7.5第1课时三角形内角和定理的证明-2020秋八年级北师大版数学上册作业课件

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北师大版八年级数学上册7.5三角形内角和定理(第1课时)教学设计

（二）讲授新知
1.教师引导学生回顾已学的三角形知识，如三角形的定义、分类等。
2.教师以直观的方式，通过动态课件或实物演示，让学生观察并发现三角形内角和等于180°的现象。
3.教师给出三角形内角和定理的表述，并对定理进行讲解，强调“任意三角形内角和都等于180°”。
4.教师通过具体的例子，如等边三角形、等腰三角形等，说明三角形内角和定理的适用范围。
3.教学评价：
（1）关注学生在课堂上的表现，评价他们的参与度、合作能力和解决问题的能力；
（2）通过课后作业和小测验，了解学生对三角形内角和定理的掌握情况；
（3）开展小组评价，让学生相互评价，提高他们的自我认知和团队协作能力。
4.教学反思：
教师在教学过程中要关注学生的反馈，及时调整教学策略，以提高教学效果。同时，教师要注重自身教学能力的提升，不断学习新的教学理念和方法，为学生提供更优质的教育。
1.培养学生的探究精神，鼓励学生主动发现问题、解决问题；
2.增强学生对数学美的感受，体会数学在生活中的应用价值；
3.培养学生严谨的学习态度，养成良好的学习习惯；
4.激发学生的爱国情怀，通过学习我国数学家的贡献，增强民族自豪感。
在教学过程中，教师要关注学生的个体差异，因材施教，使每个学生都能在原有基础上得到提高，实现全面发展。同时，注重启发式教学，引导学生主动思考、探索，使学生在轻松愉快的氛围中学习数学。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教师出示一块三角形的纸板，引导学生观察三角形，并提出问题：“同学们，你们知道三角形的内角和是多少度吗？如何证明三角形的内角和是180°呢？”
2.学生自由发表观点，教师收集不同的解题思路，为后续教学做好铺垫。
3.教师通过多媒体展示生活中含有三角形的实物图片，如房屋屋顶、三角形标志等，让学生感受三角形在生活中的广泛应用，从而引出本节课的学习内容：三角形内角和定理。

初中数学北师大版八年级上册三角形内角和定理的证明

4.在△ABC中, ∠A=40°，∠A=2∠B，则∠C＝_1_2_0_0 5.在△ABC中，已知∠A=80°，能否知∠B，∠C的度数？不能
应用新知
例1 如图，在△ABC中，∠B=38°,∠C=62°， A AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.
B
D
C当Leabharlann 达标B组（必做）1.三角形中三角之比为1∶2∶3，则最大角的度数是多少度？
北师大版义务教育教科书八年级数学（上） 7.5 三角形内角和定理
牛顿曾说：没有大胆的猜想，就没有伟大的发现！
情境导入三角形家族的官司风波
数
有一天图形王国里有一些三角形在一起聚会，可是他们因为
学
内角和的问题吵了起来。一个钝角三角形说：“我的钝角比你们
国
的角都大，所以我的内角和也最大。”一个锐角三角形说：“我的个子比你大，我是大三角形，你是小三角形，所以我的内角和肯定比你大。”一个直角三角形说：“不能只看一个钝角大就说
2.已知：△ABC中，∠C=∠B=2∠A.求∠B的度数？ 3.已知:如图，在△ABC中，∠A=60°，∠C=70°
点D、E分別在AB和AC上，且DE∥BC.
求证:∠ADE=50°.
C组（选做）
1.已知,如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB
(1)∠A=60°，则∠D =_____ (2)∠D=100°，则∠A=______ (3)你能写出∠A与∠F之间的关系吗？
2 1
B
A
D
4 3
C
总结反思学而不思则罔
回
头对自己说:你有什么收获
一
看，
对老师说:你有什么疑惑
我想
对同学说:你有什么启发

八年级数学上册 7.5.1 三角形内角和定理教案 (新版)北师大版-(新版)北师大版初中八年级上册数

课题：三角形内角和定理教学目标：1.掌握“三角形内角和定理”，理解三角形内角和定理的证明方法及证明过程.2．灵活运用三角形内角和定理解决相关问题.3．通过猜想、推理等数学活动，探究三角形内角和定理的证明思路和过程，初步体会辅助线在证明中的作用．教学重点与难点：重点：三角形内角和定理及其证明.难点：三角形内角和定理的证明及灵活应用解决相关问题.课前准备：多媒体课件、三角形纸板等 .一、创设情境，复习引入问题1：平行线的性质？问题2：证明一个命题有哪些步骤？问题3: 关于三角形的知识，你都知道哪些呢？问题4：如图，按规定，一块模板中AB、CD的延长线应相交成85°角．因交点不在板上，不便测量，工人师傅连接AC，测得∠BAC=32°，∠DCA=65°，此时AB、C D的延长线相交所成的角是不是符合规定？为什么？处理方式：教师出示题目，学生回答问题，问题的设置不仅起到复习的目的，也为新课的引入做了铺垫．预设学生回答．1．两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角相等．2．证明一个命题的一般步骤:（1）分清命题的条件和结论，根据题意，画出图形．（2）根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证．（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．3．三角形两边之和大于第三边；三角形具有稳定性；三角形按角分为直角三角形，锐角三角形和钝角三角形；三角形按边分为不等边三角形、等边三角形和等腰三角形；三角形三个内角和为180°．．．．．．4．不符合规定．延长AB、CD交于点O，∵△AOC中，∠BAC=32°，∠DCA=65°，∴∠AOC=180°-∠BAC-∠DCA=180°-32°-65°=83°＜80°，∴模板不符合规定．师导语：三角形的内角和从小学就开始学习，七年级又有了新的认识，这一节课我们将进一步通过动手操作、观察、合作、交流探究等方法来验证这一定理，并通过这一定理来解决有关问题．设计意图：设置问题情景，与学生前面所学知识紧密相连，在教学过程设计上从学生熟悉的知识创设情境，让学生简单地对三角形内角和的知识加以回忆，激发学生探究三角形内角和的兴趣．二、情境再现，探究新知（一）探索三角形内角和等于180°我们知道，三角形内角和等于180°．1．你还记得这个结论的探索过程吗？2．如图，如果我们只把∠A移到∠1的位置，你能说明这个结论吗？如果不移动∠A，那么你还有什么方法可以达到同样的效果？处理方式：对于第一个问题教师引导学生可以用量角器测量，用准备好的三角形纸片或三角形纸板进行折叠或剪拼，完成后小组讨论并展示结果．对于第二个问题，教师结合学生的完成情况，让学生代表说出结论和思路，针对学生的回答教师给予肯定和补充．预设学生回答：1．（1）用测量的方法：由于误差原因，有时可能不是180°．（2）用折纸的方法：先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行，然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合，最后得图示的结果．（3）用剪拼（撕纸）的方法：剪三个角，拼成一个平角；剪两个角，也是拼成一个平角；剪一个角，构造平行线，利用平行线判定和性质说明．2．构造平行线，可得同样效果．设计意图：在回忆中学习，在学习中探索，在探索中验证，通过学生亲身经历的探索活动，让学生进一步理解验证三角形内角和等于180°，不仅调动小组愉快的合作学习，也激发学生的学习兴趣．（二）证明三角形内角和等于180°根据前面给出的基本事实和定理，你能用自己的语言说说“三角形内角和等于180°”这一结论的证明思路吗？处理方式：结合探索三角形内角和，引导学生小组完成问题，学生发言后教师总结并板书证明过程及三角形内角和定理．已知：如图，△ABC．求证:∠A+∠B+∠C=180°。

7.5.1 三角形内角和定理八年级上册数学北师大版

E
F
∴∠A+∠B+∠C=180°.
B
D
C
思考
多种方法证明的核心是什么？
A
l
l
1
4
2
35
B
B
A
1
2 4 56
P
m
3
C
借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
总结为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角等，这种转化思想是数学中的常用方法.
7.5.1 三角形内角和定理
知识回顾
性质定理
平
行
线
的
性
质
命题证
明步骤
两直线平行，同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补
根据题意画出图形根据题意写出已知及求证写出证明过程
学习目标
1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°. 2.应用三角形内角和定理解决相关问题.
课堂小结
三角形内角和定理的证明
内容
三角形的内角和等于180°
证明
借助平行线将三个内角拼成一个平角
角“凑”到A处，他过点A作直线PQ∥BC(如图)，
他的想法可以吗?
A
P
Q
B
C
证明：如图，过点A作PQ∥BC，则
∠1=∠B( 两直线平行,内错角相等 ),
P
∠2=∠C( 两直线平行,内错角相等 ),
∵∠1+∠2+∠3=180° ( 平角的定义 ), ∴ ∠BAC+∠B+∠C=180° ( 等量代换 ).

7.5 三角形内角和定理知识考点梳理(课件)北师大版数学八年级上册

巧点
又 ∵∠C=90°，
拨 ∴∠D=180°-90°-55°=35°.
［答案］ A
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混
分析
领悟提能三角形的外角是由三角形的一边与另一边的
反向延长线组成的，由外角的性质可以把不在同一个三角
形中的几个内角联系起来．
7.5 三角形内角和定理
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方 ■方法：转化法求角度
法技
用已知角的度数求未知角的度数时，若几个角的位置分
巧点
布比较分散，那么我们利用平行线的性质、对顶角的性质
拨等将所求角与已知角“转移”到一个图形中求解.
7.5 三角形内角和定理
● 考点清单解读 ● 重难题型突破 ● 易错易混分析 ● 方法技巧点拨
7.5 三角形内角和定理
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考 ■考点一三角形内角和定理
点
清三角形内角和
单解
定理
三角形的内角和等于 180°
读如图，在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°
数学语言描述
7.5 三角形内角和定理
7.5 三角形内角和定理
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方例如图，已知∠A=35°，∠B=∠C=90°，则∠D 的度
法
技数是（
）
巧点
A. 35° B. 45°
C. 55°
D. 65°
拨
7.5 三角形内角和定理
方［解析］ ∵∠A=35 ° ，∠B=90°，
法技 ∴∠COD=∠AOB=180°-90°-35°=55°.
________（选填“增加”或“减少”）_______°.
7.5 三角形内角和定理
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重［解析］如解析图，延长 EF，交 CD 于点 G.

《第七章5三角形内角和定理》作业设计方案-初中数学北师大版12八年级上册

《三角形内角和定理》作业设计方案（第一课时）一、作业目标1. 掌握三角形内角和为180°的定理，并能够运用该定理解决实际问题。

2. 理解三角形内角和定理的推导过程，加深对几何图形与数学定理关系的理解。

3. 培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。

二、作业内容作业内容主要围绕《三角形内角和定理》的学习展开，具体包括以下几个部分：1. 理论学习：学生需认真阅读教材中关于三角形内角和定理的介绍，理解其含义及在几何学中的重要性。

2. 定理推导：学生需自行尝试推导三角形内角和为180°的定理，可通过使用量角器、画图等方式辅助理解。

3. 练习题：- 完成课本中关于三角形内角和的练习题，包括但不限于选择题、填空题、计算题等。

- 设计一个或多个实际问题，如求出已知两角求第三角的度数等，并记录解题过程。

4. 探究活动：鼓励学生开展小组探究活动，寻找生活中的三角形实例，验证三角形内角和定理的正确性。

三、作业要求1. 学生需认真完成每一项作业内容，确保理解透彻。

2. 练习题部分需独立完成，禁止抄袭他人答案。

3. 探究活动部分需小组合作完成，并做好记录，以备课堂展示。

4. 作业需按时提交，逾期未交者需说明原因并补交作业。

5. 作业需书写工整、格式规范，以利于教师批改和评价。

四、作业评价教师将根据以下标准对学生的作业进行评价：1. 理论学习部分：是否正确理解三角形内角和定理的含义及重要性。

2. 定理推导部分：推导过程是否正确、完整，是否能够清晰表达自己的思路。

3. 练习题部分：答案是否准确、完整，解题过程是否规范。

4. 探究活动部分：小组活动是否积极参与，记录是否详细、完整，是否能够证明三角形内角和定理的正确性。

5. 作业整体表现：是否按时提交作业，书写是否工整、格式是否规范等。

五、作业反馈教师将根据学生的作业情况给予相应的反馈和建议：1. 对于表现优秀的学生，给予表扬和鼓励，激发其学习热情。

2. 对于表现一般的学生，指出其不足之处，并提供改进建议。

7.5第1课时三角形内角和定理2-2021-2022学年八年级上册初二数学(教案)(北师大版)

四、们，今天我们将要学习的是《三角形内角和定理2》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要求解三角形角度的情况？”（如三角形的拼接、图形设计等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索三角形内角和定理的奥秘。
突破方法：设置具有实际背景的例题，引导学生分析问题、解决问题，让学生在实际应用中掌握三角形内角和定理。
（4）灵活运用定理解决复杂问题：学生在面对较复杂的三角形问题时，可能难以找到合适的解题思路。
突破方法：教师应引导学生分析问题、分解问题，将复杂问题转化为简单问题，逐步求解。同时，通过讲解不同解题方法，拓展学生的思维。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“三角形内角和定理在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
举例：通过折叠、拼接等方法，让学生观察并理解三角形内角和定理的证明过程。
（3）解决实际问题中的应用：使学生能够将三角形内角和定理应用于解决实际问题，培养学以致用的能力。
举例：在建筑设计中，如何利用三角形内角和定理计算三角形屋顶的各个角度？
2.教学难点
（1）三角形内角和定理的理解：部分学生可能难以理解为什么三角形的内角和是固定的180度，需要通过实际操作、动画演示等方式帮助学生理解。
1.注重理论与实践相结合，提高学生解决问题的能力；
2.加强对学生的引导，确保讨论和实践活动紧扣主题；

2022-2023学年北师大版八年级数学上册《7-5三角形的内角和定理》同步练习题(附答案)

2022-2023学年北师大版八年级数学上册《7.5三角形的内角和定理》同步练习题（附答案）一．选择题1．如图，B，C，D三点在一条直线，∠B＝56°，∠ACD＝120°，则∠A的度数为（）A．56°B．64°C．60°D．76°2．如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于D．若∠BAC＝128°，∠C＝36°，则∠DAE的度数是（）A．18°B．15°C．10°D．8°3．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，CD平分∠ACB，则∠ADC的度数是（）A．100°B．90°C．80°D．70°4．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D为BC边上的一点，点E在AC边上，∠ADE＝∠AED，若∠CDE＝10°，则∠BAD的度数为（）A．20°B．15°C．10°D．30°5．如图，把△ABC沿平行于BC的直线DE折叠，使点A落在边BC上的点F处，若∠B ＝50°，则∠BDF的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°6．如图，五角星的顶点为A、B、C、D、E，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为（）A．90°B．180°C．270°D．360°7．如图，在△ABC中，BE平分∠DBC，BD平分∠ABE，CE平分∠BCD，CD平分∠ACE，若∠D＝80°，则∠A等于（）A．30°B．35°C．50°D．85°8．如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③∠ADC＝90°﹣∠ABD；④BD平分∠ADC；⑤∠BDC＝∠BAC．其中正确的结论有（）A．5B．4C．3D．2二．填空题9．如图，D是△ABC内一点，∠ACB＝70°，∠1＝∠2，则∠D＝°．10．在三角板拼角活动中，小明将一副三角板按如图方式叠放，则拼出的∠α度数为．11．如图，AF和AD分别是△ABC的高和角平分线，且∠B＝35°，∠C＝75°，则∠BAC ＝，∠DAF＝．12．如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F．若∠ABC＝35°，∠C＝50°，则∠CDE的度数为．13．在△ABC中，已知AD是BC边上的高，∠BAD＝80°，∠CAD＝50°，则∠BAC＝．14．如图，若∠A＝∠B＝∠C＝35°，则∠CDB＝°．15．如图，已知线段BE、CF交于点O，∠COE＝150°，那么∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是．16．如图，在△ABC中，∠A＝α，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，⋅⋅⋅，∠A2020BC的平分线与∠A2020CD的平分线交于点A2021，得∠A2021，则∠A2021＝．三．解答题17．如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，DE⊥AB于点E，连接CE，∠ACE＝∠BCE，∠ACB＝50°，∠B＝60°．求∠CED的度数．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE 交AC的延长线于点E，点F为AC延长线上的一点，连接DF．（1）求∠CBE的度数；（2）若∠F＝25°，求证：BE∥DF．19．如图，在三角形ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝60°，∠C＝20°．（1）∠BAE的度数是．（2）∠DAE的度数是．（3）探究：如果把条件∠B＝60°，∠C＝20°改成∠B﹣∠C＝40°，你认为能得出∠DAE的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．20．“8字”的性质及应用：（1）如图1，AD，BC相交于点O，得到一个“8字”ABCD，试说明∠A+∠B＝∠C+∠D的理由；（2）如图2，以图中给的字母为顶点的“8字”有多少个；（3）如图2，∠ABC和∠ADC的平分线相交于点E，利用（1）中的结论试说明∠E＝（∠A+∠C）的理由．21．∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合）．（1）如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，∠AEB ＝°；（2）如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D．①若∠BAO＝60°，则∠D＝°；②随着点A，B的运动，∠D的大小是否会变化？如果不变，求∠D的度数；如果变化，请说明理由．22．我们定义：【概念理解】在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为130°、40°、10°的三角形是“完美三角形”．【简单应用】如图1，∠MON＝72°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON 于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与C、B重合点）（1）∠ABO＝°，△AOB（填“是”或“不是”）“完美三角形”；（2）若∠ACB＝90°，求证：△AOC是“完美三角形”；【应用拓展】如图2，点D在△ABC的边AB上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC 上取一点F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B，若△BCD是“完美三角形”，求∠B的度数．参考答案一．选择题1．解：∵∠ACD是△ABC的外角，∠ACD＝120°，∠B＝56°，∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝120°﹣56°＝64°，故选：B．2．解：∵AD⊥BC，∠C＝36°，∴∠CAD＝90°﹣36°＝54°，∵AE是△ABC的角平分线，∠BAC＝128°，∴∠CAE＝∠BAC＝×128°＝64°，∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝64°﹣54°＝10°．故选：C．3．解：∵∠A＝30°，∠B＝50°，∴∠ACB＝180°﹣30°﹣50°＝100°．∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ACB＝×100°＝50°，∴∠ADC＝∠BCD+∠B＝50°+50°＝100°．故选：A．4．解：∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠AED＝∠C+∠CDE，∠ADE＝∠AED，∠B＝∠C，∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝∠ADC﹣∠AED＝∠B+∠BAD﹣∠C﹣∠CDE＝∠BAD﹣∠CDE，∴∠BAD＝2∠CDE＝2×10°＝20°．故选：A．5．解：∵BC∥DE，∠B＝50°，∴∠ADE＝50°，又∵△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，∴∠ADE＝∠EDF＝50°，∴∠BDF＝180°﹣50°﹣50°＝80°，故选：C．6．解：如图，由三角形的外角性质得，∠1＝∠A+∠C，∠2＝∠B+∠D，∵∠1+∠2+∠E＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．故选B．7．解：∵BE平分∠DBC，BD平分∠ABE，CE平分∠BCD，CD平分∠ACE，∴∠ABD＝∠DBE＝∠CBE＝∠ABC，∠ACD＝∠DCE＝∠BCE＝∠ACB．在△BCD中，∠DBC＝∠DBE+∠CBE＝∠ABC，∠DCB＝∠DCE+∠BCE＝∠ACB，∠D＝80°，∴∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，即∠ABC+∠ACB+80°＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣80°＝100°，∴∠ABC+∠ACB＝150°．在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣150°＝30°．故选：A．8．解：∵AD平分∠EAC，∴∠EAC＝2∠EAD，∵∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ABC＝∠ACB，∴∠EAD＝∠ABC，∴AD∥BC，∴①正确；∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC，∴∠ACB＝2∠ADB，∴②正确；在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD＝180°，∵CD平分△ABC的外角∠ACF，∴∠ACD＝∠DCF，∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠DCF，∠ADB＝∠DBC，∠CAD＝∠ACB∴∠ACD＝∠ADC，∠CAD＝∠ACB＝∠ABC＝2∠ABD，∴∠ADC+∠CAD+∠ACD＝∠ADC+2∠ABD+∠ADC＝2∠ADC+2∠ABD＝180°，∴∠ADC+∠ABD＝90°∴∠ADC＝90°﹣∠ABD，∴③正确；∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵∠ADB＝∠DBC，∠ADC＝90°﹣∠ABC，∴∠ADB不等于∠CDB，∴④错误；∵∠ACF＝2∠DCF，∠ACF＝∠BAC+∠ABC，∠ABC＝2∠DBC，∠DCF＝∠DBC+∠BDC，∴∠BAC＝2∠BDC，∴⑤正确；即正确的有4个，故选：B．二．填空题9．解：∵∠ACB＝∠2+∠BCD＝70°，∠1＝∠2，∴∠1+∠BCD＝70°，在△BCD中，∠1+∠BCD+∠D＝180°，∴∠D＝180°﹣（∠1+∠BCD）＝180°﹣70°＝110°．故答案为：110．10．解：由题意可得：∠ABC＝45°，∠DBC＝30°，∠A＝90°，∴∠DBA＝∠ABC﹣∠DBC＝45°﹣30°＝15°，∴∠α＝∠A+∠DBA＝90°+15°＝105°．故答案为：105°．11．解：在△ABC中，∠B＝35°，∠C＝75°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣35°﹣75°＝70°，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝∠BAC＝×70°＝35°．∵AF是△ABC的高，∴∠AFC＝90°，∴∠F AC＝90°﹣∠C＝90°﹣75°＝15°，∴∠DAF＝∠DAC﹣∠F AC＝35°﹣15°＝20°．故答案为：70°；20°．12．解：∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABF＝∠EBF＝∠ABC＝17.5°，又∵AE⊥BD，∴∠AFB＝∠EFB＝90°，∴∠BAF＝∠BEF＝90°﹣17.5°＝72.5°，∵∠ABC＝35°，∠C＝50°，∴∠BAC＝180°﹣35°﹣50°＝95°，∴∠ADB＝180°﹣95°﹣17.5°＝67.5°，由于BD是△BDE的对称轴，由对称性可知，∠ADB＝∠EDB＝67.5°，∴∠CDE＝180°﹣67.5°﹣67.5°＝45°，故答案为：45°．13．解：如图1：∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝80°+50°＝130°；如图2：∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝80°﹣50°＝30°．故答案为：130°或30°．14．解：延长BD交AC于D，∵∠BDC＝∠DEC+∠C，∠DEC＝∠A+∠B，∴∠BDC＝∠A+∠B+∠C，∴∠CDB＝35°+35°+35°＝105°，故答案为：105．15．解：连接OA，OD，∵∠DOE是△AOE的外角，∴∠2+∠E＝∠DOE①．∵∠COD是△AOC的外角，∴∠1+∠C＝∠COD②，①+②得，∠1+∠2+∠E+∠C＝∠COE＝150°③，同理，∠COD是△ODF的外角，∠DOE是△OBD的外角，∴∠4+∠F＝∠COD④，∠3+∠B＝∠DOE⑤，④+⑤得，∠3+∠4+∠F+∠B＝∠COE＝150°⑥，∴③+⑥得，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝2∠COE＝300°．故答案为：300°．16．解：∵BA1、CA1分别是∠ABC、∠ACD的平分线，∴∠ABA1＝∠A1BC＝∠ABC，∠ACA1＝∠A1CD＝∠ACD，又∵∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，∴∠A1＝∠A1CD﹣∠A1BC＝∠ACD﹣∠ABC＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A＝α；同理∠A2＝∠A1＝（）2α，∠A3＝＝（）3α，∠A4＝＝（）4α，…∠A2021＝（）2021α，即∠A2021＝，故答案为：．三．解答题17．解：∵∠ACE＝∠BCE，∠ACE+∠BCE＝∠ACB＝50°，∴∠BCE＝20°，∠ACE＝30°．∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°，∴∠BDE＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°．∵∠BDE是△CDE的外角，∴∠BDE＝∠BCE+∠CED，∴∠CED＝∠BDE﹣∠BCE＝30°﹣20°＝10°．18．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，∴∠CBD＝130°．∵BE是∠CBD的平分线，∴∠CBE＝∠CBD＝65°；（2）∵∠ACB＝90°，∠CBE＝65°，∴∠CEB＝90°﹣65°＝25°．又∵∠F＝25°，∴∠F＝∠CEB＝25°，∴DF∥BE．19．解：（1）∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣60°﹣20°＝100°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠BAC＝50°；（2）∵AD⊥BC，∴∠ADE＝90°，而∠ADE＝∠B+∠BAD，∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝50°﹣30°＝20°；故答案为：（1）50°；（2）20°．（3）能．∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠BAC＝（180°﹣∠B﹣∠C）＝90°﹣（∠B+∠C），∵AD⊥BC，而∠ADE＝∠B+∠BAD，∴∠BAD＝90°﹣∠B，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝90°﹣（∠B+∠C）﹣（90°﹣∠B）＝（∠B﹣∠C），∵∠B﹣∠C＝40°，∴∠DAE＝×40°＝20°．20．解：（1）∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°，又∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）图2中有：ABCD、BEDC、ABED，BFDC、BFDH、ABHD6个“8字”；（3）∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠ABE＝∠CBE＝ABC，∠CDE＝∠ADE＝∠ADC，∵∠A+∠ABE＝∠E+∠ADE，∠C+∠CDE＝∠E+∠CBE，∴∠E＝（∠A+∠C）．21．解：（1）∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，∴∠AOB＝90°，∴∠OAB+∠OBA＝90°，∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，∴∠BAE＝∠OAB，∠ABE＝∠ABO，∴∠BAE+∠ABE＝（∠OAB+∠ABO）＝45°，∴∠AEB＝135°；故答案为：135；（2）①∵∠AOB＝90°，∠BAO＝60°，∴∠ABN＝150°，∵BC是∠ABN的平分线，∴∠OBD＝∠CBN＝150°＝75°，∵AD平分∠BAO，∴∠DAB＝30°，∴∠D＝180°﹣∠ABD﹣∠BAD﹣∠AOB＝180°﹣75°﹣30°﹣30°＝45°，故答案为：45；②∠D的度数不随A、B的移动而发生变化，设∠BAD＝α，∵AD平分∠BAO，∴∠BAO＝2α，∵∠AOB＝90°，∴∠ABN＝180°﹣∠ABO＝∠AOB+∠BAO＝90+2α，∵BC平分∠ABN，∴∠ABC＝45°+α，∵∠ABC＝180°﹣∠ABD＝∠D+∠BAD，∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD＝45°+α﹣α＝45°．22．解：（1）∵AB⊥OM，∴∠OAB＝90°，∴∠ABO＝90°﹣∠MON＝90°﹣72°＝18°，∵∠MON＝4∠ABO，∴△AOB为“完美三角形”，故答案为：18；是；（2）证明：∵∠MON＝72°，∠ACB＝90°，∠ACB＝∠OAC+∠MON，∴∠OAC＝90°﹣72°＝18°，∵∠AOB＝72°＝4×18°＝4∠OAC，∴△AOC是“完美三角形”；应用拓展：∵∠EFC+∠BDC＝180°，∠ADC+∠BDC＝180°，∴∠EFC＝∠ADC，∴AD∥EF，∴∠DEF＝∠ADE，∵∠DEF＝∠B，∴∠B＝∠ADE，∴DE∥BC，∴∠CDE＝∠BCD，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∴∠B＝∠BCD，∵△BCD是“完美三角形”，∴∠BDC＝4∠B，或∠B＝4∠BDC，∵∠BDC+∠BCD+∠B＝180°，∴∠B＝30°或∠B＝80°．。

三角形内角和定理的证明

课题：三角形内角和定理的证明授课教师：沧江中学王婉菊教材：北师大版教科书数学八年级上册第七章第五节第1课时一、教学目标【知识与技能】（1）三角形内角和定理的证明方法及证明过程的书写（1）三角形内角和定理的简单应用【过程与方法】（1）对比过去剪纸拼角等探索过程，体会思维实验和符号化的理性运用，（2）经历个体思考，小组交流，全班交流的合作化学习过程；（3）在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展合情推理能力，逐步养成逻辑推理能力，并形成一定的逻辑思维能力。

【情感与态度】（1）经历三角形内角和定理不同证明方法的探索过程，培养学生创造性，合作能力，体验解决问题的成就感，体会数学证明的严谨性和推理意义；（2）培养学生学习数学的兴趣，感悟逻辑推理的数学价值。

二、教学重点、难点重点：⑴三角形内角和定理的证明方法。

⑵合理的证明书写格式。

难点：辅助线的引入及定理的多种证明思路。

三、教学方法与手段八年级的学生思维活跃，好奇心强，但仍以具体形象思维为主，所以教学过程中采用引导探索法，组织学生开展以“实验—建模—验证—应用与拓展”为主的教学模式，边设疑边讲解，边实验边尝试，引导学生动手，动脑，动口，自主探究，合作交流，使学生真正成为学习的主体，感受数学的探究之趣。

四、教学过程环节教学内容及教师活动学生活动设计意图一、情景再现，导入新课问题1.在上一节课，我们已经研究了用推理的方法证明平行线的判定和性质定理。

今天，我们继续来研究三维图形世界的最基本模型——三角形的一些结论的证明。

首先，我们先来回顾一下三角形中关于角方面的结论是什么？问题2.你还记得这个结论的探索过程吗?①我们在小学时是怎样知道这个结论的？②七年级下册时是怎样知道这个结论的？（利用多媒体展示）③你能用数学方法证明定理吗？④回忆文字证明题的步骤。

1.学生思考：三角形内角和都是180度的结论2.学生回忆实验过程并思考怎样证明定理。

1.以身边的三角形引出三角形内角和定理，激发学生对三角形探究的兴趣。

北师大版数学八年级上册《三角形内角和定理的证明》说课稿1

北师大版数学八年级上册《三角形内角和定理的证明》说课稿1一. 教材分析北师大版数学八年级上册《三角形内角和定理的证明》这一节，是在学生已经掌握了角的定义，角的计算方法等基础知识之后进行的一节证明课。

本节课的主要内容是引导学生通过观察，推理，证明的过程，理解并掌握三角形内角和定理，即三角形的三个内角之和等于180度。

这个定理是几何学中的一个重要定理，对于学生后续的学习有着重要的指导意义。

二. 学情分析我所面对的学生是八年级的学生，他们已经具备了一定的逻辑思维能力和推理能力，对于角的计算方法也已经有了初步的了解。

但是，他们的证明能力还有待提高，对于如何将实际问题转化为数学问题，如何通过逻辑推理得出结论，还需要我在教学中进行引导和培养。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解三角形内角和定理的内容，并能够运用定理进行问题的解答。

2.过程与方法目标：学生通过观察，推理，证明的过程，提高自己的逻辑思维能力和推理能力。

3.情感态度与价值观目标：学生能够体验到数学的乐趣，增强对数学的学习兴趣。

四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解并掌握三角形内角和定理。

2.教学难点：学生能够通过逻辑推理，证明三角形内角和定理。

五. 说教学方法与手段在这一节课中，我将采用引导法，推理法，实践法等教学方法，引导学生通过观察，推理，证明的过程，理解并掌握三角形内角和定理。

同时，我会利用多媒体教学手段，为学生提供丰富的学习资源，帮助学生更好地理解和掌握知识。

六. 说教学过程1.导入：我会通过一个实际问题，引导学生思考三角形的内角和是多少，激发学生的学习兴趣。

2.新课导入：我会引导学生通过观察，推理，证明的过程，得出三角形内角和定理。

3.课堂讲解：我会对三角形内角和定理进行详细的讲解，让学生充分理解定理的内容。

4.课堂练习：我会设计一些练习题，让学生运用所学的定理进行解答，巩固所学知识。

5.课堂小结：我会对所学内容进行小结，帮助学生巩固记忆。

三角形内角和定理北师大版八年级数学上册PPT教学课件

证明:作BC的延长线CD,过点C
方作CE∥AB,则
A
法 ∠1=∠A 一 (两直线平行,内错角相等), B
12
C
E D
∠2= ∠B(两直线平行,同位角相等).
又∵∠1+∠2+∠3=1800 (平角的定义),
∴ ∠A+∠B+∠ACB=1800 (等量代换). 你还有其它方法来证明三角形内角和定理吗?.
思路总结
为了证明三个角的和为180°,利用逆向思考的方法,把问题转化为一个平角,同旁内角互补,或者两个直角之和,或者其它方法.这种转化思想是数学中的常用方法.
点拨（3分钟）
你还有其他方法来证明三角形内角和定理吗？
添加辅助线思路：1、构造平角
A
E
A
F
F
E
2、构造同旁内角
A
S
Q
P
N R
B
CB
D
7.5.1三角形内角和定理-北师大版八年级数学上册课件
第七章
平行线的证明
学习目标
1. 掌握三角形内角和定理的证明
2.能运用三角形内角和定理解决问题。
7.5.1三角形内角和定理-北师大版八年级数学上册课件
我们知道三角形的内角和等于180°。你还记得这个结论的探索过程吗？
（1）如图，如果我们把∠A移到∠1的位置，你能说明这个结论吗？如果不移到∠A，那么你还有什么方法可以达到同样的效果？
3
3
3点O是ABC与ACB的n等分线的交点，
OBC OCB 80 ,BOC 180 80
n
n
当BOC 170时，是八等分线的绞线所成的角
7.5.1三角形内角和定理-北师大版八年级数学上册课件

北师大版初中数学八年级上册《7.5 三角形内角和定理》同步练习卷(含答案解析

北师大新版八年级上学期《7.5 三角形内角和定理》同步练习卷一．选择题（共23小题）1．如图，在△ABC中，∠C=78°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=（）A．282°B．180°C．258°D．360°2．如图，BE、CF是△ABC的角平分线，∠A=50°，BE、CF相交于D，则∠BDC 的度数是（）A．115°B．110°C．100°D．90°3．如图，在△ABC中，AD和BE是角平分线，其交点为O，若∠BOD=70°，则∠ACB的度数为（）A．10°B．20°C．30°D．40°4．如图，BD，CD分别是内角∠ABC和外角∠ACE的平分线，若∠A=70°，则∠D=（）A．30°B．35°C．40°D．45°5．如图，∠ABC和∠ACB的外角平分线相交于点D，设∠BDC=β，那么∠A等于（）A．180°﹣B．180°﹣2βC．90°﹣βD．90°﹣6．如图，△ABC中，∠A=60°，点E、F在AB、AC上，沿EF向内折叠△AEF，得△DEF，则图中∠1+∠2的和等于（）A．60°B．90°C．120°D．150°7．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE外点A'的位置，则下列结论正确的是（）A．∠1+∠2=∠A B．∠1+∠2=2∠A C．∠1﹣∠2=∠A D．∠1﹣∠2=2∠A 8．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=30，∠2=20°，则∠B=（）A．20°B．30°C．40°D．50°9．已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E为AD上一点，且EF⊥BC于点F．若∠C=35°，∠DEF=15°，则∠B的度数为（）A．60°B．65°C．75°D．85°10．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（）A．75°B．80°C．85°D．90°11．如图△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是边AC上的高，则∠DBC的度数是（）A．36°B．26°C．18°D．16°12．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE平分∠ADC，∠B=45°，∠C=35°，则∠AED=（）A．80°B．82.5°C．90°D．85°13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A=26°，则∠ADE度数为（）A．71°B．64°C．38°D．45°14．如图，△ABC中，BD为△ABC的角平分线，CE为△ABC的高，CE交BD于点F，∠A=80°，∠BCA=50°，那么∠BFC的度数是（）A．110°B．l15°C．120°D．125°15．在△ABC中，∠A=150°．第一步：在△ABC上方确定一点A1，使∠A1BA=∠ABC，∠A1CA=∠ACB，如图1．第二步：在△A1BC上方确定一点A2，使∠A2BA1=∠A1BA，∠A2CA1=∠A1CA，如图2．照此下去，至多能进行（）步．A．3B．4C．5D．616．如图，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A=55°，∠D=15°，则∠P 的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°17．小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中∠E=90°，∠C=90°，∠A=45°，∠D=30°，则∠1+∠2等于（）A．150°B．180°C．210°D．270°18．如图，将△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠CDO+∠CFO=100°，则∠C的度数为（）A．40°B．41°C．42°D．43°19．如图，乐乐将△ABC沿DE，EF分别翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA 与EB重合于线段EO，若∠DOF=139°，∠C为（）A．38°B．39°C．40°D．41°20．如图，△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH ⊥BE，交BD于点G，交BC于点H．下列结论：①∠DBE=∠F；②2∠BEF=∠BAF+∠C；③∠F=∠BAC﹣∠C；④∠BGH=∠ABE+∠C．其中正确个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个21．如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A=90°，EG∥BC，且CG⊥EG 于G，下列结论：①∠CEG=2∠DCB；②∠DFB=∠CGE；③∠ADC=∠GCD；④CA平分∠BCG．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．422．如图，△ABC，∠ABC、∠ACB的三等分线交于点E、D，若∠BFC=128°，∠BGC=114°，则∠A的度数为（）A．64°B．62°C．70°D．78°23．如图，将一块直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C，若∠A=50°，则∠ABD+∠ACD的值为（）A．60°B．50°C．40°D．30°二．填空题（共17小题）24．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，BD与CE交于点M．若MN⊥BC于N，∠A=60°，则∠1﹣∠2=度．25．如图所示，在△ABC中，∠A=52°，若∠ABC与∠ACB的角平分线交于点D1，得到∠D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，得到∠D2；依此类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，得到∠D5，则∠D5的度数是．26．如图，三角形纸片ABC中，∠A=75°，∠B=60°，将纸片的一个角折叠，使点C落在△ABC内，∠α=25°，则∠β=．27．如图，把△ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示．若∠A=55°，∠1=95°，则∠2的度数为．28．如图，将△ABC沿着平行于BC的直线折叠，点A落到点A′，若∠C=135°，∠A=15°，则∠A′DB的度数为．29．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上一点，将△ABC沿DE折叠，使点A落在边BC上．若∠A=55°，则∠1+∠2+∠3+∠4=度．30．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且A′B平分∠ABC，A′C 平分∠ACB，若∠BA′C=110°，则∠1+∠2=．31．如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，∠B=48°，∠BAD=28°，将△ABD 沿AD折叠得到△AED，AE与BC交于点F，则∠AFC=°．32．如图，已知AB、CD相交于点O，且∠A=38°，∠B=58°，∠C=44°，则∠D=．33．如图，在△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE相交于点P，若∠A=70°，则∠BPC=°．34．如图，△ABE和△ACD是△ABC分别沿着AB、AC翻折而成的，若∠1=140°，∠2=25°，则∠α度数为．35．如图，点D、E、F、G、H分别是△ABC的边上一点，将△ABC三个角分别沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在△ABC内点O处，则∠1+∠2为°．36．如图，BE平分∠ABD，CF平分∠ACD，BE、CF交于G，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，则∠A=．37．如图，是一个不规则的五角星，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=．（用度数表示）38．如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，∠DCE=∠DEC，点F在AC、点G在DE的延长线上，∠DFG=∠DGF．若∠EFG=35°，则∠CDF的度数为．39．如图，在△ABC中，∠ABC=100°，∠ACB的平分线交AB边于点E，在AC边取点D，使∠CBD=20°，连接DE，则∠CED的大小=（度）．40．如图，在△ABC中，∠A=70°∠B=50°，点D，E分别为AB，AC上的点，沿DE折叠，使点A落在BC边上点F处，若△EFC为直角三角形，则∠BDF的度数为．三．解答题（共9小题）41．如图，在△ABC中，AD是高线，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC=50°，∠C=70°，求∠EAD与∠BOA的度数．42．在△ABC中，点D在边BA或BA的延长线上，过点D作DE∥BC，交∠ABC 的角平分线于点E．（1）如图1，当点D在边BA上时，点E恰好在边AC上，求证：∠ADE=2∠DEB；（2）如图2，当点D在BA的延长线上时，请直接写出∠ADE与∠DEB之间的数量关系，并说明理由．43．动手操作：一个三角形的纸片ABC，沿DE折叠，使点A落在点Aˊ处．观察猜想（1）如图1，若∠A=40°，则∠1+∠2=°；若∠A=55°，则∠1+∠2=°；若∠A=n°，则∠1+∠2=°．探索证明：（2）利用图1，探索∠1、∠2与∠A有怎样的关系？请说明理由．拓展应用（3）如图2，把△ABC折叠后，BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，若∠1+∠2=108°，利用（2）中结论求∠BA′C的度数．44．在△ABC中，BM平分∠ABC交AC于点M，点P是直线AC上一点，过点P 作PH⊥BM于点H．（1）如图1，当∠ACB=110°，∠BAC=30°，且点P与点C重合时，∠APH=°；（2）如图2，当点P在AC的延长线上时，求证：2∠APH=∠ACB﹣∠BAC；（3）如图3，当点P在线段AM上（不含端点）时，①补全图形；②直接写出∠APH、∠ACB、∠BAC之间的数量关系：．45．如图，在△ABC中，∠CAB=∠CBA，过点A向右作AD∥BC，点E是射线AD 上的一个动点，∠ACE的平分线交BA的延长线于点F．（1）若∠ACB=40°，∠ACE=38°，求∠F的度数；（2）在动点E运动的过程中，的值是否发生变化？若不变，求它的值；若变化，请说明理由．46．在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，F为射线AE上一点（不与点E重合），且FD⊥BC于D．（1）如图①，当点F与点A重合，且∠C=50°，∠B=30°时，求∠EFD的度数，并直接写出∠EFD与（∠C﹣∠B）之间的数量关系．（2）如图②，当点F在线段AE上（不与点A重合），∠EFD与∠C﹣∠B有怎样的数量关系？并说明理由．（3）当点F在△ABC外部时，在图③中画出符合题意的图形，并直接写出∠EFD 与∠C﹣∠B的数量关系．47．已知：如图，AM，CM分别平分∠BAD和∠BCD．①若∠B=32°，∠D=38°，求∠M的度数；②探索∠M与∠B、∠D的关系并证明你的结论．48．△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AE⊥BC，垂足为E，作CF∥AD，交直线AE于点F．设∠B=α，∠ACB=β．（1）若∠B=30°，∠ACB=70°，依题意补全图1，并直接写出∠AFC的度数；（2）如图2，若∠ACB是钝角，求∠AFC的度数（用含α，β的式子表示）；（3）如图3，若∠B＞∠ACB，直接写出∠AFC的度数（用含α，β的式子表示）．49．（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，则∠A，∠B，∠C，∠D四个角的数量关系是；（2）如图2，若∠BCD，∠ADE的角平分线CP，DP交于点P，则∠P与∠A，∠B的数量关系为∠P=；（3）如图3，CM，DN分别平分∠BCD，∠ADE，当∠A+∠B=80°时，试求∠M+∠N的度数（提醒：解决此问题可以直接利用上述结论）；（4）如图4，如果∠MCD=∠BCD，∠NDE=∠ADE，当∠A+∠B=n°时，试求∠M+∠N的度数．北师大新版八年级上学期《7.5 三角形内角和定理》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共23小题）1．如图，在△ABC中，∠C=78°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=（）A．282°B．180°C．258°D．360°【分析】先利用三角形内角与外角的关系，得出∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4），再根据三角形内角和定理即可得出结果．【解答】解：如图，∵∠1、∠2是△CDE的外角，∴∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C，即∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4）=78°+180°=258°．故选：C．【点评】此题主要考查了三角形内角和定理及外角的性质，三角形内角和是180°；三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和．2．如图，BE、CF是△ABC的角平分线，∠A=50°，BE、CF相交于D，则∠BDC 的度数是（）A．115°B．110°C．100°D．90°【分析】根据三角形内角和定理得到∠ABC+∠ACB=130°，根据角平分线的定义，三角形内角和定理计算．【解答】解：∵∠A=50°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°，∵BE、CF是△ABC的角平分线，∴∠EBC=∠ABC，∠FCB=∠ACB，∴∠EBC+∠FCB=×（∠ABC+∠ACB）=65°，∴∠BDC=180°﹣65°=115°，故选：A．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．3．如图，在△ABC中，AD和BE是角平分线，其交点为O，若∠BOD=70°，则∠ACB的度数为（）A．10°B．20°C．30°D．40°【分析】依据三角形外角性质，即可得到∠ABO+∠BAO=∠BOD=70°，再根据角平分线的定义，即可得到∠ABC+∠BAC=140°，进而得出∠C的度数．【解答】解：∵∠BOD是△ABO的外角，∴∠ABO+∠BAO=∠BOD=70°，又∵AD和BE是角平分线，∴∠ABC+∠BAC=2（∠ABO+∠BAO）=2×70°=140°，∴∠ACB=180°﹣140°=40°，故选：D．【点评】本题主要考查了三角形内角和定理的运用，解题时注意：三角形内角和是180°．4．如图，BD，CD分别是内角∠ABC和外角∠ACE的平分线，若∠A=70°，则∠D=（）A．30°B．35°C．40°D．45°【分析】根据角平分线的定义得到∠DCE=∠ACE，∠DBC=∠ABC，根据三角形的外角的性质计算即可．【解答】解：∵BD，CD分别是∠ABC与外角∠ACE的平分线，∴∠DCE=∠ACE，∠DBC=∠ABC，∵∠ACE﹣∠ABC=∠A=70°，∴∠D=∠DCE﹣∠DBC=∠A=35°，故选：B．【点评】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．5．如图，∠ABC和∠ACB的外角平分线相交于点D，设∠BDC=β，那么∠A等于（）A．180°﹣B．180°﹣2βC．90°﹣βD．90°﹣【分析】在△BCD中利用三角形内角和定理可求出∠BCD+∠CBD的度数，由角平分线的定理可得出∠CBE+∠BCF的度数，由邻补角互补可求出∠ABC+∠ACB 的度数，再在△ABC中利用三角形内角和定理即可求出∠A的度数．【解答】解：∵∠BCD+∠CBD+∠D=180°，∠D=β，∴∠BCD+∠CBD=180°﹣β．∵BD平分∠CBE，CD平分∠BCF，∴∠CBE+∠BCF=2（∠BCD+∠CBD）=360°﹣2β，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠CBE+180°﹣∠BCF=360°﹣（∠CBE+∠BCF）=2β．又∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠A=180°﹣2β．故选：B．【点评】本题考查了三角形内角和定理、邻补角以及角平分线的性质，利用三角形内角和定理、角平分线的性质及邻补角互补求出∠ABC+∠ACB的度数是解题的关键．6．如图，△ABC中，∠A=60°，点E、F在AB、AC上，沿EF向内折叠△AEF，得△DEF，则图中∠1+∠2的和等于（）A．60°B．90°C．120°D．150°【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠AEF+∠AFE的度数，再根据折叠的性质求出∠AED+∠AFD的度数，然后根据平角等于180°解答．【解答】解：∵∠A=60°，∴∠AEF+∠AFE=180°﹣60°=120°，∵沿EF向内折叠△AEF，得△DEF，∴∠AED+∠AFD=2（∠AEF+∠AFE）=2×120°=240°，∴∠1+∠2=180°×2﹣240°=360°﹣240°=120°．故选：C．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，翻转变换的性质，整体思想的利用是解题的关键．7．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE外点A'的位置，则下列结论正确的是（）A．∠1+∠2=∠A B．∠1+∠2=2∠A C．∠1﹣∠2=∠A D．∠1﹣∠2=2∠A 【分析】根据折叠的性质和三角形的外角的性质解答即可．【解答】解：∵△A′DE是△ADE沿DE折叠得到，∴∠A′=∠A，∵∠1=∠A+∠3，∠3=∠A′+∠2，∴∠1=∠A+∠A′+∠2，∴∠1﹣∠2=2∠A，故选：D．【点评】本题考查的是三角形的外角性质和图形的翻折变换，理清图中角与角的关系是解决问题的关键．8．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=30，∠2=20°，则∠B=（）A．20°B．30°C．40°D．50°【分析】利用角平分线的定义结合∠1的度数可得出∠CAE的值，进而可得出∠DAE、∠BAD的值，在△ABD中利用三角形内角和定理可求出∠B的值，此题得解．【解答】解：∵AE平分∠BAC，∠1=30，∴∠CAE=∠1=30°，∴∠DAE=∠CAE﹣∠2=10°，∴∠BAE=∠1+∠DAE=40°．∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴∠B=180°﹣∠BAD﹣∠ADB=50°．故选：D．【点评】本题考查了三角形内角和定理，牢记三角形内角和是180°是解题的关键．9．已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E为AD上一点，且EF⊥BC于点F．若∠C=35°，∠DEF=15°，则∠B的度数为（）A．60°B．65°C．75°D．85°【分析】先根据EF⊥BC，∠DEF=15°可得出∠ADB的度数，再由三角形外角的性质得出∠CAD的度数，根据角平分线的定义得出∠BAC的度数，由三角形内角和定理即可得出结论．【解答】解：∵EF⊥BC，∠DEF=15°，∴∠ADB=90°﹣15°=75°．∵∠C=35°，∴∠CAD=75°﹣35°=40°．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAC=2∠CAD=80°，∴∠B=180°﹣∠BAC﹣∠C=180°﹣80°﹣35°=65°．故选：B．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．10．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（）A．75°B．80°C．85°D．90°【分析】依据AD是BC边上的高，∠ABC=60°，即可得到∠BAD=30°，依据∠BAC=50°，AE平分∠BAC，即可得到∠DAE=5°，再根据△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，可得∠EAD+∠ACD=75°．【解答】解：∵AD是BC边上的高，∠ABC=60°，∴∠BAD=30°，∵∠BAC=50°，AE平分∠BAC，∴∠BAE=25°，∴∠DAE=30°﹣25°=5°，∵△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°，故选：A．【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为180°．解决问题的关键是三角形外角性质以及角平分线的定义的运用．11．如图△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是边AC上的高，则∠DBC的度数是（）A．36°B．26°C．18°D．16°【分析】根据三角形内角和定理求出∠A和∠C，根据垂直的定义得到∠BDC=90°，计算即可．【解答】解：∵∠A+∠C+∠ABC=180°，∠C=∠ABC=2∠A，∴2∠A+2∠A+∠A=180°，解得，∠A=36°，则∠C=72°，∵BD是边AC上的高，∴∠BDC=90°，∴∠DBC=90°﹣∠C=18°，故选：C．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．12．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE平分∠ADC，∠B=45°，∠C=35°，则∠AED=（）A．80°B．82.5°C．90°D．85°【分析】根据三角形的内角和定理可得∠BAC=100°，再利用角平分线的性质得到∠EDC=47.5°，最后利用三角形外角的性质得出结果．【解答】解：∵∠B=45°，∠C=35°，∴∠BAC=180°﹣45°﹣35°=100°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD═50°，∵∠ADC=∠B+∠BAD=50°+45°=95°，∵DE平分∠ADC，∴∠EDC═47.5°，∵∠AED=∠C+∠EDC，∴∠AED=35°+47.5°=82.5°．故选：B．【点评】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的性质及三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和及三角形外角的性质．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A=26°，则∠ADE度数为（）A．71°B．64°C．38°D．45°【分析】由折叠的性质可求得∠ACD=∠BCD，∠BDC=∠CDE，在△ACD中，利用外角可求得∠BDC，即可解决问题．【解答】解：由折叠可得∠ACD=∠BCD，∠BDC=∠CDE，∵∠ACB=90°，∴∠ACD=45°，∵∠A=26°，∴∠BDC=∠A+∠ACD=26°+45°=71°，∴∠ADE=180°﹣71°﹣71°=38°故选：C．【点评】本题主要考查折叠的性质，掌握折叠前后图形的对应线段和对应角相等是解题的关键．14．如图，△ABC中，BD为△ABC的角平分线，CE为△ABC的高，CE交BD于点F，∠A=80°，∠BCA=50°，那么∠BFC的度数是（）A．110°B．l15°C．120°D．125°【分析】依据三角形内角和定理，即可得到∠ABC=50°，依据BD为△ABC的角平分线，可得∠ABD=25°，根据CE为△ABC的高，即可得到∠BEF=90°，再根据三角形外角性质，即可得到∠BFC=∠BEF+∠ABD．【解答】解：∵∠A=80°，∠BCA=50°，∴∠ABC=50°，又∵BD为△ABC的角平分线，∴∠ABD=25°，∵CE为△ABC的高，∴∠BEF=90°，∴∠BFC=∠BEF+∠ABD=90°+25°=115°，故选：B．【点评】本题考查了三角形的内角和定理、三角形外角的性质以及角平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．15．在△ABC中，∠A=150°．第一步：在△ABC上方确定一点A1，使∠A1BA=∠ABC，∠A1CA=∠ACB，如图1．第二步：在△A1BC上方确定一点A2，使∠A2BA1=∠A1BA，∠A2CA1=∠A1CA，如图2．照此下去，至多能进行（）步．A．3B．4C．5D．6【分析】由三角形内角和定理可得出∠ABC+∠ACB=30°，由∠A1BA=∠ABC、∠A1CA=∠ACB结合三角形内角和定理可求出∠A1=120°，同理可求出∠A2=90°、∠A3=60°、…、∠A n=180°﹣30°•（n+1），令∠A n＞0°，求出n的最大值即可．【解答】解：∵∠A=150°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=30°．∵∠A1BA=∠ABC，∠A1CA=∠ACB，∴∠A1BC+∠A1CB=2（∠ABC+∠ACB）=60°，∴∠A1=180°﹣（∠A1BC+∠A1CB）=120°．同理可得：∠A2=90°，∠A3=60°，…，∠A n=180°﹣30°•（n+1），∴当∠A n＞0°时，180°﹣30°•（n+1）＞0°，解得n＜5，∴至多能进行4步．故选：B．【点评】本题考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理找出∠A n=180°﹣30°•（n+1）是解题的关键．16．如图，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A=55°，∠D=15°，则∠P 的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°【分析】延长PC交BD于E，根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据三角形的内角和定理可得∠A+∠1=∠P+∠3，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠5，整理可得∠P=（∠A﹣∠D），然后代入数据计算即可得解．【解答】解：如图，延长PC交BD于E，∵∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，∴∠1=∠2，∠3=∠4，由三角形的内角和定理得，∠A+∠1=∠P+∠3①，在△PBE中，∠5=∠2+∠P，在△DCE中，∠5=∠4﹣∠D，∴∠2+∠P=∠4﹣∠D②，①﹣②得，∠A﹣∠P=∠P+∠D，∴∠P=（∠A﹣∠D），∵∠A=55°，∠D=15°，∴∠P=（55°﹣15°）=20°．故选：B．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并作辅助线然后整理出∠A、∠D、∠P三者之间的关系式是解题的关键．17．小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中∠E=90°，∠C=90°，∠A=45°，∠D=30°，则∠1+∠2等于（）A．150°B．180°C．210°D．270°【分析】根据三角形的内角和定理和三角形外角性质解答即可．【解答】解：如图：∵∠1=∠D+∠DOA，∠2=∠E+∠EPB，∵∠DOA=∠COP，∠EPB=∠CPO，∴∠1+∠2=∠D+∠E+∠COP+∠CPO=∠D+∠E+180°﹣∠C=30°+90°+180°﹣90°=210°，故选：C．【点评】此题考查三角形内角和，关键是根据三角形的内角和定理和三角形外角性质解答．18．如图，将△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠CDO+∠CFO=100°，则∠C的度数为（）A．40°B．41°C．42°D．43°【分析】连接AO、BO．由题意EA=EB=EO，推出∠AOB=90°，∠OAB+∠OBA=90°，由DO=DA，FO=FB，推出∠DAO=∠DOA，∠FOB=∠FBO，推出∠CDO=2∠DAO，∠CFO=2∠FBO，由∠CDO+∠CFO=100°，推出2∠DAO+2∠FBO=100°，推出∠DAO+∠FBO=50°，由此即可解决问题．【解答】解：如图，连接AO、BO．由题意EA=EB=EO，∴∠AOB=90°，∠OAB+∠OBA=90°，∵DO=DA，FO=FB，∴∠DAO=∠DOA，∠FOB=∠FBO，∴∠CDO=2∠DAO，∠CFO=2∠FBO，∵∠CDO+∠CFO=100°，∴2∠DAO+2∠FBO=100°，∴∠DAO+∠FBO=50°，∴∠CAB+∠CBA=∠DAO+∠OAB+∠OBA+∠FBO=140°，∴∠C=180°﹣（∠CAB+∠CBA）=180°﹣140°=40°，故选：A．【点评】本题考查三角形内角和定理、直角三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识，学会把条件转化的思想．19．如图，乐乐将△ABC沿DE，EF分别翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA 与EB重合于线段EO，若∠DOF=139°，∠C为（）A．38°B．39°C．40°D．41°【分析】根据翻折的性质得出∠A=∠DOE，∠B=∠FOE，进而得出∠DOF=∠A+∠B，利用三角形内角和解答即可．【解答】解：∵将△ABC沿DE，EF翻折，∴∠A=∠DOE，∠B=∠FOE，∴∠DOF=∠DOE+∠EOF=∠A+∠B=139°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣139°=41°，故选：D．【点评】本题考查三角形内角和定理、翻折的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会把条件转化的思想，属于中考常考题型．20．如图，△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH ⊥BE，交BD于点G，交BC于点H．下列结论：①∠DBE=∠F；②2∠BEF=∠BAF+∠C；③∠F=∠BAC﹣∠C；④∠BGH=∠ABE+∠C．其中正确个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】①根据BD⊥FD，FH⊥BE和∠FGD=∠BGH，证明结论正确；②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确；③证明∠DBE=∠BAC﹣∠C，根据①的结论，判断出错误；④根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确．【解答】解：①∵BD⊥FD，∴∠FGD+∠F=90°，∵FH⊥BE，∴∠BGH+∠DBE=90°，∵∠FGD=∠BGH，∴∠DBE=∠F，①正确；②∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∠BEF=∠CBE+∠C，∴2∠BEF=∠ABC+2∠C，∠BAF=∠ABC+∠C，∴2∠BEF=∠BAF+∠C，②正确；③∠ABD=90°﹣∠BAC，∠DBE=∠ABE﹣∠ABD=∠ABE﹣90°+∠BAC=∠CBD﹣∠DBE﹣90°+∠BAC，∵∠CBD=90°﹣∠C，∴∠DBE=∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，由①得，∠DBE=∠F，∴∠F=∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，③错误；④∵∠AEB=∠EBC+∠C，∵∠ABE=∠CBE，∴∠AEB=∠ABE+∠C，∵BD⊥FC，FH⊥BE，∴∠FGD=∠FEB，∴∠BGH=∠ABE+∠C，④正确，∴正确的有①②④，共三个，故选：B．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，正确运用三角形的高、中线和角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键21．如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A=90°，EG∥BC，且CG⊥EG 于G，下列结论：①∠CEG=2∠DCB；②∠DFB=∠CGE；③∠ADC=∠GCD；④CA平分∠BCG．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据平行线、角平分线、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案．【解答】解：①∵EG∥BC，∴∠CEG=∠ACB，又∵CD是△ABC的角平分线，∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB，故正确；④无法证明CA平分∠BCG，故错误；③∵∠A=90°，∴∠ADC+∠ACD=90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴∠ADC+∠BCD=90°．∵EG∥BC，且CG⊥EG，∴∠GCB=90°，即∠GCD+∠BCD=90°，∴∠ADC=∠GCD，故正确；②∵∠EBC+∠ACB=∠AEB，∠DCB+∠ABC=∠ADC，∴∠AEB+∠ADC=90°+（∠ABC+∠ACB）=135°，∴∠DFE=360°﹣135°﹣90°=135°，∴∠DFB=45°=∠CGE，∴∠CGE=2∠DFB，∴∠DFB=∠CGE，故正确．∴正确的为：①②③，故选：C．【点评】本题主要考查的是三角形内角和定理，熟知直角三角形的两锐角互余是解答此题的关键．22．如图，△ABC，∠ABC、∠ACB的三等分线交于点E、D，若∠BFC=128°，∠BGC=114°，则∠A的度数为（）A．64°B．62°C．70°D．78°【分析】设∠GBC=x，∠DCB=y，在△BFC和△BGC中，根据三角形内角和定理列方程，相加可得：3x+3y的值，即可求结论．【解答】解：设∠GBC=x，∠DCB=y，在△BFC中，2x+y=180°﹣128°=52°①，在△BGC中，x+2y=180°﹣114°=66°②，解得：①+②：3x+3y=118°，∴∠A=180°﹣（3x+3y）=180°﹣118°=62°，故选：B．【点评】本题考查了三角形的内角和定理、三等分线的定义，利用整体的思想解决问题比较简便．23．如图，将一块直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C，若∠A=50°，则∠ABD+∠ACD的值为（）A．60°B．50°C．40°D．30°【分析】根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=130°，∠DBC+∠DCB=180°﹣∠DBC=90°，进而可求出∠ABD+∠ACD的度数．【解答】解：在△ABC中，∵∠A=50°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°，在△DBC中，∵∠BDC=90°，∴∠DBC+∠DCB=180°﹣90°=90°，∴∠ABD+∠ACD=130°﹣90°=40°；故选：C．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和为180°，此题难度不大．二．填空题（共17小题）24．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，BD与CE交于点M．若MN⊥BC于N，∠A=60°，则∠1﹣∠2=30度．【分析】利用三角形内角和和角平分线的定义，构建方程组即可解决问题；【解答】解：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠MBC=∠ABC，∠MCB=∠ACB，∴∠BMC=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠A）=90°+∠A=120°，∴∠1+∠BMN=120°①，∵MN⊥BC，∴∠2+∠BMN=90°②，①﹣②得：∠1﹣∠2=30°．故答案为：30【点评】此题考查了三角形内角和定理、角平分线的性质，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型．25．如图所示，在△ABC中，∠A=52°，若∠ABC与∠ACB的角平分线交于点D1，得到∠D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，得到∠D2；依此类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，得到∠D5，则∠D5的度数是56°．【分析】根据角平分线的性质和三角形的内角和定理可得．【解答】解：∵∠A=52°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣52°=128°，又∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∴∠ABD1=∠CBD1=∠ABC，∠ACD1=∠BCD1=∠ACB，∴∠CBD1+∠BCD1=（∠ABC+∠ACB）=×128°=64°，∴∠BD1C=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣64°=116°，同理∠BD2C=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣96°=84°，依此类推，∠BD5C=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣124°=56°．故答案为：56°．【点评】此题主要考查角平分线的性质和三角形的内角和定理，解决本题的关键是利用三角形内角和定理．26．如图，三角形纸片ABC中，∠A=75°，∠B=60°，将纸片的一个角折叠，使点C落在△ABC内，∠α=25°，则∠β=65°．【分析】首先根据四边形内角和定理可得：∠α+∠β+（180°﹣∠C）+∠A+∠B=360°，再算出∠C的度数，代入相应数值，即可算出∠β．【解答】解：根据四边形内角和定理可得：∠α+∠β+（180°﹣∠C）+∠A+∠B=360°，∵∠A=75°，∠B=60°，∴∠C=45°，∵∠α=25°，∴25°+∠β+180°﹣45°+75°+60°=360°，解得∠β=65°．故答案为：65°．【点评】本题主要考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．27．如图，把△ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示．若∠A=55°，∠1=95°，则∠2的度数为15°．【分析】首先根据三角形内角和定理可得∠AEF+∠AFE=125°，再根据邻补角的性质可得∠FEB+∠EFC=360°﹣125°=235°，再根据由折叠可得：∠B′EF+∠EFC′=∠FEB+∠EFC=235°，然后计算出∠1+∠2的度数，进而得到答案．【解答】解：∵∠A=55°，∴∠AEF+∠AFE=180°﹣55°=125°，∴∠FEB+∠EFC=360°﹣125°=235°，∵由折叠可得：∠B′EF+∠EFC′=∠FEB+∠EFC=235°，∴∠1+∠2=235°﹣125°=110°，∵∠1=95°，∴∠2=110°﹣95°=15°，故答案为：15°．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，翻折变换的性质，四边形的内角和等于360°，熟记定理并准确识图是解题的关键．28．如图，将△ABC沿着平行于BC的直线折叠，点A落到点A′，若∠C=135°，∠A=15°，则∠A′DB的度数为120°．【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠B，根据两直线平行，同位角相等可得∠ADE=∠B，再根据翻折变换的性质可得∠A′DE=∠ADE，然后根据平角等于180°列式计算即可得解．【解答】解：∵∠C=135°，∠A=15°，∴∠B=180°﹣∠A﹣∠C=180°﹣15°﹣135°=30°，∵△ABC沿着平行于BC的直线折叠，点A落到点A′，∴∠ADE=∠B=30°，∠A′DE=∠ADE=30°，∴∠A′DB=180°﹣30°﹣30°=120°．故答案为120°．【点评】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．29．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上一点，将△ABC沿DE折叠，使点A落在边BC上．若∠A=55°，则∠1+∠2+∠3+∠4=235度．【分析】依据三角形内角和定理，可得△ABC中，∠B+∠C=125°，再根据∠1+∠2+∠B=180°，∠3+∠4+∠C=180°，即可得出∠1+∠2+∠3+∠4=360°﹣（∠B+∠C）=235°．【解答】解：∵∠A=55°，∴△ABC中，∠B+∠C=125°，又∵∠1+∠2+∠B=180°，∠3+∠4+∠C=180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°﹣（∠B+∠C）=360°﹣125°=235°，故答案为：235．【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，综合运用各定理是解答此题的关键．30．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且A′B平分∠ABC，A′C 平分∠ACB，若∠BA′C=110°，则∠1+∠2=80°．【分析】连接AA′．首先求出∠BAC，再证明∠1+∠2=2∠BAC即可解决问题．【解答】解：连接AA′．∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∠BA'C=110°，∴∠A′BC+∠A′CB=70°，∴∠ABC+∠ACB=140°，∴∠BAC=180°﹣140°=40°，∵∠1=∠DAA′+∠DA′A，∠2=∠EAA′+∠EA′A，∵∠DAA′=∠DA′A，∠EAA′=∠EA′A，∴∠1+∠2=2（∠DAA′+∠EAA′）=2∠BAC=80°，故答案为80°．【点评】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识，属于中考常考题型．31．如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，∠B=48°，∠BAD=28°，将△ABD 沿AD折叠得到△AED，AE与BC交于点F，则∠AFC=104°．【分析】根据折叠的性质求出∠FAD=∠BAD=28°，根据三角形外角性质求出∠ADF，再根据三角形外角性质求出∠AFC即可．【解答】解：∵∠BAD=28°，将△ABD沿AD折叠得到△AED，AE与BC交于点F，∴∠BAD=∠FAD=28°，∵∠B=48°，∴∠ADF=∠B+∠BAD=48°+28°=76°，∴∠AFC=∠FAD+∠ADF=28°+76°=104°，故答案为：104．【点评】本题考查了折叠的性质和三角形外角的性质，能根据折叠的性质求出∠FAD的度数是解此题的关键．32．如图，已知AB、CD相交于点O，且∠A=38°，∠B=58°，∠C=44°，则∠D= 64°．【分析】根据三角形内角和定理即可求出答案．【解答】解：∵∠A+∠D=∠C+∠B，∴∠D=64°，故答案为：64°【点评】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是熟练运用三角形内角和定理，本题属于基础题型．33．如图，在△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE相交于点P，若∠A=70°，则∠BPC=110°．【分析】根据四边形的内角和等于360°，求出∠DPE的度数，再根据对顶角相等解答．【解答】解：∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，∴∠DPE=360°﹣90°×2﹣70°=110°，∴∠BPC=∠DPE=110°．故答案为：110°．【点评】本题考查了多边形的内角和，对顶角相等的性质，熟记定理并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．34．如图，△ABE和△ACD是△ABC分别沿着AB、AC翻折而成的，若∠1=140°，∠2=25°，则∠α度数为80°．【分析】依据∠1=140°，∠2=25°，可得∠3=15°，利用翻折变换前后对应角不变，得出∠2=∠EBA，∠3=∠ACD，进而得出∠BCD+∠CBE的度数，再根据三角形外角性质，即可得到∠α的度数．【解答】解：∵∠1=140°，∠2=25°，∴∠3=15°，由折叠可得，∠2=∠EBA=25°，∠3=∠ACD=15°，∴∠EBC=50°，∠BCD=30°，∴由三角形外角性质可得，∠α=∠EBC+∠DCB=80°，故答案为：80°．【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及三角形外角的性质的运用，利用翻折变换前后对应角不变得出是解题关键．35．如图，点D、E、F、G、H分别是△ABC的边上一点，将△ABC三个角分别沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在△ABC内点O处，则∠1+∠2为180°．【分析】根据折叠的性质得：∠A=∠DOE，∠B=∠GOH，∠C=∠EOF，中间以O 的顶点的周角为360°，和三角形内角和定理可得结论．【解答】解：由折叠的性质得：∠A=∠DOE，∠B=∠GOH，∠C=∠EOF，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠DOE+∠GOH+∠EOF=180°，∴∠1+∠2=360°﹣180°=180°，故答案为；180．【点评】本题考查了三角形内角和定理和折叠的性质，熟练掌握折叠前后的两个角相等是关键．36．如图，BE平分∠ABD，CF平分∠ACD，BE、CF交于G，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，则∠A=80°．【分析】根据三角形的内角和定理，及角平分线上的性质先计算∠ABC+∠ACB 的度数，从而得出∠A的度数．【解答】解：如图，连接BC．∵BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，∴∠ABE=∠DBE=∠ABD，∠ACF=∠DCF=∠ACD，又∠BDC=140°，∠BGC=110°，∴∠DBC+∠DCB=40°，∠GBC+∠GCB=70°，∴∠EBD+∠FCD=70°﹣40°=30°，∴∠ABE+∠ACF=30°，∴∠ABE+∠ACF+∠GBC+∠GCB=70°+30°=100°，即∠ABC+∠ACB=100°，∴∠A=80°．故答案为：80°．【点评】本题考查角平分线的性质及三角形的内角和定理，根据题意作出辅助线，构造出三角形是解答此题的关键．37．如图，是一个不规则的五角星，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．（用度数表示）【分析】根据三角形外角性质，可得∠1=∠C+∠2，∠2=∠A+∠D，那么有∠1=∠C+∠A+∠D，再根据三角形内角和定理有∠1+∠B+∠E=180°，从而易求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．【解答】解：如右图所示，∵∠1=∠C+∠2，∠2=∠A+∠D，∴∠1=∠C+∠A+∠D，又∵∠1+∠B+∠E=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．故答案是：180°．【点评】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质．三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和．38．如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，∠DCE=∠DEC，点F在AC、点G在DE的延长线上，∠DFG=∠DGF．若∠EFG=35°，则∠CDF的度数为70°．【分析】根据三角形内角和定理求出x+y=145，在△FDC中，根据三角形内角和定理求出即可．【解答】解：∵∠DCE=∠DEC，∠DFG=∠DGF，∴设∠DCE=∠DEC=x°，∠DFG=∠DGF=y°，则∠FEG=∠DEC=x°，∵在△GFE中，∠EFG=35°，∴∠FEG+∠DGF=x°+y°=180°﹣35°=145°，即x+y=145，在△FDC中，∠CDF=180°﹣∠DCE﹣∠DFC=180°﹣x°﹣（y°﹣35°）=215°﹣（x°+y°）=70°，故答案为：70°．【点评】本题考查了三角形内角和定理，能求出x+y=145是解此题的关键．39．如图，在△ABC中，∠ABC=100°，∠ACB的平分线交AB边于点E，在AC边取点D，使∠CBD=20°，连接DE，则∠CED的大小=10（度）．【分析】根据题意和图象，通过作辅助线，可以求得∠CED的度数，本题得以解决．【解答】解：延长CB到F，∵在△ABC中，∠ABC=100°，∠CBD=20°，∴∠ABF=80°，∠ABD=80°，∴AB平分∠FBD，又∵∠ACB的平分线交AB边于点E，∴点E到边BF，BD，AC的距离相等，∴点E在∠ADB的平分线上，即DE平分∠ADB，∵∠DBC=∠ADB﹣∠ACB，∠DBC=20°，∴，∴10°=，∵∠DEC=∠ADE﹣∠ACE=，∴∠DEC=10°，故答案为：10．【点评】本题考查三角形内角和定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．40．如图，在△ABC中，∠A=70°∠B=50°，点D，E分别为AB，AC上的点，沿DE折叠，使点A落在BC边上点F处，若△EFC为直角三角形，则∠BDF的度数为110°或50°．【分析】由内角和定理得出∠C=60°，根据翻折变换的性质知∠DFE=∠A=70°，再分∠EFC=90°和∠FEC=90°两种情况，先求出∠DFC度数，继而由∠BDF=∠DFC ﹣∠B可得答案．【解答】解：∵△ABC中，∠A=70°、∠B=50°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=60°，由翻折性质知∠DFE=∠A=70°，当∠EFC=90°时，∠DFC=∠DFE+∠EFC=160°，则∠BDF=∠DFC﹣∠B=110°；当∠FEC=90°时，∠EFC=180°﹣∠FEC﹣∠C=30°，∴∠DFC=∠DFE+∠EFC=100°，∠BDF=∠DFC﹣∠B=50°；综上，∠BDF的度数为110°或50°，故答案为：110°或50°．【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质及三角形内角和定理，熟知折叠的性质、三角形的内角和定理、三角形外角性质是解答此题的关键．。

北师大版八年级数学上册：7.5.1《三角形内角和定理》

数学基础知识
艾宾浩斯遗忘曲线
数学解题
如何保证数量选准一本与教材同步的辅导书或练习册。如何保证质量题不在多，而在于精，学会“解剖麻雀”。
1.做完一节的全部练习后，对照答案进落实：不仅要落实思维过程，而且要落行批改。实解答过程。 2.先易后难，先解决会做的题； 3.对于例题，有两种处理方式：“先做后看”与“先看后测”。
)
A.40°
B.50°
C.60°
D.140°
关闭
B
答案
轻松尝试应用 1 2 3 4 5 6
2.下图能说明∠1>∠2 的是(
)
关闭
C
答案
轻松尝试应用 1 2 3 4 5 6
3.如图,AE∥BD,∠1=120°,∠2=40°,则∠C 的度数是(
)
A.10°
B.20°
C.30°
D.40°
关闭
因为直线 AE∥BD,所以∠2=∠AEC=40°. 又因为∠1+∠AEC+∠C=180°, 所以 B ∠C=20°.
关闭
解析
答案
轻松尝试应用轻松尝试应用轻松尝试应用轻松尝试应用 1 2 3 4 5 6
4.已知在△ABC中,∠A=∠B=∠C,则∠C的度数是
.
关闭
90°
答案
轻松尝试应用 1 2 3 4 5 6
5.如图,∠1,∠2,∠3,∠4 的度数的和是
.
关闭
280°
答案
轻松尝试应用 1 2 3 4 5 6
5
三角形内角和定理
第一课时
三角形内角和定理
快乐预习感知
学前温故
新课早知
三角形的内角和是
180