【VIP专享】0910高等数学A,B(一)模拟试题解答

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【苏科版】高中数学必修一期末第一次模拟试题及答案(1)

一、选择题1．对任意实数a ，b 定义运算“”：,1,1b a b ab a a b -≥⎧=⎨-<⎩，设()()()214f x x x k =-++，若函数()f x 的图象与x 轴恰有三个交点，则k 的取值范围是（） A ．[)2,1-B ．[]0,1C ．(]0,1D ．()2,1-2．已知函数()21xf x x =++，()2log 1g x x x =++，()2log 1h x x =-的零点依次为,,a b c ，则（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<3．已知函数23()log f x x x=-，(0,)x ∈+∞，则()f x 的零点所在的区间是 A ．(0,1) B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)4．函数()212()log 23f x x x =--+单调减区间为（） A ．(,1]-∞- B ．(3,1]--C ．[)1,1-D ．[)1-+∞， 5．已知()lg(10)lg(10)f x x x =++-，则()f x 是（） A ．偶函数，且在(0,10)是增函数 B ．奇函数，且在(0,10)是增函数 C ．偶函数，且在(0,10)是减函数D ．奇函数，且在(0,10)是减函数6．若函数()()212log 45f x x x =-++在区间()32,2m m -+内单调递增，则实数m 的取值范围为（） A ．4,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭7．已知2()2af x x ax =-+在区间[0，1]上的最大值为g (a )，则g (a )的最小值为（） A ．0B ．12C ．1D ．28．若函数()f x =0,，则实数m 的取值范围是（） A ．()1,4 B ．()(),14,-∞⋃+∞C ．(][)0,14,+∞ D ．[][)0,14,+∞9．已知定义在R 上的函数()f x 的图像关于y 轴对称，且当0x >时()f x 单调递减，若()()()1.360.5log 3,0.5,0.7,a f b f c f -===则,,a b c 的大小关系（）A ．c a b >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c b a >>10．已知集合{|0}M y y =≥，2{|1}N y y x ==-+，则M N =（）A ．()0,1B ．[]0,1C ．[)0,+∞D ．[)1,+∞11．已知{}22(,)1,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，{}(,)3,3,,B x y x y x Z y Z =≤≤∈∈.定义集合{}12121122(,)(,),(,),A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕的元素个数n 满足（） A ．77n =B ．49n ≤C ．64n =D ．81n ≥12．已知集合{}4A x a x =<<，{}2|560B x x x =-+>，若{|34}A B x x ⋂=<<，则a 的值不可能为（）A B CD ．3二、填空题13．设方程240x mx -+=的两根为α，β，其中[1,3]α∈，则实数m 的取值范围是________. 14．当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()2log a f x x x =-的图像在x 轴下方，那么实数a 的取值范围是________.15．()()2lg 45f x x x =--+的单调递增区间为______.16．下列结论正确的是____________①1()2(0,1)x f x a a a -=+>≠的图像经过定点(1,3)； ②已知28log 3,43yx ==，则2x y +的值为3； ③若3()6f x x ax =+-，且(2)6f -=，则(2)18f =； ④11()()122xf x x =--为偶函数； ⑤已知集合{}{}1,1,|1A B x mx =-==；且B A ⊆，则m 的值为1或-1.17．已知定义在 +R 上的函数 ()f x 同时满足下列三个条件：① ()31f =-；②对任意x y +∈R ，都有 ()()()f xy f x f y =+；③ 1x > 时 ()0f x <，则不等式()()612f x f x <-- 的解集为___________．18．定义：如果函数()y f x =在定义域内给定区间[],a b 上存在()00x a x b <<，满足()()0)(f b f a f x b a-=-，则称函数()y f x =是[],a b 上的“平均值函数”．0x 是它的一个均值点，若函数()2f x x mx =+是[]1,1-上的平均值函数，则实数m 的取值范围是___________．19．已知集合{}1,2,5,7,13,15,16,19A =，设,i j x x A ∈，若方程(0)i j x x k k -=>至少有三组不同的解，则实数k 的所有可能取值是________20．已知集合()(){}250M x x x =+->，集合()(){}10N x x a x a =---<，若M N N =，则实数a 的取值范围是_____________三、解答题21．已知函数2()29f x x ax =-+.(I)当0a ≤时，设()(2)x g x f =，证明：函数()g x 在R 上单调递增； (II)若[1,2]x ∀∈，(2)0x f ≤成立，求实数a 的取值范围； (III)若函数()f x 在(3,9)-有两个零点，求实数a 的取值范围. 22．已知函数f （x ）＝a x +21x x -+（a ＞1）. （1）求证：f （x ）在（﹣1，+∞）上是增函数；（2）若a ＝3，求方程f （x ）＝0的正根（精确到0.1）. 23．分别计算下列数值：（1）1lg3lg94lg81lg 27+--；（2）已知()1401x xx -+=<<，求221122x x x x---+.24．（1）160.25371.586-⨯-+⎫⎛ ⎪⎝⎭（2）1324lg lg82493-+25．已知a R ∈，奇函数()f x 与偶函数()g x 的定义域均为(,0)(0,)-∞+∞，且满足()()2af xg x x x-=+-. （1）分别求()f x 和()g x 的解析式：（2）若对任意[1,),()()0x f x g x ∞∈++>恒成立，试求实数a 的取值范围.26．已知函数2()lg(231)f x x x =-+的定义域为集合A ，函数()2(],,2x g x x =∈-∞的值域为集合B ，集合22{|430}(0)C x x mx m m =-+≤>. （1）求A ∪B ；（2）若()C AB ⊆,求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】利用新定义化简()f x 解析式，做出()g x 的函数图象，根据图象即可得出k 的范围. 【详解】解：有题意：21(4)1x x --+，解得：2x -或3x ，所以()24,(,2][3,)1,(2,3)x k x f x x k x ++∈-∞-⋃+∞⎧=⎨-+∈-⎩，令()24,(,2][3,)1,(2,3)x x g x x x +∈-∞-⋃+∞⎧=⎨-∈-⎩画出()g x 的函数图象，如图：因为函数()f x 的图象与x 轴恰有三个交点，所以()y g x k =+有三个零点，由图可得：21k -<．故选：A ．【点睛】本题考查根据零点个数求参数的范围，求解一元二次不等式，是中档题．2．A解析：A 【解析】令函数()210xf x x =++=，可得0x <，即0a <，令()2log 10g x x x =++=，则01x <<，即01b <<，令()2log 10h x x =-=，可知2x =，即2c =，显然a b c <<，故选A.3．C解析：C 【分析】由题意结合零点存在定理确定()f x 的零点所在的区间即可. 【详解】由题意可知函数()23f x log x x=-在()0,+∞上单调递减，且函数为连续函数，注意到()130f =>，()1202f =>，()231log 30f =-<，()34204f =-<，结合函数零点存在定理可得()f x 的零点所在的区间是()2,3. 本题选择C 选项. 【点睛】应用函数零点存在定理需要注意：一是严格把握零点存在性定理的条件；二是连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，而不是必要条件；三是函数f (x )在(a ，b )上单调且f (a )f (b )＜0，则f (x )在(a ，b )上只有一个零点.4．B解析：B 【分析】根据复合函数的单调性可知，()()212log 23f x x x =--+的单调减区间为223t x x =--+在定义域上的单调增区间.再根据一元二次函数的单调性求单调增区间即可. 【详解】解：函数()()212log 23f x x x =--+的定义域为()3,1-令223t x x =--+，则()12log g t t =为单调递减函数，由复合函数的单调性可知：()f x 的单调递减区间为223t x x =--+在()3,1-上的单调增区间.()222314t x x x =--+=-++，对称轴为1x =-，开口向下，所以223t x x =--+的单调增区间为(]3,1--. 故选：B. 【点睛】本题考查复合函数的单调性，属于中档题. 方法点睛：（1）先求出函数的定义域；（2）判断外层函数的单调性；（3）根据复合函数同增异减的原则，判断要求的内层函数的单调性；（4）求出单调区间.5．C解析：C 【分析】先判断函数的定义域关于原点对称，再由奇偶性的定义判断奇偶性，根据复合函数的单调判断其单调性，从而可得结论. 【详解】由100100x x +>⎧⎨->⎩，得(10,10)x ∈-，故函数()f x 的定义域为()10,10-，关于原点对称，又()()lg 10lg(10)()f x x x f x -=-++=，故函数()f x 为偶函数，而()()2lg(10)lg(10)lg 100f x x x x=++-=-，因为函数2100y x =-在()0,10上单调递减，lg y x =在()0,∞+上单调递增，故函数()f x 在()0,10上单调递减，故选C. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，属于中档题. 判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， ()()f x f x -=±(正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法，()()0f x f x -±=（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，()()1f x f x -=±（1 为偶函数，1- 为奇函数） .6．C解析：C 【分析】求得函数()y f x =的定义域，利用复合函数法求得函数()y f x =的单调递增区间，根据题意可得出区间的包含关系，由此可求得实数m 的取值范围. 【详解】解不等式2450x x -++>，即2450x x --<，解得15x -<<，内层函数245u x x =-++在区间()1,2-上单调递增，在区间()2,5上单调递减，而外层函数12log y u =在定义域上为减函数，由复合函数法可知，函数()()212log 45f x x x =-++的单调递增区间为()2,5，由于函数()()212log 45f x x x =-++在区间()32,2m m -+上单调递增，所以，32232225m m m m -≥⎧⎪-<+⎨⎪+≤⎩，解得423m ≤<.因此，实数m 的取值范围是4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查利用对数型复合函数在区间上的单调性求参数，考查计算能力，属于中等题.7．B解析：B 【分析】由已知结合对称轴与区间端点的远近可判断二次函数取得最值的位置，从而可求．【详解】解：因为2()2af x x ax =-+的开口向上，对称轴2a x =， ①122a即1a 时，此时函数取得最大值()()112a g a f ==-，②当122a >即1a >时，此时函数取得最大值()()02ag a f ==，故()1,12,12aa g a a a ⎧-⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，故当1a =时，()g a 取得最小值12．故选：B ．【点睛】本题主要考查了二次函数闭区间上最值的求解，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．8．D解析：D 【分析】令t =()0,t ∈+∞()0,+∞，记函数()22(2)1g x mx m x =+-+的值域为A ，则()0,A +∞⊆，进而分0m =和0m ≠两种情况，分别讨论，可求出m 的取值范围. 【详解】令t =1y t=的值域为0,，根据反比例函数的性质，可知()0,t ∈+∞()0,+∞，记函数()22(2)1g x mx m x =+-+的值域为A ，则()0,A +∞⊆，若0m =，则()41g x x =-+，其值域为R ，满足()0,A +∞⊆；若0m ≠，则00m >⎧⎨∆≥⎩，即()24240m m m >⎧⎪⎨--≥⎪⎩，解得4m ≥或01m <≤. 综上所述，实数m 的取值范围是[][)0,14,+∞.故选：D.9．A解析：A 【分析】函数()f x 是偶函数，判断出自变量的大小，利用函数的单调性比较大小得出答案．【详解】函数()f x 的图像关于y 轴对称， ∴函数()f x 为偶函数， ∵0.50.5log 3log 10<=，∴()()120.52log 3log 3log 3f f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭， ∴2221log 2log 3log 42=<<=， 1.3 1.30.522-=>，600.71<<． ∵当0x >时，()f x 单调递减，∴c a b >>，故选：A 【点睛】本题考查函数性质的综合应用，考查函数的单调性和奇偶性，考查指数和对数的单调性，属于中档题．10．B解析：B 【解析】∵集合{}2{|1}1N y y x y y ==-+=≤，{|0}M y y =≥，∴[]0,1M N ⋂=，故选B.11．A解析：A 【分析】先理解题意，然后分①当11x =±,10y =时,②当10x =,11y =±时, ③当10x =,10y =时,三种情况讨论即可. 【详解】解:由{}22(,)1,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，{}(,)3,3,,B x y x y x Z y Z =≤≤∈∈, ①当11x =±,10y =时, 124,3,2,1,0,1,2,3,4x x +=----,123,2,1,0,1,2,3y y +=---,此时A B ⊕的元素个数为9763⨯=个,②当10x =,11y =±时, 123,2,1,0,1,2,3x x +=---,124,3,2,1,0,1,2,3,4y y +=----,这种情况和第①种情况除124,4y y +=-外均相同,故新增7214⨯=个, ③当10x =,10y =时, 123,2,1,0,1,2,3x x +=---,123,2,1,0,1,2,3y y +=---,这种情况与前面重复,新增0个,综合①②③可得:A B ⊕的元素个数为6314077++=个, 故选:A. 【点睛】本题考查了元素与集合关系的判断，重点考查了计数原理的应用，属中档题.12．A解析：A 【分析】求出{2B x x =<或}3x >，利用{|34}A B x x ⋂=<<，得23a ≤≤. 【详解】集合{}4A x a x =<<，{}{25602B x x x x x =-+=<或}3x >，{|34}A B x x ⋂=<<， ∴23a ≤≤， ∴a故选：A. 【点睛】本题考查了根据集合间的基本关系求解参数范围的问题，属于中档题.解决此类问题，一般要把参与运算的集合化为最简形式，借助数轴求解参数的范围.二、填空题13．【分析】由题意利用韦达定理不等式的性质求出实数的取值范围【详解】解：方程的两根其中故即解得或令①解得；②解得综上可得故答案为：【点睛】本题考查二次函数根的分布问题属于中档题解析：[]4,5【分析】由题意利用韦达定理，不等式的性质，求出实数m 的取值范围．【详解】解：方程240x mx -+=的两根α，β，其中[1,3]α∈，故0∆，即()2440m --⨯≥，解得4m ≥或4m ≤-，令()24f x x mx =-+①()()0130f f ∆⎧⎨≤⎩，解得1353m ≤≤； ②()()01030132f f m ∆⎧⎪>⎪⎪⎨>⎪⎪≤≤⎪⎩解得134,3m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦综上可得[]4,5m ∈ 故答案为：[]4,5．【点睛】本题考查二次函数根的分布问题，属于中档题.14．【解析】由题意得当时函数的图象在轴下方当时且所以不满足题意；当时函数为单调递增函数所以要使得函数的图象在轴下方则即即解得所以实数的取值范围是解析：1,116⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】由题意得，当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()2log a f x x x =-的图象在x 轴下方，当1a >，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，20x >且log 0a x <，所以()2log 0a f x x x =->，不满足题意；当01a <<，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()2log a f x x x =-为单调递增函数，所以()122max11()()log 22a f x f <=-，要使得函数()2log a f x x x =-的图象在x 轴下方，则()max 0f x ≤，即1221()log 02a -≤，即1122411()log 22a a ≤⇒≥，解得116a ≥，所以实数a 的取值范围是1[,1)16.15．【分析】由复合函数的单调性只需求出的增区间即可【详解】令则由与复合而成因为在上单调递增且在上单调递增所以由复合函数的单调性知在上单调递增故答案为：【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性对数函数的单调解析：(]5,2--【分析】由复合函数的单调性，只需求出245t x x =--+的增区间即可. 【详解】令245t x x =--+，则()()2lg 45f x x x =--+由lg y t =与245t x x =--+复合而成，因为lg y t =在(0,)t ∈+∞上单调递增，且245(0)t x x t =--+>在(5,2]x ∈--上单调递增，所以由复合函数的单调性知，()()2lg 45f x x x =--+在(5,2]x ∈--上单调递增.故答案为：(]5,2-- 【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性，对数函数的单调性，二次函数的单调性，属于中档题.16．①②④【分析】①根据指数函数的性质进行判断②根据对数的运算法则进行判断③根据函数的运算性质进行运算④根据偶函数的定义进行判断⑤根据集合关系利用排除法进行判断【详解】①当时（1）则函数的图象经过定点；解析：①②④ 【分析】①根据指数函数的性质进行判断，②根据对数的运算法则进行判断，③根据函数的运算性质进行运算，④根据偶函数的定义进行判断，⑤根据集合关系，利用排除法进行判断．【详解】①当1x =时，f （1）02123a =+=+=，则函数的图象经过定点(1,3)；故①正确， ②已知2log 3x =，843y=，则2823y=，282log 3y =，则2222882log 3log log (3)log 8333x y +=+=⨯==；故②正确， ③若3()6f x x ax =+-，且(2)6f -=，则32266a ---=，即10a =-，则f （2）32210618=-⨯-=-，故③错误；④函数的定义域为{|0}x x ≠，关于原点对称，1112()()?1222(12)xxx f x x x +=-=--，则122112()?··()2(12)2(21)2(12)x x xx x xf x x x x f x --+++-=-=-==---，即()f x 为偶函数，故④正确，⑤已知集合{1A =-，1}，{|1}B x mx ==，且B A ⊆，当0m =时，B =∅，也满足条件，故⑤错误，故正确的是①②④，故答案为：①②④ 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及指数函数的性质，函数奇偶性的判断，以及对数的运算法则，综合性较强，涉及的知识点较多．17．【分析】用赋值法由已知得到把转化为即再用定义法证明在上为减函数利用单调性可得答案【详解】因为对任意有令得所以令则所以可等价转化为即设当时则所以所以在上为减函数故由得得又所以原不等式的解集为故答案为：解析：()13，【分析】用赋值法由已知得到()()()9332f f f =+=-，把()()612f x f x <--转化为()()61(9)f x f x f <-+，即()()699f x f x <-，再用定义法证明()f x 在(0,)+∞上为减函数，利用单调性可得答案. 【详解】因为对任意12,(0,)x x ∈+∞，有()()()f xy f x f y =+，令x y ==fff=+，得()231ff ==-，所以12f =-，令3x y ==，则()()()9332f f f =+=-，所以()()612f x f x <--可等价转化为()()61(9)f x f x f <-+，即()()699f x f x <-，设120x x <<，12,(0,)x x ∈+∞，当1x > 时 ()0f x <，则()()()22211111·x x f x f x f f x f x x x ⎛⎫⎛⎫==+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()12()f x f x >，所以()f x 在(0,)+∞上为减函数，故由()()699f x f x <-，得699x x >-，得3x <，又1x >，所以原不等式的解集为(1,3). 故答案为：（1,3）【点睛】思路点睛：确定抽象函数单调性解函数不等式的基本思路：第一步(定性)确定函数在给定区间上的单调性和奇偶性；第二步(转化)将函数不等式转化为不等式类似()()f M f N <等形式；第三步(去)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号f “”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步(求解)解不等式或不等式组确定解集.18．【分析】根据新定义可得在区间上有解利用分离变量法即可求出答案【详解】解：设∴在区间上有解即在区间上有解∵令单调递减时单调递增所以所以实数的取值范围是故答案为：【点睛】关键点点睛：此题考查了函数的新定解析：[)0,+∞【分析】根据新定义可得2x mx m +=在区间()1,1-上有解，利用分离变量法即可求出答案．【详解】解：设11x -<<，()()()()1111f f f x m --==--，∴2x mx m +=在区间()1,1-上有解，即21x m x=-在区间()1,1-上有解，∵()()()()22212112211121111x x x x x y x x x x x-+----+====-+-----，令()10,2x t -=∈，12y t t∴=+-，(]0,1t ∈单调递减，[)1,2t ∈时单调递增，所以120y t t=+-≥，所以实数m 的取值范围是[)0,+∞. 故答案为：[)0,+∞. 【点睛】关键点点睛：此题考查了函数的新定义题目，解题的关键是将问题转化为2x mx m +=在区间()1,1-上有解，分离参数求解，意在考查了分析能力、数学运算.19．【分析】先将的可能结果列出然后根据相同结果出现的次数确定出的取值集合【详解】将表示为可得如下结果：其中为都出现了次所以若方程至少有三组不同的解则的取值集合为故答案为：【点睛】关键点点睛：解答本题的关解析：{}3,6,14【分析】先将i j x x -的可能结果列出，然后根据i j x x -相同结果出现的次数确定出k 的取值集合. 【详解】将i j x x k -=表示为(),,i j x x k ，可得如下结果：()()()()()()()19,1,18,16,1,15,15,1,14,13,1,12,7,1,6,5,1,4,2,1,1， ()()()()()()19,2,17,16,2,14,15,2,13,13,2,11,7,2,5,5,2,3， ()()()()()()19,5,14,16,5,11,15,5,10,13,5,8,7,5,2,19,7,12， ()()()()()()16,7,9,15,7,8,13,7,6,19,13,6,16,13,3,15,13,2， ()()()19,15,4,16,15,1,19,16,3，其中k 为3，6，14都出现了3次，所以若方程(0)i j x x k k -=>至少有三组不同的解，则k 的取值集合为{}3,6,14，故答案为：{}3,6,14 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是理解方程(0)i j x x k k -=>至少有三组不同的解的含义，即i j x x -的差值出现的次数不小于三次，由此可进行问题的求解.20．【分析】解一元二次不等式求得集合根据列不等式组解不等式求得的取值范围【详解】由解得或由解得由于所以或即或故答案为：【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法考查根据集合交集的结果求参数的取值范围属于解析：(][)35-∞-⋃+∞，，【分析】解一元二次不等式求得集合,M N ，根据M N N =列不等式组，解不等式求得a 的取值范围. 【详解】由()()250x x +->解得2x <-或5x >.由()()10x a x a ---<解得1a x a <<+.由于M N N =，所以12a +≤-或5a ≥，即3a ≤-或5a ≥.故答案为：(][)35-∞-⋃+∞，，【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查根据集合交集的结果求参数的取值范围，属于基础题.三、解答题21．(I)证明见解析；(II) 134a ≥；(III) 35a << . 【分析】(I)根据函数单调性定义法证明即可；(II) 设2(12)x t x =<<，则24t <<则 92t a t +≤，令9()h t t t=+，求()h t 最大值即可； (III)根据零点分布列出等价不等式求解即可.【详解】（Ⅰ）()(2)4229x x xg x f a ==-⋅+，设21x x R >∈，221121()()4229(4229)x x x x g x g x a a -=-⋅+--⋅+2121442(22)x x x x a =---212121(22)(22)2(22)x x x x x x a =-+-- 2121(22)[(22)2]x x x x a =-+-因为函数2x y =在R 上单调递增，所以2122x x >，所以21220x x ->，又21(22)0,0xxa +>≤，所以21(22)20xxa +->，2121(22)[(22)2]0x x x x a -+->，所以21()()g x g x >，所以函数()g x 在R 上单调递增.（Ⅱ）设2(12)xt x =<<，则24t <<，都有2290t at -+≤，92t a t +≤，令9()h t t t=+，易证()h t 在(2,3)单调递减，在(3,4)单调递增，又1325(2)(4)24h h ==,，()h t 最大值为132， 13132,24a a ≥≥. (III)因为函数()f x 在(3,9)-有两个零点且对称轴为x a =，所以2394360(3)0(9)0a a f f -<<⎧⎪->⎪⎨->⎪⎪>⎩，解得35a <<. 【点睛】方法点睛：已知不等式恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 22．（1）证明见解析；（2）0.312 5. 【分析】（1）根据定义法证明函数在所给区间的单调性，依次按取值，设定大小，作差，判断符号，可得出结果.（2）把a ＝3代入可得()231x x fx x -=++，根据（1）的结论可知正根在区间(0,1)内，然后利用二分法近似求解步骤计算即可. 【详解】证明：（1）设121x x -<< ∴()()()()()121212121212123221111xxx x x x x x f x f x a a a a x x x x ----=-+-=-+++++， ∵121x x -<<，∴1210,10,x x +>+>120x x -< ∴()()()1212311x x x x -++＜0；∵121x x -<<，且a ＞1，∴12x x a a <，∴120-<x x a a ， ∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，∴函数()f x 在()1+-∞，上为增函数；（2）由（1）知，当a ＝3时，()231x x fx x -=++在()1+-∞，上为增函数，故在()0+∞，上也单调递增，由于()()5010,102f f =-<=>，因此()0f x =的正根仅有一个，以下用二分法求这一正根，由于()()5010,102f f =-<=> ， ∴取（0，1）为初始区间，用二分法逐次计算，列出下表：∴原方程的近似解可取为0.312 5. 【点睛】思路点睛：本题考查利用函数的奇偶性求参数，证明函数的单调性和利用单调性解不等式.证明函数的单调性的基本步骤为：(1)在给定的区间内任取变量12,x x ，且设12x x <.(2)作差()()12f x f x -变形，注意变形要彻底，变形的手段通常有通分、因式分解、配方、有理化等.(3)判断符号，得出()()12f x f x ，的大小. (4)得出结论. 23．（1）32；（2）-. 【分析】（1）利用对数的运算性质化简可求得所求代数式的值；（2）由已知条件可求得1x x --的值，可求得22x x -+，并求得1122x x -+的值，代入计算可求得所求代数式的值. 【详解】（1）原式11lg3lg3lg3111lg3322lg5lg 2lg1081222lg32lg 27+-=++=+=；（2）因为()()()221114x x x x x x x x -----=+-=-，所以()()2211412x x x x ---=+-=，因为01x <<，则1x x -<，所以1x x --=-22x x --=-，又因为21112226x x x x --⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭，所以1122x x -+=所以221122x x x x---=-+【点睛】本题考查指数式与对数式的计算，考查了平方关系以及对数运算性质的应用，考查计算能力，属于基础题. 24．（1）110；（2）13lg5lg 222- 【分析】（1）利用指数幂的运算法则即得解；（2）利用对数的运算法则即得解. 【详解】（1）原式1111323334422()12223()33⨯=⨯+⨯+⨯-2108110=+=（2）原式153222124lg lg 2lg(57)273=-+⨯11(5lg 22lg 7)4lg 2(lg5+2lg7)22=--+ 11(5lg 22lg 7)4lg 2(lg5+2lg7)22=--+ 31lg 2lg522=-+【点睛】本题考查了指数与对数运算，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题. 25．（1）(),()2,(,0)(0,)af x xg x x x∞∞=+=∈-⋃+；（2）3a >-. 【分析】（1）利用函数的奇偶性，列方程组，求函数的解析式；（2）由（1）知，()()2,[1,)af xg x x x x∞+=++∈+，方法一，讨论a 的正负，以及函数的单调性，转化为求函数的最小值大于0，求a 的取值范围；方法二，利用参变分离，()22a x x >-+，转化为求函数最大值，即求a 的取值范围. 【详解】（1）由已知条件()()2af xg x x x-=+-——① ①式中以x -代替x ，得()()2af xg x x x---=---——② 因为()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，故()(),()()f x f x g x g x -=--=②可化为()()2af xg x x x--=---——③ ①-③，得22()2a f x x x=+ 故(),()2,(,0)(0,)af x xg x x x∞∞=+=∈-⋃+ （2）由（1）知，()()2,[1,)af xg x x x x∞+=++∈+ 当0a ≥时，函数()()f x g x +的值恒为正；当0a <时，函数()()2af xg x x x+=++在[1,)+∞上为增函数故当1x =时，()f x 有最小值3a + 故只需30a +>，解得30a -<<. 综上所述，实数a 的取值范围是(3,)-+∞法二：由（1）知，()()2a f x g x x x+=++ 当[1,)x ∈+∞时，()()0f x g x +>恒成立，等价于()22a x x >-+而二次函数()222(1)1y x x x =-+=-++在[1,)+∞上单调递减1x =时，max 3y =-故3a >- 【点睛】方法点睛：由不等式恒成立求参数的取值范围的方法：讨论最值，先构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出含参函数的最值，进而得出相应的含参不等式求参数的取值范围；分离参数：先分离参数变量，再构造函数，求出函数的最值，从而求出参数的取值范围. 26．（1）R （2）106m <≤或413m ≤≤【分析】（1）求出集合A ，B ，根据集合的并集运算即可；（2）{|3},C x m x m =<<1{|02A B x x ⋂=<<或14}x <≤，利用()C A B ⊆，列出不等式组，求出实数m 的取值范围. 【详解】由2()lg(231)f x x x =-+可得：22310x x -+>，所以1{|2A x x =<或1}x >, 因为()2(],,2x g x x =∈-∞，所以{|04}B x x =<，所以AB R =.（2）{|3}C x m x m =<<，1{|02A B x x ⋂=<<或14}x <≤，因为()C AB ⊆，所以0132mm <⎧⎪⎨≤⎪⎩或134m m ≤⎧⎨≤⎩，解得106m <≤或413m ≤≤，故实数m 的取值范围106m <≤或413m ≤≤.【点睛】本题考查并集、交集、子集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.。

09-10 高等数学1试题(B卷)及解答

广州大学2009-2010学年第一学期考试卷课程：高等数学Ⅰ1（90学时）考试形式：闭卷考试一．填空题（每小题3分，本大题满分15分）1．设2,0()1sin ,0a x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩,当常数=a ______时,)(x f 在0x =处连续. 2．曲线21xy x =+有水平渐近线=y ______.3．曲线xy xe -=的拐点横坐标为=x ______.4．设)(x f 连续, 且3140()1x f t dt x -=-⎰,则(26)f =______.5．方程20y y y '''++=的通解为y =____________________.二．选择题（每小题3分, 本大题满分15分）1. 当0→x 时1是2x 的( )无穷小. (A) 高阶; (B) 低阶; (C) 同阶; (D) 等价. 2. 函数|2|y x =-在点2x =处 ( ).(A) 可导但不连续; (B) 连续但不可导; (C) 可导; (D) 可微. 3．设()f x 在闭区间[,]a b 上有定义，在开区间(,)a b 内可导,则( ).(A) 当()()0f a f b <时, 存在(,)a b ξ∈,使()0f ξ=; (B) 对任何(,)a b ξ∈,有lim[()()]0x f x f ξξ→-=;(C) 当()()f a f b =时, 存在(,)a b ξ∈,使()0f ξ'=; (D) 存在(,)a b ξ∈,使()()()()f b f a f b a ξ'-=-.学院专业班级姓名学号4. 若函数)(x f 在点0x x =处取得极小值, 则必有( ). (A) 0)(0='x f ; (B) 0)(0>''x f ;(C) 0)(0='x f 或)(0x f '不存在； (D) 0)(0='x f 且0)(0>''x f . 5. 设)(x f 的导函数为sin x , 则()f x 的一个原函数是( ). (A) 1+x sin ; (B) 1+x cos ; (C) 1x sin -; (D) 1x cos -.三．解答下列各题（每小题6分，本大题满分30分）1．1ln(arctan y x x=++，求y '.2．2sin 3xy e x -= ,求dy .3．求由方程57230y y x x +--=确定的隐函数()y f x =在0x =处的导数.4．求曲线231x t y t⎧=+⎨=⎩上在参数2t =相应的点处的切线方程.5．计算极限30arctan limsin x x xx→-.四．解答下列各题（每小题6分，本大题满分24分）1．计算不定积分3(1)xdx x +⎰.2．计算定积分4⎰.3．计算反常积分⎰∞+-0dx xe x .4．求微分方程24dyxy x dx+=的通解.五．（本题满分6分）证明方程32100x x +-=有且只有一个实根.六．（本题满分10分）设曲线2x xe e y -+=与直线0,(0)x x t t ==>)及x 轴围成一曲边梯形,该曲边梯形绕x 轴旋转一周得旋转体,其体积为()v t ,在x t =处的底面积为()f t .求()lim ()t v t f t →+∞.广州大学2009-2010学年第一学期考试卷高等数学Ⅰ1（90学时B 卷）参考解答与评分标准一．填空题（每小题3分，本大题满分15分）1．设2,0()1sin ,0a x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，当常数=a 0 时,)(x f 在0x =处连续. 2．曲线21x y x =+有水平渐近线=y 12.3．曲线xy xe -=的拐点横坐标为=x 2 .4．设)(x f 连续, 且3140()1x f t dt x -=-⎰,则(26)f = 4 .5．方程20y y y '''++=的通解为y =12()x e C C x -+.二．选择题（每小题3分, 本大题满分15分）1. 当0→x 时1是2x 的( A )无穷小. (A) 高阶; (B) 低阶; (C) 同阶; (D) 等价. 2. 函数|2|y x =-在点2x =处 ( B ).(A) 可导但不连续; (B) 连续但不可导; (C) 可导; (D) 可微. 3．设()f x 在闭区间[,]a b 上有定义，在开区间(,)a b 内可导,则( B ).(A) 当()()0f a f b <时, 存在(,)a b ξ∈,使()0f ξ=; (B) 对任何(,)a b ξ∈,有lim[()()]0x f x f ξξ→-=;(C) 当()()f a f b =时, 存在(,)a b ξ∈,使()0f ξ'=; (D) 存在(,)a b ξ∈,使()()()()f b f a f b a ξ'-=-. 4. 若函数)(x f 在点0x x =处取得极小值, 则必有( C ). (A) 0)(0='x f ; (B) 0)(0>''x f ;(C) 0)(0='x f 或)(0x f '不存在； (D) 0)(0='x f 且0)(0>''x f . 5. 设)(x f 的导函数为sin x , 则()f x 的一个原函数是( C ). (A) 1+x sin ; (B) 1+x cos ; (C) 1x sin -; (D) 1x cos -.三．解答下列各题（每小题6分，本大题满分30分）1．1ln(arctan y x x=++，求y '.解: 2111()1()x y x x '''=++⋅+………………………4分2221()1x x x =+⋅-+211x =-+…………………………………………………………6分 2．2sin 3xy ex -= ,求dy .解: 22()sin 3(sin 3)x xy e x e x --'''=+ …………………………………………2分222sin33cos3x x e x e x --=-+2(3cos32sin 3)x x x e -=- …………………………………………………4分 2(3cos32sin 3)x dy y dx x x e dx -'==-……………………………………6分3．求由方程57230y y x x +--=确定的隐函数()y f x =在0x =处的导数. 解: 把方程两边分别对x 求导数得46521210y y y x ''+--= ……………………………………………4分当0x =时,0y =,代入上式得01|2x y ='=……………………………………… 6分4．求曲线231x t y t ⎧=+⎨=⎩上在参数2t =相应的点处的切线方程. 解: 切点坐标为(5,8) ……………………………………………………………1分2()33()22dy y t t t dx x t t '==='…………………………………………………4分切线斜率为 2|3t dyk dx===………………………………………………………5分切线方程为 83(5)y x -=-即370x y --=…………………………………6分5．计算极限30arctan limsin x x xx →-.解: 原式30arctan lim x x xx→-= ……………………………………………………2分220111lim 3x x x →-+= ………………………………………………………4分 201lim 3(1)x x →=+13=…………………………………………………6分四．解答下列各题（每小题6分，本大题满分24分）1．计算不定积分3(1)xdx x +⎰. 解: 原积分311(1)x dx x +-=+⎰2311(1)(1)dx dx x x =-++⎰⎰……………………3分 21112(1)C x x =-++++ …………………………………………6分2．计算定积分4⎰.解:令t = 则2x t =, 2dx tdt =原积分23221tdt t =-⎰………………………………………………………3分 3212(1)1t dt t =++-⎰……………………………………………4分2322[ln(1)]2t t t =++-72ln 2=+ ……………………………6分3．计算反常积分⎰∞+-0dx xe x .解: 原积分0x xde +∞-=-⎰⎰∞+-∞+-+-=0][dx e xe x x …………………………3分0[]1x e -+∞=-=………………………………………………………6分4．求微分方程24dyxy x dx+=的通解. 解: 原方程的通解为:22[4]xdx xdxy e xe dx C -⎰⎰=+⎰………………………………………3分22[4]xx exe dx C -=+⎰ ……………………………………………5分22[2]x x e e C -=+22x Ce -=+ ……………………………………6分五．（本题满分6分）证明方程32100x x +-=有且只有一个实根.证明: 令3()210f x x x =+-,则()f x 连续.因(0)10,(2)2f f =-=由零点定理知,()f x 至少有一个实零点……………………………………………………3分因2()320f x x '=+>,故()f x 是单调增函数,从而()f x 至多有一个实零点. 因此()f x 有且只有一个实零点,即原方程有且只有一实根……………………6分六．（本题满分10分）设曲线2x xe e y -+=与直线0,(0)x x t t ==>)及x 轴围成一曲边梯形,该曲边梯形绕x 轴旋转一周得旋转体,其体积为()v t ,在x t =处的底面积为()f t .求()lim ()t v t f t →+∞. 解: 20()tv t y dx π=⎰20()2x x te e dx π-+=⎰ ……………………………………2分 22024x x t e e dx π-++=⎰22(4)8t t e e t π-=-+………………………………4分22()()()2t t e e f t y t ππ-+==22(2)4t t e e π-=++ ………………………6分2222(4)()8lim lim ()(2)4t t t t t t e e t v t f t e e ππ-→+∞→∞--+=++222214lim 22t tt t t e e t e e --→∞-+=++………………7分 22221224lim 222t t t t t e e e e --→∞++=- ……………………………………………………8分 424112lim 21t t t t e e e ---→∞++=-12= ………………………………………………10分另解: 20()tv t y dx π=⎰20()2x x t e e dx π-+=⎰ …………………………………3分 22()()()2t t e e f t y t ππ-+==……………………………………………5分202()()limlim ()()tx x t t t t e e dxv t f t e e --→+∞→∞+=+⎰ ………………………………………6分 lim 2()t t t t t e e e e --→∞+=-2211lim 21t t t e e --→∞+=-12=…………………………………10分。

2009-2010学年第二学期高等数学B试卷(E卷答案)

2008 — 2009学年第二学期《高等数学B 》期末试题（A ）答案及评分标准一、单选题(每题3分，共15分)CCDDD二、填空(每题3分，共18分)1．3222．''2'20y y y -+= 3．1 4.ln 2 5．23cos 4()d f d πϕπϕρρρ⎰⎰6． (4,6)三、解答题(每题8分，共40分)1.求解微分方程3"2'3cos xy y y ex --=+的通解解：先求齐次化方程 03'2"=--y y y则特征方程为 0322=--r r ---- ------------------------ (2分) 得特征根 1,321-==r r ，于是齐次化微分方程的通解为x x e C e C y -+=231------------------------（4分）分别求得非齐次项 xe 3属x m e x P λ)(型）（3,0==λm ，由于3=λ是特征方程0322=--r r 的单根，所以设特解为3x*1bxe =y代人解得 41=b ，即特解 3x41*1xe =y -----------------（6分）类似对于非齐次项x cos 属)sin B cos (x x A e x ωωλ+型)0,1,1,0(====B A ωλ，由于0=λ不是特征方程0322=--r r 的特征根，所以可设特解为x c x a y sin cos *2+=，代入解得10151,-=-=c a ，即特解为xx y sin cos 10151*2--= 故原方程的通解为xx e C e C y x x sin cos xe 10151x 341231--++=-------------(8分) 2. 求函数(sin ,cos ,)x yz f x y e +=的二阶偏导数2zx y∂∂∂，其中函数f 具有二阶连续的偏导数解：''13cos x y zxf e f x +∂=+∂ -------------------------------------------------------------（4分） 2"""22"'121332333cos sin cos sin x y x y x y x y z x yf xe f e yf e f e f x y++++∂=-+-++∂∂ --------------------------------------（8分） 3. 计算二重积分22(1())Dy xf x y dxdy ++⎰⎰,其中D 是由曲线2y x =与1y =所围成的闭区域.解：积分区域 D 如图令22(,)()g x y xf x y =+，因为D 是关于y 轴对称且(,)(,)g x y g x y -=-，所以22()0Dxf x y dxdy +=⎰⎰-------------------------（3分）从而2112214(1())5xDDy xf x y dxdy ydxdy dx ydy -++===⎰⎰⎰⎰⎰⎰-------------（8分） 4. 求原点到曲面22()1x y z --=的最短距离.解：设曲面22()1x y z --=上任一点为(,,)x y z ，则根据两点距离公式 222l x y z =++，要求 l 最小，等价要求2l 最小.--------------(2分)记 2222S l x y z ==++，根据拉格郎日乘数法令22222(,,,)(()1)G x y z x y z x y z λλ=+++------------------(3分)()()()()2222()0122()022203()104Gx x y x G y x y yG z z z G x y z λλλλ∂⎧=+-=-------⎪∂⎪∂⎪=--=-------⎪∂⎪⎨∂⎪=-=--------⎪∂⎪∂⎪=---=-------⎪∂⎩-------------------------（4分）由(3)可得 1λ=或0z =,若1λ=,代入(1),(2)可得4242x y y x =⎧⎨=⎩,易得00x y =⎧⎨=⎩结合(4)可知矛盾,故舍去.------------(6分) 从而取0z =,以及由(1),(2)可得1xy=-,代入(4)易得 12120x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩,或者12120x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩,结合实际情况可知这两点到原点距离最小且相等, 故2min 2l =---------------------------------------------(8分)5. 判断级数21sin ln n n n π∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑是绝对收敛，条件收敛，还是发散.解：由于1111sin()sin cos cos sin (1)sin ln ln ln ln n n n n n n n nπππ+=+=-----（2分）当3n ≥时,易得1sin 0ln n>且单调递减趋于零,根据莱布尼茨判别法可得 2211sin (1)sin ln ln nn n n n n π∞∞=-⎛⎫+=- ⎪⎝⎭∑∑收敛.---------------(4分)又因为11ln ln 22sin()sin nn n n n π∞∞==+=∑∑ -------------------------（6分）根据比较判别法可得(对任意0δ>)1ln 1sin limlim ln nn n n n n δδ→∞→∞==+∞,由于21(01)n n δδ∞=<<∑发散,故21sinln n n ∞-∑也发散. 综上所述, 可知级数21sin ln n n n π∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑是条件收敛.---------(8分)四（共10分）判断函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000),(2222263y x y x y x yx y x f 在（0，0）点连续性，并求),(),,(y x f y x f y x .解：分别取路径 3,0x y x ==,可得,0lim 26300=+=→y x y x x y 21lim lim 66330263033=+=+=→=→x x x x y x y x xy x xy x , 可得函数),(y x f 在)0,0(不连续.-------------------------------------------(4分)2382262222330(,)()00x x y x y x y f x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨⎪+=⎩93222622220(,)()00y x x y x y f x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨⎪+=⎩-------------（10分）五（10分）求幂级数41141n n x n ∞+=+∑的收敛区间，并求在收敛区间内的和函数()s x . 解：收敛区间为(1,1)------------------------------------------------------------------------（3分）令：4101()41n n s x x n ∞+==+∑, 441()1n n s x x x ∞='==-∑---------------------（7分） 111()ln arctan (1,1)412x s x x x x +=+∈-------------------------------（10分）六（7分）设()f u 连续，试证：111()()x y f x y dxdy f u du -+≤+=⎰⎰⎰证11111011()()()xxxx x y f x y dxdy dx f x y dy dx f x y dy +-----+≤+=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰——（3分）令x y u +=，012111121()()xx dx f u du dx f u du +--+⎰⎰⎰⎰=11121112()()u u f u du dx f u du +---=⎰⎰⎰-----------------（7分）。

高等数学A(一)模拟题一(答案)

高等数学A(一)模拟题一参考答案一、填空题2、曲线x e y =上过)1,0(点的切线方程是10x y -+=.4、1x =是函数221()32x f x x x -=-+的第一类间断点.5、[]=⎰dx x f dxd)(()f x .选择题 4、()x dxf t dt dx=⎰（ D ）A.()xf x ；B.()f x ；C.0()x f t dt ⎰： D.0()()x f t d t x f x +⎰三、计算下列极限 1、123lim2331+--+-→x x x x x x .解：利用洛必达法则，原式22113363lim lim321622x x x x x x x →→-===---。

四、按要求计算下列各题 2、求由0cos 00=+⎰⎰dt t dt e x yt所决定的隐函数)(x y y =的导数dxdy .解：根据牛顿-莱布尼茨公式由0cos 0=+⎰⎰dt t dt e x yt可得：sin sin 00ye e x -+-=，即1sin ye x =-。

两边同时对x 求导可得：cos ydy ex dx=-，所以cos cos sin 1ydy x x dxex -==-。

（为什么带入ey ）注：此题目也可以直接利用积分上限函数进行计算。

（参见教材P243，3）五、按要求计算下列各题2、计算定积分⎰exdx x 1ln .解：（分部积分法）2222111122222111111=ln ln ln 22222111111(1)242444ee e e exdx x x x d x e xd xe x e e e ⎡⎤=⋅-=-⎢⎥⎣⎦⎡⎤=-=-+=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰原式六、按要求计算下列各题 2、求函数2arctan x x y =的一阶导数.dx dy 解：122222arctanarctan21()24xxdy x x x dxx=+=+++。

3、求微分方程sin dy y x dxxx+=满足1x yπ==的特解.解：（一阶线性非齐次微分方程，利用常数变易法）先求对应的齐次线性方程的通解：0dy y dxx+=，即dy dx yx=-，两边积分可得：1ln ln ln y x C =-+，即1ln ln ln y x C +=，故齐次线性方程的通解为：1C y x=。

高数A(一)期末模拟试题解答

高等数学A （一）期末模拟解答试题（一）一、填空题（每题3分） 1、xx f -=11)(，则=))((x f f ，=)))(((x f f f 。

xx x x xx f x f f 111111)(11))((-=--=--=-= x x xx x f f x f f f ==--=-=1111))((11)))((( 2、已知3111lim3-=-+→x kx x ，则=k 。

13131)1(31lim 11lim 32030-=⇒-==+=-+-→→k k k kx x kx x x 3、若)(x f 在0x x =可导，且x x f x a x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000=)(340x f '，则=a 。

34)()()(lim )()(lim 0000000=⇒'=∆-∆+=∆-∆+→∆→∆a x f a x a x f x a x f a x x f x a x f x x 4、1112++=⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x f ，则)(x f '= 。

3221)(11)(x x f x x x f -='++= 5、设)1ln()(20+=⎰x dt t f x ，则)2(f '= 。

256)2()1(4)1(2)(12)(22222-='+-+='+=f x x x x f xx x f6、若)(x f 满足)()0()(x g x f x f ++=，且0)(lim0=→xx g x ，则)0(f '= 。

1)(lim )0()(lim )0(00=+=-='→→xx g x x f x f f x x7、0sin 5=⎰ππ-xdx8、方程0)()(=+-'x q y x p y 的通解是⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰-=⎰-dx x p dx x p e dx e x q C y )()()(。

9、在极坐标下，由曲线)(,,β<αβ=θα=θ，),(1θρ=ρ),(2θρ=ρ（)()(21θρ<θρ）围成的平面图形的面积[]⎰βαθθρ-θρ=d A )()(212122。

《高等数学》统考模拟试题1及参考答案

《高等数学》统考模拟试题1参考答案中国农业大学网络教育学院编说明：试卷按全国高校网络教育部分基础课全国统一考试 “高等数学B ”考试大纲，适用于除数学专业以外的其它理工专业... ... 的本科学生。

一、选择题：本大题共5个小题,每小题4分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。

1、设函数ln(1+5x )0() 0x f x xa x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在x=0处连续，则a 等于（）A 、-1B 、1C 、2D 、5答：D2、当x 0→时，下列变量中是无穷小的为（）A 、x e B、1xC 、ln(12x )+D 、cos x x答：C 3. 231215x (x )(x )limx→∞++=( ) A.56 B.53 C.52 D.答：A4、若⎰+=C )x (F dx )x (f ，则sin (cos )x f x dx ⎰等于（）A 、F(sinx)+CB 、-F(sinx)+C C 、F(cosx)+CD 、-F(cosx)+C答：D5、设f(x, y)是连续函数,则二次积分 y d )y ,x (f dx1xx2⎰⎰=( )A.x d )y ,x (f dy 10 yy⎰⎰B.x d )y ,x (f dy 11 0⎰⎰C.x d )y ,x (f dy 1 0yy⎰⎰ D.x d )y ,x (f dy 1 0y⎰⎰答：A二、填空题:本大题共7个小题，共7个空，每空4分，共28分，把答案填在题中横线上。

1、2cos 3cos 4limx x xx→-= 722、设xx e cos f()=，则x f ()'= x e c o ss i n x-3、1dxx(ln x )+⎰=1cln(ln x )++4. 定积分21 d 1x sin x x =-⎰5、41xdx x+∞=+⎰4π6、微分方程x dxdy 2= 的通解为cx y +=27. 若22f (x y ,x y )x y +-=- 则 f (x ,y )= xy三、计算题:本大题共4个小题, 每小题7分，共28分 1、计算22131xx lim x -+→解: 21x limx→=232x lim→==2、求函数32694y x x x =-+-的极大值与极小值解：32694y x x x =-+- ()()231293x 1x 3y x x x '=-+=--令y 0'= 解得驻点 121 3x ,x ,==根据极值判别的充分条件得，函数有极大值y 10()=，极小值y 34()=-3、计算e21ln x dxx⎰解ee2111ln x dx ln xdxx=-⎰⎰ee1111ln x d ln x x x⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎰e2111e dx x =-+⎰e11121e ex ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭4. 求函数33z ln(x y )=+的全微分dz 解：z z dz dx+dy xy∂∂=∂∂ 233z 3xxx y∂=∂+ ，233z 3yyx y∂=∂+ ，2233333x3ydz dx+dy x yx y=++四、计算题:本大题共3个小题,每小题8分，共24分1. 计算二重积分⎰⎰Dy xdxdy e其中D 由y 轴及开口向右的抛物线xy 2=和直线y=1围成的平面区域。

高等数学期末考试模拟测试题含答案

高等数学期末考试模拟测试题含答案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN高等数学（一）模拟测试题模拟测试一一、判断题（）1、数列}{n x 有界是数列}{n x 收敛的充分条件。

（）2、函数)(x f 在点0x 连续是)(x f 在点0x 可导的必要非充分条件。

（）3、函数)(x f 的极值点一定是驻点。

（）4、若函数0)(''0=x f ，则0x 是)(x f 的拐点。

（）5、C x f dx x f +=⎰)()('，C 是任意常数。

二、选择题1、设322,1,()3,1x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则)(x f 在1x =处的（）（A ）左、右导数都存在；（B ）左导数存在，右导数不存在；（C ）左导数不存在，右导数存在；（D ）左右导数都不存在。

2、已知函数)(x f ，[,]x a b ∈则下列选项中不满足罗尔定理条件的是（）。

（A ）在[,]a b 上连续；（B ）在(,)a b 可导；（C ）对任一(,),'()0x a b f x ∈≠；（D ）()()f a f b =。

3、若函数)(x f 的导函数是sin x ，则)(x f 的一个原函数是（）（A ）1sin x +；（B ）1sin x -；（C ）1cos x +；（D ）1cos x -。

4、设函数1()x tF x e dt =⎰，则21'()F x dx =⎰（）（A ）2e e -；（B ）2e e -；（C ）2e ；（D ）e 。

5、下列说法错误的是（）（A ）闭区间上连续函数必有界；（B ）闭区间上的连续函数一定有最小值最大值；（C ）闭区间上函数必有界；（D ）闭区间上连续函数必可积。

三、填空题1、曲线3221y x x =-+在点（1，2）处的切线方程为。

09级高等数学A、B(上)A卷参考答案

高等数学A 、B （上）试题A 参考答案与评分标准（20XX0122）1.解:原式言而亡U \im 土炉 io x 1。

4r2.解也=2（q 「ctm ）£, ... dx [ln （l+ r ）y 四、计算题（每题7分，共14分） 1. ---------------------------------------------------------------------------------------------- 解 —ln （x 2 + ） = arctan —, 两边对工求导:J,2：+2）;=——1 ----------------------------------- 2 .......... 4分（2+2）2 V 2疽+寸]+（当⑵yy'= ~ , ........ 6 分 dy = -~-dx ....... 7分y + x y + x2. 解原式=jx(sec 2 x- l)</r + j 【杠。

，4乂业=J xd tan x — ^xdx + — ^dx + — ^cos^xdxI? X \=xtan x + In |cosx|-:——i - —sin4x+ C (第一个积分 4 分，第二个积分 3 分)2 2 8五、计算题(每题7分，共14分) 1. 解令t =』2x+l,那么x = L(户—1), 原式m 房招仲-仁0【5-1萨。

2. 解 ds = + y ,2dt = 4a \sin-i ……5分（2+3）六、计算题（每题8分，共16分）通解 y = c x e^x + c 2e~2x + (- x 2 - x)e 3xo ... 8分七、(8 分)证明 J 。

J1 -cos 2xdx = sin xdx = 2^2^/(%) = lnx- —+ f Jl -cos 2xdx = In 十-土 + 2\^, x G (0, + oo),贝！J f\x) = --- = -~- , .4分e J 0 e x e xe 单项选择题（每题3分, 1:D 2:B 3:A 二、 5：三共18分）4:C 填空（每题2分，共16分）1, 2：疽， x-2y = 1, 6： 9/2 , 计算题（每题7分，共14分） 5: A 6:D3： 2, 7： lvS2, 4： f\x In x)(ln x+1 )dx,+)『=心。

2009—2010第一学期《高等数学B1》期末考试试题解

经济与管理学院团支书联席会2009—2010 第一学期《高等数学B1》期末考试一试题一、（ 42 分）试解以下各题：（洛必达） 1、计算 limx arctan x 。

x 3x 0e1x arctan x11 x 2111limlim。

解、 lim e x 31333x 0x 03x 2e xx 03e x (1 x 2 )（常系数线性齐次） 2、求微分方程 y6y9y 0 的通解。

解、特点方程269 0 ，二重根 3 。

方程的通解 y(C 13xC 2x)e 。

（部分为奇函数积分） 3、计算 1x 2( 11x 2sin x )dx 。

111 x2 sin x)dx 11x 2 1 x 2sin xdx12dx 2 。

解、x 2 (1x 2 dx x11113(无常积分，根号换元，分部积分exdx 。

)4、计算 0解、e x dx0 2te t dt2te t2e t dt2e t2 。

xt cosu1 u du 自t1 至t5、求曲线一段弧的长度。

ut siny21udu解、 xcost , y sint , stt（基cos 2 t sin 2 t dt112ln 。

2 t 2 t 2 2 dt ln t 11 t2本函数的高阶导） 6、设 yx 21，求 y ( n ) 。

3x 2解、 y111, y (n )( 1)n n!( 1)n 1n!。

x 23x 2 x 1 x 2n 1( x 2) n 1( x 1)二、（ 8 分）已知 ue xy，此中 yf ( x ) 由方程 y e t 2dtx 2cos tdt （ * ）确立，du 求。

dx对（ * ）两边对一致变量 X 求导解、du xy y222x cos x 2duxy2x 2 cos x 2,三、（8 分）设x1 1, x n 1 1x n( n 1,2, ) ，试证明数列x n 收敛，并求1 x nlim x n。

n证、 x2 1 1 x1 1 。

高等数学8套期末考试题AB卷带答案模拟测试题

期末试卷1．填空（每空2分，共10分）（1） f(x)=sinx x1sin⋅的间断点是，是第类间断点．（２）函数xe x y 2=在=x 处取得极小值，在=x 处取得极大值．（3）曲线 2x y =上点处的切线平行于直线x y =．（４）若（0，1）是曲线c bx x y ++=23的拐点，则=b ，=c ．（５）比较大小dx x ⎰12 dx x ⎰14．２．选择题（每题２分，共10分）（1）如果函数)(x f y =在0x 处不可导，则曲线在点))(,(00x f x 处（）．A ．切线不存在 B. 切线垂直于x 轴 C. 切线不存在或切线垂直于x 轴（２）如果函数)(x f y =在0x 处不可导，则曲线在点))(,(00x f x 处（）．A ．切线不存在 B. 切线垂直于x 轴 C. 切线不存在或切线垂直于x 轴Ｄ．切线平行于ｘ轴（３）若函数d cx bx ax y +++=23)0(>a 满足条件 032<-ac b ，那么这函数（）．A ．有极值B ．有极大值C ．有极小值D ．没有极值（4）若点（1，3）为曲线23bx ax y +=的拐点，则a 、b 的值分别为（）．A ．23-=a ，29=b B ．3-=a ，6=b C ．23=a ，29-=b D ．3=a ，6-=b（５）下列等式中错误的是（）．A ．⎰⎰=+ba a bdx x f dx x f 0)()( B ．⎰⎰=b abadt t f dx x f )()(C ．⎰-=aadx x f 0)( D ．⎰=aadx x f 0)(３．计算题（每题６分，共５４分）（１）132lim1--+→x x x （２）)1(2)1sin(lim 1++-→x x x (３) x y x 1tan 221tan += ，求y '．（４）x x y 1010+=，求y '．(5)xy y 62= ，求x y '．（６）⎰-332xdx（７）⎰xdx x 210sec tan（８）⎰xdx xarctan 2（９）dx xx ⎰-21214.由力学知，矩形横梁的强度与它的断面高的平方与宽的积成正比．要将直径为d 的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽和高应为多少？（见图１）（9分）5.求微分方程的通解：0ln =-'y y y x ．(8分)6.计算由曲线0,42=-=y x y 围成的图形的面积.（9分）图１高等数学（少学时）试题1参考答案1. 填空（每题2分，共10分）（1） x=0，一（2）0，-2 （3）（41,21）（4）0，1 （5）>2.选择题（每题2分，共10分）（1）C （2）C （3）D （4）A （5）C 3.计算题（每题6分，共54分）（1）132lim1--+→x x x型00 原式=633211221lim1==+→x x（2）)1(2)1sin(lim1++-→x x x 型0原式=212)1cos(lim 1=+-→x x )1tan 222(ln 1sec )1tan 222(ln 1cos 11)1(1tan 21cos 1)1(1cos 12ln 2)3(1tan221tan2222221tan'x x x xx xx x xxxy x xx+⋅-=+⋅⋅-=-⋅⋅+-⋅⋅=x x y 1010ln 10)4(9'⋅+=)62(66)62(662)5(''''x y y y yy x y xy y yy x -==-+=cx cu c u du u du u xu x d xdx x +--=+-=+⋅-=-=-=-=---=-⎰⎰⎰⎰3232323133332212123313113132)32(32131321)6(）（原式原式设 c x c t dt t t x x xd xdx x +⋅=+====⎰⎰⎰11111010210tan 111111tan )(tan tan sec tan )7(原式设cx x x x c x x c t t dt t t u u d u du u u x u dx x x dx x x xd x x d x x x xdx xdx x +++-=++-+=+-=-==+++-=++-+==+=+=-⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰)1ln(6161arctan 31))1ln(1(21)ln (21)11(211)1(1112111112112111arctan )arctan (arctan 31arctan 31arctan )8(2232222222333332原式设设分部积分法33)6cot 2(cot )62[(cot sin cos cos sin 1111111)9(2622622121222112212212-=-+--==--===---=-==-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰πππππθθθθθθθθππππd d d dt t dt t t tdt t xdxxdx x x 原式令原式令4.设强度为s ，则s=x h 2时强度最大，高为所以当宽为d d d h d x x d x x d s xx d s d h x 363336,3303)()(22'32'22222===-=-=-==+cxx x c e x ce ce e e e y e x y c x y dx x dy y y xdxy y dy y y dx dyx c====+=+====-⋅+⎰⎰ln ln ln ln 1ln 1ln 0ln .5两端积分得：6.曲线交点为（-2，0），（2，0）S=A+B因为是对称图形，所以A=B332316)431()40(203202==+-=+-=⎰S x x dxx A期末试卷一二三四五六总分1．填空（每空2分，共10分）（2）设f(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧x e x 1arcsin01 000>=<x x x , 则x=0是f(x)的第类间断点．（２）)(x f 在点0x 处可导是)(x f 在点0x 处连续的条件，)(x f 在点0x 处连续是)(x f 在点0x 处可导的条件．（3）的极大值点在，极大值为；极小值点在，极小值为．（4）曲线xxe y =的凹区间是，凸区间是，拐点是．（５）比较大小dx x ⎰1ln dx x ⎰12ln ．２．选择题（每题２分，共10分）（1）设,2,cos 12x x =-=βα则当0→x 时，（）．A. 是同阶无穷小与βαB. 是等价无穷小与βαC. 是高阶的无穷小是较βαD. 是低阶的无穷小是较βα（２）一质点作直线运动的方程是 232010t t s -+=, 则2=t 时质点运动的加速度为( )．A ． 0 B. －6 C. 6 D. 8 （３）设)(x f 在0x 点可导，且0)(0='x f ，则0x 一定是)(x f 的（）．A ．极值点B ．驻点C ．极大值点D ．极小值点（4）若⎰+=C x F dx x f )()(，则⎰+dx b ax f )(是（）．Ａ．C b ax F ++)( Ｂ．C b ax F a++)(1Ｃ．)(1b ax F a + Ｄ．C abx F ++)(（５）设⎰=-10,1)(dx x a x 则常数=a （）．Ａ．38 Ｂ．31 Ｃ．34 Ｄ．32 ３．计算题（每题６分，共５４分）（１）x xx 5sin 2sin lim 0→ （２）()x x x 101lim -→ (３) x y arccos = ，求y '．（４）112+=x y ，求y '． (5) 022=-+yx xy ，求x y '．（６）⎰x x x dxln ln ln（７）⎰-+xx e e dx （８）⎰-12x x dx （９）⎰exdx x 1ln 4．轮船甲位于轮船乙以东75n mile （海里）处，以12 n mile / h 的速度向西航行，而轮船乙则以6 n mile/ h 的速度向北航行，问经过多少时间，两船相距最近？（９分） 5.求微分方程的通解：x e y dxdy-=+．(8分) 6.计算由曲线0,7ln ,2ln ,ln ====x y y x y 围成的图形的面积.（9分）高等数学（少学时）试题2参考答案1、填空（每题2分，共10分）（1）二（2）充分不充分必要（3）0，0，1，-1 （4）（-2，+∞），（-∞，-2）（-2，-22-e ）（5）> 2.选择题（每题2分，共10分）（1）A （2）D （3）B （4）B （5）A 3.计算题（每题6分，共54分）（1）xxx 5sin 2sin lim0→00型原式=15cos 2cos lim 0=→xxx （2）xx x 10)1(lim -→ ∞1型原式=10)1ln(1lim0==-→e e x xx（3）xx xxy --=•--=1212111'（4）3232232')1(2)1(212)1(21+-=•+-=•+-=-x x x x x x y（5）x 'y +y+ln2x 2•-lny y 2'y =0(x-lny y 2)'y =-ln2x 2•'xy =xy yx-⋅⋅2ln 22ln cx ct dt t ut u u d u u du xu xx xd +=+======⋅=⎰⎰⎰⎰ln ln ln ln 1ln ln ln ln ln ln ln ln ln )6(所以原式设设原式ce cu du u e u de e dx e e e e dx x xx x x xx x +=+=+==+=+=+⎰⎰⎰⎰-arctan arctan 111)(11)()7(222原式设cxt ct dt tt tdtt tdtt dx t x x x dx+=+=====-⎰⎰⎰1arccos tan sec tan sec tan sec sec 1)8(2代入原式把原式则设 2sin 2cos 2cos )9(20200===⎰⎰πππxxdx dx x4.设底边长为x,高为h时表面积最小高为所以当边长为最小时当表表363,621621610844222s h x xx x x x s xhx s ==++=+=+=5.先求对应齐次方程y dxdy2= 分离变量得：dx ydy2= 积分得：lny=2x+c y=c x e +2=c x e 2用常数变易法求原方程的通解，设解为y=c(x) x e 2(c(x)是待定函数)代入原方程：xx x x xx x x x x e ce c e e y cex c e x c e e x c e x c e x c -=+-=+-===-+---22'222')()()()(2)(2)(所以6.曲线y=x y x 2,3=的交点为（0，0），（22,2--），（22,2）S=21A A +2141)2(1441241)2(210220243222042023201=+==-=-==⨯-=-=-=--⎰⎰A A s x x dx x x A x x dx x x A 所以围成的面积为2.期末试卷一二三四五六总分1．填空（每空2分，共10分）（3）若011lim 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--++∞→b ax x x x ，则a= ,b= ．（２）设,0)(=x f )0(f '存在, 则=→xx f x )(lim 0．（3）的极大值点在，极大值为；极小值点在，极小值为．（4）曲线xxe y -=的凹区间是，凸区间是，拐点是．（５）比较大小dx x ⎰212 dx x ⎰214．２．选择题（每题２分，共10分）（1）⎪⎩⎪⎨⎧-=x xx f 22)( 21110≤<=<<x x x 的连续区间为（）．A.[0,2]B.(0,2)C.[0,2]D.(0,1)⋃(1,2)（２）曲线 2sin x x y +=在点（0，0）处的切线与x 轴正向夹角为( )．A ．30ο B. 45ο C. 135ο D ． 150ο（３）设函数22)4(-=x y ，则在区间2(-，)0和2(，)∞+内，y 分别为（）A ．单调增，单调增B ．单调值，单调减C ．单调减，单调增D ．单调减，单调减（4）已知函数)(x f y =的导数等于2+x ，且2=x 时5=y ，则这个函数为（）．Ａ．x x y 22+= Ｂ． x x y 222+= Ｃ． 1222-+=x x y Ｄ． 1222++=x x y （５）下列等式中错误的是（）．Ａ．⎰⎰=+ba abdx x f dx x f 0)()( Ｂ．⎰⎰=babadt t f dx x f )()(Ｃ．⎰-=aadx x f 0)( Ｄ．⎰=aadx x f 0)(３．计算题（每题６分，共５４分）（１）x x x x sin cos 1lim 0-→ （２）xx x x 21lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→ (３) 22sin sin x x y =，求y '．（４）x x y += ，求dy ．(5)yx exy += ，求x y '．（６）⎰++dx x x 122（７）⎰dx x x )cos(2（８）⎰+dx e x11 （９）dx x ⎰πcos4．要制作一个底为正方形，容积为108m 3的长方体开口容器，怎样做所用料最省？（９分） 5.求微分方程的通解：x e y dxdy=-2．(8分) 6.计算由曲线x y x y 2,3==围成的图形的面积.（9分）高等数学（少学时）试题2参考答案1、填空（每题2分，共10分）（1）1，-1 （2）)0('f （3）0，0，x=e1 , x=-e1 （4）)2,2(,2),2,(),,2(2-=-∞+∞e x （5）<2、选择题（每题2分，共10分）（1）D （2）B （3）A （4）C （5）C 3、计算题（每题6分，共54分）（1）cinxx xx ⋅-→cos 1lim0 00型=x x x xx cos sin sin lim 0⋅+→ 0=x x x xx sin cos 2cos lim 0-→=21 （2） xx x x 21lim ⎪⎭⎫⎝⎛+→ ∞1型=101ln2lim ==+⋅∞→e exx x x（3）22sin sin xxy = 求'y 22222'sin 2cos sin sin 2cos sin xxx x x x y ⋅⋅-⋅⋅==22222sin 2cos sin sin 2cos sin x xx x x x x ⋅⋅-⋅⋅（4） x x y +=xx x dx dy ++=2211 =xx x x ++2221 =x x x x ++2421dx xx x x dy ++=2421（5） 'x y x y e xy 求+=)1(''y e xy y y x +=++ y x y x e y y e x +++=-')(yx y x xex e y y ++-+=∴' （6） dx xx ⎰++122=dx xx x ⎰++-++1)1(2)1(32 =⎰⎰⎰-++++dx dx x dx x 2)1(13=⎰⎰⎰-++++dx dx x x d x12)1()1(113=c x x x +-++2121ln 3（7）dx x x ⎰)cos(2 =dx x )(cos 212⎰ 2x u ==⎰udu cos 21=c x +2sin 21（8）dx ex⎰+11令t e x = t x ln = 原式=dt tt ⎰+11令t u +=1 12-=u t =1)1(122--⎰du u u =du uu u⎰-)1(22=du u ⎰-1122=du u u ⎰-+)1)(1(12=du u u 1111212+--⨯⎰ =c u u +-+-11ln ln =c u u ++-11ln（9）分部积分法⎰exdx x 1ln=dx x x x e e x 2112211ln 21⋅-⋅⎰ =xdx e e ⎰--1221)0(21 =)(4121122e x e - =41412122+-e e =41412+e4.两船相距距离为S小时时距离最近。

高等数学模拟考试题及答案1

《高等数学》模拟试题一一、选择题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)1．点1=x 是函数112--=x x y 的（）A ．连续点B ．可去间断点C ．跳跃间断点D ．无穷间断点2．设)(x f 在),(b a 内可导，则在),(b a 内，0)(>'x f 是)(x f 在),(b a 内单调增加的（）A ．必要条件B ．充分条件C ．充分必要条件D ．无关条件3．设x x x F cos )(2+=是)(x f 的一个原函数，则)(x f 等于（）A ．x x cos 2B ．2cos xxC ．x x sin 33+D ．x x sin 2-4．级数∑∞=-11)1(n nn（） A ．绝对收敛 B ．条件收敛 C ．发散 D ．敛散性不确定 5．微分方程'''20y y y ++=的通解为 ( )A ．x ceB ．.x ce -C ．12()x c c x e +D ．12()x c c x e -+二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)1. =--+→121lim21x x x . 2. 设),1cos()(+=x x f 则=')(x f .3. 过点(1,1,1)且与平面2x +3y =1垂直的直线方程为4. 设,1xyz =则=dz . 5. 设⎰-+=xx x dx x f 02,1sin )(则=')(x f .三、计算题(本大题共6小题,共48分).1. 计算极限: 302)1ln(limx dttxx ⎰+→ (5分).2．设0sin 2=++z z x e xy ，求xz∂∂ (5分). 3．设x x x f ln 2)(2-=，求)(x f 的单调区间和极值.(8分)4．D 是由曲线x e y =，Ox 轴，Oy 轴及4=x 围成的平面区域，试在(0,4)内找一点0x ，使直线0x x =平分平面区域D 的面积.(8分)5．验证函数2()n yz x f x =满足方程2z z x y nz x y ∂∂+=∂∂(其中f 可微).(8分) 6．改变二次积分21101(,)yy dy f x y dx --⎰⎰的积分次序(7分)7．求解下列微分方程：'2'1.y xy x y -=+(7分)四、证明题(本大题共2小题,共12分).1．证明：当1>x 时，1)1(2ln +->x x x .(6分) 2．函数f (x )在[0,1]上可导,且f (1)=2120()xf x dx ⎰,证明：存在一点ξ∈(0,1)使得ξf '(ξ)+ f (ξ)=0 (6分).《高等数学》模拟试题二一、选择题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)1．曲线11+-=x x y 的垂直渐近线为（） A ．1-=x B ．1=x C ．1-=y D ．1=y2．当0→x 时，)21ln(xα+与x 是等价无穷小，则α等于（）A ．2B ． 2-C ．21D ．21-3．下列式子中正确的是（）A ．⎰+='c x f dx x f )3()3(B ．'[()]()d f x dx f x =⎰C ．⎰=bax f dx x f dx d )()( D ．⎰⎰=-b a b a du u f dx x f 0)()( 4．下列命题中，正确的是（）A ．0lim =∞→n n u ，则∑∞=1n n u 必收敛 B ．0lim =∞→n n u ，则∑∞=1n n u 必发散C ．0lim ≠∞→n n u ，则∑∞=1n n u 必收敛 D ．0lim ≠∞→n n u ，则∑∞=1n n u 必发散5．微分方程'''23x y y y xe +-=的特解形式为 ( )A ．()x ax b e +B ．2x ax eC ．x axeD ．2()x ax bx e + 二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)6. 201cos limx xx →-=7. 设x x x f ln )(=，则='')1(f . 8.'(sin 1)cos f x xdx +⎰=9. 过点(2,0,1)且与直线210x y z==垂直的平面方程为 10. 幂级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛02n nx 的收敛半径为=R .三、计算题(本大题共4小题,共48分).1. 求极限: lim (arctan )2x x x π→+∞- (5分).2．设),(y x z z =是由方程133=-xyz z 确定的隐函数，求全微分dz (5分).3．求函数x x x f ln )(2-=在],1[e 上的最值(8分).4．求由曲线1-=x y ，4=x 与0=y 所围成的平面图形绕Ox 轴旋转所得到的旋转体的体积V (8分).5．f (x )在[0,1]上连续，求证211()()()y x dy f x dx e e f x dx =-⎰⎰ (7分).6．求解下列微分方程： 2()0ydx x y dy ++= (7分).7．已知1(0),2f =-求f (x )使曲线积分[()]()x l e f x ydx f x dy +-⎰与路径无关，并计算(8分).(1,1)(0,0)[()]()x e f x dx f x dy +-⎰四、证明题(本大题共2小题,共12分).1．证明：当x >0时，2x arctan x >ln(1+x 2) (6分).2．设f (x )在(-1,1)内可微，且f (0)=0, |f ' (x )|< M (M >0), 试证在(-1,1)内恒有|f (x )|<M(6分).《高等数学》模拟试题三一、选择题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)1．设53)(+=x x f ，则[]2)(-x f f 等于（）A ．149+xB ．33+xC ．149-xD ．33-x2．设x x f 3)(= ，则ax a f x f a x --→)()(lim 等于（）A ．3ln 3aB ．a3 C ．3ln D ．3ln 3a3．设函数f (x )连续，0(),s t I t f tx dx =⎰其中t >0,s >0,则积分I （）A ．依赖于s 和tB ．依赖于s ,t,xC ．依赖于t 和xD ．依赖于s ,不依赖于t4．级数111nn a∞=+∑收敛的条件为（） A ．a ≥1 B ．a >1 C ． a ≤1 D ．a <15．微分方程0cos =+x y dxdy的通解为 ( )A ．x c y sin =B ．x ce y sin -=C ．x ce y cos -=D ．x c y cos =二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)11. 设3lim ln()16,xx x a x a→∞+=-则a =12. 设22sin ,cos ,x t y t ==则dydx=13. ⎰=xdx x sin cos 3 .14.''()xf x dx ⎰=5．设sin y =xy , 则dydx= 三、计算题(本大题共4小题,共48分). 1. 求极限lim x →+∞(5分).2．求函数f (x )=20(1)(2)xt t dt --⎰的极值(7分).3．平面图形由曲线3,4y x y x=+=，求此图形的面积S (7分).4．求微分方程'cot ln y x y y =满足初始条件4x y π==(5分).5．求幂级数112nnn n x ∞=+∑的收敛区间以及和函数 (8分). 6. 计算二重积分:⎰⎰+Ddxdy y x )3(22，其中区域D 是由直线2,1,2,====x x x y x y 围成(8分)7．设函数f (x )满足0()()()x xx f x x f t dt e tf t dt +=+⎰⎰，求f (x ) (8分).四、证明题(本大题共2小题,共12分).1．证明：当0>x 时，2211)1ln(x x x x +>+++(6分).2．证明：双曲线)0(1>=x xy 上任一点处的切线与两坐标轴所围三角形的面积等于2(6分).《高等数学》模拟试题一参考答案一、选择题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)1．B 2.B 3.D 4.B 5.D二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)1.1422.2sin(1)x x +3.111230x z z ---==4.2()ydx xdyxy + 5. sin 2x -+三、计算题(本大题共4小题,共44分).1.解：220322000ln(1)ln(1)21111limlim lim 6310331x x x x t dtx x x x xx →→→++==⨯=⨯=++⎰ 2.解：方程两边对x 求导得：22sin cos 0xy z zye x z x z x x∂∂+++=∂∂22sin 1cos xy z ye x z x x z∂+∴=-∂+3.解：对函数x x x f ln 2)(2-=求导得：'1()4f x x x =-，令11140 ()22x x x -==-得舍去，列表：x (0,12) 12 (12,+∞) y’ - 0+ y单减极小值1ln 22+单增由表可知, f (x )在(0,12)上单调减少，在(2,+∞)上单调增加，在12x =处取得极小值1ln 22+.4.解：由题意知，4x xx x e dx e dx =⎰⎰，所以0041x x e e e -=-401 ln2e x +∴=5.证：求函数2()nyz x f x =的偏导数： 113223222()()()()2(),n n n n z y y y y y nx f x f nx f x yf x x x x x x---∂-=+•=-∂ 22221()()(),n n z y y x f x f y x x x-∂=•=∂ 所以132222222222[()2()]2[()] ()2()2()n n n n n n z z y y yxy x nx f x yf y x f x y x x xy y ynx f x yf x yf nzx x x -----∂∂+=-+∂∂=-+=6.解：21101(,)yy dy f x y dx --⎰⎰=0110(,)x dx f x y dy +-⎰⎰+110(,)xdx f x y dy -⎰⎰7.解：整理方程为1(1)dy dx y x x =-+，所以 (ln(1))(ln ln(1))d y d x x -=-+ 1ln(1)ln1xy C x -=++ 11x y Cx =++ 四、证明题(本大题共2小题,共12分).1.证明：令2(1)()ln ,(0)21x F x x F x -=-=+，由于2'2(1)()0 (1)(1)x F x x x x -=>>+，所以，当1>x 时()(0)20F x F >=>，即1)1(2ln +->x x x .2.证明：令()()F x xf x =，函数F (x )在[0,1]上可导. 根据积分中值定理，存在1(0,)2c ∈,使得1122001(1)(1)2()2()2()()2F f xf x dx F x dx F c F c ====••=⎰⎰再根据罗尔定理，存在一点ξ∈(c ,1使得'()0,F ξ=即 ξf '(ξ)+ f (ξ)=0《高等数学》模拟试题二参考答案一、选择题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)(sin 1)f x C ++ 40x y +-=三、计算题(本大题共4小题,共48分).22221arctan12lim (arctan )lim lim lim 11121x x x x x x x x x x xxππ→+∞→+∞→+∞→+∞--+-====+-233()0z dz yzdx xzdy xydz -++=2 yzdx xzdydz z xy+∴=-x x x f ln )(2-=求导得：'()2ln f x x x x =--，令'()0,f x =得12x e-=. 比较112211(),(1)0,()22f e e f f e e e --====-可知, f (x ) 在],1[e 上的最小值为2e -，最大值为12e.4442211119(1)()22V dx x dx x x ππππ==-=-=⎰⎰222111111000()()()[]()()yyyx x x dy f x dx dx e f x dy f x e dy dx e e f x dx ===-⎰⎰⎰⎰⎰⎰20ydx xdy y dy ++=31()03d xy y +=313xy y C +=曲线积分与路径无关的条件，有()()x df x e f x dx=+' (())x y y e y f x -==微分方程'x y y e -=的通解为x x y ce xe =+，由于1(0),2f =-有12c =-，所以1()2x x f x e xe =-+四、证明题(本大题共2小题,共12分).2()2arctan ln(1),(0)0F x x x x F =-+=，由于'2222()2arctan 2arctan 0 (0)11x xF x x x x x x =+-=>>++，所以，当x >0时()(0)0F x F >=，即2x arctan x >ln(1+x 2).设x 为(-1,1)内任意点，函数f (x )在[x ,0](x <0)或[0, x ](x >0)上可导. 根据拉格朗日中值定理，存在介于x 与0之间的点c ，使得''|()||()(0)||()||0||()|f x f x f f c c f c M =-=-<<《高等数学》模拟试题三参考答案一、选择题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)2-141cos4x C-+'()()x f x C++cosyy x-三、计算题(本大题共4小题,共48分).3 lim lim lim2 x x x→+∞===f(x)=2(1)(2)xt t dt--⎰求导得：'2()(1)(2)f x x x=--，令'()0,f x=得121,2x x==. 列表：由表可知, f112320017(1)(2)[584]12t t dt t t t dt--=-+-=-⎰⎰.3321131(4)(43ln)43ln32S x dx x x xx=--=--=-⎰整理微分方程得tanlndyxdxy y=1ln ln tan ln|cos|y xdx x C==-+⎰ln|cos|xCey e-=对于初始条件4x y π==C =1. 所以所求特解为ln|cos |x e y e-=幂级数112n n n n x ∞=+∑的收敛半径为1112lim lim 222n n n n n n u n R u n +→∞→∞++==⨯=+，且当x =2或-2时幂级数发散，所以幂级数的收敛区间为(-2,2).设其和函数为S (x ),则1'1112221''22122222()(1)() (1)()222(1)2 ()()1(1)(1)444 1.(2)(2)(1)2n nn n n n n n x x S x n t n t t t t t t t t tt t t x x x x xx x ∞∞∞+===∞+==+=+=+-+====+++++===-+++∑∑∑∑⎰⎰+Ddxdy y x)3(22化为二次积分为222222122223311(3)(3) [()]830.xxDx xx y dxdy dx x y dy x y y dx x dx +=+=+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰'()()xx f x f t dt e +=⎰两边再求导数，整理得到'''()()x f x f x e +=或'''x y y e +=微分方程'''x y y e +=对应的齐次方程的通解为12x y c c e -=+，特解为12x y e =.所以'''x y y e +=的通解为1212x x y c c e e -=++.又由于(0)1f =(原方程两边代入x =0), '(0)1f =(求一次导数后的方程两边代入x =0),所以11,c =212c =-，所求方程的解为11sh 2x x e e y x --=+=+.四、证明题(本大题共2小题,共12分).()ln(1(0)0F x x x F =+=，由于'()ln(0 (0)F x x x =>>，所以，当x >0时()(0)0F x F >=，即2211)1ln(x x x x +>+++.t 为(0,+∞)内任意点，双曲线1y x =上在x=t 处的切线方程为 211()y x t t t -=-- 该直线与两坐标轴分别相交于2(0,),(2,0)A B t t由A ，B 和坐标原点O 形成三角形面积为12|||2|22S t t=⨯⨯=所以结论成立.。

高等数学(B)模拟练习题(含答案)

高等数学（B ）（1）模拟练习题一、选择题1.下列函数对中，哪一对函数表示的是同一个函数？A ．2ln )(,ln 2)(x x g x x f ==B ．12ln )(+-=x x x f ，)1ln()2ln()(+--=x x x g C ．x e x x g x e x x x f xx -=-=)(,)()(2D ．1)(,11)(2-=+-=x x g x x x f 2. 下列极限存在的为（） A. x x e 10lim → B. 121lim 0-→x x C. x x 1sin lim 0→ D.2)1(lim x x x x +∞→ 3. 在同一变化过程中，下列结论正确的是（）A. 有界变量与无穷小量的乘积是无穷小量B. 有界变量与无穷大量的乘积是无穷大量C. 无穷小量与无穷大量的乘积是有界变量D. 无穷大量与无穷大量的和为无穷大量4. 在下列各式中，=)(0/x f ( ) A. x x f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim 000 B.xx x f x f x ∆∆+-→∆)()(lim 000 C.x x x f x f x ∆∆--→∆)()(lim 000 D.xx f x x f x ∆-∆+→∆)()2(lim 000 5．根据定积分的几何意义计算，则dx x ⎰-1021 =（） A.π B.2π C. π2 D. 4π 二、填空题1.函数的表达形式有_________，____________ ，____________ .2.函数42sin 2-+=x x y 的定义域______________ .3.可导的函数是连续的，但连续函数__________________________.4.若连续函数y=f(x)的自变量x 从x 0的左邻域变到x 0的右邻域时，()f x '的符号由负变为正，则x=x 0是函数y=f(x)的____________点.5 .=-⎰-dx x x x 332)sin 4(_________.三、判断题1.函数)1sin()(2x x f +=是偶函数（）2．1sin lim =∞→xx x （） 3．函数)(x f 在0x 有定义，则函数在0x 点一定可导。

08-09年高数A B试卷答案 1.4元

x →0
( x − x0 )
2
= A > 0 ，则 f ( x0 ) 是(
)。
A．极小值 B．极大值
C．不是极值 D．不能确定是否是极值
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得分
评卷人
三、计算下例各题：（每小题 5 分，共 40 分）
.15、 ∫ cos x + 1dx
11、 lim +
x →0
ln(arcsin x) cot x
一．
单项选择题：（每小题 3 分，共 15 分）
15. cos x + 1dx 解: x = t − 1, dx = 2tdt （1 分）
2
1.C 2. B 3.D ４.A ５.C
二．填空题：（每小题 3 分，共 15 分）
∫
1 2 6. ( −∞, 0 ) ∪ (2, ∞) .7. 2 . 8. ( 0,1) .9. − (1 − x ) + C .10. 2
上海大学 2008-2009 学年度秋季学期高等数学 A（1）考试试卷答案（A 卷）
1 ⎤ ⎡ 14.设 y = ⎢ f (sin ) ⎥ , 其中 f 是可微函数,求 y′( x) . x ⎦ ⎣
解: y′ = 2 f (sin ) f ′(sin ) cos
2
1 x
1 x
1 1 (− 2 ) （5 分） x x
ln x dx (1 − x) 2
得分
评卷人
四、应用题（8 分）
19．在曲线 y =
1 2 ( x + 1) （ x > 0 ）上任意点 P 作切线，切线与 x 轴交点是 M ，又从点 P 向 2 x 轴作垂线，垂足为 N 。试求三角形 PMN 面积的最小值。

2009-10-1高等数学(A)试题答案(A卷)

2009-10-1高等数学（A ）期末考试试题答案一、填空题 (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分)1、32、03、=-+tan .x x c4、3202)()(33x x x x x ∆+∆+∆ 5、42220πx a x dx a-⎰ 二、解答下列各题(本大题共2小题，每小题5分，共10分)1、解：，，f f b f a ()()()001000-=+== …………………………3分当时处处连续a b f x ==1() …………………………5分2、解：),(+∞-∞函数定义域，)2)(2(3x x y +-='， ……………………………2分(],2,[2,][2,2]-∞-+∞-故函数在上单调减,在上单调增 ………………………… 5分三、解答下列各题(本大题共5小题，每小题6分，总计30分)1、解原式:lim =--+→x x x x 2223126181226lim 21218x xx →==-…………………………………每步2分2、⎰+82d 2x x ⎰+=4d 212x x =+++1242ln .x x c ………………………每步3分 3、解：在上连续可导，又f x e f x e x x ()(,),()=-∞+∞'= …………………………2分由f x x f x f x x x ()()()+-='+∆∆∆θ，得e e e x x x x x x ++-=⋅∆∆∆θ ………………………5分1lnx e x xθθ∆-∆=∆解得，这就是所求的的值 ……………………………………………………6分 4、原式=--+⎡⎣⎢⎤⎦⎥⎰x x x dx 341212011()=--+⎡⎣⎢⎤⎦⎥472323174323201x x x ()=-47432 ……每步2分5、x xdx x t dx tdt 221-==⎰ 令 sin .cos …………………………………………1分原式22sin 1cos 211cos sin sin 2cos 222t t tdt tdt dt t t c t -⎡⎤====-+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ …………………………5分 [].1arcsin 212c x x x +--=…………………………………………6分四、证明下列各题(本大题共2小题，每小题8分，总计16分)1、证：⎰⎰'=''babax f xd dx x f x )()( ='-'⎰xf x f x dx a b ab()()………………………………4分='-'-bf b af a f x a b ()()() …………………………………………6分[][]='--'-bf b f b af a f a ()()()() …………………………………………8分2、:0,,()[,],,T x f t x x T ∀>+证对及充分大的在上可导利用拉格朗日中值定理则至少存在(,),x x T ξ∈+使 ()()()f x T f x f T ξ'+-=⋅ ………………………………………3分 []T f x f T x f x x x ⋅ξ'=-++∞→+∞→+∞→)(lim )()(lim ,取极限有上式两边令 ……………………6分lim ()T f Ta ξξ→+∞'== ……………………………………………………………………8分五、解答下列各题(本大题共2小题，每小题8分，总计16分)1、解：设圆锥形漏斗的高为则锥底面半径为Hcm R H cm ,=-4002漏斗的体积，V H H H =-<<π34000202()………………………………………………3分2(4003),(020)3V H H π'=-=在，内唯一驻点，20V H π''=-< ……………………6分此时漏斗体积最大由实际问题可知也是极大值点故唯一驻点,,3320=H …………8分 2、解)1(3d 2 c x x y y +=''='⎰ ………………………………………2分(0,2)222362,(1)33x y y x y -'-==-=又由得　代入得'=+y x 3232 ………………………5分c x x x x y ++=+=∴⎰32d )323(32.232,2)2,0(3-+=∴-=-x x y c 代入得再将 …………8分六、解答下列各题(本大题共1小题，总计8分) 解：'=⋅⋅-≠<y x x x22112002ln ， ………………………………………………4分'=-<φ()ln x x xx 122202　， ……………………………………………………………4分。

2009—2010第一学期《高等数学B1》期末考试试题及答案(A卷)

高数B武汉大学数学与统计学院2009—2010第一学期《高等数学B1》期末考试试题一、（42分）试解下列各题:1、计算30arctan lim1x x x xe →--. 2、求解微分方程096=+'-''y y y 的通解. 3、计算-+⎰121(1)d x x x 。

4、计算+∞⎰e x 。

5、求曲线⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰⎰11cos d sin d t t ux u u u y u u自1=t 至2π=t 一段弧的长度.6、设2132y x x =++，求()n y 。

二、（8分）已知xyu e =,其中()y f x =由方程22d cos d y x te t t t =⎰⎰确定,求d d u x。

三、（8分）设11x =,+11(1,2,)1nn nx x n x =+=+，试证明数列{}n x 收敛，并求lim n n x →∞。

四、（8分）证明结论：可导函数在其导数为正值的区间上为单调增加函数。

并说明此结论的几何意义。

五、(15分)已知函数324x y x+=，求: 1、函数)(x f 的单调增加、单调减少区间，极大、极小值; 2、函数图形的凸性区间、拐点、渐近线。

六、（12分）已知函数()y y x =满足微分方程2(1)y y x '''-=-，且x 轴为曲线()y y x =的一条切线，在曲线()y y x =（0x ≥)上某B 点处作一切线，使之与曲线、x 轴所围平面图形的面积为112，试求：（1）曲线()y y x =的方程;(2）切点B 的坐标;（3）由上述所围图形绕x 轴旋转一周所得立体的体积。

七、(7分）若()f x 在[,]a b 上连续，且()()0==f a f b 及()()0''>f a f b ，则()f x 在(,)a b 内至少存在一点ξ,使()0ξ=f .高数B2009—2010第一学期《高等数学B1》期末考试试题参考答案一、（42分)试解下列各题：1、解：323200011arctan arctan 11limlim lim 331x x x x x x x xx x x e →→→---+===- 2、解：方程的特征方程为:2690r r -+=,其特征根为321==r r , 故方程的通解为：xe x c c y 321)(+= 3、解:原式=1202x dx ⎰ =234、解：00022()x tx t t e dx te dt td e +∞+∞+∞=---==-⎰⎰⎰02[]22t t te e dt +∞-+∞-=-+=⎰ 5、解：s =1π=⎰/211ln 2dt t ππ==⎰6、解：1112y x x =-++ ()(1)(1)(1)![(1)(2)]n n n n y n x x -+-+=-+-+ 二、（8分）解：=()xy du dye y x dx dx+ ,方程两边微分得： 222cos y e dy x x dx = 222cos y dy x x e dx -=故有222=(2cos )xy y du e y x x e dx-+三、(8分）解:0n x >， 21102x x -=>，因此21x x > 设1n n x x ->，则1111(1)11n n n n n n x x x x x x -+--=+-+++110(1)(1)n n n n x x x x ---=>++ n x ∴单调增加，且111112211n n n n x x x x ---=+=-<++,故lim n n x →∞存在设lim n n x a →∞=，则: 11a a a=++ 解得a =a 非负,∴lim n n x →∞=四、（8分）证:设函数()f x 在区间(,)a b 内()0f x '>，12,(,)x x a b ∀∈，且12x x <，函数()f x 在12[,]x x 上可导，由拉格朗日中值定理得：212112()()()(),(,)f x f x f x x x x ξξ'-=-∈，由于2121()0,0()()f x x f x f x ξ'>->⇒>由12,x x 的任意性，()f x 在(,)a b 上单调增加。

09届高三数学一调研模拟试卷(一)-2

09届高三数学一调研模拟试卷(一)-2D11．直线a y =与函数x x x f 3)(3-=的图像有相异的三个公共点，则a 的取值范围是_▲ 12．“a b Z +∈”是“20x ax b ++=有且仅有整数解”的____▲______条件。

13．已知α、β是不同的两个平面，直线βα⊂⊂b a 直线,，命题b a p 与:无公共点；命题βα//:q ，则q p 是的 ▲ 条件14．函数sin xy x=的导数为___ ▲ . 1 23 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14二、解答题15.（本题14分）设函数ax ax x f --=25lg )(的定义域为A ，若命题A q A p ∈∈5:3:与有且只有一个为真命题，求实数a 的取值范围.16. (本题14分)已知下列三个方程：22224430,(1)0,220x ax a x a x a x ax a +-+=+-+=+-=至少有一个方程有实数根，求实数a的取值范围。

17.(本题15分)如图，一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？18.(本题15分)命题:p方程210++=有两个不等的正实数根，命题:q方程x mx244(2)10x m x +++=无实数根。

若“p 或q ”为真命题，求m 的取值范围。

19.( 本小题满分16分) 已知函数x x x f y ln )(==。

（1）求函数)(x f y =的图像在e x 1=处的切线方程；（2）求)(x f y =的最大值;(3) 设实数0>a ，求函数)()(x af x F =在[]a a 2,上的最小值20.（本小题满分16分）已知()()()f x x x a x b =--，点()()()(),,,A s f s B t f t . （Ⅰ）若1a b ==,求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若函数()f x 的导函数()f x '满足：当1x ≤时，有()f x '≤23恒成立，求函数()f x 的解析表达式；（Ⅲ）若0a b <<，函数()f x 在x s =和x t =处取得极值，且a b +=证明：与不可能垂直。