中心极限定理优秀PPT
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《概率论与数理统计》课件5-2中心极限定理
X X B( 1 0 0 0 0 ,
EX = np = 10000 0.7 = 7000,
DX = npq = 10000 0.7 0.3 = 2100.
a
-
X N(7000,
P{26180000) X 7200} (
)− (
)
7200 − 7000 6800 − 7000
= 2 ( ) −1 = 2 (4.23160)0−1 = 1.
EX = np = 100根0.8 = 80,
DX = npq = 100根0.8根0.2 = 16.
a
X N(80,16)
P{80 试 X 试100} = P〈0(试 X −80试 5 卜)
l
4
J
~ 牵(5) − 牵(0) = 1− 0.5 = 0.5.
3
10000 ,
0.7. .
, 6800 7200
| i=1 n →的
C(x) |
A
|l
J|
|l
J|
B
(n
)
xXi − 入
P〈 i=1
三 x 卜=
→的 | n 入 |l
C(x) |
J|
(n
)
X i− n入
C
D) lim P〈
三 x = C(x) ．
n →的
|
n入
|
D
|l
J|
2
X ~ B(100,0.8) , P恳80 试 X 试
100
X B( 1 0 0 , 0 .
x100
500 −100根
P{ Xi > 500}~ 1− 牵
i=1
10 35
= 1− 牵(8.78) ~ 0
中心极限定理课件
X ~ b( 200, 0.6),
X ~ b( 200, 0.6),
现在的问题是: 现在的问题是: 求满足 P { X ≤ N } ≥ 0.999 的最小 的 N. 由定理 2
X − np 近似服从 N (0, 1), 这里 np(1 − p ) np = 120, np(1 − p ) =0 个, 已知该型号 的螺丝钉的重量是一个随机变量, 期望值是100g, 的螺丝钉的重量是一个随机变量, 标准差是10g, 求一盒螺丝钉的重量超过 10.2kg 的概率. 的概率 个螺丝钉的重量, 解 设 X i 为第 i 个螺丝钉的重量, i = 1,2,L,100, 且它们之间独立同分布, 于是一盒螺丝钉的重量 且它们之间独立同分布, 为X=
棣莫佛—拉普拉斯定理是林德伯格 拉普拉斯定理是林德伯格—勒维定理 注： 棣莫佛 拉普拉斯定理是林德伯格 勒维定理 它是历史上最早的中心极限定理. 它是历史上最早的中心极限定理 的一个重要特例， 的一个重要特例，
下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近 下面的图形表明 正态分布是二项分布的逼近. 正态分布是二项分布的逼近
E ( X i ) = µ , D( X i ) = σ 2 , i = 1,2,L, n,L
则
n ∑ X i − nµ x 1 −t2 i =1 lim P ≤ x = ∫ e 2 dt. −∞ n →∞ σ n 2π
注：定理表明 当 n 充分大时， n 个具有期望和方 定理表明: 充分大时， 差的独立同分布的随机变量之的近似服从正态分布. 差的独立同分布的随机变量之的近似服从正态分布 虽然在一般情况下， 虽然在一般情况下，我们很难求出 X 1+ X 2 + L + X n
5大数定律与中心极限定理 课件(共31张PPT)- 《概率论与数理统计(第2版)》同步教学(人民邮电
三、大数定律
第5章 大数定律及中心极限定理 12
定理4（独立同散布大数定律）
设随机变量序列X1, X2, , Xn, 独立同分布，若E Xi ，D Xi = 2 ，
i 1, 2, 。则对任意 0，有
lim P n
1 n
n i 1
Xi
1.
这里随机变量序列X1, X2, , Xn , 独立同分布指随机变量序列相互独立， 且序列中随机变量的分布类型及参数均相同。
例2 设X ~ N (, 2，) 用切比雪夫不等式估计概率P( X 3 ) 。
解
因为 =3 ，由切比雪夫不等式得
P X EX DX 2
P
X
3
D(X )
3 2
=
1 9
一、切比雪夫不等式
第5章 大数定律及中心极限定理 7
例3
设随机变量 X 的方差 D X 0，求证，X 服从参数为 c 的退化散布。
n
n i 1
X
2 i
P 1 n
n i 1
E
X
2 i
E
X
2 i
D Xi
E2
Xi
三、大数定律
第5章 大数定律及中心极限定理 17
例4续
01 当Xi B(m, p)时，E Xi =mp, E
X
2 i
=mp 1 p m2 p2, 有
OPTION
X P mp,
1 n
n i 1
X
2 i
P mp 1
p
m2 p2
02 OPTION
当X i
E 时，E
Xi
=
1
,
E
X
2 i
=
2
大数定理与中心极限定理.26页PPT
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
大数定理与中心极限定理.
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有5、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
中心极限定理(27页PPT)
中心极限定理
§5.2 中心极限定理
一. 中心极限定理的定义与意义
定义5.2.1 设随机变量X, X1, X2, …的分布函 数分别为F( x ),F1( x ), F2( x ), …, 若极限式
lim
n
Fn
(
x)
F
(
x
)
在F( x )的每一个连续点上都成立，称随机变 量序列{Xk}, k = 1,2,…依分布收敛于X .
中心极限定理
二. 中心极限定理
定理5.2.1（林德伯格—列维定理、独立
同分布中心极限定理）
设{ Xk }, k =1,2…为相互独立, 具有相同分
布的随机变量序列, 且E( Xk ) = m, D( Xk ) = s2,
则{ Xk }满足中心极限定理，即 有
n
lim
P
k
1
X
k
nm
x
Φ( x)
100
X Xi
i 1
电子科技大学
中心极限定理
并且随机变量 X1, X2, ···, X100 独立同分布,
具有分布律:
P{ X i
k}
1 (2)k1, 33
k 1,2,
因 1
E( X i ) 1 3, 3
2
D( X i )
3
(
1 3
)2
6
i = 1, 2, ···, 100;
根据林德伯格—列维定理, 所求概率
电子科技大学
中心极限定理
100
P{280 Xi 300}
i 1
(0) (0.8165)
0.5 1 (0.8165) 0.293
电子科技大学
中心极限定理
§5.2 中心极限定理
一. 中心极限定理的定义与意义
定义5.2.1 设随机变量X, X1, X2, …的分布函 数分别为F( x ),F1( x ), F2( x ), …, 若极限式
lim
n
Fn
(
x)
F
(
x
)
在F( x )的每一个连续点上都成立，称随机变 量序列{Xk}, k = 1,2,…依分布收敛于X .
中心极限定理
二. 中心极限定理
定理5.2.1（林德伯格—列维定理、独立
同分布中心极限定理）
设{ Xk }, k =1,2…为相互独立, 具有相同分
布的随机变量序列, 且E( Xk ) = m, D( Xk ) = s2,
则{ Xk }满足中心极限定理，即 有
n
lim
P
k
1
X
k
nm
x
Φ( x)
100
X Xi
i 1
电子科技大学
中心极限定理
并且随机变量 X1, X2, ···, X100 独立同分布,
具有分布律:
P{ X i
k}
1 (2)k1, 33
k 1,2,
因 1
E( X i ) 1 3, 3
2
D( X i )
3
(
1 3
)2
6
i = 1, 2, ···, 100;
根据林德伯格—列维定理, 所求概率
电子科技大学
中心极限定理
100
P{280 Xi 300}
i 1
(0) (0.8165)
0.5 1 (0.8165) 0.293
电子科技大学
中心极限定理
5第五章 大数定律与中心极限定律PPT课件
则对任意 >0, 有
limP{|XEX|}0
n
或 limP{|XEX|}1 n
证： 因为
EXE1 ni n1Xi1 nEi n1Xi
1 n
n i 1
E
X
i
1 n
n i 1
pi
p
DXD1 ni n1Xin 12Di n1Xi
1 n2
n i1
D
Xi
1 n2
n i 1
piqi
定理4(辛钦大数定律)
设 Xn(n=1, 2,...)是独立同分布的随机变量序列，
若 EXi =a，(i=1, 2, …)
则对任意的 >0，有
1n
limP{|
n n
i1
Xi a|}1
注：贝努里大数定律是辛钦大数定律的特殊
情况.
辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值
提供了一条实际可行的途径. 例如要估计某地区的平均亩产量，收割某
n
(Yn 是 X i 的标准化) i1
若对于xR, 一致地有
lni m P{Ynx}x
1
2
x t2
e2dt
则称随机变量序列{Xn}服从中心极限定理.
记为 lni m Xna a.s.
或 Xn a.s. a
定理5（波雷尔强大数定律） 设 X1, X2, … 是独立同分布的随机变量序列, 且 P{Xn=1}=p P{Xn=0}=q 0<p<1, p+q=1
则
P{limX p}1
n
注： 波雷尔得到比贝努利大数定理更强的结果.
§5.2 中心极限定理 在概率论中,设 Xn (n= 1,2, … )是一些随机变量, 如果求 X1+ X2+ ... + Xn的分布, 除了若干例外, 一般算起来很复杂, 因此自然会提出问题: 能否 利用极限的方法进行近似计算? 事实证明,这不仅 可能,而且更有利的是,在很一般的情况下,和的极限 分布就是正态分布.这增加了正态分布的重要性.
limP{|XEX|}0
n
或 limP{|XEX|}1 n
证： 因为
EXE1 ni n1Xi1 nEi n1Xi
1 n
n i 1
E
X
i
1 n
n i 1
pi
p
DXD1 ni n1Xin 12Di n1Xi
1 n2
n i1
D
Xi
1 n2
n i 1
piqi
定理4(辛钦大数定律)
设 Xn(n=1, 2,...)是独立同分布的随机变量序列，
若 EXi =a，(i=1, 2, …)
则对任意的 >0，有
1n
limP{|
n n
i1
Xi a|}1
注：贝努里大数定律是辛钦大数定律的特殊
情况.
辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值
提供了一条实际可行的途径. 例如要估计某地区的平均亩产量，收割某
n
(Yn 是 X i 的标准化) i1
若对于xR, 一致地有
lni m P{Ynx}x
1
2
x t2
e2dt
则称随机变量序列{Xn}服从中心极限定理.
记为 lni m Xna a.s.
或 Xn a.s. a
定理5（波雷尔强大数定律） 设 X1, X2, … 是独立同分布的随机变量序列, 且 P{Xn=1}=p P{Xn=0}=q 0<p<1, p+q=1
则
P{limX p}1
n
注： 波雷尔得到比贝努利大数定理更强的结果.
§5.2 中心极限定理 在概率论中,设 Xn (n= 1,2, … )是一些随机变量, 如果求 X1+ X2+ ... + Xn的分布, 除了若干例外, 一般算起来很复杂, 因此自然会提出问题: 能否 利用极限的方法进行近似计算? 事实证明,这不仅 可能,而且更有利的是,在很一般的情况下,和的极限 分布就是正态分布.这增加了正态分布的重要性.
概率论教学课件第五章5.3中心极限定理
DX
(20 3) (20 3)
2(20 3) 1 0.997
(20 3) 0.9985, 查表：20 3 2.97,因此=0.086.
故所求误差范围为0.086，0.086.
10
中心极限定理之所以重要的第一原因： 在理论上非常深刻，以至于被说成是概率论 中的第一定理．
*例5.7 设Xn , n 1 独立同分布的r.v.
n
n
)
6
当n充分大时,
n
~ Xi n 近似地
Yn i1 n
N(0, 1)
~ n
近似地
X Xi nYn n
N (n, n 2 )
i 1
7
补充例题：
为计算简便记，在进行加法运算时，对每个加数 都四舍五入取到百分位，其各加数的舍入误差可以认 为服从区间 0.5102, 0.5102 上的均匀分布,且相 互独立。现有100个数相加，求 0 使得误差总和
解 每次试验成功(病人痊愈)的概率为 0.25，用X表示100个病人中痊愈的人数，则
X ~ B100, 0.25 .
于是
27
PX
35
P
X
EX DX
35 25 25 0.75
1 2.31 1 0.9896 0.0104.
可见，如果新药完全无效，要想通过试验 被认为有效的概率是微乎其微的．
为极限分布.
~ 分
大
实际应 ,即 有
用 中 ,若 随 机
n np 近似地
npq
变 量 n
N (0,1)
~ B(n, p) ,只 要 n 充
近似地
, n ~ N np, npq .
P{a
n
b}
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n
诸随机变量X1 , X2 ,L X n之和，即有:fn X k k 1
其中Xk (k 1, 2,L , n)的分布律为 :
P Xk i pi (1 p)1i , i 0,1,
由于:E( Xk ) p, D( Xk ) p(1 p) (k 1, 2,L , n), 得:
lim
2. 定理: (棣莫佛－拉普拉斯 (De Laplace)定理) 概率论
设随机变量 fn(n=1,2,…)服从参数 n, p的二项分布,
则对任意 x, 有:
lim
P
fn np
x
x
1
t2
e 2 dt ( x)
n np(1 p) 2
证: 可将fn分解成为n个相互独立、服从同一(0 1)分布的 概率论
近似地
即: fn ~ N np, np(1 p)
下面演示不难看到中心极限定理的客观背景
f
g
h
20个0-1分布的和的分布
x
01 2 3 几个(0,1)上均匀分布的和的分布
X1 ~f(x) X1 +X2~g(x) X1 +X2+X3~ h(x)
例1: 一加法器同时收到20个噪声电压Vk (k 1, 2,L n),
由于无穷个随机变量之和可能趋于∞，故我们不研究n个随
机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量.
即考虑随机变量Xk (k
1,
n)的和
n
Xk
k 1
n
n
Xk E Xk
Yn k 1
k1
n
D Xk
k1
讨论Yn的极限分布是否为标准正态分布
一、中心极限定理 (The Central Limit Theorem)
n
X k n 近似地
n
近似地
k 1
n
~ N (0,1); Xk ~ N n, n 2 . k 1
2) 独立同分布中心极限定理的另一种形式可写为:
~ ~ X 近似地 N (0,1);
n
X
近似地
N
,
2
n
,
其中X
1 n
n k 1
Xk .
n
3) 虽然在一般情况下, 我们很难求出 X k 的分布的确切形式, k 1 但当 n很大时,可以求出近似分布.
PV
105
p
V 20 5
100 12 20
105 20 5
100 12
20
p
V 20 5
100 12 20
0.387
1
p
V 20 5
100 12 20
0.387
1
(0.387)
0.348
即有：PV 105 0.348.
例2:某车间有200台车床, 在生产期间由于需要检修, 调换刀具, 变换位置及调换工件等常需停车. 设开工率为0.6, 并设每台车床的工作是独立的， 且在开工时需电力1千瓦.
N
120 48
由:
N
120
0.999,
48
查正态分布函数表得: (3.1) 0.999, 故：N 120 3.1,
48
从中解得N ≥141.5, 即所求N =142.
也就是说, 应供应142千瓦电力就能以99.9%的概率 保证该车间不会因供电不足而影响生产.
概率论
例3: 对于一个学生而言,来参加家长会的家长人数是一个随机变量, 设一个学生无家长、1名家长、2名家长来参加会议的概率分别为: 0.05、0.8、0.15.若学校共有400名学生, 设各学生参加会议的家长数相互独立,且服从同一分布.
自从高斯指出测量误差服从正态分布之后, 人们发现, 正态分布在自然界中极为常见.
概率论
如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因素的综合影响
所造成, 而每一个别因素对这种综合影响中所起的作用不大. 则这种随机变量一般都服从或近似服从正态分布.
现在我们就来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题. 当 n无限增大时, 这个和的极限分布是什么呢？
(由于每台车床在开工时需电力1千瓦, N台工作所需电力即N千瓦.)
概率论
由德莫佛-拉普拉斯极限定理:
X np
近似 N(0,1),
np(1 p)
于是: P(X ≤ N)= P(0 ≤ X ≤ N)
概率论
这里: np=120, np(1-p)=48.
由3σ准则,此项为0.
N
120 48
120 48
概率论
第二节 中心极限定理
中心极限定理
中心极限定理的客观背景
概率论
在实际问题中, 随机变量往往受许多随机因素所共同影响。
例如: 炮弹射击的落点与目标的偏差, 就受着许多随机因素 (如瞄准, 空气阻力, 炮弹或炮身结构等) 综合影响的. 每个随机因素的对弹着点(随机变量)所起的作用都是很小的. 那么弹着点服从怎样分布哪 ？
Xk
k 1
E Xk k1
n
Xk n
k 1
n
D Xk
k1
的分布函数Fn ( x)对于任意x满足:
lim
n
Fn
(
x)
lim
P
n
n
Xi
i 1
n
n
x
x -
1
t2 -
e 2 dt ( x)
2
n
注: 1) 定理表明,独立同分布的随机变量之和 Xk , k 1
概率论
当n充分大时,随机变量之和与其标准化变量分别有:
问: 应供应多少瓦电力就能以99.9%的概率 保证该车间不会因供电不足而影响生产?
解: 对每台车床的观察作为一次试验, 每次试验是观察该台车床在某时刻是否工作, 工作的概率0.6, 共进行200次独立重复试验.
用X表示在某时刻工作着的车床数， 依题意， X ~ B(200, 0.6),
设需N台车床工作， 现在的问题是：求满足: P(X ≤ N) ≥ 0.999 的最小的N.
P
n
fn n x
P
n
k
1
Xk
np
np(1 p)
1
t2
e 2 dt
x
(x)
2
定理表明, 当n很大, 0 < p < 1是一个定值时
概率论
(或者说, np(1-p) 也不太小时),
二项变量fn的分布近似正态分布 N(np, np(1-p)).
概率论
设它们是相互独立的随机变量, 且都在区间(0,10)上服从均匀分布.
n
记:V Vk，求P V 105的近似值. k 1
解: 易知: E(Vk ) 5, D(Vk ) 100 12 (k 1, 2,L 20).
~ 由定理知
:
V
20
Vk
k 1
近似地
N
20
5, 100 12
20
,
于是：
概率论
1. 定理: (独立同分布下的中心极限定理) (Lindeberg-Levy定理)
设随机变量X1 , X2 ,L Xn ,L 相互独立,
服从同一分布,且具有数学期望和方差:
E( Xk ) , D( Xk ) 2 (k 1, 2,L ),
n
则随机变量之和
X
的标准化变量:
k
k 1
n
n
n
Yn