浙师大2012年6月B卷试题(含答案)

浙江师范大学《高等数学B(二) 》考试卷（A 卷）2011—2012学年第二学期考试形式：闭卷 使用学生： 2011级工科1 考试时间：120分钟 出卷时间：2012年5月31日 说明：考生应将全部答案写在答题纸上，否则无效.一、 选择题 (每小题3分, 共18分)1. 函数),(y x f z =的偏导数),(y x f x ，),(y x f y 在区域D 内连续是),(y x f z =在D 内可微的( ) A ． 充要条件 B . 充分但非必要条件 C ． 必要但非充分条件 D. 既非充分也非必要关系2. 交换二次积分的积分次序()0211d ,d yy f x y x --=⎰⎰( ).A . ()2001d ,d x x f x y y -⎰⎰ B .()2011d ,d x x f x y y -⎰⎰C .()211d ,d x x f x y y -⎰⎰D . ()211d ,d x x f x y y -⎰⎰3. 已知xy y x y x xy f ++=+22),(，则yf x f ∂∂∂∂,分别为( ). A . 1,2y - B . 2,1y - C . 22,2x y y x ++ D . x y 2,2 4. 设函数()x f 是以π2为周期的周期函数，它在[)ππ，-上的表达式为()⎩⎨⎧<≤<≤-=ππx x x x f 000， 再设()x f 的Fourier （傅立叶）级数的和函数为()x s ，则()=πs ( ). A. 2π-B. π-C. 0D. π5. 非零向量b a,互相垂直, 则有 ( )A. ||||||b a b a+=+ B. ||||b a b a -≤+C. ||||b a b a -≥+D. ||||b a b a -=+ 6. 若级数∑∞=-1n nxne收敛，其和为),(x S 则=⎰dx )(3ln 2ln x S ( )A. 3-B. 31-C. 21D. 2二、 填空题 (每小题3分, 共21分)1. 已知,4),(y x yx xye ey x f --=+ 则=),(y x f ① .2. 函数z xy x z y x f --=23),,(在点)0,1,1(P 梯度为_ ② .3. 化dy y x f dx x ⎰⎰12),(为极坐标形式的二次积分 ③ .4. 求锥面22y x z +=被柱面x z 22=所割下部分的曲面面积A= ④ .5. 微分方程032=-'-''y y y 的通解为 ⑤ .6. 过点)4,2,0(且与两平面12=+z x 和23=-z y 平行的直线方程为 ⑥ .7. 将函数x1展开成)2(-x 的幂级数为 ⑦ . 三、计算题 (每小题8分, 共56分)1. 设y x ye z x 2sin 2+=，求函数z 的所有二阶偏导数.2. 设x y y x arctan ln 22=+，求dxdy . 3. 计算dxdy 2⎰⎰Dxe ，其中D 为三直线0=y ，x y =与1=x 所围成的平面区域. 4. 在过点)0,0(O 和)0,(πA 的曲线族)0(sin >=a x a y 中，求出其中的一条曲线,L 使沿该曲线从O到A 的积分dy )2(dx )1(3y x y L+++⎰的值为最小，并求该最小值.5. 设函数(,)f x y 连续，且(,)(,)dxdy Df x y x y f x y =+⎰⎰，其中D 由1y x=，1x =，2y =围成，求(,)f x y . 6. 计算曲面积分dxdy dydz )(2z x z -+⎰⎰∑，其中∑是旋转抛物面)(2122y x z +=介于平面0=z 及2=z 之间的部分的下侧. 7. 求幂级数221212-∞=∑-n n nx n 的收敛域与和函数.四、 综合题 (5分)设正项数列{}n a 单调下降，且级数n n n a ∑∞=--11)1(发散，试问级数nn n a ∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+111是否收敛？并说明理由.浙江师范大学《高等数学B(二) 》答案（A 卷）2012年6月11日一、选择题 (每小题3分, 共18分)1、B2、B3、A4、A5、D6、C 二、填空题 (每小题3分, 共21分)① y y x )ln (22- ② )1,2,2(-- ③ρρθρθρθθθθπd f d ⎰⎰cos 1cos sin 402)sin ,cos ( ④π2⑤xx e C e C 321+- ⑥14322-=-=-z y x ⑦ n n n nx )2(2)1(01--∑∞=+三、计算题(每小题8分, 共56分)1. 设y x ye z x2sin 2+=，求所有二阶偏导数. 解：先求一阶偏导数，得yye x z x2sin 22+=∂∂，y x e y z x 2cos 22+=∂∂再求二阶偏导数，得()xx ye y ye x x z x x z 222242sin 2=+∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂，()ye y ye y x z y y x z x x 2cos 222sin 2222+=+∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂∂，()y e y x e y y z x x y z xx 2c o s 222c o s 2222+=+∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂∂，()y x y x e y y z y y z x2s i n 42c o s 2222-=+∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂2. 设x yy x arctanln 22=+，求dx dy . 解：两边求导数2222y x y y x yx y y x +-'=+'+，得y x xy dx dy -+=. 3. 计算dxdye Dx⎰⎰2，其中D 为三直线0=y ，x y =与1=x 所围成的平面区域.解：)1(2110010222-===⎰⎰⎰⎰⎰e dx xe dy e dx dxdy e x x x D x4. 在过点)0,0(O 和)0,(πA 的曲线族)0(sin >=a x a y 中，求出其中的一条曲线,L 使沿该曲线从O 到A 的积分dy )2(dx )1(3y x y L+++⎰的值为最小，并求该最小值..434cos sin cos 2sin cos )sin 2()sin 1(dy )2(dx )1()(.30020330333a a xdx x a xdx x a dx x a xdxa x a x dx x a y x y a I L-+=+++=+++=+++=⎰⎰⎰⎰⎰ππππππ解对变量a求导得⎝⎛>>==<<=.1,0,1,0,1,0)('a a a a I 由此可见1=a 是函数)(a I 的唯一极值点，并且是极小点从而达到函数的最小值.38)1(-=πI 5. 设函数(,)f x y 连续，且(,)(,)D f x y x yf u v dudv=+⎰⎰，其中D 由1y x =，1x =，2y =围成，求(,)f x y .解. 设(,)dxdy D A f x y =⎰⎰. 则 (,)(,)D f x y x yf u v dudv x yA=+=+⎰⎰，两边求二重积分，则()DA x Ay dxdy =+⎰⎰2111()y dy x Ay dx =+⎰⎰1124A =+，从而12A =，故1(,)2f x y x y=+.6. 计算曲面积分zdxdy dydz x z -+⎰⎰∑)(2，其中∑是旋转抛物面)(2122y x z +=介于平面0=z 及2=z 之间的部分的下侧.解：设1∑：2=z ，由高斯公式)11()(12=-=-+⎰⎰⎰⎰⎰∑+∑Ωdv zdxdy dydz x z ，所以zdxdy dydz x z -+⎰⎰∑)(2=-zdxdydydz x z -+⎰⎰∑1)(2=π82422=⎰⎰≤+y xdxdy7. 求幂级数221212-∞=∑-n n nx n 的收敛域与和函数.解：21)12(212lim 212212lim 1=-+=-+∞→+∞→n n n n n nn n ，收敛半径2=R ，由于级数)1(12212-∞=∑-n n n n 发散，所以收敛域是)2,2(-.令221212)(-∞=∑-=n n n x n x S ，两端积分有21121220022212)(x xx dx x n x d x S n n n n n xnx-==-=∑∑⎰⎰∞=-∞=-，两边求导得 222)2(2)(x x x S -+=.五、 综合题 (5分)设正项数列{}n a 单调下降，且级数n n n a ∑∞=-1)1(发散，试问级数nn n a ∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+111是否收敛？并说明理由.解. 因为正项级数{}n a 单调下降有下界，所以{}n a 收敛.记,lim a a n a =∞→ 则.0≥a下面进一步肯定.0>a 用反证法. 如果 0=a ，那么数列n a 单调递减收敛于零，从而由莱布尼兹判别法知n n n a ∑∞=-1)1(收敛，与题设矛盾,故nn nn n a a ∑∑∞=∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+111111， 而,111<+a 故由比较判别法知级数nn n a ∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+111收敛.。