九年级数学上册244一元二次方程的应用教学建议素材冀教版!
【冀教版九年级数学上册教案】24.4一元二次方程的应用(2)
24.4一元二次方程的应用（2）教学目标【知识与能力】1.会根据具体问题,找到增长率问题中的等量关系,列出一元二次方程并求解.2.能根据问题的实际意义,检验所得结果是否合理.3.进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键.【过程与方法】1.经历将实际问题抽象为方程问题的过程,探索问题中的数量关系,进一步体会数学中的建模思想.2.培养学生应用数学的意识,提高学生分析问题、解决问题的能力.3.通过根据实际问题列方程,体会数学与生活息息相关.【情感态度价值观】1.通过用一元二次方程解决身边的问题,体会数学知识的应用价值,激发学生学习数学的兴趣.2.进一步培养学生合作的意识和自主探究的学习能力.教学重难点【教学重点】列一元二次方程解增长率问题的应用题.【教学难点】在实际问题中找等量关系列方程.课前准备多媒体课件教学过程一、新课引入：导入一:复习提问:1.解一元二次方程有哪些方法?2.列一元一次方程解应用题有哪些步骤?【师生活动】学生回答,教师点评.①审题;②设未知数;③找相等关系;④列方程;⑤解方程;⑥答.导入二:某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本,其中可变成本逐年增长,已知该养殖户第一年的可变成本为2.6万元,第二年的可变成本为2.86万元,则可变成本每年的增长率是多少?【师生活动】学生独立完成后小组内交流答案,教师针对解应用题的步骤做出点评.[设计意图]通过复习一元二次方程的有关解法,为本节课做好铺垫,同时以增长率有关的一元一次方程引入新课,为本节课建立一元二次方程的数学模型解决增长率的实际问题打下基础,降低了本节课知识的难度,学生易于理解和掌握.二、新知构建：【课件展示】随着我国汽车产业的快速发展以及人们经济收入的不断提高,汽车已越来越多地进入普通家庭.据某市交通部门统计,2010年底,该市汽车保有量为15万辆,截至2012年底,汽车保有量已达21.6万辆.若该市这两年汽车保有量增长率相同,求这个增长率.思路一教师引导分析回答以下问题:设年增长率为x,请你思考并解决下面的问题:(1)2011年底比2010年底增加了万辆汽车,达到了万辆.(2)2012年底比2011年底增加了万辆汽车,达到了万辆.(3)根据题意,列出的方程是.(4)解方程,回答原问题,并与同学交流解题的思路和过程.【师生活动】学生独立思考后小组合作交流,完成解答过程后交流答案,学生板书展示结果,教师点评并规范答题格式.解:设年增长率为x,根据题意得:15(1+x)2=21.6,解方程得x1=0.2,x2=-2.2(不合题意舍去).答:这个增长率为20%.拓展提问:如果增长率不变,2013年底,该市汽车保有量达到多少万辆?学生思考,独立完成,教师补充.思路二【思考】(1)基数是a,增长率为x,则第一年增长多少?增长到多少?第二年增长多少?增长到多少?(2)本题中有哪些数量关系?(3)如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程?(4)根据等量关系列方程并求解.(5)如果增长率不变,2013年底,该市汽车保有量达到多少万辆?【师生活动】针对以上问题,小组讨论交流,共同探究,教师对疑惑较多的问题要点拨,然后小组代表板书自己的解答过程,老师进行点评,教给学生如何审题、分析题.解:设年增长率为x,根据题意得:15(1+x)2=21.6,解方程得x1=0.2,x2=-2.2(不合题意舍去).答:这个增长率为20%.如果增长率不变,则2013年底该市汽车保有量为21.6×(1+20%)=25.92(万辆).[设计意图]把分析问题的过程设置成小问题的形式,通过教师的引导或者小组合作交流,学生层层递进的方式分析并解决问题,降低了学习难度,进一步培养学生分析问题的能力.做一做【课件展示】某工厂工业废气年排放量为300万立方米.为改善城市环境质量,决定在两年内使废气年排放量减少到144万立方米.如果第二年废气减少的百分率是第一年废气减少的百分率的2倍,那么每年废气减少的百分率各是多少?【思考】(1)题目中的已知量和未知量分别是什么?(工业废气年排放量为300万立方米和两年内使废气年排放量减少到144万立方米;每年废气减少的百分率)(2)未知量之间的数量关系是什么?(第二年废气减少的百分率是第一年废气减少的百分率的2倍)(3)如何设未知数?(设第一年废气减少的百分率为x,则第二年废气减少的百分率为2x)(4)题目中的等量关系是什么?(工业废气年排放量300万立方米减少两次=144万立方米)(5)如何根据等量关系列出方程?(300(1-x)(1-2x)=144)(6)你能求解方程,写出正确答案吗?【师生活动】学生独立思考后小组合作交流,再独立完成,完成后小组内交流答案,同时小组代表板书解题过程,教师帮助有困难的学生,对学生的板书进行规范和点评.[设计意图]该题涉及连续减少的减少率问题,为了降低学生的理解困难,将分析过程设计成小问题的形式,通过小组合作交流、自主探究,建立一元二次方程模型解决减少率问题,提高学生分析问题、解决问题的能力,同时与增长率问题作比较,弄明白两者之间的区别与联系.例题讲解【课件展示】(教材49页例3)建大棚种植蔬菜是农民致富的一条好途径.经过市场调查发现:搭建一个面积为x(公顷)的大棚,所需建设费用(万元)与x+2成正比例,比例系数为0.6;内部设备费用(万元)与x2成正比例,比例系数为2.某农户新建了一个大棚,投入的总费用为4.8万元.请计算该农户新建的这个大棚的面积.(总费用=建设费用+内部设备费用)教师引导思考:(1)建设费用与x+2成正比例,比例系数为0.6,则建设费用可表示成;(2)内部设备费用与x2成正比例,比例系数为2,则内部设备费用可表示成;(3)题目中的等量关系是;(4)根据题意列方程得.【师生活动】教师引导学生分析填空后,学生独立完成解答过程,教师点评.【课件展示】解:依题意,得0.6(x+2)+2x2=4.8.整理,得10x2+3x-18=0.解方程,得x1=1.2,x2=-1.5(不合题意,舍去).答:该农户新建的这个大棚的面积为1.2公顷.[设计意图]教师引导学生分析题意,难点是用代数式正确表示等量关系中的两种费用,通过对实际问题的理解,进一步体会建立方程模型的过程,提高学生的应用意识.三、课堂小结：1.列一元二次方程解应用题的步骤:一审、二设、三找、四列、五解、六答.最后要检验根是否符合实际意义.2.平均增长率或降低率问题:若平均增长(或降低)率为x,增长(或降低)前的基数是a,增长(或降低)n次后的量是b,则有:a(1±x)n=b(常见n=2)(增长取+,降低取-).。
冀教版数学九年级上册24.2《解一元二次方程》教学设计
冀教版数学九年级上册24.2《解一元二次方程》教学设计一. 教材分析冀教版数学九年级上册24.2《解一元二次方程》是本册教材的重要内容，它主要包括一元二次方程的解法、根的判别式以及根与系数的关系。
这部分内容是学生继八年级学习一元一次方程、一元一次不等式后，对方程学习的进一步拓展。
通过学习解一元二次方程，使学生能更好地理解数学中的实际问题，提高他们解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对一元一次方程、一元一次不等式的解法有一定的了解。
但一元二次方程相较于一元一次方程，增加了二次项和判别式，对学生来说是一个较大的挑战。
因此，在教学过程中，需要注重对学生基础知识的巩固，以及解题方法的引导。
三. 教学目标1.理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的解法。
2.学会使用根的判别式判断一元二次方程的根的情况。
3.掌握根与系数的关系，能运用一元二次方程解决实际问题。
四. 教学重难点1.教学重点：一元二次方程的解法、根的判别式以及根与系数的关系。
2.教学难点：一元二次方程的解法，特别是因式分解法和公式法的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究一元二次方程的解法。
2.使用案例分析法，让学生通过具体例子理解根的判别式和根与系数的关系。
3.利用小组合作学习，培养学生团队合作精神，提高解决问题能力。
六. 教学准备1.准备相关的一元二次方程案例，用于课堂分析和练习。
2.设计好课堂练习题，巩固学生对知识点的掌握。
3.准备PPT，用于展示和解说一元二次方程的相关概念和解法。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引入一元二次方程的概念，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）利用PPT，展示一元二次方程的定义、标准形式以及解法。
引导学生理解一元二次方程的特点，以及如何运用解法求解。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，分析给出的案例，运用一元二次方程的解法求解。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
九年级数学上册24.4一元二次方程的应用教学建议素材冀教版(new)
24。
4一元二次方程的应用第一课时用一元二次方程解决实际问题和用其他方程一样，都是培养学生应用意识和数学建模的重要内容。
1．让学生根据自己已有的经验，先自主探究,再小组交流，然后师生共同解决“与其探究中的问题。
要强调：在解题过程中，应体验检验结果合理性的内容。
2．要求学生独立完成“做一做”中的题目,然后在全班进行交流.在这一过程中，要对学习有困难的学生及时进行点拨。
3．在例1中，由于涉及的数量关系较多，学生进行自主探究会有一定的难度，教师可给予必要的引导。
经过师生合作，启发学生找出问题中的等量关系，列出方程求解。
由于这个方程的两个根都有实际意义，所以要引导学生自己分析题意，然后再结合实际问题的要求，确定例1的答案。
第二课时本节课是用一元二次方程解决实际问题的第二课时，目的是让学生进一步感受一元二次方程这一数学模型的重要作用,提高分析问题、解决问题的能力．1．“一起探究”中的问题，教师额可以给出表格（例2分析中的表格形式），让学生独立思考分析后填写，然后进行合作交流，并结合“大家谈谈”中的要求，师生一起归纳总结出此类问题的解决策略和建立方程的一般方法．2．对于例2，由于涉及利润增长率的问题，学生理解起来可能会有困难，因此,对学生的引导要到位，使学生的活动更加充分，以帮助学生弄明白例2和“一起探究”中的问题的区别和联系。
最后,师生共同完成例2 的教学内容。
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【最新冀教版精选】冀教初中数学九上《24.2 解一元二次方程》word教案 (1).doc
解一元二次方程 教学设计教学目标知识与技能：1．会用配方法、公式法、因式分解法解简单数字系数的一元二次方程。
2．能够根据一元二次方程的特点，灵活选用解方程的方法，体会解决问题策略的多样性。
过程与方法：1．参与对一元二次方程解法的探索，体验数学发现的过程，对结果比较、验证、归纳、理清几种解法之间的关系，并能根据方程的特点灵活选择适当的方法解一元二次方程。
2．在探究一元二次方程的过程中体会转化、降次的数学思想。
情感态度价值观：在解一元二次方程的实践中，交流、总结经验和规律，体验数学活动乐趣。
教学重难点重点：掌握配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的步骤，并熟练运用上述方法解题。
难点：根据方程的特点灵活选择适当的方法解一元二次方程。
教学方法探索发现，讲练结合教学媒体多媒体课时安排4课时教学过程设计第一课时一、复习引入：1．一元二次方程的一般形式是什么？其中a 应具备什么条件？2．042=-x 是一元二次方程吗？其中二次项的系数，一次项的系数，常数项各是什么？（是。
二次项系数是1，一次项系数是0，常数项是－4）3．解下列方程：（1）x 2=4 （2）（x+3）2=9学生依次回答上述问题。
师总结强调：（1）象这种通过直接开平方求得x 的值的方法，实际上就是求x 2=a （a≥0）这种特殊形式的一元二次方程的解方法。
（2）对于形如“（x+a）2=b （b≥0）”型的方程，只要把x+a看作一个整体，就可以转化为x 2=b （b≥0）型的方法去解决，这里渗透了“换元”的方法。
（3）在对方程（x+3）2=9两边同时开平方后，原方程就转化为两个一次方程。
要向学生指出，这种变形实质上是将原方程“降次”。
“降次”也是一种数学方法二、试着做做1．如果（x+2）2=9，那么x=_______________。
2．如果（x－3）2=7，那么x=_______________。
3．完全平方公式是什么？4．如果x2+2x+1=4，那么x=_______________。
冀教版九年级数学上册第二十四章24.4 《一元二次方程的应用》教案
24.4 一元二次方程的应用第1课时用一元二次方程解决几何问题┃教学整体设计┃【教学目标】会根据几何图形问题中的数量关系和相等关系列出一元二次方程，并对方程的根的合理性做出解释.【重点难点】重点：列一元二次方程解有关问题的应用题.难点：发现问题中的等量关系.┃教学过程设计┃┃教学小结┃第2课时用一元二次方程解决代数问题┃教学整体设计┃【教学目标】1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型.2.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理.【重点难点】重点：列一元二次方程解有关代数问题的应用题.难点：寻找问题中的等量关系.┃教学过程设计┃教学过程设计意图一、创设情境，导入新课汽车产业是某市支柱产业之一，产量和效益逐年增加，据统计，2015年该市某种品牌汽车的年产量为6.4万辆，到2017年，该品牌汽车计划年产量达到10万辆.若该品牌汽车年产量的年平均增长率相同，那么这个增长率是多少？师生活动：教师出示问题，引导学生进入新的内容学习.创设问题情境，激发学生的兴趣，自然顺畅地引入探究课题.二、师生互动，探究新知1.列方程.设年产量平均增长率为x，思考下列问题：(1)预计2016年比2015年增加____万辆，达到____万辆.(2)预计2017年比2016年增加____万辆，达到____万辆.(3)根据题意，列出的方程为__________.(4)解方程，回答问题，并与同学交流解题思路和过程.(5)在上面问题中，两年的增长率相同，列方程时有无规律可循？师生活动：教师将问题分几个小的问题，使问题难度降低，学生经历问题的解决过程，通过观察具体问题，师生共同探讨问题(5)，寻找出一般规律.本活动把问题进行分解，降低难度，通过讨论分析提高学生分析问题解决问题的能力，提高学生数学建模的能力，培养学生利用方程的思想解决实际问题的能力.2.解决问题.某体育局组织一次篮球赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？学习以下解答过程，并完成填空.解：设应邀请x支球队参赛，则每队共打____场比赛，比赛总场数用代数式表示为____.根据题意，可列方程____.整理，得____.解这个方程，得____.合乎实际意义的解为____.答：应邀请____支球队参赛.师生活动：因为问题已分解为小的问题，降低了难度，可以由学生自主完成，教师指导，特别关注程度差的学生的问题分析过程和解决问题过程，给他们及时的点拨.3.例题精讲.小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元.按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元.请问她购买了多少件这种服装？分析：根据一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，表示出每件服装的单价[80－2(x－10)]元，根据总售价＝单价×数量列出方程，从而解决问题.解：设购买了x件这种服装.根据题意，得[80－2(x－10)]x＝1200.解得x1＝20，x2＝30.当x＝30时，80－2×(30－10)＝40(元)，40<50，不符合题意，舍去.答：她购买了20件这种服装.通过师生共同完成例题的解答，培养学生的数学思维，帮助学生逐步提高分析问题、解决问题的能力. 师生活动：由于例题中涉及的数量关系较多，难度较大，所以教师要给予必要的引导，通过师生合作，启发学生寻找等量关系，列出方程并求解.由于这个方程的解都有实际意义，所以教师要引导学生仔细分析题意，然后再结合实际问题的要求确定问题的答案.三、运用新知，解决问题多媒体出示1，2，3题.四、课堂小结，提炼观点学完本节内容，你有什么收获？师生活动：学生自由谈自己的收获，主题必须是围绕一元二次方程的应用、应用类型、解题思路、技巧、一般步骤、注意事项等，教师进行点评.五、作业布置，巩固提升必做：教材第52页A组第1，2题，B组第1题.选做：教材第52页B组第2题.┃教学小结┃【板书设计】用一元二次方程解决代数问题1.分析问题.2.找数量关系，设未知数x.3.列出解决问题的一元二次方程.4.解方程.5.检验所得结果是否符合问题的实际意义.6.作答.【教学反思】通过本节课的教学，总体调动了学生的积极性，能够充分发挥学生的主体作用.以现实生活情境问题入手，激发了学生思维的火花，通过把问题进行分解，降低了学生学习的难度，使学生在不知不觉中完成了教学目的与任务.在课堂中始终惯彻数学源于生活又用于生活的数学观念，同时用方程来解决问题，使学生树立一种数学建模的思想.。
冀教版数学九年级上册 24.4 一元二次方程的应用
解：设甲种药品成本的年平均下降率为 x，则一年后 甲种药品成本为 5000(1 − x) 元，两年后甲种药品成 本为 5000(1 − x)2 元，于是有 5000(1 − x)2 = 3000.
解方程，得 x1≈0.225，x2≈1.775. 根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降 率约为 22.5%.
分之一，应如何设计每个彩条的宽度？
解：设横向、竖向彩条的宽度分别为 2x cm、3x cm，则
20 6x30 4x 600 2 .
3
解得
x1
=
5 6
，x2
=
10.
∵20 - 6x＞0，30 - 4x＞0，
答∴：x＜横1竖30 .条∴的x宽=度56分，别则是2x53=c53m，，352x
=5 2
讲授新课
一 列一元二次方程解决增长率问题 问题引导 问题1 思考，并填空：
1.某农户的粮食产量年平均增长率为 x，第一年
的产量为 60 000 kg，第二年的产量为_6_0_0_0_0__(1__+__x)_ kg，
第三年的产量为__6_0_0_0_0_(_1_+__x_)2__ kg．
2．某糖厂 2020年食糖产量为 a 吨，如果在以后两年平 均减产的百分率为 x，那么预计 2021 年的产量将是 __a_(_1_-__x)__，2022 年的产量将是__a_(1__-_x_)_2__． 问题2 你能归纳上述两个问题中蕴含的共同等量关系吗？
下降率 = 下降前的量−下降后的量×100% 下降前的量
分析：容易求出，甲种药品成本的年平均下降额为 (5000 − 3000)÷2 = 1000 (元)， 乙种药品成本的年平均下降额为 (6000 − 3600)÷2 = 1200 (元)， 显然，乙种药品成本的年平均下降额较大. 但是，年平均下降额 (元) 不等同于年平均下降率 (百分数).
冀教版数学九年级上册24.2《解一元二次方程》教学设计
冀教版数学九年级上册24.2《解一元二次方程》教学设计一. 教材分析冀教版数学九年级上册24.2《解一元二次方程》是整个初中数学的重要内容，也是学生掌握数学思想方法的重要环节。
这部分内容主要让学生掌握一元二次方程的解法，包括因式分解法、配方法、公式法、降次法等。
通过这部分的学习，让学生能够灵活运用各种方法解决实际问题，培养学生解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对一元一次方程的解法有一定的了解。
但一元二次方程相对复杂，需要学生能够灵活运用所学知识，进行逻辑推理和运算。
在学生的学习过程中，可能会遇到解法不明确、运算不熟练等问题。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行指导。
三. 教学目标1.让学生掌握一元二次方程的解法，包括因式分解法、配方法、公式法、降次法等。
2.培养学生运用一元二次方程解决实际问题的能力。
3.培养学生的逻辑推理能力和运算能力。
四. 教学重难点1.教学重点：一元二次方程的解法。
2.教学难点：一元二次方程的解法在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等。
通过设计具有挑战性的问题，引导学生独立思考，小组讨论，共同探索解决问题的方法。
同时，结合具体案例，让学生在实际问题中运用一元二次方程的解法，提高学生的应用能力。
六. 教学准备1.准备相关案例和问题，用于引导学生思考和讨论。
2.准备一元二次方程的解法演示课件，用于讲解和展示解题过程。
3.准备练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾一元一次方程的解法，为新课的学习做好铺垫。
同时，引入一元二次方程的概念，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（15分钟）通过课件展示一元二次方程的解法，包括因式分解法、配方法、公式法、降次法等。
讲解解题过程，让学生明确各种解法的步骤和应用场景。
3.操练（15分钟）让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
2024年冀教版九年级上册教学第二十四章 一元二次方程一元二次方程的应用
第1课时几何问题课时目标1.经历用一元二次方程解决几何问题的过程,进一步认识方程模型的重要性.2.能根据几何问题中的数量关系列出一元二次方程,体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型.3.在实际应用过程中,提高学生分析问题、解决问题的能力,进一步增强数学的抽象能力和应用意识.学习重点列一元二次方程解决与几何图形面积有关的应用题.学习难点在几何问题中找到等量关系,根据实际意义检验结果的合理性.课时活动设计复习导入1.三角形,正方形,长方形,平行四边形的面积公式是什么呢?答:S三角形=12×底×高,S正方形=边长×边长,S长方形=长×宽,S平行四边形=底×高.2.解一元二次方程的方法有哪些?答:直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.3.列方程解应用题的一般步骤是什么?答:审、设、列、解、验、答.4.列方程解应用题的关键是什么?解:读懂题意,找到题目中的等量关系.设计意图:通过复习有关面积的公式及列方程解应用题的步骤,为本节课的探究活动作铺垫.情境导入你能求解本章第1节“做一做”的问题吗?一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端A处到地面的距离为8m.如果梯子的顶端沿墙面下滑1m,那么梯子的底端B在地面上滑动的距离也是1m吗?设梯子的底端B在地面滑动的距离为x m,已得到方程x2+12x-15=0.请解这个方程,并给出问题的答案.设计意图:创设实际问题的导入,回顾本章起始内容,让学生感受建模思想在与几何有关的实际问题中的应用,培养学生的运算能力和应用意识.探究新知例1如图,某学校要在校园内墙边的空地上修建一个长方形的存车处,存车处的一面靠墙(墙长22m),另外三面用90m长的铁栅栏围起来.如果这个存车处的面积为700m2,求这个长方形存车处的长和宽.学生独立思考,师生共同解答.1.本题中有哪些数量关系?2.如何理解“存车处的一面靠墙(墙长22m),另外三面用90m长的铁栅栏围起来”?3.如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程?4.解方程并得出结论,对比几种方法各有什么特点?解法一:设长方形的长为x m,则宽为(90-2x)m,得方程x(90-2x)=700.整理,得2x2-90x+700=0.解得x1=35,x2=10.当x=35时,90-2x=20;当x=10时,90-2x=70.由于墙长22m,所以长方形宽70m不合题意,即x=10不合题意,舍去.答:这个长方形存车处的长和宽分别是35m和20m.解法二:设长方形靠墙的一边的长为x m,得方程x·90−2=700,整理,得x2-90x+1400=0.解得x1=70,x2=20.由于墙长22m,∴x1=70不符合题意,应舍去.当x=20时,90−2=90−202=35.答:这个长方形存车处的长和宽分别是35m和20m.比较上述两种解法可知,解法二较简便,正确找出等量关系,设出未知数是求解实际问题的关键.例2已知一本数学书的长为26cm,宽为18.5cm,厚为1cm.一张长方形包书纸如图所示,它的面积为1260cm2,虚线表示的是折痕.由长方形相邻两边与折痕围成的四角均为大小相同的正方形.求正方形的边长.教师引导学生分析,学生思考,并回答下列问题:分析:题中的等量关系是包书纸的长×宽=1260cm2,设正方形的边长为x cm,则包书纸的长为(18.5×2+1+2x)cm,包书纸的宽为(26+2x)cm,则可列方程为(18.5×2+1+2x)(26+2x)=1260.解:设正方形的边长为x cm,根据题意,得(26+2x)(18.5×2+1+2x)=1260.整理,得x2+32x-68=0.解这个方程,得x1=2,x2=-34(不符合题意,舍去).答:正方形的边长是2cm.方法点拨:用一元二次方程解决几何问题,主要集中在几何图形的面积问题.这类问题的面积公式是等量关系.如果是规则图形,那么直接运用面积公式列方程即可;如果图形不规则,应割或补成规则图形,找出各部分面积之间的等量关系,再运用规则图形的面积公式列出方程.设计意图:从实际问题引入,根据学生已有知识经验,自主探究、小组交流,在教师的引导下,找出问题的等量关系列方程解决问题,充分体现建模思想在解决实际问题的重要性,提升学生分析问题、解决问题的能力.巩固练习1.已知一个直角三角形两直角边的和是12,斜边长是10,求这个直角三角形两直角边的长.解:设其中一条直角边的长为x,则另一条直角边的长为12-x,根据题意,得x2+(12-x)2=102.整理,得x2-12x+22=0.解这个方程,得x1=6+,x2=6-.当x=6+时,另一条直角边的长为6-,当x=6-时,另一条直角边的长为6+,且都符合题意.答:两条直角边的长分别是6+,6-.2.如图,有一块长80cm,宽60cm的长方形硬纸片,在四角各剪去一个同样的小正方形,用剩余部分做成一个底面积为1500cm2的无盖长方体盒子.求剪去的小正方形的边长.解:设剪去的小正方形的边长为x cm,则无盖长方体盒子的长为(80-2x)cm,宽为(60-2x)cm.根据题意,得(80-2x)(60-2x)=1500,整理,得x2-70x+825=0.解得x1=15,x2=55(不合题意,舍去).答:剪去的小正方形的边长为15cm.设计意图:通过练习,让学生进一步巩固所学知识,加深对所学知识的理解,提高综合运用能力.课堂8分钟.1.教材第48页练习第1题,习题A组第1,2题,习题B组第1,2题.2.七彩作业.教学反思第2课时变化率问题课时目标1.会根据具体问题,找到变化率问题中的等量关系.2.能根据变化率问题中的数量关系列出一元二次方程并求解,并能根据问题的实际意义检验结果的合理性.3.培养学生分析问题、解决问题的能力,进一步增强应用数学的意识.学习重点列一元二次方程解决变化率问题.学习难点在实际问题中找等量关系列方程.课时活动设计探究新知探究1用一元二次方程解决增长率问题随着我国汽车产业的快速发展以及人们经济收入的不断提高,汽车已越来越多地进入普通家庭.据某市交通部门统计,2010年底,该市汽车保有量为15万辆,截至2012年底,汽车保有量已达21.6万辆.若该市这两年汽车保有量增长率相同,求这个增长率.教师引导学生分析,设年增长率为x,回答以下问题:(1)2011年底比2010年底增加了15x万辆汽车,达到了15(1+x)万辆.(2)2012年底比2011年底增加了15x(1+x)万辆汽车,达到了15(1+x)2万辆.(3)根据题意,列出的方程是15(1+x)2=21.6.(4)解方程,回答原问题,并与同学交流解题的思路和过程.学生独立思考后,小组合作交流,完成解答并展示,教师点评并规范解题步骤.解:设年增长率为x,根据题意,得15(1+x)2=21.6.解方程,得x1=0.2,x2=-2.2(不符合题意,舍去).答:这个增长率为20%.拓展问题:如果增长率不变,2013年底,该市汽车保有量达到多少万辆?学生独立思考并解答,教师补充.解:如果增长率不变,到2013年底该市汽车保有量为21.6×(1+20%)=25.92(万辆).探究2用一元二次方程解降低率问题某工厂工业废气年排放量为300万立方米.为改善城市环境质量,决定在两年内使废气年排放量减少到144万立方米.如果第二年废气减少的百分率是第一年废气减少的百分率的2倍,那么每年废气减少的百分率各是多少?分析:1.题目中的已知量和未知量分别是什么?(已知量:工业废气年排放量为300万立方米和两年内使废气年排放量减少到144万立方米;未知量:每年废气减少的百分率)2.未知量之间的数量关系是什么?(第二年废气减少的百分率是第一年废气减少的百分率的2倍)3.如何设未知数?(设第一年废气减少的百分率为x,则第二年废气减少的百分率为2x)4.题目中的等量关系是什么?(工业废气年排放量300万立方米减少两次之后=144万立方米)5.如何根据等量关系列出方程?(300(1-x)(1-2x)=144)6.你能求解方程,写出正确答案吗?学生独立思考后,小组合作交流,完成解答并展示,教师点评并规范解题步骤.解:设第一年减少的百分率是x,则第二年减少的百分率是2x.由题意,得300(1-x)(1-2x)=144整理化简,得50x2-75x+13=0.解得x1=0.2,x2=1.3(不符合题意,舍去).故x=0.2.答:第一年减少的百分率是20%,第二年减少的百分率是40%.归纳总结:如果增长(或降低)率中的基数为a,平均增长(或降低)率为x,则第一次增长(或降低)后的数量为a(1±x),第二次增长(或降低)后的数量为a(1±x)2,……第n次增长(或降低)后的数量为a(1±x)n.其中增长取“+”,降低取“-”.设计意图:将分析问题的过程分解成小问题的形式,采用层层递进的方式分析,通过学生自主探究、小组合作交流,建立一元二次方程模型解决增长(或降低)率的问题,降低了学习难度,逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.典例精讲建大棚种植蔬菜是农民致富的一条好途径.经过市场调查发现:搭建一个面积为x(公顷)的大棚,所需建设费用(万元)与x+2成正比例,比例系数为0.6;内部设备费用(万元)与x2成正比例,比例系数为2.某农户新建了一个大棚,投入的总费用为4.8万元.请计算该农户新建的这个大棚的面积.(总费用=建设费用+内部设备费用)教师引导学生分析:题中的等量关系是建设费用+内部设备费用=总费用,建设费用与x+2成正比例,比例系数为0.6,则建设费用可表示成0.6(x+2),内部设备费用与x2成正比例,比例系数为2,则内部设备费用可表示为2x2.根据题意,列方程为0.6(x+2)+2x2=4.8.解:依题意,得0.6(x+2)+2x2=4.8.整理,得10x+3x-18=0.解方程,得x1=1.2,x2=-1.5(不符合题意,舍去).答:该农户新建的这个大棚的面积为1.2公顷.设计意图:引导学生分析题意,用代数式正确表示两种费用的等量关系,进一步培养学生分析问题、解决问题的能力,体会建立方程模型的过程,提高学生的应用意识.课堂8分钟.1.教材第50页习题A组第2题,习题B组第1,2题.2.七彩作业.教学反思第3课时销售和其他问题课时目标1.会用一元二次方程解决商品销售的有关问题和其他问题.2.能根据实际问题,检验所得结果的合理性.3.进一步培养将实际问题化为数学问题的能力及分析问题、解决问题的能力.学习重点会根据实际问题(销售问题、握手问题等)中的数量关系列一元二次方程.学习难点分析实际问题(销售问题、握手问题等)中的数量关系.课时活动设计探究新知探究1用一元二次方程解单循环问题某少年宫组织一次足球赛,采取单循环的比赛形式,即每两个足球队之间都要比赛一场,计划安排28场比赛.可邀请多少支球队参加比赛呢?设邀请x支球队参加比赛,教师引导学生思考并解答下列问题:(1)根据“每两个足球队之间都要比赛一场”,每支足球队要比赛x-1场.(2)用含x的代数式表示比赛的总场次为12x(x-1).于是可得方程12x(x-1)=28.(3)解这个方程并检验结果.学生独立思考后,小组合作交流,完成解答并展示,教师点评并规范解题步骤.解:根据题意,可得ot1)2=28.化简,得x2-x=56.解得x1=8,x2=-7(不合题意,舍去).经检验x=8是原方程的解,且符合题意.答:应邀请8支球队参加比赛.同类型归纳:单循环比赛问题,握手问题,火车票价问题等.拓展提升如果赛制为双循环比赛,应该怎样列方程?解:(x-1)x=28.同类型归纳:双循环比赛问题,互送礼物问题,火车车票问题等.探究2用一元二次方程解销售问题某商场经销的太阳能路灯,标价为4000元/个,优惠办法是:一次购买数量不超过80个,按标价收费;一次购买数量超过80个,每多买1个,所购路灯每个可降价8元,但单价最低不能低于3200元/个.若一顾客一次性购买这样的路灯用去516 000元,则该顾客实际购买了多少个路灯?教师引导学生分析:(1)若顾客实际购买的路灯是80个,则所需费用为4000×80=320000元.(2)若顾客一次性购买路灯用去516000元,则所买路灯的数量>(填“>”“=”或“<”)80个.(3)设该顾客购买这种路灯x个,路灯超出80个的数量是(x-80)个,每个路灯可降价8(x-80)元,则每个路灯的售价为4000-8(x-80)元.(4)题目中的等量关系是购买路灯数量×售价=总价.(5)根据等量关系,可列方程为x[4000-8(x-80)]=516000.(6)解方程,并检验根是否都符合题意.学生独立思考后,小组合作交流,完成解答并展示,教师点评并规范解题步骤.解:因为4000×80=320000<516000,所以该顾客购买路灯数量超过80个.设该顾客购买这种路灯x个,则路灯的售价为[4000-8(x-80)]元/个.根据题意,得x[4000-8(x-80)]=516000.整理,得x2-580x+64500=0.解这个方程,得x1=150,x2=430.当x=430时,4000-8(x-80)=4000-8×(430-80)=1200(元),低于3200元.不符合题意,应舍去.答:该顾客实际购买了150个路灯.归纳总结销售问题常见关系式:1.总价=销量×售价;2.利润=售价-进价;3.利润率=利润×100%;进价4.总利润=单个利润×销量.设计意图:引导学生正确理解题意,将分析问题的过程分解成小问题的形式,采用层层递进的方式分析,通过学生自主探究、小组合作交流,建立一元二次方程模型解决实际问题,降低了学习难度,通过拓展提升,提升学生的辨别分析能力,逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.巩固练习经销商以21元/双的价格从厂家购进一批运动鞋.如果售价为a元/双,那么可以卖出这种运动鞋(350-10a)双.物价局限定每双鞋的售价不得超过进价的120%.如果该商店卖完这批鞋赚得400元,那么该商店每双鞋的售价是多少元?这批鞋有多少双?解:根据题意,可得(350-10a)(a-21)=400.化简,可得a2-56a+775=0.解得a1=25,a2=31.因为售价不得超过进价的120%,即21×120%=25.2(元).所以a=25.共卖出350-10×25=100(双).答:该商店每双鞋的售价是25元,这批鞋有100双.设计意图:通过练习,让学生巩固所学知识,加深对所学知识的理解,提高综合运用能力.课堂8分钟.1.教材第52页习题A组第1,2题,习题B组第1,2题.2.七彩作业.教学反思。
冀教版数学九年级上册《24.1一元二次方程》教学设计
冀教版数学九年级上册《24.1 一元二次方程》教学设计一. 教材分析冀教版数学九年级上册《24.1 一元二次方程》是整个初中数学的重要内容，也是学生从代数到几何的过渡。
本节内容通过引入一元二次方程，让学生掌握方程的解法，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教材从实际问题出发，引导学生认识一元二次方程，并通过例题和练习，让学生掌握一元二次方程的解法。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的代数基础，对解一元一次方程已经有一定的了解。
但一元二次方程的解法和解题思路与一元一次方程有很大的不同，需要学生重新建立认知。
同时，九年级的学生面临中考的压力，对学习成果的期望较高，因此，在教学过程中，需要注重学生的学习兴趣的激发和积极性的调动。
三. 说教学目标1.知识与技能：理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的解法，能够运用一元二次方程解决实际问题。
2.过程与方法：通过自主学习、合作交流，培养学生的探究能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的自信心和克服困难的勇气。
四. 说教学重难点1.重点：一元二次方程的概念，一元二次方程的解法。
2.难点：一元二次方程的解法，特别是因式分解法和解的判断。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、合作探究法等，引导学生主动参与，提高学生的学习兴趣和积极性。
2.教学手段：利用多媒体课件，直观展示一元二次方程的解法，帮助学生理解和记忆。
六. 说教学过程1.引入新课：通过实际问题，引导学生认识一元二次方程，激发学生的学习兴趣。
2.自主学习：让学生自主探究一元二次方程的解法，培养学生的自主学习能力。
3.合作交流：学生分组讨论，分享解题方法，培养学生的合作交流能力。
4.教师讲解：教师针对学生的讨论情况进行讲解，解答学生的疑问。
5.练习巩固：布置练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
6.课堂小结：教师引导学生总结一元二次方程的解法，加深学生的理解。
冀教版数学九年级上册24.2《解一元二次方程》教学设计
冀教版数学九年级上册24.2《解一元二次方程》教学设计一. 教材分析冀教版数学九年级上册24.2《解一元二次方程》是本册教材中的重要内容，它是在学生已经掌握了有理数的运算、方程的解法等知识的基础上进行学习的。
这部分内容主要是让学生掌握一元二次方程的解法，包括直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法等。
这些解法不仅是解决一元二次方程的关键，也是进一步学习高中数学的基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对方程的概念和解法有一定的了解。
但是，对于一元二次方程的解法，他们可能还停留在机械记忆和简单应用的层面，对于解法的原理和适用范围可能还不够清楚。
因此，在教学过程中，我需要注重引导学生理解一元二次方程解法的原理，提高他们的数学思维能力。
三. 说教学目标1.知识与技能：使学生掌握一元二次方程的解法，包括直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法等，并能灵活运用。
2.过程与方法：通过自主学习、合作交流等环节，培养学生解决实际问题的能力，提高他们的数学思维能力。
3.情感态度价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、严谨求实的科学态度。
四. 说教学重难点1.教学重点：一元二次方程的解法及其应用。
2.教学难点：一元二次方程解法的原理和适用范围。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用自主学习、合作交流、教师引导等教学方法，让学生在探究中学习，提高他们的数学思维能力。
2.教学手段：利用多媒体课件、教学卡片等教学手段，帮助学生直观地理解一元二次方程的解法。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习一元一次方程的解法，引导学生思考如何解决一元二次方程。
2.自主学习：让学生自主探究一元二次方程的解法，总结解法步骤和原理。
3.合作交流：学生分组讨论，分享各自的解法，互相学习和借鉴。
4.教师引导：教师通过提问、解答疑问等方式，引导学生深入理解一元二次方程的解法。
5.练习巩固：布置一些练习题，让学生运用所学的解法进行解答，巩固知识。
冀教版数学九年级上册24.1《一元二次方程》教学设计
冀教版数学九年级上册24.1《一元二次方程》教学设计一. 教材分析冀教版数学九年级上册24.1《一元二次方程》是整个初中数学的重要内容，也是九年级上学期的重点和难点。
本节内容是在学生已经掌握了方程的解法、一元一次方程的基础上，引入一元二次方程，让学生进一步理解和掌握方程的解法，培养学生解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对 equation 的概念和解法有一定的了解。
但一元二次方程较为抽象，需要学生有一定的逻辑思维能力。
另外，学生可能对一些新的概念和符号感到困惑，需要教师耐心引导。
三. 教学目标1.了解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的解法。
2.能运用一元二次方程解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.一元二次方程的概念。
2.一元二次方程的解法。
3.一元二次方程在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法，引导学生自主探究，培养学生的动手操作能力和团队协作能力。
六. 教学准备1.PPT课件。
2.教学素材和案例。
3.练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入一元二次方程的概念，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（15分钟）讲解一元二次方程的概念和性质，呈现一元二次方程的解法。
3.操练（15分钟）学生分组讨论，尝试用一元二次方程解决实际问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）讲解一元二次方程在实际问题中的应用，让学生进一步理解和掌握一元二次方程。
5.拓展（10分钟）引导学生思考一元二次方程的解法是否适用于所有情况，探讨其他解方程的方法。
6.小结（5分钟）总结本节课的主要内容，强调一元二次方程的概念和解法。
7.家庭作业（5分钟）布置一些有关一元二次方程的练习题，巩固所学知识。
8.板书（课后）根据课堂教学内容，整理板书，方便学生复习和回顾。
教学过程每个环节所用时间：导入5分钟，呈现15分钟，操练15分钟，巩固10分钟，拓展10分钟，小结5分钟，家庭作业5分钟。
冀教版数学九年级上册(教学设计)《24.4一元二次方程的应用--读一读 方程的近似解》
《一元二次方程的应用--读一读 方程的近似解》方程的解并不都是精确的解，那么对于我们不能狗精确求解出来的问题，我们应该怎么办呢，采取什么样的方式来解决呢，这节有助于真正的了解方程的根和系数的关系。
1．掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用．2．培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力．3．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律．4．培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神．【教学重点】一元二次函数的应用问题【教学难点】正确理解根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和、两根的积与系数的关系．多媒体课件一、复习提问一元一次方程的概念。
二、导入新课一面积为120m 2的矩形苗圃，它的长比宽多2m ，苗圃的长和宽各是多少？ 解：设矩形的宽为xm ，则长为(x ＋2) m, 根据题意得：x (x＋2) ＝120即x2＋ 2x－120 ＝0三、讲授新课一、增长率问题例1、某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元，求3月份到5月份营业额的平均月增长率.例2、李先生将10000元存入银行一年，到期后取出2000元购买彩电，剩余8000元和利息又全部按一年定期存入银行，若存款的年利率不变，则到期后本息和是8925元，试求这种存款的年利率.（不计利息税）二、面积问题例3、用12m长的一根铁丝围成长方形.(1)如果长方形的面积为5m2,那么此时长方形的长是多少?宽是多少?如果面积是8m2呢?(2)能否围成面积是10m2的长方形?为什么?(3)能围成的长方形的最大面积是多少?三、数字问题例4、有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和是8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘原来的两位数就得1855，求原来的两位数.四、销售问题例5、某商店如果将进货价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，现采用提高售价，减少进货量的方法增加利润，如果这种商品每件涨0.5元，其销售量就会减少10件，那么，将售价定为多少时，才能使所赚利润为640元？。
九年级数学上册244一元二次方程的应用设未知数的技巧素材冀教版!
设未知数的技巧
列方程解应用题，一般情况下都采用直接设元，即求什么设什么.然而，在许多问题中，设未知数还应讲究一定的技巧，因题而异，设法各不相同，现举例介绍如下．
一、多设元
例1从两个重量分别是12千克和8千克并且含铜的百分数不同的合金上，切下重量相同的两块，把所切下的每一块和另一块剩余的合金放在一起，熔炼后两个合金含铜的百分数相同，求切下的合金重量是多少千克？
解设切下的合金重量是x千克，重量为12千克和8千克的合金含铜百分数分别是y、z．
去分母整理，得－5xy+5xz=24z－24y，
∴5（z－y）x=24（z－y），
答：切下的合金重量为4.8千克．
二、少设元
例2有四个数，其中每三个数的和分别为22、20、17、25，求此四数．
解设此四数的和为x．
则这四个数分别为x－22，x－20，x－17，x－25．
由题意，得（x－22）+（x－20）+（x－17）+（x－25）=x．
解方程，得x=28．
∴所求四数分别为6，8，11，3．
答：此四数分别为6，8，11，3．
三、间接设元
例3有大小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可运货15.5吨，5辆大车与6辆小车一次可运货35吨，求3辆大车与5辆小车一次可运货多少吨？
解设一辆大车一次运货x吨，一辆小车一次运货y吨．
（1）×7－（2），得9x+15y=73.5，
∴3x+5y=24.5（吨）．
答：3辆大车与5辆小车一次可运货24.5吨．
四、整体设元
由题意，得 3（2×105+x）=10x+9，
解方程，得 x=85713．
∴所求六位数为285713．
答：此六位数为285713．。
九年级数学上册244一元二次方程的应用盈亏问题素材冀教版!
盈亏问题·例及练习盈亏问题即商业行为中的盈亏、涨价、降价及其利润的计算等是我们生活中常见的问题，所用数学很简单，初一同学也能掌握，同学们应当熟悉．本文列举十例说明，并给出9个习题，供同学们学习．例1 一件大衣，底价为100元，现要将价格提高10%，过一段时间后，又要将价格降低10%，问降价10%后的价格为多少元？分析对于此题若不仔细分析就会认为大衣原价为100元，先涨价10%后又降价10%，所以降价后仍为100元．事实上并非如此，因为涨价10%时的基价为100元，而降价10%时，基价已不是100元了，所以上述观点错误．正确解法如下：涨价后大衣的价格为100(1+10%)元=110元，降价后大衣的价格为110(1-10%)元=99元．答：降价10%后的价格为99元．例2 某商品的零售价为每件1100元．按零售价的80%降价销售，仍可获利10%(相对于进货价)，则进货价每件_______元．分析设进货价每件a元，因商品按零售价的80%销售，其价格为1100·80%元，此时仍可获利10%，则此时的售价为a(1+10%)元，故有a(1+10%)=1100·80%，a=800．例3 某个体商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，每件都以135元出售，若按成本计算，其中一件盈利25%，另一件亏本25%，则在这次买卖中他 [ ](A)不赚不赔． (B)赚9元．(C)赔18元． (D)赚18元．分析设两件上衣的进价分别为x元，y元，则对第一件上衣有(1+25%)=135，x=108，他赚了：135-108元=27元．对第二件上衣有y(1-25%)=135，y=180元，他赔了：180-135元=45元．在这次买卖中，他赔了45元-27元=18元．故选C．例4 某商场出售一种彩电，每台标价为3300元，现以九折出售，每台售价比进价多150元，那么这种彩电每台进价为_______元．分析设每台进价为a元，则据题意有3300· 90%=a+150， a=2820．例5 某商品提价25%后又要恢复原价，则应降从 [ ](A)40%． (B)25%．(C)20%． (D)15%．分析设商品的原价为a元，应降价x，据题意得a(1+25%)(1-x)=a，x=20%，故选C．例6 某商品价格为a元，降价10%后，又降价10%，销售额猛增，商店决定再提价20%，提价后这种商品的价格为[ ]元(A)a． (B)1.08a．(C)0.972a． (D)0.96a．分析由题意得这种商品的价格为a(1-10%)2(1+20%)=0.972a，故应选C．例7 某商场的电视机按原价九折销售(即降价10%)，要使销售收入不变，那么销售量应增加 [ ]解设原来每台电视机单价为a元，销售了x台，则降价后每台价为a(1-10%)例8 某商店先在广州以每件15元的价格购进某种商品10件，后来又到深圳以每件12.5元的价格购进同种商品40件，如果商店销售这些商品时，要获得12%的利润，那么这种商品的销售价应该是多少元？分析解决这一问题的关键是要明确：利润=销售价-买入价．设这种商品每件的售价应该是x元，则有(10+40)x-(15·10+12.5·40)=(15·10+12.5·40)12%，x=14.5．答：该商品的销售价应为14.5元．例9 某商店经销一种商品，由于进货价降低了5%，使得利润率由原来的m%提高到(m+6)%[注：出售价=进货价(1+利润率)]，则m的值 [ ](A)10． (B)12．(C)14． (D)17．解设这种商品进货价为x元，出售价为y元，根据题意得消去x，y得m=14，故应选C．例10 某商场销售一批电视机，一月份每台毛利润是售出价的20%(毛利润=售出价-买入价)，二月份该商场将每台售出价调低10%(买入价不变)，结果销售台数比一月份增加120%，那么二月份的毛利润总额与一月汾的毛利润总额相比 [ ](A)增加10%． (B)增加12%．(C)减少10%． (D)不增也不减．分析若设一月份每台售出价为a，一月份共售出x台电视机，则每台电视机的买入价为(1-20%)a，二月份共售出(1+120%)x台，因而一、二月份的毛利润总额分别为：ax20%及(1-20%)a(1+120%)x-(1-20%)%a·(1+120%)x=10%·220%·ax，故二月份的毛利润总额与一月份的毛利润总额相比增加的百分比为故选A．练习1．某商品现在的售价为34元，比原来的售价降低了15%，原来的售价是[ ]元．(A)5.1． (B)28.9．(C)35． (D)40．2．一商店把货物按标价的九折出售，仍可获利20%，若该货物的进价为每件21元，则每件的标价是 [ ]元．(A)27.72． (B)28．(C)29.17． (D)30．3．一批运动服按原价的85%(八五折)出售，每套售价为y元，则这套运动服每套的原价是 [ ]元．(A)85%·y． (B)y÷85%．(C)15%·y． (D)y÷15%．4．某商家在一次买卖中，卖出两只型号不同的计算器，每台都以90元出售，其中一只盈利20%，另一只亏本20%，则在这次买卖中，该商家的盈亏情况是[ ](A)不盈不亏． (B)亏15元．(C)亏7.5元． (D)盈利2.5元．5．某商品连续两次涨价10%后价格是a元，那么原价是 [ ]元6．某商品降价10%后，要恢复原价，则应涨价 [ ](A)9%． (B)10%．7．一件商品每件成本a元，按成本增加25%定出价格，后因库存积压，降价8%后出售，每件还能盈利__________元．8．某家俱的标价为132元，若降价以九折出售，仍可获利10%(相对于进价)，则该家俱的进货价是 [ ]元(A)108． (B)105．(C)106． (D)118．9．商场销售某种商品，一月份销售了若干件，获利润30000元，二月份按这种商品的单价降低了0.4元，但销售量比一月份增加了5000件，从而所获利润比一月份多2000元，调价前每件商品的利润为多少元？。
【冀教版九年级数学上册教案】24.4一元二次方程的应用(1)
24.4一元二次方程的应用（1）教学目标【知识与能力】1.会根据实际问题中面积的等量关系,列出一元二次方程并求解.2.能根据问题的实际意义,检验所得结果是否合理.3.进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键.【过程与方法】1.通过解决有关面积的实际问题,学会将实际应用问题转化为数学问题,经历将实际问题抽象为代数问题的过程,进一步体会数学中的建模思想.2.培养学生的应用数学意识,提高学生分析问题、解决问题的能力.3.通过根据实际问题列方程,体会数学与生活息息相关.【情感态度价值观】1.通过用一元二次方程解决身边的问题,体会数学知识应用的价值,提高学生学习数学的兴趣.2.进一步培养学生合作的意识和主动探索事物内在联系及变化规律的习惯.教学重难点【教学重点】列一元二次方程解决与面积有关的应用题.【教学难点】在实际问题中找到等量关系,根据实际意义检验结果是否符合题意.课前准备多媒体课件教学过程一、新课导入：[导入语]同一元一次方程,二元一次方程(组)等一样,一元二次方程和实际问题也有紧密的联系,本节课就来讨论如何利用一元二次方程来解决实际问题.导入一:【复习回顾】1.三角形、正方形、长方形、平行四边形的面积公式是什么呢?2.解一元二次方程的方法有哪些?3.列方程解应用题的一般步骤是什么?【师生活动】教师提问,学生回答.导入二:你能求解本章前言中的问题吗?【师生活动】学生独立完成板书展示,并归纳总结解题步骤,教师强调指出要结合题目的已知条件正确决定一元二次方程两个根的取舍问题.[设计意图]通过复习列方程解应用题的步骤及有关面积公式,为本节课的探究活动做好铺垫,很自然地走进今天的学习内容;创设实际问题的导入,让学生感受建模思想在与面积有关的实际问题中的应用,激发学生学习兴趣.二、新知构建：共同探究列一元二次方程解应用题【课件展示】(教材47页例2)已知一本数学书的长为26 cm,宽为18.5 cm,厚为1 cm.一张长方形包书纸如图所示,它的面积为1260 cm2,虚线表示的是折痕.由长方形相邻两边与折痕围成的四角均为大小相同的正方形.求正方形的边长.思路一【课件展示】思考下列问题,小组交流:(1)本题中有哪些数量关系?(包书纸的长×宽=1260)(2)包装纸的长和宽如何用正方形的边长x表示?(包装纸的长=书宽+厚1 cm+2x,包装纸的宽=书长+2x)(3)如何利用题目中等量关系列出方程?(4)解方程并得出正确结论.【师生活动】学生独立思考后,小组针对问题进行交流讨论,共同探究问题并做出解答,教师给学生充足的思考时间,对学习有困难的学生加以指导,对学生的解答教师点评并规范解题步骤.【课件展示】解:设正方形的边长为x cm,根据题意,得(26+2x)(18.5×2+1+2x)=1260.整理,得x2+32x-68=0.解这个方程,得x1=2,x2=-34(不合题意,舍去).答:正方形的边长是2 cm.[设计意图]学生针对教师提出的问题,在小组内开展讨论交流,使学生思路清晰,目的明确,充分体现建模思想解决实际问题的应用,培养学生分析问题、解决问题的能力.思路二教师引导分析,学生思考,并回答下列问题:题中的等量关系式是,设正方形的边长为x cm,则长方形包装纸的长为,宽为,则可列方程为.【师生活动】学生在教师的引导下思考回答,独立完成解答过程,教师帮助有困难的学生,并展示答案,同时规范做题格式.[设计意图]师生共同找题中的已知量与未知量之间的等量关系,列出方程解决问题,提高学生的读题、审题能力,培养学生深入思考、分析问题的能力,又培养学生合作解决问题的意识.做一做已知一个直角三角形两直角边的和是12,斜边的长是10,求这个直角三角形两直角边的长.【思考】1.题目中有几个未知量?未知量之间有什么数量关系?(两个未知量,两直角边的和是12)2.设一个未知量为x,则另一个未知量怎样用未知数表示?(设一条直角边长为x,则另一条直角边长为12-x)3.直角三角形中直角边和斜边之间的数量关系是什么?(勾股定理)4.你能根据等量关系列出方程吗?5.解方程,写出正确答案.【师生活动】学生独立思考,尝试独立完成解答过程,小组内交流答案,教师对学生的解答作出点评.[设计意图]通过设置问题降低学生独立解决问题的难度,进一步加强学生一元二次方程解决实际问题的能力,增强学生的应用意识和独立思考的能力.三、课堂小结：1.一元二次方程解决实际问题的关键:分析题意找等量关系.2.列方程解应用题的一般步骤:审题、找等量关系、设未知数、列方程、解方程、检验、写出答案.。
最新冀教版九年级数学上册精品教案24.4一元二次方程的应用(3)
24.4一元二次方程的应用（3）教学目标【知识与能力】1.会根据具体问题,找到单循环赛及利润问题中的等量关系,列出一元二次方程并求解.2.能根据问题的实际意义,检验所得结果是否合理.3.进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键.【过程与方法】1.探索实际问题中的等量关系,经历实际问题转化为数学问题的过程,进一步体会数学中的建模思想.2.培养学生应用数学的意识,提高学生分析问题、解决问题的能力.3.通过根据实际问题列方程,体会数学与生活息息相关.【情感态度价值观】1.通过用一元二次方程解决实际问题,体会数学知识的应用价值,激发学生的学习兴趣.2.进一步培养学生合作的意识和主动探索事物内在联系及变化规律的习惯.教学重难点【教学重点】列一元二次方程解单循环赛问题、利润问题的应用题.【教学难点】在实际问题中找到等量关系,根据实际意义检验结果是否符合题意.课前准备多媒体课件教学过程一、新课导入：导入一:复习提问:1.列一元一次方程解应用题都有哪些步骤?(①审题;②设未知数;③找相等关系;④列方程;⑤解方程;⑥答)2.列方程解应用题的关键是什么?(读懂题意,找到题目中的等量关系)【师生活动】学生回答,教师点评.导入二:有m个球队进行足球比赛,采用单循环赛的形式,即每两个足球队之间都要比赛一场,那么这m个球队共赛多少场?【师生活动】学生独立思考后小组讨论,对学生的展示教师及时引导和点评.[设计意图]通过复习旧知识及讨论足球单循环赛问题,为继续学习一元二次方程的应用做好铺垫,以学生们感兴趣的足球赛导入新课,感受生活中处处有数学,激发学生的学习兴趣,提高学生在日常生活中应用数学解决问题的意识.二、新知构建：[过渡语]我们知道了什么是单循环赛,让我们一起探究下面足球单循环赛的问题吧!一起探究一元二次方程解单循环赛问题【课件展示】某少年宫组织一次足球赛,采取单循环的比赛形式,即每两个足球队之间都要比赛一场,计划安排28场比赛.可邀请多少支球队参加比赛呢?思路一教师引导学生思考并回答:设应邀请x支球队参加比赛.(1)根据“每两个足球队之间都要比赛一场”,每支足球队要比赛场.(2)用含x的代数式表示比赛的总场数为.于是可得方程.(3)解这个方程并检验结果.【师生活动】学生独立思考后小组合作交流,教师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型,让学生独立完成解答过程,教师点评板书,规范解题格式.【课件展示】解:设应邀请x支球队参加比赛,则每支球队要与其他(x-1)支球队各赛一场.根据题意可得x(x-1)=28,化简得x2-x=56,解得x1=8,x2=-7(不合题意,舍去),答:应邀请8支球队参加比赛.思路二小组活动,共同探究,思考下列问题:(1)分析题意,题中的已知条件是什么?(2)分析题意,题中的等量关系是什么?(3)如何设未知数,根据题中等量关系怎样列方程?【师生活动】教师在巡视过程中及时解决疑难问题,学生讨论后小组展示讨论结果,教师及时补充.【课件展示】解:设应邀请x支球队参加比赛,则每支球队要与其他(x-1)支球队各赛一场.根据题意可得x(x-1)=28,化简得x2-x=56,解得x1=8,x2=-7(不合题意,舍去),答:应邀请8支球队参加比赛.[设计意图]在教师设计的问题的引导下,通过小组活动,让学生亲身经历建立数学模型的过程,感受数学在实际生活中的应用,同时提高学生分析问题、解决问题的能力.例题讲解【课件展示】(教材51页例4)某商场经销的太阳能路灯,标价为4000元/个,优惠办法是:一次购买数量不超过80个,按标价收费;一次购买数量超过80个,每多买1个,所购路灯每个可降价8元,但单价最低不能低于3200元/个.若一顾客一次性购买这样的路灯用去516000元,则该顾客实际购买了多少个路灯?思路一教师引导分析:(1)若顾客实际购买的路灯数量是80个,则所需费用为元.(2)若顾客一次性购买路灯用去516000元,则所买路灯数量80个.(3)设该顾客购买这种路灯x(x>80)个,路灯数超出80个的数量是个,每个路灯可降价元,则每个路灯的单价是元.(4)题目中的等量关系是.(5)根据等量关系可列方程.(6)解方程,并检验根是否都符合题意.【师生活动】学生在教师的引导下分析,对问题(3)可进行小组讨论交流,然后独立完成解答过程,小组代表展示,教师规范解题的格式,并进行点评.解:因为4000×80=320000<516000,所以该顾客购买路灯数量超过80个.设该顾客购买这种路灯x个,则路灯的售价为[4000-8(x-80)]元/个.根据题意,得x[4000-8(x-80)]=516000.整理,得x2-580x+64500=0.解这个方程,得x1=150,x2=430.当x=430时,4000-8(x-80)=4000-8×(430-80)=1200(元),低于3200元.不合题意,舍去.答:该顾客实际购买了150个路灯.思路二【思考】(1)一次性购买路灯用去516000元,购买路灯数量是否超过80个?(2)若设顾客购买路灯x个,则超过80个的数量是多少?每个路灯可降价多少元?每个路灯的单价是多少?(3)题目中的等量关系是什么?能否根据等量关系列出方程?(4)解方程,并检验答案是否符合题意.【师生活动】小组合作交流,共同探究,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,学生展示解题过程,教师规范解题格式.【课件展示】解:因为4000×80=320000<516000,所以该顾客购买路灯数量超过80个.设该顾客购买这种路灯x个,则路灯的售价为[4000-8(x-80)]元/个.根据题意,得x[4000-8(x-80)]=516000.整理,得x2-580x+64500=0.解这个方程,得x1=150,x2=430.当x=430时,4000-8(x-80)=4000-8×(430-80)=1200(元),低于3200元.不合题意,舍去.答:该顾客实际购买了150个路灯.[设计意图]该例题的难度有所增加,教师在引导学生分析过程中,以层层递进的问题帮助学生正确理解题意,并指导正确用未知数表示等量关系中涉及的量,从而建立方程模型求解,在共同分析、解答的过程中提高学生分析问题及解决问题的能力.练一练:经销商以21元/双的价格从厂家购进一批运动鞋,如果售价为a元/双,那么可以卖出这种运动鞋(350-10a)双.物价局限定每双鞋的售价不得超过进价的120%.如果该商店卖完这批鞋赚得400元,那么该商店每双鞋的售价是多少元?这批鞋有多少双?【师生活动】学生独立完成后小组内交流答案,学生展示成果后,教师点评.【课件展示】解:根据题意,可得(350-10a)(a-21)=400,化简可得a2-56a+775=0,解得a=25或a=31,因为售价不得超过进价的120%,即21×120%=25.2(元),所以a=25,共卖出350-10×25=100(双).答:该商店每双鞋的售价是25元,这批鞋有100双.三、课堂小结：1.单循环赛问题中的等量关系:比赛总场数=x×(x-1)÷2(x为球队个数).易错点是列方程时忽略除以2.2.利润问题中的等量关系:利润=(售价-进价)×销售量.2.解决较为复杂的应用题时,要认真读懂题意,正确找到等量关系并准确表达,建立方程模型,并检验解出的根是否符合题意.。
九年级数学上册244一元二次方程的应用专题一元二方程的有关应用素材(新版)冀教版.docx
专题：一元二方程的有关应用1.考点分析一元二次方程的应用是中考命题的热点，命题形式比较灵活，既可单独成题，又可综合函数來命题，本节考查的主要知识点包括增长率、利润等问题，这些与经济有关的应用题是近几年各地中考的热点，题型包括填空题、选择题、解答题，解答题中，许多题目与函数相关，综合性较高，应用题主要考查收集和处理信息的能力、分析和解决问题的能力及创新实践能力2.典例剖析例1. （2007年安徽省））据报道，我省农作物秸杆的资源巨大，但合理利用量十分有限, 2006年的利用率只有30%,大部分秸杆被直接焚烧了，假定我省每年产出的农作物秸杆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使2008年的利用率提高到60%,求每年的增长率.（取V2 ~1.41）分析：本题属于平均增长率问题，可设每年产出的农作物秸杆总量为a,平均增长率为x,那么增长1次后的总量为30%a （1+x）,增长1次后的总量为30%a （1+x）2,再根据题意就很容易列出方程了解：设我省每年产出的农作物秸杆总量为a,合理利用量的增长率是x,由题意得：30%a （1+x）2=60%a,即（1+x）2=2.Axi^O. 41, X2〜一2.41 （不合题意舍去）.・・・x~0. 41.即我省每年秸秆合理利用量的增长率约为41%.点评：对于增长率问题，我们可选用公式：a （1+x）“二b,其中a是增长前的基数，b 是增长后的数量，n是增长的次数，x当然就是增长率，当然具体问题还是要具体分析，否则会不合题意出现错误！例2. （2007南充）在一幅长8分米，宽6分米的矩形风景画（如图1①）的四周镶宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图（如图1②）•如果要使整个挂图的面积是80平方分米，求金色纸边的宽.图1(1) 图 1 (2)分析：只要理解题意，根据等量关系，列出方程即可.解：设金色纸边的宽为才分米，根据题意，得：（2丹6）（2对8） =80. 解得：山=1,牙2=—8 （不合题意，舍去）.答：金色纸边的宽为1分米.点评:本题是一道一元二次方程的实际应用问题，只要注意列方程解应用题的一般步骤: 审、设、列、解、验、答等步骤，同时第（2）又是一个小探究说理题，只要利用根的判别式问题是不难解决的.专练：1.（2007台州）据2007年5月8日《台州晚报》报导，今年“五一”黄金周我市各旅游景点共接待游客约334万人，旅游总收入约9亿元.己知我市2005年“五一”黄金周旅游总收入约6. 25亿元，那么这两年同期旅游总收入的年平均增长率约为（）A. 12%B. 16%C. 20%D. 25%2.（2007安徽）据报道，我省农作物秸杆的资源巨大，但合理利用塑十分有限，2006 年的利用率只有30%,大部分秸杆被直接焚烧了，假定我省每年产出的农作物秸杆总量不变, 且合理利用量的增长率相同，要使2008年的利用率提高到60%,求每年的增长率.（取血~1.41）3.（2007宜宾）某商场将某种商品的售价从原來的每件40元经两次调价后调至每件32. 4 元.（1）若该商店两次两次调价的降价率相同，求这个降价率；（2）经调查，该商品每降价0. 2元，即可多销售10件.若该商品原来每月可销售500 件，那么两次调价后，每月可销售该商品多少件?4.桌子的桌面长为6米，宽为4米，台布面积是桌面面积的2倍，如果将台布铺在桌子上，各边垂下的长度相同，求这块台布的长和宽.5.某商场在“五一节”的假日里实行让利销售，全部商品一律按九销售，这样每天所获得的利润恰是销售收入的20%,如果第一天的销售收入4万元，且每天的销售收入都有增长，第三天的利润是1. 25万元，（1）求第三天的销售收入是多少万元？（2）求第二天和第三天销售收入平均每天的增长率是多少？6.为了把一个长100m宽60m的游泳池扩建成一个周长为600 m的大型水上游乐场，把游泳池的长增加xm,那么x等于多少时，水上游乐场的面积为20000 〃？如果能，求出x的值；如果不能，请说明理由.7.今年，我国政府为减轻农民负担，决定在5年内免去农业税.某乡今年人均上缴农业税25元，若两年后人均上缴农业税为16元，假设这两年降低的百分率相同.（1）求降低的百分率；（2）若小红家有4人，明年小红家减少多少农业税？（3）小红所在的乡约有16000农民，问该乡农民明年减少多少农业税.8.某超市经销一种成本为40元/kg的水产品，市场调查发现，按50元/kg销售，一个月能售出500kg,销售单位每涨1元，月销售量就减少Wkg ,针对这种水产品的销售情况, 超市在月成本不超过1OOOO元的情况下，使得月销售利润达到8000元，请你帮忙算算，销售单价定为多少？参考答案:1.C；2.解：设我省每年产出的农作物秸杆总量为a,合理利用量的增长率是x,由题意得:30%a （1+x） =60%a,即（1+x）2=2, Ax^O. 41, x2^-2. 41 （不合题意舍去）.・・・x~0. 41,即我省每年秸秆合理利用量的增长率约为41%.3.由题意得：40 (1-x) =32. 4,解得：Xi=0. 1, x2=1.9 (舍去)；4・解：设台布各边下垂相同宽度为兀米，由题意得：2x6x4 = (6 + 2x)(4 + 2x)解之得：禹=-6 (不符题意，舍去)，所以x = l,答：台布的长是8米和宽是6米5.(1)6.25 (2) 25%6.(1)长增加100米，宽增加40米或长不增加，只把原来的宽增加140米；长增加50米，宽增加90米；不能.° 47.解：(1)设降低的百分率为兀，由题意得：25(1 +兀)2 =16, ・・.l + x = ±—5 4：.x = -l±-, A %, =-0.2 =-20% , x2 =-1.8 = -180% (不符题意，舍去)・••降低的百分率为20%(2)25x(1-02)x4 = 10 (元)，25-10 = 15 (元)，.*.15x4 = 60 (元)(3)略8.解：售价兀元,(%-40)[500-(x-50)• 10] = 8000 , %2-140%+ 4800=0,(% — 60)(% — 80) = 0 , x} = 60,x2 = 80 ,当x = 60时，销售量为：400kg成本：16000元＞10000元(不合题意，舍)，x = 80时，销售量为：200畑，成本为8000兀；答：定价为80兀.。
九年级数学上册244一元二次方程的应用探讨数学应用题的优美解答素材冀教版!
探讨数学应用题的优美解答数学应用题的优美解答就象一件精美艺术品一样，能给人们精神上的享受和心理上的满足．解数学应用题，首先应深入分析题意，利用它所提供的一切信息，迅速抓住问题的本质；第二，要充分发挥自己直觉思维的作用．领悟事物的本质，随机应变，独辟蹊径，设计出新颖、别具一格的解题方法．英国科学家狄拉克说：“谁只要照次追求方程美的观点去工作，谁只要具有良好的直觉，谁就确定地走在了前进的路上”；第三，要能按陌生原理，即无论对熟悉的或不熟悉的题目，都能用好奇、探索的眼光去审视它．只有这样，才有可能得到独创性的、优美的妙解．例1．甲、乙二人自A、B两地骑车相向而行，两人相遇在离A地8公里处．相遇后两人继续按原方向前进，分别到达A、B之后立即返回，又在离B地10公里处相遇，求A、B 两地的距离．【分析】设A、B两地距离为x公里．第一次相遇时，甲走了8公里；第二次相遇时，甲走了（x+10）公里；显然，第二次相遇时，甲、乙共走过的路程是第一次相遇时，甲、乙共走的路程的3倍，因而，第二次相遇时甲所走过的路程，也是第一次相遇时甲所走的路程的3倍，则得：x+10=3×8．x=14答：A、B两地的距离为14公里．【注】这是《中等数学习题集》第一册（翟连林等编）第181页的一道题．书中的解答是：设A、B距离为S公里，甲、乙的速度分别为x公里/小时，y公里/小时，则得例2．甲、乙两个工程队合做一项工程，12天可以完工．如果甲队单独先做5天后，乙队也来参加，两队再合做9天才完工．两队单独完成这项工程各需多少天？【分析】设甲队与乙队的工效的比为x∶1，则甲队做12天等于乙队做12x天，甲队做5+9=14（天）等于乙队做14x天，故乙队独做需（12+12x）天或（9+14x天）天，则得：12+12x=9+14x，x=1.5．所以，乙队独做需12+12x=12+12×1.5=30（天）．答：甲队单独完成这项工程需20天，乙队单独完成这项工程需30天．【注】这是现行课本初中代数第三册149页习题第9题，“教参”中的解是：设单独完成这项工程甲队需要x天，乙队需y天，则例3．A、B两地相距36公里，甲从A地步行到B地，乙从B地步行到A地，两人同时出发相向而行．若行走4小时，则两人相遇；若行走6小时，则此时甲所余下的路程是乙所余下的路程的2倍，求甲、乙两人每小时各走多少公里？【分析】设走6小时后，乙的余路为x公里，甲的余路为2x公里，又显然，这两人的速度和为36/4=9（公里/小时），而两人共走6小时，再加上共有的余路应等于全程的两倍，则得6×9+3x=2×36∴x=6答：甲每小时走4公里，乙每小时走5公里【注】这是1990年福建省初中毕业会考试题，其参考答案是：设甲每小时走x公里，乙每小时走y公里，根据题意得例4．猴子分桃趣题．有五只猴子分一堆桃子，可是怎样分也平分不了，于是大家先去睡觉，明天再说．夜里，一只猴子偷偷起来，把一个桃子扔到山下，剩下的桃子正好可以分成五份，它把自己的一份收藏起来就睡觉去去．第二只猴子起来也扔掉一个，所剩的桃子又刚好能分成五份，它把自己的一份收藏起来也睡觉去了．第三、第四、第五只猴子都照此办理．问一共有多少个桃子？【分析】设加上4个桃子之后，桃子总数为x，依题意x可以被5整除，不过答：桃子数至少为3121个．【注】这是《世界数学名题趣题选》（王长烈等编）第1题，书中是这样“提示”的：设有桃子数为x，n只猴子各自藏起来的桃子数依次为k1，k2，…，k n，则得方程组（n－l）（k1+1）=n（k2+1）（n－1）（k2+1）=n（k3+1）（n－1）（k n－1+1）=n（k n+1）再把这些等式两边乘起来可得（n－1）n－1（k1+1）=n n－1（k n+1）由此可知，k1+1必是n n－1的倍数，记为k1+1=n n－1k （k∈N）代入①得x=n（n n－1k－1）+1即 x=n n k－（n－1）取k=1，得最小的正整数解为n n－（n－1），令n=5，求得题中最少的桃子数为55－4=3121（个）例5. 甲、乙两人分别从A、B两地同时向同一方向出发，甲经过B地后，再走3小时12分在C地追上乙，这时两人共走72公里，而C，A两地的距离等于乙走5小时的路程．求A、B两地的距离．【分析】设甲的速度与乙的速度之比为x∶1，而已知甲走｜BC｜需16/5小时，所以，乙走｜BC｜需16x/5小时，从而甲走｜AC｜需16x/5小时，于是，乙走｜AC｜需16x2/5小时，则得16x2/5=5∴x=±1.25x=－1.25不合题意，舍去．∴x=1.2516x/5=16×1.25/5=4（时），因而A、B两地距离为：[72/（5+4）]（5－4）=8（里）答：A、B两地的距离为8公里．【注】这是78年辽宁中学数学竞赛第二试题．1978年全国部分省市《中学数学竞赛试题解答汇集》（福建省教育学院数学组编）中是这样解答的：设A、B地距离为x公里，乙的速度为y里/时，则甲的速度为（5y－x）/3.2（里/时）则得例6. 一号列车由甲地向乙地出发1时后，二号列车由乙地出发，速度较一号列车每时大10里．两车相遇之地点，适在甲乙两地之中央，又若一号列车出发之时间，在二号列车出发后1小时，而仍欲在甲乙两地之中央相遇，则一号列车之速度，非每时增加28里不可，求甲乙两地之距离及一号列车每时之速度．【分析】第一次：一号列车早出发1时．二号列车速度较一号列车速度每时大10里．所以，若设二号列车由乙地出发x小时后，适在甲乙两地之中央与一号列车相遇．则一号列车之速度为10x/1（里/时）；第二次：一号列车较二号列车迟一时出发．且仍要在甲乙两地之中央与二号列车相遇，所以，一号列车走这一距离用（x－1）时，它的速度非每时增加28里不可．但实际上，较二号列车每时只大（28－10）里．所以，二号列车的速度为（28－10）（x－1）（里/时），故得（28－10）（x－1）－10x=10x=3.5所以，一号列车之速度为10x=35（里/时），两地距离为2x（35+10）=2×3.5×45=315（里）答：甲：乙两地距离为315里．一号列车之速度为35里/时．【注】这是《代数学辞典》第1188题，书中的解答是：设甲、乙两地距离为2x公里，一号列车每时之速度为y里，则得例7. 一水槽，以甲、乙二管注水．今先在乙管注满所需时间之3/5内，单以甲管注之，继单以乙管注满其余．这样所用的时间，较之以甲、乙二管同时开放注满所需之时间多6时．又甲、乙二管同时开放，至注满为止，所注水量，甲为乙的2/3，问单以甲或乙一管注之，各需若干时而满？【分析】由题设可知，甲管的工效是乙管工效的2/3倍，所以，同时开放二管至注满止，乙管注该水槽的3/5，设单以乙管注满水槽需x 小时，则二管同时开放需（3/5）x 小时才能注满，又在乙管注满所需时间之3/5内，单以甲管注之，其注水量只相当于乙管注水232x x 355⎛⎫= ⎪⎝⎭（小时）所注水量，所以，继单以乙管注满其余，还需3x 5小时，故得答：单以甲管注之需15小时，单以乙管注之需10小时．【注】这是《代数学辞典》（日本，长泽龟之助著，德炯等编译．以下简称《代》）第2391题．书中的解答是：设甲需x 时而满，乙需y 时而满．则先用甲管之时间为（3/5）y 时，故所注之水量为全量的3y/5x ．又此时所余之水量，为全量之1－（3y/5x ），故以乙管注满此量所需之时间为3y y(1)5x -时，据此，所经之总时间为3y 3y y(1)55x+-时，若两管同时开放，则经1xy 11x yx y +++时而水满，故得。
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24.4一元二次方程的应用
第一课时
用一元二次方程解决实际问题和用其他方程一样，都是培养学生应用意识和数学建模的重要内容。
1．让学生根据自己已有的经验，先自主探究，再小组交流，然后师生共同解决“与其探究中的问题。
要强调：在解题过程中，应体验检验结果合理性的内容。
2．要求学生独立完成“做一做”中的题目，然后在全班进行交流。
在这一过程中，要对学习有困难的学生及时进行点拨。
3．在例1中，由于涉及的数量关系较多，学生进行自主探究会有一定的难度，教师可给予必要的引导。
经过师生合作，启发学生找出问题中的等量关系，列出方程求解。
由于这个方程的两个根都有实际意义，所以要引导学生自己分析题意，然后再结合实际问题的要求，确定例1的答案。
第二课时
本节课是用一元二次方程解决实际问题的第二课时，目的是让学生进一步感受一元二次方程这一数学模型的重要作用，提高分析问题、解决问题的能力．
1．“一起探究”中的问题，教师额可以给出表格（例2分析中的表格形式），让学生独立思考分析后填写，然后进行合作交流，并结合“大家谈谈”中的要求，师生一起归纳总结出此类问题的解决策略和建立方程的一般方法．
2．对于例2，由于涉及利润增长率的问题，学生理解起来可能会有困难，因此，对学生的引导要到位，使学生的活动更加充分，以帮助学生弄明白例2和“一起探究”中的问题的区别和联系。
最后，师生共同完成例2 的教学内容。
1。