知识要点-直线的倾斜角与斜率及直线方程 - 副本教师
直线的倾斜角、斜率及方程知识点总结
直线的倾斜角、斜率及方程知识点总结一、倾斜角：重点：取值范围：0≤a ＜180° 二、斜率k ：1、当a ≠90°时，斜率k=tana ；2、当a=90°时，斜率k 不存在；（联系正切函数的定义域去理解）3、两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的斜率公式：）间的斜率公式：k=y 2-y 1/x 2-x 1理解：①两点间斜率要求x 1≠x 2，因为当x 1=x 2时，直线垂直于x 轴，倾斜角为90°，斜率k 不存在；在；②当x 1≠x 2且y 1=y 2时，直线垂直于y 轴，倾斜角为0°，斜率k=0 三、各表达式之间的区别与联系：名称名称公式公式备注备注点斜式点斜式y-y 0=k(x-x 0)1、联系斜率公式进行理解联系斜率公式进行理解2、已知一定点P 0（x 0，y 0）和斜率k ； 斜截式斜截式 y=kx+b 1、 联系点斜式进行理解；联系点斜式进行理解；2、 此时是已知一定点P （0，b ）和斜率k ； 3、 b 表示直线在y 轴上的截距轴上的截距 两点式两点式y-y 1/y 2-y 1=x-x 1/x 2-x 11、 两点式要求x 1≠x 2且y 1≠y 2；2、 当x 1=x 2且y 1≠y 2时，直线垂直于x轴；轴； 3、 当x 1≠x 2且y 1=y 2时，直线垂直于y 轴。
轴。
截距式截距式 x/a+y/b=1 1、 联系两点式进行理解；联系两点式进行理解；2、 点P 1（a ，0），P 2（0，b ）分别为直线与坐标轴的交点坐标；线与坐标轴的交点坐标； 一般式一般式Ax+By+C=0（A 、B 不同时为零）不同时为零）1、 联系二元一次方程组的相关知识点理解；理解；2、 熟练掌握A 、B 、C 对直线位置的影响作用。
响作用。
四、斜率k与截距b对直线位置的影响：1、k对直线位置的影响：对直线位置的影响：时，直线向右上方倾斜；①当k＞0时，直线向右上方倾斜；时，直线向右下方倾斜；②当k＜0时，直线向右下方倾斜；轴；③当k=0时，此时倾斜角为0，直线平行与x轴；轴平行。
高二数学直线的倾斜角和斜率2(教师版)
学科教师辅导讲义【课堂小练】一．选择题：1．下列命题正确的是（ ）（A ）若直线的斜率存在，则必有倾斜角α与它对应 （B ）若直线的倾斜角存在，则必有斜率与它对应 （C ）直线的斜率为k ，则这条直线的倾斜角为arctan k （D ）直线的倾斜角为α，则这条直线的斜率为tanα 2．过点M (–2, a ), N (a , 4)的直线的斜率为–21，则a 等于（ ） （A ）–8 （B ）10 （C ）2 （D ）4 3．过点A (2, b )和点B (3, –2)的直线的倾斜角为43π，则b 的值是（ ） （A ）–1 （B ）1 （C ）–5 （D ）54．如图，若图中直线l 1, l 2, l 3的斜率分别为k 1, k 2, k 3，则（ ） （A ）k 1<k 2<k 3 （B ）k 3<k 1<k 2 （C ）k 3<k 2<k 1 （D ）k 1<k 3<k 25．已知点M (cosα, sinα), N (cosβ, sinβ)，若直线MN 的倾斜角为θ，0<α<π<β<2π, 则θ等于（ ）（A ）21(π+α+β) （B ）21(α+β) （C ）21(α+β–π) （D ）21(β–α) 6．若直线l 的斜率为k =–ab(ab >0)，则直线l 的倾斜角为（ ）（A ）arctan a b （B ）arctan(–a b ) （C ）π–arctan a b （D ）π+arctan ab【参考答案】1—6、ABABCC. 二．填空题：7．已知三点A (2, –3), B (4, 3), C (5,2m)在同一直线上，则m 的值为 . 8．已知y 轴上的点B 与点A (–3, 1)连线所成直线的倾斜角为120°，则点B 的坐标为 . 9．若α为直线的倾斜角，则sin(4π–α)的取值范围是 10．已知A (–2, 3), B (3, 2)，过点P (0, –2)的直线l 与线段AB 没有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是 .【参考作案】7、 12. 8、（0，-2）. 9、2[1,].2- 10、54(,).23-三．解答题11．求经过两点A (2, –1)和B (a , –2)的直线l 的倾斜角。
第2章 2.2.1 直线的倾斜角与斜率-人教B版(2021)高中数学选择性必修第一册讲义
2.2 直线及其方程2.2.1直线的倾斜角与斜率学习目标核心素养1．理解直线的倾斜角和斜率的概念．(重点)2．理解直线斜率的几何意义；掌握倾斜角与斜率的对应关系．(重点)3．掌握过两点的直线的斜率公式．(重点) 4．直线倾斜角与斜率的对应关系在解题中的应用．(难点)5．掌握直线的方向向量和法向量．(重点) 1．通过直线的倾斜角与斜率的概念学习，培养数学抽象的核心素养．2．借助倾斜角与斜率的关系，提升数学运算的核心素养．1．直线的倾斜角(1)倾斜角的定义一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角．(2)当直线与x轴平行或重合时，规定该直线的倾斜角为0°．(3)倾斜角α的范围为[0°，180°)．2．直线的倾斜角与斜率一般地，如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线上l两个不同的点，直线l的倾斜角为θ，则：(1)当y 1＝y 2时(此时必有x 1≠x 2)，θ＝0°． (2)当x 1＝x 2时(此时必有y 1≠y 2)，θ＝90°． (3)当x 1≠x 2且y 1≠y 2时，tan θ＝y 2－y 1x 2－x 1．[提示] 成立．(4)一般地，如果直线l 的倾斜角为θ，当θ≠90°时，称k ＝tan θ为直线l 的斜率，当θ＝90°时，称直线l 的斜率不存在．(5)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是直线l 上两个不同的点，当x 1≠x 2时，直线l 的斜率为k ＝y 2－y 1x 2－x 1．[提示] k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝k BA ＝y 1－y 2x 1－x 2，所以直线AB 的斜率与A 、B 两点的顺序无关．[提示] 不是，当倾斜角为90°时，直线的斜率不存在． 3．直线的方向向量(1)一般地，如果表示非零向量a 的有向线段所在的直线与直线l 平行或重合，则称向量a 为直线l 的一个方向向量，记作a ∥l ．(2)如果a 为直线l 的一个方向向量，那么对于任意的实数λ≠0，向量λa 都是l 的一个方向向量，而且直线l 的任意两个方向向量一定共线．(3)如果A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是直线l 上两个不同的点，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)是直线l 的一个方向向量．[提示] (1,1)．(4)一般地，如果已知a ＝(u ，v )是直线l 的一个方向向量，则： ①当u ＝0时，显然直线的斜率不存在，倾斜角为90°．②当u ≠0时，直线l 的斜率存在，且(1，k )与a ＝(u ，v )都是直线l 的方向向量，由直线的任意两个方向向量共线可知1×v＝k×u，从而k＝vu，tan θ＝vu．4．直线的法向量一般地，如果表示非零向量υ的有向线段所在的直线与直线l垂直，则称向量υ为l的一个法向量，记作υ⊥l．[提示](2,1)．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)倾斜角是描述直线的倾斜程度的唯一方法．()(2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应．()(3)一个倾斜角α不能确定一条直线．()(4)斜率公式与两点的顺序无关．()(5)直线的方向向量与法向量不唯一．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√(5)√[提示](1)错误．除了倾斜角，还可以用斜率描述直线的倾斜程度．(2)错误．倾斜角不是90°的直线有且只有一个斜率和它对应．(3)正确．确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：一个点P和一个倾斜角α．(4)正确．斜率公式与两点的顺序无关，即两纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换．(5)正确．若a为直线的方向向量，则λa(λ≠0)也是直线的方向向量．2．如图所示，直线l的倾斜角为()A．30°B．60°C．120°D．以上都不对C[根据倾斜角的定义知，直线l的倾斜角为30°＋90°＝120°．] 3．直线l过点M(1,2)，N(2,5)，则l的斜率为()A．3B．－3C．13D．－13A[根据题意，l的斜率为5－22－1＝3．]4．直线l经过点A(2,1)和B(－5，－2)，则直线l的一个方向向量为．(－7，－3)[AB→＝(－5－2，－2－1)＝(－7，－3)．]5．已知三点A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一条直线上，实数a的值为．2或29[∵A、B、C三点共线，∴k AB＝k BC，即53－a＝9a＋75，∴a＝2或a＝29．]直线的倾斜角【例1】绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为()A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°D[根据题意，画出图形，如图所示：因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°．故选D．]求直线的倾斜角的方法及两点注意(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．(2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°．②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°．[跟进训练]1．已知直线l1的倾斜角为α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向之间所成的角为120°，如图所示，求直线l2的倾斜角．[解]∵l1与l2向上的方向之间所成的角为120°，l2与x轴交于点B，∴倾斜角∠ABx＝120°＋15°＝135°．直线的斜率【例2】1231，l2，l3分别经过点Q1(－2，－1)，Q2(4，－2)，Q3(－3,2)．(1)试计算直线l1，l2，l3的斜率；(2)若还存点Q4(a,3)，试求直线PQ4的斜率．[思路探究]根据题意，分清直线过哪两个点，然后用斜率公式求解，要注意斜率不存在的情况．[解](1)由已知得，直线l1，l2，l3的斜率都存在．设它们的斜率分别为k1，k2，k3．则由斜率公式得：k1＝－1－2－2－3＝35，k2＝－2－24－3＝－4，k3＝2－2－3－3＝0．(2)当a＝3时，直线PQ4与x轴垂直，此时其斜率不存在．当a≠3时，其斜率k＝3－2a－3＝1a－3．1．求斜率时要注意斜率公式的适用范围，若给出直线上两个点的坐标，首先要观察横坐标是否相同，若相同，则斜率不存在；若不相同，则可使用斜率公式．若给出两个点的横坐标中含有参数，则要对参数进行分类讨论，分类的依据便是“两个横坐标是否相等”．2．由例题中图可以看出：(1)当直线的斜率为正时(l1)，直线从左下方向右上方倾斜；(2)当直线的斜率为负时(l2)，直线从左上方向右下方倾斜；(3)当直线的斜率为0时(l3)，直线与x轴平行或重合．[跟进训练]2．已知坐标平面内三点A(－1,1)，B(1,1)，C(2，3＋1)．(1)求直线AB、BC、AC的斜率和倾斜角；(2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的变化范围．[解] (1)由斜率公式得 k AB ＝1－11－(－1)＝0，k BC ＝3＋1－12－1＝3．k AC ＝3＋1－12－(－1)＝33．倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°． 又∵tan 0°＝0， ∴AB 的倾斜角为0°． tan 60°＝3，∴BC 的倾斜角为60°． tan 30°＝33，∴AC 的倾斜角为30°．(2)如图，当斜率k 变化时，直线CD 绕C 点旋转，当直线CD 由CA 逆时针方向旋转到CB 时，直线CD 与AB 恒有交点，即D 在线段AB 上，此时k 由k CA 增大到k CB ，所以k 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，3．斜率公式的应用[探究问题[提示] 斜率公式中分子与分母的顺序不可互换，但y 1与y 2和x 1与x 2可以同时互换顺序，即斜率公式也可写为k ＝y 1－y 2x 1－x 2．[提示] 能．因为A (－3，－5)，B (1,3)，C (5,11)， 所以k AB ＝3－(－5)1－(－3)＝2，k BC ＝11－35－1＝2，所以k AB ＝k BC ，且直线AB ，BC 有公共点B ， 所以A ，B ，C 这三点在同一条直线上．【例3】 已知直线l 过点M (m ＋1，m －1)，N (2m ，1)．[思路探究] 求直线的斜率⇒直线的斜率公式． [解] (1)k MN ＝m －1－1m ＋1－2m＝1，解得m ＝32．(2)l 的倾斜角为90°，即l 平行于y 轴，所以m ＋1＝2m ，得m ＝1．1．本例条件不变，试求直线l 的倾斜角为锐角时实数m 的取值范围． [解] 由题意知 ⎩⎨⎧m －1－1m ＋1－2m ＞0，m －1≠1，解得1＜m ＜2．[解] (1)由题意知m －1－2mm ＋1－3m ＝1，解得m ＝2．(2)由题意知m ＋1＝3m ，得m ＝12．直线斜率的计算方法(1)判断两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在．(2)若两点的横坐标不相等，则可以用斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(其中x 1≠x 2)进行计算．求直线的方向向量或法向量【例向量，并确定直线l 的斜率与倾斜角．[解] AB →＝(4－1,5－2)＝(3,3)是直线l 的一个方向向量．由法向量与方向向量垂直，∴法向量可以为(－1,1)．因此直线的斜率k ＝1，直线的倾斜角θ满足tan θ＝1，从而可知θ＝45°．求方向向量和法向量的方法(1)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是直线上的两个不同的点，则直线l 的方向向量为AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，直线的法向量和方向向量垂直．(2)直线的方向向量和法向量不唯一．[跟进训练]3．已知直线l 经过点M (3,3)和N (2,3＋3)，求直线l 的一个方向向量和法向量，并求直线l 的斜率和倾斜角．[解] MN →＝(2－3,3＋3－3)＝(－1，3)，∴直线l 的一个方向向量为(－1，3)，由于法向量与方向向量垂直． ∴法向量v ＝(3，1)，斜率k ＝3＋3－32－3＝－3，由tan θ＝－3知θ＝120°．1．斜率公式k ＝y2－y 1x 2－x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫或k ＝y 1－y 2x 1－x 2(x 1≠x 2)． 2．直线的倾斜角定义及范围：0°≤α＜180°． 3．直线斜率的几何意义：k ＝tan α(α≠90°)． 4．斜率k 与倾斜角α之间的关系⎩⎨⎧α＝0°⇒k ＝tan 0°＝0，0°＜α＜90°⇒k ＝tan α＞0，α＝90°⇒tan α(不存在)⇒k 不存在，90°＜α＜180°⇒k ＝tan α＜0.1．若经过P (－2，m )和Q (m,4)的直线的斜率为1，则m 等于( ) A ．1 B ．4 C ．1或3 D ．1或4 A [由题意知k PQ ＝4－m m ＋2＝1，解得m ＝1．]2．斜率不存在的直线一定是( ) A ．过原点的直线 B ．垂直于x 轴的直线 C ．垂直于y 轴的直线 D ．垂直于坐标轴的直线B [只有直线垂直于x 轴时，其倾斜角为90°，斜率不存在．]3．若过两点M (3，y )，N (0，3)的直线的倾斜角为150°，则y 的值为( ) A ． 3 B ．0 C ．－ 3D ．3B [由斜率公式知3－y0－3＝tan 150°，∴3－y0－3＝－33，∴y ＝0．]11 4．已知直线l 的倾斜角为α，且0°≤α＜135°，则直线l 的斜率的取值范围是 ．(－∞，－1)∪[0，＋∞) [设直线的倾斜角为α，斜率为k ，当0°≤α＜90°时，k ＝tan α≥0，当α＝90°时无斜率，当90°＜α＜135°时，k ＝tan α＜－1，故直线l 的斜率k 的取值范围是(－∞，－1)∪[0，＋∞)．]5．已知A (1,1)，B (3,5)，C (a,7)，D (－1，b )四点在同一条直线上，求直线的斜率k 及a ，b 的值．[解] 由题意可知k AB ＝5－13－1＝2，k AC ＝7－1a －1＝6a －1，k AD ＝b －1－1－1＝b －1－2， 所以k ＝2＝6a －1＝b －1－2，解得a ＝4，b ＝－3，所以直线的斜率k ＝2，a ＝4，b ＝－3．。
高中数学直线的倾斜角与斜率、直线的方程考点及例题讲解
直线的倾斜角与斜率、直线的方程考纲解读 1.求直线的倾斜角和斜率；2.明确直线位置的几何要素，会求直线方程；3.利用直线方程解决关于x、y的一次变量问题．[基础梳理]1．直线的倾斜角(1)定义：(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π)．2．直线的斜率3.4.若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段P 1，P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式．[三基自测]1．直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A.33B.3 C ．－ 3 D ．－33答案：A2．已知直线l 经过点P (－2,5)，且斜率为－34，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －14＝0B ．3x －4y ＋14＝0C ．4x ＋3y －14＝0D ．4x －3y ＋14＝0答案：A3．已知直线斜率的绝对值为1，其倾斜角为________． 答案：π4或34π4．(必修2·3.2练习改编)过点(5,0)，且在两轴上的截距之差为2的直线方程为________． 答案：3x ＋5y －15＝0或7x ＋5y －35＝05．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)曲线y ＝1x 在点(1,1)处的切线方程的倾斜角为________．答案：135°考点一 直线的倾斜角与斜率|易错突破[例1] (1)(2018·常州模拟)若ab <0，则过点P ⎝⎛⎭⎫0，－1b 与Q ⎝⎛⎭⎫1a ，0 的直线PQ 的倾斜角的取值范围是________．(2)直线l ：ax ＋(a ＋1)y ＋2＝0的倾斜角大于45°，求a 的取值范围．[解析] (1)k PQ ＝－1b －00－1a ＝ab <0，又倾斜角的取值范围为[0，π)，故直线PQ 的倾斜角的取值范围为⎝⎛⎭⎫π2，π . (2)当a ＝－1时，直线l 的倾斜角为90°，符合要求；当a ≠－1时，直线l 的斜率为－aa ＋1.则有－a a ＋1>1或－a a ＋1<0，解得－1<a <－12或a <－1或a >0.综上可知，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－12 ∪(0，＋∞)． [答案] (1)⎝⎛⎭⎫π2，π [易错提醒][纠错训练](2018·太原模拟)已知点A (2，－3)，B (－3，－2)，直线l 过点P (1,1)且与线段AB 有交点，则直线l 的斜率k 的取值范围为________．解析：如图，k P A ＝1＋31－2＝－4，k PB ＝1＋21＋3＝34.要使直线l 与线段AB 有交点，则有k ≥34或k ≤－4.答案：(－∞，－4]∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞考点二 求直线方程|思维突破[例2] 求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P (3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)过点A (－1，－3)，斜率是直线y ＝3x 的斜率的－14倍；(3)求过点(2,1)且在x 轴上的截距与在y 轴上的截距之和为6的直线方程． (4)求经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程． [解析] (1)设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ，若a ＝0，即l 过点(0,0)和(3,2)， ∴l 的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0.若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋ya ＝1，∵l 过点(3,2)，∴3a ＋2a ＝1，∴a ＝5，即l 的方程为x ＋y －5＝0，综上可知，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0. (2)设所求直线的斜率为k ， 依题意k ＝－14×3＝－34.又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.(3)法一：由题意可设直线方程为x a ＋yb ＝1.则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6，2a ＋1b ＝1，解得a ＝b ＝3，或a ＝4，b ＝2. 故所求直线方程为x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0.法二：设直线方程为y ＝kx ＋b ，则在x 轴上的截距为－bk ，所以b ＋⎝⎛⎭⎫－b k ＝6，① 又直线过点(2,1)，则2k ＋b ＝1.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12，b ＝2.故所求直线方程为x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0. (4)当直线不过原点时，设所求直线方程为x 2a ＋ya＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－12，此时，直线方程为x ＋2y ＋1＝0. 当直线过原点时，斜率k ＝－25，直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0，综上可知，所求直线方程为 x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0. [思维升华]1．求直线方程的方法3．注意设直线方程的常用技巧(1)已知直线纵截距b ，常设其方程为y ＝kx ＋b (需保证斜率存在)；(2)已知直线横截距x 0，常设其方程为x ＝my ＋x 0(它不适用于斜率为0的直线)； (3)已知直线过点(x 0，y 0)，当斜率k 存在时，常设其方程为y －y 0＝k (x －x 0)，当斜率k 不存在时，则其方程为x ＝x 0；(4)与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线可表示为Ax ＋By ＋C 1＝0(C 1≠C )； (5)与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线可表示为Bx －Ay ＋C 1＝0；(6)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系方程：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(不含l 2)．[母题变式]1．在本例(1)中，过点(3,2)，且在两轴上截距互为相反数的直线方程是什么？ 解析：①若直线过原点，适合题意，其方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0.②若直线不过原点，设直线方程为x a ＋y－a＝1，∴3a －2a＝1， ∴a ＝1，方程为x －y －1＝0.综上，直线方程为2x －3y ＝0或x －y －1＝0.2．在本例(4)中，改为“过点A (－5,2)，且与两坐标轴形成的三角形面积为92”，求直线方程．解析：设所求直线在x 轴的截距为a ，在y 轴上的截距为b ， 则⎩⎨⎧－5a ＋2b＝112|ab |＝92，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝－3，或⎩⎨⎧a ＝152b ＝65.∴方程为x ＋y ＋3＝0或4x ＋25y －30＝0.考点三 两条直线的位置关系|方法突破[例3] (1)“a ＝0”是“直线l 1：(a ＋1)x ＋a 2y －3＝0与直线l 2：2x ＋ay －2a －1＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)如果直线ax ＋(1－b )y ＋5＝0和(1＋a )x －y －b ＝0同时平行于直线x －2y ＋3＝0，求ab .[解析] (1)当a ＝0时，l 1：x －3＝0，l 2：2x －1＝0，故l 1∥l 2. 当l 1∥l 2时，若l 1与l 2斜率不存在，则a ＝0；若l 1与l 2斜率都存在，则a ≠0，有－a ＋1a 2＝－2a 且3a 2≠2a ＋1a ，解得a ∈∅，故当l 1∥l 2时，有a ＝0.故选C.(2)法一：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ·(－2)－(1－b )·1＝0，(1＋a )·(－2)－(－1)×1＝0. 解得a ＝－12，b ＝0.易知此时它们的截距也不相等，所以ab ＝0.法二：直线x －2y ＋3＝0的斜率为12，则另两条直线的斜率一定存在且等于12，所以12＝－a 1－b ＝－1＋a －1，解得a ＝－12，b ＝0，易知此时它们的截距也不相等，所以ab ＝0.[答案] (1)C[方法提升]两直线位置关系的判断方法[跟踪训练]1．已知直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －3＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0，则“a ＝1”是“l 1⊥l 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：l 1⊥l 2的充要条件是(a ＋2)(a －1)＋(1－a )·(2a ＋3)＝0，即a 2－1＝0，故有(a －1)(a ＋1)＝0，解得a ＝±1.显然“a ＝1”是“a ＝±1”的充分不必要条件，故选A. 答案：A2．若过点A (－2，m )，B (m,4)的直线与直线2x ＋y ＋2＝0平行，则m 的值为________． 解析：∵过点A ，B 的直线平行于直线2x ＋y ＋2＝0， ∴k AB ＝4－mm ＋2＝－2，解得m ＝－8.答案：－81.[考点三](2014·高考福建卷)已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x －y ＋2＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝0解析：依题意，得直线l 过点(0,3)，斜率为1，所以直线l 的方程为y －3＝x －0，即x－y ＋3＝0.故选D.答案：D2.[考点二](2017·高考全国卷Ⅰ)曲线y ＝x 2＋1x 在点(1,2)处的切线方程为________．解析：因为y ′＝2x －1x 2，所以在点(1,2)处的切线方程的斜率为y ′| x ＝1＝2×1－112＝1，所以切线方程为y －2＝x －1，即y ＝x ＋1.答案：y ＝x ＋13.[考点一](2017·高考山东卷)若直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1,2)，则2a ＋b 的最小值为________．解析：∵直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1,2)，∴1a ＋2b＝1， ∴2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ＝4＋4a b ＋ba≥4＋2 4a b ·ba＝8， 当且仅当b a ＝4ab ，即a ＝2，b ＝4时，等号成立．故2a ＋b 的最小值为8. 答案：84.[考点一](2017·高考天津卷)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________．解析：∵f ′(x )＝a －1x，∴f ′(1)＝a －1.又∵f (1)＝a ，∴切线l 的斜率为a －1，且过点(1，a )， ∴切线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x －1)． 令x ＝0，得y ＝1，故l 在y 轴上的截距为1. 答案：1。
高二数学直线的倾斜角和斜率知识精讲 人教版
高二数学直线的倾斜角和斜率知识精讲 人教版一. 本周教学内容：直线的倾斜角和斜率、直线方程的点斜式、直线方程的斜截式［知识点］1. 直线的方程和方程的直线： 定义：（1）以一个方程f （x ，y ）＝0的解为坐标的点都在直线l 上。
（2）直线l 上的点的坐标都是方程f （x ，y ）＝0的解。
满足（1）（2）的方程f （x ，y ）＝0是直线l 的方程，同时称直线l 为方程f （x ，y ）＝0的直线。
2. 直线的倾斜角：定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕交点逆时针旋转与直线重合时，所转过的最小正角为直线倾斜角。
规定：当直线与x 轴平行或重合时，倾斜角为0°。
X 围：0°≤α＜180°注意：（1）定义分两部分：一部分是与x 轴相交，另一部分与x 轴平行。
（2）与x 轴相交的定义中，应理解三个地方：①x 轴绕交点旋转；②逆时针方向；③最小正角。
（3）应特别注意倾斜角的X 围［0，π）。
（4）任何一条直线有唯一倾斜角，表示直线的倾斜程度，但倾斜角为α的直线有无穷多条。
3. 直线的斜率：定义：倾斜角不是90°的直线，其倾斜角的正切，叫做这条直线的斜率。
符号：常用k 表示，即k ＝tan α。
注意：（1）所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率。
（）由正切的单调性可知，单增，，时单增，两个单2απαππ∈⎛⎝ ⎫⎭⎪∈022[)调区间。
（3）当倾斜角为90°时斜率不存在，但直线存在。
4. 过两点的直线斜率公式：公式推导：如图，已知直线l 过两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），倾斜角为α，求斜率k 。
y x O α α P 1 P 2 yx Oα α P 1 P 2Pyx O α α P 2 P 1yx Oα P 2 P 1P()作或，则，OP P P P P P x x y y →=⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪=--→→12211212∴=--=--tan αy y x x y y x x 12122121即：k y y x x y y x x =--=--12122121注意：（1）斜率公式与点的顺序无关。
专题04 直线的倾斜角与斜率、直线方程问题(知识梳理+专题过关)(解析版)
专题04直线的倾斜角与斜率、直线方程问题【知识梳理】1、倾斜角和斜率（1）直线的倾斜角的概念：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．特别地，当直线l 与x 轴平行或重合时，规定0a =°．（2）倾斜角α的取值范围： 0180a 埃＜．当直线l 与x 轴垂直时， 90a =°．（3）直线的斜率：一条直线的倾斜角9(0)a a 拱的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，也就是k tan a=①当直线l 与x 轴平行或重合时，0a =°，00k tan =°=；②当直线l 与x 轴垂直时， 90a =°，k 不存在．由此可知，一条直线l 的倾斜角α一定存在，但是斜率k 不一定存在．（4）直线的斜率公式：给定两点()()11122212,,,,P x y P x y x x ¹，用两点的坐标来表示直线12P P 的斜率：21122112=y y y y k x x x x --=--2、两条直线的平行与垂直（1）两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即1212//l l k k Û=注意：上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果12k k =，那么一定有12//l l （2）两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即1212=1l l k k Û×^-3、直线方程的不同形式间的关系直线方程的五种形式的比较如下表：名称方程的形式常数的几何意义适用范围点斜式()11y y k x x -=-11(,)x y 是直线上一定点，k 是斜率不垂直于x 轴斜截式y kx b =+k 是斜率，b 是直线在y 轴上的截距不垂直于x 轴两点112121y y x x y y x x --=--11(,)x y ，22(,)x y 是直线上两定不垂直于x 轴和y考点2：直线与线段的相交问题考点3：两直线平行问题考点4：两直线垂直问题考点5：五种直线方程考点6：直线与坐标轴围成三角形问题考点7：直线过定点问题【典型例题】考点1：倾斜角与斜率1．（2021·福建宁德·高二期中）已知点()20A ，，(3B ，则直线AB 的倾斜角为（）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】B【解析】由题得直线AB 的斜率k =设直线的倾斜角为tan [0,180)ααα∴=∈，，所以=60α.故选：B2．（2020·北京十五中高二期中）如图，直线1234,,,l l l l 的斜率分别为1234,,,k k k k ，则（）A ．4321k k k k <<<B ．3421k k k k <<<C ．4312k k k k <<<D ．3412k k k k <<<【解析】由斜率的定义知，21430k k k k >>>>.故选：D.3．（2022·全国·高二期中）已知直线斜率为k，且1k -≤≤α的取值范围是（）．A ．ππ3π0,,324⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B ．π3π0,,π34⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．ππ3π0,,624⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D ．π3π0,,π64⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【答案】B【解析】由题意，直线l 的倾斜角为α，则[)0,πα∈，因为1k -≤≤，即1tan α-≤≤结合正切函数的性质，可得π3π0,,π34α⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭．故选：B ．4．（2021·湖北宜昌·高二期中）若倾斜角为3π的直线过(A ，()2,B a 两点，则实数=a （）A 32BC．D．【答案】C【解析】因为直线的倾斜角为3π，所以直线的斜率为tan3π=12a=-a =；故选：C5．（2021·广东·兴宁市叶塘中学高二期中）若(2,3)A -，(3,2)B -，1(,)2C m 三点共线，则m =（）A ．12B ．12-C ．2-D ．2【答案】A【解析】由于()2,3A -、()3,2B -、1(,)2C m 三点共线，则ABAC k k =，即32312322m +-=--+，解得12m =.6．（多选题）（2021·湖南·怀化五中高二期中）在下列四个命题中，错误的有（）A ．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率B ．直线的倾斜角的取值范围是[0，π]C ．若一条直线的斜率为1，则此直线的倾斜角为45度D ．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα【答案】ABD 【解析】对于A ，倾斜角为90的直线斜率不存在所以A 错误对于B直线的倾斜角的取值范围为[)0,p 所以B 错误对于C因为tan 1α=且[)0,απ∈，所以4πα=所以C 正确对于D倾斜角为90的直线斜率不存在所以D 错误故选：ABD7．（多选题）（2021·江苏南通·高二期中）若经过()1,1A a a -+和()3,B a 的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的值不可能为（）A ．2-B ．0C ．1D ．2【答案】BCD【解析】据题意可知110132AB a a k a a+-==<----，即20a +>，所以2a >-．故选：BCD ．8．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高二期中）已知直线l 0y -=，则直线l 的倾斜角为_________．【答案】60°0y -=60°．故答案为：60°．9．（2022·上海市大同中学高二期中）已知直线l 经过原点，且与直线y ＝x ＋1的夹角为45°，则直线l 的方程为______．【答案】0x =或0y =【解析】直线1y x =+的斜率为1，倾斜角为45︒，直线l 与直线1y x =+的夹角为45︒，所以直线l 的倾斜角为0︒或90︒，所以直线l 的方程为0x =或0y =.故答案为：0x =或0y =10．（2022·上海市控江中学高二期中）设a ∈R ，若直线l 经过点(,2)A a ､(1,3)B a +，则直线l 的斜率是___________.【答案】1【解析】因为直线l 经过点(,2)A a ､(1,3)B a +，所以直线l 的斜率是3211k a a-==+-，故答案为：111．（2021·新疆·八一中学高二期中）已知点A （2，-1），B （3，m ），若13m ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，则直线AB 的倾斜角的取值范围为__________．【答案】50,,36πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【解析】设直线AB 的倾斜角为α，∵点A （2，-1），B （3，m ），∴直线AB 的斜率1132m k m +==+-，又∵13m ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，∴13m ⎡+∈-⎢⎣，即k 的取值范围为⎡⎢⎣，即t an α⎡∈⎢⎣，又∵α∈[0，π），∴50,,36ππαπ⎡⎤⎡⎫∈⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，故答案为：50,,36πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭．考点2：直线与线段的相交问题12．（2021·福建三明·高二期中）已知A (3，－1)，B (1，2)，P (x ，y )是线段AB 上的动点，则yx的取值范围是_______.【答案】[13-，2]【解析】因为A (3，－1)，B (1，2)，P (x ，y )是线段AB 上的动点，所以yx表示直线OP 的斜率.如下图.因为直线OA 的斜率为101303--=--，直线OB 的斜率为20210-=-.所以y x 的取值范围是1[,2]3-.故答案为：1[,2]3-13．（2021·广东·汕头市潮南区陈店实验学校高二期中）已知两点()1,2A -，()2,1B ，直线l 过点()0,1P -且与线段AB 有交点，则直线l 的倾斜角的取值范围为（）A ．π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．ππ30,,42π4⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C ．π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D ．πππ3,,422π4⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【答案】C【解析】如图所示，直线PA 的斜率21110PA k -+==--，直线PB 的斜率11120PB k +==-．由图可知，当直线l 与线段AB 有交点时，直线l 的斜率[]1,1k ∈-，因此直线l 的倾斜角的取值范围是π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭．故选：C14．（2021·广东·华中师范大学海丰附属学校高二期中）设点()2,3A -，()3,2B ，若直线ax +y +2=0与线段AB 有交点，则a 的取值范围是（）A ．54,,23⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B ．45,32⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．54,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．45,,32⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】D【解析】∵直线20ax y ++=过定点(0,2)C -，且52AC k =-，43BC k =，由图可知直线与线段AB 有交点时，斜率a -满足43a ≤-或52a -≤-，解得45,,32a ⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎢⎝⎦⎣∈⎭，故选：D15．（2021·山东济宁·高二期中）设点()4,3A -，()2,2B --，直线l 过点()1,1P 且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是（）A ．1k ³或4k ≤-B ．1k ³或43k ≤-C ．41k -≤≤D ．413k -≤≤-【答案】B【解析】如图所示：因为1(3)41(2),11431(2)PA PB k k ----==-==---，所以当直线l 过点()1,1P 且与线段AB 相交时，l 的斜率k 的取值范围是1k ³或43k ≤-，故选：B16．（2021·天津市嘉诚中学高二期中）已知两点(2,3)M -，(3,2)N --，直线l 过点(1,1)P 且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（）A ．34k ≥或4k ≤-B ．344k -≤≤C ．344k ≤≤D ．344k -≤≤【答案】A【解析】如图，要使直线l 与线段MN 相交，则应满足PM k k ≤或PN k k ≥，因为13412PM k +==--，123134PN k +==+，所以4k ≤-或34k ≥.故选：A.17．（2021·广西·防城港市防城中学高二期中）经过点()0,1P -作直线l ，若直线l 与连接()1,2A -，()2,1B 的线段总有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围为（）A ．[]1,1-B ．(][),11,-∞-⋃+∞C ．[)1,1-D ．()[),11,∞∞--⋃+【答案】A【解析】根据题意画图如下：2(1)1(1)1,11020PA PB k k -----==-==--,在射线PA 逆时针旋转至射线PB 时斜率逐渐变大,直线l 与线段AB 总有公共点，所以11k -≤≤.故选:A.18．（2021·北京·景山学校高二期中）已知直线l ：20ax y --=和点(2,1)P ，(3,2)Q -，若l 与线段PQ 相交，则实数a 的取值范围是（）A ．3243a -≤≤B ．34a ≤-或23a ≥C ．4332a -≤≤D ．43a ≤-或32a ≥【答案】D【解析】由直线l ：20ax y --=可知直线l 必过定点A (0,2)-，且直线l 的斜率为a ，如下图所示：由斜率公式可知，直线AP 的斜率为213022AP k --==-，直线AQ 的斜率为2240(3)3AQ k --==---，若l 与线段PQ 相交，只需要32AP a k ≥=或43AQ a k ≤=-，故实数a 的取值范围是43a ≤-或32a ≥.故选：D.19．（2021·陕西安康·高二期中（理））已知点2)A ，(4,3)B -，直线l 过点(0,1)P 且与线段AB 相交，则直线l 的倾斜角的取值范围是（）A ．π3π0,,π64⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B ．π3π,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．π5π0,,π36⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D ．π5π,36⎡⎤⎢⎣⎦【答案】A【解析】如图，斜率33PA k ==，1(3)104PB k --==--，结合图象可知当直线l 与线段AB 相交时，其倾斜角的取值范围是π3π0,,π64⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎢⎣⎦⎣⎭.故选：A20．（2021·广东·广州六中高二期中）已知点(1,1)A -，(3,1)B ，直线l 过点(1,3)C ，且,A B 两点在直线l 的同侧，则直线l 斜率的取值范围是（）A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(,1)(0,1)-∞-D ．(1,0)(1,)-È+¥【答案】A【解析】由题意，点(1,1)A -，(3,1)B ，(1,3)C ，根据斜率公式，可得1AC k =，1EC k =-，如图所示，要使得直线l 过点(1,3)C ，且,A B 两点在直线l 的同侧，则直线l 斜率的取值范围是(1,1)-.故选：A.考点3：两直线平行问题21．（2022·四川·泸县五中高二期中（文））已知直线1:210l x my ++=与2:310l x y --=平行，则 m 的值为__________.【答案】23-【解析】因为直线1:210l x my ++=与2:310l x y --=平行，所以当0m =时，两条直线不平行，不符合题意；当0m ≠时，23m -=，解得23m =-.故答案为：23-.22．（2020·四川巴中·高二期中（文））若直线1:10l x ay +-=与直线()2:2330l a x y -++=平行，则实数a 的值为______.【答案】3【解析】因为1:10l x ay +-=与直线()2:2330l a x y -++=平行，所以()13201330a a a ⎧⨯--=⎨-⨯-≠⎩，解得3a =，故答案为：3.23．（2022·上海市宝山中学高二期中）“直线1l 与2l 平行”是“直线1l 与2l 的斜率相等”的（）条件A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充要D ．既非充分又非必要【答案】D【解析】充分性：直线1l 与2l 平行，但是1l 和2l 都没有斜率，即当1l 和2l 都垂直于x 轴时，1l 与2l 仍然平行，但是，此时不满足直线1l 与2l 的斜率相等，故充分性不成立；必要性：直线1l 与2l 的斜率相等，则直线1l 与2l 平行或重合，故必要性不成立；综上，“直线1l 与2l 平行”是“直线1l 与2l 的斜率相等”的既非充分又非必要条件.故选：D24．（2021·浙江台州·高二期中）直线()1:110l a x y -++=，()2:4210l x a y ++-=，则“2a =”是“12l l //”的（）条件A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】①充分性：当2a =时，1:10l x y ++=，2:4410l x y +-=，所以1l 与2l 斜率相等，且截距不相等，故12l l //，所以充分；②必要性：()1:110l a x y -++=，()2:4210l x a y ++-=，当12l l //时，则()()1240a a -+-=，解得：2a =或3a =-，当3a =-时，两直线重合，所以3a =-舍去，当2a =时，两直线斜率相等且截距不相等，符合题意，所以必要.所以“2a =”是“12l l //”的充要条件故选：C.25．（2021·河北·石家庄市第二十二中学高二期中）下列说法正确的是（）A ．平行的两条直线的斜率一定存在且相等B ．平行的两条直线的倾斜角一定相等C ．垂直的两条直线的斜率之积为1-D ．只有斜率相等的两条直线才一定平行【答案】B【解析】因为两条直线倾斜角为90︒时，两条直线平行，但是没有斜率，故A 不正确；平行的两条直线的倾斜角一定相等，故B 正确；垂直的两条直线的斜率存在时，斜率之积为1-；当一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为0时两直线也垂直，故C 不正确；斜率不存在的两条直线也能够平行，故D 不正确；故选：B ．26．（2021·福建·浦城县教师进修学校高二期中）已知A (－1，2)，B (1，3)，C (0，－2)，点D 使AD ⊥BC ，AB ∥CD ，则点D 的坐标为（）A ．94(,)77-B ．5413(,)77C ．3813(,)33D ．385(,)77【答案】D【解析】设D (x ，y )，∵AD ⊥BC ，∴21y x -+·3(2)10---＝－1，∴x ＋5y －9＝0，∵AB ∥CD ，∴2y x +＝321(1)---，∴x －2y －4＝0，由得590240x y x y +-=⎧⎨--=⎩，38757x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故选：D.考点4：两直线垂直问题27．（2021·吉林油田高级中学高二期中）下列方程所表示的直线中，一定相互垂直的一对是()A ．210ax y +-=与220x ay ++=B ．6430x y --=与10150x y c ++=C ．2370x y +-=与4650x y -+=D ．340x y b -+=与340x y +=【答案】B【解析】A ：a ＝0时，两直线分别为：1,12y x ==-，此时它们垂直；当a ≠0时，它们斜率之积为212a a ⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭，则它们不垂直；故两条直线不一定垂直；B ：两直线斜率之积为：6101415⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，故两直线垂直；C ：两直线斜率之积为：2441369-⨯=-≠-，故两直线不垂直；D ：两直线斜率之积为：33914416⎛⎫⨯-=-≠- ⎪⎝⎭，故两条直线不垂直；故选：B.28．（2021·贵州·黔西南州金成实验学校高二期中（理））已知直线1l ：10mx y -+=，2l ：()210mx m y ++-=，若12l l ⊥，则m =_________．【答案】2或1-【解析】由题意2(2)0m m -+=，解得1m =-或2m =．故答案为：2或1-．29．（2022·上海市行知中学高二期中）若直线1:210l ax y -+=与2:(1)10l x a y +++=互相垂直，则=a ______.【答案】2-【解析】因为直线1:210l ax y -+=与2:(1)10l x a y +++=互相垂直，所以()()1210a a ⨯+-⨯+=，解得2a =-，故答案为：2-.30．（2022·全国·高二期中）已知直线1:20l ax y +=，直线()2:10l a x y --=，若12l l ⊥，则实数a 的值为______．【答案】2a =或1a =-【解析】因为12l l ⊥，所以(1)2(1)0a a -+⨯-=，解得2a =或1a =-，故答案为：2a =或1a =-31．（2021·广东·珠海市第二中学高二期中）已知直线150l y --=，若直线21l l ⊥，则直线2l 的倾斜角大小为_____________．【答案】56π【解析】直线方程150l y --=1l k ∴=21l l ⊥121l l k k ∴=-233l k ∴=-∴直线2l 的倾斜角大小为56π故答案为：56π32．（多选题）（2021·河北·石家庄市第六中学高二期中）已知直线1l 的倾斜角为30°，2l 经过点M ，(2,0)N ，则1l 与2l 的位置关系为（）A ．平行B ．垂直C ．相交D ．不确定【答案】BC【解析】因为直线1l 的倾斜角为30°，所以直线1l 的斜率130tan k =︒又2l 经过点M ，(2,0)N ，所以直线2l 的斜率212k ==-，故(1213k k ==-，所以1l ⊥2l 故选：BC考点5：五种直线方程33．（2018·江西·南昌市第八中学高二期中（理））直线l 过点()1,2-，且在两坐标轴上截距相等，则直线l 的一般式方程为___________.【答案】10x y +-=，20x y +=【解析】显然直线l 的斜率存在且不为0，设l ：()21y k x -=+令0x =，则2y k =+；令0y =，则2kx k+=-依题意，22kk k+-=+解之得1k =-或2k =-当1k =-时，l ：10x y +-=当2k =-时，l ：20x y +=故答案为：10x y +-=，20x y +=34．（2021·广东·新会陈经纶中学高二期中）过点(1,2)P 且与直线20x y --=平行的直线方程为___________________.【答案】10x y -+=【解析】因为过点(1,2)P 的直线与直线20x y --=平行，所以设直线方程为：0x y m -+=，因为直线过点(1,2)P ，120m ∴-+=所以1m =，故直线方程为：10x y -+=，故答案为：10x y -+=35．（2021·浙江省杭州学军中学高二期中）经过点(3,2)A -，且在x 轴上的截距等于y 轴上截距的2倍的直线方程为___________.【答案】230x y +=或210x y +-=.【解析】若直线在x 轴上的截距为0，设直线方程为y kx =，因为直线经过点(3,2)A -，所以23k =-，即23k =-，所以直线方程为23y x =-，即230x y +=；若直线在x 轴上的截距不为0，设直线方程为12x yb b+=，因为直线经过点(3,2)A -，所以3212b b -+=，解得12b =，所以直线方程为210x y +-=.所以所求直线方程方程为230x y +=或210x y +-=.故答案为：230x y +=或210x y +-=.36．（2021·湖南·怀化五中高二期中）求符合下列条件的直线l 的方程：(1)过点A (﹣1，﹣3)，且斜率为14-；(2)A (1，3)，B (2，1))求直线AB 的方程；(3)经过点P (3，2)且在两坐标轴上的截距相等.【解析】(1)所求直线过点()1,3A --，且斜率为14-，()1314y x ∴+=-+，即4130x y ++=.(2)所求直线过()()1,32,1A B ，，31212AB k -∴==--，()321y x ∴-=--，即250x y +-=.(3)当直线过原点时，设直线方程为y kx =，直线过P 点()3,2，23k ∴=，直线方程为23y x =，即2x －3y ＝0；当直线不过原点时，设直线方程为1x ya a+=，将点()3,2P 代入上式得，321a a+=，解得5a =，故直线的方程为50x y +-=，综上，直线方程为230x y -=或50x y +-=.37．（2021·福建·福州三中高二期中）已知△ABC 的顶点A （5，1），AB 边上的中线CM 所在的直线方程为2x -y -5=0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x -2y -5=0(1)求直线AC 的方程，(2)求直线BC 的方程【解析】(1)由AC 边上的高BH 所在直线方程为250x y --=，知2AC k =-，又()5,1A ，AC ∴边所在直线方程为()125,y x -=--即2110x y +-=(2)设点B 的坐标为()00,x y ，则线段AB 的中点为0051(,22x y M ++在直线250x y --=上，.即001(5)50,2y x ++--=整理得00210,x y --=又点B 在直线BH 上，00250,x y ∴--=两者联立可解得0013x y =-⎧⎨=-⎩，即()1,3B --3(3)64(1)5BC k --==--∴∴直线BC 的方程63(4),5y x -=-即6590x y --=38．（2021·河北·唐山市第十一中学高二期中）求满足下列条件的直线方程：(1)过点()4,2P -，倾斜角为45°；(2)过两点()()1,3,2,5A B ．【解析】(1)所求直线方程为()2tan 454y x +=︒⨯-，即6y x =-.(2)所求直线方程为315321y x --=--，即21y x =+.39．（2021·北京·北师大二附中未来科技城学校高二期中）经过点()1,2，且倾斜角为45°的直线方程是（）A ．3y x =-B ．21y x -=-C ．(3)y x =--D ．(3)y x =-+【答案】B【解析】因为所求直线的倾斜角为45°，所以所求直线的斜率tan 451k =︒=，所以直线方程为21y x -=-．故A ，C ，D 错误.故选：B.40．（2022·全国·高二期中）已知直线l 过()2,1A -，并与两坐标轴截得等腰三角形，那么直线l 的方程是（）．A ．10x y --=或30x y +-=B ．10x y --=或30x y -+=C ．10x y ++=或30x y -+=D ．10x y ++=或30x y +-=【答案】C【解析】由题意可知，所求直线的倾斜角为45︒或135︒，即直线的斜率为1或-1，故直线方程为12y x -=+或1(2)y x -=-+，即30x y -+=或10x y ++=.故选：C.41．（2022·江苏南通·高二期中）已知直线l 经过点()2,3-，且与直线250x y --=垂直，则直线l 的方程为（）A ．240x y ++=B ．240x y +-=C ．280x y --=D ．280x y -+=【答案】A【解析】直线250x y --=的斜率为2，直线l 与之垂直，则12l k =-，又l 过点(2,3)P -，所以直线方程为13(2)2y x +=--，即240x y ++=．故选：A ．42．（2021·江苏苏州·高二期中）已知三角形的顶点()4,1A ，()6,3B -，()3,0C .(1)求AC 边上的高BH 所在的直线方程；(2)求AB 边上的中线CD 所在的直线方程.【解析】(1)由于()4,1A ，()3,0C ，所以01134AC k -==-，因为BH 为AC 边上的高，有1AC BH k k ⋅=-，所以1BH k =-，又BH 过点()6,3B -，所以有()316y x ⎡⎤-=-⨯--⎣⎦，所以BH 所在直线的方程为30x y ++=.(2)由于()4,1A ，()6,3B -，所以AB 的中点()4613,22⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭，即()1,2-，又()3,0C ，所以201132CD k -==---，又因为过点()3,0C ，所以有()1032y x -=-⨯-，所以CD 所在直线的方程为230x y +-=.考点6：直线与坐标轴围成三角形问题43．（2020·上海·格致中学高二期中）过点()3,1的直线分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A 、B 两点，则AOB （O 为坐标原点）面积取得最小值时直线方程为____________.【答案】360x y +-=【解析】易知直线AB 的斜率存在且不为零，设直线AB 的方程为()13y k x -=-，即13y kx k =+-.在直线AB 的方程中，令0x =，可得13=-y k ；令0y =，可得31k x k-=.所以，点31,0k A k -⎛⎫⎪⎝⎭、()0,13B k -.由已知条件可得310130k k k -⎧>⎪⎨⎪->⎩，解得0k <.OAB 的面积为()1311111369626222k S k k k k⎡-⎛⎫=⨯-⨯=--≥⨯+=⎢ ⎝⎭⎢⎣.当且仅当()190k k k-=-<时，即当13k =-时，等号成立，所以，直线AB 的方程为123y x =-+，即360x y +-=.故答案为：360x y +-=.44．（2021·江苏扬州·高二期中）已知直线l 的斜率为16，且和坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l 的方程为___________.【答案】660x y -+=或660x y --=【解析】设直线l 的方程为1x y a b +=，则132ab =，且16b a -=，解得61a b =⎧⎨=-⎩或者61a b =-⎧⎨=⎩，∴直线l 的方程为161x y+=-或161x y +=-，即660x y -+=或660x y --=.故答案为：660x y -+=或660x y --=.45．（2021·湖北荆州·高二期中）（1）求过点()4,3-且在两坐标轴上截距相等的直线l 的方程；（2）设直线l 的方程为()()120a x y a a ++--=∈R ，若1a >-，直线l 与x ，y 轴分别交于M ，N 两点，O 为坐标原点，求OMN 面积取最小值时，直线l 的方程．【解析】（1）当直线不过原点时，设l 的方程为xa ＋y a＝1，∵点()4,3-在直线上，∴4a＋3a-＝1，解得1a =，所以直线方程为x ＋y －1＝0；当直线过原点时，直线斜率34k =-，∴直线的方程为34y x =-，即3x ＋4y ＝0.综上知，所求直线方程为x ＋y －1＝0或3x ＋4y ＝0.（2）∵1a >-，∴M 2(,0)1a a ++，()0,2N a +，∴()12221OMNa Sa a +=⋅⋅++＝()211121a a ++⎡⎤⎣⎦⨯+＝121121a a ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭≥2，当且仅当a ＋1＝11a +，即a ＝0时等号成立．故所求直线l 的方程为x ＋y －2＝0.46．（2021·福建福州·高二期中）已知直线l 过点()3,2M ．(1)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程；(2)若l 与x 轴正半轴的交点为A ，与y 轴正半轴的交点为B ，求AOB （O 为坐标原点）面积的最小值．【解析】(1)当直线经过原点时，直线的斜率为23k =，所以直线的方程为23y x=，即230x y -=；当直线不过原点时，设直线的方程为x y a +=，代入点()3,2M 可得5a =，所以所求直线方程为5x y +=，即50x y +-=．综上可得，所求直线方程为：230x y -=或50x y +-=．(2)依题意，设点(),0A a ，()0,B b （0a >，0b >），直线AB 的方程为1x ya b+=，又点()3,2M 在直线AB 上，于是有321a b+=，利用基本不等式321a b =+≥24ab ≥，当且仅当6a =，4b =时等号成立，1122AOB S ab ∴=≥V ，即AOB 的面积的最小值为12．47．（2021·河北省盐山中学高二期中）已知直线l 过点()1,2P -.（1）若直线l 在两坐标轴上截距和为零，求l 方程；（2）设直线l 的斜率0k >，直线l 与两坐标轴交点别为A B 、，求AOB 面积最小值.【解析】（1）因为直线l 在两坐标轴上截距和为零，所以直线l 斜率存在且不为0，故不妨设斜率为k ，则直线l 方程为()21y k x -=+，所以直线在,x y 坐标轴上截距分别为21k--，2k +，所以2120k k--++=，整理得220k k +-=，解得2k =-或1k =所以直线l 方程为20x y +=或30x y -+=.（2）由（1）知()21,0,0,2A B k k ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，因为0k >，所以AOB 面积为()1214112444222S k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯++=⨯++≥⨯+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当4k k=，即2k =时等号成立，所以AOB 面积最小值448．（2020·安徽·合肥市庐阳高级中学高二期中（文））直线l 经过点()1,2A ，（1）直线l 与两个坐标轴围成的三角形的面积是4的直线方程.（2）直线l 与两个坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小时的直线方程.【解析】设直线方程为1x y a b +=，由直线l 经过点()1,2A 可得121a b+=，（1）由题可得121142a b ab ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得24a b =⎧⎨=⎩，24a b ⎧=--⎪⎨=-+⎪⎩24a b ⎧=-+⎪⎨=--⎪⎩则直线方程为1,124x y +=；（2）()10,02S ab a b =>>，121+=≥a b 8ab ≥，4S ≥当且仅当2a =，4b =时面积取最小值，则直线方程为124x y +=.考点7：直线过定点问题49．（2021·广东·揭阳华侨高中高二期中）直线10mx y m +--=恒过定点__________．【答案】(1,1)【解析】将直线方程10mx y m +--=等价于()()110m x y -+-=，令1010x y -=⎧⎨-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，所以直线10mx y m +--=恒过定点(1,1).故答案为：(1,1).50．（2021·四川·泸州老窖天府中学高二期中（理））直线(1)y k x =-过定点_________________.【答案】()1,0【解析】直线(1)y k x =-，令10x -=，得1,0x y ==，所以直线(1)y k x =-过定点()1,0，故答案为：()1,0.51．（2021·福建泉州·高二期中）已知点()10P -，在直线l ()20ax y a a R +-+=∈：上的射影为M ，点N （0，3），则线段MN 长度的最小值为______________【答案】4【解析】直线l ()20ax y a a R +-+=∈：，即(1)20x a y -++=，令10x -=，且20y +=，得出x 1,y 2==-，所以直线l 恒过定点(1,2)Q -，由于点()10P -，在直线l 上的射影为M ，即90PMQ ∠=，所以点M 在以PQ 为直径的圆上，该圆的圆心为PQ 的中点()0,1C -，且半径N 到圆心C 的距离为4NC ==，所以线段MN 的最小值为4NC r -=故答案为：452．（2021·湖南·益阳平高学校高二期中）设m R ∈，过定点A 的动直线10x my ++=和过定点B 的动直线230mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB +的最大值（）A ．B ．C ．3D ．6【答案】D【解析】由题意，动直线10x my ++=过定点(1,0)A -，直线230mx y m --+=可化为(2)30x m y -+-=，令2030x y -=⎧⎨-=⎩，可得()2,3B ，又1(1)0m m ⨯+⨯-=，所以两动直线互相垂直，且交点为P ，所以()()22222||||||120318PA PB AB +==--+-=，因为222||||||||22PA PB PA PB ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以6P A PB +=，当且仅当||||3PA PB ==时取等号.故选：D.53．（2021·四川·遂宁中学高二期中（理））过定点M 的直线20ax y +-=与过定点N 的直线420x ay a -+-=交于点P ，则·PM PN 的最大值为()A ．1B ．3C ．4D ．2【答案】C 【解析】由题意可知，动直线20ax y +-=经过定点()0,2M ，动直线420x ay a -+-=即()240x y a -+-+=，经过定点()2,4N ，∵过定点M 的直线20ax y +-=与过定点N 的直线420x ay a -+-=始终垂直，P 又是两条直线的交点，∴PM PN ⊥，∴2228PM PN MN +==．故2242PM PN PM PN +⋅≤=(当且仅当2PM PN ==时取“=”)．故选：C ．。
函数的图象与直线的方程,直线的倾斜角、斜率及其关系高二数学(北师大版2019选择性必修第一册)
升
高ห้องสมุดไป่ตู้
前进
3 2
.
2 2
升高量
坡度（比）=
前进量
2.直线的斜率
如果使用“倾斜角”这个概念，那么这里的“坡
度（比）”实际就是“倾斜角α的正切”．
一条直线的倾斜角
的正切值叫做这条
直线的斜率（slope）.
通常用小写字母k表示，即
k = tan
( 90 )
思考：如右图所示，
当直线与x 轴垂直（即
B．k3＜k1＜k2
C．k3＜k2＜k1
D．k1＜k3＜k2
【解析】由图可知1 < 0，2 > 3 > 0，故选 D.
例3 已知直线的倾斜角为，斜率为. ≠ 90°时，＝ .
π
3
（1）若0 ≤ ≤ ，求斜率的取值范围；
π
4
（2）若 ≤ ≤
3π
，求斜率的取值范围；
π
3
（1）若0 ≤ ≤ ，求斜率的取值范围；
π
4
（2）若 ≤ ≤
3π
，求斜率的取值范围；
4
（3）若− 3 ≤ ≤ −
3
，求倾斜角的取值范围；
3
（4）若−1 ≤ ≤ 3，求倾斜角的取值范围.
π
4
π
2
解：（2）由正切函数的性质，可得当 ≤ < 时， = tan ≥ 1，
π
0
x
找一找
下列图中，表示直线的倾斜角的是(
y
o
o
x
A
B
y
y
C
x
o
a
a
o
x
知识要点-直线的倾斜角与斜率及直线方程
第1讲 直线的倾斜角与斜率及直线方程★知识梳理★1、直线的倾斜角与斜率:对于一条与x 轴相交的直线，把x 轴所在直线绕着它与直线的交点按照逆时针方向旋转到和直线重合时，所转过的最小正角叫倾斜角；倾斜角的取值范围是[00，1800)直线的倾斜角α与斜率k 的关系:当α090≠时， k 与α的关系是αtan =k ；α090=时，直线斜率不存在；经过两点P 1(x 1,y 1)P 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式是1212x x y y k --= ； 三点C B A ,,共线的充要条件是AC AB k k =2.直线方程的五种形式:点斜式方程是()y y k x x -=-00；不能表示的直线为垂直于x 轴的直线 斜截式方程为b kx y +=；不能表示的直线为垂直于x 轴的直线两点式方程为121121x x x x y y y y --=--；不能表示的直线为垂直于坐标轴的直线 截距式方程为1=+by a x ；不能表示的直线为垂直于坐标轴的直线和过原点的直线. 一般式方程为0=++c by ax .3.几种特殊直线的方程:①过点),(b a P 垂直于x 轴的直线方程为x=a;过),(b a P 垂直于y 轴的直线方程为y=b ②已知直线的纵截距为b ,可设其方程为b kx y +=;③已知直线的横截距为a ,可设其方程为a my x +=;④过原点的直线且斜率是k 的直线方程为y=kx★重难点突破★重点: 理解倾斜角与斜率的对应关系,熟练利用五种形式求直线方程难点:在求直线方程时,条件的转化和设而不求的运用重难点:结合图形,把已知条件转化为确定直线位置的要素,从而顺利求出直线方程（1）倾斜角与斜率的对应关系涉及这类问题的题型一般有：（1）已知倾斜角(或范围)求斜率(范围)（2）已知斜率(或范围)求倾斜角(或范围)，如：问题1：直线023tan =++y x π的倾斜角α是 A.3π B. 6π C. 32π D. 3π- 点拨:转化为: 已知),0[,3tan tan παπα∈-=,求α ,答案: C问题2: 求直线023cos =++y x θ的倾斜角的取值范围点拨: 要从αtan =k 和正切函数的单调性来理解倾斜角与斜率的对应关系， ①当)2,0[πα∈时,),0[+∞∈k ,k 随α的增大而增大; ②当),2(+∞∈πα时,)0,(-∞∈k ,k 随α的增大而增大.本题可先求出斜率的取值范围,再利用倾斜角与斜率的对应关系,求出倾斜角的取值范围.3k θ=，故：k ≤≤当03k ≤≤时，直线的倾斜角α满足：06πα≤≤当0k ≤<时，直线的倾斜角α满足56παπ≤< 所以，直线的倾斜角的范围：06πα≤≤和56παπ≤< (2）利用直线方程的几何特征确定直线的位置问题3：已知函数)10(,)(≠>=a a a x f x 且，当1)(0><x f x 时，，方程 a ax y 1+=表示的直线是点拨:这是直线方程中的参数的几何意义问题，可先确定直线的斜率和截距的范围,再确定直线的位置,由已知可得)1,0(∈a ,从而斜率)1,0(∈k ,截距1>b ,故选C（3）选择恰当的形式求直线方程问题4:过点)2,1(--P 的直线分别交x 轴、y 轴的负半轴于B A ,两点，当||||PB PA ⋅最小时，求直线l 的方程。
直线的倾斜角、斜率与直线的方程
(2)设所求直线的斜率为 k,依题意 k=-14×3=-34.又直线经过点
A(-1,-3),
所以所求直线方程为 y+3=-34(x+1), 即 3x+4y+15=0.
关闭
(1)A (2)3x+4y+15=0
解析 答案
第九章
考点1
考点2
考点3
9.1 直线的倾斜角、斜率与直线的方程
知识体系
知识梳理
核心考点
.
当
α∈
π 6
,
π 4
时,k=tan α∈
3 3
,1
;
当
α∈
2π 3
,π
时,k=tan α∈[-
3 3
,1
.
[-
3,0)∪
3 3
,1
关闭
关闭
解析 答案
第九章
9.1 直线的倾斜角、斜率与直线的方程
知识体系
知识梳理
核心考点
学科素养
考点1
考点2
考点3
考点 2
求直线的方程
的取值范围是( )
A.[0,π)
C.
π 4
,
3π 4
B.
π 4
,
π 2
D.
π 4
,
π 2
∪
π 2
,
3π 4
(2)经过点P(0,-1)作直线l,若直线l与连接A(1,-2),B(2,1)的线段总
有公共点,则直线l的倾斜角α的取值范围
是
.
思考直线倾斜角的取值范围和斜率的取值范围的关系有哪些?
第九章
9.1 直线的倾斜角、斜率与直线的方程
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解析 答案
考点38直线的倾斜角与斜率直线的方程直线的交点坐标与距离公式
考点38直线的倾斜角与斜率直线的方程直线的交点坐标与距离公式直线是数学中最基本的几何对象之一，它在几何学和代数学中都有重要的应用。
研究直线的性质和特征是解决许多几何和代数问题的关键。
直线的倾斜角与斜率：直线的倾斜角是指直线与x轴正方向所成的角度，它表示了直线的倾斜程度。
直线的斜率是指直线上两点之间纵坐标的差与横坐标的差的比值，代表了直线的倾斜速率。
设直线上两点坐标分别为(x₁,y₁)和(x₂,y₂)，倾斜角θ和斜率k的计算公式如下：倾斜角θ = arctan((y₂ - y₁) / (x₂ - x₁))斜率k=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)直线的方程：直线的方程式可以用不同的形式表示，其中常见的有点斜式和一般式。
1.点斜式：点斜式是通过给定一点和直线的斜率来确定直线方程的方法。
设直线过点P(x₁,y₁)，斜率为k，则直线的点斜式方程为：(y-y₁)=k(x-x₁)2.斜截式：斜截式是通过给定直线在y轴上的截距和直线的斜率来确定直线方程的方法。
设直线与y轴相交于点A(0,b)，斜率为k，则直线的斜截式方程为：y = kx + b3.一般式：一般式是把直线方程表示为Ax+By+C=0的形式，其中A、B和C是常数，且A和B不能同时为0。
直线的交点坐标与距离公式：设有两条直线L₁和L₂，它们的方程分别为：L₁:Ax₁+By₁+C₁=0L₂:Ax₂+By₂+C₂=01.直线的交点坐标公式：直线L₁和L₂的交点坐标(x,y)可以通过以下公式计算：x=(B₁C₂-B₂C₁)/(A₁B₂-A₂B₁)y=(A₂C₁-A₁C₂)/(A₁B₂-A₂B₁)2.直线的距离公式：假设有一点P(x₀,y₀)和一直线L:Ax+By+C=0，点P到直线L的距离d 的公式为：d = ，Ax₀ + By₀ + C，/ sqrt(A² + B²)总结：直线的倾斜角与斜率可以帮助我们定量地描述直线的特征，直线的方程可以通过给定的条件确定。
知识要点-直线的倾斜角与斜率及直线方程
第1讲直线的倾斜角与斜率及直线方程★知识梳理★1、直线的倾斜角与斜率：对于一条与X轴相交的直线,把X轴所在直线绕着它与直线的交点按照逆时针方向旋转到和直线重合时，所转过的最小正角叫倾斜角；倾斜角的取值范用是［0°, 180°）直线的倾斜角α与斜率k的关系：当α ≠ 90°时，k与a的关系是k = tana； « = 90°时，直线斜率不存在：经过两点P I（X If y1）P=（x=,y=）（χ1≠χ=）的直线的斜率公式是R =旦二如:心一召三点A.B.C共线的充要条件是k Al） = kλc2.直线方程的五种形式：点斜式方程是y-y0= ψ-⅞）;不能表示的直线为垂直于迟轴的宜线斜截式方程为y = kx+b i不能表示的直线为垂宜于兰轴的宜线两点式方程为=L =上二土：不能表示的直线为垂直于坐标轴的直线y2 - >,ι v2-西截距式方程为- + - = 1：不能表示的宜线为垂直于坐标轴的直线和过原点的直线• a b一般式方程为coc+by + c = 0 .3.几种特殊直线的方程：①过点P（a,b）垂直于X轴的直线方程为空;过Pab）垂直于y轴的直线方程为y≡b②已知直线的纵截距为b ,可设其方程为y = kx+b；③已知直线的横截距为a,可设其方程为x = my + a^④过原点的直线且斜率是k的直线方程为y=kx★重难点突破★重点：理解倾斜角与斜率的对应关系,熟练利用五种形式求直线方程难点:在求直线方程时，条件的转化和设而不求的运用重难点:结合图形,把已知条件转化为确立直线位置的要素,从而顺利求岀直线方程（1）倾斜角与斜率的对应关系涉及这类问题的题型一般有：（1）已知倾斜角（或范用）求斜率（范由）（2）已知斜率（或范围)求倾斜角(或范围),如: 问题1：直线Xtan-+ y + 2 = O的倾斜角&是、兀GltCM TXπA.—B. —C. —D.——3 6 3 3点拨:转化为：已知tana =-tan—,c? ∈[0,Λ∙),求α ,答案：C 问题2:求直线XCOS0 + √3>- + 2 = 0的倾斜角的取值范用点拨：要从k = tana和正切函数的单调性来理解倾斜角与斜率的对应关系，①当α∈[O,-)f⅛, /r∈[0Λ∞), k随α的增大而增大；2②当QE(Z+s)时，k∈ (-≪>,0) I&随Q的增大而增大.2本题可先求出斜率的取值范国，再利用倾斜角与斜率的对应关系,求出倾斜角的取值范囤. k=--cosθ,故：心亜3 3 一一3当05R≤g时，直线的倾斜角α满足：0≤α≤兰3 6当_迺“<0时,直线的倾斜角α满足-≤a<π3 6所以，直线的倾斜角的范围：0≤a≤-和竺SavTr6 6(2)利用直线方程的几何特征确定直线的位置问题3：已知函数f(x) = a∖{a> O且a≠l),当xVo时,f(x) > 1,方程y = ax +丄表aV点拨:这是直线方程中的参数的几何意义问题，可先确龙直线的斜率和截距的范用,再确泄直线的位置，由已知可得a∈ (0,1),从而斜率k∈ (0,1),截距b>∖,故选C(3)选择恰当的形式求直线方程问题4:过点P(-l,-2)的宜线分别交X轴、y轴的负半轴于A,B两点，当IP4I∙IPBI最小时，求直线/的方程。
直线的倾斜角、斜率与直线的方程考点和题型归纳
直线的倾斜角、斜率与直线的方程考点和题型归纳一、基础知识1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准， x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角.(2)规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0. (3)范围：直线l 倾斜角的取值范围是[0，π)． 2．斜率公式(1)定义式：直线l 的倾斜角为α⎝⎛⎭⎫α≠π2，则斜率k ＝tan α. (2)坐标式：P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上， 且x 1≠x 2，则l 的斜率 k ＝y 2－y 1x 2－x 1.3．直线方程的五种形式名称 方程 适用范围 点斜式 y －y 0＝k (x －x 0) 不含垂直于x 轴的直线 斜截式 y ＝kx ＋b 不含垂直于x 轴的直线 两点式 y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1不含直线x ＝x 1(x 1≠x 2)和直线y ＝y 1(y 1≠y 2)截距式 x a ＋y b＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式 Ax ＋By ＋C ＝0，A 2＋B 2≠0平面内所有直线都适用二、常用结论特殊直线的方程(1)直线过点P 1(x 1，y 1)，垂直于x 轴的方程为x ＝x 1； (2)直线过点P 1(x 1，y 1)，垂直于y 轴的方程为y ＝y 1； (3)y 轴的方程为x ＝0； (4)x 轴的方程为y ＝0. 考点一 直线的倾斜角与斜率[典例] (1)直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤π6，π3 B.⎣⎡⎦⎤π4，π3 C.⎣⎡⎦⎤π4，π2D.⎣⎡⎦⎤π4，2π3(2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．[解析] (1)直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α， 因为α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32， 因此k ＝2·cos α∈[1， 3 ]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1， 3 ]． 又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3， 即倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4，π3.(2) 设P A 与PB 的倾斜角分别为α，β，直线P A 的斜率是k AP ＝1，直线PB 的斜率是k BP＝－3，当直线l 由P A 变化到与y 轴平行的位置PC 时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞)．当直线l 由PC 变化到PB 的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－ 3 ]．故直线l 斜率的取值范围是(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)． [答案] (1)B (2)(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)[变透练清]1.(变条件)若将本例(1)中的条件变为：平面上有相异两点A (cos θ，sin 2 θ)，B (0,1)，则直线AB 的倾斜角α的取值范围是________．解析：由题意知cos θ≠0，则斜率k ＝tan α＝sin 2θ－1cos θ－0＝－cos θ∈[－1,0)∪(0,1]，所以直线AB 的倾斜角的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 答案：⎝⎛⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π 2.(变条件)若将本例(2)中P (1,0)改为P (－1,0)，其他条件不变，则直线l 斜率的取值范围为________．解析：设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0. ∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1＋k )(－3＋k )≤0，即(3k －1)(k －3)≤0，解得13≤k ≤ 3.即直线l 的斜率的取值范围是⎣⎡⎦⎤13，3. 答案：⎣⎡⎦⎤13，33．若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为________．解析：因为k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3.由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4.答案：4考点二 直线的方程[典例] (1)若直线经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍，则该直线的方程为________________．(2)若直线经过点A (－3，3)，且倾斜角为直线3x ＋y ＋1＝0的倾斜角的一半，则该直线的方程为________________．(3)在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7,3)，且AC 的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上，则直线MN 的方程为________________．[解析] (1)①当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为y ＝kx ，将(－5,2)代入y ＝kx 中，得k ＝－25，此时，直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.②当横截距、纵截距都不为零时， 设所求直线方程为x 2a ＋ya＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－12，此时，直线方程为x ＋2y ＋1＝0.综上所述，所求直线方程为x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0.(2)由3x ＋y ＋1＝0得此直线的斜率为－3，所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率为 3.又直线过点A (－3，3)，所以所求直线方程为y －3＝3(x ＋3)，即3x －y ＋6＝0. (3)设C (x 0，y 0)，则M ⎝⎛⎭⎪⎫5＋x 02，y 0－22，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋x 02，y 0＋32.因为点M 在y 轴上，所以5＋x 02＝0，所以x 0＝－5.因为点N 在x 轴上，所以y 0＋32＝0，所以y 0＝－3，即C (－5，－3)， 所以M ⎝⎛⎭⎫0，－52，N (1,0)， 所以直线MN 的方程为x 1＋y－52＝1，即5x －2y －5＝0.[答案] (1)x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0 (2)3x －y ＋6＝0 (3)5x －2y －5＝0[题组训练]1．过点(1,2)，倾斜角的正弦值是22的直线方程是________________． 解析：由题知，倾斜角为π4或3π4，所以斜率为1或－1，直线方程为y －2＝x －1或y －2＝－(x －1)，即x －y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.答案：x －y ＋1＝0或x ＋y －3＝02．过点P (6，－2)，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线方程为________________．解析：设直线方程的截距式为x a ＋1＋y a ＝1，则6a ＋1＋－2a ＝1，解得a ＝2或a ＝1，则直线的方程是x 2＋1＋y 2＝1或x 1＋1＋y1＝1，即2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0.答案：2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0考点三 直线方程的综合应用[典例] 已知直线l 过点M (2,1)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求当|MA ―→|·|MB ―→|取得最小值时直线l 的方程．[解] 设A (a,0)，B (0，b )，则a ＞0，b ＞0，直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，所以2a ＋1b＝1.|MA ―→|·| MB ―→|＝－MA ―→·MB ―→＝－(a －2，－1)·(－2，b －1) ＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5 ＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫2a ＋1b －5 ＝2b a ＋2ab≥4， 当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.[解题技法]与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程． (3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的性质或基本不等式求解．[题组训练]1．若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，则该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C ∵直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)， ∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ·ab＝4， 当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立．∴直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4.2．已知直线l ：x －my ＋3m ＝0上存在点M 满足与A (－1,0)，B (1,0)两点连线的斜率k MA 与k MB 之积为3，则实数m 的取值范围是( )A ．[－6， 6 ] B.⎝⎛⎭⎫－∞，－66∪⎝⎛⎭⎫66，＋∞ C.⎝⎛⎦⎤－∞，－66∪⎣⎡⎭⎫66，＋∞ D.⎣⎡⎦⎤－22，22 解析：选C 设M (x ，y )，由k MA ·k MB ＝3，得y x ＋1·y x －1＝3，即y 2＝3x 2－3.联立⎩⎪⎨⎪⎧x －my ＋3m ＝0，y 2＝3x 2－3，得⎝⎛⎭⎫1m 2－3x 2＋23m x ＋6＝0(m ≠0)， 则Δ＝⎝⎛⎭⎫23m 2－24⎝⎛⎭⎫1m 2－3≥0，即m 2≥16，解得m ≤－66或m ≥66. ∴实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－66∪⎣⎡⎭⎫66，＋∞.[课时跟踪检测]1．(2019·合肥模拟)直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A.33B.3 C ．－ 3D ．－33解析：选A 设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33.2．倾斜角为120°，在x 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A.3x －y ＋1＝0 B.3x －y －3＝0 C.3x ＋y －3＝0D.3x ＋y ＋3＝0解析：选D 由于倾斜角为120°，故斜率k ＝－ 3.又直线过点(－1,0)，所以直线方程为y ＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0.3．已知△ABC 的三个顶点坐标为A (1,2)，B (3,6)，C (5,2)，M 为AB 的中点，N 为AC 的中点，则中位线MN 所在直线的方程为( )A ．2x ＋y －12＝0B ．2x －y －12＝0C ．2x ＋y －8＝0D ．2x －y ＋8＝0解析：选C 由题知M (2,4)，N (3,2)，则中位线MN 所在直线的方程为y －42－4＝x －23－2，整理得2x ＋y －8＝0.4．方程y ＝ax －1a表示的直线可能是( )解析：选C 当a ＞0时，直线的斜率k ＝a ＞0，在y 轴上的截距b ＝－1a ＜0，各选项都不符合此条件；当a ＜0时，直线的斜率k ＝a ＜0，在y 轴上的截距b ＝－1a ＞0，只有选项C符合此条件．故选C.5．在等腰三角形MON 中，MO ＝MN ，点O (0,0)，M (－1,3)，点N 在x 轴的负半轴上，则直线MN 的方程为( )A ．3x －y －6＝0B ．3x ＋y ＋6＝0C ．3x －y ＋6＝0D ．3x ＋y －6＝0解析：选C 因为MO ＝MN ，所以直线MN 的斜率与直线MO 的斜率互为相反数，所以k MN ＝－k MO ＝3，所以直线MN 的方程为y －3＝3(x ＋1)，即3x －y ＋6＝0，选C.6．若直线mx ＋ny ＋3＝0在y 轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线3x －y ＝33的倾斜角的2倍，则( )A ．m ＝－3，n ＝1B ．m ＝－3，n ＝－3C ．m ＝3，n ＝－3D ．m ＝3，n ＝1解析：选D 对于直线mx ＋ny ＋3＝0，令x ＝0得y ＝－3n ，即－3n ＝－3，n ＝1.因为3x －y ＝33的斜率为60°，直线mx ＋ny ＋3＝0的倾斜角是直线3x －y ＝33的2倍，所以直线mx ＋ny ＋3＝0的倾斜角为120°，即－mn＝－3，m ＝ 3.7．当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧ kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝kk －1，y ＝2k －1k －1.又∵0<k <12，∴x ＝kk －1<0，y ＝2k －1k －1>0，故直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第二象限．8．若直线l ：kx －y ＋2＋4k ＝0(k ∈R)交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，则当△AOB 的面积取最小值时直线l 的方程为( )A ．x －2y ＋4＝0B ．x －2y ＋8＝0C ．2x －y ＋4＝0D ．2x －y ＋8＝0解析：选B由l 的方程，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋4k k ，0，B (0,2＋4k )．依题意得⎩⎨⎧－2＋4k k ＜0，2＋4k ＞0，解得k ＞0.因为S ＝12|OA |·|OB |＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋4k k ·|2＋4k |＝12·(2＋4k )2k ＝12⎝⎛⎭⎫16k ＋4k ＋16≥12(2×8＋16)＝16，当且仅当16k ＝4k ，即k ＝12时等号成立．此时l 的方程为x －2y ＋8＝0.9．以A (1,1)，B (3,2)，C (5,4)为顶点的△ABC ，其边AB 上的高所在的直线方程是________________．解析：由A ，B 两点得k AB ＝12，则边AB 上的高所在直线的斜率为－2，故所求直线方程是y －4＝－2(x －5)，即2x ＋y －14＝0.答案：2x ＋y －14＝010．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为________________．解析：由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α， 因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12，所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43， 所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0. 答案：4x －3y －4＝011．直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是________________．解析：由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y －2＝k (x －1)，直线l 在x 轴上的截距为1－2k ，令－3<1－2k <3，解不等式得k >12或k <－1.答案：(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞12．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值范围是[－2,2]．答案：[－2,2]13．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.解：(1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3,3k ＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎫4k ＋3＝±6， 解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0. (2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程为y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.。
高二(上)直线的方程知识要点复习
直线的方程1．直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角．(也可定义为：一条直线向上的方向与x 轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角)当直线l 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0． （2）倾斜角的范围：[)π,0．2．直线的斜率：（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率．（2）斜率公式：经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为()212121x x x x y y k ≠--=．（3）应用：证明A 、B 、C 三点共线：①//；②AB BC k k =．3．直线方程的几种形式：点斜式、点方向式、点法向式、截距式、两点式、斜截式、一注：（1）过),(00y x P 垂直x 轴的直线方程是0x x =； （2）过),(00y x P 垂直y 轴的直线方程是0y y =．4．求斜率的方法：（1）利用倾斜角θ：θtan =k ，),2()2,0[πππθ ∈；（2）利用直线l 上两点坐标：1212x x y y k --=，其中21x x ≠；（3）利用方向向量),(v u d =：u vk =，其中0≠u ；（4）利用直线一般式的系数：bak -=，其中0≠b ．5．两直线位置关系：相交、平行和重合．（1）已知0:1111=++c y b x a l ，0:2222=++c y b x a l （1a 、1b 不全为零，2a 、2b 不全为零），则2211b a b a D =，2211b c b c D x =，2211c a c a D y =，),(111a b d -=，),(222a b d -=，①相交⇔0≠D ⇔1221b a b a ≠②平行⇔0=D 且x D 、y D 中至少有一个不为零⇔1221b a b a =且1221c b c b ≠ ③重合⇔0===y x D D D ⇔1221b a b a =且1221c b c b = 注：︒1“21//l l ”是“212121c c b b a a ≠=”的必要非充分条件； ︒2“1l 与2l 重合” 是“212121c cb b a a ==”的必要非充分条件．（2）若直线1l 与2l 的斜率1k 与2k 存在．．， ①相交⇔1d 与2d 不平行⇔21k k ≠； ②平行或重合⇔21//d d ⇔21k k =； ③垂直⇔021=⋅d d ⇔121-=⋅k k ．6．两直线的夹角：两条相交直线1l 与2l 的夹角，是指由1l 与2l 相交所成的四个角中最小的正角θ，又称为1l 和2l 所成的角，它的取值范围是0,2π⎛⎤ ⎥⎦⎝．注：两直线夹角是唯一确定的．（1）已知0:1111=++c y b x a l ，0:2222=++c y b x a l （1a 、1b 不全为零，2a 、2b 不全为零），则直线1l 与2l 的夹角θ的余弦值为222221212121cos ba b a b b a a +⋅++=θ；（2）若直线1l 与2l 的斜率1k 与2k 存在，则直线1l 与2l 的夹角θ的正切值为21121t a n k k k k ⋅+-=θ注：①若直线1l 与2l 的斜率1k 与2k 至少有一个不存在，则适合用向量的方法或用作图的方法求解； ②利用“21121tan k k k k ⋅+-=θ”求斜率时，若有一解时，这说明另一“解”为斜率k 不存在，即所求直线垂直于x 轴．7．两点与直线的位置关系已知点),(00y x P 在直线0:=++c by ax l 在直线外，记作2200ba c by ax +++=δ，（1）①若点),(11y x A 、),(22y x B 在直线l 的异侧，则021<⋅δδ；②若点),(11y x A 、),(22y x B 在直线l 的同侧，则021>⋅δδ；（2）①若直线l 与线段AB 相交，则021≤⋅δδ；②若直线l 与线段AB 无焦点，则021>⋅δδ．注：在直线同侧所有的点，δ的符号是相同的；在直线异侧所有的点，δ的符号是相反的．8．直线方程的相关参数设法（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+(它不适用于斜率不存在的直线)； （2）已知直线横截距a ，常设其方程为a my x +=(它不适用于斜率为0的直线)；（3）已知直线横、纵截距分别为a 、b （其中0≠ab ），常设其方程为1=+bya x ；（4）已知直线过点00(,)x y ，当斜率k 存在时，常设其方程为00()y k x x y =-+；当斜率k不存在时，则其方程为0x x =；（5）与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=； （6）与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=．（7）若坐标原点O 在直线l 上的射影点H 的坐标为),(b a ，则直线l 的点法向式方程为：0)()(=-+-b x b a x a ；（8）若点),(11y x P 在直线l 上的射影点H 的坐标为),(22y x ，即直线l 的法向量),(1212y y x x --=，则直线l 的点法向式方程为：0)()())((212212=--+--y y y y x x x x提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式（即假设直线时所含参数越少越好），利用待定系数法求解．9． 直线系：当直线位置不确定时，直线对应的方程中会含有参数．含参数的方程中有两种特殊情形，它们对应的直线是有规律的，即旋转直线系（即直线束）和平行直线系． （1）对于直线的斜截式方程b kx y +=，当k 、b 均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果k 、b 变化时，对应的直线也会变化．①当b 为定值，k 变化时，它们表示过定点（0，b ）的旋转直线系； ②当k 为定值，b 变化时，它们表示一组平行直线． （2）在点斜式方程y -y 0=k (x -x 0)中，①当（x 0，y 0）确定，k 变化时，该方程表示过定点（x 0，y 0）的旋转直线系； ②当k 确定，(x 0，y 0)变化时，该方程表示平行直线系． （3）已知直线l ：A x +B y +C=0，①方程A x +B y +m =0（m 为参数）表示与l 平行的直线系； ②方程B x -A y +n =0（n 为参数）表示与l 垂直的直线系． （4）过两直线⎩⎨⎧=++=++0:0:22221111C y B x A l C y B x A l 的交点的直线系方程λλ(0)(222111=+++++C y B x A C y B x A 为参数，l 2:0222=++C y B x A 不包括在内）注：掌握含参数方程的几何意义是某种直线系，有时可以优化解题思路．10．点到直线的距离及两平行直线间的距离：（1）点与点之间的距离：两点),(111y x P 、),(222y x P 的距离公式：21221221)()(||y y x x P P -+-=．特例：点),(y x P 到原点O 的距离：||OP =（2）点到直线的距离公式：设点),(00y x P ，直线P C By Ax l ,0:=++到l 的距离为d ，则有2200BA C By Ax d +++=．（3）两条平行线间的距离公式：设两条平行直线)(0:,0:212211C C C By Ax l C By Ax l ≠=++=++，它们之间的距离为d ，则有2221BA C C d +-=．11． 直线中的相关对称性问题（1）点关于点对称①点),(b a 关于原点对称的点的坐标为),(b a --；②点),(b a 关于点),(n m 对称的点的坐标为)2,2(b n a m --； （2）点关于线对称①点),(b a 关于x 轴对称的点的坐标为),(b a -；②点),(b a 关于y 轴对称的点的坐标为),(b a --； ③点),(b a 关于直线x y =对称的点的坐标为),(a b ； ④点),(b a 关于直线x y -=对称的点的坐标为),(a b --； ⑤点),(b a 关于直线m x =对称的点的坐标为),2(b a m -；⑥点),(b a 关于直线n y =对称的点的坐标为)2,(b n a -；⑦点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①），过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点，即： 已知直线0:=++C By Ax l 外一点),(00y x P ，求点P 关于直线l 对称的点Q 的坐标．解题思路：设点),(y x Q ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⋅--=++⋅++⋅1)(0220000B A x x y yC y y B x x A ，即可求点Q 的坐标．（3）线关于点对称：关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等．（4）线关于线对称：①关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等；②若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线． 注：（1）已知点),(11y x A 、),(22y x B ，则其中点P 坐标为)2,2(2121y y x x ++； （2）已知ABC ∆三个顶点),(11y x A 、),(22y x B 、),(33y x C ，则其中心M 坐标为)3,3(321321y y y x x x +++++。
倾斜角、斜率和直线方程
倾斜角、斜率和直线方程知识要点一、倾斜角及斜率1、直线的倾斜角的定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴为基准，x 轴正向与直线l 向上方向所成的角α叫做直线l 的倾斜角。
规定：当直线l 与x 轴平行或重合时其倾斜角为002、直线的倾斜角的范围：[0，π）3、直线的斜率的定义：k =tan α (α≠2π) 4、经过两点P 1（x 1,y 1） P 2(x 2,y 2) (x 1≠x 2)的直线的斜率k=1212x x y y -- 例1：直线l 经过原点和点(11)-，，则它的倾斜角是（ ） A ．34π B ． 54π C ．4π或54π D ．4π-例2：若m 经过两点A (－m ，6)，B (1，3m )的直线的斜率是12．则实数m 的值为________例3：4．已知A (3,5)，B (4,7)，C (－1，x )三点共线，则x ＝________例4：直线3x －y ＋a ＝0的倾斜角为（ ）A ．30°B ．60°C ．150°D ．120°例5：直线x cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是（ ）A ．[π6，π2)∪(π2，5π6]B ．[0，π6]∪[5π6，π)C ．[0，5π6]D ．[π6，5π6]例6：已知直线l ：sin αx －y +3=0，试求该直线l 的倾斜角的范围。
例7：已知两点A （1，3），B （5，2），若直线l 过点M （－2，－1）且与线段AB 有公共点，求直线l 斜率的取值范围。
例8：若A (a,0)，B (0，b )，C (－2，－2)，(ab ≠0)三点共线，则1a ＋1b的值为________． 巩固训练1、直线y =x cos α+1 (α∈R)的倾斜角的取值范围是（ ）A 、[0, 2π]B 、[0, π)C 、[－4π, 6π]D 、[0, 4π]∪[43π,π) 2、若直线l 经过原点和点(－3, －3)，则直线l 的倾斜角为（ ）A 、4πB 、54πC 、4π或54π D 、－4π3、若经过点A (1－t , 1+t )和点B(3, 2t )的直线的倾斜角为钝角，则实数t 的取值范围是 .4、若直线k 的斜率满足－3＜k ＜33，则该直线的倾斜角α的范围是 . 5、若直线l 的倾斜角是连接P (3, －5), Q (0, －9)两点的直线的倾斜角的2倍，则直线l 的斜率为 .6、已知M(2, －3), N(－3,－2)，直线l 过点P (1, 1)，且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是 .7、过点M (－2, a ), N(a , 4)的直线的斜率为－21，则a 等于（ ） A 、－8 B 、10 C 、2 D 、48、过点A(2, b )和点B (3, －2)的直线的倾斜角为43π，则b 的值（ ）A 、－1B 、1C 、－5D 、59、如图，若图中直线l 1, l 2, l 3的斜率分别为k 1, k 2, k 3，则（ ）A 、k 1<k 2<k 3B 、k 3<k 1<k 2C 、k 3<k 2<k 1D 、k 1<k 3<k 210、已知y 轴上的点B 与点A(－3, 1)连线所成直线的倾斜角为120°，则点B 的坐标为 .11、已知A (－2, 3), B (3, 2)，过点P (0, －2)的直线l 与线段AB 没有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是 .12、已知矩形ABCD 中, A(－4, 4), D(5, 7)，中心E 在第一象限内，且与y 轴的距离为一个单位，动点P (x , y )沿矩形一边BC 运动，求y x的取值范围。
直线的倾斜角与斜率、直线的方程-讲义
直线的倾斜角与斜率、直线的方程知识点1 直线的倾斜角与斜率1直线的倾斜角(1) 定义当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定α=0∘.(2)范围α∈[0∘ ,180∘).l与x轴垂直时， α=90∘.2直线的斜率(1)定义直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，记作k=tan α(α≠90∘) .当直线l与x轴平行或重合时，α=0∘， k=tan 0∘=0;当直线l与x轴垂直时， α=90∘ ,k不存在.(2)倾斜角α与斜率k之间的关系k=tan α，α∈[0∘ ,180∘)，如左图，当α∈[0∘ ,90∘)时，k(α)是递增的；右图中斜率为k1 ,k2的直线对应的倾斜角为α1 ,α2，其中0<α2<α1<π，而k1>k2>0；2如左图，当α∈(90∘ ,180∘)时，k(α)也是递增的；右图中斜率为k3 ,k4的直线对应的倾斜角为α3 ,α4，<α3<α4<π，而k3<k4<0.其中π2(斜率大小看倾斜角，直线越陡斜率绝对值|k|越大)(3) 斜率公式.经过两点P1(x1 ,y1) ,P2(x2 ,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式是 k=y2−y1x2−x1使用斜率公式的时候要注意x1≠x2的前提条件.(4)求斜率的方法(1)已知直线上两点，根据斜率公式k==y2−y1(x1≠x2)求斜率；x2−x1(2)已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数根据k=tan α(α≠90∘)来求斜率.(5) 利用斜率证明三点共线的方法已知A(x1 ,y1) ,B(x2 ,y2) ,C(x3 ,y3) ，若x1=x2=x3或k AB=k BC，则有A、B、C三点共线.知识点2直线的方程1 直线方程的几种形式(1) 利用点斜式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否.(2) 截距与距离的区别：截距的值有正、负、零.距离的值是非负数.(3) 用截距式方程表示直线时，要注意方程的条件限制为两个截距均不能为零.【题型一】直线的倾斜角与斜率的关系π，则m的值为. 【典题1】已知直线过A(3,m+1),B(4,2m+1)两点且倾斜角为56【典题2】直线x+ycosθ−5=0的倾斜角α的取值范围是.【典题3】设点A(2 ,−3)，B(−3 ,−2)，直线l过点P(1 ,1)且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围为.课堂练习1下列叙述正确的是()A．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率B．直线倾斜角α的取值范围是0°≤α<180°C．若一条直线的倾斜角为α(α≠90°)，则此直线的斜率为tanαD．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0°或90°2 若直线经过两点A(m ,2)，B(−m ,2m−1)且倾斜角为45°，则m的值为.3 已知在直角坐标系中，等边△ABC中A与原点重合，若AB的斜率为√3，则BC的斜率可能2为.4已知θ∈R，则直线xsinθ−√3y+1=0的倾斜角的取值范围是.5直线l经过点A(2,1),B(3,t2)，(−√2≤t≤√2)，则直线l倾斜角的取值范围是.6已知两点A(−3 ,4)，B(3 ,2)，过点P(1 ,0)的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是.7P(x ,y)在线段AB上运动，已知A(2 ,4) ,B(5 ,−2)，则y+1的取值范围是.x+1【题型二】求直线方程【典题1】根据所给条件求直线方程(1)直线过点A(3 ,2)，倾斜角α的正弦值为35；(2)直线过点A(1 ,3)，且在两坐标轴上的截距之和为8；(3)直线过点A(2 ,4)，B(−3 ,8).课堂练习1【多选题】下列说法中，正确的有()A．过点P(1 ,2)且在x、y轴截距相等的直线方程为x+y−3=0B．直线y=3x−2在y轴上的截距为−2C．直线x−√3y+1=0的倾斜角为60°D．过点(5 ,4)并且倾斜角为90°的直线方程为x−5=02【多选题】下列有关直线l：x+my−1=0(m∈R)的说法中不正确的是()A．直线l的斜率为−m B．直线l的斜率为−1 mC．直线l过定点(0 ,1)D．直线l过定点(1 ,0)3已知直线mx+3y−12=0在两个坐标轴上截距之和为7，则实数m的值为.4 若直线过点(1 ,1)且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线有条.5 已知等边△ABC的两个顶点A(0 ,0) ,B(4 ,0)，且第三个顶点在第四象限，则BC边所在的直线方程是.【题型三】直线方程的综合运用【典题1】设直线l：(3+2λ)x+(4+λ)y−19−6λ=0 ,(λ∈R)．(1)求证：直线l恒过定点M，并求出定点M坐标；(2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；(3)设直线l与x轴、y轴的正半轴交于点A ,B，求当|MA||MB|(点M为(1)中的定点)取得最小值时直线l的方程．【典题2】 如图，将一块等腰直角三角板ABO 置于平面直角坐标系中，已知AB =OB =1，AB ⊥OB ，点P(12 ,14)是三角板内一点，现因三角板中部分(△POB 内部，不含边界)受损坏，要把损坏的部分锯掉，可用经过P 的任意一直线MN 将其锯成△AMN ． (1)求直线MN 的斜率的取值范围；(2)若P 点满足MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，这样的直线MN 是否存在，如不存在，请说明理由；若存在，求出此时直线MN 的方程；(3)如何确定直线MN 的斜率，才能使锯成的△AMN 的面积取得最大值和最小值？并求出最值．课堂练习1已知直线l的方程为：(2+m)x+(1−2m)y+(4−3m)=0．(1)求证：不论m为何值，直线必过定点M；(2)过点M引直线l1，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求l1的方程．2已知直线l经过点P(3 ,2)．(1)若直线l在x轴、y轴上的截距互为相反数，求直线l的方程；(2)若直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A ,B两点．当|PA|2+|PB|2取得最小值时，求直线l的方程．3如图，射线OA ,OB与x轴正半轴的夹角分别为45°和30°，过点P(1 ,0)的直线l分别交OA，OB于点A ,B．(1)当线段AB的中点为P时，求l的方程；(2)当线段AB的中点在直线y=x2上时，求l的方程．4 已知直线l：kx－y+1+2k=0(k∈R)．(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程．5 在直角坐标系中，已知射线OA：x−y=0(x≥0)，过点P(3 ,1)作直线分别交射线OA，x轴正半轴于点A、B．(1)当AB的中点为P时，求直线AB的方程；(2)求PA∙PB的最小值．。
高考数学总复习(基础知识+高频考点+解题训练)直线的倾斜角与斜率、直线的方程
直线的倾斜角与斜率、直线的方程[知识能否忆起]一、直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角(1)定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)倾斜角的范围为[0，π)_． 2．直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α，倾斜角是90°的直线没有斜率．(2)过两点的直线的斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 1－y 2x 1－x 2. 二、直线方程的形式及适用条件一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不全为0)[小题能否全取]1．(教材习题改编)直线x ＋3y ＋m ＝0(m ∈k )的倾斜角为( ) A ．30° B ．60° C ．150°D ．120°解析：选C 由k ＝tan α＝－33，α∈[0，π)得α＝150°. 2．(教材习题改编)已知直线l 过点P (－2,5)，且斜率为－34，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －14＝0B ．3x －4y ＋14＝0C ．4x ＋3y －14＝0D ．4x －3y ＋14＝0解析：选A 由y －5＝－34(x ＋2)，得3x ＋4y －14＝0.3．过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( ) A ．1B ．4C ．1或3D ．1或4解析：选A 由1＝4－mm ＋2，得m ＋2＝4－m ，m ＝1.4．(2012·长春模拟)若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为________． 解析：k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3.由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4. 答案：45．若直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则直线l 的方程为________． 解析：由已知得直线l 的斜率为k ＝－32.所以l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0. 答案：3x ＋2y －1＝01.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在，每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率． 2．由斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性． 3．用截距式写方程时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需要分类讨论．直线的倾斜角与斜率典题导入[例1] (1)(2012·岳阳模拟)经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y ＝( )A ．－1B ．－3C ．0D ．2(2)(2012·苏州模拟)直线x cos θ＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是________． [自主解答] (1)tan 3π4＝2y ＋1－－34－2＝2y ＋42＝y ＋2，因此y ＋2＝－1.y ＝－3.(2)由题知k ＝－33cos θ，故k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33，结合正切函数的图象，当k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，33时，直线倾斜角α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6，当k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－33，0时，直线倾斜角α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π，故直线的倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π. [答案] (1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π由题悟法1．求倾斜角的取值范围的一般步骤： (1)求出斜率k ＝tan α的取值范围；(2)利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围． 2．求倾斜角时要注意斜率是否存在．以题试法1．(2012·哈尔滨模拟)函数y ＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π4，则直线l ：ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )A ．45°B ．60°C ．120°D ．135°解析：选D 由函数y ＝f (x )＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π4知，f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，即－b ＝a ，则直线l 的斜率为－1，故倾斜角为135°.2．(2012·金华模拟)已知点A (1,3)，B (－2，－1)．若直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 相交，则k 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞B ．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，12解析：选D 由题意知直线l 恒过定点P (2,1)，如右图．若l 与线段AB 相交，则k PA ≤k ≤k PB .∵k PA ＝－2，k PB ＝12，∴－2≤k ≤12.直 线 方 程典题导入[例2] (1)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是________________．(2)(2012·东城模拟)若点P (1,1)为圆(x －3)2＋y 2＝9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为______________．[自主解答] (1)设所求直线方程为x －2y ＋m ＝0，由直线经过点(1, 0)，得1＋m ＝0，m ＝－1. 则所求直线方程为x －2y －1＝0.(2)由题意得，1－01－3×k MN ＝－1，所以k MN ＝2，故弦MN 所在直线的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.[答案] (1)x －2y －1＝0 (2)2x －y －1＝0由题悟法求直线方程的方法主要有以下两种：(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程；(2)待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，最后代入求出直线方程．以题试法3．(2012·龙岩调研)已知△ABC 中，A (1，－4)，B (6,6)，C (－2,0)．求： (1)△ABC 中平行于BC 边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程； (2)BC 边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程． 解：(1)平行于BC 边的中位线就是AB ，AC 中点的连线．因为线段AB ，AC 中点坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫72，1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2， 所以这条直线的方程为y ＋21＋2＝x ＋1272＋12，整理一般式方程为得6x －8y －13＝0，截距式方程为x 136－y138＝1.(2)因为BC 边上的中点为(2,3)，所以BC 边上的中线所在直线的方程为y ＋43＋4＝x －12－1，即一般式方程为7x －y －11＝0，截距式方程为x 117－y11＝1.直线方程的综合应用典题导入[例3] (2012·开封模拟)过点P (3,0)作一直线，使它夹在两直线l 1：2x －y －2＝0与l 2：x ＋y ＋3＝0之间的线段AB 恰被点P 平分，求此直线的方程．[自主解答] 法一：设点A (x ，y )在l 1上，点B (x B ，y B )在l 2上．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x B 2＝3，y ＋yB2＝0，则点B (6－x ，－y )，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，6－x ＋－y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝113，y ＝163，则k ＝163－0113－3＝8.故所求的直线方程为y ＝8(x －3)，即8x －y －24＝0. 法二：设所求的直线方程为y ＝k (x －3)， 点A ，B 的坐标分别为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x －3，2x －y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x A ＝3k －2k －2，y A＝4kk －2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －3，x ＋y ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x B ＝3k －3k ＋1，y B＝－6kk ＋1.∵P (3,0)是线段AB 的中点， ∴y A ＋y B ＝0，即4k k －2＋－6k k ＋1＝0， ∴k 2－8k ＝0，解得k ＝0或k ＝8. 若k ＝0，则x A ＝1，x B ＝－3， 此时x A ＋x B 2＝1－32≠3，∴k ＝0舍去，故所求的直线方程为y ＝8(x －3)， 即8x －y －24＝0.由题悟法解决直线方程的综合问题时，除灵活选择方程的形式外，还要注意题目中的隐含条件，若与最值或范围相关的问题可考虑构建目标函数进行转化求最值．以题试法4．(2012·东北三校联考)已知直线l 过点M (2,1)，且分别与x 轴，y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 为原点．(1)当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程； (2)当|MA |·|MB |取得最小值时，求直线l 的方程． 解：(1)设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)(k <0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ，0，B (0，1－2k )， △AOB 的面积S ＝12(1－2k )⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋－4k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ≥12(4＋4)＝4. 当且仅当－4k ＝－1k ，即k ＝－12时，等号成立．故直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.(2)∵|MA |＝ 1k2＋1，|MB |＝4＋4k 2， ∴|MA |·|MB |＝1k2＋1·4＋4k 2＝2k 2＋1k2＋2≥2×2＝4，当且仅当k 2＝1k2，即k ＝－1时取等号，故直线方程为x ＋y －3＝0.1．若k ，－1，b 三个数成等差数列，则直线y ＝kx ＋b 必经过定点( ) A ．(1，－2) B ．(1,2) C ．(－1,2)D ．(－1，－2)解析：选A 因为k ，－1，b 三个数成等差数列，所以k ＋b ＝－2，即b ＝－2－k ，于是直线方程化为y ＝kx －k －2，即y ＋2＝k (x －1)，故直线必过定点(1，－2)．2．直线2x ＋11y ＋16＝0关于点P (0,1)对称的直线方程是( ) A ．2x ＋11y ＋38＝0 B ．2x ＋11y －38＝0 C ．2x －11y －38＝0D ．2x －11y ＋16＝0解析：选B 因为中心对称的两直线互相平行，并且对称中心到两直线的距离相等，故可设所求直线的方程为2x ＋11y ＋C ＝0，由点到直线的距离公式可得|0＋11＋16|22＋112＝|0＋11＋C |22＋112，解得C ＝16(舍去)或C ＝－38.3．(2012·衡水模拟)直线l 1的斜率为2，l 1∥l 2，直线l 2过点(－1,1)且与y 轴交于点P ，则P 点坐标为( )A ．(3,0)B ．(－3,0)C ．(0，－3)D ．(0,3)解析：选D ∵l 1∥l 2，且l 1斜率为2，∴l 2的斜率为2. 又l 2过(－1,1)，∴l 2的方程为y －1＝2(x ＋1)， 整理即得y ＝2x ＋3.令x ＝0，得P (0,3)．4．(2013·佛山模拟)直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足( ) A ．ab ＞0，bc ＜0 B ．ab ＞0，bc ＞0 C ．ab ＜0，bc ＞0D ．ab ＜0，bc ＜0解析：选A 由于直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y ＝－a b x －c b ，易知－a b ＜0且－c b＞0，故ab ＞0，bc ＜0.5．将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为( ) A ．y ＝－13x ＋13B ．y ＝－13x ＋1C ．y ＝3x －3D ．y ＝13x ＋1解析：选A 将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°得到直线y ＝－13x ，再向右平移1个单位，所得直线的方程为y ＝－13(x －1)，即y ＝－13x ＋13.6．已知点A (1，－2)，B (m,2)，且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是( ) A ．－2 B ．－7 C ．3D ．1解析：选C 线段AB 的中点⎝⎛⎭⎪⎫1＋m 2，0代入直线x ＋2y －2＝0中，得m ＝3.7．(2013·贵阳模拟)直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是________．解析：设直线l 的斜率为k ，则方程为y －2＝k (x －1)，在x 轴上的截距为1－2k ，令－3＜1－2k＜3，解得k ＜－1或k ＞12.答案：(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 8．(2012·常州模拟)过点P (－2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为________． 解析：直线l 过原点时，l 的斜率为－32，直线方程为y ＝－32x ；l 不过原点时，设方程为x a ＋ya ＝1，将点(－2,3)代入，得a ＝1，直线方程为x ＋y ＝1.综上，l 的方程为x ＋y －1＝0或2y ＋3x ＝0. 答案：x ＋y －1＝0或3x ＋2y ＝09．(2012·天津四校联考)不论m 取何值，直线(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0恒过定点________． 解析：把直线方程(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0整理得 (x ＋2)m －(x ＋y －1)＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3.答案：(－2,3)10．求经过点(－2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l 的方程．解：设所求直线方程为x a ＋yb＝1， 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋2b＝1，12|a ||b |＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.故直线l 的方程为2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0. 11．(2012·莆田月考)已知两点A (－1,2)，B (m,3)． (1)求直线AB 的方程； (2)已知实数m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33－1，3－1，求直线AB 的倾斜角α的取值范围． 解：(1)当m ＝－1时，直线AB 的方程为x ＝－1； 当m ≠－1时，直线AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)． (2)①当m ＝－1时，α＝π2；②当m ≠－1时，m ＋1∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－33，0∪(0， 3 ]， ∴k ＝1m ＋1∈(－∞，－ 3 ]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，＋∞， ∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，2π3.综合①②知，直线AB 的倾斜角α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3.12.如图，射线OA 、OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA 、OB 于A 、B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )， 所以AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在y ＝12x 上，且A 、P 、B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3， 3)．又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32， 所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)， 即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.1．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2 解析：选B 由⎩⎨⎧ y ＝kx －3，2x ＋3y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝32＋32＋3k ，y ＝6k －232＋3k .∵两直线交点在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞0，y ＞0，解得k ＞33. ∴直线l 的倾斜角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2.2．(2012·洛阳模拟)当过点P (1,2)的直线l 被圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝5截得的弦最短时，直线l 的方程为________________．解析：易知圆心C 的坐标为(2,1)，由圆的几何性质可知，当圆心C 与点P 的连线与直线l 垂直时，直线l 被圆C 截得的弦最短．由C (2,1)，P (1,2)可知直线PC 的斜率为2－11－2＝－1，设直线l 的斜率为k ，则k ×(－1)＝－1，得k ＝1，又直线l 过点P ，所以直线l 的方程为x －y ＋1＝0.答案：x －y ＋1＝03．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )．(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．解：(1)证明：法一：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．法二：设直线过定点(x 0，y 0)，则kx 0－y 0＋1＋2k ＝0对任意k ∈R 恒成立，即(x 0＋2)k －y 0＋1＝0恒成立，∴x 0＋2＝0，－y 0＋1＝0，解得x 0＝－2，y 0＝1，故直线l 总过定点(－2,1)．(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧ k ≥0，1＋2k ≥0，解得k 的取值范围是[0，＋∞)．(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2k k ，在y 轴上的截距为1＋2k ，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．又－1＋2k k<0且1＋2k >0，∴k >0. 故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k(1＋2k ) ＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4， 当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时，取等号． 故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.1．(2012·郑州模拟)已知直线l 1的方向向量为a ＝(1,3)，直线l 2的方向向量为b ＝(－1，k )．若直线l 2经过点(0,5)且l 1⊥l 2，则直线l 2的方程为( )A ．x ＋3y －5＝0B ．x ＋3y －15＝0C ．x －3y ＋5＝0D ．x －3y ＋15＝0解析：选B ∵kl 1＝3，kl 2＝－k ，l 1⊥l 2，∴k ＝13，l 2的方程为y ＝－13x ＋5，即x ＋3y －15＝0. 2．(2012·吴忠调研)若过点P (1－a,1＋a )与Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是________．解析：k ＝tan α＝2a －1＋a 3－1－a ＝a －1a ＋2. ∵α为钝角，∴a －1a ＋2＜0，即(a －1)(a ＋2)＜0， 故－2＜a ＜1.答案：(－2,1)3.已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点如图，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．解：设A (a,0)，B (0，b )，(a ＞0，b ＞0)，则直线l 的方程为x a ＋y b ＝1， ∵l 过点P (3,2)，∴3a ＋2b＝1.∴1＝3a ＋2b ≥2 6ab ，即ab ≥24. ∴S △ABO ＝12ab ≥12.当且仅当3a ＝2b ，即a ＝6，b ＝4时， △ABO 的面积最小，最小值为12. 此时直线l 的方程为x 6＋y4＝1.即2x ＋3y －12＝0.。
史上最全直线与直线方程题型归纳
精心整理直线与直线方程一、知识梳理1.直线的倾斜角与斜率：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角.当直线和x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°.倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k 表示.倾斜角是90°的直线没有斜率.2.斜率公式：经过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--=3.直线方程的五种形式直线形式 直线方程局限性选择条件 点斜式不能表示与x 轴垂直的直线①已知斜率 ②已知一点 斜截式不能表示与x 轴垂直的直线①已知斜率②已知在y 轴上的截距两点式不能表示与x 轴、y 轴垂直的直线①已知两个定点 ②已知两个截距 截距式（b a 、分别为直线在x 轴和y 轴上的截距）不能表示与x 轴垂直、与y 轴垂直、过原点的直线 已知两个截距（截距可以为负）一般式表示所有的直线求直线方程的结果均可化为一般式方程 7．斜率存在时两直线的平行：21//l l ⇔1k =2k 且21b b ≠. 8．斜率存在时两直线的垂直：⇔⊥21l l 121-=k k ．9．特殊情况下的两直线平行与垂直:当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直． 二、典例精析题型一：倾斜角与斜率【例1】下列说法正确的个数是（） ①任何一条直线都有唯一的倾斜角；②倾斜角为030的直线有且仅有一条； ③若直线的斜率为θtan ，则倾斜角为θ； ④如果两直线平行，则它们的斜率相等 A.0个B.1个C.2个D.3个【练习】如果0<AC 且0<BC ，那么直线0=++C By Ax 不通过（） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【例2】如图，直线l 经过二、三、四象限，l 的倾斜角为α，斜率为k ，则( ) A ．k sin α>0 B ．k cos α>0C ．k sin α≤0 D ．k cos α≤0【练习】图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则()．A ．k 1＜k 2＜k 3B ．k 3＜k 1＜k 2C ．k 3＜k 2＜k 1D ．k 1＜k 3＜k 2【例3】经过点()2,1P 作直线l ，若直线l 与连接()10—，A ，()1,4B 的线段总有公共点，求直线l 的倾斜角α与斜率k 的取值范围。
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第1讲 直线的倾斜角与斜率及直线方程1、直线的倾斜角与斜率: 对于一条与x 轴相交的直线，把x 轴所在直线绕着它与直线的交点按照逆时针方向旋转到和直线重合时，所转过的最小正角叫倾斜角；倾斜角的取值范围是[00，1800)直线的倾斜角α与斜率k 的关系:当α090≠时， k 与α的关系是αtan =k ；α090=时，直线斜率不存在；经过两点P 1(x 1,y 1)P 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式是1212x x y y k --=；三点C B A ,,共线的充要条件是AC AB k k = 2.直线方程的五种形式:点斜式方程是()y y k x x -=-00；不能表示的直线为垂直于x 轴的直线 斜截式方程为b kx y +=；不能表示的直线为垂直于x 轴的直线两点式方程为121121x x x x y y y y --=--；不能表示的直线为垂直于坐标轴的直线截距式方程为1=+bya x ；不能表示的直线为垂直于坐标轴的直线和过原点的直线. 一般式方程为0=++c by ax . 3.几种特殊直线的方程:①过点),(b a P 垂直于x 轴的直线方程为x=a;过),(b a P 垂直于y 轴的直线方程为y=b ②已知直线的纵截距为b ,可设其方程为b kx y +=; ③已知直线的横截距为a ,可设其方程为a my x +=; ④过原点的直线且斜率是k 的直线方程为y=kx★重难点突破★重点: 理解倾斜角与斜率的对应关系,熟练利用五种形式求直线方程 难点:在求直线方程时,条件的转化和设而不求的运用重难点:结合图形,把已知条件转化为确定直线位置的要素,从而顺利求出直线方程 （1）倾斜角与斜率的对应关系涉及这类问题的题型一般有：（1）已知倾斜角(或范围)求斜率(范围)（2）已知斜率(或范围)求倾斜角(或范围)，如： 问题1：直线023tan=++y x π的倾斜角α是A.3πB. 6π C. 32π D. 3π-问题2: 求直线023cos =++y x θ的倾斜角的取值范围问题3：已知函数)10(,)(≠>=a a a x f x且，当1)(0><x f x 时，，方程 aax y 1+=表示的直线是★热点考点题型探析★考点1 直线的倾斜角和斜率题型1 ：已知倾斜角(或范围)求斜率(或范围)或已知斜率(或范围)求倾斜角(或范围) [例1 ]已知经过),12,(),2,(--m m B m A 的直线的倾斜角为α，且oo13545<<α，试求实数m 的取值范围。
题型2 ：动直线与线段(曲线段、区域)相交[例2 ]已知直线l :y=kx-2和两点P （1，2）、Q （-4，1）,若l 与线段PQ 相交，求k 的取值范围；【解题思路】用运动的观点,结合图形得出倾斜角的范围,【新题导练】1. 下列多组点中，三点共线的是( )A.(1，4)，(-1，2)，(3，5)B.(-2,-5),(7,6),(-5,3)C.(1,0),(0,-31),(7，2) D.(0，0)，(2，4)，(-1，3)2.（广东省四校联合体2007-2008学年度联合考试）若函数f (x )=log 2（x+1）且a ＞b ＞c ＞0，则aa f )(、bb f )(、cc f )(的大小关系是A 、aa f )(＞bb f )(＞cc f )( B 、cc f )(＞bb f )(＞aa f )(C 、b b f )(＞a a f )(＞c c f )(D 、a a f )(＞c c f )(＞b b f )(【解析】B3. (华南师大附中2009届高三综合测试（一）)已知直线3443x ty t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），则下列说法错误的是 （ ）A ．直线的倾斜角为3arctan4B ．直线必经过点11(1,)2-C ．直线不经过第二象限D ．当t=1时，直线上对应点到点（1,2）的距离为4. 若A 为不等式组002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x y a += 扫过A5.在平面直角坐标系中，点AB C ，，的坐标分别为(01)(42)(26)，，，，，．如果()P x y ，是ABC △围成的区域（含边界）上的点，则1+x y的取值范围是6.已知点A（-2，3），B（3，2），P（0，-2），过P点的直线 与线段AB有公共点，求直线 的斜率k的变化范围;考点2 求直线方程题型：根据题目条件，选择方程的形式求直线方程[例3 ] 等腰直角三角形ABC的直角顶点C和顶点B都在直线2x+y–6=0上，顶点A的坐标是(1, –1)，求边AB, AC所在的直线方程.[例4] 过点P（0，1）作直线l，使它被两直线l1:2x+y-8=0和l2：x-3y+10=0所截得的线段被点P平分的直线的方程.【新题导练】7.已知点A（3，4）（1）经过点A且在两坐标轴上截距相等的直线方程为：；（2）经过点A且与两坐标轴围成的三角形面积是1的直线方程为：（3）经过点A且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程为：；（4）经过点A且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线方程为：；P,分别交x轴，y轴正半轴于点A，B，其中O为原点，求8.已知直线l经过点(1,4)△AOB的面积最小时，直线l的方程；考点3 对称问题题型1：求点关于某直线的对称点或求两点的对称直线方程[例5 ] [例5 ]已知直线l:2x-3y+1=0,点A（-1，-2），求：（1）点A关于直线l的对称点'A的坐标；（2）直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线'm方程；（3）直线l关于点A(-1，-2)对称的直线'l的方程；题型2：利用对称知识解决有关问题[例6 ] [2008·深一模] 如图，已知(4,0)A 、(0,4)B ，从点(2,0)P 射出的光线经直线AB 反向后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是A ．210B ．6C ．33D ．25【新题导练】9.（2006中山）将一张坐标纸折叠一次，使得点（0，2）与点（-2，0）重合，且点（2003，2004）与点（m,n ）重合，那么n-m= ;10. （2007汕头）圆22(1)(4)1x y ++-=关于直线y=x 对称的圆是（ ） A ． (x-1)2+(y+4)2 =1 B ．(x-4)2+(y+1)2=1C ． (x+4)2+(y-1)2 =1D ． (x-1)2+(y-4)2=111.若点P （a ，b ）与Q （b-1，a+1）关于直线 对称，则 的方程为NMCD12. 已知A 、B 为x 轴上不同的两点，点P 的横坐标为1，且PB PA =，若直线PA 的方程为01=+-y x ，则直线PB 的方程为A.03=-+y xB.073=-+y xC.05=-+y xD.032=--x y13. 入射光线沿直线02=++c y x 射向直线0:=+y x l ，被直线l 反射后的光线所在的直线方程为（ ）A. 02=++c y xB. 02=-+c y xC. 02=+-c y xD. 02=--c y x★抢分频道★基础巩固训练1. 已知10<<a ，则直线)1(log )12(:a aa x y l -+-=不经过A ．第1象限B ．第2象限C ．第3象限D ．第4象限2. 函数y=asinx-bcosx 的一条对称轴为4x π=,那么直线：ax-by+c=0的倾斜角为（ ）A ．450B ．600C ．1200D ．13503. (山东省滨州市2008年高三第一次复习质量检测)连续掷两次骰子分别得到的点数为m 、n ，则点P （m,n ）在直线x+y=5左下方的概率为（ ） A ．61 B ．41 C ．121 D ．914. （江苏盐城市三星级高中2009届第一协作片联考）函数)3(log +=x y a －1（1,0≠>a a ）的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx+ny+1=0上，其中mn>0，则nm 21+的最小值为5.（2007东莞）直线l 经过)1,2(A ，),1(2m B 两点)(R m ∈，那么直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A ．),0[π B.),2[]4,0[πππC.]4,0[πD.),2(]4,0[πππ6. 如果实数x y 、满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，那么14()2x y的最大值为A ．2B ．1C ．12D ．14综合提高训练7. 过点()--54，作一直线l ，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5．求此直线的方程。
8. 如图,为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD 内建一个矩形草坪，另外△AEF 内部有一文物保护区域不能占用，经过测量AB=100m,BC=80m,AE=30m,AF=20m,应该如何设计才能使草坪面积最大？9. 已知直线x y l 3:=和点P(3,1),过点P 的直线m 与直线l 在第一象限交于点Q ，与x轴交于点M ，若OMQ ∆为等边三角形，求点Q 的坐标10. 如图，一列载着危重病人的火车从O 地出发，沿射线OA 方向行驶，其中1010sin =a ，在距离O 地5a （a 为正常数）千米，北偏东β角的N 处住有一位医学专家，其中53sin =β，现120指挥中心紧急征调离O 地正东p 千米B 处的救护车，先到N 处载上医学专家，再全速赶往乘有危重病人的火车，并在C 处相遇。
经计算，当两车行驶的路线与OB 所围成的三角形OBC 面积S 最小时，抢救最及时。
（1）在以O 为原点，正北方向为y 轴的直角坐标系中，求射线OA 所在的直线方程； （2）求S 关于p 的函数关系式S=)(p f ； （3）当p 为何值时，抢救最及时？备选例题:1过点P （2，1）作直线l 分别交x,y 轴于A,B 两点，求（1）|PA||·|PB|取得最小值时直线l 的方程；（2）|OA||·|OB|取得最小值时直线l 的方程；2. 如图，已知：射线OA 为)0(3>=x x y ，射线OB 为)0(3>-=x x y ，动点(,)P x y 在AOX ∠的内部，PM OA ⊥于M ，PN OB ⊥于N ，四边形ONPM 求这个函数()y f x =的解析式；。