【步步高】2014届高三数学大一轮复习 11.2用样本估计总体教案理新人教A版

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【步步高】2014届高三数学一轮 11.3 统计案例导学案理北师大版

学案59 统计案例导学目标： 1.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.2.了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用．自主梳理 1．回归分析 (1)回归直线一组具有线性相关关系的数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归方程的截距和斜率的最小二乘估计分别为a ^＝__________________________，b ^＝______________________________________，其中x ＝____________________，y ＝_____________________________________， ________________称为样本点的中心． (2)相关系数r①r＝∑ni ＝1 x i －xy i －y∑n i ＝1x i －x 2∑ni ＝1y i －y2；②当r>0时，表明两个变量________；当r<0时，表明两个变量________．r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性__________；r 的绝对值越接近于0时，表明两个变量之间________________________________．通常，当r 的绝对值大于________时认为两个变量有很强的线性相关关系．2．独立性检验(1)列联表：列出的两个分类变量的________，称为列联表．(2)2×2列联表：假设有两个分类变量X 和Y ，它们的取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为2×2列联表y 1 y 2 总计 x 1aba ＋b构造一个随机变量n ＝__________为样本容量．(3)独立性检验利用随机变量________来判断“两个分类变量________”的方法称为独立性检验．自我检测1．对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程y ^＝a ^＋b ^x 中，回归系数b ^( )A ．可以小于0B ．小于0C ．能等于0D ．只能等于02．(2011·天津模拟)下面是2×2列联表：则表中a ，b 的值分别为( )A ．94,72B ．52,50C ．52,74D ．74,523．如果有95%的把握说事件A 和B 有关系，那么具体计算出的数据( )A ．K 2>3.841B ．K 2<3.841C ．K 2>6.635D ．K 2<6.6354．(2011·绍兴月考)某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：则可判断约有探究点一独立性检验例1 (2011·湛江模拟)利用统计变量K2的观测值来判断两个分类变量之间的关系的可信程度．考察小麦种子经灭菌与否跟发生黑穗病的关系，经试验观察，得到数据如下表所示种子灭菌种子未灭菌合计黑穗病26 184 210无黑穗病50 200 250合计76 384 460变式迁移1 对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪研究，调查他们是否又发作过心脏病，调查结果如下表所示：又发作过心脏病未发作心脏病合计心脏搭桥手术39 157 196血管清障手术29 167 196合计68 324 392探究点二线性回归分析例 2 一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，测得的数据如下：(1)y(2)如果y与x具有线性相关关系，求回归直线方程；(3)根据求出的回归直线方程，预测加工200个零件所用的时间为多少？变式迁移2 一台机器使用时间较长，但还可以使用．它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器运转的速度而变化，下表为抽样试验结果：(1)对变量y与(2)如果y与x有线性相关关系，求回归直线方程．探究点三综合应用例3 (2010·辽宁)为了比较注射A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B.表1和表2分别是注射药物A和药物B后的试验结果．(疱疹面积单位：mm2) 表1：注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表疱疹面积[60,65)[65,70) [70,75) [75,80)频数30 40 20 10表2：注射药物B后皮肤疱疹面积的频数分布表疱疹面积[60,65) [65,70) [70,75) [75,80) [80,85)频数10 25 20 30 15 完成下面2×2列联表，并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”．表3：疱疹面积小于70 mm2疱疹面积不小于70 mm2合计注射药物A a＝b＝注射药物B c＝d＝合计n＝附：K2＝n ad－bc2a＋b c＋d a＋c b＋d.变式迁移3 某市对该市一重点中学2010年高考上线情况进行统计，随机抽查244名学生，得到如下表格：语文数学英语综合科目上线不上线上线不上线上线不上线上线不上线总分上线201人174 27 178 23 176 25 175 26总分不上线43人30 13 23 20 24 19 26 17 总计204 40 201 43 200 44 201 431．回归方程只适用于我们所研究的样本的总体，而且一般都有时间性．样本的取值范围一般不能超过回归方程的适用范围，否则没有实用价值．2．利用图形来判断两个变量之间是否有关系，可以画出二维条形图，但从图形上只可以粗略地估计两个分类变量的关系，还要结合所求的数值来进行比较．作图应注意单位统一、图形准确，但它不能给出我们两个分类变量有关或无关的精确的可信程度，若要作出精确的判断，可以作独立性检验的有关计算．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．对于独立性检验，下列说法中错误的是( )A．K2的值越大，说明两事件相关程度越大B．K2的值越小，说明两事件相关程度越小C．K2≤3.841时，有95%的把握说事件A与B无关D．K2>6.635时，有99%的把握说事件A与B有关2．下列说法中正确的有：①若r>0，则x增大时，y也相应增大；②若r<0，则x增大时，y也相应增大；③若r＝1或r＝－1，则x与y的关系完全对应(有函数关系)，在散点图上各个点均在一条直线上( )A．①② B．②③ C．①③ D．①②③3．(2011·天津汉沽一中月考)甲、乙、丙、丁四位同学各自对A、B两变量的线性相关性作试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表：甲乙丙丁r 0.82 0.78 0.69 0.85m 115 106 124 103) A．甲B．乙C．丙D．丁4．下列命题中正确的个数为( )①线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；②残差平方和越小的模型，模型拟合的效果越好；③用相关指数R 2来刻画回归效果，R 2越小，说明模型的拟合效果越好．A ．1B ．2C ．3D ．05．(2010·济南模拟)有两个分类变量x ，y ，它们的值域分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表如下：y 1 y 2 总计 x 1 132 18 150 x 2 114 36 150 总计24654300则两个分类变量x 和y A ．95% B ．97.5% C ．99%D ．99.5%二、填空题(每小题4分，共12分)6．为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别有关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：理科文科男 13 10 女720已知P(K 2≥3.841)≈0.05，根据表中数据，得到K 2＝50×13×20－10×7223×27×20×30≈4.844.则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为______． 7．(2011·银川模拟)下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程y ^＝3－5x ，变量x 增加一个单位时，y 平均增加5个单位；③线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必过点(x ，y )； ④曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系；⑤在一个2×2列联表中，由计算得K 2＝13.079，则其两个变量间有关系的可能性是90%. 其中错误．．的命题是________． 8．若两个分类变量x 和y 的列联表为：y 1y 2则x与y三、解答题(共38分)9．(12分)在一次飞机航程中调查男女乘客的晕机情况，其2×2列联表如下，试判断晕机与性别是否有关？10．(12分)(2011·武汉模拟)为了考察某种药物预防疾病的效果，进行动物实验，得到如下的列联表11．(14分)(2010·全国)为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：性别是否需要志愿者男女需要 40 30 不需要160270 (1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例．(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？ (3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由．附：K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d学案59 统计案例自主梳理1．(1)y －b ^x∑ni ＝1x i －xy i －y∑ni ＝1x i －x21n ∑n i ＝1x i 1n ∑ni ＝1y i (x ，y ) (2)②正相关负相关相关性越强几乎不存在线性相关关系 0.75 2.(1)频数表(2)n ad －bc2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋da ＋b ＋c ＋d (3)K 2有关系自我检测1．A [b ^＝0时，得r ＝0，这时不具有线性相关关系，但b ^能大于0，也能小于0.] 2．C [∵a＋21＝73，∴a＝52.又a ＋22＝b ，∴b＝74.]3．A [比较K 2的值和临界值的大小，有95%的把握则K 2>3.841，K 2>6.635约有99%的把握．]4．99.5%解析因为K 2＝100×26×40－14×20240×60×46×54≈9.689>7.879，所以有99.5%的把握认为“主修统计专业与性别之间有关系”．课堂活动区例1 解题导引利用已知条件来判断两个分类变量是否具有关系，可以先假设两个变量之间有关系，再计算K 2的值，K 2的值越大说明两个变量间有关系的可能性越大，再参考临界值，从而判断两个变量有关系的可信程度．解由列联表知：a ＝26，b ＝184，c ＝50，d ＝200. ∴a＋b ＝210，c ＋d ＝250，a ＋c ＝76， b ＋d ＝384，n ＝a ＋b ＋c ＋d ＝460. ∴K 2＝n ad －bc2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d＝460×26×200－184×502210×250×76×384≈4.804.∵K 2≈4.804>3.841.∴有95%的把握认为种子灭菌与否与小麦发生黑穗病是有关系的．变式迁移1 解假设做过心脏搭桥手术与又发作心脏病没有关系．由于a ＝39，b ＝157，c ＝29，d ＝167，a ＋b ＝196， c ＋d ＝196，a ＋c ＝68，b ＋d ＝324，n ＝392，由公式可得K 2的观测值为 k ＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d＝392×39×167－157×292196×196×68×324≈1.78，因为k≈1.78<2.706，所以我们没有理由说心脏搭桥手术与又发作心脏病有关系．例2 解题导引这是一个回归分析问题，应先进行线性相关检验或作散点图来判断x 与y 是否线性相关，如果线性相关，才可以求解后面的问题，否则就使得求回归直线方程没有意义，要作相关性检验，应先利用r ＝∑ni ＝1x i y i －n x y∑n i ＝1x 2i－n x2∑ni ＝1y 2i－n y2求出样本相关系数r.利用当r>0时，两个变量正相关，当r<0时，两个变量负相关．r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强，r 的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系，通常当|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系，因而求回归直线方程才有意义．解 (1)列出下表i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x i 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 y i626875818995102108115122x i y i 620 1360 2250 3240 4450 5700 7140 8640 10350 12200 x ＝55，y ＝91.7，∑10i ＝1x 2i＝38 500，∑10i ＝1y 2i＝87 777，∑10i ＝1x i y i ＝55 950，因此r ＝∑10i ＝1x i y i －10x y∑10i ＝1x 2i－10x 2∑10i ＝1y2i －10y2＝55 950－10×55×91.738 500－10×552×87 777－10×91.72≈0.999 8，由于r ＝0.999 8>0.75，因此x 与y 之间有很强的线性相关关系．(2)设所求的回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^则有b ^＝∑10i ＝1x i y i －10x y∑10i ＝1x 2i －10x 2＝55 950－10×55×91.738 500－10×552≈0.668. a ^＝y －b ^x ＝91.7－0.668×55＝54.96.因此，所求的回归直线方程为y ^＝0.668x ＋54.96. (3)当x ＝200时，y 的估计值为y ^＝0.668×200＋54.96＝188.56≈189，因此，加工200个零件所用的工时约为189分．变式迁移2 解 (1)x ＝12.5，y ＝8.25，∑4i ＝1x i y i ＝438,4x y ＝412.5，∑4i ＝1x 2i＝660，∑4i ＝1y 2i ＝291，所以r ＝∑4i ＝1x i y i －4x y⎝⎛⎭⎫∑4i ＝1x 2i－4x 2⎝⎛⎭⎫∑4i ＝1y 2i－4y 2＝438－412.5660－625×291－272.25＝25.5656.25≈25.5025.62≈0.995 3. 因为r>0.75，所以y 与x 有很强的线性相关关系．(2)由(1)知：b ^＝∑ni ＝1x i y i －n x y∑n i ＝1x 2i－n x2＝438－412.5660－4×12.52≈0.7286，a ^ ＝y －b ^x ＝－0.8575. ∴回归直线方程为y ^＝0.728 6x －0.857 5.例3 解题导引分类变量的独立性检验是建立在2×2列联表基础之上的，因而根据题目提示的分类标准设计2×2列联表是独立性检验的关键所在．解列联表如下：疱疹面积小于70 mm 2疱疹面积不小于70 mm 2合计注射药物A a ＝70 b ＝30 100 注射药物B c ＝35 d ＝65 100 合计105 95n ＝200K 2＝200×100×100×105×95≈24.56.由于K 2>10.828，所以有99.9%的把握认为“注射药物A 后的疱疹面积与注射药物B 后的疱疹面积有差异”．变式迁移3 解对于上述四个科目，分别构造四个随机变量K 21，K 22，K 23，K 24.由表中数据可以得到语文：k 1＝244×174×13－27×302201×43×204×40≈7.294>6.635，数学：k 2＝244×178×20－23×232201×43×201×43≈30.008>10.828，英语：k 3＝244×176×19－25×242201×43×200×44≈24.155>10.828，综合科目：k 4＝244×175×17－26×262201×43×201×43≈17.264>10.828，所以，有99%的把握认为语文上线与总分上线有关系，有99.9%的把握认为数学、英语、综合科目上线与总分上线有关系，数学上线与总分上线关系最大．课后练习区1．C [在独立性检验中，随机变量K 2的取值大小可说明两个变量关系的程度．一般地随机变量K 2的值越大，两变量的相关程度越大，反之就越小．K 2>6.635说明有99%的把握认为二者有关系．]2．C [若r>0，表示两个相关变量正相关，x 增大时，y 也相应增大，故①正确．r<0，表示两个变量负相关，x 增大时，y 相应减小，故②错误．|r|越接近1，表示两个变量相关性越高，|r|＝1表示两个变量有确定的关系(即函数关系)，故③正确．]3．D [因为r>0且丁最接近1，残差平方和最小，所以丁相关性最高．] 4．A [①r 有正负，应为|r|越大，相关性越强； ②正确；③R 2越大，拟合效果越好．]5．C [由公式得K 2＝300×132×36－114×182246×54×150×150≈7.317，因为7.317>6.635，所以我们有99%的把握认为两个分类变量x 与y 有关系．] 6．5%解析 ∵K 2≈4.844，这表明小概率事件发生．根据假设检验的基本原理，应该断定“是否选修文科与性别之间有关系”成立，并且这种判断出错的可能性约为5%.7．②④⑤解析根据方差的计算公式，可知①正确；由线性回归方程的定义及最小二乘法的思想，知③正确，②④⑤不正确．8．0.999解析 K 2＝5＋15＋40＋105×10－40×1525＋1540＋105＋4015＋10≈18.822，查表知P(K 2≥10.828)≈0.001， ∴x 与y 之间有关系的概率约为1－0.001＝0.999. 9．解 K 2＝110×10×20－70×10220×90×30×80≈6.366>5.024，(5分)故有97.5%的把握认为“晕机与性别有关”．(12分) 10．解 a ＝10，b ＝45，c ＝20，d ＝30，a ＋b ＝55，c ＋d ＝50，a ＋c ＝30，b ＋d ＝75，n ＝105，(2分) K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d(4分)＝105×10×30－45×20255×50×75×30≈6.11，(8分)因为K 2＝6.11>5.024，从而有97.5%的把握认为药物有效．(12分)11．解 (1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例的估计值为70500×100%＝14%.(4分)(2)K 2＝500×40×270－30×1602200×300×70×430≈9.967.由于9.967>6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．(10分)(3)由(2)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法，比采用简单随机抽样方法更好．(14分)。

人教版高中数学高考一轮复习--用样本估计总体(课件)

2.在实际问题中,总体平均数、总体方差和总体标准差都是未知的,一般用
样本估计总体.在随机抽样中,样本平均数、样本方差和样本标准差依赖于
样本的选取,具有随机性.
频率
1.在频率分布直方图中,纵坐标表示
组距
频率
,不是频率,频率=组距×
组距
小长方形高的比等于频率比.
2.若数据 x1,x2,…,xn 的平均数为,方差为 s2,则数据 mx1+a,mx2+a,
由题意可知数据3x1+1,3x2+1,3x3+1,…,3xn+1的平均数为3×5+1=16,方差
为32×2=18.
4.(多选)已知某滑冰比赛有9位评委进行评分,第一这9位评委给出某选手
的原始评分,然后评定该选手的得分时,从9个原始评分中去掉一个最高分、
一个最低分,得到7个有效评分,则7个有效评分与9个原始评分相比,可能变
第二环节
关键能力形成
能力形成点1
频率散布直方图及其应用
例1 (202X天津,4)从一批零件中抽取80个,测量其直径(单位:mm),将所得
数据分为9组:[5.31,5.33),[5.33,5.35),…,[5.45,5.47),[5.47,5.49],并整理得到
如下频率散布直方图,则在被抽取的零件中,直径落在区间[5.43,5.47)内的
2.平均数、方差的公式推广:
(1)若数据 x1,x2,…,xn 的平均数为,则 ax1+b,ax2+b,ax3+b,…,axn+b 的平均数是
a+b.
(2)若数据 x1,x2,…,xn 的方差为 s2,则
1 2
2
2
2

【四川专用(理)】【步步高】2014届高三数学大一轮复习讲义【Word版导学案】学案21

【四川专用（理）】【步步高】2014届高三数学大一轮复习讲义【Word版导学案】学案21(α，β，α＋β，α－β均不等于k π＋π2，k ∈Z)其变形为：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．2．辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中⎩⎪⎨⎪⎧ cos φ＝，sin φ＝，tan φ＝b a ，角φ称为辅助角．自我检测1．(2019·福建)计算sin 43°cos 13°－cos43°sin 13°的结果等于 ( )A.12B.33C.22D.322．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋7π6的值是 ( )A ．－235 B.235 C ．－45D.453．函数f (x )＝sin 2x －cos 2x 的最小正周期是 ( ) A.π2 B ．π C ．2π D ．4π 4．(2019·台州月考)设0≤α<2π，若sin α>3cos α，则α的取值范围是 ( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3，π2B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3，π C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3，4π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3，3π2 5．(2019·广州模拟)已知向量a ＝(sin x ，cosx )，向量b ＝(1，3)，则|a ＋b |的最大值为( )A ．1 B. 3 C ．3 D ．9探究点一给角求值问题(三角函数式的化简、求值)例1 求值：(1)[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan10°)]2sin 280°；(2)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3·cos(θ＋15°)．变式迁移1 求值：(1)2cos 10°－sin 20°sin 70°； (2)tan(π6－θ)＋tan(π6＋θ)＋3tan(π6－θ)tan(π6＋θ)．探究点二给值求值问题(已知某角的三角函数值，求另一角的三角函数值)例2 已知0<β<π4<α<3π4，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－α＝35， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π4＋β＝513，求sin(α＋β)的值．变式迁移2 (2019·广州模拟)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋α＝2，tan β＝12. (1)求tan α的值；(2)求sin (α＋β)－2sin αcos β2sin αsin β＋cos (α＋β)的值．探究点三给值求角问题(已知某角的三角函数值，求另一角的值)例3 已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210. (1)求sin α的值； (2)求β的值．变式迁移3 (2019·岳阳模拟)若sin A ＝55，sin B ＝1010，且A 、B 均为钝角，求A ＋B 的值．转化与化归思想的应用例 (12分)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，|a －b |＝255. (1)求cos(α－β)的值；(2)若－π2<β<0<α<π2，且sin β＝－513，求sin α的值．【答题模板】解 (1)∵|a －b |＝255，∴a 2－2a·b ＋b 2＝45.[2分]又∵a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，∴a 2＝b 2＝1，a·b ＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)，[4分]故cos(α－β)＝a 2＋b 2－452＝2－452＝35.[6分] (2)∵－π2<β<0<α<π2，∴0<α－β<π.∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45.[8分] 又∵sin β＝－513，－π2<β<0，∴cos β＝1213.[9分] 故sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝45×1213＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－513＝3365.[12分] 【突破思维障碍】本题是三角函数问题与向量的综合题，唯一一个等式条件|a－b|＝255，必须从这个等式出发，利用向量知识化简再结合两角差的余弦公式可求第(1)问，在第(2)问中需要把未知角向已知角转化再利用角的范围来求，即将α变为(α－β)＋β.【易错点剖析】|a－b|平方逆用及两角差的余弦公式是易错点，把未知角转化成已知角并利用角的范围确定三角函数符号也是易错点．1．转化思想是实施三角变换的主导思想，变换包括：函数名称变换，角的变换，“1”的变换，和积变换，幂的升降变换等等．2．变换则必须熟悉公式．分清和掌握哪些公式会实现哪种变换，也要掌握各个公式的相互联系和适用条件．3．恒等变形前需已知式中角的差异，函数名称的差异，运算结构的差异，寻求联系，实现转化．4．基本技巧：切割化弦，异名化同，异角化同或尽量减少名称、角数，化为同次幂，化为比例式，化为常数．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2019·佛山模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435，则cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋2π3等于 ( ) A ．－45 B ．－35 C.35D.452．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π6－sin α＝233，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－7π6的值是 ( )A ．－233 B.233 C ．－23 D.233．(2019·宁波月考)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π6，1，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋4π3等于 ( ) A ．－34 B ．－14 C.34 D.144．函数y ＝sin x ＋cos x 图象的一条对称轴方程是 ( )A ．x ＝5π4B ．x ＝3π4C ．x ＝－π4D ．x ＝－π25．在△ABC 中，3sin A ＋4cos B ＝6,4sin B ＋3cos A ＝1，则C 的大小为 ( )A.π6B.56π C.π6或56π D.π3或23π 题号 1 2 3 4 5答案二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2019·重庆)如图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C ，各段弧所在的圆经过同一点P (点P 不在C 上)且半径相等．设第i 段弧所对的圆心角为αi (i ＝1,2,3)，则cos α13cos α2＋α33－ sin α13·sin α2＋α33＝________. 7．设sin α＝35 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2<α<π，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)＝________.8．(2019·惠州月考)已知tan α、tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且α、β∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，π2，则tan(α＋β)＝__________，α＋β的值为________．三、解答题(共38分)9．(12分)(1)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π且sin(α＋β)＝3365，cos β＝－513.求sin α； (2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值． 10．(12分)(2019·四川)(1)①证明两角和的余弦公式C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；②由C (α＋β)推导两角和的正弦公式S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.（2）已知△ABC 的面积S =12，AB →·AC →＝3，且cos B ＝35，求cos C . 11．(14分)(2019·济南模拟)设函数f (x )＝a·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin 2x )，x ∈R.(1)若函数f (x )＝1－3，且x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π3，π3，求x ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间，并在给出的坐标系中画出y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．答案自主梳理1．(1)cos αcos β－sin αsin β cos αcos β＋sin αsin β(2)sin αcos β＋cos αsin β sin αcos β－cos αsin β(3)tan α＋tan β1－tan αtan β tan α－tan β1＋tan αtan β2.a a 2＋b 2 b a 2＋b2 自我检测1．A 2.C 3.B 4.C 5.C课堂活动区例1 解题导引在三角函数求值的问题中，要注意“三看”口诀，即(1)看角，把角尽量向特殊角或可计算的角转化，合理拆角，化异为同；(2)看名称，把算式尽量化成同一名称或相近的名称，例如把所有的切都转化为弦，或把所有的弦都转化为切；(3)看式子，看式子是否满足三角函数的公式．如果满足则直接使用，如果不满足需转化一下角或转换一下名称，就可以使用．解 (1)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin 50°＋sin 10°·⎝⎛⎭⎪⎫1＋3sin 10°cos 10°·2sin80°＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2sin 50°＋sin 10°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°·2 sin 80°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin 50°＋2sin 10°·12cos 10°＋32sin 10°cos 10°·2cos 10°＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2sin 50°＋2sin 10°sin 40°cos 10°·2cos 10° ＝2sin 60°cos 10°·2cos 10°＝22sin 60° ＝22×32＝ 6. (2)原式＝sin[(θ＋45°)＋30°]＋cos(θ＋45°)－3·cos[(θ＋45°)－30°]＝32sin(θ＋45°)＋12cos(θ＋45°)＋cos(θ＋45°)－32cos(θ＋45°)－32sin(θ＋45°)＝0. 变式迁移1 解 (1)原式＝2cos (30°－20°)－sin 20°sin 70°＝3cos 20°＋sin 20°－sin 20°sin 70°＝3cos 20°sin 70°＝ 3.(2)原式＝tan[(π6－θ)＋(π6＋θ)][1－tan(π6－θ)·tan(π6＋θ)]＋3tan(π6－θ)tan(π6＋θ)＝ 3. 例2 解题导引对于给值求值问题，即由给出的某些角的三角函数的值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角”，使“所求角”变为“已知角”，若角所在象限没有确定，则应分类讨论．应注意公式的灵活运用，掌握其结构特征，还要学会拆角、拼角等技巧．解 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋α＝35， ∵0<β<π4<α<3π4， ∴π2<π4＋α<π，3π4<3π4＋β<π. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋α＝－1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋α＝－45， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π4＋β＝－1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π4＋β＝－1213. ∴sin[π＋(α＋β)]＝sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π4＋β＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π4＋β＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π4＋β ＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1213－45×513＝－5665. ∴sin(α＋β)＝5665. 变式迁移2 解 (1)由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋α＝2，得1＋tan α1－tan α＝2，即1＋tan α＝2－2tan α，∴tan α＝13. (2)sin (α＋β)－2sin αcos β2sin αsin β＋cos (α＋β) ＝sin αcos β＋cos αsin β－2sin αcos β2sin αsin β＋cos αcos β－sin αsin β＝－(sin αcos β－cos αsin β)cos αcos β＋sin αsin β＝－sin (α－β)cos (α－β) ＝－tan(α－β)＝－tan α－tan β1＋tan αtan β＝－13－121＋13×12＝17.例3 解题导引 (1)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵循以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，π2，选正弦较好． (2)解这类问题的一般步骤：①求角的某一个三角函数值；②确定角的范围；③根据角的范围写出所求的角．解 (1)∵tan α2＝12， ∴sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2·α2＝2sin α2cos α2 ＝2sin α2cos α2sin 2α2＋cos 2α2＝2tan α21＋tan 2α2＝2×121＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＝45. (2)∵0<α<π2，sin α＝45，∴cos α＝35. 又0<α<π2<β<π，∴0<β－α<π.由cos(β－α)＝210，得sin(β－α)＝7210. ∴sin β＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α ＝7210×35＋210×45＝25250＝22. 由π2<β<π得β＝34π. (或求cos β＝－22，得β＝34π) 变式迁移3 解 ∵A 、B 均为钝角且sin A ＝55，sin B ＝1010， ∴cos A ＝－1－sin 2A ＝－25＝－255， cos B ＝－1－sin 2B ＝－310＝－31010. ∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B＝－255×⎝⎛⎭⎪⎫－31010－55×1010＝22.① 又∵π2<A <π，π2<B <π， ∴π<A ＋B <2π.②由①②，知A ＋B ＝7π4. 课后练习区1．D 2.D 3.B 4.A 5.A6．－12 7.－211 8.3 －23π 9．解 (1)∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，cos β＝－513， ∴sin β＝1213.…………………………………………………………………………(2分)又∵0<α<π2，π2<β<π， ∴π2<α＋β<3π2，又sin(α＋β)＝3365， ∴cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)＝－ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫33652＝－5665，…………………………………………………………(4分)∴sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝3365·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－513－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－5665·1213＝35.…………………………………………………………(6分)(2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－171＋12×17＝13，……………………………………………………(8分)∴tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tan α＋tan (α－β)1－tan αtan (α－β)＝13＋121－13×12＝1.……………………………………………………(10分)∵α，β∈(0，π)，tan α＝13<1，tan β＝－17<0， ∴0<α<π4，π2<β<π， ∴－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4.……………………………………………………(12分)10．(1)①证明如图，在直角坐标系xOy 内作单位圆O ，并作出角α、β与－β，使角α的始边为Ox ，交⊙O 于点P 1，终边交⊙O 于点P 2；角β的始边为OP 2，终边交⊙O 于点P 3；角－β的始边为OP 1，终边交⊙O 于点P 4.则P 1(1,0)，P 2(cos α，sin α)，P 3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，P 4(cos(－β)，sin(－β))，…………………………………………………………………………………………(2分)由|P 1P 3|＝|P 2P 4|及两点间的距离公式，得[cos(α＋β)－1]2＋sin 2(α＋β)＝[cos(－β)－cos α]2＋[sin(－β)－sin α]2，展开并整理得：2－2cos(α＋β)＝2－2(cos αcos β－sin αsin β)，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.……………………………………………………(4分)②解由①易得，cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2－α＝sin α， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－α＝cos α.sin(α＋β)＝cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π2－(α＋β) ＝cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－α＋(－β) ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－αcos(－β)－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－αsin(－β) ＝sin αcos β＋cos αsin β.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.……………………………………………………(7分)(2)解由题意，设△ABC 的角B 、C 的对边分别为b 、c .则S ＝12bc sin A ＝12， AB →·AC→＝bc cos A ＝3>0， ∴A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，cos A ＝3sinA ，……………………………………………………………(9分)又sin 2A ＋cos 2A ＝1，∴sin A ＝1010，cos A ＝31010，由cos B ＝35，得sin B ＝45.∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝1010. ……………………………………………………………………………………………(11分)故cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－1010. ……………………………………………………………………………………………(12分)11．解 (1)依题设得f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6＋1. 由2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6＋1＝1－3，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6＝－32.……………………………………………………………………(3分)∵－π3≤x ≤π3，∴－π2≤2x ＋π6≤5π6. ∴2x ＋π6＝－π3，即x ＝－π4.………………………………………………………………(6分)(2)－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π (k ∈Z)，即－π3＋k π≤x ≤π6＋k π (k ∈Z)，得函数单调增区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π (k ∈Z)．……………………………………(10分)列表： x 0 π6 π3 π2 2π3 5π6π y 2 3 2 0 －10 2 描点连线，得函数图象如图所示：…………………………………………………………………………………………(14分)。

人教版高三数学一轮复习精品课件4：11.2 用样本估计总体

[类题通法] 在频率分布直方图中，小矩形的高等于每一组的频率/
组距，每个小矩形的面积等于这一组的频率，所有小矩形的面积之和为1.
[典例] (2013·重庆高考改编)以下茎叶图记录了甲、乙两组
各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组
数据的中位数为 15，乙组数据的平均数为 16.8，则 x，y 的值分
[针对训练]
(2014·济南模拟)某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同
一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了 10 株树苗，用茎叶
图表示上述两组数据，对两块地抽取树苗的高度的平均数 x 甲、 x
乙和中位数 y 甲、y 乙进行比较，则－x 甲________－x 乙，y 甲________y
君不见，黄河之水天上来，奔流到海不复回。君不见，高堂明镜悲白发，朝如青丝暮成雪。人生得意须尽欢，莫使金樽空对月。天生我材必有用，千金散尽还复来。烹羊宰牛且为乐，会须一饮三百杯。岑夫子，丹丘生，将进酒，杯莫停。与君歌一曲，请君为我倾耳听。钟鼓馔玉不足贵，但愿长醉不复醒。古来圣贤皆寂寞，惟有饮者留其名。陈王昔时宴平乐，斗酒十千恣欢谑。主人何为言少钱，径须沽取对君酌。五花马，千金裘，呼儿将出换美酒，与尔同销万古愁
生，将他们的模块测试成绩分成 6 组：[40,50)，[50,60)，[60,70)， [70,80)，[80,90)，[90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生 600 名，据此估计，该模块测试成绩不少于 60 分的学生人数为________．
解析：甲、乙两班成绩按大小顺序排列，处在最中间的数分别
为 87、89，故它们之差的绝对值是 2. 答案：2
[典例] (2013·江苏高考)抽样统计甲、乙两位射击运动员

【四川专用(理)】【步步高】2014届高三数学大一轮复习讲义【Word版导学案】学案20

【四川专用（理）】【步步高】2014届高三数学大一轮复习讲义【Word版导学案】学案20学案20函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用导学目标： 1.了解函数y＝A sin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝A sin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．自主梳理1．用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点．如下表所示．XΩx＋φy＝A sin(ωx＋φ)0 A 0－A2.图象变换：函数y＝A sin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象可由函数y＝sin x的图象作如下变换得到：（1）相位变换：y＝sin x y＝sin(x＋φ)，把y＝sin x图象上所有的点向____(φ>0)或向____(φ<0)平行移动__________个单位．（2）周期变换：y＝sin(x＋φ)→y＝sin(ωx ＋φ)，把y＝sin(x＋φ)图象上各点的横坐标____(0<ω<1)或____(ω>1)到原来的________倍(纵坐标不变)．个值是 ( )A.π2B.3π8C.π4D.π83．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx的图象，只要将y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π8个单位长度 B ．向右平移π8个单位长度 C ．向左平移π4个单位长度 D ．向右平移π4个单位长度 4．(2019·太原高三调研)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3的一条对称轴方程是 ( )A ．x ＝π6B ．x ＝π3C ．x ＝π12D ．x ＝5π125．(2019·六安月考)若动直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 的图象分别交于M 、N 两点，则|MN |的最大值为( )A ．1 B. 2 C . 3 D ．2探究点一三角函数的图象及变换例1 已知函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3. (1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．变式迁移1 设f (x )＝12cos 2x ＋3sin x cos x ＋32sin 2x (x ∈R)． (1)画出f (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π2，π2上的图象； (2)求函数的单调增减区间；(3)如何由y ＝sin x 的图象变换得到f (x )的图象？探究点二求y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R)的图象的一部分如图所示．求函数f (x )的解析式．变式迁移2 (2019·宁波模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象与y 轴的交点为(0,1)，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x 0,2)和(x 0＋2π，－2)．(1)求f (x )的解析式及x 0的值；(2)若锐角θ满足cos θ＝13，求f (4θ)的值．探究点三三角函数模型的简单应用例3 已知海湾内海浪的高度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作y ＝f (t )．下表是某日各时刻记录的浪高数据：t 0 3 6 9 12 15 18 21 24y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5经长期观测，y ＝f (t )的曲线可近似地看成是函数y ＝A cos ωt ＋b .(1)根据以上数据，求函数y ＝A cos ωt ＋b 的最小正周期T ，振幅A 及函数表达式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8∶00至晚上20∶00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？变式迁移3 交流电的电压E (单位：伏)与时间t (单位：秒)的关系可用E ＝2203sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫100πt ＋π6表示，求： (1)开始时的电压；(2)最大电压值重复出现一次的时间间隔；(3)电压的最大值和第一次取得最大值时的时间．数形结合思想的应用例 (12分)设关于θ的方程3cos θ＋sin θ＋a ＝0在区间(0,2π)内有相异的两个实根α、β.(1)求实数a 的取值范围；(2)求α＋β的值．【答题模板】解 (1)原方程可化为sin(θ＋π3)＝－a 2，作出函数y ＝sin(x ＋π3)(x ∈(0,2π))的图象． [3分]由图知，方程在(0,2π)内有相异实根α，β的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ －1<－a 2<1－a 2≠32. 即－2<a <－3或－3<a <2.[6分](2)由图知：当－3<a <2，即－a 2∈(－1，32)时，直线y ＝－a 2与三角函数y ＝sin(x ＋π3)的图象交于C 、D 两点，它们中点的横坐标为76π，∴α＋β2＝7π6， ∴α＋β＝7π3.[8分]当－2<a <－3，即－a 2∈(32，1)时，直线y ＝－a 2与三角函数y ＝sin(x ＋π3)的图象有两交点A 、B ，由对称性知，α＋β2＝π6，∴α＋β＝π3.[11分] 综上所述，α＋β＝π3或α＋β＝73π. [12分] 【突破思维障碍】在解决三角函数的有关问题时，若把三角函数的性质融于函数的图象之中，将数(量)与图形结合起来进行分析、研究，可使抽象复杂的数理关系通过几何图形直观地表现出来，这是解决三角函数问题的一种有效的解题策略．图象的应用主要有以下几个方面：①比较大小；②求单调区间；③解不等式；④确定方程根的个数．如判断方程sin x ＝x 的实根个数；⑤对称问题等．【易错点剖析】此题若不用数形结合法，用三角函数有界性求a 的范围，不仅过程繁琐，而且很容易漏掉a ≠－3的限制，而从图象中可以清楚地看出当a ＝－3时，方程只有一解．1．从“整体换元”的思想认识、理解、运用“五点法作图”，尤其在求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间、解析式等相关问题中要充分理解基本函数y ＝sin x 的作用．2．三角函数自身综合问题：要以课本为主，充分掌握公式之间的内在联系，从函数名称、角度、式子结构等方面观察，寻找联系，结合单位圆或函数图象等分析解决问题．3．三角函数模型应用的解题步骤：(1)根据图象建立解析式或根据解析式作出图象．(2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．(3)利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移π3个单位，得到的图象对应的解析式是 ( )A ．y ＝sin 12x B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x －π2 C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x －π6 D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6 2．(2019·银川调研)如图所示的是某函数图象的一部分，则此函数是 ( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6 C ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4x －π3 D ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6 3．为得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象 ( )A ．向左平移5π12个单位长度 B ．向右平移5π12个单位长度 C ．向左平移5π6个单位长度 D ．向右平移5π6个单位长度4．(2009·辽宁)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象如图所示，f (π2)＝－23，则f (0)等于 ( )A ．－23B ．－12C.23D.12 5．(2019·烟台月考)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m (A >0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则它的解析式是 ( )A ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫4x ＋π6 B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3＋2C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4x ＋π3＋2 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫4x ＋π＋2 题号 1 2 3 4 5 答案二、填空题(每小题4分，共12分) 6．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ) (ω>0，－π≤φ<π)的图象如图所示，则φ＝________.7．(2019·潍坊五校联考)函数f (x )＝cos 2x 的图象向左平移π4个单位长度后得到g (x )的图象，则g (x )＝______.8．(2019·福建)已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是____________．三、解答题(共38分) 9．(12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R)的图象的一部分如下图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈[－6，－23]时，求函数y ＝f (x )＋f (x＋2)的最大值与最小值及相应的x 的值．10．(12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，0<ω≤2且0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象过点M (0,2)．又f (x )的图象关于点N ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π4，0对称且在区间[0，π]上是减函数，求f (x )的解析式．11．(14分)(2019·山东)已知函数f (x )＝sin(π－ωx )·cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π，(1)求ω的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数y ＝g (x )在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π16上的最小值．答案自主梳理1.0－φω π2－φω π－φω 3π2－φω 2π－φω 0 π2 π 3π2 2π 2.(1)左右 |φ| (2)伸长缩短 1ω(3)伸长缩短 A 3.A 2πω 1T ωx ＋φ φ 2π|ω| π|ω|自我检测1．B 2.D 3.A 4.D 5.B 课堂活动区例1 解题导引 (1)作三角函数图象的基本方法就是五点法，此法注意在作出一个周期上的简图后，应向两边伸展一下，以示整个定义域上的图象；(2)变换法作图象的关键是看x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx ＋φ＝ω⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋φω来确定平移单位．解 (1)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3的振幅A ＝2，周期T ＝2π2＝π，初相φ＝π3. (2)令X ＝2x ＋π3，则y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3＝2sin X .列表：X －π6π12 π3 7π12 5π6 X 0 π2 π 3π2 2πy ＝sin X 01 0－1 0y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3 0 2 0－2描点连线，得图象如图所示：(3)将y ＝sin x 的图象上每一点的横坐标x 缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin 2x 的图象；再将y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位，得到y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3的图象；再将y＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3的图象．变式迁移1 解 y ＝12·1＋cos 2x 2＋32sin 2x＋32·1－cos 2x 2＝1＋32sin 2x －12cos 2x ＝1＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6.(1)(五点法)设X ＝2x －π6，则x ＝12X ＋π12，令X ＝0，π2，π，3π2，2π，于是五点分别为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π12，1，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3，2，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫7π12，1，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5π6，0，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13π12，1，描点连线即可得图象，如下图．(2)由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得单调增区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π6＋k π，k π＋π3，k ∈Z.由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得单调减区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π3＋k π，k π＋5π6，k ∈Z. (3)把y ＝sin x 的图象向右平移π6个单位；再把横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)；最后把所得图象向上平移1个单位即得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6＋1的图象．例2 解题导引确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的解析式的步骤：(1)求A ，b .确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m 2.(2)求ω.确定函数的周期T ，则ω＝2πT .(3)求参数φ是本题的关键，由特殊点求φ时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点．解由图象可知A ＝2，T ＝8.∴ω＝2πT ＝2π8＝π4.方法一由图象过点(1,2)，得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4×1＋φ＝2，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π4＋φ＝1.∵|φ|<π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4x ＋π4. 方法二 ∵点(1,2)对应“五点”中的第二个点．∴π4×1＋φ＝π2，∴φ＝π4， ∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4x ＋π4. 变式迁移2 解 (1)由题意可得：A ＝2，T 2＝2π，即2πω＝4π，∴ω＝12，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ＋φ，f (0)＝2sin φ＝1，由|φ|<π2，∴φ＝π6.∴f (x )＝2sin(12x ＋π6)．f (x 0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x 0＋π6＝2，所以12x 0＋π6＝2k π＋π2，x 0＝4k π＋2π3(k ∈Z)，又∵x 0是最小的正数，∴x 0＝2π3.(2)f (4θ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2θ＋π6＝3sin 2θ＋cos 2θ，∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，cos θ＝13，∴sin θ＝223，∴cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－79，sin 2θ＝2sin θcos θ＝429，∴f (4θ)＝3×429－79＝46－79.例3 解题导引 (1)三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面，一是已知函数模型，如本例，关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．(2)如何从表格中得到A 、ω、b 的值是解题的关键也是易错点，同时第二问中解三角不等式也是易错点．(3)对于三角函数模型y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)中参数的确定有如下结论：①A ＝y max －y min 2；②k ＝y max ＋y min 2；③ω＝2πT ；④φ由特殊点确定．解 (1)由表中数据，知周期T ＝12，∴ω＝2πT ＝2π12＝π6，由t ＝0，y ＝1.5，得A ＋b ＝1.5；由t ＝3，y ＝1.0，得b ＝1.0，∴A ＝0.5，b ＝1，∴y ＝12cos π6t ＋1.(2)由题知，当y >1时才可对冲浪者开放， ∴12cos π6t ＋1>1，∴cos π6t >0， ∴2k π－π2<π6t <2k π＋π2，k ∈Z ，即12k －3<t <12k ＋3，k ∈Z.①∵0≤t ≤24，故可令①中的k 分别为0,1,2，得0≤t <3，或9<t <15，或21<t ≤24. ∴在规定时间上午8∶00至晚上20∶00之间，有6个小时的时间可供冲浪者运动，即上午9∶00至下午3∶00.变式迁移3 解 (1)t ＝0时，E ＝2203sin π6＝1103(伏)． (2)T ＝2π100π＝0.02(秒)．(3)当100πt ＋π6＝π2，t ＝1300秒时，第一次取得最大值，电压的最大值为2203伏．课后练习区1．C 2.D 3.A 4.C 5.D 6.9π107．－sin 2x 8.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－32，3 9．解 (1)由图象知A ＝2，∵T ＝2πω＝8，∴ω＝π4.……………………………………………………………………(2分)又图象经过点(－1,0)，∴2sin(－π4＋φ)＝0.∵|φ|<π2，∴φ＝π4.∴f (x )＝2sin(π4x ＋π4)．………………………………………………………………………(5分)(2)y ＝f (x )＋f (x ＋2)＝2sin(π4x ＋π4)＋2sin(π4x ＋π2＋π4)＝22sin(π4x ＋π2)＝22cosπ4x .……………………………………………………………(8分)∵x ∈[－6，－23]，∴－3π2≤π4x ≤－π6.∴当π4x ＝－π6，即x ＝－23时，y ＝f (x )＋f (x ＋2)取得最大值6；当π4x ＝－π，即x ＝－4时，y ＝f (x )＋f (x ＋2)取得最小值－2 2.………………………(12分)10．解根据f (x )是R 上的偶函数，图象过点M (0,2)，可得f (－x )＝f (x )且A ＝2，则有2sin(－ωx ＋φ)＝2sin(ωx ＋φ)，即sin ωx cos φ＝0，∴cos φ＝0，即φ＝k π＋π2(k ∈Z)．而0≤φ≤π，∴φ＝π2.………………………………………………………………………(4分)再由f (x )＝2sin(－ωx ＋π2)＝2cos ωx 的图象关于点N ⎝⎛⎭⎪⎪⎫3π4，0对称，f (3π4)＝2cos(3ω4π)＝0∴cos 3ω4π＝0，……………………………………………………………………………(8分)即3ω4π＝k π＋π2 (k ∈Z)，ω＝43⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k ＋12 (k ∈Z)．又0<ω≤2，∴ω＝23或ω＝2.……………………………………………………………(10分)最后根据f (x )在区间[0，π]上是减函数，可知只有ω＝23满足条件．所以f (x )＝2cos23x .………………………………………………………………………(12分)11．解 (1)f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx ＝sin ωx cos ωx ＋1＋cos 2ωx 2＝12sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋12＝22sin⎝⎛⎭⎪⎪⎫2ωx ＋π4＋12.……………………………………………………………………(6分)由于ω>0，依题意得2π2ω＝π，所以ω＝1.………………………………………………(8分)(2)由(1)知f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π4＋12，所以g (x )＝f (2x ) ＝22sin⎝⎛⎭⎪⎪⎫4x ＋π4＋12.……………………………………………………………………(10分)当0≤x ≤π16时，π4≤4x ＋π4≤π2.所以22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫4x ＋π4≤1. 因此1≤g (x )≤1＋22，…………………………………………………………………(13分)所以g (x )在此区间内的最小值为1.…………………………………………………(14分)。

【四川专用(理)】【步步高】2014届高三数学大一轮复习讲义【Word版导学案】学案19

【四川专用（理）】【步步高】2014届高三数学大一轮复习讲义【Word版导学案】学案19学案19 三角函数的图象与性质导学目标： 1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝⎛⎭⎪⎪⎫－π2，π2内的单调性．自主梳理 1．三角函数的图象和性质函数 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x图象定义域值域周期性奇偶性A ．1B ．2C ．3D ．42．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3图象的对称轴方程可能是 ( )A ．x ＝－π6B ．x ＝－π12C ．x ＝π6D ．x ＝π123．(2019·湖北)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为 ( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π 4．(2019·北京海淀高三上学期期中考试)函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos 2x 的最小正周期为( )A ．4πB ．3πC ．2πD ．π5．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为 ( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2探究点一求三角函数的定义域例1 (2019·衡水月考)求函数y ＝2＋log 12x ＋tan x 的定义域．变式迁移1 函数y ＝1－2cos x ＋lg(2sin x－1)的定义域为________________________．探究点二三角函数的单调性例2 求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－x 的单调区间．变式迁移2 (2019·南平月考)(1)求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π3－2x ，x ∈[－π，π]的单调递减区间； (2)求函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6－x 4的周期及单调区间．探究点三三角函数的值域与最值例3 已知函数f (x )＝2a sin(2x －π3)＋b 的定义域为[0，π2]，函数的最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．变式迁移3 设函数f (x )＝a cos x ＋b 的最大值是1，最小值是－3，试确定g (x )＝b sin(ax ＋π3)的周期．转化与化归思想的应用例 (12分)求下列函数的值域：(1)y ＝－2sin 2x ＋2cos x ＋2；(2)y ＝3cos x －3sin x ，x ∈[0，π2]； (3)y ＝sin x ＋cos x ＋sin x cos x .【答题模板】解 (1)y ＝－2sin 2x ＋2cos x ＋2＝2cos 2x ＋2cos x＝2(cos x ＋12)2－12，cos x ∈[－1,1]．当cos x ＝1时，y max ＝4，当cos x ＝－12时，y min ＝－12，故函数值域为[－12，4]．[4分] (2)y ＝3cos x －3sin x ＝23cos(x ＋π6) ∵x ∈[0，π2]，∴π6≤x ＋π6≤2π3， ∵y ＝cos x 在[π6，2π3]上单调递减， ∴－12≤cos(x ＋π6)≤32∴－3≤y ≤3，故函数值域为[－3，3]．[8分](3)令t ＝sin x ＋cos x ，则sin x cos x ＝t 2－12，且|t |≤ 2.∴y ＝t ＋t 2－12＝12(t ＋1)2－1，∴当t ＝－1时，y min ＝－1；当t ＝2时，y max ＝12＋ 2.∴函数值域为[－1，1＋2]．[12分]2【突破思维障碍】1．对于形如f(x)＝A sin(ωx＋φ)，x∈[a，b]的函数在求值域时，需先确定ωx＋φ的范围，再求值域．同时，对于形如y＝a sin ωx＋b cos ωx＋c的函数，可借助辅助角公式，将函数化为y＝a2＋b2sin(ωx＋φ)＋c的形式，从而求得函数的最值．2．关于y＝a cos2x＋b cos x＋c(或y＝a sin2x ＋b sin x＋c)型或可以为此型的函数求值域，一般可化为二次函数在闭区间上的值域问题．提醒：不论用什么方法，切忌忽略函数的定义域．1．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的定义、图象和性质是研究三角问题的基础，三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提，求三角函数的定义域实质上就是解最简单的三角不等式(组)．2．三角函数的值域问题，实质上是含有三角函数的复合函数的值域问题．3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx ＋φ看作一个整体，利用y ＝sin x 的单调区间来求．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2019·黄山月考)已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为[－1，12]，则b －a 的值不可能是( )A.π3B.2π3 C ．π D.4π32．(2019·安徽6校高三联考)已知函数y ＝tan ωx (ω>0)与直线y ＝a 相交于A 、B 两点，且|AB |最小值为π，则函数f (x )＝3sin ωx －cos ωx 的单调增区间是 ( )A.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2k π－π6，2k π＋π6 (k ∈Z) B.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3 (k ∈Z) C.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2k π－2π3，2k π＋π3 (k ∈Z) D.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2k π－π6，2k π＋5π6 (k ∈Z) 3．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻的两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4的值是( )A ．0B ．1C ．－1 D.π44．函数y ＝－x cos x 的部分图象是图中( )5．(2019·三明模拟)若函数y ＝sin x ＋f (x )在[－π4，3π4]上单调递增，则函数f (x )可以是( ) A ．1 B ．cos x 题号 1 2 3 4 5答案二、填空题(每小题4分，共12分)6．设点P 是函数f (x )＝sin ωx 的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴的距离的最小值是π8，则f (x )的最小正周期是________．7．函数f (x )＝2sin x 4对于任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值为________．8．(2019·江苏)定义在区间⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2上的函数y ＝6cos x 的图象与y ＝5tan x 的图象的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与y ＝sin x 的图象交于点P 2，则线段P 1P 2的长为________．三、解答题(共38分)9．(12分)(2019·厦门月考)已知函数f (x )＝2cos 4x －3cos 2x ＋1cos 2x，求它的定义域和值域，并判断它的奇偶性．10．(12分)(2019·福建改编)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋π6)＋a (ω>0)与g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )的单调递减区间；(3)当x ∈[0，π2]时，f (x )的最小值为－2，求a 的值．11．(14分)(2019·安徽合肥高三二模)已知向量a ＝(sin x ，23sin x )，b ＝(2cos x ，sin x )，定义f (x )＝a·b － 3.(1)求函数y ＝f (x )，x ∈R 的单调递减区间；(2)若函数y ＝f (x ＋θ) (0<θ<π2)为偶函数，求θ的值．答案自主梳理1．R R {x |x ≠k π＋π2，k ∈Z} [－1,1] [－1,1] R 2π 2π π 奇函数偶函数奇函数 [2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z) [2k π＋π2，2k π＋32π](k ∈Z) [2k π－π，2k π](k ∈Z) [2k π，2k π＋π](k ∈Z) (k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z)2．2k π＋π2(k ∈Z) 2k π－π2(k ∈Z) 3.2k π(k∈Z) 2k π＋π(k ∈Z) 4.(k π，0)(k ∈Z) ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k π＋π2，0(k ∈Z) ⎝⎛⎭⎪⎪⎫k π2，0(k ∈Z) 5.x ＝k π＋π2(k ∈Z) x ＝k π(k ∈Z)自我检测1．C 2.D 3.D 4.D 5.A 课堂活动区例1 解题导引求三角函数的定义域时，需要转化为三角不等式(组)求解，常常借助于三角函数的图象和周期解决，求交集时可以利用单位圆，对于周期相同的可以先求交集再加周期的整数倍即可．解要使函数有意义，则⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧2＋log 12x ≥0，x >0，tan x ≥0，x ≠k π＋π2 (k ∈Z )，得⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤4，k π≤x <k π＋π2(k ∈Z ). 所以函数的定义域为 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |0<x <π2或π≤x ≤4. 变式迁移1 ⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫π3＋2k π，5π6＋2k π，k ∈Z 解析由题意得⎩⎨⎧1－2cos x ≥02sin x －1>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧cos x ≤12sin x >12，解得⎩⎪⎨⎪⎧π3＋2k π≤x ≤5π3＋2k π，k ∈Zπ6＋2k π<x <5π6＋2k π，k ∈Z ，即x ∈⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫π3＋2k π，5π6＋2k π，k ∈Z. 例2 解题导引求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中A ≠0，ω>0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“ωx ＋φ (ω>0)”视为一个“整体”；②A >0 (A <0)时，所列不等式的方向与y ＝sin x (x ∈R)，y ＝cos x (x ∈R)的单调区间对应的不等式方向相同(反)．解 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－x 可看作是由y ＝2sin u 与u ＝π4－x 复合而成的．又∵u ＝π4－x 为减函数，∴由2k π－π2≤u ≤2k π＋π2(k ∈Z)，即2k π－π2≤π4－x ≤2k π＋π2 (k ∈Z)，得－2k π－π4≤x ≤－2k π＋3π4(k ∈Z)，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2k π－π4，－2k π＋3π4(k ∈Z)为 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－x 的递减区间．由2k π＋π2≤u ≤2k π＋3π2 (k ∈Z)，即2k π＋π2≤π4－x ≤2k π＋3π2 (k ∈Z)，得－2k π－5π4≤x ≤－2k π－π4(k ∈Z)，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2k π－5π4，－2k π－π4(k ∈Z)为 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－x 的递增区间．综上可知，y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－x 的递增区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2k π－5π4，－2k π－π4(k ∈Z)；递减区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2k π－π4，－2k π＋3π4 (k ∈Z)．变式迁移2 解 (1)由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3－2x ，得y ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3，由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，又x ∈[－π，π]，∴－π≤x ≤－712π，－π12≤x ≤512π，1112π≤x ≤π.∴函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π3－2x ，x ∈[－π，π]的单调递减区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π，－712π，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π12，512π，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1112π，π. (2)函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6－x 4的周期 T ＝π⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－14＝4π. 由y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6－x 4得y ＝－3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 4－π6，由－π2＋k π<x 4－π6<π2＋k π得－43π＋4k π<x <83π＋4k π，k ∈Z ， ∴函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6－x 4的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－43π＋4k π，83π＋4k π (k ∈Z)．例3 解题导引解决此类问题，首先利用正弦函数、余弦函数的有界性或单调性求出y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的最值，再由方程的思想解决问题．解 ∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤23π，∴－32≤sin(2x －π3)≤1，若a >0，则⎩⎨⎧2a ＋b ＝1－3a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧a ＝12－63b ＝－23＋123；若a <0，则⎩⎨⎧2a ＋b ＝－5－3a ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝－12＋63b ＝19－123.综上可知，a ＝12－63，b ＝－23＋12 3 或a ＝－12＋63，b ＝19－12 3. 变式迁移3 解 ∵x ∈R ， ∴cos x ∈[－1,1]，若a >0，则⎩⎨⎧ a ＋b ＝1－a ＋b ＝－3，解得⎩⎨⎧a ＝2b ＝－1；若a <0，则⎩⎨⎧ a ＋b ＝－3－a ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝－2b ＝－1.所以g (x )＝－sin(2x ＋π3)或g (x )＝－sin(－2x＋π3)，周期为π. 课后练习区1．A [画出函数y ＝sin x 的草图(图略)，分析知b －a 的取值范围为[2π3，4π3]，故选A.]2．B [由题意知，函数的最小正周期为π，则ω＝1，故f (x )＝3sin ωx －cos ωx＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π6的单调增区间满足：2k π－π2≤x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z)解得2k π－π3≤x ≤2k π＋2π3.]3．A 4．D5．D [因为y ＝sin x －cos x ＝2sin(x －π4)，－π2≤x －π4≤π2，即－π4≤x ≤3π4，满足题意，所以函数f (x )可以是－cos x ．]6.π2解析依题意得T 4＝π8，所以最小正周期T ＝π2. 7．4π 解析由f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)知，f (x 1)、f (x 2)分别为f (x )的最小值和最大值，而当x 4＝2k π－π2，即x ＝8k π－2π (k ∈Z)时，f (x )取最小值；而x4＝2k π＋π2，即x ＝8k π＋2π (k ∈Z)时，f (x )取最大值，∴|x 1－x 2|的最小值为4π. 8.23解析线段P 1P 2的长即为sin x 的值，且其中的x 满足6cos x ＝5tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，解得sin x ＝23.所以线段P 1P 2的长为23. 9．解由题意知cos 2x ≠0，得2x ≠k π＋π2，解得x ≠k π2＋π4(k ∈Z)．∴f (x )的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠k π2＋π4，k∈Z}．……………………………………………………………………………………………(3分)又f (x )＝2cos 4x －3cos 2x ＋1cos 2x＝(2cos 2x －1)(cos 2x －1)2cos 2x －1 ＝cos 2x－1＝－sin 2x ，……………………………………………………………………(6分)又∵定义域关于原点对称， ∴f (x )是偶函数．…………………………………………………………………………(8分)显然－sin 2x ∈[－1,0]，又∵x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，∴－sin 2x ≠－12.∴原函数的值域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y |－1≤y <－12或－12<y ≤0.……………………………………………………………(12分)10．解 (1)∵f (x )和g (x )的对称轴完全相同， ∴二者的周期相同，即ω＝2，f (x )＝2sin(2x ＋π6)＋a (3分) ∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.…………………………………………………………(4分)(2)当2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，即k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z)时，函数f (x )单调递减，故函数f (x )的单调递减区间为[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z)．…………………………………………………………………(8分)(3)当x ∈[0，π2]时，2x ＋π6∈[π6，7π6]，…………………………………………………(10分)∴2sin(2·π2＋π6)＋a ＝－2， ∴a ＝－1.………………………………………………………………………………(12分)11．解 f (x )＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3＝sin 2x ＋23·1－cos 2x 2－ 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3.………………………………………………………(4分)(1)令2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，解得单调递减区间是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z.……………………………………………………………………………………………(8分)(2)f (x ＋θ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋2θ－π3. 根据三角函数图象性质可知，y ＝f (x ＋θ) ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0<θ<π2在x ＝0处取最值， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2θ－π3＝±1， ∴2θ－π3＝k π＋π2，θ＝k π2＋5π12，k ∈Z.……………………………………………………(12分)又0<θ<π2，解得θ＝5π12.…………………………………………………………………(14分)。

人教版高三数学一轮复习精品课件2：11.2 用样本估计总体

(4)这组数据为 87,87,94,90,91,90,90＋x,99,91，最高分为 99，最低分为 87，剩余数据为 87,94,90,91,90,90＋x,91.
17(87＋94＋90＋91＋90＋90＋x＋91)＝91，所以 x＝4. 方差为17[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90 －91)2＋(94－91)2＋(91－91)2] ＝376.故选 B. [答案] (1)A (2)C (3)D (4)B
• 【失误与防范】
频率分布直方图的纵坐标为频率/组距，每一个小矩形的面积表示样本个体落在该区间内的频率；条形图的纵坐标为频数或频率，把直方图视为条形图是常见的错误．
A．甲网店的极差大于乙网店的极差 B．甲网店的中位数是46 C．乙网店的众数是42 D．甲网店的销售业绩好 (4)(2013·山东高考)将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1 个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场作的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：
则 7 个剩余分数的方差为( )
第十一章统计、统计案例
11.2 用样本估计总体
考纲要求
1．了解分布的意义与作用，能根据频率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点． 2．理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差． 3．能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并做出合理的解释． 4．会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想． 5．会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题．
2．茎叶图、频率分布表和频率分布直方图都是用来描述样本数据的分布情况的．茎叶图由所有样本数据构成，没有损失任何样本信息，可以随时记录；而频率分布表和频率分布直方图则损失了样本的一些信息，必须在完成抽样后才能制作．

高考(新课标)数学(理)一轮复习教师用书§11.2 用样本估计总体 Word版含解析

§用样本估计总体．用样本的频率分布估计总体分布()通常我们对总体作出的估计一般分成两种：一种是用样本的估计总体的；另一种是用样本的估计总体的．()在频率分布直方图中，纵轴表示，数据落在各小组内的频率用表示．各小长方形的面积总和等于．()连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布．随着样本容量的增加，作图时所分的增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称之为，它能够更加精细地反映出．()当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以，而且可以，给数据的记录和表示都带来方便．．用样本的数字特征估计总体的数字特征()众数，中位数，平均数众数：在一组数据中，出现次数的数据叫做这组数据的众数．中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或者最中间两个数据的)叫做这组数据的中位数．平均数：样本数据的算术平均数，即＝．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该．()样本方差，样本标准差标准差＝，其中是，是，是．标准差是反映总体的特征数，样本方差是样本标准差的．通常用样本方差估计总体方差，当样本容量接近总体容量时，样本方差很接近总体方差．自查自纠．()频率分布分布数字特征数字特征()各小长方形的面积()折线图组数总体密度曲线总体在各个范围内取值的百分比()保留所有信息随时记录．()最多平均数(＋＋…＋) 相等()样本数据的第项样本容量平均数波动大小平方在频率分布直方图中，各个长方形的面积表示( )．落在相应各组的数据的频数．相应各组数据的频率．该样本所分成的组数．该样本的样本容量解：在频率分布直方图中，小长方形面积＝组距×＝频率，所以每个小长方形的面积是相应各组数据的频率．故选.()某中学初中部共有名教师，高中部共有名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为()．．．．解：由扇形统计图可得，该校女教师人数为×＋×(－)＝.故选.有一个容量为的样本，数据的分组及各组的频数如下：[，) [，) [，)[，) [，)[，)[，) [，)根据样本的频率分布估计，数据落在[，)的概率约是( )解：落在[，)的频数为，所以概率约为.故选.()某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的.在一次考试中，男、女生平均分数分别为，，则这次考试该年级学生平均分数为．解：该年级学生平均分数为＝×＋×＝.故填.()在一次马拉松比赛中，名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示.若将运动员按成绩由好到差编为～号，再用系统抽样方法从中抽取人，则其中成绩在区间[，]上的运动员人数是．解：由题意可知，这名运动员的分组情况为，第一组(，，，，)，第二组(，，，，)，第三组(，，，，)，第四组(，，，，)，第五组(，，，，)，第六组(，，，，)，第七组(，，，，)，故成绩在区间[，]上的运动员恰有组，故所求人数为.故填.类型一数字特征及其应用()某工厂名工人的年龄数据如下表：。

【四川专用(理)】【步步高】2014届高三数学大一轮复习讲义【配套Word版文档】4.7-最新教学文档

§4.7解三角形应用举例2019高考会这样考考查利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中和三角形有关的角度、方向、距离等测量问题．复习备考要这样做 1.会从实际问题抽象中解三角形问题，培养建模能力；2.掌握解三角形实际应用的基本方法，体会数学在实际问题中的应用．1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．2．实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．(3)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值．3．解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．[难点正本疑点清源]解三角形应用题的两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．1．在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°，C点的俯角是70°，则∠BAC＝________.答案130°解析由已知∠BAD ＝60°，∠CAD ＝70°，∴∠BAC ＝60°＋70°＝130°.2． (2019·上海)在相距2千米的A ，B 两点处测量目标C ，若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A ，C 两点之间的距离是__________千米．答案 6解析如图所示，由题意知∠C ＝45°，由正弦定理得AC sin 60°＝2sin 45°， ∴AC ＝222·32＝ 6. 3．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________ m. 答案 10 3解析如图，OA 为炮台，M 、N 为两条船的位置，∠AMO ＝45°，∠ANO＝60°，OM ＝AO tan 45°＝30，ON ＝AO tan 30°＝33×30＝103，由余弦定理得，MN ＝900＋300－2×30×103×32＝300＝103(m)． 4．某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为45°，沿倾斜角为30°的斜坡前进1 000 m 后到达D 处，又测得山顶的仰角为60°，则山的高度BC 为____________ m.答案 500(3＋1)解析过点D 作DE ∥AC 交BC 于E ，因为∠DAC ＝30°，故∠ADE ＝150°.于是∠ADB ＝360°－150°－60°＝150°.又∠BAD ＝45°－30°＝15°，故∠ABD ＝15°，由正弦定理得AB ＝AD sin ∠ADB sin ∠ABD＝1 000sin 150°sin 15°＝500(6＋2)(m)．所以在Rt △ABC 中，BC ＝AB sin 45°＝500(3＋1)(m)．5．两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站北偏东40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( ) A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东10°D ．南偏西10°答案 B解析灯塔A 、B 的相对位置如图所示，由已知得∠ACB ＝80°，∠CAB ＝∠CBA ＝50°，则α＝60°－50°＝10°，即北偏西10°.题型一测量距离问题例1 要测量对岸A 、B 两点之间的距离，选取相距 3 km 的C 、D 两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°，求A 、B 之间的距离．思维启迪：将题中距离、角度转化到一个三角形中，再利用正、余弦定理解三角形．解如图所示，在△ACD 中，∠ACD ＝120°，∠CAD ＝∠ADC ＝30°，∴AC ＝CD ＝ 3 km.在△BCD 中，∠BCD ＝45°，∠BDC ＝75°，∠CBD ＝60°.∴BC ＝3sin 75°sin 60°＝6＋22. 在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋222－2×3×6＋22×cos 75° ＝3＋2＋3－3＝5， ∴AB ＝ 5 (km)，∴A 、B 之间的距离为 5 km.探究提高这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．注意：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正、余弦定理要恰当．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从O 沿OD 走到D 用了2分钟，从D 沿着DC 走到C 用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米．答案 507解析连接OC ，在△OCD 中，OD ＝100，CD ＝150，∠CDO ＝60°，由余弦定理可得OC 2＝1002＋1502－2×100×150×12＝17 500，解得OC ＝507(米)．题型二测量高度问题例2 某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30°，求塔高．思维启迪：依题意画图，某人在C 处，AB 为塔高，他沿CD 前进，CD ＝40米，此时∠DBF ＝45°，从C 到D 沿途测塔的仰角，只有B到测试点的距离最短时，仰角才最大，这是因为tan ∠AEB ＝AB BE，AB 为定值，BE 最小时，仰角最大．要求出塔高AB ，必须先求BE ，而要求BE ，需先求BD (或BC )．解如图所示，某人在C 处，AB 为塔高，他沿CD 前进，CD ＝40，此时∠DBF ＝45°，过点B 作BE ⊥CD 于E ，则∠AEB ＝30°，在△BCD 中，CD ＝40，∠BCD ＝30°，∠DBC ＝135°，由正弦定理，得CD sin ∠DBC ＝BD sin ∠BCD， ∴BD ＝40sin 30°sin 135°＝202(米)．∠BDE ＝180°－135°－30°＝15°. 在Rt △BED 中，BE ＝DB sin 15°＝202×6－24＝10(3－1)(米)．在Rt △ABE 中，∠AEB ＝30°，∴AB ＝BE tan 30°＝103(3－3)(米)．故所求的塔高为103(3－3)米．探究提高在测量高度时，要正确理解仰角、俯角的概念，画出准确的示意图，恰当地选取相关的三角形和正、余弦定理逐步进行求解．注意综合应用方程和平面几何、立体几何等知识．如图所示，B ，C ，D 三点在地面的同一直线上，DC＝a ，从C ，D 两点测得A 点的仰角分别为β和α(α<β)，则A 点距地面的高AB 为_______________．答案 a sin αsin βsin (β－α)解析 AB ＝AC sin β，AC sin α＝DC sin ∠DAC ＝a sin (β－α)，解得AB ＝a sin αsin βsin (β－α). 题型三测量角度问题例3 某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10 n mile 的C 处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9 n mile /h 的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile/h 的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间．思维启迪：本题中所涉及的路程在不断变化，但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等，先设出所用时间t ，找出等量关系，然后解三角形．解如图所示，根据题意可知AC ＝10，∠ACB ＝120°，设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h ，并在B 处与渔轮相遇，则AB ＝21t ，BC ＝9t ，在△ABC中，根据余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 120°，所以212t 2＝102＋81t 2＋2×10×9t ×12，即360t 2－90t －100＝0，解得t ＝23或t ＝－512(舍去)．所以舰艇靠近渔轮所需的时间为23h ．此时AB ＝14，BC ＝6.在△ABC 中，根据正弦定理得BC sin ∠CAB ＝AB sin 120°，所以sin ∠CAB ＝6×3214＝3314，即∠CAB ≈21.8°或∠CAB ≈158.2°(舍去)．即舰艇航行的方位角为45°＋21.8°＝66.8°.所以舰艇以66.8°的方位角航行，需23h 才能靠近渔轮．探究提高对于和航行有关的问题，要抓住时间和路程两个关键量，解三角形时将各种关系集中在一个三角形中利用条件．如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ等于A.217B.2114C.32114D.2128答案 B解析如图所示，在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝2 800，所以BC ＝207.由正弦定理，得 sin ∠ACB ＝AB BC ·sin ∠BAC ＝217. 由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，故cos ∠ACB ＝277. 故cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)＝cos ∠ACB cos 30°－sin ∠ACB sin 30°＝2114. 正、余弦定理在实际问题中的应用典例：(12分)如图，在海岸A 处发现北偏东45°方向，距A 处(3－1)海里的B 处有一艘走私船．在A 处北偏西75°方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，以B 处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．审题视角 (1)分清已知条件和未知条件(待求)．(2)将问题集中到一个三角形中，如△ABC 和△BCD .(3)利用正弦定理或余弦定理求解．规范解答解设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船，则CD ＝103t (海里)，BD ＝10t (海里)，[1分]在△ABC 中，由余弦定理，有BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC＝(3－1)2＋22－2(3－1)·2·cos 120°＝6.∴BC ＝6(海里)．[3分]又∵BC sin ∠BAC ＝AC sin ∠ABC， ∴sin ∠ABC ＝AC ·sin ∠BAC BC ＝2·sin 120°6＝22， ∴∠ABC ＝45°，∴B 点在C 点的正东方向上，∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°，[5分]在△BCD 中，由正弦定理，得BD sin ∠BCD ＝CD sin ∠CBD， ∴sin ∠BCD ＝BD ·sin ∠CBD CD ＝10t ·sin 120°103t＝12. ∴∠BCD ＝30°，∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶．[8分]又在△BCD 中，∠CBD ＝120°，∠BCD ＝30°，∴D ＝30°，∴BD ＝BC ，即10t ＝ 6.∴t ＝610小时≈15(分钟)．[11分] ∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．[12分] 答题模板解斜三角形应用题的一般步骤为第一步：分析——理解题意，分清已知与未知，画出示意图；第二步：建模——根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；第三步：求解——利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；第四步：检验——检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．温馨提醒 (1)由实际出发，构建数学模型是解应用题的基本思路．如果涉及三角形问题，我们可以把它抽象为解三角形问题进行解答，之后再还原成实际问题，即利用上述模板答题．(2)本题的易错点：不能将已知和待求量转化到同一个三角形中，无法运用正、余弦定理求解.方法与技巧1．合理应用仰角、俯角、方位角、方向角等概念建立三角函数模型．2．把生活中的问题化为二维空间解决，即在一个平面上利用三角函数求值．3．合理运用换元法、代入法解决实际问题．失误与防范在解实际问题时，应正确理解如下角的含义．1．方向角——从指定方向线到目标方向线的水平角．2．方位角——从正北方向线顺时针到目标方向线的水平角．3．坡度——坡面与水平面所成的二面角的正切值．4．仰角与俯角——与目标视线在同一铅直平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时称为仰角，目标视线在水平视线下方时称为俯角．A 组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．如果在测量中，某渠道斜坡的坡度为34，设α为坡角，那么cos α等于 ( ) A.35B.45C.34D.43 答案 B解析因为tan α＝34，所以cos α＝45. 2．有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为( )A ．1B ．2sin 10°C ．2cos 10°D ．cos 20°答案 C解析如图，∠ABC ＝20°，AB ＝1，∠ADC ＝10°，∴∠ABD ＝160°.在△ABD 中，由正弦定理得AD sin 160°＝AB sin 10°， ∴AD ＝AB ·sin 160°sin 10°＝sin 20°sin 10°＝2cos 10°. 3．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( ) A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m 答案 A解析设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，∠A ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，BC ＝3h ，根据余弦定理得，(3h )2＝h 2＋1002－2·h ·100·cos 60°，即h 2＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，即h ＝50，故水柱的高度是50 m.4. 如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A 、B 两点的距离为( ) A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 mD.2522m 答案 A解析 ∵∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，∴∠ABC ＝180°－105°－45°＝30°.在△ABC 中，由正弦定理得AB sin C ＝AC sin B ， ∴AB ＝AC ·sin C sin B ＝50×2212＝50 2 (m)．二、填空题(每小题5分，共15分)5．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________________．答案 203米、4033米解析如图，依题意有甲楼的高度为AB ＝20·tan 60°＝203(米)，又CM ＝DB ＝20(米)，∠CAM ＝60°，所以AM ＝CM ·1tan 60°＝2033(米)，故乙楼的高度为CD ＝203－2033＝4033(米)． 6．一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为______ km. 答案 30 2解析如图所示，依题意有AB ＝15×4＝60，∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°，在△AMB 中，由正弦定理得60sin 45°＝BM sin 30°，解得BM ＝30 2 (km)．7. 如图，在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA＝60°，∠BCD ＝135°，则BC 的长为________．答案 8 2解析在△ABD 中，设BD ＝x ，则BA 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD ·cos ∠BDA ，即142＝x 2＋102－2·10x ·cos 60°，整理得x 2－10x －96＝0，解之得x 1＝16，x 2＝－6(舍去)．在△BCD 中，由正弦定理：BC sin ∠CDB ＝BD sin ∠BCD ， ∴BC ＝16sin 135°·sin 30°＝8 2. 三、解答题(共22分)8． (10分)如图所示，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个观测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30 m ，并在点C 处测得塔顶A 的仰角为60°，求塔高AB .解在△BCD 中，∠CBD ＝180°－15°－30°＝135°，由正弦定理，得BC sin ∠BDC ＝CD sin ∠CBD，所以BC ＝30sin 30°sin 135°＝15 2 (m)．在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·tan ∠ACB ＝152tan 60°＝15 6 (m)．所以塔高AB 为15 6 m.9． (12分)如图，在△ABC 中，已知∠B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD＝10，AC ＝14，DC ＝6，求AB 的长．解在△ADC 中，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC＝100＋36－1962×10×6＝－12， ∴∠ADC ＝120°，∴∠ADB ＝60°.在△ABD 中，AD ＝10，∠B ＝45°，∠ADB ＝60°，由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝AD sin B， ∴AB ＝AD ·sin ∠ADB sin B ＝10sin 60°sin 45°＝10×3222＝5 6.B 组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分) 1．在△ABC 中，已知∠A ＝45°，AB ＝2，BC ＝2，则∠C 等于( ) A ．30°B ．60°C ．120°D ．30°或150°答案 A解析利用正弦定理可得2sin 45°＝2sin C ， ∴sin C ＝12，∴∠C ＝30°或150°. 又∵∠A ＝45°，且∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴∠C ＝30°，故选A. 2．某人向正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3 km ，结果他离出发点恰好是 3 km ，那么x 的值为 ( )A. 3B ．2 3 C.3或2 3D ．3 答案 C解析如图所示，设此人从A 出发，则AB ＝x ，BC ＝3，AC ＝3，∠ABC＝30°，由余弦定理得(3)2＝x 2＋32－2x ·3·cos 30°，整理，得x 2－33x ＋6＝0，解得x ＝3或2 3.3．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( )A ．102海里B ．103海里C ．203海里D ．202海里答案 A解析如图，易知，在△ABC 中，AB ＝20，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin 30°＝AB sin 45°，解得BC ＝102(海里)．二、填空题(每小题5分，共15分)4．一船由B 处向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔C 、D 恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后到达A 处，看见灯塔C 在它的南偏西60°方向，灯塔D 在它的南偏西75°方向，则这艘船的速度是______海里/小时．答案 10解析如图所示，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10，在直角三角形ABC 中，得AB ＝5，于是这艘船的速度是50.5＝10(海里/小时)．5．某路边一树干被大风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是__________米．答案 2063解析如图，设树干底部为O ，树尖着地处为B ，折断点为A ，则∠ABO ＝45°，∠AOB ＝75°，∴∠OAB ＝60°.由正弦定理知，AO sin 45°＝20sin 60°， ∴AO ＝2063(米)． 6．在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD ＝12DC ，∠ADB ＝120°，AD ＝2.若△ADC 的面积为3－3，则∠BAC ＝_____.答案 60°解析 S △ADC ＝12×2×DC ×32＝3－3，解得DC ＝2(3－1)，∴BD ＝3－1，BC ＝3(3－1)．在△ABD 中，AB 2＝4＋(3－1)2－2×2×(3－1)×cos 120°＝6，∴AB ＝ 6.在△ACD 中，AC 2＝4＋[2(3－1)]2－2×2×2(3－1)×cos 60°＝24－123，∴AC ＝6(3－1)，则cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝12， ∴∠BAC ＝60°.三、解答题7． (13分)如图，A 、B 、C 、D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B 、D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75°、30°，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究图中B 、D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B 、D 的距离(计算结果精确到0.01 km ，2≈1.414，6≈2.449)．解在△ACD 中，∠DAC ＝30°，∠ADC ＝60°－∠DAC ＝30°，所以CD ＝AC ＝0.1.又∠BCD ＝180°－60°－60°＝60°，故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD ＝BA .在△ABC 中，AB sin ∠BCA ＝AC sin ∠ABC，所以AB ＝AC sin 60°sin 15°＝32＋620，即BD ＝32＋620≈0.33(km)．故B 、D 的距离约为0.33 km.。

高三数学一轮复习精品教案2：用样本估计总体教学设计

10.2 用样本估计总体考纲传真1.了解分布的意义和作用，会列频率分布表、会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点．2．理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差．3．能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并作出合理的解释．4．会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想．5．会用样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.1．作频率分布直方图的步骤(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)．(2)决定组距与组数．(3)将数据分组．(4)列频率分布表．(5)画频率分布直方图．2．频率分布折线图和总体密度曲线(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．(2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．3．茎叶图统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图，茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数．4．标准差和方差(1)标准差是样本数据到平均数的一种平均距离． (2)标准差： s ＝1n[（x 1－x ）2＋（x 2－x ）2＋…＋（x n －x ）2]． (3)方差：s 2＝1n 『(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2』(x n 是样本数据，n 是样本容量，x 是样本平均数)．)图9－3－11．(人教A 版教材习题改编)若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是( )A ．91.5和91.5B ．91.5和92C ．91和91.5D ．92和92『解析』这组数据由小到大排列为87，89，90，91，92，93，94，96. ∴中位数是91＋922＝91.5.平均数x ＝87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋968＝91.5.『答案』 A2．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：『11.5，15.5) 2 『15.5，19.5) 4 『19.5，23.5) 9 『23.5，27.5) 18 『27.5，31.5) 11 『31.5，35.5) 12 『35.5，39.5) 7 『39.5，43.5) 3根据样本的频率分布估计，数据落在『31.5，43.5)的概率约是( ) A.16 B.13C.12D.23『解析』由已知，样本容量为66，而落在『31.5，43.5)内的样本数为12＋7＋3＝22，故所求概率为2266＝13.『答案』 B3．(2012·山东高考)在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是( )A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差『解析』对样本中每个数据都加上一个非零常数时不改变样本的方差和标准差，众数、中位数、平均数都发生改变．『答案』 D4．某雷达测速区规定：凡车速大于或等于70 km/h 的汽车视为“超速”，并将受到处罚，如图9－3－2是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中可以看出被处罚的汽车大约有( )图9－3－2A ．30辆B ．40辆C ．60辆D ．80辆『解析』由题图可知，车速大于或等于70 km/h 的汽车的频率为0.02×10＝0.2，则将被处罚的汽车大约有200×0.2＝40(辆)．『答案』 B图9－3－35．(2012·湖南高考)如图9－3－3所示是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________．(注：方差s 2＝1n 『(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2』，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均数)『解析』依题意知，运动员在5次比赛中的分数依次为8，9，10，13，15，其平均数为8＋9＋10＋13＋155＝11.由方差公式得s 2＝15『(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－11)2＋(15－11)2』＝15(9＋4＋1＋4＋16)＝6.8.『答案』 6.8频率分布直方图及其应用(2012·广东高考)某班100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图9－3－4所示，其中成绩分组区间是：『50，60)，『60，70)，『70，80)，『80，90)，『90，100』．图9－3－4(1)求图中a 的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x )与数学成绩相应分数段的人数(y )之比如下表所示，求数学成绩在『50，90)之外的人数.分数段『50，60) 『60，70) 『70，80) 『80，90) x ∶y1∶12∶13∶44∶5『思路点拨』 (1)根据各小长方形的面积和为1，求a ；(2)借助频率分布直方图的中点估计平均分．(3)先求语文成绩在各段的人数，进而求数学成绩在『50，90)之外的人数．『尝试解答』 (1)由频率分布直方图知(0.04＋0.03＋0.02＋2a )×10＝1，因此a ＝0.005.(2)55×0.05＋65×0.4＋75×0.3＋85×0.2＋95×0.05＝73.所以平均分为73分．(3)分别求出语文成绩分数段在『50，60)，『60，70)，『70，80)，『80，90)的人数依次为0.05×100＝5，0.4×100＝40，0.3×100＝30，0.2×100＝20.所以数学成绩分数段在『50，60)，『60，70)，『70，80)，『80，90)的人数依次为5，20，40，25.所以数学成绩在『50，90)之外的人数有100－(5＋20＋40＋25)＝10(人)．,1．求解本题关键有两点：(1)利用各组中值估计平均分，(2)在第(3)问中，利用频率分布直方图求语文成绩在各段的人数．2．(1)明确频率分布直方图的意义，即图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率，所有小矩形的面积之和为 1.(2)对于统计图表类题目，最重要的是认真观察图表，从中提炼有用的信息和数据．某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3 000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图9－3－5)．根据频率分布直方图推测，这3 000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是________．图9－3－5『解析』由样本频率分布直方图知，数学考试中成绩小于60分的频率为(0.002＋0.006＋0.012)×10＝0.2，∴估计总体中成绩小于60分的概率约为0.2，故所求成绩小于60分的学生数约为3 000×0.2＝600人．『答案』 600茎叶图的绘制及应用某班甲、乙两学生的高考备考成绩如下：甲：512 554 528 549 536 556 534 541 522 538 乙：515 558 521 543 532 559 536 548 527 531 (1)用茎叶图表示两学生的成绩； (2)分别求两学生成绩的中位数和平均分．『思路点拨』解答本题可以百位，十位数字为茎，个位数字为叶作茎叶图，再利用茎叶图求中位数及平均分．『尝试解答』 (1)两学生成绩的茎叶图如图所示：(2)将甲、乙两学生的成绩从小到大排列为：甲：512 522 528 534 536 538 541 549 554 556 乙：515 521 527 531 532 536 543 548 558 559从以上排列可知甲学生成绩的中位数为536＋5382＝537.乙学生成绩的中位数为532＋5362＝534.甲学生成绩的平均数为500＋12＋22＋28＋34＋36＋38＋41＋49＋54＋5610＝537，乙学生成绩的平均数为500＋15＋21＋27＋31＋32＋36＋43＋48＋58＋5910＝537.,1．(1)作样本的茎叶图时先要根据数据特点确定茎、叶，再作茎叶图．(2)作样本的茎叶图一般对称作图，数据排列由内向外，从小到大排列，便于数据的处理． 2．由于茎叶图完全反映了所有的原始数据，解决由茎叶图给出的统计图表试题时，就要充分使用这个图表提供的数据进行相关的计算或者是对某些问题作出判断，这类试题往往伴随着对数据组的平均值或者是方差的计算等．图9－3－6(2012·陕西高考)从甲、乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图9－3－6所示)．设甲、乙两组数据的平均数分别为x 甲、x 乙，中位数分别为m 甲、m 乙，则( )A ．x 甲<x 乙，m 甲>m 乙B ．x 甲<x 乙，m 甲<m 乙C ．x 甲>x 乙，m 甲>m 乙D ．x 甲>x 乙，m 甲<m 乙『解析』由茎叶图知m 甲＝22＋182＝20，m 乙＝27＋312＝29.∴m 甲＜m 乙．x 甲＝116(41＋43＋30＋30＋38＋22＋25＋27＋10＋10＋14＋18＋18＋5＋6＋8)＝34516，x 乙＝116(42＋43＋48＋31＋32＋34＋34＋38＋20＋22＋23＋23＋27＋10＋12＋18)＝45716.∴x 甲<x 乙．『答案』 B数字特征的总体估计甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图9－3－7.图9－3－7(1)分别求出两人得分的平均数与方差；(2)根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价．『思路点拨』 (1)先通过图象统计出甲、乙二人的成绩； (2)利用公式求出平均数、方差，再分析两人的成绩，作出评价．『尝试解答』 (1)由图象可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为甲：10分，13分，12分，14分，16分；乙：13分，14分，12分，12分，14分． x 甲＝10＋13＋12＋14＋165＝13，x 乙＝13＋14＋12＋12＋145＝13，s 2甲＝15『(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2』＝4， s 2乙＝15『(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2』＝0.8. (2)由s 2甲＞s 2乙可知乙的成绩较稳定．从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高．,1．平均数和方差都是重要的数字特征，是对总体一种简明的阐述，平均数反映了数据的中心，是平均水平，而方差和标准差反映的是数据的稳定程度．进行均值与方差的计算，关键是正确运用公式．2．平均数与方差所反映的情况有着重要的实际意义，一般可以通过比较甲、乙两组样本数据的平均数和方差的差异，对甲、乙两品种可以做出评价或选择．(2012·安徽高考)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图9－3－8所示，则( )图9－3－8A ．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B ．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D ．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差『解析』由条形统计图知：甲射靶5次的成绩分别为：4，5，6，7，8；乙射靶5次的成绩分别为：5，5，5，6，9，所以x 甲＝4＋5＋6＋7＋85＝6；x 乙＝5＋5＋5＋6＋95＝6.所以x 甲＝x 乙．故A 不正确．甲的成绩的中位数为6，乙的成绩的中位数为5，故B 不正确． s 2甲＝15『(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2』＝15×10＝2， s 2乙＝15『(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2』＝15×12＝125，因为2<125，所以s 2甲<s 2乙. 故C 正确．甲的成绩的极差为：8－4＝4，乙的成绩的极差为：9－5＝4，故D 不正确．故选C.『答案』 C一种思想用样本估计总体是统计的基本思想．两点注意1.频率分布直方图与统计条形图不同．2．(1)众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量，与每个样本数据有关，这是中位数、众数所不具有的性质．(2)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度就越大．三个特征利用频率分布直方图估计样本的数字特征：(1)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数值．(2)平均数：平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以矩形底边中点横坐标之和．(3)众数：最高的矩形的中点的横坐标．从近两年高考看，用样本估计总体能较好地考查学生的数学应用意识，是高考的热点之一，主要考查频率分布直方图、茎叶图、用样本的数字特征估计总体数字特征，并出现统计与概率相结合的命题趋向，应引起足够重视．规范解答之十六图表信息题的求解方法(12分)(2011·北京高考)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．图9－3－9(1)如果X ＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；(2)如果X ＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．『规范解答』 (1)当X ＝8时，由茎叶图可知，乙组同学植树棵数是8，8，9，10.2分 ∴平均数x ＝8＋8＋9＋104＝354；方差s 2＝14『(8－354)2＋(8－354)2＋(9－354)2＋(10－354)2』＝1116.6分(2)记甲组四名同学为A 1，A 2，A 3，A 4，他们植树的棵数依次为9，9，11，11；乙组四名同学为B 1，B 2，B 3，B 4，他们植树的棵数依次为9，8，9，10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是： (A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，B 4)， (A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，B 4)， (A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，B 3)，(A 3，B 4)， (A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(A 4，B 3)，(A 4，B 4)，10分记“选出的两名同学的植树总棵数为19”为事件C ，事件C 的结果有(A 1，B 4)，(A 2，B 4)，(A 3，B 2)，(A 4，B 2)共4个基本事件．∴P (C )＝416＝14.12分『解题程序』第一步：由茎叶图，确定乙组数据信息；第二步：计算数字特征：平均数与方差；第三步：列举确定试验结果及事件C 的基本事件；第四步：利用古典概型求事件概率；第五步：反思回顾，查看易错易误点，规范步骤．易错提示：(1)对统计图表数据信息提炼不准确，对方差的计算公式掌握不住或计算失误导致失分．(2)求不出“分别从甲、乙两组中随机选取一名同学”的所有情况导致概率求错而失分．防范措施：(1)准确理解茎叶图，茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁边生长出来的数，并提炼数据信息．(2)理解题意，明确试验的含义，不重不漏列举所有基本事件，是正确计算古典概型的前提．1．(2012·广东高考)由正整数组成的一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________．(从小到大排列)『解析』假设这组数据按从小到大的顺序排列为x 1，x 2，x 3，x 4，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＋x 3＋x44＝2，x 2＋x 32＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 4＝4，x 2＋x 3＝4.又s ＝14[（x 1－2）2＋（x 2－2）2＋（x 3－2）2＋（x 4－2）2] ＝12（x 1－2）2＋（x 2－2）2＋（4－x 2－2）2＋（4－x 1－2）2 ＝122[（x 1－2）2＋（x 2－2）2] ＝1，∴(x 1－2)2＋(x 2－2)2＝2. 同理可求得(x 3－2)2＋(x 4－2)2＝2.由x 1，x 2，x 3，x 4均为正整数，且(x 1，x 2)，(x 3，x 4)均为圆(x －2)2＋(y －2)2＝2上的点，分析知x 1，x 2，x 3，x 4应为1，1，3，3.『答案』 1，1，3，32．(2013·潍坊模拟)某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方(分别称为A 配方和B 配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A 配方的频数分布表指标值分组『90，94)『94，98)『98，102)『102，106)『106，110)频数82042228B 配方的频数分布表指标值分组『90，94)『94，98)『98，102)『102，106)『106，110)频数412423210(1)分别估计用A 配方，B 配方生产的产品的优质品率； (2)已知用B 配方生产的一件产品的利润y (单位：元) 与其质量指标值t 的关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2， t ＜94，2， 94≤t ＜102，4， t ≥102.估计用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B 配方生产的上述100件产品平均一件的利润．『解』 (1)由试验结果知，用A 配方生产的产品中优质品的频率为22＋8100＝0.3，所以用A 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.由试验结果知，用B 配方生产的产品中优质品的频率为32＋10100＝0.42.所以用B 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42.(2)由条件知，用B 配方生产的一件产品的利润大于0，当且仅当其质量指标值t ≥94，由试验结果知，质量指标值t ≥94的频率为0.96.所以用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96. 用B 配方生产的产品平均一件的利润为 1100×『4×(－2)＋54×2＋42×4』＝2.68(元)．。

2014届高考数学(理)一轮复习专题集训：用样本估计总体

用样本估计总体一、选择题(每小题6分，共36分)1.为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，则a，b的值分别为( )(A)0.27,78 (B)0.27,83(C)2.7,78 (D)2.7,832.某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用下面的图表示，根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为( )(A)0.6 h (B)0.9 h (C)1.0 h (D)1.5 h3.(2012·兖州模拟)如图是某篮球运动员在一个赛季的30场比赛中得分的茎叶图，则得分的中位数与众数分别为( )(A)3与3 (B)23与3(C)3与23 (D)23与234.(2012·深圳模拟)如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为x A 和x B，样本标准差分别为s A和s B，则( )(A)x A>x B，s A>s B(B)x A<x B，s A＞s B(C)x A>x B，s A＜s B(D)x A<x B，s A＜s B5.(2012·资阳模拟)如图是容量为100的某一个样本的频率分布直方图，则样本数据在[6,10]内的频率和频数分别是( )(A)0.08,8 (B)0.24,24(C)0.32,32 (D)0.36,366.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是( )(A)91.5和91.5 (B)91.5和92(C)91和91.5 (D)92和92二、填空题(每小题6分，共18分)7.某班学生在一次数学考试中成绩分布如表：分数段[0,80) [80,90) [90,100)人数 2 5 6分数段[100,110) [110,120) [120,130)人数8 12 6分数段[130,140) [140,150]人数 4 2那么分数在[100,110)中的频率和分数不满110分的累积频率分别是、__ (精确到0. 01).8.把容量为100的某个样本数据分为10组，并填写频率分布表，若前七组的累积频率为0.79，而剩下三组的频数成公比为大于2的整数的等比数列，则剩下三组中频数最高的一组的频数为.9.在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是、.三、解答题(每小题15分，共30分)10.(2012·哈尔滨模拟)某科研部门现有男技术员45人，女技术员15人，为研发某新产品的需要，科研部门按照分层抽样的方法组建了一个由四人组成的新产品研发小组.(1)求每一个技术员被抽到的概率及该新产品研发小组中男、女技术员的人数；(2)一年后研发小组决定选两名研发的技术员对该项研发产品进行检验，方法是先从研发小组中选一人进行检验，该技术员检验结束后，再从研发小组内剩下的三名技术员中选一人进行检验，若两名技术员检验得到的数据如下：第一次被抽到进行检验的技术员58 53 87 62 78 70 82第二次被抽到进行检验的技术员64 61 78 66 74 71 76①求先后被选出的两名技术员中恰有一名女技术员的概率；②请问哪位技术员检验更稳定？并说明理由.11.(易错题)“世界睡眠日”定在每年的3月21日，以提高公众对健康睡眠的自我管理能力和科学认识.为此某网站进行了持续一周的在线调查，共有200人参加调查，现将数据整理分组如题中表格所示.(1)画出频率分布直方图；(2)睡眠时间小于8小时的频率是多少？(3)为了对数据进行分析，采用了计算机辅助计算.分析中一部分计算见程序框图，求输出的S的值，并说明S的统计意义.序号(i) 分组睡眠时间组中值(m i) 频数(人数) 频率(f i)1 [4,5) 4.5 8 0.042 [5,6) 5.5 52 0.263 [6,7) 6.5 60 0.304 [7,8) 7.5 56 0.285 [8,9) 8.5 20 0.106 [9,10] 9.5 4 0.02【探究创新】(16分)某班同学进行数学测验，将所得成绩(得分取整数)进行整理后分成五组，并绘制成图(如图)，请结合图中提供的信息，回答下列问题：(1)该班共有多少名学生？(2)80.5～90.5这一分数段的频数、频率分别是多少？ (3)这次成绩的中位数落在哪个分数段内？ (4)从左到右各小组的频率比是多少？答案解析1.【解析】选A.由频率分布直方图知，组距为0.1， 4.3～4.4间的频数为100×0.1×0.1＝1，4.4～4.5间的频数为100×0.1×0.3＝3.又前4组的频数成等比数列，∴公比为3.根据后6组的频数成等差数列，且共有100－13＝87人，且4.6～4.7间的频数最大，为1×33＝27，∴a ＝0.27.设公差为d ，则6×27＋6×52d ＝87，∴d ＝－5，从而b ＝4×27＋4×32×(－5)＝78.2.【解析】选B.5×2＋10×(1＋1.5)＋20×0.550＝0.9.3.【解析】选D.由茎叶图知，该运动员在30场比赛中所得分数由小到大的排列如下： 8,9,11,12,13,14,16,17,18,19,20,21,21,23,23,23,25,27,28,28,30,31,32,32,33,34,38,39,40,41，可得中位数为23，由众数概念知其众数为23.4.【解题指南】直接观察图象易得结论，不用具体的运算.【解析】选B.由图易得x A <x B ，又A 波动性大，B 波动性小，所以s A ＞s B .5.【解析】选C.由频率分布直方图得样本数据在[6,10]内的频率为0.08×4＝0.32，频数为0.32×100＝32.6.【解题指南】把数据从小到大排列后可得其中位数，平均数是把所有的数据加起来除以数据的个数.【规范解答】选A.数据从小到大排列后可得其中位数为91＋922＝91.5，平均数为87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋968＝91.5.7.【解析】由频率计算方法知：总人数为45. 分数在[100,110)中的频率为845≈0.18. 分数不满110分的累积频率为2＋5＋6＋845＝2145≈0. 47.答案：0.18 0.478.【解题指南】已知前七组的累积频率为0.79，而要研究后三组的问题，因此应先求出后三组的频率之和为1－0.79＝0.21，进而求出后三组的共有频数，或者先求前七组共有频数后，再计算后三组的共有频数.【解析】由已知得前七组的共有频数为0.79×100＝79，故后三组共有的频数为21，依题意a 1·(1－q 3)1－q ＝21，a 1(1＋q ＋q 2)＝21∵q>2， ∴1＋q ＋q 2>7. ∴a 1＝1，q ＝4.∴后三组中频数最高的一组的频数为16. 答案：16【变式备选】将容量为n 的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图.若第一组至第六组数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三组数据的频数之和等于27，则n 等于 . 【解析】设第一组到第六组的频数分别为2a,3a,4a,6a,4a ，a ， ∴2a ＋3a ＋4a ＝27，∴a ＝3， ∴2a ＋3a ＋4a ＋6a ＋4a ＋a ＝20a ＝60. 答案：609.【解析】甲位于中间的数是45，把乙的数据排序后，位于中间的数是46.答案：45 4610.【解析】(1)每一个技术员被抽到的概率为460＝115，其中男技术员为115×45＝3(人)女技术员为115×15＝1(人)(2)①记女技术员为a ，男技术员分别为A 、B 、C.从4名技术员中选出两名技术员的所有情况为(a ，A)，(a ，B)，(a ，C)，(A ，B)，(A ，C)，(B ，C)，所以两名技术员中恰有一名女技术员的概率为36＝12.②第一次被抽到的技术员检验数据的平均数、方差分别为x 1＝58＋53＋87＋62＋78＋70＋827＝70，s 21＝17[(58－70)2＋(53－70)2＋(87－70)2＋(62－70)2＋(78－70)2＋(70－70)2＋(82－70)2]＝142 第二次被抽到的技术员检验数据的平均数、方差分别为 x 2＝64＋61＋78＋66＋74＋71＋767＝70s 22＝17[(64－70)2＋(61－70)2＋(78－70)2＋(66－70)2＋(74－70)2＋(71－70)2＋(76－70)2]≈35.7所以x 1＝x 2，s 21＞s 22，所以第二次被抽到的技术员检验更稳定. 11.【解析】(1)频率分布直方图如图所示.(2)睡眠时间小于8小时的频率是 P ＝0.04＋0.26＋0.30＋0.28＝0.88.(3)首先要理解题中程序框图的含义，输入m i ，f i 的值后，由赋值语句：S ＝S ＋m i ·f i 可知，程序框图进入一个求和状态.令a i ＝m i ·f i (i ＝1,2，…，6)，数列{a i }的前i 项和为T i ，即T6＝4.5×0.04＋5.5×0.26＋6.5×0.30＋7.5×0.28＋8.5×0.10＋9.5×0.02＝6.70 则输出的S为6.70.S的统计意义即参加调查者的平均睡眠时间.【探究创新】【解析】(1)共有4＋6＋10＋12＋18＝50(名)，(2)80.5～90.5这一分数段的学生频数为12，频率为1250＝0.24，(3)中位数落在(70.5,80.5)内，(4)从左到右各小组的频率比为2∶5∶9∶6∶3.。

【创新方案】2014届高考数学一轮复习 10.2用样本估计总体讲解与练习理新人教A版

第二节用样本估计总体[备考方向要明了]考什么怎么考1.了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点．2.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差．3.能从样本数据中提取基本的数字特征(平均数、标准差)，并给出合理解释．4.会用样本的频率分布估计总体的分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想．5.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题. 1.由于高考对统计考查的覆盖面广，几乎对所有的统计考点都有涉及，其中频率分布直方图、均值与方差、茎叶图是核心，题型多是选择题或填空题，难度不大，如2012年某某T5，某某T6等．2.近几年来，对概率统计的综合问题考查的力度有所加大，题目难度中低档，如2012年某某T17等.[归纳·知识整合]1．作频率分布直方图的步骤(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)；(2)决定组距与组数；(3)将数据分组；(4)列频率分布表；(5)画频率分布直方图．2．频率分布折线图和总体密度曲线(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．(2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线．3．茎叶图的优点茎叶图的优点是可以保留原始数据，而且可以随时记录，方便记录与表示． 4．标准差和方差(1)标准差是样本数据到平均数的一种平均距离． (2)标准差：s ＝1n[x 1－x－2＋x 2－x－2＋…＋x n －x－2].(3)方差：s 2＝1n[(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n －x －)2](x n 是样本数据，n 是样本容量，x 是样本平均数)．5．利用频率分布直方图估计样本的数字特征(1)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值．(2)平均数：平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．(3)众数：在频率分布直方图中，众数是最高的矩形的中点的横坐标． [探究] 1.在频率分布直方图中如何确定中位数？提示：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积是相等的． 2．利用茎叶图求数据的中位数的步骤是什么？提示：(1)将茎叶图中数据按大小顺序排列；(2)找中间位置的数．[自测·牛刀小试]1．(2012·某某高考)在某次测量中得到的A 样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是( )A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差解析：选D 只有标准差不变，其中众数、平均数和中位数都加2. 2.(2011·某某模拟)如图是根据某校10位高一同学的身高(单位：cm)画出的茎叶图，其中左边的数字从左到右分别表示学生身高的百位数字和十位数字，右边的数字表示学生身高的个位数字，从图中可以得到这10位同学身高的中位数是( )A ．161B ．16215 5 5 7 8 16 1 3 3 5 1712C ．163D ．164解析：选B 由给定的茎叶图可知，这10位同学身高的中位数为161＋1632＝162.3．某校举行2013年元旦汇演，七位评委为某班的小品打出的分数如下茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的方差为________．解析：由茎叶图知，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据为84,84,86,84,87，所以由公式得方差为1.6.答案：1.64．从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下(单位：克)：125,120,122,105,130,114,116,95,120,134，则样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为________．解析：数据落在[114.5,124.5)内的有：120,122,116,120共4个，故所求频率为410＝0.4.答案：0.45．(2012·某某模拟)将容量为n 的样本中的数据分为6组，绘制频率分布直方图，若第一组至第六组的数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三组数据的频数之和为27，则n ＝________.解析：由已知，得2＋3＋42＋3＋4＋6＋4＋1·n ＝27，即920·n ＝27，解得n ＝60. 答案：60频率分布直方图的应用[例1] (1)在样本频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形面积和的14，且样本容量为160，则中间一组的频数为( )A ．32B ．0.2C ．40D ．0.25(2)某区高二年级的一次数学统考中，随机抽取200名同学的成绩，成绩全部在50分至100分之间，将成绩按如下方7 9 8 4 4 6 4 7 93式分成5组：第一组，成绩大于等于50分且小于60分；第二组，成绩大于等于60分且小于70分；……第五组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图．则这200名同学中成绩大于等于80分且小于90分的学生有______名．[自主解答] (1)由频率分布直方图的性质，可设中间一组的频率为x ，则x ＋4x ＝1，解得x ＝0.2.故中间一组的频数为160×0.2＝32.(2)由题知，成绩大于等于80分且小于90分的学生所占的频率为1－(0.005×2＋0.025＋0.045)×10＝0.2，所以这200名同学中成绩大于等于80分且小于90分的学生有200×0.2＝40名．[答案] (1)A (2)40 ——————————————————— 频率分布直方图反映了样本的频率分布(1)在频率分布直方图中纵坐标表示频率组距，频率＝组距×频率组距.(2)频率分布表中频率的和为1，故频率分布直方图中各长方形的面积和为1.1.已知一个样本容量为100的样本数据的频率分布直方图如图所示，样本数据落在[6,10)内的样本频数为________，样本数据落在[2,10)内的频率为________．解析：样本数据落在[6,10)内的样本频数为0.08×4×100＝32，样本数据落在[2,10)内的频率为(0.02＋0.08)×4＝0.4.答案：32 0.4数字特征的应用[例2] (2012·某某高考)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )A ．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B ．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D ．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差[自主解答] 由题意可知，甲的成绩为4,5,6,7,8，乙的成绩为5,5,5,6,9.所以甲、乙的成绩的平均数均为6，A 错；甲、乙的成绩的中位数分别为6,5，B 错；甲、乙的成绩的方差分别为15×[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝2，15×[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝125，C 对；甲、乙的成绩的极差均为4，D 错．[答案] C ———————————————————样本数字特征及公式推广(1)平均数和方差都是重要的数字特征，是对总体一种简明的阐述．平均数、中位数、众数描述总体的集中趋势，方差和标准差描述波动大小．(2)平均数、方差公式的推广若数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x －，方差为s 2，则数据mx 1＋a ，mx 2＋a ，…，mx n ＋a 的平均数为m x －＋a ，方差为m 2s 2.2．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为m e ，众数为m 0，平均值为x ，则( )A ．m e ＝m 0＝xB ．m e ＝m 0<xC ．m e <m 0<xD ．m 0<m e <x解析：选D 由图可知，30名学生的得分情况依次为：2个人得3分，3个人得4分，10个人得5分，6个人得6分，3个人得7分，2个人得8分，2个人得9分，2个人得10分．中位数为第15,16个数(分别为5,6)的平均数即m e ＝5.5，5出现次数最多，故m 0＝5，x ＝2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9＋2×1030≈5.97.于是得m 0<m e <x .茎叶图的应用[例3] 某校高三年级进行了一次数学测验，随机从甲、乙两班各抽取6名同学，所得分数的茎叶图如图所示.甲班乙班2 9 1 7 0 8 03 6 62 7 2 586(1)根据茎叶图判断哪个班的平均分数较高，并说明理由；(2)现从甲班这6名同学中随机抽取两名同学，求他们的分数之和大于165分的概率． [自主解答] (1)因为乙班的成绩集中在80分，且没有低分，所以乙班的平均分比较高． (2)设从甲班中任取两名同学，两名同学分数之和超过165分为事件A .从甲班6名同学中任取两名同学，则基本事件空间中包含了15个基本事件，又事件A 中包含4个基本事件，所以，P (A )＝415.即从甲班中任取两名同学，两名同学分数之和超过165分的概率为415.———————————————————茎叶图的优缺点由茎叶图可以清晰地看到数据的分布情况，这一点同频率分布直方图类似．它优于频率分布直方图的第一点是从茎叶图中能看到原始数据，没有任何信息损失，第二点是茎叶图便于记录和表示．其缺点是当样本容量较大时，作图较繁琐．3.(2012·某某高考)如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________．(注：方差s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为x 1，x 2，…，x n的平均数)解析：该运动员五场比赛中的得分为8,9,10,13,15，平均得分x ＝8＋9＋10＋13＋155＝11，方差s 2＝15[(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－11)2＋(15－11)2]＝6.8.0 8 9 135答案：6.84.随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图(中间的数字表示身高的百位、十位数，旁边的数字分别表示身高的个位数)如图所示．甲班乙班2 18 1981017256698842163598 15 7(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；(2)计算甲班的样本方差．解：(1)由茎叶图可知乙班身高比较集中在170～181之间，所以乙班的平均身高较高．(2)甲班的方差为：1×[(182－170)2＋(179－170)2＋(178－170)2＋(171－170)2＋(170－170)2＋(168－10170)2＋(168－170)2＋(164－170)2＋(162－170)2＋(158－170)2]＝54.2.2个异同——众数、中位数和平均数的异同，标准差和方差的异同(1)众数、中位数和平均数的异同①众数、中位数和平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量．②由于平均数与每一个样本数据有关，所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是众数和中位数都不具有的性质．③众数考查各数据出现的频率，其大小只与这组数据中部分数据有关．当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往更能反映问题．④某些数据的改动对中位数可能没有影响，中位数可能出现在所给的数据中，也可能不在所给的数据中．当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其集中趋势．(2)标准差和方差的异同标准差和方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度就越大；标准差、方差越小，数据的离散程度则越小．因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．2个区别——直方图与条形图的区别不要把直方图错以为条形图，两者的区别在于条形图是离散随机变量，纵坐标刻度为频数或频率，直方图是连续随机变量，纵坐标刻度为频率/组距，这是密度，连续随机变量在某一点上是没有频率的.易误警示——频率分布直方图中的易误点[典例] (2012·某某高考)如图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的X 围是[20.5,26.5]，样本数据的分组为[20.5,21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5,26.5]．已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为________．[解析] 最左边两个矩形面积之和为0.10×1＋0.12×1＝0.22，总城市数为11÷0.22＝50，最右边矩形面积为0.18×1＝0.18,50×0.18＝9.[答案] 9 [名师点评]1．忽视频率分布直方图中纵轴的含义为频率/组距，误认为是每组相应的频率值，导致失误；2．不清楚直方图中各组的面积之和为1，导致某组的频率不会求；3．不理解由直方图求样本平均值的方法，误用每组的频率乘以每组的端点值而导致失误；4．由直方图确定众数时应为最高矩形中点对应的横坐标值，中位数应为左右两侧的频率均等各为12.[变式训练]对某种电子元件的使用寿命进行跟踪调查，所得样本的频率分布直方图如图所示，由图可知，这一批电子元件中使用寿命在100～300 h 的电子元件的数量与使用寿命在300～600 h 的电子元件的数量的比是________．解析：寿命在100～300 h 的电子元件的频率为⎝ ⎛⎭⎪⎫12 000＋32 000×100＝420＝15；寿命在300～600 h 的电子元件的频率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1400＋1250＋32 000×100＝45. 则它们的电子元件数量之比为15∶45＝14.答案：14一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2012·某某高考)容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：分组 [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) 频数234542则样本数据落在区间[10,40)的频率为( ) A ．0.35 B ．0.45 C ．0.55 D ．0.65解析：选B 求得该频数为2＋3＋4＝9，样本容量是20，所以频率为920＝0.45.2．某校100名学生的数学测试成绩分布直方图如图所示，分数不低于a 即为优秀，如果优秀的人数为20人，则a 的估计值是( )A ．130B ．140C ．134D ．137解析：选C 由题意知，优秀的频率为0.2，故a 的值在130～140之间，则(140－a )×0.015＝0.1，解得a ＝133.4.3．(2012·某某高考)对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是( )A ．46,45,56B ．46,45,53C ．47,45,56D ．45,47,53解析：选A 从茎叶图中可以看出样本数据的中位数为中间两个数的平均数，即45＋472＝46，众数为45，极差为68－12＝56.4．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：学生 1号 2号 3号 4号 5号甲班 6 7 7 8 7 乙班67679A.25B.725C.35D ．2 解析：选A x 甲＝7，s 2甲＝15[(6－7)2＋(7－7)2＋(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2]＝25，x乙＝7，s 2乙＝15[(6－7)2＋(7－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2]＝65，两组数据的方差中较小的一个为s 2甲，即s 2＝25.5．某单位举办技能比赛，9位评委给生产科打出的分数如茎叶图所示，统计员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x )无法看清，若记分员计算无误，则数字x 应该是( )评委给生产科打出的分数8 9 8 792x3421A.2 B ．3 C ．4 D ．5解析：选A 若数字90＋x 是最高分，则为x 1＝17(88＋89＋91＋92＋92＋93＋94)≈91.3，不合题意，因此最高分为94分，此时平均分x 2＝17(88＋89＋91＋92＋92＋93＋90＋x )，∴17(635＋x )＝91，解得x ＝2. 6．(2012·某某高考)小波一星期的总开支分布如图(1)所示，一星期的食品开支如图(2)所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为( )A ．30%B ．10%C ．3%D ．不能确定解析：选C 由图(1)得到小波一星期的总开支，由图(2)得到小波一星期的食品开支，从而再借助图(2)计算出鸡蛋开支占总开支的百分比．由图(2)知，小波一星期的食品开支为30＋40＋100＋80＋50＝300元，由图(1)知，小波一星期的总开支为30030%＝1 000元，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为301 000×100%＝3%.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．(2013·某某模拟)学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n 且支出在[20,60)元的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60)元的同学有30人．则n 的值为________．解析：支出在[50,60)的频率为1－0.36－0.24－0.1＝0.3，因此30n＝0.3，故n ＝100.答案：100147888.(2013·某某模拟)为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员在6场比赛中的得分，用茎叶图表示如图，则该组数据的方差为________．解析：该运动员6场的总得分为14＋17＋18＋18＋20＋21＝108，平均得分为1086＝18分，方差＝16[(14－18)2＋(17－18)2＋(18－18)2＋(18－18)2＋(20－18)2＋(21－18)2]＝5.答案：59.为了了解某某市今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图所示)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为120，则抽取的学生人数是________．解析：由频率分布直方图知：学生的体重在65～75 kg 的频率为(0.012 5＋0.037 5)×5＝0.25，则学生的体重在50～65 kg 的频率为1－0.25＝0.75.从左到右第2个小组的频率为0.75×26＝0.25，所以抽取的学生人数是120÷0.25＝480. 答案：480三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．(2012·某某高考)若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过1 mm 时，则视为合格品，否则视为不合格品，在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中，随机抽取5 000件进行检测，结果发现有50件不合格品．计算这50件不合格品的直径长与标准值的差(单位：mm)，将所得数据分组，得到如下频率分布表：分组频数频率 [－3，－2)0.10 [－2，－1) 8(1,2]0.50 (2,3] 10(3,4]合计501.00(1)将上面表格中缺少的数据补充完整；(2)估计该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率；(3)现对该厂这种产品的某个批次进行检查，结果发现有20件不合格品．据此估算这批2 0 1产品中的合格品的件数．解：(1)频率分布表分组频数频率 [－3，－2) 5 0.10 [－2，－1) 8 0.16 (1,2] 25 0.50 (2,3] 10 0.20 (3,4] 2 0.04 合计501.00(2)由频率分布表知，该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率约为0.50＋0.20＝0.70.(3)设这批产品中的合格品数为x 件，依题意有505 000＝20x ＋20，解得x ＝5 000×2050－20＝1 980.所以该批产品的合格品件数估计是1 980件．11．(2012·某某高考)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中x 的值；(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ，求ξ的数学期望．解：(1)由题意得：10x ＝1－(0.006×3＋0.01＋0.054)×10＝0.18，所以x ＝0.018.(2)∵成绩不低于80分的学生共有(0.018＋0.006)×10×50＝12人，其中90分以上(含90分)的共有0.006×10×50＝3人，因此ξ的可能值为0,1,2三个值，P (ξ＝0)＝C 29C 212＝611，p (ξ＝1)＝C 19C 13C 212＝922，P (ξ＝2)＝C 23C 212＝122，∴ξ的分布列为：∴E (ξ)＝0×611＋1×922＋2×22＝2.12．某中学共有1 000名学生参加了该地区高三第一次质量检测的数学考试，数学成绩如下表所示：样的方法抽取100名同学进行问卷调查，甲同学在本次测试中数学成绩为95分，求他被抽中的概率；(2)已知本次数学成绩的优秀线为110分，试根据所提供数据估计该中学达到优秀线的人数；(3)作出频率分布直方图，并估计该学校本次考试的数学平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．解：(1)分层抽样中，每个个体被抽到的概率均为样本容量总体中个体总数，故甲同学被抽到的概率P ＝110. (2)由题意得x ＝1 000－(60＋90＋300＋160)＝390. 故估计该中学达到优秀线的人数m ＝160＋390×120－110120－90＝290.(3)频率分布直方图如图所示．该学校本次考试的数学平均分．x＝60×15＋90×45＋300×75＋390×105＋160×1351 000＝90.估计该学校本次考试的数学平均分为90分．1．(2012·某某高考)从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图所示)．设甲乙两组数据的平均数分别为x甲，x乙，中位数分别为m甲，m乙，则( )A.x甲<x乙，m甲>m乙B.x甲<x乙，m甲<m乙C.x甲>x乙，m甲>m乙D.x甲>x乙，m甲<m乙解析：选B 由茎叶图可知甲数据集中在10至20之间，乙数据集中在20至40之间，明显x甲<x乙，甲的中位数为20，乙的中位数为29，即m甲<m乙．2．某乡镇供电所为了调查农村居民用电量情况，随机抽取了500户居民去年的月均用电量(单位：kW/h)，将所得数据整理后，画出频率分布直方图如下，其中直方图从左到右前3个小矩形的面积之比为1∶2∶3，试估计：(1)该乡镇月均用电量在[39.5,43.5)内的居民所占百分比约是多少？(2)该乡镇居民月均用电量的中位数约是多少？(精确到0.01)解：(1)设直方图从左到右前3个小矩形的面积分别为P,2P,3P.由直方图可知，最后两个小矩形的面积之和为(0.087 5＋0.037 5)×2＝0.25.因为直方图中各小矩形的面积之和为1，所以P ＋2P ＋3P ＝0.75，即P ＝0.125. 所以3P ＋0.087 5×2＝0.55.由此估计，该乡镇居民月均用电量在[39.5,43.5)内的居民所占百分比约是55%. (2)显然直方图的面积平分线位于正中间一个矩形内，且该矩形在面积平分线左侧部分的面积为0.5－P －2P ＝0.5－0.375＝0.125，设样本数据的中位数为39.5＋x .因为正中间一个矩形的面积为3P ＝0.375，所以x ∶2＝0.125∶0.375，即x ＝23≈0.67.从而39.5＋x ≈40.17，由此估计，该乡镇居民月均用电量的中位数约是40.17(kW/h)． 3．为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如图所示．(1)估计该校男生的人数；(2)估计该校学生身高在170～185 cm 之间的概率；(3)从样本中身高在180～190 cm 之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190 cm 之间的概率．解：(1)样本中男生人数为40，分层抽样比为10%. 故估计全校男生人数为400.(2)由统计图知，样本中身高在170～185 cm 之间的学生有14＋13＋4＋3＋1＝35人，样本容量为70.故该校学生身高在170～185 cm 之间的概率P 1＝3570＝0.5.(3)由统计图知，样本中身高在180～185 cm 之间的男生有4人(不妨设为A 、B 、C 、D )，样本身高在185～190 cm 之间的男生有2人(不妨设为E ，F )从身高在180～190 cm 之间的6人中任选2人有15种结果，其中至少1人身高在185～190 cm 之间的结果有9种，9 15＝35.故所求事件的概率P2＝。

【步步高高中理科数学教学资料】11.2 用样本估计总体

§11.2用样本估计总体最新考纲考情考向分析1.了解分布的意义和作用，能根据频率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点．2.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差．3.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数，标准差)，并做出合理的解释．4.会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想．5.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题. 主要考查平均数，方差的计算以及茎叶图与频率分布直方图的简单应用；题型以选择题和填空题为主，出现解答题时经常与概率相结合，难度为中低档.1．作频率分布直方图的步骤(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)．(2)决定组距与组数．(3)将数据分组．(4)列频率分布表．(5)画频率分布直方图．2．频率分布折线图和总体密度曲线(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．(2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．3．茎叶图统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图，茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁边生长出来的数． 4．标准差和方差(1)标准差是样本数据到平均数的一种平均距离． (2)标准差： s ＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]. (3)方差：s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2](x n 是样本数据，n 是样本容量，x 是样本平均数)．知识拓展1．频率分布直方图的特点(1)频率分布直方图中相邻两横坐标之差表示组距，纵坐标表示频率组距，频率＝组距×频率组距.(2)在频率分布直方图中，各小长方形的面积总和等于1，因为在频率分布直方图中组距是一个固定值，所以各小长方形高的比也就是频率比．(3)频率分布表和频率分布直方图是一组数据频率分布的两种形式，前者准确，后者直观． 2．平均数、方差的公式推广(1)若数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，那么mx 1＋a ，mx 2＋a ，mx 3＋a ，…，mx n ＋a 的平均数是m x ＋a .(2)数据x 1，x 2，…，x n 的方差为s 2.①数据x 1＋a ，x 2＋a ，…，x n ＋a 的方差也为s 2； ②数据ax 1，ax 2，…，ax n 的方差为a 2s 2.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势．( √ ) (2)一组数据的众数可以是一个或几个，那么中位数也具有相同的结论．( × )(3)从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了．( √ )(4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次．( × )(5)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数．( √ ) (6)在频率分布直方图中，众数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．( × ) 题组二教材改编2．[P100A 组T2(1)]一个容量为32的样本，已知某组样本的频率为0.25，则该组样本的频数为( )A ．4B ．8C ．12D ．16 答案 B解析设频数为n ，则n32＝0.25，∴n ＝32×14＝8.3.[P81A 组T1]若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是( )A ．91.5和91.5B ．91.5和92C ．91和91.5D ．92和92答案 A解析 ∵这组数据由小到大排列为87,89,90,91,92,93,94,96，∴中位数是91＋922＝91.5，平均数x ＝87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋968＝91.5.4．[P71T1]如图是100位居民月均用水量的频率分布直方图，则月均用水量为[2,2.5)范围内的居民有______人．答案 25解析 0.5×0.5×100＝25. 题组三易错自纠5．若数据x 1，x 2，x 3，…，x n 的平均数x ＝5，方差s 2＝2，则数据3x 1＋1,3x 2＋1,3x 3＋1，…，3x n ＋1的平均数和方差分别为( )A．5,2 B．16,2 C．16,18 D．16,9 答案 C解析∵x1，x2，x3，…，x n的平均数为5，∴x1＋x2＋x3＋…＋x nn＝5，∴3x1＋3x2＋3x3＋…＋3x nn＋1＝3×5＋1＝16，∵x1，x2，x3，…，x n的方差为2，∴3x1＋1,3x2＋1,3x3＋1，…，3x n＋1的方差是32×2＝18.6．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分的中位数为m，众数为n，平均数为x，则m，n，x的大小关系为________．(用“<”连接)答案n<m<x解析由图可知，30名学生得分的中位数为第15个数和第16个数(分别为5,6)的平均数，即m＝5.5；又5出现次数最多，故n＝5；x＝2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9＋2×1030≈5.97.故n<m<x.题型一茎叶图的应用1．(2017·山东)如图所示的茎叶图记录了甲，乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为()A ．3,5B ．5,5C ．3,7D ．5,7 答案 A解析甲组数据的中位数为65，由甲，乙两组数据的中位数相等，得y ＝5.又甲、乙两组数据的平均值相等，∴15×(56＋65＋62＋74＋70＋x )＝15×(59＋61＋67＋65＋78)，∴x ＝3.故选A. 2.(2017·长沙一模)空气质量指数(Air Quality Index ，简单AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染．从某地一环保人士某年的AQI 记录数据中，随机抽取10个，用茎叶图记录如下．根据该统计数据，估计此地该年AQI 大于100的天数约为________．(该年有365天)答案 146解析该样本中AQI 大于100的频数是4，频率为25，由此估计该地全年AQI 大于100的频率为25，估计此地该年AQI 大于100的天数约为365×25＝146.思维升华茎叶图的优缺点由茎叶图可以清晰地看到数据的分布情况，这一点同频率分布直方图类似．它优于频率分布直方图的第一点是从茎叶图中能看到原始数据，没有任何信息损失，第二点是茎叶图便于记录和表示．其缺点是当样本容量较大时，作图较烦琐．题型二频率分布直方图的绘制与应用命题点1 用频率分布直方图求频率、频数典例从全校参加数学竞赛的学生的试卷中抽取一个样本，考察竞赛的成绩分布，将样本分成5组，绘成频率分布直方图，图中从左到右各小组的小长方形的高之比为1∶3∶6∶4∶2，最右边一组的频数是6，请结合频率分布直方图提供的信息，解答下列问题：(1)求样本的容量； (2)列出频率分布表；(3)成绩落在哪个范围内的人数最多，并求出该小组的频数、频率； (4)估计这次竞赛中，成绩高于60分的学生占总人数的百分比．解 (1)由于最右边一组的频数是6，从左到右各小组的长方形的高之比为1∶3∶6∶4∶2，故设样本容量为n ，得(1＋3＋6＋4＋2)∶n ＝2∶6，解得n ＝(1＋3＋6＋4＋2)×62＝48.(2)频率分布表如下：分组频数频率 [50.5,60.5) 3 116 [60.5,70.5) 9 316 [70.5,80.5) 18 38 [80.5,90.5) 12 14 [90.5,100.5] 6 18 合计481(3)由(2)知成绩落在[70.5,80.5)内的人数最多，频数为18，频率为38.(4)估计成绩高于60分的学生占总人数的百分比为3＋6＋4＋21＋3＋6＋4＋2×100%＝93.75%.命题点2 用频率分布直方图估计总体典例 (2016·四川)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求直方图中a的值；(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；(3)估计居民月均用水量的中位数．解(1)由频率分布直方图可知，月均用水量在[0,0.5)的频率为0.08×0.5＝0.04.同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]等组的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝0.5×a＋0.5×a，解得a＝0.30.(2)估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万．理由如下：由(1)知，100位居民中月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12＝36 000. (3)设中位数为x吨．因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5.而前4组的频率之和为0．04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5.所以2≤x<2.5.由0.50×(x－2)＝0.5－0.48，解得x＝2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨．思维升华(1)准确理解频率分布直方图的数据特点，频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距的结果，不要误以为纵轴上的数据是各组的频率，不要和条形图混淆．(2)在很多题目中，频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，是解题的关键，常利用频率分布直方图估计总体分布．跟踪训练(2017·北京)某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：(1)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数； (3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．解 (1)根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02＋0.04)×10＝0.6，所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4，所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4. (2)根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，分数在区间[40,50)内的人数为100－100×0.9－5＝5，所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400×5100＝20.(3)由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为 (0.02＋0.04)×10×100＝60，所以样本中分数不小于70的男生人数为60×12＝30，所以样本中的男生人数为30×2＝60，女生人数为100－60＝40，所以样本中男生和女生人数的比例为60∶40＝3∶2，所以根据分层抽样原理，估计总体中男生和女生人数的比例为3∶2.题型三用样本的数字特征估计总体的数字特征典例 (1)(2017·长春模拟)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：运动员第1次第2次第3次第4次第5次甲 87 91 90 89 93 乙8990918892则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为________．答案 2解析 x 甲＝15(87＋91＋90＋89＋93)＝90，x 乙＝15(89＋90＋91＋88＋92)＝90，s 2甲＝15[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4， s 2乙＝15[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2. (2)甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图：①分别求出两人得分的平均数与方差；②根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价．解 ①由图象可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为甲：10分，13分，12分，14分，16分；乙：13分，14分，12分，12分，14分． x 甲＝10＋13＋12＋14＋165＝13；x 乙＝13＋14＋12＋12＋145＝13，s 2甲＝15[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4； s 2乙＝15[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8. ②由s 2甲>s 2乙，可知乙的成绩较稳定．从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高．思维升华平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小．跟踪训练 (2018·福建漳平模拟)某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，其中a ，a 分别表示甲组研发成功和失败；b ，b 分别表示乙组研发成功和失败．(1)若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分．试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率．解 (1)甲组研发新产品的成绩为1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1，其平均数x 甲＝1015＝23；方差为s 2甲＝115⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－232×10＋⎝⎛⎭⎫0－232×5＝29. 乙组研发新产品的成绩为1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1，其平均数x 乙＝915＝35；方差为s 2乙＝115⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－352×9＋⎝⎛⎭⎫0－352×6＝625. 因为x 甲>x 乙，s 2甲<s 2乙，所以甲组的研发水平优于乙组．(2)记恰有一组研发成功为事件E ，在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，共7个．因此事件E 发生的频率为715.用频率估计概率，即得所求概率为P (E )＝715.高考中频率分布直方图的应用考点分析频率分布直方图是高考考查的热点，考查频率很高，题型有选择题，填空题，也有解答题，难度为中低档．用样本频率分布来估计总体分布的重点是频率分布表和频率分布直方图的绘制及用样本频率分布估计总体分布；难点是频率分布表和频率分布直方图的理解及应用．在计数和计算时一定要准确，在绘制小矩形时，宽窄要一致．通过频率分布表和频率分布直方图可以对总体作出估计．频率分布直方图的纵坐标为频率/组距，每一个小长方形的面积表示样本个体落在该区间内的频率；条形图的纵坐标为频数或频率，把直方图视为条形图是常见的错误．典例 (12分)某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图．(1)求直方图中x 的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；(3)在月平均用电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户？规范解答解 (1)由(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x ＋0.005＋0.002 5)×20＝1，得x ＝0.007 5，所以直方图中x 的值是0.007 5.[2分](2)月平均用电量的众数是220＋2402＝230.[4分]因为(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45<0.5，所以月平均用电量的中位数在[220,240)内，设中位数为a ，由(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＋0.012 5×(a －220)＝0.5，得a ＝224，所以月平均用电量的中位数是224.[8分](3)月平均用电量为[220,240)的用户有0.012 5×20×100＝25(户)，月平均用电量为[240,260)的用户有0.007 5×20×100＝15(户)，月平均用电量为[260,280)的用户有0.005×20×100＝10(户)，月平均用电量为[280,300]的用户有0.002 5×20×100＝5(户)，抽取比例为1125＋15＋10＋5＝15，所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×15＝5(户)．[12分]1．(2017·全国Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是( ) A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳答案 A解析对于选项A ，由图易知，月接待游客量每年7,8月份明显高于12月份，故A 错；对于选项B ，观察折线图的变化趋势可知，年接待游客量逐年增加，故B 正确；对于选项C，D，由图可知显然正确．故选A.2．(2018届广东肇庆检测)下面茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为()A．58 B．49C．67 D．310答案 A解析由题意根据甲组数据的中位数为15，可得x＝5；乙组数据的平均数为16.8，则9＋15＋18＋24＋10＋y5＝16.8，求得y＝8.3．(2016·全国Ⅲ)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是()A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个答案 D解析由题意知，平均最高气温高于20℃的有七月，八月，故选D.4．某工厂对一批新产品的长度(单位：mm)进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数为()A ．20B ．25C ．22.5D ．22.75答案 C解析产品的中位数出现在频率是0.5的地方．自左至右各小矩形的面积依次为0.1,0.2,0.4,0.15,0.15，设中位数是x ，则由0.1＋0.2＋0.08×(x －20)＝0.5，得x ＝22.5，故选C.5．(2017·长沙适应性考试)某校开展“爱我母校，爱我家乡”摄影比赛，七位评委为甲，乙两名选手的作品打出的分数的茎叶图如图所示(其中m 为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲，乙两名选手得分的平均数分别为a 1，a 2，则一定有( )A ．a 1>a 2B ．a 2>a 1C ．a 1＝a 2D ．a 1，a 2的大小与m 的值有关答案 B解析由茎叶图知，a 1＝80＋1＋5＋5＋4＋55＝84，a 2＝80＋4＋4＋6＋4＋75＝85，故选B.6．若样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为8，则数据2x 1－1,2x 2－1，…，2x 10－1的标准差为( )A ．8B ．15C ．16D ．32 答案 C解析已知样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为s ＝8，则s 2＝64，数据2x 1－1,2x 2－1，…，2x 10－1的方差为22s 2＝22×64，所以其标准差为22×64＝2×8＝16，故选C.7．已知样本数据x1，x2，…，x n的平均数x＝5，则样本数据2x1＋1,2x2＋1，…，2x n＋1的平均数为________．答案11解析由x1，x2，…，x n的平均数x＝5，得2x1＋1,2x2＋1，…，2x n＋1的平均数为2x＋1＝2×5＋1＝11.8．为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80,130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100 cm.答案24解析底部周长在[80,90)的频率为0.015×10＝0.15，底部周长在[90,100)的频率为0.025×10＝0.25，样本容量为60，所以树木的底部周长小于100 cm的株数为(0.15＋0.25)×60＝24. 9．(2018·郑州模拟)某电子商务公司对10 000名网络购物者2016年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示：(1)直方图中的a＝________；(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为________．答案(1)3(2)6 000解析由频率分布直方图及频率和等于1，可得0.2×0.1＋0.8×0.1＋1.5×0.1＋2×0.1＋2.5×0.1＋a×0.1＝1，解得a＝3.于是消费金额在区间[0.5,0.9]内的频率为0.2×0.1＋0.8×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，所以消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为0.6×10 000＝6 000.10．某校女子篮球队7名运动员身高(单位：cm)分布的茎叶图如图，已知记录的平均身高为175 cm，但记录中有一名运动员身高的末位数字不清晰，如果把其末位数字记为x，那么x的值为________．答案 2解析 170＋17×(1＋2＋x ＋4＋5＋10＋11)＝175，17×(33＋x )＝5，即33＋x ＝35，解得x ＝2. 11．(2017·贵州遵义检测)在一个文艺比赛中，12名专业人士和12名观众代表各组成一个评判小组，给参赛选手打分，如图是两个评判组对同一选手打分的茎叶图：(1)求A 组数的众数和B 组数的中位数；(2)对每一组计算用于衡量相似性的数值，回答：小组A 与小组B 哪一个更像是由专业人士组成的？并说明理由．解 (1)由茎叶图可得：A 组数据的众数为47，B 组数据的中位数为55＋582＝56.5.(2)小组A ，B 数据的平均数分别为 x A ＝112(42＋42＋44＋45＋46＋47＋47＋47＋49＋50＋50＋55)＝56412＝47， x B ＝112(36＋42＋46＋47＋49＋55＋58＋62＋66＋68＋70＋73)＝67212＝56, 小组A ，B 数据的方差分别为s 2A＝112[(42－47)2＋(42－47)2＋…＋(55－47)2] ＝112(25＋25＋9＋4＋1＋0＋0＋0＋4＋9＋9＋64)＝12.5， s 2B ＝112[(36－56)2＋(42－56)2＋…＋(73－56)2] ＝112(400＋196＋100＋81＋49＋1＋4＋36＋100＋144＋196＋289)＝133. 因为s 2A <s 2B ，所以A 组成员的相似程度高，由于专业裁判给分更符合专业规则，相似程度应该高，因此A 组更像是由专业人士组成的．12．(2016·北京)某市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w 立方米的部分按4元/立方米收费，超出w 立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10 000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：(1)如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w＝3时，估计该市居民该月的人均水费．解(1)如题图所示，用水量在[0.5,3)的频率的和为(0.2＋0.3＋0.4＋0.5＋0.3)×0.5＝0.85.∴用水量小于等于3立方米的频率为0.85，又w为整数，∴为使80%以上的居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为3.(2)当w＝3时，该市居民该月的人均水费估计为(0.1×1＋0.15×1.5＋0.2×2＋0.25×2.5＋0.15×3)×4＋0.15×3×4＋[0.05×(3.5－3)＋0.05×(4－3)＋0.05×(4.5－3)]×10＝7.2＋1.8＋1.5＝10.5(元)．即当w＝3时该市居民该月的人均水费估计为10.5元．13．(2017·全国Ⅰ)为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，x n，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是()A．x1，x2，…，x n的平均数B．x1，x2，…，x n的标准差C．x1，x2，…，x n的最大值D．x1，x2，…，x n的中位数答案 B解析因为可以用极差、方差或标准差来描述数据的离散程度，所以要评估亩产量稳定程度，应该用样本数据的极差、方差或标准差．故选B.14．某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表．A地区用户满意度评分的频率分布直方图图①B地区用户满意度评分的频数分布表满意度[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]评分分组频数281410 6(1)在图②中作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；B地区用户满意度评分的频率分布直方图图②(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．解(1)作出频率分布直方图如图：通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B 地区用户满意度评分的平均值高于A 地区用户满意度评分的平均值；B 地区用户满意度评分比较集中，而A 地区用户满意度评分比较分散．(2)A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大．记C A 表示事件：“A 地区用户的满意度等级为不满意”；C B 表示事件：“B 地区用户的满意度等级为不满意”．由直方图得P (C A )的估计值为(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6， P (C B )的估计值为(0.005＋0.02)×10＝0.25.所以A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大．15．(2017·山西大学附中诊断测试)已知样本(x 1，x 2，…，x n )的平均数为x ，样本(y 1，y 2，…，y m )的平均数为y (x ≠y )，若样本(x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y m )的平均数z ＝a x ＋(1－a )y ，其中0<a <12，则n ，m 的大小关系为( )A ．n <mB ．n >mC ．n ＝mD ．不能确定答案 A解析由题意可得x ＝x 1＋x 2＋…＋x nn，y ＝y 1＋y 2＋…＋y mm，z ＝x 1＋x 2＋…＋x n ＋y 1＋y 2＋…＋y m n ＋m＝n n ＋m ·x 1＋x 2＋…＋x n n ＋m n ＋m ·y 1＋y 2＋…＋y mm＝n n ＋m ·x ＋mn ＋m·y ＝a x ＋(1－a )y ，所以n n ＋m ＝a ，m n ＋m ＝1－a ，又0<a <12，所以0<n n ＋m <12<mn ＋m，所以n <m .故选A.16．(2018·洛阳质检)从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到如下频数分布表：质量指标值分组[75,85) [85,95) [95,105) [105,115) [115,125]频数62638228(1)作出这些数据的频率分布直方图；(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？解(1)样本数据的分布直方图如图所示：(2)质量指标值的样本平均数为x＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.质量指标值的样本方差为s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38＋0.22＋0.08＝0.68.由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定．。