广东省最新2018年高三1月模拟考试数学(理)试题

普通高中毕业班模拟考试
理科数学
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
（1）若全集U=R ，集合{}
124x
A x =<<，{}
10B x x =-≥，则U A B I ð＝
（A ）{}
12x x << （B ）{}01x x <≤ （C ）{}01x x << （D ）{}
12x x ≤< （2）已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若i a -与2i b +互为共轭复数，则()2
i =a b +
（A ）
3+4i （B ）5+4i （C ）34i - （D ）54i - （3）下列说法中正确的是
（A ）“(0)0f =”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件
（B ）若2
00
0:,10p x x x ∃∈-->R ，则2
:,10p x x x ⌝∀∈--<R
（C ）若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题
（D ）命题“若6απ=，则1sin 2α=”的否命题是“若6
απ≠，则1
sin 2α≠”
（4）已知()f x 在R 上是奇函数,且满足()()4f x f x +=,当()0,2x ∈时,()22f x x =，则()7f =
（A ） 2 （B ）2- （C ）98- （D ）98 （5）执行如图所示的程序框图，输出的结果为
（A ）()
22-， （B ）()
40-， （C ）()44--，
（D ）()08-，
（6）各项均为正数的等差数列{}n a 中，3694=a a ，则前12项和12S 的最小值为
（A ）78 （B ）48 （C ）60
（D ）72
（7）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是斜边长为2
的直角三角形，俯视图是半径为1的四分之一圆周和两条半径，则这个 几何体的体积为 （A
）
12π （B
）6π （C
）4π （D
）3
π （8）已知3sin 5ϕ=
，且2ϕπ⎛⎫
∈π ⎪⎝⎭
，，函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的图像 的相邻两条对称轴之间的距离等于
2
π
，则4f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值为 （A ）35- （B ）4
5
- （C ）35 （D ）45
（9）若实数,x y 满足约束条件220,
240,2,
x y x y y --≤⎧⎪
+-≥⎨⎪≤⎩
则x y 的取值范围是
（A ）2
,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （B ）13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （C ）3
,22
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
（D ）[]1,2
（10）过双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一
条渐近线交于点B ，若2FB FA =uu r uu r
，则此双曲线的离心率为
（A （B （C ）2 （D （11）将5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，中山大学这3所大学就读，每所大学至少保送1
人，则不同的保送方法共有
（A ） 150种 （B ） 180种 （C ） 240种 （D ）540种
（12）已知ABC ∆的三个顶点A ，B ，C 的坐标分别为())
()0,1,
,0,2-，O 为坐标原点，动
点P 满足1CP =uu r
，则OA OB OP ++uu r uu u r uu u r 的最小值是
（A 1 （B 1 （C 1 （D 1
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．
（13）已知向量a ，b 满足||4=b ，a 在b 方向上的投影是
1
2
，则=
a b ．
（14）已知()1cos 3θ+π=-
，则sin 22θπ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭ ． （15
）10
2a x ⎫⎪⎭展开式中的常数项为180，则a = ．
（16）已知()y f x =为R 上的连续可导函数，且()()0xf x f x '+>，则函数
()()1g x xf x =+()0x >
的零点个数为___________．
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）
设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知12a =，对任意*
n ∈N ，都有()21n n S n a =+．
(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ）若数列4
(2)n n a a ⎧
⎫⎨⎬+⎩⎭
的前n 项和为n
T ,求证：112n T ≤<.
（18）(本小题满分12分)
如图，在三棱柱11ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，12AB AC AA ==，120BAC ∠=
，
1,D D 分别是线段11,BC B C 的中点，过线段AD 的中点P 作BC 的平行线，分别交AB ，AC 于点M ，N ．
（Ⅰ）证明：MN ⊥平面11ADD A ； （Ⅱ）求二面角1A A M N --的余弦值．
A
B
C
D
P
M N
A 1
B 1
C 1
D 1
（19）（本小题满分12分）
计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量
X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上.其中，不足80
的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立． （Ⅰ）求在未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；
（Ⅱ）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系；
若某台发电机运行，则该台发电机年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
（20）（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221221x y C a b +=：()1a b >≥的离心率2
e =，且椭圆1C 上
一点M 到点()30，
Q 的距离的最大值为4． （Ⅰ）求椭圆1C 的方程；
（Ⅱ）设1016A ⎛⎫
⎪⎝⎭
，，N 为抛物线2
2x y C =：上一动点，过点N 作抛物线2C 的切线交椭圆1C 于
B ，
C 两点，求ABC ∆面积的最大值．
（21）（本小题满分12分）
已知函数()e x
f x ax =-（e 为自然对数的底数，a 为常数）在点()0,1处的切线斜率为1-.
（Ⅰ）求a 的值及函数()x f 的极值； （Ⅱ）证明：当0>x 时，2
e x
x <；
（III ）证明：对任意给定的正数c ，总存在0x ，使得当()∞+∈，0x x ，恒有2
e x
x c <.
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时请写清题号．
（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，以BD 为直径的圆O 与BC 交于点E ． （Ⅰ）求证：BC CE AD DB ⋅=⋅；
（Ⅱ）若4BE =，点N 在线段BE 上移动，90ONF ∠=o
,
NF 与O e 相交于点F ，求NF 的最大值．
（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C ：1,12x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）与曲线2C ：cos 3sin x a y θθ
=⎧⎨=⎩，
(θ
为参数，0a >)．
（Ⅰ）若曲线1C 与曲线2C 有一个公共点在x 轴上，求a 的值；
（Ⅱ）当3a =时，曲线1C 与曲线2C 交于A ，B 两点，求A ，B 两点的距离．
（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知定义在R 上的函数()||||f x x m x =-+，*m ∈N ，存在实数x 使()2f x <成立． （Ⅰ）求实数m 的值；
（Ⅱ）若,1αβ>，()()2f f αβ+=，求证：
419
2
αβ+≥．
参考答案。