数学卷·北京市东城区高一下学期期末考试试题

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北京市东城区(南片) 下学期高一数学期末考试

-π⎪⎛π⎫-x⎪=-，且x在第三象限，则tan(x-π)的值为(A.y=sin 2x-B.y=sin 2x-C.y=sin x-⎪D.y=sin x-⎪85 B.32 C.12 D.4北京市东城区（南片）下学期高一年级期末考试数学试卷本试卷共100分。

考试时间120分钟。

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.下列命题中正确的是A.OA-OB=AB C.0⋅AB=0B.AB+BA=0D.AB+BC+CD=AD2.函数f(x)=3sin⎛x⎫(x∈R)的最小正周期为⎝24⎭πA. B.π C.2π D.4π23.已知向量a=1,2)，b=(2,3)，c=(3,4)，且c=λa+λb，则λ，λ的值分别为1212A.-2，1B.-1，2C.2，-1D.1，-244.已知cos⎝2⎭54433A. B.- C. D.-3344115.不等式a>b和>同时成立的充要条件是a bA.a>b>0B.a>0,b<011C.b<a<0D.>>0a bπ6.将函数y=sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标10伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是⎛π⎫⎛⎪⎝10⎭⎝π⎫⎪5⎭⎛1π⎫⎝210⎭⎛1π⎫⎝220⎭7.如图，AC=(3,3)，BC=(-3,3)，E，F是AB上的三等分点，则cos∠ECF的值为A.28558. 已知等比数列 {a }中，各项都是正数，且 a1 ， a ，2a 成等差数列，则 82 a + a + a (n ≥ 2, n ∈ N )，前 n 项和为 S 12. 在数列 {a }中，an ，则a 14. 已知 tan ⎛ π + α ⎪ = -3 。

则 tan 2α = ___________。

则 1 + 的最小值为______________________，此时 f (M ) = __________________。

2024届北京东城区北京汇文中学数学高一第二学期期末学业质量监测试题含解析

2024届北京东城区北京汇文中学数学高一第二学期期末学业质量监测试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若直线222x ay a +=+与直线20ax y +=平行，则实数a = A ．0B ．1C ．1-D ．±12．已知向量()2,1a =，()1,1b =-，则a b ⋅=（） A ．-1B ．-2C ．1D ．03．已知1tan 42πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，2παπ<<，则2sin 22cos sin 4ααπα-⎛⎫- ⎪⎝⎭等于（） A．B． CD． 4．若a 、b 、c 为实数，则下列命题正确的是（） A ．若a b >，则22ac bc > B ．若0a b <<，则22a ab b >> C ．若0a b <<，则11a b < D ．若0a b <<，则b a a b> 5．已知向量a 与b 的夹角为60，2a =，1b =，当()2b a b λ⊥-时，实数λ为( ) A ．1B ．2C ．4D ．86．若2cos75a =，4cos15b =，a 与b 的夹角为30，则a b ⋅的值是（） A ．12B．2CD．7．已知实数a b c 、、满足0a b c ++=且a b c >>，则下列关系中一定正确的是（） A ．ab ac <B ．()0ac a c ->C ．22cb ab <D ．()0c b a ->8．已知点()1,2A -，()5,4B 则向量BA =（） A ．()6,2B ．()9,4-C ．()9,4-D ．()6,2--9．在中，内角所对的边分别为，若，，则( )A ．B ．C ．D ．10．已知向量23,4a b ==，且12a b ⋅=-，则a 与b 的夹角为（）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2019-2020学年北京市东城区高一数学下学期期末考试统一检测试题含解析

北京市东城区2019-2020学年高一数学下学期期末考试统一检测试题（含解析）一、选择题（共8小题）.1. 复数2z i =-+的虚部为（） A. 2 B. 2-C. 1D. i〖答案〗C 〖解析〗〖分析〗直接利用复数的基本概念得答案. 〖详解〗解：复数2z i =-+的虚部为1. 故选：C.〖点睛〗此题考查复数的有关概念，属于基础题2. 已知向量(),2a x =，()3,1b =-若a b ⊥，则x =（） A.23B.32C. 3-D. 6-〖答案〗A 〖解析〗〖分析〗根据平面向量的坐标运算，列方程求出x 的值. 〖详解〗解：向量(),2a x =，()3,1b =-；若a b ⊥，则0a b ⋅=，即()3210x +⨯-=，解得23x =. 故选：A.〖点睛〗此题考查由向量垂直求参数，属于基础题3. 在北京消费季活动中，某商场为促销举行购物抽奖活动，规定购物消费每满200元就可以参加一次抽奖活动，中奖的概率为110.那么以下理解正确的是（）A. 某顾客抽奖10次，一定能中奖1次B. 某顾客抽奖10次，可能1次也没中奖C. 某顾客消费210元，一定不能中奖D. 某顾客消费1000元，至少能中奖1次〖答案〗B 〖解析〗〖分析〗根据概率的定义进行判断. 〖详解〗解：中奖概率110表示每一次抽奖中奖的可能性都是110，故不论抽奖多少次，都可能一次也不中奖，故选：B.〖点睛〗此题考查对概率定义的理解，属于基础题 4. 要得到函数sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只要将函数sin 2y x =的图象（） A. 向右平移2π个单位长度 B. 向左平移2π个单位长度 C. 向右平移4π个单位长度 D. 向左平移4π个单位长度〖答案〗D 〖解析〗〖分析〗由题意利用函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，得出结论. 〖详解〗解：只要将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位长度，即可得到函数sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故选：D.〖点睛〗此题考查函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换，属于基础题 5. 在复平面内，复数()21i i -对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限〖答案〗B 〖解析〗〖分析〗化简复数，找出对应点得到答案.〖详解〗()211i i i -=-+对应点为(1,1)-在第二象限故答案选B〖点睛〗本题考查了复数的化简，属于简单题.6. 设l 是直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（） A. 若//l α，//l β，则//αβ B. 若αβ⊥，//l α，则l β⊥ C. 若αβ⊥，l α⊥，则//l β D. 若//l α，l β⊥，则αβ⊥〖答案〗D 〖解析〗〖分析〗利用空间线线、线面、面面的位置关系对选项进行逐一判断，即可得到答案. 〖详解〗A.若//l α，//l β，则α与β可能平行，也可能相交，所以不正确. B.若αβ⊥，//l α，则l 与β可能的位置关系有相交、平行或l β⊆,所以不正确. C.若αβ⊥，l α⊥，则可能l β⊆，所以不正确.D.若//l α，l β⊥，由线面平行的性质过l 的平面与α相交于l '，则l l '，又l β⊥.所以l β'⊥，所以有αβ⊥，所以正确. 故选：D〖点睛〗本题考查面面平行、垂直的判断，线面平行和垂直的判断,属于基础题.7. 已知A ，B ，C ，D 是平面内四个不同的点，则“//C B D A ”是“四边形ABCD 为平行四边形”的（） A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗〖分析〗根据必要条件、充分条件的定义即可判断.〖详解〗解：由//CB DA可不一定推出四边形ABCD为平行四边形，但由四边形ABCD为平行四边形一定可得//CB DA，故“//CB DA”是“四边形ABCD为平行四边形”的必要而不充分条件，故选：B.〖点睛〗此题考查充分条件和必要条件的判断，考查推理能力，属于基础题8. 沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，利用细沙全部流到下部容器所需要的时间进行计时.如图，某沙漏由上、下两个圆维组成.这两个圆锥的底面直径和高分别相等，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度（h）的23（细管长度忽略不计）.假设细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.这个沙堆的高与圆锥的高h的比值为（）A. 827B.49C.23D.13〖答案〗A 〖解析〗〖分析〗细沙全部在上部时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高为23h，设圆锥的底面半径为r，则细沙形成的圆锥的底面半径为23r ，求出细沙的体积，再设细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的高为h '，求出细沙的体积，由体积相等求解h '，则答案可求.〖详解〗解：细沙全部在上部时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高为23h ，设圆锥的底面半径为r ，则细沙形成的圆锥的底面半径为23r ， ∴细沙的体积为22122833381V r h r h ππ⎛⎫=⋅⋅= ⎪⎝⎭.细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径r ，设高为h '，则2218381V r h r h ππ'=⋅=，得827h h '=. ∴827h h '=. 故选：A.〖点睛〗此题考查圆锥体积公式的应用，属于中档题二、填空题（共6小题）.9. 若函数()f x sin xcos x =，则12f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为______. 〖答案〗14〖解析〗〖分析〗由已知利用二倍角公式可求()1sin 22f x x =，进而根据特殊角的三角函数值即可求解. 〖详解〗解：∵()1sin cos sin 22f x x x x ==， ∴11111sin 2sin 1221226224f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：14. 〖点睛〗此题考查正弦的二倍角公式的应用，属于基础题 10. 已知复数z 满足2i1iz =+，那么z =__________，||z =__________．〖答案〗 (1). 1i -〖解析〗〖分析〗利用复数除法运算得到复数z ，进而求出其共轭与模即可. 〖详解〗复数2i 2i(1)i(1)11i (1i)(1i)i z i i -===-=+++-，故1i z =-，||z =．〖点睛〗本题考查复数的运算及基本概念，属于基础题. 11. 已知在ABC中，a =b =，30A =︒，则B =______.〖答案〗60︒或120︒. 〖解析〗〖分析〗由已知利用正弦定理可得sin B =，结合b a >，可得范围()30,180B ∈︒︒，即可求解B 的值.〖详解〗解：∵a =b =30A =︒，∴由正弦定理sin sin a b A B =，可得1sin sin b A B a ⋅===， ∵b a >，可得()30,180B ∈︒︒， ∴60B =︒，或120︒. 故答案为：60︒，或120︒.〖点睛〗此题考查正弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题12. 已知甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，a ，如果甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，则a 的最大值是______. 〖答案〗0.79. 〖解析〗〖分析〗由甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，利用对立事件概率计算公式列出方程，由此能求出a 的最大值.〖详解〗解：甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，a ， ∵甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率， ∴()()()110.510.410.3a ----≥，解得0.79a ≤. ∴a 的最大值是0.79. 故答案为：0.79.〖点睛〗此题考查对立事件概率的应用，属于基础题13. 已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个论断：①//l m ，②//αβ，③m α⊥，④l β⊥.以其中的两个论断作为命题的条件，l α⊥作为命题的结论，写出一个真命题：______.〖答案〗若//l m ，m α⊥，则l α⊥ 〖解析〗〖分析〗若//l m ，m α⊥，则l α⊥，运用线面垂直的性质和判定定理，即可得到结论. 〖详解〗解：l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，可得若//l m ，m α⊥，则l α⊥，理由：在α内取两条相交直线a ，b ，由m α⊥可得m a ⊥.m b ⊥，又//l m ，可得l a ⊥.l b ⊥，而a ，b 为α内的两条相交直线，可得l α⊥. 故答案：若//l m ，m α⊥，则l α⊥〖点睛〗此题考查线面垂直的判定定理和性质定理的应用，考查推理能力，属于基础题14. 在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为G ，作用在行李包上的两个拉力分别为1F ，2F ，且12F F =，1F 与2F 的夹角为θ.给出以下结论：①θ越大越费力，θ越小越省力； ②θ的范围为[]0,π； ③当2πθ=时，1F G =；④当23πθ=时，1F G =.其中正确结论的序号是______.〖答案〗①④. 〖解析〗〖分析〗根据12G F F =+为定值，求出()22121cos GF θ=+，再对题目中的命题分析、判断正误即可.〖详解〗解：对于①，由12G F F =+为定值，所以()2222121212cos 21cos G F F F F F θθ=++⨯⨯=+，解得()22121cos GF θ=+；由题意知()0,θπ∈时，cos y θ=单调递减，所以21F 单调递增，即θ越大越费力，θ越小越省力；①正确.对于②，由题意知，θ的取值范围是()0,π，所以②错误. 对于③，当2πθ=时，2212GF =，所以122F G =，③错误.对于④，当23πθ=时，221F G =，所以1F G =，④正确.综上知，正确结论的序号是①④. 故答案为：①④.〖点睛〗此题考查平面向量数量积的应用，考查分析问题的能力，属于中档题三、解答题共5题，每题10分，共50分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. 已知函数()()()f x g x h x =，其()g x x =，()h x =_____. （1）写出函数()f x 的一个周期（不用说明理由）；（2）当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值和最小值. 从①cos 4x π⎛⎫+⎪⎝⎭，②2sin 24x π⎛⎫- ⎪⎝⎭这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答，注：如果选择多个条件分别解答.按第一个解答计分.〖答案〗若选①（1）T π=；（2）最小值2-1；若选②（1）2T π=，（2），最小值1--. 〖解析〗〖分析〗（1）结合所选选项，然后结合二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合周期公式可求；（2）由已知角x 的范围，然后结合正弦函数的性质即可求解.〖详解〗解：选①，（1）因为()()cos 2sin cos sin 4f x x x x x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭， 22sin cos 2sin sin 2cos 21x x x x x =-=+-214x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，故函数的周期T π=；（2）因为,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以32,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，当244x ππ+=-即4πx =-时，函数取得最小值2-，当242x ππ+=即8x π=时，函数取得最1，选②，（1）()2sin 24x f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭1cos 2x x π⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，)2sin sin x x =-，故函数的一个周期2T π=，（2）由,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦可得sin x ⎡∈⎢⎣⎦，1sin 2x =时即6x π=，当sin 2x =-时即4πx =-时，函数取得最小值12--.〖点睛〗此题考查二倍角公式及辅助角公式的应用，考查正弦函数性质的应用，考查计算能力，属于中档题16. 某医院首批援鄂人员中有2名医生，3名护士和1名管理人员.采用抽签的方式，从这六名援鄂人员中随机选取两人在总结表彰大会上发言. （Ⅰ）写出发言人员所有可能的结果构成的样本空间；（Ⅱ）求选中1名医生和1名护士发言的概率；（Ⅲ）求至少选中1名护士发言的概率. 〖答案〗（Ⅰ）样本空间见解析；（Ⅱ）25；（Ⅲ）45. 〖解析〗〖分析〗（Ⅰ）给6名医护人员进行编号，使用列举法得出样本空间；（Ⅱ）列举出符合条件的基本事件，根据古典概型的概率公式计算概率；（Ⅲ）列举出对立事件的基本事件，根据对立事件概率公式计算概率.〖详解〗解：（Ⅰ）设2名医生记为1A ，2A ，3名护士记为1B ，2B ，3B ，1名管理人员记为C ，则样本空间为：()()()()()()(){1211121312122,,,,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A C A B A B Ω=()()()()()()()()}232121312323,,,,,,,,,,,,,,,A B A C B B B B B C B B B C B C .（Ⅱ）设事件M ：选中1名医生和1名护士发言，则()()()()()(){}111213212223,,,,,,,,,,,M A B A B A B A B A B A B =，∴()6n M =，又()15n Ω=， ∴()62155P M == （Ⅲ）设事件N ：至少选中1名护士发言，则()()(){}1212,,,,,N A A A C A C =，∴()3n N =，∴()()3411155P N P N =-=-=. 〖点睛〗本题考查事件空间，考查古典概型，考查对立事件的概率公式．用列举法写出事件空间中的所有基本事件是解题关键，也是求古典概型的基本方法． 17. 在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为AB 和1DD 的中点.（1）求证：//EF 平面1BCD ；（2）在棱11C D 上是否存在一点M ，使得平面MEF ⊥平面1BCD ？若存在，求出11C MD M的值；若不存在，请说明理由.〖答案〗（1）证明见解析；（2）存在，1. 〖解析〗〖分析〗（1）取1D C 的中点G ，连接FG ，GB ，运用中位线定理和平行四边形的判定和性质，结合线面平行的判定定理，即可得证；（2）在棱11C D 上假设存在一点M ，使得平面MEF⊥平面1BCD ，取M 为11C D 的中点，连接1DC ，FM ，EM ，由线面垂直的判定和性质，结合面面垂直的判定定理，可得所求结论.〖详解〗解：（1）取1D C 的中点G ，连接FG ，GB ，因为F 为1DD 的中点，所以FG ∥DG ，且12FG DC =，在正方体1111ABCD A B C D -中，因为E 为AB 的中点，所以EB ∥DC ，且1122EB AB DC ==，所以FG ∥EB ，FG EB =，可得四边形EBGF 为平行四边形，所以EF ∥GB ，又因为EF ⊄平面1BCD ，GB ⊂平面1BCD ，则EF ∥平面1BCD ；（2）在棱11C D 上假设存在一点M ，使得平面MEF ⊥平面1BCD ，取M 为11C D 的中点，连接1DC ，FM ，EM ，因为F 为1DD 的中点，所以FM ∥1DC ，因为11DC D C ⊥，可得1FM D C ⊥，因为BC ⊥平面11D DCC ，FM ⊂平面11D DCC ，所以BC FM ⊥，因为BC ⊂平面1BCD ，1D C ⊂平面1BCD ，1BC D C C ⋂=，所以FM ⊥平面1BCD ，因为FM ⊂平面MEF ，所以平面MEF⊥平面1BCD ，故111MC MD =.〖点睛〗此题考查线面平行的判定，考查线面垂直的判定和性质的应用，考查面面垂直的判定，考查推理能力，属于中档题18. 在ABC 中，3a =，D 是AC 的中点，19BD =2cos 2b C a c =+. （1）求B ；（2）求ABC 的面积. 〖答案〗（1）23B π=；（2153. 〖解析〗〖分析〗（1）直接由已知条件和正弦定理求出B 的值.（2）根据余弦定理求出c 的值，再根据面积公式即可求出. 〖详解〗解：（1）由2cos 2b C a c =+及正弦定理，可得：()2sin cos 2sin sin 2sin sin 2sin cos 2cos sin sin B C A C B C C B C B C C=+=++=++，所以：2cos sin sin 0B C C +=，由于：0C π<<，sin 0C ≠，1cos 2B =-因为()0,B π∈，解得：23B π=；（2）延长线段CB 到E ，使得3BE CB ==，因为D 是AC 的中点，所以DB 是ACE △的中位线，所以219AE DB ==，因为23ABC π∠=，所以3ABE π∠=，在ABE △中，由余弦定理2222cos AE AB BE AB BE ABE =+-⋅∠ 可得21199232c c =+-⨯⨯，解得5c =，所以113153sin 352224ABC S ac B ==⨯⨯⨯=△.〖点睛〗此题考查正弦定理和余弦定理应用，考查两角和正弦公式的应用，考查计算能力，属于中档题19. 对于任意实数a ，b ，c ，d ，表达式ad bc -称为二阶行列式（determinant ），记作a b c d，（1）求下列行列式的值：①1001；②1326；③251025--；（2）求证：向量(),p a b =与向量(),q c d =共线的充要条件是0a b c d=；（3）讨论关于x ，y 的二元一次方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩（12120a a b b ≠）有唯一解的条件，并求出解.（结果用二阶行列式的记号表示）.〖答案〗（1）1，0，0；（2）证明见解析；（3）当11220a b a b ≠时，有唯一解，11221122c b c b x a b a b =，11221122a c a c y ab a b =. 〖解析〗〖分析〗（1）利用行列式的定义可以直接求出行列式的值.（2）若向量(),p a b =与向量(),q c d =共线，由0q ≠和0q =时，分别推导出0a b c d=；反之，若0a b c d=，即0ad bc -=，当c ，d 不全为0时，不妨设0c ≠，则ad b c=，,ab p a c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，推导出a p q c =⋅，//p q ，当0c 且0d =时，0q =，(),p a b =与0q =共线，由此能证明向量(),p a b =与向量(),q c d =共线的充要条件是0a b c d=.（3）求出()12211221a b a b x c b c b -=-，()12211221a b a b x a c a c -=-，由此能求出当11220a b a b ≠时，关于x ，y 的二元一次方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩（12120a a b b ≠）有唯一解，并能求出解.〖详解〗解：（1）解：①10101=②131623026=⨯-⨯=； ③()()2522551001025-=-⨯--⨯=-.（2）证明：若向量(),p a b =与向量(),q c d =共线，则：当0q ≠时，有0ad bc -=，即0a b c d=，当0q =时，有0c d ==，即0a b ad bc c d=-=，∴必要性得证. 反之，若0a b c d=，即0ad bc -=，当c ，d 不全为0时，即0q ≠时，不妨设0c ≠，则ad b c =，∴,ab p a c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∵(),q c d =，∴ap q c=⋅，∴//p q ，∴(),p a b =与(),q c d =共线，当0c且0d =时，0q =，∴(),p a b =与0q =共线，充分性得证.综上，向量(),p a b =与向量(),q c d =共线的充要条件是0a b c d=.（3）用2b 和1b 分别乘上面两个方程两端，然后两个方程相减，消去y 得：()12211221a b a b x c b c b -=-，①同理，消去x ，得：()12211221a b a b x a c a c -=-，②∴当12210a b a b -≠时，即11220a b a b ≠时，由①②得：1122121*********c b c b x a b a b a b c b c b a b -==-，1122122111122122a c a c a c a cy a b a b a b a b -==-， ∴当11220a b a b ≠时，关于x ，y 的二元一次方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩（12120a a b b ≠）有唯一解，且11221122c b c b x a b a b =，11221122a c a c y ab a b =. 〖点睛〗此题考查行列式求值，考查向量共线的充要条件的证明，考查二元一次方程有解的条件及解的求法，考查运算求解能力，属于中档题。

北京市东城区2022-2023学年高一下学期期末统一检测数学试题

北京市东城区2022-2023学年高一下学期期末统一检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题．已知向量()(),1,1,2a m b ==-．若a ∥b ，则m =2．若复数z 满足i 12i z ⋅=-，则z =（） A ．2i -+ B ．2i -- C ．12i +D ．12i -+3．某中学为了解在校高中学生的身高情况，在高中三个年级各随机抽取了10%的学生，二、未知7．已知长方形墙ACFE 把地面上,B D 两点隔开，该墙与地面垂直，长10米，高3米．已测得6AB =米，8BC =米．现欲通过计算，能唯一求得,B D 两点之间的距离，需要进一步测量的几何量可以为（）A ．点D 到AC 的距离B ．CD 长度和DF 长度C ．ACB ∠和ADC ∠D ．CD 长度和ACD ∠三、单选题．设,a b 为非零向量，a b =，则“,a b 夹角为钝角“2a b a +＜”的（）A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件四、未知9．如图，直三棱柱111ABC A B C 中，1,,AB BC AA AB P ⊥=为棱11A B 的中点，Q 为线段1AC 上的动点．以下结论中正确的是（）A ．存在点Q ，使BQ AC ∥B ．不存在点Q ，使11BQ BC ⊥ C ．对任意点Q ，都有1BQ AB ⊥D ．存在点Q ，使BQ平面1PCC五、单选题10．如图，质点P 在以坐标原点O 为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，P 的角速度大小为2rad /s ，起点0P 为射线()0y x x =-≥与O 的交点．则当012t ≤≤时，π⎡⎤7π11π⎡⎤11π15π⎡⎤3π11π⎡⎤六、填空题中点，则AD CE ⋅= 日的空气质量指数统计表．由表判断，910 1148 62 52七、双空题八、未知15．金刚石也被称作钻石，是天然存在的最硬的物质，可以用来切割玻璃，也用作钻探机的钻头．金刚石经常呈现如图所示的“正八面体”外形．正八面体由八个全等的等边三角形围成，体现了数学的对称美．下面给出四个结论：AE 平面．在ABC 中，角sin A ；7=，求ABC 的面积．九、解答题17．某市举办“强国有我，爱我中华”科技知识竞赛，赛后将参赛的2000名学生成绩分成4组：∥6070x ≤<，∥7080x ≤<，∥8090x ≤<，∥90100x ≤≤，并进行统计分析，公布了如图所示的频率分布直方图．(1)估计这2000名学生科技知识竞赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）；(2)某同学获知自己的成绩进入本次竞赛成绩前20%，估计该同学的成绩不低于多少分？十、未知PC 平面60，求证：）的条件下，是否存在点在，请说明理由．对于三维向量(),,2,k k k a x y =，定义“：()1k k a F a +=，1,k k y y +=k k k a x y z =k k a x y =+若()03,1,2a =，求2a 及2a ；证明：对于任意0a ，经过若干次F 变换后，必存在*N K ∈，使0K a =；已知()()11,2,,2024a p q q p a ==，将1a 再经过m 次F 变换后，m a 最小，求最小值．。

2020-2021学年北京市东城区高一(下)期末数学试卷

2020-2021学年北京市东城区高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共30.0分）1.已知复数z=−2+i，则z+z−=()A. −4B. −2C. 2iD. 02.若a⃗，b⃗ 都是单位向量，则下列结论一定正确的是()A. a⃗=b⃗B. a⃗⋅b⃗ =1C. a⃗//b⃗D. |a⃗|=|b⃗ |3.由随机函数RAND生成了在区间[0,1)内的随机数x，则下列运算中能将x对应到区间[a,b)的是()A. ax+bB. bx+aC. (b−a)x+aD. (b−a)x+b4.在正方体ABCD−A1B1C1D1各条棱所在的直线中，与直线BC1异面且垂直的可以是()A. AA1B. BCC. A1D1D. CD5.某校组织全体学生参加了主题为“建党百年，薪火相传”的知识竞赛，随机抽取了200名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是()A. 直方图中x的值为0.004B. 在被抽取的学生中，成绩在区间[60,70)的学生数为10C. 估计全校学生的平均成绩不低于80分D. 估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为93分6.设向量a⃗=(cosα,sinβ)，则“|a⃗|=1”是“α=β”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：C i=“点数为i”，其中i=1，2，3，4，5，6；D 1=“点数不大于2”，D 2=“点数不小于2”，D 3=“点数大于5”；E =“点数为奇数”，F =“点数为偶数”．下列结论正确的是( )A. C 1与C 2对立B. D 1与D 2互斥C. D 3⊆FD. E ⊇(D 1∩D 2) 8. 将函数f(x)=sin(2x −φ)的图象向右平移π6个单位长度后，得到的图象关于y 轴对称，则φ的值可以为( )A. −π2B. π6C. π3D. π2 9. 若直线m ⊄平面α，则下列结论一定成立的个数是( )①α内的所有直线与m 异面；②α内存在唯一一条直线与m 相交；③α内存在直线与m 平行．A. 0B. 1C. 2D. 310. 一条河流的两岸平行，一艘船从河岸边的A 处出发到河对岸．已知船在静水中的速度v 1的大小为|v 1|=10m/s ，水流速度v 2的大小为|v 2|=2m/s.设船行驶方向与水流方向的夹角为θ，若船的航程最短，则( )A. θ=π3B. θ=π2C. π2<θ<2π3D. 2π3<0<3π4二、单空题（本大题共6小题，共24.0分）11. 在复平面内，复数z =(1+i)2对应的点Z 的坐标为______；|z|=______．12. 已知某车企从今年开始投产了A ，B ，C 三种型号的新能源汽车，第一个月下线的台数依次为250，450，300，现用分层抽样的方法从中随机抽取20台车进行质量测试，则某一台B 型号的新能源汽车被抽取的概率为______．13. 在△ABC 中，a 2=2bc ，b =2c ，则cosA =______．14. 已知⊙O 中弦AB =6，则AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =______．15. 已知α，β是平面，m 是直线，从下列五个条件中选择若干个作为已知条件，能够得到m//β的是______.(填入条件的序号即可)①α//β；②α⊥β；③m ⊥α；④m//α；⑤m ⊄β．16. 用一张A 4纸围绕半径为rcm 的石膏圆柱体包裹若干圈，然后用裁纸刀将圆柱体切为两段，如图①所示．设圆柱体母线与截面的夹角为θ(0°<θ<90°)，如图②.将其中一段圆柱体外包裹的A 4纸展开铺平，如果忽略纸的厚度造成的误差，我们会发现剪裁边缘形成的曲线是正弦型曲线，如图③.建立适当的坐标系后，这条曲线的解析式可设为f(x)=Asinωx(A >0,ω>0)，若f(x)的最小正周期为2π，则r =______cm ，此时，当θ=______时，可使f(x)的值域为[−√3,√3]．三、解答题（本大题共5小题，共46.0分）17. 已知tanα=13，α∈(0,π2)，1−sinβ=cos2β，β∈(π2,π)．(1)求tan(π4+α)及sinβ的值；(2)求cos(α−β)的值．18. 为开阔学生视野，丰富学生的数学学习方式，某高校数学学院学生会创办了微信公众号《数学乐园》，设定了“数学史料”“趣题妙解”等栏目，定期发布文章．为了扩大微信公众号的影响力，后台统计了反映读者阅读情况的一些数据，其中阅读跳转率f(x)记录了在阅读某文章的所有读者中，阅读至该篇文章总量的x%时退出该页面的读者占阅读此文章所有读者的百分比．例如：阅读跳转率f(20)=5%表示阅读某篇文章的所有读者中，阅读量至该篇文章总量的20%时退出该页面的读者占阅读此篇文章的所有读者的5%.现从“数学史料”“趣题妙解”专栏中各随机选取一篇文章．分别记为篇目A ，B ，其阅读跳转率的折线图如图所示．用频率来估计概率．(1)随机选取一名篇目A的读者，估计他退出页面时阅读量大于文章总量的80%的概率；(2)现用比例分配的分层随机抽样的方法，在阅读量没有达到30%的篇目B的读者中抽取6人，任选其中2人进行访谈，求这两人退出页面时阅读量都为文章总量的10%的概率；(3)请依据图中的数据，比较篇目A和篇目B的阅读情况，写出一个结论，并选择其中一个栏目提出你的优化建议．19.水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，工作示意图如图所示．设水车(即圆周)的直径为3米，其中心(即圆心)O到水面的距离b为1.2米，逆时针匀速旋转一圈的时间是80秒．水车边缘上一点P 距水面的高度为ℎ(单位；米)，水车逆时针旋转时间为t(单位：秒).当点P在水面上时高度记为正值；当点P旋转到水面以下时，点P距水面的高度记为负值．过点P向水面作垂线，交水面于点M，过点O作PM的垂线，交PM于点N.从水车与水面交于点Q时开始计时(t=0)，设∠QON=φ，水车逆时针旋转t秒转动的角的大小记为α．(1)求h与t的函数解析式；(2)当雨季来临时，河流水量增加，点O到水面的距离减少了0.3米，求∠QON的大小(精确到1°)；(3)若水车转速加快到原来的2倍，直接写出h与t的函数解析式．(参考数据：sinπ5≈0.60,sin3π10≈0.80,sin2π5≈0.86)20. 已知点O(0,0)，A(2,1)，B(1,2)．(1)若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求点P 的坐标； (2)已知OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． ①若点Q 在直线AB ：y =−x +3上，试写出λ，μ应满足的数量关系，并说明你的理由；②若△QAB 为等边三角形，求λ，μ的值．21. 如图①，矩形ABCD 中，AB =4，AD =2，E ，F 分别为AB ，DC 的中点．将四边形AEFD 沿EF 折起至四边形A 1EFD 1的位置，如图②．(1)求证：EF ⊥平面A 1EB ；(2)若点A 1在平面EFCB 上的射影为BE 的中点，求三棱锥F −A 1BC 的体积；(3)当平面A 1EFD 1与平面EFCB 垂直时，作正方体A 1D 1NM −EFCB 如图③.若平面α//平面A 1FB ，且平面a截该正方体所得图形的面积为S．①若C∈α，则S=______；②S的最大值为______.(直接写出结果)答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵z=−2+i，∴z+z−=(−2+i)+(−2−i)=−4．故选：A．利用复数的运算法则、共轭复数的定义直接求解．本题考查复数的运算法则、共轭复数的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】D【解析】解：当a⃗，b⃗ 夹角不是0时，a⃗≠b⃗ ，∴A错；a⃗⋅b⃗ =1×1cos<a⃗，b⃗ >=cos<a⃗，b⃗ >，显然不一定为1，∴B错；当a⃗，b⃗ 夹角不是0或π时，a⃗与b⃗ 不一定平行，∴C错；∵a⃗，b⃗ 都是单位向量，∴|a⃗|=|b⃗ |=1，∴D对．故选：D．通过单位向量模为1与<a⃗，b⃗ >进行分析可解决此题．本题考查向量概念、模、数量积运算，考查数学运算能力及直观想象能力，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：因为x∈[0,1)，则ax+b∈[b,a+b)，不符合题意，故选项A错误；因为x∈[0,1)，则bx+a∈[a,a+b)，不符合题意，故选项B错误；因为x∈[0,1)，则(b−a)x+a∈[a,b)，符合题意，故选项C正确；因为x∈[0,1)，则(b−a)x+b∈[b,2b−a)，不符合题意，故选项D错误．故选：C．利用x∈[0,1)，依次判断四个选项是否能将x对应到区间[a,b)，即可得到答案．本题考查了随机数的应用，考查了逻辑推理与运算能力，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：由异面直线的判定定理可知，过平面外一点和平面内一点的直线与平面内不过该点的直线异面，直线AA1与直线BC1异面，∠B1BC1=45°为两条直线所成的角，故选项A错误；直线BC与直线BC1相交，不是异面直线，故选项B错误；直线A1D1与直线BC1异面，∠B1C1B=45°为两条直线所成的角，故选项C错误；直线CD与直线BC1异面，因为CD⊥平面BCC1B1，又BC1⊂平面BCC1B1，所以CD⊥BC1，故选项D正确．故选：D．利用异面直线的判定定理和异面直线所成角的定义，对四个选项逐一分析判断即可．本题考查了异面直线的判断，异面直线的判定定理的应用以及异面直线所成角的求解，考查了空间想象能力与逻辑推理能力，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：由图可知(0.005+0.01+0.015+0.04+x)×10=1，解得x=0.03，∴A错；由图可知根据成绩在区间[60,70)的学生数为0.01×10×200=20，∴B错；由图可知平均数为：55×0.05+65×0.1+75×0.15+85×0.3+95×0.4=84，∴C对；×10=95，∴D错．由图可知样本数据的80%分位数约为：90+0.8−0.60.4故选：C．根据直方图中学生成绩落在各个区间概率和为1可求得x，可判断A；根据成绩在区间[60,70)的学生的频率计算学生数，可判断B；按照频率分布直方图中平均数算法求得平均数，可判断C；按照频率分布直方图中百分位数算法计算样本数据的80%分位数，可判断D．本题考查频率分布直方图中某个区间的频率或频数、平均数、百分位数算法，考查数学运算能力，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：向量a⃗=(cosα,sinβ)，由|a⃗|=1，得cos2α+sin2β=1，则sinβ=±√1−cos2α，而sinα=±√1−cos2α，可得sinβ=±sinα，则α与β终边相同或关于坐标轴对称；反之，若α=β，则a⃗=(cosα,sinα)，可得|a⃗|=1．∴“|a⃗|=1”是“α=β”的必要而不充分的条件，故选：B．由|a⃗|=1可得sinβ=±sinα，得到α与β终边相同或关于坐标轴对称；反之由α=β可得|a⃗|=1，再由充分必要条件的判定得答案．本题考查充分必要条件的判定，考查向量模的求法及三角函数的求值问题，是基础题．7.【答案】C【解析】解：对于A，C1与C2不能同时发生，但能同时不发生，∴C1与C2是互斥但不对立事件，故A错误；对于B，D1与D2能同时发生，不是互斥事件，故B错误；对于C，∵D3=“点数大于5”，F=“点数为偶数”，∴D3⊆F，故C正确；对于D，∵D1∩D2={2}，E=“点数为奇数”，∴E⊇(D1∩D2)不成立，故D错误．故选：C．对于A，C1与C2是互斥但不对立事件；对于B，D1与D2能同时发生，不是互斥事件；对于C，由D3=“点数大于5”，F=“点数为偶数”，得D3⊆F；对于D，D1∩D2={2}，E=“点数为奇数”，从而E⊇(D1∩D2)不成立．本题考查命题真假的判断，考查互斥事件、对立事件等基础知识，是基础题．8.【答案】B【解析】解：f(x)=sin(2x−θ)的图象向右平移π6个单位长度，得到g(x)=sin(2x−π3−θ)，得到的函数图象关于y轴对称，则：−π3−θ=kπ+π2，(k∈Z)，解得：θ=−kπ−5π6(k∈Z)，当k=−1时，θ=π6．故选：B．直接利用三角函数图象的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用图象的对称轴即可求解．本题考查的知识要点：三角函数图象的平移变换，正弦型函数性质得应用，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：若直线m⊄平面α，则m//α或m与α相交．当m//α时，α内的直线与m的位置关系是平行或异面；当m与α相交时，α内的直线与m的位置关系是相交或异面．①α内的所有直线与m异面错误；②α内存在唯一一条直线与m相交错误，当m与α平行时，α内不存在直线与m相交，当m与α相交时，α内过交点的直线都有直线m相交；③α内存在直线与m平行错误，当m与α相交时，α内不存在直线与m平行．∴结论一定成立的个数是0．故选：A．由已知可得m//α或m与α相交，再分类分析直线m与平面α内直线的位置关系，则答案可求．本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．10.【答案】C【解析】解：当航线垂直于河岸时，航程最短．如图，在△ABC中，AC=10，BC=2，所以tan∠BAC=15∈(0,√33)，所以∠BAC∈(0°,30°)，故θ=90°+∠BAC∈(90°,120°)，即(π2,2π3)，故选：C．利用垂线段最短得到船的行驶方向，结合三角函数的知识求出夹角；本题考查向量的加法的几何意义的应用，结合解直角三角形和三角函数知识考查，属于基础题．11.【答案】(0,2) 2【解析】解：z=(1+i)2=12+2i+i2=2i，∴复数z=(1+i)2对应的点Z的坐标为(0,2)；|z|=√02+22=2．故答案为：(0,2)；2．把复数z化成代数形式，可得对应的点Z的坐标，再计算|z|即可．本题考查复数乘法运算，复数的模和几何意义，考查运算能力，属于基础题．12.【答案】150【解析】解：A，B，C三种型号的新能源汽车，第一个月下线的台数依次为250，450，300，现用分层抽样的方法从中随机抽取20台车进行质量测试，则每一台车被抽取的概率为20250+450+300=150，故某一台B型号的新能源汽车被抽取的概率为150，故答案为：150．由题意利用分层抽样的定义和特点，求出每一台车被抽取的概率，即为所求．本题主要考查分层抽样的定义和特点，属于基础题．13.【答案】14【解析】解：△ABC中，a2=2bc，b=2c，所以a2=4c2，整理得a=2c，则：cosA=b2+c2−a22bc =4c2+c2−4c22⋅2c⋅c=14．故答案为：14．直接利用关系式的变换和余弦定理的应用求出结果．本题考查的知识要点：关系式的变换，余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．14.【答案】18【解析】解：⊙O 中弦AB =6，则AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AO ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠OAB =12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=18．故答案为：18．直接利用向量的数量积化简求解即可．本题考查向量的数量积的求法，是基础题．15.【答案】①④⑤(或②③⑤)【解析】解：由α//β，m//α，m ⊄β，可得m//β；由α⊥β，m ⊥α，m ⊄β，可得m//β．故答案为：①④⑤(或②③⑤)．由面面平行、线面平行结合线不在平面内得结论(或由面面垂直、线面垂直结合线不在平面内得结论)．本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．16.【答案】1 30°【解析】解：如图所示①，因为f(x)的最小正周期为2π，此时x 轴长度2π，其底边AB 所对应的长度为2π，AB 恰好为圆柱的底面周长，则圆柱横截面周长为2π，即2πr =2π，故r =1cm ，因为f(x)的值域为[−√3,√3]，则斜切面的最低点与最高点在y 轴上对应距离为2√3，即图②中CD 的长为2√3cm ，因为r =1cm ，所以DE =2r =2cm ，则tanθ=DECD =22√3=√33，又0°<θ<90°，所以θ=30°．故答案为：1；30°．利用f(x)的最小正周期为2π，即为圆柱横截面周长为2π，即可求出r 的值；利用值域求出CD 的长，结合r 的值，从而求出tanθ，即可得到答案．本题考查了三角函数与立体几何的应用，涉及了圆柱几何特征的理解与应用，考查了空间想象能力与逻辑推理能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)∵tanα=13，∴tan(π4+α)=tan π4+tanα1−tan π4⋅tanα=1+131−1×13=2，∵1−sinβ=cos2β=1−2sin 2β，β∈(π2,π)，∴sinβ=12．(2)∵tanα=sinαcosα=13，∴cosα=3sinα，又∵sin 2α+cos 2α=1，α∈(0,π2)，∴sinα=√1010，cosα=3√1010， ∵sinβ=12，β∈(π2,π)，∴cosβ=−√1−sin 2β=−√1−(12)2=−√32， ∴cos(α−β)=cosα⋅cosβ+sinα⋅sinβ=(−√32)×3√1010+12×√1010=√10−3√3020．【解析】(1)根据已知条件，结合正切函数的两角和公式，以及二倍角公式，即可求解．(2)根据已知条件，结合三角函数的同角公式和余弦函数的两角差公式，即可求解．本题考查了三角函数的两角和与差公式，以及二倍角公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．18.【答案】解：(1)由题中的折线图可知，随机选取一名篇目A 的读者，估计他退出页面时阅读量大于文章总量的80%的概率为0.30+0.10=0.4；(2)由折线图可知，10%和20%的阅读量和跳转率相等，则由分层抽样方法可知，在阅读量没有达到30%的篇目B 的读者中抽取6人，则10%抽取3人，20%的抽取3人，从6人中任选其中2人进行访谈，则这两人退出页面时阅读量都为文章总量的10%的概率为C 32C 62=15； (3)由题中的折线图可以看出，A ，B 都随着阅读量的增加，阅读跳转率也在增加，考虑选择A 进行优化．建议：A 可以在阅读量50%之后进行改善，使它能更吸引读者，尤其是90%，跳转率太大，应是后期很差导致，故考虑改善A 的后期，以便吸引读者．【解析】(1)利用题中折线图中的数据，由频率估计概率即可；(2)利用分层抽样的特点，得到10%抽取3人，20%的抽取3人，然后由古典概型的概率公式求解即可；(3)通过折线图的变化趋势，考虑优化A ，由A 的变化趋势分析建议即可．本题考查了折线图的应用，古典概率概率公式的应用，读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题．19.【答案】解：(1)由题意设f(x)=Asin(ωt −φ)+ℎ，则A =R =32，T =80，则ω=2πT =2π80=π40，由题意sinφ=1.21.5=45，φ是锐角，所以φ=3π10，f(t)=32sin(π40t −3π10)+ℎ，f(0)=32sin(−3π10)+ℎ，ℎ=65，所以f(t)=32sin(π40t +3π10)+65． (2)河水上涨0.3米，在Rt △OQN 中，sin∠QON =1.2−0.31.5=35，所以∠QON =π5=36°．(3)水车转速加快到原来的2倍，则周期变为原来的一半，即T =40，ω=2π40=π20，所以ℎ(t)=32sin(π20t −3π10)+65．【解析】(1)设f(x)=Asin(ωt −φ)+ℎ，依据题意求出各参数后可得．(2)在直角三角形AQN 中计算可得．(3)由周期变为原来的一半可得．本题考查三角函数的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．20.【答案】解：(1)由题意OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)，∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,52)，∴点P 坐标为(2,52)； (2)设Q(s,t)，由OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 得s =2λ+μ、t =λ+2μ． ①把s =2λ+μ、t =λ+2μ代入“y =−x +3”得λ+2μ=−(2λ+μ)+3，得λ+μ=1；②由△QAB 为等边三角形，得|QA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|QB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |，∴|QA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|QB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2，∴(s −2)2+(t −1)2=(s −1)2+(t −2)2=(2−1)2+(1−2)2=2，由(s −2)2+(t −1)2=(s −1)2+(t −2)2得s =t ，代入(s −1)2+(t −2)2=2，得2s 2−6s +3=0，把s =2λ+μ、t =λ+2μ代入s =t ，得λ=μ，∴s =t =3λ，代入2s 2−6s +3=0，得6λ2−6λ+1=0，解得λ=3±√36， ∴λ=μ=3+√36或λ=μ=3−√36．【解析】(1)由向量坐标加法运算可求得点P 坐标；(2)设Q(s,t)，由OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 得s 、t 用λ，μ表示的表达式． ①把s 、t 用λ，μ表示的表达式代入“y =−x +3”可求得λ，μ应满足的数量关系；②根据|QA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|QB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |，可求得λ，μ的值．本题考查平面向量坐标运算、向量模，考查数学运算能力，属于中档题．21.【答案】2√3 3√3【解析】解：(1)证明：在矩形ABCD 中，EF ⊥AE ，EF ⊥BE ，所以在图②中，EF ⊥A 1E ，EF ⊥BE ，又A 1E ∩EB =E ，所以EF ⊥A 1EB ．(2)设BE 中点为G ，则A 1G ⊥平面BCFE.所以V F−A 1BC =V A 1−FBC =13×A 1G ×S △FBC =13×√3×(12×2×2)=2√33． (3)①连接CD 1，D 1M ，CM ，所以平面CD 1M//平面A 1FB.所以平面α截该正方体所得图形为边长为2√2的正三角形，面积为12×2√2×2√2×√32=2√3． ②如图，当截面为边长为√2的正六边形时，面积最大，为6×(12×√2×√2×√32)=3√3．(1)在翻折过程中，，EF⊥A1E，EF⊥BE保持不变，利用线面垂直的判定定理证明；(2)因为A1G⊥平面BCFE，通过换顶点，利用等体积法求三棱锥体积；(3)利用正方体的性质，平面α沿体对角线NE运动，当截面为正六边形时，面积最大．本题考查线面垂直的判定定理，三棱锥的体积，面面平行的判定定理，正方体的截面问题，属于综合题．。

练习-北京市东城区高一数学下学期期末考试新人教A版

北京市东城区（南片）-下学期高一年级期末统一测试数学试卷本试卷共100分O考试时间120分钟O一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分O在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项O1O下列命题中正确的是A O=-B O 0=+C O=⋅D O=++2O函数()()R x x x f ∈⎪⎭⎫⎝⎛-=42sin 3π的最小正周期为A O2πB OπC Oπ2D Oπ43O已知向量()2,1=a ，()3,2=b ，()4,3=c ，且b a c 21λλ+=，则21λλ，的值分别为A O 2-，1B O1-，2C O2，1-D O1，2-4O已知542cos -=⎪⎭⎫⎝⎛-x π，且x 在第三象限，则()π-x tan 的值为A O34 B O34- C O43 D O43-5O不等式b a >和ba 11>同时成立的充要条件是A O0>>b a B O0,0<>b aC O0<<a b D O011>>ba 6O将函数x y sin =的图象上所有的点向右平移10π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是A O ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=102sin πx yB O⎪⎭⎫ ⎝⎛-=52sin πx yC O⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1021sin πx yD O⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2021sin πx y7O如图，()3,3=，()3,3-=，F E ，是AB 上的三等分点，则ECF ∠cos 的值为A O85852 B O23 C O21 D O54 8O已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1a ，321a ，22a 成等差数列，则9871098a a a a a a ++++的值为A O 223+B O21-C O21+D O223-9O若有实数a ，使得方程2sin ax =在[)π2,0上有两个不相等的实数根21x x ，，则()21co sx x +的值为A O 1-B OC O 1D Oa 23 10O在ABC ∆中，内角C B A ，，的对边分别是c b a ，，，若bc b a 322=-，B C sin 32sin =，则A 的值为A O30° B O60° C O120° D O150°二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分O11O在区间[]2,1-上随机取一个数x ，则[]1,0∈x 的概率为____________O12O 在数列{}n a 中，01≠a ，()*1,22N n n a a n n ∈≥=-，前n 项和为n S ，则24a S =_______O13O若0>a ，20=+>b a b ，，则下列不等式对一切满足条件的b a ，恒成立的是______________（写出所有正确命题的编号）OO 1≤ab ；②2≤+b a ；③222≥+b a ；④333≥+b a⑤211≥+ba O14O 已知34tan -=⎪⎭⎫⎝⎛+απO则=α2tan ___________O15O如图所示，动物园要围成四间相同面积的长方形虎笼，一面可利用原有的墙，其它各面用钢筋网围成O现有36m 长的钢筋网材料，则可围成的每间虎笼面积最大为_________m 2O16O已知M 是ABC ∆内的一点，且︒=∠=⋅3032BAC ，O定义：()=M f()z y x ,,，其中z y x ，，分别为MAB MCA MBC ∆∆∆，，的面积，若()=M f ⎪⎭⎫ ⎝⎛21,,y x ，则yx 221+的最小值为______________________，此时()=M f __________________O三、解答题：本大题共6小题，共52分O解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程O17O（本题9分）甲袋中有3只白球、7只红球、15只黑球；乙袋中有10只白球、6只红球、9只黑球O（1）从甲袋中任取一球，求取到白球的概率；（2）从两袋中各取一球，求两球颜色相同的概率；（3）从两袋中各取一球，求两球颜色不同的概率O18O（本题9分）在平面直角坐标系xOy 中，点()2,1--A 、()3,2B 、()1,2--C O（1）求以线段AC AB 、为邻边的平行四边形两条对角线的长；（2）当t 为何值时，t -与垂直；（3）当t 为何值时，t +与2-平行，平行时它们是同向还是反向O19O（本题8分）在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a ，，，已知412cos -=C O（1）求C sin 的值；（2）当2=a ，C A sin sin 2=时，求b 及c 的长O20O（本题8分）已知等差数列{}n a 满足：267753=+=a a a ，，{}n a 的前n 项和为n S O（1）求n a 及n S ；（2）令n an C b =（其中C 为常数，且*0N n C ∈≠，），求证数列{}n b 为等比数列O21O（本题9分）设函数()[]ππ,02cos 232cos 2∈+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x xx x f ，O（1）求⎪⎭⎫⎝⎛3πf 的值；（2）求()x f 的最小值及()x f 取最小值时x 的集合；（3）求()x f 的单调递增区间O22O其中表有行，第1行的个数是1，3，5，…，，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和O（1）写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表()3≥n n （不要求证明）；（2）每个数表中最后一行都只有一个数，它们构成数列1，4，12，…，记此数列为{}n b ，求数列{}n b 的前n 项和O【试题答案】二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分O11O31 12O215 13OO ，③，⑤（少选一个扣1分）14O34-15O22716O9，⎪⎭⎫⎝⎛2131,61，（第一空2分，第二空1分）三、解答题：本大题共6小题，共52分O解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程O17O解：（1）从甲袋中任取一球，取到白球的概率为253； ………………………3分（2）从两袋中各取一球，两球颜色相同的概率62520725925152562572510253=⨯+⨯+⨯=P ；………………………6分（3）从两袋中各取一球，两球颜色不同的概率6254186252071=-=P O……………9分 18O解：（1）（方法一）由题设知()5,3=AB ，()1,1-=AC ，则 ()6,2=+AC AB ，()4,4=-AC AB O102=+24=O故所求的两条对角线的长分别为24、102O……………………………………3分（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D ，两条对角线的交点为E ，则： E 为C B 、的中点，()1,0E又()1,0E 为D A 、的中点，所以()4,1D故所求的两条对角线的长分别为10224==AD BC 、；（2）由题设知：()1,2--=，()t t t ++=-523，O由t -与垂直，得：()0=⋅-t O即()()01,2523=--⋅++t t ，，从而115-=t ，所以511-=t O…………………………………………………6分（3）由题设知：()t t t 23,2--=+，()8,52--=-O由t +//2-，得1681510-=-t t O解得：21-=t O此时，()8,5214,25---=⎪⎭⎫ ⎝⎛=+t ，所以它们方向相反O……………9分 19O（1）解：因为41sin 212cos 2-=-=C C ，及π<<C 0，所以410sin =C O………………………………………………………4分（2）解：当2=a ，C A sin sin 2=时，由正弦定理CcA a sin sin =，得4=c O由411cos 22cos 2-=-=C C ，及π<<C 0得46cos ±=C O由余弦定理C ab b a c cos 2222-+=，得01262=-±b b O解得6=b 或62O所以⎩⎨⎧==.4,6c b 或⎩⎨⎧==.4,62c b…………………………………………………8分20O解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为73=a ，2675=+a a ，所以有 ⎩⎨⎧=+=+.26102,7211d a d a 解得231==d a ，O所以()12123+=-+=n n a n ；()n n n n n S n 222132+=⨯-+=O………4分（2）由（1）知12+=n a n ，所以2111C C CC b b n n n na a a a n n ===----O（常数，*2N n n ∈≥，）所以，数列{}n b 是以31C b =为首项O2C 为公比的等比数列O…………………8分21O解：（1）2123216cos 2323cos 322=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛ππππf O………3分（2）()2cos 232cos 2x x x f +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=π 1c o s 32s i n s i n 32c o s c o s++-=x x x ππ 1s i n 23c o s 21+-=x x16s i n +⎪⎭⎫⎝⎛-=x πO因为[]π,0∈x ，所以6665πππ≤-≤-x ，所以216sin 1≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-x πO所以函数()x f 的最小值为0O此时26ππ-=-x ，即32π=x O所以x 的取值集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧32πO……………6分（3）由（2）可知：()[]ππ,016sin ∈+⎪⎭⎫⎝⎛-=x x x f ，O设⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤--=6656πμππμx ，则原函数为1sin +=μy O因为x -=6πμ为减函数，所以1sin +=μy 的减区间就是复合函数()x f 的增区间O由2665πππ-≤-≤-x ，得ππ≤≤x 32O所以，函数()x f 的单调递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,32O………………………………………9分22O解：（1）表4为1 3 5 7 4 8 12 12 20 32它的第1，2，3，4行中的数的平均数分别是4，8，16，32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列O将这一结论推广到表()3≥n n ，表n 的第1行是1，3，5，…，12-n ，其平均数是()n nn =-++++12531 O即表()3≥n n 各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n ，公比为2的等比数列O…………………………………………………………………………………4分（2）由（1）知，表n 中最后一行的唯一一个数为12-⋅=n n n b O设n n b b b b S ++++= 3211212232221-⋅++⨯+⨯+⨯=n n O 设n n n S 22322212321⋅++⨯+⨯+⨯=②由O －②得，n n n n S 22222213210⋅-+++++=--整理，得()121+⋅-=n n n S…………………………………………………9分。

2024届北京东城北京二中数学高一第二学期期末复习检测试题含解析

2024届北京东城北京二中数学高一第二学期期末复习检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．要完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况，宜采用的抽样方法依次为( ) A ．①随机抽样法，②系统抽样法 B ．①分层抽样法，②随机抽样法 C ．①系统抽样法，②分层抽样法 D ．①②都用分层抽样法2．已知实数a b c 、、满足0a b c ++=且a b c >>，则下列关系中一定正确的是（） A ．ab ac < B ．()0ac a c -> C ．22cb ab <D ．()0c b a ->3．在等差数列中，，，则数列的通项公式为（） A ．B ．C ．D ．4．在2018年1月15日那天，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价元和销售量件之间的一组数据如下表所示：价格99.510.511销售量 118 6 5由散点图可知，销售量与价格之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是，且，则其中的（） A ．10B ．11C ．12D ．10.55．下图是500名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图，则这500名学生中测试成绩在区间[90，100）中的学生人数是A ．60B ．55C ．45D ．506．tan15tan75︒+︒=（） A ．4B ．23C ．1D ．27．某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为( ) A ．9B ．18C ．27D ．368．在钝角ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，若3013C c a =︒==，，，则ABC ∆的面积为A ．34B ．32C ．34D ．329．11sin 6π的值为 ( ) A ．12-B ．12C ．32-D ．3210．在ABC ∆中，若tan tan 1A B >，那么ABC ∆是（） A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

北京市东城区（南片）高一数学下学期期末考试试题(1)

北京市东城区（南片）2021-2021学年下学期高一年级期末考试数学试卷一、选择题：此题共10小题，每题3分，共30分。

在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知点A （1，2），B （3，1），那么直线AB 的斜率为 A. －2B. 12-C.12D. 22. 如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12。

那么该几何体的俯视图能够是 3. 若是等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127a a a +++＝A. 14B. 21C. 28D. 354. 通过点（－1，0），且与直线230x y +-=垂直的直线方程是 A. 220x y -+= B. 220x y ++= C. 220x y --=D. 210x y -+=5. ,a b R ∈，以下不等式中必然成立的是 A. 假设a b >，那么22a b >B. 假设a b >，那么11a b< C. 假设||a b >，那么22a b >D. 假设||a b >，那么22a b >6. 设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的选项是 A. 假设,l ααβ⊥⊥，那么l β⊂ B. 假设l ∥,αα∥β，那么l β⊂ C. 假设l ∥,ααβ⊥，那么l β⊥ D. 假设,l αα⊥∥β，那么l β⊥7. 已知数列{}n a 知足12430,3n n a a a ++==-，那么10a 等于 A. 943--⨯B. 943-⨯C. 743-⨯ D. 743⨯8. 在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于A ，B 两点，那么弦AB 的长等于A.B.C.D. 19. 已知变量,x y 知足约束条件1110x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，那么2z x y =+的最小值为A. －6B. －5C. 1D. 310. 已知点E ，F 别离是正方体1111ABCD A B C D -的棱AB ，1AA 的中点，点M ，N 别离是线段1D E 与1C F 上的点，那么与平面ABCD 垂直的直线MN 有A. 0条B. 1条C. 2条D. 无数条二、填空题：此题共6小题，每题4分，共24分。

数学卷·北京市东城区高一下学期期末考试试题

北京市东城区〔南片〕2021－2021学年下学期高一期末考试数学试卷一、选择题共10小题，每题3分，共30分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 直线l 经过原点和点(－3，1)，那么它的斜率为A. －3B. 33-C. 33D. 32. 不等式2x 2－x －1>0的解集是 A. (21-，1) B. (1，+∞) C. (－∞，1)∪(2，+∞) D. (－∞，21-)∪(1，+∞) 3. 在ΔABC 中，D 是AB 边上一点，CB CA λ+=31CD ，那么实数λ= A. －32 B. －31 C. 31 D. 32 4. 点A(1，1，1)，点B(－3，－3，－3)，那么线段AB 的长为 A. 43 B. 23 C. 42 D. 32 5. =-17cos 30cos 17sin 47sin A. －23 B. －21 C. 21 D. 23 6. 直线l ：y=kx －3k 与圆C ：x 2+y 2－4x=0的位置关系是A. l 与C 相交B. l 与C 相切C. l 与C 相离D. 以上三个选项均有可能7. 等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9=2a 25，a 2=1，那么a 1= A. 21 B. 22 C. 2 D. 28. 设31)4sin(=+θπ，那么sin2θ= A. －97 B. －91 C. 91 D. 97 9. 设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，||||16BC 2AC AB AC AB -=+=，，那么=||AMA. 8B. 4C. 2D. 110. 设a ，b 为正实数，以下结论正确的选项是①假设a 2－b 2=1，那么a －b<1； ②假设11b 1=-a ，那么a －b<1； ③假设1||=-b a ，那么|a －b|<1； ④假设|a 3－b 3|=1，那么|a －b|<1.A. ①②B. ②④C. ①③D. ①④二、填空题共6小题，每题3分，共18分．11. 过点(－3，－1)，且与直线x －2y=0平行的直线方程为________．12. 假设x>0，那么函数xx 1y 2+=的最小值是________． 13. {a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，假设a 1=21，a 1+a 2+a 3，那么S n =________． 14. 过点(－1，6)与圆x 2+y 2+6x －4y+9=0相切的直线方程是________．15. 等比数列｛a n }中，a 1+a 3=5，a 2+a 4=4，那么a 4+a 6=________．16. △ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，那么△ABC 的面积为________．三、解答题共6小题，共52分．解容许写出文字说明，演算步骤或证明过程．17. (本小题共9分)向量a=(1，2)，b=(－2，m)，m ∈R ．(Ⅰ)假设a ∥b ，求m 的值；(Ⅱ)假设a ⊥b ，求m 的值．18. (本小题共9分)某公司生产甲、乙两种桶装产品．生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的方案中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．求该公司从每天生产的甲、乙两种产品中，可获得的最大利润．19. (本小题共9分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且满足c a C A =cos sin ． (Ⅰ)求角C 的大小；(Ⅱ)求)4cos(sin 3π+-B A 的最大值，并求取得最大值时角A 的大小．20. (本小题共9分)O 为平面直角坐标系的原点，过点M(－2，0)的直线l 与圆x 2+y 2=1交于P 、Q 两点，且.21OP -=•OQ (Ⅰ)求∠PDQ 的大小；(Ⅱ)求直线l 的方程．21. (本小题共8分)数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =－n 2+20n ，n ∈N *．(Ⅰ)求通项a n ；(Ⅱ)设{b n －a n }是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n }的通项公式及其前n 项和T n ．22. (本小题共8分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线y=x 2－6x+1与坐标轴的交点都在圆C 上． (Ⅰ)求圆C 的方程；(Ⅱ)试判断是否存在斜率为1的直线，使其与圆C 交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，假设存在，求出该直线方程，假设不存在，请说明理由．参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每题3分，共30分.1. B2. D3. D4. A5. C6. A7. B8. A9. C 10. D二、填空题：本大题共6小题，每题3分，共18分.11. x －2y+1=0 12. 2 13. n n 4141s 2n +=14. 3x －4y+27=0或x=－1. 15. 2564 16. 315 三、解答题：本大题共6小题，共52分.17. (共9分)解(Ⅰ)因为a ∥b ，所以1·m －2(－2)=0，m=－4. ……………………………5分(Ⅱ)因为a ⊥b ，所以a·b=0，所以1·(－2)+2m=0，m=1. …………………………………9分18. (共9分)解：设公司每天生产甲种产品x 桶，乙种产品y 桶，公司共可获得利润为z 元/天，那么由，得z=300x+400y ．且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,122,1226y x y x x画可行域如下图，目标函数z=300x+400y 可变形为.40043y z x +-= 解方程组⎩⎨⎧=+=+.1226,122x y x 得，⎩⎨⎧==44y x 即A(4，4). 所以，Z m ax =1200+1600=2800.所以，该公司从每天生产的甲、乙两种产品中，可获得的最大利润为2800元.………9分19. (共9分)解：(Ⅰ)由正弦定理得CA C A sin sin cos sin =．因为0<A<π，0<C<π．所以sinA>0. 从而sinC=cosC.又cosC≠0，所以tanC=1，那么4C π=．…………………………………………………5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知B=43π－A. 于是 )4cos(sin 3π+-B a =)cos(sin 3A a --π=A A cos sin 3+=).6sin(2π+A 因为0<A<43π，所以121166πππ<+<A ，所以当26ππ=+A ，即A=3π时，)6sin(2π+A 取最大值2. 综上所述，)4cos(sin 3π+-B A 的最大值为2，此时A=3π．………………………9分 20. (共分) 解：(Ⅰ)因为P 、Q 两点在圆x 2+y 2=1上，所以1||||==OQ OP ，因为21-=•OQ OP ，所以21cos ||||-=∠•=•POQ OQ OP OQ OP ．所以∠POQ=120°． …………………………………………………………………………5分 (Ⅱ)依题意，直线l 的斜率存在，因为直线l 过点M(－2，0)，可设直线l ：y=k(x+2)．由(Ⅰ)可知O 到直线l 的距离等于21．。

东城高一下期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √9B. √-16C. πD. 0.1010010001…2. 若实数a、b满足a+b=0，则|a|+|b|的值为（）A. 0B. 1C. a+bD. a-b3. 已知函数f(x)=2x+3，若f(x)的值域为[1, +∞)，则x的取值范围为（）A. x≥-1B. x≤-1C. x>-1D. x<-14. 在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，则∠C的度数为（）A. 75°B. 105°C. 135°D. 180°5. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5=50，S10=150，则a1+a10的值为（）A. 25B. 50C. 75D. 1006. 若复数z满足|z-1|=2，则z的几何意义是（）A. z在复平面上的轨迹是一个圆B. z在复平面上的轨迹是一个椭圆C. z在复平面上的轨迹是一个双曲线D. z在复平面上的轨迹是一个点7. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，若f(x)的图象关于直线x=2对称，则f(x)的对称轴方程为（）A. x=2B. y=2C. y=xD. y=-x8. 在等比数列{an}中，若公比q=1/2，首项a1=8，则第5项an的值为（）A. 1/16B. 1/8C. 2D. 169. 已知向量a=(1, -2)，向量b=(2, 3)，则向量a与向量b的数量积为（）A. -1B. 0C. 1D. 210. 在△ABC中，若∠A=90°，∠B=30°，BC=6，则AC的长度为（）A. 3√3B. 6√3C. 9√3D. 12√3二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）11. 已知等差数列{an}的公差d=3，若a1=2，则第10项an=__________。

12. 若函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0）的图象开口向上，则a的取值范围是__________。

2024届北京市东城区第二中高一数学第二学期期末经典模拟试题含解析

2024届北京市东城区第二中高一数学第二学期期末经典模拟试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．若,,2παβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭,且25sin 5α=,()10sin 10αβ-=-,则sin β=（） A ．7210 B ．22C ．12D ．1102．已知a b c 、、为ABC ∆的三个内角、、A B C 的对边，2c b =，ABC ∆的面积为2，则a 的最小值为( ). A ．253B ．263C ．5D ．63．已知圆心在x 轴上的圆C 经过()3,1A ，()1,5B 两点，则C 的方程为（）A ．()22450x y ++= B ．()22425x y ++= C ．()22450x y -+=D ．()22425x y -+=4．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a ，b ，c ，3a =，23c =，sin cos 6b A a B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则ABC ∆的面积为（）A ．332B ．33C ．92D ．95．函数tan()42y x ππ=-的部分图像如图所示，则()OA OB AB +⋅的值为（）6． “结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量.如图所示的是一位农民记录自己采摘果实的个数.在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一.根据图示可知，农民采摘的果实的个数是（）A ．493B ．383C ．183D ．1237．在下列结论中，正确的为（）A ．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同B ．向量AB 与向量BA 的长度相等C ．向量就是有向线段D ．零向量是没有方向的 8．在等差数列中，若.，则（）A ．100B ．90C ．95D ．209．过点P （﹣2，m ）和Q （m ，4）的直线斜率等于1，那么m 的值等于（） A ．1或3B ．4C ．1D ．1或410．如图，在ABC 中，已知D 是BC 边延长线上一点，若2B C C D =，点E 为线段AD 的中点，34AE AB AC λ=+，则λ=（）A ．14B ．14-C ．13D ．13-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2024届北京市东城区第五中学高一数学第二学期期末学业水平测试试题含解析

2024届北京市东城区第五中学高一数学第二学期期末学业水平测试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．在等比数列{}n a 中，11a =，2q ，16n a =，则n 等于()A ．3B ．4C ．5D ．62．不等式1x x->0的解集是（） A ．（－∞，0）（1，+∞）B ．（－∞，0）C ．（1，+∞）D ．（0，1）3．袋中有9个大小相同的小球，其中4个白球，3个红球，2个黑球，现在从中任意取一个，则取出的球恰好是红色或者黑色小球的概率为（） A ．79B ．49C ．23D ．594．设,x y 满足约束条件321104150250x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z x y =+的最小值为（）A ．3B ．4C ．5D ．105．在等差数列{}n a 中，如果14736939,27a a a a a a ++=++=，则数列{}n a 前9项的和为( ) A ．297B ．144C ．99D ．666．已知等差数列{}n a 中，若341092a a a =-+=-，，则n S 取最小值时的n =（） A ．9B ．8C ．7D ．67．终边在y 轴上的角α的集合（） A ．{|2,}k k αα=π∈ZB ．{|,}k k αα=π∈ZC ．{|2,}2k k ααπ=π+∈ZD ．{|,}2k k ααπ=π+∈Z8．在投资生产A 产品时，每生产100t 需要资金200万，需场地2200m ，可获得300万；投资生产B 产品时，每生产100t 需要资金300万，需场地2100m ，可获得200万，现某单位可使用资金1400万，场地2900m ，则投资这两种产品，最大可获利( ) A ．1350万B ．1475万C ．1800万D ．2100万9．某学校有教师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n 的样本，若女学生一共抽取了80人，则n 的值为（） A ．193B ．192C ．191D ．19010．如果a ＜b ＜0，那么下列不等式成立的是（） A ．11<a bB ．2ab<bC ．22ac <bcD ．22a ab b >>二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2024届北京东城55中学数学高一下期末经典模拟试题含解析

2024届北京东城55中学数学高一下期末经典模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．某高中三个年级共有3000名学生，现采用分层抽样的方法从高一、高二、高三年级的全体学生中抽取一个容量为30的样本进行视力健康检查，若抽到的高一年级学生人数与高二年级学生人数之比为3∶2，抽到高三年级学生10人，则该校高二年级学生人数为（） A ．600B ．800C ．1000D ．12002．将一个底面半径和高都是R 的圆柱挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，剩余部分的体积记为1V ，半径为R 的半球的体积记为2V ，则1V 与2V 的大小关系为( ) A ．12V V >B ．12V <VC ．12V =VD ．不能确定3．用辗转相除法，计算56和264的最大公约数是( )． A ．7B ．8C ．9D ．64．如图所示：在正方体1111ABCD A B C D ﹣中，设直线1A B 与平面11A DCB 所成角为1θ，二面角1A DCA ﹣﹣的大小为2θ，则12θθ，为（）A ．3045o o ，B ．4530o o ，C ．3060o o ，D ．6045o o ，5．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（）A 3B 3C ．－12D ．126．设集合{1,2,3,4,5},{1,2,5}U A ==，则U C A =（） A ．{1,5}B ．{3,4}C ．{3,5}D ．{1,2,3,4,5}7．已知向量()1,2a =-，()3,1b =，(),4c x =，若()a b c -⊥，则x =（） A ．1B ．2C ．3D ．48．已知m ，n 是两条不同的直线，，，αβγ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）A ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αB ．若////m n m α，，则//n αC ．若n αβ=，//m α，//m β，则//m n D ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ9．在ABC ∆中，sin sin cos cos A B A B ⋅<⋅，则这个三角形的形状为( ) A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形10．已知0m >，0xy >，当2x y +=时，不等式24mx y+≥恒成立，则m 的取值范围是A ．)2,⎡+∞⎣B ．[)2,+∞C ．(2D ．(]0,2 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

北京市东城区2019-2020学年高一下学期期末考试统一检测数学试题含解析

2019-2020学年北京市东城区高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1. 复数2z i =-+的虚部为（） A. 2 B. 2-C. 1D. i【答案】C 【解析】【分析】直接利用复数的基本概念得答案. 【详解】解：复数2z i =-+的虚部为1. 故选：C.【点睛】此题考查复数的有关概念，属于基础题2. 已知向量(),2a x =，()3,1b =-若a b ⊥，则x =（） A.23B.32C. 3-D. 6-【答案】A 【解析】【分析】根据平面向量的坐标运算，列方程求出x 的值. 【详解】解：向量(),2a x =，()3,1b =-；若a b ⊥，则0a b ⋅=，即()3210x +⨯-=，解得23x =. 故选：A.【点睛】此题考查由向量垂直求参数，属于基础题3. 在北京消费季活动中，某商场为促销举行购物抽奖活动，规定购物消费每满200元就可以参加一次抽奖活动，中奖的概率为110.那么以下理解正确的是（） A. 某顾客抽奖10次，一定能中奖1次B. 某顾客抽奖10次，可能1次也没中奖C. 某顾客消费210元，一定不能中奖D. 某顾客消费1000元，至少能中奖1次【答案】B 【解析】【分析】根据概率的定义进行判断. 【详解】解：中奖概率110表示每一次抽奖中奖的可能性都是110，故不论抽奖多少次，都可能一次也不中奖，故选：B.【点睛】此题考查对概率定义的理解，属于基础题 4. 要得到函数sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只要将函数sin 2y x =的图象（） A. 向右平移2π个单位长度 B. 向左平移2π个单位长度 C. 向右平移4π个单位长度 D. 向左平移4π个单位长度【答案】D 【解析】【分析】由题意利用函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，得出结论. 【详解】解：只要将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位长度，即可得到函数sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故选：D.【点睛】此题考查函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换，属于基础题 5. 在复平面内，复数()21i i -对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【解析】【分析】化简复数，找出对应点得到答案.【详解】()211i i i -=-+对应点为(1,1)-在第二象限故答案选B【点睛】本题考查了复数的化简，属于简单题.6. 设l 是直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（） A. 若//l α，//l β，则//αβ B. 若αβ⊥，//l α，则l β⊥ C. 若αβ⊥，l α⊥，则//l β D. 若//l α，l β⊥，则αβ⊥【答案】D 【解析】【分析】利用空间线线、线面、面面的位置关系对选项进行逐一判断，即可得到答案. 【详解】A.若//l α，//l β，则α与β可能平行，也可能相交，所以不正确. B.若αβ⊥，//l α，则l 与β可能的位置关系有相交、平行或l β⊆,所以不正确. C.若αβ⊥，l α⊥，则可能l β⊆，所以不正确.D.若//l α，l β⊥，由线面平行的性质过l 的平面与α相交于l '，则l l '，又l β⊥.所以l β'⊥，所以有αβ⊥，所以正确. 故选：D【点睛】本题考查面面平行、垂直的判断，线面平行和垂直的判断,属于基础题.7. 已知A ，B ，C ，D 是平面内四个不同的点，则“//C B D A ”是“四边形ABCD 为平行四边形”的（） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【解析】【分析】根据必要条件、充分条件的定义即可判断.【详解】解：由//CB DA可不一定推出四边形ABCD为平行四边形，但由四边形ABCD为平行四边形一定可得//CB DA，故“//CB DA”是“四边形ABCD为平行四边形”的必要而不充分条件，故选：B.【点睛】此题考查充分条件和必要条件的判断，考查推理能力，属于基础题8. 沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，利用细沙全部流到下部容器所需要的时间进行计时.如图，某沙漏由上、下两个圆维组成.这两个圆锥的底面直径和高分别相等，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度（h）的23（细管长度忽略不计）.假设细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.这个沙堆的高与圆锥的高h的比值为（）A. 827B.49C.23D.13【答案】A 【解析】【分析】细沙全部在上部时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高为23h，设圆锥的底面半径为r，则细沙形成的圆锥的底面半径为23r，求出细沙的体积，再设细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的高为h'，求出细沙的体积，由体积相等求解h'，则答案可求.【详解】解：细沙全部在上部时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高为23h ，设圆锥的底面半径为r ，则细沙形成的圆锥的底面半径为23r ， ∴细沙的体积为22122833381V r h r h ππ⎛⎫=⋅⋅= ⎪⎝⎭.细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径r ，设高为h '，则2218381V r h r h ππ'=⋅=，得827h h '=. ∴827h h '=. 故选：A.【点睛】此题考查圆锥体积公式的应用，属于中档题二、填空题（共6小题）.9. 若函数()f x sin xcos x =，则12f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为______. 【答案】14【解析】【分析】由已知利用二倍角公式可求()1sin 22f x x =，进而根据特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】解：∵()1sin cos sin 22f x x x x ==， ∴11111sin 2sin 1221226224f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：14. 【点睛】此题考查正弦的二倍角公式的应用，属于基础题10. 已知复数z 满足2i1iz =+，那么z =__________，||z =__________．【答案】 (1). 1i -(2).【解析】【分析】利用复数除法运算得到复数z ，进而求出其共轭与模即可. 【详解】复数2i 2i(1)i(1)11i (1i)(1i)i z i i -===-=+++-，故1i z =-，||z =．【点睛】本题考查复数的运算及基本概念，属于基础题. 11. 已知在ABC中，a =b =30A =︒，则B =______.【答案】60︒或120︒. 【解析】【分析】由已知利用正弦定理可得sin B =，结合b a >，可得范围()30,180B ∈︒︒，即可求解B 的值.【详解】解：∵a =b =30A =︒，∴由正弦定理sin sin a b A B =，可得1sin sin 2b A B a ⋅===， ∵b a >，可得()30,180B ∈︒︒， ∴60B =︒，或120︒. 故答案为：60︒，或120︒.【点睛】此题考查正弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题12. 已知甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，a ，如果甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，则a 的最大值是______. 【答案】0.79. 【解析】【分析】由甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，利用对立事件概率计算公式列出方程，由此能求出a 的最大值.【详解】解：甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，a ， ∵甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率， ∴()()()110.510.410.3a ----≥，解得0.79a ≤. ∴a 的最大值是0.79. 故答案为：0.79.【点睛】此题考查对立事件概率的应用，属于基础题13. 已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个论断：①//l m ，②//αβ，③m α⊥，④l β⊥.以其中的两个论断作为命题的条件，l α⊥作为命题的结论，写出一个真命题：______.【答案】若//l m ，m α⊥，则l α⊥ 【解析】【分析】若//l m ，m α⊥，则l α⊥，运用线面垂直的性质和判定定理，即可得到结论. 【详解】解：l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，可得若//l m ，m α⊥，则l α⊥，理由：在α内取两条相交直线a ，b ，由m α⊥可得m a ⊥.m b ⊥，又//l m ，可得l a ⊥.l b ⊥，而a ，b 为α内的两条相交直线，可得l α⊥. 故答案：若//l m ，m α⊥，则l α⊥【点睛】此题考查线面垂直的判定定理和性质定理的应用，考查推理能力，属于基础题 14. 在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为G ，作用在行李包上的两个拉力分别为1F ，2F ，且12F F =，1F 与2F 的夹角为θ.给出以下结论：①θ越大越费力，θ越小越省力；②θ的范围为[]0,π；③当2πθ=时，1F G=；④当23πθ=时，1F G=.其中正确结论的序号是______.【答案】①④.【解析】【分析】根据12G F F=+为定值，求出()22121cosGFθ=+，再对题目中的命题分析、判断正误即可.【详解】解：对于①，由12G F F=+为定值，所以()2222121212cos21cosG F F F F Fθθ=++⨯⨯=+，解得()22121cosGFθ=+；由题意知()0,θπ∈时，cosyθ=单调递减，所以21F单调递增，即θ越大越费力，θ越小越省力；①正确.对于②，由题意知，θ的取值范围是()0,π，所以②错误.对于③，当2πθ=时，2212GF=，所以122F G=，③错误.对于④，当23πθ=时，221F G=，所以1F G=，④正确.综上知，正确结论的序号是①④.故答案为：①④.【点睛】此题考查平面向量数量积的应用，考查分析问题的能力，属于中档题三、解答题共5题，每题10分，共50分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. 已知函数()()()f x g x h x =，其()g x x =，()h x =_____. （1）写出函数()f x 的一个周期（不用说明理由）；（2）当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值和最小值. 从①cos 4x π⎛⎫+⎪⎝⎭，②2sin 24x π⎛⎫- ⎪⎝⎭这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答，注：如果选择多个条件分别解答.按第一个解答计分.【答案】若选①（1）T π=；（2）最小值2-1-；若选②（1）2T π=，（2）最大值4，最小值12--. 【解析】【分析】（1）结合所选选项，然后结合二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合周期公式可求；（2）由已知角x 的范围，然后结合正弦函数的性质即可求解.【详解】解：选①，（1）因为()()cos 2sin cos sin 4f x x x x x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，22sin cos 2sin sin 2cos 21x x x x x =-=+-214x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，故函数的周期T π=；（2）因为,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以32,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，当244x ππ+=-即4πx =-时，函数取得最小值2-，当242x ππ+=即8x π=时，函数取得最1，选②，（1）()2sin 24x f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭1cos 2x x π⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，)2sin sin x x =-，故函数的一个周期2T π=，（2）由,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦可得sin 22x ⎡∈-⎢⎣⎦，1sin 2x =时即6x π=时，函数取得最大值4，当sin 2x =-时即4πx =-时，函数取得最小值12--. 【点睛】此题考查二倍角公式及辅助角公式的应用，考查正弦函数性质的应用，考查计算能力，属于中档题16. 某医院首批援鄂人员中有2名医生，3名护士和1名管理人员.采用抽签的方式，从这六名援鄂人员中随机选取两人在总结表彰大会上发言. （Ⅰ）写出发言人员所有可能的结果构成的样本空间；（Ⅱ）求选中1名医生和1名护士发言的概率；（Ⅲ）求至少选中1名护士发言的概率. 【答案】（Ⅰ）样本空间见解析；（Ⅱ）25；（Ⅲ）45. 【解析】【分析】（Ⅰ）给6名医护人员进行编号，使用列举法得出样本空间；（Ⅱ）列举出符合条件的基本事件，根据古典概型的概率公式计算概率；（Ⅲ）列举出对立事件的基本事件，根据对立事件概率公式计算概率.【详解】解：（Ⅰ）设2名医生记为1A ，2A ，3名护士记为1B ，2B ，3B ，1名管理人员记为C ，则样本空间为：()()()()()()(){1211121312122,,,,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A C A B A B Ω=()()()()()()()()}232121312323,,,,,,,,,,,,,,,A B A C B B B B B C B B B C B C .（Ⅱ）设事件M ：选中1名医生和1名护士发言，则()()()()()(){}111213212223,,,,,,,,,,,M A B A B A B A B A B A B =，∴()6n M =，又()15n Ω=， ∴()62155P M == （Ⅲ）设事件N ：至少选中1名护士发言，则()()(){}1212,,,,,N A A A C A C =，∴()3n N =，∴()()3411155P N P N =-=-=. 【点睛】本题考查事件空间，考查古典概型，考查对立事件的概率公式．用列举法写出事件空间中的所有基本事件是解题关键，也是求古典概型的基本方法． 17. 在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为AB 和1DD 的中点.（1）求证：//EF 平面1BCD ；（2）在棱11C D 上是否存在一点M ，使得平面MEF ⊥平面1BCD ？若存在，求出11C MD M的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，1. 【解析】【分析】（1）取1D C 的中点G ，连接FG ，GB ，运用中位线定理和平行四边形的判定和性质，结合线面平行的判定定理，即可得证；（2）在棱11C D 上假设存在一点M ，使得平面MEF ⊥平面1BCD ，取M 为11C D 的中点，连接1DC ，FM ，EM ，由线面垂直的判定和性质，结合面面垂直的判定定理，可得所求结论. 【详解】解：（1）取1D C 的中点G ，连接FG ，GB ，因为F 为1DD 的中点，所以FG ∥DG ，且12FG DC =，在正方体1111ABCD A B C D -中，因为E 为AB 的中点，所以EB ∥DC ，且1122EB AB DC ==，所以FG ∥EB ，FG EB =，可得四边形EBGF 为平行四边形，所以EF ∥GB ，又因为EF ⊄平面1BCD ，GB ⊂平面1BCD ，则EF ∥平面1BCD ；（2）在棱11C D 上假设存在一点M ，使得平面MEF ⊥平面1BCD ，取M 为11C D 的中点，连接1DC ，FM ，EM ，因为F 为1DD 的中点，所以FM ∥1DC ，因为11DC D C ⊥，可得1FM D C ⊥，因为BC ⊥平面11D DCC ，FM ⊂平面11D DCC ，所以BC FM ⊥，因为BC ⊂平面1BCD ，1D C ⊂平面1BCD ，1BC D C C ⋂=，所以FM ⊥平面1BCD ，因为FM ⊂平面MEF ，所以平面MEF⊥平面1BCD ，故111MC MD =.【点睛】此题考查线面平行的判定，考查线面垂直的判定和性质的应用，考查面面垂直的判定，考查推理能力，属于中档题18. 在ABC 中，3a =，D 是AC 的中点，19BD =2cos 2b C a c =+. （1）求B ；（2）求ABC 的面积. 【答案】（1）23B π=；（2）1534. 【解析】【分析】（1）直接由已知条件和正弦定理求出B 的值.（2）根据余弦定理求出c 的值，再根据面积公式即可求出. 【详解】解：（1）由2cos 2b C a c =+及正弦定理，可得：()2sin cos 2sin sin 2sin sin 2sin cos 2cos sin sin B C A C B C C B C B C C=+=++=++，所以：2cos sin sin 0B C C +=，由于：0C π<<，sin 0C ≠，1cos 2B =-因为()0,B π∈，解得：23B π=；（2）延长线段CB 到E ，使得3BE CB ==，因为D 是AC 的中点，所以DB 是ACE △的中位线，所以219AE DB ==，因为23ABC π∠=，所以3ABE π∠=，在ABE △中，由余弦定理2222cos AE AB BE AB BE ABE =+-⋅∠ 可得21199232c c =+-⨯⨯，解得5c =，所以113153sin 352224ABC S ac B ==⨯⨯⨯=△.【点睛】此题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查两角和正弦公式的应用，考查计算能力，属于中档题19. 对于任意实数a ，b ，c ，d ，表达式ad bc -称为二阶行列式（determinant ），记作a b c d，（1）求下列行列式的值： ①1001；②1326；③251025--；（2）求证：向量(),p a b =与向量(),q c d =共线的充要条件是0a b c d=；（3）讨论关于x ，y 的二元一次方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩（12120a a b b ≠）有唯一解的条件，并求出解.（结果用二阶行列式的记号表示）.【答案】（1）1，0，0；（2）证明见解析；（3）当11220a b a b ≠时，有唯一解，11221122c b c b x a b a b =，11221122a c a c y ab a b =. 【解析】【分析】（1）利用行列式的定义可以直接求出行列式的值.（2）若向量(),p a b =与向量(),q c d =共线，由0q ≠和0q =时，分别推导出0a b c d=；反之，若0a b c d=，即0ad bc -=，当c ，d 不全为0时，不妨设0c ≠，则ad b c=，,ab p a c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，推导出a p q c =⋅，//p q ，当0c 且0d =时，0q =，(),p a b =与0q =共线，由此能证明向量(),p a b =与向量(),q c d =共线的充要条件是0a b c d=.（3）求出()12211221a b a b x c b c b -=-，()12211221a b a b x a c a c -=-，由此能求出当11220a b a b ≠时，关于x ，y 的二元一次方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩（12120a a b b ≠）有唯一解，并能求出解.【详解】解：（1）解：①10101=②131623026=⨯-⨯=； ③()()2522551001025-=-⨯--⨯=-.（2）证明：若向量(),p a b =与向量(),q c d =共线，则：当0q ≠时，有0ad bc -=，即0a b c d=，当0q =时，有0c d ==，即0a b ad bc c d=-=，∴必要性得证. 反之，若0a b c d=，即0ad bc -=，当c ，d 不全为0时，即0q ≠时，不妨设0c ≠，则ad b c =，∴,ab p a c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∵(),q c d =，∴ap q c=⋅，∴//p q ，∴(),p a b =与(),q c d =共线，当0c且0d =时，0q =，∴(),p a b =与0q =共线，充分性得证.综上，向量(),p a b =与向量(),q c d =共线的充要条件是0a b c d=.（3）用2b 和1b 分别乘上面两个方程的两端，然后两个方程相减，消去y 得：()12211221a b a b x c b c b -=-，①同理，消去x ，得：()12211221a b a b x a c a c -=-，②∴当12210a b a b -≠时，即11220a b a b ≠时，由①②得： 1122121221112212c b c b x a b a b a b c b c b a b -==-，1122122111122122a c a c a c a cy a b a b a b a b -==-， ∴当11220a b a b ≠时，关于x ，y 的二元一次方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩（12120a a b b ≠）有唯一解，且11221122c bc bxa ba b=，11221122a ca cya ba b=.【点睛】此题考查行列式求值，考查向量共线的充要条件的证明，考查二元一次方程有解的条件及解的求法，考查运算求解能力，属于中档题。