《微积分初步》解应用题辅导

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《微积分初步》教案

《微积分初步》教案标题：微积分初步教案一、教学目标：1.掌握极限的概念和性质，能够运用极限计算函数的极限。

2.了解函数的连续性和可导性，并能够应用这些概念进行简单的函数分析。

3.掌握函数的导数的计算方法，理解导数的几何意义。

4.掌握函数的积分的概念和基本计算方法，理解积分的几何意义。

二、教学内容：1.极限的概念和性质（1）函数极限的概念（2）极限的性质（3）极限存在性的判定方法（4）函数极限的计算方法2.连续性和可导性（1）连续函数的概念（2）间断点和无穷间断点（3）可导函数的概念（4）可导函数的判定方法3.导数的计算和几何意义（1）导数的定义和计算方法（2）导数的几何意义（3）常见函数的导数计算方法4.积分的概念和基本计算方法（1）不定积分的概念和性质（2）定积分的概念和性质（3）不定积分和定积分的计算方法（4）积分的几何意义三、教学过程：1.极限的概念和性质（1）引入：通过一个数列极限的例子引导学生了解极限的概念。

（2）讲解函数极限的定义和性质，如唯一性、有界性等。

（3）讲解极限存在性的判定方法，如夹逼准则、单调有界准则等。

（4）通过例题演示函数极限的计算方法。

2.连续性和可导性（1）引入：通过举例说明连续函数和不连续函数的特点。

（2）讲解连续函数的概念和连续函数的性质，如零点定理、介值定理等。

（3）讲解可导函数的概念和可导函数的判定方法，如极限定义和导数定义。

（4）通过例题演示连续函数和可导函数的判断。

3.导数的计算和几何意义（1）引入：通过速度和加速度的例子引导学生理解导数的几何意义。

（2）讲解导数的定义，利用定义推导常用函数的导数计算方法。

（3）通过几何意义解释导数的含义，如切线斜率、函数增减性等。

（4）通过例题演示常见函数的导数计算方法及几何意义。

4.积分的概念和基本计算方法（1）引入：通过求曲线下的面积问题引导学生理解积分的概念。

（2）讲解不定积分和定积分的定义和性质。

（3）讲解不定积分和定积分的计算方法，如换元法、分部积分法等。

微积分初步辅导二

《微积分初步》单元辅导二——导数与微分部分学习重难点解析(一)关于导数的概念函数的导数是一个增量之比的极限，即xx f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆)()(limlim)(00 我们把xy ∆∆称为函数的平均变化率，把x y x ∆∆→∆0lim 称为变化率，若x y x ∆∆→∆0lim 存在则可导，否则不可导.导数是由极限定义的，故有左导数和右导数.)(x f 在点0x 处可导必有函数)(x f 在点0x 处左右导数都存在且相等.(二)导数、微分和连续的关系由微分的定义x x f yd )(d '=可知(1)函数的可导与可微是等价的，即函数可导一定可微；反之可微一定可导.(2)计算函数)(x f 的微分y d ，只要计算出函数的导数)(x f '再乘上自变量的微分x d 即可；因此，我们可以将微分的计算与导数的计算归为同一类运算.(3)由定理可知，连续是可导的必要条件，那么，函数可微也一定连续.反之不然，即连续函数不一定是可导或可微函数.(三)导数的几何意义由切线问题分析可知，函数)(x f y =在点0x 处的导数就是曲线)(x f y =在点（0x ，))(0x f 处切线的斜率。

于是，)(x f y =在点（0x ，)0y 处的切线方程为(四)关于导数的计算掌握导数的计算首先要熟记导数基本公式和求导法则.在我们这门课程中所学习的求导法则和方法有： (1)导数的四则运算法则；(2)复合函数求导法则；(3)隐函数求导方法. 对于上述法则和方法在实用中要注意其成立的条件.在导数的四则运算法则中，应该注意乘法法则和除法法则，注意它们的构成形式并注意解题的技巧.例如，xx y -=1，求1=''x y .这是一个分式求二阶导数的问题，形式上应该用导数的除法法则求解，但是，如果将函数变形为2121x x y -=-再求导数就应该用导数的加法法则了.假如我们掌握了一些解题的技巧，会使我们的运算变得简单还会减少错误.复合函数求导数是学习的重点也是难点，它的困难之处在于对函数的复合过程的分解.由复合函数求导法则知，复合函数)(),(x u u f y ϕ==的导数为：)()(x u f y x ϕ''='在求导时将))((x f y ϕ=分解为)(),(x u u f y ϕ==(其中u 为中间变量)，然后分别对中间变量和自变量求导再相乘.那么如何进行分解就是解题的关键，一般的说，所设的中间变量应是基本初等函数或基本初等函数的四则运算，这样就会对于)(),(x u u f y ϕ==分别都要有导数公式或法则可求导.如果分解后找不到求导公式，则说明分解有误.例如函数x y 2sin=，其分解为x v v u u y ===,sin ,2.于是分别求导为，v u u y v u cos ,2='='，xv x 21='.相乘得到x xxx x y x 2sin 2121cos sin2⋅=⋅⋅='.有一种错误的分解是x u u y ==,sin 2，这样在求导时会发现没有导数公式可以来求uy '. 隐函数的特点是变量y 与x 的函数关系隐藏在方程中，例如y x y sin 1+=，其中的y sin 不但是y 的函数，还是x 的复合函数.所以对于y sin 求导数时应该用复合函数求导法则，先对y 的函数y sin 求导得y cos ，再乘以y 对x 的导数y '.由于y 对x 的函数关系不能直接写出来，故而只能把y 对x 的导数写为y '.一般地说，隐函数求导数分为下列两步：① 方程两边对自变量x 求导，视y 为中间变量，求导后得到一个关于y '的一次方程；② 解方程，求出y 对x 的导数y '.总之，导数公式和求导法则是要靠练习来熟悉和理解的，我们应该通过练习掌握方法并从中获得技巧.微积分初步学习辅导——导数与微分部分典型例题例1 求下列函数的导数或微分： (1)设3333log 3-++=x x yx ，求y '.；(2)设322xx y -=，求y d(3)设x x ycos 1sin +=，求)3(πy '.分析这三个函数都是由基本初等函数经过四则运算得到的初等函数，求导或求微分时，需要用到导数基本公式和导数的四则运算法则.对于(1)先用导数的加法法则，再用导数基本公式；对于(2)，可以先用导数除法法则，再用基本公式；但注意到(2)中函数的特点，先将函数进行整理，32313222--=-=xx xx y ，则可用导数的加法法则求导，得到函数的导数后再乘以x d ，得到函数的微分；对于(3)用导数除法法则，再用基本公式.解 (1))3log 3(333'-++='x xy x =)3()(log )3()(333'-'+'+'x x x=03ln 13ln 332-++x xx =3ln 13ln 332x x x ++ (2)因为32313222--=-=x x xx y所以353232313431)(2)(---+='-'='x x x x y ，于是 x x x x y y d )3431(d d 3532--+='=.(3)因为2)cos 1()cos 1(sin )cos 1()(sin x x x x x y +'+-+'='=2222)cos 1(sin cos cos )cos 1()sin (sin )cos 1(cos x xx x x x x x x +++=+--+=x cos 11+ 所以)3(πy '==+=3cos 11πx x322111=+ 在运用导数的四则运算法则应注意：① 在求导或求微分运算中，一般是先用法则，再用基本公式； ② 把根式qp x 写成幂次qp x 的形式，这样便于使用公式且减少出错；③ 解题时应先观察函数，看看能否对函数进行变形或化简，在运算中尽可能的避免使用导数的除法法则. 如例1中的(2)小题，将322xx y -=变形为32313222--=-=x x xx y 后再求导数，这种解法比直接用除法法则求解要简便且不易出错.④导数的乘法和除法法则与极限相应的法则不同，运算也相对复杂得多，计算时要细心. 例2 求下列函数的导数或微分： (1) 设xy 1sin e =，求y d .；(2) 设)1ln(2x x y +-=，求)3(y '.(3) 设102)1(+=x x y ，求y '. 分析采用复合函数求导法则，所设的中间变量应是基本初等函数或基本初等函数的四则运算.求导时，依照函数的复合层次由最外层起，向内一层层地对中间变量求导，直至对自变量求导为止.解 (1)设xv v u yu 1,sin ,e ===，利用复合函数求导法则，有代回还原得)1(1cos e21sin xx y x-='，x y y d d '=x x x x d )1(1cos e 21sin -=在基本掌握复合函数求导法则后，也可以不写出中间变量，如下解法：(2)设1,,ln 2+=-==x v v x u u y ，利用复合函数求导法则，有代回还原得)11(1122+-+-='x x x x y 112+-=x ，21131)3(-=+-='y 或着)1(1122'+-+-='x x x x y ])1(1211[11222'++-+-=x x x x(3)设1,,210+===x v vxu u y，利用复合函数求导法则和导数的四则运算法则有，代回还原得11229222292)1()1(10)1(21)1(10+-=+-+⋅+='x x x x x x x x y 或着22292292)1(21)1(10)1()1(10+⋅-++='++='x xx x x x x x x x y 例3求下列方程所确定的隐函数的导数y '或微分y d ：(1)022=++xy y x ，求y d ； (2) x x y xy2cos ln e=+，求y '.分析隐函数的特点是：因变量y 与自变量x 的对应关系是隐藏在方程中的.因此，在求导数时，不要忘记y 是x 的函数，在对y 的函数求导后切记再乘以y 对x 的导数y '.依隐函数求导数的步骤求导. 解(1)[方法1] 由导数得到微分.方程两边对自变量x 求导，视y 为中间变量，有0)(22='++'+y x y y y x ，即)2()2(x y y y x +-='+整理方程，解出y '，得：y x x y y 22++-='，y d =x yx xy x y d 22d ++-=' [方法2] 方程两边对变量求微分，这时变量y 和x 的地位是相同的，即不再将y 看作x 的函数.0)d(22=++xy y x ，0d d d 2d 2=+++y x x y y y x xy d =x yx x y d 22++-(2)方程两边对自变量x 求导，视y 为中间变量，有于是xy xy y x yx y x x e 2sin 2)ln e (---='+ 整理方程解出y '，得：xx x yx y x x x x y x yx y xyxy xy xyln e e 2sin 2ln e e 2sin 22+++-=+++-='. 例4 求由曲线422=++y xy x 在点)2,2(-M 的切线方程. 分析如果函数)(x f y =可导，函数曲线在点0x 处的切线方程为因此求曲线在某点处的切线方程，必须知道两点：①曲线在点0x 处的导数)(0x f '；②切点),(00y x . 此题中，切点)2,2(-M 已知，只需对隐函数方程求导数，求出)(0x f '.解方程两边对x 求导，得：022='+'++y y y x y x解出y '，得yx yx y 22++-='，122-='-==y x y于是，在点)2,2(-M 的切线方程为：)2(1)2(-⨯-=--x y ，即4-=x y请注意：求曲线的切线方程是导数概念的一个重要应用，一般地，在题目中只给出切线方程的两个要点中的一个，另一个是要根据已知条件求出来的.再则，如果已知条件中只给了切点的横坐标0x ，那么纵坐标0y 可以通过)(00x f y =得到.例5 求函数x x y ln =的二阶导数.分析函数的二阶导数为函数一阶导数的导数.(如果仍然可导). 解因为 )1ln 21(11ln 21+=⋅+='x x x x x xy 所以 x x xx x x y ln 41121)1ln 21(212323---=⋅++-=''.微积分初步学习辅导——导数的应用部分学习辅导一、学习重、难点解析（一）函数的单调性与极值：函数的单调性判别法，函数极值及其求法。

基本微积分应用题

基本微积分应用题微积分是数学的一个重要分支，是研究函数的变化趋势、变化速率以及求取曲线下面积的工具。

在实际生活中，微积分的应用十分广泛，涉及到各个领域。

本文将通过一些基本微积分应用题的解析，来展示微积分在实际问题中的应用。

1. 球体体积问题假设有一个半径为R的球体，求其体积。

球体的体积可以通过微积分来求解。

球的体积公式为V=4/3πR³，其中π为圆周率。

将此公式视为一个函数V(R)，可以对其进行微积分求解。

首先对R进行微分，得到dV/dR=4πR²，然后对该导数进行积分，得到V(R)=4/3πR³+C，其中C为常数。

根据球的半径为R的条件，可以求得常数C的值为0，最终得到球体的体积公式为V=4/3πR³。

2. 线段长度问题现有一条曲线上的线段，其曲线方程为y=f(x)，需要求该线段的长度。

线段的长度可以通过微积分中的弧长公式进行求解。

假设要计算曲线上从a点到b点的线段长度，可以利用微积分求解。

首先对该曲线方程进行微分，得到dy/dx=f'(x)，然后根据弧长公式∫√(1+(dy/dx)²)dx来进行积分，积分范围为a到b，即可求得线段的长度。

3. 曲线下面积问题给定曲线y=f(x)和x轴，需要求曲线在某一区间上的面积。

曲线下面积可以通过微积分中的定积分来计算。

将曲线与x轴围成的区域分割为若干个小矩形，每个小矩形的面积是高度乘以宽度，宽度可以看做无限小的dx，高度则是曲线上对应点的函数值f(x)。

将这些小矩形的面积相加，并在区间上进行累加，即可得到曲线在该区间上的面积。

通过以上基本微积分应用题的解析，我们可以看到微积分在实际问题中的广泛应用。

无论是求体积、计算长度还是求面积，微积分都能提供有效的解决方法，并为我们理解变化的规律提供了重要工具。

因此，掌握微积分知识对于解决实际问题具有重要意义。

愿本文的内容能帮助读者更好地理解微积分的应用及其重要性。

2018年成人高考《微积分初步》复习题及答案知识点复习

微积分初步模拟试题一、填空题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数x x x f -++=4)2ln(1)(的定义域是．⒉若24sin lim0=→kxxx ，则=k ．⒊曲线x y e =在点)1,0(处的切线方程是．⒋=+⎰e12d )1ln(d d x x x．⒌微分方程1)0(,=='y y y 的特解为．二、单项选择题（每小题4分，本题共20分） ⒈设函数x x y sin =，则该函数是（）．A ．偶函数B ．奇函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数⒉当=k （）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,2)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3 ⒊下列结论中（）正确．A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微.B ．函数的极值点一定发生在其驻点上.C ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导.D ．函数的极值点一定发生在不可导点上. ⒋下列等式中正确的是（）．A . )cos d(d sin x x x = B. )1d(d ln xx x =C. )d(d x x a x a =D. )d(2d 1x x x= ⒌微分方程x y y x y sin 4)(53='''+''的阶数为（） A. 2； B. 3； C. 4； D. 5 三、计算题（本题共44分，每小题11分）⒈计算极限2386lim 222+-+-→x x x x x ．⒉设x x y 3cos ln +=，求y d . ⒊计算不定积分x x d )12(10⎰-⒋计算定积分x x d ln 2e 1⎰四、应用题（本题16分）欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？参考答案一、填空题（每小题4分，本题共20分）⒈]4,1()1,2(-⋃-- ⒉2 ⒊1+=x y ⒋0 ⒌x y e = 二、单项选择题（每小题4分，本题共20分）⒈A ⒉ C ⒊C ⒋D ⒌B 三、（本题共44分，每小题11分）⒈解：原式214lim )1)(2()2)(4(lim22-=--=----=→→x x x x x x x x ⒉解：)sin (cos 312x x x y -+='x x x xy d )cos sin 31(d 2-=⒊解：x x d )12(10⎰-= cx x x +-=--⎰1110)12(221)12(d )12(21 ⒌解：x x d ln 2e 1⎰-=21ln ex x 1e 1e e 2d 222e 12+=+-=⎰x x x四、应用题（本题16分）解：设底边的边长为x ，高为h ，用材料为y ，由已知22108,108xh h x ==x x xx x xh x y 432108442222+=⋅+=+=令043222=-='x x y ，解得6=x 是唯一驻点，且04322263>⨯+=''=x x y ，说明6=x 是函数的极小值点，所以当6=x ，336108==h 时用料最省。

高中数学微积分初步教案

高中数学微积分初步教案一、教学目标通过本节课的学习，学生应能够：1. 掌握微积分的基本概念和原理；2. 理解导数和微分的概念，能够应用相关公式求解问题；3. 掌握函数极值的判定方法，能够解决极值相关的应用问题。

二、教学准备1. 教材：高中数学教材；2. 工具：计算器、黑板、粉笔。

三、教学步骤步骤一：引入1. 通过提问和讨论，激发学生对微积分的兴趣，引导学生思考微积分的应用领域和重要性。

2. 引导学生回顾导数和微分的概念，复习相关公式和求解方法。

步骤二：导数与微分的定义1. 结合具体的图像和实例，介绍导数的定义和计算方法。

2. 通过实例演示，引导学生理解导数与切线的关系。

步骤三：导数的性质与应用1. 介绍导数的性质，如加法法则、乘法法则和链式法则。

2. 引导学生应用导数解决相关问题，如切线方程、极值判断等。

步骤四：微分与微分近似1. 介绍微分的概念和计算方法。

2. 引导学生通过微分近似法解决实际问题，如函数近似值的计算、误差估计等。

步骤五：函数极值与应用1. 介绍函数极值的定义和求解方法。

2. 引导学生应用极值解决实际问题，如最优化问题、最大利润计算等。

步骤六：拓展练习1. 分发练习题，包括计算和应用题型，要求学生独立完成。

2. 对学生的答题情况进行检查和评价，及时解答他们的疑问。

四、教学延伸1. 鼓励学生参加数学竞赛或相关科研项目，提升对微积分的理解和应用能力。

2. 推荐相关的参考书籍和学习资源，供学生自主学习和深入研究。

五、教学总结1. 对本节课的重点和难点进行总结，强调学生需要重点掌握和复习的内容。

2. 激发学生对数学学习的兴趣，鼓励他们积极参与课后练习和讨论。

六、教学反思本节课采用了多种教学方法和手段，帮助学生理解微积分的基本概念和原理。

通过举例和应用题的讲解，提高了学生对微积分的应用能力。

然而，在教学过程中，有些学生对抽象的概念和计算方法还存在一定的困惑，需要加强巩固和练习。

在今后的教学中，我将更加注重与学生的互动和激发学习兴趣，帮助他们更好地掌握微积分的知识和技巧。

《微积分初步》解应用题辅导

（4）在驻点唯一的情况下，极大（小）值点即为最大（小）值点，得出结论，回答问题。
二．典型例题
例1．设矩形的周长为120厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。
分析：本题是要求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大，设矩形的边长分别为（厘米），且以边长为的边为轴旋转一周得圆柱体，则该圆柱体的体积为
解：设容器的底半径为，高为，则其表面积为
由，得唯一驻点，由实际问题可知，当时可使用料最省，此时，即当容器的底半径与高分别为与时，用料最省．
例4欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？
解：设底边的边长为，高为，用材料为，由已知
再由已知条件，，即，代入即得
圆柱体的体积为所以我们的问题就是为多少时，可使取得最大值。
解：设矩形的边长分别为（厘米），则有
若矩形以边长为的边为轴旋转一周得圆柱体，则圆柱体的体积为。
求导得
令得舍去）
，
说明是极大值点，故当厘米并以矩形短边为旋转轴时可使圆柱的体积最大。
所以
令，得，
因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当时水箱的面积最小.
此时的费用为（元）
于是
这样此题就转化为求边长为为多少时，函数的最小值问题。
解：设土地一边长为，另一边长为，共用材料为
于是
令得到唯一驻点（舍去）
因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当土地一边长为，另一边长为18时，所用材料最省。
例3某制罐厂要生产一种体积为V的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时可使用料最省？
《微积分初步》解应用题的辅导

电大专科《微积分初步》复习题及答案

电大微积分初步考试小抄一、填空题 ⒈函数xx f -=51)(的定义域是→x ＜5⒉∞→xx x sin lim1sin lim =∞→x x ，01→∞→x 时， ⒊已知xx f 2)(=，则)(x f ''⒋若⎰+=c x F xx f )(d )(，则⎰-x x f d )32(⒌微分方程x y y x =+'''e sin )(y '''6.函数)2ln(1)(+=x x f }{}{}122-1ln )2(ln 2-x 02ln 0≠+⇒≠+⇒≠+x x x x ，＞，＞，＞ ∴{}1- 2-x |≠且＞x 7.→x x x 2sin lim 0 211212lim 2sin lim 00=⋅=→→x x x x x x 21:222sin lim0==→x x x 8.若y = x (x – 1)(x – 2)(x – 3)，则y '(0)y=x(x-1)(x-2)(x-3)=(x 2-x)(x 2-5x+6)=x 4-5x 3+6x x 2-6x=x 4-6x 3+11x 2-6x , 622184y 23x-+-='x x ⇐（把0带入X ）,6)0(-='∴y 9.⎰-x x d ed 2)()(x f dx x f ='⎰）（或dx xf dx x f d )())((=⎰ 10.微分方程1)0(,=='y y y y y =' y dxdy= ⎰⎰==∴dx dy dx y dy y 两边积分 e c x y +=∴又y(0)=1 (x=0 , y=1) c x y +=∴ln 010==∴+c e c，11.函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是⎩⎨⎧-≠≤-⇒⎩⎨⎧≠+≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠+≤≤⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠++≥-122122x 21ln )2ln(2-2x 2-0)2(ln 02042x x x x x x x x ＜＜＞＞ 12.若函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,0,13sin )(x k x xx x f ,在0=x 处连续，则k )()(lim00x x f x f x =→ ()(x f 在x 0处连续) ∵k f =)0(113sin 0lim )13sin (0lim =+⋅→=+→∴xx x x x x（无穷小量x 有界函数） 13.曲线x y =在点)1,1(处的切线方程是xx y 2== ， x y 2121-=' 切k y ==='∴211x |2121y)1(11y +=⇒-=-∴∴x x 方程 14.'⎰x x s d )in (15.微分方程y y x y sin 4)(5=+''16.函数)2ln()(-=x x x f {}3x 2x |122)2ln(20)2ln(02≠⇒⎩⎨⎧≠-⇒⎩⎨⎧≠-⇒⎩⎨⎧≠--且＞＞＞＞x x x n x x x x 17.∞→xx x 2sin lim 18.已知x x f 3)(+=，则)3(f '3ln 3)(2xx f +='3ln 2727)3(+='∴f19.⎰2de x 20.微分方程x y xyy sin 4)(7)4(=+ 二、单项选择题⒈设函数2e e xx y +=-，则该函数是（偶函数）．∵所以是偶函数)(2e e )(x f x f xx =+=--⒉函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（2,1==x x ）分母无意义的点是间断点∴2,1,0232===+-x x x x⒊下列结论中（)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导）正确．可导必连续，伹连续并一定可导；极值点可能在驻点上，也可能在使导数无意义的点上⒋如果等式⎰+-=c x x f x x 11e d e )(，则=)(x f)()1()()(,1u )(),()(,)()(111'-•='-•'='∴=-=='∴='∴+=⎰---x e xe e e y xe xf x F C x F dx x f u u x u x，令22112121)()()(xx f x e e x f xex e xxxu=∴=∴=•=----⒌下列微分方程中，（x yx y y sin =+' ）是线性微分方程． 6.设函数2e e xx y --=，则该函数是（奇函数）．7.当=k （2 ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,2)(2x k xx x f 在0=x 处连续.8.下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调减少的是（x -3）．9.11.设1)1(2-=+x x f，则(x f 12.若函数f (x )在点x 0处可导，但)(0x f A ≠)是错误的．13.函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（先减后增） 14.=''⎰x x f x d )((c x f x f x +-')()(）16.17.当=k （2）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,1e )(x k x x f x 在0=x 处连续.18.函数12+=x y 在区间)2,2(-是（先单调下降再单调上升）19.在切线斜率为2x 的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（y = x 2+ 3）．20.微分方程1)0(,=='y y y 的特解为（xy e =）．三、计算题⒈计算极限423lim222-+-→x x x x ．解:41)2()1(lim 2)2(1(lim22=+-=---→→x x x x x x x ） ⒉设x x y x+=-2e，求y d . 解：x e x e xx 23221x2-+=⨯+-e y x 21-=e y u=1，u= -2x)(11e y u =′·(-2x)′=e u·（-2）= -2·e -2x∴y ′= -2e -2x +x 2123 ∴dy=(-2·e -2x+x2123)dx⒊计算不定积分x xx d sin ⎰解：令u=x21x =,u ′=xx 212121=-∴dx xdu21=∴u sin ·2du=⎰udu sin 2=2(-cos)+cc x x xde 210x∴⎰1u v ′dx=uv x vd u -110|'⎰1)(010101110|||=-'-=-=-⋅=∴⎰⎰e e ee ee e e x dxx dx x x x xx x∴原式=25.计算极限9152lim 223--+→x x x x34353lim )3)(3()3)(5(3lim =++→=+--+→x x x x x x x x6.设x x x y cos ln +=，求y d 解：x x x y xxcos ln cos ln 2321+=+⋅=y 1=lncosxy 1=lnu1,u=cosx ∴xx x u x u ycos sin )sin (1)(cos )(ln 11-=-⋅='⋅'=y 1=xxx cos sin 2321-∴dy=(xx x cos sin 2321-)dx7.计算不定积分x x d )21(9⎰-解：dx x ⎰-)21(9令u=1-2x , u ′= -2 ∴du dx x du 212-=⇒-=c c dudu x u u u+-=++⋅-=-=-⋅-⎰⎰20192121)21()21(1010998.计算定积分x x xd e 1⎰-解：u=x,e e xx v v ---=='， )()(1111010|x d dxx dx x e e e e e xxx x--=--⋅-=⋅⎰⎰⎰-----=1)11(1|11=--=---ee e e x9.计算极限4586lim 224+-+-→x x x x x3212lim )4)(1()4)(2(lim 44=--=----→→x x x x x x x x 10.设x y x3sin 2+=，求y dy 1=sin3x y 1=sinu , u=3x ,x y3cos 3x 3sinu 1='⋅'='）（）（∴y ′=2xln2+3cos3x ∴dy=(2xln2+3cos3x)dx 11.计算不定积分x x x d cos ⎰⎰xdx x cos u=x , v ′=cosx , v=sinx ⎰⎰+--=-⋅=cx x x xdx x x xdx x )cos (sin sin sin cos12.计算定积分x x x d ln 51e1⎰+⎰⎰⎰⎰+=+=+e e e edxx x dxx x x dxx x dx x 11e111ln 51ln 5ln ln 51|令u=lnx, u ′=x1, du=x 1dx , 1≤x ≤e 0≤lnx ≤1∴2121ln |102101===⎰⎰u udu dx x x e∴原式=1+5·21=2713.计算极限623lim 222-++-→x x x x x解：5131lim )2)(3x ()1)(2(lim22=+-=-+--→→x x x x x x x 14.设xx y 12e =，求y '解：ex xy 12⋅=(ey x11=) ,ey u=1, xu 1= ,xe x e e y xu u x 21211)1()1()(-=-⋅='⋅'=) ee xe x e e x e x x1x12x12x1x12x122)(2)()(y -=-⋅+='⋅+⋅'='∴x x15.计算不定积分x x d )12(10⎰-解：dx x ⎰-)12(10u=2x-1 ,d '=2 du=2dx∴c du du dx u uux +⋅=⋅=⋅=⎰⎰⎰-1121212111101010)12(c x +=-）（121121 16.计算定积分⎰1d e x x x解：dx x e x⎰⋅1u=x , e xv =' , e xv =1)1(1110|=--=-⋅=⎰⎰e e dx x dx x e e e xx x四、应用题（本题16分）用钢板焊接一个容积为43m 的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？解：设水箱的底边长为x ，高为h,表面积为s ，且有h=x24所以S(x)=x 2+4xh=x 2+x16'xx S 2162-='令S '（x ）=0，得x=2因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以x=2，h=1时水箱的表面积最小。

《微积分初步》辅导6----不定积分

《微积分初步》辅导6----不定积分一、学习重难点解析（一）关于原函数与不定积分概念1. 原函数与不定积分是两个不同的概念, 它们又是紧密相连的. 对于定义在某区间上的函数f (x ),若存在函数F (x ), 使得该区间上的每一个点x 处都有)()(x f x F ='成立, 则称F (x )是f (x )的一个原函数；而c x F +)(（c 为任意常数）称为f (x )的不定积分.2. f (x )如果有原函数, 则有无穷多个；而且任意两个原函数之间仅相差一个常数. 求f (x )的不定积分是求其全体原函数, 而只要求出一个原函数F (x ), 再加上任意常数c ,就得到了f (x )的全体原函数. 因此原函数与不定积分是个体与全体的关系.3. f (x )的不定积分⎰x x f d )(中隐含着积分常数,在计算的结果中一定要有积分常数c . 如果被积函数f (x )是由几个函数的代数和构成时, 计算中要利用积分的性质, 将其分为几个积分的代数和, 但是不必每个积分都加积分常数, 当积分号消失时是一定要加上积分常数c .（二）关于不定积分的性质1. 求导数（或微分）与求不定积分互为逆运算, 这是教材中的性质1. 由这个性质可以知道, 对一个函数若先求导数（或微分）再求积分等于该函数加上任意常数c ；若先求积分再求导数（或微分）则两种运算相互抵消, 结果等于被积函数（或被积表达式）. 例如xx x x x x sin d sin d d =⎰ c xx x x +=⎰sin )sin d(. 2. 教材3. 1. 2中的性质2和性质3是不定积分的运算性质, 将它们结合起来有⎰⎰⎰±=±x x g k x x f k x x g k x f k d )(d )(d )]()([2121.（三）不定积分的几何意义函数)(x f 的原函数)(x F 的几何图形称为)(x f 的积分曲线, )(x f 的不定积分c x F x x f +=⎰)(d )(是)(x f 的一蔟积分曲线, 这蔟积分曲线在横坐标相同的点x 处的斜率是相同的.（四）关于不定积分的计算1. 积分基本公式是积分计算的最终依据, 在积分计算时, 必须将积分号中的被积表达式与某个基本公式中被积表达式的形式完全相一致, 方可利用公式求出积分.2. 第一换元积分法（凑微分法）主要是处理复合函数求积分的方法, 它的基本思想是“变换积分变量, 使新的积分对于新的积分变量好求原函数”, 采用的手段是 “凑微分”, 将⎰x x f d )(凑成⎰'x x x f d )()]([1ϕϕ, 如果说被积函数可以凑成)()]([1x x f ϕϕ'这样两个因子的乘积（其中一个是)(x ϕ的函数, 另一个是)(x ϕ的导数）, 方可使用第一换元积分法. 注意这里的)(x ϕ一定要含在原被积函数中.例如, 积分对于x x d )12(10⎰-, 原被积函数为10)12(-x , 令12)(-==x x u ϕ, 将2212)12(21)12(101010⋅=⋅-=-u x x , 其中的因子2是12)(-==x x u ϕ的导数, 是为了换元而凑出来的, 而因子21是为了与原积分的保持相等而乘上去的, 于是有 x x d )12(10⎰-=)1d(2)12(21d 2)12(211010--=-⎰⎰x x x x c u u u x u +⋅==⎰-=11101211121d 21利用公式求出积分换元 c x u x +-==-1112)12(221还原其中要注意：（1）在微分中我们已经习惯了x y y d d '=, 而在积分计算中常常是反过来使用, 即y x y d d ='. 例如将)12(d )2d(d 2-==x x x ；（2）在积分计算中, 不但要熟悉基本积分公式, 还要熟悉基本微分公式, 熟悉常见的凑微分形式：)0()(d )(1d )(≠++=+a b ax b ax f ax b ax f )0()(d )(21d )(222≠++=+a b ax b ax f a x b ax xf )(cos d )(cos d sin )(cos x x f x x x f -=)(sin d )(sin d cos )(sin x x f x x x f =)(ln d )(ln d )(ln x x f x xx f = )1(d )1(d )1(2x x f x x x f -= )(d )(2d )(x x f x x x f =)e (d )e (d )e (e x x x x f x f =)(tan d )(tan d cos )(tan 2x x f x xx f = )(cot d )(cot d sin )(cot 2x x f x xx f -= （3）用第一换元法的目的是求出积分, 因此, 换元以后的积分⎰⎰='u u f x x x f d )(d )()]([1ϕϕ必须容易求出积分. 一般地, 换元后的函数)(u f 是积分基本公式中函数的形式或积分基本公式中函数的线性组合形式.二、典型例题例1 验证2)ln 1(21)(x x F +=和x x x G ln ln 21)(2+=是同一个函数的原函数, 并说明两个函数的关系.分析依原函数的定义, 若)(x F 和)(x G 的导数都是某个函数)(x f 的原函数, 即有)()()(x f x G x F ='=', 则)(x F 和)(x G 是)(x f 的原函数. 所以, 只需验证)(x F 和)(x G 的导数是否为同一个函数即可.解因为xx x x x F ln 11)ln 1()(+=⋅+=' xx x x x x G ln 111ln )(+=+⋅=' 所以2)ln 1(21)(x x F +=和x x x G ln ln 21)(2+=是同一个函数xx ln 1+的两个原函数. 且有21)(21ln ln 21)ln 1(21)(22+=++=+=x G x x x x F 说明两个原函数之间仅相差一个常数.例2 已知某曲线y =f (x )在点x 处的切线斜率为x 21, 且曲线过点)3,4(, 试求曲线方程.分析根据不定积分的几何意义, 所求曲线方程为过点)3,4(, 斜率是x x f 21)(=的积分曲线.解 c x x x x x f y +===⎰⎰d 21d )(且曲线过点)3,4(, 即c +=43, 得出143=-=c于是所求曲线方程为 1+=x y例3 判断下列等式是否正确.（1）x x x x d 11d 11d 22-=-⎰（2）c x x x +-='⎰cos d )(sin分析（1）, （2）根据不定积分的性质进行判断；解（1）依照不定积分的性质x x f x x f d )(d )(d =⎰所以, 等式x x x x d 11d 11d 22-=-⎰成立.（2）依照不定积分的性质 c x f x x f +='⎰)(d )(所以, 等式c x x x +-='⎰cos d )(sin 不成立. 正确的应为 c x x x +='⎰sin d )(sin例4 计算下列积分：（1）x x x d )1(23+⎰（2）x x xxx )d sin e (3e 2-+⎰ 分析对于（1）, （2）利用基本积分公式和积分运算性质进行积分, 注意在计算时, 对被积函数要进行适当的变形；解（1）将被积函数变形为32312)1(x x x x x ++=+ x x x d )1(23+⎰=x xx x x x x x x x d 1d 2d d )12(33⎰⎰⎰⎰++=++ =c xx x +-+2221ln 221. （2）将被积函数变形为x x x x xx 22sin 1e)3()sin e (3e +=+- 再利用积分公式和积分运算性质得=+-⎰x x x xx )d sin e (3e 2⎰⎰+x x x x d sin 1d e)3(2=c x x+-+cot 13ln )e 3( 说明：本例在求积分的方法直接积分法. 这种方法适用与那些只用到基本积分公式和积分运算性质, 或者对被积函数进行适当变形就可以运用积分公式求积分的题目. 在解题中应该注意：1．熟悉基本积分公式；2．在解题中经常要对被积函数进行适当的的变形（例如（1）中将二项和的平方展开；（2）中将x e 乘到括号里边去；（3）中将绝对值打开）, 变形的目的是使被积函数为积分基本公式中的函数或它们的线性组合. 这些方法和技巧的掌握是基于平时的练习；3．如果连续试探几次, 进行不同的变形后仍无法达到目的, 则应考虑其它积分方法求解.例5 计算下列积分：（1）x x xd 12⎰-；（2）x x xd )e (1e 2⎰+ 分析注意到这几个被积函数都是复合函数, 对于复合函数的积分问题一般是利用凑微分法（第一换元积分法）, 在计算中要明确被积函数中的中间变量)(x u ϕ=, 设法将对x 求积分转化为对)(x u ϕ=求积分.（1）将被积函数21x x-看成u x , 其中21x u -=, 且x x u d 2d -=, 于是, u ux u xd 121d -=, 这时对于变量u 可以利用公式求积分. （2）将被积函数2)e (1e x x +看成2e u x , 其中x u e 1+=, 且x u x d e d =, 于是22d d e u u x u x =, 这样对于变量x u e 1+=可以利用积分公式求积分.解（1）x x xd 12⎰-=u ux x d 121)1d(112122⎰⎰-=--- )1(2x u -= =c x c u +--=+-21（2）u ux x x x x d 1)e 1(d )e (11d )e (1e 222⎰⎰⎰=++=+ （x u e 1+=） =c c u x ++-=+-e111说明：第一换元积分法是积分运算的重点, 也是难点. 一般地, 第一换元积分法所处理的函数是复合函数, 故此法的实质是复合函数求导数的逆运算. 在运算中始终要记住换元的目的是使换元后的积分⎰u u f d )(容易求原函数.应用第一换元积分法时, 首先要牢记积分基本公式, 明了基本公式中的变量x 换成x 的函数时公式仍然成立. 同时还要熟悉微分学中的微分基本公式, 复合函数微分法则和常见的 “凑微分”形式. 具体解题时, “凑微分”要朝着⎰u u f d )(容易求积分的方向进行.由于积分方法是灵活多样的, 技巧性较强, 一些“凑”的方法是要靠一定量的练习来积累的，因此, 我们只有通过练习摸索规律, 提高解题能力.。

微积分初步单元辅导二导数微分及其应用

《微积分初步》单元辅导二(导数微分及其应用)微积分初步学习辅导——导数与微分部分学习重难点解析(一)关于导数的概念函数的导数是一个增量之比的极限，即我们把卫称为函数的平均变化率，把lim y称为变化率，若lim y存在则可导，否则不可二x=x导•导数是由极限定义的，故有左导数和右导数• f(x)在点X。

处可导必有函数f (x)在点X。

处左右导数都存在且相等.(二)导数、微分和连续的关系由微分的定义dy二f (x)dx可知(1)函数的可导与可微是等价的，即函数可导一定可微；反之可微一定可导.⑵计算函数f(x)的微分dy，只要计算出函数的导数f(x)再乘上自变量的微分dx即可; 因此，我们可以将微分的计算与导数的计算归为同一类运算.(3)由定理可知，连续是可导的必要条件，那么，函数可微也一定连续.反之不然，即连续函数不一定是可导或可微函数.(三)导数的几何意义由切线问题分析可知，函数y=f(x)在点x。

处的导数就是曲线y = f(x)在点(x。

，f(x。

))处切线的斜率。

于是，y二f(x)在点(x。

，y0)处的切线方程为(四)关于导数的计算掌握导数的计算首先要熟记导数基本公式和求导法则.在我们这门课程中所学习的求导法则和方法有：(1)导数的四则运算法则；(2)复合函数求导法则；(3)隐函数求导方法.对于上述法则和方法在实用中要注意其成立的条件.在导数的四则运算法则中，应该注意乘法法则和除法法则，注意它们的构成形式并注意1— x解题的技巧.例如，y二，求了心.这是一个分式求二阶导数的问题，形式上应该用导1 1数的除法法则求解，但是，如果将函数变形为y -x：再求导数就应该用导数的加法法则了 .假如我们掌握了一些解题的技巧，会使我们的运算变得简单还会减少错误.复合函数求导数是学习的重点也是难点，它的困难之处在于对函数的复合过程的分解由复合函数求导法则知，复合函数y = f(u),u 二(x)的导数为在求导时将y = f ( “X))分解为y = f(u),u =护(x)(其中u 为中间变量)，然后分别对中间变量和自变量求导再相乘.那么如何进行分解就是解题的关键，一般的说，所设的中间变量应是基本初等函数或基本初等函数的四则运算，这样就会对于y = f (u),u = "X)分别都要有导数公式或法则可求导.如果分解后找不到求导公式，则说明分解有误.例如函数=sin 2，其分解为 y = u 2, u = sin v,v = x .于是分别求导为，y^2u,u^cosv ， 1 — — 1 - .相乘得至U y x = 2 s i n ・.x c o s x - 2 . x 2 , x 2、x 二si n u,u =x ，这样在求导时会发现没有导数公式可以来求y u .隐函数的特点是变量y 与x 的函数关系隐藏在方程中，例如 y=1・xsiny ，其中的sin y 不但是y 的函数，还是x 的复合函数.所以对于sin y 求导数时应该用复合函数求导法则，先对y 的函数sin y 求导得cosy ，再乘以y 对x 的导数y 〔由于y 对x 的函数关系不能直接写出来，故而只能把y 对x 的导数写为y .一般地说，隐函数求导数分为下列两步：① 方程两边对自变量x 求导，视y 为中间变量，求导后得到一个关于 y 的一次方程; ② 解方程，求出y 对x 的导数y .总之，导数公式和求导法则是要靠练习来熟悉和理解的，我们应该通过练习掌握方法并从中获得技巧.微积分初步学习辅导导数与微分部分典型例题例1求下列函数的导数或微分： (1) 设 y = x 3 3x log 3x-33，求 y . (2) 设 y = ^2，求 dyX xsi nx⑶设y ，求y (二).1 +cosx 3分析这三个函数都是由基本初等函数经过四则运算得到的初等函数，求导或求微分时,1 1 lsir2. x .有一种错误的分解是V x需要用到导数基本公式和导数的四则运算法则•对于(1)先用导数的加法法则，再用导数基本公式；对于⑵，可以先用导数除法法则，再用基本公式；但注意到 ⑵ 中函数的特点，先将1 2函数进行整理，y J 二2 =x 3 -2x^'，贝U 可用导数的加法法则求导，得到函数的导数后再乘 Vx 2 以dx ，得到函数的微分；对于(3)用导数除法法则，再用基本公式•解(1) y =(x 33xlog 3x-3 3)(x 3) (3x ) (gx) 一(33)21 — 4dy =ydx =(—X 3 x 3)dx.3 3(sin x) (1 cosx) -sin x(1 cosx)2(1 cosx)cosx(1 cosx) -sin x(-sinx) cosx cos 2 x sin 2x(1 + cosx)2(1 + cosx)2= 11 cosx在运用导数的四则运算法则应注意：①在求导或求微分运算中，一般是先用法则，再用基本公式;③ 解题时应先观察函数，看看能否对函数进行变形或化简，在运算中尽可能的避免使用导数的除法法则.如例1中的⑵ 小题，将y 二x 二j 变形为y 『x-2二X? \x 2 v x 2 数，这种解法比直接用除法法则求解要简便且不易出错 •④ 导数的乘法和除法法则与极限相应的法则不同，运算也相对复杂得多，计算时要细心. 例2求下列函数的导数或微分：sinl(1) 设 y = e x ，求 dy .3x 23 3x 2 3x —2(2)因为y=—1=x 3 1In 3xl n3In 3 — xln 3 -2x 1所以 y =(x 3) _2(x 3) s x3x3，于是所以y(3)=1 cosx②把根式qx p写成幕次px q的形式，这样便于使用公式且减少出错; 2-2x _3后再求导兀1 22(2)设 y =1 n(x—、1 x2)，求 y(、3).(3)设 y =(邛)10，求 y .x +1分析采用复合函数求导法则，所设的中间变量应是基本初等函数或基本初等函数的四则运算.求导时，依照函数的复合层次由最外层起，向内一层层地对中间变量求导，直至对自变量求导为止.1解(1)设y =e u,u =sinv,v二一，利用复合函数求导法则，有x代回还原得在基本掌握复合函数求导法则后，也可以不写出中间变量，如下解法：(2)设y = In u,u = x - v,v = x2 T，利用复合函数求导法则，有代回还原得或着(3)设y = u10 ,u = △ ,v = x2 1，利用复合函数求导法则和导数的四则运算法则有，v代回还原得或着例3求下列方程所确定的隐函数的导数 y或微分dy :(1)x2 y2 xy 二 0，求 dy ；(2)e xy yl n x = cos2x，求 y .分析隐函数的特点是：因变量y与自变量x的对应关系是隐藏在方程中的.因此，在求导数时，不要忘记y是x的函数，在对y的函数求导后切记再乘以y对x的导数yl 依隐函数求导数的步骤求导.解(1)［方法1］由导数得到微分.方程两边对自变量x求导，视y为中间变量，有即(x 2y)y - -(y 2x)整理方程，解出y，得dy = ydx「y 2x dxx +2y［方法2］方程两边对变量求微分，这时变量y和x的地位是相同的，即不再将y看作x的函数.dy_x+2y(2)方程两边对自变量x求导，视y为中间变量，有于是 (xe^ In x)y - -2sin2x-'-ye xyx整理方程解出y •，得分析如果函数y 二f （x ）可导，函数曲线在点X 。

微积分初步课程温习指导

《微积分初步》课程温习指导（统设必修专科）一、考试题型一、单项选择题（5题，共20分）二、填空题（5题，共20分）3、计算题（4题，共44分）4、应用题（1题，16分）期末考试采纳闭卷笔试形式，卷面总分值为100分，考试时刻为90分钟。

二、考试说明1本课程的考核形式为形成性考核和期末考试相结合的方式，本课程形成性考核为课程平常作业。

考核成绩由平常作业成绩和期末考试成绩两部份组成，考核成绩总分值为100分，60分为合格。

其中平常作业成绩占考核成绩的30%，期末考试成绩占考核成绩的70%。

平常作业的内容及成绩的评定按《广播电视大学“开放教育试点”专科微积分初步课程教学设计方案》的规定执行。

2微积分初步课程考核说明是依照《中央广播电视大学“开放教育试点”微积分初步课程教学大纲》制定的，参考教材是本课程的文字教材《微积分初步》（赵坚，顾静相编，中央电大出版社出版）。

考核说明中的考核知识点与考核要求可不能超出课程教学大纲与参考教材的范围与要求。

本考核说明是微积分初步课程期末考试命题的依据。

微积分初步课程的期末考试是全国统一的毕业考试，它是一种目标参照性考试，因此，考试应具有较高的信度、效度和必然的区分度。

试题应符合课程教学大纲的要求，表现广播电视大学培育应用型人材的特点。

考试旨在测试学生对微积分初步课程所包括的数学大体知识的明白得，和运用所学习的数学方式解决实际问题的能力。

3期末考试的命题原那么是在考核说明所规定的范围内命题，注意考核知识点的覆盖面，在此基础上突出重点。

4考核要求分为三个不同层次：有关概念、定理、性质和特点等概念的内容由低到高分为“明白、了解、明白得”。

微积分同步辅导及习题全解

微积分同步辅导及习题全解微积分是现代数学的基石之一，是其他领域的数学学科的基础。

对于许多学生来说，微积分可能是数学学习中最具挑战性的一部分。

因此，微积分同步辅导及习题全解是一个非常有用的资源。

以下是重新整理过的有关微积分同步辅导及习题全解的信息：一、简介微积分同步辅导及习题全解是一个旨在帮助学生学习微积分知识与技巧的资源。

这些资源包括解释和解答微积分习题、讲解微积分概念，以及提供实际的示例和应用等。

二、主要内容该资源的主要内容涵盖微积分的重要概念和技能，其中包括但不限于：1.极限和连续性2.导数与微分3.微积分的基本定理4.曲线图形的相关计算，如弧长公式等5.一元与多元函数的微积分6.微分方程三、资源特点该资源具有以下特点：1.用户友好的界面，易于操作。

2.提供详细的解释和例子，使学生更好地理解微积分的概念和方法。

3.提供大量不同难度和类型的习题，以帮助学生练习和巩固所学的知识。

4.针对不同阶段和水平的学生提供适当的练习和资源。

四、使用建议以下是使用该资源的几点建议：1.对于初学者，可以通过详细的解释和例子熟悉微积分的基本概念。

2.练习时尝试先完成简单的题目，然后逐渐转向更困难的练习。

3.尝试理解解题方法和策略，而不仅仅是答案，这对提高解题能力非常有帮助。

4.使用该资源可以帮助巩固微积分知识，并为进一步学习打下坚实的基础。

总之，微积分同步辅导及习题全解是一个非常有用的资源，使用它可以帮助学生更好地理解和掌握微积分知识和方法，从而更好地应对微积分和相关课程的学习。

微积分初步重难点

《微积分初步》重难点
一、函数、极限与连续
（一）重要知识点
1．函数
常量与变量，函数概念，复合函数，初等函数，分段函数。

2．极限极限的定义，极限的四则运算和1sin lim 0=→x
x x 。

3．连续函数
连续函数的定义和四则运算，间断点。

二. 导数与微分
（一）重要知识点
1．导数
导数定义，导数的几何意义。

2．导数公式与求导法则
导数的基本公式，四则运算求导法则，复合函数求导法则，隐函数求导方法，二阶导数的概念及简单二阶导数的计算
（二）难点
1．微分的定义与计算（难点内容）
三、导数应用
（一）重要知识点
1．函数单调性及判别
2．函数的极值和最大（小）值概念及求法
3．导数在实际问题中的应用
（二）难点
1．导数在实际问题中的应用
四. 不定积分与定积分
(一)重要知识点
1．原函数与不定积分
原函数的概念；不定积分的定义、性质，积分基本公式；求不定积分的直接积分法、第一换元积分法和分部积分法。

2．定积分
定积分的概念（N-L 公式）、性质，第一换元积分法和分部积分法。

3．广义积分（简单的无穷限积分）概念和计算
（二）难点
1．求不定积分的直接积分法、第一换元积分法和分部积分法。

五、积分应用
(一)重要知识点
1．定积分在几何上的应用。

2．微分方程的基本概念。

3．求解可分离变量的微分方程与一阶线性微分方程。

（二）难点
1．定积分在几何上的应用。

2．3．求解可分离变量的微分方程与一阶线性微分方程。

微积分初步辅导9积分的应用

《微积分初步》辅导9----积分的应用积分的几何应用定积分的元素法再看曲边梯形的面积:设y =f (x )≥0 (x ∈[a , b ]). 如果说积分,⎰=ba dx x f A )( 是以[a ,b ]为底的曲边梯形的面积, 则积分上限函数⎰=xa dt t f x A )()( 就是以[a , x ]为底的曲边梯形的面积. 而微分dA (x )=f (x )dx 表示点x 处以dx 为宽的小曲边梯形面积的近似值∆A ≈f (x )dx , f (x )dx 称为曲边梯形的面积元素.以[a , b ]为底的曲边梯形的面积A 就是以面积元素f (x )dx 为被积表达式, 以[a , b ]为积分区间的定积分:⎰=ba dx x f A )( . 一般情况下, 为求某一量U , 先将此量分布在某一区间[a ,b ]上, 分布在[a , x ]上的量用函数U (x )表示, 再求这一量的元素dU (x ), 设dU (x )=u (x )dx , 然后以u (x )dx 为被积表达式, 以[a , b ]为积分区间求定积分即得⎰=ba dx x f U )(. 用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法).定积分在几何上的应用一、平面图形的面积直角坐标情形设平面图形由上下两条曲线y =f 上(x )与y =f 下(x )及左右两条直线x =a 与x =b 所围成, 则面积元素为[f 上(x )- f 下(x )]dx , 于是平面图形的面积为dx x f x f S ba ⎰-=)]()([下上.类似地, 由左右两条曲线x =ϕ左(y )与x =ϕ右(y )及上下两条直线y =d 与y =c 所围成设平面图形的面积为⎰-=d c dy y y S )]()([左右ϕϕ.例1 计算抛物线y 2=x 、y =x 2所围成的图形的面积.解 (1)画图.(2)确定在x 轴上的投影区间: [0, 1].(3)确定上下曲线: 2)( ,)(x x f x x f ==下上.(4)计算积分31]3132[)(10323102=-=-=⎰x x dx x x S . 例2 计算抛物线y 2=2x 与直线y =x -4所围成的图形的面积.解 (1)画图.(2)确定在y 轴上的投影区间: [-2, 4].(3)确定左右曲线: 4)( ,21)(2+==y y y y 右左ϕϕ. (4)计算积分⎰--+=422)214(dy y y S 18]61421[4232=-+=-y y y . 例3 求椭圆12222=+by a x所围成的图形的面积. 解设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍, 椭圆在第一象限部分在x 轴上的投影区间为[0, a ]. 因为面积元素为ydx , 所以 ⎰=aydx S 04. 椭圆的参数方程为:x =a cos t , y =b sin t ,于是 ⎰=a ydx S 04⎰=02)cos (sin 4πt a td b⎰-=022sin 4πtdt ab ⎰-=20)2cos 1(2πdt t ab ππab ab =⋅=22. 二、体积旋转体的体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体. 这直线叫做旋转轴. 常见的旋转体: 圆柱、圆锥、圆台、球体.旋转体都可以看作是由连续曲线y =f (x )、直线x =a 、a =b 及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而成的立体.设过区间[a , b ]内点x 且垂直于x 轴的平面左侧的旋转体的体积为V (x ), 当平面左右平移dx 后, 体积的增量近似为∆V =π[f (x )]2dx , 于是体积元素为dV = π[f (x )]2dx ,旋转体的体积为dx x f V ba 2)]([π⎰=.例1 连接坐标原点O 及点P (h , r )的直线、直线x =h 及x 轴围成一个直角三角形. 将它绕x 轴旋转构成一个底半径为r 、高为h 的圆锥体. 计算这圆锥体的体积.解: 直角三角形斜边的直线方程为x hr y =. 所求圆锥体的体积为dx x h r V h 20)(π⎰=h x h r 0322]31[π=231hr π=.例2. 计算由椭圆12222=+by a x所成的图形绕x 轴旋转而成的旋转体(旋转椭球体)的体积. 解: 这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆 22x a ab y -= 及x 轴围成的图形绕x 轴旋转而成的立体. 体积元素为dV = π y 2dx ,于是所求旋转椭球体的体积为⎰--=a a dx x a a bV )(2222πa a x x a ab --=]31[3222π234ab π=. 例3 计算由摆线x =a (t -sin t ), y =a (1-cos t )的一拱, 直线y =0所围成的图形分别绕x 轴、y 轴旋转而成的旋转体的体积.解所给图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积为⎰=a x dx y V ππ202⎰-⋅-=ππ2022)cos 1()cos 1(dt t a t a⎰-+-=ππ20323)cos cos 3cos 31(dt t t t a=5π 2a 3.所给图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积是两个旋转体体积的差. 设曲线左半边为x =x 1(y )、右半边为x =x 2(y ). 则⎰⎰-=a a y dy y x dy y x V 20212022)()(ππ ⎰⎰⋅--⋅-=πππππ022222sin )sin (sin )sin (tdt a t t a tdt a t t a⎰--=ππ2023sin )sin (tdt t t a =6π 3a 3 .微分方程学习目标：理解微分方程的概念；掌握可分离变量微分方程和一阶线性微分方程的解法. 内容介绍在研究物理、几何以及其他许多实际问题时，常常需要寻求与问题有关的变量之间的函数关系，这种函数关系有时可以直接建立，有时却只能根据一些基本科学原理，建立所求函数及其变化率之间的关系式，然后再从中解出所求函数，这种关系就是本章我们将要学习的微分方程.1676年，伯努利（Bernoulli ）致牛顿（Newton ）的信中第一次提出微分方程，直到18世纪中期，微分方程才成为一门独立的学科.微分方程建立后，立即成为探索现实世界的重要工具，在这里我们主要讨论微分方程的基本概念，并介绍可分离变量微分方程和一阶线性微分方程的解法.§1 微分方程的基本概念不定积分的方法告诉我们.一个函数的导数如果是已知的，就可能求出这个函数，现在进一步的讨论，假如只知道函数的导数所满足的一个关系式，能否确定这个函数呢？这就是微分方程所要研究和解决的问题.首先我们来看两个例子：例1 [曲线方程] 已知曲线过点)2,1(，且曲线上任一点处切线的斜率为x 2，求此曲线方程. 解设曲线方程为)(x y y =，由已知条件x y 2='对上式两边积分，得⎰=x x y d 2c x +=2又由已知条件：曲线过点)2,1(，即21==x y ，代入上式，得,122c +=即1=c故所求曲线方程为 12+=x y例2 [自由落体运动]一质量为m 的质点，在重力作用下自由下落，求其运动方程.解建立坐标系如图1所示，坐标原点取在质点开始下落的点，y 轴铅直向下.设在时刻t 质点的位置为)(t y ，由于质点只受重力mg 作用，且力的方向与y 轴正向相同，故有牛顿第二定律，得质点满足方程为 mg ty m ma =⋅=22d d即 g ty =22d d 上市式两边再同时积分，得21221c t c gt y ++= 其中21,c c 是两个相互独立的1任意常数.下面我们来引进微分方程的几个基本概念：在例1中，方程x y 2='中含有未知函数的导数.一般地，含有未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程.未知函数是一元函数的微分方程，称为常微分方程.未知函数是多元函数的微分方程，称为偏微分方程.本课程所讨论微分方程均为常微分方程.微分方程中未知函数导数（或微分）的最高阶数称为微分方程的阶.例如，例1中的1微分方程x y 2='是一阶微分方程；例2中的微分方程g ty =22d d 是二阶微分方程.未知函数及其各阶导数（或微分）都是一次的微分方程，称为线性微分方程。

微积分初步辅导

微积分初步辅导（一）典型例题1．填空题（1）函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是．答案：2>x 且3≠x . （2）函数24)2ln(1)(xx x f -++=的定义域是．答案：]2,1()1,2(-⋃--（3）函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f ．答案：3)(2+=x x f（4）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k（5）函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ．答案：1)(2-=x x f （6）函数3212--+=x x x y 的间断点是．答案：3,1=-=x x （7）=∞→xx x 1sinlim ．答案：1 （8）若2sin 4sin lim=→kxx x ，则=k ．答案：2=k 2．单项选择题（1）设函数2e exxy -=-，则该函数是（）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数答案：A（2）下列函数中为奇函数是（）．A ．x x sinB ．2e exx+- C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x +答案：C （3）函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为（）． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x 答案：D（4）设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （） A ．)1(+x x B ．2x C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x 答案：C（5）当=k （）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,2e )(x k x x f x 在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D（6）当=k （）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．1- 答案：B （7）函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（）A ．2,1==x xB ．3=xC ．3,2,1===x x xD ．无间断点答案：A 3．计算题（1）423lim222-+-→x x x x ．解：4121lim)2)(2()1)(2(lim423lim22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x（2）329lim223---→x x x x解：234613lim)1)(3()3)(3(lim329lim33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x（3）4586lim224+-+-→x x x x x解：3212lim)1)(4()2)(4(lim4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x。

高中数学教案：《微积分的初步应用》

高中数学教案：《微积分的初步应用》《微积分的初步应用》一、引言微积分是高中数学中的重要内容，旨在帮助学生理解和运用数学的变化率和积分概念。

本教案将围绕微积分的初步应用展开，引导学生将微积分的概念与实际问题相结合，培养学生的问题解决能力和数学思维。

二、概念梳理1. 导数的应用1.1. 极限与导数在应用微积分解决实际问题时，学生首先需要掌握极限的概念。

极限的计算方法、性质以及与导数的关系都是学生理解导数的关键环节。

1.2. 导数与函数图像学生需要通过函数图像的变化来理解导数的几何意义。

如何通过导数来判断函数的增减性、最值等特征，进而应用到问题中进行分析与解答。

2. 积分的应用2.1. 不定积分与定积分学生在初学积分时，需要充分理解不定积分和定积分的概念，并通过例题等实际问题进行练习，加深对积分的认识。

2.2. 定积分的应用学生通过定积分的应用，可以解决实际问题中的面积、弧长、体积等计算难题。

理解定积分的物理和几何意义，能够帮助学生将微积分应用到实际问题中去。

三、教学过程1. 导入与概念讲解通过引入实际问题，激发学生对微积分的兴趣。

引导学生回顾导数和积分的基本概念及其几何和物理意义。

2. 示例分析与解答选取具有代表性的实际问题，结合导数和积分的概念，进行示例分析和解答。

鼓励学生参与讨论，提高他们的问题分析和解决能力。

3. 练习与巩固提供一系列练习题，包括计算题和应用题，涵盖导数和积分的各种应用场景。

鼓励学生独立思考，培养他们的数学思维和解决问题的能力。

4. 拓展与延伸为那些对微积分感兴趣的学生，提供一些拓展和延伸的内容。

如更高阶的导数和积分应用，以及一些经典的微积分问题，激发学生的学习兴趣和求知欲。

四、教学评价1. 课堂表现通过观察学生的课堂参与度、思维活跃度以及问题解答的准确性，评价他们对微积分初步应用的掌握程度。

2. 作业完成情况布置适量的作业，包括计算题和应用题。

通过批改作业，了解学生对微积分的应用能力，并及时给予指导和帮助。