【高二数学期末试题】黑龙江省哈师大附中09-10学年高二上学期期末考试(数学理)

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黑龙江高二高中数学期末考试带答案解析

黑龙江高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.集合=（）A．B．C．D．2.复数的值是（）A．B．C．D．3.下列各组函数是同一函数的是（）A．与B．与C．与D．与4.函数的图象是（）5.若函数是定义在上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的的取值范围是（）A．B．C．D．6.若函数的导函数，则使得函数单调递减的一个充分不必要条件是（）A．（0，1）B．[0，2]C．（2，3）D．（2，4）7.若函数为奇函数，则=（）A．B．C．D．18.已知函数在上满足，则曲线在处的切线方程是( ) A．B．C．D．9.若有极大值和极小值，则的取值范围是（）A．B．或C．或D．或10.方程的解所在区间为（）A．（-1，0）B．（0，1）C．（1,2）D．（2,3）11.函数是定义在上的偶函数，且对任意的，都有.当时，.若直线与函数的图象有两个不同的公共点，则实数的值为（）A．B．C．或D．或12.已知R上的不间断函数满足：①当时，恒成立；②对任意的都有。

又函数满足：对任意的，都有成立，当时，。

若关于的不等式对恒成立，则的取值范围( )A．B．C．D．二、填空题1.函数的单调递减区间为_______2.若函数在区间上是单调递减函数，则实数的取值范围是．3.设，若，则．4.为了在“十一”黄金周期间降价搞促销，某超市对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：（1）如果不超过200元，则不予优惠；（2）如果超过200元，但不超过500元，则按标价给予9折优惠；（3）如果超过500元，其中500元按第（2）条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠。

小张两次去购物，分别付款168元和423元，假设她一次性购买上述同样的商品，则应付款额为．三、解答题1.已知函数的定义域为，（1）求；（2）当时，求函数的最大值。

2.已知函数对于任意的满足.（1）求的值；（2）求证：为偶函数；（3）若在上是增函数，解不等式3.设命题：函数在上为减函数, 命题的值域为，命题函数定义域为（1）若命题为真命题，求的取值范围。

黑龙江省高二上学期期末考试数学试题(解析版)

高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．在曲线的图象上取一点及邻近一点，则为（） 26y x =+(1,7)(1,7)x y +∆+∆yx∆∆A ． B ． 2x +∆12x x ∆--∆C ． D ． 12x x∆++∆12x x+∆-∆【答案】A【分析】根据平均变化率，代入计算． ()()00+∆-∆=∆∆f x x f x y x x【详解】()26172x x x x y ⎡⎤+-∆⎣⎦==+∆+∆∆∆故选：A2．设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（） l 66cos 130x y β-+=l αA ． B ．[0,]πππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．D ．π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦πππ3,,422π4⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎣⎭⎝⎦【答案】C【分析】当时，可得倾斜角为，当时，由直线方程可得斜率cos 0β=π2cos 0β≠1tan cos αβ==k ，然后由余弦函数和正切函数的性质求解即可.【详解】当时，方程变为，其倾斜角为， cos 0β=6130+=x π2当时，由直线方程可得斜率， cos 0β≠1tan cos αβ==k 且，[]cos 1,1β∈- cos 0β≠，即，][(),11,k ∴∈-∞-⋃+∞][()tan ,11,α∈-∞-⋃+∞又，，[)0,πα∈πππ3π,,4224α⎡⎫⎛⎤∴∈⋃⎪ ⎢⎣⎭⎝⎦由上知，倾斜角的范围是．π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：C ．3．已知等差数列的前项和为，且，则（）{}n a n n S 0n a >7448S Sa a-=+A ．2B ．C ．1D ．3212【答案】B【分析】由等差数列的性质求解. 【详解】由题意得.745676486633222S S a a a a a a a a -++===+故选：B4．已知双曲线的离心率为3，则该双曲线的渐近线方程为（）22221(0,0)y x a b a b -=>>A． B ．0y ±=0x ±=C ． D ．30x y ±=30x y ±=【答案】B【分析】设，由题有，据此可得，即可得双曲线的渐近线方程.222+=a b c 3c a =228b a =【详解】设，由题有，则222+=a b c 3ce a ==222222298c a b b a b a a a +==⇒=⇒=±故双曲线渐近线方程为，即.y =0x ±=故选：B5．函数过点的切线方程为（）()2e xf x x =()0,0A ． B ． C ．或 D ．或0y =e 0x y +=0y =e 0x y +=0y =e 0x y +=【答案】C【分析】设切点，利用导数的几何意义求该切点上的切线方程，再由切线过代入求2(,e )m m m ()0,0参数m ，即可得切线方程.【详解】由题设，若切点为，则， 2()(2)e x f x x x '=+2(,e )m m m 2()(2)e m f m m m '=+所以切线方程为，又切线过， 22(2))e e (m m y m m m x m +-=-()0,0则，可得或，22(2e )e m m m m m +=0m =1m =-当时，切线为；当时，切线为，整理得. 0m =0y =1m =-e 1(1)y x --=+e 0x y +=故选：C6．过抛物线的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，分别过A 、B 两点作准线的垂线，垂24y x =足分别为两点，以线段为直径的圆C 过点，则圆C 的方程为（）11,A B 11A B (2,3)-A ．B ． 22(1)(2)2x y ++-=22(1)(1)5x y ++-=C ．D ．22(1)(1)17x y +++=22(1)(2)26x y +++=【答案】B【分析】求出抛物线焦点坐标、准线方程，设出直线AB 的方程，与抛物线方程联立求出圆心的纵坐标，再结合圆过的点求解作答.【详解】抛物线的焦点，准线：，设，令弦AB 的中点24y x =(1,0)F 11A B =1x -1122(,),(,)A x y B x y 为E ，而圆心C 是线段的中点，又，即有，，11A B 111111,AA A B BB A B ⊥⊥11////EC AA BB 11EC A B ⊥显然直线AB 不垂直于y 轴，设直线，由消去x 得：，:1AB x ty =+214x ty y x =+⎧⎨=⎩2440y ty --=则，E 的纵坐标为， 12124,4y y t y y +==-12||y y -==1222y y t +=于是得圆C 的半径，而圆C 过点， 111211||||22r A B y y ==-=(1,2)C t -(2,3)M -则有，解得， ||MC r ==12t =因此圆C 的圆心，半径C 的方程为. (1,1)C -r =22(1)(1)5x y ++-=故选：B7．若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（） x R ∈20x ax a +->a A ． B ． (]ln 2,0e -[)0,ln 2e C ． D ．(]2ln 2,0e -[)0,2ln 2e 【答案】C【分析】由不等式在上恒成立，问题转化为图象恒在上方，分类讨论参数x R ∈2x y =()1y a x =--，结合函数图象、导数，即可求在何范围时图象符合要求.a a 【详解】对，不等式恒成立，知：不等式恒成立，x ∀∈R 20x ax a +->()21xa x >--问题可转化为：曲线恒处于直线的上方， 2x y =()1y a x =--当时，直线与曲线恒有交点，不满足条件.0a >当时，直线与曲线没有交点且曲线恒处于直线的上方，满足条件.0a =2x y =()1y a x =--当时，当直线与曲线相切时，设切点为，切线方程为，切线过点a<0(),2mm 22ln 2()mm y x m -=-，代入方程得，此时切线斜率为， ()1,0211log 2ln 2m e =+=2ln 2e由图可知，，即，曲线恒处于直线的上方， 02ln 2a e <-<2ln 20e a -<<2x y =()1y a x =--综上，. 2ln 20e a -<≤故选：C【点睛】本题考查不等式恒成立，并将问题转化为函数图象的位置关系，利用导数研究函数求参数范围.8．已知，设，则（）ln 20.69≈3ln 8 3.527 3.536,,132a b c e ===A ． B ． a c b >>b c a >>C ． D ．a b c >>b a c >>【答案】D【分析】将化为，和b 比较，确定变量，构造函数，利用其导数判断其单调性，即a 33323()2x x f x =可比较大小，再比较，即可得答案.,a b ,a c 【详解】由于，33ln83 3.527273 3.5,822a b e ====故设函数， 32322322ln 2(3ln 2)(),()2(2)2x x x x x x x x x x f x f x ⋅-⋅⋅-⋅'=∴==当时，，即在上单调递增， 3ln 2x <()0f x '>()f x 3(,ln 2-∞由于， 33 4.35ln 20.69≈≈故，即， (3)(3.5)f f <333 3.53 3.522a b =<=又，故， ln82727363813a c e ==>>=b a c >>故选：D【点睛】关键点睛：比较的大小时，要注意根据两数的结构特征，确定变量，从而构造函数，,a b 这是比较大小关键的一步，然后利用导数判断函数的单调性，即可求解.二、多选题 9．关于函数，则下面四个命题中正确的是（） ()ln xf x x=A ．函数在上单调递减B ．函数在上单调递增 ()f x (0,e)()f x (e,)+∞C ．函数没有最小值D ．函数的最小值为()f x ()f x e 【答案】BC【分析】求出函数的定义域，求出函数导数，判断函数的单调性，作出其大致图像，一一判断每个选项，即可确定答案. 【详解】由，定义域为，且，则，()ln xf x x={|0x x >1}x ≠2ln 1()(ln )x f x x -'=当和时，，01x <<1e x <<()0f x '<故函数在上单调递减，故A 错误；()f x (0,1),(1,e)当时，，故函数在上单调递增，故B 正确； e x >()0f x '>()f x (e,+)∞当时，，当时，， 01x <<()0f x <1x >()0f x >作出其大致图像如图：由图像可知函数没有最小值，故C 正确，D 错误， ()f x 故选：BC10．定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则（） (0,)+∞()f x ()f x '2()()()0f x x x f x '++<A ． B ． 4(2)3(1)f f <8(2)9(3)f f >C ． D ．3(3)2(1)f f >15(3)16(4)f f <【答案】AB【分析】令，利用导数判断函数的单调性，再根据函数的单调性逐一判断即可. ()()()01xf x g x x x =>+【详解】令，()()()01xf x g x x x =>+则， ()()()()()()()()()()222111f x xf x x xf x x g f x x x x x f x '++-⎡⎤⎣⎦'++'==++因为恒成立， 2()()()0f x x x f x '++<所以恒成立， ()0g x '<所以在上递减， ()g x (0,)+∞所以， ()()()()1234g g g g >>>即， ()()()()12233442345f f f f >>>所以，故A 正确； 4(2)3(1)f f <，故B 正确；8(2)9(3)f f >，故C 错误； 3(3)2(1)f f <故D 错误.15(3)16(4)f f >故选：AB.【点睛】关键点点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性，构造函数是解()()()01xf x g x x x =>+决本题的关键.11．已知，令，则取到的值可以112(,6),(A x x B x -L =L 有（）A ．BCD ．【答案】BCD【分析】可以看作点直线上的点到椭圆上的点的距离，从L =A B 而求出直线上的点到椭圆的最短距离，从而可判断各项的对错. 【详解】由，得点为直线上的点，11(,6)A x x -A 6y x =-由得点为曲线,(2B x B y则可以看作点到点的距离，L =A B由，y 221(0)2y x y +=≥所以点为椭圆且在轴上方的点，B 221(0)2y x y +=≥x如图，设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为6y x =-221(0)2y x y +=≥y x C =-+联立，消得， 2212y x y x C ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩y 223220x Cx C -+-=则，解得（舍去()2241220C C ∆=--=C =则=-+y x所以直线与直线6y x =-=-+yxd==所以L≥对于A ，，A 错误；=<对于B B 正确；>=对于C C 正确；>=对于D ，D 正确. =>故选：BCD12．对于正整数，是小于或等于的正整数中与互质的数的数目.函数以其首名研究者n )(n ϕn n )(n ϕ欧拉命名，称为欧拉函数，例如（1，3与4互质），则（） (4)2ϕ=A ．B ．如果为偶数，则数列单调递增(13)12ϕ=n {}()n ϕC ．数列的前6项和等于63D ．数列前项和为(){}2nϕ()54nϕ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭n 1514n --【答案】AC【分析】根据欧拉函数的定义，即可求解AC,根据反例即可排除BD.【详解】对于A,13与1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12均互质，所以，故A 正(13)12ϕ=确，对于B,当时，6与1，5互质，所以，故B 错误，6n =(6)(4)2ϕϕ==对于C,由于2为质数，所以小于等于的正整数中,所有的偶数的个数为个，所以剩下的均与2n 12n -互质，故，所以前6项和等于，故C 正确，2n ()112=222n n n n ϕ---=(){}2nϕ251222=63++++ 对于D ，当时，5与1，2，3，4均互质，所以，而，，显然不成1n =()54ϕ=()514ϕ=051=04-立，故D 错误，（与不互质的数有，共有个，所以与不互质的数有5n 51055n n ，，-5，15n -5n ，因此，则前项和为，故错误） 115545n n n ---=⨯()(){}1155=45,54n nn n ϕϕ--⎧⎫⎪⎪⨯∴=⎨⎬⎪⎪⎩⎭n 514n -故选：AC三、填空题13．圆与圆的公共弦所在直线方程为___________.221:130O x y +-=222:650O x y x +-+=【答案】30x -=【分析】判断两圆相交，将两圆方程相减即可求得答案.【详解】圆的圆心为，半径为，221:130O x y +-=(0,0)1r =圆的圆心为，半径为，222:650O x y x +-+=(3,0)22r =则，则两圆相交，121212||3r r O O r r -<=<+故将两圆方程相减可得：，即，6180x -=30x -=即圆与圆的公共弦所在直线方程为，221:130O x y +-=222:650O x y x +-+=30x -=故答案为：30x -=14．已知，数列的前项和的通项公式为___________.21nn a =-12n n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭n n S 【答案】 112221n n n S ++-=-【分析】先化简为，再利用裂项相消法可求解. 112112121n n n n n a a ++=-⋅--【详解】因为，()()111212122211121n n n n n n n n a a +++----==-⋅所以 12231111111212121212121n n n S +-+--=++------ . 11111122212121n n n +++=--=---故答案为：. 112221n n n S ++-=-四、双空题15．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，6m =共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足（为正整数）， {}n a 1a m =m 1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时当时，试确定使得至少需要________步雹程；若，则所有可能的取值集合34m =1n a =91a =m M 为________.【答案】 13{4,5,6,32,40,42,256}【分析】第一空，根据运算法则，写出每一个步骤，即可得答案；第二空，根据运算法则一步步逆推，分类求解，可得答案.【详解】当时，则按运算法则得到：34m =，34175226134020105168421→→→→→→→→→→→→→即使得需要13步雷程． 1n a =若，则或， 91a =8762,4,8a a a ===1当时，则或， 68a =5416,32a a ==5若，则或；432a =3264,128a a ==21若，则，若，则； 2128a =1256a =221a =142a =当时，或，45a =3210,20a a ==3若时，则，若时，则； 220a =140a =23a =16a =当时，则或，61a =5432,4,8a a a ===1若，则或；38a =2116,32a a ==5若，则，31a =212,4a a ==故所有可能的取值集合为，m M {4,5,6,32,40,42,256}故答案为：13；{4,5,6,32,40,42,256}五、填空题16．已知分别为双曲线的左、右顶点，是双曲线上关于轴对称的不同两点，,A B 2213x y t -=,P Q x设直线的斜率分别为，若点A 到直线,AP BQ ,m n 2y mnx =________.【分析】确定的坐标，设点，表示出的表达式，结合化简可得,A B (,)P u v ,m n 2213u v t -=2y mnx =即，根据点A 到直线t 的值，即可求得答案.60x ty +=2y mnx =【详解】由题意可得双曲线中，，故， 2213x y t -=0t >(A B 设点,则,则，则， (,)P u v (,)Q u v -2213u v t -=223v t u t =--所以 AP m k ==BQ n k ==故即，即，即， 2y mnx =2(y x =2226v y x x t u t==--60x ty +=由于点A 到直线，2y mnx =解得， 6t =故双曲线离心率为 c e a ====【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于设点，从而表示出，结合化简可得(,)P u v ,m n 2213u v t -=，从而可得即，这是关键的环节，然后再结合题意求解即可. 223v t u t=--2y mnx =60x ty +=六、解答题17．过点可以作两条直线与圆相切，切点分别为 (0,1)P 22:20E x y kx k ++-=AB 、(1)求实数的取值范围.k (2)当时，存在直线吗？若存在求出直线方程，若不存在说明理由.10k =-AB 【答案】(1) 1(,8)0,2⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭(2)存在，5200x y --=【分析】（1）根据点在圆外和圆方程的条件即可求解；P （2）易知四点共圆且以为直径，求其方程，利用两圆方程相减即可得到相交弦所P A B E 、、、PE 在直线方程，从而求解.【详解】（1）由题意可知，点在圆外，即，解得. P 120k ->12k <又因为圆，即， 22:20E x y kx k ++-=222824k k k x y +⎛⎫++= ⎪⎝⎭所以，即或，280k k +>8k <-0k >综上，实数的取值范围是. k 1(,8)0,2⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭（2）当时，，10k =-22:10200E x y x +-+=即，所以圆心，22(5)5x y -+=()5,0E 因为与圆相切，所以四点共圆且以为直径.,PA PB P A B E 、、、PE 设过四点的圆上一点，P A B E 、、、(),M x y 则，即，即0PM EM ⋅= (5)(1)0x x y y -+-=2250x y x y +--=所以过过四点的圆的方程为，P A B E 、、、2250x y x y +--=两圆方程相减得，5200x y --=于是直线的方程为.AB 5200x y --=18．设抛物线的准线为，过抛物线上的动点作，为垂足.设点的2:2(0)E x py p =>0l T 0TT l '⊥T 'K 坐标为，则有最小值(6,0)KT TT '+(1)求抛物线的方程；(2)已知，过抛物线焦点的直线（直线斜率不为0）与抛物线交于两点，记直线的(2,1)H -E E ,M N ，斜率分别为，求的值. HM HN 12,k k 1212k k k k +【答案】(1)24x y =(2) 12-【分析】（1）结合抛物线定义确定的最小值，即可求得p 的值，可得答案.KT TT '+（2）设出直线方程并联立抛物线方程，可得根与系数的关系，进而将化简，即可求得答案. 1212k k k k +【详解】（1）设抛物线焦点为，则，则有， F (0,)2p F ||||||||KT TT KT TF KF '+=+≥即三点共线时取得最小值，,,F T K KT TT '+而有最小值KT TT '+=得，则抛物线的方程为 12p =E 24x y =（2）由题意可知，直线的斜率一定存在，设为k ，则其方程为，(0,1)F MN 1y kx =+设，()()1122,,,M x y N x y 由，得，， 214y kx x y=+⎧⎨=⎩2440x kx --=216(1)0k ∆=+>，，124x x k ∴+=124x x =-，，111y kx =+221y kx =+ 121212221111x x k k y y --∴+=+++ 1212221111x x kx kx --=+++++ ()()()()()()122112222222x kx x kx kx kx -++-+=++ ()()12122121222(1)824kx x k x x k x x k x x --+-=+++， 222288(1)888248444k k k k k k k ------===--+++所以的值为. 1212k k k k +12-【点睛】方法点睛：解决直线和抛物线的位置关系类问题时，一般方法是设出直线方程并联立抛物线方程，得到根与系数的关系式，要结合题中条件进行化简，但要注意的是计算量一般都较大而复杂，要十分细心.19．设为数列的前项和，已知.n S {}n a n ()2*0,484n n n n a a a S n >+=-∈N (1)求数列的通项公式；{}n a (2)求数列的前项和. 18(1)()n n n n n a a a +⎧⎫-⋅+⎨⎬⎩⎭n n T 【答案】(1)()*42n a n n =-∈N (2) 11(1)224(2)n n T n n =-+-++【分析】（1）利用与的关系式即可求出；n S n a n a （2）结合的奇偶，利用分组求和法、裂项相消法求和.n 【详解】（1）由，①，得：0n a >2484n n n a a S +=-当时，，解得.1n =2111148484a a S a +=-=-12a =当时，②，2n ≥2111484n n n a a S ---+=-①-②得：，2211144888n n n n n n n a a a a S S a ---+--=-=即()()()1114n n n n n n a a a a a a ---+-=+所以，所以数列是以2为首项，4为公差的等差数列.14n n a a --={}n a 所以.()*42n a n n =-∈N （2） ()()()()()()188111424242n n n n n n n n a n a a n n +⎛⎫-⋅+=-+-⋅- ⎪-+⎝⎭, ()()()()()()()()2111114211222212122121n n n n n n n n n n n n ⎛⎫=-+-⋅-=-⨯++-⋅-+ ⎪-+-+⎝⎭设数列的前项和为， (1)21211112⎧⎫⎛⎫⨯+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭--+n n n n n C ； (1)1(1)(1)33557212111212111111111122214⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-++⋅⋅⋅++=+=-+ ⎪ ⎪ -⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝-----+⎭⎣⎦++n n n n C n n n n 设数列的前项和为，(){}(1)222-⋅-+n n n n n D .()()()()()()02244668(1)222(1)2+++-++++-⋅==--+-⋅n n n n n n D所以数列的前项和 18(1)()n n n n n a a a +⎧⎫-⋅+⎨⎬⎩⎭n 11(1))224(2=-+-+++=n n n n T C D n n 利用分组，列项和并项求和即可获得. 11(1)224(2)n n T n n =-+-++20．已知等差数列的前项和为，首项为，.数列是等比数列，公比小于0，{}n a n n T 38-63T T ={}n b q 且，，数列的前项和为，121b a =39b a ={}n b n n S (1)记点，证明：在直线上； ()*,,N n n n L b S n ∈n L :330l x y -+=(2)对任意奇数恒成立，对任意偶数恒成立，求的最小值.,n n M S ≥,n n N S ≤M N -【答案】(1)证明见解析(2)34【分析】（1）根据题意求得等常数列的通项公式，即可求得等比数列的通项公式，继而求得,n n b S 的表达式，即可证明结论；（2）结合（1）可判断当为奇数和偶数时的单调性，从而求得的最值，即可得答案.n n S ,M N 【详解】（1）证明：设等差数列的公差为d ， {}n a 则由首项为，可得，则， 38-63T T =365332638282d d ⨯⨯-⨯+⋅=-⨯+⋅332d =故， 33315(1)8323232n a n n =-+-⨯=-由，，得，， 0q <121b a =39b a =131532132322b ⨯-==2131519,32322q q b ⨯-∴=-=故，， 131()22n n b -=⋅-311()1221(121()2n n n S ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦==----则，即， 1311(22233(3n n n n S b -=-=-=--330n n S b -+=则点在直线上；(),n n n L b S :330l x y -+=（2）由（1）可知， n S =111()1(12()2n n n --=--当为奇数时，在奇数集上单调递减，； n (112n n S =+31,2n S ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦当为偶数时，在偶数集上单调递增，， n 11()2n n S =-3,14n S ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭所以. min max min 333,,()244M N M N ==∴-=21．已知函数.()ln (2)1(R)f x x m x m m =+-+-∈(1)当时，求函数的最小值；1m =()e ()x h x x f x =-(2)是否存在正整数，使得恒成立，若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由.m ()0f x ≤m 【答案】(1)1(2)存在,最小正整数3m =【分析】（1）根据题意可得，构造函数，利用导数说明其单调ln ()e (ln )x x h x x x +=-+()e x m x x =-性，结合设，判断其取值情况，即可求得答案.()ln ,(0)g x x x x =+>（2）求出函数的导数，根据其表达式，讨论时，说明不合题意，当时，将问题转化为2m ≤m 2>函数的最值问题，即可求得答案.【详解】（1）当时，，1m =()ln ,(0)f x x x x =+>，ln ()e ()e (ln )e (ln )x x x x h x x f x x x x x x +=-=-+=-+令，则，()e x m x x =-()e 1x m x '=-当时，，当时，，0x <()0m x '<0x >()0m x '>即在上单调递减，在上单调递增，()m x (,0)-∞(0,)+∞故，仅当时取等号，1())(0m m x ≥=0x =故对于，此时，ln ()e (ln )x x h x x x +=-+ln 0x x +=令，则， ()ln ,(0)g x x x x =+>11()10x g x x x+'=+=>即在在上单调递增，()ln g x x x =+(0,)+∞，，故，使得， 1110e e g ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭(1)10g =>01,1e x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭()00g x =函数的最小值为.()e ()x h x x f x =-00ln 000()e (ln )1x x h x x x +=-+=（2）由题意的定义域为，()ln (2)1f x x m x m =+-+-(0,)+∞， 1(2)1()2m x f x m x x-+'=+-=当时，，函数在上单调递增，函数无最大值，不合题意；2m ≤()0f x '>()f x (0,)+∞当时，时，，时，， m 2>102x m <<-()0f x '>12x m >-()0f x '<函数在上单调递增，在上单调递减， ()f x 10,2m ⎛⎫ ⎪-⎝⎭1,2m ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭当时，函数取得最大值，且， 12x m =-()f x max 11()ln 22f x f m m m ⎛⎫==- ⎪--⎝⎭要使恒成立，即，()0f x ≤max ()0f x ≤所以，即， 1ln 02m m -≤-ln(2)0m m -+≥令，， ()ln(2),(2)m m m m ϕ=-+>11'()10,(2)22m m m m m ϕ-=+=>>--所以在上单调递增， ()m ϕ(2,)+∞，， 6120e ϕ⎛⎫+< ⎪⎝⎭(3)ln130ϕ=+>所以存在最小正整数，使得，即使得恒成立.3m =()ln(2)0m m m ϕ=-+≥()0f x ≤【点睛】方法点睛：（1）第一问中要能根据的表达式的结构特征进行变形为()h x ，从而构造函数，利用导数判断单调性，解决问题；ln ()e (ln )x x h x x x +=-+（2）第二问中，根据函数不等式恒成立问题，求出函数导数，分类讨论参数范围，进而转化为函数最值问题解决.22过点，点分别为椭圆的左、2222:1(0)x y C a b a b +=>>12,F F C 右焦点，过点与轴垂直的直线交椭圆第一象限于点.直线平行于（为原点），且与椭2F x 0l T 1l OT O 圆交于两点，与直线交于点（介于两点之间）.C ,M N 0l P P ,M N (1)当面积最大时，求的方程；TMN △1l (2)求证：.||||||||TM PN TN PM ⋅=⋅【答案】(1) 2y x =-(2)证明见解析【分析】（1）根据离心率以及椭圆经过的点联立方程即可解，进而可得椭圆方2a b c ===程，联立直线与椭圆方程，由韦达定理，进而由弦长公式求解弦长，利用面积公式表达面积，结合基本不等式即可求解最值，（2）根据比例关系可将问题转化成斜率之和为0，代入斜率公式即可化简求解.【详解】（1）由题意可知，解得,22222231c e a ab a bc ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩2a b c ===所求椭圆的方程为. C 22184x y +=当时，，所以 2x =211422y æöç÷=-´=ç÷èø(2T 由于的方程为，设，，OT k =1l y t =+()11,M x y ()22,Nx y 由，消去整理得， 22184y t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩y 2240xt +-=由韦达定理可得：，()12212224Δ2808x x x x t t t ⎧+=⎪⎪=-⎨⎪=-->⇒<⎪⎩则||MN===又点到的距离 T 1ld ==所以. 11|22TMN S MN d t ===V≤=当且仅当，即时，等号成立.228t t -=24t =又介于两点之间， P ,MN 2P y t t ++所以，故.0t t --<<2t =-故直线的方程为：. 1l 2y =-（2）要证结论成立，只须证明， ||||||||TM TN PM PN =由角平分线性质即证：直线为的平分线，2x =MTN ∠转化成证明：.0TM TN k k +=由于TM TN k k+= ()()()()122112222222t x t x x x ⎡⎡⎫⎫+-++--⎢⎢⎪⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦=--===0=因此结论成立.【点睛】圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用．另外在解析几何中还要注意向量的应用，如本题中根据向量的共线得到点的坐标之间的关系，进而为消去变量起到了重要的作用。

黑龙江高二高中数学期末考试带答案解析

黑龙江高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知全集为，且集合，，则等于（）A．B．C．D．2.已知角的终边过点，则的值是（）A．1B．C．D．－13.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（）A．B．C．D．4.下列结论错误的是（）A．命题“若，则”与命题“若，则”互为逆否命题B．命题（是自然对数的底数），命题，则为真C．“”是“”成立的必要不充分条件D．若为假命题，则均为假命题5.设，，，则（）A．B．C．D．6.已知函数关于直线对称，且周期为2，当时，，则（）A．0B．C．D．17.由曲线，直线及轴所围成的平面图形的面积为（）A．B．C．D．8.函数的部分图象如图所示，则的解析式可以为（）A．B．C．D．9.若函数在是增函数，则的取值范围（）A．B．C．D．10.函数的图象大致为（）11.（a，b R，且a－2），则的取值范围是（）A．B．C．D．12.已知函数，实数满足，若实数是的根，那么下列不等式中不可能成立的是（）A．B．C．D．二、填空题1.复数的虚部为________.2.若，则= .3.已知函数满足，且的导数，则不等式的解为 .4.已知为定义在上的偶函数，当时，有，且当时，，给出下列命题：①；②函数在定义域上是周期为2的函数；③直线与函数的图象有2个交点；④函数的值域为．其中正确的是．三、解答题的极坐标方程为1.在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C1，直线l的极坐标方程为．（1）写出曲线C与直线l的直角坐标方程；1（2）设Q为曲线C上一动点，求Q点到直线l距离的最小值．12.在中, 分别为内角所对的边，且满足.（1）求的大小；（2）现给出三个条件：①；②；③.试从中选出两个可以确定的条件，写出你的选择并以此为依据求的面积（只需写出一个选定方案即可,选多种方案以第一种方案记分）.3.已知.（1）求的值；（2）求的值；（3）若均为锐角，，，求.4.已知函数为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为. （1）当时，求的单调递减区间；（2）将函数的图象沿轴方向向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.当时，求函数的值域.5.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若在上恒成立，求所有实数的值.6.已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若，求在区间上的最小值；（3）若函数有两个极值点，求证：.黑龙江高二高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.已知全集为，且集合，，则等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由得；由得或,则,所以,故选C.【考点】集合的运算．2.已知角的终边过点，则的值是（）A．1B．C．D．－1【答案】C【解析】因,故,所以,故选C.【考点】三角函数的定义．3.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】是偶函数的是B，C，D，但在上单调递减的只有D，故选D.【考点】函数的基本性质．4.下列结论错误的是（）A．命题“若，则”与命题“若，则”互为逆否命题B．命题（是自然对数的底数），命题，则为真C．“”是“”成立的必要不充分条件D．若为假命题，则均为假命题【答案】C【解析】很容易验证都是正确的,对于答案当时, 也不一定成立,故不必要,因此该答案C是错误的,应选C.【考点】命题真假的判定．5.设，，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因,故应选D.【考点】指数对数的运算及运用．6.已知函数关于直线对称，且周期为2，当时，，则（）A．0B．C．D．1【答案】B【解析】因且,所以，故选B.【考点】函数周期性及运用．7.由曲线，直线及轴所围成的平面图形的面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因,故应选A.【考点】定积分及运算．8.函数的部分图象如图所示，则的解析式可以为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由图象提供的信息可知,故,则,将代入可得,则,所以,选D.【考点】三角函数的图象和性质．【易错点晴】三角函数的图象和性质是高中数学中重要的内容和考点.解答本题时要充分利用题设中提供的图形信息,待定函数解析式中的参数即可获解.从图中能看到的信息是函数的周期和最大值,从而进一步可以确定,然后将点代入求得,从而求出函数的解析式为.9.若函数在是增函数，则的取值范围（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题设在上恒成立.即在上恒成立,设,则令可得,所以当取最小值,所以,即,故应选C.【考点】导数及运用．【易错点晴】本题以函数的在区间上是单调递增函数为背景,求函数解析式中参数的取值范围问题.求解时要充分借助题设条件,先将问题转化为不等式在上恒成立的问题.进而转化为求函数的最小值问题,最后结不等式求出参数的取值范围.使得问题简捷巧妙获解.10.函数的图象大致为（）【答案】A【解析】首先根据函数的解析式可以判定该函数的奇函数,因为,可以确定答案应是A，B，然后在取可知,所以再排除B，故应选A.【考点】函数的图象和性质．11.（a，b R，且a－2），则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题设可得,即,也即,因,故,所以函数的定义域是,由此可得,所以,故选A.【考点】函数的基本性质及运用．【易错点晴】本题以函数是奇函数为背景,设置了一道求参数的解析式的取值范围问题.求解时充分借助题设条件,运用奇函数的定义建立了关于参数的方程,通过解方程求出参数,然后再代回函数解析式中,得到,最后再求函数的定义域得,借助两个定义域的包含关系求出参数的取值范围是,最后求出两个参数的表示式的取值范围是．12.已知函数，实数满足，若实数是的根，那么下列不等式中不可能成立的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由可知中必有一个是负数,在同一直角坐标系中作出函数和的图象如图,很容易知道必有,即,而,所以必有,故选B.【考点】函数与方程的关系及运用．二、填空题1.复数的虚部为________.【答案】【解析】因,故复数的虚部是,故应填.【考点】复数的概念和运算.2.若，则= .【答案】【解析】令,因,故,所以,故应填.【考点】函数的概念和二倍角公式.3.已知函数满足，且的导数，则不等式的解为 .【答案】【解析】令,则不等式可化为,即.令,则由已知可得,则是单调递减函数,且,所以原不等式变为,即,由函数的单调性可得,解之得或,故应填答案.【考点】导数、函数的单调性的运用.【易错点晴】解答本题的难点在于怎样构造函数将欲解的不等式进行等价转化与化归,也是解答好本题的关键之所在.这道题有两个地方较难突破.其一是换元令,将不等式进行转化；其二是构造函数,当然这是依据第一步的换元来构造的,这是解答这个题的难以入手的地方,所以本题的难度是非常大的.4.已知为定义在上的偶函数，当时，有，且当时，，给出下列命题：①；②函数在定义域上是周期为2的函数；③直线与函数的图象有2个交点；④函数的值域为．其中正确的是．【答案】④【解析】显然①是错误的；因是在的前提下成立的，所以不周期函数，故②是错误的；结合图象可知③也是错误的；因时,,所以,又当时,,故有对称性可知④是正确的.【考点】函数的图象与基本性质的运用.【易错点晴】本题以函数的性质和解析式等知识为背景考查的是函数函数的周期性、奇偶性、对称性等基本性质.解答时运用所学知识对所给的四个命题进行逐一判定和推断,最终做出正确的判断和推理使得问题获解.但是需要注意的是本题对函数的周期性、奇偶性、对称性等基本性质的掌握程度要求较高,如果概念糊涂,运用知识的角度不好就可能出现错判和误判等错误使得问题无法正确获解.三、解答题1.在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为1，直线l的极坐标方程为．与直线l的直角坐标方程；（1）写出曲线C1（2）设Q为曲线C上一动点，求Q点到直线l距离的最小值．1【答案】（1），；（2）.【解析】（1）借助题设直接运用直角坐标与极坐标之间的关系求解；（2）借助题设条件运用曲线的参数方程建立函数求解.试题解析:（1），.（2）设，则点到直线的距离当且仅当，即（）时，Q点到直线l距离的最小值为【考点】极坐标与直角坐标之间的关系及参数方程的灵活运用．2.在中, 分别为内角所对的边，且满足.（1）求的大小；（2）现给出三个条件：①；②；③.试从中选出两个可以确定的条件，写出你的选择并以此为依据求的面积（只需写出一个选定方案即可,选多种方案以第一种方案记分）.【答案】（1）；（2）选择①②，，选择①③，.【解析】（1）借助题设和正弦定理求解；（2）借助题设条件正弦定理余弦定理求解.试题解析:（1）（2）方案一：选择①②由正弦定理，得,．.方案二：选择①③由余弦定理,有,则所以．说明:若选择②③,由得，不成立,这样的三角形不存．【考点】1.三角恒等变换；2.正余弦定理解三角形．3.已知.（1）求的值；（2）求的值；（3）若均为锐角，，，求.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）借助题设建立方程求解；（2）借助题设条件和诱导公式及同角关系求解；（3）联立方程组求解即可.试题解析:（1）由得，即，或，又，.（2）—13（3）【考点】诱导公式同角关系及两角和差的正切公式．4.已知函数为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为.（1）当时，求的单调递减区间；（2）将函数的图象沿轴方向向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.当时，求函数的值域.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）借助题设逆用两角差的正弦公式求解；（2）借助题设条件和正弦函数的图象性质求解.试题解析:（1）解：由题意可得：，因为相邻两对称轴间的距离为，所以，，因为函数为奇函数，所以，因为，所以，函数为.要使单调减，需满足，所以函数的减区间为.（2）由题意可得：，∵，∴，∴，即函数的值域为.【考点】三角函数的图象和性质及三角恒等变形．【易错点晴】三角函数的图象和性质是高中数学中重要的内容和考点.解答本题时要充分利用题设中提供的解析表达式,运用三角变换中的二倍角公式及变形将其化为的形式,再借助两对称轴之间的距离即为半个周期求出,再利用奇函数的定义求出.第二问中的求解一定要注意然,这是容易忽视的地方.其次是当得到后,一定要理解这是正弦函数中的变量的取值范围,最终求出最大值和最小值,从而使得问题获解.5.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若在上恒成立，求所有实数的值.【答案】（1）在上递增，在上递减；（2）.【解析】（1）借助题设和导数的知识求解；（2）借助题设条件运用导数的知识求解.试题解析:（1）.当时，，∴减区间为，当时，由得，由得，∴递增区间为，递减区间为.（2）由（1）知：当时，在上为减函数，而，∴在区间上不可能恒成立；当时，在上递增，在上递减，，令，依题意有，而，且，∴在上递减，在上递增，∴，故.【考点】导数的知识及综合运用．6.已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若，求在区间上的最小值；（3）若函数有两个极值点，求证：.【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.【解析】（1）借助题设直接运用导数的几何意义求解；（2）借助题设条件和导数的知识求解；（3）依据题设条件运用导数的知识构造函数进行推证求解.试题解析:（1）当时，，所以曲线在点处的切线方程为（2）当时，在增，最小值为；当时，在减，增，最小值为．（3），函数有两个相异的极值点，即有两个不同的实数根．①当时，单调递增，不可能有两个不同的实根；②当时，设，当时，，单调递增；当时，，单调递减；∴，∴，不妨设，∵，∴先证，即证，即证，令，即证，设，则，函数在单调递减，∴，∴，又，∴，∴【考点】导数的知识在研究函数的单调性及极值最值中的综合运用．【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是含参数的函数解析式为背景,考查的是导数知识的综合运用和分析问题解决问题的能力.解答本题的第一问时,这时,求解时先对已知函数进行求导,再将切点横坐标代入求得切线的斜率为,就可以求出切线的方程为；第二问中的可直接运用导数求其最小值;第三问题的证明问题则通过构造函数,运用导数进行分析推证.。

黑龙江省高二上学期期末数学试题(解析版)

高二学年期末考试数学试卷第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（共60分）（一）单项选择题（共8小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 椭圆的焦距为（）221259x y +=A. 6 B. 8C. 9D. 10【答案】B 【解析】【分析】根据椭圆方程可得：，则，进而求解.5,3a b ==4c ==【详解】由椭圆可得：，221259x y +=5,3a b ==所以，则椭圆的焦距为，4c ==221259x y+=28c =故选：.B 2. 已知两条直线，，则这两条直线之间的距离为1:3460l x y -+=2:3440l x y --=（） A. 2 B. 3C. 5D. 10【答案】A 【解析】【分析】由两平行线距离公式求解即可. 【详解】这两条直线之间的距离为.2d ==故选：A3. 设m 为实数，若方程表示焦点在x 轴上的双曲线，则实数m 的取值22121x y m m +=--范围是（） A.B. C. D.322m <<312m <<>2m 1m <【解析】【分析】根据焦点在x 轴上的双曲线的方程特征列出不等式，从而可得答案.【详解】因为方程表示焦点在x 轴上的双曲线，22121x y m m +=--所以，解得.2010m m ->⎧⎨-<⎩1m <故选：D .4. 阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积. 已知椭圆（）的右π22221x ya b+=0a b >>焦点为，过F 作直线l 交椭圆于A 、B 两点，若弦中点坐标为，则椭圆(3,0)F AB (2,1)-的面积为（） A. B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】利用作差法构建斜率、中点坐标相关方程，再结合2121221212y y x x b x x y y a -+=-⨯-+a 、b ，进而求出面积.c =【详解】设，，则有，两式作差得：()11,A x y ()22,B x y 22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 2222121222x x y y a b--=-即， 2121221212y y x x b k x x y y a-+==-⨯-+弦中点坐标为，则， AB (2,1)-2212221221x x b b k y y a a+=-⨯=-⨯+-又∵，∴，∴， 0(1)132k --==-22211b a=-⨯-222a b =又∵，∴可解得，，3c ==a =3b =故椭圆的面积为.πab =5. 已知向量，且与互相平行，则（）()()1,1,0,1,0,=-= a b m ka b + 2a b -r r k =A. B.C.D. 114-153512-【答案】D 【解析】【分析】由空间向量平行的条件求解.【详解】由已知，，(1,,)ka b k k m +=- 2(3,1,2)a b m -=--因为与平行，ka b + 2a b -r r若，则，， 0m =131k k-=-12k =-若，则，无解． 0m ≠1312k k mm-==--k 综上，， 12k =-故选：D ．6. 为落实“二十大”不断实现人民对美好生活的向往，某小区在园区中心建立一座景观喷泉．如图所示，喷头装在管柱OA 的顶端A 处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状．现要求水流最高点B 离地面4m ，点B 到管柱OA 所在直线的距离为2m ，且水流落在地面上以O 为圆心，6m 为半径的圆内，则管柱OA 的高度为（）A. 2mB. 3mC. 2.5mD. 1.5m【答案】B 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，求出点的坐标，代22(0)x py p =->C 入抛物线方程，即可求得，再将点代入抛物线方程中，求出，即可求得p ()02,A y -0y 的高度．OA 【详解】如图所示，建立平面直角坐标系，由题意知，水流的轨迹为一开口向下的抛物线，设抛物线的方程为， 22(0)x py p =->因为点，所以，解得，所以抛物线方程为， (4,4)C -162(4)p =-⨯-2p =24x y =-点在抛物线上，所以，解得， 0(2,)A y -044y =-01y =-所以，所以管柱的高度为． 043OA y =-=OA 3m 故选：B ．7. 已知双曲线的渐近线方程为，左、右焦点分别为，2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>13y x =±1F ，过的直线与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点，且，的周长为2F 2F ||4PQ =1PQF △20，则该双曲线的标准方程为（）A. B.C. D.2219y x -=22193x y -=2219x y -= 221364-=x y 【答案】C 【解析】【分析】根据渐近线方程可得，再根据双曲线的定义及的周长可求得，13b a =1PQF △a 即可得出答案.【详解】因为双曲线的渐近线方程为，2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>13y x =±所以， 13b a =因为过的直线与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点，2F 所以，即， 12122,2PF PF a QF QF a -=-=12122,2PF PF a QF QF a =+=+则的周长为， 1PQF △11424820PF QF PQ a PQ a ++=+=+=所以，则，3a =1b =所以双曲线的标准方程为.2219x y -=故选：C.8. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，上顶点为A ，直线2222:1(0)x y E a b a b+=>>1F 2F 与椭圆E 的另一个交点为B ，若，则椭圆E 的离心率为（）1AF 220F A F B =⋅A.B.C.D.4535【答案】B 【解析】【分析】求出直线的方程，与椭圆方程联立，求得点B 的坐标，再根据1AF by x b c=+求解.220F A F B =⋅【详解】解：由题意得， ()()()1120,,,0,,0,AF b A b F c F c k c-=则直线的方程为， 1AF by x b c=+联立，消去y 得， 22221b y x bc x y a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2222220a b ab b x x c c ⎛⎫++= ⎪⎝⎭则， 22222222,B B a c a b x y b a c a c=-=-++所以， ()2222222222,,,a c a bAF c b BF c b a c a c ⎛⎫=-=+- ⎪++⎝⎭因为，220AF BF =⋅所以， 2222222222220a c a b c b a c a c+-+=++因为，化简得，222b a c =-22450a c a -=即，所以，2250c a -=2215c a =所以. e =故选：B .（二）多项选择题（共4小题，每小题5分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9. 已知圆，则下列说法正确的是（） 22:430M x y x +-+=A. 点在圆M 内 B. 圆M 关于对称 (4,0)320x y ++=C. 半径为1D. 直线与圆M 相切0x -=【答案】CD 【解析】【分析】化出圆的标准方程后，再逐项验证.【详解】解：圆的标准方程为：，22:430M x y x +-+=()2221x y -+=圆心为，半径为1，()2,0A.因为，所以点在圆M 外，故错误；()224201-+>(4,0)B.因为，即圆心不在直线上，故错误； 23020+⨯+≠320x y ++=C.由圆的标准方程知，半径为1，故正确；D.因为圆心为到直线的距离为，与圆M 的半径相()2,00x -=1d ==等，故直线与圆M 相切，故正确； 0x =故选：CD10. 已知椭圆E ：，，分别为它的左右焦点，A ，B 分别为它的左右顶221164x y +=1F 2F 点，点是椭圆上异于A ，B 的一个动点．下列结论中，正确的有（） P E A. 椭圆的长轴长为8E B. 满足的面积为4的点恰有2个 12F PF △P C. 的的最大值为16 12PF PF D. 直线与直线斜率乘积为定值 PA PB 14【答案】AC 【解析】【分析】根据椭圆的方程得到，进而判断选项；根据三角形面积求出点的纵坐4a =A P 标的绝对值，进而判断选项；结合椭圆的定义和基本不等式即可判断选项；设出点B C P 的坐标，代入计算整理即可判断选项.D 【详解】由椭圆方程可得：.221164x y +=4,2a b ==对于，因为椭圆的长轴长，故选项正确；A 28a =A对于，因为，则，B 4,2a b ==c ==2112142PF F P S F F y ==A ，所以，所以这样的点不存在，故选项错误；2P y =>P B 对于，由椭圆的定义可得：C 1282a PF PF ==+≥等号成立，则，所以的的最大值为，故选项12PF PF =1216PF PF ≤12PF PF 16C正确；对于，设点，则，则有，D 00(,)P x y 22001164x y +=2200144y x =-又因为，所以， (4,0),(4,0)A B -2200022000014144416164APBPx y y y k k x x x x -⋅=⋅===-+---故选项错误， D 故选：.AC 11. 过抛物线上一点作两条相互垂直的直线，与C 的另外2:8C y x =()()000,0A x y y >两个交点分别为M ，N ，已知C的焦点为F ，且，则（） ||8AF =A. C 的准线方程是4x =-B.0y =C.直线过定点MN (14,-D. 当点A 到直线MN 的距离最大时，直线MN 的方程为260x --=【答案】BCD 【解析】【分析】A 选项，由抛物线方程得到准线方程；B 选项，由焦半径公式求出；C 0y =选项，设直线的方程，与抛物线方程联立，得到两根之和，两根之积，由MN ，求出或，分两种情况，得到所过定AM AN ⋅=104b -=+104b -=+点，舍去不合要求的情况；D 选项，在C 选项的基础上，由几何关系得到当与直线AE 垂直时，点A 到直线MN 的距离最大，由直线MN ，求出直线MN 的方MN 程.【详解】A 选项，由题意，得，C 的准线方程为，故A 错误； ()2,0F 2x =-B 选项，由焦半径，得，解得，08||2AF x =+=06x =故，20088648y x ==⨯=因为，所以，故B 正确；00y >0y =C 选项，直线的斜率不为0，设直线的方程为， MN MN x ky b =+与联立，得.2:8C y x =2880y ky b --=设，则，， ()()1122,,,M x y N x y 128y y k +=128y y b =-则，，()21212282x x k y y b k b +=++=+()21221264y y x x b ==则，((11226,,6,AM x y AN x y =--=--所以()()(121266AM AN x x y y ⋅=--+--())1212121263648x x x x y y y y =-+++-++，()226823688480b k b b k =-++--+=整理得，())2210161b -=+故或，104b -=+104b -=+当时，直线为，即， 104b -=+MN 14x ky =++(14x k y -=+此时直线过定点，MN (14,-当时，直线为，即， 104b -=+MN 6x ky =-+(6x k y -=-此时直线过定点，此时与点重合，不合要求，舍去， MN (A故直线过定点，故C 正确；MN (14,-D 选项，由C 选项，可知直线过定点， MN (14,E -故当与直线垂直时，点A 到直线MN 的距离最大， AE MN因为，所以直线MN AE k ==故直线MN 的方程为， )14y x +=-整理得，故D 正确. 260x --=故选：BCD.【点睛】思路点睛：处理定点问题的思路.（1）确定题目中的核心变量（此处设为），k （2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式， k (),0F x y =k ,x y （3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成()00,x y k 立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到， k ,x y ()00,x y ①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括k ()k ⋅号中式子等于0，求出定点；②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数.k 12. 若正整数m ，n 只有1为公约数，则称m ，n 互素，欧拉函数的函数值()()k k ϕ*∈N等于所有不超过正整数k ，且与k 互素的正整数的个数，例如：，，(2)1ϕ=(3)2ϕ=，．已知欧拉函数是积性函数，即如果m ，n 互素，那么(6)2ϕ=(8)4ϕ=，则（）()()()mn m n ϕϕϕ=A.B.(4)(6)ϕϕ=()122nn ϕ-=C. 数列不是递增数列D. 数列的最大项为第(){}6nϕ()(4)23n nn n ϕ⎧⎫+⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭4列【答案】ABD 【解析】【分析】根据欧拉函数定义，结合数列的单调性的性质逐一判断即可.【详解】A ：因为，，所以，因此本选项正确； (4)2ϕ=(6)2ϕ=(4)(6)ϕϕ=B ：因为在正整数中，所有的偶数与都不互质，所有的奇数都与互质， 2n 2n 所以，因此本选项正确；()122nn ϕ-=C ：因为在正整数中，都与互质，共有1,2,4,5,7,8,10,,31,32n n -- 3n 个，所以，由上可知：，()1131323n n ---=⋅()1323n n ϕ-=⋅()122n n ϕ-=显然互质， 2,3n n 所以， ()()()()16223263nn nn n n ϕϕϕϕ-==⋅⋅=因为，，所以， ()16260nn ϕ-=⋅>()()+1162661266n nn n ϕϕ-⋅==>⋅()()+166n n ϕϕ>所以数列是单调递增数列，因此本说法不正确；(){}6nϕD ：由上可知：，所以有， ()1323nn ϕ-=⋅()1(4)2(4)2233n nn nn n n n ϕ-++=⋅假设第项为数列最大项，则有 k ()(4)23n nn n ϕ⎧⎫+⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭，()()111121(5)2(4)2232311(3)2(4)22323k k k kk kk k k k k k k k k k k +----⎧+++≥⎪⎪⋅⋅⇒≤≤⎨-++⎪≥⎪⋅⋅⎩因为是正整数，所以，因此本选项正确， k 4k =故选：ABD【点睛】关键点睛：正确理解欧拉函数的定义，利用数列的单调性性质是解题的关键.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）13. 等差数列中，，则______． {}n a 2634a a +=4a =【答案】17 【解析】【分析】由，再根据等差中项求解的值即可. 2634a a +=4a 【详解】在等差数列中，是的等差中项，所以. {}n a 4a 26,a a 264172a a a +==故答案为：17.14. 如图，在长方体中，，，则与平面1111ABCD A B C D -2AB AD ==14DD =11A B 所成的角的正弦值为______．11A C D【答案】 23【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角的正弦值.【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，A 1,,AB AD AA ,,x y z ，()()()()1110,0,4,2,0,4,0,2,0,2,2,4A B D C 设平面的法向量为，11A C D (),,m x y z =则，()()()()111,,2,2,0220,,0,2,4240m A C x y z x y m A D x y z y z ⎧⋅=⋅=+=⎪⎨⋅=⋅-=-=⎪⎩ 令，则，故，1z =2,2y x ==-()2,2,1m =-设与平面所成角的大小为，11A B 11A C D θ则，12sin cos ,3m A θ= 与平面所成角的正弦值为.11A B 11A C D 23故答案为：2315. 已知点，P 是椭圆上的动点，则的最大值是______．(0,4)A 22:1259x yE +=||PA 【答案】【解析】【分析】设，利用两点间的距离公式求解. (),55,33P x y x y -≤≤-≤≤【详解】解：设，(),55,33P x y x y -≤≤-≤≤， PA ==，=当时，取得最大值 94y =-||PA故答案为：16. 对非原点O 的点M ，若点在射线上，且，则称为M 的M 'OM 2||OM OM r '⋅=M '“r -圆称点”，图形G 上的所有点的“r -圆称点”组成的图形称为G 的“r -圆称形”．G '(1,0)A 的“3-圆称点”为______，圆（不包含原点）的“3-圆称形”的方程为22(1)(2)5x y -+-=______．【答案】 ①. ②.()9,02490x y +-=【解析】【分析】根据题意得到，，结合点在射线上，得到故9OA OA '⋅=9OA '=A 'OA (1,0)A 的“3-圆称点”为，设出，，设其“r -圆称点”为，由()9,0(),B m n 0,0m n ≠≠(),B x y '得到方程，点在射线上，不妨设，，得到方程，求出9OB OB ⋅'=B 'OB m kxn ky =⎧⎨=⎩0k ≥.249x y +=【详解】由题意得：，又，所以， 9OA OA '⋅=1OA =9OA '=又点在射线上，即在轴正半轴上， A 'OA x 故的“3-圆称点”为；(1,0)A ()9,0设圆（不包含原点）的一点，， 22(1)(2)5x y -+-=(),B m n 0,0m n ≠≠设其“r -圆称点”为，则， (),B x y '9OB OB ⋅'=，9=又点在射线上，不妨设，，B 'OB m kxn ky =⎧⎨=⎩0k ≥所以，整理得：，()()2222125m n kx ky +=-+-=2224kx ky x y +=+综上，，即，()229k x y =+=249x y +=故圆（不包含原点）的“3-圆称形”的方程为. 22(1)(2)5x y -+-=2490x y +-=故答案为：，.(9,0)2490x y +-=三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知，，过点且与直线垂直的直线为，圆：(1,2)A (1,1)B -(1,0)P AB l M ．224x y +=（1）求的方程；l （2）求与圆相交的弦长． l M 【答案】（1）220x y +-=（2 【解析】【分析】（1）根据坐标确定直线的斜率，由两条直线垂直可得直线的斜率，又,A B AB l 点斜式方程即可求得的方程；l（2）根据直线与圆相交的几何性质求解圆心到直线的距离，再根据弦长公式d 即可得与圆相交的弦长． l M 【小问1详解】因为，，所以，又，所以，(1,2)A (1,1)B -()211112AB k -==--AB l ⊥1AB l k k ⋅=-则，则直线的方程为：，即； 2l k =-l ()21y x =--220x y +-=【小问2详解】因为圆：，则圆心，半径， M 224x y +=()0,0M 2r =所以圆心到直线的距离 M l d所以相交弦长为 ==18. 已知为等差数列的前项和，，． n S {}n a n 42a =1122S =-（1）求；n a （2）是否存在最大值？若存在，求出的最大值及取得最大值时的值；若不存在，n S n S n说明理由．【答案】（1）210n a n =-+（2）存在，最大值20，或5 4n =【解析】【分析】（1）设公差为，根据等差数列的通项公式与前项和公式，求得即可得d n 1,a d ；n a （2）由等差数列的前项和公式得，根据二次函数的性质结合，即可确定的n n S *N n ∈n S 最大值及取得最大值时的值. n 【小问1详解】设等差数列的公差为，由，{}n a d 42a =1122S =-可得，解得，所以1132111011222a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=-⎪⎩18,2a d ==-；()()812210n a n n =+-⨯-=-+【小问2详解】()()()221119818292224n n n n n S na d n n n n --⎛⎫=+=+⨯-=-+=--+ ⎪⎝⎭又，所以当时，，当时，， *9N 2n =∉4n =420S =5n =520S =所以存在最大值为，取得最大值时或.n S 204n =519. 已知抛物线过点，焦点为F ，O 为坐标原点． 2:2C y px =(4,4)M （1）求抛物线C 的方程，并写出F 的坐标；（2）若直线MF 与抛物线的另一个交点为N ，求的面积． OMN A 【答案】（1），；24y x =(1,0)F （2）. 52【解析】【分析】（1）根据抛物线过点即可求出的值，进而求解； 2:2C y px =(4,4)M p （2）结合（1）的结论写出直线的方程，将直线方程与抛物线方程联立，求出点的MF N 坐标，进而求出的长度，再利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，MN O MF 代入三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】因为抛物线过点，则，解得：， 2:2C y px =(4,4)M 168p =2p =所以抛物线的方程为：，焦点坐标为：； C 24y x =(1,0)F 【小问2详解】由（1）可得：直线的方程为：， MF 4(1)3y x =-将其代入抛物线方程可得：，解得：，， 241740x x -+=14x =214x =由题意可知：点的横坐标为，所以点的横坐标为，N 14N 41(1)134y =⨯-=-则点，所以， 1(,1)4N -254MN ==又因为点到直线的距离，O MF 45d ==所以. 11254522452OMN S MN d =⨯⋅=⨯⨯=A 20. 椭圆E 的方程为，短轴长为2．22221(0)x y a b a b +=>>（1）求椭圆E 的方程；（2）若直线l ：与圆相切，且与椭圆E 交于M ，N两点，(0)y kx m k =+>222x y b +=且l 的方程．||MN =【答案】（1）2213x y +=（2）或y x =y x =【解析】【分析】（1）根据离心率，短轴长等列出方程组，求出，得到椭圆方程；1a b ==（2）由点到直线距离公式列出方程，得到，联立直线方程和椭圆方程，得到221m k =+两根之和，两根之积，由弦长公式列出方程，求出及，得到答案. 1k=m =【小问1详解】由题意得：，，结合， 22b=c a =222a b c =+解得：，1a b ==故椭圆方程为；2213x y +=【小问2详解】直线l ：与圆相切， (0)y kx m k =+>221x y +=，即，1=221m k =+联立与得：，(0)y kx m k =+>2213x y +=()222136330k x kmx m +++-=设，()()1122,,,M x y N x y ，， 122613km x x k +=-+21223313m xx k-=+则MN===将221m k =+=解得：，21k =因为，所以，故，则，0k >1k =2212m k =+=m =所以直线l 的方程为或y x =y x =21. 已知在四棱锥中，平面，，P ABCD -PD ⊥ABCD 2,1PD CD AD AB ====，．AB DA ⊥AB CDA（1）求证：平面平面；PAD ⊥PCD （2）若是棱上的点，若二面角的余弦值为，求线段的长．M PC M BD A --PM 【答案】（1）证明见解析（2）PM【解析】【分析】（1）根据线面垂直得线线垂直，再结合面面垂直的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，设，，根据空间向量求得二面角的余弦[],0,1PM PC λλ=∈值，列方程即可解得的值，从而可得线段的长． λPM 【小问1详解】证明：因为平面，平面，所以 PD ⊥ABCD ,⊂DA DC ABCD ,PD DA PD DC ⊥⊥又，，所以，AB DA ⊥AB CD A DA DC ⊥由于平面，所以平面， ,,DA PD D DA PD ⋂=⊂PAD DC ⊥PAD 又平面，所以平面平面； DC ⊂PCD PAD ⊥PCD 【小问2详解】由（1）得，，如图，以为原点，分别为,PD DA PD DC ⊥⊥DA DC ⊥D ,,DA DC DP 轴建立空间直角坐标系，,,x yz由，则2,1PD CD AD AB ====()()()()()0,0,0,1,0,0,1,1,0,0,2,0,0,0,2D A B C P 设，所以， [],0,1PM PC λλ=∈ ()()0,2,20,2,2PM PC λλλλ==-=-则，()()()0,0,20,2,20,2,22DM DP PM λλλλ=+=+-=-设平面的法向量为，则MBD (),,n x y z =，令，则()10222000DM n y z y z x y DB n x yλλλλ-⎧⎧⋅=⎧=+-=⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨+=⋅=⎩⎪⎪⎩=-⎩ z λ=()1,1,n λλλ=-- ，又平面，所以是平面的一个法向量，PD ⊥ABCD ()0,0,2DP =BDA 所以，所以cos ,DP n DP n DP n ⋅==⋅ 420λ-+=，12λ=故当为中点时符合题意，所以. M PC 12PM PC ==22. 已知双曲线的离心率，分别为其两条渐近线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>e =1P 2P 上的点，若满足的点在双曲线上，且的面积为8，其中为坐标原12PP PP =P 12OPP A O 点．（1）求双曲线的方程；C （2）过双曲线的右焦点的动直线与双曲线相交于，两点，在轴上是否存在定C 2F A B x 点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．M MA MB ⋅M 【答案】（1）22188x y -=（2）存在， (2,0)【解析】【分析】（1）根据双曲线的离心率得关系，从而可得关系，即可得双曲线渐近线,a c ,a b 方程，不妨设，，确定点为的中点代入双曲线方程可得y x =±()1,P m m ()2,P n n -P 12PP 与的关系，再由的面积即可求得的值，从而可得双曲线的方程； mn a 12OPP A a C （2）当直线的斜率存在时，设直线方程与交点坐标，代入双曲线方程后可得交点坐标AB 关系，设，满足为常数即可求得的值，并且检验直线的斜率不存(),0M t MA MB ⋅ t AB 在时是否满足该定值即可. 【小问1详解】由离心率，则双曲线的渐近线方程为ce a==c ==a b =，y x =±因为，分别为其两条渐近线上的点，所以，不妨设，1P 2P 12OP OP ⊥()1,P m m ()2,P n n -，由于，则点为的中点，所以， 12PP PP = P 12PP ,22m n m n P +-⎛⎫⎪⎝⎭又点在双曲线上，所以，整理得：P ()()2222144m n m n a a +--=2mn a =因为的面积为8，所以，则12OPP A 121211822OP P S OP OP =⋅=A ，228a b ==故双曲线的方程为；C 22188x y -=【小问2详解】由（1）可得，所以为4c =2F ()4,0当直线的斜率存在时，设方程为：，，AB AB ()4y k x =-()()1122,,,A x y B x y 则，所以，则()224188y k x x y ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩()2222181680k x k x k -+--=21k ≠恒成立，所以()()()22222Δ84116832320k k kk =----=+>， 221212228168,11k k x x x x k k ++=-⋅=---假设在轴上是否存在定点，设，则x M (),0M t ()()()()()()221122121212121211,,44MA MB x t y x t y x x t x x t y y x x t x x t k x k x ⋅=-⋅-=-+++=-+++-⋅-()()()()()()()()2222222222212122221168161814164111k k k t k k kx x t k x x ktt k k k k +++-=+-++++=-+++---()()22228881t t t k k---+=-要使得为常数，则，解得,定点，MA MB ⋅ 2288811t t t --+=2t =()2,0M ；4MA MB ⋅=-又当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入双曲线可得AB AB 4x =22188x y -=，y=±((4,,4,A B-若，则，符合上述结论；()2,0M ((()2,2,484MA MB ⋅=⋅-=+-=-综上，在轴上存在定点，使为常数，且. x M MA MB ⋅4-()2,0M 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用交点坐标关系，假设在轴上是否存在定点，设，验221212228168,11k k x x x x k k ++=-⋅=---x M (),0M t 证所求定值时，根据数量积的坐标运算与直线方程坐标转换可得MA MB ⋅ MA MB ⋅，要使得其为定值，则与直线斜率无关，那么在此分式结构()()22228881t t t k k---+=-k 中就需满足分子分母对应系数成比例，从而可得含的方程，通过解方程确定的存在，使t t得能确定定点坐标的同时还可得到定值，并且要验证直线斜率不存在的情况.。

黑龙江高二高中数学期末考试带答案解析

黑龙江高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知全集U＝R，，，则集合( )A．B．C．D．2.若集合，集合，则“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3.已知复数满足，则的虚部为（ )A．B．C．D．4.执行如图所示的程序框图,若输入n的值为2,则输出s的值是（）A．1B．2C．4D．75.已知样本：8 6 4 7 11 6 8 9 10 5 则样本的平均值和中位数的值是（）A．B．C．D．6.设α为锐角，若cos＝，则sin的值为（）A．B．C．D．7.如图，下列四个几何题中，它们的三视图（主视图、俯视图、侧视图）有且仅有两个相同，而另一个不同的两个几何体是A．（1）、（2）B．（1）、（3）C．（2）、（3）D．（1）、（4）8.已知x、 y满足约束条件则 z =" x" + 2y 的最大值为A．-2B．-1C．1D．29.已知是不同的直线，是不同的平面，以下命题正确的是（）①若∥，，则∥；②若，∥，则；③若∥，则∥；④若，∥，∥，则；A．②③B．③C．②④D．③④10.函数的部分图象如图所示，则的解析式为（）A．B．C．D．11.化简的结果是（）A．B．cos 1C．cos 1D．12.周期为4的奇函数在上的解析式为，则（ ) A．B．C．D．二、填空题1.已知平面向量，，若，则_______．2.在等比数列中，对于任意都有，则．3.已知且，则的最小值为______.4.若函数在上有最小值，则实数的取值范围为_________.三、解答题1.（本小题满分12分）已知向量，函数，若函数的图象的两个相邻对称中心的距离为.（Ⅰ）求函数的单调增区间；（Ⅱ）若将函数的图象先向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数的图象，当时，求函数的值域.2.（本题满分12分）如图1，在直角梯形中，，∥，，，将沿折起，使平面平面，得到几何体，如图2所示．（1）求证：平面；（2）求几何体的体积．3.（本小题共12分）长时间用手机上网严重影响着学生的身体健康，某校为了解A，B两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，将他们平均每周手机上网的时长作为样本，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）．（Ⅰ）分别求出图中所给两组样本数据的平均值，并据此估计，哪个班的学生平均上网时间较长；（Ⅱ）从A班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为a，从B班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为b，求a＞b的概率．4.（共12分）已知方程的曲线是圆C（1）求的取值范围;（2）当时,求圆C截直线所得弦长;5.（本小题满分12分）已知函数（Ⅰ）若函数在处的切线垂直于轴，求实数a的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数的单调区间；（Ⅲ）若恒成立，求实数a的取值范围．6.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与轴的正半轴重合，直线的参数方程为（为参数）,圆的极坐标方程为．（1）求直线的普通方程和圆的直角坐标方程；（2）若圆上的点到直线的最大距离为，求的值．黑龙江高二高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.已知全集U＝R，，，则集合( )A．B．C．D．【答案】【解析】由题意，得，则.【考点】集合的运算2.若集合，集合，则“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】【解析】，，由不能推出，由能推出，“”是“”的必要不充分条件，故答案为B.【考点】充分条件、必要条件3.已知复数满足，则的虚部为（ )A．B．C．D．【答案】【解析】由，所以复数的虚部为，故答案选.【考点】1.复数的计算；2.复数的定义.4.执行如图所示的程序框图,若输入n的值为2,则输出s的值是（）A．1B．2C．4D．7【答案】【解析】这是一个循环结构，循环的结果依次为：．最后输出2．选B．【考点】程序框图5.已知样本：8 6 4 7 11 6 8 9 10 5 则样本的平均值和中位数的值是（）A．B．C．D．【答案】【解析】，把这10个数按从小到大顺序排列，第5个是7，第6个是8，故中位数是7．5。

黑龙江高二高中数学期末考试带答案解析

黑龙江高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设集合，全集，则集合中的元素共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个2.函数的定义域为（）A．B．C．D．3.若，则的值为（）A．6B．3C．D．4.函数的图象过点，那么函数的单调递增区间是 ( )A．B．C．D．5..曲线在x=1处的切线方程为（）A．B．C．D．6..题“,”的否定是（）A．,B．,C．,D．,7.已知函数的导函数为，且满足，则（）A．B．C．D．8.下列命题中,真命题是（）A．B．C．的充要条件是D．是的充分条件9..设为定义在R上的奇函数。

当x≥0时，=+2x+b（b为常数），则= （）A 3 （B）1 （C）-1 （D）-310.函数的零点所在的大致区域是（）A．B．C．D．11.．下列图象中，有一个是函数（）的导函数的图象，则等于（）A．B．C．D．或12.函数为偶函数，且恒成立，时，，则当时等于（）A．B．C．D．二、填空题1.不等式的解集为 .2..若是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为3..若正数满足，则的最小值为4..若函数恰有3个单调区间，则a的取值范围为三、解答题1.（本题满分10分）已知命题p：，命题q：，若与都为假命题，求x的值。

2.（本题满分12分）求函数的极大值。

3.（本题满分12分）已知，求x为何值时有最大值，最大值是多少。

4.题满分12分）设函数（1）若，解不等式；（2）如果求a的取值范围.5.（本题满分12分）已知函数是定义在的增函数，且满足（1）求（2）求满足的x的取值范围.6.（本题满分12分）已知函数（1）求的单调递减区间；（2）若，证明：.黑龙江高二高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.设集合，全集，则集合中的元素共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】A【解析】解：,={4,7,9}，={3,5,8}，故集合中的元素共有3个。

黑龙江高二高中数学期末考试带答案解析

黑龙江高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知则（）A．B．C．D．2.函数的定义域为（）A．B．C．D．3.已知角的顶点是坐标原点，始边是轴正半轴，终边过点，则（）A．B．C．D．4.下列函数中，是偶函数且在上为增函数的是（）A．B．C．D．5.若，，，则（）A．B．C．D．6.已知是的导函数，且，则实数的值为（）A．B．C．D．7.已知，则（）A．B．C．D．8.已知二次函数，若，则在（）A．上是增函数B．上是增函数C．上是增函数D．上是增函数9.函数在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）A．B．C．D．10.已知函数，且导函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（）A．B．C．D．11.函数的图象可能是（）（1）（2）（3） (4 )A．(1) (3)B．(1)(2)(4)C．(2)(3)(4)D．(1)(2)(3)(4)12.已知函数.若,对任意，存在，使成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题1. __________.2.为得到函数的图象,要将函数的图象向右平移至少__________个单位.3.函数的单调增区间为 _________.4.设函数对任意实数满足,且当时, ,则_________.三、解答题1.已知函数的定义域为集合,函数的定义域为集合.（1）当时，求；（2）若，求实数的值.2.已知函数.（1）求定义域和值域；（2）若，求实数的取值范围.3.已知函数.（1）求的值；（2）若，且，求.4.已知函数.（1）求方程的根；（2）求证：在上是增函数；（3）若对于任意，不等式恒成立，求实数的最小值.5.设函数.（1）当函数有两个零点时，求的值；（2）若，当时，求函数的最大值.6.已知函数，且.（1）求函数的极值；（2）当时，证明：.黑龙江高二高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.已知则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可得：.本题选择D选项.2.函数的定义域为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】函数有意义，则：，求解关于实数x的不等式可得函数的定义域为.本题选择A选项.点睛：求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．3.已知角的顶点是坐标原点，始边是轴正半轴，终边过点，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意可得：，则：.本题选择A选项.4.下列函数中，是偶函数且在上为增函数的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】选项A非单调函数，选项B是减函数，选项D是奇函数，故选C.【考点】1、函数的单调性；2、函数的奇偶性.5.若，，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】函数是减函数，所以有，故选B.【考点】对数函数的性质.6.已知是的导函数，且，则实数的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意可得，由可得，解之得，故选B.【考点】三角函数的求导法则.7.已知，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可得：，解得：，则：.本题选择D选项.8.已知二次函数，若，则在（）A．上是增函数B．上是增函数C．上是增函数D．上是增函数【答案】D【解析】∵二次函数f(x)满足f(0)=f(6)<f(7)，故函数的图象开口朝上，且以直线x=3为对称轴，故函数f(x)在(3,+∞)上是增函数，本题选择D选项.9.函数在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，则，则，，故切线方程为.令，可得；令，可得.故切线与两坐标围成的三角形面积为，故选B.【考点】1、利用导数求切线方程；2、三角形面积公式.10.已知函数，且导函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，∴，由图可得：函数的最大值，又∵，∴,可得：，∴，将代入,得，即，即，k∈Z，∵，∴，∴，∴.本题选择D选项.11.函数的图象可能是（）（1）（2）（3） (4 )A．(1) (3)B．(1)(2)(4)C．(2)(3)(4)D．(1)(2)(3)(4)【答案】C【解析】,可取a=0, ,故(4)正确；∴，当a<0时,函数f′(x)<0恒成立,x2+a=0,解得故函数f(x)在上单调递减,故(3)正确；取a>0,f′(x)=0,解得，当f′(x)>0,即时，函数单调递增，当f′(x)<0,即时,函数单调递减,故(2)正确函数的图象可能是(2),(3),(4)，本题选择C选项.12.已知函数.若,对任意，存在，使成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】对任意，存在，使，∴，在上单调递增，∴，在上单调递减，则，∴，则，故选A.【考点】1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数求函数的最值及全称量词与存在量词的应用.【方法点睛】本题主要考查、利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值及全称量词与存在量词的应用.属于难题.解决这类问题的关键是理解题意、正确把问题转化为最值和解不等式问题，全称量词与存在量词的应用共分四种情况：（1）只需；（2），只需；（3），只需；（4），，.二、填空题1. __________.【答案】【解析】因为，故答案为.【考点】对数的运算法则.2.为得到函数的图象,要将函数的图象向右平移至少__________个单位.【答案】【解析】函数的解析式：.则要将函数的图象向右平移至少个单位.点睛：由y＝sin x的图象，利用图象变换作函数y＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)(x∈R)的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x轴的伸缩量的区别．先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是个单位．3.函数的单调增区间为 _________.【答案】【解析】函数的定义域为(0,+∞)，则函数的导数，由f′(x)>0得1−2x2>0,即，解得，即函数的单调递增区间为.点睛：应用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f′(x)>0（或f′(x)<0）仅是f(x)在某个区间上递增（或递减）的充分条件。

黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题

黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题三、填空题四、解答题20．我校后勤服务中心为监控学校稻香圆食堂的服务质量情况，每学期会定期进行两次食堂服务质量抽样调查，每次调查的具体做法是：随机调查50名就餐的教师和学生，请他们为食常服务质量进行名评分，师生根据自己的感受从0到100分选取一个分数打分，根据这50名师生对食堂服务质量的评分并绘制频率分布直方图．下图是根据本学期第二次抽样调查师生打分结果绘制的频率分布直方图，其中样本数据分组为[40，50），[50，60），……，[90，100]．(1)求频率分布直方图中a 的值并估计样本的众数：(2)学校规定：师生对食堂服务质量的评分平均分不得低于75分，否则将进行内部整顿．用每组数据的中点值代替该组数据，试估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分，并据此回答食堂是否需要进行内部整顿；(3)我校每周都会随机抽取3名学生和校长共进午餐，每次校长都会通过这3名学生了解食堂服务质量，校长的做法是让学生在“差评、中评、好评”中选择一个作答，如果出现“差评”或者“没有出现好评”，校长会立即责成后勤分管副校长亲自检查食堂服务情况．若以本次抽取的50名学生样本频率分布直方图作为总体估计的依据，并假定本周和校长共进午餐的学生中评分在[40，60）之间的会给“差评”，评分在[60，80）之间的会给“中评”，评分在[80.100]之间的会给“好评”，已知学生都会根据自己的感受独立地给出评价不会受到其它因素的影响，试估计本周校长会责成后勤分管副校长亲自检查食堂服务质量的概率．21．在平面直角坐标系xOy 中，圆1F ：()2224x y ++=，()22,0F ，P 是圆1F 上的一个动点，线段2PF 的垂直平分线l 与直线1PF 交于点M ．记点M 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)过点2F 作与x 轴不垂直的任意直线交曲线C 于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交(1)求椭圆C的方程；(2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为任意一点，连接线段AM交椭圆于点（i）证明：点B在以PQ为直径的圆内；。

黑龙江省哈尔滨师范大学附属高二上学期期末考试数学试卷1 有答案

黑龙江省哈尔滨师范大学附属高二上学期期末考试数学试卷1考试时间：120分钟试卷满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.“1x =”是“21x =”的A .充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.命题2:,10p x R x ∀∈+≥的否定是A .2:,10p x R x ⌝∀∈+< B. 2:,10p x R x ⌝∃∈+< C. 2:,10p x R x ⌝∃∈+≥ D. 2:,10p x R x ⌝∃∈+≤3．双曲线221916x y -=的渐近线方程为 A .169y x =±B.916y x =±C.34y x =±D. 43y x =± 4．方程221410x y k k+=--表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是 A . (4,)+∞ B. (4,7) C.(7,10) D. (4,10) 5．同时掷两个骰子，则向上的点数和为8的概率是 A .16 B.736 C.536 D.146．根据秦九韶算法求1x =-时432()4361f x x x x x =+-+-的值，则2v 为 A .1- B.5- C.21 D. 22-7．在长方体1111ABCD A B C D -中，13,4,5AB AD AA ===，O 为1D CO ABC -的体积为A .5 B.10 C.15 D.30 8．右面的程序框图表示求式子137153163⨯⨯⨯⨯⨯的值，则判断框内可以填的条件为A .31?i ≤ B.63?i ≤ C.63?i ≥ D.127?i ≤9．已知X 和Y 是两个分类变量，由公式22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++算出2K 的观测值k 约为7.822，根据下面的临界值表可推断A .推断“分类变量X 和Y 没有关系”犯错误的概率上界为0.010 B.推断“分类变量X 和Y 有关系”犯错误的概率上界为0.010 C.有至少99%的把握认为分类变量X 和Y 没有关系 D.有至多99%的把握认为分类变量X 和Y 有关系10．甲乙两名学生六次数学测验成绩(百分制)如图所示． ①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数； ②甲同学的平均分比乙同学高； ③甲同学的平均分比乙同学低；④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差．上面说法正确的是 A ．③④B ．①②④C ．②④D ．①③11．三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，11AA AB AC ===，AB AC ⊥，N 是BC 的中点，点P 在11A B 上，且满足111A P A B λ=，直线PN 与平面ABC 所成角θ的正切值取最大值时λ的值为A.12B.2C.2D.512．已知,A B 是抛物线24y x =上异于顶点O 的两个点，直线OA 与直线OB 的斜率之积为定值4-，F 为抛物线的焦点，,AOF BOF ∆∆的面积分别为12,S S ，则2212S S +的最小值为A. 8B. 6C. 4D. 2二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．在100个产品中，一等品20个，二等品30个，三等品50个，用分层抽样的方法抽取一个容量20的样本，则抽取到的二等品的个数为__________.14．在集合{(,)|0 5 , 04}x y x y ≤≤≤≤且内任取一个元素，能使代数式34120x y +-≥的概率为__________.15．直线:10l x y -+=与抛物线2y x =交于,A B 两点，若点(1,2)M ，则MA MB 的值为__________. 16．下列关于回归分析的说法正确的是 (填上所有正确说法的序号).①相关系数r 越小，两个变量的相关程度越弱；②残差平方和越大的模型，拟合效果越好；③用相关指数2R0.01频率组距来刻画回归效果时，2R 越小，说明模型的拟合效果越好；④用最小二乘法求回归直线方程，是寻求使21()niii y bx a =--∑取最小值时的,a b 的值；⑤在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，模型拟合精度越高.三、解答题（本大题共6小题，17题满分10分，18、19、20、21、22题每题12分，共70分） 17.某学校从参加高一年级期末考试的学生中抽出20名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[)50,40，[)60,50，…，[]100,90后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：（Ⅰ）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图； (Ⅱ)估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；(Ⅲ) 从成绩是80分以上（包括80分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率.18.如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，2,CA CB CD BD AB AD ======（Ⅰ）求证：AO ⊥平面BCD ；(Ⅱ)求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值.19.某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料:该兴趣小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取2组,用剩下的4组数据求线性回归方程,再用被选取的2组数据进行检验．（Ⅰ）若选取的是1月与6月的两组数据,请根据2至5月份的数据,求出y 关于x 的线性回归方程y b x a ∧∧∧=+；（Ⅱ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?B(参考公式: 121()()()niii nii x x y y b x x ∧==--=-∑∑，a y b x ∧∧=-)20．如图，三棱柱111ABC A B C -侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，12AA AC ==，1BC =，,E F 分别是11A C ，BC 的中点．（Ⅰ）求证：平面ABE ⊥平面11B BCC ；（Ⅱ）求证：1C F ∥平面ABE ； (Ⅲ) 求三棱锥E ABC -的体积．21. 已知椭圆1C ：2214x y +=的左、右焦点分别是1F 、2F ，Q 是椭圆外的动点，满足1|| 4.FQ =点P 是线段1F Q 与该椭圆1C 的交点，点T 在线段2F Q 上，并且满足.0||,022≠=⋅TF TF PT (Ⅰ) 求点T 的轨迹2C 的方程；(Ⅱ) 过原点的直线l 与曲线12,C C 分别交于点,S R （,S R 不重合），设12SF F ∆，12RF F ∆的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的取值范围. 22.已知抛物线C 顶点为O(0,0),焦点为F(1,0),A 为C 上异于顶点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B,交x 轴的正半轴于点D,且有FA FD =，延长AF 交曲线C与此抛物线准线交于点Q . （Ⅰ）求抛物线的C的方程；(Ⅱ)设点AB E 、、的纵坐标分别为A y 、B y 、E y ，求A BA Ey y y y -- (Ⅲ)求AEQ ∆面积的最小值.数学试卷答案一、选择题1.A2.B3.D4.C5.C6.B7.A8.B9.B 10.A 11.A 12.D 二、填空题 13. 6 14. 71015. 2 16. ④⑤ 三、解答题17.（Ⅰ）因为各组的频率和等于1,故第四组的频率：41(0.0250.01520.010.005)100.3f =-+⨯++⨯= (2)第四组小矩形的高为0.3100.03÷=这次考试的及格率为10.10.150.75--= …4 利用组中值估算抽样学生的平均分123456455565758595f f f f f f ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=450.1550.15650.15750.3850.25950.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯＝71估计这次考试的平均分是71分 (6)（Ⅲ）[80,90) ，[90,100]”的人数是5,1.设[80,90)这5个人分别为a,b,c,d,e.[90,100] 1人为f,从这6个人中取两个人的基本事件为（a,b ）(a,c)(a,d),(a,e),(a,f),(b,c),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f)共计15个，所以从成绩是80分以上（包括80分）的5个学生中选两人来自同一组所含基本事件为（a,b ）(a,c)(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e), (c,d),(c,e), (d,e)共10个，所以他们在同一分数段的概率2526102153C P C === (10)18.(Ⅰ)证明：,A B A D O=为BD 的中点，A O B D∴⊥， 2AD =，1OD =，1AO ∴=，2,CB CD BD OC ===∴=又2,CA =222CA OA OC ∴=+，AO OC ∴⊥，AO ∴⊥BD OC O =，,BD OC 均在平面BCD 内，平面BCD (6)(Ⅱ)方法一：设,OD AD 的中点分别是点,M N ，连,,EM ON EN ，则//,//,ON AB OE CD NOE ∴∠或其补角即异面直线,AB CD 所成角，AO ⊥平面BCD ，//,MN AO MN ∴⊥平面BCD ，ME ⊂平面BCD ，MN ME ∴⊥0.030.01频率组距BC1,2MN=2ME NE =∴= 21ON OE ==，222221cos 24ON OE NE NOE ON OE+-+-∴∠===-⋅ 故异面直线,AB CD (12)方法二：以O 为坐标原点，以,,OB OC OA 方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则(0,0,1),(1,0,0),(1,0,0)A BC D - (1,0,1),(1,AB CD =-=-|||cos ,|4||||2AB CD AB CD AB CD ⋅∴〈〉===⨯ 故异面直线,AB CD 19.解： (Ⅰ) 由数据求得11,24x y ==由公式求得187b =再由307a y bx =-=-所以y 关于x 的线性回归方程为183077y x =-…8(Ⅱ)当10x =时,1507y =, 150|22|27-<；同样, 当6x =时,787y =, 78|14|27-< (12)所以,该小组所得线性回归方程是理想的．20. 解：(Ⅰ)证明：在三棱柱ABC - A 1B 1C 1中，BB 1⊥底面ABC ，所以BB 1⊥AB.又因为AB ⊥BC ，所以AB ⊥平面B 1BCC 1.所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1. (4)(Ⅱ)证明：取AB 的中点G ，连接EG ，FG .因为E ，F ，G 分别是A 1C 1，BC ，AB 的中点，所以FG ∥AC ，且FG ＝12AC ，EC 1＝12A 1C 1.因为AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1，所以FG ∥EC 1，且FG ＝EC 1，所以四边形FGEC 1为平行四边形，所以C 1F ∥EG .又因为EG ⊂平面ABE ，C 1F ⊄平面ABE ，所以C 1F ∥平面ABE . …8 （Ⅲ）因为AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，AB ⊥BC ，所以AB ＝AC 2－BC 2＝ 3.所以三棱锥E - ABC 的体积V ＝13S △ABC ·AA 1＝13×12×3×1×2＝33. (12)21. (Ⅰ)连接2PF ，连接OT124PF PF +=，14QF =∴2PF PQ=2PT QF ⊥2QT TF ∴=12OF OF =∴1//OT QF ∴2OT =∴T 的轨迹方程为224x y +=. (4)(Ⅱ)①若直线l 斜率存在，设直线l 的方程为y kx =,2214y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩,22441S x k =+ 224y kx x y =⎧⎨+=⎩，2241T x k =+12S T OS x S S OT x ==== …8 0k ≠12112SS ∴<< (10)②若直线l 斜率不存在12S S =12综上：12112S S ≤< …12 22. (Ⅰ)24y x = (2)(Ⅱ)设2(,)4t A t ，214t AF =+，AF DF =∴2114D t x -=+∴2(2,0)4t D +∴直线AD 的方程为2(2)24t ty x =--- 直线AE 的方程为24(1)4ty x t =-- 224(1)44t y x t y x ⎧=-⎪-⎨⎪=⎩，22440t y y t ---= A y t =4E y t-∴=22(2)244t t y x y x ⎧=---⎪⎨⎪=⎩，22880y y t t +--= A y t =8B y t t ∴=--8224B A E A t y y t y y t t---∴==--- …8 （Ⅲ）直线1l 方程为22t y x t=--221t y x t x ⎧=--⎪⎨⎪=-⎩，2(1,)2t Q t --，2A B Qy y y +=，取AB 的中点G ，//QG x 轴，12AQEA E S QG y y ∴=- 2221412(2)()2422t t QG t t =++=+314()416AQESt t∴=+≥ AQES∴的最小值为4当且仅当2t =±取""= (12)。

黑龙江省哈师大附中高二数学上学期期末考试试卷

黑龙江省哈师大附中2008-2009学年度高二数学上学期期末考试试卷(考试时间为120分钟，满分150分)一、填空题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每题所给的选项中只有一个是正确的． 1．设集合{}30,01<<=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-=x x B x xxA ，那么“A m ∈”是“B m ∈”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．若R ∈θ，则方程1sin 422=⋅+θy x 所表示的曲线一定不是．．．．( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线3．已知点A 在抛物线x y 22=上，且它到焦点F 与到点B (2，1)的距离之和最小，则点A 的坐标为( )A ．(2，2)B ．(21，1) C ．(0，0) D ．(21，-1) 4．右图是某次数学测验13个人的成绩茎叶图，则这13个同学成绩的中位数是( )A ．76B ．79C ．82D ．865．右面的程序框图，如果输入三个实数a ，b ，c ，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填人下面四个选项中的( )A ．x c >B ．c x >C ．b c >D ．c b > 6．下列条件中可以判定平面α垂直于平面β的是( ) A ．b a b a ⊥⊂⊂,,βα B ．b a b a //,,βα⊥⊥ C ．b a b a ⊥⊥⊥,,βα D ．b a b a ⊥⊥,//,βα7．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，E 为CC 1的中点，则异面直线D 1A 与EO 所成的角的余弦值为( ) A ．21B ．23C ．36 D ．328．从含有两件正品a 1，a 2和一件次品b 1的3件产品中任取1件，每次取出后放回，连续取两次，则取出两次恰好有一件次品的概率是( ) A ．31 B ．32 C ．94 D ．92 9．在边长为2的正三角形ABC 中，以A 为圆心，3为半径画弧，分别交AB 、AC 于D 、E ，若在△ABC 这一平面区域内任意丢一粒豆子，则豆子落在扇形ADE 内的概率是( ) A ．π63 B ．23 C ．π631- D ． 1 10．已知双曲线方程为1222=-y x ，过右焦点且弦长为4的弦的条数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．411．如图所示，)0(:22221>=-m m b y a x C ，)0(:22222>=-n n by a x C ，则它们的离心率e 1，e 2的关系为( )A ．21e e >B ．21e e <C ．21e e =D ．大小关系不确定12．如图，线段AB 平行于平面α，若点P 在平面α内运动，使得∠ABP =30°，则P 点的轨迹是( )A ．半个椭圆B ．半个圆C ．双曲线的一支D ．抛物线二、填空题：每小题5分，共20分．13．与双曲线116922=-y x 有公共渐近线，且经过点(-3，42)的双曲线方程是． 14．已知x ，y 之间的一组数据如下：(0，1)，(1，3)，(2，5)，(3，7)，则y 与x 的线性回归方程a bx y +=∧必经过点．15．设F 1，F 2是双曲线)00(12222>>=-b a by a x ，的两个焦点，P 在双曲线上，021=⋅PF ，ac PF PF 221=⋅(c 为半焦距)，则双曲线的离心率为．16．与圆锥曲线有关的下列命题中正确的有．①F 1(-3，0)，F 2(3，0)，到F 1，F 2距离之和为6的点的轨迹是椭圆；②定点M (1，1)，定直线032:=-+y x l ，到点M 的距离与到直线l 的距离比是2的轨迹是双曲线；③T 1(-1，0)，T 2(1，0)，21T MT ∆是直角三角形，且︒=∠9021MT T ，则点M 的轨迹方程为)11(122-≠≠=+x x y x ，且； ④到(0，1)的距离与到定直线y =-1距离相等的点的轨迹方程是y x 42=．三、解答题：17题满分10分，18、19、20、2l 、22每题满分12分，共70分17．有同一型号的汽车100辆，要了解这种汽车每耗油l 升所行路程的情况，从中随机抽出10辆车在同一条件下进行耗油l 升所行路程的试验，得到如下样本数据(单位：km)：13.7，12.7，14.4，13.8，13.3，12.5，13.5，13.6，13.1，13.4，分组如下：分组频数频率 [12.45，12.95) [12.95，13.45) [13.45，13.95) [13.95，14.45)合计101.0(1)完成上面的频率分布表；(2)根据上表，在给定的坐标系中画出频率分布直方图，并根据样本估计总体数据落在[12.95，13.95)中的概率。

黑龙江省高二上学期期末数学试题(解析版)

一、单选题1．两平行直线和间的距离是（） 3210x y --=6430x y -+=ABCD【答案】A【分析】将直线的对应项系数化为的相同，代入平行线的距离公式中，6430x y -+=3210x y --=求出距离．【详解】解：将直线化为， 6430x y -+=33202x y-+=所以两平行直线和间的距离 3210x y --=6430x y -+=d =故选：A ．2．双曲线的焦点到渐近线的距离为（）22136x y -=AB C D【答案】D【分析】根据题意，由双曲线的标准方程可得双曲线的焦点坐标以及渐近线方程，由点到直线的距离公式计算可得答案.【详解】解：根据题意，双曲线的方程为，22136x y -=其焦点坐标为，其渐近线方程为，()3,0±y =0y ±=则其焦点到渐近线的距离；d 故选D.【点睛】本题考查双曲线的几何性质，关键是求出双曲线的渐近线与焦点坐标.3．若某抛物线过点（），且关于轴对称，则该抛物线的标准方程为（）13-，x A ． B ． C ．或 D ． 29y x =-213x y =29y x =-213x y =29y x =±【答案】A【分析】由于已知抛物线的对称性，则可设抛物线然后把代入求出即可． 22y px =-(1,3)-p 【详解】解：依题意设抛物线解析式为， 22y px =-把代入得，解得， (1,3)-92p =92p =所以抛物线标准方程为，29y x =-故选：A ．4．设Sn 是等差数列{an }的前n 项和，若＝，则等于（）53a a 5995S S A ．1 B ．－1C ．2D ．12【答案】A【分析】利用等差数列的求和公式计算即可.【详解】＝＝＝1. 95S S 19159()25()2a a a a ++5395a a 故选：A.5．在正项等比数列中，若依次成等差数列，则的公比为 {}n a 657,3,a a a {}n a A ．2 B ．C ．3D ．1213【答案】A【分析】由等差中项的性质可得，又为等比数列，所以，化简整5676a a a =+{}n a 4561116a q a q a q =+理可求出q 的值．【详解】由题意知，又为正项等比数列，所以，且，所56723a a a =⨯+{}n a 4561116a q a q a q =+0q >以，260q q +-=所以或（舍），故选A2q =3q =-【点睛】本题考查等差数列与等比数列的综合应用，熟练掌握等差中项的性质，及等比数列的通项公式是解题的关键，属基础题．6．已知函数，则等于（） 2()(1)2f x f x x =++'()'1f A ． B ．C ．D ．13-2-1-【答案】C【分析】对函数求导得到，将代入等式求解即可. ()2(1)1f x f x ''=+1x =【详解】由 2()(1)2f x f x x '=++得，()2(1)1f x f x ''=+令，得， 1x =(1)2(1)11f f ''=⨯+解得， (1)1f '=-故选：C7．函数的单调递减区间为（）()ln f x x x =A ．B ．1(0,)e(1,e -∞C ． D ．(,e)-∞-1(,)e+∞【答案】A【分析】求出函数的定义域，求出函数的导函数，令导函数小于0求出x 的范围，写出区间形式即得到函数的单调递减区间． ()ln f x x x =【详解】函数的定义域为，(0,)+∞，()ln 1f x x '=+令，()100ef x x '<⇒<<∴函数的单调递减区间是，()ln f x x x =1(0,e故选：A8．若函数（）不存在极值点，则实数a 的取值范围是（）()32f x x ax x =++x R ∈A ．B ．(),-∞+∞ (),-∞+∞C ．D ．(⎡⎣【答案】D【分析】根据函数无极值可知导数有两个相等的实数根或没有实数根，利用()23210x x f x a =++='判别式求解即可.【详解】∵在定义域R 内不存在极值，()32f x x ax x =++∴有两个相等的实数根或没有实数根，()23210x x f x a =++='∴， 24120a ∆=-≤∴ a ≤≤故选：D二、多选题9．已知数列的前项和为，下列说法正确的（）{}n a n n SA ．若，则是等差数列21n S n =+{}n a B ．若，则是等比数列31nn S =-{}n a C ．若是等差数列，则{}n a 959S a =D ．若是等比数列，且，则{}n a 10,0a q >>2132S S S ⋅>【答案】BC【分析】对于A ，求出，, 即可判断；1a 2a 3a 对于B ，利用求出通项公式，再验证是否满足2，即可判断； 1n n n a S S -=-1a =对于C ，根据等差数列的求和公式即可判断；对于D ，当时，可得，即可判断．1q =2213210S S S a ⋅-=-<【详解】解：对于A ，若，则，，，则不是21n S n =+112a S ==2213a S S =-=3325a S S =-={}n a 等差数列，A 错误；对于B ，若，则，当时，，满足31n n S =-112a S ==2n ≥11131(31)23n n n n n n a S S ---=-=---=⨯2，1a =所以，则是等比数列，B 正确；123n n a -=⨯{}n a 对于C ，是等差数列，则，C 正确； {}n a 19959()92a a S a +==对于D ，若是等比数列，当时，则，D 错误.{}n a 1q =2222132111340S S S a a a ⋅-=-=-<故选：BC ．10．设等差数列的前项和为．若，，则（） {}n a n n S 30S =46a =A ． B ．23n S n n =-2392-=n n nS C ． D ．36n a n =-2n a n =【答案】BC【解析】由已知条件列方程组，求出公差和首项，从而可求出通项公式和前项和公式 n 【详解】解：设等差数列的公差为， {}n a d 因为，，30S =46a =所以，解得，113230236a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=⎩133a d =-⎧⎨=⎩所以，1(1)33(1)36n a a n d n n =+-=-+-=-， 21(1)3(1)393222n n n n n n nS na d n ---=+=-+=故选：BC11．若方程所表示的曲线为，则下列命题正确的是（）22131x y t t -=--C A ．若为椭圆，则 B ．若为双曲线，则或C 13t <<C 3t >1t <C ．曲线可能是圆D ．若为焦点在轴上的椭圆，则C C y 12t <<【答案】BC【解析】根据方程所表示的曲线为的形状求出的取值范围，进而可判断各选项的22131x y t t -=--C t 正误.【详解】对于A 选项，若为椭圆，则，解得，A 选项错误；C 301031t t t t ->⎧⎪-<⎨⎪-≠-⎩132t t <<⎧⎨≠⎩对于B 选项，若为双曲线，则，即，解得或，B 选项正C ()()310t t --<()()130t t -->1t <3t >确；对于C 选项，若曲线为圆，则，解得，C 选项正确；C 301031t t t t ->⎧⎪-<⎨⎪-=-⎩2t =对于D 选项，若为焦点在轴上的椭圆，则，解得，D 选项错误.C y 301013t t t t ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩23t <<故选：BC.12．已知函数的图象在处的切线方程为，则（） ()ln f x x ax =-1x =0x y b ++=A ． 2a =B ．1b =C ．的极小值为 ()f x ln 21--D ．的极大值为 ()f x ln 21--【答案】ABD【分析】求出导数，表示出切线方程，即可求出a 、b ，利用单调性求出极大值. 【详解】因为，所以.又因为函数的图象在处的切线方程为()ln f x x ax =-()1f x a x'=-()f x 1x =，所以，，解得，. 0x y b ++=()11f a b =-=--()111f a '=-=-2a =1b =所以AB 正确；由，令，得在单增，令，得在单()1122x f x x x -'=-=()0f x ¢>()f x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭减，知在处取得极大值，.无极小值.故选ABD.()f x 12x =11ln 1ln 2122f ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭三、填空题13．圆被直线所截得的弦长为______． 222280x y x y ++--=20x y ++=【答案】【分析】首先将圆的方程化为标准式，求出圆心坐标与半径，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再利用垂径定理及勾股定理计算可得；【详解】解：圆，即，圆心为，半径222280x y x y ++--=()()221110x y ++-=()1,1-r =心到直线的距离，所以弦长为()1,1-20x y ++=d =故答案为：14．已知等比数列的前项和为，且，，则________.{}n a n n S 1352a a +=2454a a +=n n S a =【答案】21n -【分析】根据已知条件求出数列的首项和公比，利用等比数列的通项公式与求和公式可求得结{}n a 果.【详解】设等比数列的公比为，由题意可得，解得，{}n a q ()()21312241512514a a a q a a a q q ⎧+=+=⎪⎪⎨⎪+=+=⎪⎩1212a q =⎧⎪⎨=⎪⎩所以，，， 114222n n n a -⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭()121242114112212n n nn n S ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪-⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-因此，. ()42122124nnn n nn S a -=⋅=-故答案为：.21n -15．若函数在区间上恰有一个极值点，则的取值范围是___________. 2()f x x ax =-+()1,0-a 【答案】()2,0-【分析】根据二次函数的对称性进行求解即可. 【详解】二次函数的对称轴为：，要想函数在区间2()f x x ax =-+22a ax x =-⇒=-2()f x x ax =-+上恰有一个极值点，只需， ()1,0-10202aa -<<⇒-<<故答案为：()2,0-16．若函数在区间内是增函数，则实数a 的取值范围是______．()31f x x ax =-+()1,+∞【答案】3a ≤【分析】等价于在上恒成立，再求函数的最值得解.23a x ≤()1,+∞【详解】因为函数在区间内是增函数，()31f x x ax =-+()1,+∞所以在上恒成立，()230f x x a '=-≥()1,+∞故在上恒成立， 23a x ≤()1,+∞则． 3a ≤故答案为：(],3-∞四、解答题17．(1)若双曲线和椭圆，求此双曲线的标准方2215x y +=0y -=程；(2)过点的直线交曲线于A ，B 两点，若，求直线的方程．()0,1M l 24x y =8AB =l 【答案】(1)；2213y x -=(2)或. 10x y -+=10x y +-=【分析】（1）求得椭圆的焦点，可设双曲线的标准方程为，，进而由2222221x y a b -=()22,0a b >22c =渐近线可求得的关系，即可求双曲线的标准方程；22,a b （2）设出直线l 的方程，与抛物线的方程联立，然后利用抛物线的定义求出焦点弦，即可列出关于k 的方程，求解即可得到答案．【详解】（1）记椭圆方程为，则，，2222111x y a b +=()110a b >>215a =211b =所以，所以，所以椭圆的焦点坐标为，.2221114c a b =-=12c =()2,0()2,0-由已知可设双曲线的标准方程为，且，2222221x y a b -=()22,0a b >22c =双曲线的渐近线方程为， 22b y x a =±，所以， 0y -=22b a =22b =又，即，所以，，222222a b c +=2244a =221a =222233b a ==所以双曲线的标准方程为.2213y x -=（2）由已知可得，曲线轨迹为抛物线，，且是抛物线的焦点， 2p =()0,1M 设，，则由抛物线的定义可知，，.()11,A x y ()22,B x y 11AM y =+21BM y =+当直线斜率不存在时，直线方程为，直线与抛物线只有一个交点，与已知矛盾，不合l 0x =l ()0,0题意；当直线的斜率存在时，设直线的斜率为k ，则直线的方程为， l l l 1y kx =+设，，()11,A x y ()22,B x y 联立直线与抛物线的方程，可得，241x y y kx ⎧=⎨=+⎩()224210y k y -++=， ()()22224241610k k k ∆=+-=+≥当时，可得，设，则，此时不满足，0k =121y y ==12x =-22x =AB 4=所以，则恒成立.0k ≠0∆>由韦达定理可得，，又，，21242y y k +=+11AM y =+21BM y =+所以， 1228AB AM BM y y =+=++=所以，即，解得.126y y +=2426k +=1k =±当时，直线的方程为，即； 1k =l 1y x =+10x y -+=当时，直线的方程为，即.1k =-l 1y x =-+10x y +-=综上所述，直线的方程为或.l 10x y -+=10x y +-=18．已知数列中，，的前项和为，且数列是公差为的等差数列．{}n a 12a =-{}n a n n S {}2n S n -3-(1)求； n S (2)求．n a 【答案】(1)23n S n n =-(2) 24n a n =-【分析】（1）利用等差数列的通项公式即可求得； n S （2）利用与的关系式即可得解． n a n S 【详解】（1）由题意，数列是公差为的等差数列，{}2n S n-3-又因为，所以，12a =-211113S a -=-=-故，则.()23313n S n n n -=---=-23n S n n =-（2）已知，12a =-当时，，2n ≥2213(1)3(1)24n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦经检验：满足， 12a =-24n a n =-所以．24n a n =-19．已知函数． ()ln f x x ax a =-+(1)若，求函数的极值； 1a =()f x (2)求函数的单调区间． ()f x 【答案】(1)极大值为，无极小值 0(2)答案见解析【分析】（1）先对求导，利用导数与函数性质的关系得到的单调性，从而求得的()f x ()f x ()f x 极值；（2）求出的导数，分类讨论的范围，即可求出的单调区间．()f x a ()f x【详解】（1）当时，， 1a =()()ln 10f x x x x =-+>则， ()111xf x x x-'=-=令，得；令，得， ()0f x ¢>01x <<()0f x '<1x >所以在上单调递增，在上单调递减， ()f x ()0,1()1,+∞故在处取得极大值，无极小值. ()f x 1x =()10f =（2）因为， ()ln f x x ax a =-+()0x >则， ()11ax f x a x x-'=-=当时，恒成立，所以在上单调递增，0a ≤()0f x ¢>()f x ()0,∞+当时，令，得；令，得；0a >()0f x ¢>10x a <<()0f x '<1x a >所以在上单调递增，在上单调递减，()f x 10,a ⎛⎫⎪⎝⎭1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭综上：当时，的单调递增区间为；0a ≤()f x ()0,∞+当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.0a >()f x 10,a ⎛⎫⎪⎝⎭1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭20．已知为等差数列，前n 项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，{}n a *N ()n S n ∈{}n b ，，． 2312b b +=3412b a a =-11411S b =(1)求和的通项公式； {}n a {}n b (2)求数列的前n 项和．{}2n n a b *(N )n ∈【答案】(1)，32n a n =-2nn b =(2) 2(34)216n n +-+【分析】（1）设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ．通过，求出q ，得{}n a {}n b 2312b b +=到，然后求出公差d ，推出．2nn b =32n a n =-（2）设数列的前n 项和为，利用错位相减法，转化求解数列的前n 项和即可． {}2n n a b n T {}2n n a b 【详解】（1）设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ．{}n a {}n b由已知，得，2312b b +=21()12+=b a q 而，所以．12b =260q q +-=又因为，解得．0q >2q =所以，．2n n b =由，可得①，3412b a a =-138d a -=由，可得②，11411S b =1516a d +=联立①②，解得，，11a =3d =由此可得．32n a n =-所以，的通项公式为，的通项公式为．{}n a 32n a n =-{}n b 2n n b =（2）设数列的前n 项和为，{}2n n a b n T 由，有，262n a n =-2342102162(62)2n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯ ，2341242102162(68)2(62)2n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ 上述两式相减，得23142626262(62)2n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯ 1212(12)4(62)2(34)21612n n n n n ++⨯-=---⨯=----．得． 2(34)216n n T n +=-+所以，数列的前n 项和为．{}2n n a b 2(34)216n n +-+21．已知公比大于1的等比数列满足，．{}n a 2420a a +=38a =(1)求的通项公式；{}n a (2)求.()1122311n n n a a a a a a -+-++-L 【答案】(1)2n n a =(2) 2382(1)55n n +--【分析】（1）根据题意，列方程组，解得和，即可得到答案. 32411231208a a a q a q a a q ⎧+=+=⎨==⎩1a q（2）根据条件，可知，是以为首项，为公比的等比数列前项()1122311n n n a a a a a a -+-++-L 84-n 和，再由等比数列求和公式求解即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为，{}n a q ()1q >，解得. 32411231208a a a q a q a a q ⎧+=+=⎨==⎩122a q =⎧⎨=⎩所以.1222n n n a -=⋅=（2）令，则，()111n n n n b a a -+=-1128b a a ==所以， 12111(1)224(1)22n n n n n n n n b b +++-+-⋅⋅=--=⋅⋅所以数列是等比数列，公比为，首项为，{}n b 4-8. ()()()2311223181482111455n n n n n n a a a a a a +-+⎡⎤--⎣⎦-++-==--⋅+ 22．已知.()()ln 1f x x a x =+-(1)讨论的单调性；()f x (2)当有最大值，且最大值大于时，求的取值范围.()f x 22a -a 【答案】(1) 时 ,在是单调递增；时,在单调递增，在0a ≤()0f x ¢>()f x ()0,∞+0a >()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减.（2）. 1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()0,1【详解】试题分析：（Ⅰ）由,可分,两种情况来讨论；（II ）由（I ）知当()1f x a x'=-0a ≤0a >时在无最大值,当时最大值为因此0a ≤()f x ()0,∞+0a >()f x 1ln 1.f a a a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭.令,则在是增函数,当时,,122ln 10f a a a a ⎛⎫>-⇔+-< ⎪⎝⎭()ln 1g a a a =+-()g a ()0,∞+01a <<()0g a <当时,因此a 的取值范围是.1a >()0g a >()0,1试题解析：（Ⅰ）的定义域为,,若,则,在是单调递增；若()f x ()0,∞+()1f x a x '=-0a ≤()0f x ¢>()f x ()0,∞+,则当时,当时,所以在单调递增,在0a >10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x ¢>1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减.（Ⅱ）由（Ⅰ）知当时在无最大值,当时在取得最大值,最大值为0a ≤()f x ()0,∞+0a >()f x 1x a=因此.令,则111ln 1ln 1.f a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭122ln 10f a a a a ⎛⎫>-⇔+-< ⎪⎝⎭()ln 1g a a a =+-()g a 在是增函数,,于是,当时,,当时,因此a 的取值范围是()0,∞+()10g =01a <<()0g a <1a >()0g a >.()0,1【解析】本题主要考查导数在研究函数性质方面的应用及分类讨论思想.。

黑龙江省哈尔滨师范大学附属高二上学期期末考试数学试卷有答案

黑龙江省哈尔滨师范大学附属高二上学期期末考试数学试卷考试时间：120分钟试卷满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.“1x =”是“21x =”的A .充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.命题2:,10p x R x ∀∈+≥的否定是A .2:,10p x R x ⌝∀∈+< B. 2:,10p x R x ⌝∃∈+< C. 2:,10p x R x ⌝∃∈+≥ D. 2:,10p x R x ⌝∃∈+≤3．双曲线221916x y -=的渐近线方程为 A .169y x =±B.916y x =±C.34y x =±D. 43y x =± 4．方程221410x y k k+=--表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是 A . (4,)+∞ B. (4,7) C.(7,10) D. (4,10) 5．同时掷两个骰子，则向上的点数和为8的概率是 A .16 B.736 C.536D.14 6．根据秦九韶算法求1x =-时432()4361f x x x x x =+-+-的值，则2v 为 A .1- B.5- C.21 D. 22-7．在长方体1111ABCD A B C D -中，13,4,5AB AD AA ===，O 为1D CO ABC -的体积为A .5 B.10 C.15 D.30 8．右面的程序框图表示求式子137153163⨯⨯⨯⨯⨯的值，则判断框内可以填的条件为A .31?i ≤ B.63?i ≤ C.63?i ≥ D.127?i ≤9．已知X 和Y 是两个分类变量，由公式22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++算出2K 的观测值k 约为7.822，根据下面的临界值表可推断A .推断“分类变量X 和Y 没有关系”犯错误的概率上界为0.010 B.推断“分类变量X 和Y 有关系”犯错误的概率上界为0.010 C.有至少99%的把握认为分类变量X 和Y 没有关系 D.有至多99%的把握认为分类变量X 和Y 有关系10．在四面体ABCD 中，AB AD ⊥，1AB AD BC CD ====，且平面ABD ⊥平面BCD ，M 为AB 中点，则CM 与平面ABD 所成角的正弦值为 A11．三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，11AA AB AC ===，AB AC ⊥，N 是BC 的中点，点P 在11A B 上，且满足111A P A B λ=，直线PN 与平面ABC 所成角θ的正切值取最大值时λ的值为A.12B.2C.2D.512．已知,A B 是抛物线24y x =上异于顶点O 的两个点，直线OA 与直线OB 的斜率之积为定值4-，F 为抛物线的焦点，,AOF BOF ∆∆的面积分别为12,S S ，则2212S S +的最小值为A. 8B. 6C. 4D. 2 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．在集合{(,)|0 5 , 04}x y x y ≤≤≤≤且内任取一个元素，能使代数式34120x y +-≥的概率为__________14．直线:10l x y -+=与抛物线2y x =交于,A B 两点，若点(1,2)M ，则MAMB 的值为__________ 15．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，1AB BC PA ===，E 为PD 的中点，点N 在面PAC 内，且NE ⊥平面PAC ，则点N 到AB 的距离为 16．下列关于回归分析的说法正确的是 (填上所有正确说法的序号)①相关系数r 越小，两个变量的相关程度越弱；②残差平方和越大的模型，拟合效果越好；③用相关指数2R来刻画回归效果时，2R 越小，说明模型的拟合效果越好；④用最小二乘法求回归直线方程，是寻求使0.01频率组距21()niii y bx a =--∑取最小值时的,a b 的值；⑤在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，模型拟合精度越高.三、解答题（本大题共6小题，17题满分10分，18、19、20、21、22题每题12分，共70分）17.某学校从参加高一年级期末考试的学生中抽出20名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[)50,40，[)60,50，…，[]100,90后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：（I ）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图； (Ⅱ)估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；(Ⅲ) 从成绩是80分以上（包括80分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率.18.如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，2,CA CB CD BD AB AD ======（I ）求证：AO ⊥平面BCD ；（II ）求点E 到平面ACD 的距离.19.某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料:该兴趣小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取2组,用剩下的4组数据求线性回归方程,再用被选取的2组数据进行检验．(Ⅰ)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；(Ⅱ)若选取的是1月与6月的两组数据,请根据2至5月份的数据,求出y 关于x 的线性回归方程y b x a ∧∧∧=+； (Ⅲ)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?B(参考公式: 121()()()niii nii x x y y b x x ∧==--=-∑∑，a y b x ∧∧=-)20.如图，三棱柱111ABC A B C -侧棱垂直于底面,4AB =,3AC BC ==,D 为AB 的中点. (Ⅰ)求证：1//AC 平面1B CD(Ⅱ) 若11AB A C ⊥,求二面角11A CD B --的余弦值.21.已知椭圆1C ：2214x y +=的左、右焦点分别是1F 、2F ，Q 是椭圆外的动点，满足1|| 4.FQ =点P 是线段1F Q 与该椭圆1C 的交点，点T 在线段2F Q 上，并且满足.0||,022≠=⋅TF TF (Ⅰ)求点T 的轨迹2C 的方程；(Ⅱ) 过原点的直线l 与曲线12,C C 分别交于点,S R （,S R 不重合），设12SF F ∆，12RF F ∆的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的取值范围. 22.已知抛物线C 顶点为O(0,0),焦点为F(1,0),A 为C 上异于顶点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B,交x 轴的正半轴于点D,且有FA FD =，延长AF 交曲线此抛物线准线交于点Q . (Ⅰ)求抛物线的C 的方程；(Ⅱ)设点AB E 、、的纵坐标分别为A y 、B y 、E y ，求A BA Ey y y y --(Ⅲ)求AEQ ∆面积的最小值.ABC1A 1B 1C数学试卷答案一、选择题1.A2.B3.D4.C5.C6.B7.A8.B9.B 10.D 11.A 12.D 二、填空题13. 71014. 215. 16. ④⑤三、解答题17.（Ⅰ）因为各组的频率和等于1,故第四组的频率：41(0.0250.01520.010.005)100.3f =-+⨯++⨯=第四组小矩形的高为0.3100.03÷= …2 （Ⅱ）这次考试的及格率为10.10.150.75--= …4 利用组中值估算抽样学生的平均分123456455565758595f f f f f f ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=450.1550.15650.15750.3850.25950.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯＝71估计这次考试的平均分是71分 (6)（Ⅲ）[80,90) ，[90,100]”的人数是5,1。

黑龙江省高二上学期期末数学试题(解析版)

一、单选题1．数1与4的等差中项，等比中项分别是（） A ．，B ．， C ．， D ．，52±2±522±52252±2【答案】B【分析】利用等差、等比中项的性质求对应中项即可. 【详解】若等差中项为m ，则，可得； 2145m =+=52m =若等比中项为n ，则，可得； 2144n =⨯=2n =±故选：B2．直线的倾斜角的大小为（） :10l x +=A ． B ． C ． D ．30 60 120 150 【答案】D【分析】根据斜率等于倾斜角的正切值，结合倾斜角的范围即可求解.【详解】由可得的斜率为， :10l x ++=y =l k =设直线的倾斜角为，则 l αtan α=因为，所以， 0180α≤<o 150α= 故选：D.3．已知直线在轴上的截距为3，在轴上的截距为-2，则的方程为（） l x y l A ．3x -2y -6=0 B ．2x -3y +6=0 C ．2x -3y -6=0 D ．3x -2y +6=0【答案】C【分析】根据直线方程的截距式即可求解. 【详解】由题意可得直线的方程为， l 132x y+=-整理可得2x -3y -6=0. 故选：C4．经过直线与的交点，且与直线垂直的直线方程为（） 20x y -=60x y +-=210x y +-=A ． B ． C ． D ．280x y +-=260x y --=2100x y +-=260x y -+=【答案】D【分析】根据题意，联立方程组交点为，设所求直线方程为，把点代入直线(2,4)P 20x y m -+=P ，求得，即可求解.20x y m -+=6m =【详解】由题意，联立方程组，解得，即交点为，2060x y x y -=⎧⎨+-=⎩2,4x y ==(2,4)P 设与直线垂直的直线方程为， 210x y +-=20x y m -+=把点代入，即，解得， (2,4)P 20x y m -+=280-+=m 6m =即所求直线方程为. 260x y -+=故选：D.5．直线y ＝k (x －2)＋3必过定点，该定点坐标是（） A ．(－2，3) B ．(2，3) C ．(3，－2) D ．(3，2)【答案】B【分析】将直线方程化为点斜式可得答案.【详解】将直线方程化为点斜式得y －3＝k (x －2)，所以该直线过定点(2，3)，故选：B.6．已知数列是等差数列，满足，则（） {}n a 120214a a +=1011a =A ． B ． C ． D ．4202-【答案】B【分析】利用等差数列的性质计算即可判断作答.【详解】因数列是等差数列，又，则，解得， {}n a 120214a a +=10111202124a a a =+=10112a =所以. 10112a =故选：B7．若直线的方向向量为,平面的法向量为,则l (1,2,3)a =- α(3,6,9)n =--A ．B ．C ．D ．与相交l ⊂α//l αl α⊥l α【答案】C【分析】由已知得，从而得到l ⊥．a n Aα【详解】解：∵直线l 的方向向量为， ()1,2,3a =-平面的法向量为， α()3,6,9n =--∴，∴，13a n =- a n A∴． l α⊥故选C ．【点睛】本题考查直线与平面的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．8．已知等差数列{an }的前n 项和为Sn ，若S 8＝16，a 6＝8，则数列{an }的公差为（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】由等差数列前n 项和公式及等差数列性质得S 84×（a 1+a 8）＝4×（a 3+a 6）()1882a a ⨯+==＝16，从而求公差．【详解】解：由题意知，S 84×（a 1+a 8）＝4×（a 3+a 6）＝16，故a 3+a 6＝4，()1882a a ⨯+==而a 6＝8，故a 3＝﹣4，故d 4， 6363a a -==-故选：D ．9．已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆，其长轴长为4，焦距为2，则的方程为（）C C A ．B ．或2211612x y +=2211612x y +=2211612y x +=C ．D ．或22143x y +=22143x y +=22143y x +=【答案】D【分析】由椭圆中a ，b ，c 的关系求出短半轴长b的值，再按焦点位置分别写出所求方程. 【详解】因椭圆中心在原点，其长轴长为4，焦距为2，则，，C 2a =1c =b ==当椭圆的焦点在轴上时，椭圆方程为：，x 22143x y+=当椭圆的焦点在轴上时，椭圆方程为：．y 22143y x +=故选：D10．为等比数列的前项和，且，，则的值为（） n S {}n a n 33a =26S =5a A ．B ．或C ．或D ．或343123341234【答案】C【分析】根据，求出公比为即可.33a =26S =q 【详解】设公比为，则解得或，故或．q 211136a q a a q ⎧=⎨+=⎩12q =-1q =25334a a q ==53a =故选：C.11．已知等差数列的公差为，前项和为，且，，以下命题不正确的是{}n a d n n S 48S =612S =-（）A ．的最大值为12B ．数列是公差为的等差数列n S n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭2-C ．是4的倍数 D ．n a 50S <【答案】D【分析】根据已知结合等差数列的通项公式和前项和公式及性质分析各选项即可判断． n 【详解】设等差数列的首项为，则由，得{}n a 1a 46812S S ==-，，解得, 1143482656122a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=-⎪⎩,a d ==-184所以等差数列的通项公式为{}n a ， (1)8(1)(4)4124(3)n a a n d n n n =+-=+-⨯-=-+=-1故C 正确；等差数列的前项和为{}n a n ，()(8124)52521022222nn n n a a n n S n n n ++-⎛⎫===-+=--+ ⎪⎝⎭12由二次函数的性质知，当取与最接近的整数即或时，取最大值为 n 5223n S ，故A 正确；22322+102=12S S ==-⨯⨯，故D 不正确；25025105S =-⨯+⨯=， 210210n S n n n n n -+==-+2所以是关于的一次函数，n S n ⎧⎫⎨⎬⎭⎩n 即数列是公差为的等差数列，故B 正确n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭2-故选：D ．二、概念填空12．直线与椭圆的位置关系是( )1y x =+2212y x +=A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．无法确定【答案】C【详解】联立，则 2221321012y x x x y x =+⎧⎪⇒+-=⎨+=⎪⎩2243160∆=+⨯=>所以直线与椭圆相交故选：C三、填空题13．已知点在焦点为、的椭圆上，则______．P 1F 2F 221169x y +=12PF PF +=【答案】8【分析】根据椭圆的定义计算可得；【详解】解：因为点在焦点为、的椭圆上，所以，所以，P 1F 2F 221169x y +=216a =4a =所以， 1228PF PF a +==故答案为：814．已知直线平面，且的一个方向向量为，平面的一个法向量为，//l αl ()2,,1a m =α11,,22n ⎛⎫= ⎪⎝⎭则______. m =【答案】8-【分析】由题意可得，根据线面平行可得，则，进而得到的值.a n ⊥=0a n ⋅ m 【详解】由题意，知，a n ⊥∴，即，∴.0a n ⋅= ()12,,11,,202m ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭8m =-故答案为：8-【点睛】本题主要考查了直线与平面的位置关系，根据线面平行、线面垂直的性质得到平面的法向量与平行于平面的直线垂直，考查了空间向量垂直的坐标表示.15．已知数列的前n 项和，则的通项公式是__________．{}()n a n *∈N 231n S n =-{}n a 【答案】 2,163,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩【分析】根据计算可得；11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩【详解】解：因为数列的前n 项和，当时，当{}()n a n *∈N 231n S n =-1n =2113112a S ==⨯-=时，，当时，不成立，所以2n ≥()2213131163n n n a S S n n n -==-+--=--1n =63n a n =-；2,163,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩故答案为： 2,163,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩16．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为________．2211x y m m +=-y m 【答案】1(0,)2【分析】根据题意，由椭圆的标准方程的特点，结合已知条件列出不等式，求解即可得出实数的m 取值范围.【详解】解：由题可知，方程表示焦点在轴上的椭圆，2211x y m m +=-y 可得，解得：，10m m ->>102m <<所以实数的取值范围为：.m 1(0,)2故答案为：.1(0,2【点睛】本题考查椭圆的标准方程的特点，是基础知识的考查，属于基础题.17．已知椭圆的两个焦点分别为，，点为椭圆上一点，且()2222:101x y C m m m +=>-1F 2F P 12PF F △.【答案】22143y x +=【分析】由.12PF F △【详解】∵∴ 12PF F△210bc m ⎧==⎪⎨⎪->⎩，则， 24m =22:134x y C +=故答案为:22143y x +=四、解答题18．中, , 边上的高所在直线的方程为,边上的中线所在ABC A (0,1)A AB CD 240x y +-=AC BE 直线的方程为 . 230x y +-=(1)求直线的方程; AB (2)求直线的方程;BC【答案】(1)； 210x y -+=(2)． 2370x y +-=【分析】（1）由所在直线的方程，利用直线垂直的充要条件求出直线的斜率，再由点斜式CD AB 可得出的直线方程；AB （2）先求出点，点的坐标，再根据两点式写出的直线方程. B C BC 【详解】（1）由已知得直线的斜率为,AB 2∴边所在的直线方程为，即.AB ()120y x -=-210x y -+=（2）由,得. 210230x y x y -+=⎧⎨+-=⎩122x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩即直线与直线的交点为.AB BE 1,22B ⎛⎫⎪⎝⎭设,(),C m n 则由已知条件得, 240123022m n m n +-=⎧⎪⎨+⋅+-=⎪⎩解得, 21m n =⎧⎨=⎩∴.()2,1C ∴边所在直线的方程为,BC 1212122y x --=--即.2370x y +-=19．焦点在轴上的椭圆的方程为，点在椭圆上.x 2214x ym+=P （1）求的值.m（2）依次求出这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率. 【答案】（1）2（2）长轴长4、短轴长、焦距【分析】（1）根据题意，代入点，即可求解.P （2）由（1），写出椭圆方程，求解，根据椭圆长轴长、短轴长、焦距、离心率定义，即可求,,a b c 解.【详解】（1）由题意，点在椭圆上，代入，P，解得 211m=2m =（2）由（1）知，椭圆方程为，则22142x y +=2,a b c ===椭圆的长轴长；’ 24a =短轴长； 2b =焦距； 2c =离心率. c e a ==【点睛】本题考查（1）代入点求椭圆方程（2）求解长轴长、短轴长、焦距、离心率；考查概念辨析，属于基础题.20．已知数列是公差不为零的等差数列，，且． {}n a 35a =742S =(1)求数列的通项公式； {}n a (2)设，求数列的前项和．11n n n b a a +=⋅{}n b n n T 【答案】(1) 2n a n =+(2) 39n nT n =+【分析】（1）根据等差数列的性质即可求解出答案；（2）由（1）可得，再利用裂项相消法求和即可求出答案． 1123n b n n =-++【详解】（1）解：，即， 742S = 174()77422a a a +⨯==故， 46a =又，35a = ，，431d a a ∴=-=13a =．3(1)12n a n n ∴=+-⨯=+（2）解：， 11111(2)(3)23n n n b a a n n n n +===-⋅++++ 12111111344523n n T b b b n n ∴=+++=-+-++-++ ． 113339nn n =-=++即 39n nT n =+21．记为等差数列的前n 项和，已知，． n S {}n a 17a =-315S =-(1)求的通项公式； {}n a (2)求的最小值． n S 【答案】(1) 29n a n =-(2) 16-【分析】（1）利用等差数列前项和公式求出公差，进而得出通项公式； n （2）利用二次函数的性质求解即可．【详解】（1）设公差为，， d 17a =-∴，解得， 353(31221331)(7)S d d ⨯-⨯--+==-+=2d =∴． ()1129n a a n d n +-=-=（2）∵，， 17a =-2d =∴＝， 21(1)82n n n S na d n n -=+=-()2164n --∴当时，最小，最小值为．4n =n S 16-22．如图，在直三棱柱中，为的中点.111ABC A B C -122,,AC AA AB BC D ===AC（1）证明：平面.1DC ⊥1A BD （2）若，求二面角的余弦值. 1BD =11B DB C --【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）由等腰三角形有，结合面面垂直的性质易得面，再由线面垂BD ⊥AC BD ⊥11ACC A 直的性质有，由勾股定理知，即可证平面.BD ⊥1DC 1A D ⊥1DC 1DC ⊥1A BD （2）过D 作，构建以为原点，、、为x 、y 、z 轴正方向的空间直角坐标Dz AC ⊥D DC DB Dz系，标注、、、的坐标，进而求面、面的法向量，利用法向量夹角与二面角D 1C 1B B 1BDB 11C DB夹角的关系求二面角的余弦值即可. 【详解】（1）∵为的中点， ,AB BC D =AC ∴，BD ⊥AC ∵直三棱柱中，面面，面，面面， 111ABC A B C -11ACC A ⊥ABC BD ⊂ABC 11ACC A ABC AC =∴面，又面，即，BD ⊥11ACC A 1DC ⊂11ACC A BD ⊥1DC 由题设易知：，故，又，111AA AD CD CC ====11A D C D ==112AC AC ==∴，则，又， 2221111A D C D AC +=1A D ⊥1DC 1A D ⋂BD D =∴平面.1DC ⊥1A BD （2）过D 作，由（1）可构建以为原点，、、为x 、y 、z 轴正方向的空间直Dz AC ⊥D DC DB Dz角坐标系，如下图示：∴由题意：，，，，(0,0,0)D 1(1,0,1)C 1(0,1,1)B (0,1,0)B ∴，，，1(0,1,1)DB = 1(1,0,1)DC = (0,1,0)DB =显然，是面的一个法向量，(1,0,0)m =1BDB 若是面的一个法向量，则，令，则，(,,)n x y z = 11C DB 1100DB n y z DC n x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩1x =(1,1,1)n =- ∴，由图知：钝二面角的余弦值为cos ,||||m n m n m n ⋅<>==11B DB C --。

黑龙江高二高中数学期末考试带答案解析

黑龙江高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知复数,则的值为（）A．1B．2C．-2D．2.过点且平行于直线的直线方程为（）A．B．C．D．3.直线和圆的位置关系是（）A．相离B．相切或相交C．相交D．相切4.下列命题中：①若为两个命题，则“且为真”是“或为真”的必要不充分条件；②若为：∈R，,则为：x∈R，;③若,则. 所有正确命题的个数为（）A．0B．1C．2D．35.下列推理：①由为两个不同的定点，动点满足，得点的轨迹为双曲线②由，求出猜想出数列的前项和的表达式③由圆的面积，猜想出椭圆=1的面积④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇。

其中是归纳推理的命题个数为（）A．0B．1C．2D．36.下列关于函数的判断：①的解集是②是极小值，是极大值；③没有最小值，也没有最大值.其中判断正确的命题个数为（）A．0B．1C．2D．37.设函数，若，则关于的方程的解的个数为（）A．0B．1C．2D．38.当时，不等式恒成立，则的取值范围为（）A．B．C．D．9.已知偶函数满足条件：当时，恒有，且时，有则的大小关系为（）A．B．C．D．10.设是三个不重合的平面，是不重合的直线，给出下列命题：①若;②若;③若则;④若内的射影互相垂直，则，其中错误命题有 ( )A．1个B．2个C．3个D．4个11.在平面直角坐标系中，已知△顶点（-4，0）和（4，0），顶点在椭圆上，则= （）A．B．C．1D．12.已经一组函数，其中是集合中任一元素，是集合中任一元素.从这些函数中任意抽取两个，其图象能经过相同的平移后分别得到函数的图象的概率是( )A．B．C．D．二、填空题1.函数同时满足下列条件：①是奇函数；②在［0，1］上是增函数；③在［0，1］上最小值为0,则= （写出一个你认为正确的即可）.2.用二分法求方程在区间［2，3］内的实根，取区间中点,那么下一个有实根的区间是 .3.一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为，底面周长为3，那么这个球的体积为 .4.给出一个如图所示的流程图，若要使输入的值与输出的值相等，则这样的值的个数是 .三、解答题1.(本小题满分10分) 设命题命题若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.2.(本小题满分12分)数列是首项的等比数列，且成等差数列.(I)求数列的通项公式；(II)设为数列的前项和，求.3.(本小题满分12分) 一几何体的三视图如图所示，,A 1A=,AB=,AC=2,A 1C 1=1,在线段上且=. (I)证明:平面⊥平面；(II)求二面角的余弦值.4.（本小题满分12分）学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中任选2人．设为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且＝． (Ⅰ)求文娱队的人数；(Ⅱ)写出的概率分布列并计算． 5.(本小题满分12分) 已知双曲线C ：的右焦点为，过点作直线交双曲线C 的右支于两点，试确定的范围，使以为直径的圆过双曲线的中心. 6.(本小题满分12分) 已知函数在上是增函数，在上为减函数.(Ⅰ)求的表达式； (Ⅱ)若当时，不等式恒成立，求实数的值；（Ⅲ）是否存在实数使得关于的方程在区间［0，2］上恰好有两个相异的实根，若存在，求实数的取值范围.黑龙江高二高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.已知复数,则的值为（） A ．1B ．2C ．-2D ．【答案】B【解析】此题考查复数的运算解：答案：B2.过点且平行于直线的直线方程为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【考点】直线的一般式方程；两条直线平行的判定．分析：由题意可先设所求的直线方程为x-2y+c=0再由直线过点（-1，3），代入可求c 的值，进而可求直线的方程解：由题意可设所求的直线方程为x-2y+c=0 ∵过点（-1，3）代入可得-1-6+c="0" 则c=7 ∴x-2y+7=0 故选A ．3.直线和圆的位置关系是（）A．相离B．相切或相交C．相交D．相切【答案】B【解析】此题考查直线与圆的位置关系解：由圆的一般方程得圆心坐标为（0,1），半径r=1.圆心到直线l的距离，故直线与圆相切或相交.答案：B4.下列命题中：①若为两个命题，则“且为真”是“或为真”的必要不充分条件；②若为：∈R，,则为：x∈R，;③若,则. 所有正确命题的个数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】本题考查命题间的关系以及充要条件的判断若为两个命题，当“或为真”时，可得“、中至少的一真”，当“、中一真一假”时不能得到“且为真”，故“且为真”不是“或为真”的必要不充分条件，即①错；对于②若为：∈R，,则为：x∈R，;是一个真命题；对于③若,则，则，即；同时，，即，所以正确；即本题中的②③均为真命题故正确答案为5.下列推理：①由为两个不同的定点，动点满足，得点的轨迹为双曲线②由，求出猜想出数列的前项和的表达式③由圆的面积，猜想出椭圆=1的面积④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇。

黑龙江高二高中数学期末考试带答案解析

黑龙江高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.（双鸭山）已知复数，则（）A．B．C．D．2.（建三江）已知函数的图像在点处的切线方程是，则=（）A．B．C．D．3.以抛物线的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（）A．B．C．D．4.要完成下列两项调查：①从某社区户高收入家庭、户中等收入家庭、户低收入家庭中选出户，调查社会购买能力的某项指标；②从某中学的名艺术特长生中选出名调查学习负担情况．宜采用的方法依次为（）A．①简单随机抽样调查，②系统抽样B．①分层抽样，②简单随机抽样C．①系统抽样，②分层抽样D．①②都用分层抽样5.下图程序运行的结果是（）A．B．C．D．6.“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7.下列说法错误的是（）A．是或的充分不必要条件B．若命题，则C．线性相关系数的绝对值越接近，表示两变量的相关性越强．D．用频率分布直方图估计平均数，可以用每个小矩形的高乘以底边中点横坐标之后加和8.椭圆的两个顶点为，且左焦点为，是以角为直角的直角三角形，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．9.从数字中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个数大于的概率为（）A．B．C．D．10.下列各数中最小的一个是（）A．B．C．D．11.数的最大公约数是（）A．B．C．D．12.如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在五次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为（）A．B．C．D．13.已知双曲线的离心率，令双曲线两条渐近线构成的角中，以实轴为角分线的角为，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题1.（双鸭山）已知方程，若此方程表示圆，则的范围是．2.（建三江）函数在处取得极小值，则= ．3.甲、乙两台机床同时生产一种零件，根据已知数据求得甲、乙机床的次品数的平均值分别为，方差分别为，则性能比较好的机床是．4.设不等式组表示的平面区域为，若在区域内随机取一点，则此点到坐标原点的距离大于的概率是．5.①命题“”的否定是“”；②已知为两个命题，若“”为假命题，则“”为真命题；③“”是“”的充分不必要条件；④“若，则且”的逆否命题为真命题．其中所有真命题的序号为．三、解答题1.已知命题：函数是上的减函数；命题：不等式恒成立．若是真命题，求实数的取值范围．2.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：零件的个数（个）2345加工的时间（小时）（1）求出关于的线性回归方程，并在坐标系中画出回归直线；（2）试预测加工个零件需要多少小时？（注：，，，）3.为了了解小学五年级学生的体能情况，抽取了实验小学五年级部分学生进行踢毽子测试，将所得的数据整理后画出频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前三个小组的频率分别是，第一小组的频数是．（Ⅰ）求第四小组的频率和参加这次测试的学生人数；（Ⅱ）在这次测试中，问学生踢毽子次数的中位数落在第几小组内？（Ⅲ）在这次跳绳测试中，规定跳绳次数在以上的为优秀，试估计该校此年级跳绳成绩的优秀率是多少？4.微信是现代生活进行信息交流的重要工具，据统计，某公司名员工中的人使用微信，其中每天使用微信时间在一小时以内的有人，其余每天使用微信在一小时以上．若将员工年龄分成青年（年龄小于岁）和中年（年龄不小于岁）两个阶段，使用微信的人中是青年人．若规定：每天使用微信时间在一小时以上为经常使用微信，经常使用微信的员工中是青年人．（Ⅰ）若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系，列出列联表；青年人中年人合计（Ⅱ）由列联表中所得数据，是否有的把握认为“经常使用微信与年龄有关”？（Ⅲ）采用分层抽样的方法从“经常使用微信”的人中抽取人，从这人中任选人，求事件“选出的人均是青年人”的概率．附：5.（双鸭山）已知圆和圆外一点．（1）过点作圆的割线交圆于两点，若，求直线的方程；（2）过点作圆的两条切线，切点分别为，求切线长及所在直线的方程．6.（建三江）已知函数为常数，是自然对数的底数．（1）当时，证明恒成立；（2）若，且对于任意恒成立，试确定实数的取值范围．7.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，一个顶点为，且其右焦点到直线的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在斜率为，且过定点的直线，使与椭圆交于两个不同的点,且？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由．黑龙江高二高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.（双鸭山）已知复数，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意得，，故选D．【考点】复数的运算．2.（建三江）已知函数的图像在点处的切线方程是，则=（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为切线方程为，则直线的斜率，根据导数的几何意义得：，所以，故选D．【考点】导数的几何意义及应用．3.以抛物线的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为，即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为，故所求圆的方程为，即，故选D．【考点】圆的方程．4.要完成下列两项调查：①从某社区户高收入家庭、户中等收入家庭、户低收入家庭中选出户，调查社会购买能力的某项指标；②从某中学的名艺术特长生中选出名调查学习负担情况．宜采用的方法依次为（）A．①简单随机抽样调查，②系统抽样B．①分层抽样，②简单随机抽样C．①系统抽样，②分层抽样D．①②都用分层抽样【答案】B【解析】社会购买力的某项指标，受到家庭收入的影响，而社区各个家庭收入差别明显，①采用分层抽样，而从某中学的5名艺术特长生，要从中选出3人调查学习负担情况的调查中个体之间差别不大，且总体和样本容量较小，所以②采用随机抽样法．【考点】抽样方法．5.下图程序运行的结果是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得，第1次运行：；第2次运行：；第3次运行：；第4次运行：，此时不满足，退出循环，输出．【考点】循环语句的应用．6.“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题意得“”，解得或，所以“”是“”的充分不必要条件，故选A．【考点】充分不必要条件的判定．7.下列说法错误的是（）A．是或的充分不必要条件B．若命题，则C．线性相关系数的绝对值越接近，表示两变量的相关性越强．D．用频率分布直方图估计平均数，可以用每个小矩形的高乘以底边中点横坐标之后加和【答案】D【解析】A中，是或的充分不必要条件是正确的；B中，根据命题的否定的定义，可知命题，则是正确的；C中，由现行相关系数r的绝对值与两变量的相关性关系可知：线性相关系数的绝对值越接近，表示两变量的相关性越强，所以是正确的；D中，用频率分布直方图估计平均数，可以用每个小矩形的面积高乘以底边中点横坐标之后加和，所以D是错误的．【考点】相关系数；命题的真假判断与应用；命题的否定；充要条件的判定．8.椭圆的两个顶点为，且左焦点为，是以角为直角的直角三角形，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】依据题意可知点，所以直线AB的斜率为，直线BF的斜率为，因为是以角为直角的直角三角形，即，整理得，解得或，又因为，所以，故选B．【考点】椭圆的几何性质及其应用．9.从数字中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个数大于的概率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得数字中任取两个不同的数字构成一个两位数，总数为种，事件“这个数大于”包含的基本事件数为，故事件“这个数大于”的概率为，故选A．【考点】古典概型及其概率的计算公式；排列组合的应用．10.下列各数中最小的一个是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得，；；；，故选B．【考点】进位制的概念及其应用．11.数的最大公约数是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得，，所以的最大公约数为；，，，所以的最大公约数为．【考点】用辗转相除计算最大公约数．12.如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在五次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由茎叶图知：甲的平均数，设被污损的数字为，则，因为甲的平均成绩不超过乙的平均成绩，所以，解得，所以或．所以甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为．【考点】茎叶图；平均数的计算；古典概型及概率的计算公式．【方法点晴】本题主要考查了茎叶图的读取、数据的平均数的计算、古典概型及概率公式的计算等知识的综合应用，属于基础题，解答的关键在于根据茎叶图真确读取原始数据，根据平均数的计算公式计算甲、乙两人的平均成绩，求解污损数据的数值，再根据古典概型及其概率的计算公式，求解概率，其中正确计算乙中污损的数据是解答本题的一个易错点．13.已知双曲线的离心率，令双曲线两条渐近线构成的角中，以实轴为角分线的角为，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据定义可知，因为，所以，而渐近线的斜率，所以，所以，所以，故选C．【考点】双曲线的标准方程及简单的几何性质．【方法点晴】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质，并着重考查了学生对平面解析几何的知识的综合应用能力，属于中档试题，解答的关键根据双曲线的离心率的概念，进而求得和的不等关系，再利用双曲线中的关系式，建立不等关系式，求解双曲线渐近线的斜率的取值范围，最后利用直线的斜率，确定的范围，进而确定的范围．二、填空题1.（双鸭山）已知方程，若此方程表示圆，则的范围是．【答案】【解析】方程表示一个圆，此圆即为，则，即的范围是．【考点】圆的一般方程．2.（建三江）函数在处取得极小值，则= ．【答案】【解析】由，令，解得或，且时，；时，；时，，所以当时，函数取得极小值．【考点】导数在函数中的应用；极值的条件．3.甲、乙两台机床同时生产一种零件，根据已知数据求得甲、乙机床的次品数的平均值分别为，方差分别为，则性能比较好的机床是．【答案】乙【解析】因为，所以，所以乙机床的波动性较小，所以乙机床性能较好．【考点】随机变量的方差及其应用．4.设不等式组表示的平面区域为，若在区域内随机取一点，则此点到坐标原点的距离大于的概率是．【答案】【解析】到坐标原点的距离大于2的点，位于以原点为原点，半径为2的圆外区域表示正方形，如图所示，其中为坐标原点，，一次在区域内随机取一个点，则点到坐标原点的距离大于2时，点位于图中正方形内，且在扇形的外部，如图中阴影部分，因为，所求概率为，即概率为．【考点】不等式组表示的平面区域，几何概型．【方法点晴】本题主要考查了不等式组表示的平面区域，求在区域内投点使该点到原点的距离大于2的概率，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和几何概型等知识的综合应用，属于基础题，本题的解答中在区域内随机取一个点，则点到坐标原点的距离大于2时，点位于图中正方形内，且在扇形的外部，因此算出阴影部分面积，利用几何概型求解本题的概率，其中确定点位于的区域是解答本题的关键．5.①命题“”的否定是“”；②已知为两个命题，若“”为假命题，则“”为真命题；③“”是“”的充分不必要条件；④“若，则且”的逆否命题为真命题．其中所有真命题的序号为．【答案】②【解析】①存在性命题的否定是全称命题，则命题“”的否定是“”，所以是错误的；②若“”为假命题，则均为假命题，则和都为真命题，所以“”为真命题；③当时，满足但不成立，所以“”是“”的充分不必要条件是不正确的；④“若，则且”，所以原命题是错误的，根据逆否命题与原命题等价性，可知逆否命题为假命题，所以不正确．【考点】命题正价的判定与应用；充分不必要条件的判定．【易错点晴】本题主要考查了命题的真假判定、充分不必要条件的判定，涉及点的知识点含有量词的命题的否定，充分条件和必要条件的判断以及四种命题的关系等知识的综合运用，本题的解答中要牢记复合命题真假判定的方法及真值表的应用，同时注意四种每题之间的关系——互为逆否关系的连个命题属于等价命题，同真同假以及充分条件、必要条件等知识的应用是关键．三、解答题1.已知命题：函数是上的减函数；命题：不等式恒成立．若是真命题，求实数的取值范围．【答案】．【解析】分别求出命题下的的取值，根据为真命题，分成真真，真假，假真等情况，求出每种情况下的的取值，并集后得出结论即可．试题解析：由题意得：命题对应的集合命题对应的集合为真命题为真命题或为真命题，【考点】复合命题的真假的应用．2.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：零件的个数（个）加工的时间（小时）（1）求出关于的线性回归方程，并在坐标系中画出回归直线；（2）试预测加工个零件需要多少小时？（注：，，，）【答案】（1）；（2）小时．【解析】（1）求出数据的横轴与纵轴的平均数，得到样本的中心点，求出对应的横标和纵标的和，求出横标的平方和，作出系数和的值，写出回归直线方程；（2）将代入回归直线方程，可得出结论．试题解析：（1）由表中数据得：，∴，，∴．回归直线如图所示：（2）将代入回归直线方程，得（小时）．【考点】回归分析的初步应用．3.为了了解小学五年级学生的体能情况，抽取了实验小学五年级部分学生进行踢毽子测试，将所得的数据整理后画出频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前三个小组的频率分别是，第一小组的频数是．（Ⅰ）求第四小组的频率和参加这次测试的学生人数；（Ⅱ）在这次测试中，问学生踢毽子次数的中位数落在第几小组内？（Ⅲ）在这次跳绳测试中，规定跳绳次数在以上的为优秀，试估计该校此年级跳绳成绩的优秀率是多少？【答案】（I），人；（II）第三小组内；（III）%．【解析】（I）由已知中从左到右前三个小组的频率分别为，结合四组频率和为1，即可得到第四小组的频率；再由已知中第一小组的频数为5及第一组频率为，代入样本容量，即可得到参加这次测试的学生人数；（II）由（I）的结论，可以求出第一、第二、第三、第四小组的频数，再结合中位数的定义，即可得到答案；（III）由分步直方图，跳绳次数在110次以上的第三、第四小组内，而第三、第四小组的频率为，即可得到答案．试题解析：（Ⅰ）由题意可知第四小组的频率为参加这次测试的学生人数为：（人）（Ⅱ）由题意可知学生踢毽子次数的中位数落在第三小组内；（Ⅲ）因为组距为25,而110落在第三小组，所以跳绳次数在110以上的频率为，所以估计该校此年级跳绳成绩的优秀率是%．【考点】用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图．4.微信是现代生活进行信息交流的重要工具，据统计，某公司名员工中的人使用微信，其中每天使用微信时间在一小时以内的有人，其余每天使用微信在一小时以上．若将员工年龄分成青年（年龄小于岁）和中年（年龄不小于岁）两个阶段，使用微信的人中是青年人．若规定：每天使用微信时间在一小时以上为经常使用微信，经常使用微信的员工中是青年人．（Ⅰ）若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系，列出列联表；青年人中年人合计（Ⅱ）由列联表中所得数据，是否有的把握认为“经常使用微信与年龄有关”？（Ⅲ）采用分层抽样的方法从“经常使用微信”的人中抽取人，从这人中任选人，求事件“选出的人均是青年人”的概率．附：【答案】（I）180人；（II）有的把握认为“经常使用微信与年龄有关”；（III）．【解析】（I）由已知可得的列联表；（II）将列联表中数据代入公式可得，与临界值比较，即得出结论；（III）利用列举法确定基本事件，即可求出事件A“选出的人均是青年人”的概率．试题解析：（Ⅰ）由已知可得，该公司员工中使用微信的共：人经常使用微信的有人，其中青年人：人所以可列下面列联表：青年人中年人合计（Ⅱ）将列联表中数据代入公式可得：由于,所以有的把握认为“经常使用微信与年龄有关”．（Ⅲ）从“经常使用微信”的人中抽取6人中，青年人有人，中年人有2人设4名青年人编号分别1,2,3,4，2名中年人编号分别为5,6，则“从这6人中任选2人”的基本事件为：（1,2）（1,3）（1,4）（1,5）（1,6）（2,3）（2,4）（2,5）（2,6）（3,4）（3,5）（3,6）（4,5）（4,6）（5,6）共15个其中事件A“选出的2人均是青年人”的基本事件为：（1,2）（1,3）（1,4）（2,3）（2,4）（3,4）共6个．故．【考点】独立性检验的应用；分层抽样的方法．【方法点晴】本题主要考查了独立性检验的应用、古典概型及其概率的计算公式的应用，着重考查了学生的计算能力和审题能力，属于中档性试题，解答本题的关键是根据题意给出的数据，列出的列联表，利用独立性检验的公式，准确计算的数值，再与临界值比较，即可判断出两个变量事件的相关性，其中准确、认真计算是解答本题的一个难点和易错点．5.（双鸭山）已知圆和圆外一点．（1）过点作圆的割线交圆于两点，若，求直线的方程；（2）过点作圆的两条切线，切点分别为，求切线长及所在直线的方程．【答案】（1）或；（2）．【解析】（1）先将圆的方程化成标准方程，求出圆心和半径，在根据弦长为4，结合垂径定理得到圆心到直线的距离，则可以利用点到直线的距离公式求出直线的斜率，求得直线方程；（2）利用切线的性质可知，切线长、半径、到圆心的距离满足勾股定理，则切线长可求；求出以为直径的圆，与已知圆的方程，两式相减即可求得所在的直线方程．试题解析：（1）圆，圆心，半径．①若割线斜率存在，设直线的方程为，即，设的中点为，则．由，解得．故直线的方程为．②若割线斜率不存在，则直线的方程为．将其代入圆的方程得，解得，符合题意．综上可知，直线的方程为或．（2）切线长为．以为直径的圆的方程为，即．又已知圆，两式相减，得，所以直线的方程为．【考点】圆的切线方程；直线与圆相交的性质．【方法点晴】本题考查了直线与圆相交的性质及圆的切线的性质、圆与圆相交弦的直线方程的求解，属于中档试题，解答中有关圆的弦长问题一般会用到圆的性质——垂径定理和弦长公式；有关圆的切线一般会用到圆心到直线的距离和切线的性质——切线长公式的应用，熟记圆的这些性质及其应用是解答与直线、圆相关问题的关键．6.（建三江）已知函数为常数，是自然对数的底数．（1）当时，证明恒成立；（2）若，且对于任意恒成立，试确定实数的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）由题意得，要确定函数的单调区间，求出函数的导函数，令其大于零求出函数的增区间；令其小于零求出函数的减区间，从而的得出函数的最小值即可证得结论；（2）判断得出是偶函数，关于轴对称，成立等价于对任意成立，由得，讨论的单调区间保证对任意成立，最后确定出的范围．试题解析：（1）证明：由得，由得，故的单调递增区间为；由得，故的单调递减区间为；所以函数有最小值为，所以恒成立．（2）由可知是偶函数．于是对任意成立等价于对任意成立．由得．①当时，．此时在区间上单调递增．故，符合题意．②当时，．当变化时的变化情况如下表：由此可得，在区间上，．依题意又所以．由①②得，实数的取值范围是．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题的求解．【思路点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和求解函数的恒成立问题的能力，属于中档试题，本题的解答中判断得出是偶函数，把不等式成立等价于对任意成立，由函数得，讨论的单调区间保证对任意成立，最后确定出的范围是解题的关键．7.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，一个顶点为，且其右焦点到直线的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在斜率为，且过定点的直线，使与椭圆交于两个不同的点,且？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）或．【解析】（1）设椭圆的方程，由已知得，设右焦点为，由题意得，由此能求出椭圆的方程；（2）直线的方程，代入椭圆方程，得，由，得，设点，则，设、的中点为，则点的坐标为，由此入手能够导出直线的方程．试题解析：（1）点到直线的距离又得：椭圆方程为（2）假设存在满足条件，设由得由已知得存在直线满足题意其方程为或【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【方法点晴】本题考查直线方程、椭圆方程及其直线与椭圆的关系，着重考查了分类讨论思想，判别式、韦达定理是解决该类题目的常用知识，要熟练掌握，属于中档试题，本题的解答中把直线的方程，代入椭圆方程，利用，得，设出，根据韦达定理得，得中点的坐标，利用，求解的取值范围，其中利用，得出的一个范围是题目的一个易错点．。

黑龙江省高二上学期期末数学试题(解析版)

一、单选题 1．抛物线的准线方程是 214y x =A ． B ． =1x -2x =-C ． D ．1y =-=2y -【答案】C【详解】试题分析：由题意得，抛物线可化为，则，所以准线方程为，故选24x y =2p =1y =-C ．【解析】抛物线的几何性质．2．已知A ，B ，C ，D ，E 是空间中的五个点，其中点A ，B ，C 不共线，则“存在实数x ，y ，使得是“平面ABC ”的（）DE x AB y AC =+//DE A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】利用存在实数x ，y ，使得平面ABC 或平面ABC ，结合充DE xAB y AC =+⇔u u u r u u u r u u u r//DE DE ⊂分必要条件的定义即可求解.【详解】若平面ABC ，则共面，故存在实数x ，y ，使得，所以//DE ,,DE AB AC u u u r u u u r u u u r DE x AB y AC =+必要性成立；若存在实数x ，y ，使得，则共面，则平面ABC 或平面DE x AB y AC =+,,DE AB AC u u u r u u u r u u u r //DE DE ⊂ABC ，所以充分性不成立；所以 “存在实数x ，y ，使得是“平面ABC ”的必要不充分条件， DE x AB y AC =+//DE 故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查空间向量共面的问题，理清存在实数x ，y ，使得平面ABC 或平面ABC 是解题的关键，属于基础题.DE xAB y AC =+⇔u u u r u u u r u u u r//DE DE ⊂3．已知直线，若，则与之间的距离为（） 12:210,:220l x y l x my --=++-=12l l ∥1l 2lA ．1B ．2C D 【答案】A【分析】根据直线平行求出，再由平行线间的距离公式求解即可. m 【详解】因为，所以，解得，经检验符合题意；12l l ∥40m +=4m =-所以， 2:210l x y -=所以与之间的距离， 1l 2l 1d ===故选：A4．中国古人所使用的音阶是“五声音阶”，即“宫徵（zhǐ）商羽角（jué）”五个音，中国古代关于这五个音阶的律学理论，叫做“三分损益法”，相关记载最早见于春秋时期《管子·地缘篇》．“三分损益”包含“三分损一”和“三分益一”两层含义，“三分损一”是指将原有长度作三等分而减去其一份生得长度，“三分益一”是指将原有长度作三等分而增添其一份生得长度．具体来说，以一段圆径绝对均匀的发声管为基数——宫（称为“基本音”），宫管的“三分损一”为徵管，徵管发出的声音即为徵，徵管的“三分益一”为商管，商管发出的声音即为商，商管的“三分损一”为羽管，羽管的“三分益一”为角管，由此“宫、徵、商、羽、角”五个音阶就生成了．关于五音，下列说法中不正确的是（） A ．五音管中最短的音管是羽管B ．假设基本音的管长为81，则角管的长度为64C ．五音管中最长的音管是商管D ．类比题中的“三分损益”可推算：商的“四分损一”为徵【答案】C【分析】设宫管的长为a ，即可表示出徵、商、羽、角的管长，即可判断A ，B ，C ；根据“三分损益”的含义可求得商的“四分损一”为徵，判断D.【详解】不妨设宫管的长为a ，则徵管的长为，商管的长为，23a 248339a a ⋅=羽管的长为，角管的长为， 82169327a a ⋅=1646427381a a ⋅=而， 864216981327a a a a a >>>>故最长的音管是宫管，最短的音管是羽管，故选项A 正确，选项C 错误；令，即基本音的管长为81，则，即角管的长度为64，故选项B 正确； 81a =646481a =商的“四分损一”为，即为徵，选项D 正确，832943a a ⋅=故选︰C ．5．如图，在正三棱柱中，若，则C 到直线的距离为（）111ABC A B C -12AB ==1ABABCD【答案】D【分析】取AC 的中点O ，建立如图所示的空间直角坐标系，根据点到线距离的向量求法和O xyz -投影的定义计算即可.【详解】由题意知， 12AC AB BB ===，取AC 的中点O ，则BO AC BO ⊥=，建立如图所示的空间直角坐标系， O xyz -则，1(0,1,0)(0,1,0)A B C -，，所以， 1(0,2,0)AB CA ==-，所以在上的投影的长度为 CA 1AB 11CA AB AB ⋅==故点C 到直线的距离为：1AB d =故选：D6．已知过点的直线与圆心为的圆相交于，两点，当面积()0,2l C ()()222110x y -+-=A B ABC A 最大时，直线的方程为（） l A ． B ．或 220x y -+=220x y -+=220x y +-=C ． D ．或0x =0x =220x y +-=【答案】A【分析】由三角形面积公式结合正弦函数的性质得出当时面积最大，设出直线90ACB ∠=︒ABC A l 的方程，确定圆心到直线的距离，列出方程，求解得出直线的方程. l l 【详解】的面积，当仅当时“”成立，此时点到 ABC A 2211sin 22r ACB r =∠≤90ACB ∠=︒=C直线的距离为l (),45d C l ︒=当直线的斜率不存在时，即：，此时圆心到直线的距离为，不满足题意； l l 0x =l 2当直线的斜率存在时，设：，所以方程为.l l 2y kx =+2k =22y x =+故选：A【点睛】关键点睛：解决本题的关键是由三角形面积公式得出当时面积最大，90ACB ∠=︒ABC A 进而由距离公式得出方程.7．已知等差数列的前项和为，若，且，则使成立的最大值为{}n a n n S 10a >1215S S =0n S >n （） A ．B ．C ．D ．13142627【答案】C【分析】由可解得，再利用等差数列的前项和公式并结合等差数列的性质即可求1215S S =140a =n 解【详解】由 12151314150S S a a a =⇒++=1414300a a ⇒=⇒=又，所以公差10a >0d < ()()126261314261302a a S a a +==+>()1272714272702a a S a +===所以使成立的最大值为 0n S >n 26故选：C8．已知，是双曲线：的左，右焦点，过点倾斜角为30°的直线与1F 2F C ()222210,0x y a b a b -=>>1F 双曲线的左，右两支分别交于点，.若，则双曲线的离心率为（） A B 22AF BF =CA B C ．2D【答案】A【分析】设，据双曲线的定义可用表示，作，构造直角三角形可1AF t =t 22AF BF ，2F H AB H ⊥=计算得，并用勾股定理列出了，进而可求.t )()2222c a -=e 【详解】设，则， 1AF t =222AF t a BF =+=从而，进而.14BF t a =+4BA a =过作，则.如图：2F 2F H AB H ⊥=2AH a =在中，，； 12Rt F F H △22sin 30F H c c =︒=122cos F H c AF θ===在中，，2Rt AF H △)()2222c a -=即，所以2224c a =e =故选：A【点睛】（1）焦点三角形为条件求圆锥曲线的离心率，常利用圆锥曲线的定义；（2）求圆锥曲线的离心率，常利用有关三角形建立关于的齐次等式，再化为的等式可求； ,,a b c e （3）此题的关键是作得直角三角形，即可求出边长，又可用来建立的齐次等2F H AB H ⊥=,,a b c 式.二、多选题9．已知为直线的方向向量，分别为平面的法向量不重合），并且直线均不在平el 12,n n ,αβ(,αβl 面内，那么下列说法中正确的有（）,αβA ． B ．1e n l α⊥⇔∥12n n αβ⊥⇔⊥C ．D ．12n n αβ⇔∥∥1e n l α⊥⇔⊥【答案】ABC【分析】由空间向量的位置关系对选项逐一判断，【详解】已知直线不在平面内，则，故A 正确，D 错误， l α1e n l α⊥⇔∥ 由空间向量的位置关系得，，故B ，C 正确，12n n αβ⊥⇔⊥12n n αβ⇔∥∥ 故选：ABC10．已知等比数列的各项均为实数，公比为q ，则下列结论正确的是（） {}n a A ．若，则120a a >230a a >B ．若，且，则 120a a +<130a a +<1q >-C ．若，则 10n n a a +>>212n n n a a a +++>D ．若， 10n n a a +<()()1120n n n n a a a a +++--<【答案】ABC【分析】由等比数列的通项公式的应用，等比数列的性质的应用，可判断A 、B 、C 、D 的结论是否正确．【详解】显然.A ：因为，所以，因此本选项正确；0q ≠120a a >21212()()()0a q a q a a q ⋅=⋅>B ：由，而，显然213110(1)00a a a q a +<⇒+<⇒<1210(1)0a a a q +<⇒+<，因此本选项正确；101q q +>⇒>-C ：由， 11011n n n na a a q a ++>>⇒>⇒>，()222+12122102n n n n n n n n n n a a a a a q a q a q a a a ++++-=+-=->⇒+>因此本选项正确；D ：由，，1000n n n n a a a a q q +<⇒⋅⋅<⇒<2111()()()0n n n n n n a a a q a q q a a +++--=--≥因此本选项不正确. 故选：ABC.11．以下关于圆锥曲线的命题中，其中是真命题的有（）A ．双曲线与椭圆有相同的焦点221169x y -=2214924x y+=B ．过双曲线的右焦点且被双曲线截得的弦长为10的直线共有2条221259x y -=C ．设A ，B 是两个定点，k 是非零常数，若，则动点P 的轨迹是双曲线的一支 PA PB k -=D ．动圆P 过定点且与定直线l ：相切，则圆心P 的轨迹方程是 ()1,0F =1x -24y x =【答案】AD【分析】求出双曲线与椭圆的焦点坐标即可判断A ；求出双曲线的实轴长及过右焦点的直线垂直x 轴时所截弦长即可判断B ；由双曲线的定义即可判断C ；根据抛物线的定义即可判断D ．【详解】对于A ，双曲线的焦点为，椭圆的焦点为，故A 正确；221169x y -=()5,0±2214924x y+=()5,0±对于B ，由双曲线的方程知，右焦点，实轴长为10，所以过右焦点与双曲线左221259x y -=)右两支各交于一点且满足弦长为10的直线只有1条；过右焦点的直线垂直x 轴时，得两交点坐标为、，此时弦长为，所以过右焦点与双曲线右支相交于两点且满足弦长9595-18105<为10的直线有2条，综上，过双曲线的右焦点且被双曲线截得的弦长为10的直线共有3条，故B 错误；对于C ，当时，动点P 的轨迹是一条射线，当时，动点P 的轨迹是双曲线的一k AB =k AB <支，故C 错误；对于D ，因为动圆P 过定点且与定直线l ：相切，即P 点到的距离与到直线l ：()1,0F =1x -()1,0F 的距离相等，根据抛物线的定义可得，P 点的轨迹是为以为焦点，为准线的抛=1x -()1,0F =1x -物线，所以点P 的轨迹方程为，故D 正确． 24y x =故选：AD ．12．已知为椭圆：的左焦点，直线：与椭圆交于，两点，F C 22142x y +=l ()0y kx k =≠C A B 轴，垂足为，与椭圆的另一个交点为，则（）AE x ⊥E BE C P A ．的最小值为2 B ．14AF BF +ABE A C ．直线的斜率为D ．为钝角BE 12k ∠PAB 【答案】BC【分析】A 项，先由椭圆与过原点直线的对称性知，，再利用1的代换利用基本不等4AF BF +=式可得最小值，A 项错误； B 项，由直线与椭圆方程联立，解得交点坐标，得出面积关于k 的94函数关系式，再求函数最值； C 项，由对称性，可设，则，，则可()00,A x y ()00,B x y --()0,0E x 得直线的斜率与k 的关系； D 项，先由A 、B 对称且与点P 均在椭圆上，可得BE ，又由C 项可知，得，即，排除D 项.2212PA PBb k k a ⋅=-=-12PB BE k k k ==1PA AB k k ⋅=-90PAB ∠=︒【详解】对于A ，设椭圆的右焦点为，连接，， C F 'AF 'BF '则四边形为平行四边形，AF BF '，AF BF ∴+24AF AF a '=+==， ()414114195444BF AF AF BF AF BF AF BF AF BF ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当时等号成立，A 错误；2BFAF =对于B ，由得 22142x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩x =，A B y y ∴-=的面积ABE ∴A 12A A S x y =-当且仅当时等号成立，B 正确； k =对于C ，设，则，， ()00,A x y ()00,B x y --()0,0E x 故直线的斜率，C 正确； BE 000012BE y k x x +==⋅+0012yk x =对于D ，设，直线的斜率额为，直线的斜率为，(),P m n PA PA k PB PB k则， PA PBk k ⋅=2200022000n y n y n y m x m x m x -+-⋅=-+-又点和点在椭圆上，①，②，P A C 22142m n ∴+=2200142x y +=①②得，易知， -22022012n y m x -=--12PB BE k k k ==则，得，1122PA k k ⋅=-1PA k k =-，，D 错误.11PA AB k k k k ⎛⎫∴⋅=-⋅=- ⎪⎝⎭90PAB ∴∠=︒故选：BC.【点睛】椭圆常用结论：已知椭圆，AB 为椭圆经过原点的一条弦，P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，22221(0)x y a b a b +=>>若都存在，则.,PA PB k k 22PA PBb k k a⋅=-三、填空题13．以点为圆心，并且与y 轴相切的圆的方程是__________. (2,3)P -【答案】()()22234x y -++=【分析】根据圆与轴相切，圆的半径等于点到轴的距离，求出半径，即可求出圆的标准y P y 2r =方程．【详解】设圆的方程为，222(2)(3)x y r -++=圆与轴相切，半径等于圆心到轴的距离，即，y ∴r P y 2r =因此，圆的方程为， 22(2)(3)4x y -++=故答案为：.22(2)(3)4x y -++=14．在数列中，，，则______． {}n a 1322n n a a n +-=-12a =-30a =【答案】665【分析】利用累加法求得，进而求得n a 30a 【详解】依题意，()()()()32211112n n n n n a a a a a a a a a a -------=+++++()()()()()32532816192n n =-+-++-+-+- .()()()32519344121222n n n n -+--=⨯--=⨯--所以. 3090442926652a -=⨯-=故答案为：66515．在抛物线上任取一点(不为原点)，为抛物线的焦点，连接并延长交抛物线于另24y x =A F AF 一点过分别作准线的垂线，垂足分别为记线段的中点为则面积的最小值,B ,A B ,.C D CD ,T ATB A 为______．【答案】4【分析】取的中点为，连接，可变形为用表AB M MT 1124ATB A B A B S TM y y AB y y ∆=-=-A B y y 示，设直线方程为，与抛物线方程联立，消元后应用韦达定理得，代入1x my =+,A B A B y y y y +，再由基本不等式可得最小值．ATB S △【详解】焦点为，设直线方程为，(1,0)F AB 1x my =+由 241y xx my ⎧=⎨=+⎩24404,A B y my y y ⇒--=⇒=-取的中点为，连接，则，，， AB M MT AC AF =BD BF =11()22MT AC BD AB =+= 1124ATB A B A B S TM y y AB y y ∆=-=-22111444A B y y ⎛=+++ ⎝12442A B y y⎛≥+= ⎝故时面积最小为. 2A B y y ==4故答案为：4．【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线中与焦点弦有关的面积问题．解题关键是把抛物线的点到焦点的距离转化为到准线的距离，这样三角形的面积可以与焦点弦长联系，从而利用韦达定理求解．16．对于数列，定义为数列的“加权和”，已知某数列的“加权{}n a 11222-=+++ n n n A a a a {}n a {}n a和”，记数列的前n 项和为，若对任意的恒成立，则实数p 的取12n n A n +=⋅{}+n a pn n T 5≤n T T *N n ∈值范围为______．【答案】127,53⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【分析】根据数列新定义可得，从而时，2111212 (2)22n n n n n a a a a n --+-++++=⋅2n ≥，相减求得，进而求得的表达式，利用对任意2121)22(12n n n a a a n --+++=⋅- 22n a n =+n T 5≤n T T 的恒成立，列出不等式组，即可求得答案. *N n ∈【详解】由题意可得，2111212...222n n n n n a a a a n --+-++++=⋅∴时，，2n ≥2121)22(12n n n a a a n --+++=⋅- 两式相减可得：，1122(1)2n n n n a n n -+=⋅--⋅化为，22n a n =+时，，满足上式，1n =2124a ==故22,N n a n n *=+∈故，12(422)(1)(1)(12)(3)222n n n n n n n n T a a a p n p n n p ++++=+++++++=+⋅=++⋅ ∵对任意的恒成立，5≤n T T *N n ∈∴ ，即，4565T T T T ≤⎧⎨≤⎩2810401554214015p pp p +≤+⎧⎨+≤+⎩解得，即，12753p -≤≤-127,53p ⎡⎤∈--⎢⎣⎦故答案为：127,53⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【点睛】关键点点睛：根据数列新定义可得，从而时，2111212 (2)22n n n n n a a a a n --+-++++=⋅2n ≥，相减求得，从而可求得的表达式，因此解答的关键就在于将2121)22(12n n n a a a n --+++=⋅- n a n T 对任意的恒成立转化为解的问题.5≤n T T *N n ∈4565T T T T ≤⎧⎨≤⎩四、解答题17．已知双曲线C 的焦点在x 轴上，焦距为4，且它的一条渐近线方程为．y =(1)求C 的标准方程； (2)若直线与双曲线C 交于A ，B 两点，求． 1:12l y x =-||AB 【答案】(1)2213x y -=(2)【分析】（1）焦点在轴上，设方程为根据题意求出即可x 22221(0,0)x y a b ab-=>>,a b （2）设点，联立方程组，消元得一元二次方程，由韦达定理，然后利用弦长公式计算即可【详解】（1）因为焦点在轴上，设双曲线的标准方程为，x C 22221(0,0)x y a b a b-=>>由题意得， 24c =所以，①2c =又双曲线的一条渐近线为，C y x =所以② b a =又，③222+=ab c 联立上述式子解得，a =1b =故所求方程为；2213x y -=（2）设，，11(,)A x y 22(,)B x y 联立，整理得，2211213y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩213604x x +-=由，2134()(6)1504∆=-⨯⨯-=>所以，，1212x x +=-1224x x =-==18．在①且，②，③，且1120(2)n n n a a a n +--+=≥151,25a S ==235,n a S n tn ==+121,3a a ==成等差数列这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.122,,n n n S S S ++-问题：设数列的前n 项和为，_________.若，求数列的前n 项和为. {}n a n S 11n n n b a a +={}n b n T 【答案】选择见解析；. 21nn +【解析】若选①，由得数列是等差数列，进而得，1120n n n a a a +--+={}n a 21n a n =-，再根据裂项相消求和法求和即可；若选②，由得11122121n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭33255a S S t =-=+=0=t ，进而根据之间的关系得，再根据裂项相消求和法求和即可；若选③，由,n n a S 21n a n =-成等差数列，得.由于，故数列是首项为1，公差为122n n n S S S ++-，，212n n a a ++-=121,3a a =={}n a 2的等差数列，故，再根据裂项相消求和法求和即可. 21n a n =-【详解】解：若选①，因为，所以，即数列是等差数列1120n n n a a a +--+=11n n n n a a a a +--=-{}n a 因为，所以. 15125a S ==，1511545252a S a d =⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩解得， 112a d ==，故. ()1121n a a n d n =+-=-因为，所以. 11n n n b a a +=()()1111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭则 1231111111123355721211n n T b b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎛⎫ ⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎪⎝⎭ 11122121nn n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭若选②，因为，所以，2n S n tn =+223233392224S t t S t t =+=+=+=+，所以，解得， 33255a S S t =-=+=0=t 则. ()()2211212n n n a S S n n n n -=-=--=-≥因为满足上式，所以. 111a S ==21n a n =-因为，所以.11n n n b a a +=()()1111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭则 1231111111123355721211n n T b b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎛⎫ ⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎪⎝⎭ 11122121n n n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭若选③，因为成等差数列，所以， 122n n n S S S ++-，，1222n n n S S S ++=-+所以，即.()2112n n n n S S S S +++---=212n n a a ++-=因为，所以，则数列是首项为1，公差为2的等差数列， 121,3a a ==212a a -={}n a 故. ()1121n a a n d n =+-=-因为，所以. 11n n n b a a +=()()1111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭则 1231111111123355721211n n T b b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎛⎫ ⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎪⎝⎭ . 11122121nn n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭【点睛】本题解题的关键在于根据递推关系（等差中项，之间的关系等）证明数列是首,n n a S {}n a 项为1，公差为2的等差数列，进而得.考查运算求解能力，是中档题. 21n a n =-19．如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE⊥EC 1.（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；（2）若AE =A 1E ，求二面角B –EC –C 1的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2【分析】（1）利用长方体的性质，可以知道侧面，利用线面垂直的性质可以证明出11B C ⊥11A B BA ，这样可以利用线面垂直的判定定理，证明出平面；11B C EB ⊥BE ⊥11EB C （2）以点坐标原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系，设正方形的B 1,,BC BA BB,,x y z ABCD边长为，，求出相应点的坐标，利用，可以求出之间的关系，分别求出平面a 1B Bb =1BE EC ⊥,a b 、平面的法向量，利用空间向量的数量积公式求出二面角的余弦值的绝对EBC 1ECC 1B EC C --值，最后利用同角的三角函数关系，求出二面角的正弦值.1B EC C --【详解】（1）证明：因为是长方体，所以侧面，而平面1111ABCD A B C D -11B C ⊥11A B BA BE ⊂，所以11A B BA 11BE B C ⊥又，，平面，因此平面； 1BE EC ⊥1111B C EC C ⋂=111,B C EC ⊂11EB C BE ⊥11EB C (2)[方法一]【三垂线定理】由（1）知，，又E 为的中点，所以，为等腰直角三角形，所以． 1BE EB ⊥1AA 1BEB A 12AA AB =如图2，联结，与相交于点O ，因为平面，所以． AC BD 1AA ⊥ABCD 1AA BO ⊥又，所以平面．BO AC ⊥BO ⊥11ACC A 作，垂足为H ，联结，由三垂线定理可知，则为二面角OH CE ⊥BH BH CE ⊥OHB ∠1B EC C --平面角的补角．设，则，得 1AB =12,1,AA AE AC CE ====OH AE OC CE =OH =在中，， Rt BOH A BH ==sin OB OHB BH ∠==即二面角 1B EC C --[方法二]【利用平面的法向量】设底面边长为1，高为，所以．2x 222211,1BE x B E x =+=+因为平面，所以，即， BE ⊥11EB C 190BEB ∠=︒22211BE B E BB +=所以，解得．22224x x +=1x =因为平面，所以，又，所以平面，BC ⊥11A ABB 1BC B E ⊥1B E BE ⊥1B E ⊥BCE故为平面的一个法向量．1B EBCE 因为平面与平面为同一平面，故为平面的一个法向量， 1C CE 11A ACC 11B D1C CE 在中，因为与成角， 11B D E A 1111B D D E B E ==1B E 11B D60︒所以二面角，的正弦值为 1B EC C --sin 60︒=[方法三]【利用体积公式结合二面角的定义】设底面边长为1，高为，所以．2x 222211,1BE x B E x =+=+因为平面，所以，即， BE ⊥11EB C 190BEB ∠=︒22211BE B E BB +=所以，解得．22224x x +=1x =因为，所以是直角三角形，BC BE ⊥BCE A 1,BC EC EB ===因为平面，所以到平面的距离相等设为． 1BB ∥1ECC 1,B B 1ECC 1h 同理，A ，E 到平面的距离相等，都为1，所以， 11BB C 1111E BB C B ECC V V --=即，解得． 11111133BB C BCC S AB S h ⋅=⋅A A 1h =设点B 到直线的距离为，在中，由面积相等解得． CE 2h BCE A 2h =设为二面角的平面角，， θ1B EC C --12sin h h θ=所以二面角． 1B EC C --[方法四]【等价转化后利用射影面积计算】由（1）的结论知，又，易证，所以，所以1BE EB ⊥1AE A E =11ABE A B E A A ≌1145AEB A EB ∠=∠=︒，AE AB =即二面角的正弦值与二面角的正弦值相等．1B EC C --B EC A --设的中点分别为F ，G ，H ，显然为正方体，所求问题转化为如图3所111,,BB CC DD ABCD EFGH -示，在正方体中求二面角的正弦值．ABCD EFGH -B EC A --设相交于点O ，易证平面， ,AC BD BO ⊥ACGE 所以是在平面上的射影． EOC △EBC A ACGE 令正方体的棱长，ABCD EFGH -2AB BC AE ===则BE =OC 12BDC S OC AE =⋅=A 12EBC S BC BE =⋅=A 设二面角为，由，则， B EC A --θcos BDC EBC S S θ=⋅A A 1cos2BDC EBC S S θ===A A 所以 sin θ即二面角 1B EC C --[方法五]【结合（1）的结论找到二面角的平面角进行计算】如图4，分别取中点F ，G ，H ，联结． 111,,BB CC DD ,,,EF FG GH GE 过G 作，垂足为P ，联结． GP EC ⊥BP 易得E ，F ，G ，H 共面且平行于面．ABCD由（1）可得面．因为面，所以． BE ⊥11EB C 1B E ⊆11EB C 1BE B E ⊥又因为E为中点，所以，且均为等腰三角形． 1AA11ABE A B E A A ≌设，则，四棱柱为正方体． 1AB =1AE =ABCD EFGH -在及中有 GEC A BEC A 1,CG CB EG EB EC =====所以与均为直角三角形且全等．EGC V BEC A 又因为，所以为二面角（即）的一个平面角．GP EC ⊥,BP EC BPG ⊥∠B EC G --1B EC C --在中，BPG A GP BP BG ===所以， 2221cos 22BP GP GB BPG BP GP +-∠===-⋅所以． sin BPG ∠=故二面角 1B EC C --[方法六]【最优解：空间向量法】以点坐标原点，以分别为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，B 1,,BC BA BB,,x y z，1(0,0,0),(,0,0),(,0,),(0,,)2bB C a C a b E a 因为，1BE EC ⊥所以，2210(0,,)(,,002224b b b BE EC a a a a b a ⋅=⇒⋅-=⇒-+=⇒= 所以，， (0,,)E a a 1(,,),(0,0,2),(0,,)EC a a a CC a BE a a =--==设是平面的法向量，111(,,)m x y z =BEC 所以， 111110,0,(0,1,1)0.0,ay az m BE m ax ay az m EC ⎧+=⋅=⎧⎪⇒⇒=-⎨⎨--=⋅=⎩⎪⎩设是平面的法向量，222(,,)n x y z = 1ECC 所以， 2122220,0,(1,1,0)0.0,az n CC n ax ay az n CE ⎧=⋅=⎧⎪⇒⇒=⎨⎨--=⋅=⎩⎪⎩二面角1B EC C --所以二面角1B EC C --=【整体点评】(2)方法一：三垂线定理是立体几何中寻找垂直关系的核心定理；方法二：利用平面的法向量进行计算体现了等价转化的数学思想，是垂直关系的进一步应用；方法三：体积公式可以计算点面距离，结合点面距离可进一步计算二面角的三角函数值；方法四：射影面积法体现等价转化的数学思想，是将角度问题转化为面积问题的一种方法；方法五：利用第一问的结论找到二面角，然后计算其三角函数值是一种常规的思想；方法六：空间向量是处理立体几何的常规方法，在二面角不好寻找的时候利用空间向量是一种更好的方法.20．已知抛物线，直线与交于两点且（为坐标原2:2(0)C x py p =>:2l y kx =+C ,A B OA OB ⊥O 点）．(1)求抛物线的方程；C (2)设，若直线的倾斜角互补，求的值． ()2,2P ,PA PB k 【答案】(1)； 22x y =(2). 2-【分析】（1）利用韦达定理法即求；（2）由题可求，，再结合条件即得.122PA x k +=222PB x k +=【详解】（1）设，，()11,A x y ()22,B x y 由，得， 222x pyy kx ⎧=⎨=+⎩2240x pkx p --=故，124x x p =-由，可得，即， OA OB ⊥12120x x y y +=221212022x x x x p p+⋅=∴，1p =故抛物线的方程为：；C 22x y =（2）设的倾斜角为，则的倾斜角为， PA θPB πθ-∴,()tan tan π0PA PB k k θθ+=+-=由，得， 222x y y kx ⎧=⎨=+⎩2240x kx --=∴，122x x k +=∴，同理， 21111112222222PAx y x kx x --+===--222PB x k +=由，得， 0PA PB k k +=1222022x x +++=∴，即， 1240x x ++=240k +=故.2k =-21．已知等比数列的前项和为，且，数列满足，其{}n a n n S 122n n a S +=+{}n b ()112,2n n b n b nb +=+=中.*n ∈N （1）分别求数列和的通项公式；{}n a {}n b （2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的n a 1n a +n 2n +n c {}n n b c 前项和.n n T 【答案】（1），；（2）.1*23()n n a n N -=⋅∈()*1()n b n n n N =+∈()*1213()n n T n n N =+-∈【分析】（1）设等比数列的公比为，利用，和等比数列的定义即可得{}n a q ()12n n n a S S n -=-≥出；利用已知条件和累乘法即可得出的通项公式；（2）先利用已知条件得到，{}n b 1431n n c n -⋅=+，再利用错位相减法求解即可.143n n n b c n -=⋅⋅【详解】（1）设等比数列的公比为， {}n a q 由已知， 122n n a S +=+可得，12)2(2n n a S n -=+≥两式相减可得， 1122n n n n a a S S +--=-即， 12n n n a a a +=-整理得， 13n n a a +=可知， 3q =已知， 122n n a S +=+令，1n =得，2122a a =+即，1122a q a =+解得，12a =故等比数列的通项公式为；{}n a 1*23()n n a n N -=⋅∈由得：()*112,2,()n n b n b nb n N +=+=∈， 12n n b n b n++=那么， 3124123213451,,,,,12321n n n n b b b b b n n b b b b n b n ---+===⋅⋅⋅==--以上个式子相乘，n 可得， ()113451123212n n n b n n b n n ++=⨯⨯⋅⋅⋅⨯=--，()1()2n b n n n =+≥又满足上式，12b =所以的通项公式.{}n b ()*1()n b n n n N =+∈（2）若在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，n a 1n a +n 2n +n c 则，()11n n n a a n c +-=+即为，()123231n n n n c -⋅-⋅=+整理得， 1431n n c n -⋅=+所以，143n n n b c n -=⋅⋅11223311n n n n n T b c b c b c b c b c --=+++⋅⋅⋅++()0122141342343341343n n n n --=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅-+⋅⋅()012214132333..133()n n n n --=⋅+⋅+⋅++-+⋅，()1211341323+ .....133n n n T n n --=⋅+⋅+-+⋅⎡⎤⎣⎦两式相减得：， ()00121132433+3 .....334313n nn n T n n -⎛⎫--=++-⋅=-⋅ ⎪-⎝⎭所以. ()*()132312132()nnn n T n n n N -=⋅+=+-∈【点睛】方法点睛：由数列前项和求通项公式时，一般根据求解； n 11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩数列求和的方法：（1）等差等比公式法；（2）裂项相消法；（3）错位相减法；（4）分组（并项）求和法；（5）倒序相加法.22．如图，椭圆和圆，已知圆将椭圆的长轴三等分，22122:1(0)x y C a b a b+=>>2222:C x y b +=2C 1C 椭圆右焦点到右顶点的距离为，椭圆的下顶点为E ，过坐标原点O 且与坐标轴不重合1C 3-1C 的任意直线l 与圆相交于点A ，B ．2C(1)求椭圆的方程；1C (2)若直线分别与椭圆相交于另一个交点为点P ，M ．求证：直线经过定点．,EA EB 1C PM 【答案】(1) 2219x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据题意列式求解，即可得答案；,,a b c （2）设直线的方程，与椭圆方程联立求的坐标，进而可求直线的方程，即可、PE ME P M 、PM 得结果.【详解】（1）由题意可得：，则， 1223b a =⋅3a b =∵， 22233a b c a c a b ⎧=+⎪⎪-=-⎨⎪=⎪⎩31a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩∴椭圆的方程为. 1C 2219x y +=（2）由题意知直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为k ，则直线，,PE ME PE :1PE y kx =-联立方程，解得或， 22119y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩22218919191k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩01x y =⎧⎨=-⎩∴， 2221891,9191k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭∵为圆的直径，点E 在圆上，则，即，AB 2C 2C BE AE ⊥1AE BE k k ⋅=-∴，则直线， 11BE AE k k k =-=-1:1ME y x k=--故用去替代k 得， 1k -222189,99k k M k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭∵， 22222229191919181810919PMk k k k k k k k k k k ----++==+++∴直线，即， 22229118:9109k k k PM y x k k k --⎛⎫-=+ ⎪++⎝⎭214105k y x k -=+∴直线经过定点． PM 40,5T ⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；()()1122,,,x y x y （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； x y ∆（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； 12x x +12x x 12y y +12y y （5）代入韦达定理求解.。

【高二数学期末试题】黑龙江省哈师大附中09-10学年高二上学期期末考试(数学理)

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