【师说】高中数学第2章第13课时平面与平面垂直的判定课时作业新人教A版必修2

合集下载

高中数学 232 平面与平面垂直的判定课时作业 A必修2 试题

卜人入州八九几市潮王学校新田一中高中数学必修二课时作业：.2平面与平面垂直的断定根底达标1．空间四边形ABCD中，假设AD⊥BC，BD⊥AD，那么有()．A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面DBCD．平面ADC⊥平面DBC解析∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，∴AD⊥平面BCD.又∵AD⊂平面ADC，∴平面ADC⊥平面DBC.答案D2．假设直线l，m与平面α，β，γ满足：l＝β∩γ，l∥α，m⊂α和m⊥γ，那么必有()．A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ解析B错，有可能m与β相交；C错，有可能m与β相交；D错，有可能α与β相交．答案A3．从空间一点P向二面角αlβ的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，假设∠EPF＝60°，那么二面角的平面角的大小是()．A．60°B．120°C．60°或者120°D．不确定解析假设点P在二面角内，那么二面角的平面角为120°；假设点P在二面角外，那么二面角的平面角为60°.答案C4．(2021·高一检测)假设P是△ABC所在平面外一点，而△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝，那么二面角PBCA的大小为________．解析取BC的中点O，连接OA，OP，那么∠POA为二面角PBCA的平面角，OP＝OA＝，PA＝，所以△POA为直角三角形，∠POA＝90°.答案90°5．(2021·高一检测)PA⊥矩形ABCD所在的平面，如下列图，图中互相垂直的平面有________对．解析∵DA⊥AB，DA⊥PA，AB∩PA＝A，∴DA⊥平面PAB，同理BC⊥平面PAB，AB⊥平面PAD，DC⊥平面PAD，∴平面AC⊥平面PAD，平面AC⊥平面PAB，平面PBC⊥平面PAB，平面PDC⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PAD.答案56．如下列图，P是二面角αABβ的棱AB上一点，分别在α，β上引射线PM，PN，截PM＝PN，假设∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，那么二面角αABβ的大小是________．解析在α内过M点作MO⊥AB于点O，连接NO，设PM＝PN＝a.∵∠BPM＝∠BPN＝45°，∴△OPM≌△OPN，∴NO⊥AB，∴∠MON为所求二面角的平面角．连接MN.∵∠MPN＝60°，∴MN＝a.又MO＝NO＝a，∴MO2＋NO2＝MN2，∴∠MON＝90°.答案90°7．如下列图，四棱锥PABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高．(1)证明：平面PAC⊥平面PBD；(2)假设AB＝，∠APB＝∠ADB＝60°，求四棱锥PABCD的体积．(1)证明因为PH是四棱锥PABCD的高，所以AC⊥PH.又AC⊥BD，PH，BD都在平面PBD内，且PH∩BD＝H，所以AC⊥平面PBD.又AC⊂平面PAC，故平面PAC⊥平面PBD.(2)解因为四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，AB＝，所以HA＝HB＝.因为∠APB＝∠ADB＝60°，所以PA＝PB＝，DH＝HC＝1，可得PH＝，AC＝BD＝＋1.等腰梯形ABCD的面积为S＝AC×BD＝2＋，所以四棱锥的体积为V＝×(2＋)×＝.才能提升8．如下列图，六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，那么以下结论正确的选项是()．A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAED．直线PD与平面ABC所成的角为45°解析∵PA⊥平面ABC，∴∠ADP是直线PD与平面ABC所成的角．∵六边形ABCDEF是正六边形，∴AD＝2AB，即tan∠ADP＝＝＝1，∴直线PD与平面ABC所成的角为45°，选D.答案D9．如图，二面角αlβ的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为30°，那么AB与平面β所成的角的正弦值是________．解析如图作AO⊥β于O，AC⊥l于C，连接OB、OC，那么OC⊥l.设AB与β所成的角为θ，那么∠ABO＝θ，由图得sinθ＝＝·＝sin30°·sin60°＝.答案10．如下列图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝.(1)证明：平面PBE⊥平面PAB；(2)求二面角A－BE－P的大小．(1)证明如下列图，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD.又AB∥CD，所以BE⊥AB.又因为PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以PA⊥BE.而PA∩AB＝A，因此BE⊥平面PAB.又BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.(2)解由(1)知BE⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，所以PB⊥BE.又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A－BE－P的平面角．在Rt△PAB中，tan∠PBA＝＝，∠PBA＝60°，故二面角A－BE－P的大小是60°.。

2020学年高中数学课时分层作业13直线与平面垂直的判定(含解析)新人教A版必修2(最新整理)

课时分层作业（十三) 直线与平面垂直的判定(建议用时：45分钟）［基础达标练］一、选择题1．如果一条直线l与平面α的一条垂线垂直,那么直线l与平面α的位置关系是（)A．l⊂αB．l⊥αC．l∥αD．l⊂α或l∥αD［结合正方体模型，直线l与平面α的位置关系是平行或在平面内，故选D.］2．已知直线a与平面α所成的角为50°，直线b∥a，则b与α所成的角等于（) A．40°B．50°C．90°D．150°B[根据两条平行直线和同一平面所成的角相等，知b与α所成的角也是50°。

]3．直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是( )A．l和平面α相互平行B．l和平面α相互垂直C．l在平面α内D．不能确定D［如下图所示，直线l和平面α相互平行,或直线l和平面α相互垂直或直线l在平面α内都有可能．故选D。

］4．如图所示，α∩β＝l，点A，C∈α,点B∈β,且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是( )A．异面B．平行C．垂直D．不确定C［∵BA⊥α，α∩β＝l，l⊂α,∴BA⊥l.同理BC⊥l.又BA∩BC＝B,∴l⊥平面ABC.∵AC⊂平面ABC，∴l⊥AC。

]5．三棱锥的三条侧棱两两相等，则顶点在底面的射影为底面三角形的( )A．内心B．重心C．外心D．垂心C［如图,设点P在平面ABC内的射影为O，连接OA,OB，OC.∵三棱锥的三条侧棱两两相等,∴PA＝PB＝PC。

∵PO⊥底面ABC，∴PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC，∴Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC，∴OA＝OB＝OC,故顶点P在底面的射影为底面三角形的外心．］二、填空题6．如图，直三棱柱ABC。

A1B1C1中，∠ABC＝90°，M为线段BB1上的一动点，则直线AM 与直线BC的位置关系为________．AM⊥BC［∵AA⊥平面ABC，∴BC⊥AA1，1∵∠ABC＝90°，∴BC⊥AB，又AB∩AA1＝A，∴BC⊥平面AA1B1B，又AM⊂平面AA1B1B，∴AM⊥BC.］7．如图,△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，PA⊥平面ABC，此图形中有________个直角三角形．4[∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥AC，PA⊥AB,PA⊥BC,∵AC⊥BC，且PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC. 综上知：△ABC，△PAC，△PAB，△PBC都是直角三角形，共有4个．] 8．如图所示，AB是⊙O的直径，PA⊥⊙O所在的平面，C是圆上一点,且∠ABC＝30°,PA ＝AB,则直线PC与平面ABC所成角的正切值为________．2[因为PA⊥平面ABC,所以AC为斜线PC在平面ABC上的射影,所以∠PCA即为PC与平面ABC所成的角．在△ABC中，AC＝错误!AB＝错误!PA，所以tan∠PCA＝错误!＝2.］三、解答题9．如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE。

2020年新人教A版高中数学必修2同步课时跟踪检测：(十三) 平面与平面垂直的判定

课时跟踪检测（十三）平面与平面垂直的判定一、题组对点训练对点练一二面角1．若一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是()A．相等B．互补C．相等或互补 D.不确定解析：选C若方向相同则相等，若方向相反则互补．2．从空间一点P向二面角α-l-β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角的平面角的大小是()A．60°B．120°C．60°或120°D．不确定解析：选C若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°.B1C1D1中，二面角A-BC-A1的平面角等于________．3．在正方体ABCD-A解析：根据正方体中的位置关系可知，AB⊥BC，A1B⊥BC，根据二面角平面角定义可知，∠ABA1即为二面角A-BC-A1的平面角．又AB＝AA1，且AB⊥AA1，所以∠ABA1＝45°.答案：45°对点练二平面与平面垂直的判定定理4．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有()A．0个B．1个C．无数个 D.1个或无数个解析：选D当两点连线与平面α垂直时，可作无数个垂面，否则，只有1个．5．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是()A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n⊂αC．m∥n，n⊥β，m⊂α D.m∥n，m⊥α，n⊥β解析：选C∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β，又m⊂α，由面面垂直的判定定理，∴α⊥β.6．空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有()A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面DBCD ．平面ADC ⊥平面DBC解析：选D ∵AD ⊥BC ，AD ⊥BD ，BC ∩BD ＝B ，∴AD ⊥平面BCD .又∵AD ⊂平面ADC ，∴平面ADC ⊥平面DBC .7．如果直线l ，m 与平面α，β，γ满足：l ＝β∩γ，l ∥α，m ⊂α和m ⊥γ，那么必有( ) A ．α⊥γ且l ⊥m B ．α⊥γ且m ∥β C ．m ∥β且l ⊥mD.α∥β且α⊥γ解析：选A B 错，有可能m 与β相交；C 错，有可能m 与β相交；D 错，有可能α与β相交．8.如图所示，在三棱锥A -BCD 中，AB ⊥平面BCD ，BD ⊥CD . (1)求证：平面ABD ⊥平面ACD ；(2)若AB ＝2BD ，求二面角A -DC -B 的正弦值．解：(1)证明：∵AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，∴AB ⊥CD ，又BD ⊥CD 且BD ∩AB ＝B . ∴CD ⊥平面ABD .又CD ⊂平面ACD . ∴平面ABD ⊥平面ACD .(2)由(1)知∠ADB 为二面角A -DC -B 的平面角．在Rt △ABD 中，AB ＝2BD ，∴AD ＝AB 2＋BD 2＝5BD ，∴sin ∠ADB ＝AB AD ＝255.即二面角A -DC -B 的正弦值为255.对点练三折叠问题9．在平面四边形ABCD (图①)中，△ABC 与△ABD 均为直角三角形且有公共斜边AB ，设AB ＝2，∠BAD ＝30°，∠BAC ＝45°，将△ABC 沿AB 折起，构成如图②所示的三棱锥C ′-ABD .(1)当C ′D ＝2时，求证：平面C ′AB ⊥平面DAB ； (2)当AC ′⊥BD 时，求三棱锥C ′-ABD 的高．解：(1)证明：当C ′D ＝2时，取AB 的中点O ，连结C ′O ，DO ，在Rt △AC ′B ，Rt △ADB 中，AB ＝2，则C ′O ＝DO ＝1，因为C ′D ＝2，所以C ′O 2＋DO 2＝C ′D 2，即C ′O ⊥OD ，又C ′O ⊥AB ，AB ∩OD ＝O ，AB ⊂平面ABD ，OD ⊂平面ABD ，所以C ′O ⊥平面ABD ，因为C ′O ⊂平面C ′AB ，所以平面C ′AB ⊥平面DAB . (2)当AC ′⊥BD 时，由已知AC ′⊥BC ′，因为BC ′∩BD ＝B ，所以AC ′⊥平面BDC ′，因为C ′D ⊂平面BDC ′，所以AC ′⊥C ′D ，△AC ′D 为直角三角形，由勾股定理得，C ′D ＝AD 2－AC ′2＝3－2＝1，而在△BDC ′中，BD ＝1，BC ′＝2，所以△BDC ′为直角三角形，S △BDC ′＝12×1×1＝12.三棱锥C ′-ABD 的体积V ＝13×S △BDC ′×AC ′＝13×12×2＝26.S △ABD ＝12×1×3＝32，设三棱锥C ′-ABD 的高为h ，则由13×h ×32＝26，解得h ＝63.故三棱锥C ′-ABD 的高为63. 二、综合过关训练1.如图，在立体图形D -ABC 中，若AB ＝CB ，AD ＝CD ，E是AC 的中点，则下列说法中正确的是 ( )A ．平面ABC ⊥平面ABDB ．平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ADC ⊥平面BDE C ．平面ABD ⊥平面BDCD ．平面ABC ⊥平面ADC ，且平面ADC ⊥平面BDE 解析：选B 由条件得AC ⊥DE ，AC ⊥BE ，又DE ∩BE＝E ，∴AC ⊥平面BDE ，又AC ⊂平面ADC ，AC ⊂平面ABC .∴平面ABC ⊥平面BDE ，平面ADC ⊥平面BDE ，故选B.2．如图所示，已知AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，则图中互相垂直的平面共有( )A ．1对B ．2对C ．3对D.4对解析：选C 因为AB ⊥平面BCD ，且AB ⊂平面ABC 和AB ⊂平面ABD ，所以平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABD ⊥平面BCD .因为AB ⊥平面BCD ，所以AB ⊥CD .又因为BC ⊥CD ，AB ∩BC ＝B ，所以CD ⊥平面ABC .因为CD ⊂平面ACD ，所以平面ABC ⊥平面ACD .故图中互相垂直的平面有平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABC ⊥平面ACD .3．如图，∠C ＝90°，AC ＝BC ，M ，N 分别是BC ，AB 的中点，沿直线MN 将△BMN 折起至△B ′MN 位置，使二面角B ′-MN -B 的大小为60°，则B ′A 与平面ABC 所成角的正切值为( )A.25 B.45 C.35D.35解析：选C 设BC ＝2.过B ′作B ′D ⊥BC ，垂足为D ，则B ′D ⊥平面ABC ，连接AD ，则∠B ′AD 是B ′A 与平面ABC 所成的角．由题意，知∠B ′MB ＝60°，MB ′＝MB ＝1，则MD ＝12，B ′D ＝32，AD ＝⎝⎛⎭⎫1＋122＋22＝52，∴tan ∠B ′AD ＝B ′D AD ＝3252＝35. 4.如图，已知六棱锥P -ABCDEF 的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，PA ＝2AB ，则下列结论正确的是______(填序号)．①PB ⊥AD ；②平面PAB ⊥平面PAE ； ③BC ∥平面PAE ；④直线PD 与平面ABC 所成的角为45°.解析：由于AD 与AB 不垂直，因此得不到PB ⊥AD ，①不正确；由PA ⊥AB ，AE ⊥AB ，PA∩AE＝A，得AB⊥平面PAE，因为AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAE，②正确；延长BC，EA，两者相交，因此BC与平面PAE相交，③不正确；由于PA⊥平面ABC，所以∠PDA就是直线PD与平面ABC所成的角，由PA＝2AB，AD＝2AB，得PA＝AD，所以∠PDA ＝45°，④正确．答案：②④5．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC沿斜线BC 上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则BC＝________.解析：因为AD⊥BC，所以AD⊥BD，AD⊥CD，所以∠BDC是二面角B-AD-C的平面角，因为平面ABD⊥平面ACD，所以∠BDC＝90°.在△BCD中∠BDC＝90°.因为AB＝AC＝1，所以BD＝DC＝22，则BC＝BD2＋CD2＝⎝⎛⎭⎫222＋⎝⎛⎭⎫222＝1.答案：16．如图，已知三棱锥P-ABC，∠ACB＝90°，D为AB的中点，且△PDB是正三角形，PA⊥PC.求证：(1)PA⊥平面PBC；(2)平面PAC⊥平面ABC.证明：(1)因为△PDB是正三角形，所以∠BPD＝60°，因为D是AB的中点，所以AD＝BD＝PD，又∠ADP＝120°，所以∠DPA＝30°，所以∠DPA＋∠BPD＝90°，所以PA⊥PB，又PA⊥PC，PB∩PC＝P，所以PA⊥平面PBC.(2)因为PA⊥平面PBC，所以PA⊥BC，因为∠ACB＝90°，所以AC⊥BC，又PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，因为BC⊂平面ABC，所以平面PAC⊥平面ABC.7．已知正方形ABCD的边长为2，AC∩BD＝O.将正方形ABCD沿对角线BD折起，使AC＝a，得到三棱锥A-BCD，如图．(1)当a＝2时，求证：AO⊥平面BCD.(2)当二面角A-BD-C的大小为120°时，求二面角A-BC-D的正切值．解：(1)证明：在△AOC中，AC＝a＝2，AO＝CO＝ 2.∴AC2＝AO2＋CO2，∴AO⊥CO.∵AO⊥BD，BD∩CO＝O，∴AO⊥平面BCD.(2)折叠后，BD⊥AO，BD⊥CO，∴∠AOC是二面角A-BD-C的平面角，即∠AOC＝120°.在△AOC中，AO＝CO＝2，∴AC＝ 6.如图，过点A作CO的垂线交线段CO的延长线于点H.∵BD⊥CO，BD⊥AO，CO∩AO＝O，∴BD⊥平面AOC.∵AH⊂平面AOC，∴BD⊥AH.又∵CO⊥AH，CO∩BD＝O，∴AH⊥平面BCD.∴AH⊥BC.过点A 作AK ⊥BC ，垂足为K ，连接HK . ∵AK ∩AH ＝A ，∴BC ⊥平面AHK .∵HK ⊂平面AHK ，∴BC ⊥HK . ∴∠AKH 为二面角A -BC -D 的平面角．在△AHO 中，AH ＝62，OH ＝22， ∴CH ＝CO ＋OH ＝2＋22＝322. 在Rt △CKH 中，HK ＝22CH ＝32. 在Rt △AHK 中，tan ∠AKH ＝AH HK ＝6232＝63.∴二面角A -BC -D 的正切值为63.。

高一数学人教A版必修2同步课时作业2.3.2平面与平面垂直的判定(有答案)

高一数学人教A 版必修2同步课时作业2.3.2平面与平面垂直的判定一、选择题1.如图,在直角梯形ABCD 中, 190,//,12A AD BC AD AB BC ∠=︒===，将ABD △沿BD 折起,使得平面ABD ⊥平面BCD .在四面体A BCD -中,下列说法正确的是( )A.平面ABD ⊥平面ABCB.平面ACD ⊥平面ABCC.平面ABC ⊥平面BCDD.平面ACD ⊥平面BCD2.如图所示，四边形ABCD 中，//AD BC ，,45AD AB BCD =∠=︒，90BAD ∠=︒.将ADB △沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A BCD -，则在三棱锥A BCD -中，下列结论正确的是（）A.平面ABD ⊥平面ABCB.平面ADC ⊥平面BDCC.平面ABC ⊥平面BDCD.平面ADC ⊥平面ABC3.在四棱锥P ABCD -中, PA ⊥平面ABCD ,四边形ABCD 为矩形,则四棱锥的五个面,,,PAB PAD PCD PBC 和ABCD 中,互相垂直的有( )A.3对B.4对C.5对D.6对 4.如图, AB 是O 的直径, VA 垂直O 所在的平面, C 是圆周上不同于A ,B 的任意一点, M ,N 分别为VA , VC 的中点,则下列结论正确的是 ( )A. //MN ABB. MN 与BC 所成的角为45C. OC ⊥平面VACD.平面VAC ⊥平面VBC5.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 为菱形，M 是PC 上的一个动点，若要使得平面 MBD ⊥平面PCD ,则应补充的一个条件可以是（）A.MD MB ⊥B.MD PC ⊥C.AB AD ⊥D.M 是棱PC 的中点6.如图所示，四边形中ABCD ，//AD BC ，，,45AD AB BCD =∠=︒.90BAD ∠=︒将沿BD ADB △折起，使平面平ABD ⊥面BCD ，构成三棱锥A BCD -，则在三棱锥中，A BCD -下列结论正确的是（）A.平面平ABD ⊥面ABCB.平面ADC ⊥平面BDCC.平面ABC ⊥平面BDCD.平面ADC ⊥平面ABC7.如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形ABCD 是正方形， ,E F 分别是,PA PD 的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE 与直线CF 是异面直线；②直线BE 与直线AF 异面③直线//EF 平面PBC ；④平面BCE ⊥平面PAD其中正确的有（）A. ①②B. ②③C. ①④D. ②④8.如图，2AC R =为圆O 的直径，45,PCA PA ∠=垂直于圆O 所在的平面，B 为圆周上不与点,A C 重合的点，AS PC ⊥于,S AN PB ⊥于N ，则下列不正确的是（）A. 平面ANS ⊥平面PBCB. 平面ANS ⊥平面PACC. 平面PAB ⊥平面PBCD. 平面ABC ⊥平面PAC 二、填空题9.αβ、是两个不同的平面，m n 、是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断： ①m n ⊥②αβ⊥③n β⊥④m α⊥以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：_________________________.10.已知()()()0,1,1,1,1,0,1,0,1===a b c 分别是平面,,αβγ的法向量,则,,αβγ三个平面中互相垂直的有_____对.11.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD .（只要填写一个你认为是正确的条件即可）三、解答题12.如图，已知在三棱锥A BCD -中，2,9060,,AB AC AD BD BCD DBC E F G ====∠=︒∠=︒,,分别是,,BD AD CE 的中点.(1)证明：平面ABD ⊥平面BCD .(2)求异面直线AC 与FG 所成角的余弦值.参考答案1.答案：B解析：∵在直角梯形ABCD 中，1//, 1,902AD BC AD AB BC A ===∠=︒，在BCD △中，2,45BD BC DBC =∠=︒，由余弦定理得90BDC ∠=︒，∴BD CD ⊥. 又平面ABD ⊥平面BCD ,且平面ABD ⋂平面BCD BD =，故 CD ⊥平面ABD ，则 CD AB ⊥.又,AD AB CD AD D ⊥⋂=，∴AB ⊥平面ADC .又AB ⊂平面ABC ,∴平面ABC ⊥平面ADC . 故选B.2.答案：D解析：∵在四边形ABCD 中，//AD BC ，AD AB =，45BCD ∠=︒，90BAD ∠=︒，∴BD CD ⊥. 又平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD 平面BCD BD =，故CD ⊥平面ABD ，则CD AB ⊥.又AD AB ⊥，AD CD D =， AD ⊂平面ADC ，CD ⊂平面ADC ，故AB ⊥平面ADC . 又AB ⊂平面ABC ，∴平面ADC ⊥平面ABC .3.答案：C解析：由题意,知PA ⊥平面ABCD ,BC ⊥平面PAB .AD ⊥平面PAB ,CD ⊥平面PAD ,故平面PAB ⊥平面ABCD ,平面PAD ⊥平面ABCD ,平面PAB ⊥平面PBC ,平面PAB ⊥平面PAD ,平面PAD ⊥平面PCD ,共5对,故选C.4.答案：D解析：依题意, //MN AC ,又直线AC 与AB 相交,因此, MN 与AB 不平行;注意到AC BC ⊥,因此MN 与BC 所成的角是90; 注意到直线OC 与AC 不垂直,因此OC 与平面VAC 不垂直;由于BC AC ⊥,BC VA ⊥,因此BC ⊥平面VAC .又BC ⊂平面VBC ,所以平面VBC ⊥平面VAC .综上所述,故选D.5.答案：B解析：因为四边形ABCD 是棱形，AC BD ⊥∴，又PA ⊥平面ABCD ，PA BD ⊥∴，又,PA AC A BD =⊥∩∴平面,PAC PC ⊂∵平面,PAC PC BD ⊥∴，要使平面MBD ⊥平面PCD ，只需BM PC ⊥或DM PC ⊥，故选B.6.答案：D解析：∵在四边形ABCD 中，//AD BC ，AD AB =，45BCD ∠=︒，90BAD ∠=︒，∴BD CD ⊥．又平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD 平面BCD BD =，故CD ⊥平面ABD ，则CD AB ⊥．又AD AB ⊥，AD CD D ＝， AD ⊂平面ADC ，CD ⊂平面ADC ，故AB ⊥平面ADC ．又AB ⊂平面ABC ，∴平面ADC ⊥平面ABC ．7.答案：B解析：如图所示，①中，连接EF ，则,E F 分别是,PA PD 的中点，所以,//EF AD AD BC =，所以//EF BC ，所以,,,E F B C 共面，所以直线BC 与直线CF 是共面直线，所以①是错误的；②因为E ∈平面,PAD AF ⊂平面,,PAD E AF B ∉∉平面PAD ，所以直线BE 与直线AF 是异面直线，所以是正确的；③由①知//EF BC ，因为EF ⊄平面,PBC BC ⊂平面PBC ，所以//EF 平面PBC ，所以是正确的；④由于不能推出线面垂直，所以平面BCE ⊥平面PAD 是不成立的，综上只有②③是正确的，故选B.8.答案：B解析：根据线面垂直的判定定理得到结果.9.答案：,,m n m n αβαβ⊥⊥⊥⇒⊥或,,m n m n αβαβ⊥⊥⊥⇒⊥.解析：10.答案：0解析：()()()()0,1,11,1,010,0,1,11,0,110⋅==≠⋅⋅⋅==≠a b a c ,()()1,1,01,0,110⋅⋅==≠b c ,,,∴a b c 中任意两个都不垂直,即,,αβγ中任意两个都不垂直.11.答案：DM PC ⊥ （或BM PC ⊥）解析：连接AC ，BD ，则AC BD ⊥，∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA BD ⊥.又PA AC A =，∴BD ⊥平面PAC ，∴BD PC ⊥.∴当DM PC ⊥ （或BM PC ⊥）时，即有PC ⊥平面MBD .而PC ⊂平面PCD ，∴平面MBD ⊥平面PCD .12.答案：(1)如图，连接AE ，因为AB AD =，点E 为BD 的中点，所以AE BD ⊥. 又因为90BCD ∠=︒,所以CE BE =.而AB AC =，所以ABE ACE ≅.所以AE CE ⊥.因为BD CE E ⋂=，且, BD CE ⊂平面BCD ,AE ⊄平面BCD ，所以AE ⊥平面BCD . 因为AE ⊂平面ABD ，所以平面ABD ⊥平面BCD .(2)如图，取CD 的中点H ，连接,FH GH ，因为F 是AD 的中点，所以FH AC ,所以GFH ∠就是异面直线AC 与FG 所成的角.过F 点在平面ABD 内作FM BD ⊥，垂足为M ，连接GM ，则M 为ED 的中点.由已知2AB AD BD ===可得AE =所以12FM AE ==.在BCD 中，90,602BCD DBC BD ∠=︒∠=︒=,，所以CD =.由F 是AD 的中点，M 为ED 的中点，而G 是CE 的中点，所以111222GM CD GH ED ====.在Rt FGM 中，FG ==由已知2AC =，所以112FH AC ==.所以在FGH 中，由余弦定理的推论得，222cos 2FG FH GH GFH FG FH +-∠==⋅。

2.3.2平面与平面垂直的判定(人教A版必修2第二章)2020-2021学年高二下学期数学课时作业

课时作业16 平面与平面垂直的判定1．已知a⊂α，b⊂β，c⊂β，a⊥b，a⊥c，则()A．α⊥βB．α∥βC．α与β相交D．以上都有可能2．已知二面角α-l-β的大小为60°，m，n为异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所成的角为()A．30°B．60°C．90°D．120°3．空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有()A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面DBCD．平面ADC⊥平面DBC4.如图所示，在三棱锥P-ABC中，P A⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B-P A-C的大小为()A．90°B．60°C．45°D．30°5．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的关系是()A．相等B．互补C．相等或互补D．不确定6.如图所示，在三棱锥D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论中正确的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE7．如图，在正四面体P-ABC(棱长均相等)中，E是BC的中点．则平面P AE与平面ABC 的位置关系是．8．如图所示，检查工件的相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边是否和这个面密合就可以了，其原理是9．如图所示，在△ABC 中，AD ⊥BC ，△ABD 的面积是△ACD 的面积的2倍．沿AD 将△ABC 翻折，使翻折后BC ⊥平面ACD ，此时二面角B -AD -C 的大小为.10．如图，四棱锥P -ABCD 的底面是边长为a 的正方形，PB ⊥平面ABCD .(1)求证：平面P AD ⊥平面P AB ；(2)若平面PDA 与平面ABCD 成60°的二面角，求该四棱锥的体积．11．如图所示，在矩形ABCD 中，已知AB ＝12AD ，E 是AD 的中点，沿BE 将△ABE 折起至△A ′BE 的位置，使A ′C ＝A ′D ，求证：平面A ′BE ⊥平面BCDE .12．若P 是等边三角形ABC 所在平面外一点，且P A ＝PB ＝PC ，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，则下列结论中不正确的是( )A ．BC ∥平面PDFB ．DF ⊥平面P AEC ．平面P AE ⊥平面ABCD ．平面PDF ⊥平面ABC13．在二面角α-l -β中，A ∈α，AB ⊥平面β于点B ，BC ⊥平面α于点C ，若AB ＝6，BC＝3，则二面角α-l-β的平面角的大小为()A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°14.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC 上一动点．当点M满足)时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)15．在图(1)等边三角形ABC中，AB＝2，E是线段AB上的点(除点A外)，过点E作EF⊥AC于点F，将△AEF沿EF折起到△PEF(点A与点P重合，如图(2))，使得∠PFC＝60°.(1)求证：EF⊥PC；(2)试问，当点E在线段AB上移动时，二面角P-EB-C的大小是否为定值？若是，求出这个二面角的平面角的正切值，若不是，请说明理由．课时作业16 平面与平面垂直的判定1．已知a⊂α，b⊂β，c⊂β，a⊥b，a⊥c，则(D)A．α⊥βB．α∥βC．α与β相交D．以上都有可能解析：因为b⊂β，c⊂β，a⊥b，a⊥c，若b，c相交，则a⊥β，从而α⊥β.又α∥β或α与β相交时，可以存在a⊥b，a⊥c，所以选D.2．已知二面角α-l-β的大小为60°，m，n为异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所成的角为(B)A．30°B．60°C．90°D．120°解析：m，n所成的角等于二面角α-l-β的平面角．3．空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有(D)A ．平面ABC ⊥平面ADCB ．平面ABC ⊥平面ADB C ．平面ABC ⊥平面DBCD ．平面ADC ⊥平面DBC解析：⎭⎪⎬⎪⎫AD ⊥BCAD ⊥BD BC ∩BD ＝B ⇒⎭⎪⎬⎪⎫AD ⊥平面DBC AD ⊂平面ADC ⇒平面ADC ⊥平面DBC .4.如图所示，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，则二面角B -P A -C 的大小为( A)A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析：∵P A ⊥平面ABC ，∴P A ⊥AB ，P A ⊥AC ，∴∠BAC 即为二面角B -P A -C 的平面角．又∠BAC ＝90°，所以二面角B -P A -C 的平面角为90°.5．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的关系是( D )A ．相等B ．互补C ．相等或互补D ．不确定解析：举例如下：开门的过程中，门所在平面及门轴所在墙面分别垂直于地面与另一墙面，但门所在平面与门轴所在墙面所成二面角的大小不定，而另一二面角却是90°，所以这两个二面角不一定相等或互补．6.如图所示，在三棱锥D -ABC 中，若AB ＝CB ，AD ＝CD ，E 是AC 的中点，则下列结论中正确的是( C)A ．平面ABC ⊥平面ABDB ．平面ABD ⊥平面BDCC ．平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ADC ⊥平面BDED ．平面ABC ⊥平面ADC ，且平面ADC ⊥平面BDE解析：因为AB ＝CB ，且E 是AC 的中点，所以BE ⊥AC .同理有DE ⊥AC ，BE ∩DE ＝E ，所以AC ⊥平面BDE .因为AC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BDE .又因为AC ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面BDE .故选C.7．如图，在正四面体P-ABC(棱长均相等)中，E是BC的中点．则平面P AE与平面ABC 的位置关系是垂直．解析：因为PB＝PC，E是BC的中点，所以PE⊥BC，同理AE⊥BC，又AE∩PE＝E，所以BC⊥平面P AE.又BC⊂平面ABC，所以平面P AE⊥平面ABC.8．如图所示，检查工件的相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边是否和这个面密合就可以了，其原理是面面垂直的判定定理．解析：如图，因为OA⊥OB，OA⊥OC，OB⊂β，OC⊂β，且OB∩OC＝O，根据线面垂直的判定定理，可得OA⊥β.又OA⊂α，根据面面垂直的判定定理，可得α⊥β.9．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面积是△ACD的面积的2倍．沿AD 将△ABC翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，此时二面角B-AD-C的大小为60°.解析：由已知得，BD＝2CD.翻折后，在Rt△BCD中，∠BDC＝60°，而AD⊥BD，CD ⊥AD，故∠BDC是二面角B-AD-C的平面角，其大小为60°.10．如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥平面ABCD.(1)求证：平面P AD ⊥平面P AB ；(2)若平面PDA 与平面ABCD 成60°的二面角，求该四棱锥的体积．解：(1)证明：∵PB ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，∴PB ⊥AD . ∵AD ⊥AB ，且AB ∩PB ＝B ，∴AD ⊥平面P AB .又∵AD ⊂平面P AD ， ∴平面P AD ⊥平面P AB .(2)由(1)的证明知，∠P AB 为平面PDA 与平面ABCD 所成的二面角的平面角，即∠P AB ＝60°，∴PB ＝3a .∴V P -ABCD ＝13·a 2·3a ＝3a 33. 11．如图所示，在矩形ABCD 中，已知AB ＝12AD ，E 是AD 的中点，沿BE 将△ABE 折起至△A ′BE 的位置，使A ′C ＝A ′D ，求证：平面A ′BE ⊥平面BCDE .证明：如图所示，取CD 的中点M ，BE 的中点N ，连接A ′M ，A ′N ，MN ，则MN ∥BC .∵AB ＝12AD ，E 是AD 的中点，∴AB ＝AE ，即A ′B ＝A ′E .∴A ′N ⊥BE .∵A ′C ＝A ′D ，∴A ′M ⊥CD . 在四边形BCDE 中，CD ⊥MN ，又MN ∩A ′M ＝M ，∴CD ⊥平面A ′MN .∴CD ⊥A ′N . ∵DE ∥BC 且DE ＝12BC ，∴BE 必与CD 相交．又A ′N ⊥BE ，A ′N ⊥CD ，∴A ′N ⊥平面BCDE . 又A ′N ⊂平面A ′BE ，∴平面A ′BE ⊥平面BCDE .12．若P是等边三角形ABC所在平面外一点，且P A＝PB＝PC，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下列结论中不正确的是(D)A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面P AEC．平面P AE⊥平面ABC D．平面PDF⊥平面ABC解析：∵P是等边三角形ABC所在平面外一点，且P A＝PB＝PC，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴DF∥BC，又∵DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，∴BC∥平面PDF，故A正确．∵P A＝PB＝PC，△ABC为等边三角形，E是BC中点，∴PE⊥BC，AE⊥BC.∵PE∩AE ＝E，∴BC⊥平面P AE.∵DF∥BC，∴DF⊥平面P AE，故B正确．∵BC⊥平面P AE，BC⊂平面ABC，∴平面P AE⊥平面ABC，故C正确．设AE∩DF＝O，连接PO.∵O不是等边三角形ABC的重心，∴PO与平面ABC不垂直，∴平面PDF与平面ABC不垂直，故D错误．13．在二面角α-l-β中，A∈α，AB⊥平面β于点B，BC⊥平面α于点C，若AB＝6，BC ＝3，则二面角α-l-β的平面角的大小为(D)A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°解析：∵AB⊥β，∴AB⊥l.∵BC⊥α，∴BC⊥l，∴l⊥平面ABC，设平面ABC∩l＝D，则∠ADB即为二面角α-l-β的平面角或其补角．∵AB＝6，BC＝3，∴∠BAC＝30°，∴∠ADB ＝60°，∴二面角大小为60°或120°.14.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC 上一动点．当点M满足DM⊥PC(或BM⊥PC等)时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)解析：连接AC，则BD⊥AC.由P A⊥底面ABCD，可知BD⊥P A，所以BD⊥平面P AC，所以BD⊥PC，所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD.而PC⊂平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.15．在图(1)等边三角形ABC中，AB＝2，E是线段AB上的点(除点A外)，过点E作EF⊥AC于点F，将△AEF沿EF折起到△PEF(点A与点P重合，如图(2))，使得∠PFC＝60°.(1)求证：EF ⊥PC ；(2)试问，当点E 在线段AB 上移动时，二面角P -EB -C 的大小是否为定值？若是，求出这个二面角的平面角的正切值，若不是，请说明理由．解：(1)证明：因为EF ⊥PF ，EF ⊥FC ，又由PF ∩FC ＝F ，所以EF ⊥平面PFC . 又因为PC ⊂平面PFC ，所以EF ⊥PC .(2)是定值．由(1)知，EF ⊥平面PFC ，所以平面BCFE ⊥平面PFC ，如图，作PH ⊥FC ，则PH ⊥平面BCFE ，作HG ⊥BE ，连接PG ，则BE ⊥PG ，所以∠PGH 是这个二面角的平面角，设AF ＝x ，则0<x ≤1，因为∠PFC ＝60°，所以FH ＝x 2，PH ＝32x ，易求GH ＝334x ，所以tan ∠PGH ＝PH GH ＝23，所以二面角P -EB -C 的大小是定值．。

高中数学必修二2.3.2平面与平面垂直的判定课时作业

① M⊥ n；② α ⊥β ；③ n⊥ β ；④ M⊥ α ．以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题： ________________ ．
三、解答题 10．如图所示，在空间四边形角线 AC的中点．求证：平面 BEF⊥平面 BGD．
ABCD中， AB＝ BC，CD＝ DA， E、F、G分别为 CD、 DA和对
选 B． ]
2． C
3． B [ ②错，当两平面不垂直时，在一个平面内可以找到无数条直线与两个平面的交
线垂直． ]
4． C [ 当两点连线与平面垂直时，有无数个平面与已知平面垂直，当两点连线与平面
不垂直时，有且只有一个平面与Fra bibliotek知平面垂直．]
5． B [
如图所示，由二面角的定义知∠ BOD 即为二面角的平面角． 3
3
＝ 2 ，则二面角 B－ AC－ D的余弦值为 (
)
1
1
22
3
A． 3 B ． 2
C
．3
D ．2
6．在正四面体 P－ ABC中， D、 E、F 分别是 AB、 BC、 CA的中点，下面四个结论中不成立的是 ( )
A． BC∥面 PDF
B
． DF⊥面 PAE
C．面 PDF⊥面 ABC D ．面 PAE⊥面 ABC
1．证明两个平面垂直的主要途径
(1) 利用面面垂直的定义，即如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平
面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．
(2) 面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平
面互相垂直．
2．利用面面垂直的判定定理证明面面垂直时的一般方法：先从现有的直线中寻找平面

2.3.1直线与平面垂直的判定(人教A版必修2)2020-2021学年高二下学期数学课时作业

课时作业15 直线与平面垂直的判定1．如果一条直线垂直于一个平面内的①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边，那么能保证该直线与平面垂直的是()A．①③B．②C．②④D．①②④2．已知平面α∥β，a是直线，则“a⊥α”是“a⊥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，侧面AA1D1D为正方形，E为棱CD上任意一点，则AD1与B1E的关系为()A．AD1⊥B1EB．AD1∥B1EC．AD1与B1E共面D．以上都不对4．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面()A．有且只有一个B．至多一个C．有一个或无数个D．不存在5．在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°6．如果PA，PB，PC两两垂直，那么点P在平面ABC内的投影一定是△ABC的(D) A．重心B．内心C．外心D．垂心7．▱ABCD的对角线交点为O，点P在▱ABCD所在平面外，且PA＝PC，PD＝PB，则PO与平面ABCD的位置关系是垂直．8．如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数有4.9．如图，∠ACB＝90°，平面ABC外有一点P，PC＝4 cm，点P到角的两边AC，BC 的距离都等于2 3 cm，则PC与平面ABC所成角的大小为.10.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1D.11．如图，在棱长均为1的直三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中点．(1)求证：AD⊥平面BCC1B1；(2)求直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值．12．已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则直线AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于()A.64 B.104C.22 D.3213.如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是()A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角14.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a>0)，PA⊥平面AC，且PA＝1，若BC边上存在点Q，使得PQ⊥QD，则a的取值范围是．15.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，且DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD＝CD＝1，DB＝2 2.(1)证明PA∥平面BDE；(2)证明AC⊥平面PBD；(3)求直线BC与平面PBD所成的角的正切值．课时作业15 直线与平面垂直的判定1．如果一条直线垂直于一个平面内的①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边，那么能保证该直线与平面垂直的是(A)A．①③B．②C．②④D．①②④解析：①③能保证这条直线垂直于该平面内的两条相交直线，②④中的两条直线有可能是平行的．2．已知平面α∥β，a是直线，则“a⊥α”是“a⊥β”的(C)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：根据题意，“a⊥α”，又由平面α∥β，则有“a⊥β”，则“a⊥α”是“a⊥β”的充分条件，反之，若“a⊥β”，又由平面α∥β，则有“a⊥α”，则“a⊥β”是“a⊥α”的必要条件，则“a⊥α”是“a⊥β”的充要条件．故选C.3．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，侧面AA1D1D为正方形，E为棱CD上任意一点，则AD1与B1E的关系为(A)A．AD1⊥B1EB．AD1∥B1EC．AD1与B1E共面D．以上都不对解析：连接A1D，则由正方形的性质，知AD1⊥A1D，又B1A1⊥平面AA1D1D，所以B1A1⊥AD1，所以AD1⊥平面A1B1ED，又B1E⊂平面A1B1ED，所以AD1⊥B1E，故选A.4．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面(B)A．有且只有一个B．至多一个C．有一个或无数个D．不存在解析：若异面直线m、n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．5．在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是(C)A．30°B．45°C．60°D．90°解析：如图，取BC的中点E，连接AE，ED，AD，则AE⊥平面BB1C1C，故∠ADE为直线AD与平面BB1C1C所成的角．设各棱长为a，则AE＝32a，DE＝12a.∴tan ∠ADE＝ 3.∴∠ADE ＝60°. 6．如果PA ，PB ，PC 两两垂直，那么点P 在平面ABC 内的投影一定是△ABC 的( D ) A ．重心 B ．内心 C ．外心 D ．垂心解析：如图，由PA ，PB ，PC 两两互相垂直，可得AP ⊥平面PBC ，BP ⊥平面PAC ，CP ⊥平面PAB ，所以BC ⊥OA ，AB ⊥OC ，AC ⊥OB ，所以点O 是△ABC 三条高的交点，即点O 是△ABC 的垂心，故选D.7．▱ABCD 的对角线交点为O ，点P 在▱ABCD 所在平面外，且PA ＝PC ，PD ＝PB ，则PO 与平面ABCD 的位置关系是垂直．解析：∵PA ＝PC ，O 是AC 的中点，∴PO ⊥AC .同理可得PO ⊥BD .∵AC ∩BD ＝O ，∴PO ⊥平面ABCD .8．如图所示，PA ⊥平面ABC ，△ABC 中BC ⊥AC ，则图中直角三角形的个数有4.解析：⎭⎪⎬⎪⎫PA ⊥平面ABC BC ⊂平面ABC ⇒⎭⎪⎬⎪⎫PA ⊥BCAC ⊥BC PA ∩AC ＝A ⇒BC ⊥平面PAC ⇒BC ⊥PC ，∴直角三角形有△PAB 、△PAC 、△ABC 、△PBC .9．如图，∠ACB ＝90°，平面ABC 外有一点P ，PC ＝4 cm ，点P 到角的两边AC ，BC 的距离都等于2 3 cm ，则PC 与平面ABC 所成角的大小为45°.解析：如图，过P 作PO ⊥平面ABC 于点O ，连接CO ，则CO 为∠ABC 的平分线，且∠PCO 为PC 与平面ABC 所成的角，设其为θ，连接OF ，易知△CFO 为直角三角形．又PC ＝4，PF ＝23，∴CF ＝2，∴CO ＝22，在Rt △PCO 中，cos θ＝CO PC ＝22，∴θ＝45°. 10.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，求证：A 1C ⊥平面BC 1D .证明：连接AC ，则AC ⊥BD ，又BD ⊥A 1A ，AC ∩AA 1＝A ，AC ，A 1A ⊂平面A 1AC ，∴BD ⊥平面A 1AC ，A 1C ⊂平面A 1AC ，∴BD ⊥A 1C .同理可证BC 1⊥A 1C .又BD ∩BC 1＝B ，BD ，BC 1⊂平面BC 1D ， ∴A 1C ⊥平面BC 1D .11．如图，在棱长均为1的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点．(1)求证：AD ⊥平面BCC 1B 1；(2)求直线AC 1与平面BCC 1B 1所成角的正弦值．解：(1)证明：直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，BB 1⊥平面ABC ，∴BB 1⊥AD ， ∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点， ∴AD ⊥BC .又BC ∩BB 1＝B ， ∴AD ⊥平面BCC 1B 1.(2)如图，连接C 1D .由(1)可知AD ⊥平面BCC 1B 1，则∠AC 1D 即为直线AC 1与平面BCC 1B 1所成角．在Rt △AC 1D 中，AD ＝32，AC 1＝2， sin ∠AC 1D ＝AD AC 1＝64，即直线AC 1与平面BCC 1B 1所成角的正弦值为64.12．已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，则直线AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦值等于( A )A.64B.104C.22D.32解析：如图所示，取A 1C 1的中点D ，连接AD ，B 1D ，则易证得B 1D ⊥平面ACC 1A 1，∴∠DAB 1即为直线AB 1与平面ACC 1A 1所成的角．不妨设正三棱柱的棱长为2，则在Rt △AB 1D 中，sin ∠DAB 1＝B 1D AB 1＝322＝64，故选A.13.如图，四棱锥S -ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是( D )A ．AC ⊥SB B ．AB ∥平面SCDC ．SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角解析：选项A正确，因为SD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥SD.又ABCD 为正方形，所以AC⊥BD.因为BD∩SD＝D，所以AC⊥平面SBD，所以AC⊥SB.选项B正确，因为AB∥CD，CD⊂平面SCD，AB⊄平面SCD，所以AB∥平面SCD.选项C正确，设AC与BD的交点为O，连接SO，则SA与平面SBD所成的角就是∠ASO，SC与平面SBD所成的角就是∠CSO，易知这两个角相等．选项D错误，AB与SC所成的角等于∠SCD，而DC与SA所成的角是∠SAB，这两个角不相等．14.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a>0)，PA⊥平面AC，且PA＝1，若BC边上存在点Q，使得PQ⊥QD，则a的取值范围是[2，＋∞)．解析：因为PA⊥平面AC，QD⊂平面AC，所以PA⊥QD.又因为PQ⊥QD，PA∩PQ＝P，所以QD⊥平面PAQ，所以AQ⊥QD.①当0<a<2时，由四边形ABCD是矩形且AB＝1知，以AD为直径的圆与BC无交点，即对BC上任一点Q，都有∠AQD<90°，此时BC边上不存在点Q，使PQ⊥QD；②当a＝2时，以AD为直径的圆与BC相切于BC的中点Q，此时∠AQD＝90°，所以BC边上存在一点Q，使PQ⊥QD；③当a>2时，以AD为直径的圆与BC相交于点Q1，Q2，此时∠AQ1D＝∠AQ2D＝90°，故BC边上存在两点Q(即Q1与Q2)，使PQ⊥QD.15.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，且DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD＝CD＝1，DB＝2 2.(1)证明PA∥平面BDE；(2)证明AC⊥平面PBD；(3)求直线BC与平面PBD所成的角的正切值．解：(1)证明：如图，连接AC与BD相交于点O，连接OE，因为AD＝CD，DB平分∠ADC ，所以OA ＝OC .又因为E 为PC 的中点，所以PA ∥OE .又PA ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以PA ∥平面BDE .(2)证明：因为AD ＝CD ，DB 平分∠ADC ，所以AC ⊥BD ，因为PD ⊥平面ABCD ，所以AC ⊥PD ，又因为BD ∩PD ＝D ，所以AC ⊥平面PBD .(3)由(2)知CO ⊥平面PBD ，所以直线BC 在平面PBD 内的射影为BO ，所以∠OBC 是直线BC 与平面PBD 所成的角．因为AD ＝CD ，AD ⊥CD ，DB 平分∠ADC ，所以∠ODC ＝∠OCD ＝45°. 所以OD ＝OC ＝22CD ＝22.因为DB ＝22，所以OB ＝DB －OD ＝322. 在Rt △OBC 中，tan ∠OBC ＝OC OB ＝13，所以直线BC 与平面PBD 所成的角的正切值为13.。

高中数学 2.3.2平面与平面垂直的判定课时作业新人教A版必修2

2.3.2 平面与平面垂直的判定【课时目标】 1．掌握二面角的概念，二面角的平面角的概念，会求简单的二面角的大小．2．掌握两个平面互相垂直的概念，并能利用判定定理判定两个平面垂直．1．二面角：从一条直线出发的________________所组成的图形叫做二面角．________________叫做二面角的棱．________________________叫做二面角的面． 2．二面角的平面角如图：在二面角α－l －β的棱l 上任取一点O ，以点O 为________，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的________叫做二面角的平面角．3．平面与平面的垂直(1)定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是________________，就说这两个平面互相垂直．(2)面面垂直的判定定理文字语言：一个平面过另一个平面的________，则这两个平面垂直．符号表示：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥β ⇒α⊥β．一、选择题 1．下列命题：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a 、b 分别和一个二面角的两个面垂直，则a 、b 组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角； ④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．其中正确的是( )A ．①③B ．②④C ．③④D ．①② 2．下列命题中正确的是( )A ．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥βB ．若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条平行线，则α⊥βC ．若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条相交直线，则α⊥βD ．若平面α内的一条直线垂直于平面β内无数条直线，则α⊥β 3．设有直线M 、n 和平面α、β，则下列结论中正确的是( ) ①若M ∥n ，n ⊥β，M ⊂α，则α⊥β； ②若M ⊥n ，α∩β＝M ，n ⊂α，则α⊥β； ③若M ⊥α，n ⊥β，M ⊥n ，则α⊥β．A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 4．过两点与一个已知平面垂直的平面( ) A ．有且只有一个 B ．有无数个 C ．有且只有一个或无数个 D ．可能不存在5．在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，把菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD ＝32，则二面角B －AC －D 的余弦值为( )A ．13B ．12C ．223D ．326．在正四面体P －ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，下面四个结论中不成立的是( )A ．BC ∥面PDFB ．DF ⊥面PAEC ．面PDF ⊥面ABCD ．面PAE ⊥面ABC二、填空题7．过正方形ABCD 的顶点A 作线段AP ⊥平面ABCD ，且AP ＝AB ，则平面ABP 与平面CDP 所成的二面角的度数是________．8．如图所示，已知PA ⊥矩形ABCD 所在的平面，图中互相垂直的平面有________对．9．已知α、β是两个不同的平面，M 、n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①M ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④M ⊥α．以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________________．三、解答题10．如图所示，在空间四边形ABCD 中，AB ＝BC ，CD ＝DA ，E 、F 、G 分别为CD 、DA 和对角线AC 的中点．求证：平面BEF ⊥平面BGD ．11．如图所示，四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝3．(1)证明：平面PBE ⊥平面PAB ； (2)求二面角A —BE —P 的大小．能力提升12．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C．求证：(1)EF∥平面ABC；(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C．13．如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC．(1)求证：BC⊥平面PAC．(2)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．1．证明两个平面垂直的主要途径(1)利用面面垂直的定义，即如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．(2)面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．2．利用面面垂直的判定定理证明面面垂直时的一般方法：先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中存在这样的直线，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论依据并有利于证明，不能随意添加．3．证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的的．2．3．2 平面与平面垂直的判定答案知识梳理1．两个半平面这条直线这两个半平面2．垂足∠AOB3．(1)直二面角(2)垂线a⊂α作业设计1．B [①不符合二面角定义，③从运动的角度演示可知，二面角的平面角不是最小角．故选B．]2．C3．B [②错，当两平面不垂直时，在一个平面内可以找到无数条直线与两个平面的交线垂直．]4．C [当两点连线与平面垂直时，有无数个平面与已知平面垂直，当两点连线与平面不垂直时，有且只有一个平面与已知平面垂直．]5．B [如图所示，由二面角的定义知∠BOD即为二面角的平面角．∵DO＝OB＝BD＝3 2，∴∠BOD＝60°．]6．C [如图所示，∵BC∥DF，∴BC∥平面PDF．∴A正确．由BC⊥PE，BC⊥AE，∴BC⊥平面PAE．∴DF⊥平面PAE．∴B正确．∴平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE)．∴D正确．]7．45°解析可将图形补成以AB、AP为棱的正方体，不难求出二面角的大小为45°．8．5解析由PA⊥面ABCD知面PAD⊥面ABCD，面PAB⊥面ABCD，又PA⊥AD，PA⊥AB且AD⊥AB，∴∠DAB为二面角D—PA—B的平面角，∴面DPA⊥面PAB．又BC⊥面PAB，∴面PBC⊥面PAB，同理DC⊥面PDA，∴面PDC⊥面PDA．9．①③④⇒②(或②③④⇒①)10．证明∵AB＝BC，CD＝AD，G是AC的中点，∴BG⊥AC，DG⊥AC，∴AC⊥平面BGD．又EF∥AC，∴EF⊥平面BGD．∵EF⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面BGD．11．(1)证明如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD．又AB∥CD，所以BE⊥AB．又因为PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以PA⊥BE．而PA∩AB＝A，因此BE⊥平面PAB．又BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB．(2)解由(1)知，BE⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，所以PB⊥BE．又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角．在Rt△PAB中，tan∠PBA＝PAAB＝3，则∠PBA＝60°．故二面角A—BE—P的大小是60°．12．证明(1)由E、F分别是A1B、A1C的中点知EF∥BC．因为EF⊄平面ABC．BC⊂平面ABC．所以EF∥平面ABC．(2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1．又A1D⊂平面A1B1C1，故CC1⊥A1D．又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D⊂平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C．13．(1)证明∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC．又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC．又∵AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC．(2)解∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC．又∵AE⊂平面PAC，PE⊂平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE．∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角．∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°．∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC．这时∠AEP＝90°，故存在点E，使得二面角A—DE—P为直二面角．。

人教A版数学必修二第二章专题教案之平面与平面垂直的判定Word版含答案

课题：§2.3.2 平面与平面垂直的判定总第个教案课型：新授课执行时间：年月日教学目标1.学问与技能（1）使同学正确理解和把握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面相互垂直”的概念；（2）使同学把握两个平面垂直的判定定理及其简洁的应用；（3）使同学理睬“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。

2.过程与方法（1）通过实例让同学直观感知“二面角”概念的形成过程；（2）类比已学学问，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。

3.情感、态度与价值观通过揭示概念的形成、进展和应用过程，使同学理睬教学存在于观实生活四周，从中激发同学乐观思维，培育同学的观看、分析、解决问题力量。

教学重点平面与平面垂直的判定定理教学难点如何度量二面角的大小教学方法借助实例，通过观看、思考、沟通、争辩等教学过程：批注活动一：创设情景、引入课题（5分钟）问题1：上一节课中，如何定义直线与平面垂直？我们学过那些方法来推断直线与平面垂直？问题2：如何定义直线与平面所成的角？它们的范围是多少？问题3：平面几何中“角”是怎样定义的？问题4：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？以上问题让同学自由发言，老师再作小结，并顺势抛出问题：在生产实践中，有很多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形，你能举出这个问题的一些例子吗？如修水坝、放射人造卫星等，而这样的角有何特点，该如何表示呢？下面我们共同来观看,研探。

这就是我们本节课所要学习的内容。

点题：今日学习空间中平面与平面的垂直的判定（板书课题）活动二：师生沟通、进入新知，（20分钟）1．二面角（1）半平面平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.（2）二面角从一条直线动身的两个半平面所组成的图形叫做二面角（dihedral angle）.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.（3）二面角的求法与画法棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角ABαβ--. 有时为了便利，也可在,αβ内(棱以外的半平面部分)分别取点P、Q，将这个二面角记作二面角P–AB –Q.假如棱记作l，那么这个二面角记作二面角lαβ--或P–l–Q.2．二面角的平面角如图（1）在二面角cαβ--的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.（2）二面角的平面角的大小与O点位置无关.（3）二面角的平面角的范围是[0，180°]（4）平面角为直角的二面角叫做直二面角.2、二面角的度量二面角定理地反映了两个平面相交的位置关系，如我们常说“把门开大一些”，是指二面角大一些，那我们应如何度量二两角的大小呢？师生活动：师生共同做一个小试验（预先预备好的二面角的模型）在其棱上位取一点为顶点，在两个半平面内各作一射线（如图 2.3-3），通过试验操作，研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角。

高中数学2.3.2平面与平面垂直的判定课时作业新人教A版必修2

第二章 2.3 2.3.2 平面与平面垂直的判定A级基础巩固一、选择题1．已知直线l⊥平面α，则经过l且和α垂直的平面( C )A．有1个B．有2个C．有无数个D．不存在[解析] 经过l的平面都与α垂直，而经过l的平面有无数个，故选C．2．已知α、β是平面，m、n是直线，给出下列表述：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n与α相交；④若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β.其中表述正确的个数是( B )A．1 B．2 C．3 D．4[解析] ①是平面与平面垂直的判定定理，所以①正确；②中，m，n不一定是相交直线，不符合两个平面平行的判定定理，所以②不正确；③中，还可能n∥α，所以③不正确；④中，由于n∥m，n⊄α，m⊂α，则n∥α，同理n∥β，所以④正确．3．如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且PA ＝AC，则二面角P－BC－A的大小为( C )A．60°B．30°C．45°D．15°[解析] 由条件得：PA⊥BC，AC⊥BC又PA∩AC＝C，∴BC⊥平面PAC，∴∠PCA为二面角P－BC－A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°，故选C．4．在棱长都相等的四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则下面四个结论中不成立的是( C )A．BC∥平面PDFC．平面PDF⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC[解析] 可画出对应图形，如图所示，则BC∥DF，又DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，∴BC∥平面PDF，故A成立；由AE⊥BC，PE⊥BC，BC∥DF，知DF⊥AE，DF⊥PE，∴DF⊥平面PAE，故B成立；又DF⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面PAE，故D成立．5．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为A1C1上的点，则下列直线中一定与CE 垂直的是( B )A．AC B．BD C．A1D1D．A1A[解析] 在正方体中，AA1⊥平面ABCD，∴AA1⊥BD.又正方形ABCD中，BD⊥AC，且AA1∩AC＝A，∴BD⊥平面AA1C1C.∵E∈A1C1，∴E∈平面AA1C1C，∴CE⊂平面AA1C1C，∴BD⊥CE.二、填空题6．在三棱锥P－ABC中，已知PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，如右图所示，则在三棱锥P－ABC的四个面中，互相垂直的面有__3__对.[解析] ∵PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，∵PA ⊂平面PAB ，PA ⊂平面PAC ，∴平面PAB ⊥平面PBC ，平面PAC ⊥平面PBC .同理可证：平面PAB ⊥平面PAC . 7．已知三棱锥D －ABC 的三个侧面与底面全等，且AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则二面角D －BC －A 的大小为__90°__.[解析] 如图，由题意知AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，BC ＝AD ＝2.取BC 的中点E ，连接DE 、AE ，则AE ⊥BC ，DE ⊥BC ，所以∠DEA 为所求二面角的平面角．易得AE ＝DE ＝2，又AD ＝2，所以∠DEA ＝90°. 三、解答题8.如图所示，△ABC 为正三角形，CE ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，且CE ＝AC ＝2BD ，M 是AE 的中点.(1)求证：DE ＝DA ；(2)求证：平面BDM ⊥平面ECA ； [解析] (1)取EC 的中点F ，连接DF . ∵CE ⊥平面ABC ，∴CE ⊥BC .易知DF ∥BC ，∴CE ⊥DF . ∵BD ∥CE ，∴BD ⊥平面ABC . 在Rt △EFD 和Rt △DBA 中， EF ＝12CE ＝DB ，DF ＝BC ＝AB ，∴Rt△EFD≌Rt△DBA.故DE＝DA.(2)取AC的中点N，连接MN、BN，则MN綊CF.∵BD綊CF，∴MN綊BD，∴N∈平面BDM.∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN.又∵AC⊥BN，EC∩AC＝C，∴BN⊥平面ECA.又∵BN⊂平面BDM，∴平面BDM⊥平面ECA.9．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝2a，(1)求证：PD⊥平面ABCD；(2)求证：平面PAC⊥平面PBD；(3)求二面角P－AC－D的正切值．[解析] (1)∵PD＝a，DC＝a，PC＝2a，∴PC2＝PD2＋DC2，∴PD⊥DC.同理可证PD⊥AD，又AD∩DC＝D，∴PD⊥平面ABCD.(2)由(1)知PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，而四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，又BD∩PD＝D，∴AC⊥平面PDB.同时，AC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBD. (3)设AC∩BD＝O，连接PO.由PA＝PC，知PO⊥AC.又由DO⊥AC，故∠POD为二面角P－AC－D的平面角．易知OD＝2 2 a.在Rt△PDO中，tan∠POD＝PDOD＝a22a＝ 2.B级素养提升一、选择题1．设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中，正确的是( B )A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直[解析] 由题意，m与α斜交，令其在α内的射影为m′，则在α内可作无数条与m′垂直的直线，它们都与m垂直，A错；如图示(1)，在α外，可作与α内直线l平行的直线，C错；如图(2)，m⊂β，α⊥β.可作β的平行平面γ，则m∥γ且γ⊥α，D错．2．把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则△ABC是( A )A．正三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形[解析] 设正方形边长为1，AC与BD相交于O，则折成直二面角后，AB＝BC＝1，AC＝CO2＋AO2＝222＋222＝1，则△ABC是正三角形．3．在二面角α－l－β中，A∈α，AB⊥平面β于B，BC⊥平面α于C，若AB＝6，BC＝3，则二面角α－l－β的平面角的大小为( D )A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°[解析] 如图，∵AB⊥β，∴AB⊥l，∵BC⊥α，∴BC⊥l，∴l⊥平面ABC，设平面ABC∩l＝D，则∠ADB为二面角α－l－β的平面角或补角，∵AB＝6，BC＝3，∴∠BAC＝30°，∴∠ADB＝60°，∴二面角大小为60°或120°.4．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有( A )A．AH⊥△EFH所在平面B．AG⊥△EFH所在平面C．HF⊥△AEF所在平面D．HG⊥△AEF所在平面[解析] 由平面图得：AH⊥HE，AH⊥HF，∴AH⊥平面HEF，∴选A．二、填空题5．在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝AC＝BC＝2，PC＝1，AB＝23，则二面角P－AB －C的大小为__60°__.[解析] 取AB中点M，连接PM，MC，则PM⊥AB，CM⊥AB，∴∠PMC就是二面角P－AB－C的平面角．在△PAB中，PM＝22－32＝1，同理MC＝1，则△PMC是等边三角形，∴∠PMC＝60°.6.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD.底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足__BM⊥PC(其他合理即可)__时，平面MBD⊥平面PCD.(注：只要填写一个你认为正确的即可)[解析] ∵四边形ABCD的边长相等，∴四边形为菱形．∵AC⊥BD，又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.若PC⊥平面BMD，则PC垂直于平面BMD中两条相交直线．∴当BM⊥PC时，PC⊥平面BDM.∴平面PCD⊥平面BDM.C级能力拔高1．(2015·湖南)如下图，直三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E、F 分别是BC、CC1的中点.(1)证明：平面AEF ⊥平面B 1BCC 1；(2)若直线A 1C 与平面A 1ABB 1所成的角为45°，求三棱锥F －AEC 的体积．[解析] (1)如图，因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以AE ⊥BB 1，又E 是正三角形ABC 的边BC 的中点，所以AE ⊥BC ，因此AE ⊥平面B 1BCC 1，而AE ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面B 1BCC 1.(2)设AB 的中点为D ，连接A 1D ，CD ，因为△ABC 是正三角形，所以CD ⊥AB ，又三棱柱ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CD ⊥AA 1，因此CD ⊥平面A 1AB 1B ，于是∠CA 1D 为直线A 1C 与平面A 1ABB 1所成的角，由题设知∠CA 1D ＝45°，所以A 1D ＝CD ＝32AB ＝3，在Rt △AA 1D 中，AA 1＝A 1D 2－AD 2＝3－1＝2，所以FC ＝12AA 1＝22，故三棱锥F －AEC 的体积V ＝13S AEC ×FC ＝13×32×22＝612.2．如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝ 3.(1)证明：平面PBE⊥平面PAB；(2)求二面角A－BE－P的大小．[解析] (1)证明：如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD，又AB∥CD，所以BE⊥AB，又因为PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以PA⊥BE.而PA∩AB＝A，因此BE⊥平面PAB.又BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.(2)由(1)知，BE⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，所以PB⊥BE.又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A－BE－P的平面角．在Rt△PAB中，tan∠PBA＝PAAB＝3，∠PBA＝60°. 故二面角A－BE－P的大小是60°.。

2021年高中数学 2.3.2 平面与平面垂直的判定课时练新人教A版必修2

实用文档G 1G 22021年高中数学 2.3.2 平面与平面垂直的判定课时练新人教A 版必修2一、选择题:1．对于直线、和平面、，的一个条件是（）.A ．，， B.C ． D. ，，2. 经过平面外一点与平面垂直的平面有（）A ．0个 B. 1个 C ．2个 D. 无数个3. 自二面角内任一点分别向两个平面引垂线，则两垂线所成的角月二面角的平面角的关系是（）A 相等B 互补C 互余D 无法确定4.如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在的平面.图中互相垂直的平面有（）A.2对B.3对C.4对D.5对5．如图，正方形中，Ｅ，Ｆ分别是的中点，Ｄ是ＥＦ的中点，现在沿ＳＥ，ＳＦ及ＥＦ把这个正方形折成一个四面体，使三点重合，重合后的点记为Ｇ，则在四面体中必有（） A.所在平面Ｂ.所在平面 C.所在平面 D.所在平面二、填空题:6．正四面体相邻两个面所称的二面角的余弦值为 7.空间四边形ABCD 中，AB =BC ，CD =DA ，E 是AC 的中点，则平面BDE 与平面ABC 的位置关系是三、解答题：8．如图，在正方体中，求证：平面平面．9. 如图, 在空间四边形ABCD 中，分别是的中点，求证：提示:只需证明平面即可。

易知EF 平行于AC ，A而易证AC垂直于平面.10．如图，在三棱锥中，，试判断平面ＶＢＡ与平面ＶＢＣ的位置关系，并说明理由。

11．如图，三棱锥中，，，试画出二面角的平面角，并求它的度数．25896 6528 攨 U20984 51F8 凸31254 7A16 稖30276 7644 癄20176 4ED0 仐40630 9EB6 麶%21346 5362 卢 24025 5DD9 巙21069 524D 前3 A实用文档。

2025版新教材高中数学课时作业33直线与平面垂直的判定新人教A版必修第二册

课时作业33 直线与平面垂直的判定基础强化1.已知直线a ⊥平面α，直线b ⊂平面α，则下列结论肯定成立的是( ) A ．a 与b 相交 B ．a 与b 异面 C ．a ⊥b D ．a 与b 无公共点2．下列说法中可以推断直线l ⊥平面α的是( ) A ．直线l 与平面α内的一条直线垂直 B ．直线l 与平面α内的两条直线垂直 C ．直线l 与平面α内的两条相交直线垂直 D ．直线l 与平面α内的多数条直线垂直3．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的6个面中，与AA 1垂直的平面有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个4．若一个正四棱锥的侧棱和底面边长相等，则该正四棱锥的侧棱和底面所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°5．(多选)下列命题中正确的有( )A ．过直线l 外一点，有且只有一个平面与l 垂直B ．假如三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另外两条直线确定的平面C ．垂直于角的两边的直线必垂直于该角所在的平面D ．过点A 且垂直于直线a 的全部直线都在过点A 且垂直于a 的平面内6．(多选)若下列平面中的两条直线与直线a 垂直，则可以保证直线a 与平面垂直的是( )A ．四边形的两边B ．正六边形的两边C ．圆的两条直径D ．三角形的两边7．过平面外一点P 的斜线段是过这点的垂线段的233，则斜线段与平面α所成的角是________.8．如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC 的关系是________.9.如图，在三棱锥V-ABC中，VA＝VC，BA＝BC，K是AC的中点．求证：AC⊥平面VKB.10．如图，在直三棱柱ABC -A1B1C1中，D为AC的中点，若AB＝BC＝BB1，∠ABC＝π2，求CC1与平面BC1D所成角的正弦值．实力提升11.如图，圆柱OO′中，AA′是侧面的母线，AB是底面的直径，C是底面圆上一点，则()A．BC⊥平面A′ACB．BC⊥平面A′ABC．AC⊥平面A′BCD．AC⊥平面A′AB12.如图，假如MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么MA与BD的位置关系是()A．平行B．不垂直C．垂直D．相交13．在四面体P-ABC中，若P A＝PB＝PC，则点P在平面ABC内的射影肯定是△ABC 的()A．外心B．内心C．垂心D．重心14．(多选)已知正方体ABCD -A1B1C1D1，则()A．直线BC1与DA1所成的角为90°B．直线BC1与CA1所成的角为90°C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45°[答题区]题号12345611121314 答案15.已知四棱锥P-ABCD中，侧棱P A⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，则该四棱锥的4个侧面中直角三角形的个数是________．16.如图，在四棱锥V-ABCD中，VA＝VD，BA＝BD.(1)证明：AD⊥VB.(2)在棱VC上是否存在一点P，使得VC⊥平面P AD？若存在，指出点P的位置；若不存在，说明理由．课时作业33直线与平面垂直的判定1．解析：因为直线a⊥平面α，直线b⊂平面α，依据线面垂直的定义，所以a⊥b，其他选项不肯定成立．故选C.答案：C2．解析：依据线面垂直的判定定理：直线垂直平面内两条相交直线，强调两条、相交，A、B不正确，C正确；依据线面垂直定义：直线垂直平面内的任一条直线，此时强调任一条，不是多数条，因为这多数条直线可能是平行的，D不正确．故选C.答案：C3.解析：在正方体中，侧棱都和底面垂直，故在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的6个面中，与AA 1垂直的平面有平面ABCD 和平面A 1B 1C 1D 1，共2个．故选B.答案：B4．解析：正四棱锥P -ABCD ，连接底面对角线AC ，令正四棱锥边长为1，则AC ＝2，易知△P AC 为等腰直角三角形．AC 中点为O ，由正四棱锥知，PO ⊥底面ABCD ，即∠P AC 为所求，所以侧棱和底面所成的角为45°.故选B.答案：B5．解析：过直线l 外一点，有且只有一个平面与l 垂直，故A 正确；假如三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另外两条直线确定的平面，故B 正确；垂直于角的两边(角两边不共线)的直线必垂直于该角所在的平面，故C 错误；过点A 且垂直于直线a 的全部直线都在过点A 且垂直于a 的平面内，故D 正确．故选ABD.答案：ABD6．解析：对于A ，四边形中的两条边可能平行，如平行四边形的对边，此时不能保证线面垂直；对于B ，若直线a 垂直正六边形的两条平行的边，此时不能保证线面垂直；对于C ，圆的两条直径交于圆心，故能保证线面垂直；对于D ，三角形的随意两边肯定相交，故能保证线面垂直．故选CD.答案：CD 7．解析：如图，连接AB ，由PB ⊥α，知∠P AB 是线段P A 与平面α所成角，在Rt △P AB 中，因为P A ＝233PB ，所以sin ∠P AB ＝PB P A ＝32，∠P AB ∈(0，π2)，所以∠P AB ＝π3，即线段P A 与平面α所成角为π3.答案：π38．解析：∵AB ⊥α，l ⊂α，∴AB ⊥l ，又BC ⊥β，l ⊂β，∴BC ⊥l ，又AB ∩BC ＝B ，且AB ，BC ⊂平面ABC ，∴直线l ⊥平面ABC ，又AC ⊂平面ABC ，故l ⊥AC .答案：l ⊥AC9．证明：∵VA ＝VC ，∴三角形VAC 是等腰三角形， ∵K 是AC 中点，∴VK ⊥AC ，又BA ＝BC ，∴BK ⊥AC . ∵VK 与BK 交于点K ， ∴AC ⊥平面VKB . 10．解析：如图，过点C 作CH ⊥C 1D 于点H ，连接AC 1. ∵三棱柱ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱， ∴CC 1⊥平面ABC .∵BD ⊂平面ABC ，∴CC 1⊥BD .∵AB ＝BC ，D 为AC 的中点，∴BD ⊥AC . 又CC 1∩AC ＝C ，∴BD ⊥平面ACC 1. ∵CH ⊂平面ACC 1，∴BD ⊥CH . 又CH ⊥C 1D ，C 1D ∩BD ＝D ， ∴CH ⊥平面BC 1D ，∴∠CC 1D 为CC 1与平面BC 1D 所成的角．设AB ＝2a ，则CD ＝2a ，C 1D ＝6a ，∴sin ∠CC1D＝CDC1D＝2a6a＝33.11．解析：对于A：依题意AA′⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AA′⊥BC，又AB是底面圆的直径，所以BC⊥AC，AA′∩AC＝A，AA′，AC⊂平面AA′C，所以BC⊥平面AA′C，故A正确；对于B：明显BC与AB不垂直，则BC不行能垂直平面A′AB，故B错误；对于C：明显AC与A′C不垂直，则AC不行能垂直平面A′BC，故C错误；对于D：明显AC与AB不垂直，则AC不行能垂直平面A′AB，故D错误．故选A.答案：A12．解析：连接AC，因为ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又MC⊥菱形ABCD所在的平面，BD⊂平面ABCD，所以MC⊥BD，又MC∩AC＝C，MC，AC⊂平面MAC，所以BD⊥平面MAC，MA⊂平面MAC，所以MA⊥BD.故选C.答案：C13．解析：如图，设点P在平面ABC内的射影为点O，连接OP，则PO⊥平面ABC，连接OA，OB，OC，∴PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC，∵P A＝PB＝PC，PO为公共边，∴Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC，∴OA＝OB＝OC，∴O为△ABC的外心．故选A.答案：A14．解析：如图，连接B 1C ，由A 1B 1∥DC ，A 1B 1＝DC ，得四边形DA 1B 1C 为平行四边形，可得DA 1∥B 1C ，∵BC 1⊥B 1C ，∴直线BC 1与DA 1所成的角为90°，故A 正确；∵A 1B 1⊥BC 1，BC 1⊥B 1C ，A 1B 1∩B 1C ＝B 1，∴BC 1⊥平面DA 1B 1C ，而CA 1⊂平面DA 1B 1C ，∴BC 1⊥CA 1，即直线BC 1与CA 1所成的角为90°，故B 正确；设A 1C 1∩B 1D 1＝O ，连接BO ，可得C 1O ⊥平面BB 1D 1D ，即∠C 1BO 为直线BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角，∵sin ∠C 1BO ＝OC 1BC 1＝12，∴直线BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角为30°，故C 错误；∵CC 1⊥底面ABCD ，∴∠C 1BC 为直线BC 1与平面ABCD 所成的角，为45°，故D 正确．故选ABD.答案：ABD 15．解析：由题意，在四棱锥P -ABCD 中，侧棱P A ⊥平面ABCD ，可得P A ⊥AD ，P A ⊥AB ，所以△P AD ，△P AB 为直角三角形；又由四边形ABCD 是矩形，所以AB ⊥BC ，结合P A ⊥BC ，P A ∩AB ＝A ，可得BC ⊥平面P AB ，又因为PB ⊂平面P AB ，所以BC ⊥PB ，所以△PBC 为直角三角形，同理，△PCD 也为直角三角形．所以该四棱锥的4个侧面中直角三角形的个数是4.答案：4 16．解析：(1)证明：取AD中点E，连接EV，EB.因为VA＝VD，所以AD⊥VE.因为BA＝BD，所以AD⊥EB.又VE∩EB＝E，所以AD⊥平面VEB.因为VB⊂平面VEB，所以AD⊥VB.(2)假设在棱VC上存在一点P，使得VC⊥平面P AD.因为AD⊂平面P AD，所以AD⊥VC. 又AD⊥VB，VB∩VC＝V，所以AD⊥平面VBC.因为BC⊂平面VBC，所以AD⊥BC. 在平面ABCD中，因为AD⊥EB，AD⊥BC，所以EB∥BC，与EB∩BC＝B冲突．所以在棱VC上不存在点P，使得VC⊥平面P AD.。

高一数学人教A版必修2同步课时作业2.3.1直线与平面垂直的判定(有答案)

高一数学人教A 版必修2同步课时作业2.3.1直线与平面垂直的判定一、选择题1.已知,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,则下列命题正确的是（）A.若//,m n m α⊥,则n α⊥B.若//,//m n αα ,则//m nC.若m α⊥,//m β,则//αβD.若//m α,αβ⊥,则m β⊥2.在正方形123SG G G 中，E F 、分别是12G G 及23G G 的中点，D 是EF 的中点，现在沿SE SF 、及EF 把这个正方形折成一个四面体，使1G 、2G 、3G 三点重合，重合后的点记为G ，那么，在四面体S EFG -中必有( )A. SG EFG ⊥△所在平面B. SD EFG ⊥△所在平面C. GF SEF ⊥△所在平面D. GD SEF ⊥△所在平面3.若三条直线,,OA OB OC 两两垂直,则直线OA 垂直于( )A.平面OABB.平面OACC.平面OBCD.平面ABC4.设,m n 为直线,,αβ为平面,则m α⊥的一个充分条件可以是( )A.αβ⊥,n αβ⋂=,m n ⊥B.//αβ,m β⊥C.αβ⊥,//m βD.n α⊂,m n ⊥5.已知,αβ是不重合的平面，,m n 是不重合的直线，则m α⊥的一个充分条件是( )A.,m n n α⊥⊂B.//,m βαβ⊥C.,,n n m αββ⊥⊥⊥D.,,n m n αβαβ=⊥⊥6.己知直线l ⊥平面α,直线//m 平面β,若αβ⊥,则下列结论正确的是( )A ．//l β或l β⊂B ．//l mC ．m α⊥D ．l m ⊥ 7.如图，AB 是O 的直径，C 是圆周上不同于,A B 的任意一点，PA ⊥平面ABC ，则四面体P ABC -的四个面中，直角三角形的个数有( )A.4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个8.已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则m α⊥的一个充分条件是( )A.,m n n α⊥⊂B.//,m n βα⊥C.,,n n m αββ⊥⊥⊥D. ,,a n a m n ββ⋂=⊥⊥ 二、填空题9.在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为正方形,PA ⊥底面ABCD ,且PA =,E 为棱BC 上的动点,若PE DE ＋的最小值为则PB =_________.10.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的侧棱垂直于底面，满足_________时，1BD AC ⊥.(写上一个条件即可)11.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PD ⊥面ABCD ，且1PD =，若在这个四棱锥内有一个球，则此球的最大表面积为__________．三、解答题12.已知ABC △中90ACB ∠=︒，SA ⊥面ABC ，AD SC ⊥，求证：AD ⊥面SBC .参考答案1.答案：A解析：对于A ，根据线面垂直的性质定理，即可知A 正确；对于B ，若//m α，//n α，则//m n 或者、相交或者异面，所以B 不正确；对于C ，若m α⊥，//m β，则αβ⊥，所以C 不正确；对于D ，若//m α，αβ⊥，则与β的关系不确定，所以D 不正确；综上，选A ．2.答案：A 解析：在折叠过程中，始终有11SG G E ⊥，33SG G F ⊥，即SG GE ⊥，SG GF ⊥，所以SG ⊥平面EFG ．故选A ．3.答案：C解析：∵,,OA OB OA OC OB OC O ⊥⊥⋂=，∴OA ⊥平面OBC .4.答案：B解析：选项A,缺少m B ⊂这一条件,故不一定推出m α⊥;选项B,显然能够推出m α⊥;选项C,若m 平行于平面α和平面β的交线,则//m α或m α⊂,故不一定推出m α⊥;选项D,若m α⊂,则直线m 不垂直于平面α.故选B.5.答案：C解析：对于答案A:,m n n α⊥⊂，得出m 与α是相交的或是垂直的，故A 错；答案B://,m βαβ⊥，得出m 与α是相交的、平行的都可以，故B 错；答案C:,n n αβ⊥⊥，得出//αβ，再m β⊥得出m α⊥，故C 正确；答案D:,,n m n αβαβ=⊥⊥，得出m 与α是相交的或是垂直的，故D 错故选C6.答案：A 对于A,直线l ⊥平面α,α⊥β,则l ∥β或l ⊂β，A 正确；对于B,直线l ⊥平面α,直线m ∥平面β,且α⊥β,则l ∥m 或l 与m 相交或l 与m 异面， ∴B 错误；对于C,直线l ⊥平面α,直线m ∥平面β,且α⊥β,则m ⊥α或m 与α相交或m ⊂α或m ∥α， ∴C 错误；对于D,直线l ⊥平面α,直线m ∥平面β,且α⊥β,则l ∥m 或l 与m 相交或l 与m 异面，∴D 错误故选：A.7.答案：A解析：∵AB 是圆O 的直径，∴AC BC ⊥，∴ABC △是直角三角形；又PA ⊥平面ABC ，∴PA AB ⊥，,PA AC PA BC ⊥⊥；∴PAC PAB 、△△是直角三角形；又AC PA A =，∴BC ⊥平面PAC ，∴BC PC ⊥，∴PBC △是直角三角形；∴四面体P ABC -的四个面中，直角三角形有4个。

2020版高中数学人教版必修2高一数学第二章直线、平面垂直的判定及其性质(课时作业) (2)

课时作业14　平面与平面垂直的判定基础巩固1．下列说法：①两个相交平面所组成的图形叫做二面角；②二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角；③二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关系．其中正确的个数是( )A．0 B.1 C．2 D.3解析：根据二面角定义知①②③都不正确．选A.答案：A2．如图1所示，在三棱锥DABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论中正确的是( )图1A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE解析：∵AB＝CB，AD＝CD，E为AC中点．∴AC⊥DE，AC⊥BE，又BE∩DE＝E，∴AC⊥平面EDB.又AC ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ADC ，∴平面ABC ⊥平面BDE ，平面ADC ⊥平面BDE . 答案：C3．已知直线a ，b 与平面α，β，γ，下列能使α⊥β成立的条件是( )A ．α⊥γ，β⊥γB ．α∩β＝a ，b ⊥a ，b ⊂βC ．a ∥β，a ∥αD ．a ∥α，a ⊥β解析：由a ∥α，知α内必有直线l 与a 平行，而a ⊥β，∴l ⊥β，∴α⊥β.选D.答案：D4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，截面A 1BD 与底面ABCD 所成二面角A 1－BD －A 的正切值为( )A.B.C. D.322223解析：如图2所示，连接AC 交BD 于点O ，连接A 1O ，O 为BD 中点，图2∵A 1D ＝A 1B ，∴在△A 1BD 中，A 1O ⊥BD . 又∵在正方形ABCD 中，AC ⊥BD ， ∴∠A 1OA 为二面角A 1－BD －A 的平面角．设AA 1＝1，则AO ＝.22∴tan ∠A 1OA ＝＝.1222答案：C5．在正四面体P －ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，则下列四个结论中错误的是 ( )A ．BC ∥平面PDFB ．DF ⊥平面PAEC ．平面PDF ⊥平面ABCD ．平面PAE ⊥平面ABC解析：由DF ∥BC ，可得BC ∥平面PDF ，故A 结论正确；作PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，则点O 在AE 上，则DF ⊥PO ，又DF ⊥AE ，故DF ⊥平面PAE ，故B 结论正确；由DF ⊥平面PAE ，可得平面PAE ⊥平面ABC ，故D 结论正确．易知C 结论错误．答案：C6．已知α，β是两个不同的平面，m ，n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________．(用序号表示)解析：当m ⊥α，m ⊥n 时，有n ∥α或n ⊂α.∴当n ⊥β时，α⊥β，即①③④⇒②.或当α⊥β，m ⊥α时，有m ∥β或m ⊂β.∴当n ⊥β时m ⊥n ，即②③④⇒①.答案：①③④⇒②(或②③④⇒①)能力提升1．在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M、N、P分别是所在棱的中点，则下列图形中能推出面MNP⊥面BB1D1D的有( )图3A．1个B．2个C．3个D．4个解析：把过M、N、P的截面补充完整，结合面面垂直判定定理即可判断①②③正确．答案：C2．(2019年吉林一中)在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC是( )A．直角三角形 B.等腰三角形C．等边三角形 D.等腰直角三角形解析：过点A作AH⊥BD于点H，由平面ABD⊥平面BCD，得AH⊥平面BCD，则AH⊥BC.又DA⊥平面ABC，所以BC⊥AD，所以BC⊥平面ABD，所以BC⊥AB，即△ABC为直角三角形．故选A.答案：A3．已知αlβ是直二面角，A∈α，B∈β，A，B∉l，设直线AB 与α、β所成的角分别为θ1，θ2，则( )A．θ1＋θ2＝90° B.θ1＋θ2≥90°C．θ1＋θ2≤90° D.θ1＋θ2<90°解析：如图4，作AC⊥l于点C，BD⊥l于点D，则∠BAD＝θ1，∠ABC＝θ2，由最小角原理知，θ2＝∠ABC≤∠ABD，而∠ABD ＋∠BAD＝90°，∴θ1＋θ2≤90°.图4答案：C4．如图5，在三棱锥PABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下面结论中错误的是( )图5A．平面EFG∥平面PBCB．平面EFG⊥平面ABCC．∠BPC是直线EF与直线PC所成的角D．∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角解析：平面PAB与平面ABC交于AB，由于GE，EF未必与棱AB垂直，故不一定是二面角的平面角．答案：D5．如图6，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于A，B两点)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点，有以下四个结论：①PA∥平面MOB；②MO∥平面PAC；③OC⊥平面PAB；④平面PAC⊥平面PBC.其中正确的结论是________．(填序号)图6解析：由题意可知PA在平面MOB内，所以①不正确；因为M 为线段PB的中点，OA＝OB，所以OM∥PA，又OM不在平面PAC 内，所以MO∥平面PAC，所以②正确；当OC与AB不垂直时，推不出OC⊥平面PAB，所以③不正确；因为AB是直径，所以BC⊥AC，又PA垂直于圆O所在的平面，所以PA⊥BC，所以BC⊥平面PAC，而BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC，所以④正确．综上所述，正确的结论是②④.答案：②④6．三棱锥PABC的两个侧面△PAB与△PBC都是边长为a的正三角形且AC＝a.则平面ABC与平面PAC的位置关系是2________．图7解析：如图7，取AC 的中点O ，连接PO 、OB ，由题意知PO ⊥AC ，PO ＝a ，PB ＝a ，OB ＝a ，2222∴PB 2＝PO 2＋OB 2，∴PO ⊥OB ， ∴PO ⊥平面ABC ，又∵PO ⊂平面PAC ， ∴平面ABC ⊥平面PAC . 答案：垂直7．如图8所示，四棱锥P ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝.3图8(1)求证：平面PBE ⊥平面PAB ； (2)求二面角A －BE －P 的大小．解：(1)证明：如图8所示，连接BD ，由ABCD 是菱形且∠BCD ＝60°知，△BCD 是等边三角形．因为E 是CD 的中点，所以BE ⊥CD .又AB ∥CD ，所以BE ⊥AB .又因为PA ⊥平面ABCD ，BE ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥BE .而PA ∩AB ＝A ，因此BE ⊥平面PAB . 又BE ⊂平面PBE ，所以平面PBE ⊥平面PAB .(2)解：由(1)知，BE ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，所以PB ⊥BE . 又AB ⊥BE ，所以∠PBA 是二面角A BE P 的平面角．在Rt △PAB 中，tan ∠PBA ＝＝，∠PBA ＝60°，PAAB3故二面角A BE P 的大小是60°.8．如图9，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是A 1B 1，BC ，C 1D 1和B 1C 1的中点．图9(1)求证：平面MNF ⊥平面ENF ；(2)求二面角M －EF －N 的平面角的正切值．解：(1)证明：连接MN ，∵N ，F 均为所在棱的中点，图10∴NF ⊥平面A 1B 1C 1D 1. 而MN ⊂平面A 1B 1C 1D 1，∴NF ⊥MN .又∵M ，E 均为所在棱的中点， ∴△C 1MN 和△B 1NE 均为等腰直角三角形． ∴∠MNC 1＝∠B 1NE ＝45°， ∴∠MNE ＝90°，∴MN ⊥NE . 又NE ∩NF ＝N ，∴MN ⊥平面NEF .而MN ⊂平面MNF ，∴平面MNF ⊥平面NEF .(2)解：在平面NEF 中，过点N 作NG ⊥EF 于点G ，连接MG . 由(1)得MN ⊥平面NEF ，又EF ⊂平面NEF ，∴MN ⊥EF . 又MN ∩NG ＝N ，∴EF ⊥平面MNG ，又MG ⊂平面MNG ，∴EF ⊥MG .∴∠MGN 为二面角M －EF －N 的平面角．设该正方体的棱长为2.在Rt △NEF 中，NG ＝＝，NE ·NF EF 233∴在Rt △MNG 中，tan ∠MGN ＝＝＝.MNNG 223362∴二面角M －EF －N 的平面角的正切值为.62。

高中数学必修二(人教A版)课时作业16平面与平面垂直的判定 Word版含解析

课时作业平面与平面垂直的判定
——基础巩固类——
．关于直线、、及平面α、β，下列命题中正确的是( )
．若∥α，∥α，则∥
．若∥α，⊥，则⊥α
．若α，α，且⊥，⊥，则⊥α
．若⊥α，∥β，则α⊥β
解析：选项中，若∥α，∥α，则有∥或与相交或与异面．选项中，可能在α内，可能与α平行，可能与α相交．选项中需增加与相交，则⊥α.故选.
答案：
．已知二面角α－－β的大小为°，，为异面直线，且⊥α，⊥β，则，所成的角为( )
．°．°．°．°
解析：，所成的角等于二面角α－－β的平面角．
答案：
．如图，垂直于矩形所在的平面，则图中与平面垂直的平面是(
)
．平面
．平面
．平面
．平面
解析：由⊥平面得⊥，由四边形为矩形得⊥，从而有⊥平面，所以平面⊥平面.故选.
答案：
．如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，是圆上一点(不同于、)且＝，则二面角－－的大小为( )
．°．°
．°．°
解析：易得⊥平面，所以∠是二面角－－的平面角，在△中，＝，所以∠＝°.故选.
答案：。

2018-2019学年度高中数学(人教A版)必修二课时作业：2.3.1 直线与平面垂直的判定Word版含解析

2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1 直线与平面垂直的判定【选题明细表】基础巩固1.设l,m是两条不同的直线, α是一个平面,则下列命题正确的是( A )(A)若l⊥α,l∥m,则m⊥α(B)若l∥α,m⊂α,则l∥m(C)若l⊥m,m⊂α,则l⊥α(D)若l∥α,m∥α,则l∥m解析:易知A正确.B.l与m可能异面,也可能平行.C.当l与α内两条相交直线垂直时,才能判定l⊥α,D.l与m可能平行、异面或相交.2.空间四边形ABCD的四边相等,则它的两对角线AC,BD的关系是( C )(A)垂直且相交(B)相交但不一定垂直(C)垂直但不相交(D)不垂直也不相交解析:取BD的中点O,连接AO,CO,则BD⊥AO,BD⊥CO,所以BD⊥平面AOC,BD⊥AC,又BD,AC异面,故选C.3.(2018·云南玉溪中学高一测试)直线l与平面α内的无数条直线都垂直,则直线l和平面α的位置关系是( D )(A)垂直 (B)平行(C)l在α内(D)无法确定解析:当l与平面α内的无数条直线都垂直,若这无数条直线互相平行,则l可能在α内,也可能与平面α平行,相交,故选D.4.(2018·陕西西安高一期末)已知P为△ABC所在平面外一点,PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,PH⊥平面 ABC,垂足H,则H为△ABC的( B ) (A)重心(B)垂心(C)外心(D)内心解析:连接AH并延长,交BC于D,连接BH并延长,交AC于E;因为PA ⊥PB,PA⊥PC,故PA⊥平面PBC,故PA⊥BC;因为PH⊥平面ABC,故PH ⊥BC,故BC⊥平面PAH,故AH⊥BC;同理BH⊥AC;故H是△ABC的垂心.5.下列说法中错误的是( D )①如果一条直线和平面内的一条直线垂直,该直线与这个平面必相交;②如果一条直线和平面的一条平行线垂直,该直线必在这个平面内;③如果一条直线和平面的一条垂线垂直,该直线必定在这个平面内;④如果一条直线和一个平面垂直,该直线垂直于平面内的任何直线.(A)①②(B)②③④(C)①②④(D)①②③解析:由线面垂直的判定定理可得①②③错误,④正确.故选D.6.(2018·南昌调研)若α,β是两个相交平面,则在下列命题中,真命题的序号为.(写出所有真命题的序号)①若直线m⊥α,则在平面β内,一定不存在与直线m平行的直线;②若直线m⊥α,则在平面β内,一定存在无数条直线与直线m垂直;③若直线m⊂α,则在平面β内,不一定存在与直线m垂直的直线;④若直线m⊂α,则在平面β内,一定存在与直线m垂直的直线.解析:对于①,若直线m⊥α,如果α,β互相垂直,则在平面β内,存在与直线m平行的直线,故①错误;对于②,若直线m⊥α,则直线m垂直于平面α内的所有直线,则在平面β内,一定存在无数条直线与直线m 垂直,故②正确;对于③④,若直线m⊂α,则在平面β内,一定存在与直线m垂直的直线,故③错误,④正确.答案:②④7.如图所示,∠ACB=90°,平面ABC外有一点P,PC=4 cm,PF,PE垂直于BC,AC于点F,E,且PF=PE=2 cm,那么PC与平面ABC所成角的大小为.解析:过P作PO垂直于平面ABC于O,连接CO,则CO为∠ACB的平分线.连接OF,可证明△CFO为直角三角形,CO=2,Rt△PCO中,cos∠PCO=,∠PCO=45°.答案:45°8.如图,已知△ABC中,∠ACB=90°,SA⊥平面ABC,AD⊥SC于D,求证:AD⊥平面SBC.证明:因为∠ACB=90°,所以BC⊥AC.又SA⊥平面ABC,所以SA⊥BC.又AC∩SA=A,所以BC⊥平面SAC.因为AD⊂平面SAC,所以BC⊥AD.又SC⊥AD,SC∩BC=C,所以AD⊥平面SBC.能力提升9.(2018·宁夏银川高一期末)在正三棱柱ABC-A1B1C1中(底面是等边三角形,侧棱与底面垂直的三棱柱),已知AB=1,D在棱BB1上,且BD=1,则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为( A )(A) (B) (C) (D)解析:如图,分别取C1A1,CA的中点E,F,连接B1E与BF,则B1E⊥平面CAA1C1,过D作DH∥B1E,则DH⊥平面CAA1C1,连接AH,则∠DAH为AD与平面AA1C1所成的角,由已知易得DH=B1E=,DA=,所以sin∠DAH==.10.如图,四棱锥S-ABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,给出下列结论:①AC⊥SB;②AB∥平面SCD;③SA与平面ABD所成的角等于SC与平面ABD所成的角;④AC⊥SO.正确结论的序号是.解析:连接SO,如图所示,因为四棱锥S-ABCD的底面为正方形,所以AC⊥BD.因为SD⊥底面ABCD,所以SD⊥AC,因为SD∩BD=D,所以AC⊥平面SBD,因为SB⊂平面SBD,所以AC⊥SB,则①正确;因为AB∥CD,AB⊄平面SCD,CD⊂平面SCD,所以AB∥平面SCD,则②正确;因为SD⊥底面ABCD,所以∠SAD和∠SCD分别是SA与平面ABD所成的角、SC与平面ABD 所成的角,因为AD=CD,SD=SD,所以∠SAD=∠SCD,则③正确;因为AC⊥平面SBD,SO⊂平面SBD,所以AC⊥SO,则④正确.答案:①②③④教师备用:侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-A′B′C′满足∠BAC=90°, AB=AC=AA′=2,点M,N分别为A′B,B′C′的中点.(1) 求证:MN∥平面A′ACC′;(2) 求证:A′N⊥平面BCN;(3) 求三棱锥C-MNB的体积.(1)证明:如图,连接AB′,AC′,。

高中人教A版数学必修二教师用书第2章 2.3.2 平面与平面垂直的判定 Word版含答案

平面与平面垂直的判定．理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角平面角的大小．(难点、易错点)．了解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，初步学会用定理证明垂直关系．(重点)．熟悉线线垂直、线面垂直的转化．(重点)教材整理二面角阅读教材“练习”以下至“观察”以上的内容，完成下列问题．．定义所组成的图形叫做二面角两个半平面从一条直线出发的(如图叫做二面角的直线．)棱，α半平面和β叫做二面角的面．，在αβα，记法：ββ内，分别取点，时，可记作α；当棱记为时，可记作或.图．二面角的平面角α()β定义：在二面角的棱上任取一点，如图和α所示，以点为垂足，在半平面内β分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的∠叫做二面角的平面角．直二面角：平面角()直角的二面角．是图如图，三棱锥中，⊥平面，∠＝°，则二面角的大小等于．图【解析】∵⊥平面，∴⊥，⊥，故∠为二面角的平面角，又∠＝°.∴二面角的大小为°.【答案】°教材整理平面与平面垂直的判定阅读教材“观察”以下至“例”以上的内容，完成下列问题．．平面与平面垂直()定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．()画法：图α⊥记作：β.．判定定理对于直线，和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是( )．⊥，∥α，∥β．⊥，α∩β＝，⊂α．∥，⊥α，⊥β．∥，⊥β，⊂α【解析】因为∥，⊥β，则⊥β，。