线性变换的值域与核

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7.5.17.5线性变换的值域和核

ⅱ) 因为
若为单射，则
1
反之，若 (0) 0 , 任取、 V , 若
( ) ( ), 则 ( ) ( ) ( ) 0,
从而
1 (0) 0 , 即 = . 故是单射。
故 ( r 1 ),
kn 0
, ( n ) 线性无关，即它为 (V ) 的一组基。
的秩＝n－r
因此，的秩＋的零度＝n.
值域与核的有关性质
虽然 (V ) 与
1
(0) 的维数之和等于n，但是
(V ) 1 (0) 未必等于V。
如在例1中,
有
x1 ( 1 ) x2 ( 2 )
xn ( n )
xn ( n )
( x1 1 x2 2 ... xn n ) (V )
值域与核的有关性质
L ( 1 ), ( 2 ),
因此，
, ( n ) (V ).
kn n 1 (0)
, r 线性表出。
值域与核的有关性质
设
k1 1 k2 2
于是有 k1 1 k2 2
由于
kr r
kr r , kr 1 r 1
kn n 0
1 , 2 , , n 为 V的基。
k1 k2
一、值域与核的概念
值域与核的概念
定
义
1
设是线性空间V的一个线性变换，
集合
(V ) ( ) | V
称为线性变换的值域，也记作 , 或 ().
1 (0) | V , ( ) 0

高等代数7.6线性变换的值域与核

1, 2 ,L , n 是V的一组基，A 在这组基下的矩阵是A，
则 1）A 的值域A (V )是由基象组生成的子空间，即
A (V ) LA (1),A ( 2 ),L ,A ( n )
2）A 的秩＝A的秩.
.
证：1） V , 设 x11 x2 2 L xn n , 于是 A ( ) x1A (1) x2A ( 2 ) L xnA ( n )
.
0 A 1(0), A 1(0) .
又对 , A 1(0), 有A ( ) 0,A ( ) 0 从而 A ( ) A ( ) A ( ) 0. A (k ) kA ( ) k0 0, k P
即 A 1(0), k A 1(0),
A 1(0) 对于V的加法与数量乘法封闭. 故A 1(0)为V的子空间.
.
定义2：线性变换A 的值域A (V )的维数称为A 的秩；
A 的核A 1(0)的维数称为 A 的零度.
例1、在线性空间 P[ x]n 中，令
D f (x) f (x)
则 D P[ x]n P[ x]n1,
D 1(0) P 所以D 的秩为n－1，D 的零度为1.
.
二、有关性质
1. (定理10) 设A 是n 维线性空间V的线性变换，
并把它扩充为V的一组基：1, 2 ,L , r ,L , n 由定理10，A (V ) 是由基象组A (1),A ( 2 ),L ,A ( n )
生成的.
.
但 A ( i ) 0, i 1,2,L , r.
A (V ) LA (r1),L ,A (n )
下证A ( r1),L ,A ( n )为A (V )的一组基，即证它们
由p271补充题2的结论知，A (1),A ( 2 ),L ,A ( n ) 的秩

线性代数上22线性变换的核

第二十二讲线性变换的核、值域、特征值与特征向量一、线性变换的核、值域定义1 设 σ 是 V 的线性变换, V 中向量在 σ 的作用下全体象的集合称为 σ 的值域, 记为 Im σ = σV = {σα|α∈V}. 定理1 Im σ 是 V 的子空间. 证明显然 Imσ非空, 且 ∀α , β ∈ Im σ , ∃ξ ,η ∈V ，使得 α = σξ , β = ση ,∴α + β = σ (ξ + η ) ∈ Im σ , kα = kσξ = σ (kξ ) ∈ Im σ . 所以 Im σ 是 V 的子空间, dim Imσ 称为线性变换 σ 的秩.
例5 设 W 是 σ 的一维不变子空间, 则 ∀0 ≠ α ∈ W ,Qσα ∈ W ,∴∃λ ∈ F , 使得 σα = λα , 所以 α 是 σ 属于 λ 的特征向量. 反之设 α 是 σ 属于 λ 的特征向量, 设 β∈L(α), 则存在 k∈F, 使得 β = kα, 故 σ(β) = kσ(α) = kλα∈L(α), 所以 L(α) 为 σ 不变子空间.
故 −e1 +2e2 ,e3 为 Imσ = R(A) 的一组基. 定义2 设 σ 是 V 的线性变换, 所有被 σ 映成零向量的向量的集合称为 σ 的核, 记为 kerσ. Nhomakorabea3
定理3 kerσ 是 V 的子空间. 证明 Qσ 0 = 0,∴ kerσ ≠ ∅, ∀α , β ∈ kerσ , ∀k , l ∈ F , 有 σ (kα + l β ) = kσα + lσβ = 0 + 0 = 0, ∴ kα + l β ∈ kerσ .
6
注1 σ 是单射 ⇔ kerσ = {0} ⇔ dimkerσ = 0

【清华线性代数】线性变换的核、值域、特征值与特征向量

7
定义4 设 W 是的不变子空间, 则1 : W W , 是 W 上的线性变换, 称为在 W 上的限制, 记为1 W . 定理6 设是 V 上的线性变换, W 是 V 的子空间, 1, ,k
为 W 的一组基, 扩充为 V 的一组基 1, ,k ,k1, ,n , 则 (1) W 是的不变子空间的充分必要条件为在 V 的基
证明在 V 的某组基下的矩阵为 Ir
0
.
证明 V, (-) = - = 0, 所以 {-|V} ker,
反之, ker, 有 = 0, 所以 {-|V } ker .
所以 {-|V } = ker . V Im ker ,
由本讲定理5可知 V ker 组基, r1, ,n 为ker 的一组基, 则
1, ,r ,r1, ,n 线性无关, 所以 k1 k2 kn 0,dim Im n r.
dimV dimker dimIm.
5
注1 任意给定 V 中元素 , 若存在使 = , 则
1( ) ker { 0, V}
所以是单射 ker = {0} dimker = 0
1, ,r ,r1, ,n 为 V 的一组基, i i , i 1, , r;
i
0,
r 1 i
n.
在 V 的这组基下的矩阵为
Ir
0 .
定义3 设是 V 上的线性变换, W 是 V 的子空间, 如果对 W
中任一向量 , 有属于 W, 则称 W 为的不变子空间.
显然 {0}, V, Im 和 ker 均为不变子空间.
2 0 , 0 1
1 1 0 1 1 0
解
2
2
0 0 0 1，
0 0 1 0 0 0

线性变换6

第六节线性变换的值域与核主要内容定义值域与核的性质A的值域的结构A的秩、零度与空间维数的关系举例一、定义定义11设A是线性空间V的一个线性变换, A 的全体像组成的集合称为A 的值域，用A V 表示.所有被A 变成零向量的向量组成的集合称为的核，用A-1(0) 表示.若用集合的记号则A V = { A ξ | ξ∈V } ，A-1(0) = { ξ | A ξ=0 ，ξ∈ V } .二、值域与核的性质性质线性变换的值域与核都是 V 的子空间.证明由A α + A β = A (α + β ) ，k A α = A (k α)可知，A V 是非空的，由 A α =0 与 A β = 0 可知A (α + β ) =0， A (k α) = 0 .A V 对加法与数量乘法是封闭的，同时，因此 A V 是 V 的子空间.这就是说，A-1(0)对加法与数量乘法是封闭的.又因为A (0) = 0，所以0 ∈A-1(0)，即A-1(0) 是非空的.所以A-1(0) 是V的子空间.证毕A V 的维数称为A 的秩，A-1(0) 的维数称为A 的零度.例1在线性空间P[x]n 中，令D ( f (x) ) = f′(x) .则D 的值域为P[x]n-1，D 的核为子空间P .三、A的值域的结构定理11设A 是n维线性空间V的线性变换，ε, ε2 , … , εn是V的一组基，在这组基下，1A 的矩阵是A，则1)A 的值域A V 是由基像组生成的子空间，即 A V = L (A ε1 , A ε2 , … , Aεn) .2)A 的秩= A的秩.证明 1)设 ξ 是 V 的任一向量，可用基表示为ξ = = x 1ε1 + x 2ε2 + + …… + x n εn .于是A ξ = x 1 A ε1 + x 2 A ε2 + + …… + x n A εn .这个式子说明， A ξ ∈ L (A ε1 , A ε2 , , …… , A εn ) ,因此 A V ⊂ L (A ε1 , A ε2, , …… , A εn ) .这个式子还表明基像组的线性组合还是一个像，也即L (A ε1 , A ε2 , , …… , A εn ) ⊂ A V .A V = L (A ε1 , A ε2 , , …… , A εn ) .于是就有2) 根据 1)， A 的秩等于基像组的秩.另一方面，矩阵 A 是由基像组的坐标按列排列成的.在前一章第八节中曾谈过，若在 n 维线性空间 V 中取定了一组基之后，把 V 的每一个向量与它的坐标对应起来，就得到了 V 到 P n 的同构对应.同构对应保持向量组的一切线性关系，因此基像组与它们的坐标组(即矩阵 A 的列向量组)有相同的秩.证毕四、A的秩、零度与空间维数的关系定理12 设A 是n维线性空间V的线性变换.则A V 的一组基的原像及A-1(0)的一组基合起来就是V的一组基.由此还有A 的秩+ A 的零度=n .证明设A V的一组基为η1, η2 , , …… , ηr , 它们的原像为ε1 , ε2 , , …… , εr , A εi= ηi，i = 1 , 2 ,= 1 , 2 ,…… , r .又取A-1(0)的一组基为εr+1 , εr+2 , , …… , εs.现在来证明ε1, ε2 , , …… , εr , εr+1 , εr+2 , , …… , εs为V的基.若有l1ε1 + l2ε2 + + …… + l rεr + l r+1εr+1 + + …… + l sεs= 0 .用A 去变它的两端的向量，得l1 A ε1 + l2 A ε2 + + …… + l r A εr+ lr+1 A εr+1+ + …… + l s A εs= A 0 = 0 .因εr+1, εr+2 , , …… , εs 属于A-1(0)，故A εr+1= A εr+2 = = …… = A εs = 0 .又A εi = ηi，i = 1 , 2 ,= 1 , 2 ,…… , r . 于是上式就变成l1η1 + l2η2 + + …… + l rηr= 0 .但η1, η2 , , …… , ηr 是线性无关的，有l1 = l2 = =……= l r = 0 .于是等式l 1ε1+ l2ε2 + + …… + l rεr + l r+1εr+1 + + …… + l sεs= 0就变成lr+1εr+1+ + …… + l sεs= 0 .又因为εr+1, εr+2 , , …… , εs 是A-1(0) 的基也线性无关,就有lr+1= = ……= l s = 0 .这就证明了ε1, ε2 , , ……, εr , εr+1, , ……, εs 是线性无关的.再证 V 的任一向量 α 是ε1 , ε2 , , ……, εr , εr +1, , ……, εs 的线性组合.由 η1 = A ε1 , , …… , ηr = A εr 是 A V 的基，就有一组数l1 , l2 , , ……, l r 使A α = l 1 A ε1 + l 2 A ε2 + + …… + l r Aεr= A ( l 1 ε1 + l 2 ε2 + + …… + l r εr ) .于是A (α - l 1 ε1 - l 2 ε2 - - …… - l r εr ) = 0，即α - l 1 ε1 - l 2 ε2 - - …… - l r εr ∈ A -1(0) .又因为 εr +1 , εr +2 , , …… , εs 是 A -1(0) 的基，必有一组数lr +1 , l r +2 , , ……, l s 使α - l1 ε1 - l2 ε2 - - …… - l r εr = l r +1 εr +1 + + ……+ l s εs 于是就有α = l 1 ε1 + l 2 ε2 + + …… + l r εr + l r +1 εr +1 + + ……+ l s εs 这就说明 α 是 ε1 , ε2 , , ……, εr , εr +1, , ……, εs 的线性组合.也就证明了 ε1 , ε2 , , ……, εr , εr +1, , ……, εs 是 V 的一组基.由 V 的维数为 n ，知 s = n .又 r 是A V 的维数也即 A 的秩， s - r = n - r 是 A -1(0) 的维数，即A 的零度.因而A 的秩 + A 的零度 =n .证毕推论对于有限维线性空间的线性变换，它是单射的充分必要条件为它是满射.证明显然，当且仅当 A V = V ，即 A 的秩为 n 时， A 是满射；另外，当且仅当 A -1(0) = {0}即 A 的零度为 0 时， A 是单射，于是由上述定理即可得出结论.证毕应该指出，虽然子空间 A V 与 A -1(0) 的维数之和为 n ，但是 A V + A -1(0) 并不是整个空间.例如在线性空间P [x ]n 中，令五、举例例 2 设线性变换 A 在三维线性空间 V 的一组基 ε1 , ε2 , ε3 下的矩阵是.103012121⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=A (1) 求 A 在基 η1 , η2 , η3 下的矩阵，其中：.,2,32321332123211εεεηεεεηεεεη++−=++=++=(2) 求 A 的值域 A V 和核 A -1(0) ；(3) 把 A V 的基扩充为 V 的基，并求 A 在这组基下的矩阵；(4) 把 A -1(0) 的基扩充为 V 的基，并求 A 在这组基下的矩阵.(1) 解因为所以从基ε1, ε2, ε3 到基η1, η2, η3 的过渡矩阵为(2) 解由本节定理11设A 是n 维线性空间V 的换，ε1, ε2, …, εn 是V 的一组基，在这组A 的矩阵是A ，则1)A 的值域A V 是由基像组生成的子及其证明知A V = L ( A ε1, A ε2, A ε3 )A V 的维等于矩阵A 的维，A V 的基的坐标即为矩阵A 的列向量组的最大线性无关向量组.下面来(3) 解在(2)中已求得A V 的基为(4) 解在(2)中已求得A -1(0)的基为例 3 设 A 是一个 n × n 矩阵，A 2 = A . 证明A 相似于一个对角矩阵)1(.00111⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛O O证明取一 n 维线性空间 V 以及 V 的一组基ε1 , ε2 , , ……, εn .定义线性变换 A 如下：A (ε1 , ε2 , , ……, εn ) = (ε1 , ε2 , , ……, εn ) A .下面来证明， A 在一组适当的基下的矩阵是 (1) .这样，由定理4设线性空间V 中线性变换A 在两组基ε1 , ε2 , …, εn ，(6)η1 , η2 , …, ηn (7)下的矩阵分别为A 和B ，从基(6) 到(7) 的过渡矩阵是X ，于是B = X -1AX .也就证明了所要的结论.由 A 2 = A ，可知 A 2=A .我们取 A V 的一组基为 η1 , η2 , , …… , ηr .由A η1 = η1 , , …… , A ηr = ηr ,它们的原像也是 η1 , η2 , , …… , ηr.再取 A -1(0) 的一组基为 ηr +1 , , …… , ηn .由定理12 设A 是n 维线性空间V 的线性变则A V 的一组基的原像及A -1(0)的一组基合起来就是V 的一组基.由此还有A 的秩+ A 的零度= n .推论对于有限维线性空间的线性变换，它是单射的充分必要条件为它是满射.换.知： η1 , η2 , , …… , ηr , ηr +1 ,, …… , ηn 是 V 的一组基.在这组基下， A的矩阵就是 (1) .证毕。

§7.6 线性变换的值域与核.

§7.6 线性变换的值域与核教学目的理解值域与核的概念，记忆秩与零度的术语，熟练掌握值域的结构，及其与核的关系.重点值域的结构，值域与核的关系. 难点值域与核的关系. 课型新授课教学过程定义6：A ——V 上的线性变换（()A L V ∈），A 的值域：{}V A AV ∈=ξξ，其维数叫A 的秩.A 的核：(){}V A A ∈==-ξξξ,001，其维数叫A 的零度. 易证：AV 与()01-A 均是V 的子空间。

例：在[]n x P 中，()()()x f x f A '=则[]()[]()P A x P x P A n n ==--0,11二者均是[]n x P 的子空间。

定理10 11A (),dim ,,,n L V V n εεε∈=L 是一个基。

1）12AV (A ,A A )n L εεε=L2）若1212A(,,)(,,)n n A εεεεεε=L L ，则秩（A ）=秩（A ）证明：1）等AV,:A αααα''∈∃=，而1A nni i i i i i la a αεαε=='=⇒=∑∑12(A ,A A )n L αεεε'∴∈L反过来12(A ,A ,A )A A()AV n i i i i L a a αεεεαεε''∈⇒=⇒←∑∑Lα'∴是i i a αε=∑的像，AV α'∈故1AV (A ,A )n L εε=L 2）11212(A ,A )A(,,)(,)n n n A εεεεεεεε==Q L L L∴ 秩1(A)dim AV dim (A ,A )n L εε==L （P271.2第六章补充题2 ）=秩（A ）换句话说：ψ：A A →，则秩（A ）=秩（A ）说明：()s L ααα,,,21Λ 是包含s ααα,,,21Λ的最小子空间。

解决了dimAV , 那么-1dimA ?=,定理11 设线形映射:,dim V V V n σ→=<∞，则dimIm dimker n σσ+=证设12dim ker ,,,s s σααα=L 为ker σ的基，则扩充11,s s n αααα+L L 为V 的基111((),()(),()(),())s s n n V L L σσασασασασασα+==L L L （），（如果，1111()()0()0ker n ns s n n i ii ii s i s k k k a k a σασασσ++==+==+++=⇒=⇒∈∑∑L111()0,0nsni i i i i i i i s i i k a k a k a i k =+==∴=-⇒=⇒∀=∑∑∑1(),()s n σασα+∴L 线性无关，因此1dim Im (())s n s σσασα+==-L n 秩（）dimIm dimIm dimker n s σσσ∴=+=+注意：虽有A 的秩+A 的零度=n ，但这并不等于AV +()01-A =V 成立。

高等代数7-6线性变换的值域与核

(V ) L (1), (2 ), (3 ), (4 ) L (1), ( 2 )
(1), (2 ) 就是 (V ) 的一组基.
法二： (V )=L( (1), (2 ), (3 ), (4 )) ( (1 ), (2 ), (3 ), (4 ))=(1,2,3,4 ) A
1 0 2 1
是单射是满射. 证明：是单射
1(0) 0
dim 1(0) 0 dim (V ) n (V ) V 是满射.
例2、设A是一个n阶方阵，A2 A, 证：设A是n维线性空间V的一个线性变换在一
组基1,2, ,n下的矩阵，即
在 (V ) 中取一组基：1,2 ,r 在 1(0) 中取一组基：r1, ,n 则 1,2 ,r ,r1, ,n 就是V的一组基.
显然有，
1 1, 2 2, , r r , r1 0, r2 0, , n 0.
用矩阵表示即
1
1
(1,2 ,n ) (1,2 ,n )
1 0 2 1
A
1
2
1
3
行变换
0
2
3
4
1 2 5 5 ~ 0 0 0 0
2
2 1 2
0
0
0
0
故 (1 ), (2 ), (3 ), (4 ) 的秩为2， (1 ), (2 )是它
的一组最大无关组。
因此， (V ) L (1 ), (2 )
2）因为
1 0 2 1
1
,
2
,1
,
2
证明：ⅰ) 显然.
ⅱ) 因为 0 0, 若为单射，则 1(0) 0. 反之，若 1(0) 0, 任取、 V , 若
( ) ( ), 则 ( ) ( ) ( ) 0,

线性变换的值域与核

1 2) 在 (0)中选一组基，把它扩充为V的一组基，
并求在这组基下的矩阵.
3) 在 (V ) 中选一组基，把它扩充为V的一组基，
并求在这组基下的矩阵.
§7.6 线性变换的值域与核
1 1 (0). (0), 它在 1 , 2 , 3 , 4 解：1）先求设
( ) ( ), 则 ( ) ( ) ( ) 0,
1 从而 (0) 0 ,
即 = . 故是单射.
§7.6 线性变换的值域与核
4. 设为n 维线性空间V的线性变换，则
是单射是满射.
证明：是单射
1 (0) 0
dim 1 (0) 0
dim (V ) n (V ) V
是满射.
§7.6 线性变换的值域与核
例2、设 1 , 2 , 3 , 4 是线性空间V的一组基，已知
1 0 1 2 线性变换在此基下的矩阵为 A 1 2 1 2 2 ( V ) (0). 1) 求及 1 3 5 5 1 2 2 1
k1 k2 kn 0
故 ( r 1 ),, ( n ) 线性无关，即它为 (V ) 的一组基.
的秩＝n－r .
因此，的秩＋的零度＝n.
§7.6 线性变换的值域与核
注意：
1 虽然 (V ) 与 (0) 的维数之和等于n ，但是
(V) 1(0) 未必等于V.
生成的.
§7.6 线性变换的值域与核
但 ( i ) 0,
i 1,2,, r .
(V ) L ( r 1 ), , ( n )

高等代数线性变换的值域与核

. .. . . ..
线性变换的秩与零度
定义设 V 是数域 P 上 n 维线性空间，A 是 V 上线性变换，称 dim ImA 为 A 的秩，dim ker A 为 A 的零度或亏. 例在线性空间 P[x]n 中，令
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
线性变换的值域与核的概念
定义设 A 是线性空间 V 的一个线性变换，A 的全体像组成的集合称为 A 的值域，用 A V（或者 ImA ）表示. 所有被 A 变成零向量的向量组成的集合称为 A 的核，用 A −1(0)（或者 ker A ）表示.
若用集合的记号则
A V = {A ξ|ξ ∈ V}, A −1(0) = {ξ|A ξ = 0, ξ ∈ V}.
注上面的定理说明线性变换与矩阵之间的对应关系保持秩不变.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
线性变换的维数公式
定理设 A 是 n 维线性空间 V 的线性变换. 则 A V 的一组基的原像及 A −1(0) 的一组基合起来就是 V 的一组基. 由此还有
证设 A V 的一组基为 η1, η2, · · · , ηr，它们的原像为 ε1, ε2, · · · , εr，A εi = ηi, i = 1, 2, · · · , r. 又取 A −1(0) 的一组基为 εr+1, εr+2, · · · , εs. 现在证 ε1, ε2, · · · , εr, εr+1, · · · , εs 为 V 的基. 如果有
线性变换的值域与核的概念

核空间与值域

核空间与值域核空间与值域，是线性代数中的两个重要概念。

它们分别描述了一个线性变换的两个关键性质：核空间（null space）描述了线性变换的零空间，而值域（range）则描述了线性变换在所有输入向量中所能达到的全部输出向量。

本文将对核空间与值域进行详细介绍及探讨。

一、核空间核空间是线性变换的一个重要属性，也叫做零空间。

对于线性变换T:V→W（其中 V 和 W 是向量空间），其核空间定义为使得 T(v) = 0的所有 v 向量的集合，记作 N(T) 或者 ker(T)。

核空间的性质与特点：1. 零向量必定属于核空间：对于线性变换 T，显然存在 T(0) = 0，因此零向量是核空间的元素之一。

2. 任意向量经过线性变换后成为零向量，则该向量属于核空间：若T(v) = 0，v 是 T 的核空间中的向量。

3. 核空间中的向量可以通过线性组合得到：若 v1 和 v2 属于核空间，α 和β 是标量，则αv1 + βv2 也属于核空间。

二、值域值域是描述线性变换的另一个重要参数。

对于线性变换T:V→W，其中 V 和 W 是向量空间，T 的值域定义为所有 T(v)（v 属于 V）所组成的向量的集合，记作 R(T) 或者 Im(T)。

值域的性质与特点：1. 值域是一个向量空间：对于线性变换 T，其值域 R(T) 是 W 的向量子空间。

2. 值域中的向量可以通过线性组合得到：若 v1 和 v2 属于值域 R(T)，α 和β 是标量，则αv1 + βv2 也属于 R(T)。

三、核空间与值域的关系核空间和值域是线性变换的两个重要性质，它们之间具有一定的关联。

1. 零空间的维度与线性变换的秩存在关系：对于线性变换 T，其核空间 N(T) 和值域 R(T) 满足维度定理（dimension theorem）：dim(N(T)) + dim(R(T)) = n，其中 n 是向量空间 V 的维度。

2. 核空间与值域之间的相关性：若向量 v 属于向量空间 V，且 v 不属于核空间 N(T)，则 T(v) 属于值域 R(T)。

7.6 线性变换的值域与核

（43;dimA 该性质说明：dimA V+dimA －1(0) = n. 但此时不能断定A V+A －1(0) =V. 例如在 P[x]n 中, W P[x]n = P[x]n-1, V+A W
－1(0)
= P, W P[x]n + W
－1(0) －1(0))
A 的零度 = n, 即
A V + A (0) = V V = A V ⊕ A −1(0) →
−1 A V∩A −1 (0)={0}
→ A V中取基η1,⋯,ηr ， A −1(0) 中取基ηr+1,⋯,ηn → η1,⋯,ηr ，
ηr+1,⋯,ηn 构成 V 的基， Aη1 =η1,⋯, Aηr =ηr , Aηr+1 =⋯= Aηn = 0, 且
例线性空间 P[x]n 中 W (f (x)) = f /(x). 则 W 的值域为P[x]n/(x). 的值域为P[x]n1, W 的核为子空间P. 的核为子空间P.
二. 值域与核的性质
1 (定理10) A ∈L(V), ε1, ··· ,εn是V的基，且 A 在定理10) ,εn是的基，该基下的矩阵为A 该基下的矩阵为A，则 1) A V= A (L(ε1, ···, εn )) = L( A ε1, ···, Aεn )； (L(ε )； 2) A 的秩 = A的秩. A的秩的秩.
⋱ 1 0 ⋱
证明：
A∈Pn×n → ∃A ∈L(V), A (ε1,⋯, εn ) = (ε1,⋯, εn )A ，且因
A2 = A 得 A 2 = A .现证 A V ∩ A −1(0) = {0} .
∀α ∈A V ∩ A −1(0) → α ∈A V, α ∈A −1(0) → α ∈A V →

第六节线性变换的值域与核

第六章线性变换1、教学目标：通过研究线性变换，要求学生在理解概念的基础上熟练掌握线性变换在某基下的矩阵的求解。

2、教学重、难点：以线性变换在不同基下矩阵的关系，矩阵的对角化及不变子空间为重点。

线性变换在不同基下对应不同的矩阵，线性变换的值域与核，线性空间按特征值分解成不变子空间的直和，为本章难点。

3、教学时数：14课时第一节线性变换的定义定义 1是线性空间到线性空间的一个映射,满足：则称为线性映射.定义 2是线性空间到线性空间的一个映射,满足：则称为线性变换.本章主要研究线性变换性质 1∙∙线性变换保持线性关系式不变. 若,则∙将线性相关的元素映射为线性相关的元素.第二节线性变换的运算1.相等iff2.加法运算；负运算；减法运算.3.乘法运算以及4.数乘运算5.幂次运算6.线性变换的多项式运算,定义7.零变换(0),恒等变换(Id)8.可逆的线性变换运算性质从交换律 ,结合律,分配律上考虑定理 1设是空间上的两个线性变换, 则都是上的线性变换；如果是可逆的,则也是上的线性变换.定理 2设是空间上的线性变换, 则∙乘法满足结合律∙,∙∙乘法一般不满足交换律 (见下例),但对于线性变换的多项式,总有交换律,即定义 1线性空间上的所有线性变换的集合在线性变换的加法和数乘运算下是一个线性空间, 称为线性空间的对偶空间.线性变换的乘法运算不满足交换律.例子 1假设,那么有结论:第三节线性变换的矩阵我们从两个方面来讨论线性变换的矩阵.定义 1设是维线性空间的一组基,为一个线性变换, 则元素组在的坐标,即构成的矩阵称为在基下的矩阵.定理 1线性变换的唯一存在定理任给线性空间的一组基和它的任意一组元素,则必存在唯一的线性变换,使得.证明利用线性空间的特征,可以构作映射;则即为所求下面的定理说明线性变换和矩阵的本质联系.定理 2设是数域上维线性空间的一组基,在这组下, 线性变换的矩阵用来表示.则存在从到的同构映射,满足:1. ;2. ;3. ;4. ;定理 3和在基下的坐标分别为,且的矩阵为.则.已知两组基.现在我们关心在这两组基础下的矩阵的联系.定理 4已知线性空间的两组基,线性变换在这两组基础下的矩阵分别为.则存在可逆的矩阵,使得证明根据已知条件,可得假设从基到基的过渡矩阵记为.则经过运算,可以得到结论.为了研究在这两组基础下的矩阵的这种联系联系,故此定义定义 2矩阵称为相似的,若存在可逆的矩阵,使得.继矩阵的等价、合同关系之后,相似关系是矩阵的新关系.性质 2相似关系是等价关系.性质 3相似,即,则.一般的,对任意的多项式, 均有.矩阵的这种相似关系可以用来计算矩阵的幂次方.例子 1计算.第四节特征值与特征向量现在,我们来讨论线性变换的简单化问题,即研究线性变换在什么条件下他的矩阵为对角矩阵？存在与否一组基,使得他的矩阵为对角矩阵？利用这些想法,我们不难得到一些必要条件.在这些必要条件的基础上我们来逐步判断线性变换的对角化问题.分析：假设我们果真找到了一组基,在其下的矩阵为.则得到定义 1线性变换的特征值,特征向量.再假设我们有一组基,满足代入上式,得到定义 2矩阵的特征值,特征向量计算问题：若何求特征值和特征向量？一些重要的基本概念：定义 3特征多项式.迹；特征子空间特征多项式的基本性质性质 4,则,定理 1相似的矩阵有相同的特征多项式；反之不然.例子 1定理 2Hamilton-Caylay定理设.则.证明令为的伴随矩阵,则有可令则代入第一式中,比较对应项的系数,得到即对应求和,得到结论.定义 4矩阵的零化多项式：,则称为的零化多项式. 次数最低的零化多项式称为的最小多项式.Hamilton-Carlay 定理的应用举例：例子 2设. 证明：提示：例子 3计算上例子中.问题：如何计算,使得?提示：用待定系数法.第五节对角矩阵本节给出线性变换或矩阵对角化问题的一系列判别条件.定理 1设是维线性空间的一个线性变换, 存在一组基使得在此基下的矩阵是对角矩阵的分必要条件是有个线性无关的特征向量.那么如何保证一定有线性无关的特征向量呢？定理 2属于不同的特征值的特征向量是线性无关的. 利用归纳法证明.推论 1有个不同的特征根, 则必有个特征向量.推论 2在复数域上,的特征多项式没有重根,则必有个特征向量.定理 3如果是线性变换的不同的特征值, 而是属于特征值的线性无关的特征向量,. 那么也线性无关.证明：设有判别式令则上式等价于可以验证或为的特征向量或为零向量. 如为前者, 则与上定理的结论相矛盾. 则只能为后者.等价于, 故原命题成立 .定理 4可以对角化的充要条件是任何一个特征值的代数重数等于它的几何重数.第六节线性变换的值域与核定义 1值域和核；数学表示；性质 1值域和核都是线性子空间定义 2线性变换的秩与零度： dimdim分别称为线性变换的秩和零度定理 1设是维线性空间的线性变换, 是的一组基,在这组基下的矩阵是,则∙;∙的秩=.线性变换的秩和零度存在下面的联系-维数公式定理 2设是维线性空间的线性变换,则dim dim推论 1对于有限维线性空间的线性变换,它是1-1的充分必要条件是它是满射.例子 1设是一个线性变换,满足: .求证：可以对角化证明只证明其中. 又分别从两个子空间选取一组基.那么在这一组基下的矩阵为第七节不变子空间定义 1是线性空间的子空间, .如果,则称为-不变子空间.线性不变子空间的基本性质性质 51.特征子空间是不变子空间；2.线性变换的值域和核均为子空间3.不变子空间的交与和仍然是不变子空间；4.和是不变子空间.例子 1假如是相互交换的线性变换,则的核与值域都是子空间.不变子空间的作用1.简化矩阵计算定理 1设是一个-不变子空间,则一定存在一组基使得在此基下的矩阵为推论 1设是一个-不变子空间, 并且, 则一定存在一组基使得在此基下的矩阵为2.线性空间的直和分解定理 2设线性变换的特征多项式为,它可以分解成一次因式的乘积则可以分解成不变子空间的直和其中证明: (I)先证由已知条件可设故可知即存在个多项式,使得故对线性变换而言也有所以, ,必有令.可验证ker(II)再证只证明零元素的分解是唯一的.为此假设对上式两端同时用作用,注意到. 因此,我们可以得到同时由故得作用到之上,可以建立综合上述,原命题得证明.。

7.6值域和核第二讲

在 1(0)中任取向量“”，则“ ( )=0”，
设“”在基下的坐标则“ =0 ”的坐标
x1

x2
，
x3

x4
ห้องสมุดไป่ตู้
x1 0
A

x2

0
，
*
x3

x4

0

0

解齐次线性方程组 * 得通解
线性无关.
续证：设 kr1 ( r1) kn ( n ) 0
则有 kr1 r1 kn n 0
kr1 r1 kn n 1(0) 即可被 1, 2 , , r 线性表出.
设 k11 k2 2 kr r
0
,D 的秩为 n-1,故变换的秩为 n-1,零度为 1.

1

0
另解：易知该微分变换值域：P[ x]n1，n-1维；
核：数域P上全体常数，1维.
小结作业：323页 14（2）（3）

-1 1
2
0
0

2 1 0

2
-2
0

1
显然X
的列线性无关，因此以它们为坐标的向量
1
1 ， 2 ，3，4无关，为V的一组基.
1 0 2 1
X2

0 0
1 2 / 3 01
2

0

0 0
0
1

显然X1的列线性无关，因此以它们为坐标的向量
1， 2，1，2无关，为V的一组基.

沈阳师范大学数学与系统科学学院高等代数第七章§6 线性变换的值域与核

( ) ( ) ( ) 0.
( k ) k ( ) k 0 0,
1 1 即 (0), k (0),
k P
1 (0) 对于V的加法与数量乘法封闭.
1 (0) 为V的子空间. 故
第七章线性变换 §6 线性变换的值域与核
1 2) 在 (0)中选一组基，把它扩充为V 的一组基，
并求在这组基下的矩阵.
3) 在 (V ) 中选一组基，把它扩充为V 的一组基，
并求在这组基下的矩阵.
第七章线性变换 §6 线性变换的值域与核
1 (0). 设 1 (0), 它在 1 , 2 , 3 , 4 解：1）先求
定义2：线性变换的值域 (V ) 的维数称为的秩；
的核 1 (0) 的维数称为的零度.
例1、在线性空间 P[ x ]n 中，令
D f ( x ) f ( x )
则
D P[ x ]n P[ x ]n1 ,
D 1 (0) P
所以D的秩为n－1，D的零度为1.
下的坐标为 ( x1 , x2 , x3 , x4 ).
由于 ( ) 0, 有 ( )在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
0,0,0,0 .
故
0 1 1 2 1 2 2 2 1 x1 0 x 0 1 3 2 5 5 x3 0 1 2 x4 0 2
1
(V ) 1(0) 未必等于V.
如在例1中,
D P[ x]n D1 0 P[ x]n1 P[ x]n
第七章线性变换 §6 线性变换的值域与核

§6 线性变换的值域与核

但 AV + A −1 (0) 未必就是整个空间. 这时因为 AV ∩ A −1 (0) 未必就是{0}.
ε 例如：A为2维线性空间V上的线性变换， 1 , ε 2 为例如： V 的一组基， 0 1 A (ε1 , ε 2 ) = (ε1 , ε 2 ) , 0 0
则 AV = L(ε1 ), A −1 (0) = L(ε1 ). 显然，
上页下页返回结束
1）设 l1ε1 + ⋯ + lrε r + lr +1ε r +1 + ⋯ + lr + sε r + s = 0. 两边用A 作用得 l1 Aε1 + ⋯ + lr Aε r + lr +1 Aε r +1 + ⋯ + lr + s Aε r + s = 0. 因为 ε r +1 ,⋯, ε r + s ∈ A −1 (0), 所以 Aε r +1 = ⋯ = Aε r + s = 0. 又 Aε1 = η1 ,⋯, Aε r = ηr , 故 l1η1 + l2η2 + ⋯ + lrηr = 0. 但 η1 ,⋯,η r 为AV 的一组基，故 l1 = l2 = ⋯ = lr = 0. 于是 lr +1ε r +1 + ⋯ + lr + sε r + s = 0. ε r +1 ,⋯, ε r + s 为 A −1 (0) 的一组基，故 lr +1 = ⋯ = lr + s = 0. 从而ε1 ,⋯, ε r , ε r +1 ,⋯, ε r + s 线性无关.

线性变换的值域与核.

V
1 (0)
0
V
V
第七章线性变换 §6 线性变换的值域与核
事实上， V V , V , 且对
, V , k P 有 ( ) V
k (k ) V
即 V 对于V的加法与数量乘法封闭. V 为V的子空间. 再看 1(0). 首先， 1(0) V , (0) 0,
第七章线性变换 §6 线性变换的值域与核
的秩＋的零度＝n 即 dim V dim 1(0) n.
证明：设的零度等于r ，在核
1,2, ,r
并把它扩充为V 的一组基：1, 2 ,
1(0)中取一组基
, r , r1, , n
由定理10, 则 V L( 1, , r , r1, , n ). 但 i 0, i 1, 2, , r.
任取 V , 设 , V , 则 ( ) 2 , 故有 V , 0 当且仅当 0.
因此有 V 1(0) 0
从而 V 1(0) 是直和 . 又 dim V dim 1(0) n
所以有 V V 1(0).
第七章线性变换 §6 线性变换的值域与核
kr1 r1 kn n 1(0)
即可被 1, 2 , , r 线性表出.
第七章线性变换 §6 线性变换的值域与核
设 k11 k2 2 kr r 于是有 k11 k2 2 kr r kr1 r1 kn n 0 由于 1, 2 , , n为 V的基.
k1 k2 kn 0
定义2：线性变换的值域 V 的维数称为的秩；
的核 1(0)的维数称为的零度.
例1、在线性空间 P[ x]n 中，令
f (x) f (x)
则
P[ x]n P[ x]n1,
1(0) P

7.6 线性变换的值域与核

第七章线性变换学习单元6：线性变换的值域与核_________________________________________________________● 导学学习目标：理解线性变换的值域与核的概念；掌握线性变换的值域的结构；掌握线性变换的核的结构；会求线性变换的值域的维数与基；会求线性变换的核的维数与基。

学习建议：建议大家多读定义及定理，认真理解定义及定理的条件与结论，结合例题、习题掌握理论内容。

重点难点：重点：掌握线性变换的值域与核的维数与基的计算。

难点：深刻理解线性变换的值域与核的结构。

_________________________________________________________● 学习内容一、线性变换的值域与核的概念及基本性质定义设V 为数域P 上线性空间，(),A L V ∈V 的全体向量在A 下的像组成的集合称为A 的值域，记为()A V ，即(){()|}A V A V αα=∈。

V 的零向量在A 下的原像组成的集合称为A 的核，记为1(0)A -，即1(0){|()0}A V A αα-=∈=。

注也记()A V 为Im A (the image of A )，1(0)A -为ker A (the kernel of A )。

命题 1(),(0)A V A V -≤。

定义称dim ()A V 为A 的秩，记为()R A ，称1dim (0)A -为A 的零度，记为()N A 。

二、()A V 及1(0)A -的结构及关系定理设V 为P 上n 维线性空间，(),A L V ∈1,,n εεL 为V 的一个基，A 在1,,n εεL 下的矩阵为A ，则（1）12()((),(),,())n A V L A A A εεε=L ；（2）()()R A R A =；注：由于A 在不同基下的矩阵相似，而相似矩阵有相同的秩，故计算()R A 时与基的选择无关。

线性变换的值域与核

由第六章§ 的同构关系知，由第六章§8的同构关系知， ε 1 , A ε 2 ,L , A ε n 的秩关系知 A 等于矩阵A的秩等于矩阵的秩. 的秩
) ∴ 秩 (A ＝秩 ( A).
2. 设A 为n 维线性空间的线性变换，则维线性空间V的线性变换的线性变换，
的秩＋的零度＝ A 的秩＋A 的零度＝n 即
ε 1 , ε 2 ,L , ε n为 V的基的基. 的基
∴ k1 = k2 = L = kn = 0
性无关，的一组基. 故 A ε r +1 ,L , A ε n 线性无关，即它为 A V 的一组基
∴ A 的秩＝n－r . 的秩＝－
因此，的秩＋的零度＝因此，A 的秩＋ A 的零度＝n.
dim A V + dim A
−1
(0) = n.
−1
证明：的零度等于r 证明：设A 的零度等于，在核A
(0)中取一组基
ε 1 , ε 2 ,L , ε r
ε 并把它扩充为V 的一组基：并把它扩充为的一组基： 1 , ε 2 ,L , ε r , ε r +1 ,L , ε n
由定理10, 则 A V = L(A ε 1 ,L , A ε r , A ε r +1 ,L , A ε n ). 由定理但
称为线性变换的核，称为线性变换A 的核，也记作 ker A .
注： A V , A
−1
(0) 皆为的子空间皆为V的子空间的子空间.
A AV 0
A
−1
(0)
ε1 ε2
M
η1 η2
M
εs
ηs
V
V
事实上，事实上， A V ⊆ V , A V ≠ ∅ ,

考研高数总复习第七章线性变换第六节

同时，
A 这就是说， -1(0) 对加法与数量乘法是封闭的. A A A 因为 (0) = 0，所以 0 -1(0) ，即 -1(0) 是非空的. 所以 A -1(0) 是 V 的子空间.
A A 秩 A V 的维数称为的， -1(0) 的维数称为 A 的零度.
例 1 在线性空间 P[x]n 中，令 D ( f (x) ) = f (x) .
另一方在前
同构对
证毕
四、A 的秩、零度与空间维数的关系
定理 12 A 设是 n 维线性空间 V 的线性变
A A 换. 则 V 的一组基的原像及 -1(0) 的一组基合
起来就是 V 的一组基.
由此还有
A A 的秩 + 的零度 = n . 证明 A 设 V 的一组基为 1 , 2 , … , r , 它们 A 的原像为 1 , 2 , … , r , i = i ，i = 1 , 2 ,… , r . A 又取 -1(0) 的一组基为 r+1 , r+2 , … , s .
则 D 的值域为 P[x]n-1 ， D 的核为子空间 P .
又
证毕
三、A 的值域的结构
定理 11 A 设是 n 维线性空间 V 的线性变
换，1 , 2 , … , n 是 V 的一组基，在这组基下，
A 的矩阵是 A，则
A A 1)
的值域 V 是由基像组生成的子空间，
即
A A A A V = L ( 1 , 2 , … , n ) .
若用集合的记号则
A A V = { | V } ， A A -1(0) = { | =0 ， V } .
二、值域与核的性质
性质线性变换的值域与核都是 V 的子空间. 证明由

线性变换的值域与核

7.5.17.5线性变换的值域和核

高等代数7.6线性变换的值域与核

线性代数上22线性变换的核

【清华 线性代数】线性变换的核、值域、特征值与特征向量

线性变换6

§7.6 线性变换的值域与核.

高等代数7-6线性变换的值域与核

线性变换的值域与核

高等代数线性变换的值域与核

核空间与值域

7.6 线性变换的值域与核

第六节线性变换的值域与核

7.6值域和核第二讲

沈阳师范大学数学与系统科学学院高等代数第七章§6 线性变换的值域与核

§6 线性变换的值域与核

线性变换的值域与核.

7.6 线性变换的值域与核

线性变换的值域与核

考研高数总复习第七章线性变换第六节

【清华线性代数】线性变换的核、值域、特征值与特征向量