自动控制原理(拉氏变换)

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§3-1控制系统的暂态响应分析
自动控制系统的典型输入信号
一、典型输入信号
为了对系统性能进行分析、比较，给出了几
种典型输入信号
① 阶跃输入
xr
定义如下
xr
(t
)
0
A
t0 A t0 0
t
A=1时称为单位阶跃信号
对于恒值系统，相当于给定值突然变化或者突然变化
的扰动量；对于随动系统，相当于加一突变的给定位
§2-1动态微分方程式的编写
③机械运动系统 例：弹簧---质量---阻尼系统
F (t )
K
m
输入外力 F(t) 输出位移 y(t) y(t)
m
d 2 y(t) dt 2
F (t) Ff
Fk
Ff
f
dy(t) dt
Fk k y(t)
f
m
d2 dt
y
2
f
dy dt
ky
F (t )
f 阻尼系数，与运动方向相反
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§2-2非线性数学模型的线性化
2. 数学描述 设系统的输入为x(t),输出为y（t）， 且满足y(t)=f(x),其中f(x)为非线性函数。 设t=t0时，x=x0,y=y0为系统的稳定工作点
（x0,y0）, y(t)
y(t) f (x)
y0
x0
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x(t)
§2-2非线性数学模型的线性化
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一、拉普拉斯变换的概念
设函数 f (t) 当 有意义t ,0而且积分
f (t)estdt （ s 是一个复参量） 0
在 s所确定的某一域内收敛,则由此积分所确
定的函数可写为 F(s) f (t)estdt 0
称上式为函数 f (t的) 拉普拉斯变换式
F(s) 叫做 f (t) 的拉氏变换,象函数. F (s) ℒ f (t) f (t) 叫做 F(s) 的拉氏逆变换,象原函数, f (t) = ℒ 1 F(s)
拉普拉斯变换 拉普拉斯变换的基本性质 拉普拉斯逆变换 拉普拉斯变换的应用
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在数学中，为了把较复杂的运算转 化为较简单的运算，常常采用一种变换 手段，所谓积分变换，就是通过积分运 算把一个函数变成另一个函数的变换。 积分变换包括拉普拉斯（Laplace）变 换和傅立叶（Fourier）变换。这里只 研究Laplace变换，讨论他的定义、性 质及其应用。
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二、一些常用函数的拉普拉斯变换
例1 求单位脉冲函数 t 的拉氏变换
解
ℒ (t)
(t) estdt
1
0
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例2 求单位阶跃函数 u 的t 拉氏变换
解 ℒ u(t) estdt 1 es t 1
0
s 0s
ut 1
s
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Res 0
例3 求函数 f (t) ek t 的拉氏变换
在该稳定工作点处将f(x)泰勒展开为：
f (x)
df (x) f (x0 ) dx
x x0
(x
x0
)
d
2 f (x) dx2
x x0
x x0 2
2!
....
f
(x0 )
f
' (x0 )( x x0 )
f
'' (x0 )
(x x0 )2 2！
....
当|x-xo|很小时，忽略其二阶以上各项，得：
f (h) f (h0 ) f ' (h0 )(h h0 )
h0
2
1 h0
h
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§2-2非线性数学模型的线性化
代入原方程得：
A
d
(h0 dt
h)
Cv
(
h0
2
1 h0
h)
Q10
Q1
即有：
A dh Cv dt 2 h0
h Q1
去掉 h即为线性化方程。
不难看出线性化方程与工作点有关，工作点 不同，方程就不同。
置信号。
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§3-1控制系统的暂态响应分析
② 斜坡（匀速）输入
xr(t)
0 t0
A
xr
(t)
At
t0
0
t
相当于随动系统加入一按恒速变化的位置信号， 该恒速度为A。
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§3-1控制系统的暂态响应分析
③抛物线（匀加速）输入
xr(t)
0 t0
xr
(t
)
At2
t0
0
t
相当于随动系统加入一按恒加速度变化的位置 信号，该恒加速度为A。
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三 拉氏变换的几个重要定理
（1）线性性质
（2）微分定理
ℒ f (n) (t) snF(s) sn1 f (0) sn2 f (0)
（3）积分定理
f (n1) (0)
（4）实位移定理
（5）复位移定理 （6）初值定理 （7）终值定理
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（终值确实存在时）
应用拉氏变换的终值定理求 y()
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§3-1控制系统的暂态响应分析
④脉冲函数
δ（t） 1
xr
(t
)
A
0t
ε
0 t 0,t
0ε
t
当A=1，ε ∞时 称为单位脉冲函数δ（t） ，其面积 为1
⑤正弦函数
用正弦函数作输入信号，可以求得系统对不同频 率的正弦输入函数的稳态响应，由此可以间接判 断系统的性能。
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拉普拉斯变换(Laplace变换)
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§2-2非线性数学模型的线性化
§2-2 非线性数学模型的线性化
1. 概念 对于非本质非线性系统或环节，假设系统工作过
程中，其变量的变化偏离稳态工作点增量很小，各 变量在工作点处具有一阶连续偏导数，于是可将非 线性函数（数模）在工作点的某一邻域展开成泰勒 级数，忽略高次（二次以上）项，便可得到关于各 变量近似线性关系，我们称这一过程为非线性系统 (数模)的线性化。
tu(t)
1 s2
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例5正弦函数
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周期函数的拉普拉斯变换
可以证明:若 f (t)是周期为T 的周期函数,即
f (t T ) f (t) (t 0)
当 f (t)在一个周期上连续或分段连续时,则有
1
ℒ f (t) 1 es T
T f (t)es tdt
0
这是求周期函数拉氏变换公式
k R.
解
ℒ
f (t)
ektest dt e(sk )t dt 1
0
0
sk
ekt 1
sk
Res k
例4
求单位斜坡函数
t
0 t
t t
0 0
t
u
t
的拉氏变换
解
ℒ (t)
testdt 1 tes t 1
0
s
0s
0
e s t dt
1 s2
Res 0
(t)
f (x) f (x0 ) f ' (x0 )( x x0 )
即： y y0 f ' (x0 )x
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§2-2非线性数学模型的线性化
也即：
y f ' (x0 )x
是 y f (线x)性化模型
例：将上例流体运动非线性方程线性化如：
A
dh dt
Cv
h Q1
可将非线性特性
f (h在) h 处线性化h0