振荡函数一致连续性研究
高等数学函数一致性连续性问题研究
高等数学函数一致性连续性问题研究【摘要】高等数学函数在目前的研究当中，出现了一些问题，在一致性和连续性的研究当中出现了一些分歧.连续函数是数学分析当中，着重讨论的一类函数，对深入研究具有非常重要的作用，而函数的一致性对日常教学和高等数学的进步来说，也能够起到较大的推动作用.在学习数学分析的时候，多数人都会将函数的连续性与一致性混淆，导致学习人员仅仅能够理解浅层意思，而不了解深层含义，甚至无法学习后续的知识，因此，对高等数学函数一致性连续性问题研究，还是非常有必要的.【关键词】函数；连续性；一致性一、高等数学分析中函数一致连续的概念的理解函数的一致连续性体现了一个连续函数的变化速度有无“突变”.相对来说，函数的变化既有规律可循，同时也无规律可循.高等函数在一定程度上可以通过定义或者数学函数式来寻求结果.但是，部分函数由于自身的性质比较特殊，因此不具有意义.函数连续一致性不仅仅体现在区间上的每一点，同时还要在区间上所有点邻近点的函数的大致变化趋势要均匀.这就是理论上的函数一致连续性.下面，本文从两个方面来讨论一下高等函数的一致连续性.（一）定义1高等数学分析中函数一致连续的概念过于理论化，如果没有实际的证明，势必得不到认可，并且无法在实际的工作当中产生较大的积极作用.经过长久的研究和积淀，数学家将高等数学函数一致连续分为两个定义.定义1：（假设函数f（x）在区间I上连续）区间为I上的f（x）函数，如果ε>0，那么函数上的每一个点x∈I，由此可以推理出，函数区间上的每一个点都存在相应的δ=δ（ε，x）.从以上的定义来分析，只要x∈I，并且|x2-x1|（二）定义2相对来说，高等数学函数一致连续性不仅仅具有一种性质或者一种定义，而是能够通过两种或者是两种以上的定义、性质来表达.定义1是教学和研究常用的定义，并且对高等数学函数一致连续性问题的研究，产生了较大的积极意义.下面，本文就定义2进行阐述.定义2：此定义也被称为一致连续性的定义.在区间I上定义的f（x）函数，如果对ε>0，并且存在δ（且δ>0），在此范围内的任意x（x∈I），只要符合|x1-x2|小于δ，那么就可以推导出|f（x1）-f（x2）|（三）归纳从以上的阐述来看，一致连续概念与连续概念当中的δ并不一样，可以通过很多的例子来说明.当函数f（x）在区间I上拥有一致连续性的概念时，可以通过相应的例子来引出.通过不同的例子和不同的定义，学生和教师在学习、研究高等数学函数一致性连续性问题的时候，就能够对δ的取值方法更加清楚，同时也可以对高等数学函数一致性连续性问题更加深入地理解和学习.我们在研究和分析高等数学函数一致性连续性问题的时候，应该从两个定义出发，因为具体的数学式和具体的表达含义是不同的，在实际当中的应用范围也不一样.为了保证能够更好地利用函数，同时在深入研究的时候，减少混淆和不必要的问题发生，必须对函数连续一致性的其他方面进行研究，获得更多的规律和知识.二、函数连续一致性条件“条件”在函数的研究当中，具有非常重要的影响和意义.简单来说，“条件”就是保证高等数学函数一致性连续性问题具有研究意义的保障.函数连续一致性要想能够继续研究下去，并且能够对实际的工作产生意义，就需要依赖条件来进行.从目前的研究情况来分析，函数连续是函数一致连续的必要条件，但不是充分条件，是一种在自然情况下，推出的结论.由此可见，高等数学函数一致性连续性问题的研究，“条件”的研究是非常重要的方面.根据G康托定理，区间连续性要想转变为区间一致连续性，一共有两种情况，同时这两种情况是目前都能够满足的.第一，区间存在界限，但是并不是完全为闭区间，一致连续性的点可能被开的端点所破坏.这种情况是一种比较普遍的情况，同时是研究“条件”的重要方式.第二，区间的两个端点或者一个端点的取值为正无穷的时候，函数的一致连续性也可能被函数在无穷远处所破坏.在这种情况下，我们就要附加一些条件，比方说在函数一致连续性的开的端点或者无穷远点破坏点处加上一些限制性的条件，让无意义的函数不成立，从而可以继续推导.“条件”的研究并不是依靠一两个数学式就能够确定的，即便是现在只有两个方面，难保日后不会有更多的方面，所以还要加深研究才行.：本文对高等数学函数一致性连续性问题进行了一定的研究，从目前的情况来看，高等数学函数一致连续性的相关问题并没有得到彻底的解决，虽然一些小问题没有影响到学生的学习，但后续的研究工作必须将其解决，尽量通过完善的研究方式和推导方式，将高等数学函数深入推理，得到更好的结论.【参考文献】[1]陈佩树.分段函数在分段点的求导[J].巢湖学院学报，2022（3）.[2]张月华.分段函数有关概念探析[J].牡丹江教育学院学报，2022（5）.[3]林新和.函数在区间上一致连续和不一致连续的几个判别法[J].呼伦贝尔学院学报，2022（3）.。
关于函数一致连续性的讨论
·数学与计算机科学·
关于函数一致连续性的讨论
杨 艳
（ 吕梁学院 数学系， 山西 离石 033000 ）
摘
要： 从一致连续的定义语序角度， 数形结合角度， 几何意义角度对函数一致连续进行讨论， 并用两个反例
分析来说明结论． 关键词： 函数； 连续； 一致连续； 渐近线 中图分类号： O171 文献标识码： A 文章编号： 2095 － 185X（ 2011 ） 02 － 0014 － 02
图1 函数 y = sin 1 图象 x
故在该区间不一致连续． 同时它并没有垂直渐近线（ 图 1 ） ， 不过从其图象可以发现， 越靠近于 0 时， 函数图象 已经接近于垂直． a，+ ∞ ） 上连续， a，+ ∞ ） 上一致连续． ［1］ 如果函数 f（ x） 在［ 且有斜渐近线， 则 f（ x） 在［ 综合上述性质可以说明， 如果在当 x 接近于某值 x0 时， 函数图象接近垂直于 x 轴， 则函数在以 x0 为端点 性质 3 要寻找的特殊点就应该从靠近 x0 的点出发． 的区间一定非一致连续． 而且在用定义证明非一致连续时 ， 1 x ∈ （ 0， 1 ） 不一致连续． 例 1 用定义证明 y = ， x 分析 按一致连续性的定义， 为证函数 f 在某区间 I 上不一致连续 ， 只须证明： ε0 ＞ 0 ， δ ＞ 0 ， x' ∈ I， x″ ∈ I， 当 | x' － x″ | ＜ δ 时， 有 | f（ x' ） － f（ x″） | ≥ ε0 ． 1 x' = δ， 有垂直渐近线 x = 0 ， 故， 取 x' 和 x″ 靠近 0 合适． 如， x
在寻找符合要求的 x' 和 x″ 时， 分析到 y = x″ = δ ， （ δ 足够小） 则有 2
浅谈函数的一致连续性.doc
浅谈函数的一致连续性（渤海大学数理学院辽宁锦州121000中国）摘要:在数学分析中一致连续函数具有很重要的地位，其定义在数学分析中也算是一个难点。
本文主要从一致连续函数的直观理解深入到纯分析的论证，只从一致连续函数本身的性质入手。
首先，本文用大量篇幅给出了函数一致连续性的证明并做作比较系统的归纳，把函数一致连续性的证明方法归纳为四个部分：运用区间套定理，致密性定理，覆盖定理以及归结原则四种方法证明了一致连续性定理。
其次，本文比较完整的给出了一致连续性函数的判定方法及性质，为我们对一致连续性函数的应用打卜'了坚实的基础。
再次，本文系统、详尽地叙述了一致连续性函数与连续函数的关系，解决了连续函数与一致连续相互转化的问题。
最后，介绍了一致连续性函数的描述及其延拓问题。
使人们能够对它们有个全面的了解。
关键词：一致连续，一致连续性定理，一致连续性性质，连续函数，一致连续性判定。
Abstract: In the mathematical analysis of uniformly continuous function is a very important position, its definition in the mathematical analysis is also a difficulty. This article mainly from the consistent continuous function intuitive understanding of deep into the pure analysis argument, only from the start with the nature of uniformly continuous function itself. First of all, this paper devotes a lot of space gives the proof of uniform continuity of a function and artificial system are summarized, the proof of uniform continuity of a function methods into four parts: the use of nested interval theorem, compact theorem, covering theorem as well as this principle four methods proved uniform continuity theorem. Secondly, this paper gives a uniformly continuous function determination methods and properties, for us to the uniformly continuity of function application to lay a solid foundation. Again, in this paper, a detailed description of the system of uniform continuity of a function and relation of continuous function, solve the continuous function and the uniform continuity of mutual transformation problem. Finally, introduced the uniform continuity of a function is described and its extension. To enable people to have a comprehensive understanding of their.Key words: Uniform continuity, uniform continuity theorem, uniform continuity properties, continuous function, uniform continuity judgment.引言数学分析立足于研究有限维空间的函数分析，它研究了各式各样的函数，其中最重要的一类函数叫做一致连续性函数，它是数学分析乃至整个数学领域的重要部分。
函数一致连续证明的方法和技巧总结
编号 2013110254研究类型理论研究分类号O17学士学位论文Bachelor’s Thesis论文题目关于函数一致连续性证明的若干技巧和方法作者姓名胡辉学号2009111010254所在院系数学与统计学院学科专业名称数学与应用数学导师及职称许绍元教授论文答辩时间2013年5月25日湖北师范学院学士学位论文诚信承诺书目录1.前言 (1)2.函数一致连续 (2)2.1函数一致连续的定义 (2)2.2 证明函数一致连续的相关真命题 (2)2.3 函数一致连续相关定理 (3)2.3.1函数)f在区间上一致连续的充分条件 (3)(x2.3.2函数)f在区间上一致连续的充要条件 (6)(x2.4 应用举例 (8)3.函数非一致连续 (12)3.1函数非一致连续的定义 (13)3.3 应用举例 (14)4.参考文献 (16)5.致谢 (17)关于函数一致连续性证明的若干技巧和方法胡辉（指导老师，许绍元教授）（湖北师范学院数学与统计学院中国黄石435002）摘要：本文综述了关于函数一致连续性证明的几个结论和定理，而且针对函数一致连续证明的问题，给出了证明方法的流程图，该流程图对函数一致连续性证给出了很清晰的思路，通过例题解释流程图使用方法。
事实表明该流程图对函数一致连续证明是非常有效的。
相信这篇文章对大家证明函数一致连续性具很大的指导作用。
关键词：函数；一致连续性；命题和定理；流程图；例题中图分类号:O17Uniformly Continuous Function Proof of Certain Skills and MethodsHuHui (Tutor：Xu Shaoyuan)(College of Mathematics and Statistics, Hubei Norma University, Huangshi , Hubei,435002) Abstract: In this paper, several conclusions on the proof of the Uniform Continuity Function Theorem, and a continuous function proof given flow chart of the method of proof, with the flowchart the Uniform Continuity Function card gives a very clearideas, through examples explain the flow chart to use. The fact that this flowchart is very efficient on the number of uniformly continuous proof. I believe this article we prove that the function continuity with the great guide.Keywords：Function; consistent continuity; propositions and theorems; flowchart; example关于函数一致连续性证明的若干技巧和方法胡辉（指导老师，许绍元教授）（湖北师范学院数学与统计学院中国黄石435002）1.前言本文综述了关于函数一致连续性证明的几个结论，并举例说明其应用。
函数的一致连续性及其应用
函数的一致连续性及其应用本文以函数的连续性为基础，一致连续性的定义为出发点，重点深入分析函数的一致连续性.教材一般只给出定义来判断函数是否一致连续，这对一些函数来说是比较复杂且难以解决的.因此本文主要对一元函数在各种区间上讨论函数的一致连续性的判断条件和方法，以及一些性质和应用，能够在教材的基础上更加全面地了解函数的一致连续性.1.2预备知识为了便于理解,现将本文涉及的一些相关定义和定理罗列如下.定义1.2.1[1]设函数在某上有定义，若，（1-1）则称函数在点连续，若函数在区间上的每一点都连续，则称在上连续.定义1.2.2[2]若函数在区间上有定义，称（1-2）为在区间上的连续模.定义1.3.1[1]设为定义在区间上的函数.若对任给的，存在，使得对任何，只要，就有，（1-3）则称函数在区间上一致连续.注：函数在区间上一致连续表明无论两点，在中处于什么位置，只要它们的距离小于，而这只与有关，就可以使.这个定义是教材中最常用的定义，根据定义还能扩展推理得到更多判断函数一致连续的条件和方法，这些本文后面会逐渐说明.由此，还可以得到函数在区间不一致连续的定义：，对，存在，使得当时，有.（1-4）引理1.2.1[3]有限区间上的一致连续函数必有界.引理1.2.2[1]设区间的右端点为，区间的左端点也为，若分别在和上一致连续，则在上也一致连续.2函数一致连续性的判断条件（1）引理2.1[1]函数在上一致连续的充要条件为：对任何数列，若，（2-1）则.（2-2）类似用归结原则来判断函数的连续性，这里通过数列来判断函数的一致连续性，但是直接用来证明函数的一致连续可能会很麻烦，因为这要验证任意的数列，因此一般用来证明函数的不一致连续比较方便，而这又与数列有关，可适用于含有三角函数和幂函数的函数.例2.1证明函数在上不一致连续.证：令，（2-3）则.（2-4）但是，（2-5）在上不一致连续.例2.2判断函数在上的一致连续性.解：令，（2-6）则.（2-7）而，（2-8）在上的不一致连续.从这两个简单的例子可以知道应用（1）中的结论是非常方便快捷的，如果用定义来判断函数的一致连续性还需要进行推理化简得到定义的形式，甚至有时候根本无法化简.由此可知定义无法满足解决函数一致连续性的需求，还需总结更多的判断函数一致连续性的条件和方法.（2）函数在上一致连续的充要条件为【2】：.证：若在上一致连续，则对当时，有，所以，（2-9）从而当时，有，（2-10）所以.（2-11）若，则对，有，（2-12）所以，（2-13）因此当时，有，（2-14）在上一致连续.这里可以通过连续模的极限来判断函数的一致连续性,其实也是从定义出发，观察函数的图像的陡峭程度来进行描述，但是这个往往用得比较少.（1）和（2）适用于函数所在定义域的所有区间，而在一些特殊区间还要进行如下讨论.（3）一致连续性定理：若函数在闭区间上连续，则在上一致连续【1】.这个定理也叫康托尔定理，其实从函数一致连续的定义可以知道如果一个函数在区间上一致连续，那么它肯定在上连续.这个定理直接就将闭区间上的函数的连续性和一致连续性联系起来，说明了只有在闭区间上的连续函数才必定一致连续.但是如果不在闭区间上时，那么通过分析这个定理可以知道要判断在有限开区间上的函数是否一致连续，还需要分析函数在区间端点连续性.所以可以得到以下结论：（4）函数在上一致连续的充要条件为：在上连续，存在且有限.证：在上一致连续，在上连续，且对，当时，有.当时，由柯西收敛准则知存在且有限.同理当时，知存在且有限.构造函数（2-15）则在上连续，根据（3）中一致连续定理知在上一致连续，在上也一致连续，在上一致连续.例2.3证明在上一致连续.证：由在上连续，知，（2-16）在上一致连续.这些只是在函数一致连续性有限区间上的讨论，还可以类似进一步在无限区间中展开讨论.（5）若函数在上连续，，存在且有限，则函数在上一致连续.但是反之是不成立的，比如在上是一致连续的，但是是不存在的.所以在无限区间上的时候要注意这个问题.通过以上讨论,也可以用类似方法判断连续函数在，，，，，上的一致连续性,具体内容不再一一重复.总之，（3）-（5）判断函数一致连续性的条件是函数在区间上连续并且在区间端点的极限要存在，都应用到了函数的连续性，这也说明了一致连续和连续有着非常密切的关系.从而根据（3）-（5）还能得到以下结论：（6）若函数在区间上单调有界且连续，则在上一致连续.证明：由在区间上单调有界，则对，存在，而且连续，根据（3）-（5）的结论可知在上一致连续.2.4判断是否一致，是否连续？解：对，有，（2-17）在上连续，又因为，（2-18）在上一致连续.3函数一致连续性的判断方法3.1函数一致连续性在一般区间的判断方法（1）定义法.一般根据函数一致连续性的定义都能判断一个函数是否一致连续，很多证明方法都是从定义出发的，这也是最常用的方法，而根据函数一致连续性的定义，还能将其扩展得到以下结论：若函数在区间上满足利普希茨条件：.（3-1）其中是是常数，则在上一致连续.证：对则当时，有，（3-2）所以在上一致连续．由证明过程可知函数化成利普希茨条件的形式其实是对函数一致连续性定义的直接应用，这将定义具体化，提供了解题思路.例3.1设，证明在上一致连续．证：对，有.取，那么根据（1）就知在上一致连续.（2）导函数有界法.根据导函数有界，可以间接地得到（1）中的结论.有时候一个函数太复杂，有时候无法将题目直接化简成（1）中利普希茨条件的形式，也就是说用定义无法简单地证明这个函数一致连续.这时可以从导函数入手.当导函数比较简单时，只要知道这个函数的导函数有界，就能判断这个函数是否一致连续.也就得到以下结论：若函数在区间上可导，且在上有界，则在上一致连续.证明：因为在上有界，所以，使，（3-3）又因为在可导，由拉格朗日中值定理，知对，有，（3-4）所以.（3-5）所以根据（1）可知在一致连续．3.2函数一致连续性的比较判别法（1）定理3.2.1【4】函数，若，其中是常数，且，则函数具有相同的一致连续性.这个方法是通过构造一个函数，通过两个函数的比较以及所构造的函数是否一致连续来判断原函数是否一致连续.它比较灵活，表面看好像大多函数都能通过这个方法判断一致连续性，特别是一些复杂的函数，但是前提是要知道所构造函数的一致连续性并且两个函数比较之后的极限要存在，而通常基本初等函数的一致连续性是比较好判断的.因此如果题目中的函数含有基本初等函数，则可以考虑这种方法.函数在不同的区间上时，还可以类似得到以下的结论：（2）函数，若，其中是常数，且，则函数具有相同的一致连续性.（3）函数，若，其中是常数，且，则函数具有相同的一致连续性.（4）函数，若，，其中是常数，且，则函数具有相同的一致连续性.例3.2.1证明函数在上一致连续.证明：令，（3-6）则，（3-7）取,则有.（3-8）在上一致连续，在上一致连续.3.3函数一致连续性的比值判别法（1）设函数，且函数满足1）；2）可导，且；3）,其中是常数，且，则函数具有相同的一致连续性.证明：根据洛必达法则,知，（3-9）设在上一致连续，则对当时，有，（3-10）因为，（3-11）所以对，使，（3-12）由柯西微分中值定理知，，使，（3-12）所以，（3-13）所以对，有，（3-14）从而有，（3-15）所以，（3-16），有，（3-17）因此，在上一致连续.在上连续，在上一致连续.在上一致连续.同理还可证明若在上一致连续，则在上一致连续.如果一个函数是无穷大量并且可导，那么可以通过构造一个已知一致连续性的无穷大量的可导的函数，通过两个导函数的比值关系，其实也是这两个函数的比值，将两者的一致连续性联系起来，这样就能判断了，这与比较判别法类似，都是构造函数，只是条件不一样.由（1）知函数在不同的区间上时，还可以类似得到以下的结论：（2）设函数，且函数满足1）；2）可导，且；3），其中是常数，且，则函数具有相同的一致连续性.（3）设函数，且函数满足1）；2）可导，且；3），其中常数，且，则函数具有相同的一致连续性.（4）设函数，且函数满足1）；2）可导，且；3），其中是常数，且，则函数具有相同的一致连续性.（5）设函数，且函数满足1）；2）可导，且；3），其中是常数，且，则函数具有相同的一致连续性.（6）设函数，且函数满足1），；2）可导，且；3），其中是非零常数，则函数具有相同的一致连续性.3.3确定上的函数是否一致和连续？解：在上不一致连续.令，（3-18）则.（3-19）又因为在上连续，且，（3-20）而在上不一致连续，在上不一致连续.无论是在有限区间还是无限区间，比较判别法和比值判别方法都可以适用.4函数一致连续性的性质函数的连续性满足四则运算，一致连续性也如此.（1）若函数在上一致连续，则在上一致连续.证明：在上一致连续，对，当时，有，（4-1）又在上一致连续，当时，有，（4-2）故对，取，则对，当时，有，在上一致连续.（2）若函数在上一致连续，则，在上一致连续.（3）若函数在上一致连续且有界，则在上一致连续.（4）若函数在上一致连续，函数在上一致连续且，则在上一致连续.例4.1设函数在上一致连续，证明在上也一致连续.证：在上一致连续，令，则在上连续，在上一致连续.又在上有界，在上一致连续，在上一致连续.因此在上一致连续.5两种函数的一致连续性5.1周期函数的一致连续性如果函数的周期为，在上有定义且连续，则函数在上一致连续.证：在上连续，在上连续.根据一致连续性定理知在上一致连续，对，当时，有.令，当时，存在正整数，使，（5-1）,（5-2）所以.（5-3）故在上一致连续.这个针对周期函数的一致连续性，将连续和一致连续的关系连在一起.有些函数是周期函数，如三角函数等，但是如果直接用定义或者其他方法来证明它是一致连续的，有时候很难化简得到结果或是无从下手，此时就可以通过连续性来判断一致连续性，从而得到结论．例5.1.1证明函数在上一致连续．证：是以为周期的周期函数，并且在上连续，根据周期性知在上连续，因此在上一致连续．例5.1.2证明在上一致连续.证：因为，（5-4）的周期为，即是周期函数.由上题知，（5-5）在上连续，所以在上连续，故在上一致连续.5.2幂函数的一致连续性（1）函数在上是一致连续的.证：当时，根据例4.1的证明过程知在上一致连续；当时，知，（5-6）根据一致连续性的定义，对当时，有，（5-7）所以在上一致连续.（2）对任意的，函数在上一致连续,在上不一致连续，也就是在上不一致连续.证明：在上连续，在上一致连续.,当时，根据拉格朗日中值定理知，存在介于之间，使，（5-8），使，（5-9）所以，（5-10）则有.（5-11）在上不一致连续，在上不一致连续.例2.2中可以直接用（2）的结论来说明在上是不一致连续的.。
函数一致连续性的定义与性质文献综述
毕业论文文献综述数学与应用数学函数一致连续性的定义与性质一、前言部分函数一致连续是从函数连续的概念派生出来的，函数的一致连续性是函数的重要特征，它标志着一个连续函数的变化速度有无“突变”。
对于函数一致连续来说，不仅要求函数在区间上的每一点保持连续，还进一步要求它在区间上所有点邻近有大体上均匀的变化趋势。
是指存在一个微小变化的界限，如果函数定义域内的任意两点间的距离不超过这个界限，则这两点对应的函数值之差就能达到任意小.连续与一致连续是建立在函数极限概念的基础之上，用以刻划函数的变化情况和研究函数性质的两个基本的数学分析概念.通常人们说的连续是指不间断，其对立面就是间断.而数学上函数连续与间断的概念，也正是函数在变化过程中渐变与突变的一种反映.因此从几何直观来看，连续函数的特点就在于它的图象是一条连续不斯的曲线；而从分析的角度来看，函数()f x 在一点0x 处连续，包含着以下三层意思：（1）()f x 在0x 处有定义，即()0f x 是一个确定的常数；（2）()f x 在0x 处有极限，即()0lim x x f x →存在； （3）()f x 在0x 处的函数值与极限值相等，即()()00lim x x f x f x →=. 如果以上任何一个条件被破坏，()f x 在点0x 处就不连续了，这时0x 叫做()f x 的间断点.这就是说：如果函数()f x 在点0x 及其附近有定义，而且()()00lim x x f x f x →=，就说()f x 在点0x 处连续.其实函数在变化过程中，并没有仅仅在一点连续的情形，较常见的是函数在区间上连续的概念.定义1 若函数f 在区间I 上的每一点都连续，则称f 为I 上的连续函数（见文献[1][2][3]）.根据定义1可知，如果函数()f x 在区间I 上连续，则对于事先任意给定的正数ε，就I上的每一点0x 来说，都可以分别找到相应的正数δ，使得对于I 上的点，只要0x x δ-p ，就有()()0f x f x ε-p .其中δ的大小不仅与给定的ε有关,而且与点0x 的位置有关.对于同一个ε，当0x 在I 上变动时，一般来说δ的大小也将随着改变，即δ是依赖于0x 的.如果δ的大小只与给定的ε有关，而与点0x 在I 上的位置无关，也即是说，对于给定的正数ε，存在这样一个正数δ，它适用于区间I 上所有的点0x ，那么这时()f x 就在I 上一致连续.定义2 函数()f x 定义在区间I 上，如果对于事先任意给定的正数ε，总可以找到这样一个正数δ，对I 上任意两点1x ，2x ，只要12x x δ-p ，就有()()12f x f x ε-p ，那么就说函数()f x 在区间I 上一致连续（见文献[2][3][4]）.一致连续的特点在于，只要I 上的两点接近到同一个程度，就可以使这两点对应的函数值达到所需要的接近程度.因此，它从整体上反映出()f x 在I 上各点“连续”程度是否步调“一致”这样一个重要性质.历史上关于函数一致连续性的研究从未间断，中外大多学者在一元函数一致连续性的判定方面都取得了喜人的理论成果，本篇文献综述将对前人在函数一致连续性定义、性质、判定理论方面的研究作总结性陈述. 二、主题部分关于函数一致连续性的研究已经取得了较为丰富的结果，现将已有文献的理论成果综述如下：文献[5-6]研究函数一致连续的判别方法.其中文献[5]中，作者讨论了一致连续函数的判别及分布.作者指出，关于一致连续函数在平面上的分布，可归纳为以下情况：a 、对于有限区间上的一致连续函数，由于有界性，所以它必包含在一个矩形之内，矩形的边平行坐标轴；b 、对于无限区间来说，凡有垂直渐近线的连续函数都不是一致连续函数，因此，它的“无限部分”应限制在个角形之内，而角形的边不与坐标轴垂直；对于无渐近线的有界或无界的连续函数，如果当x 趋于无穷大时，其切线斜率趋于有限数，则其必为一致连续函数，因此，它应限制在某个角形之内.总之，一致连续函数是分布在平面上的一个“槽形”区域之内，当x 趋于无穷大时，其切线斜率为有界的一类连续函数.文献[6]中，作者给出了用导数判别函数在一般区间上一致连续的方法.并举例说明不可以建立关于一致连续的比较判别法. 文献[6]的主要结论可总结如下：定理1 若函数()f x 在区间I （I 可开、半开、有限或无限.下同）可导，且()f x '在I 有界.则函数()f x 在I 一致连续.定理2 若函数()f x 在区闻[,)a +∞（或(,]b -∞）可导.且()lim x f x →+∞'=∞（或 ()lim x f x →-∞'=∞），则()f x 在[,)a +∞（或(,]b -∞）非一致连续.定理3 若函数()f x 与()g x 在区间I 可导，且()()0f x g x ''≥f ，则（1） 当()f x 在I 一致连续时，()g x 在I 一致连续；（2） 当()g x 在I 非一致连续时，()f x 在I 非一致连续.上面这个定理指出可以根据两个导数间的关系判断函数的一致连续性，进一步的是否能直接利用两个函数（绝对值）的大小关系建立一致连续的“比较判别法”，作者举出了一个例子对这个问题予以否定回答.文献[7]讨论函数一致连续的条件，作者讨论了定义在区间和有界实数集上函数一致连续的充要条件，主要结论总结如下：定理4（Cantor 定理)函数()f x 在区间[],a b 一致连续当且仅当()f x 在区间[],a b 连续.（充分性也可参考文献[8]）定理5 在有界实数集E 上定义的函数()f x 在E 上一致连续的充要条件是E 内任意 的收敛数列{}n x 其对应的函数值数列()n f x 也是收敛的.定理6 函数()f x 在区间I 上一致连续的充要条件是对任给的正数ε，及x '，x I ''∈， 总存在正整数N ，使得当()()f x f x N x x '''-'''-f 时，有()()f x f x ε'''-p . 定理7 函数()f x 在区间I 上一致连续的充要条件是区间I 上满足()lim 0n n n x y →∞-=的任意两数列{}n x ,{}n y 总有()()()lim 0n n n f x f y →∞-=. 文献[9]中，作者给出了一元函数在区间上一致连续的一个等价条件，并运用它证明了一些函数的一致连续性.定理8 设f 是区间I 上的函数，那么f 在区间I 上一致连续的充分必要条件是：存在0r f 及定义在[]0,r 上满足()0lim 0h g h →+=的函数g ，使得对任意的[]0,h r ∈和x I ∈，只要x h I +∈，就有()()()f x h f x g h +-≤.由上面定理的证明，作者得出了一个推论，结论是：f 是区间I 上的函数，若()()0,lim sup 0h x x h I f x h f x →++∈+-≠，则f 在区间I 上不一致连续.事实上，同样容易证明：如果f 在区间I 上不一致连续，则()()0,lim sup 0h x x h I f x h f x →++∈+-≠.这个推论是证明函数非一致连续的一种有效方法.文献[10]中，作者给出了函数()f x 在某集上不一致连续的一种规范证明方法. 证明1 ()2f x x =在()r -∞∞p p 上不一致连续. 证明2 ()1f x x=在()0,∞上不一致连续. 证明3 ()21f x x=在()0,∞上不一致连续. 证明4 ()1sin f x x =在2(0,]π上不一致连续. 文献[11]中，作者研究了函数的一致连续性问题，提出判定函数一致连续的比较判别法和比值判别法判定定理：定理9 函数()f x ，()()g x C I ∈，[,)I a =+∞，若满足()()()lim x f x Ag x B →+∞-=成立（其中A 为非零定值，B 为定值）.则()f x ，()g x 有相同的一致连续性.文章给出证明，随后作者又给出了四个相关的命题定理，并对这些定理一一证明其正确性.定理10 设函数()f x ，()()g x C I ∈，[,)I a =+∞，()f x ，()g x 满足：（1）()()lim lim x x f x g x →+∞→+∞==∞， （2）()f x ，()g x 在I 上可导，且()0g x '≠，（3）()()lim x f x g x →∞''存在，若()()lim x f x A g x →∞=，（A 为非零定值），则()f x ，()g x 有相同的一致连续性.在这个定理的引申下，文章再次给出了五个相关的结论，都为判定函数一致连续提供了理论依据，更方便的函数一致连续的判定.对于函数的一致连续性问题，作者提出并证明了判定函数一致连续的比较判别法和比值判别法，从而大大简化并拓宽了函数一致连续性的可判别范围.文献[12]中，作者研究得到了函数一致连续的几个充分条件. 文献[12]的主要结论可总结如下：定理11 若函数()f x 在区间I （有限或无穷）上单调，且()Df x 在I 内处处存在、有界，则函数()f x 在开区间I 上一致连续.在此基础上作者给出两个推论，一个是：若函数()f x 是开区间I （有限或无穷）上的凸函数，且拟导数存在，有界，则函数()f x 在开区间I 上一致连续.另一个是：若函数()f x 在区间I （有限或无穷）上，满足一定的条件，就可以得到函数是一致连续的.文章对得出的定理给出了详细证明.文献[13]中，作者给出函数在无限区间上一致连续的三个判别条件，并对文献[14]的两个判别定理进行了改进. 文献[13]的主要结论可总结如下：定理12 若函数()f x 是可微函数，且()f x '在区间I （I 可开、半开、有限或无限）上有界，则()f x 在I 上一致连续.定理13 若函数()f x 在[,)a +∞上一致连续，()x φ在[,)a +∞上连续，且()()lim 0x f x x φ→+∞-=⎡⎤⎣⎦则函数()x φ在[,)a +∞上一致连续（以上两个定理的证明参考文献[15]）.定理14 实函数()f x 在[0,)+∞上连续，在[0,)+∞内处处可导，且()lim x f x A →+∞'=存在，则当且仅当A +∞p 时，()f x 在[0,)+∞上一致连续.定理15 设存在0L f ，使对任意x '，x I ''∈，都有：()()()()f x f x L g x g x ''''''-≤-成立，而()g x 在区间I 上一致连续，则()f x 在I 上一致连续.定理16 设函数()f x 在[,)a +∞上连续，且x →+∞时，()f x 有渐近线y ax b =+.则()f x 在[,)a +∞上一致连续.定理17 设函数()f x 在[,)a +∞上连续，且()lim 0x bx f x →+∞-=⎡⎤⎣⎦，其中b 是非零常数，则()f x 在[,)a +∞上一致连续.三、总结部分数学是一门基础学科，我们生活的方方面面无不有数学的影子在里面，，它不仅指导我们进行生产和学习，同时对我们认识自然，了解事物的本质都有着积极的作用．函数一致连续性近几年在自然界和生活中有着广泛的应用背景，因此近几年关于函数一致连续性的各方面研究都取得了突破性的进展，这些研究成果渗透到了社会的方方面面，为社会的发展做出了重要的贡献，各国的专家学者对函数一致连续性做了深入的研究，并且已经取得很多重要的有益的结论，并且这些结论在函数一致连续性的研究上经常被采用．根据所总结的文献来看，许多学者已对函数一致连续性的性质、定义以及定理、应用进行了研究，然而以上有关函数一致连续性的定义与性质的文献总结都是在一元函数的框架下，而二元函数的研究显得很微弱，所以将一元函数的相关定理推广到二元函数中是很有必要的.这就是说函数一致连续性还尚存在很多不明确的问题，多元函数一致连续性还有很多需要解决的问题.所以随着科学技术的发展，时间的推移，我相信多元函数一致连续性的研究应用，会越来越占有重要的位置.四、参考文献[1] 华东师范大学数学系·数学分析(上册第三版)[M]·北京：高等教育出版社，2001[2] T.M ·Apostol.Mathematical Analysis[M]·Addison-Welsey Publishing Compony,inc.,1974[3] 菲赫金哥尔茨·微积分学教程[M]·北京：人民教育出版社，1959[4] 王孚和·连续与一致连续[J]·江西教育学院，教学参考资料：41─43[5] 袁南桥·一致连续的判别及分布[J]·四川文理学院学报，2007，17(2)：6─7[6] 鞠正云·用导数判别函数的一致连续性[J]·工科数学，1999, 15(1):127─129[7] 赵向会·函数一致连续性的几个充要条件[J]·张家口职业技术学院学报，2007, 20(4):75─77[8] 裴礼文·数学分析中的典型问题与方法[M] 北京：高等教育出版社，1993[9] 成波，李延兴·函数一致连续的一种新证法[J]·安康师专学报，2006，18(4)：71─72f x在某集上的一致连续性[J]·内江师范高等专科学校学[10] 黄崇智·关于()报，2000，15(2)：14─17[11] 杨小远·关于函数一致连续的判别方法研究[J]·北京航空航天大学[12] 邱德华，李水田·函数一致连续的几个充分条件[J]·大学数学，2006，22(3)：136─138[13] 陈惠汝，何春羚·再探函数在无穷远处的一致连续性[J]·宜春学院学报，2006，28(2) ：45 ─46[14] 杨中南·函数在无穷远处的一致连续性[J]·集美大学报，1997，2(1)：70─75[15] 陈慧汝·函数一致连续判别法的再研究[J]·数学教学研究，2005，(1)：57─58。
一致连续性的判定
一致连续性的判定摘要：一致连续的问题在数学分析中经常遇到。
此论文主要讨论了一致连续性的几种常用的判定方法。
论文分为四个部分，逐层对一致连续的判定进行研究。
第一部分是用定义判定，定义最原本，是所有判定方法的源头，它有两种表述，表述一判定一致连续较为方便，表述二判定不一致连续较为方便。
第二部分用Cantor 定理判定，这比较快，在满足条件的情况下用起来方便。
第三部分是利用函数的周期性判定，这也就给出了不是周期函数的判定方法。
第四部分运用导函数有界来判定，这便把导数与连续贯穿起来了关键词：函数 连续 一致连续函数的连续性是指函数在0x x =处的函数值是否等于函数在0x 的函数的处的极限值，而函数的一致连续性主要是指在函数连续的基础上，研究由自变量的微小变化，而引起的函数值的变化值的上确界是否是零，因此一致连续性比连续要强，连续函数顾名思义，是一条连绵不断的曲线，一致连续的函数不仅仅只满足连绵不断了，那么什么样的函数才是一致连续的呢，从而能否判定一个函数是否一致连续成为人们重视的课题。
下面我们就针对一致连续的判定做一个简要的总结。
一、利用定义判定一致连续性的一种定义是：设函数f 为定义在区间I 上的函数，若对任给的ε>0存在δ=δ（ε）>0使得对任何'x ,I x ∈",只要|"'x x -|<δ,就有|)"()'(x f x f -|<ε,则称函数f 在区间上一致连续I 。
定义适用范围广，但用起来不太方便。
但从这里可以立即推出若在)(x f [)上满足+∞,1Lipthitz 条件|)"()'(x f x f -|≤L |'x －"x |。
0,",'>∈∀L I x x 其中为某一常数，则必一致连续。
一致连续还有一种另一种表述。
即下面的定理：设I 为有限区间，)(x f 在I 上有定义，试证：f(x)是在I 上一致连续充分必要条件是f 把Cauthy 序列（即当{x n}为Cauthy 序列时，|)(x f |亦为Cauthy 序列。
一致连续性
一致连续性1引言函数的一致连续性是研究函数的重要内容，关于函数一致连续问题的理解与应用是理解其他知识的基础。
为了使函数一致连续性的判定条件更加系统，本文总结了函数一致连续的一些条件。
本文主要探讨连续函数到一致连续函数所需的条件。
函数在区间上连续是指函数在该区间的每一点都连续，而一致连续性概念反映了函数在区间更强的连续性。
函数在区间上一致连续，可以推出函数在区间上每一点都连续，而函数连续并不能推出函数一致连续。
但对于定义在闭区间的函数，函数每一点连续，却可以推出函数在该闭区间上一致连续。
本文主要分为两个部分：第一部分介绍了一致连续函数的判定定理；第二部分介绍了一致连续函数的性质。
一致连续函数的判定定理主要包括函数在区间上的一致连续的判定定理以及周期函数和数列函数一致连续的判定定理。
一致连续函数的性质主要包括函数值与自变量的关系，函数的有界性以及四则运算。
2一致连续函数的主要结论定义1 设f 为定义在区间I 上的函数.若对0>∀ε，使得对,",'I x x ∈∀只要δ<-"'x x ,就有 ε<-)"()'(x f x f ，则称函数f 在区间I 上一致连续.直观地说，函数f 在区间I 上一致连续意味着：不论两点'x 与"x 在I 中出于什么位置，只要它们的距离小于δ，就可使ε<-)"()'(x f x f .注1 )(x f 在区间I 上一致连续时,)(x f 在区间I 上连续.反之不真.注2 )(x f 在区间I 上一致连续，区间I I ⊂',则)(x f 在区间'I 上一致连续. 例1、证)(x f =)sin(x 在),(-∞+∞上是一致连续的．证明:设1x ，2x ∈),(-∞+∞,则2|sin sin |21=-x x |2cos 2sin |2121x x x x --≤22||21x x -||21x x -=,故对0>∀ε，εδ=∃，当δ<-||21x x 时，有|sin sin |21x x -≤δ<-||21x x =ε,所以由定义)(x f =)sin(x 在),(-∞+∞上是一致连续的. 定义2定理1（一致连续性定理） 若函数f 在闭区间[]b a ,上连续，则f 在[]b a ,上一致连续性.证明：∀0x ],[b a ∈，因为)(x f 在0x 点连续，所以0>∀ε，0),(0>=∃x εδδ，使得 ],[,21b a x x ∈∀，若||01x x -<2δ，<-||02x x 2δ，则 <-|)()(|01x f x f 2ε， <-|)()(|02x f x f 2ε， 就有||21x x -≤|02x x -|||01x x -+<2δ+2δ=δ， |)()(|12x f x f -≤|)()(|01x f x f -<-+|)()(|02x f x f 2ε+2ε=ε， 也就是说，在],[b a 任何0x 邻域)4,(0δx O 内21,x x ∀，都有 <-|)()(|12x f x f ε． 现在考虑)4,(0δx O ，当0x 取遍],[b a 上一切点时，)4,(0δx O 构成一个开区间集E ，它覆盖着],[b a ，由有限覆盖定理，],[b a 就由从E 中所取的有限个开区间)4,(kk x O δ ),3,2,1(m k =所覆盖，取η=)44,4,4min(321k δδδδ ，],[,21b a x x ∈∀且||21x x -≤η，1x 必属于)4,(kk x O δ中的一个，设)4,(001i i x x δ∈即||01i x x -<40i δ， 又||02i x x -≤+-||21x x ||01i x x -<η+40i δ，表明)4,(,0021i i x O x x δ∈，所以有<-|)()(|12x f x f ε，即)(x f 在],[b a 上一致连续．定理2 设函数f 在区间I 上满足利普希茨（Lipschitz)条件,即存在常数0>L ,使得对I 上任意两点'x ，"x 都有"')"()'(x x L x f x f -≤-，则f 在I 上一致连续.证明：对0>∀ε，取，则对于,",'I x x ∈∀且δ<-"'x x ，有ε<-≤-"')"()'(x x L x f x f ，故f 在I 上一致连续.定理3 若单调有界的函数)(x f 在有限区间()b a ,内连续，则函数)(x f 在()b a ,上是一致连续的.证明：因为)(x f 是()b a ,内的单调有界的函数，由函数极限的单调有界定理，)(lim x f a x +→与)(lim x f bx -→都存在，可把)(x f 拓展为[]b a ,上的连续函数)(x F ，即 )(x F =()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∈=-+→→.),(lim ,,),(,),(lim b x x f b a x x f a x x f b x a x 由一致连续性定理，可得)(x F 在[]b a ,上一致连续，于是)(x f 为()b a ,内的一致连续函数.定理 4 设)(x f 在)[∞+,a 上连续，且)(lim x f x +∞→存在,证)(x f 在)[∞+,a 上一致连续.证明： A x f x =+∞→)(lim ∴ 0>∀ε ，0>∃M ，当M x >时，有 2)(ε<-A x f∴ 对[)+∞∈∀,",'a x x ，当M x x >",'时，有 εεε=+<-+-≤-22)'()'()"()'(A x f A x f x f x f 又 )(x f 在[]M a ,上连续∴ )(x f 在[]M a ,上一致连续，即0'>∃δ，当''"δ<-x x ，且∈",'x x []M a , 时，有 ε<-)"()'(x f x f∴ 只须取}41,'min{δδ=，则对[)+∞∈∀,",'a x x ，当δ<-'"x x 时，均有 ε<-)"()'(x f x f ∴ )(x f 在)[∞+,a 上一致连续.推论 )(x f 在),(-∞+∞上连续，且)(lim x f x +∞→，)(lim x f x -∞→)(∞<=B B ，则)(x f 在),(-∞+∞上一致连续．定理5 函数)(x f 在区间I 上一致连续的充要条件是对I 上任何二数列 {},{}n n x y I ∀∈当lim()0n n n x y →∞-=有n lim[()(]n n f x f y →∞-）=0. 证明 必要性 因为()f x 在I 一致连续，故0,0εδ∀>∃>，当n x ，n y I ∈有||n n x y δ-<，有|()(n n f x f y -）|<ε而 lim()0n n n x y →∞-=， 对于0δ>，∃N ∈N ，当n N >必有||n n x y δ-<，因而|()(n n f x f y -）|<ε即 n lim[()(]n n f x f y →∞-）=0 充分性（反证法） 设f (x)在I 上不一致连续，则有0ε>0，∀0δ>，∃'x ，''x I ∈，由|'''|x x δ-<得出0|(')('')|f x f x ε->取δ=1n ()n N ∈，∃,n n x y I ∈，由1||n n x y n-<得出 0|()()|n n f x f y ε->这里显然与当lim()0n n n x y →∞-=有n lim[()(]n n f x f y →∞-）=0矛盾 所以()f x 在I 上必一致连续.。
函数一致连续性证明论文
目录摘要 (1)1 引言.......................................................................... . (2)2 函数一致连续性的证明方法.......................................... . (2)2.1 有限区间上的一致连续函数 (2)2.2 无限区间上的一致连续函数 (4)2.3 任意区间上的一致连续函数 (5)3函数一致连续性的应用 (7)结论 (9)参考文献 (9)致谢…………………………………………………………….............,,.9函数一致连续性证明的几种方法及应用数学计算机科学学院摘要：函数一致连续性是数学分析课程中的一个重要概念,在分析问题中起着十分重要的作用.它不仅是闭区间上连续函数黎曼可积的理论基础，而且与随后的含参量积分，函数项级数等概念有着密切的联系.因此，证明函数的一致连续性是数学分析的一项重要内容.本文从函数一致连续性的概念出发，对函数一致连续性做出了深入分析，从不同类型区间包括有限区间，无限区间，以及任意区间等讨论了函数一致连续性和证明方法及其应用.关键词：函数；一致连续；充要条件；康托定理Function mean value theorem to prove and applicatioCollege of Mathematics and Computer Science ArtsAbstrac: The uniformly continuous function is an important concept of mathematical analysis course, plays a very important role in analyzing the matter. It is not only the continuous functions on closed interval Riemann integrable theoretical basis, and then the integral containing parameters, the concepts of series expressed by function terms has the close relation. As a result, the proof of function's consistent continuity is mathematical analysis is an important content. In this paper, starting from the concept of uniformly continuous function of uniformly continuous function has made the thorough analysis, from different types including limited interval, infinite interval, and arbitrary interval uniformly continuous function are discussed and proved method and its application.Key words: function;Uniformly continuous; Necessary and sufficient condition;Cantor theorem1引言函数()f x 在区间上一致连续与函数()f x 在区间上连续在概念上有着重大的差别：函数()f x 在区间上连续是函数()f x 在区间上每一点都连续，这是一个局部性质；而函数()f x 在区间上一致连续则是整体性质，它可推出函数()f x 在区间上每一点都连续这一局部性质，是更强的连续性概念.在这里我们对函数的一致连续性进行深入的探讨，并给出函数一致连续的几个证明方法与应用，以及在函数一致连续性的条件下得到的几个重要结论，以致更深入了解并掌握该定理.2函数一致连续性的证明方法函数一致连续的定义[1] 设函数()f x 为定义在区间I 上的函数.若对任给的正数ε，总存在正数δ，只要'x ，''x 属于I ，且'''x x δ-<，就有()()'''fx f x ε-<，则称函数()f x 在区间I 上一致连续.下面介绍函数一致连续性的几种方法 2.1 有限区间上的一致连续函数设函数()y f x =于区间(,)a b 上有定义, 记()()()12f A Sup f x f x δ=-( 式中1x 和2x 为(,)a b 中受条件12x x δ-≤限制的任意两点) 称为函数()f x 在区间(,)a b 上δ的振幅数.定理1 [2]函数()f x 在区间(,)a b 上一致连续的充分必要条件是()0lim 0f A δδ+→=. 证明 先证必要性 ()f x 于(,)a b 上一致连续, '0,0εδ∀>∃>，使(,)a b 中任何两点1x 和2x , 只要'12x x δ-<, 就有12()()2f x f x ε-<.于是对于任意满足'0δδ<<的δ, 则当12x x δ-≤ 时, 就有12()()2f x f x ε-<, 从而()()()122f A Sup f x f x εδε=-≤<, 所以()0lim 0f A δδ+→=. 再证充分性 设()0lim 0f A δδ+→=, '0,0εδ∀>∃>, 使当'0δδ<<时, 恒有()f A δε<, 令'*2δδ=，则*'0δδ<<, 设1x 和2x 为(,)a b 中满足*12x x δ-<任意两点, 有()*12()()f f x f x A δε-≤<, 所以()f x 于(,)a b 内一致连续.上式中区间(,)a b 可改为区间I定理2[3] （Cantor 定理） 若函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，则()f x 在[],a b 上一致续.定理3[4] 函数()f x 在开区间(),a b 上一致连续的充要条件是()f x 在(),a b 上连续，且lim ()xa f x +→与lim ()xb f x -→都存在. 证明 （必要性）设()f x 在(),a b 上一致连续，即0ε∀>，0δ∃> ，''',(,)x x a b ∀∈ ，且'''x x δ-< ， 有'''()()f x f x ε-< .故''',(,)x x a b ∀∈，当''',(,)x x a a δ∈+时，有'''()()f x f x ε-< .据Cauchy 准则， lim ()x a f x +→存在.同理lim ()x b f x -→存在. （充分性）作函数()f x 的连续延拓()F x(0),()(),(,)(0),f a x a F x f x x a b f b x b +=⎧⎪=∈⎨⎪-=⎩则()F x 在[],a b 上连续，由Cantor 定理，()F x 在[],a b 上一致连续，从而()f x 在(),a b 上一致连续.定理4[5]()f x 在有限区间 I 上一致连续的充要条件是：对于区间I 上的任一柯西列（基本列）{}n x 都有(){}n f x 也为柯西列（基本列）.证明:[必要性] 因为()f x 在I 上一致连续，即对任意的0ε>，存在0δ>，使得对任意的''',x xI ∈，当'''xx δ-<时，有()()'''f x f x ε-<，又{}n x 为I 中的柯西列，所以对上述δ，存在0N >，使得对于任意的,m n N >，都有m n x x δ-<，于是有()()m n f x f x ε-<，即(){}nf x 为柯西列.[充分性] 用反证法 假设()f x 在I 上非一致连续，即存在00ε>，使得对于任意的0δ>，存在''',x x I ∈，当'''x x δ-<时，有()()'''0f x f x ε-≥取1n δ=，则存在''',n n x x I ∈，且''1n n x x n-<，但()()''0n n f x f x ε-≥.又I 为有限区间，故{}n x 为有界数列.存在收敛子列{}k n x ，因()'''0k k n n x x n -→→∞，故{}'kn x 也收敛，且与{}''k n x 的极限相同，从而数列1122''''''''',,,,,,,k k n n n n n n x x x x x x 是一个柯西列，但其象序列1122'''''''''(),(),(),(),,(),()k k n n n n n n f x f x f x f x f x f x 恒有()()'''0k k n n f x f x ε-≥不是柯西列，这与(){}n f x 为柯西列相矛盾，故()f x 在I上一致连续.2.2 无限区间上的一致连续函数定理1 [6] 若函数()f x 在(,)((,))a b +∞-∞上连续且lim ()x a f x +→，lim ()x f x →+∞ (lim (),lim ())x x b f x f x -→-∞→都存在，则()f x 在(,)((,))a b +∞-∞上一致连续.证明 因lim ()x a f x +→存在，由Cauchy 准则，0ε∀>，X ∃，''',[1,)x x X ∀∈++∞，有'''()()f x f x ε-< 成立，所以()f x 在[1,)X ++∞ 上一致连续.又因()f x 在(,)a +∞上连续，有()f x 在(],1a X +上连续，已知lim ()x a f x +→存在，所以()f x 在 (],1a X +上一致连续.由一致连续函数区间具有可加性，得()f x 在(,)a +∞上一致连续. 定理2[7]设函数()f x 在[,)a +∞上一致连续，()g x 在[,)a +∞上连续，lim[()()]0x f x g x →+∞-=，则()g x 在[,)a +∞上一致连续.证明 已知lim[()()]0x f x g x →+∞-=，即0ε∀>, X a ∃> ，''',x x X ∀> 时，有 ''()()3f xg x ε-<.知()f x 在[,)a +∞上一致连续，故对上述0ε∀>，0δ∃>，''',x x X ∀>，当'''x x δ-< ，有''()()3f xg x ε-<.综上，''',x x X ∀>，且'''x x δ-<有''''''''''''()()()()()()()()333g x g x g x f x f x f x f x g x εεεε-≤-+-+-<++= ，即()g x 在[,)X +∞上一致连续，再由Cantor 定理()g x 在[,]a X 上一致连续，得()g x 在[,)a +∞上一致连续.2.3 任意区间上的一致连续函数定理1 设函数()f x 在区间I 上有定义．则函数()f x 在区间I 上一致连续的充要条件是区间I 上任意两个数列{}n x ，{}n y ，只要()l i m 0n n n x y →∞-=便有()()()l i m 0n n n f x f y →∞-=.证明 必要性 因为函数()f x 在区间I 上一致连续，则对任给的正数ε，存在正数δ ，对属于区间I 的任意两点'x , ''x ，只要'''x x δ-<，就有()()'''f x f x ε-<.又因为()lim 0n n n x y →∞-=，故对上述的正数δ ，存在正整数N ，使得当n N >时，有n n x y δ-<，从而有()()n n f x f y ε-<，所以：()()()l i m 0n n n f x f y →∞-=. 充分性 用反证法来证明：假设函数()f x 在区间I 上不一致连续，则存在正数0ε，使对任意的正数δ,都存在属于区间I 的'x ，'y ，使得当''1x y n-<时，但()()''0f x f y ε-≥，所以，对10n nδ=>，存在属于I 的两个数列{}n x ，{}n y ,使1n n x y n-<,但是()()0n n f x f y ε-≥,1,2,3,n = 于是得到数列{}{},n n x y I ⊂，显然()lim 0n n n x y →∞-=，但是()()()lim 0n n n f x f y →∞-≠．此结论与题设条件矛盾．所以充分性得证.注：可用此定理来证函数()f x 在区间I 上不一致连续.定理2 若函数()f x 在区间[),a +∞ (这里0a >)上满足利普希茨(Lipschitz)条件,即存在正数L ,使得对区间[),a +∞上任意两点'x ,''x ，都有：()()''''''fx f x L x x-≤-，则函数()f x 在区间[),a +∞上一致连续． 证明 由条件知，对任意的属于[),a +∞ 的x ，（即有0x a ≥>），有()()f x f a L x a -≤-， 因为：()()()()()()f x f a f x f a L x a L x a L x a -≤-≤-≤+=+则有()()()f x f a L x a ≤++又因为0x a >>，上式两边同除以x ，得：()()()()()1112f x f a f a f a a L L L x x x a a ⎛⎫≤++≤++=+ ⎪⎝⎭记()2f a L M a +=，由此可知：函数()f x x在区间[),a +∞上有界．对任给的正数ε，我们取正数：aM Lδε=+，当[)''',,x x a ∈+∞，且'''x x δ-< 有()()()()()()()()''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''()()()()()()1()f x x f x xf x f x x x x x x fx xf x x fx xf x x x x f x f x fx x x x x fx f x f x x x x x xL x x x x MxxL Mx x x L M x x a L --=-+-=⎡⎤---⎣⎦=-≤+⋅⋅---≤+⋅⎛⎫+ ⎪≤⋅- ⎪⎝⎭+≤⋅-+<M aaL Mεε⋅=+故函数()f x 在区间上一致连续.3 函数一致连续性的应用定理1 [8]设函数()f x 在区间(,)-∞+∞上有定义．若函数()f x 在区间(,)-∞+∞上一致连续，则存在非负实数,a b ，使对一切属于区间(,)-∞+∞的x ，都有()f x a x b ≤+.证明 因为函数()f x 在区间(,)-∞+∞上一致连续，故对正数1ε=，存在正数0δ，使当'''0x x δ-< 时，有'''()()1f x f x -<．对此正数0δ，对任给的属于实数的x ，必存在整数0n Z ∈（ Z 为整数集） 及实数000(,)x δδ∈-+,使得000x n x δ=+，再有函数()f x 在区间00[,]δδ-+上连续，从而有界，即存在正数M ， 使得对任意属于00[,]δδ-+的x ，有()f x M ≤. 于是有：{}000001()()((1))()nk f x f k x f k x f x δδ==+--++∑.所以有：000001()()((1))().(3)n k f x f k x f k x f x n M δδ=≤+--++≤+∑. 再由000x n x δ=+知0x x n δ-=，代入（3）式有：1()M (1).(4)x x x x xx f x M M x M δδδδδ-+≤+≤+=++≤++我们记1,1a M b δ=+=，则0,0a b >>则（4）式可记为(),(,)f x a x b x ≤+∈-∞+∞.注：此定理的几何意义为：当函数()f x 在区间(,)-∞+∞上一致连续时，曲线()y f x =的斜率有上界a .定理2 设函数()f x 在[),a +∞（这里0a >）上有定义.若函数()f x 在[),a +∞一致连续，则函数()f x x在区间[),a +∞上有界. 证明 由函数()f x 在区间[),a +∞上一致连续，得：对正数1ε=，存在正数δ，当[)''',,x x a ∈+∞，且'''x x δ-<时，有'''()()1f x f x -≤.再由函数()f x 在区间[,]a a δ+上连续，从而有界，即存在正数M ，使得对任意属于区间[,]a a δ+的x ，都有()f x M ≤.对任给的属于区间[),a +∞的x ，存在自然数0n N ∈（N 为自然数集）及属于[0,]δ的实数*x ，使得*0x a n x δ-=+，有*0x n a x δ-=+，则{}0*1()((1))()()n k f x f x k f x k f ax δ==----++∑得0*01()((1))()()n k f x f x k f x k f a x n M δ=-----++≤+∑.又因为*[0,]x δ∈及0x a ≥>，所以有00*00()1n M n M f x M x a n x a n aδδδ++≤≤≤++++ 我们记01MM aδ=+，则00M >.即有()f x M x ≤. 所以函数()f x 在区间[),a +∞上有界. 例1 讨论()f x x =在[)0,+∞上一致连续性 解: ()f x 于[)0,+∞上连续, 设0a >① 当0x a≤≤时, 设120,0x a x a≤≤≤≤,12x x δ-≤，则1212x x x x δ-≤-≤,()()()120f A Sup f x f x δδ≤=-≤ 且0lim 0δδ+→=,所以()f x 在[]0,a 上一致连续.② 当a x <<+∞时,1212122x x x x x x aδ--=≤+, 且0lim 02aδδ+→=所以()f x 在(),a +∞上一致连续. 综上,()f x 在[)0,+∞上一致连续.例2 证明()2y f x x == 在[],a b 上一致连续, 但在(),-∞+∞上不一致连续.解: 当[]12,,x x a b ∈, 12x x δ-≤时,()22121212x x x x x x a b δ-=+-≤+,而()0lim 0a b δδ+→+=所以()f x 在[],a b 上一致连续. 0δ∀>, 取()12122211,,,,2x x x x δδδ==+∈-∞+∞, 且有2121211x x rδδδ-=+≥,()()()12121f x x A Sup f x f x δδδ-≤=-≥而01lim δδ+→=+∞所以()f x 在(),-∞+∞上不一致连续. 例3 讨论()1f x x=在()0,+∞上一致连续性.10 解: 设两数列{}{}'12,,(1,2,...)n n x x n n n ⎧⎫⎧⎫===⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭ , ()'12lim lim 0n n n n x x n n →∞→∞⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭, 但'lim ()()lim 02n n n n n f x f x n →∞→∞-=-≠，所以()1f x x=在()0,+∞上不一致连续. 由以上几例可看出本文的几种方法对判别函数的一致连续性来说较为方便、简洁, 显示出了它的优越性.结论证明函数一致连续性有很多种不同的方法，本文从不同类型区间出发，给出了函数一致连续性的证明，运用利普希茨条件、康托定理和振幅数来证明函数一致连续性，通过证明，我们对上述一些定理进行了复习，从而更加深入熟练的掌握函数一致连续性的证明方法，以及它们的运用.参考文献：[1]华东师大数学系.数学分析[M].上册.北京：高等教育出版社，1990.[2]范新华.判别函数一致连续的几种方法.常州工学院学报.Vol.17.No.4,2004.08.[3]华东师大数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，1999.100-101.[4]王少英.一致连续函数的判别法.唐山师范学院学报.第29卷第5期，2007.09.[5]刘红艳.一致连续函数的判定.科技信息.第23期，2008.[6]刘玉莲.数学分析讲义[M].北京：高等教育出版社，1997.144.[7]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京.高等教育出版社，1993.96-99[8]张建建.函数一致连续性的几个证明方法.和田师范专科学校学报.2005.07. 致 谢本次论文要大力感谢我院给予的支持，在我院提供的资料及设备支持下使得论文写作得以顺利完成。
12函数一致连续性问题的思考-山晓东
函数一致连续性问题的思考山晓东(包头师范学院数学系)摘要 函数的一致连续性反映了函数在整个区间上的整体性质。
本文进一步分析了一致连续的本质意义以及一致连续性的运算法则的讨论。
关键词 连续，一致连续1 定义设函数()x f 在区间I 连续，I ∈α∀函数()x f 在点α连续。
根据连续定义：0,0>δ∃>ε∀（满足连续定义的δ有无限多，取较大者）δ<α-∀x :x 有()()ε<α-f x f .从连续的定义不难看出，δ的大小，一方面与给定的ε有关；另一方面与点α的位置也有关，也就是说当ε暂时固定时，因为点α的位置不同，δ的大小也不同，如下图：当ε暂时固定时,在点α附近函数图像较“缓”对应的δ较大，在点β附近函数图像较“陡”对应的δ较小。
于是当ε暂时固定时ααδαδα<-∀>∃I ∈∀x x :,0,有()()ε<α-f x f 成ε22立。
对于无限多个α，存在无限多个0>δα，那么无限多个αδ中是否存在最小的δ呢？一般说来，区间I 上的连续函数并不具有这种性质：对,0>∀ε对区间I 上的任意一点0x ，存在共同的即最小的,0>δ使得点0x 适合于连续性定义的要求。
就是说这是一种不同于连续性的新的性质，这种新的性质叫做一致连续性。
设函数()x f 在区间I 上有定义，若对,0,0>δ∃>ε∀使对区间I 上的任意一点0x ，当δ<-I ∈∀0,x x x 时恒有()()ε<-0x f x f 成立，则称函数()x f 在区间I 上一致连续。
这里，哪个是0x 哪个是x ，显然是无关紧要的。
因此我们不加区分，而用21x ,x 来表示它们。
这就是我们常见的一致连续性定义。
定义： 设函数()x f 在区间I 上有定义，若对,0,0>δ∃>ε∀对区间I 上的任意两点21x ,x 只要δ<-21x x 就有()()ε<-21x f x f 成立，则称函数()x f 在区间I 上一致连续。
函数一致连续性的判定及应用论文
本科毕业论文（设计）题目函数一致连续性的判定及应用学院数学与统计学院专业数学与应用数学年级2003学号xx姓名xx指导教师xx成绩2007 年4 月19 日函数一致连续性的判定及应用西南大学数学与统计学院，重庆 400715摘要：本文从函数连续与一致连续的概念和关系出发，主要对一元函数在不同类型区间上函数一致连续的判定方法进行了讨论，总结和应用，并且将部分判定一元函数一致连续的方法推广到了多元函数，使大家对函数一致连续的内涵有更全面的理解和认识。
关键词：函数；连续；一致连续函数Decisions of uniformly continuous function and applicationTANG YongThe School of Mathmatics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, ChinaAbstract: From the concept and the relation of continuity and uniformly continuity of the function, we research the methods of decisions of uniformly continuous function in different kinds of intervals. Moreover, we extend some of the results to function with many variables in different region.Key words: function; continuity; uniformly continuity1. 引言我们知道，函数的一致连续性是数学分析课程中的一个重要内容。
函数()f x在某区间内连续，是指函数()f x在该区间上一点f x在该区间内每一点都连续，它反映函数()附近的局部性质，但函数的一致连续性则反映的是函数()f x在给定区间上的整体性质，它有助于研究函数()f x的变化趋势及性质。
高等数学函数一致性连续性问题研究
科 教 研 究
高 等数 学 函数 一致 性 连 续性 问题 研究
郭 丽 娜 （ 西北 民族大 学 甘肃 兰州 ７ ３ ０ ０ ３ ０）
摘 要： 本文首 先对 函数的一致性和连 续性进行 了 理论 分析 同时举 例应用， 然 后理论 分析 函数连 续一致性 的条件 ， 和几个函数一致性 等价 的命题 。 使 得我 们 能够 全 面理解和 认 识函数 的 一致性 与连 续 性 。 关键 词 ： 一致 性 高教 函数 连续性 中图分 类号 ： ０１ 文献 标识 码 ： Ａ 文章编号 ： １ ６ ７ ３ — ９ ７ ９ ５ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ９ （ ｂ ） 一 ０ ０ ５ ２ － ０ １ 证明 ： （ 必要 性 ） 若 ｆ （ ｘ ） 在 （ ， ｂ ） 内一 致 连 续 ， 则对 ｖ ￡ ＞ ０， 函数 的 一 致 连 续 性 体 现 了 一个 连 续 函数 的 变 化 速 度 有 无 “ 突 ３ ５ ＞０， Ｖ ． ， Ｘ ｚ ∈（ ａ ， ｂ ） ， 且ｌ 一Ｘ ２ ｌ ＜６ 时， 何ｌ ／ （ ｔ ） 一 ｆ （ ｘ ！ ） ｆ ＜ ￡ ， 此 时 变” 。 它 要 求 函 数连 续性 不 仅 仅 只体 现 在 区 间上 的 每 一 点上 ， 还要 对端 点 ａ ， 当， Ｘｉ ， Ｘ２ ， 满 足 ０＜ｘ １ 一ａ＜６／ ２， ０＜ｘ ２一ｎ＜６／ ２ 时 ， 就 求 在 区 间 上所 有 点 邻 近 的 函数 有 大 致 变 化 趋 势 要 均 匀 ， 这就 是 函 有 Ｘ ｔ — Ｘ ２ ｌ ＜ Ｉ ， 一 ａ Ｉ ＋ｌ Ｘ ２ 一 ｌ ＜ ６， 于 是 ｌ ｉ ｆ ｘ ， ） 一厂 （ ｘ ２ ） ｝ ＜￡， 由扣 Ｉ 西 数的一致连续 。 ／ （ ） 存在 ， 同理 可知 ｌ ｉ ｍ ， （ ） 也存在 定义１ ： （ 函数 ｆ （ ｘ ） 区 间 ，上 连续 ） 区 间为 ，上 的 ｌ 厂 （ ） 函数， 若 对 准 则知 ， 从而／ （ ） 在 ￡ ＞ ０， 对 于 每一 点 ∈ Ｉ， 都 存 在 相 应 ５＝ ５ （ ｅ ， Ｘ ） ＞ ０， 只要 ’ ∈，， 且 （ ， ６ ） 连续， ｌ ｉ ｍ ， （ ） 与 ， （ ） 都存 往 ｌ ｘ — ’ Ｉ ＜ ５， 就有 ， （ ）ｆ （ ｘ ） Ｉ ＜ ￡， 则称 函数 ｆ （ ｘ ） 在 区 间 ，上 连 续 。
函数项级数的一致连续-概述说明以及解释
函数项级数的一致连续-概述说明以及解释1.引言1.1 概述函数项级数是数学分析中的重要概念，它是一种由函数构成的级数。
函数项级数的研究旨在探究级数中函数项的性质及其收敛性质。
在函数项级数的研究中，一致连续性是一个关键概念，它描述了函数项级数在整个定义域上的连续性特征。
本文的目的是探讨函数项级数的一致连续性及其重要性。
我们将首先介绍函数项级数的定义和性质，包括级数的收敛性质以及一致收敛性的概念。
接下来，我们将详细讨论一致连续性的概念和重要性，解释为什么一致连续性在函数项级数中起着重要的作用。
在函数项级数的研究中，一致连续性是确保级数在整个定义域上具有良好性质的重要条件。
一致连续性保证了函数项级数的逐项积分的可交换性，从而使得级数能够逐项积分或逐项微分。
此外，一致连续性还可以保证级数在定义域上的连续性，从而方便我们进行各种函数运算和推导。
函数项级数的一致连续性在数学分析及其应用领域中有着广泛的应用。
例如，它在微分方程的求解、傅里叶级数的收敛性分析以及函数逼近等问题中发挥着重要作用。
因此，深入理解函数项级数的一致连续性对于数学分析领域的研究和应用具有重要意义。
总结起来，本文将介绍函数项级数的一致连续性的定义和性质，并探讨该概念在函数项级数研究中的重要性和应用。
通过对函数项级数的一致连续性进行深入研究，我们可以更好地理解和应用函数项级数，为解决相关问题提供有力的数学工具和方法。
文章结构部分的内容如下：1.2 文章结构本文共分为三个主要部分：引言、正文和结论。
引言部分首先概述了函数项级数的一致连续性问题，引发了对该问题的思考和研究的动机。
然后介绍了文章的整体结构和各部分的内容安排，使读者对全文有一个整体的了解。
正文部分包括两个小节：函数项级数的定义和性质以及一致连续性的概念和重要性。
在函数项级数的定义和性质小节中，我们将介绍函数项级数的基本概念和一些重要的性质，为后续关于一致连续性的讨论做铺垫。
在一致连续性的概念和重要性小节中，我们将详细讨论一致连续性的概念，并探讨一致连续性在函数项级数中的重要性和应用。
一致连续的几何意义
一致连续的数学定义
对于函数f(x)，如果对于任意给定的正 数ε，都存在一个正数δ，使得当|x1x2|<δ时，有|f(x1)-f(x2)|<ε，则称f(x) 在区间I上是一致连续的。
数学定义中，δ是关于ε的函数，并且要 求对于任意的ε，δ都存在且δ随着ε的减 小而减小。
联系。
一致连续与函数空间的构造
一致连续的函数在函数空间的构造中起着重要的作用。例如，一致连续的函数可以构成 巴拿赫空间、希尔伯特空间等重要的数学空间。这些空间的性质和结构与一致连续的函
数密切相关。
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THANKS
一致连续的性质
一致连续的函数在闭区间上也是一致连续的。
一致连续的函数在有限区间上的性质与在无限区间上的性质类似，但需要 注意区间的限制。
一致连续的函数在每个子区间上的性质是一致的，即如果一个函数在两个 子区间上都是一致连续的，那么这两个子区间上的性质是相同的。
02 一致连续与连续的关系
连续与一致连续的区别
一致连续的优越性
稳定性
一致连续函数在定义域内的任何 一点都保持一致的变化趋势，因 此具有更好的稳定性。
分、实变函数等领域都有广泛的 应用，因为它们满足一些重要的 数学定理和性质。
数学分析中的重要
概念
在数学分析中，一致连续的概念 是重要的，因为它与函数的可积 性、可微性等概念密切相关。
曲线拟合
在数据分析和科学计算中，一致 连续的曲线可以用于拟合数据点，
以获得平滑的拟合结果。
曲面重建
在计算机图形学和三维建模中，一 致连续的曲面可以用于重建复杂的 物体表面。
浅谈函数的一致连续性
浅谈函数的一致连续性（渤海大学数理学院辽宁锦州 121000 中国）摘要：在数学分析中一致连续函数具有很重要的地位，其定义在数学分析中也算是一个难点。
本文主要从一致连续函数的直观理解深入到纯分析的论证，只从一致连续函数本身的性质入手。
首先，本文用大量篇幅给出了函数一致连续性的证明并做作比较系统的归纳，把函数一致连续性的证明方法归纳为四个部分：运用区间套定理，致密性定理，覆盖定理以及归结原则四种方法证明了一致连续性定理。
其次，本文比较完整的给出了一致连续性函数的判定方法及性质，为我们对一致连续性函数的应用打下了坚实的基础。
再次，本文系统、详尽地叙述了一致连续性函数与连续函数的关系，解决了连续函数与一致连续相互转化的问题。
最后，介绍了一致连续性函数的描述及其延拓问题。
使人们能够对它们有个全面的了解。
关键词：一致连续，一致连续性定理，一致连续性性质，连续函数，一致连续性判定。
Abstract: In the mathematical analysis of uniformly continuous function is a very important position, its definition in the mathematical analysis is also a difficulty. This article mainly from the consistent continuous function intuitive understanding of deep into the pure analysis argument, only from the start with the nature of uniformly continuous function itself. First of all, this paper devotes a lot of space gives the proof of uniform continuity of a function and artificial system are summarized, the proof of uniform continuity of a function methods into four parts: the use of nested interval theorem, compact theorem, covering theorem as well as this principle four methods proved uniform continuity theorem. Secondly, this paper gives a uniformly continuous function determination methods and properties, for us to the uniformly continuity of function application to lay a solid foundation. Again, in this paper, a detailed description of the system of uniform continuity of a function and relation of continuous function, solve the continuous function and the uniform continuity of mutual transformation problem. Finally, introduced the uniform continuity of a function is described and its extension. To enable peopleto have a comprehensive understanding of their.Key words: Uniform continuity, uniform continuity theorem, uniform continuity properties, continuous function, uniform continuity judgment.引言数学分析立足于研究有限维空间的函数分析，它研究了各式各样的函数，其中最重要的一类函数叫做一致连续性函数，它是数学分析乃至整个数学领域的重要部分。
对函数一致连续性的讨论
对函数一致连续性的讨论Discussion of the uniform continuityof the function函数的一致连续性概念是数学分析中的一个重要概念，但是由于它没有像连续函数、可导函数那样直观的几何意义，所以对一致连续概念只是从字面上掌握了其抽象定义，对其实质则很难透彻理解．本文从一致连续的定义、几何意义两个方面进行了详细阐述，希望能加深对一致连续性概念的理解．1、对定义的理解首先给出连续与一致连续的概念【1】：定义1 函数()f x 在区间I 上连续是指：0x I "?，0e ">，0d $>，当x I "?： 0x x d -<时，有0()()f x f x e -<．定义2 函数()f x 在区间I 上一致连续是指：0e ">，0d $>，当12x x I "?、： 12x x d -<时，有12()()f x f x e -<．（1）由定义可知，在区间I 上一致连续的函数一定是连续的．事实上，由一致连续性定义将1x 固定，令2x 变化，即知函数()f x 在1x 连续，又1x 是区间I 的任意一点，从而函数()f x 在I 连续．但反之则不成立，即在区间I 上连续的函数不一定一致连续．（2）比较两个定义可知：函数连续定义中的d 不仅与e 有关，还与0x 有关，即对于不同的0x ，d 一般是不同的，这表明只要函数在区间内每一点都连续，函数就在该区间连续；而一致连续定义中的d 只与e 有关，与0x 的选取无关，即对于不同的0x ，d 是相同的，这表明函数在区间上的一致连续性，不仅要求函数在这个区间的每一点都连续，而且要求在每点的连续要具有“一致性”，即对不同的0x ，能找到共同的d ，使得当0x x d -<时，有0()()f x f x e -<．而所谓共同的d ，就是所有d 的最小值，当最小值不存在时，函数就非一致连续．（3）函数一致连续的实质就是，当这个区间的任意两个彼此充分靠近的点上函数值的差的绝对值可以任意小，即12x x I "?、，当12x x d -<时，有12()()f x f x e-<【5】．（4）要注意函数一致连续的否定叙述一致连续的否定叙述就是非一致连续，即设函数()f x 在区间I 有定义，若00e $>，0d ">，12,x x I $?：12x x d -<，有()120()f x f x e -?，则称函数()f x 区间I 上非一致连续．总的来说，函数的连续性反映了函数的局部性质，而函数的一致连续性反映了函数在整个区间上的整体性质，两者之间既有区别又有联系。
大学数学毕业论文：关于函数的一致连续问题
关于函数的一致连续问题摘要:从函数的一致连续概念出发,总结了一致连续的条件及运算性质.关键词:函数;一致连续;连续在数学分析中,关于函数一致连续问题的理解与应用是理解数学中其他知识的基础,但目前各种教材对这类问题提出和总结得不够,广大数学爱好者很难对其有全面清晰的认识.为了加深对一致连续问题的认识,本文从一致连续的概念出发,总结了一致连续的条件、运算性质.1 一致连续及其相关概念定义1设f(x)在区间I上有定义,称函数f(x)在区间I上连续是指, x0∈I, ε> 0, δ> 0,当x∈I且x-x0 <δ时,有f(x) -f(x0) <ε.定义2 设f(x)在区间I上有定义,称函数f(x)在区间I上一致连续是指,对ε> 0, δ> 0(其中δ与ε对应而与x,y无关),使得对区间I上任意两点x,y,只要x-y <δ,就有f(x) -f(y) <ε.定义3 设f(x)在区间I上有定义,称函数f(x)在区间I上不一致连续是指,至少一个ε0>0,对δ>0,都可以找到x′,x″∈I,满足︱x′-x″︱<δ,但︱f(x′)-f(x″)︱≥ε0.评注1 比较函数在区间上的连续性与一致连续性的定义知,连续性的δ不仅与ε有关而且与x0有关,即对于不同的x0,一般说来δ是不同的.这表明只要函数在区间上的每一点处都连续,函数就在这一区间上连续.而一致连续的δ仅与ε有关,与x0无关,即对于不同的x0,δ是相同的,这表明函数在区间上的一致连续性,不仅要求函数在这一区间上的每一点处都连续,而且要求函数在这一区间上的连续是处处一致的.在区间I上一致连续的函数在该区间I上一定是连续的,反之,在I上连续的函数在该I上不一定是一致连续的.评注2 一致连续的实质,就是当这个区间的任意两个彼此充分靠近的点上的值之差(就绝对值来说)可以任意小.用定义证明f(x)在I上一致连续,通常的方法是设法证明f(x)在I上满足Lipschitz条件︱f(x′)-f(x″)︱≤L︱x′-x″︱, ∀x′,x″∈I,其中L为某一常数,此条件必成立.特别地,若f′(x)在I上是有界函数,则f(x)在I上Lipschitz条件成立.2 一致连续的条件及有关结论2.1 一致连续的条件定理1(G·康托定理) 若函数f(x)在区间[a,b]上连续,则它在这个区间上也是一致连续的.证明要证的是对于任意给定了的ε> 0,可以分区间[a,b]成有限多个小段,使得f(x)在每一小段上任意两点的函数值之差都小于ε,以下用反证法证之,若上述事实不成立,则至少对于某一个∈0> 0而言,区间[a,b]不能按上述要求分成有限多个小段.将[a,b]二等分为[a,c0]、[c0,b],则二者之中至少有一个不能按上述要求分为有限多个小段,把它记为[a1,b1].再将[a1,b1]二等分为[a1,c1]、[c1,b1],依同样的方法取定其一,记为[a2,b2].如此继续下去,就得到一个闭区间套[an,bn],n= 1,2,…,由区间套定理知, 唯一的点c属于所有这些闭区间.因c∈[a,b],所以f(x)在点x=c连续,于是可找到δ> 0,使︱x-c︱<δ(x∈[a,b])时,︱f(x) -f(c)︱<ε0/2.注意到c= lim lim n n n n a b →∞→∞=我们可取充分大的k,使 ︱ak-c ︱<δ, ︱bk-c ︱<δ,从而 对于[ak,bk]上任意点x,都有 ︱x-c ︱<δ,因此,对于[ak,bk]上的任意两点x1,x2都有 ︱f(x1) -f(x2)︱ ≤ ︱f(x1) -f(c) + f(c) -f(x2)︱ <0122∈∈+ =0∈ 这表明[ak,bk]能按要求那样分为有限多个小段(其实在整个[ak,bk]上任意两点的 函数值之差已小于0∈了),这是和区间[ak,bk]的定义矛盾的,这个矛盾表明我们在开始时 所作的反证假设是不正确的,从而定理的结论正确.评注3 定理1对开区间不成立.例如函数f(x) =1x在(0,1)的每一个点都连续, 但在该区间并不一致连续.事实上,对于任意小的δ>0,令x1=δ,x2=2δ,则 ︱x1-x2 ︱ =δ,而 ︱f(x1) -f(x2)︱ =111_22δδδ=,这时︱ x1-x 2︱ 可以任意小,但︱ f(x1) - f(x2) ︱可以任意大.函数f(x) = tanx 在(-2π,2π)也有类似的情形.以上两例讨论的 都是无界函数,而sin 1x在(0,1)内的每一点都连续,且显然在这个区间内有界,然而它也 没有一致连续性,因为有任意小(因而也就彼此任意接近)的数x1与x2存在,使sin 1x =1,sin 21x =- 1. 定理2 f(x)在区间I 上一致连续的充要条件是在区间I 上满足lim n →∞(xn-yn) = 0的任意两数列{xn}、{yn},必有lim n →∞[f(xn) -f(yn)] = 0. 证明 必要性.若f(x)在I 上一致连续,由一致连续性的定义, ∀ε>0, ∃δ>0,当︱xn-y n ︱ <δ时,︱ f(xn)-f(yn) ︱<ε,即任两数列{xn}、{yn},当n →∞时, ︱xn-y n ︱ → 0,则必有 ︱f(x0) -f(yn) ︱→0.充分性.用反证法,若两数列{xn}、{yn},当n →∞时, ︱xn-y n ︱ →0,︱ f(xn)-f(yn )︱ →0而f(x)在I 上不一致连续,那么一定∃ε0> 0,对∀δn> 0,存在xn,yn,当 ︱xn-y n ︱ <δn 时,︱ f(xn) -f(yn) ︱≥ε0,取δn →0,我们得到两数列{xn}、{yn},当n →∞时,xn- yn →0,但 ︱f(xn) -f(yn) ︱≥ε0,这与假设lim n →∞[f(xn) -f(yn)] = 0矛盾. 评注4 定理2所述的必要性常被用来判定一个函数是不是一致连续的.例如,函数f(x) = sin xπ,在区间(0,1)上是连续的且有界,但在此区间上并非一致 连续.事实上,当x ≠0时,由基本初等函数在其有定义的区间上连续知,f(x)是连续的, 同时,由于 ︱f(x) ︱≤1,因而它也是有界的.现考虑(0,1)上的两串数列xn=2n ,xn ′=21n + ,则当0<ε0<1时,不论δ>0取得多么小,只要n 充分大,总可以使 ︱xn-xn ′︱ =2(1)n n + <δ,但是 ︱f(xn) -f(xn’)︱ = 1 >ε0,因而f(x)在(0,1)上并非一致连续.定理3 设f(x)在有限区间I 上有定义,那么f(x)在I 上一致连续的充要条件是对任意柯西(Cauchy)列{xn} I,{f(xn)} R ′也是Cauchy 列.证明 必要性.因f(x)一致连续,即对 ε> 0, δ> 0,对 x ′,x ″∈I,只要 ︱x ′-x ″︱ <δ,就有 ︱f(x ′) -f(x ″)︱ <ε.设{xn} I 为Cauchy 列,于是对上面的δ> 0,必 N> 0,使当n,m>N 时,有 ︱f(xn) -f(xm )︱ <ε,即{f(xn)}是Cauchy 列.充分性.若不然,必 ε0> 0,x ′n,x ″n ∈I,虽然 xn ′-xn ″ <1n,但是︱ f(xn ′) - f(xn ″) ︱≥ε0,由{xn ′}有界知,存在收剑子列{xnk ′},从而{xnk ″}也收剑于同一点,显然xn1′,xn1″,xn2′,xn1″,…,是Cauchy 列,但是f(xn1′),f(xn1″),f(xn2′),f(xn2″),…,不是Cauchy 列,此为矛盾,故f(x)在I 上一致连续.定理4 设f(x)在有限区间(a,b)上连续,则f(x)在(a,b)上一致连续的充要条件是f(a+ 0)、f(b- 0)存在且有限.证明 充分性.令F(x) =f(a+ 0) (x=a),f(x) (x ∈(a,b)),f(b- 0) (x=b),则F(x)∈C[a,b],因此F(x)在[a,b]上一致连续,从而f(x)在(a,b)上一致连续.必要性.已知f(x)在(a,b)上一致连续,所以对于 ε> 0, δ> 0,当x ′,x ″∈(a,b)且︱x ′-x ″︱<δ时, ︱f(x ′) -f(x ″)︱<ε成立.对端点a,当x ′,x ″满足0 <x ′-a<2δ,0<x ″-a<2δ时,就有 ︱x ′-x ″︱ ≤ ︱x ′-a ︱+︱ x ″-a ︱<δ,于是︱ f(x ′)-f(x ″) ︱<ε.由Cauchy 收敛准则,f(a+ 0)存在且有限,同理可证f(b- 0)存在且有限.评注5 (1)当(a,b)为无穷区间,本例中的条件是f(x)在(a,b)上一致连续的条件充分但不必要.例如f(x)=x,φ(x)=sinx,x ∈(-∞,+∞)及g(x)= ∈(0,+∞)均为所给区间上的一致连续函数,但f(-∞) =-∞,f(+∞) =g(+∞) =+∞,φ(+∞)和φ(-∞)不存在.(2)定理提供了一个判断函数一致连续性简单而有效的方法.例如,研究下列函数 在所示区间上的一致连续性.i)f(x) =sin x x (0 <x<π);ii)f(x) = x e cos 1x(0 <x< 1). 解 i)因0sin lim x x x →= 1, sin lim x x x π→= 0,所以f(x)在(0,π)内一致连续.ii)因 limx →0+0excos1x 不存在,所以f(x)在(0,1)内不一致连续.(3)由定理知,若f(x)∈C(a,b),则f(x)可连续延拓到[a,b]上的充要条件是f(x)在(a,b)上一致连续.定理5 函数f(x)在区间I 上一致连续的充要条件是,对 ε>0及x,y ∈I,总正数N,使正︱ f(x) -f(y) ︱>N ︱ x-y ︱. (1)恒有︱ f(x) -f(y) ︱<ε. (2)证明 因为f(x)在I 上一致连续的定义等价于:对∀ε>0, ∃δ>0,使得对于∀x,y︱f(x) -f(y )︱ ≥ε, (3)就有 ︱x-y ︱≥δ.而题设条件为对 ε>0, N>0,对x,y ∈I,当不等式(3)成立时,︱f(x) -f(y )︱ ≤N ︱x-y ︱. (4)充分性.若题设中条件成立,则由(4)式得 ︱x-y ︱ ≥1N ︱f(x) -f(y) ︱，再由(3)式 得 ︱x-y ︱≥N ε,所以对给定的ε> 0,只要取δ=Nε,当x,y ∈I,且满足(3)时,就有 ︱x -y ︱≥δ成立.必要性.若f(x)在I 上一致连续,则对任给的ε> 0,存在δ> 0,使当x,y ∈I,且满足不等式(3)时,就有不等式 ︱x-y ︱≥δ成立,故 整数k,使得k δ≤ ︱x-y ︱ ≤(k+ 1)δ. (5)不妨设x<y,将[x,y]分成k+1等分,记xi-1(i=1,…,k+1)为其分点,由(5)式知 ︱xi-xi-1 ︱= ︱1x y k -+︱<δ,故︱ f(xi) -f(xi-1)︱ <ε,i= 1,2,…,k+ 1, ︱()()f x f y x y--︱≤{11k i +=∑︱()(1)f xi f xi --︱}/(1)2k k k δδδ+∈∈<< 令N= [2δ∈] + 1,则当I 中的点x,y使(3)式成立时,必有(4)式成立,从而(1)式成立时,有(2)式成立.评注6 本定理的证明是灵活运用一致连续定义的典范,它在理论研究上具有一定 的意义.2.2 一致连续函数的运算性质一致连续函数有一系列的运算性质,归结如下几个命题.命题1 设φ(x)与ψ(x)在区间I 上一致连续,则αφ(x) +βψ(x)在I 上一致连续 (α,β为任意常数).命题2 设φ(x),ψ(x)在有限区间I 上一致连续,那么ψ(x)ψ(x)在I 上也一致连续. 命题3 设φ(x),ψ(x)在无限区间I 上一致连续且有界,那么φ(x)ψ(x)在I 上也一 致连续.其中“有界”的条件不可少,例如f(x) =x 在(-∞, +∞)上一致连续,但无界,而f(x)·f(x) =2x 在(-∞, +∞)上不一致连续.命题4 设φ(x)在区间I 上一致连续且inf ()F x > 0,那么1f 在I 上也一致连续.最后应指出,一致连续函数的反函数,一般说来,不再一致连续,例如f(x)=(0, +∞)上一致连续而它的反函数1f- (x)= 2x 在(0,+∞)内不一致连续,但可以证明在有限区间上,结论仍真.[1] 斐礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,1993.93—103.[2] 王向东.数学分析中的概念与方法[M].上海:科学技术文献出版社,1989.278—299.[3] 周家云,刘一鸣.数学分析的方法[M].济南:山东教育出版社,1991.48—62..。
函数一致连续性的研究
分类号：西安文理学院数学系学士学位论文函数一致连续性的研究系院名称数学与计算机工程学院指导老师 xxxxx学生姓名 xxxxx学生学号 xxxxxxxxxxxxx专业班级数学与应用数学2008级1班提交时间二○一二年四月函数一致连续性的研究Xxx（xxxxxx 数学与计算机工程学院， 西安， 710065）摘要: 本文探讨了函数一致连续性的判定方法、基本性质及各区间的证明方法,对函数一致连续性的判定方法、基本性质及各区间的证明方法进行了深入分析,旨在读者能更好的掌握函数的一致连续性.首先介绍了一致连续的概念，其次给出了一致连续函数的判定方法。
再次证明了一致连续函数的基本性质。
最后探讨了一致连续函数在各区间上的证明方法。
为便于读者理解，在文章中还有对应的例题讲解。
关键词：一致连续性；判定；性质；区间Research on uniform continuity of a functionWang Zhihong( Xi'an University of Arts and Science math and computer engineering, Xi'an,710065)Abstract : This paper discusses the determination method of uniform continuity of a function, basic properties and the interval method, on uniform continuity of a function judging method, basic properties and the interval method to carry on the thorough analysis, aimed at readers can better grasp the uniform continuity of functions. First introduced the concept of uniform continuity, then the consistent continuous function determination method. Once again proved the basic properties of uniformly continuous function. Finally discusses the uniformly continuous function at each interval method. To facilitate the reader to understand, in the article as well as the corresponding examples to explain.Key words: uniform continuity, judgement, nature, interval. 一、函数一致连续性的概念1、定义：设函数)(x f 在区间I 有定义，若δδε<-∈∀>∃>∀212,1:,0,0x x I x x 有,)()(21ε<-x f x f 称函数)(x f 在I 上一致连续。
函数的一致连续性
1 引言 1.1 函数连续性定义 设函数()f x 在点0x 的某一邻域内有定义，如果当自变量的增量趋于零时，对应的函数的增量()()00y f x x f x ∆=+∆-也趋于零，那么就称函数()f x 在点0x 连续。
设0x x x=+∆则x ∆→就是x x →，()()()()000y f x x f x f x f x ∆=+∆-=-即 ()()0f x f x y =+∆可见0y ∆→就是()()0f x f x →因此（1）式与lim x x →()f x =()0f x 相当。
所以，函数()f x 在点0x 连续的定义又可叙述如下设函数()f x 在点0x 的某一邻域内有定义，如果函数()f x 当0x x →时的极限存在，且等于它在点0x 处的函数值()0f x 即那么就称函数()f x 在点0x 连续。
由函数()f x 当0x x →时的极限的定义可知，上述定义也可用“ε-δ”语言表达如下：设函数()y f x =在0x 的某一邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε，总存在着正数δ，使得对于适合不等式0x x δ-<的一切x 对应的函数值()f x 都满足不等式()()0f x f x -<ε那么就称函数()f x 在点0x 连续。
1.2 函数一致连续性定义定义 设函数()f x 在区间I 有定义,若∃ε> 0 , ∀ δ> 0 ,∃1x ,2x ∈I| 1x -2x | <δ,有|()()12f x f x - | <ε, 称函数()f x 在I 一致连续。
[１]对函数的一致连续性概念的掌握,应注意以下三个方面的问题: (1) 要注意函数在区间的连续性与一致连续性的区别和联系。
比较函数在区间的连续性和一致连续性定义可知:前者的δ不仅与ε有关,而且还与点0x 有关,即对于不同的0x 一般来说δ是不同的,这表明只要函数在区间内每一点都连续,函数就在区间连续;后者的δ仅与ε有关,与0x 无关,即对不同的0x ,δ是相同的。