第三节 影子价格

第二章 线性规划的对偶理论 (Dual Theory)
第三节
影子价格
第三节
影子价格
本 节 要 点 一、影子价格 影子价格 • 问题的提出 • 影子价格的定义 • 影子价格在经济管理中的应用 二、边际贡献
一、影子价格 1、问题的提出 、 资源的合理利用问题： 资源的合理利用问题：
L 种产品， 某厂计划在下一个生产 周期内生产 B1， B2， ， Bn 种产品， L 种资源， 要消耗 A1， A2， ， Am 种资源，已知每件产品 所消费的资 源数、每种资源的数量 限制以及每件产品可获 得的利润 源数、 如下表， 产计划， 现有资源， 如下表，问如何安排生 产计划，才能充分利用 现有资源， 使获得的总利润最大？ 使获得的总利润最大？
影子价格为零的资源，表明： 影子价格为零的资源，表明： 这种资源对该企业来说相对富裕 管理措施： 管理措施： 向别的企业转让或以市场价出售 通过对企业内部的改造、 通过对企业内部的改造、挖潜和 增加对影子价格大于零的资源的 投入， 投入，使原有剩余资源得到充分利用
说明： 关于影子价格的说明 关于影子价格的说明：
还有现金， 还有现金， 如何投资
B1
解：设 x j 表示产品 B j的产量
maxz = c1x1 + c2 x2 +L+ cn xn
（j = 1,2, L , n )
资源
B2 L Bn
资源 限制
A1 A2 M Am
单位 利润
a11x1 + a12x2 +L+ a1n xn ≤ b1 a x + a x +L+ a x ≤ b 21 1 22 2 2n n 2 s.t L L L am1x1 + am2x2 +L+ amnxn ≤ bm
某厂计划在下一个生产 周期内生产 B1， B2， ， Bn 种产品，要消 L 种产品， L 种资源， 所消费的资源数、 耗 A1， A2， ， Am 种资源，已知每件产品 所消费的资源数、每种 下表， 资源的数量限制以及每 件产品可获得的利润如 下表，问如何安 排生产计划， 利用现有资源， 的总利润最大？ 排生产计划，才能充分 利用现有资源，使获得 的总利润最大？
1、影子价格的取值与系统的状态有关，系统中任 、影子价格的取值与系统的状态有关， 一状态的改变都会引起影子价格的变化 2、影子价格是在系统达到最优时对系统资源的一 、 种最优估价，并假设第i种资源增加一个单位时 种最优估价，并假设第 种资源增加一个单位时 最优基没改变。 最优基没改变。 3、影子价格是一种资源的虚拟价格 ≠资源的市场价格 资源的市场价格 、 影子价格是一种机会成本，在纯市场经济条件下， 影子价格是一种机会成本，在纯市场经济条件下， 当市场价格低于影子价格，可以买进这种资源； 当市场价格低于影子价格，可以买进这种资源； 相反，当市场价格高于影子价格， 相反，当市场价格高于影子价格，可以卖出这种 资源。 资源。
λ j= 增加一个单位第 j种产品给目标函数带来 的贡献
第 j种产品对目标函数的CN − CB B N ≤ 0 即λ j ≤ 0，Z 是 X j的减函数 ( j = m + 1, m + 2, L , n )
maxz = c1x1 + c2 x2 +L+ cn xn
a11x1 + a12x2 +L+ a1n xn ≤ b1 a x + a x +L+ a x ≤ b 21 1 22 2 2n n 2 s.t P2 LLL am1x1 + am2x2 +L+ amnxn ≤ bm
A2 M Am
单位 价格
a21 a22 L a2n L L L L am1 am2 L amn
b2 M bm
x1 , x 2 L , xn ≥ 0
c1 c2 L cn
Pj − − 生产一个单位第 j种产品所消耗各种资源 的数量
对问题 max z = CX s .t AX = b X ≥0
取可行基 B
检验数
maxZ = CB B−1b + (CN − CB B−1 N) X N
Z = C B B b + (C N − C B B N ) X N = Z0 + λm+1xm+1 + λm+2 xm+2 +L+ λn xn
−1
−1
(m+1≤ j ≤ n)
j
∂xj
= λj
当x j → xj + 1, 其余变量不变时( j = m + 1, m + 2,L, n) , ∆ Z = λ
X B = B −1b − B −1 NX N
X B ≥ 0, X N ≥ 0
L ） 设基变量X B = x1，x2， , xm ′，非基变量 X N =（xm +1 , xm + 2 , L , xn） （ ′ C N − C B B −1 N = (λ m +1 , λ m + 2 , L , λ n ) ∂Z
x1 1 0 0 5/7 50/7 问如何安排生产计划， 问如何安排生产计划， 才能充分利用现有资源 -3/7使获得的总利 ， 0 1 0 -1/7 2/7 200/7 润最大？ 润最大？ x2 x1 x2 x3 x4 x5
解：设 x1表示产品甲的产量
求 max z = 10x1 + 18x2
5x1 + 2x2 ≤ 170 2x + 3x ≤ 100 1 2 s.t x1 + 5x2 ≤ 150 x1 , x2 ≥ 0
下表， 资源的数量限制以及每 件产品可获得的利润如 下表，问如何安
排生产计划， 利用现有资源， 的总收入最大？ 排生产计划，才能充分 利用现有资源，使获得 的总收入最大？ 策略：若在最优方案中，第j种产品的产量 j为非基 策略：若在最优方案中， 种产品的产量x 种产品的产量 解：设 x j 表示产品 B j的产量 B1 B2 L Bn 资源 变量， 变量，不能生产该产品 限制 资源 （j = 1,2, L , n ) A1 a11 a12 L a1n b1
x1 , x 2 L , xn ≥ 0
y1 , y 2 L , y m ≥ 0
决策依据： 决策依据： 在取得最优方案的前提下 比较第i种资源增加一个单 比较第 种资源增加一个单 位，其余资源不增加时利 润的增加值 设B是最优基， 是最优基， 是最优基 Z*是最优值 是最优值
设Y*是（D）的最优解 是 ） 则Z*=Y*b
650 约束： 若把最优方案带入钢材 约束：有 5 x1 * +2 x2 * = < 170 7
*影子价格的大小客观地反映了资源 影子价格的大小客观地反映了资源 在系统内部的稀缺程度 在系统内部的稀缺程度
3、影子价格在经济管理中的应用 、
影子价格能指示企业内部挖潜的方向 影子价格越大的资源，表明： 影子价格越大的资源，表明： 这种资源对目标增益的影响越大 这种资源在该企业越稀缺、 这种资源在该企业越稀缺、贵重 管理措施： 重视对该种资源的管理， 管理措施： 重视对该种资源的管理， 通过挖潜革新、 通过挖潜革新、降低消耗 或及时补充该种资源
5x1 + 2x2 ≤ 170 钢材 2x + 3x ≤ 100 1 2 煤炭 s.t x1 + 5x2 ≤ 150 设备台时 x1 , x2 ≥ 0
利润
对偶问题最优解 Y*=(0，32/7,6/7) ，
材 影 价 : 钢 的 子 格 y1 * = 0，
即再增加1吨钢材，利润不会增加 即再增加 吨钢材， 吨钢材
2、影子价格的定义
影 价 ： 一 对 问 （） （ ） ， P 的 子 格 在 对 偶 题 P 和 D 中 （） 第个 束 件 右 常 bi增 一 单 ,其 不 时 i 约 条 的 端 数 加 个 位 余 变 ， 所 起 目 函 最 值 *的 变 ∆ * = yi *称 引 的 标 数 优 Z 改 量Z 为 第个 束 件 影 价 . i 约 条 的 子 格
炭 影 价 : 煤 的 子 格y
2
* = 32
7
即再增加1吨煤炭，利润增加 即再增加 吨煤炭，利润增加32/7万元 吨煤炭 万元
备 时 影 价 : 设 台 的 子 格
y3* = 6
7
即再增加1个台时，利润增加 万元 即再增加 个台时，利润增加6/7万元 个台时
( P)求 max z = 10x1 + 18x2 利润
5 x1 + 2 x2 ≤ 170 2 x + 3 x ≤ 100 1 2 s .t x1 + 5 x2 ≤ 150 x1 , x2 ≥ 0
钢材 煤炭 设备台时
原问题最优解 X*=(50/7，200/7) ， 对偶问题最优解 Y*=(0，32/7,6/7) ，
由互补松弛定理： 由互补松弛定理： 2 x1 * +3 x2 * = 100 由 y 2 * = 32 > 0, y 3 * = 6 > 0, ⇒ 7 7 x1 * +5 x2 * = 150 现有资源中的煤炭和设备台时已经全部用完而没有 剩余，因此若增加这两种资源， 剩余，因此若增加这两种资源，必然会给工厂带来 新的效益。 新的效益。 现有资源中的钢材有剩余，因此若增加这种资源， 现有资源中的钢材有剩余，因此若增加这种资源， 只能造成积压，不会给工厂增加效益。 只能造成积压，不会给工厂增加效益。 ⇒ y1 * = 0
a11 a12 L a1n a21 a22 L a2n L L L L am1 am2 L amn
b1 b2 M bm
x1 , x 2 L , xn ≥ 0