2020版高考数学一轮复习课后限时集训60参数方程文含解析北师大版2

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2020版高考数学一轮复习课后限时集训8指数与指数函数理含解析北师大版2

课后限时集训(八)　指数与指数函数(建议用时：60分钟)A 组　基础达标一、选择题1．设a ＞0，将表示成分数指数幂的形式，其结果是( )a 2a ·3a 2A ．a B ．a 12 56C ．aD ．a 7632C [＝＝Error!＝Error!＝a 2－＝a .故选C.]a 2a ·3a 2a 2a ·a 56 762．已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞aA [由0.2＜0.6,0.4＜1，并结合指数函数的图像可知0.40.2＞0.40.6，即b ＞c .因为a ＝20.2＞1，b ＝0.40.2＜1，所以a ＞b.综上，a ＞b ＞c .]3．函数y ＝(0＜a ＜1)的图像的大致形状是( )xa x|x | A B C DD [函数的定义域为{x |x ≠0}，所以y ＝＝Error!当x ＞0时，函数是指数函数，其底数0＜a ＜xa x|x |1，所以函数递减；当x ＜0时，函数图像与指数函数y ＝a x (x ＜0)的图像关于x 轴对称，函数递增，所以应选D.]4．若2x 2＋1≤x －2，则函数y ＝2x 的值域是( )(14)A. B.[18，2)[18，2]C. D ．[2，＋∞)(－∞，18]B [因2x 2＋1≤x －2＝24－2x ，则x 2＋1≤4－2x ，即x 2＋2x －3≤0，所以－3≤x ≤1，所以(14)18≤y ≤2.]5．若存在正数x 使2x (x －a )＜1成立，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，＋∞)B ．(－2，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(－1，＋∞)D [不等式2x (x －a )＜1可变形为x －a ＜x.在同一平面直角坐标系中作出直线y ＝x －a 与y (12)＝x 的图像．由题意知，在(0，＋∞)内，直线有一部分在y ＝x (12)(12)图像的下方．由图可知，－a ＜1，所以a ＞－1.]二、填空题6．计算：－×0＋8×－Error!＝________.(32)13(－76)14 422　[原式＝Error!×1＋2×2－Error!＝2.](23)34 14 (23)7．已知函数f (x )＝2|2x －m |(m 为常数)．若f (x )在[2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________．(－∞，4]　[令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间上递增，在区间上递[m 2，＋∞)(－∞，m 2]减．而y ＝2t 在R 上递增，所以要使函数f (x )＝2|2x －m |在[2，＋∞)上递增，则有≤2，即m ≤4，m2所以m 的取值范围是(－∞，4]．]8．(2019·西安八校联考)设函数f (x )＝Error!则满足f (x )＋f (x －1)＞1的x 的取值范围是________．(0，＋∞)　[画出函数f (x )的大致图像如图，易知函数f (x )在(－∞，＋∞)上递增．又x ＞x －1，且x －(x －1)＝1，f (0)＝1，所以要使f (x )＋f (x －1)＞1成立，则结合函数f (x )的图像知只需x －1＞－1，解得x ＞0.故所求x 的取值范围是(0，＋∞)．]三、解答题9．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a ＞0，a ≠1)的图像经过点A (1,6)，B (3,24)．(1)求f (x )的表达式；(2)若不等式x ＋x－m ≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．(1a )(1b )[解]　(1)因为f (x )的图像过A (1,6)，B (3,24)，所以Error!所以a 2＝4，又a ＞0，所以a ＝2，b ＝3.所以f (x )＝3·2x .(2)由(1)知a ＝2，b ＝3，则x ∈(－∞，1]时，x ＋x －m ≥0恒成立，即m ≤x ＋x 在(－∞，1](12)(13)(12)(13)上恒成立．又因为y ＝x 与y ＝x 均为减函数，所以y ＝x ＋x 也是减函数，(12)(13)(12)(13)所以当x ＝1时，y ＝x ＋x有最小值.所以m ≤.(12)(13)5656即m 的取值范围是.(－∞，56]10．已知函数f (x )＝－＋3(－1≤x ≤2)．14x λ2x －1(1)若λ＝，求函数f (x )的值域；32(2)若函数f (x )的最小值是1，求实数λ的值．[解]　(1)f (x )＝－＋314x λ2x －1＝2x －2λ·x ＋3(－1≤x ≤2)．(12)(12)设t ＝x ，(12)得g (t )＝t 2－2λt ＋3.(14≤t ≤2)当λ＝时，g (t )＝t 2－3t ＋332＝2＋.(t －32)34(14≤t ≤2)所以g (t )max ＝g ＝，(14)3716g (t )min ＝g ＝.(32)34所以f (x )max ＝，f (x )min ＝，371634故函数f (x )的值域为.[34，3716](2)由(1)得g (t )＝t 2－2λt ＋3＝(t －λ)2＋3－λ2，(14≤t ≤2)①当λ≤时，g (t )min ＝g ＝－＋，14(14)λ24916令－＋＝1，得λ＝＞，不符合，舍去；λ2491633814②当＜λ≤2时，g (t )min ＝g (λ)＝－λ2＋3，14令－λ2＋3＝1，得λ＝；2(λ＝－2＜14，不符合，舍去)③当λ＞2时，g (t )min ＝g (2)＝－4λ＋7，令－4λ＋7＝1，得λ＝＜2，不符合，舍去．32综上所述，实数λ的值为.2B 组　能力提升1．设函数f (x )＝x (e x ＋e －x )，则f (x )( )A ．是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数B ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数C ．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数A [∵f (－x )＝－x (e －x ＋e x )＝－[x (e －x ＋e x )]＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．任取x 2＞x 1＞0，则e x 2－e x 1＞0，e x 2＋x 1＞1，e x 2＋e －x 2－(e x 1＋e －x 1)＝(e x 1－e x 1)＞0，(1－1e x 1＋x 2)f (x 2)＞f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上递增，故选A.]2．设函数f (x )＝Error!则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A. B ．[0,1][23，1]C. D ．[1，＋∞)[23，＋∞)C [令f (a )＝t ，则f (t )＝2t .当t ＜1时，3t －1＝2t ，令g (t )＝3t －1－2t ，则g ′(t )＝3－2t ln 2，当t ＜1时，g ′(t )＞0，g (t )在(－∞，1)上递增，即g (t )＜g (1)＝0，则方程3t －1＝2t 无解．当t ≥1时，2t ＝2t 成立，由f (a )≥1，即当a ＜1时，3a －1≥1，解得≤a ＜1；或a ≥1时，2a ≥1，23解得a ≥1.综上可得a 的取值范围是a ≥.]233．若32＋2x －3x 2＋x＞2＋2x －x 2＋x ，则x 的取值范围是________．(14)(14)(－1,2)　[∵32＋2x －3x 2＋x＞2＋2x －x 2＋x ，(14)(14)∴32＋2x －2＋2x ＞3x 2＋x －x 2＋x，(*)(14)(14)观察知，不等式两边结构相同，故构造函数F (t )＝3t －t ，则F (t )为R 上的增函数，而(*)(14)式可以写成，F (2＋2x )＞F (x 2＋x )，根据F (x )递增，得2＋2x ＞x 2＋x ，即x 2－x －2＜0，解得x ∈(－1,2)．]4．已知定义域为R 的函数f (x )＝是奇函数．－2x ＋b 2x ＋1＋a(1)求a ，b 的值；(2)解关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)＜0.[解]　(1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即＝0，解得b ＝1，－1＋b 2＋a所以f (x )＝.－2x ＋12x ＋1＋a又由f (1)＝－f (－1)知＝－，解得a ＝2.－2＋14＋a －12＋11＋a(2)由(1)知f (x )＝＝－＋.－2x ＋12x ＋1＋21212x ＋1由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数(此处可用定义或导数法证明函数f (x )在R 上是减函数)．又因为f (x )是奇函数，所以不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)＜0等价于f (t 2－2t )＜－f (2t 2－1)＝f (－2t 2＋1)．所以t 2－2t ＞－2t 2＋1，即3t 2－2t －1＞0.解得t ＞1或t ＜－，所以该不等式的解集为13.{tt ＞1或t ＜－13}。

2020版高考数学一轮复习课后限时集训60参数方程文含解析北师大版

课后限时集训(六十)(建议用时：60分钟) A 组基础达标1．已知P 为半圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A 的坐标为(1,0)，O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧AP 的长度均为π3.(1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求点M 的极坐标； (2)求直线AM 的参数方程．[解] (1)由已知，点M 的极角为π3，且点M 的极径等于π3，故点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π3. (2)由(1)知点M 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，3π6，A (1,0)．故直线AM 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－1t ，y ＝3π6t(t 为参数)．2．(2019·南昌模拟)已知直线l 的极坐标方程为ρsin θ＋π4＝22，现以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos φy ＝－2＋2sin φ(φ为参数)．(1)求直线l 的直角坐标方程和曲线C 1的普通方程；(2)若曲线C 2为曲线C 1关于直线l 的对称曲线，点A ，B 分别为曲线C 1、曲线C 2上的动点，点P 的坐标为(2,2)，求|AP |＋|BP |的最小值．[解] (1)∵ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，∴22ρcos θ＋22ρsin θ＝22，即ρcos θ＋ρsin θ＝4，∴直线l 的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos φy ＝－2＋2sin φ，∴曲线C 1的普通方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝4.(2)∵点P 在直线x ＋y ＝4上，根据对称性，|AP |的最小值与|BP |的最小值相等，又曲线C 1是以(－1，－2)为圆心，半径r ＝2的圆，∴|AP |min ＝|PC 1|－r ＝2＋12＋2＋22－2＝3，则|AP |＋|BP |的最小值为2×3＝6.3．已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t(t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．[解] (1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|，则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255. 当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.4．已知直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m －12t ，y ＝32t (其中t 为参数，m 为常数)．以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，直线与曲线C 交于A ，B 两点．(1)若|AB |＝152，求实数m 的值； (2)若m ＝1，点P 的坐标为(1,0)，求1|PA |＋1|PB |的值．[解] (1)曲线C 的极坐标方程可化为ρ2＝2ρsin θ，转化为普通方程可得x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋(y －1)2＝1. 把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m －12t ，y ＝32t代入x 2＋(y －1)2＝1并整理可得t 2－(m ＋3)t ＋m 2＝0，(*)由条件可得Δ＝(m ＋3)2－4m 2＞0，解得－33＜m ＜ 3. 设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝m ＋3，t 1t 2＝m 2≥0，|AB |＝|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝m ＋32－4m 2＝152，解得m ＝32或36. (2)当m ＝1时，(*)式变为t 2－(1＋3)t ＋1＝0，t 1＋t 2＝1＋3，t 1t 2＝1，由点P 的坐标为(1,0)知P 在直线上，可得1|PA |＋1|PB |＝1|t 1|＋1|t 2|＝|t 1|＋|t 2||t 1t 2|＝|t 1＋t 2||t 1t 2|＝1＋ 3. B 组能力提升1．(2019·湖南长郡中学联考)已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； (2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 的中点M 到直线C 3：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t (t 为参数)距离的最小值．[解] (1)由C 1消去参数t ，得曲线C 1的普通方程为(x ＋4)2＋(y －3)2＝1. 同理曲线C 2的普通方程为x 264＋y 29＝1.C 1表示圆心是(－4,3)，半径是1的圆，C 2表示中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．(2)当t ＝π2时，P (－4,4)，又Q (8cos θ，3sin θ)．故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋4cos θ，2＋32sin θ，又C 3的普通方程为x －2y －7＝0，则M 到直线C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13| ＝55|3sin θ－4cos θ＋13| ＝55|5sin(θ－φ)＋13|⎝⎛⎭⎪⎫其中φ满足tan φ＝43. 所以d 的最小值为855.2．(2019·安徽芜湖期末)平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝3t ＋1(t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ1－cos 2θ. (1)写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)已知与直线l 平行的直线l ′过点M (2,0)，且与曲线C 交于A ，B 两点，试求|AB |.[解] (1)由l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝3t ＋1得其普通方程为3x －y －3＋1＝0.将x ＝ρcosθ，y ＝ρsin θ代入直线方程得3ρcos θ－ρsin θ－3＋1＝0.由ρ＝2cos θ1－cos 2θ可得ρ2(1－cos 2θ)＝2ρcos θ，即ρ2sin 2θ＝2ρcos θ，故曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2x .(2)∵直线l 的倾斜角为π3，∴直线l ′的倾斜角也为π3.又直线l ′过点M (2,0)，∴直线l ′的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ′，y ＝32t ′(t ′为参数)，将其代入曲线C 的直角坐标方程可得3t ′2－4t ′－16＝0，设点A ，B 对应的参数分别为t ′1，t ′2.由根与系数的关系知t ′1t ′2＝－163，t ′1＋t ′2＝43，∴|AB |＝|t ′1－t ′2|＝t ′1＋t ′22－4t ′1t ′2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋16×43＝4133.。

2020版高考数学一轮复习课后限时集训10函数的图像文含解析北师大版

课后限时集训(十)(建议用时：60分钟) A 组基础达标一、选择题1．为了得到函数y ＝log 2x －1的图像，可将函数y ＝log 2x 的图像上所有的点( ) A ．纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变，再向右平移1个单位B ．横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再向左平移1个单位C ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位D ．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，再向左平移1个单位A [y ＝log 2x －1＝log 2(x －1)12＝12log 2(x －1)，将y ＝log 2x 的图像纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变，可得y ＝12log 2x 的图像，再向右平移1个单位，可得y ＝12log 2(x －1)的图像，也即y ＝log 2x －1的图像．故选A ．]2．(2019·江西九校联考)函数y ＝x 33x －3－x 的图像大致是()A B C DB [由函数y ＝x 33x －3－x 是偶函数，排除D.由函数的定义域是{x |x ≠0}，排除A ．又当x＝3时，y ＝2727－127＞1，排除C ，故选B.]3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤1，log 13x ，x ＞1，则y ＝f (1－x )的图像是( )C [先作函数f (x )的图像，然后作出f (x )的图像关于y 轴对称的图像，得到函数y ＝f (－x )的图像，再把所得图像向右平移1个单位得到y ＝f (1－x )的图像，故选C ．]4．设1＜a ≤3,1＜x ＜3，则关于x 的方程x 2－5x ＋3＋a ＝0的实数解的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3B [x 2－5x ＋3＝－a ，令f (x )＝x 2－5x ＋3，x ∈(1,3)．g (x )＝－a ，a ∈(1,3]，在同一直角坐标系中，画出f (x )，g (x )的图像，如图所示．由图像知，方程的实数解只有一个，故选B.]5．(2019·南昌模拟)若定义域为R 的函数f (x )在(4，＋∞)上为减函数，且函数y ＝f (x ＋4)为偶函数，则( )A ．f (2)＞f (3)B ．f (2)＞f (5)C ．f (3)＞f (5)D ．f (3)＞f (6)D [由题意知函数f (x )的图像关于直线x ＝4对称．则f (2)＝f (6)，f (3)＝f (5)，又函数f (x )在(4，＋∞)上是减函数，则f (5)＞f (6)，即f (3)＞f (6)，故选D.]二、填空题6．设函数y ＝2x －1x －2，关于该函数图像的命题如下：①一定存在两点，这两点的连线平行于x 轴； ②任意两点的连线都不平行于y 轴； ③关于直线y ＝x 对称； ④关于原点中心对称．其中正确的是________．②③ [y ＝2x －1x －2＝x －＋3x －2＝2＋3x －2，图像如图所示，可知②③正确．]7．若关于x 的方程|x |＝a －x 只有一个解，则实数a 的取值范围是________．(0，＋∞) [在同一直角坐标系中分别画出函数f (x )＝|x |与g (x )＝a －x 的图像，如图所示．由图像知a ＞0.]8．偶函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________. 3 [由题意知f (－1)＝f (1)＝f (3)＝3.] 三、解答题9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x，5].(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f (x )的图像；(2)写出f (x )的递增区间；(3)由图像指出当x 取什么值时f (x )有最值． [解] (1)函数f (x )的图像如图所示．(2)由图像可知，函数f (x )的递增区间为[－1,0]，[2,5]． (3)由图像知当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－1，当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝3. 10．已知f (x )＝|x 2－4x ＋3|. (1)作出函数f (x )的图像；(2)求函数f (x )的单调区间，并指出其单调性；(3)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}． [解] (1)当x 2－4x ＋3≥0时，x ≤1或x ≥3，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤1或x ≥3，－x 2＋4x －3，1＜x ＜3，∴f (x )的图像为：(2)由函数的图像可知f (x )的单调区间是(－∞，1]，(2,3)，(1,2]，[3，＋∞)，其中(－∞，1]，(2,3)是减区间；(1,2]，[3，＋∞)是增区间．(3)由f (x )的图像知，当0＜m ＜1时，f (x )＝m 有四个不相等的实根，所以M ＝{m |0＜m ＜1}．B 组能力提升1．(2019·乌鲁木齐模拟)函数y ＝x ＋a x|x |(a ＞1)的图像的大致形状是( )A B C DA [当x ＜－1时，y ＜0，排除B ，D ，当x →＋∞时，x ＋1|x |＝1＋1x→1，a x→＋∞，则y →＋∞，排除C ．故选A ．]2．已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx ，若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1,2)D ．(2，＋∞)B [先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图像，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故观察图像可知f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，故选B.]3.函数f (x )是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图像如图所示，那么不等式f xcos x＜0的解集为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2 [在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上，y ＝cos x ＞0，在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，4上，y ＝cos x ＜0. 结合f (x )的图像知在⎝⎛⎭⎪⎫1，π2上f x cos x ＜0，因为f (x )为偶函数，y ＝cos x 也是偶函数，所以y ＝f xcos x为偶函数，所以f xcos x ＜0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪⎝⎛⎭⎪⎫1，π2.]4．已知函数f (x )的图像与函数h (x )＝x ＋1x＋2的图像关于点A (0,1)对称． (1)求函数f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋a x，g (x )在区间(0,2]上的值不小于6，求实数a 的取值范围． [解] (1)设f (x )图像上任一点坐标为(x ，y )，∵点(x ，y )关于点A (0,1)的对称点(－x,2－y )在h (x )的图像上， ∴2－y ＝－x ＋1－x ＋2，∴y ＝x ＋1x ，即f (x )＝x ＋1x.(2)由题意g (x )＝x ＋a ＋1x，且g (x )＝x ＋a ＋1x≥6，x ∈(0,2]． ∵x ∈(0,2]，∴a ＋1≥x (6－x )，即a ≥－x 2＋6x －1.令q (x )＝－x 2＋6x －1，x ∈(0,2]，q (x )＝－x 2＋6x －1＝－(x －3)2＋8，∴x ∈(0,2]时，q (x )max ＝q (2)＝7，故a 的取值范围为[7，＋∞)．。

2020高考数学(文)一轮复习课时作业 60参数方程含解析

∴直线l的参数方程为 (T为参数)．
将直线l的参数方程代入y2＝2x，化简得
T2－10 T＋40＝0，∴|PA|·|PB|＝|T1T2|＝40.
3．[2019·宝安，潮阳，桂城等八校联考]已知曲线C的参数方程为 (α为参数)，
以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C的极坐标方程；
(1)求l的普通方程和C的直角坐标方程；
(2)若l与C相交于A，B两点，且|AB|＝，求a的值．
解析：(1)由消去t，得l的普通方程为y＝－ (x－1)，
即 x＋y－＝0.
由ρ2(1＋2sin2θ)＝a(a＞0)，得ρ2＋2ρ2sin2θ＝a(a＞0)，
把ρ2＝x2＋y2，ρsinθ＝y代入上式，得x2＋3y2＝a(a＞0)，
(2)设l1：θ＝，l2：θ＝，若l1，l2与曲线C相交于异于原点的两点A，B，求△AOB的面积．
解析：(1)∵曲线C的参数方程为 (α为参数)，
∴曲线C的普通方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
将代入并化简得ρ＝4cosθ＋2sinθ，
∴曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ＋2sinθ.
(2)在极坐标系中，曲线C：ρ＝4cosθ＋2sinθ，
(1)设M(x，y)为曲线C上任意一点，求x＋y的取值范围；
(2)若直线l与曲线C交于不同的两点A，B，求|AB|的最小值．
解析：(1)将曲线C的极坐标方程ρcos2θ＝4sinθ，化为直角坐标方程，得x2＝4y.
∵M(x，y)为曲线C上任意一点，∴x＋y＝x＋ x2＝ (x＋2)2－1，
∴x＋y的取值范围是[－1，＋∞)．
∴直线C2的极坐标方程为θ＝ (ρ∈R)．
(2)设P(ρ1，θ1)，Q(ρ2，θ2)，

【30份】2020版高考数学北师大版(理)一轮复习课时规范练

【30份】2020版高考数学北师大版（理）一轮复习课时规范练目录课时规范练1集合的概念与运算 (2)课时规范练2不等关系及简单不等式的解法 (5)课时规范练3命题及其关系、充要条件 (11)课时规范练4简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 (15)课时规范练5函数及其表示 (20)课时规范练6函数的单调性与最值 (24)课时规范练7函数的奇偶性与周期性 (30)课时规范练8幂函数与二次函数 (35)课时规范练9指数与指数函数 (40)课时规范练10对数与对数函数 (45)课时规范练11函数的图像 (50)课时规范练12函数与方程 (55)课时规范练13函数模型及其应用 (61)课时规范练14导数的概念及运算 (68)课时规范练15导数与函数的小综合 (72)课时规范练16定积分与微积分基本定理 (78)课时规范练17任意角、弧度制及任意角的三角函数 (82)课时规范练18同角三角函数的基本关系及诱导公式 (88)课时规范练19三角函数的图像与性质 (94)课时规范练20函数y=A sin(ωx+φ)的图像及应用 (102)课时规范练21两角和与差的正弦、余弦与正切公式 (112)课时规范练22三角恒等变换 (121)课时规范练23解三角形 (129)课时规范练24平面向量的概念及线性运算 (137)课时规范练25平面向量基本定理及向量的坐标表示 (143)课时规范练26平面向量的数量积与平面向量的应用 (149)课时规范练27数系的扩充与复数的引入 (154)课时规范练28数列的概念与表示 (158)课时规范练29等差数列及其前n项和 (163)课时规范练30等比数列及其前n项和 (169)2019年5月课时规范练1集合的概念与运算基础巩固组1.(2018厦门外国语学校一模,2)已知集合A={x|y=lg(x-1)},B={x||x|<2},则A∩B=()A.(-2,0)B.(0,2)C.(1,2)D.(-2,2)2.已知全集U=R,集合A={x|x<-2或x>2},则?U A=()A.(-2,2)B.(-∞,-2)∪(2,+∞)C.[-2,2]D.(-∞,-2]∪[2,+∞)3.(2018百校联盟四月联考,1)设集合A={-1,0,1,2},B={y|y=2x,x∈A},则A∪B中元素的个数为()A.5B.6C.7D.84.设集合S={x|(x-2)(x-3)≥0},T={x|x>0},则S∩T=()A.[2,3]B.(-∞,2]∪[3,+∞)C.[3,+∞)D.(0,2]∪[3,+∞)5.(2018北京101中学3月模拟,1)已知集合A={x|x(x-2)<0},B={x|ln x>0},则A∩B是()A.{x|x>0}B.{x|x>2}C.{x|1<x<2}D.{x|0<x<2}6.设集合M={-4,-3,-2,-1,0,1},N={x∈R|x2+3x<0},则M∩N=()A.{-3,-2,-1,0}B.{-2,-1,0}C.{-3,-2,-1}D.{-2,-1}7.(2018山东济南二模,1)设全集U=R,集合A={x|x-1≤0},集合B={x|x2-x-6<0},则下图中阴影部分表示的集合为()A.{x|x<3}B.{x|-3<x≤1}C.{x|x<2}D.{x|-2<x≤1}8.已知全集U=R,A={0,1,2,3},B={y|y=2x,x∈A},则(?U A)∩B=()A.(-∞,0)∪(3,+∞)B.{x|x>3,x∈N}C.{4,8}D.[4,8]9.(2018湖南衡阳一模,1)已知集合A={x|(x+1)(x-3)<0},B={x|y=ln x},则A∩B=()A.{0,3}B.(0,3)C.(-1,3)D.{-1,3}10.已知集合A={x|x(x-4)<0},B={0,1,5},则A∩B=.11.已知集合A={x|log2x≤2},B={x|x<a},若A?B,则实数a的取值范围是.12.设A,B是全集I={1,2,3,4}的子集,A={1,2},则满足A?B的B的个数为.综合提升组13.已知集合A={x|x2-2x-3≤0},B={x|x<a},若A?B,则实数a的取值范围是()A.(-1,+∞)B.[-1,+∞)C.(3,+∞)D.[3,+∞)14.(2018河北衡水中学十模,1)已知全集U=Z,A={0,1,2,3},B={x|x2=2x},则A∩(?U B)=()A.{1,3}B.{0,2}C.{0,1,3}D.{2}15.已知全集U=R,集合A={x|x(x+2)<0},B={x||x|≤1},则如图阴影部分表示的集合是()A.(-2,1)B.[-1,0]∪[1,2)C.(-2,-1)∪[0,1]D.[0,1]16.已知集合A={x|4≤2x≤16},B=[a,b],若A?B,则实数a-b的取值范围是.创新应用组17.已知集合A={x|x<a},B={x|1<x<2},且A∪(?R B)=R,则实数a的取值范围是()A.a≤1B.a<1C.a≥2D.a>218.若集合A={x|x2+4x+k=0,x∈R}中只有一个元素,则实数k的值为.参考答案课时规范练1集合的概念与运算1.C由题意,可知A={x|x>1},B={x|-2<x<2},∴A∩B={x|1<x<2},表示为区间即(1,2),故选C.2.C因为A={x|x<-2或x>2},所以?U A={x|-2≤x≤2}.故选C.3.B因为A={-1,0,1,2},B=,所以A∪B=-1,0,,1,2,4,A∪B中元素的个数为 6.4.D由(x-2)(x-3)≥0,解得x≥３或x≤2,所以S={x|x≤２或x≥3}.因为T={x|x>0},所以S∩T={x|0<x≤２或x≥3},故选D.5.C由题意,集合A={x|x(x-2)<0}={x|0<x<2},B={x|ln x>0}={x|x>1},所以A∩B={x|1<x<2}.故选C.6.D集合M={-4,-3,-2,-1,0,1},N={x∈R|x2+3x<0}={x|-3<x<0},∴M∩N={-2,-1}.故选D.7.D由题意可得:A={x|x≤1},B={x|-2<x<3},∴A∩B={x|-2<x≤1},故选 D.8.C∵全集U=R,A={0,1,2,3},B={y|y=2x,x∈A}={1,2,4,8},∴(?U A)∩B={4,8}.故选 C.9.B A={x|-1<x<3},B={x|x>0},所以A∩B=(0,3),故选 B.10.{1}A={x|x(x-4)<0}=(0,4),所以A∩B={1}.11.(4,+∞)由log2x≤2,得0<x≤4,即A={x|0<x≤4},而B={x|x<a},由于A?B,则a>4.12.4因为A={1,2}且A?B,所以B={1,2}或B={1,2,3}或B={1,2,4}或B={1,2,3,4}.13.C由题意,A=[-1,3],B=(-∞,a),∵A?B,∴a>3,∴a的取值范围是(3,+∞).14.A∵全集U=Z,A={0,1,2,3},B={x|x2=2x},∴?U B={x|x∈Z,且x≠0,且x≠2},∴A∩（?U B)={1,3}.故选 A.A∪B).15.C由题意可知阴影部分对应的集合为(?U(A∩B))∩（∵A={x|-2<x<0},B={x|-1≤x≤1},∴A∩B={x|-1≤x<0},A∪B={x|-2<x≤1},∵?U(A∩B)={x|x<-1或x≥0},∴(?U(A∩B))∩（A∪B)={x|0≤x≤１或-2<x<-1}.故选 C.16.(-∞,-2]集合A={x|4≤２x≤16}={x|22≤２x≤２4}={x|2≤x≤4}=[2,4].因为A?B,所以a≤2,b≥４.所以a-b≤２-4=-2.故实数a-b的取值范围是(-∞,-2].17.C∵A∪(?R B)=R,∴B?A,∴a≥2,故选C.18.4由题意x2+4x+k=0有两个相等的实根,∴Δ＝16-4k=0,解得k=4.2019年5月课时规范练2不等关系及简单不等式的解法基础巩固组1.已知a,b∈R,下列命题正确的是()A.若a>b,则|a|>|b|B.若a>b,则C.若|a|>b,则a2>b2D.若a>|b|,则a2>b22.函数f(x)=的定义域是()A.(-∞,1)∪(3,+∞)B.(1,3)C.(-∞,2)∪(2,+∞)D.(1,2)∪(2,3)3.已知实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则a,b,c的大小关系为()A.a<b≤cB.b≤c<aC.b<c<aD.b<a<c4.使不等式2x2-5x-3≥0成立的一个充分不必要条件是()A.x≥0B.x<0或x>2C.x∈{-1,3,5}D.x≤-或x≥35.若函数f(x)=的定义域为R,则实数m的取值范围为()A.[-4,0]B.[-4,0)C.(-4,0)D.(-∞,4]∪{0}。

2020版高考数学一轮复习课后限时集训62不等式的证明与应用文含解析北师大版2

课后限时集训(六十二)(建议用时：60分钟)A 组基础达标1．已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y ≥9. [证明] 因为x ＞0，y ＞0，所以1＝x ＋y ≥2xy .所以xy ≤14. 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y ＝1＋1x ＋1y ＋1xy ＝1＋x ＋y xy ＋1xy ＝1＋2xy≥1＋8＝9. 当且仅当x ＝y ＝12时，等号成立． 2．已知α∈(0，π)，求证：2sin 2α≤sin α1－cos α. [证明]2sin 2α－sin α1－cos α＝4sin αcos α－sin α1－cos α＝sin αα－4cos 2α－1－cos α＝－sin αα－21－cos α，因为α∈(0，π)，所以sin α＞0,1－cos α＞0，又(2cos α－1)2≥0，所以2sin 2α－sin α1－cos α≤0，所以2sin 2α≤sin α1－cos α. 3．若a >0，b >0，且1a ＋1b ＝ab . (1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由．[解] (1)由ab ＝1a ＋1b ≥2ab，得ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立．故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立．所以a 3＋b 3的最小值为4 2.(2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.由于43>6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6.4．已知a ，b ，c ∈R ，且2a ＋2b ＋c ＝8，求(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2的最小值．[解] 由柯西不等式得(4＋4＋1)×[(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2]≥[2(a －1)＋2(b ＋2)＋c －3]2，∴9[(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2]≥(2a ＋2b ＋c －1)2.∵2a ＋2b ＋c ＝8，∴(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2≥499，当且仅当a －12＝b ＋22＝c －3时等号成立，∴(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2的最小值是499. B 组能力提升1．已知定义在R 上的函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为a .(1)求a 的值；(2)若p ，q ，r 是正实数，且满足p ＋q ＋r ＝a ，求证：p 2＋q 2＋r 2≥3.[解] (1)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当－1≤x ≤2时，等号成立，所以f (x )的最小值等于3，即a ＝3.(2)证明：由(1)知p ＋q ＋r ＝3，因为p 2＋q 2≥2pq ，q 2＋r 2≥2qr ，p 2＋r 2≥2pr ，所以2(p 2＋q 2＋r 2)≥2pq ＋2qr ＋2pr ，所以3(p 2＋q 2＋r 2)≥(p ＋q ＋r )2＝9，则p 2＋q 2＋r 2≥3.2．已知a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，x 1，x 2∈(0，＋∞)．(1)求x 1a ＋x 2b ＋2x 1x 2的最小值； (2)求证：(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)≥x 1x 2.[解] (1)因为a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，x 1，x 2∈(0，＋∞)，所以x 1a ＋x 2b ＋2x 1x 2≥3·3x 1a ·x 2b ·2x 1x 2＝3·32ab ≥3·32⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝3×38＝6，当且仅当x 1a ＝x 2b ＝2x 1x 2且a ＝b ，即a ＝b ＝12，且x 1＝x 2＝1时，x 1a ＋x 2b ＋2x 1x 2有最小值6. (2)证明：法一：由a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，x 1，x 2∈(0，＋∞)，及柯西不等式可得：(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)＝[(ax 1)2＋(bx 2)2]·[(ax 2)2＋(bx 1)2]≥(ax 1·ax 2＋bx 2·bx 1)2＝(a x 1x 2＋b x 1x 2)2＝x 1x 2，当且仅当ax 1ax 2＝bx 2bx 1，即x 1＝x 2时取得等号．所以(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)≥x 1x 2. 法二：因为a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，x 1，x 2∈(0，＋∞)，所以(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)＝a 2x 1x 2＋abx 22＋abx 21＋b 2x 1x 2＝x1x2(a2＋b2)＋ab(x22＋x21)≥x1x2(a2＋b2)＋ab(2x1x2)＝x1x2(a2＋b2＋2ab)＝x1x2(a＋b)2＝x1x2，当且仅当x1＝x2时，取得等号．所以(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)≥x1x2.。

2020届高考数学(北师大版)一轮复习坐标系与参数方程作业

坐标系与参数方程[基础保分练]1．已知点P 的极坐标为(1，π)，那么过点P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程为( ) A ．ρ＝1 B ．ρ＝cos θ C ．ρ＝－1cos θD ．ρ＝1cos θ2．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ⎝⎛⎭⎫π3≤θ≤π的长度是( ) A.10π3 B ．10π C.5π3D ．5π 3．直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝6，圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)上的点到直线l的距离为d ，则d 的最大值为( ) A ．32＋1 B ．3 2 C ．32－1D ．32＋24．在极坐标系中，过点⎝⎛⎭⎫2，π2且与极轴平行的直线方程是( ) A ．ρ＝2, B ．θ＝π2C ．ρcos θ＝2D ．ρsin θ＝25．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋t (t 为参数)所表示的图形分别是( )A ．直线、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．圆、直线6．若直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22与直线3x ＋ky ＝1垂直，则常数k 为( ) A. 2 B ．1 C ．－2 D ．－37．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l 被圆C 截得的弦长为( ) A.14 B ．214 C. 2 D ．2 28．在极坐标系中，设圆ρ＝32上的点到直线ρ(7cos θ－sin θ)＝2的距离为d ，则d 的最大值为( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．39．在极坐标系中，圆C 1的方程为ρ＝42cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋a cos θ，y ＝－1＋a sin θ(θ为参数)，若圆C 1与圆C 2外切，则正数a ＝________.10．已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝3t3(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，则曲线C 1与C 2交点的直角坐标为________．[能力提升练]1．在极坐标中，点M ⎝⎛⎭⎫4，π3到曲线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝2上的点的距离的最小值为( ) A ．2 B ．4 C. 2D ．2 22．在极坐标系中，曲线C 1：ρ＝2cos θ，曲线C 2：θ＝π4，若曲线C 1与C 2交于A ，B 两点，则线段AB 等于( ) A ．2 B. 2 C ．2 2D ．43．如果曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋2cos θ，y ＝a ＋2sin θ(θ为参数)上有且仅有两个点到原点的距离为2，则实数a的取值范围是( ) A ．(－22，22) B ．(0,22) C ．(－22，0)∪(0,22)D ．(－2,2)4．在平面直角坐标系下，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2t ＋2a ，y ＝－t (t 为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2sin θ，y ＝1＋2cos θ(θ为参数)，若曲线C 1，C 2有公共点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1－5，1＋5) B ．(0,1＋5) C ．(0,1＋5]D ．[1－5，1＋5]5．已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ<π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )，它们的交点坐标为__________．6．在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ＝0，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π2，过点P 作圆C 的切线，则两条切线夹角的正切值是________．答案精析基础保分练1．C [由极坐标，在直线l 上任取一点C (ρ，θ)，由图形可知OP OC ＝cos(π－θ)＝1ρ，ρ＝－1cos θ，故选C.]2．A [由sin 2θ＋cos 2θ＝1，曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ⎝⎛⎭⎫π3≤θ≤π即为圆x 2＋y 2＝25内的圆心角为π－π3＝2π3的弧长，可得所求长度为2π3×5＝10π3.]3．A [由题意知，直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝6，圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝1，则圆心到直线的距离d ＝62＝32，所以圆C 上的点到直线l 的距离的最大值为32＋1.] 4．D [先将极坐标化成直角坐标表示，⎝⎛⎭⎫2，π2化为(0,2)，过(0,2)且平行于x 轴的直线为y ＝2，再化成极坐标表示，即ρsin θ＝2，故选D.] 5．D [∵ρcos θ＝x ，∴cos θ＝x ρ，代入到ρ＝cos θ，得ρ＝xρ，∴ρ2＝x ，∴x 2＋y 2＝x 表示圆．又∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋t ，相加得x ＋y ＝1，表示直线．]6．D [化极坐标方程为直角坐标方程得x ＋y ＝1，则由题意可得－3k ·(－1)＝－1，即k ＝－3.]7．D [由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3消去t 得x －y －4＝0，圆C ：ρ＝4cos θ，即ρ2＝4ρcos θ，∴圆C ：x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4， ∴C (2,0)，r ＝2.∴点C 到直线l 的距离d ＝|2－0－4|2＝2，∴所求弦长为2r 2－d 2＝22，故选D.]8．C [将圆和直线的极坐标方程化为普通方程，分别为x 2＋y 2＝94和7x －y －2＝0.圆心(0,0)到直线7x －y －2＝0的距离为12，小于圆的半径32，即直线与圆相交，所以圆上的点到直线7x －y －2＝0的距离的最大值为12＋32＝2.]9. 2解析圆C 1的直角坐标方程为(x －2)2＋(y －2)2＝8，圆心C 1(2,2)，半径r 1＝22，圆C 2的普通方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝a 2，圆心C 2(－1，－1)，r 2＝|a |，圆心距|C 1C 2|＝32，两圆外切时，|C 1C 2|＝r 1＋r 2＝22＋|a |＝32，∴正数a ＝ 2. 10．(3，1)解析曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝3t3(t 为参数)，消去参数化为直角坐标方程为y ＝33x ，x ≥0，y ≥0.曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝4.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x ，x ≥0，y ≥0，x 2＋y 2＝4，解得x ＝3，y ＝1，∴曲线C 1与C 2交点的直角坐标为(3，1)．能力提升练1．A [依题意知，点M 的直角坐标是(2,23)，曲线的直角坐标方程是x ＋3y －4＝0，因此所求的距离的最小值等于点M 到该直线的距离，即为|2＋23×3－4|12＋(3)2＝2.]2．B [曲线C 1与C 2均经过极点，因此极点是它们的一个公共点，由⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2cos θ，θ＝π4，得⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，θ＝π4，即曲线C 1与C 2的另一个交点与极点的距离为2，因此|AB |＝ 2.] 3．C [将曲线的参数方程转化为普通方程，即(x －a )2＋(y －a )2＝4，由题意可知，以原点为圆心，以2为半径的圆与圆C 总相交，根据两圆相交的充要条件，得0<2a 2<4，∴0<a 2<8，解得0<a <22或－22<a <0.]4．D [曲线C 1的直角坐标方程为x ＋2y －2a ＝0，曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝4，圆心为(0,1)，半径为2.若曲线C 1，C 2有公共点，则有圆心到直线的距离|2－2a |12＋22≤2，即|a－1|≤5，∴1－5≤a ≤1＋5，即实数a 的取值范围是[1－5，1＋5]．] 5.⎝⎛⎭⎫1，255解析由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ<π)，得x 25＋y 2＝1(0≤y ≤1，－5<x ≤5)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t (t ∈R )，得x ＝54y 2，∴5y 4＋16y 2－16＝0，解得y 2＝45或y 2＝－4(舍去)．则x ＝54y 2＝1，又θ≥0，得交点坐标为⎝⎛⎭⎫1，255.6.43解析圆C 的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ＝0化为普通方程为(x ＋1)2＋y 2＝1，点P 的直角坐标为(0,2)，圆C 的圆心为(－1,0)．如图，当切线的斜率存在时，设切线方程为y ＝kx ＋2，则圆心到切线的距离为|－k ＋2|k 2＋1＝1，∴k ＝34，即tan α＝34.易知满足题意的另一条切线的方程为x ＝0. 又∵两条切线的夹角为α的余角， ∴两条切线夹角的正切值为43.。

(北师大版)2020版高考文科数学一轮复习坐标系文课后训练题含解析

课后限时集训(五十九)(建议用时：60分钟) A 组基础达标1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y 后，曲线C ：x 2＋y 2＝36变为何种曲线，并求曲线的焦点坐标．[解] 设圆x 2＋y 2＝36上任一点为P (x ，y )，伸缩变换后对应的点的坐标为P ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝3y ′，∴4x ′2＋9y ′2＝36，x ′29＋y ′24＝1.∴曲线C 在伸缩变换后得椭圆x 29＋y 24＝1，其焦点坐标为(±5，0)2．在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．[解] 在ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32中，令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1,0)．因为圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，所以圆C 的半径|PC |＝22＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.3．在直角坐标系xOy中，直线l ：y ＝x ，圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos φy ＝－2＋sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线l 与圆C 的极坐标方程；(2)设直线l 与圆C 的交点为M ，N ，求△CMN 的面积．[解] (1)将C 的参数方程化为普通方程，得(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝1， ∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴直线l 的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，圆C 的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0，得ρ2＋32ρ＋4＝0，解得ρ1＝－22，ρ2＝－2，|MN |＝|ρ1－ρ2|＝2，∵圆C 的半径为1，∴△CMN 的面积为12×2×1×sin π4＝12.4．在极坐标系中，已知直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1，圆C 的圆心的极坐标是C ⎝⎛⎭⎪⎫1，π4，圆的半径为1.(1)求圆C 的极坐标方程； (2)求直线l 被圆C 所截得的弦长．[解] (1)设O 为极点，OD 为圆C 的直径，A (ρ，θ)为圆C 上的一个动点，则∠AOD ＝π4－θ或∠AOD ＝θ－π4，|OA |＝|OD |cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ或|OA |＝|OD |cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4. 所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4. (2)由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1，得22ρ(sin θ＋cos θ)＝1，∴直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0，又圆心C 的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，22满足直线l 的方程， ∴直线l 过圆C 的圆心，故直线被圆所截得的弦长为2.B 组能力提升1．已知曲线C 1：x ＋3y ＝3和C 2：⎩⎨⎧x ＝6cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．(1)把曲线C 1和C 2的方程化为极坐标方程；(2)设C 1与x ，y 轴交于M ，N 两点，且线段MN 的中点为P .若射线OP 与C 1，C 2交于P ，Q 两点，求P ，Q 两点间的距离．[解] (1)曲线C 1化为ρcos θ＋3ρsin θ＝ 3.∴ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝32. 曲线C 2化为x 26＋y 22＝1，(*) 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(*)式得ρ26cos 2θ＋ρ22sin 2θ＝1，即ρ2(cos 2θ＋3sin 2θ)＝6.∴曲线C 2的极坐标方程为ρ2＝61＋2sin 2θ. (2)∵M (3，0)，N (0,1)，P ⎝⎛⎭⎪⎫32，12. ∴OP 的极坐标方程为θ＝π6，把θ＝π6代入ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝32，得ρ1＝1，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π6. 把θ＝π6代入ρ2＝61＋2sin 2θ，得ρ2＝2，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6. ∴|PQ |＝|ρ2－ρ1|＝1，即P ，Q 两点间的距离为1.2．在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝π3与曲线C 2交于点D ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3.(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知极坐标系中两点A (ρ1，θ0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ0＋π2，若A ，B 都在曲线C 1上，求1ρ21＋1ρ22的值．[解] (1)∵C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ，∴C 1的普通方程为x 24＋y 2＝1.由题意知曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2a ·cos θ(a 为半径)，将D ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3代入，得2＝2a ×12，∴a ＝2，∴圆C 2的圆心的直角坐标为(2,0)，半径为2， ∴C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4.(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ4＋ρ2sin 2θ＝1，即ρ2＝44sin 2θ＋cos 2θ. ∴ρ21＝44sin 2θ0＋cos 2θ0， ρ22＝44sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0＋π2＋cos 2⎝⎛⎭⎪⎫θ0＋π2＝4sin 2θ0＋4cos 2θ0. ∴1ρ21＋1ρ22＝4sin 2θ0＋cos 2θ04＋4cos 2θ0＋sin 2θ04＝54.。

2020年高中数学一轮复习课时练55 极坐标方程与参数方程的应用(文科)(北师大版)

课时练55 极坐标方程与参数方程的应用1.(2019河北唐山三模,22)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =2cosφ,y =√3sinφ(φ为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为√2ρcos (θ+π4)=1. (1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程;(2)设直线l 与x 轴交于点A ,与直线x=4交于点B ,点P 为曲线C 上的动点,求△PAB 的面积的最大值.曲线C 的普通方程为x 24+y 23=1,直线l 的直角坐标方程为x-y-1=0. (2)由题意知,A (1,0),B (4,3), 所以|AB|=3√2.设点P (2cos φ,√3sin φ),则点P 到AB 的距离为d=√3sinφ√2=√7cos √2,所以△PAB 的面积S=12·|AB|·d=32|√7cos(φ+α)-1|≤3(√7+1)2,即△PAB 的面积S 的最大值为3(√7+1)2. 2.(2019山东淄博一模,22)在平面直角坐标系中,直线l 的参数方程为{x =tcosα,y =tsinα(t 为参数,0≤α<π).以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ2-4=4ρcos θ-2ρsin θ. (1)写出曲线C 的直角坐标方程;(2)若直线l 与曲线C 交于A ,B 两点,且AB 的长度为2√5,求直线l 的普通方程.将{x =ρcosθ,y =ρsinθ代入曲线C 极坐标方程得,曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2-4=4x-2y ,即(x-2)2+(y+1)2=9.(2)将直线的参数方程代入曲线方程(t cos α-2)2+(t sin α+1)2=9, 整理得t 2-4t cos α+2t sin α-4=0, 设点A ,B 对应的参数为t 1,t 2, 解得t 1+t 2=4cos α-2sin α,t 1·t 2=-4. 则|AB|=|t 1-t 2|=√(t 1+t 2)2-4t 1t 2 =√(4cosα-2sinα)2+16=2√5,化简得3cos 2α-4sin αcos α=0,由0≤α<π,得α=π2或tan α=34,直线l 的普通方程为y=34x 或x=0.3.(2019河北武邑中学调研二,22)以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,已知直线l 的参数方程是{x =√32t +m ,y =12t(m>0,t 为参数),曲线C 的极坐标方程为ρ=2cos θ. (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程;(2)若直线l 与x 轴交于点P ,与曲线C 交于点A ,B ,且|PA|·|PB|=1,求实数m 的值.直线l 的参数方程是{x =√32t +m ,y =12t(m>0,t 为参数), 消去参数t 可得x=√3y+m. 由ρ=2cos θ,得ρ2=2ρcos θ,∴C 的直角坐标方程x 2+y 2=2x ,即(x-1)2+y 2=1.(2)把{x =√32t +m ,y =12t (t 为参数),代入x 2+y 2=2x , 得t 2+(√3m-√3)t+m 2-2m=0. 由Δ>0,解得-1<m<3,∴t 1t 2=m 2-2m. ∵|PA|·|PB|=1=|t 1t 2|, ∴m 2-2m=±1,解得m=1±√2或1. 又满足Δ>0,m>0,∴实数m=1+√2或m=1.4.(2017全国2,理22)在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ=4.(1)M 为曲线C 1上的动点,点P 在线段OM 上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程; (2)设点A 的极坐标为(2,π3),点B 在曲线C 2上,求△OAB 面积的最大值.设P 的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M 的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=4cosθ.由|OM|·|OP|=16得C 2的极坐标方程ρ=4cos θ(ρ>0). 因此C 2的直角坐标方程为(x-2)2+y 2=4(x ≠0). (2)设点B 的极坐标为(ρB ,α)(ρB >0).由题设知|OA|=2,ρB =4cos α,于是△OAB 面积 S=12|OA|·ρB ·sin ∠AOB =4cos α·|sin (α-π3)|=2|sin (2α-π3)-√32|≤2+√3. 当α=-π12时,S 取得最大值2+√3. 所以△OAB 面积的最大值为2+√3.5.(2019河北唐山一模,22)在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为{x =1+tcosα,y =tsinα(其中t 为参数,0<α<π).以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=4cos θ. (1)求l 和C 的直角坐标方程;(2)若l 与C 相交于A ,B 两点,且|AB|=8,求α.当α=π2时,l :x=1;当α≠π2时,l :y=(x-1)tan α.由ρsin 2θ=4cos θ得ρ2sin 2θ=4ρcos θ,所以C 的直角坐标方程y 2=4x.(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得(sin 2α)t 2-(4cos α)t-4=0, 则t 1+t 2=4cosαsin 2α,t 1t 2=-4sin 2α. 因为|AB|=|t 1-t 2|=√(t 1+t 2)2-4t 1t 2=4sin 2α=8, 所以sin α=√22或-√22.因为0<α<π,所以sin α=√22,故α=π4或3π4.6.(2019山东青岛二模,22)已知平面直角坐标系xOy ,直线l 过点P (0,√3),且倾斜角为α,以O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆C 的极坐标方程为ρ2-4ρcos (θ-π3)-1=0.(1)求直线l 的参数方程和圆C 的标准方程;(2)设直线l 与圆C 交于M 、N 两点,若|PM|-|PN|=√2,求直线l 的倾斜角α的值.因为直线l 过点P (0,√3),且倾斜角为α,所以直线l 的参数方程为{x =tcosα,y =√3+tsinα(t 为参数).因为圆C 的极坐标方程为ρ2-4ρcos (θ-π3)-1=0,所以ρ2-2ρcos θ-2√3ρsin θ-1=0.所以圆C 的普通方程为x 2+y 2-2x-2√3y-1=0, 圆C 的标准方程为(x-1)2+(y-√3)2=5. (2)直线l 的参数方程为{x =tcosα,y =√3+tsinα,代入圆C 的标准方程得(t cos α-1)2+(t sin α)2=5.整理得t 2-2t cos α-4=0.设M ,N 两点对应的参数分别为t 1,t 2,则t 1+t 2=2cos α,t 1t 2=-4<0,故t 1,t 2异号. 所以|PM|-|PN|=|t 1+t 2|=|2cos α|=√2,cos α=±√2.因为0≤α<π,所以α=π4或3π4.7.(2019河南许昌、洛阳三模,22)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =1+2t ,y =-2+t (t 是参数),以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρ2=41+3sin 2θ. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程;(2)设曲线C 2经过伸缩变换{x '=2x ,y '=y 得到曲线C 3,M (x ,y )是曲线C 3上任意一点,求点M 到曲线C 1的距离的最大值.{x =1+2t ,y =-2+t ,消参可得曲线C 1的普通方程为x-2y-5=0.∵ρ2=41+3sin 2θ,∴ρ2+3ρ2sin 2θ=4, ∴将{x =ρcosθ,y =ρsinθ代入可得x 2+4y 2=4.故曲线C 2的直角坐标方程为x 24+y 2=1.(2)曲线C 2:x 24+y 2=1,经过伸缩变换{x '=2x ,y '=y得到曲线C 3的方程为x '216+y'2=1,∴曲线C 3的方程为x 216+y 2=1. 设M (4cos α,sin α),根据点到直线的距离公式可得d=|4cosα-2sinα-5|√1+2=|2sinα-4cosα+5|√5=√5sin √5≤√5+5√5=2+√5(其中tan φ=2),∴点M 到曲线C 1的距离的最大值为2+√5.8.(2019山东潍坊二模,22)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的方程为(x-2√3)2+(y+1)2=16,直线l 的参数方程为{x =√3t ,y =t (t 为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系.(1)求直线l 和曲线C 的极坐标方程;(2)设直线l 与曲线C 交于A ,B 两点,求|AB|的值.由x=√3y 得y=√3x ,所以l 的极坐标方程为θ=π6(ρ∈R ),由(x-2√3)2+(y+1)2=16得x 2+y 2-4√3x+2y-3=0, 又因为x 2+y 2=ρ2,x=ρcos θ,y=ρsin θ,所以曲线C 的极坐标方程为ρ2-4√3ρcos θ+2ρsin θ-3=0. (2)将θ=π6代入得,ρ2-6ρ+ρ-3=0,即ρ2-5ρ-3=0,所以ρ1+ρ2=5,ρ1·ρ2=-3, 由极坐标几何意义得|AB|=|ρ1-ρ2|=√(ρ1+ρ2)2-4ρ1ρ2=√25+12=√37.9.(2019湖南师大附中月考四,22)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1:{x =ρ+acosφ,y =asinφ(φ为参数,实数a>0),曲线C 2:{x =bcosφ,y =b +bsinφ(φ为参数,实数b>0).在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线l :θ=αρ≥0,0≤α≤π2与C 1交于O ,A 两点,与C 2交于O ,B 两点.当α=0时,|OA|=2;当α=π2时,|OB|=4. (1)求a ,b 的值;(2)求2|OA|2+|OA|·|OB|的最大值.由曲线C 1:{x =a +acosφ,y =asinφ(φ为参数,实数a>0),化为普通方程为(x-a )2+y 2=a 2,展开为x 2+y 2-2ax=0, 其极坐标方程为ρ2=2a ρcos θ, 即ρ=2a cos θ,由题意可得当θ=0时,|OA|=ρ=2,∴a=1.曲线C 2:{x =bcosφ,y =b +bsinφ(φ为参数,实数b>0),化为普通方程为x 2+(y-b )2=b 2,展开可得极坐标方程为ρ=2b sin θ, 由题意可得当θ=π时,|OB|=ρ=4,∴b=2.(2)由(1)可得C 1,C 2的极坐标方程分别为ρ=2cos θ,ρ=4sin θ.∴2|OA|2+|OA|·|OB|=8cos 2θ+8sin θcos θ=4sin 2θ+4cos 2θ+4=4√2sin (2θ+π4)+4.∵2θ+π4∈[π4,5π4], ∴4√2sin (2θ+π4)+4的最大值为4√2+4,当2θ+π4=π2,即θ=π8时取到最大值.10.(2019陕西第二次质检,22)在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 1:x 2+y 2-x=0,C 2:x 2+y 2-2y=0.(1)以过原点的直线的倾斜角θ为参数,写出曲线C 1的参数方程;(2)直线l 过原点,且与曲线C 1,C 2分别交于A ,B 两点(A ,B 不是原点),求|AB|的最大值.如图,C 1:x 2+y 2-x=0,即(x -12)2+y 2=14是以C 1(12,0)为圆心,12为半径,且过原点的圆,设P (x ,y )为过原点的直线与C 1的交点,连接PC 1,由圆的对称性,不妨设∠PC 1x=α(0≤α<π),则{x =12+12cosα,y =12sinα.由已知,以过原点的直线倾斜角为参数,则0≤θ<π,而α=2θ,所以曲线C 1的参数方程为{x =12+12cos2θ,y =12sin2θ(θ为参数,且0≤θ<π). (2)根据已知C 1,C 2的极坐标方程分别为ρ1=cos α(ρ1>0),ρ2=2sin α(ρ2>0), 故|AB|=|ρ1±ρ2|=|2sin α±cos α|=√5|sin(α±φ)|≤√5, 其中tan φ=12.故当|sin(α±φ)|=1时,等号成立. 综上,|AB|的最大值为√5.。

2020版高考数学一轮复习课后限时集训50范围最值问题文含解析北师大版201906272114

课后限时集训(五十)(建议用时：60分钟) A 组基础达标1. (2019·泉州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，点A 在C 上，若|AO |＝|AF |＝32.(1)求C 的方程；(2)设直线l 与C 交于P ，Q ，若线段PQ 的中点的纵坐标为1，求△OPQ 的面积的最大值． [解] (1)∵点A 在抛物线C 上，|AO |＝|AF |＝32，∴p 4＋p 2＝32，∴p ＝2， ∴C 的方程为x 2＝4y .(2)设直线方程为y ＝kx ＋b ，代入抛物线方程，可得x 2－4kx －4b ＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，∴y 1＋y 2＝4k 2＋2b ， ∵线段PQ 的中点的纵坐标为1，∴2k 2＋b ＝1，△OPQ 的面积S ＝12·b ·16k 2＋16b ＝b 2＋2b ＝2·b 3＋b 2(0＜b ≤1)，设y ＝b 3＋b 2，y ′＝3b 2＋2b ＞0，故函数单调递增， ∴b ＝1时，△OPQ 的面积的最大值为2.2．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点． (1)若AF →＝2FB →，求直线AB 的斜率；(2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值．[解] (1)依题意知F (1,0)，设直线AB 的方程为x ＝my ＋1. 将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得y 2－4my －4＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.① 因为AF →＝2FB →，所以y 1＝－2y 2.②联立①和②，消去y 1，y 2，得m ＝±24. 所以直线AB 的斜率是±2 2.(2)由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点，从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等，所以四边形OACB 的面积等于2S △AOB .因为2S △AOB ＝2·12·|OF |·|y 1－y 2|＝y 1＋y 22－4y 1y 2＝41＋m 2，所以当m ＝0时，四边形OACB 的面积最小，最小值是4.3．平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .①求|OQ ||OP |的值；②求△ABQ 面积的最大值． [解] (1)由题意知3a 2＋14b2＝1，又a 2－b 2a ＝32，解得a 2＝4，b 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)知椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1.①设P (x 0，y 0)，|OQ ||OP |＝λ，由题意知Q (－λx 0－λy 0)．因为x 204＋y 20＝1，又－λx 0216＋－λy 024＝1，即λ24⎝ ⎛⎭⎪⎫x 204＋y 20＝1，所以λ＝2，即|OQ ||OP |＝2.②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0，由Δ＞0，可得m 2＜4＋16k 2.① 则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k 2.所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m21＋4k2. 因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )，所以△OAB 的面积S ＝12|m ||x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m |1＋4k 2＝2k 2＋4－m 2m 21＋4k2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m 21＋4k 2m 21＋4k 2. 设m 21＋4k2＝t .将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2.② 由①②可知0＜t ≤1，因此S ＝2－t t ＝2－t 2＋4t .故S ≤23，当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时取得最大值2 3. 由①知，△ABQ 面积为3S ，所以△ABQ 面积的最大值为6 3.B 组能力提升1．(2019·南昌市调研测试卷)已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的焦距为4，且过点(2，－2)．(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆焦点的直线l 与椭圆C 分别交于点E ，F ，求OE →·OF →的取值范围．[解] (1)椭圆C ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的焦距是4，所以焦点坐标是(0，－2)，(0,2)，2a ＝2＋0＋2＋＋2＝42，所以a ＝22，b ＝2，即椭圆C 的方程是y 28＋x 24＝1.(2)若直线l 垂直于x 轴，则点E (0,22)，F (0，－22)，OE →·OF →＝－8. 若直线l 不垂直于x 轴，设l 的方程为y ＝kx ＋2，点E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，将直线l 的方程代入椭圆C 的方程得到(2＋k 2)x 2＋4kx －4＝0，则x 1＋x 2＝－4k 2＋k 2，x 1x 2＝－42＋k2，所以OE →·OF →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4 ＝－4－4k 22＋k 2＋－8k 22＋k 2＋4＝202＋k 2－8，因为0<202＋k 2≤10，所以－8<OE →·OF →≤2，综上所述，OE →·OF →的取值范围是[－8,2]．2．(2019·南宁模拟)已知点P (0，－2)，点A ，B 分别为椭圆E ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的左右顶点，直线BP 交E 于点Q ，△ABP 是等腰直角三角形，且PQ →＝32QB →.(1)求E 的方程；(2)设过点P 的动直线l 与E 相交于M ，N 两点，当坐标原点O 位于MN 以为直径的圆外时，求直线l 斜率的取值范围．[解] (1)由题意题意△ABP 是等腰直角三角形，a ＝2，B (2,0)，设Q (x 0，y 0)，由PQ →＝32QB →，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝65，y 0＝－45，代入椭圆方程，解得b 2＝1， ∴椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率存在，方程为y ＝kx －2，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 24＋y 2＝1，整理得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0，由直线l 与E 有两个不同的交点，则Δ＞0，即(－16k )2－4×12×(1＋4k 2)＞0，解得k 2＞34，由根与系数的关系可知x 1＋x 2＝16k 1＋4k 2，x 1x 2＝121＋4k2，由坐标原点O 位于MN 为直径的圆外，则OM →·ON →＞0，即x 1x 2＋y 1y 2＞0，则x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1－2)(kx 2－2)＝(1＋k 2)x 1x 2－2k ×(x 1＋x 2)＋4 ＝(1＋k 2)121＋4k 2－2k ×16k 1＋4k2＋4＞0，解得k 2＜4，综上可知：34＜k 2＜4，解得32＜k ＜2或－2＜k ＜－32，∴直线l 斜率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2. 3．已知椭圆的中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k >0)与直线AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点．(1)若ED →＝6DF →，求k 的值； (2)求四边形AEBF 面积的最大值．[解] (1)由题设条件可得，椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线AB 的方程为x ＋2y －2＝0.设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1<x 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2＝4，解得x 2＝－x 1＝21＋4k2.①由ED →＝6DF →，得(x 0－x 1，k (x 0－x 1))＝6(x 2－x 0，k (x 2－x 0))，即x 0－x 1＝6(x 2－x 0)，∴x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k2. 由D 在AB 上，得x 0＋2kx 0－2＝0，∴x 0＝21＋2k .∴21＋2k ＝1071＋4k2，化简，得24k 2－25k ＋6＝0，解得k ＝23或k ＝38.(2)根据点到直线的距离公式和①式可知，点E ，F 到AB 的距离分别为d 1＝|x 1＋2kx 1－2|5＝＋2k ＋1＋4k2＋4k2，d 2＝|x 2＋2kx 2－2|5＝＋2k －1＋4k2＋4k2，又|AB |＝22＋12＝5，∴四边形AEBF 的面积为 S ＝12|AB |(d 1＋d 2)＝12×5×＋2k ＋4k2＝＋2k 1＋4k2＝21＋4k 2＋4k1＋4k2＝21＋4k 1＋4k2＝21＋44k ＋1k≤21＋424k ·1k＝22，当且仅当4k ＝1k (k >0)，即k ＝12时，等号成立．故四边形AEBF 面积的最大值为2 2.。

2020版高考数学一轮复习课后限时集训5函数的单调性与最值文含解析北师大版2

课后限时集训(五)(建议用时：40分钟) A 组基础达标一、选择题1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |C [函数f (x )＝－1x ＋1的递增区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，故在(0，＋∞)上是增函数，故选C ．]2．(2019·湖北八校联考)设函数f (x )＝2xx －2在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为M ，m ，则m 2M＝( )A ．23B ．38C ．32D ．83D [f (x )＝2x x －2＝x －＋4x －2＝2＋4x －2，则函数f (x )在[3,4]上是减函数，从而f (x )max ＝f (3)＝2＋43－2＝6， f (x )min ＝f (4)＝2＋44－2＝4，即M ＝6，m ＝4，所以m 2M ＝166＝83，故选D.]3．函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的递减区间是( ) A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞C ．⎝⎛⎦⎥⎤－1，32 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4 D [要使函数有意义需4＋3x －x 2＞0，解得－1＜x ＜4，∴定义域为(－1,4)．令t ＝4＋3x －x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋254.则t 在⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，32上递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4上递减的，又y ＝ln t 在⎝⎛⎦⎥⎤0，254上递增的，∴f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的递减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4.]4．已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( ) A ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜0 B ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞0 C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜0 D ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞0B [函数f (x )＝log 2x ＋11－x 在区间(1，＋∞)上是增函数，且f (2)＝log 22＋11－2＝0，从而f (x 1)＜0，f (x 2)＞0，故选B.]5．(2019·三门峡模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＜2，x 2，x ≥2，若f (a ＋1)≥f (2a －1)，则实数a的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，2]C ．[2,6]D ．[2，＋∞)B [易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＜2，x 2，x ≥2是定义域R 上是增加的．∵f (a ＋1)≥f (2a －1)，∴a ＋1≥2a －1，解得a ≤2. 故实数a 的取值范围是(－∞，2]，故选B.] 二、填空题6．(2019·上饶模拟)函数f (x )＝－x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－13上的最大值是________．32 [法一：易知y ＝－x ，y ＝1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－13上递减的，∴函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－13上递减的，∴f (x )max ＝f (－2)＝32.法二：函数f (x )＝－x ＋1x 的导数为f ′(x )＝－1－1x2.易知f ′(x )＜0，可得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－13上递减的，所以f (x )max ＝2－12＝32.]7．(2019·长春模拟)已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值范围是________．(－∞，1] [因为函数f (x )在(－∞，－1)上是单调函数，所以－a ≥－1，解得a ≤1.] 8．已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )＞f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为________．(－3，－1)∪(3，＋∞) [由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a ＞0，a ＋3＞0，a 2－a ＞a ＋3，解得－3＜a ＜－1或a ＞3，所以实数a 的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．]三、解答题9．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]． (1)当a ＝－1时，求函数的最大值和最小值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数．[解] (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1；因为x ∈[－5,5]，所以x ＝1时，f (x )取最小值1；x ＝－5时，f (x )取最大值37.(2)f (x )的对称轴为x ＝－a .因为f (x )在[－5,5]上是单调函数，所以－a ≤－5，或－a ≥5，所以实数a 的取值范围为(－∞，－5]∪[5，＋∞)．10．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上是增加的；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)上是减少的，求a 的取值范围． [解] (1)证明：设x 1＜x 2＜－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝x 1－x 2x 1＋x 2＋.∵(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0，∴f (x 1)＜f (x 2)， ∴f (x )在(－∞，－2)上是增加的． (2)f (x )＝xx －a ＝x －a ＋a x －a ＝1＋ax －a，当a ＞0时，f (x )在(－∞，a )，(a ，＋∞)上是减函数，又f (x )在(1，＋∞)上是减少的，∴0＜a ≤1，故实数a 的取值范围是(0,1]．B 组能力提升1．(2019·唐山模拟)函数y ＝2－xx ＋1，x ∈(m ，n ]的最小值为0，则m 的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(－1,2)C ．[1,2)D ．[－1,2)D [函数y ＝2－x x ＋1＝3－x －1x ＋1＝3x ＋1－1，在x ∈(－1，＋∞)时，函数y 是减函数，在x＝2时，y ＝0；根据题意x ∈(m ，n ]时，y 的最小值为0，∴m 的取值范围是－1≤m ＜2.故选D.]2．若函数f (x )＝|2x ＋a |的递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________.－6 [f (x )＝|2x ＋a |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ≥－a2，－2x －a ，x ＜－a2.∵函数的递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a2，＋∞， ∴－a2＝3，∴a ＝－6.]3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞1，0，x ＝1，－1，x ＜1，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．[0,2) [g (x )＝x 2f (x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ＞2，0，x ＝2，－x 2，x ＜2，当x ＜2时，g (x )＝－x 2，因此g (x )的递减区间为[0,2)．] 4．已知函数f (x )＝2x －a x的定义域为(0,1](a 为实数)． (1)当a ＝1时，求函数y ＝f (x )的值域；(2)求函数y ＝f (x )在区间(0,1]上的最大值及最小值，并求出当函数f (x )取得最值时x 的值．[解] (1)当a ＝1时，f (x )＝2x －1x，任取1≥x 1＞x 2＞0，则f (x 1)－f (x 2)＝2(x 1－x 2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1x 1x 2. 因为1≥x 1＞x 2＞0，所以x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0.所以f (x 1)＞f (x 2)，所以f (x )在(0,1]上递增，无最小值，当x ＝1时取得最大值1，所以f (x )的值域为(－∞，1]．(2)当a ≥0时，y ＝f (x )在(0,1]上递增，无最小值，当x ＝1时取得最大值2－a ；当a ＜0时，f (x )＝2x ＋－ax，当－a2≥1，即a ∈(－∞，－2]时，y ＝f (x )在(0,1]上递减，无最大值，当x ＝1时取得最小值2－a ；当－a2＜1，即a ∈(－2,0)时，y ＝f (x )在⎝⎛⎦⎥⎤0，－a 2上递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a2，1上递增，无最大值，当x ＝－a2时取得最小值2－2a .。

2020版高考数学一轮复习课后限时集训59坐标系文(含解析)北师大版

课后限时集训(五十九)(建议用时：60分钟) A 组基础达标1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y 后，曲线C ：x 2＋y 2＝36变为何种曲线，并求曲线的焦点坐标．[解] 设圆x 2＋y 2＝36上任一点为P (x ，y )，伸缩变换后对应的点的坐标为P ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝3y ′，∴4x ′2＋9y ′2＝36，x ′29＋y ′24＝1.∴曲线C 在伸缩变换后得椭圆x 29＋y 24＝1，其焦点坐标为(±5，0)2．在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．[解] 在ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32中，令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1,0)．因为圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，所以圆C 的半径|PC |＝22＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.3．在直角坐标系xOy中，直线l ：y ＝x ，圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos φy ＝－2＋sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线l 与圆C 的极坐标方程；(2)设直线l 与圆C 的交点为M ，N ，求△CMN 的面积．[解] (1)将C 的参数方程化为普通方程，得(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝1， ∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴直线l 的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，圆C 的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0，得ρ2＋32ρ＋4＝0，解得ρ1＝－22，ρ2＝－2，|MN |＝|ρ1－ρ2|＝2，∵圆C 的半径为1，∴△CMN 的面积为12×2×1×sin π4＝12.4．在极坐标系中，已知直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1，圆C 的圆心的极坐标是C ⎝⎛⎭⎪⎫1，π4，圆的半径为1.(1)求圆C 的极坐标方程； (2)求直线l 被圆C 所截得的弦长．[解] (1)设O 为极点，OD 为圆C 的直径，A (ρ，θ)为圆C 上的一个动点，则∠AOD ＝π4－θ或∠AOD ＝θ－π4，|OA |＝|OD |cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ或|OA |＝|OD |cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4. 所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4. (2)由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1，得22ρ(sin θ＋cos θ)＝1，∴直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0，又圆心C 的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，22满足直线l 的方程， ∴直线l 过圆C 的圆心，故直线被圆所截得的弦长为2.B 组能力提升1．已知曲线C 1：x ＋3y ＝3和C 2：⎩⎨⎧x ＝6cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．(1)把曲线C 1和C 2的方程化为极坐标方程；(2)设C 1与x ，y 轴交于M ，N 两点，且线段MN 的中点为P .若射线OP 与C 1，C 2交于P ，Q 两点，求P ，Q 两点间的距离．[解] (1)曲线C 1化为ρcos θ＋3ρsin θ＝ 3.∴ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝32. 曲线C 2化为x 26＋y 22＝1，(*) 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(*)式得ρ26cos 2θ＋ρ22sin 2θ＝1，即ρ2(cos 2θ＋3sin 2θ)＝6. ∴曲线C 2的极坐标方程为ρ2＝61＋2sin 2θ. (2)∵M (3，0)，N (0,1)，P ⎝⎛⎭⎪⎫32，12. ∴OP 的极坐标方程为θ＝π6，把θ＝π6代入ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝32，得ρ1＝1，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π6. 把θ＝π6代入ρ2＝61＋2sin 2θ，得ρ2＝2，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6. ∴|PQ |＝|ρ2－ρ1|＝1，即P ，Q 两点间的距离为1.2．在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝π3与曲线C 2交于点D ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3.(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知极坐标系中两点A (ρ1，θ0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ0＋π2，若A ，B 都在曲线C 1上，求1ρ21＋1ρ22的值． [解] (1)∵C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ，∴C 1的普通方程为x 24＋y 2＝1.由题意知曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2a ·cos θ(a 为半径)，将D ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3代入，得2＝2a ×12，∴a ＝2，∴圆C 2的圆心的直角坐标为(2,0)，半径为2， ∴C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4.(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ4＋ρ2sin 2θ＝1，即ρ2＝44sin 2θ＋cos 2θ. ∴ρ21＝44sin 2θ0＋cos 2θ0， ρ22＝44sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0＋π2＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0＋π2＝4sin 2θ0＋4cos 2θ0. ∴1ρ21＋1ρ22＝4sin 2θ0＋cos 2θ04＋4cos 2θ0＋sin 2θ04＝54.。

2020版高考数学一轮复习课后限时集训12实际问题的函数建模文含解析北师大版

课后限时集训(十二)(建议用时：60分钟) A 组基础达标一、选择题1．(2019·银川模拟)国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过部分的14%纳税；超过4 000元的按全稿酬的11%纳税．若某人共纳税420元，则这个人的稿费为( )A ．3 000元B ．3 800元C ．3 818元D ．5 600元B [由题意可建立纳税额y 关于稿费x 的函数解析式为 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤800，x －，800＜x ≤4 000，0.11x ，x ＞4 000，显然稿费应为800＜x ≤4 000，则0.14(x －800)＝420，解得x ＝3 800，故选B.] 2．(2019·衡阳模拟)将出货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定为( )A ．85元B ．90元C ．95元D ．100元C [设每个售价定为x 元，则利润y ＝(x －80)·[400－(x －90)·20]＝－20[(x －95)2－225]，∴当x ＝95时，y 最大．]3．设甲、乙两地的距离为a (a >0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y 和其所用的时间x 的函数图像为( )D [y 为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A ，C ．又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B ，故选D.]4．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留的污垢不超过1%，则至少要洗的次数是(参考数据lg 2≈0.301 0) ( )A ．3B ．4C ．5D ．6B [设至少要洗x 次，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34x ≤1100，∴x ≥1lg 2≈3.322，因此至少需要洗4次，故选B.]5．(2019·泰安模拟)已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某商人持有资金120万元，他可以在t 1至t 4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计)．如果他在t 4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是( )A ．40万元B ．60万元C ．120万元D ．140万元C [甲6元时该商人全部买入甲商品，可以买120÷6＝20(万份)，在t 2时刻全部卖出，此时获利20×2＝40(万元)，乙4元时该商人买入乙商品，可以买(120＋40)÷4＝40(万份)，在t 4时刻全部卖出，此时获利40×2＝80(万元)，共获利40＋80＝120(万元)，故选C ．]二、填空题6．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为______升．8 [因为每次都把油箱加满，第二次加了48升油，说明这段时间总耗油量为48升，而行驶的路程为35 600－35 000＝600(千米)，故每100千米平均耗油量为48÷6＝8(升)．]7．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.20 [设内接矩形另一边长为y ，则由相似三角形性质可得x 40＝40－y40，解得y ＝40－x ，所以面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400(0＜x ＜40)，当x ＝20时，S max ＝400.]8．(2019·成都模拟)某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝ekx ＋b(e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．24 [由已知条件，得192＝e b，∴b ＝ln 192.又∵48＝e22k ＋b＝e22k ＋ln 192＝192e 22k＝192(e 11k )2，∴e 11k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4819212＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1412＝12.设该食品在33 ℃的保鲜时间是t 小时，则t ＝e33k ＋ln 192＝192e 33k ＝192(e 11k )3＝192×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝24.]三、解答题9．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用给人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P 、种黄瓜的年收入Q 与投入a (单位：万元)满足P ＝80＋42a ，Q ＝14a ＋120，设甲大棚的投入为x (单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f (x )(单位：万元)．(1)求f (50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f (x )最大？ [解] (1)∵甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元， ∴f (50)＝80＋42×50＋14×150＋120＝277.5万元．(2)f (x )＝80＋42x ＋14(200－x )＋120＝－14x ＋42x ＋250，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥20200－x ≥20⇒20≤x ≤180，故f (x )＝－14x ＋42x ＋250(20≤x ≤180)．令t ＝x ∈[25，65]，则f (x )＝－14t 2＋42t ＋250＝－14(t －82)2＋282，当t ＝82，即x ＝128时，f (x )max ＝282万元．所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元． 10．(2019·太原模拟)为了迎接国庆节，某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租．该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x (元)只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得)．(1)求函数y ＝f (x )的解析式及其定义域；(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？ [解] (1)当x ≤6时，y ＝50x －115.令50x －115＞0，解得x ＞2.3. ∵x ∈N *，∴3≤x ≤6，x ∈N *.当x ＞6时，y ＝[50－3(x －6)]x －115.令[50－3(x －6)]x －115＞0，有3x 2－68x ＋115＜0. 又x ∈N *，∴6＜x ≤20(x ∈N *)，故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧50x －x ≤6，x ∈N *，－3x 2＋68x －＜x ≤20，x ∈N*(2)对于y ＝50x －115(3≤x ≤6，x ∈N *)，显然当x ＝6时，y max ＝185.对于y ＝－3x 2＋68x －115＝－3⎝⎛⎭⎪⎫x －3432＋8113(6＜x ≤20，x ∈N *)，当x ＝11时，y max ＝270.又∵270＞185，∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．B 组能力提升1．(2019·莆田模拟)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是 ( )A ．8B ．9C ．10D ．11C [设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经过n 个“半衰期”后的含量为⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，由⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＜11 000，得n ≥10，所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”．故选C ．]2．将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt .假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min 甲桶中的水只有a4L ，则m 的值为( )A ．5B ．8C ．9D ．10A [∵5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数y ＝f (t )＝a e nt 满足f (5)＝a e 5n＝12a ，可得n ＝15ln 12，∴f (t )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12t5，因此，当k min 后甲桶中的水只有a4L 时，f (k )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 5＝14a ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12k5＝14，∴k ＝10，由题可知m ＝k －5＝5，故选A ．]3．(2019·唐山模拟)“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a A (a 为常数)，广告效应为D ＝R －A ．那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为________．(用常数a 表示)．14a 2[令t ＝A (t ≥0)，则A ＝t 2， ∴D ＝a A －A ＝at －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12a 2＋14a 2，∴当t ＝12a ，即A ＝14a 2时，D 取得最大值．]4．已知某物体的温度θ(单位：℃)随时间t (单位：min)的变化规律是θ＝m ·2t＋21－t(t ≥0且m >0)．(1)如果m ＝2，求经过多长时间，物体的温度为5 ℃； (2)若物体的温度总不低于2 ℃，求m 的取值范围． [解] (1)若m ＝2，则θ＝2·2t ＋21－t＝2⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋12t ，当θ＝5时，2t＋12t ＝52，令2t＝x (x ≥1)，则x ＋1x ＝52，即2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12(舍去)，∴2t ＝2，即t ＝1，∴经过1 min ，物体的温度为5 ℃.(2)物体的温度总不低于2 ℃，即θ≥2恒成立，即m ·2t＋22t ≥2恒成立，亦即m ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －122t 恒成立．令12t ＝x ，则0<x ≤1， ∴m ≥2(x －x 2)．∵x －x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14≤14，∴m ≥12.因此，当物体的温度总不低于2 ℃时，m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.。

2020版高考数学一轮复习课后限时集训10函数的图像文含解析北师大版20190627270

课后限时集训(十)(建议用时：60分钟) A 组基础达标一、选择题1．为了得到函数y ＝log 2x －1的图像，可将函数y ＝log 2x 的图像上所有的点( ) A ．纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变，再向右平移1个单位B ．横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再向左平移1个单位C ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位D ．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，再向左平移1个单位A [y ＝log 2x －1＝log 2(x －1)12＝12log 2(x －1)，将y ＝log 2x 的图像纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变，可得y ＝12log 2x 的图像，再向右平移1个单位，可得y ＝12log 2(x －1)的图像，也即y ＝log 2x －1的图像．故选A ．]2．(2019·江西九校联考)函数y ＝x 33x －3－x 的图像大致是()A B C DB [由函数y ＝x 33x －3－x 是偶函数，排除D.由函数的定义域是{x |x ≠0}，排除A ．又当x ＝3时，y ＝2727－127＞1，排除C ，故选B.]3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤1，log 13x ，x ＞1，则y ＝f (1－x )的图像是( )C [先作函数f (x )的图像，然后作出f (x )的图像关于y 轴对称的图像，得到函数y ＝f (－x )的图像，再把所得图像向右平移1个单位得到y ＝f (1－x )的图像，故选C ．]4．设1＜a ≤3,1＜x ＜3，则关于x 的方程x 2－5x ＋3＋a ＝0的实数解的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3B [x 2－5x ＋3＝－a ，令f (x )＝x 2－5x ＋3，x ∈(1,3)．g (x )＝－a ，a ∈(1,3]，在同一直角坐标系中，画出f (x )，g (x )的图像，如图所示．由图像知，方程的实数解只有一个，故选B.]5．(2019·南昌模拟)若定义域为R 的函数f (x )在(4，＋∞)上为减函数，且函数y ＝f (x ＋4)为偶函数，则( )A ．f (2)＞f (3)B ．f (2)＞f (5)C ．f (3)＞f (5)D ．f (3)＞f (6)D [由题意知函数f (x )的图像关于直线x ＝4对称．则f (2)＝f (6)，f (3)＝f (5)，又函数f (x )在(4，＋∞)上是减函数，则f (5)＞f (6)，即f (3)＞f (6)，故选D.]二、填空题6．设函数y ＝2x －1x －2，关于该函数图像的命题如下：①一定存在两点，这两点的连线平行于x 轴； ②任意两点的连线都不平行于y 轴； ③关于直线y ＝x 对称； ④关于原点中心对称．其中正确的是________．②③ [y ＝2x －1x －2＝x －＋3x －2＝2＋3x －2，图像如图所示，可知②③正确．]7．若关于x 的方程|x |＝a －x 只有一个解，则实数a 的取值范围是________．(0，＋∞) [在同一直角坐标系中分别画出函数f (x )＝|x |与g (x )＝a －x 的图像，如图所示．由图像知a ＞0.]8．偶函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________. 3 [由题意知f (－1)＝f (1)＝f (3)＝3.] 三、解答题9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x，5].(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f (x )的图像；(2)写出f (x )的递增区间；(3)由图像指出当x 取什么值时f (x )有最值． [解] (1)函数f (x )的图像如图所示．(2)由图像可知，函数f (x )的递增区间为[－1,0]，[2,5]． (3)由图像知当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－1，当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝3. 10．已知f (x )＝|x 2－4x ＋3|. (1)作出函数f (x )的图像；(2)求函数f (x )的单调区间，并指出其单调性；(3)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}． [解] (1)当x 2－4x ＋3≥0时，x ≤1或x ≥3，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤1或x ≥3，－x 2＋4x －3，1＜x ＜3，∴f (x )的图像为：(2)由函数的图像可知f (x )的单调区间是(－∞，1]，(2,3)，(1,2]，[3，＋∞)，其中(－∞，1]，(2,3)是减区间；(1,2]，[3，＋∞)是增区间．(3)由f (x )的图像知，当0＜m ＜1时，f (x )＝m 有四个不相等的实根，所以M ＝{m |0＜m ＜1}．B 组能力提升1．(2019·乌鲁木齐模拟)函数y ＝x ＋a x|x |(a ＞1)的图像的大致形状是( )A B C DA [当x ＜－1时，y ＜0，排除B ，D ，当x →＋∞时，x ＋1|x |＝1＋1x→1，a x→＋∞，则y →＋∞，排除C ．故选A ．]2．已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx ，若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1,2)D ．(2，＋∞)B [先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图像，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故观察图像可知f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，故选B.]3.函数f (x )是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图像如图所示，那么不等式f xcos x＜0的解集为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2 [在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上，y ＝cos x ＞0，在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，4上，y ＝cos x ＜0. 结合f (x )的图像知在⎝⎛⎭⎪⎫1，π2上f x cos x ＜0，因为f (x )为偶函数，y ＝cos x 也是偶函数，所以y ＝f xcos x为偶函数，所以f xcos x ＜0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪⎝⎛⎭⎪⎫1，π2.]4．已知函数f (x )的图像与函数h (x )＝x ＋1x＋2的图像关于点A (0,1)对称． (1)求函数f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋a x，g (x )在区间(0,2]上的值不小于6，求实数a 的取值范围． [解] (1)设f (x )图像上任一点坐标为(x ，y )，∵点(x ，y )关于点A (0,1)的对称点(－x,2－y )在h (x )的图像上， ∴2－y ＝－x ＋1－x ＋2，∴y ＝x ＋1x ，即f (x )＝x ＋1x.(2)由题意g (x )＝x ＋a ＋1x，且g (x )＝x ＋a ＋1x≥6，x ∈(0,2]． ∵x ∈(0,2]，∴a ＋1≥x (6－x )，即a ≥－x 2＋6x －1.令q (x )＝－x 2＋6x －1，x ∈(0,2]，q (x )＝－x 2＋6x －1＝－(x －3)2＋8，∴x ∈(0,2]时，q (x )max ＝q (2)＝7，故a 的取值范围为[7，＋∞)．。

(北师大版)2020版高考文科数学一轮复习数列求和文课后训练题含解析

课后限时集训(三十一)(建议用时：60分钟) A 组基础达标一、选择题1．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( )A ．200B ．－200C ．400D ．－400B [S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.]2．在数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝2，a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n，n ∈N *，则S 60的值为( ) A ．990 B ．1 000 C ．1 100D ．99A [n 为奇数时，a n ＋2－a n ＝0，a n ＝2；n 为偶数时，a n ＋2－a n ＝2，a n ＝n .故S 60＝2×30＋(2＋4＋…＋60)＝990.]3．数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项和为10，则项数n 为( )A ．120B ．99C ．11D ．121A [a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－nn ＋1＋n n ＋1－n＝n ＋1－n ，所以a 1＋a 2＋…＋a n ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1＝10. 即n ＋1＝11，所以n ＋1＝121，n ＝120.] 4.122－1＋132－1＋142－1＋…＋1n ＋12－1的值为( )A ．n ＋12n ＋2 B ．34－n ＋12n ＋2 C ．34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2D ．32－1n ＋1＋1n ＋2 C [因为1n ＋12－1＝1n 2＋2n ＝1nn ＋2＝121n －1n ＋2，所以122－1＋132－1＋142－1＋…＋1n ＋12－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2.]5．S n ＝12＋12＋38＋…＋n2n 等于( )A ．2n－n2nB ．2n ＋1－n －22nC ．2n －n ＋12n ＋1D ．2n ＋1－n ＋22nB [由S n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ，①得12S n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n2n ＋1，② ①－②得，12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1 ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12－n 2n ＋1，所以S n ＝2n ＋1－n －22n.] 二、填空题6．(2017·全国卷Ⅱ)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，S 4＝10，则∑nk ＝1 1S k＝________.2nn ＋1 [由⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 1＋2d ＝3，S 4＝4a 1＋4×32d ＝10，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1.∴S n ＝n ×1＋n n －12×1＝n n ＋12，1S n ＝2nn ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1. ∴∑nk ＝1 1S k ＝1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2nn ＋1.]7．有穷数列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋4＋…＋2n －1所有项的和为________．2n ＋1－n －2 [a n ＝1＋2＋4＋…＋2n －1＝1－2n1－2＝2n －1，则S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(2＋22＋ (2))－n ＝21－2n1－2－n ＝2n ＋1－n －2.]8．化简S n ＝n ＋(n －1)×2＋(n －2)×22＋…＋2×2n －2＋2n －1的结果是________．2n ＋1－n －2 [因为S n ＝n ＋(n －1)×2＋(n －2)×22＋…＋2×2n －2＋2n －1，①2S n ＝n ×2＋(n －1)×22＋(n －2)×23＋…＋2×2n －1＋2n，②所以①－②得，－S n ＝n －(2＋22＋23＋ (2))＝n ＋2－2n ＋1，所以S n ＝2n ＋1－n －2.]三、解答题9．(2019·福州模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －1. (1)证明：数列{a n }是等比数列；(2)设b n ＝(2n －1)a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .[解] (1)证明：当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－1，所以a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －1)－(2a n －1－1)，所以a n ＝2a n －1，所以数列{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)知，a n ＝2n －1，所以b n ＝(2n －1)×2n －1，所以T n ＝1＋3×2＋5×22＋…＋(2n －3)×2n －2＋(2n －1)×2n －1，①2T n ＝1×2＋3×22＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n，②由①－②得－T n ＝1＋2×(21＋22＋…＋2n －1)－(2n －1)×2n＝1＋2×2－2n －1×21－2－(2n －1)×2n＝(3－2n )×2n－3，所以T n ＝(2n －3)×2n＋3.10．(2019·唐山模拟)已知数列{a n }满足：1a 1＋2a 2＋…＋n a n ＝38(32n －1)，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝log 3a nn，求1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1.[解] (1)1a 1＝38(32－1)＝3，当n ≥2时，n a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋2a 2＋…＋n a n －1a 1＋2a 2＋…＋n －1a n －1＝38(32n －1)－38(32n －2－1)＝32n －1，当n ＝1时，n a n＝32n －1也成立，所以a n ＝n32n －1.(2)b n ＝log 3a nn＝－(2n －1)，因为1b n b n ＋1＝12n －12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝121－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1. B 组能力提升1．1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋14＋…＋1＋12＋14＋…＋1210的值为( )A ．18＋129B ．20＋1210C ．22＋1211D ．18＋1210B [设a n ＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .则原式＝a 1＋a 2＋…＋a 11＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1211 ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋1211＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12111－12＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－⎝⎛⎭⎪⎫1－1211 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫11－1＋1211＝20＋1210.] 2．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则S 2 016＝( ) A ．22 016－1B ．3·21 008－3 C ．3·21 008－1D ．3·21 007－2B [a 1＝1，a 2＝2a 1＝2，又a n ＋2·a n ＋1a n ＋1·a n ＝2n ＋12n ＝2.∴a n ＋2a n＝2. ∴a 1，a 3，a 5，…成等比数列；a 2，a 4，a 6，…成等比数列， ∴S 2 016＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋…＋a 2 015＋a 2 016 ＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 015)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 016) ＝1－21 0081－2＋21－21 0081－2＝3·21 008－3.故选B.]3．(2019·龙岩模拟)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，对n ∈N *都有S n ＝1－a n ，若b n ＝log 2a n ，则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝________.nn ＋1 [对n ∈N *都有S n ＝1－a n ，当n ＝1时，a 1＝1－a 1，解得a 1＝12. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝1－a n －(1－a n －1)，化为a n ＝12a n －1.∴数列{a n }是等比数列，公比为12，首项为12.∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.∴b n ＝log 2a n ＝－n . ∴1b n b n ＋1＝1－n －n －1＝1n －1n ＋1. 则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.] 4．(2017·山东高考)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n .已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n项和T n .[解] (1)设{a n }的公比为q ，由题意知a 1(1＋q )＝6，a 21q ＝a 1q 2，又a n >0，由以上两式联立方程组解得a 1＝2，q ＝2，所以a n ＝2n. (2)由题意知S 2n ＋1＝2n ＋1b 1＋b 2n ＋12＝(2n ＋1)b n ＋1，又S 2n ＋1＝b n b n ＋1，b n ＋1≠0，所以b n ＝2n ＋1.令c n ＝b n a n ，则c n ＝2n ＋12n .因此T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝32＋522＋723＋…＋2n －12n －1＋2n ＋12n ，又12T n ＝322＋523＋724＋…＋2n －12n ＋2n ＋12n ＋1，两式相减得12T n ＝32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n －1－2n ＋12n ＋1，所以T n ＝5－2n ＋52n .。

2020版高考数学一轮复习课后限时集训4函数及其表示文含解析北师大版2

B 组能力提升
Earlybird
1．(2019·郑州模拟)已知函数 y＝f(2x－1)的定义域是[0,1]，则函数lfog2
x＋ x＋
的定
义域是( )
A．[1,2]
B．(－1,1]
C.－12，0
D．(－1,0)
D [ 因为函数 y ＝ f(2x － 1) 的定义域是 [0,1] ，所以－ 1≤2x － 1≤1 ，要使函数
5．(2018·大连模拟)已知函数 f(x)＝2xx＋，1x，＞x0≤，0. 若 f(a)＋f(1)＝0，则实数 a 的
值等于( )
A．－3
B．－1 C．1
D．3
A [f(1)＝2，由 f(a)＋f(1)＝0 得 f(a)＝－2，
Earlybird
∴a2＞a＝0－，2，或aa≤ ＋01，＝－2，解得 a＝－3，故选 A.] 6．已知 f(2x＋3)＝x＋5，且 f(t)＝6，则 t＝( )
Earlybird
那么 f2 019＋π4 ·f(－7 981)＝________.
4 [当 x≥0 时，有 f(x＋2 019)＝ 2sin x，
∴f2 019＋π4 ＝
π 2sin 4 ＝1；当
x＜0
时，f(x＋2
019)＝lg(－x)，∴f(－7
981)＝f(－
10 000＋2 019)＝lg 10 000＝4，∴f2 019＋π4 ·f(－7 981)＝1×4＝4.]
即xx－＞11≠ ，1，
2．下列各组函数中，表示同一函数的是( )
A．f(x)＝x，g(x)＝( x)2 B．f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2
C．f(x)＝ x2，g(x)＝|x|

(北师大版)2020版高考文科数学一轮复习集合文课后训练题含解析

课后限时集训(一)(建议用时：40分钟)A组基础达标一、选择题1．若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝( )A．4 B．2 C．0 D．0或4A[由题意知方程ax2＋ax＋1＝0只有一个实数解或两个相等的根．当a＝0时，方程无实根，则a≠0，Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4，故选A.]2．(2019·济南模拟)已知集合A＝{x|x2＋2x－3＝0}，B＝{－1,1}，则A∪B＝( ) A．{1} B．{－1,1,3}C．{－3，－1,1} D．{－3，－1,1,3}C[A＝{－3,1}，B＝{－1,1}，则A∪B＝{－3，－1,1}，故选C.]3．(2019·重庆模拟)已知集合A＝{0,2,4}，B＝{x|3x－x2≥0}，则A∩B的子集的个数为( )A．2 B．3 C．4 D．8C[B＝{x|0≤x≤3}，则A∩B＝{0,2}，故其子集的个数是22＝4个．]4．若A＝{2,3,4}，B＝{x|x＝n·m，m，n∈A，m≠n}，则集合B中的元素个数是( ) A．2 B．3 C．4 D．5B[当m＝2时，n＝3或4，此时x＝6或8.当m＝3时，n＝4，此时x＝12.所以B＝{6,8,12}，故选B.]5．设A，B是全集I＝{1,2,3,4}的子集，A＝{1,2}，则满足A⊆B的集合B的个数是( ) A．5 B．4 C．3 D．2B[满足条件的集合B有{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}共4个．]6．(2019·衡水模拟)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩∁U B＝( )A．{2,5} B．{3,6} C．{2,5,6} D．{2,3,5,6,8}A[由题意得∁U B＝{2,5,8}，∴A∩∁U B＝{2,3,5,6}∩{2,5,8}＝{2,5}．]7．(2019·青岛模拟)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1＜0}，则A∪B＝( ) A．(－1,1) B．(0,1)C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞)C[由已知得A＝{y|y＞0}，B＝{x|－1＜x＜1}，则A∪B＝{x|x＞－1}．]二、填空题8．已知集合A ＝{x |x 2－2 019x ＋2 018＜0}，B ＝{x |x ≥a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________．(－∞，1] [A ＝{x |1＜x ＜2 018}，B ＝{x |x ≥a }，要使A ⊆B ，则a ≤1.]9．若集合A ＝{y |y ＝lg x }，B ＝{x |y ＝x }，则A ∩B ＝________. {x |x ≥0} [A ＝R ，B ＝{x |x ≥0}，则A ∩B ＝{x |x ≥0}．]10．设集合A ＝{－1,1,2}，B ＝{a ＋1，a 2－2}，若A ∩B ＝{－1,2}，则a 的值为________．－2或1 [由A ∩B ＝{－1,2}得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝－1，a 2－2＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝2，a 2－2＝－1，解得a ＝－2或a ＝1.]B 组能力提升1．(2019·潍坊模拟)已知集合M ＝{x |lg x ＜1}，N ＝{x |－3x 2＋5x ＋12＜0}，则( ) A ．N ⊆M B ．∁R N ⊆MC ．M ∩N ＝(3,10)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43D ．M ∩(∁R N )＝(0,3]D [由M ＝{x |lg x ＜1}得M ＝{x |0＜x ＜10}；由－3x 2＋5x ＋12＝(－3x －4)(x －3)＜0得N ＝x ⎪⎪⎪x ＜－43或x ＞3，所以∁R N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－43≤x ≤3，则有M ∩(∁R N )＝(0,3]，故选D.] 2．(2019·南昌模拟)在如图所示的Venn 图中，设全集U ＝R ，集合A ，B 分别用椭圆内图形表示，若集合A ＝{x |x 2＜2x }，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则阴影部分图形表示的集合为( )A ．{x |x ≤1}B ．{x |x ≥1}C ．{x |0＜x ≤1}D ．{x |1≤x ＜2}D [由x 2＜2x 解得0＜x ＜2，∴A ＝(0,2)，由1－x ＞0，解得x ＜1，∴B ＝(－∞，1)，阴影部分图形表示的集合为A ∩(∁U B )＝{x |1≤x ＜2}，故选D.]3．已知A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是________．[1，＋∞) [由A ∩B ≠∅，得⎩⎪⎨⎪⎧2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1.]4．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________．(－∞，4] [当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m －1，解得2＜m ≤4.综上，m 的取值范围为m ≤4.]。

2020版高考数学一轮复习课后限时集训8指数与指数函数文含解析北师大版2

课后限时集训(八)(建议用时：60分钟)A 组基础达标一、选择题1．化简664x 12y 6(x ＞0，y ＜0)得( )A ．2x 2yB ．2xyC ．4x 2yD ．－2x 2y D [664x 12y 6＝6x 2y 6＝|2x 2y |＝－2x 2y ，故选D.] 2．已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a A [∵指数函数y ＝0.4x 为减函数，∴0.40.2＞0.40.6.又幂函数y ＝x 0.2为增函数，∴20.2＞0.40.2，即a ＞b ＞c ，故选A ．]3．(2019·莆田模拟)函数y ＝a x －1a(a ＞0，且a ≠1)的图像可能是( )D [函数y ＝a x －1a 的图像由函数y ＝a x 的图像向下平移1a个单位长度得到，A 项显然错误；当a ＞1时，0＜1a ＜1，平移距离小于1，所以B 项错误；当0＜a ＜1时，1a＞1，平移距离大于1，所以C 项错误．故选D.]4．(2019·汉中模拟)函数y ＝2x －2－x 是( )A ．奇函数，在区间(0，＋∞)上是增加的B ．奇函数，在区间(0，＋∞)上是减少的C ．偶函数，在区间(－∞，0)上是增加的D ．偶函数，在区间(－∞，0)上是减少的A [f (x )＝2x －2－x ，则f (－x )＝2－x －2x＝－f (x )，f (x )的定义域为R ，关于原点对称，所以函数f (x )是奇函数，排除C ，D.又函数y ＝－2－x ，y ＝2x 均是在R 上的增函数，故y ＝2x －2－x 在R 上为增函数．故选A ．]5．已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图像经过点(2,1)，则f (x )的值域为( ) A ．[9,81]B ．[3,9]C ．[1,9]D ．[1，＋∞) C [由f (x )过点(2,1)可知b ＝2，因为f (x )＝3x －2在[2,4]上是增函数，所以f (x )min ＝f (2)＝32－2＝1，f (x )max ＝f (4)＝34－2＝9.故选C ．]二、填空题6．计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫32－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋814×42－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2323＝________. 2 [原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313×1＋234×214－⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＝2.] 7．已知函数f (x )＝4＋ax －1的图像恒过定点P ，则点P 的坐标是________． (1,5) [由f (1)＝4＋a 0＝5知，点P 的坐标为(1,5)．]8．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1在区间[－3,2]上的值域是________． ⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57 [令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，因为x ∈[－3,2]，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，8，故y ＝t 2－t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋34. 当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57.故所求函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57.] 三、解答题9．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12ax ，a 为常数，且函数的图像过点(－1,2)． (1)求a 的值；(2)若g (x )＝4－x－2，且g (x )＝f (x )，求满足条件的x 的值． [解] (1)由已知得⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a ＝2，解得a ＝1.(2)由(1)知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，又g (x )＝f (x )，则4－x －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2＝0，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2＝0，令⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝t ，则t ＞0，t 2－t －2＝0，即(t －2)(t ＋1)＝0，又t ＞0，故t ＝2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝2，解得x ＝－1，故满足条件的x 的值为－1.10．已知函数f (x )＝b ·a x(其中a ，b 为常量，且a ＞0，a ≠1)的图像经过点A (1,6)，B (3,24)．若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x －m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围． [解] 把A (1,6)，B (3,24)，代入f (x )＝b ·a x ，得⎩⎪⎨⎪⎧6＝ab ，24＝b ·a 3，结合a >0，且a ≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝3. 所以f (x )＝3·2x .要使⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≥m 在x ∈(－∞，1]上恒成立，只需保证函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在(－∞，1]上的最小值不小于m 即可．因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在(－∞，1]上为减函数，所以当x ＝1时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 有最小值56. 所以只需m ≤56即可．即m 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，56. B 组能力提升1．若函数f (x )＝a |2x －4|(a ＞0，且a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2] B [由f (1)＝19得a 2＝19.又a ＞0，所以a ＝13，因此f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|. 因为g (x )＝|2x －4|在[2，＋∞)上递增，所以f (x )的单调递减区间是[2，＋∞)，故选B.]2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，a ≤x ＜0，－x 2＋2x ，0≤x ≤4的值域是[－8,1]，则实数a 的取值范围是________． [－3,0) [当0≤x ≤4时，f (x )∈[－8,1]，当a ≤x ＜0时，f (x )∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，－1，所以⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12a ，－1[－8,1]，即－8≤－12a ＜－1，即－3≤a ＜0，所以实数a 的取值范围是[－3,0)．]3．(2019·佛山模拟)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12x ，若f (a )＝2，则f (－a )＝________. 2 [函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12x ＝x ＋x x －，则 f (－x )＝－x－x ＋－x －＝x x ＋x －＝f (x )，即函数f (x )是偶函数，从而f (－a )＝f (a )＝2.]4．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3. (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )有最大值3，求a 的值．[解] (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上是递增的，在(－2，＋∞)上是递减的，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 在R 上是递减的，所以f (x )在(－∞，－2)上是递减的，在(－2，＋∞)上是递增的，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g (x )，由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，3a －4a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1.。

北师大版2020版新一线高考文科数学一轮复习教学案：选修4-4第2节参数方程含答案

第二节参数方程[考纲传真] 1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆曲线的参数方程．1．曲线的参数方程一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x ，y )都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )并且对于t 取的每一个允许值，由这个方程组所确定的点P (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫作这条曲线的参数方程，联系x ，y 之间关系的变数t 叫作参变数，简称参数．2．直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．(2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)．[常用结论]根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论：过定点M 0的直线与圆锥曲线相交，交点为M 1，M 2，所对应的参数分别为t 1，t 2. (1)弦长l ＝|t 1－t 2|；(2)弦M 1M 2的中点⇒t 1＋t 2＝0； (3)|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)参数方程⎩⎨⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )中的x ，y 都是参数t 的函数．( )(2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．参数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M →的数量．( )(3)方程⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．( )(4)已知椭圆的参数方程⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为3．( )[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)×2．(教材改编)曲线⎩⎨⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上B [由⎩⎨⎧ x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ，得⎩⎨⎧cos θ＝x ＋1，sin θ＝y －2，所以(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1,2)，在直线y ＝－2x 上．]3．直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝2－3t (t 为参数)，则直线l 的斜率为________．－3 [将直线l 的参数方程化为普通方程为y －2＝－3(x －1)，因此直线l 的斜率为－3.]4．曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ＋1(θ为参数)，则曲线C 的普通方程为________．y ＝2－2x 2(－1≤x ≤1) [由⎩⎨⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ＋1(θ为参数)消去参数θ，得y ＝2－2x 2(－1≤x ≤1)．]5．(教材改编)在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t －a(t 为参数)过椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则a ＝________. 3 [直线l 的普通方程为x －y －a ＝0，椭圆C 的普通方程为x 29＋y 24＝1，∴椭圆C 的右顶点坐标为(3,0)，若直线l 过(3,0)，则3－a ＝0，∴a ＝3.](1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1t ，y ＝1t t 2－1(t 为参数)；(2)⎩⎨⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝－1＋cos 2θ(θ为参数)． [解] (1)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1t t 2－12＝1，∴x 2＋y 2＝1.∵t 2－1≥0，∴t ≥1或t ≤－1. 又x ＝1t ，∴x ≠0.当t ≥1时，0＜x ≤1；当t ≤－1时，－1≤x ＜0， ∴所求普通方程为x 2＋y 2＝1，其中⎩⎨⎧ 0＜x ≤1，0≤y ≤1或⎩⎨⎧－1≤x ＜0，－1＜y ≤0.(2)∵y ＝－1＋cos 2θ＝－1＋1－2sin 2θ＝－2sin 2θ，sin 2θ＝x －2，∴y ＝－2x ＋4，∴2x ＋y －4＝0.∵0≤sin 2θ≤1，∴0≤x －2≤1，∴2≤x ≤3，∴所求的普通方程为2x ＋y －4＝0(2≤x ≤3)．2.如图所示，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程．[解] 圆的半径为12，记圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，连接CP ，则∠PCx ＝2θ，故x P ＝12＋12cos 2θ＝cos 2θ，y P ＝12sin 2θ＝sin θcos θ(θ为参数)．所以圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)．【例1】 (2019·石家庄质检)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 经过点P (1,2)，倾斜角α＝π6.(1)写出圆C 的普通方程和直线l 的参数方程；(2)设直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |的值． [解] (1)由⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ，消去θ，得圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. 又直线l 过点P (1,2)且倾斜角α＝π6，所以l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos π6，y ＝2＋t sin π6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋12t (t 为参数)．(2)把直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋12t代入x 2＋y 2＝16，得⎝⎛⎭⎪⎫1＋32t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12t 2＝16，t 2＋(3＋2)t －11＝0，所以t 1t 2＝－11，由参数方程的几何意义，|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝11.的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，直线l 与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1cos θ，y ＝tan θ(θ为参数)相交于不同的两点A ，B .(1)若α＝π3，求线段AB 的中点的直角坐标；(2)若直线l 的斜率为2，且过已知点P (3,0)，求|PA |·|PB |的值． [解] (1)由曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1cos θ，y ＝tan θ(θ为参数)，可得曲线C 的普通方程是x 2－y 2＝1. 当α＝π3时，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，代入曲线C 的普通方程，得t 2－6t －16＝0，得t 1＋t 2＝6，所以线段AB 的中点对应的t ＝t 1＋t 22＝3，故线段AB 的中点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫92，332. (2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，化简得(cos 2α－sin 2α)t 2＋6cos αt ＋8＝0，则|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪8cos 2α－sin 2α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪8(1＋tan 2α)1－tan 2α，由已知得tan α＝2，故|PA |·|PB |＝403.【例2】在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； (2)直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．[解] (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)法一：由直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，消去参数得y ＝x ·tan α.设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为kx －y ＝0.由圆C 的方程(x ＋6)2＋y 2＝25知，圆心坐标为(－6,0)，半径为5. 又|AB |＝10，由垂径定理及点到直线的距离公式得|－6k |1＋k 2＝25－⎝⎛⎭⎪⎫1022，即36k 21＋k 2＝904，整理得k 2＝53，解得k ＝±153，即l 的斜率为±153.法二：在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0，于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.|AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44. 由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153.(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝kt(t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝mk (m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．[解] (1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)；消去参数m 得l 2的普通方程l 2：y ＝1k (x ＋2)．设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y ＝1k (x ＋2)，消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)，所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)．(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)，联立⎩⎨⎧ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110.代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4得ρ2＝5，所以交点M 的极径为 5.1．(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率． [解] (1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 216＝1.当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tan α·x ＋2－tan α，当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程 (1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0.又由①得t 1＋t 2＝－4(2cos α＋sin α)1＋3cos 2α，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tanα＝－2.2．(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程． [解] (1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1. 当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点．当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点当且仅当⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋k 2＜1，解得k ＜－1或k ＞1，即α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2或α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4.综上，α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4.(2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α(t 为参数，π4＜α＜3π4)．设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0.于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α⎝ ⎛⎭⎪⎫α为参数，π4＜α＜3π4.。