多元函数微分学a知识点整理
《高等数学》第八章复习要点
第八章 多元函数微分法及其应用 复习要点多元函数的微积分的概念、理论、方法是一元微积分中相应概念、理论、方法的推广和发展，它们既有相似之处（概念及处理问题的思想方法）又有许多本质的不同，要善于进行比较，既要认识到它们的共同点和相互联系，更要注意它们的区别，深刻理解，融会贯通。
1. 会求多元函数的偏导数对二元函数),(y x f z =， x y x f y x x f x z f x ∆-∆+=∂∂='→∆),(),(lim 01，yy x f y y x f y z f y ∆-∆+=∂∂='→∆),(),(lim 02 因此求x z ∂∂时，暂时将y 看作常数，对x 求导; 求y z ∂∂时，暂时将x 看作常数，对y 求导.同理，会求三元函数的偏导数。
2. 会求多元函数的高阶偏导数对二元函数),(y x f z =，有)(2211x z x x z f ∂∂∂∂=∂∂=''， )(212xz y y x z f ∂∂∂∂=∂∂∂=''， )(221y z x x y z f ∂∂∂∂=∂∂∂=''， )(2222y z y yz f ∂∂∂∂=∂∂=''. 定理：xy z y x z x y z y x z ∂∂∂∂∂∂⇔∂∂∂=∂∂∂2222, 连续 3. 会求多元函数的全微分对二元函数),(y x f z =，dy yz dx x z dz ∂∂+∂∂= 对三元函数),,(z y x f u =，dz z u dy y u dx x u du ∂∂+∂∂+∂∂=4. 掌握多元复合函数的求导法则设)],(),,([),(),,(),,(y x v y x u f z y x v v y x u u v u f z =⇒===则 xv f x u f x v v z x u u z x z ∂∂⋅'+∂∂⋅'=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂21yv f y u f y v v z y u u z y z ∂∂⋅'+∂∂⋅'=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂21 重点：会求复合函数的二阶偏导数。
高考数学冲刺复习多元函数微分学考点速查
高考数学冲刺复习多元函数微分学考点速查高考数学中的多元函数微分学是一个重要且具有一定难度的考点。
在冲刺复习阶段，对这部分内容进行系统的梳理和速查，有助于同学们查缺补漏，提高应考能力。
一、多元函数的概念多元函数是指有两个或两个以上自变量的函数。
比如，＄z ＝ f(x,y)＄就是一个二元函数。
理解多元函数的定义，要明确自变量的取值范围，即定义域。
定义域的确定通常需要考虑实际问题的背景或者函数表达式的限制条件。
二、偏导数偏导数是多元函数微分学中的重要概念。
对于二元函数$z ＝ f(x,y)＄，关于$x$的偏导数记为$＼frac{＼partial z}｛＼partial x}＄，关于$y$的偏导数记为$＼frac{＼partial z}｛＼partial y}＄。
计算偏导数时，将其他自变量视为常数，只对一个自变量求导。
例如，若$f(x,y) ＝ x^2 ＋ 3xy ＋ y^2$，则$＼frac{＼partial f}｛＼partial x} ＝ 2x ＋ 3y$，＄＼frac{＼partial f}｛＼partial y} ＝ 3x ＋ 2y$。
偏导数的几何意义也值得关注。
对于二元函数，偏导数表示函数在某一方向上的变化率。
三、全微分全微分是多元函数微分学中的另一个关键概念。
对于二元函数$z ＝f(x,y)＄，如果函数的全增量$＼Delta z$可以表示为$＼Delta z ＝A\Delta x ＋ B\Delta y ＋ o(＼sqrt{（＼Delta x)＾2 ＋（＼Delta y)＾2}）＄，其中$A$，＄B$与$＼Delta x$，＄＼Delta y$无关，那么称函数$z＝ f(x,y)＄在点$（x,y)＄可微，＄A\Delta x ＋ B\Delta y$称为函数在点$（x,y)＄的全微分，记为$dz ＝ A\Delta x ＋ B\Delta y$。
全微分的计算通常基于偏导数，若函数$z ＝ f(x,y)＄的偏导数$＼frac{＼partial z}｛＼partial x}＄和$＼frac{＼partial z}｛＼partial y}＄在点$（x,y)＄连续，则函数在该点可微，且$dz ＝＼frac{＼partial z}｛＼partial x}＼Delta x ＋＼frac{＼partial z}｛＼partial y}＼Delta y$。
关于多元微分学的几点注记
关于多元微分学的几点注记多元微分学是微积分中的一个重要分支，主要研究多元函数的微分、导数、极限和微分方程等相关问题。
下面是关于多元微分学的几点注记。
一、多元函数的概念1. 多元函数是指依赖于多个变量的函数，常用的表示方法为f(x1,x2,...,xn)。
2. 多元函数的定义域是指多个变量的取值范围，一般表示为D⊆R^n，其中R^n表示n 维实数空间。
二、偏导数的定义1. 偏导数是多元函数在某一点上对某个变量的变化率，表示为∂f/∂xi或f(xi)'，其中xi是自变量。
2. 偏导数的计算方法类似于一元函数的导数，将其他变量视为常数，对该变量求导即可。
三、全微分的概念1. 全微分是多元函数在某一点上的线性逼近，表示为df=f1dx1+f2dx2+...+fndxn，其中f1,f2,...,fn为偏导数，dx1,dx2,...,dxn为自变量的微小变化量。
2. 全微分可以用来估计多元函数在某一点附近的变化情况，是求解微分方程的重要工具之一。
四、多元函数的连续性与可微性1. 多元函数在某一点上连续，意味着函数在该点的极限存在，并且与该点的函数值相等。
2. 多元函数在某一点上可微，意味着函数在该点的偏导数存在，并且全微分存在。
五、多元函数的极值与最优化1. 多元函数的局部极值是指函数在某一点附近的最大值或最小值。
2. 多元函数的全局极值是指函数在整个定义域内的最大值或最小值。
3. 最优化问题是通过求解极值来确定多元函数的最优解，可以通过对偏导数进行求解来找到极值点。
六、多元微分方程的求解1. 多元微分方程是指包含多个未知函数的微分方程。
2. 多元微分方程的求解方法包括分离变量法、齐次化法、线性代数法等。
七、多元函数的泰勒展开1. 多元函数的泰勒展开是将多元函数在某一点附近用幂函数逼近的方法。
2. 多元函数的泰勒展开可用于近似计算、数值求解等问题。
总结：多元微分学是微积分的重要分支，研究多元函数的微分、导数、极限和微分方程等问题。
多元函数的微分知识点介绍 整理人王浩
多元函数的微分知识点介绍整理人王浩多元函数的微分是求解多元函数的局部变化率的方法。
在微分学中，多元函数的微分包括偏导数和全微分两个概念。
偏导数是指某一变量在其他变量不变的情况下所产生的变化率，而全微分则是指所有变量同时改变时函数值的变化率。
1. 偏导数偏导数是导数概念在多元函数中的应用。
对于一个多元函数f(x,y)，它的偏导数df/dx和df/dy表示当变量x或y分别增加一个微小的量时，函数f的局部变化率。
它们的定义如下：df/dx = lim(f(x+Δx,y)-f(x,y))/Δx (当Δy=0时)其中，Δx和Δy分别表示x和y的增量。
需要注意的是，偏导数只对某一变量求导，其他变量视作常数，可以将其视为单变量函数的导数。
2. 全微分全微分是将多元函数视为一个整体来求解其局部变化率的方法。
如果函数f(x,y)在某一点(x0,y0)处可微分，那么它的全微分df可以表示为：df = ∂f/∂x * dx + ∂f/∂y * dy其中，dx和dy分别表示x和y的增量，∂f/∂x和∂f/∂y分别表示函数f在(x0,y0)处的偏导数。
需要注意的是，全微分只适用于可微分的函数。
如果函数在某些点处不可微分，那么全微分也不存在。
3. 链式法则在多元函数求导中，链式法则是一种常用的方法。
它用于求解由多个函数复合而成的函数的导数。
如果h(x)是一个由f(u)和g(v)复合而成的函数，且u=u(x)和v=v(x)是关于x的函数，那么h(x)在x处的导数可以表示为：4. 梯度梯度是多元函数中的一种重要概念，它表示函数在某一点的最大变化方向。
对于一个多元函数f(x,y)，它在某一点(x0,y0)的梯度grad(f)(x0,y0)可以表示为：可以看出，梯度是一个向量，它的方向是函数在某一点的最大变化方向，大小则表示变化率的大小。
总之，多元函数的微分是一个重要的数学工具，它可以帮助我们研究各种复杂的自然现象和社会现象，如气象学、地质学、金融学等。
多元函数微积分复习概要
第六章多元函数微积分复习要点一、基本概念及相关定理1.多元函数的极限定义：函数(,)z f x y =在区域D 有定义，当点P(x ,y )D ∈沿任意路径无限趋于点000(,)P x y (0P P ≠)时, (,)f x y 无限趋于一个确定的常数A,则称常数A 是函数(,)z f x y =当P(x ,y )趋于000(,)P x y 时的极限.记作0lim (,)x xy y f x y A →→=,或00(,)(,)lim(,)x y x y f x y A →=,或(,)f x y A →,00(,)(,)x y x y →,或lim (,)f x y A ρ→=,或(,)f x y A →,0ρ→.其中，ρ= 2.二元函数连续的定义：函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域0()U P 有定义，如果对任意0(,)()P x y U P ∈，都有0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=（或0lim ()()P P f P f P →=），则称函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处连续.3.偏导数的定义：函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域0()U P 有定义.（1）函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处对x 的偏导数定义为00000(,)(,)lim x f x x y f x y x∆→+∆-∆，记作00x x y y zx ==∂∂，或00x x y y f x==∂∂，或00(,)x z x y '，或00(,)x f x y '，即x x y y zx==∂∂=00000(,)(,)lim x f x x y f x y x∆→+∆-∆.（2）函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处对y 的偏导数定义为00000(,)(,)lim y f x y y f x y y∆→+∆-∆，记作00x x y y zy ==∂∂，或00x x y y f y==∂∂，或00(,)y z x y '，或00(,)y f x y '，即x x y y zy==∂∂=00000(,)(,)lim y f x y y f x y y∆→+∆-∆.而称z x∂∂，或f x ∂∂，或(,)x z x y '，或(,)x f x y '及[z y ∂∂，或f y∂∂，或(,)y z x y '，或(,)y f x y ']为（关于x 或关于y ）偏导函数.高阶偏导数：22(,)xx z zf x y x x x∂∂∂⎛⎫''== ⎪∂∂∂⎝⎭或(,)xx z x y ''， 2(,)xy z zf x y y x x y∂∂∂⎛⎫''== ⎪∂∂∂∂⎝⎭或(,)xy z x y ''， 2(,)yx z zf x y x y y x⎛⎫∂∂∂''== ⎪∂∂∂∂⎝⎭或(,)yx z x y ''， 22(,)yyz zf x y y y y⎛⎫∂∂∂''== ⎪∂∂∂⎝⎭或(,)yy z x y ''. 同理可得，三阶、四阶、…，以及n 阶偏导数.4.全微分定义：设函数(,)z f x y =在点(,)P x y 的某一邻域()U P 有定义，若函数在点(,)x y 的全增量(,)(,)z f x x y y f x y ∆=+∆+∆-可表示为()z A x B y ρ∆=∆+∆+，其中A 、B 不依赖于x ∆、y ∆，仅于x、y有关，ρ=，则称函数(,)z f x y =在点(,)x y 处可微分，称A x B y ∆+∆为函数(,)z f x y =在点(,)x y 的全微分，记为dz ，即dz A x B y =∆+∆.可微的必要条件：若函数(,)z f x y =在点(,)x y 处可微分，则（1）函数(,)z f x y =在点(,)x y 的偏导数z x ∂∂、zy∂∂必存在；（2）全微分为z z dz x y z x y z dx dy x y∂∂+∂∂∂=∆+∆=∂∂∂. 推广：函数(,,)u f x y z =在点(,,)x y z 的全微分为u u udu dx dy dz x y z∂∂∂=++∂∂∂.可微的充分条件：若函数(,)z f x y =的偏导数z x∂∂、z y∂∂在点(,)x y 处连续⇒(,)z f x y =在点(,)x y 处可微分.5.复合函数微分法（5种情况，由简单到复杂排列）： （1）含有多个中间变量的一元函数(,,)z f u v w =，()u u x =，()v v x =，()w w x =，则dz z du z dv z dwdx u dx v dx w dx∂∂∂=++∂∂∂， 称此导数dzdx为全导数；（2）只有一个中间变量的二元复合函数 情形1：()z f u =，(,)u u x y =，则z dz ux du x∂∂=∂∂ ，z dz u y du y∂∂=∂∂. 情形2：(,,)z f x y u =，(,)u u x y =，则z f z u x x u x∂∂∂∂=+∂∂∂∂ ，z f z u y y u y∂∂∂∂=+∂∂∂∂. zx wv u xx zuyxzy yuxx其中，f x∂∂与z x∂∂是不同的，z x∂∂是把复合函数[,,(,)]z f x y u x y =中的y 看作不变量而对x 的偏导数；f x∂∂是把函数(,,)f x y u 中的y 及u 看作不变量而对x 的偏导数。
多元函数微分学总结
`第八章 多元函数微分学8.1基本知识点要求1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义.2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。
3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必 要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。
4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法.5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法.6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法.7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法。
8.了解二元函数的二阶泰勒公式.9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。
8.2基本题型及解题思路分析题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题1. 二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。
（1）基本概念①二元函数极限的定义：设()(,)f P f xy =的定义域为D ,000(,)P x y 是D 的聚点.若∃常数A ，对于∀0ε>，总∃0δ>，使得当0(,)(,)P x y D U P δ∈时，都有()(,)f P A f x y A ε-=-<成立，则称A 为函数(,)f x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限，记作000(,)(,)lim (,)lim ()x y x y P P f x y A f P A →→==或。
②二元函数的连续：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 为D 的聚点，且0P D ∈.若0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称(,)f x y 在点000(,)P x y 连续。
多元函数微分学a知识点整理
多元函数微分学a 知识点整理
1.多元函数极限和连续性
2.多元函数偏导数、方向导数、梯度、全微分、全导数、复合求导、隐函数求导
3.多元函数Taylor 公式、有（无）约束极值、Lagrange 乘子
4.多元函数微分学的几何应用
1.多元函数极限和连续性
1.1极限的求法
（1）重极限（当且仅当先x 后y 和先y 后x 结果相同才有极限）
（2）定义法（δε-语言）
（3）极坐标系法
（4）Heine 定理（用于否定，不用于肯定）
（5）无穷小代换、连续性、夹逼性、不等式等
1.2连续性
有界性、最值定理、一致连续性
2.多元函数偏导数、方向导数、梯度、全微分、全导数、复合求导、隐函数求导
2.1偏导、方向导数、梯度、全微分、全导数、复合求导、隐函数求导的公式
2.2它们之间的关系（⎪⎩
⎪⎨⎧=+≠++=0,0,0,),(222222y x y x y x xy y x f ）
2.3Jacobi 行列式
3.多元函数Taylor 公式、有（无）约束极值、Lagrange 乘子
3.1Taylor 公式
3.2极值的必要条件和充分条件
3.3Hessian 矩阵
3.4有约束极值与Lagrange 乘子
4.多元函数微分学的几何应用
4.1空间曲线的切线和法平面
4.2曲面的切平面和法线
4.3弧长和曲率。
(完整word版)多元函数微分学及其应用归纳总结,推荐文档
第八章 多元函数微分法及其应用一、多元函数的基本概念1、平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概念2、多元函数的极限✧00(,)(,)lim (,)x y x y f x y A →=（或0lim (,)P P f x y A →=）的εδ-定义✧ 掌握判定多元函数极限不存在的方法：（1）令(,)P x y 沿y kx =趋向00(,)P x y ，若极限值与k 有关，则可断言函数极限不存在；（2）找两种不同趋近方式，若00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →存在，但两者不相等，此时也可断言极限不存在。
✧ 多元函数的极限的运算法则（包括和差积商，连续函数的和差积商，等价无穷小替换，夹逼法则等）与一元类似：例1．用εδ-定义证明2222(,)(0,0)1lim ()sin0x y x y x y →+=+例2（03年期末考试 三、1，5分）当0,0→→x y 时，函数222222()+++-x y x y x y 的极限是否存在？证明你的结论。
例3 设222222,0(,)0,0xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩ ，讨论(,)(0,0)lim (,)x y f x y →是否存在？例4（07年期末考试 一、2，3分）设2222422,0(,)0,0⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩xy x y x y f x y x y ，讨论(,)(0,0)lim (,)→x y f x y 是否存在？例5．求222(,)(0,0)sin()lim x y x y x y →+3、多元函数的连续性0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →⇔=✧ 一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域。
✧ 在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”例1． 讨论函数33222222,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩ 在（0，0）处的连续性。
多元函数微积分学总结
多元函数微积分学总结1. 引言多元函数微积分学是微积分学的一个重要分支，研究的是多元函数的极限、连续性、可导性以及相关的定理和方法。
在实际问题中，经常会遇到多个变量同时变化的情况，因此掌握多元函数微积分学对于解决实际问题具有重要意义。
2. 多元函数的极限多元函数的极限是多元函数微积分学的基础概念之一。
与一元函数不同的是，多元函数的极限需要考虑所有自变量的变化情况。
通过利用数列的极限概念以及极限运算法则，可以定义多元函数的极限。
3. 多元函数的连续性对于多元函数而言，连续性是一个重要的性质。
一个多元函数在某点连续意味着在该点的邻域内函数值变化不大，保持相对稳定。
通过定义和判定多元函数在某点连续的方法，可以分析多元函数在不同区域的连续性和不连续点的性质。
4. 多元函数的偏导数和全微分与一元函数一样，多元函数也存在导数的概念。
对于多元函数而言，导数被称为偏导数。
多元函数的偏导数可以用来刻画函数在某一方向上的变化速率。
全微分是多元函数的一个重要概念，它可以表示多元函数的微小增量与自变量的变化之间的关系。
5. 多元函数的极值与最值多元函数的极值和最值也是多元函数微积分学的重要研究内容。
通过求解多元函数的偏导数，并进行一定的约束条件，可以确定函数的极值和最值。
求解多元函数的极值和最值可以帮助我们找到函数的最优解，解决实际问题。
6. 多元函数的二重积分多元函数的二重积分是多元函数微积分学的另一个重要内容。
与一元函数的定积分类似，二重积分可以用来计算曲面下体积、质量等物理量。
通过将二重积分问题转化为累次积分问题，可以简化计算过程。
7. 多元函数的多重积分多元函数的多重积分扩展了二重积分的概念，可以用来计算多维空间中的体积、质量等物理量。
多重积分可以通过反复积分的方式进行计算，也可以使用适应性分割等方法简化计算过程。
8. 多元函数的曲线积分和曲面积分与一元函数的曲线积分和曲面积分类似，多元函数也存在曲线积分和曲面积分的概念。
考研数学多元函数微分学的应用知识点总结
考研数学高数知识点总结多元函数微分学的应用一、无条件极值1、基本概念设是二元函数的定义域，是的内点，若存在的邻域，使得对任意异于的点均有（或），则称函数在点处取得极大值（或极小值），点称为函数的极大值点（或极小值点），极大值点与极小值点统称为极值点.2、常用公式、定理(1）极值的必要条件：定理：设函数在点具有偏导数，且在该点能够取到极值，则有.(2）极值的充分条件：定理：设函数在点的某邻域内具有连续的一阶及二阶偏导数，又设.令（1）若，则函数在点具有极值.当时取得极小值；当时取得极大值.（2）若，则函数在点不能取到极值.（3）若，则函数在点可能有极值，也可能没有极D (,)z f x y =()000,P x y D 0P 0()U P 0P ()0,()x y U P ∈()00,(,)f x y f x y <()00,(,)f x y f x y >(,)z f x y =0P 0P (,)z f x y =(,)z f x y =00(,)x y 0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''==(,)z f x y =00(,)x y 0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''==000000(,),(,),(,)xx xy yy f x y A f x y B f x y C ，''''''===20AC B ->(,)z f x y =00(,)x y 0A >0A <20AC B -<(,)z f x y =00(,)x y 20AC B -=(,)z f x y =00(,)x y值.【例1】：设可微函数在点取得极小值，则下列结论中正确的是（）.在处的导数等于0在处的导数大于0在处的导数小于0在处的导数不一定存在答案：【例2】：设函数的全微分为，则点不是的连续点；不是的极值点是的极大值点；的极小值点答案：【例3】：计算下列函数的极值（1）；（2）答案：（1）8 极大值;（2）极小值.【例4】：求二元函数的极值.答案：极小值. 【例5】：设函数，证明：函数有无穷多个极大值点，而无极小值点.(,)u f x y =00(,)x y ()A 0(,)f x y 0y y =()B 0(,)f x y 0y y =()C 0(,)f x y 0y y =()D 0(,)f x y 0y y =().A (,)z f x y =dz xdx ydy =+(0,0).()A (,)z f x y =()B (,)z f x y =()C (,)z f x y =()D (,)z f x y =().D 22(,)4()f x y x y x y =---222(,)(2).x f x y e x y y =++1515e ()22(,)2ln f x y x y y y =++1e-()1cos y y z e x ye =+-(,)z f x y =。
大一高数多元函数知识点总结
大一高数多元函数知识点总结大一的高等数学是大学学习的一门基础课程，其中多元函数是其中比较重要的一部分。
在学习多元函数时，我们需要了解一些基本的概念、性质和计算方法。
本文将对大一高数多元函数的知识点进行总结，希望对同学们的学习有所帮助。
一、多元函数的概念和性质1.1 多元函数的定义多元函数是指含有两个或两个以上自变量的函数，在平面上表示为f(x,y)，在空间中表示为f(x,y,z)。
而自变量的取值范围可以是实数集合或者某个区间，函数的值可以是实数或者向量。
1.2 驻点和极值对于多元函数，我们可以通过求偏导数的方法找到其驻点和极值。
具体来说，对于一个二元函数f(x,y)，求偏导数f’x(x,y)和f’’y(x,y)，令其等于零，可以得到驻点的坐标。
然后，通过计算二阶偏导数f’’xx(x,y)、f’’xy(x,y)和f’’yy(x,y)的值，可以判断驻点是否是极值点。
1.3 偏导数与全微分对于多元函数，我们可以通过对其中某一个自变量求偏导数的方法来求得偏导数，而偏导数可以理解为函数对于某一自变量的变化率。
而全微分则是对多元函数进行全面的微分，表示其在各个自变量方向上的变化率之和。
1.4 隐函数和参数方程在一些情况下，多元函数的表达式并不明显，而是通过一些隐含的条件进行表示。
这时要借助隐函数的概念，将多元函数用隐函数的形式表示出来。
而参数方程则是将多元函数在某个平面上表示为参数的函数形式。
二、多元函数的计算方法2.1 多元函数的线性逼近对于一个二元函数f(x,y)，我们可以通过求得其一阶偏导数和二阶偏导数，来进行函数的线性逼近。
而通过线性逼近，我们可以计算函数在某一点的近似值，以及该点处的切线和法线。
2.2 多元函数的积分多元函数的积分与一元函数的积分类似，只是需要在计算过程中考虑到多个自变量。
可以通过对其中一个自变量进行积分，将多元函数转化为一元函数的形式，然后再进行计算。
2.3 向量场的散度和旋度对于一个二维向量场和三维向量场，我们可以通过计算其散度和旋度来了解向量场的性质。
多元函数微分学总结
`第八章 多元函数微分学8.1基本知识点要求1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义.2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。
3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必 要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。
4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法.5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法.6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法.7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法。
8.了解二元函数的二阶泰勒公式.9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。
8.2基本题型及解题思路分析题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题1. 二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。
（1）基本概念①二元函数极限的定义：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 是D 的聚点.若∃常数A ，对于∀0ε>，总∃0δ>，使得当0(,)(,)P x y D U P δ∈时，都有()(,)f P A f x y A ε-=-<成立，则称A 为函数(,)f x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限，记作000(,)(,)lim (,)lim ()x y x y P P f x y A f P A →→==或。
②二元函数的连续：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 为D 的聚点，且0P D ∈.若0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称(,)f x y 在点000(,)P x y 连续。
多元函数微分学及其应用归纳总结
第八章 多元函数微分法及其应用一、多元函数的基本概念1平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概 念 2、多元函数的极限lim f(x, y)=A (或 lim f(x,y)=A )的；-' 定义(x,y)「(x °,y o)P「P )掌握判定多元函数极限不存在的方法：(1) 令P(x, y)沿y 二kx 趋向P(x o ,y o )，若极限值与k 有关，则可断言 函数极限不存在；(2) 找两种不同趋近方式，若 lim f (x, y)存在，但两者不相等，(x,y )Tx o ，y o )此时也可断言极限不存在。
多元函数的极限的运算法则(包括和差积商，连续函数的和差积商， 等价无穷小替换，夹逼法则等)与一元类似：例1•用…定义证明(侧0,0)(x 2+y 2)sin 击=02 + 2例2(03年期末考试三、15 分当X>0,y >0时，函数x2；(；2_y)2的极限是否存在？证明你的结论。
xy 2 2 2 2 , x y = 0x y ，讨论 lim f (x, y)是否存在?(x,y )T(0,0)3卫， x 2+ y 2=0(JiH ,。
)f (X,y )是否存在?例 3 设 f (x, y) =2 例4(07年期末考试 一、2，3分)设f(x, y)=Q2 xy2 .4x y2 2小,x y =0 ，讨论x 2y 2二 0x3、多元函数的连续性台(Jim )f (x, y)= f (X o ,y o )(x，y) --- (X 0，y 0 )一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含 在定义域内的区域或闭区域。
在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。
4、了解闭区域上商连续函数的性质：有界性，最值定理，介值定理二、多元函数的偏导数 1、二元函数z = f (x, y)关于x, y 的一阶偏导数的定义(二元以上类似定义)f(X0pX,y 0)— f(X 0,y 0)存在，则有y 看成常数！所以求偏导数本质是求一元函数的导数。
大学数学微积分第八章 多元函数微分学多元函数的概念、极限与连续性知识点总结
第八章 多元函数微分学§8.1 多元函数的概念、极限与连续性一、多元函数的概念1．二元函数的定义及其几何意义设D 是平面上的一个点集，如果对每个点P(x,y)∈D ，按照某一对应规则f ，变量z 都有一个值与之对应，则称z 是变量x ，y 的二元函数，记以z=f （x ，y ），D 称为定义域。
二元函数z=f （x ，y ）的图形为空间一块曲面，它在xy 平面上的投影域就是定义域D 。
例如 22221,:1z x y D x y =--+≤ 二元函数的图形为以原点为球心，半径为1的上半球面，其定义域D 就是xy 平面上以原点为圆心，半径为1的闭圆。
2．三元函数与n 元函数：(,,),(,,)u f x y z x y z =∈Ω空间一个点集，称为三元函数12(,,,)n u f x x x n =称为元函数。
它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。
条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。
二、二元函数的极限：设00(,)(,)f x y x y 在点的邻域内有定义，如果对任意00,εδ>>存在只要2200()(),(,)x x y y f x y A δε-+-<-<就有则，0000(,)()lim (,)lim (,)x x x y x y y y f x y A f x y A →→→==或称当00(,)(,)(,)x y x y f x y 趋于时的极限存在，极限值为A 。
否则，称为极限不存在。
值得注意：00(,)(,)x y x y 这里趋于是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于00(,)x y ，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂，但只要求知道基本概念和简单的讨论极限存在性和计算极限值不象一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。
三、二元函数的连续性1．二元函数连续的概念若000000lim (,)(,)(,)(,)x x y y f x y f x y f x y x y →→=则称在点处连续 若(,)f x y D 在区域内每一点皆连续，则称(,)f x y 在D 内连续。
第八章 多元函数微分学
例. 设 z = f ( xy, yg ( x)) 其中函数 f 具有二阶连续 偏导数，函数 可导， 偏导数，函数g(x)可导，且在 可导 且在x=1处取得极值 处取得极值 ∂2 z g(1)=1,求 求 x =1, y =1 ∂x∂y 可导且在x=1处取极值所以 g ′(1) = 0 解:由g(x)可导且在 由 可导且在 处取极值所以
′′′ fx′′′ (x, y, z) = f yz x (x, y, z) = fz′′′y (x, y, z) yz x
= fx′′′ y (x, y, z) = f y′′′ (x, y, z) = f z′′′ (x, y, z) z xz yx
4. 微分
∆z = fx′(x, y) ∆x + f y′(x, y) ∆ y
答案： （ 考研题） 答案：B（2012考研题） 考研题
x2 y2 2 2 , x + y ≠0 3 证明: 例. 证明 f (x, y) = (x2 + y2 ) 2 0 , x2 + y2 = 0 在点(0,0) 处连续且偏导数存在 , 但不可微 . 在点 解: 利用 2xy ≤ x2 + y2 , 知 1 1 2 2 2 f (x, y) ≤ (x + y ) 4 ∴ lim f (x, y) = 0 = f (0, 0)
k −1
f ( x, y , z )
同乘以 t, 得
(tx) f1′(u, v, w) + (ty) f 2′(u, v, w) + (tz ) f 3′(u, v, w) = k ⋅ t k f ( x, y, z )
由条件f (tx, ty , tz ) = t k f ( x, y , z ), 及u = tx, v = ty , w = tz , 得
多元函数微分学知识点梳理2页
多元函数微分学知识点梳理2页一、偏导数定义：对于多元函数$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$，当其自变量$x_i$在某一点固定而其他自变量发生变化时，函数值的变化量与$x_i$的变化量之比，称为$f$对$x_i$的偏导数，记为$\dfrac{\partial f}{\partial x_i}$。
计算方法：将$x_i$看作变量，其他自变量视为常数，对$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$以$x_i$为自变量求导。
二、全微分定义：当$f(x,y)$在$(x_0,y_0)$的某一邻域内具有一阶连续偏导数时，存在常数$A,B$，使得$$\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+\alpha\Delta x+\beta\Delta y$$其中$\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0,\Delta y\rightarrow0}\alpha=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0,\Delta y\rightarrow 0}\beta=0$，则称$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$可微分，$\Delta z$称为$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的全增量，$A\Delta x+B\Delta y$称为$\Delta z$的一次主部，记作$dz$，称为$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的全微分。
计算方法：$$df=\dfrac{\partial f}{\partial x}dx+\dfrac{\partial f}{\partial y}dy$$三、隐函数及其求导法定义：设有方程$F(x,y)=0$，如果在点$(x_0,y_0)$的某一邻域内，恒有一函数$y=\varphi(x)$，使得$F(x,\varphi(x))=0$，则称方程$F(x,y)=0$在该邻域内以$x$为自变量，$y$为因变量确定着一函数$\varphi(x)$。
03高数——多元函数微分学要点速记
多元函数微分学1、极限与连续性平面上的点列的极限：设{}n M 为平面点列，20M R ∈，若()0lim ,0n M M ρ=，则称{}n M 是收敛点列，0M 是点列的极限，记做0lim n n M M→∞=（00lim ,lim n n x x y y ⇔==）。
极限：设n 元函数()f P ，n P D R ∈⊂，0P 是D 的聚点，若存在常数A ，对0ε∀>，0,δ∃>对一切0(,δ)oP D U P ∈ ，有()f P A ε-<，则称常数A 为函数()f x 当0P P →时的极限，记做()0lim P P f P A →=（也叫n 重极限）。
二元函数的极限可写作：()()000,lim (,)lim (,)lim (,)x x x y x y y y f x y f x y f x y A ρ→→→→→===。
连续性：0M 为D 的聚点时，0lim ()()M M f M f M →=；或0M 为D 的孤立点时，也是连续点。
2、微分和偏导数微分：0000(,)(,)()f x x y y f x y A x B y o ρ+∆+∆-=∆+∆+⇒00(,)dz df x y A x B y ==∆+∆。
偏导数：设(),z f x y =在点()000,M x y 的某邻域中有极限00000(,)(,)lim x f x x y f x y x∆→+∆-∆（将y 当作常数）存在，则称此极限高 数多元函数微分学知识点速记为函数(),z f x y =在点()000,M x y 对x 的偏导数，即0000000(,)(,)(,)limx x f x x y f x y f x y x∆→+∆-'=∆；同理，函数(),z f x y =在点()000,M x y 对y 的偏导数0000000(,)(,)(,)limy y f x y y f x y f x y y∆→+∆-'=∆。
关于多元微分学的几点注记
2010年12月9日河南省政法干警招录考试（面试）真题试卷(题后含答案及解析)题型有：1. 面试题面试题1．交警执法过程中，发现一个违章司机，交警给司机多次敬礼，司机才慢吞吞地掏出了驾驶证，对此。
你有什么看法?正确答案：对于题目中所提到的现象，在我国社会中确实是存在的。
这种现象大量出现的话，我想会造成很严重的影响。
首先会带来交通拥堵。
交警在执法过程中，如果司机在面对交警时有慢吞吞不配合的情况，会耽误交警执法的顺利进行，严重的话会带来交通拥堵。
其次也会在社会上形成不尊重交警、不遵守交通法规的恶劣影响。
对此，我想对题目中存在的这种社会现象提出几点改进的意见。
第一，加大宣传力度。
在社会中广泛宣传交通安全法，使广大的司机能够熟悉掌握交通法规，尊重交警的执法工作，从心里愿意并积极配合交警的工作。
第二，制定相关的配套措施。
司机不配合交警的执法工作，可能是我国在与此相关的法律法规中存在漏洞，使得司机的行为不会受到追究。
因此，我们应当尽快完善相关的法律法规，从法律源头上减少进而杜绝这种行为的产生。
第三，加大处罚力度。
对于不配合交警执法、影响交通正常运行的司机加大处罚的力度，使得一些违法司机能够从心理上重视这件事情，积极配合交警的工作。
我想，通过各方面的努力，我们的司机会积极配合交警执法，建设更加和谐的警民关系。
解析：本题为综合分析类题目，具体属于对某一社会现象进行综合分析。
分析过程中，一般可以围绕以下方面来谈：产生这一现象的原因，这一现象对社会造成的影响(有利的或不利的)，改善这种现象的对策等。
本题中所涉及的社会现象产生原因不明显，因此没有谈及。
2．你是一名警察，在值班过程中，一群众打电话说他家宠物狗丢了，要你现在就去帮他处理，倘若处理不好就要投诉你，可此时值班室里只有你一个人，此时你怎么处理?正确答案：作为一名警察，应当将群众的事情时刻放在心上，帮群众解决日常生活中的事情。
对于题目中这种情况，我会做如下处理：首先，我会耐心地听取并记录下群众反映的情况。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
多元函数微分学a 知识点整理
1.多元函数极限和连续性
2.多元函数偏导数、方向导数、梯度、全微分、全导数、复合求导、隐函数求导
3.多元函数Taylor 公式、有（无）约束极值、Lagrange 乘子
4.多元函数微分学的几何应用
1.多元函数极限和连续性
1.1极限的求法
（1）重极限（当且仅当先x 后y 和先y 后x 结果相同才有极限）
（2）定义法（δε-语言）
（3）极坐标系法
（4）Heine 定理（用于否定，不用于肯定）
（5）无穷小代换、连续性、夹逼性、不等式等
1.2连续性
有界性、最值定理、一致连续性
2.多元函数偏导数、方向导数、梯度、全微分、全导数、复合求导、隐函数求导
2.1偏导、方向导数、梯度、全微分、全导数、复合求导、隐函数求导的公式
2.2它们之间的关系（⎪⎩
⎪⎨⎧=+≠++=0,0,0,),(222222y x y x y x xy y x f ）
2.3Jacobi 行列式
3.多元函数Taylor 公式、有（无）约束极值、Lagrange 乘子
3.1Taylor 公式
3.2极值的必要条件和充分条件
3.3Hessian 矩阵
3.4有约束极值与Lagrange 乘子
4.多元函数微分学的几何应用
4.1空间曲线的切线和法平面
4.2曲面的切平面和法线
4.3弧长和曲率。