数值分析第八章非线性方程解法
数值分析第八章非线性方程解法
求 f (x) = 0 的根
其中f (x) 为非线性函数. 如
f ( x ) 3 x 5 2 x 4 x 1,
f ( x ) e 2 x 1 x ln(sin x ) 2.
1
上机作业：求下列方程的非零根
x 513 0.6651x f ( x ) ln 0. 513 0.6651x 1400 0.0918
解
f (1) 9 0, f ( 2) 8 0, [1, 2]为有根区间;
f '( x ) 3 x 2 10 0, f (x)单调增加, 方程有唯一根.
对分区间次数
ln( 2 1) ln(0.5 104 ) n 1 13.288. ln 2 取 n=14.
8
n
0 1
f ( x ) x 3 10 x 20 0 计算结果如下表: an bn xn
1 2 1.5 1.75
f ( xn )
1.6.. 2.8..
1.5 1.5 ...
2 1.75 ...
2 ...
1.625 ...
0.54.. ...
12 1.5944825 1.5947266 1.5946046 0.0007...
L | x * xk 1 | ...... L | x * x0 | 0
k
1 | xk 1 xk | ? ④ | x * xk | 1 L
| xk 1 xk | | x * xk | | x * xk 1 |可用 |*xxk |xk L | x * xk | | x k 1 |来
~ ( x* x )(1 g( ξ )) 0
数值分析第八章 非线性方程(组)求根
足精度要求的根。计算过程如表8.2.1所示
表8.2.1
k
0 1 2 3 4 5 6 7
所以，
f(ak)及符号
0(－) 0(－) 0(－) 0(－) 0.0625(－) 0.0625(－) 0.078125(－) 0.0859375(－)
f(xk)及符号
0.5(+) 0.25(+) 0.125(+) 0.0625(－) 0.09375(+) 0.078125(－) 0.0859375(－)
1．画出 f(x) 的略图，从而看出曲线与x 轴交点的位置。 f(x)
x0 a x0 h
x* b
2．从左端点x = a出发，按某个预先选定的步长h 一步一步地向右跨，每跨一步都检验每步起点x0
和终点x0 + h的函数值，若 f (x0 ) f (x0 h) 0
那么所求的根x*必在x0与x0+h之间，这里可取x0或x0+h 作为根的初始近似。
反复执行步骤2、3，便可得到一系列有根区间：
[a,b] [a1, b1] [a2, b2 ] [an , bn ]
4、当 bk1 ak1 时，停止；
注：
xk 1
1 2 (ak
bk )
即为根的近似。
当 n 时，bn an 0 ，即这些区间必将收缩于一点，也就是 方程的根。在实际计算中，只要[an ,bn ] 的区间长度小于预定容
第八章
非线性 方程（组）求根
问题驱动：全球定位系统（GPS）
人类对导航和定位的需求是伴随着人类整个文明历史的进 步而发展的，中国古代“四大发明”之一的指南针是最早的定 位仪器和系统，其后还有经纬仪以及近代的雷达。如图8.1.1所 示全球定位系统（GPS）是基于卫星的导航系统，最早由美国 和前苏联分别在80年代研制，并于1993年正式投入使用。现 代社会中全球定位系统越来越深入到人们生活的方方面面。例 如市场上出售的手持型GPS，定位的精度可以达到10米以内， 这无疑给旅行者提供了方便；安装有GPS的儿童手表，家长在 家里的计算机上可以追踪到孩子的位置，防止儿童走 失；安装有GPS系统的汽车可以帮助新司机辨识道路等等。
数值分析--非线性方程的迭代解法
非线性方程的迭代解法1．迭代函数对收敛性的影响实验目的：初步认识非线性问题的迭代法及其收敛性，认识迭代函数对收敛性的影响，知道当迭代函数满足什麽条件时，迭代法收敛。
实验内容：用迭代法求方程 012)(3=--=x x x f 的根。
方案一： 化012)(3=--=x x x f 为等价方程 )(213x x x φ=+= 方案二： 化012)(3=--=x x x f 为等价方程 )(123x x x φ=-= 实验要求：分别对方案一、方案二取初值00=x ，迭代10次，观察其计算值，并加以分析。
实验程序：实验结果:2. 初值的选取对迭代法的影响实验目的：通过具体的数值实验，体会选取不同的初值对同一迭代法的影响。
实验内容：用牛顿迭代法求方程 013=--x x 在x =1.5附近的根。
实验要求：对牛顿迭代公式 131231----=+k k k k k x x x x x ，分别取00=x ，5.10=x 迭代10次，观察比较其计算值，并分析原因。
实验程序：实验结果：3.收敛性与收敛速度的比较实验目的：通过用不同迭代法解同一非线性方程，比较各种方法的收敛性与收敛速度。
实验内容：求解非线性方程 0232=-+-x e x x 的根，准确到106-。
实验要求：(1) 用你自己设计的一种线性收敛的迭代法求方程的根，然后用斯蒂芬森加速迭代计算。
输出迭代初值、各次迭代值及迭代次数。
(2) 用牛顿迭代法求方程的根，输出迭代初值、各次迭代值及迭代次数，并与(1)的结果比较。
实验程序：1．普通迭代，选用初值0.52. 斯蒂芬森加速迭代3.牛顿迭代法实验结果：。
数值分析非线性方程的数值解法
数值分析非线性方程的数值解法数值分析是一种应用数学方法来分析和解决数学问题的领域。
非线性方程是数值分析中一类重要的问题，其解法包括了迭代法、牛顿法、割线法等。
本文将详细介绍这些数值解法及其原理和应用。
一、迭代法迭代法是解非线性方程的一种常用数值方法。
该方法的基本思想是通过不断迭代逼近方程的根，直到达到所需精度或满足停止准则为止。
迭代法的求根过程如下：1.选择适当的初始值x0。
2. 利用迭代公式xn+1 = g(xn)，计算下一个近似根。
3.重复步骤2，直到满足停止准则为止。
常用的迭代法有简单迭代法、弦截法和牛顿法。
简单迭代法的迭代公式为xn+1 = f(xn)，其中f(x)为原方程的一个改写形式。
该方法的收敛性要求函数f(x)在解附近有收敛性且导数在一个区间内收敛。
弦截法的迭代公式为xn+1 = xn - f(xn) * (xn-xn-1) / (f(xn)-f(xn-1))。
该方法通过连接两个点上的函数值的割线来逼近方程的根。
牛顿法的迭代公式为xn+1 = xn - f(xn) / f'(xn)，其中f'(x)为f(x)的导数。
该方法通过用切线来逼近方程的根。
二、牛顿法牛顿法是解非线性方程的一种常用迭代法。
该方法通过使用方程的导数来逼近方程的根。
迭代过程如下：1.选择适当的初始值x0。
2. 利用迭代公式xn+1 = xn - f(xn) / f'(xn)，计算下一个近似根。
3.重复步骤2，直到满足停止准则为止。
牛顿法的收敛速度较快，但要求方程的导数存在且不为0。
三、割线法割线法是解非线性方程的另一种常用迭代法。
该方法通过连接两个点上的函数值的割线来逼近方程的根。
迭代过程如下：1.选择适当的初始值x0和x12. 计算下一个近似根xn+1 = xn - f(xn) * (xn-xn-1) / (f(xn)-f(xn-1))。
3.重复步骤2，直到满足停止准则为止。
割线法的收敛速度介于简单迭代法和牛顿法之间。
数值分析中的非线性方程求解与优化
数值分析中的非线性方程求解与优化在数值分析领域中，非线性方程求解是一个重要的问题。
许多实际问题都可以被建模为非线性方程，而求解这些方程对于解决实际问题具有重要意义。
本文将介绍非线性方程求解的基本概念、方法和优化技术。
一、非线性方程求解的概念非线性方程是指方程中包含非线性项的方程。
与线性方程不同，非线性方程的解不再是一条直线，而是一条曲线或曲面。
非线性方程的求解是寻找方程中满足特定条件的变量值或函数的过程。
二、非线性方程求解的方法1. 迭代法迭代法是解决非线性方程求解问题中常用的方法。
迭代法的基本思想是通过不断逼近方程的解，使得迭代序列逐步收敛于方程的解。
常见的迭代法包括牛顿迭代法、割线法和弦截法等。
以牛顿迭代法为例，假设要求解方程f(x) = 0，首先选择一个初始估计值x0，然后通过迭代公式进行迭代计算直到满足收敛条件。
迭代公式为：xn+1 = xn - f(xn)/f'(xn)，其中f'(xn)表示f(x)在xn处的导数。
2. 区间划分法区间划分法是通过将求解区间划分为若干个子区间，然后在每个子区间内搜索方程的解。
这种方法常用于求解具有多个解的非线性方程。
一般可以使用二分法、割线法和弦截法等算法进行区间划分和求解。
3. 优化技术优化技术常用于求解非线性方程的最优解。
在数值分析中，优化问题可以理解为寻找使得目标函数达到最大或最小值的变量值。
常用的优化算法包括梯度下降法、拟牛顿法和粒子群算法等。
这些算法通过迭代过程不断调整变量值，使得目标函数逐渐趋于最优解。
三、非线性方程求解与优化的应用非线性方程求解和优化技术在实际问题中具有广泛的应用。
以下是一些应用领域的例子：1. 工程领域：在工程设计中，需要求解非线性方程以确定优化的设计参数。
例如，在机械设计中，可以通过求解非线性方程来确定零件的几何尺寸和运动轨迹。
2. 金融领域：在金融衍生品定价和风险管理中，需要求解非线性方程来估计资产价格和风险敞口。
数值分析8牛顿迭代法解非线性方程组
) (x x
) (x x
(0)
)
f1 x
f2 x
(y y
(y y
(0)
)
f1 y
f2 y
0
0
f2( x
(0)
,y
(0)
(0)
)
(0)
)
G X
f1 x G f 2 x f1 y f 2 y
u 11 u 12 u 22
1 m 21 A m n1
1 m n ,n 1
1
u 11
u 12 u 22
u1 n u n 1,n u nn
1
d2
dn
1
l 21 1
l n1 ln2 1
a1n a 2n a nn
d2 ln2d 2
dn
l 21 1
yj x 0
2
j
( j = 1,2,··· ) ··,n ··
2
三对角方程组
2 h2 1 1 2h
2
y j1 ( 2 h ) y j y j1 x j h
1 2 2h y1 x1 y2 x2 h 2 y n1 x n1 y x n n
a kk a nk
工作量: n(n – 1)(n + 4)/3
12/18
例 . LDLT分解
1 A 2 1
数值分析实验报告——非线性方程求根
数值分析实验报告——非线性方程求根一、实验目的：1.掌握求解非线性方程的常用方法；2.了解非线性方程求根问题的数值解法；3.熟悉使用数值分析软件进行非线性方程求根的实现。
二、实验原理：非线性方程指的是形如f(x)=0的方程，其中f(x)是一个非线性函数。
非线性方程求根的常用方法包括二分法、割线法和牛顿法等。
其中，二分法是通过不断缩小区间范围来逼近方程的解；割线法是通过使用割线来逼近方程的解；牛顿法则是通过使用切线来逼近方程的解。
对于给定的非线性方程，可以根据实际情况选择合适的方法进行求根。
三、实验内容：1.编写求解非线性方程的函数，包括二分法、割线法和牛顿法；2.使用编写的函数求解给定的非线性方程，比较各个方法的收敛速度和精确程度；3.根据实际情况分析和选择合适的方法进行求根。
四、实验步骤：1.针对给定的非线性方程，编写二分法的函数实现：（1）首先确定方程的解存在的区间；（2）根据方程的解存在的区间，使用二分法逐步缩小区间范围；（3）根据设定的精度要求，不断循环迭代，直至满足要求或达到迭代次数限制；2.针对给定的非线性方程，编写割线法的函数实现：（1）首先需要确定方程的解存在的初始点；（2）根据方程的解存在的初始点，根据割线的定义进行迭代；（3）设定迭代的精度要求和限制次数，结束迭代；3.针对给定的非线性方程，编写牛顿法的函数实现：（1）首先需要确定方程的解存在的初始点；（2）根据方程的解存在的初始点，根据牛顿法的定义进行迭代；（3）设定迭代的精度要求和限制次数，结束迭代；4.根据给定的非线性方程，分别使用二分法、割线法和牛顿法进行求解，并比较各个方法的收敛速度和精确程度；5.分析实际情况，选择合适的方法进行求解。
五、实验结果：4.通过比较，发现割线法和牛顿法的收敛速度较快，精确程度较高，因此选择割线法进行求解。
六、实验总结：通过本次实验，我掌握了求解非线性方程的常用方法，并使用数值分析软件实现了二分法、割线法和牛顿法。
数值分析-lec1011-非线性方程的迭代解法-精品文档
f (xk ) f (xk1 ) xk xk1
由此得到的算法叫割线法。
来近似f(x)在xk处的一阶导数
xk1
xk
f(xk)(xk xk1) f(xk)f(xk1)
数值分析
割线法的几何表示
P0 f(x)<0
Y
x1 x2
x* x0 x3 X
P2
P1
割 线 法 在 求 xk 1 时 要 用 到 前 面 两 步 的 结 果 xk,xk 1.
f(x) f(m)(1)(xs)m
m!
f(x) f(m)(2)(xs)m1
(m1)!
f(x) f(m)(3)(xs)m2
(m2)!
(x) x f (x) f (x)
(s)lim(x)lim [x(xs)f(m )(1)]s
x s
x s
m f(m )(2)
( s ) l i m ( x ) l i m f( x ) f ( x ) l i m ( m 1 ) f( m )(1 ) f( m )(3 ) 1 1
顿公式进行迭代。
Newton法具有收敛快，稳定性好，精度高等优点， 是求解非线性方程的有效方法之一。但它每次迭代均 需计算函数值与导数值，故计算量较大。而且当导数 值提供有困难时， Newton法无法进行。
数值分析
数值分析
误差：en xn r （不计舍入误差） 假定f 连续并且r是f 的单根。因此f (r) 0 f (r)。
2. 重根：如果 f(s)f(s) ...f(m 1 )(s) 0f (m)(s) 0 ， 称s
为m重根。特别地对 f(x) 是多项式，则有 f(x)(xs)m(x)
其中 (s) 0 。
数值分析
二分法（对分法）
非线性方程数值解法详解课件
例如，对于求解非线性方程$f(x)=0$的 应用实例中需要注意选择合适的初始近
根，可以先选择一个初始近似解$x_0$， 似解和设置合适的精度要求，以确保算
然后按照弦截法的迭代过程逐步逼近方
法能够快速收敛到真实解。
程的真实解。
05 共轭梯度法
共轭梯度法的原理
它利用共轭方向的概念，通过迭代过程中不断更新搜 索方向，使得函数值逐渐减小，最终找到方程的解。
牛顿法的实现步骤
确定初始点x0，计算f(x0)和f'(x0)，如果f(x0)不等于0，则按照牛顿法的迭代公式 进行迭代，直到满足精度要求。
1. 选取初始点x0；2. 计算函数值f(x0)和导数值f'(x0)；3. 如果f(x0)不等于0，则 按照牛顿法的迭代公式x1=x0-f(x0)/f'(x0)进行迭代；4. 重复步骤2和3，直到满 足精度要求。
以求解非线性方程为例，通过选择合 适的迭代法和初值，可以有效地求解 非线性方程的近似解。
03 牛顿法
牛顿法的原理
01
基于函数f(x)的泰勒级数的前两项， 通过迭代的方式逼近方程f(x)=0 的解。
02
牛顿法的基本思想是通过泰勒级 数的近似，将非线性方程f(x)=0 转化为线性方程，然后利用线性 方程的解来逼近非线性方程的解。
当达到预设的迭代次数或满足一定的收敛 条件时，停止迭代，输出结果。
共轭梯度法的收敛性分析
共轭梯度法具有全局收敛性和局部收敛性，即只要初始点 选择得当，算法能够找到方程的解，且在局部范围内具有 快速收敛的特点。
收敛性分析主要涉及算法的迭代矩阵和函数的性质，如连 续性和可微性等。
共轭梯度法的应用实例
牛顿法的收敛性分析
在一定的条件下，牛顿法是收敛的， 且具有二阶收敛速度。
数值分析(24) 非线性方程的数值方法
数值分析
定义1 若有x* 满足 (x*)=0 ， 则称x*为方程
的根或函数f(x)的零点，特别地，如果函数f(x)可分
解为
f(x) =(x x*)mg(x) 且 g(x* )0,
则称x*是f(x)的m重零点或f(x) =0的m重根。
当m=1时，称x*是f(x)的单根 或单零点。
数值分析
数值分析
0.3732
x3
0.3753
x4
0.3757
数值分析
数值分析
若从任何可取的初值出发都能保证收敛，则称它 为大范围收敛。如若为了保证收敛性必须选取初值充 分接近于所要求的根，则称它为局部收敛。
通常局部收敛方法比大范围收敛方法收敛得快。 因此，一个合理的算法是先用一种大范围收敛方法求 得接近于根的近似值（如二分法），再以其作为新的 初值使用局部收敛法（如迭代法）。
h=0.8 -1.377160000000e+002 -81.95600000000002 -43.34800000000001 -18.81999999999999 -5.30000000000000 0.28400000000000 1.06000000000000 0.50000000000000 -0.31600000000000 1.68400000000000 9.57200000000000 26.42000000000000
这里讨论迭代法的收敛性时，均指的是局部收敛 性。
数值分析
数值分析
定理2（收敛定理） 考虑方程 x = φ (x), φ(x)C[a, b], 若
( I ) 当 x[a, b] 时， φ(x)[a, b]；
( II )对 x[a, b],有 | φ’(x) | L < 1 成立。
非线性方程数值解法详解
1 ( p) (
p!
)( xk
)
p
xk1
1
p!
(
p)
(1
)(
xk
)p
lim
k
xk1 xk p
1 ( p) ( )
p!
0
必要性 （略）
例 能不能用迭代法求解方程x=4-2x，如果不能
时，试将方程改写成能用迭代法求解的形式.
方程为x-4+2x =0.设f(x)= x-4+2x ，则f(1)<0，f(2)>0， f‘(x)= 1+2x ln2>0,故方程f(x)=0仅在区间(1, 2)内有唯一根.
(1) f(a)f(b)<0; (2) f'(x)0, x[a, b]; (3) f''(x)不变号, x[a, b]; (4) 初值x0 [a, b]且使f''(x0) f(x0)>0; 则 Newton 迭代法收敛于f(x)=0在[a, b]内的惟一 根.
例 研究求
a的Newton公式xk 1 Nhomakorabeaxk 1 xk
f (xk ) f (xk )
(k 0,1, 2,L )
逐次逼近方程f(x)=0的根α ，这种求根算法称为 Newton法（切线法），此公式称为 Newton迭代公式.
Newton迭代法的收敛性及收敛阶
Newton法的迭代函数是 (x) x f (x)
从而
(x)
f (x) f (x) [ f (x)]2
或f(x)的零点. 设有正整数m使得f(x)=(x-α)mg(x)
且g(α)0 ，则当m2时，称α为f(x)=0的m 重根；当m=1时，称α为f(x)=0的单根. 若α为f(x)=0的m重根，则
非线性方程数值解法
对分区间法
对分法的基本思想
对分法的基本思想是在平分有根区间的 过程中，逐步缩小有根区间. 设函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a) f(b)<0 ，则方程f(x)=0在(a, b)内至少有一 个根.为简便起见，假定方程f(x)=0在(a, b) 内仅有一个根.这样(a, b)为有根区间.这 时可用下面的对分法求方程f(x)=0的近似 根.
迭代法的整体收敛性
定理1 （迭代收敛定理）设(x)在[a, b]上具有一阶 导数，且 1°x[a, b] ，总有(x)[a, b] ； 2°存在0m<1，使x(a, b) ，有'(x)m 则 1°方程x=(x)在[a, b]内有且仅有一根α ，其中α 为对任意初值x0 [a, b]由迭代过程xk+1=(xk)所产生 序列的极限. m xk xk xk 1 2°有估计式
求根步骤
（1）确定所给方程存在多少个根. （2）进行根的隔离，找出每个有根区间， 有根区间内的任一点都可看成是该根的 一个近似值. （3）逐步把近似根精确化，直到足够精 确为止.
根的隔离
根的隔离
确定出若干个小区间，使每个小区间有 且仅有方程f(x)=0的一个根，这个步骤称 为根的隔离.其中每个有根小区间都称为 隔根区间.
第三章
非线性方程的数值解法
根的概念
给定方程f(x)=0，如果有α使得f(α)=0， 则称α为f(x)=0的根或f(x)的零点. 设有正整数m使得f(x)=(x-α)mg(x) 且g(α)0 ，则当m2时，称α为f(x)=0的 m重根；当m=1时，称为f(x)=0的单根. 本章只讨论实根的求法.
非线性方程的数值解法
xk
x* ) p
根据已知条件得
(xk ) (x*)
1
p!
(
p
)
(
)(
xk
x*) p
由迭代公式 xk1 (xk ) 及 x* (x* ) 有
x k 1
x*
( p) ( )
p! (xk
x*) p
lim ek1 ( p) (x* ) 0
取一个初值 x0 , 代入式 x (x) 的右端, 得到
x1 (x0 )
再将 x1 代入式 x (x) 的右端, 得到 x2 (x1) , 依此类推, 得到一个数列 x3 (x2 ) …， 其一般表示
xk1 (xk ) (k 0,1,2,) (2.4)
2.3.1 迭代法的基本思想
为求解非线性方程f(x)=0的根，先将其写成便
于迭代的等价方程
x (x)
其中 (x) 为x的连续函数
(2.3)
例4 用迭代法求方程 x3 x 1 0
在x=1.5附近的一个根 解 将方程改写成如下两种等价形式
x 1 (x ) 3 x 1 x 2 (x ) x3 1
x6、x7重合，所以迭代公式（1）是收敛的，x*≈0.3758。 用迭代公式（2） xk1 10xk 2 , x0=1, 算得
x1=10-2=8, x2=108-2≈108, x3=10108-2≈ 10108，…… 迭代公式（2）发散。
}
2.3.3 迭代法收敛的条件 对方程f(x)=0可以构造不同的迭代公式, 但
证:由于 (x*) 1 ,存在充分小邻域△: x x* ,使成 立 (x* ) L 1 这里L为某个定数,根据微分中值定 理 (x) (x* ) ( )( x x* ) 由于 (x* ) x*,又当 x 时 ,故有 (x) x* L x x* x x* 由定理2.1知 xk1 (xk ) 对于任意的 x0 都收敛
非线性方程组的解法
非线性方程组的解法
非线性方程组的解法包括：
（1）近似法。
近似法是根据所给非线性方程组，使用一定的数值方法，建立非线性方程组结果的拟合曲线，以此求解非线性方程组的常用方法，目前有贝塔、拉格朗日近似法和微分近似法等。
（2）多元分割法。
多元分割法根据非线性方程组的参数和变量空间，
将整个运算范围分割成多余小区间，利用各区间中只含有一个未知变
量的简单方程组，将非线性方程组转换成多个一元方程组，再用一次法、弦截法和二分法等算法求解，最终得出整个非线性方程组的解。
（3）迭代映射法。
迭代映射法是通过给定一个初始值，然后利用迭代，反复运算，最终达到收敛点的一种方法，主要包括牛顿法、收敛法、
弦截法、松弛法和隐函数法等。
（4）最小二乘法。
最小二乘法是将非线性方程组表示为残差函数，然
后求解残差函数最小值，获得未知变量的最优解，常用于数值分析中。
（5）特征法。
特征法是采用将非线性方程组表示为线性方程组特征值
和它们关于某一特征量的关系式，利用梯度下降法，最小化残差函数，求解非线性方程组的方法。
以上是非线性方程组的解法的简单综述，它们在一定程度上增加了解决非线性方程组的效率，但并非所有情况都能使用以上求解方法。
正确使用相应的求解方法就可以有效的求解非线性方程组，以便更好的解决实际问题。
数值分析 第八章 非线性方程求解
26
例4
用牛顿法求方程x 3 1.1x 2 0.9 x 1.4 0
的实根的近似值 使误差不超过103. ,
解： 令 f ( x) x3 1.1x 2 0.9x 1.4,
[0,1] 是一个隔离区间. f (0) 0, f (1) 0.
如图，在[0,1] 上，
f ( x) 3x2 2.2x 0.9 0,
xn 1
f ( xn ) xn f ( xn )
(n 0,1,)
(8-3-1)
该方法称为牛顿法（切线法）25任取初始值 x0 [a, b]，过曲线 y f ( x) 上的点( x0 , f ( x0 ))作切线，如图
y
x0 x1 x2
y=f(x)
x*
a
b x
算法8、2（见教材）
产生序列逼近真值。 f ( x) 0 x ( x),
若xn 收敛于x* ,( x)在x*处连续
x* lim xn 1 lim ( xn ) ( x* )
n n
即为所求。（称为简单迭代法）
12
注：在例1中取
x x3 (10 1) x 20 等价方程
8
续表
k
7 8
xk
f ( xk )符号
隔根区间
[1.359375,1.375] [1.359375,1.3671875]
1.3671875 1.36328125
+ -
所以有 1 * x (1.359375 1.3671875) 1.363 2
9
例2、用对分区间法求f(x)的唯一实根，其误 差不超过 1 4
*
注：给定误差限，可求对分区间的次数。
数值分析教案_非线性方程的数值解法
数值分析教案_非线性方程的数值解法教学目标：1.了解非线性方程的概念及其数值解法的重要性；2.掌握二分法、牛顿法和割线法的原理和计算步骤；3.综合运用不同的数值解法，求解非线性方程的近似解。
教学内容：一、非线性方程的概念1.如何判断一个方程是线性方程还是非线性方程；2.非线性方程的形式及其在实际问题中的应用。
二、二分法1.基本原理：介绍二分法的基本原理和思想；2.计算步骤：具体说明通过二分法求解非线性方程的计算步骤；3.算法实现：利用计算机编程实现二分法的算法。
三、牛顿法1.基本原理：介绍牛顿法的基本原理和思想；2.计算步骤：具体说明通过牛顿法求解非线性方程的计算步骤；3.算法实现：利用计算机编程实现牛顿法的算法。
四、割线法1.基本原理：介绍割线法的基本原理和思想；2.计算步骤：具体说明通过割线法求解非线性方程的计算步骤；3.算法实现：利用计算机编程实现割线法的算法。
五、综合应用1.比较三种方法的优缺点和适用范围；2.综合运用不同的数值解法，求解复杂非线性方程的近似解；3.解决实际问题：通过例题和练习，让学生能够将所学知识应用到实际问题的求解中。
教学方法：1.教师讲授：通过课堂讲解，介绍非线性方程的概念、三种数值解法的原理和步骤，并演示相关例题的解法；2.计算机实践：利用计算机编程实现二分法、牛顿法和割线法的算法，进行数值计算，加深学生对这些方法的理解和掌握；3.讨论与互动：通过小组讨论和学生提问，共同探讨解决非线性方程问题的思路和方法。
教学资源：1.教材：选择理论详细、实例丰富的数值分析教材；2.计算机：提供计算机实践环境，用于实现数值解法的算法；3.课件和PPT：用于展示教学内容和示例问题的解法；4.练习题和作业：用于巩固和检测学生对数值解法的理解和应用能力。
教学评估：1.课堂练习：通过课堂上的小组讨论和问题回答，检测学生对非线性方程和数值解法的理解程度；2.作业评估：布置相应的练习题和编程作业，检验学生独立解决非线性方程问题的能力。
数值分析- 非线性方程求根
( x *) 0，
( p)
( x *) 0 ,
x * 附近是 p 阶收敛的 .
特别地，当
0 | ( x *) | 1时 , 迭代法线性收敛
;
当 ( x *) 0 , ( x *) 0时 , 平方收敛 .
§3
迭代收敛的加速方法
由迭代公式校正一次得
x 0 [ a , b ], 迭代序列 (2.2) 均收敛于 x *, L
k
1 L 1 1 L
| x1 x 0 |, | x k 1 x k | .
在 [1,2] 内考查如下迭代法的敛 1） x k 1
3 3 k
散性：
x k 1 ; 2） x k 1 x 1 .
• • •
设函数f(x)在区间［a,b］上单调连续,且 f(a)·f(b)＜0 则方程(1.1)在区间(a,b)内有且仅有 一个实根x。
二、二分法
二分法简述.
设 f ( a ) f ( b ) 0 , 取 x 0 ( a b ) / 2 . 假如 f ( x 0 ) 是 f ( x )的零点， 那么输出 x 0 , 停止 . 假若不然， 若 f ( a ) 与 f ( x 0 )同号，则 a1 x 0 , b1 b ; 否则 a1 a , b1 x 0 .
一、埃特金加速收敛方法
对于收敛的迭代过程， x1 ( x 0 ),
再校正一次得 x 2 ( x1 ).
如果 ( x ) 变化不大 , ( x ) L , 则
x1 x * ( x 0 ) ( x *) L ( x 0 - x *), x 2 x * ( x1 ) ( x *) L ( x1 - x *).
数值分析中的非线性方程求解与优化
数值分析中的非线性方程求解与优化数值分析是应用数学的一个重要分支，通过利用数值方法，将复杂的数学问题转化为计算机可以处理的形式，从而获得结果的近似解。
非线性方程求解与优化是数值分析的两个重要问题，本文将围绕这两个问题展开讨论。
一、非线性方程求解在数学中，非线性方程通常指的是未知量和其函数之间存在非线性关系的方程。
与线性方程不同，非线性方程的解往往无法用简单的代数方法求解，而需要借助数值方法来逼近求解。
1.试位法试位法是一种基本的非线性方程数值解法，其基本思想是通过在方程的根附近选择一个合适的初始值，并通过不断迭代逼近根的位置。
试位法的一种简单实现是二分法，即利用函数值的符号变化性来确定一个区间，并通过区间的二分来逼近根的位置。
2.牛顿迭代法牛顿迭代法是一种常用的非线性方程数值解法，它利用函数的局部线性逼近来不断迭代求解。
具体来说，牛顿迭代法首先通过选择一个初始值，然后通过函数的切线近似代替原函数，从而得到一个简单的线性方程，求解线性方程得到下一个近似解，不断迭代直到满足精度要求。
3.弦截法弦截法是一种解非线性方程的迭代方法，它与牛顿迭代法类似，但是不需要计算函数的导数。
具体来说，弦截法通过选择两个初始值，并通过这两个点所确定的直线与横轴的交点来逼近根的位置，然后再利用新的两个点来更新直线和根的位置，不断迭代直到满足精度要求。
二、非线性方程优化非线性方程优化是在满足一定约束条件下，求解使目标函数取得极值的问题。
该问题在实际应用中广泛存在，例如在经济学、工程学、管理学等领域都需要进行优化求解。
1.最优化理论最优化理论是研究优化问题的一门学科，其中非线性规划是最常见的一种形式。
非线性规划是在一组非线性约束条件下求解使目标函数取得极值的问题，其数学模型可以表示为：minimize f(x)subject to g(x) ≤ 0h(x) = 0其中，f(x)是目标函数，g(x)和h(x)分别表示不等式约束和等式约束。
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3 f ( x ) 0 x x 11x 20 解法一：
-6
迭代格式:
3 xn 1 xn 11xn 20,
取初值 x0 1.5, 计算得
x1 0.125, x2 21.376953, x3 10023.861,
p1
15
x1
x
定理 考虑方程 x = g(x), g(x)C[a, b], 若 ( I ) 当 x[a, b] 时， g(x)[a, b]； ( II ) 0 L < 1 使得 | g (x) | L 对 x[a, b] 成立.
则任取 x0[a, b]，由 xk+1 = g(xk) 得到的序列 x k k 0 收敛于 g(x) 在[a, b]上的唯一不动点 . 并且有误差估 计式：
1 | xk 1 xk | ( k = 1, 2, … ) | x * xk | 1 L Lk | x1 x0 | | x * xk | 1 L x * xk 1 且存在极限 lim g x * k x * x k
16
证明：① g(x) 在[a, b]上存在不动点？
解
f (1) 9 0, f ( 2) 8 0, [1, 2]为有根区间;
f '( x ) 3 x 2 10 0, f (x)单调增加, 方程有唯一根.
对分区间次数
ln( 2 1) ln(0.5 104 ) n 1 13.288. ln 2 取 n=14.
显然此迭代序列发散.
10
例2 用简单迭代法求方程
f ( x ) x 3 10 x 20 0
的根, 要求精确到0.510 . 20 解法二： f ( x ) 0 x 2 x 10 20 迭代格式: xn1 x 2 10 , 初值 x0 1.5, n
* x x0 ; 则 ① 若 f ( x0 ) 0,
② 若 f ( x0 ) 0, 取 a1 x0 , b1 b ;
③ 若 f ( x0 ) 0, 取 a1 a , b1 x0 . 以 [a1, b1 ] 作为新的有根区间继续迭代, 得有根区间序列
[a , b] [a1 , b1 ] [an , bn ] .
y =x
P(x0, x1)
P(x1, x2)
Steffensen 加速：
x1
x* x2
x0
( x1 x0 )2 ˆ x0 x x0 2 x1 x2
ˆ x
xn , yn g( xn ), zn g( yn ), 2 x ( x y ) n n x x n 1 n x n 2 y n z n .
的根, 要求精确到六位小数.
解法一： 迭代函数 g( x ) x 3 11x 20
g'( x ) 3 x 2 11 14
解法二： 迭代函数 g ( x )
20 x 2 10 40 x 80 | g' ( x ) | 2 2 2 1, ( x 10) 11
lnb a ln ε ba 1 k 1 ε k ln 2 2
①简单; ② 对 f (x) 要求不高(只要连续即可) .
①无法求复根及偶重根 ② 收敛慢
6
例1 试用二分法求方程
f ( x ) x 3 10 x 20 0
4 0 . 5 10 . 的唯一实根, 要求误差不超过
2
§1 对分区间法(二分法)
原理: 若 f C[a, b]，且 f (a) · f (b) < 0，则 f 在 (a, b) 上必有一根. [a, b] 称为 f (x)=0的有根区间.
下文中, 设 x* 是方程 f (x)=0的根.
3
ab , 不妨设 f (a) <0, f (b) >0. 取 x0 2
22
例 用Steffensen加速方法求 f ( x ) x 3 10 x 20 0 的根, 取 x0=1.5, =106. 20 , 解一. 取迭代函数 g ( x ) 2 x 10
对 x [1,2], 1 20 g ( x ) 20 2 故迭代法收敛. 14 11 20
局部收敛定理 如果函数 g (x) 在x* 的某 邻域 B * = { x | | x x* | *}内连续可微，且 x*= g(x*)， | g (x*) | < 1，则存在正数 ， *，由x0B 开
-6
迭代格式: xn1 计 x 1.5, 0 算 得 x1 1.6625,
3 xn 2 , 10
初值 x0 1.5,
x47 1.5945624 , x48 1.5945619 ,
13
x14 1.5925062 , x15 1.5961283 ,
上例表明, 对同一方程可构造不同的迭代格式，
f ( x ) x 3 10 x 20 0
的根, 要求精确到0.510 . 1 20 解法三： f ( x ) 0 x 0.4 x 2 1.4 x 10
1 20 0.4 xn , 初值 x0 1.5, 迭代格式: xn1 2 1.4 xn 10
计 x1 1.6326531, 算 x2 1.5790858, 得 x13 1.5945629, x14 1.5945618, x15 1.5945622,
-6
| x15 x14 | 0.5 106
故 x* x15 1.5945622.
11
例2 用简单迭代法求方程
~ )(1 g( ξ )) 0 ( x* x
而 | g( ξ ) | 1
~ x* x
17
③ 当k 时， xk 收敛到 x* ？
| x * xk | | g( x*) g( xk 1 ) | | g(ξ k 1 ) | | x * xk 1 |
L | x * xk 1 | ...... L | x * x0 | 0
k
1 | xk 1 xk | ? ④ | x * xk | 1 L
|x |来 | xk 1 xk | | x * xk | | x * xk 1 |可用 | x |*x x | x * xk | k 1k kL
始的迭代收敛. 该定理表明，若| g (x*) | < 1，只要初值x0选得离x* 足够近，迭代法一定收敛.
21
Aitken 加速：
y y = g(x)
一般地，有： 2 ( x K 1 x K ) ˆ K xK x x K 2 x K 1 x K 2
x ˆ K 比x K 收敛得快.
由 lim xk 1 lim g xk ,
k k
从一个初值 x0 出发, 计算 x1 = g(x0), x2 =
k
可知 x* = g(x* ),
即x* 是 g 的不动点，也就是 f 的根.
9
例2 用简单迭代法求方程
f ( x ) x 3 10 x 20 0
7
n
0 1
f ( x ) x 3 10 x 20 0 计算结果如下表: an bn xn
1 2 1.5 1.75
f ( xn )
1.6.. 2.8..
1.5 1.5 ...
2 1.75 ...
2 ...
1.625 ...
0.54.. ...
12 1.5944825 1.5947266 1.5946046 0.0007...
13 1.5944825 1.5946046 1.5945436 0.0003... 14 1.5945436 1.5946046 1.5945741
8
§2 迭代法
f (x) = 0
等价变换
x = g (x)
g (x) 的不动点
f (x) 的根
思 g(x ), …, x = g(x ), … 若 收敛 , x 1 k+1 k k k 0 路 即存在 x* 使得 lim xk x*, 且 g 连续, 则
x * xk 1 lim g x * ? ⑥ k x * x k
x * xk 1 g( ξ k )( x * xk ) lim lim g( x*) k x * x k x * xk k
19
例2 用简单迭代法求方程
f ( x ) x 3 10 x 20 0
第八章 非线性方程求根
求 f (x) = 0 的根
其中f (x) 为非线性函数. 如
f ( x ) 3 x 5 2 x 4 x 1,
f ( x ) e 2 x 1 x ln(sin x ) 2.
1
例 若干年以前, 美国原子能委员会准备将浓缩的放 射性废料装入密封的圆桶内沉至海底. 但是, 当时一些 科学家与生态学家都反对这种作法. 科学家用实验测 定出圆桶能够承受的最大撞击速度为v=12.2 m/s, 如果 圆桶到达海底时的速度超过这个速度, 将会因撞击海 底而破裂, 从而引起严重的核污染. 然而原子能委员会 却认为不存在这种可能性. 根据圆桶的质量, 体积以及 海水的密度与海底的深度, 通过建立数学模型得知圆 桶到达海底时的速度v (m/s)满足如下方程: v 223.08 ln( 261 1.17v ) 1240 .88 0. 那么圆桶到达海底时的速度究竟会不会超过12.2 m/s 呢?
-6
计 x0 1.5, x2 1.5945614, 算 得 x1 1.5947522, x3 1.5945621,