只有实数解 x＝－，＝＝－ 2 D E E －，－ 2； y＝－，即只表示一个点 2 即只表示一个点__________；＝－ 2 方程没有实数解， ③当 D2＋E2－4F＜0 时，方程没有实数解，因而它＜不表示任何图形．不表示任何图形． (2)圆的一般方程的特点圆的一般方程的特点圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半而一般方程突出了方程形式上的特点：径，而一般方程突出了方程形式上的特点：的系数______， ① x2 和 y2 的系数相等，且不等于 0；；没有_____这样的二次项这样的二次项． ②没有 xy 这样的二次项．
圆的方程的综合应用灵活选择圆的两种方程，灵活选择圆的两种方程，同时结合数形结合的思想能有效找到解题的捷径．想能有效找到解题的捷径．
例3 已知圆 C ： (x － 3)2 ＋ (y － 4)2 ＝ 1 ，点 A( －
1 PB2 的最，在圆上运动，在圆上运动＝值及相应的点P的坐标．值及相应的点的坐标．的坐标
，
.
故圆的方程为 x2＋y2－4x－2y－20＝0. －－＝

高中数学：2.2《圆的一般方程》教案(苏教教必修2)

高中数学：2.2《圆的一般方程》教案（苏教教必修2）第14课时圆的一般方程教学目标（1）掌握圆的一般方程并由圆的一般方程化成圆的标准方程；（2）能分析题目的条件选择圆的一般方程或标准方程解题；（3）解题过程中能分析和运用圆的几何性质．教学重点圆的一般方程的认识和圆的两种方程的选择使用．教学难点圆的一般方程的认识过程和判断二元二次方程是否为圆方程．教学过程一、问题情境1．情境：方程22(1)(2)4x y -+-=表示怎样的图形？2．问题：方程22(1)(2)4x y -+-=是几元几次方程？二元二次方程一定表示圆吗？二、学生活动观察方程22(1)(2)4x y -+-=整理后的形式222410x y x y +--+=，得到是关于,x y 的二元二次方程，且22,x y 项的系数相等不为零，不含有xy 项；反过来，像这样的二元二次方程220x y Dx Ey F ++++=一定表示圆吗？三、建构数学将方程220x y Dx Ey F ++++=配方，得22221()()(4)224D E x y D E F +++=+-与圆的标准方程进行比较得到：1．当2240D E F +->时，方程表示以(,)22D E --为圆心，2为半径的圆；2．当2240D E F +-=时，方程表示一个点(,)22D E --； 3．当2240D E F +-<时，方程无实数解，即方程不表示任何图形；方程22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->叫做圆的一般方程．四、数学运用1．例题：例1．求过三点12(0,0),(1,1),(4,2)O M M 的圆的方程；分析：由于12(0,0),(1,1),(4,2)O M M 不在同一条直线上，因此经过12,,O M M 三点有唯一的圆．解：法一：设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，∵12,,O M M 三点都在圆上，∴12,,O M M 三点坐标都满足所设方程，把12(0,0),(1,1),(4,2)O M M 代入所设方程，得：02042200F D E F D E F =⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩解之得：860D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩所以，所求圆的方程为22860x y x y +-+=．法二：也可以求1OM 和2OM 中垂线的交点即为圆心，圆心到O 的距离就是半径也可以求的圆的方程：22860x y x y +-+=．法三：也可以设圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=将点的坐标代入后解方程组也可以解得22(4)(3)25x y -++=例2．已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，求线段AB 中点M 的坐标(,)x y 中,x y 满足的关系？并说明该关系表示什么曲线？解：设点A 的坐标是00(,)x y ，由于点B 的坐标是(4,3)，且M 是AB 的中点，所以0043,22x y x y ++==（＊）于是，有0024,23x x y y =-=-因为点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，所以点A 的坐标满足方程22(1)4x y ++=，即2200(1)4x y ++=（＊＊）将（＊）式代入（＊＊），得22(241)(23)4x y -++-=，整理得2233()()122x y -+-=所以,x y 满足的关系为：2233()()122x y -+-= 其表示的曲线是以33(,)22为圆心，１为半径的圆．说明：该圆就是M 点的运动的轨迹；所求得的方程就是M 点的轨迹方程：点M 的轨迹方程就是指点M 的坐标(,)x y 满足的关系式．例3．某圆拱桥的示意图如右图，该圆拱的跨度AB 是36米，拱高OP 是6米，在建造时，每隔3米需用一个支柱支撑，求支柱22A P 的长度（精确到0.01米）．解：以线段AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中点O 为坐标原点建立直角坐标系，那么点,,A B P 的坐标分别为(18,0),(18,0),(0,6)-；设圆拱所在的圆的的方程为220x y Dx Ey F ++++=，∵点,,A P B 在所求的圆上，则坐标代入得：2221818018180660D F D F E F ⎧++=⎪-+=⎨⎪++=⎩，解之得048324D E F =⎧⎪=⎨⎪=-⎩ ∴圆拱所在的圆的方程为22483240x y y ++-=；将点2P 的横坐标6x =代入圆方程，解得24 5.39y =-+≈（舍去负值）答：支柱22A P 的长约为5.39米．2．练习：课本102P 练习第4,5,6题；课本103P 第8题．五、回顾小结：1．圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=及其条件2240D E F +->； 2．方程思想求圆的一般方程．六、课外作业：课本第102页第5,6,7,9,10题．。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修2 2.2.1 圆的方程》0

圆的标准方程一、教学分析在初中曾经学习过圆的有关知识，本节内容是在初中所学知识及前几节内容的根底上，进一步运用解析法研究圆的方程、它与其他图形的位置关系及其应用。

同时，圆是特殊的圆锥曲线，因此，学习了圆的方程，就为后面学习其他圆锥曲线的方程奠定了根底。

也就是说，本节内容在教材体系中起到承上启下的作用，具有重要的地位，在许多实际问题中也有着广泛的应用。

由于“圆的方程〞一节内容的根底性和应用的广泛性，对圆的标准方程要求层次是“掌握〞，为了激发学生的主体意识，培养学生的创造和应用意识，本节内容我采用“引导探究〞型教学模式进行教学设计。

二、三维目标1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程，能根据圆的标准方程写出圆的圆心坐标和半径，进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想。

2、用待定系数法和几何法求圆的标准方程，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，形成代数方法处理几何问题的能力。

三、教学重点圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程的应用。

四、教学难点会根据不同的条件，会利用待定系数法和几何法求圆的标准方程。

五、课时安排 1课时六、教学过程设计七、板书设计八、教学反思圆是学生比拟熟悉的曲线，求圆的标准方程是本节课的重点和难点。

为此我设置了由浅入深的学习环境，先让学生熟悉圆心、半径与圆的标准方程之间的关系，逐步理解三个参数的重要性，自然形成待定系数法的解题思路，在突出重点的同时突破了难点。

利用圆的标准方程由浅入深的解决问题，增强学生应用数学的意识。

另外，为了培养学生的理性思维，在例题二中我用一题多解的探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，培养了学生创新精神，并且使学生的有效思维量加大，随时对所学知识和方法产生有意注意，能力与知识的形成相伴而行，这样的设计不但突出了重点，更使难点的突破水到渠成。

本设计把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程，在解决的同时锻炼了思维、提高了能力、培养了兴趣，完本钱节的学习任务。