平面向量的实际背景及基本概念(第二节
必修4 2.1 平面向量的实际背景及基本概念
规定：0与任一向量平行.
平行向量与共线向量的关系
rrr a / /b / /c
r
ra br
c
B
C
O
A
总结：平行向量就是共线向量，
r a
,
r b
r ,c
是共线向量
共线向量就是平行向量！
平行向量与相等向量的关系
rrr a / /b / /c
r ra br
c
==
， ， 是相等 向量
r a
,
r b
r ,c
向量
标量 功、路程、功 率 只有大小，没有方向的量
数量
1.向量的概念 向量：既有大小又有方向的量叫向量. 向量的两要素：大小、方向.
数量：只有大小没有方向的量. 思考:时间,路程,功是向量吗? 速
数量可以比度较,加大速小度，是向向量量不吗能? 比较大小！
2.向量的表示方法 由于实数与数轴上的点一一对应，所以数量常常用数轴上的
P
4.向量间的关系
(1)相等向量：长度相等且方向相同的向量.
rr
向量 a与b相等，记作：
a b.
a b c
a=b=c
A1 A3 A2
A4
B3B2 B1 B4
A1B1=A2B2=A3B3=A4B4
向量与起点无关，可以自由平移.
(2)平行向量： 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.
如：
a
b
c
记作: a ∥b ∥c
美国“小鹰”号航空母舰导弹发射处获得信 息：
伊拉克的军事目标距 “小鹰”号1200公里.
1200 公里
1200公里
1200公里
试问只知道这一信 息导弹是否能击中目标？
第二章 2.1 平面向量的实际背景及基本概念
平面向量的实际背景及基本概念1．向量的概念和表示方法(1)概念：既有大小，又有方向的量称为向量．(2)向量的表示：表示法几何表示：用有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向，即用有向线段的起点、终点字母表示，如AB，…字母表示：用小写字母a，b，c，…表示，手写时必须加箭头[点睛]向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段．向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段．2．向量的长度(或称模)与特殊向量(1)向量的长度定义：向量的大小叫做向量的长度．(2)向量的长度表示：向量AB，a的长度分别记作：|AB|，|a|.(3)特殊向量：①长度为0的向量为零向量，记作0；②长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．[点睛]定义中的零向量和单位向量都是只限制大小，没有确定方向．我们规定零向量的方向是任意的；单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同．3．向量间的关系(1)相等向量：长度相等且方向相同的向量，叫做相等向量，记作：a＝b.(2)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫共线向量；a平行于b，记作a∥b；规定零向量与任一向量平行．[点睛]共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同．向量的有关概念[典例]有下列说法：①向量AB和向量BA长度相等；②方向不同的两个向量一定不平行；③向量BC是有向线段；④向量0＝0，其中正确的序号为________．[活学活用]有下列说法：①若向量a与向量b不平行，则a与b方向一定不相同；②若向量AB，CD满足|AB|＞|CD|，且AB与CD同向，则AB＞CD；③若|a|＝|b|，则a，b的长度相等且方向相同或相反；④由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行．其中正确说法的个数是()A．1B．2C．3 D．4向量的表示[典例]在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：①OA，使|OA|＝42，点A在点O北偏东45°；②AB，使|AB|＝4，点B在点A正东；③BC，使|BC|＝6，点C在点B北偏东30°.[活学活用]一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点，然后改变方向，向北偏西40°方向行驶了200千米到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达D点．作出向量AB，BC，CD，AD.共线向量或相等向量[典例]如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且OA＝a，OB＝b，OC＝c.(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？(2)与a共线的向量有哪些？(3)请一一列出与a，b，c相等的向量．[一题多变]1．[变设问]本例条件不变，试写出与向量BC相等的向量．2．[变条件，变设问]在本例中，若|a|＝1，则正六边形的边长如何？层级一学业水平达标1．下列说法正确的是()A．向量AB∥CD就是AB所在的直线平行于CD所在的直线B．长度相等的向量叫做相等向量C．若a＝b，b＝c，则a＝cD．共线向量是在一条直线上的向量2.如图，在圆O中，向量OB，OC，AO是()A．有相同起点的向量B．共线向量C．模相等的向量D．相等的向量3．向量AB与向量BC共线，下列关于向量AC的说法中，正确的为() A．向量AC与向量AB一定同向B．向量AC，向量AB，向量BC一定共线C．向量AC与向量BC一定相等D．以上说法都不正确4.如图，在▱ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，图中与AE平行的向量有()A．1个B．2个C．3个D．4个5．已知向量a，b是两个非零向量，AO，BO分别是与a，b同方向的单位向量，则下列各式正确的是()A．AO＝BO B．AO＝BO或AO＝－BOC．AO＝1 D．|AO|＝|BO|6．已知|AB|＝1，|AC|＝2，若∠ABC＝90°，则|BC|＝________.7．设a0，b0是两个单位向量，则下列结论中正确的是________(填序号)．①a0＝b0；②a0＝－b0；③|a0|＋|b0|＝2；④a0∥b0.8．给出下列四个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b方向相反；④|a|＝0或|b|＝0.其中能使a∥b成立的条件是________(填序号)．9.如图，O是正方形ABCD的中心．(1)写出与向量AB相等的向量；(2)写出与OA的模相等的向量．10.一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地．(1)在如图所示的坐标系中画出AD，DC，CB，AB.(2)求B地相对于A地的位移．层级二应试能力达标1.如图所示，梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式成立的是() A．AD＝BC B．AC＝BDC．PE＝PF D．EP＝PF2．下列说法正确的是()A．若a∥b，b∥c，则a∥c B．终点相同的两个向量不共线C ．若a ≠b ，则a 一定不与b 共线D ．单位向量的长度为1 3．若a 为任一非零向量，b 为单位向量，下列各式： ①|a |＞|b |；②a ∥b ；③|a |＞0；④|b |＝±1. 其中正确的是( ) A ．①④ B ．③ C ．③④D ．②③4．在△ABC 中，点D ，E 分别为边AB ，AC 的中点，则如图所示的向量中相等向量有( )A ．一组B ．二组C ．三组D ．四组5．四边形ABCD 满足AD ＝BC ，且|AC |＝|BD |，则四边形ABCD 是______(填四边形ABCD 的形状)．6.如图，O 是正三角形ABC 的中心，四边形AOCD 和AOBE 均为平行四边形，则与向量AD 相等的向量为________；与向量OA 共线的向量为__________；与向量OA 的模相等的向量为________．(填图中所画出的向量)7．如图，D ，E ，F 分别是正三角形ABC 各边的中点． (1)写出图中所示向量与向量DE 长度相等的向量． (2)写出图中所示向量与向量FD 相等的向量．(3)分别写出图中所示向量与向量DE ，FD 共线的向量．8．如图，已知函数y ＝x 的图象l 与直线m 平行，A ⎝⎛⎭⎫0，－22，B (x ，y )是m 上的点．求(1)x ，y 为何值时，AB ＝0； (2)x ，y 为何值时，AB 为单位向量．。
《平面向量的实际背景及基本概念》_PPT完整版人教版2
《平面向量的实际背景及基本概念》 教学分 析人教 版2-精 品课件p pt(实 用版)
问题:向量既有“数”的特点,又有“形”的特征,实数 有相等,图形有平行,那么,如何描述“向量的相等”和 “向量的平行”呢? 1、相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
记作：a = b
说明：1、任意两个相等非零向量，都可以用同一条有
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例1．如图设O是正六边形ABCDEF的中心，写出图 中与向量OA相等的向量。
OA = DO = CB
变式一：与向量OA长度相等的 向量有多少个？ 11个 变式二：是否存在与向量OA长度相等， 方向相反的向量？ 存在，为 FE 变式三：与向量OA长度相等的共线向量有哪些？
2.判断下面命题的对错
（1）若a = b，b = c，则a = c。（ √）
（2）若|a|=0，则a = 0 （×） （3）若|a|=|b|，则a = b （×）
|a|=|b|
× （4）两个向量a、b相等的等价条件是 a ∥ b （ ）
（5）若A、B、C、D是不共线的四点，
若AB=DC则四边形ABCD是平行四边形（√ ）
探究问题四
概念巩固
判断对错
× 1.若非零向量AB//CD ，那么直线 AB//CD（ ）
× 2.若a //b ,则a与b的方向一定相同或相反（ ）
条件是非零向量
× 3、若 |a|>|b| ,则 a >b （ ） 注:向量不能比较大小
√ 4、共线向量一定是平行向量。（ ） × 5、平行向量一定是相等向量。（ ）
6平面向量的实际背景及基本概念
平面向量的实际背景及基本概念说课稿尊敬的各位评委老师，上午好！今天我说课的题目是“平面向量的实际背景及基本概念”，选自人民教育出版社普通高中课程标准试验教科书·数学·必修4第二章第二节的内容。
下面我将从教材分析、学生情况分析、教法学法分析、教学过程设计、板书设计这五个方面进行说课。
敬请各位专家、评委批评指正。
一．教材分析1、本节内容的地位和作用向量是近代数学中重要和基本的概念之一,有着深刻的几何背景,是解决几何问题的有力工具.向量概念引入后,全等和平行(平移),相似,垂直,勾股定理等就可以转化为向量的加(减)法,数乘向量,数量积运算(运算率),从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系.向量是沟通代数,几何与三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景,在数学和物理学科中具有广泛的应用.平面向量的基本概念是在学生了解了物理学中的有关力,位移等矢量的概念的基础上进一步对向量的深入学习.为学习向量的知识体系奠定了知识和方法基础.2教学目标根据我对知识与能力，情感态度与价值观，过程与方法三个维度的统一的理解，我制定的一下教学目标。
(1)理解向量,零向量,单位向量,共线向量,平行向量,相等向量的概念,会用字母表示向量,能读写已知图中的向量.会根据图形判定向量是否平行,共线,相等.(2)培养学生观察、归纳、类比、联想等发现规律的一般方法,培养学生观察问题,分析问题,解决问题的能力。
(3)让学生在民主、和谐的共同活动中感受学习的乐趣。
3、教学重点、难点掌握向量的概念，要抓住向量的本质——大小和方向.尽管学生有着相对比较丰富的物理素材，但对向量的认识还是比较单一的（往往只考虑大小而忽略方向），所以平面向量的含义是本节课的重点也是难点.解决这一难点的关键是多用几何图形中相等的有向线段让学生辨认，加深对向量的理解.同时，相等向量、共线向量的含义及向量的几何表示也是本节课的重点.教学重点：向量、相等向量、共线向量的含义及向量的几何表示.教学难点：向量的含义.二、学生情况分析学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法：即先由特殊模型（主要是物理模型）抽象出概念，然后再从概念出发，在与实数运算类比的基础上研究性质和运算律。
平面向量的实际背景及基本概念2
与向量OA相等的向量。 OA = DO = CB
变式一：与向量OA长度相等的向量 有多少个？
11个
C
O
F
D
E
变式二：是否存在与向量OA长度相等，方向 相反的向量？ 存在，为 FE 变式三：与向量OA长度相等的共线向量有哪些？ CB、DO、FE
某人从A点出发向西走了200m到达B点，然后改变 方向，向北偏西30°走了450m到达C点，最后又改 变方向，向东走了200m到达D点. (1)选择适当的比例尺，用向量表示这个人的位移； (2)求向量DA模.
北
西
A
南
东
物理学中的 矢量 类比 特殊 1.零向量 2.单位向量 表示
向量
关系
1.有向线段 2.字母表示
1.相等向量 2.共线（平行）向量
P86
2、3
美国“小鹰”号航空母舰导弹发射处接到命令：向 1200公里处发射两枚战斧式巡航导弹,试问导弹是否能击 中伊拉克的军事目标？
1200公里
答案：不能，因为 没有给定发射的方向.
1200公里 1200公里
1200公里
阅读课文P82-85回答以下问题
1.向量与数量有何区别？请列举一些你熟悉的 向量。 2.如何表示向量？ 3.有哪些特殊的向量？ 4.满足什么条件的两个向量是相等向量？单位 向量是相等向量吗？ 5.有一组向量，它们的方向相同或相反，这组 向量有什么关系？
思考
1.你认为向量的模是一个正实数吗？ 2 .若AB//CD ，那么AB//CD吗？
4.若 a ∥ b， b ∥ c, 则a ∥c
5.相等向量一定是平行向量吗，
平行向量一定是相等向量吗?
例1．如图设O是正六边形ABCDEF的中心，写出图中
B
A
平面向量的实际背景及基本概念2
平面向量的实际背景及基本概念教学设计教学目标：1.理解向量及与向量相关的定义2.向量的表示方法教学重点：向量的概念、相等的向量概念、向量的几何表示教学难点：向量的概念一、 引入新课1.请一名学生回答他的身高和体重，这些量可以都可以用一个数来完全确定，只用一个实数就可以明确表示的量叫数量，其大小可以用正数、负数和零来表示，他们可以比较大小。
2.现实生活中还存在着另一种量，它们不仅有大小而且有方向，你们学过吗？二、进入新课1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量。
2.什么叫做有向线段？什么叫做有向线段的长度？其三要素是什么？3.如何来表示向量？（1）用AB 表示或b a,表示（2）几何表示4.向量的模（长度）5.什么叫零向量？长度为0的向量叫做零向量。
表示为06.什么叫做单位向量？长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量。
通常用e 表示。
7.什么叫做平行向量？方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
表示方法：c b a ////，我们规定0 与任一向量平行，表示为：a //0。
8.什么叫相等向量？向量可以比较大小吗？向量的模可以比较大小吗？长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，表示为b a9.什么叫做共线向量？平行向量也叫共线向量。
三、例题讲解例：设O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与向量OC OB OA ,,相等的向量；与OA 平行的向量；与DE 相等的向量。
解：EF CB DO OA === DC FA EO OB ===ED AB FO OC ===FE BC AD OD AO EF CB DA DO OA //////////////////CO OF BA DE ===思考题：1.长度相等的向量起点移到同一位置，终点的轨迹是什么？2.四边形ABCD 中，若BC AD =，则四边形ABCD 的形状如何?。
第二章 平面向量的实际背景及基本概念
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知识预览
1．向量的概念与几何表示 (1)我们把既有大小又有方向的量叫做向量． (2)具有方向的线段叫做有向线段，A 为起点，B 为终点 → → 的有向线段记作AB， 线段 AB 的长度叫做有向线段AB的长度， → 记作|AB|，有向线段包括三个要素：起点、方向、长度．
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→ 解：(1)由四边形 ABCD 与 ABDE 是平行四边形，知DC， → → → ED与AB长度相等且方向相同，所以与向量AB相等的向量为 → → DC和ED. → → → → → → (2)依据图形可知DC，ED，EC与AB方向相同，BA，CD， → → → → → → DE， 与AB方向相反， CE CD 所以与向量AB共线的向量有BA， ， → → → → → DC，ED，DE，EC，CE.
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自测自评
1．下列各物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤ 加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
解析：②③④⑤是向量． 答案：D
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2．下列结论中错误的是( ．．
)
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2.1 平面向量的实际背景及基本概念
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目标定位
目 标 要 求 1.了解向量的实际背景，以位移、力等物理背景抽象出 向量． 2． 理解向量的概念， 相等向量的概念及向量的几何表示． 3．掌握向量的概念及共线向量的概念. 热 点 提 示 1.对向量概念以及共线向量的考查是本节的热点． 2．本节内容常与三角函数、解析几何结合命题． 3．多以选择题、填空题的形式考查.
说课第二章 平面向量 2.1平面向量的实际背景及基本概念
200km .
AC 表示A地至C地的位移，且
280km .
25
平行向量：
向量间的关系
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；
②我们规定0与任一向
a
量平行.
b
c
26
讲授新课
6.平行向量定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量； ②我们规定0与任一向量平行. a
b c
决数学问题。
（三）情感态度与价值观
经历平面向量的概念的探索过程，提高自主探究能力，进
一步提高学习数学的乐趣，由感性思维逐步提升到理性思
维。
7
（四）学科核心素养 a. 数学抽象：平面向量的概念 b. 逻辑推理：共线向量的判断 c. 数学运算：向量相等 d. 直观想象：向量的几何表示 e.数学建模：向量概念的建立
直线与直线的位置关 系里,严格区分直线和 直线位置关系,平行就 是共面前提下的无交 点,平行不共线.
29
相等向量：长度相等，方向相同的两个向量。
a
b
ab
对向量的大小和方向都明确规定
a
b
方向相同
a
b
30
思 （1）相等向量一定是平行向量？
考
a
：
是
b
（2）平行向量一定是相等向量？
以A为起点、B为终点的有向线段 记作: AB
起点写在终点的前面.
A(起点)
B (终点)
线段AB的长度也叫做有向线段 AB 的长度，记作: AB
有向线段的三要素：起点、，它的终 点就唯一确定.
22
3. 向量的表示方法：
(1)几何表示法：用有向线段表示
2.1平面向量的实际背景及基本概念2
向量相等的概念 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
如图，有向线段表示的向量a与b相等， 记作a=b.
任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线 段来表示，并且与有向线段的起点无关。平面上， 两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个 向量，因为向量完全由它的方向和模确定。
练一练
向量
uuur
练一练
某人东行100米，后转向南行100 ，3 则这时他位移 的方向是_____东__偏__南__6_0__ __.
某人向正东方向走3千米，再向正北方向走4千米， 此人走过的路程是__7_千__米___，其位移的长度是 _____5_千__米_____.
练一练
一质点从平面内一点O出发，向北前进a 米后，右转20，再前进a米，再右转20，按 此方法继续前进，求前进多少次，该质点第一 次回到O点？
例题
如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写
出图中与
uuur OA,
uuur OB,
uuur OC
相等的向量.
解：
OA CB DO uuur uuur uuur
OB DC EO
uuur uuur uuur uuur
OC AB ED FO
例题 下列各种情况中向量终点各构成什么图形？
解：由平面几何知识已知，质点所经过 的路线是一个边长为a的正十八边形，所以前 进18次后，该质点第一次回到O点。
小结 向量的概念 向量的表示方法：几何表示、字母表示 零向量、单位向量、平行向量的概念
回家作业 习题 2.1 A组 1、2、5、6
2.1 平面向量的实际背 景及基本概念（2）
复习 1.向量的概念 2.向量的表示方法 3.零向量、单位向量、平行向量
§2.1平面向量的实际背景及基本概念
2013-1-10
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
9
§2.1平面向量的实际背景及基本概念
§ 2.1.2
向量的几何表示
判断题 1.温度含零上和零下温度，所以温度是向量（ 2.向量的模是一个正实数。（ 3.若|a|>|b| ，则a > b ） ）
2013-1-10 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 23
§2.1平面向量的实际背景及基本概念
课堂练习 <<教材>> P.5 书面作业 <<教材>> P.77 习题2.1 A组3.4.5.6 B组2 练习1.2.3.4.5
2013-1-10
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
( 2 ) 若 | a | | b |, 则 a b ; ( 3 ) 若 AB DC ， 则 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 AB DC ; ;
( 4 )平行四边形 ( 5 )若 m
ABCD 中 ， 一 定 有 k;
n, n k , 则 m
( 6 ) 若 a // b , b // c , 则 a // c 其中不正确命题的个数 A .2
12
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
§2.1平面向量的实际背景及基本概念
§ 2.1.3 相等向量与平行向量 1.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向 量。向量 a 与 b 相等，记作：a b
a b V4 c a=b=c
注：1.若向量 a , b
V1 V2 V3
§2.1平面向量的实际背景及基本概念
2.1 平面向量的实际背景及基本概念(2)
第二章平面向量本章教材分析1．丰富多彩的背景,引人入胜的内容.教材首|先从力、位移等量讲清向量的实际背景以及研究向量的必要性,接着介绍了平面向量的有关知识.学生将了解向量丰富的实际背景,理解平面向量及其运算的意义,能用向量语言与方法表述和解决数学、物理中的一些问题,开展运算能力和解决实际问题的能力.平面向量根本定理是平面向量正交分解及坐标表示的根底,从学生熟知的功的概念出发,引出了平面向量数量积的概念及其几何意义,接着介绍了向量数量积的性质、运算律及坐标表示.向量数量积把向量的长度和三角函数联系了起来,这样为解决有关的几何问题提供了方便,特别能有效地解决线段的垂直问题.最|后介绍了平面向量的应用.2．教学的最|正确契机,全新的思维视角.向量具有几何形式和代数形式的"双重身份〞,这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的.反过来,向量的理论和方法,又成为解决物理学和工程技术的重要工具,向量之所以有用,关键是它具有一套良好的运算性质,通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算,这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题.这一章的内容虽然概念多,但大都有其物理上的来源,虽然抽象,却与图形有着密切的联系,向量应用的优越性也是非常明显的.全新的思维视角,恰当的教与学,使得向量不仅生动有趣,而且是培养学生创新精神与能力的极佳契机.3．本章充分表达出新教材特点.以学生已有的物理知识和几何内容为背景,直观介绍向量的内容,注重向量运算与数的运算的比照,特别注意知识的发生过程.对概念、法那么、公式、定理等的处理主要通过观察、比拟、分析、综合、抽象、概括得出结论.这一章中的一些例题,教科书不是先给出解法,而是先进行分析,探索出解题思路,再给出解法.解题后有的还总结出解决该题时运用的数学思想和数学方法,有的还让学生进一步考虑相关的问题.对知识的处理,都尽量设计成让学生自己观察、比拟、猜测、分析、归纳、类比、想象、抽象、概括的形式,从而培养学生的思维能力.向量的坐标实际上是把点与数联系起来,进而可把曲线与方程联系起来,这样就可用代数方程研究几何问题,同时也可以用几何的观点处理某些代数问题.标题课时2.1平面向量的实际背景及根本概念1课时2.2向量的线性运算3课时2.3平面向量的根本定理及坐标表示2课时2.4平面向量的数量积2课时2.5平面向量的应用举例2课时本章复习2课时§2.1 平面向量的实际背景及根本概念一、教学分析本节是本章的入门课,概念较多,但难度不大.学生可根据原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念,结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.由于向量来源于物理,并且兼具"数〞和"形〞的特点,所以它在物理和几何中具有广泛的应用,可通过几个具体的例子说明它的应用.位移是物理中的根本量之一,也是几何研究的重要对象.几何中常用点表示位置,研究如何由一点的位置确定另外一点的位置.位移简明地表示了点的位置之间的相对关系,它是向量的重要的物理模型.力是常见的物理量.重力、浮力、弹力等都是既有大小又有方向的量.物理中还有其他力,让学生举出物理学中力的其他一些实例,目的是要建立物理课中学过的位移、力及矢量等概念与向量之间的联系,以此更加自然地引入向量概念,并建立学习向量的认知根底.二、教学目标1、知识与技能：了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.2、过程与方法：通过对向量的学习,使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.3、情感态度与价值观：通过学生对向量与数量的识别能力的训练,培养学生认识客观事物的数学本质的能力.三、重点难点教学重点:理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念,会表示向量.教学难点:平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.四、教学设想：(一)导入新课思路1.(情境导入)如图1,在同一时刻,老鼠由A向西北方向的C处逃窜,猫在B处向正东方向的D处追去,猫能否追到老鼠呢?学生马上得出结论:追不上,猫的速度再快也没用,因为方向错了.教师适时设问:如何从数学的角度来揭示这个问题的本质?由此展开新课.图1思路2.两列火车先后从同一站台沿相反方向开出,各走了相同的路程,怎样用数学式子表示这两列火车的位移?从中国象棋中规定"马〞走日,象走"田〞,让学生在图上画出马、象走过的路线引入也是一个不错的选择.(二)推进新课、新知探究、提出问题①在物理课中,我们学过力的概念.请回忆一下力的三要素是什么?还有哪些量和力具有同样特征呢?这些量的共同特征是什么?怎样利用你所学的数学中的知识抽象这些具有共同特征的量呢?②新的概念是对这些具有共同特征的量的描述,应怎样定义这样的量呢?③数量与向量的区别在哪里?活动:教师指导学生阅读教材,思考讨论并解决上述问题,学生讨论列举与位移一样的一些量.物体受到的重力是竖直向下的,物体的质量越大,它受到的重力越大；物体在液体中受到的浮力是竖直向上的,物体浸在液体中的体积越大它受到的浮力就越大；速度与加速度都是既有大小,又有方向的量；物理中的动量与矢量都有方向,且有大小；物理学中存在着许多既有大小,又有方向的量.教师引导学生观察思考这些量的共同特征,我们能否在数学学科中对这些量加以抽象,形成一种新的量.至|此时机成熟,引入向量,并把那些只有大小,没有方向的量,如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等称为数量,物理学上称为标量.显然数量和向量的区别就在于方向问题.讨论结果:①略.②我们把既有大小,又有方向的量叫做向量.物理中称为矢量.③略.提出问题①如何表示向量?②有向线段和线段有何区别和联系?分别可以表示向量的什么?③长度为零的向量叫什么向量?长度为1的向量叫什么向量?④满足什么条件的两个向量是相等向量?单位向量是相等向量吗?⑤有一组向量,它们的方向相同或相反,这组向量有什么关系?怎样定义平行向量?⑥如果把一组平行向量的起点全部移到一点O,它们是不是平行向量?这时各向量的终点之间有什么关系?⑦数量与向量有什么区别?⑧数学中的向量与物理中的力有什么区别?活动:教师指导学生阅读教材,通过阅读教材思考讨论以上问题.特别是有向线段,是学习向量的关键.但不能说"向量就是有向线段,有向线段就是向量〞,有向线段只是向量的一种几何表示,二者有本质的区别.向量只由方向和大小决定,而与向量的起点的位置无关,但有向线段不仅与方向、长度有关,也与起点的位置有关.如图2,在线段AB的两个端点中,规定一个顺序,假设A为起点、B为终点,我们就说线段AB具有方向,具有方向的线段叫做有向线段,通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A为起点、B为终点的有向线段记作AB.起点要写在终点的前面.AB,线段AB的长度也叫做有向线段AB的长度,记作|AB|.有向线段包含三个要素:起点、方向、长度.图2知道了有向线段的起点、方向和长度,它的终点就唯一确定.用有向线段表示向量的方法是:1°起点是A,终点是B的有向线段,对应的向量记作:AB.这里要提醒学生注意AB的方向是由点A指向点B,点A是向量的起点.2°用字母a,b,c,…表示.(一定要学生标准书写:印刷用黑体a,书写用a)3°向量AB(或a)的大小,就是向量AB(或a)的长度(或称模),记作|AB|(或|a|).教师要注意引导学生将数量与向量的模进行比拟,数量有大小而没有方向,其大小有正、负和0之分,可进行运算,并可比拟大小;向量的模是正数或0,也可以比拟大小.由于方向不能比拟大小,像a＞b就没有意义,而|a|>|b|有意义.讨论结果:①向量也可用字母a,b,c,…表示(印刷用粗黑体表示),手写用a →来表示,或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如AB、CD.注意:手写体上面的箭头一定不能漏写.②有向线段:具有方向的线段就叫做有向线段,其有三个要素:起点、方向、长度.向量与有向线段的区别:向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,那么这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段.图3③长度为0的向量叫零向量,长度为1个单位长度的向量,叫单位向量.但要注意,零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.长度为0的向量叫做零向量,记作0,规定零向量的方向是任意的.长度等于1个单位的向量,叫做单位向量.④长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.⑤是平行向量.平行向量定义的理解:第|一,方向相同或相反的非零向量叫平行向量;第二,我们规定0与任一向量平行即0∥a.综合第|一、第二才是平行向量的完整定义；向量a,b,c平行,记作a∥b∥c.如图3.图4又如图4,a,b,c是一组平行向量,任作一条与a所在直线0平行的直线l,在l上任取一点O,那么可在l上分别作出OA＝a,OB=b,OC=c.这就是说,任一组平行向量都可以移动到同一直线上,因此,平行向量也叫做共线向量.说明:平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系.⑦数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比拟大小；向量有方向、大小双重性质,不能比拟大小.⑧力有大小、方向、作用点三个要素,而数学中的向量是由物理中的力抽象出来的,只有大小与方向两个要素,与起点的位置无关.(三 )应用例如例1 如图5,试根据图中的比例尺以及三地的位置,在图中分别用有向线段表示A 地至|B 、C 两地的位移.(精确到1 km)图5分析:本例是一个简单的实际问题,要求画出有向线段表示位移,目的在于稳固向量概念及其几何表示. 解:AB 表示A 地至|B 地的位移,且|AB |≈232 km;(AB 长度×8 000 000÷100 000) AC 表示A 地至|C 地的位移,且|AC |≈296 km.(AC 长度×8 000 000÷100 000)点评:位置是几何学研究的重要内容之一,几何中常用点表示位置,研究如何由一点的位置确定另外一点的位置.如图5,由A 点确定B 点、C 点的位置.一个人从A 点出发沿东北方向走了100 m 到达B 点,然后改变方向,沿南偏东15°方向又走了100 m 到达C 点,求此人从C 点走回A 点的位移.图6解:根据题意画出示意图,如图6所示.|AB | =100 m,|BC | =100 m,∠ABC =45° +15° =60°,∴△ABC 为正三角形.∴|CA | =100 m,即此人从C 点返回A 点所走的路程为100 m.∵∠BAC =60°,∴∠CAD =∠BAC -∠BAD =15°,即此人行走的方向为西偏北15°.故此人从C 点走回A 点的位移为沿西偏北15°方向100 m.图7例2 判断以下命题是否正确,假设不正确,请简述理由.(1)ABCD 中,AB 与CD 是共线向量;(2)单位向量都相等.活动:教师引导学生画出平行四边形,如图7.因为AB//CD,所以AB ∥CD .由于上面已经明确,单位向量只限制了大小,方向不确定,所以单位向量不一定相等,即单位向量模均相等且为1,但方向不确定.解:(1)正确;(2)不正确.点评:此题考查根本概念,对于单位向量、平行向量的概念特征及相互关系必须把握好.图8例3 如图8,设O 是正六边形ABCDEF 的中|心,分别写出图中所示向量与、OC 、OB 、OA相等的量. 活动:本例是结合正六边形的一些几何性质,让学生稳固相等向量和平行向量的概念,正六边形是边长等于半径并且对边互相平行的正多边形,它既是轴对称图形,又是中|心对称图形,具有丰富的几何性质.教科书中要求判断OA 与EF ,OB 与AF 是否相等,是要通过长度相等方向相反的两个向量的不等,让学生从反面认识向量相等的概念.解:OA =CB =DO ;OB =DC =EO ;OC =AB =ED =FO .点评:向量相等是一个重要的概念,今后经常用到.让学生在训练中明确,向量相等不仅大小相等,还要方向相同.变式训练本例变式一:与向量OA长度相等的向量有多少个?(11个)本例变式二:是否存在与向量OA长度相等、方向相反的向量?(存在)例4 以下命题正确的选项是( )A.a与b共线,b与c共线,那么a与c也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量a与b不共线,那么a与b都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行活动:由于零向量与任一向量都共线,所以A不正确.由于数学中研究的向量是自由向量,所以两个相等的非零向量可以在同一直线上,而此时就构不成四边形,根本不可能是一个平行四边形的四个顶点,所以B不正确.向量的平行只要方向相同或相反即可,与起点是否相同无关,所以D不正确.对于C,其条件以否认形式给出,所以可从其逆否命题来入手考虑,假假设a与b不都是非零向量,即a与b至|少有一个是零向量,而由零向量与任一向量都共线,可有a与b共线,不符合条件,所以有a与b都是非零向量,即只有C正确.答案:C点评:对于有关向量根本概念的考查,可以从概念特征入手,也可以从反面进行考虑.即要判断一个结论不正确,只需举一个反例即可.要启发学生注意这两方面的结合.变式训练1.判断:(1)平行向量是否一定方向相同?(不一定)(2)不相等的向量是否一定不平行?(不一定)(3)与零向量相等的向量必定是什么向量?(零向量)(4)与任意向量都平行的向量是什么向量?(零向量)(5)假设两个向量在同一直线上,那么这两个向量一定是什么向量?(平行向量)(6)两个非零向量相等当且仅当什么?(长度相等且方向相同)(7)共线向量一定在同一直线上吗?(不一定)2.把一切单位平面向量归结到共同的始点,那么这些向量的终点所构成的图形是( )A.一条线段B.一段圆弧C.两个点D.一个圆答案:D3.将平行于一直线的所有单位向量的起点平移到同一始点,那么这些向量的终点所构成的图形是( )A.一个点B.两个点C.一个圆D.一条线段答案:B(四)课堂小结本节课从平面向量的物理背景和几何背景入手,利用类比的方法,介绍了向量的两种表示方法:几何表示和字母表示,几何表示为用向量处理几何问题打下了根底,字母表示那么利于向量的运算；然后又介绍了向量的模、平行向量、共线向量、相等向量等重要概念,这些概念是进一步学习后续课程的根底,必须要在理解的根底上把握好.(五)作业。
人教a版必修4学案：2.1平面向量的实际背景及基本概念(含答案)
回顾归纳 对于命题判断正误题， 应熟记有关概念， 看清、 理解各命题， 逐一进行判断， 有时对错误命题的判断只需举一反例即可． 变式训练 1 判断下列命题是否正确，并说明理由． (1)若向量 a 与 b 同向，且|a|>|b|，则 a>b； (2)若向量|a|＝|b|，则 a 与 b 的长度相等且方向相同或相反； (3)对于任意|a|＝|b|，且 a 与 b 的方向相同，则 a＝b； (4)向量 a 与向量 b 平行，则向量 a 与 b 方向相同或相反．
第二章 § 2.1
平面向量
平面向量的实际背景及基本概念
自主学习
知识梳理 1．向量的概念 (1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量，如速度、位移、力等． (2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量，如面积、体积、质量等． 注意：数量可以比较大小，而向量无法比较大小． 2．向量的几何表示 (1)有向线段：带有________的线段叫做有向线段，其方向是由________指向________， → 以 A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB. 有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．知道了有向线段的起点、方向、长度，它 的终点就唯一确定． → → → (2)向量的有关概念：向量AB的________，也就是向量AB的长度(或称模)，记作|AB|.长 度为______的向量叫做零向量，记作 0.长度等于______个单位的向量，叫做单位向量． (3)向量的表示法： ①几何表示：用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向； ②字母表示：用一个小写的英文字母表示，或用表示向量的有向线段的 ________ 和 ______的字母表示． (4)平行向量：方向________或________的非零向量叫做平行向量．向量 a 与 b 平行， 通常记为 a∥b.规定零向量与任何向量都________，即对于任意向量 a，都有 0∥a. 3．相等向量与共线向量 (1)相等向量：________相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量 a 与 b 相等，通常 记为 a＝b.任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起 点无关．在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量． (2)共线向量：任意一组平行向量都可以移动到同一________上，因此，平行向量也叫 共线向量． 自主探究 谈谈你对平行向量、共线向量、相等向量这三个概念的认识．
平面向量的实际背景及基本概念(已修改)
uuu r 代数表示： 2）代数表示： AB
r r 6.相等向量 相等向量: 6.相等向量: a = b 平行( 7.平行 共线)向量: 7.平行(共线)向量: 平行向量也叫共线向量
物理学中 的矢量
类比
1.零向量 零向量 2.单位向量 单位向量
特殊
表示
向量
1.有向线段 有向线段 2.字母表示 字母表示
（1）模相等的两个平行向量是相等的向量； ） r r r r （2）若 a和b都是单位向量，则 a = b;
r r r r （8）向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；√
练习2 下面几个命题： 练习2、下面几个命题：
（1）若a = b，b = c，则a = c。 ） ， ， 。 （2）若|a|=0，则a = 0 ） ， （3）若|a|=|b|，则a = b ） ， （4）两个向量 、b相等 ）两个向量a、 相等 是不共线的四点, （5）若A、B、C、D是不共线的四点 则 ） 、 、 、 是不共线的四点 AB=DC 四边形ABCD是平形四边形。 是平形四边形。 四边形 是平形四边形 ) D. 3
思考: 我们怎样表示向量呢? 思考 我们怎样表示向量呢
对于向量，我们常用带箭头的线段来表示， 对于向量，我们常用带箭头的线段来表示，线段按 向量 一定比例（标度）画出，它的长度表示向量的大小， 一定比例（标度）画出，它的长度表示向量的大小，箭头 表示向量的方向。 这种带有箭头的线段叫做有向线段 表示向量的方向。 这种带有箭头的线段叫做有向线段。 有向线段。 B（终点） 有向线段： 在线段AB的两个端点中 ， （终点） 有向线段 ： 在线段 的两个端点中， 的两个端点中 规定一个顺序， 假设A为起点 为起点， 为 规定一个顺序 ， 假设 为起点 ， B为 终点， 我们就说线段AB具有方向 。 具有方向。 终点 ， 我们就说线段 具有方向 记作有向线段AB。 记作有向线段 。 A（起点） （起点）
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(9)若 a b ,则 |a|=|b|
(10)零向量与任何向量都平行. (√) (11)平行向量一定是共线向量. (√)
(12) 若a//b, b// c, 则a//c
(×)
二、提高练习
1、下列各种情况中，向量的终点各构 成什么图形？
(1)把平面上所有单位向量移到同一点；
(2)把平面上平行于某一条直线的所有
单位向量平移到同一起点； (3)把平面上平行于某一条直线的一切
向量平移到同一起点。
2、如图,D、E、F顺次是等边
△ABC的边AB,BC,AC的中点，则在A、 B、C、D、E、F六个点中任意两点为
起点和终点的向量中
A
(1)找出与向量 DE 相等 D 的向量；AF和FC B
AB, BC , CD
；
(2)求 |
AD |
北 C 西 B D A
南
东
(2) | AD | 200(公里)
F C
E
(2)是否存在与向量 DE 长度相等，方向相 反的向量？
A D
F
B
C
E
存在，分别是FA和CF
(3)与向量 DE 模长相等的向量有多
少个？ 17个
3、一辆汽车从A点出发向西行驶了
100公里到达B点，然后又改变方向向西偏
北500走了200公里到达C点，最后又改变
方向，向东行驶了100公里到达D点。 (1)作出向量
一、概念巩固：
1、下列各量中是向量的是( D ) (A)面积 (B)时间 (C)质量 (D)速度 复习：向量的定义是什么？
既有大小,又有方向的量称为向量。
2、下列说法中正确的是( C ) (A)平行向量就是向量所在直线都平行
的向量
(B)长度相等的向量叫做相等向量
(C)零向量的长度为0
(D)共线向量就是在同一直线上的向量
| a | 0 ，则 a 0
5、判断正误 (1)零向量的方向是任意的. (√) (2)若 a 0 ,则
|a|=0
(√) (√)
(3)若 |a|=0,则 a 0
(4)单位向量都平行. (×) (√)
(√) (× ) (√)
(7)|AB|=|BA|
3、下列说法中错误的是( A ) (A)零向量是没有方向的
(B)零向量的长度为0
(C)零向量与任一向量平行
(D)零向量的方向是任意的
4、下列说法正确的是( C )
(A)若 | a || b | ，则 (B)若 | a || b | ，则 (D)若
ab
ab (C)若 | a || b | ，则 a 与 b 共线