圆内接闭折线垂心的一个性质的推广

表明顶点1A 是顶点子集{2A 3,,A …,n A }的垂心.
由(2)也可推得(1),故此命题得证.
由文[2]知“圆内接闭折线的外心与垂心关于其欧拉圆心对称”,结合定理1可得.
推论1设闭折线()A n 的外心为O ,顶点1A 是()A n 的欧拉圆心,则外心O 关于顶点1A 的对称点H 正是闭折线()A n 的垂心;线段1A O 的中点M 正是闭折线232n A A A A L (n ≥4)的欧拉圆心.
定理2设闭折线()A n 的外心为O ,顶点1
A 是()A n 的欧拉圆心,其余1n −个顶点组成两个
顶点子集{2A 3,,A …,k A }和{1,k A +2,k A +…,n A } (2≤k ≤1)n −,并设这两个顶点子集的垂心分别为1H 和2H ,则线段12H H 与1A O 互相平分. 证明 设顶点i A 的坐标为(,i i x y )(i =1, 2,…,n ), 由定义知1H 和2H 的坐标分别为(2
2
,k
k
i i i i x y ==∑∑)和(
1
1,n n
i i
i k i k x y
=+=+∑∑).设线段12
H H 的中点M 的坐标为(,M M x y ),由中点坐标公式得1
(
2
M x =2k
i i x =∑1
)n
i i k x =++∑212n
i i x ==∑,由题设及定理1知12
n i i x x ==∑,因此1/2M x x =,同理可
得1/2M y y = .
注意到O 为坐标原点(0,0),故M 也是1A O 的中点,即线段12H H 与1A O 互相平分.命题得证.
注 很明显,定理2中的两个顶点子集可以是其余1n −个顶点的任意分组.
在定理2中令7n =即得:
推论 2 设七边形ABCDEFG 内接于圆O ,其欧拉圆心与顶点A 重合,1H 、2H 分别为△BCD 、△EFG 的垂心,则线段12H H 与AO 互相平分.
定理3设闭折线()A n 的外接圆半径为R ,若顶点1A 是()A n 的欧拉圆心,则有
2
212
2(2)n
i
i A A
n R ==−∑. (3)
证明 设顶点i A 的坐标为(,i i x y )(i =1, 2,…,n ),由两点间距离公式得:
2
12n
i
i A A
==
∑221
12[()()]n
i i i x
x y y =−+−∑
2
2
112
()n
i x y ==++∑222
()n
i
i i x
y =+∑
12
2n
i i x x =−∑12
2n
i i y y =−∑. (4)
∵ 顶点i A (,i i x y )在⊙(,)O R 上, ∴ 222i i x y R +=(i =1,2,…,n ). (5) 又由题设及定理1知
12
n
i i x x ==∑,12
n
i i y y ==∑. (6)
把(5)、(6)代入(4)经整理得:
2
212
2(2)n
i
i A A
n R ==−∑.
命题得证.
在定理3中令3n =即得
推论3设△ABC 的外接圆半径为R ,若顶点A 是它的欧拉圆心,则有
2222AB AC R +=.
参考文献
[1] 熊曾润.圆内接闭折线的欧拉圆及其性质.中学
教研(数学),1999.11.
[2] 熊曾润.圆内接闭折线的欧拉圆的若干性质.中
学教研(数学),2001.11.
圆内接闭折线垂心的 一个性质的推广
江西宁都中学 段惠民
从闭折线123n A A A A L 的n 个顶点中任意除去(1)k k n ≤<个顶点,那么其余()n k −个顶点所组成的集合,称为这条闭折线的k 级顶点子集,记为()j k V .文[1]研究了(3)j V 的一个性质.本文将其推广到k 级顶点子集,并作出更深入的分析.
定理1设闭折线123n A A A A L 内接于⊙
・15・
(,O )R ,其垂心[2]为H ,其k 级顶点子集()j k V 的垂心为()j k H ,除去的k 个顶点为12,,j j A A 12,(1)k j k A j j j n ≤<<<≤L L 则 22()1m l j k j j m l k
H H A A ≤<≤+
∑
22
K R =(,)m l N ∈. (1)
证明 在已知闭折线所在平面内以外心
O 为原点建立直角坐标系(图略),设顶点i A 的坐标为(,)(1,2,,)i i x y i n =L ,垂心H 和()j k H 的坐标分别为(,)H H x y 和(,)x y ,由文[2]
1
n
H i i x x ==∑,1
n
H i i y y ==∑;
1
1
n k i jt i i x x x ===−∑∑,1
1
n k
i jt i i y y y ===−∑∑.
222()()()j k H H H H x x y y =−+−
2
2
1
1
()()k
k
jt jt t t x y ===+∑∑.
22
2
()()jm jl
jm jl jm jl A A x x y y =−+−,
21jm jl
m l k
A A ≤<≤∑
221[()()]jm jl jm jl m l k
x x y y ≤<≤=−+−∑ 2
2221[()()jm
jm
jl
jl
m l k
x y x y ≤<≤=
+++∑
2()]jm jl jm jl x x y y −+
21[22()]jm jl jm jl m l k
R x x y y ≤<≤=
−+∑
22122
()k jm jl jm jl m l k
C R x x y y ≤<≤=⋅−+∑
. ∴22()1j k jm jl m l k
H H A A ≤<≤+
∑
2
221
1
()()(1)k
k
jt jt t t x y k k R ===++−∑∑
12
()jm jl jm jl m l k
x x y y ≤<≤−+∑
2222(1)kR k k R k R =+−=. 在(1)中令1k n =−,则 ()(1,2,,)j k i H A i n ==L . 故 1
222
2
11
1
()i n
i i j i j i
j
i j n
j j i HA A A A A A A −≤<≤==++
−+
∑∑∑
22(1)n R =−. (2) 当3n =时,取i A 为A ,得到
推论1 设H 为△ABC 的垂心,R 为外接圆半径.则2224HA BC R +=.
当4n =时,取i A 为A ,便得到
推论2 设四边形ABCD 内接于半径为R 的圆,其垂心[2]为H ,则
22222()9AH BC CD DB R +++=. 定理2 设闭折线123n A A A A L 内接于⊙(0,)R ,其垂心为H ,则
221
1(2)
n
i i j i i j n
HA
n A A =≤<≤+−∑∑
22
(1)n n R =−. (3)
证明 由(2)式有22111(
)n
n
i
i j i i i j n
HA A A ==≤<≤+∑∑∑
1
2
22
21
1
1
1
()(1)
n i n n
i j
i
j
i j j i i A A A A n R −===+=−+
=−∑∑∑∑,
222
1
1n
i i j i j i i j n
i j
HA
n
A A A A =≤<≤≠+−∑∑∑
22(1)n n R =−.
2222
1
1(2)
(1)n
i i j i i j n
HA
n A A n n R =≤<≤+−=−∑∑
.
推论3 设H 为△ABC 的垂心,R 为外接
圆半径,则
2222HA HB HC AB +++22BC CA ++ 212R =.
本文的结论可推广到球内接闭折线,特别地.在四面体内有
推论4 H 是四面体ABCD 的外1号心[3],设四面体的各棱长依次为、、、a b c 、、d e f ,外接球半径为R .则
222222HA HB HC HD a b ++++++
2222236c d e f R +++=.
参考文献
[1] 熊曾润.圆内接闭折线垂心的一个性质.中学数学.
2003.12.
[2] 熊曾润.平面闭折线趣探.中国工人出版社.2002.
[3] 段惠民.四面体的外P 号心及其性质.数学通讯.
2003.11.
・16・。