八年级数学上册：二次根式及其性质课后训练 (新版)

合集下载

八年级数学上册第二章实数二次根式课时训练题新版北师大版

2.7二次根式（1）基础导练1. 有意义的条件是。

2. 当__________3. 11m +有意义，则m 的取值范围是。

4. 当__________x 是二次根式。

5. 在实数范围内分解因式：429__________,2__________x x -=-+=。

6. 2x =，则x 的取值范围是。

7. 2x =-，则x 的取值范围是。

8. )1x 的结果是。

9. 当15x≤5_____________x -=。

10. 把的根号外的因式移到根号内等于。

11. 11x =+成立的条件是。

12. 若1a b -+互为相反数，则()2005_____________a b -=。

13. )()()230,2,12,20,3,1,x y y x x x x y +=--++中，二次根式有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个14. 下列各式一定是二次根式的是（）15. 若23a ）A. 52a -B. 12a -C. 25a -D. 21a -16. 若A==（） A. 24a + B. 22a + C. ()222a + D. ()224a +17. 若1a ≤）A. (1a -B. (1a -C. (1a -D. (1a -18.=成立的x 的取值范围是（） A. 2x ≠ B. 0x ≥ C. 2x D. 2x ≥19.）A. 0B. 42a -C. 24a -D. 24a -或42a -20. 下面的推导中开始出错的步骤是（）()()()()23123224==-==∴=-∴=- A. ()1 B. ()2 C. ()3 D. ()4能力提升21.2440y y -+=，求xy 的值。

. 当a 1取值最小，并求出这个最小值。

23. 去掉下列各根式内的分母：())10x ())21x24. 已知2310x x -+=25. 已知,a b (10b -=，求20052006ab -的值。

北师大八年级数学-第二章-《二次根式》典型题目及练习

2.7 二次根式知识点梳理知识点1 二次根式的概念一般地，形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式，a 叫做被开方数。

二次根式必须满足3个条件① 形式上必须有二次根号“”② “”里的数必须是非负数③ “” 里可以是数字，也可以是代数式。

【例1】判断下列根式是否为二次根式 ⑴ 3- ⑵ 3- ⑶ a - ⑷32--1. 判断下列根式是否为二次根式 ⑴()25- ⑵12--a ⑶ 122+-a a知识点2 二次根式的性质性质1：b a ab •= （a ≥0，b ≥0）。

积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，运用性质1可以对二次根式进行化简性质2：ba ba = （a ≥0，b ≥0）商的算术平方根等于被除数的算术平方根除以除数的算术平方根。

最简二次根式：像3，23等等这样的二次根式，被开方数中都不含分母，也不含能开得尽的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式。

【例2】把下面的二次根式化简成最简二次根式。

⑴ 1512⨯ ⑵ 2427b a （b ≥0） ⑶x942. 化简下列各题。

⑴ 588 ⑵91636⨯⨯ ⑶ 2549x⑷ 962++x x （x ≥0） ⑸a13. 下列各式中，与3是同类二次根式的是（）A. 18B. 24C. 12D. 9 4. 若最简二次根式83-a 与a 217-是同类二次根式，则=a知识点3 二次根式的乘、除法（重点）两个二次根式相乘，可先将它们的被开方数相乘再开方，即ab b a =• （a ≥0，b ≥0）两个二次根式相除，可将它们的被开方数相除再开方，即baba =（a ≥0，b ＞0）【例3】计算 ⑴ 12143⨯ ⑵xy xy 33÷(x ＞0, y ＞0 ) ⑶ 322145051183÷⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+【例4】将二次根式aa 1-的根号外面的因式移到根号内。

3. 计算下列各题 ⑴142821⨯ ⑵2712553⨯ ⑶ 618 ⑷ b a b a -÷-2)( ()b a >4. 把()111--x x 根号外面的因式移到根号内为知识点4 二次根式的加、减法（难点）二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。

二次根式初二练习题及答案

二次根式初二练习题及答案一、选择题1. 将下列二次根式化简，得出最简形式：a) $\sqrt{8}$b) $\sqrt{75}$c) $\sqrt{27}$d) $\sqrt{50}$A) $2\sqrt{2}$ B) $3\sqrt{5}$ C) $6\sqrt{3}$ D) $5\sqrt{2}$2. 根据题意，判断下列等式是否成立：a) $\sqrt{16} = 4$b) $\sqrt{82} = 9$c) $\sqrt{5^2} = 5$d) $\sqrt{11^2} = -11$A) 是 B) 否3. 将下列二次根式化成标准形式：a) $3\sqrt{2} + \sqrt{8}$b) $5\sqrt{3} - 2\sqrt{12}$c) $4\sqrt{5} + 2\sqrt{20}$d) $2\sqrt{3} - 3\sqrt{6}$A) $5\sqrt{2}$ B) $3\sqrt{3}$ C) $6\sqrt{5}$ D) $-3\sqrt{3}$4. 计算：a) $\sqrt{25} + \sqrt{9}$b) $2\sqrt{49} - \sqrt{64}$c) $3\sqrt{36} + 4\sqrt{16}$d) $5\sqrt{81} - 2\sqrt{64}$A) 20 B) 4 C) 12 D) 85. 填空：a) $\sqrt{4} =$ ________b) $\sqrt{100} =$ ________c) $\sqrt{121} =$ ________d) $\sqrt{144} =$ ________A) 2 B) 10 C) 11 D) 12二、解答题1. 将下列各式化简为最简形式：a) $\sqrt{18}$b) $\sqrt{32}$c) $\sqrt{50}$d) $\sqrt{98}$2. 简化下列二次根式：a) $2\sqrt{27} - 3\sqrt{48}$b) $5\sqrt{15} + 3\sqrt{20}$c) $\sqrt{45} - 2\sqrt{12}$d) $4\sqrt{80} + 2\sqrt{45}$三、综合运用1. 解方程：$2x^2 - 18 = 0$2. 一个正方形的边长为$x$，则它的对角线长为多少？3. 某正方形面积等于某长方形面积的五分之一，且长方形的宽为$y$，则长方形的长是多少？四、答案选择题答案：1. A) $2\sqrt{2}$ 2. A) 是 3. B) $3\sqrt{3}$ 4. C) 12 5. A) 2解答题答案：1. a) $3\sqrt{2}$ b) $4\sqrt{2}$ c) $5\sqrt{2}$ d) $7\sqrt{2}$2. a) $\sqrt{6}$ b) $4\sqrt{5}$ c) $\sqrt{45} - \sqrt{8}$ d) $6\sqrt{5} + 3\sqrt{2}$三、综合运用答案1. 解方程：$x = 3$ 或 $x = -3$2. 对角线长为$x\sqrt{2}$3. 长方形的长为$5y$通过以上练习题的训练，相信同学们对初二阶段的二次根式有了更深的理解和掌握。

八年级数学上：12.5二次根式及其性质二次根式同步试题北京课改版

二次根式第1题.函数y =x 的取值X 围是．答案：3x ≤．第2题.实数a=．答案：a -．第3题. 若0x ≤，则化简1x - ）Ａ．12x -Ｂ．21x -Ｃ．1-Ｄ．1答案：Ｄ．第4题.函数4y x =-中，自变量x 的取值X 围是．答案：3x ≥且4x ≠．第5题. 如果等式0(1)1x +=23x =-同时成立，那么需要的条件是（）Ａ．1x ≠-Ｂ．23x <且1x ≠- Ｃ．23x ≤或1x ≠-Ｄ．23x ≤且1x ≠-答案：Ｄ．第6题.2得（）Ａ．2Ｂ．44x -+Ｃ．2-Ｄ．44x -答案：Ａ．第7题. 当x _____x _____答案：1x -≥；1x ≤．第8题. 当a ______a =；当a ________a =-．答案：0a ≥；0a ≤．第9题. 要使下列式子有意义，字母的取值必须满足什么条件．（12答案：（1）1x =；（2）4x >．第10题. 已知实数a满足1992a a -=，试求21992a -的值．答案：1993．第11题.函数y =x 的取值X 围是．答案：2x -≥．第12题. 已知2a <=．答案：2a -．第13题.函数y =自变量的取值X 围是（）Ａ．0x >Ｂ．0x <Ｃ．0x ≥Ｄ．0x ≤答案：Ｂ．第14题.在函数5y =中，自变量x 的取值X 围是．答案：1x ≥．第15题.实数a在数轴上的位置如图所示，则化简2a -+答案：1．第16题.函数y =x 的取值X 围是．答案：6x ≤．第17题. 下列说法正确的是（）a =-，则0a <a =，则0a >24a b =Ｄ．5答案：Ｃ．第18题.函数y =x 的取值X 围是．答案：2x ≥．第19题.已知27=，则b =_________．答案：5．第20题=________．答案：0．第21题. 当a _______有意义．答案：2a ≥且3a ≠．第22题.0=，则a =______，b =________．答案：2a =，4b =-．第23题. 已知x y ，为实数，且1y =，则x y y x+的值为________．答案：133．第24题. ）Ａ．81Ｄ．0答案：Ｄ．第25题. 下列各式中不成立的是（）13=13=-Ｃ．12=-Ｄ．13=±答案：Ｂ．第26题. a =(0)a ≥7512x x =-++=时，x 的取值X 围是（）Ａ．7x ≤Ｂ．5x -≥Ｃ．7x <或5x >Ｄ．57x -≤≤答案：Ｄ．第27题. (00)x y ≠≠，，那么x 和y 应为（）Ａ．00x y >⎧⎨>⎩Ｂ．00x y <⎧⎨<⎩Ｃ．00x y >⎧⎨<⎩Ｄ．00x y <⎧⎨>⎩答案：Ｃ．第28题.X 围内有意义，则x 的取值X 围为（）Ａ．0x ≥Ｂ．1x ≥Ｃ．1x ≠Ｄ．0x ≥且1x ≠答案：Ｄ．第29题. 2(35)0x y ++=第30题. 计算：（1）2（2）2(（3答案：（1）12（2）3x y （3）3-第31题. 已知x y ，互为相反数，求22x y -的值．答案：15-．第32题. 当1x <等于（）Ａ．1x --Ｂ．(1)x ±-Ｃ．1x -Ｄ．1x -答案：Ｄ．第33题. 若1x <，则x =（）Ａ．0Ｂ．44x -Ｃ．44x -Ｄ．4x答案：Ｃ．第34题.若a <a 的X 围是（）Ａ．0a <Ｂ．0a >Ｃ．1a >Ｄ．01a <<答案：Ｄ．第35题. 若m的小数部分，则2m m +=．答案：2．第36题.200320042)(32)+=．答案：2．第37题. 当0x y>，X 围内有意义．答案：0≤．第38题. 函数y =自变量的取值X 围是（）Ａ．0x >Ｂ．0x <Ｃ．0x ≥Ｄ．0x ≤答案：Ｂ．第39题. 若x ≤0，则化简1x - ）Ａ．12x -Ｂ．21x -Ｃ．1-Ｄ．1答案：Ｄ．第40题. 实数a b ，在数轴上对应点A B ，的位置如图，化简a b +．答案：解：由数轴上A B ，两点的相对位置可知，0a b >>且a b <，0a b ∴+<，()()a b a b a a b a b a a b ∴+=-+---=----+3a =-．第41题. 已知0b< ）Ａ．--答案：Ｃ．第42题. 若2x<3x -的结果为（）Ａ．1-Ｂ．1Ｃ．25x -Ｄ．52x -答案：Ｄ．第43题. 下列说法正确的是（）Ａ．实数a 的平方根为5420.635-，，，都是分数Ｄ．平方根和其立方根相等的数有01，答案：Ｂ．第44题. a >2a =+，则a 的值为（）Ａ．3Ｂ．23a --Ｃ．3-Ｄ．23a +答案：Ｄ．第45题.64-答案：4-；．第46题.答案：012±±，，．。

二次根式及其性质练习题以及答案

二次根式及其性质练习题以及答案【精选问题1】若x是实数,当x满足什么条件时,下列各式有意义.(1)1x-6(2)(2x+3)0(3)x+7(4)1x-1(5)x2+0.1(6)x2-2x+2(7)40.5-x(8)(5-x)-(9)(8-x)-【精选问题2】求下列二次根式的值.(1)(π-3.2)2(2)a2+4a+4,其中a=-5【精选问题3】化简下列二次根式:(1)125(2)12a2(a≥0)(3)113(4)m8n(n>0)(5)x32y(y<0)【精选问题4】判断下列二次根式中,哪些是同类二次根式(先化简)-45,75,613,20,5,0.3【测试训练】一、填空题：1.如果1-x在实数范围内有意义，那么x应满足的条件是___________.2.式了x(x-3)=xx-3成立的条件是_________.3.5-xx-2在实数范围内有意义,x的.取值范围是__________.4.计算：(-4)2=__________;(2-5)2=__________;(3.14-π)2=__________.5.如果x2=-x,那么x的取值范围是_________.6.当m≥时,(4-2m)2=________.7.当m<2时,化简1-x-x2-4x+4的结果是__________.8.化简：750=_________.18a349b2=_________.15x3=_________.9.如果最简二次根式2a-1与11-4a是同类二次根式,那么a=__________.10.2x2y,ab2,3xy5,5(a2-b2),75x3y3,x2+y2,2y2c中,是最简二次根式的有_____________________________.二、选择题11.以下各组中不是同类二次根式的是().(A)8和2(B)54和108(C)8a和32a(D)63和11212.在下列根式中最简二次根式的个数是(). a2+b2,12,15,10,3xy2,3ab(A)5(B)4(C)3(D)2三、解答题13.如果(27-x)2+y+13=0,求xy.14.当m<0时,化简：|m|+m2+(m3)+m.15.解不等式：2x-34+3<13+5x.16.已知x+1x=6,求x+1x的值.。

八年级数学上册 2.7 二次根式(第3课时)课时练 (新版)

二次根式【教材训练】 5分钟1.二次根式的加减运算二次根式加减时,可以先将二次根式化为最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式合并.2.二次根式的混合运算在二次根式的混合运算中,实数的运算顺序以及运算律,如交换律、结合律、分配律等同样适用;整式的乘法法则和乘法公式在二次根式的运算中同样适用;在计算的过程中,每个根式可以看作是一个单项式,多个被开方数不同的二次根式的加减看作多项式;计算结果中的二次根式必须是最简二次根式.3.判断训练(打“√”或“×”)(1)+×=. (×)(2)+=. (×)(3)当xy<0时,化简等于-y. (√)(4)=1-2=-1. (×)【课堂达标】 20分钟训练点一:二次根式的加减运算1.(2分)计算-的结果是( )A.-B.-3C. D.-【解析】选D.-=-2=-2=-.2.(2分)计算2-6+的结果是( )A.3-2B.5-C.5-D.2【解析】选A.2-6+=-2+2=3-2.3.(2分)下列各式中正确的有( )①+=; ②+=; ③-=0;④-=-2; ⑤+不能计算; ⑥3-2=0.A.0个B.1个C.2个D.3个【解析】选C.①②⑥中的二次根式均是最简二次根式,但被开方数不同,不能合并,所以①②⑥错误.⑤中=2,所以+=+2=3.故错误,只有③④正确.4.(2分)三角形的三边长分别为cm,cm,cm,则这个三角形的周长为________cm.【解析】这个三角形的周长为++=2+2+3=(5+2)cm. 答案:(5+2)5.(6分)已知a=+2,b=-2,求的值.【解析】因为a2+b2=(a+b)2-2ab,而a+b=(+2)+(-2)=2;ab=(+2)×(-2)=1,所以==5.训练点二:二次根式的混合运算1.(2分)下列等式不成立的是( )A.6·=6B.÷=4C.=D.·=4【解析】选B.由二次根式的除法法则,÷===2.2.(2分)设=a,=b,用含a,b的式子表示,则下列表示正确的是( )A.0.3abB.3abC.0.1ab2D.0.1a2b【解析】选A.====×=0.3ab.3.(2分)计算(2-3)÷的结果是( )A. B.- C.- D.【解析】选C.(2-3)÷=2÷-3÷=2-9=4-=-.4.(2分)计算(+3-)的结果是( )A.6B.4C.2+6D.12【解析】选D.(+3-)=2(5+-4)=2×2=12.5.(8分)计算.(1)(+)(-).(2)-(2+)2.【解析】(1)(+)(-)=(+)(-)=()2-()2=5-2=3.(2)-(2+)2=4-(4+4+2)=4-6-4=-6.【课后作业】 30分钟一、选择题(每小题4分,共12分)1.下列运算正确的是( )A.=±5B.4-=1C.÷=9D.×=6【解析】选D.=5,所以A错误;4-=,所以B错误;÷=3÷=3,所以C错误.2.下列计算正确的是( )A.·=1B.-=1C.÷=2D.=±2【解析】选A.·=1,故选项A正确;-=2-≠1,故选项B错误;÷=,故选项C错误;=2,故选项D错误.3.规定a※b=,则※的值是( )A.5-2B.3-2C. D.-【解析】选A.根据规定,※===5-2.二、填空题(每小题4分,共12分)4.计算:(9-5)÷2=______.【解析】(9-5)÷2=4÷2=2.答案:25.已知的整数部分为x,小数部分为y,则x2+y2=______.【解析】因为2<<3,所以的整数部分为2,即x=2,小数部分为-2,即y=-2.所以x2+y2=22+(-2)2=4+()2-2×2+22=4+5-4+4=13-4.答案:13-46.化简-(-)后求得它的近似值为______(精确到0.01,≈1.414,≈1.732).【解析】原式=-(-3)=-+3=3≈5.20.答案:5.20三、解答题(共26分)7.(8分)计算.(1)(7+4)(7-4)-(3-1)2.(2)(-2+)(-2-)+(-)2.【解析】(1)(7+4)(7-4)-(3-1)2=49-48-(45-6+1)=1-45+6-1=6-45. (2)(-2+)(-2-)+(-)2=4-6+3-2+=-.8.(8分)计算.(1)(-)·.(2)(3-4)÷2.(3)--+(-2)0+. 【解析】(1)原式=-=-=×14×-×14×=7-21.(2)原式=-=-2=×4-2×3=0.(3)原式=3--(1+)+1+|1-|=3--1-+1+-1=-1.9.(10分)(能力拔高题)阅读下面的解题过程:化简:=====+-.请解答下列问题:(1)利用上述方法化简.(2)认真分析化简过程,然后找出规律,将此类题型尽可能推广. 【解析】(1)====+-.(2)由已知的计算过程和(1)的解题过程,可以发现如下规律:=+-(其中a,b是正整数).。

2019—2020年最新冀教版八年级数学上册利用二次根式的性质解相关问题专题训练及答案.docx

专训利用二次根式的性质解相关问题名师点金：对于二次根式a ，有两个“非负”：第一个是a ≥0，第二个是a ≥0，这两个“非负”在解二次根式的有关题目中经常用到．二次根式的被开方数和值均为非负数，是常见的隐含条件．利用被开方数a ≥0及二次根式的性质解决有关问题1．【中考·南京】若式子x ＋1在实数范围内有意义，则x 的取值范围是________．2．若3x －4－4－3x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13y 2，则3x －12y 的值为________． 3．【中考·黔南州】实数a 在数轴上对应点的位置如图，化简（a －1）2＋a ＝________.(第3题)4．若x ，y 为实数，且y>x －2＋2－x ＋2，化简： 12－yy 2－4y ＋4＋2x.5．已知x，y为实数，且x－5＋5－x＝(x＋y)2，求x－y的值．利用a≥0求代数式的值6．若a＋2＋|2a－b＋1|＝0，则(b－a)2 017＝( )A．－1 B．1 C．52 017D．－52 0177．若x－3与y＋2互为相反数，求6x＋y的平方根．利用a≥0求最值8．当x取何值时，9x＋1＋3的值最小，最小值是多少？利用二次根式的非负性解决代数式化简求值问题9．设等式a （x －a ）＋a （y －a ）＝x －a －a －y ＝0成立，且x ，y ，a 互不相等，求x ＋y ＋a 的值．答案1．x ≥－12．2 点拨：由题意知3x －4＝0，x －13y ＝0.所以x ＝43，y ＝4.然后将其代入求值即可． 3．14．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，2－x ≥0得x ＝2.所以y>2. 所以原式＝12－y （y －2）2＋2×2＝y －22－y＋2＝－1＋2＝1. 5．解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x －5≥0，5－x ≥0，所以x 的值为5.所以(x ＋y)2＝0，即(5＋y)2＝0，所以y ＝－5.所以x －y ＝5－(－5)＝10.6．A7．解：由题意，得x －3＋y ＋2＝0，所以x －3＝0，y ＋2＝0.解得x ＝3，y ＝－2.则6x ＋y ＝16，所以6x ＋y 的平方根为±4.8．解：因为9x ＋1≥0，所以当9x ＋1＝0，即x ＝－19时，式子9x ＋1＋3的值最小，最小值为3.方法点拨：涉及二次根式的最小(大)值问题，要根据题目的具体情况来决定用什么方法．一般情况下利用二次根式的非负性求解．9．解：因为a （x －a ）＋a （y －a ）＝0，所以a(x －a)＝0且a(y －a)＝0.又因为x ，y ，a 互不相等，所以x －a ≠0，y －a ≠0，所以a ＝0.代入有x －－y ＝0，所以x ＝－y.所以x ＝－y.所以x＋y＝0.所以x＋y＋a＝0.。

(完整版)二次根式专题练习(含答案).doc

初二数学专题练习《二次根式》一．选择题1．式子在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（）A ．x＜1 B．x≤1 C ．x＞ 1D． x≥ 12．若 1＜x＜2，则的值为（） A ．2x﹣4 B．﹣ 2 C ．4﹣2x D．2 3．下列计算正确的是（） A ．=2B．=C．=x D．=x 4．实数 a ， b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（）A ．﹣ 2a+b B．2a ﹣b C ．﹣ b D．b5．化简+ ﹣的结果为（） A ． 0 B． 2 C ．﹣ 2 D． 26．已知 x＜1，则化简的结果是（） A ． x﹣ 1 B．x+1 C ．﹣ x﹣1D ． 1﹣ x7．下列式子运算正确的是（） A ．B． C ．D．8．若，则 x3﹣ 3x2+3x 的值等于（）A ．B． C ．D．二．填空题9．要使代数式有意义，则 x 的取值范围是．10．在数轴上表示实数 a 的点如图所示，化简+|a ﹣2| 的结果为．11．计算：=．12 ．化简：=．13．计算：（+）=．14．观察下列等式：第 1 个等式： a 1==﹣1，第 2 个等式： a 2==﹣，第 3 个等式： a 3==2，第 4 个等式： a 4==2，按上述律，回答以下：（ 1）写出第 n 个等式： a n=；（ 2） a 1+a 2+a 3+⋯+a n =．15．已知 a 、b 有理数，m 、n 分表示16．已知： a ＜0，化17．，的整数部分和小数部分，且 amn+bn 2=1 ， 2a+b=．=．，，⋯，．， S=（用含n的代数式表示，其中n 正整数）．三．解答18．算或化：（3+）；19．算：（ 3）（3+）+（2）20．先化，再求：，其中x=3（π 3）0．21．算：（+ ）× ．22．算：×（） +| 2 |+ （）﹣3．23．算：（+1 ）（1）+ （）0．24．如，数 a 、b 在数上的位置，化：．25．材料，解答下列．例：当 a ＞0 ，如 a=6|a|=|6|=6，故此a的是它本身；当a=0 ， |a|=0 ，故此 a 的是零；当a ＜0 ，如 a= 6 |a|=|6|= （ 6），故此 a 的是它的相反数．∴ 合起来一个数的要分三种情况，即，种分析方法渗透了数学的分思想．：（ 1）仿照例中的分的方法，分析二次根式的各种展开的情况；（ 2）猜想与|a|的大小关系．26．已知： a=，b=．求代数式的．27．下列材料，然后回答．在行二次根式的化与运算，我有会碰上如，，一的式子，其我可以将其一步化：（一）==（二）===1（三）以上种化的步叫做分母有理化．可以用以下方法化：====1（四）（ 1）用不同的方法化．（ 2=；=．（ 3）化：+++⋯+．28．化求：，其中．.参考答案与解析一．选择题1．（ 2016? 贵港）式子在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（）A ． x＜ 1B．x≤1 C ． x＞1D．x≥1【分析】被开方数是非负数，且分母不为零，由此得到：x﹣1＞0，据此求得 x 的取值范围．【解答】解：依题意得： x﹣ 1＞ 0，解得 x＞1．故选： C ．【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．注意：本题中的分母不能等于零．.2．（ 2016? 呼伦贝尔）若 1＜x＜2，则的值为（）A ． 2x﹣4 B．﹣ 2 C ．4﹣2x D．2【分析】已知 1＜ x＜ 2，可判断 x﹣3＜0，x﹣ 1＞0，根据绝对值，二次根式的性质解答．【解答】解：∵ 1＜ x＜ 2，∴x﹣ 3＜ 0， x﹣ 1＞0，原式 =|x ﹣ 3|+=|x ﹣3|+|x﹣1|=3﹣x+x ﹣ 1=2．故选 D．【点评】解答此题，要弄清以下问题：1、定义：一般地，形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．当 a ＞ 0 时，表示a的算术平方根；当 a=0 时，=0 ；当 a 小于 0 时，非二次根式（若根号下为负数，则无实数根）．2、性质：=|a|．3．（ 2016? 南充）下列计算正确的是（）A ．=2B．= C ．=x D．=x【分析】直接利用二次根式的性质分别化简求出答案．【解答】解： A 、=2，正确；B、=，故此选项错误；C 、=﹣x，故此选项错误；D、=|x|，故此选项错误；故选： A ．.【点评】此题主要考查了二次根式的化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．4．（ 2016? 潍坊）实数 a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（）A ．﹣ 2a+b B． 2a ﹣ b C ．﹣ bD ．b【分析】直接利用数轴上 a ，b 的位置，进而得出 a ＜0，a ﹣b ＜ 0，再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：如图所示： a ＜0，a ﹣b ＜0，则 |a|+=﹣a ﹣（ a ﹣b ）=﹣2a+b ．故选： A ．【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及实数与数轴，正确得出各项符号是解题关键．5．（ 2016? 营口）化简+﹣的结果为（）A ． 0 B．2 C ．﹣ 2D． 2【分析】根据根式的开方，可化简二次根式，根据二次根式的加减，可得答案．【解答】解：+﹣=3 +﹣2=2，故选： D．【点评】本题考查了二次根式的加减，先化简，再加减运算．6．已知 x＜1，则化简的结果是（）A ． x﹣ 1B．x+1 C ．﹣ x﹣1 D．1﹣x【分析】先进行因式分解， x2﹣2x+1= （x﹣1）2，再根据二次根式的性质来解题即可．.【解答】解：==|x ﹣1|∵x＜ 1，∴原式 =﹣（ x﹣ 1） =1﹣ x，故选 D．【点评】根据完全平方公式、绝对值的运算解答此题．7．下列式子运算正确的是（）A ．B． C ．D．【分析】根据二次根式的性质化简二次根式：=|a|；根据二次根式分母有理化的方法“同乘分母的有理化因式”，进行分母有理化；二次根式的加减实质是合并同类二次根式．【解答】解： A 、和不是同类二次根式，不能计算，故 A 错误；B、=2，故B错误；C 、=，故C错误；D、=2 ﹣+2+ =4，故 D 正确．故选： D．【点评】此题考查了根据二次根式的性质进行化简以及二次根式的加减乘除运算，能够熟练进行二次根式的分母有理化．8．若，则x3﹣3x2+3x的值等于（）A ．B． C ．D．.【分析】把 x 的值代入所求代数式求值即可．也可以由已知得（x﹣1）2 =3，即 x2﹣ 2x﹣2=0，则 x3 ﹣3x2+3x=x （x2﹣ 2x﹣2）﹣（ x2﹣2x ﹣2）+3x ﹣ 2=3x﹣ 2，代值即可．【解答】解：∵ x3﹣3x2 +3x=x （ x2﹣3x+3 ），∴当时，原式 =（）[﹣3（）+3]=3+1 ．故选 C ．【点评】代数式的三次方不好求，就先提取公因式，把它变成二次方后再代入化简合并求值．二．填空题9．（ 2016? 贺州）要使代数式有意义，则x的取值范围是x≥﹣ 1 且 x≠0．【分析】根据二次根式和分式有意义的条件：被开方数大于等于0，分母不等于 0，列不等式组求解．【解答】解：根据题意，得，解得 x≥﹣ 1 且 x≠0．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．本题应注意在求得取值范围后，应排除不在取值范围内的值．10．（ 2016? 乐山）在数轴上表示实数 a 的点如图所示，化简+|a ﹣2| 的结果为3．【分析】直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质分别化简求出答案．【解答】解：由数轴可得： a ﹣5＜0，a ﹣ 2＞ 0，则+|a ﹣ 2|=5﹣a+a ﹣2=3．.【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及绝对值的性质，正确掌握掌握相关性质是解题关键．11．（ 2016? 聊城）计算：= 12 ．【分析】直接利用二次根式乘除运算法则化简求出答案．【解答】解：=3×÷=3=12 ．故答案为： 12．【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．12．（ 2016? 威海）化简：=．【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．【解答】解：原式 =3﹣2=．故答案为：．【点评】此题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．13．（ 2016? 潍坊）计算：（+）=12．【分析】先把化简，再本括号内合并，然后进行二次根式的乘法运算．【解答】解：原式 = ?（+3）=×4=12 ．.【点】本考了二次根式的算：先把各二次根式化最二次根式，再行二次根式的乘除运算，然后合并同二次根式．在二次根式的混合运算中，如能合目特点，灵活运用二次根式的性，恰当的解途径，往往能事半功倍．14．（ 2016? 黄石）察下列等式：第 1 个等式： a 1= = 1，第 2 个等式： a 2= = ，第 3 个等式： a 3= =2，第 4 个等式： a 4= = 2，按上述律，回答以下：（ 1）写出第 n 个等式： a n= = ；；（ 2） a 1+a 2+a 3+⋯+a n = 1 ．【分析】（ 1）根据意可知，a 1= = 1，a 2 = = ，a 3= =2，a4==2，⋯由此得出第 n 个等式： a n = = ；（ 2）将每一个等式化即可求得答案．【解答】解：（1）∵第 1 个等式： a 1= = 1，第 2 个等式： a 2= = ，第 3 个等式： a 3= =2 ，第 4 个等式： a 4= =2，∴第 n 个等式： a n= = ；（2） a 1+a 2+a 3+⋯+a n=（1）+（）+（2）+（2） +⋯ +（）故答案为=﹣；﹣1．【点评】此题考查数字的变化规律以及分母有理化，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．15．已知 a 、b 为有理数， m 、n 分别表示的整数部分和小数部分，且amn+bn2=1，则2a+b= 2.5．【分析】只需首先对估算出大小，从而求出其整数部分 a ，其小数部分用﹣a表示．再分别代入 amn+bn 2=1 进行计算．【解答】解：因为 2＜＜3，所以2＜5﹣＜3，故m=2，n=5﹣﹣2=3﹣．把 m=2 ，n=3 ﹣代入amn+bn2=1得，2（3﹣）a+（3﹣）2b=1化简得（ 6a+16b ）﹣（2a+6b）=1，等式两边相对照，因为结果不含，所以 6a+16b=1且2a+6b=0，解得a=1.5，b=﹣0.5．所以 2a+b=3 ﹣0.5=2.5 ．故答案为： 2.5．【点评】本题主要考查了无理数大小的估算和二次根式的混合运算．能够正确估算出一个较复杂的无理数的大小是解决此类问题的关键．16．已知： a ＜0，化简=﹣2．【分析】根据二次根式的性质化简．【解答】解：∵原式 =﹣=﹣又∵二次根式内的数为非负数∴a=0∴a=1 或 1∵a ＜0∴a= 1∴原式 =0 2= 2．【点】解决本的关是根据二次根式内的数非数得到 a 的．17．，，，⋯，．， S=（用含n的代数式表示，其中n 正整数）．【分析】由 S n =1++===，求，得出一般律．【解答】解：∵ S n =1++===，∴==1+=1+，∴S=1+1+1++⋯ +1+=n+1==．故答案：．【点】本考了二次根式的化求．关是由S n形，得出一般律，找抵消律．三．解答（共11 小）18．（ 2016? 泰州）算或化：（ 3+）；【解答】解：（1）﹣（ 3 + ）=﹣（ + ）=﹣﹣=﹣；【点评】本题考查了二次根式的加减法以及分式的混合运算，正确化简是解题的关键．19．（ 2016? 盐城）计算：（ 3﹣）（3+）+（2﹣）【分析】利用平方差公式和二次根式的乘法法则运算．【解答】解：原式 =9 ﹣7+2﹣ 2=2．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．20．（ 2016? 锦州）先化简，再求值：，其中x=﹣3﹣（π﹣3）0．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把化简后x 的值代入进行计算即可．【解答】解：，=÷，=×，=．x=﹣3﹣（π﹣3）0，=× 4﹣﹣1，=2 ﹣﹣1，=﹣1．把 x=﹣1代入得到：==．即=．【点评】本题考查的是分式的化简求值，在解答此类题目时要注意通分及约分的灵活应用．21．计算：（+）×．【分析】首先应用乘法分配律，可得（+）×合运算顺序，先计算乘法，再计算加法，求出算式（【解答】解：（+）×= ×+×；然后根据二次根式的混+）×的值是多少即可．=×+×=1+9=10【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”．22．计算：×（﹣）+|﹣2|+ （）﹣3．【分析】根据二次根式的乘法法则和负整数整数幂的意义得到原式=﹣+2+8 ，然后化简后合并即可．【解答】解：原式 =﹣+2 +8=﹣3 +2 +8=8﹣．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运.算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数整数幂、23．计算：（+1 ）（﹣1）+﹣（）0．【分析】先根据平方差公式和零指数幂的意义得到原式=3﹣ 1+2﹣1，然后进行加减运算．【解答】解：原式 =3﹣ 1+2﹣1=1+2．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂．24．如图，实数 a 、b 在数轴上的位置，化简：．【分析】本题综合性较强，不仅要结合图形，还需要熟悉算术平方根的定义．【解答】解：由数轴知， a ＜0，且 b ＞0，∴a ﹣b ＜0，∴，=|a| ﹣|b|﹣[﹣（a﹣b）]，=（﹣ a ）﹣ b+a ﹣b ，=﹣2b ．【点评】本小题主要考查利用数轴表示实数取值范围、二次根式的化简、代数式的恒等变形等基础知识，考查基本的代数运算能力．观察数轴确定 a 、 b 及 a ﹣ b 的符号是解答本题的关键，本题巧用数轴给出了每个数的符号，渗透了数形结合的思想，这也是中考时常考的知识点．本题考查算术平方根的化简，应先确定 a 、b 及 a ﹣b 的符号，再分别化简，最后计算．25．阅读材料，解答下列问题．例：当 a ＞0 时，如 a=6 则|a|=|6|=6，故此时a的绝对值是它本身；当a=0 时， |a|=0 ，故此时 a 的绝对值是零；当a ＜0 时，如 a= ﹣ 6 则|a|=| ﹣ 6|= ﹣（﹣ 6），故此时 a 的绝对值是它的相反数．∴综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即，这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想．问：（ 1）请仿照例中的分类讨论的方法，分析二次根式的各种展开的情况；（ 2）猜想与|a|的大小关系．【分析】应用二次根式的化简，首先应注意被开方数的范围，再进行化简．【解答】解：（1）由题意可得=；（ 2）由（ 1）可得：=|a|．【点评】本题主要考查二次根式的化简方法与运用：①当 a ＞0 时，=a ；②当 a ＜ 0 时，= ﹣ a ；③当 a=0 时，=0．26．已知： a=，b=．求代数式的值．【分析】先求得 a+b=10 ，ab=1 ，再把求值的式子化为 a 与 b 的和与积的形式，将整体代入求值即可．【解答】解：由已知，得 a+b=10 ，ab=1 ，∴===．【点】本关是先求出a+b 、ab 的，再将被开方数形，整体代．27．下列材料，然后回答．在行二次根式的化与运算，我有会碰上如，，一的式子，其我可以将其一步化：（一）==（二）===1（三）以上种化的步叫做分母有理化．可以用以下方法化：====1（四）（ 1）用不同的方法化．（ 2=；=．（ 3）化：+++⋯+．【分析】（1 ）中，通察，：分母有理化的两种方法：1、同乘分母的有理化因式；2、因式分解达到分的目的；（ 2）中，注意找律：分母的两个被开方数相差是2，分母有理化后，分母都是2，分子可以出抵消的情况．【解答】解：（1）=，=；.（2）原式 =+⋯+=++⋯+=．【点】学会分母有理化的两种方法．28．化求：，其中．【分析】由 a=2+，b=2，得到a+b=4，ab=1，且a＞0，b＞0，再把代数式利用因式分解的方法得到原式 =+，分后得+，接着分母有理化和通分得到原式=，然后根据整体思想行算．【解答】解：∵ a=2+＞0，b=2＞0，∴a+b=4 ，ab=1 ，∴原式 =+=+=+=，当 a+b=4 ，ab=1 ，原式 =×=4．【点】本考了二次根式的化求：先把各二次根式化最二次根式，再合并同二次根式，然后把字母的代入（或整体代入）行算．。

(名师整理)最新北师大版数学8年级上册第2章第7节《二次根式及其性质》市优质习题课件

【点拨】因为 0.54＝ 0.01×2×3×9＝ 0.01× 2× 3× 9， 2＝a， 3＝b，所以 0.54＝0.1×a×b×3＝0.3ab.
9．最简二次根式应有如下两个特点： (1)被开方数不含__分___母___； (2)被开方数不含能__开___得__尽__方___的因数或___因___式___________．
18．阅读下面一题的解答过程，请判断是否正确．若不正确，请写出正确的解答过程．
已知 a 为实数，化简－a3－a －1a. 解：－a3－a －1a＝a －a－a·1a －a＝(a－1) －a. 解：不正确．
－a3－a －1a＝－a －a－a·－1a· －a＝(1－a) －a.
19．已知 9x－－x6＝ x9－－6x，且 x 为奇数，求 1＋x＋|x－5|＋
(x2＋6)0 的值．
解：因为
x9－－6x＝
x－6，所以 9－x
x－6≥0，9－x＞0.
所以 6≤x＜9.
又因为 x 是奇数，所以 x＝7.
当 x＝7 时，原式＝ 1＋7＋|7－5|＋(72＋6)0＝2 2＋3.
20．设△ABC 的三边长分别为 a，b，c，试化简：（a＋b＋c）2＋（b＋c－a）2＋（a＋c－b）2－（a＋b－c）2.
1、被开方数不含分母; 2、被开方数不含能开得尽方的因数或因式; 3、分母不含根号.
二次根式的乘法法则和除法法则:
a b a b（a≥0，b≥0），
a b
a b
（a≥0，b＞0）
二次根式也可以进行加减运算,实数的运
算法则、运算律仍然适用.
光读书不思考也许能使平庸之辈知识丰富，但它决不能使他们头脑清醒。
12－3)0＋
27－－
33－1的结果是(

八年级上册数学-二次根式及经典习题及答案

二次根式的知识点汇总知识点一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。

知识点二：取值范围1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。

知识点三：二次根式（）的非负性（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。

注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。

这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。

知识点四：二次根式（）的性质（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。

上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。

知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。

但与都是非负数，即，。

因而它的运算的结果是有差别的，，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.二次根式21.1 二次根式：1. 有意义的条件是。

北京课改版数学八年级上册11.5 二次根式及其性质素养提升练(含解析)

北京课改版数学八年级上册11.5 二次根式及其性质素养提升练（含解析）第十一章实数和二次根式二二次根式11.5二次根式及其性质基础过关全练知识点1二次根式的概念1.(2023北京海淀期末)下列式子中,是二次根式的是()A. B. C.x2 D.x2.(2022广东广州中考)代数式有意义时,x应满足的条件为()A.x≠-1B.x>-1C.x5D.x B.a-1 B.x≥-1C.x≥-1且x≠0D.x≤-1且x≠015.(2022北京十一中期中,2,★★★)若-=(x+y)2,则y-x的值为()A.-1B.1C.2D.316.(2022内蒙古呼伦贝尔中考,5,★★★)实数a在数轴上的对应位置如图所示,则+1+|a-1|的化简结果是()A.1B.2C.2aD.1-2a17.(2023内蒙古呼伦贝尔中考,10,★★★)已知1A.2a-5 B.5-2aC.-3D.318.(2022内蒙古包头中考,13,★★★)若代数式+在实数范围内有意义,则x的取值范围是.19.(2023北京西城期末,17,★★★)已知y=++2,那么4x+y=.20.【分类讨论思想】(2023甘肃中考,18,★★★)已知y=-x+5,当x分别取1,2,3,…,2 020时,所对应y值的总和是.21.(2023北京海淀期末改编,13,★★★)已知a为实数,化简:|a-1|+.素养探究全练22.【运算能力】阅读下面的文字后,回答问题:甲、乙两人同时解答题目:“化简并求值:a+,其中a=5.”甲、乙两人的解答不同.甲的解答是a+=a+=a+1-3a=1-2a=-9;乙的解答是a+=a+=a+3a-1=4a-1=19.(1)的解答是错误的;(2)错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质:;(3)模仿材料解答:化简并求值:|1-a|+,其中a=2.答案全解全析基础过关全练1.A,x,x2不符合二次根式的概念,不是二次根式,是二次根式.故选A.2.B代数式有意义,则x+1>0,解得x>-1.故选B.3.C代数式有意义,则x-5>0,解得x>5.故选C.4.答案x>-3解析由题意得x+3>0,解得x>-3.5.答案-;1解析★≥0,★当=0时,+1取得最小值1,此时2a+1=0,★a=-.6.B=2,故A选项错误;()2=4,故B选项正确;=4,故C选项错误;(-)2=4,故D选项错误.故选B.7.D★=|2a-1|=1-2a,★2a-1≤0,解得a≤.故选D.8.答案2解析解法一:=|-2|=2.解法二:==2.9.答案 2 020解析原式====2 020.10.答案1解析由数轴得0<m<1,★m-1<0,★|m-1|+=-(m-1)+m=-m+1+m=1.11.答案-1解析由题意得 2 023-x≥0,★x≤2 023,★x-2 024<0,★原式=2 023-x-(2 024-x)=2 023-x-2 024+x=-1.12.解析(1)原式=32×()2=9×2=18.(2)原式=45-75=-30.(3)原式=|3.14-π|=π-3.14.(4)原式=+=|a|+|a-3|,因为0所以原式=a+3-a=3.13.解析(1)a2-7=a2-()2=(a+)(a-).(2)m3-5m=m(m2-5)=m[m2-()2]=m(m+)(m-).(3)2x2-4=2(x2-2)=2[x2-()2]=2(x+)(x-).能力提升全练14.C由题意得x+1≥0且x≠0,★x≥-1且x≠0.故选C.15.C由题意可知解得x=-1,★(x+y)2=0,★x+y=0,★y=1,★y-x=1-(-1)=2.故选C.16.B根据数轴得00,a-1<0,★原式=a+1+1-a=2.故选B.17.A原式=-=|1-a|-|a-4|,★118.答案x≥-1且x≠0解析根据题意得解得x≥-1且x≠0.19.答案4解析由题可知解得x=,★y=2,★4x+y=4×+2=2+2=4.20.答案 2 032解析当x<4时,原式=4-x-x+5=-2x+9,★当x=1时,原式=7;当x=2时,原式=5;当x=3时,原式=3.当x≥4时,原式=x-4-x+5=1,★当x分别取1,2,3,…,2 020时,所对应y值的总和是7+5+3+1+1+…+1=15+1×2023=2 032.21.解析原式=|a-1|+=|a-1|+|a-2|,当a≤1时,原式=1-a+2-a=3-2a;当a≥2时,原式=a-1+a-2=2a-3;当1素养探究全练22.解析(1)当a=5时,甲没有判断1-3a的符号,错误的是甲.(2)=|a|,当a<0时,=-a.(3)|1-a|+=|1-a|+.★a=2,★1-a<0,1-4a<0,★原式=a-1+4a-1=5a-2=5×2-2=8.。

初中数学《二次根式的性质与化简》专题训练(含答案)

二次根式的性质与化简一、选择题1.2得（）．A 、2B 、C 、D 、2.若x x +=-11 ）A ．1x -B ．1x -C ．1D ．1-3.设a b ，都是实数，且0a a +=，ab ab =，0c c -=，那么化简b ac -为（）A ．2c b -B ．22b a -C ．b - D.b4.化简：（11x -其中12x <<（2b a -5.如果式子(1a -根号外的因式移入根号内，化简的结果为（）A ． D ．二、填空题6.若b ＜0______．7.设012x y <<<<，=______.三、解答题8.化简：9.若-3≤x ≤2时，试化简2x -10.化简：311.如果0a >，0a b<12.在实数范围内分解下列因式:（1）25x - （2）44x - （3） 223x - 13.计算：14.化简下列各式（10x >，0y >）（20a >，0b >）15.16.化简，然后自选一个合适的x 值，代入化简后的式子求值．17.先化简，再求值：((6)a a a a +--，其中215+=a 18.计算（1）2(0)x ≥ （2）2（3）2 （4）219.先化简再求值：当a=9时，求a甲的解答为：原式=(1)1a a a =+-=；乙的解答为：原式=(1)2117a a a a =+-=-=．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．20.计算（1） 2 （2） 2 （3）2( （4） 221.112a ≤≤） 22.计算下列各式：（1） 2)23( （2）2)32(⨯ （3）2)53(⨯- （4）2)323(23.二次根式的性质与化简答案解析一、选择题1.A ；因为230x -≥，23232x x ≥=-，所以210|21|21x x x ->=-=-221(23)2x x =---=．2.B3.D ；0,0,a a a +=∴≤,0.0.0.ab ab b c c c =∴≤-=∴≥∴原式=b a b c b c a b -++-++-=，故选D ．4.（1）a 可知，化简二次根式的一个有效方法是配方去掉根号，所以原式121x x x -=-+- ，12x <<，∴原式211x x =-+-=．（20a b -≥，所以,a b b a a b =--=-．原式a b a b a b a b =--++-=-5.C二、填空题6.原式b =7.012x y <<<<，∴原式=2122(1)(2)21221x y x y x y x y x y x yx ==-+----=-+----=-+-+-+=+三、解答题8.原式=((22y x x y ++ 9.原式=23523510x x x x x x x -+++-=-+++-=-．10.原式(4x y =-+． 11.0,0,0a a b b ><∴<原式=414(1)413b a a b b a a b b a a b ----+=-++--+=-++-+-=．12.（1）(x x ；（2）2(2)x xx +；（3）+-．13.a b c ===，把二次根式转化成分式计算．原式=()()()()()()a b c a b a c b a b c c a c b ++------ ()()()()()()()()()0()()()0a b c b a c c a b a b a c b c ab ac ba bc ac bc a b a c b c a b a c b c ---+-=-----++-=---=---=14.（10x >，0y >）2x y ====（2（0a >，0b >）==15.原式== 16.这是一道结论开放题，它留给我们较大的发挥和创造空间．但要注意x 的取值范围是2x >．原式====2,x >∴取4x =，原式＝2．17.原式223663a a a a =--+=-，把215+=a 代入得原式=16)32⨯-= 18.（1）x +2；（2）2a ；（3）221a a ++；（4）24129x x -+．19.甲；甲没有先判定1-a 是正数还是负数．20.（1）34；（2）36；（3）5；（4）34．21.a ，去绝对值时，一定要注意a 的正负．211a a =---， 112a ≤≤，∴原式=21(1)21132a a a a a ---=--+=-． 22.（1）18；（2）6；（3）15；（4）6． 23.原式35a a =++-，当5a ≤时，原式=3522a a a ++-=-；当35a -<<时，原式358a a =+-+=；当3a ≤-时，原式3522a a a =---+=-+．。

八年级数学二次根式的性质与运算练习题及答案

（2）试问以a，b，c为边能否构成三角形？如果能构成，请求出三角形的周长；如果不能，请说明理由.
解析：（1）根据“几个非负数的和为0，则这几个数都为0”求解；
（2）根据“三角形任意两边之和大于第三边”进行判断.
两边同时平方，整理可得a-20142=2015.
答案：2015
小结：在解决含二次根式与绝对值的问题时，要谨记：（1）二次根式的被开方数为非负数；（2）一个正数的绝对值等于它的本身，一个负数的绝对值等于它的相反数.另外在解题时还要注意整体思想的灵活运用.
例6已知非零实数a，b满足，则a+ b等于（）
综上可知x≥- ，且x≠1.
答案：A
小结：在求解有关字母范围问题时，一般要注意以下两个方面：（1）二次根式的被开方数是非负数；（2）分式的分母不为0.
举一反三：
1.（2012·南充）在函数y= 中，自变量x的取值范围是( )
A.x≠ B. C. D.
解析：由二次根式有意义的条件可知1-2x≥0，解得；由分式有意义的条件可知 ≠0，即x≠ ；所以x的取值范围是 .
解析：根据可得x-2y=0，y+2=0，解得x=-4，y=-2，所以
xy=8.
3.若a，b为实数，且满足，则b-a的值为（）
A.2 B.0 C.-2 D.以上都不对
解析：由可得a-2=0，-b2=0，所以a=2，b=0，所以b-a=0-2=-2.
7.已知a，b，c满足 .
（1）求a，b，c的值；
所以a= b=c，故△ABC为等边三角形.
答案：B
小结：解本题的关键在于利用完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2对所给等式进行变形，变形后再根据几个非负数的和为0则这几个非负数均为0分别求出a，b，c的值，进而判断出三角形的形状.

北师大版八年级数学上册第二章实数第7节二次根式课后练习

第二章实数第7节二次根式课后练习学校:___________姓名：___________班级：___________考生__________评卷人得分一、单选题1．下列各式计算正确的是（）A．8222+=B．()3236ab a b-=C．224235a a a+=D．()()2122141a a a+-=-2．若二次根式2x-有意义，则x的取值范围是（）．A．2x>B．2x≥C．2x<D．2x≤3．下列式子中是最简二次根式的是（）A．8B．22C．23D． 1.5 4．化简：()222-=（）A．2B．2C．22-D．22-5．下列各式：3，2x，32，2)2(x x+≥-其中二次根式的个数为()A．1B．2C．3D．46．函数y=214xx+-的自变量x的取值范围是（）A．x≥-1B．x≥-1且x≠2C．x≠±2D．x＞-1且x≠2 7．若2(3)3b b-=-，则b的取值范围是（）A．b＞3B．b＜3C．3b≥D．3b≤8．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简222(1)(1)()a b a b++---的结果是（）．A．2-B．0C．2a-D．2b9．数轴上，点A表示的数是3-，将点A向右平移3个单位到达点B，点B表示的数为m．计算323m-，结果是（）A．-3-3B．3-3?C．-3+3D．-3+3310．若最简二次根式5b与32b+是同类二次根式，则b的值是()A．0B．1C．1-D．2评卷人得分二、填空题11．若-2(2)2x x-=-，则x的取值范围是__________．12．已知：182222a b-=-=，则ab=_________．13．已知18n是正整数，则正整数n的最小值是_______________________．14．计算3312+的结果是__________．15．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则()2a+b+a的化简结果为___．16．对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：a ba ba b+=-※，如3232532+==-※，那么84=※________．17．计算：141143y x x=-+-+=______．18．实数x在数轴上的对应位置如图所示，化简()()2223x x-+-=______．19．如果最简二次根式1+a与42a-是同类二次根式，那么a=________．评卷人得分三、解答题20．计算：(1)1325045183++-(2)2(13)(26)(221)+---21．先化简，再求值：22()()()2x y x y x y x+++--，其中2x=，3y=．22．计算：（1）54520+-（2）()(227227)+-．23．已知21a=+，21b=-．（1）求22a b+的值；（2）求a bb a+的值．24．观察下列各式及其验算过程：2 2+3=223，验证：22+3=23+23⨯=323=223；3 3+8=338，验证：33+8=38+38⨯=338=338（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想44+15的变形结果并进行验证．（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证．25．阅读下面问题： ()()()121121122121⨯-==-++-；()()13232323232-==-++-；()()15252525252-==-++-．（1）试求176+的值；（2）化简：11n n ++（n 为正整数）；（3）计算：11111122334989999100++++++++++．参考答案：1．D【解析】【详解】逐项分析如下：选项逐项分析正误A823222+=≠×B()323636ab a b a b-=-≠×C2224+=≠×2355a a a aD2+-=-√a a a(12)(21)412．B【解析】【分析】根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．【详解】解：由题意得，x-2≥0，解得x≥2．故选：B．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．3．B【解析】【分析】分析每个式子，根据最简二次根式的定义判断即可．【详解】8=24=22⨯，故A 错误；22是最简二次根式，故B 正确； 2236==333⨯，故C 错误； 361.5==22，故D 错误；故选：B ．【点睛】本题主要考查了最简二次根式的判定，准确利用二次根式的性质化简是解题的关键． 4．D 【解析】【分析】利用2,a a = 再根据a 的正负情况去绝对值符号即可．【详解】解：()()22222222 2.-=-=--=-故选D ．【点睛】本题考查的是二次根式的化简，掌握2a a =是解题的关键． 5．C 【解析】【分析】根据二次根式的定义逐一进行判断即可得答案．【详解】3是二次根式；2x ，※x 2≥0，※2x 是二次根式；32不是二次根式；2)2(x x +≥-，※x≥-2，※x+2≥0，※2)2(x x +≥-是二次根式，综上二次根式有三个，故选C ．【点睛】本题考查了二次根式的判断，熟知形如()0a a ≥的式子是二次根式是解题的关键． 6．B 【解析】【分析】本题有二次根式和分式，则要使式子有意义，则必须满足二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为零. 【详解】解：由题意得：x+1≥0且24x -≠0，解得：x ≥-1且x ≠2. 故选：B 7．D 【解析】【分析】根据二次根式的性质2a a =可直接求解．【详解】解：2(3)3b b -=-，∴33b b -=-，∴30b -≥，解得3b ≤．故选D ．【点睛】本题主要考查二次根式的性质，熟记概念是解题的关键． 8．A 【解析】【分析】根据实数a 和b 在数轴上的位置得出其取值范围，再利用二次根式的性质和绝对值的性质即可求出答案．【详解】解：由数轴可知-2＜a ＜-1，1＜b ＜2， ※a+1＜0，b-1＞0，a-b ＜0，※222(1)(1)()a b a b ++--- =11a b a b ++--- =()()()11a b a b -++-+- =-2 故选A. 【点睛】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，以及二次根式的性质，要求学生正确根据数在数轴上的位置判断数的符号以及绝对值的大小，再根据运算法则进行判断． 9．C 【解析】【分析】根据已知先把点A 在数轴上向右平移3个单位到达点B ，即为m ＝3-＋3，然后把m 的值代入即可求解．【详解】解：根据题意可知：m ＝3-＋3，把m ＝3-＋3代入323m -得：()33332⨯--+33=-+，故选：C ．【点睛】本题考查实数与数轴，解题的关键是将文字叙述转化为数学式子求出m 的值． 10．B 【解析】【分析】根据题意，它们的被开方数相同，列出方程求解即可．【详解】由最简二次根式5b 与32b +是同类二次根式可得：532b b =+解得：1b =【点睛】此题考查同类二次根式，解题的关键在于根据同类二次根式的定义列出方程．11．2x≥【解析】【分析】利用二次根式的性质（2||a a=）及绝对值的性质化简（||a=,00,0.0a aaa a>⎧⎪=⎨⎪-<⎩），即可确定出x的范围．【详解】解：※2(2)|2|2x x x--=--=-,※|2|2x x-=-．※20x-≥，即2x≥．故答案为：2x≥．【点睛】本题考查利用二次根式的性质化简．熟练掌握二次根式的性质和绝对值的性质是解决此题的关键．12．6【解析】【分析】根据二次根式的运算法则即可求解．【详解】※18232222-=-=※a=3,b=2※ab=6故答案为：6．【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知其运算法则．13．2【分析】由题意可得：18n 是一个完全平方数，据此解答即可．【详解】解：1832n n =，※n 是正整数，2n 也是正整数， ※n 的最小整数值是2．故答案为：2．【点睛】本题考查的是二次根式的定义和二次根式的化简，属于常考题型，熟练掌握二次根式的基本知识是解题的关键． 14．13【解析】【分析】先化成最简二次根式，再根据二次根式的加减法法则计算出分母，最后约分即可．【详解】3312+3323=+333=13=，故答案为：13．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的加减法法则是解题的关键． 15．﹣b ．【解析】※由数轴可知：b ＜0＜a ，|b|＞|a|，※()2a+b +a =|a+b|+a=﹣a ﹣b+a=﹣b ．16．32【解析】【分析】利用定义的运算方法转化为二次根式的运算，化简得出答案即可．【详解】解：由题意可得：8※4=843842+=-，故答案为：32. 【点睛】此题考查二次根式的化简求值，理解运算的方法是解决问题的关键．17．13【解析】【分析】根据根号下的式子或者数必须大于等于0，多个根式出现时，则必须满足所有的式子都有意义可判断出4x−1=0，1−4x=0，即可得出答案．【详解】解：由题意可得41x -≥0，14x -≥0，※4x−1=0，1−4x=0，※y=13，故答案为：13．【点睛】本题主要考查二次根式具有双重非负性，掌握知识点是解题关键．18．1【解析】根据二次根式的性质化简即可．【详解】解：由数轴可得：2＜x ＜3，※()()()2223231x x x x -+-=-+-=，故答案为：1．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟知2a a =是解题关键．19．1【解析】【分析】根据同类二次根式可知，两个二次根式内的式子相等，从而得出a 的值．【详解】※最简二次根式1+a 与42a -是同类二次根式※1+a=4a-2解得：a=1故答案为：1．【点睛】本题考查同类二次根式的应用，解题关键是得出1+a=4a-2．20．(1)625+；(2)229-；【解析】【分析】（1）先化简根式，然后再合并同类根式即可；（2）先算乘法和完全平方，再去括号，计算加减即可．【详解】（1）1325045183++- 4252532=++-625=+；（2）2(13)(26)(221)+---26618(8421)=-+---+232942=--+229-＝．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，关键是掌握计算顺序和运算法则.21．2xy ；26【解析】【分析】根据完全平方公式、平方差公式、整式的加减运算法则进行运算即可，最后代入数据即可求解．【详解】解：原式2222222x xy y x y x =+++--2xy =，将2x =，3y =代入得：原式223=⨯⨯26=．故答案为：26．【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式的运算，实数的化简求值，熟练掌握公式及运算法则是解决此类题的关键．22．（1）25；（2）1【解析】【分析】（1）根据二次根式的加减运算法则计算即可；（2）根据二次根式的乘法运算法则结合平方差公式计算即可．【详解】解：()1原式53525=+-，4525=-，25=．()2原式()()22227=-， 87=-，1=．【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式四则运算的法则是解题的关键．23．（1）6；（2）22【解析】【分析】（1）根据题意先计算ab 和a b +的值，再化简原式得出2()2a b ab +-，整体代入求解即可；（2）化简原式得出a b ab +，利用ab 和a b +的值即可求解．【详解】（1）※21a =+，21b =-，※()()21211ab =+-=， 212122a b +=++-=，※222()2a b a b ab +=+-2(22)21=-⨯6=；（2）a b b a+ a b b a=+ 22()()a b a b a b=+a b ab+= 221= 22=．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，计算出ab 和a b +的值是解题的关键．24．（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）利用已知，观察22+3 =223，33+8=338，可得44+15的值，再验证；（2）由（1）根据二次根式的性质可以总结出一般规律.【详解】解：（1）※22+3 =223，33+8=338， ※44+15=4415=4215=81515，验证：44+15=6415=81515，正确；（2）由（1）中的规律可知3=22﹣1，8=32﹣1，15=42﹣1，※2211n n n n n n +=--，验证：21n n n +-=321n n -=2 1n n n -，正确． 25．（1）76-；（2）1n n +-；（3）9【解析】【分析】（1）由阅读部分分析发现式子的分子、分母都乘以分母的有理化因式，为此式子乘以7-6分母利用平方差公式计算即可；（2）乘以1n n +-分母利用平方差公式计算即可；（3）根据分母的特点各项分子分母乘以各分母的有理化因式，分母用公式计算化去分母，分子合并同类项二次根式即可．【详解】解：（1）()()176767676-=++-7676-=- 76=-；（2）()()11111n n n nn n n n +-=+++++-11n n n n +-=+- 1n n =+-；（3）原式213243999810099=-+-+-++-+-1001=- 101=-9=．【点睛】本题考查二次根式化简求值问题，关键找到各分母的有理化因式，用平方差公式化去分母．。

八年级数学上册11.5二次根式及其性质课后零失误训练(新版)北京课改版

11.5 二次根式及其性质基础能力训练★回归教材注重基础◆二次根式的基本概念与性质1.如果nm 是二次根式，m 和n 应满足条件( ) A.m≥0，n>0 B.m≤0，n<0 C.mn≥0 D.m 、n 同号，或m ＝0，n≠02.(2008·北京)若03|2|=-++y x ，则xy 的值为( )A.－8B.－6C.5D.63.若使x 5.01-在实数范围内有意义，则( )A.x ＞2B.x≤2C.x≤5D.x≥54.当a<－1时，化简2)1(+a 的结果是( )A.1－aB.a －1C.1+aD.－1－a5.若a -有意义，则a a -的值一定是( )A.正数B.负数C.非正数D.非负数6.计算：=-2)5.0(________；=2)32(_______；=⨯-16)243(2________.◆二次根式概念性质的简单应用7.计算：1682++x x (x≥－4).8.已知a ＝3，计算222ππ+-a a .9.在实数范围内分解因式：(1)x 4－4(2)a 4－4a 2+4综合创新训练★登高望远课外拓展◆综合应用10.(2008·济宁)若a a -=-1)1(2，则a 的取值范围是( )A .a>1 B.a≥l C.a<1 D.a≤111.要使式子x x --52有意义，求x 的取值范围.12.若2223+-=+x x x x ，化简代数式|x|+|x+2|.13.已知实数422+-+-=x x y ，求xy 的立方根.14.如果实数x 、y 满足2)1(2-+--=x x y ，求22y x +的值.参考答案1答案：D2答案：B 解析：由题意知：x+2＝0，y －3＝0，所以x ＝－2，y ＝3，所以xy=－2×3=－6，故选B.3答案：B4答案：D5答案：C6答案：0.5 12 187答案：解析：22)4(168+=++x x x ,∵x ≥－4∴原式＝x+4.8答案：解析：,)(2222πππ-=+-a a a∵a=3<π∴a －π<0.∴原式＝π－3.9答案：解析：(1)x 4－4=(x 2+2)(x 2－2)=(x 2+2)(x+2)(x －2); (2)a 4－4a 2+4=(a 2－2)2 =(a+2)2(a －2)2. 10答案：D 解析：由题意知：1－a≥0，解得a≤1.11答案：解析：⎩⎨⎧>-≥-,0502x x 解得2≤x<5.12答案：解析：由2223+-=+x x x x 可知 ⎩⎨⎧≥+≥-,020x x ∴－2≤x ≤0∴|x|+|x+2|=－x+x+2=2.13答案：解析：∵422+-+-=x x y∴⎩⎨⎧≥-≥-,0202x x ∴4,2==y x . ∴2833==xy .14答案：解析:∴2)1(2-+--=x x y , 由0)1(2≥--x ,得x=1，此时y ＝－1， ∴222=+y x .。