3.1.2复数的几何意义

有序实数对(a,b) 有序实数对 复数z=a+bi 复数 （数）
一一对应
直角坐标系中的点Z(a,b) 直角坐标系中的点 （形）
讲解新课
y 建立了平面直角坐标系 来表示复数的平面---复平面 来表示复数的平面 复平面 b 其中： 轴 其中：x轴------实轴 实轴 x y轴------虚轴 轴 虚轴
y
满足|z|=5(z∈C) 满足|z|=5(z∈C) 复数z 的复数z对应的点在 复平面上将构成怎 样的图形？ 样的图形？ –5 设z=x+yi(x,y∈R) ∈R)
| z |= x 2 + y 2 = 5
5
5 O x
–5
小结: 小结
复数的几何意 义是什么？
课题： 课题：复数的有关概念 课堂小结： 课堂小结： 数学知识： 复数概念 一. 数学知识： (1)复数概念 (2)复平面 复平面 (3)复数的模 复数的模 数学思想： 转化思想 二. 数学思想： (1)转化思想 (2)数形结合思想 数形结合思想 (3)类比思想 类比思想
z=a+bi Z(a,b)
a
o
由点Z唯一确定 唯一确定， 由于向量 OZ 由点 唯一确定， 所以复数的第二个几何意义是： 所以复数的第二个几何意义是： 复数z=a+bi 复数
一一对应
平面向量 OZ
复数z=a+bi 复数
直角坐标系中的点Z(a,b) 直角坐标系中的点
平面向量 OZ
例1.辨析： 辨 下列命题中的假命题是（ 下列命题中的假命题是（D） (A)在复平面内，对应于实数的点都在实 在复平面内， 在复平面内 轴上； 轴上； (B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在 在复平面内， 在复平面内 虚轴上； 虚轴上； (C)在复平面内，实轴上的点所对应的复 在复平面内， 在复平面内 数都是实数； 数都是实数； (D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复 在复平面内， 在复平面内 数都是纯虚数。 数都是纯虚数。
实数 b = 0 复数z = a + bi b 纯虚数 a = 0， ≠ 0 ( a, b ∈ R ) 虚数 b ≠ 0 b 非纯虚数 a ≠ 0， ≠ 0
3.规定：如果两个复数的实部 虚部分别相等， 实部和 分别相等 3.规定：如果两个复数的实部和虚部分别相等， 规定 那么我们就说这两个复数相等 那么我们就说这两个复数相等． 两个复数相等．
3.1数系的扩充和复数的概念
3.1.2 复数的几何意义
知识回顾
1.复数的代数形式： 1.复数的代数形式 复数的代数形式：
表示， 通常用字母 z 表示，即
z = a + bi (a ∈ R, b∈ R)
实部 ห้องสมุดไป่ตู้部
其中
称为虚数单位 虚数单位。 i 称为虚数单位。
2.复数的分类： 2.复数的分类： 复数的分类
若a, b, c, d ∈ R,
a = c a + bi = c + di b = d
a + bi = 0 a = 0 且 b = 0
2) 一般来说，两个复数只能说相等或不相 一般来说，
等，而不能比较大小了. 而不能比较大小了
注：1)
知识引入
实数可以用数轴上的点来表示。 实数可以用数轴上的点来表示。 数轴上的点来表示 实数 (数) 数 直线
证明：若复数所对应的点位于第四象限， m2 + m 6 > 0 m m < 3或 > 2 则 2 即 m + m 2 < 0 2 < m <1
不等式解集为空集 所以复数所对应的点不可能位于第四象限. 所以复数所对应的点不可能位于第四象限
实数绝对值的几何意义 实数绝对值的几何意义 实数a在数轴上所 实数 在数轴上所 对 应的点 A 到原 点 O 的距离。 的距离。 a
2
(复数 的模 复数z的模 复数 的模)
求下列复数的模： 例3 求下列复数的模： (1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i (4)z4=1+mi(m∈R) (5)z5=4a-3ai(a<0) 思考： 思考： (1)复数的模能否比较大小 复数的模能否比较大小？ (1)复数的模能否比较大小？ (2)满足|z|=5(z∈R)的 值有几个？ 满足|z|=5(z∈R) (2)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？ (3)满足|z|=5(z∈C)的 值有几个？ (3)满足|z|=5(z∈C)的z值有几个？ 满足|z|=5(z∈C) 这些复 数对应的点在复平面上构成怎样的图形？ 数对应的点在复平面上构成怎样的图形？
解：∵复数 复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面 复数 在复平面 内所对应的点是（ 内所对应的点是（m2+m-6，m2+m-2）， ， ）， ∴(m2+m-6)-2(m2+m-2)+4=0， ， ∴m=1或m=-2。 或 。
已知复数z=(m +m+m-2)i在复平面内所 例2 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2) 在复平面内所 对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。 对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。 变式二：证明对一切m，此复数所对应的点不可能 变式二：证明对一切m 位于第四象限。 位于第四象限。
已知复数z=(m +m+m-2)i在复平面内所 例2 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2) 在复平面内所 对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。 对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。
3 < m < 2 m2 + m 6 < 0 得 解 由 2 ： m < 2或m >1 m + m 2 > 0
∴m∈(3, 2) ∪(1,2)
表示复数的点所 转化 复数的实部与虚部所满 在象限的问题 足的不等式组的问题 (几何问题 几何问题) (代数问题 代数问题) 几何问题 代数问题 一种重要的数学思想： 一种重要的数学思想：数形结合思想
变式一：已知复数z=(m +m+m-2)i 变式一：已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2) 在复平面内 所对应的点在直线x 2y+4=0上 求实数m的值。 所对应的点在直线x-2y+4=0上，求实数m的值。
一一对应
数轴上的点 数轴上的点 (形) 形 数轴
(几何模型 几何模型) 几何模型
规定了正方向， ， 原点， 规定了正方向， 原点 单位长度
o
1
x
你能否找到用来表示复数的几何模型呢 你能否找到用来表示复数的几何模型呢？ 几何模型
一个复数由什么 唯一确定？ 唯一确定？
Z=a+bi(a, b∈R) ∈
实部! 虚部!
O A X
复数绝对值的几何意义 z=a+ 在复平 复数 z= +bi在复平 面上对应的点Z(a,b)到原 面上对应的点 到原 点的距离。 点的距离。
y z=a+bi Z (a,b)
O
| a | = | OA |
能否把实数绝对值概念 推广到复数范围呢？ 推广到复数范围呢？
x
2
| z | = |OZ| = a + b