剩余类理想

由以上四点可得到对一个模n剩余类环，求其所有子环和理想的一个方法。

思路：
第一，模n剩余类环对加法构成加群，根据群的定义，找出所有子群；
第三，对所有子群，根据环的定义，对乘法封闭，从所有子群里找出所有环；
第四，对所有子环，根据理想的定义，找出所有理想。

例题:找出模12的剩余类环的所有理想。

具体步骤：
第一步：
模12剩余类环所有元素的集合：
={[0],[1] ,[2] ,[3] ,[4] ,[5] ,[6] ,[7] ,[8] ,[9] ,[10] ,[11]}
找其对加法构成加群的子群，并因为其对加法构成的子群是循环群，所以用生成元表示：
([0])={[0]};
([1])=([11])= {[0],[1] ,[2] ,[3] ,[4] ,[5] ,[6] ,[7] ,[8] ,[9] ,[10] ,[11]}= ;
([2])=([10])={[0],[2],[4],[6],[8],[10]};
([3])=([9])={[0],[3],[6],[9]};
([4])=([8])={[0],[4],[8]};
([6])={[0],[6]};
第二步：
考虑对乘法的封闭性，求其子环：
([0])={[0]};
([1])=([11])= {[0],[1] ,[2] ,[3] ,[4] ,[5] ,[6] ,[7] ,[8] ,[9] ,[10] ,[11]}= ; ([2])=([10])={[0],[2],[4],[6],[8],[10]};
([3])=([9])={[0],[3],[6],[9]};
([4])=([8])={[0],[4],[8]};
([6])={[0],[6]};
第三步：
根据理想的定义，对以上的子环，求其理想：
([0])= ([12])={[0]};
([1])=([11])= {[0],[1] ,[2] ,[3] ,[4] ,[5] ,[6] ,[7] ,[8] ,[9] ,[10] ,[11]}= ; ([2])=([10])={[0],[2],[4],[6],[8],[10]};
([3])=([9])={[0],[3],[6],[9]};
([4])=([8])={[0],[4],[8]};
([6])=([6])={[0],[6]};
解答完毕。

通过观察以上的例子我们发现以下特点：
•模12剩余类环的所有对加法构成的子群，等于所有子环，等于所有理想;
•所有的子群（对加法）是循环群，所有的理想是主理想；
•第一列的所有生成元都是12的因子；
•第二列的所有生成元可表示为[12-],其中为12所有的因子.
于是我们有以下结论：
模n剩余类环的所有子群（对加法）是循环子群，所有理想是主理想，并且它们都可由n的所有因子作为生成元生成的(或者由n与其所有因子的差作为生成元生成)，它们的个数都为n的欧拉数。

特别地，当n是素数时，只有零理想和单位理想。

命题1模n剩余类环的所有子群（对加法）是循环子群；
这是显然的，因为模n剩余类环本身对加法构成循环群，而循环群的子群是循环群。

得证。

命题2模n剩余类环的所有理想是主理想；
对上面的所有循环子群（对加法），（[i]），
根据理想的定义，[a];[b],[c]（[i]）;有:
[b]-[c]=[b-c]（[i]）;
[a][b]=[ab]= （[i]）,同理：[b][a]（[i]）；
所以（[i]）做为一个理想，显然（[i]）是个主理想，记为。

由命题二的证明过程我们得知：所有循环子群（对加法）加上乘法都是模n剩余类环的主理想。

命题3模n剩余类环的所有循环子群可由n的所有因子作为生成元生成的(或者由n 与其所有因子的差作为生成元生成)，它们的个数都为n的欧拉数。

设：n的所有因子为,,,…,,…;为n的因子。

任意取一循环子群由[a]生成(0<a<n,a Z);
设d=(a,n);既d是n的因子不妨设为,则a=, n=(,Z, <),且(,)=1,则a的阶为,又a([])，推出([a])=([]),即该循环子群等价于n的一因子作为生成元生成。

综上所述，命题成立。

所以有以下结论：
模n剩余类环的所有理想是主理想，并且它们都可由n的所有因子作为生成元生成的(或者由n与其所有因子的差作为生成元生成)，它们的个数都为n的欧拉数。

推论：当n是素数时，模n剩余类环只有零理想和单位理想。

例题1:找出模18的剩余类环的所有理想。

解：
18的因子：1，2，3，6，9，18；
由上述结论知：所有理想为：（[0]），（[1]），（[2]），（[3]），（[6]），（[9]）。

（注：通常([n])用([0])代替，二者等价）
例题2:找出模7的剩余类环的所有理想。

解：
7是素数，由推论知：所有理想为：（[0]），（[1]）。