2015青年教师技能大赛数学卷

P
ρ cos 2θ + 2 cos θ − ρ = 0 . （Ⅰ）求 l 的普通方程及 C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设 l 与 x 轴，y 轴的交点分别为 M, P ，l 与 C 有两个交点 A, B ，求证：|P A|, |P M |, |P B | 成
A B C
等比数列.
24. (本小题满分10分)选修4−5：不等式选讲 已知 a > −b, f (x) = |x + a| + |x − b| + c 的最小值为 1,. （Ⅰ）求 a + b + c； 1 （Ⅱ）求 a2 + b2 + 2c2 的最小值. 3
平分线， ABD 的外接圆交 AC 于点 E . （Ⅰ）求证 EC = ED ； （Ⅱ）如果AB = m, AC = n，求 CE . B 23. (本小题满分10分0 90 100 分数 sin ϕ （ ϕ是 参 数， k sin ϕ +1 1 + cos ϕ k ∈ R） ，以 坐 标 原 点 为 极 点，x 轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系，曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 为： 在 直 角 坐 标 系 xOy 中， 直 线 l 的 参 数方 程 为：
答题卷
一、 选择题答题表：(共 12 个小题, 每小题 5 分, 满分 60 分)
题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
二、 填空题答题处：(共 4 个小题, 每小题 5 分, 满分 20 分)
13. . 14. . 15. . 16. .
三、 解答题： (共 6 个小题, 满分 70 分)
(C) √
.
7. 长方体 ABCD—A1 B1 B1 D1 中，AB = BC = 所成的角为
2, AA1 =
3，则直线 AA1 与平面 A1 BD
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15. A, B, C, D 是同一球面上的四点，已知 AB = 4, ∠ACB = 30◦ ，D 到平面 ABC 的距离的最 大值为 8，则球的半径为 .
C
D
18. (本小题12 分)
频率/组距 某校高一年级的一次数学考试成 0 . 030 绩样本频率分布直方图如右所示，据 b 此估计全年级的平均分为 73 分. 0 . 020 （Ⅰ）求图中 a, b 的值； （Ⅱ） 在 成 绩 不 低 于 80 分 的 样 本 中， 0.010 随 机 抽 取 10 个， 其 中不 低 于 95 分 的 a 个数为 X ，求 EX . 40 50
(A)
(B)
(C)
(D)
俯视图
x2 y 2 − = 1 的两焦点为 F1 , F2 ，P 是双曲线上的点， P F1 F2 的内切圆与 F1 F2 的 a2 b2 切点恰好是 F1 F2 的黄金分割点，则该双曲线的离心率为 √ √ √ √ (B) 1 + 5 (C) 2 + 5 (D) 5 − 1 (A) 5
17.【解】 B 19.【解】 C D A A D C B P
年级
考号
姓名
18.【解】
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20.【解】
22–24.我选做的是第 【解】
题
A
E B D C
21.【解】
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√ 5 + 3i 2. i 是虚数单位，x, y, 都是实数，且 a + i = ，则 |a − bi| = 1 + bi (A) 1 (B) 3 (C) 5
(D) 9
3. 已知 ab < 0，则两圆 C1 : x2 + y 2 − 2ax − 2by = a2 − b2 和 C2 : x2 + y 2 − 2bx − 2ay = b2 − a2 的公切线的条数是 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
4. 右图为某组合几何体的三视图，则该组合体的形状不可 能是：
正视图
侧视图
11. f (x) = sin(ωx + ϕ) (ω > 0) 在区间 (1, 19) 上有三个极值点，且f (1) = f (3) = −f (19) 则ω = π π π π (A) (B) (C) (D) 6 4 3 2 12. 双曲线：
开始 输入x i=1 i=i+1 否 x= i 1+x 1−x 1000 是 输出x 结束
(D) (1, +∞)
一、 选择题：(共 12 个小题, 每小题 5 分, 满分 60 分)
√ 1. 设集合 S = {x | log√2 x < ( 2 )x }, T = {1, 2, 3, 4, 5}，则S (A) {1, 2, 3, 4, 5} (B) {2, 3, 4} (C) {1, 3, 5} T= (D) {1, 5} 9. 执 行 右 面 的 程 序 框 图， 如 果 输 入 的x = 3,, 则 输 出 的x = (A) 3 1 (B )− 3 1 (C) 2 (D) −2 10. 函数 f (x) = | ln x| − ax − 2 有两个零点，则 a 的取值范围是 (A) − 2, e−3 (B) − e, e−3 (C) (−2, +∞) (D) (−e, +∞) 0，
二、 填空题：(共 4 个小题, 每小题 5 分, 满分 20 分)
13. (x + y )n (n ∈ N∗ ) 的 展 开式 中， 各 项 系 数 的 最 大 值 等 于 第 10 项 的 系 数， 则 n 的 值 的 集 合 是 . 14. 正数 x, y 满足 3 3 + = 1，则 xy 的最小值是 x+2 y+2
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高中数学试卷
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..............密..................封..................线..................内..................不..................要..................答..................题..................
y= 1 − cos ϕ x=
E D C
19. (本小题12 分) 如图，在四棱锥 P –ABCD 中，直线 P A ⊥平 面 ABCD，AB//CD，AB = 2CD，P C ⊥ BC . （Ⅰ）求证：AD = CD； √ （Ⅱ） 若 AB = 4， P A = 2 2， ∠DAB = 120◦ ， 求二面角 A—P B —C 的大小. D
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本试卷分为试题卷和答题卷，请考生将各题答案、 解答写在答题卷上，考试结束后，考生只交 答题卷.
(A) 30◦ 8. 设 A = { x 是 (A) (−3, 0)
(B) 45◦
(C) 60◦
(D) 75◦ B = R，则 a 的取值范围
2 < 1 }, B = { x x2 + 2ax + a − 4 < 0 }，若 A 1+x (B) (−3, 1) (C) (0, 1)
（Ⅰ）求 f (x) 的解析式； 1 1 （Ⅱ）若 g (x) = ax3 + bx + c − f (x) 在定义域上是增函数，求 a2 + b 的最小值. 3 2 B
请考生在第 22、 23、 24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 A 22. (本小题满分10分) 选修 4—1：几何证明选讲 如 图， 在 ABC 中， BA = BC ， CD是 ∠BAC 的 A
20. (本小题满分12分) t2 1 2 x 在点 P (t, ) 处的切线为 l，已知双曲线 D : x2 − y 2 = 1. 2 2 （Ⅰ）求证 l 与 D 有公共点； # » # » # » （Ⅱ）设 l 与 D 相交于 A, B 两点，满足 OP = OA + λOB (λ 0) 的点 P 在 D 上，且 5 λ < − ，求 t 的取值范围. 2 抛物线C : y =
17. (本小题12 分) 在 ABC 中，内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c， 15 # » # » 且 a > c，已知 BA · BC = − , ABC 的面积 S = 2 √ 15 3 , b = 7. 4 （Ⅰ）求 a, c ； （Ⅱ）若 D 在边 AC 上，且 AB = AD，求 BD.
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16. 已知 f (x) = ex+1 ，则曲线 y = f (x) 的点到原点的距离的最小值是
21. (本小题满分12分) 设 f (x) 的导函数为 f (x)，且 f (x) = x[f (e) ln x + f (e) − 1 ].
三、 解答题： (共 6 个小题, 满分 70 分)
5. 在 直 角 三 角 形 ABC 中， 角 A, B, C 的 对 边 分别 为 a, b, c， 其 中 c 是 斜 边， D, E 是 斜 边 的 两 # » # » 个三等分点，则 CD · CE = 2a2 2b2 2c2 c2 (A) (B) (C) (D) 9 9 9 9 6. 等比数列 {an } 中，a2 , a1 a2 , a3 成等差数列，则 (A) 1 (B) 2 a1 + a2 + a3 + · · · + a10 = 2 2 2 2 a2 1 + a2 + a3 + a4 + a5 1 2 √ (D) 4