2017-2018学年北师大版九年级数学上册检测卷：第4章达标检测卷
2018年秋北师大新版数学九年级上册第1-4章阶段性测评试卷(原卷版)
北师大新版数学九年级上册第1-4章阶段性测评试卷一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1.一元二次方程x2﹣5x﹣6=0的根是（）A. x1=1，x2=6B. x1=2，x2=3C. x1=1，x2=﹣6D. x1=﹣1，x2=62.一个不透明的袋中有四张完全相同的卡片，把它们分别标上数字1、2、3、4．随机抽取一张卡片，然后放回，再随机抽取一张卡片，则两次抽取的卡片上数字之积为偶数的概率是（）A. B. C. D.3.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上.若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（）.........A. 2B.C.D.4.如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AD：BD=2：1，点F在AC上，AF：FC=1：2，联结BF，交DE于点G，那么DG：GE等于（）A. 1：2B. 1：3C. 2：3D. 2：5．x 1.1 1.2 1.3 1.4ax2+bx+c ﹣0.59 0.84 2.29 3.76判断关于x的方程ax2+bx+c=3的一个解x的范围是（）A. 1.1＜x＜1.2B. 1.2＜x＜1.3C. 1.3＜x＜1.4D. 无法判定6.如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（2，2）、B（3，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD，则端点C的坐标分别为（）A. （3，1）B. （3，3）C. （4，4）D. （4，1）7.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的三倍，则称这样的方程为“3倍根方程”，以下说法不正确的是（）A. 方程x2﹣4x+3=0是3倍根方程B. 若关于x的方程（x﹣3）（mx+n）=0是3倍根方程，则m+n=0C. 若m+n=0且m≠0，则关于x的方程（x﹣3）（mx+n）=0是3倍根方程D. 若3m+n=0且m≠0，则关于x的方程x2+（m﹣n）x﹣mn=0是3倍根方程8.如图，已知正方形ABCD的边长为4，以AB为一边作等边△ABE，使点E落在正方形ABCD的内部，连接AC交BE于点F，连接CE、DE，则下列说法中：①△ADE≌△BCE；②∠ACE=30°；③AF=CF；④=2+，其中正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）9.2和8的比例中项是________．10.柳州市为了扩大绿化面积，进行了大量的树木移栽．下表记录的是在相同条件下某种幼树的棵数与成活棵树：依此估计这种幼树成活的概率是_____．（结果用小数表示，精确到0.1）移栽棵数100 1000 10000成活棵数89 910 900811.在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．请你添加一个条件，使得四边形ABCD成为菱形，这个条件可以是_____．（写出一种情况即可）12.某商厦10月份的营业额为50万元，第四季度的营业额为182万元，若设后两个月平均营业额的增长率为x，则由题意可得方程：_____．13.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，将矩形沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE交AD于点F，则BF的长为_____．14.如图是用棋子摆成的“上”字：如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，第n个“上”字需要用棋子数_______枚.三．解答题（共10小题，满分78分）15.已知：如图∠α和线段a．求作：菱形ABCD，使∠BAD=∠α，较长对角线AC等于线段a．16.解方程：（1）x（x﹣1）=3﹣3x（2）2x2﹣4x﹣1=0（用配方法）17.已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣2m﹣3=0的两个不相等实根中有一个是0．（1）请求出m的值；（2）是否存在实数k，使关于x的方程x2﹣（k﹣m）x﹣k﹣m2+5m﹣2=0的两个实根x1，x2之差的绝对值为1？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．18. 现有两个纸箱,每个纸箱内各装有4个材质、大小都相同的乒乓球,其中一个纸箱内4个小球上分别写有1、2、3、4这4个数，另一个纸箱内4个小球上分别写有5、6、7、8这4个数，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个纸箱中各随机摸出一个小球，然后把两个小球上的数字相乘，若得到的积是2的倍数，则甲得1分，若得到积是3的倍数，则乙得2分.完成一次游戏后,将球分别放回各自的纸箱,摇匀后进行下一次游戏,最后得分高者胜出.。
2018年秋北师大版九年级数学上册第四章达标测试卷
第四章达标测试卷一、选择题(每题 3 分，共 30 分)1．如图，已知 l 1∥l 2∥l 3，若 AB ＝1，BC ＝2，DE ＝1.5，则 EF 的长为()A ．1.5B ．2C ．2.5D ．32．下列说法正确的是()A ．对应边都成比例的多边形相似B ．对应角都相等的多边形相似C ．边数相同的正多边形相似D ．矩形都相似AD 1 DE3．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DB ＝3，则BC 等于()1 1 1 1 A.2 B.3 C.4 D.54．如图，四边形 ABCD 与四边形 AEFG 是位似图形，且 AC ∶AF ＝2∶3，则下列结论不正确的是()A ．四边形 ABCD 与四边形 AEFG 是相似图形B ．AD 与 AE 的比是 2∶3C ．四边形 ABCD 与四边形 AEFG 的周长比是 2∶3 D ．四边形 ABCD 与四边形 AEFG 的面积比是 4∶95．已知△ABC 如图所示，则下面 4 个三角形中与△ABC 相似的是()6．如图，已知点 C ，D 都是线段 AB 的黄金分割点，如果 CD ＝4，那么 AB 的长度是()A ．2 5－2B ．6－2 5C ．8＋4 5D ．2＋ 52；②△S DOE＝2；③AB＝OB；④△S DOE＝3.其中正确的个数是()7．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB＝3∶5，那么CF∶CB等于()A．5∶8B．3∶8C．3∶5D．2∶58．如图，AB是斜靠在墙上的一个梯子，梯脚B距墙1.4m，梯子上点D距墙1.2 m，BD长0.5m，则梯子的长为()A．3.5m B．3.85m C．4m D．4.2mDE 9．如图，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，下列结论：①BC＝11AD OE1△S COB△S ADEA．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝18，BC＝12，正方形DEFG的顶点E，F在△ABC内，顶点D，G分别在AB，AC上，AD＝AG，DG＝6，则点F到BC 的距离为()A．1B．2C．122－6D．62－6二、填空题(每题3分，共24分)11．如图，线段AB BC＝，那么AC BC等于________．12．相邻两边长的比值是黄金比的矩形，叫做黄金矩形，从外形看，它最具美感．现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于 20 cm ，那么与其相邻的一条边的长等于__________．13△．若 ABC ∽ △A ′B ′C ′，且对应中线之比为 1∶2△，则 ABC △与 A ′B ′C ′的面积之比为________．14．如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，点 D 在 AB 上(点 D 与 A ，B 不重合)，若再增加一个条件就能使△ACD ∽△ABC ，则这个条件是________________(写出一个条件即可)．15．如果一个直角三角形的两条边长分别是 6 和 8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是 3，4，x ，那么 x 的值为________．16．如图，在平面直角坐标系中有两个点 A(4，0)，B(0，2)，如果点 C 在 x 轴上(点 C 与点 A 不重合)，当点 C 的坐标为__________________时，使得由点 B ，O ，C 组成的三角形与△AOB 相似(不包括全等)．17．为了测量校园水平地面上一棵树的高度，数学兴趣小组利用一组标杆、皮尺，设计了如图所示的测量方案．已知测量同学的眼睛 A 、标杆顶端 F 与树的顶端 E 在同一条直线上，此同学的眼睛距地面 1.6 m ，标杆长为 3.3 m ，且 BC＝1 m ，CD ＝4 m ，则 ED ＝________．18．如图，在矩形 ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，将矩形 ABCD 绕点 B 按顺时针方向旋转得到矩形 GBEF ，点 A 落在矩形 ABCD 的边 CD 上，连接 CE ，则 CE的长是________．三、解答题(19，20 题每题 8 分，21，22 题每题 9 分，23，24 题每题 10 分，25题 12 分，共 66 分)19．如图，已知∠ADC ＝∠BAC ，BC ＝16 cm ，AC ＝12 cm ，求 DC 的长．△A B C.20．如图，已知在ABCD中，AE∶EB＝1∶2.(1)△求AEF与△CDF的周长之比；(2)如果△SAEF＝6cm2，求△S CDF的值．21．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－1，2)，B(－3，4)，C(－2，6)．(1)△画出ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB1C1；(2)在网格内以原点O为位似中心，画出将△AB1C1三条边放大为原来的2倍后的222(3)△ABC△与A2B2C2的面积比为________．22．如图，在矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F.(1)△ABE与△ADF相似吗？请说明理由．(2)若AB＝6，AD＝12，BE＝8，求DF的长．C 1D (1)请你探究：AB ＝DB ，AB 1＝DB 是否都成立？23．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板 DEF 来测量操场旗杆 AB 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边 DF 与地面保持平行，并使边 DE 与旗杆顶端 A 在同一直线上．已知 DE ＝0.5 m ，EF ＝0.25 m ，目测点D 到地面的距离 DG ＝1.5 m ，到旗杆的水平距离 DC ＝20 m ，求旗杆的高度．24．如图，有一块面积等于 1 200 cm 2 的三角形铁片 ABC ，已知底边与底边 BC上的高的和为 100 cm(底边 BC 大于底边上的高)，要把它加工成一块正方形铁片，使正方形的一边 EF 在边 BC 上，顶点 D ，G 分别在边 AB ，AC 上，求加工成的正方形铁片 DEFG 的边长．25．如图①，在等边三角形 ABC 中，线段 AD 为其内角平分线，过点 D 的直线B 1C 1⊥AC 于点 C 1，交 AB 的延长线于点 B 1.AC CD AC1 1AC(2)请你继续探究：若△ABC 为任意三角形，线段 AD 为其内角平分线，请问AB ＝CDDB 仍然成立吗？并说明理由．40(3)如图②，在 Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，AB ＝ 3 ，E 为 AB 上一点且DFAE＝5，CE交其内角平分线AD于点F，试求AF的值．∥BC ，所以BC ＝2，①正确；由DE ∥BC △易得 DOE ∽△COB ，则△S DOE＝BC△S ADE DE 2 1 △S ABC ＝6h ＝3，所以△S DOE＝12，所以△S DOE ＝3，④正确．故选 C.△S ABC 12 2答案EF BC一、1.D 点拨：已知 l 1∥l 2∥l 3，根据平行线分线段成比例，得DE ＝AB ，所以EF ＝3.2．C 3.C 4.B 5.A 6.C 7.A 8.A19．C 点拨：由中线 BE ，CD 知，DE △为 ABC的中位线，所以 DE ＝2BC ，DEDE 1 DE△S COB2 1 AD DE DE OE AD OE＝4，②错误；由 DE ∥BC 易得AB ＝BC ，BC ＝OB ，所以AB ＝OB ，③正确；由 DE ∥BC 易知△ADE ∽△ABC ，则 ＝BC ＝4△，设 DOE 的边 DE 上的高为 h △，则 BOC 的边 BC 上的高为 2h △， ABC 的边 BC 上的高为 6h ，则△S COB2h 1 S1 1 △ABC △S ADE10．D 点拨：过点 A 作 A M ⊥BC 于点 M ，交 DG 于点 N ，延长 GF 交 BC 于点H ，易证△ADG ∽△ABC ，∴∠ADG ＝∠B.∴DG ∥BC.∴AN ⊥DG.∵四边形1DEFG 是正方形，∴FG ⊥DG.∴FH ⊥BC.∵AB ＝AC ＝18，BC ＝12，∴BM ＝2AN DG AN 6BC ＝6.由勾股定理可得 A M ＝12 2.∴A M ＝ B C ，即＝12.∴AN ＝6 2.∴MN ＝AM －AN ＝6 2.∴FH ＝MN －GF ＝6 2－6.二、11.12.(10 5－10) cm13．1∶414．∠ACD ＝∠ABC(答案不唯一)15．5 或 7 点拨：当 6，8 均为直角边时，x ＝5；当 8 为斜边时，x ＝ 7.16．(－1，0)或(1，0)317．10.1 m18.5 10三、19.解：∵∠ADC ＝∠BAC ，∠C ＝∠C ，∴△ADC ∽△BAC.AC DC ∴BC ＝ A C .∵BC ＝16 cm ，AC ＝12 cm ，12×12∴DC ＝ 16 ＝9(cm)．20．解：(1)∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，DC ∥AB.∴∠CAB ＝∠DCA ，∠DEA ＝∠CDE.∴△AEF ∽△CDF.∵AE ∶EB ＝1∶2，∴AE ∶AB ＝AE ∶CD ＝1∶3.∴△AEF △与 CDF 的周长之比为 1∶3.(2)∵△AEF ∽△CDF ，AE ∶CD ＝1∶3，∴△S AEF ∶△S CDF ＝1∶9. ∵△S AEF ＝6 cm 2， ∴△S CDF ＝54 cm 2.21．解：(1)如图， △AB 1C 1 即为所求．(2)如图， △A 2B 2C 2 即为所求．(3)1∶422．解：(1)△ABE ∽△DFA.理由如下：∵四边形 ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∠B ＝90°.∴∠DAE ＝∠AEB.①又∵DF ⊥AE ，∴∠DF A ＝∠B ＝90°.②由①②知△DF A ∽△ABE.(2)根据题意，得 AE ＝10，由(1)可知 DF AB ＝AD AE ，∴DF ＝7.2.DE EF23．解：∵∠DEF ＝∠DCA ，∠EDF ＝∠CDA ，∴△DEF ∽△DCA.∴DC ＝CA.0.5 0.25∵DE ＝0.5 m ，EF ＝0.25 m ，DC ＝20 m ，∴ 20 ＝ CA .∴AC ＝10 m ．又∵CB＝DG ＝1.5 m ，∴AB ＝AC ＋CB ＝10＋1.5＝11.5(m )．答：旗杆的高度为 11.5 m.24．解：作 AM ⊥BC 于 M ，交 DG 于 N ，如图所示，由题易知 AN ⊥DG.设 BC ＝a cm ，BC 边上的高为 b cm ，DG ＝DE ＝x cm ，根据题意，得 a ＋b ＝100，12ab ＝1 200，解得 a ＝60，b ＝40，或 a ＝40，b ＝60(不合题意，舍去)，∴BC ＝60 cm ，AM ＝40 cm.由题意知 DG ∥BC ，∴∠ADG ＝∠B ，∠AGD ＝∠C.∴△ADG ∽△ABC.AN DG 40－x x ∴A M ＝ B C ，即 40 ＝60.解得 x ＝24，即加工成的正方形铁片 DEFG 的边长为 24 cm.25．解：(1)两个等式都成立．理由如下：∵△ABC 为等边三角形，AD 为角平分线，∴AD 垂直平分 BC ，∠CAD ＝∠BAD ＝30°，AB ＝AC.∴DB ＝CD.AC CD ∴AB ＝DB.∵B 1C 1⊥AC ，∠C 1AB 1＝60°， ∴∠B 1＝30°.∴AB 1＝2AC 1.∵∠DAB 1＝30°＝∠B 1，∴DA ＝DB 1. 又∵∠C 1AD ＝30°，∠AC 1D ＝90°， ∴DA ＝2C 1D.C 1D ∴DB 1＝2C 1D.∴AB 1＝DB .AC11(2)结论仍然成立．理由如下：如图①，△ABC 为任意三角形，过 B 点作 BE ∥AC ，交 AD 的延长线于点 E ，∴∠E ＝∠CAD.又∵∠CAD ＝∠BAD ，∴∠E ＝AC CD∠BAD.∴BE ＝AB.由作图易证△EBD ∽△ACD ，∴EB ＝DB.又∵BE ＝AB ，∴AC CD对任意三角形，结论AB ＝DB 仍然成立．①②(第 25 题)(3)如图②，连接 ED.∵AD △为 ABC 的内角平分线，CD AC 8 3 BD 5 ∴DB ＝AB ＝40＝5.∴BC ＝8.340BE 3 －55 BD BE 而AB ＝ 40 ＝8.∴BC ＝AB.3又∵∠B ＝∠△B ，∴ BDE ∽△BCA.∴∠BDE ＝∠BCA.∴DE ∥AC.∴∠FDE ＝∠CAF ，∠FED ＝∠ACF.∴△DEF ∽△ACF.DF DE ∴AF ＝AC .由(2)知 AE ＝DE ，DF DE AE 5 ∴AF ＝AC ＝AC ＝8.。
北师大版2017---2018学年九年级数学上学期期末检测试题卷
北师大版2017---2018学年九年级数学上学期期末检测试题卷一、选择题（本大题共8个小题，每题只有一个正确的选项，每小题3分，满分24分） 1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）A ．32-=y xB ．2(1)3x +=C ．11322+=-+x x x D ．29x = 2．有一实物如下左图，那么它的主视图是（ ）3．到三角形各顶点的距离相等的点是三角形（ ） A ．三条角平分线的交点B ．三条高的交点C ．三边的垂直平分线的交点D ．三条中线的交点4．甲、乙两地相距60km ，则汽车由甲地行驶到乙地所用时间y （小时）与行驶速度x （千米/时）之间的函数图像大致是（ ）5．下列命题中，不正确的是（ ）A ．顺次连结菱形各边中点所得的四边形是矩形B ．有一个角是直角的菱形是正方形C ．对角线相等且垂直的四边形是正方形D ．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 6．在Rt △ABC 中，∠C=90°，a =4，b =3，则sinA 的值是（ ） A ．45B ．35C ．43 D ．547．电影院呈阶梯或下坡形状的主要原因是( )A ．为了美观B ．减小盲区C ．增大盲区D ．盲区不变8．某校九年级一班共有学生50人，现在对他们的生日（可以不同年）进行统计，则正确的说法是（ ）A ．至少有两名学生生日相同B ．不可能有两名学生生日相同C ．可能有两名学生生日相同，但可能性不大D ．可能有两名学生生日相同，且可能性很大A B C DOxyA OxyOxyOxDy二、填空题（本大题共7个小题，每小题3分，满分21分） 9．计算2cos60°+ tan 245°= 。
10．一元二次方程230x x -=的解是 。
11．请你写出一个反比例函数的解析式使它的图象在第一、三象限 。
12．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 长为10cm ，∠CAB=30°，AB= 6cm ，则平行四边形ABCD 的面积为2cm 。
新北师大版2017-2018九年级数学期末试卷(上)
九年级月考数学试卷 第1页 共4页2017－2018学年度第一学期九年级期末试卷数 学一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1.顺次连结下列四边形的四边中点所得图形一定是菱形的是（ ）A ． 平行四边形B ．菱形C ．矩形D ． 梯形2. 下列关于x 的一元二次方程有实数根的是( )A ． x 2+2=0B ．2x 2+x+1=0C ．x 2﹣x+3=0D ．x 2﹣2x ﹣1=03. 下列命题中，假命题的是（ ） A ．分别有一个角是 110的两个等腰三角形相似B ．如果两个三角形相似，则他们的面积比等于相似比C ．若5x=8y ，则58=y x D ．有一个角相等的两个菱形相似4. 有x 支球队参加篮球比赛，共比赛了21场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ）A ．21)1(=-x xB ．21)1(=+x xC ．42)1(=-x xD ．42)1(=+x x 5、若二次函数2ax y =的图象经过点P （-2，4），则该图象必经过点（ ）A ．（4，-2）B ．（-4，2）C ．（-2，-4）D ．（2，4）6. 下列事件是必然事件的是（ ）A ．瓮中捉鳖B ．刻舟求剑C ．守株待兔D ．水中捞月7、在Rt △ABC 中，∠C=90°，若AC=4，AB=5，则cosB 的值（ ）A ．B ．C ．D ． 8、在下列四个立体图形中，俯视图为正方形的是（ ）A ．B ．C ．D ．九年级月考数学试卷 第2页 共4页9、如图，△ABC 中，D 为AB 的中点，DE∥BC，则下列结论中错误的是（ ）A ．B ．C ．DE=BCD ．S △ADE =S 四边形BCED10、已知一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ＞0）的两个实数根x 1，x 2满足x 1+x 2=4和x 1•x 2=3，那么二次函数ax 2+bx+c （a ＞0）的图象有可能是（ ）A． B．C D．二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）11、如果x:y=2：3，那么yy x + ．12、两个相似三角形对应中线的比2∶3，周长的和是20，则两个三角形的周长分别为____13、一个不透明口袋装有除颜色不同外没有任何区别的6个红球，9个白球，3个黑球，现从中任意摸出一个球，要使摸到黑球的概率为，需要往这个口袋中再放同样的黑球 个．14、函数422)1(--+=m m x m y 是y 关于x 的反比例函数，则m= .15、用一根长为16cm 的铁丝围成一个矩形，则围成矩形面积的最大值是 cm 2．16、函数y ＝1x 与y ＝x －2图象交点的横坐标分别为a ，b ，则1a ＋1b的值为___． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）17、(1)计算：|1﹣|﹣2sin45°+（）2+．(2)解方程：x 2+4x ﹣12=0．18、画出下面立体图的三视图．九年级月考数学试卷 第3页 共4页19、已知关于x 的方程0222=-++m x x ．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求m 的值及方程的另一根．四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）20、如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB 所示，他在地面上的影子如图中线段AC 所示，小亮的身高如图中线段FG 所示，路灯灯泡在线段DE 上．（1）请你确定灯泡所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子．（2）如果小明的身高AB=1.6m ，他的影子长AC=1.4m ，且他到路灯的距离AD=2.1m ，求灯泡的高．第21题21、如图，已知反比例函数和一次函数y 2=ax+b 的图象相交于点A 和点D ，且点A 的横坐标为1，点D 的纵坐标为﹣1．过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，△AOB 的面积为1．求反比例函数和一次函数的解析式．22、从一副扑克牌中取出的两组牌，分别是黑桃1、2、3、4和方块1、2、3、4，将它们背面朝上分别重新洗牌后，从两组牌中各摸出一张，分别用m 、n 、表示其数字；请你用列举法（列表或画树状图）分析说明：（1）摸出的两张牌的牌面数字之和等于5的概率是多少？（2）关于x 的方程x 2+mx+n=0没有实数根的概率是多少？九年级月考数学试卷 第4页 共4页五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）23、光明中学九年级（1）班开展数学实践活动，小李沿着东西方向的公路以50m/min 的速度向正东方向行走，在A 处测得建筑物C 在北偏东60°方向上，20min 后他走到B 处，测得建筑物C 在北偏西45°方向上，求建筑物C 到公路AB 的距离．（已知≈1.732）24、如图，在直角△ABC 中，∠ACB= 90，BC 的垂直平分线MN 交BC 于点D ，交AB 于点E ，CF ∥A B 交MN 于点F ，连接CE 、BF ．（1）求证：△B ED≌△CFD；（2）求证：四边形BECF 是菱形．（3）当∠A 满足什么条件时，四边形BECF 是正方形，请说明理由．25、如图，抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）题中的抛物线上有一个动点P ，当点P 在抛物线上滑动到什么位置时，满足S △PAB =8，并求出此时P 点的坐标；（3）设（1）题中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．。
最新北师版九年级初三数学上册北师大版九上第4章测试卷(3)
第四章图形的相似测试卷一．选择题1．若a：b=2：3，则下列各式中正确的式子是（）A．2a=3b B．3a=2b C．D．2．若x：y=1：3，2y=3z，则的值是（）A．﹣5B．﹣C．D．53．如图，在△ABC中，DE∥BC，若=，则=（）A．B．C．D．4．如图，直线l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，∠ACB=90°，AC交l2于点D，已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，则的值为（）A．B．C．D．5．若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（）A．1：4B．1：2C．2：1D．4：16．）已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（）A．B．C．D．27．如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有（）A．0个B．1个C．2个D．3个8．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C．=D．=9．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB=10，BC=16，则线段EF的长为（）A．2B．3C．4D．510．△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．1：2B．1：3C．1：4D．1：1611．如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点M，则图中∠QMB的正切值是（）A．B．1C．D．212．如图，在直角坐标系中，有两点A（6，3），B（6，0），以原点O位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（）A．（2，1）B．（2，0）C．（3，3）D．（3，1）二．填空题13．如果===k（b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k=．14．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG=2，GD=1，DF=5，那么的值等于．15．如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，连接CD，请添加一个适当的条件，使△ABC∽△ACD．（只填一个即可）16．已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，将△ABE沿AE向上折叠，使B点落在AD上的F点．若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD= ．三．解答题17．如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD．（1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系；（2）求∠ABD的度数．18．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD为角平分线，DE⊥AB，垂足为E．（1）写出图中一对全等三角形和一对相似比不为1的相似三角形；（2）选择（1）中一对加以证明．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与直线AD 交于点A（，），点D的坐标为（0，1）（1）求直线AD的解析式；（2）直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点（不与点B重合），当△BOD与△BCE相似时，求点E的坐标．20．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D．点E、F分别在边AB、AC 上，且BE=AF，FG∥AB交线段AD于点G，连接BG、EF．（1）求证：四边形BGFE是平行四边形；（2）若△ABG∽△AGF，AB=10，AG=6，求线段BE的长．21．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米，求旗杆的高度．22．如图，是一个照相机成像的示意图．（1）如果像高MN是35mm，焦距是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m，拍摄点离景物有多远？（2）如果要完整的拍摄高度是2m的景物，拍摄点离景物有4m，像高不变，则相机的焦距应调整为多少？答案解析一．选择题1．若a：b=2：3，则下列各式中正确的式子是（）A．2a=3b B．3a=2b C．D．【考点】比例的性质．【分析】根据比例的性质，对选项一一分析，选择正确答案．【解答】解：A、2a=3b⇒a：b=3：2，故选项错误；B、3a=2b⇒a：b=2：3，故选项正确；C、=⇒b：a=2：3，故选项错误；D、=⇒a：b=4：3，故选项错误．故选B．【点评】考查了比例的性质．在比例里，两个外项的乘积等于两个内项的乘积．2．若x：y=1：3，2y=3z，则的值是（）A．﹣5B．﹣C．D．5【考点】比例的性质．【专题】计算题．【分析】根据比例设x=k，y=3k，再用k表示出z，然后代入比例式进行计算即可得解．【解答】解：∵x：y=1：3，∴设x=k，y=3k，∵2y=3z，∴z=2k，∴==﹣5．故选：A．【点评】本题考查了比例的性质，利用“设k法”分别表示出x、y、z可以使计算更加简便．3．如图，在△ABC中，DE∥BC，若=，则=（）A．B．C．D．【考点】平行线分线段成比例．【分析】直接利用平行线分线段成比例定理写出答案即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴==，故选C．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，了解定理的内容是解答本题的关键，属于基础定义或定理，难度不大．4．（2016•淄博）如图，直线l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，∠ACB=90°，AC交l2于点D，已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，则的值为（）A．B．C．D．【考点】平行线分线段成比例．【专题】线段、角、相交线与平行线．【分析】先作出作BF⊥l3，AE⊥l3，再判断△ACE≌△CBF，求出CE=BF=3，CF=AE=4，然后由l2∥l3，求出DG，即可．【解答】解：如图，作BF⊥l3，AE⊥l3，∵∠ACB=90°，∴∠BCF+∠ACE=90°，∵∠BCF+∠CFB=90°，∴∠ACE=∠CBF，在△ACE和△CBF中，，∴△ACE≌△CBF，∴CE=BF=3，CF=AE=4，∵l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，∴AG=1，BG=EF=CF+CE=7∴AB==5，∵l2∥l3，∴=∴DG=CE=，∴BD=BG﹣DG=7﹣=，∴=．故选A．【点评】此题是平行线分线段成比例试题，主要考查了全等三角形的性质和判定，平行线分线段成比例定理，勾股定理，解本题的关键是构造全等三角形．5．若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（）A．1：4B．1：2C．2：1D．4：1【考点】相似多边形的性质．【分析】根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方，周长之比等于相似比，就可求解．【解答】解：∵两个相似多边形面积比为1：4，∴周长之比为=1：2．故选：B．【点评】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．6．已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B 点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（）A．B．C．D．2【考点】相似多边形的性质．【分析】可设AD=x，根据四边形EFDC与矩形ABCD相似，可得比例式，求解即可．【解答】解：∵沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，∴四边形ABEF是正方形，∵AB=1，设AD=x，则FD=x﹣1，FE=1，∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，∴=，=，解得x1=，x2=（负值舍去），经检验x1=是原方程的解．故选B．【点评】考查了翻折变换（折叠问题），相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形EFDC与矩形ABCD相似得到比例式．7．如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【考点】相似三角形的判定．【分析】直接利用平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥DC，再结合相似三角形的判定方法得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥DC，∴△AEF∽△CBF，△AEF∽△DEC，∴与△AEF相似的三角形有2个．故选：C．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定以及平行四边形的性质，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．8．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C．=D．=【考点】相似三角形的判定．【分析】分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．【解答】解：A、当∠ABP=∠C时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；B、当∠APB=∠ABC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；C、当=时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；D、无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．故选：D．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．9．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB=10，BC=16，则线段EF的长为（）A．2B．3C．4D．5【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】根据直角三角形斜边上中线是斜边的一半可得DF=AB=AD=BD=5且∠ABF=∠BFD，结合角平分线可得∠CBF=∠DFB，即DE∥BC，进而可得DE=8，由EF=DE﹣DF可得答案．【解答】解：∵AF⊥BF，∴∠AFB=90°，∵AB=10，D为AB中点，∴DF=AB=AD=BD=5，∴∠ABF=∠BFD，又∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF，∴∠CBF=∠DFB，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=，即，解得：DE=8，∴EF=DE﹣DF=3，故选：B．【点评】本题主要考查直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练运用其判定与性质是解题的关键．10．△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．1：2B．1：3C．1：4D．1：16【考点】相似三角形的性质．【分析】由相似三角形周长的比等于相似比即可得出结果．【解答】解：∵△ABC与△DEF的相似比为1：4，∴△ABC与△DEF的周长比为1：4；故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的性质；熟记相似三角形周长的比等于相似比是解决问题的关键．11．如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点M，则图中∠QMB的正切值是（）A．B．1C．D．2【考点】相似三角形的性质．【专题】网格型．【分析】根据题意平移AB使A点与P点重合，进而得出，△QPB′是直角三角形，再利用tan∠QMB=tan∠P=，进而求出答案．【解答】解：如图所示：平移AB使A点与P点重合，连接B′Q，可得∠QMB=∠P，∵PB′=2，PQ=2，B′Q=4，∴PB′2+PB′2=B′Q2，∴△QPB′是直角三角形，∴tan∠QMB=tan∠P===2．故选：D．【点评】此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数关系，正确得出△QPB′是直角三角形是解题关键．12．如图，在直角坐标系中，有两点A（6，3），B（6，0），以原点O位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（）A．（2，1）B．（2，0）C．（3，3）D．（3，1）【考点】平面直角坐标系中的位似变换．【分析】根据位似变换的性质可知，△ODC∽△OBA，相似比是，根据已知数据可以求出点C的坐标．【解答】解：由题意得，△ODC∽△OBA，相似比是，∴=，又OB=6，AB=3，∴OD=2，CD=1，∴点C的坐标为：（2，1），故选：A．【点评】本题考查的是位似变换，掌握位似变换与相似的关系是解题的关键，注意位似比与相似比的关系的应用．二．填空题13．如果===k（b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k=3．【考点】比例的性质．【分析】根据等比性质，可得答案．【解答】解：由等比性质，得k===3，故答案为：3．【点评】本题考查了比例的性质，利用了等比性质：===k⇒k==．14．（2016•济宁）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG=2，GD=1，DF=5，那么的值等于．【考点】平行线分线段成比例．【分析】首先求出AD的长度，然后根据平行线分线段成比例定理，列出比例式即可得到结论．【解答】解：∵AG=2，GD=1，∴AD=3，∵AB∥CD∥EF，∴=，故答案为：．【点评】该题主要考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题；解题的关键是准确找出图形中的对应线段，正确列出比例式求解、计算．15．如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，连接CD，请添加一个适当的条件∠ACD=∠ABC（答案不唯一），使△ABC∽△ACD．（只填一个即可）【考点】相似三角形的判定．【专题】开放型．【分析】相似三角形的判定有三种方法：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．由此可得出可添加的条件．【解答】解：由题意得，∠A=∠A（公共角），则可添加：∠ACD=∠ABC，利用两角法可判定△ABC∽△ACD．故答案可为：∠ACD=∠ABC．【点评】本题考查了相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握三角形相似的三种判定方法，本题答案不唯一．16．已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，将△ABE沿AE向上折叠，使B点落在AD上的F点．若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=．【考点】相似多边形的性质．【专题】压轴题．【分析】可设AD=x，由四边形EFDC与矩形ABCD相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可．【解答】解：∵AB=1，设AD=x，则FD=x﹣1，FE=1，∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，∴=，=，解得x1=，x2=（不合题意舍去），经检验x1=是原方程的解．故答案为．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形EFDC与矩形ABCD相似得到比例式．三．解答题（共52分）17．（2016•福州）如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD．（1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系；（2）求∠ABD的度数．【考点】相似三角形的判定．【分析】（1）先求得AD、CD的长，然后再计算出AD2与AC•CD的值，从而可得到AD2与AC•CD的关系；（2）由（1）可得到BD2=AC•CD，然后依据对应边成比例且夹角相等的两三角形相似证明△BCD∽△ABC，依据相似三角形的性质可知∠DBC=∠A，DB=CB，然后结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠ABD的度数．【解答】解：（1）∵AD=BC，BC=，∴AD=，DC=1﹣=．∴AD2==，AC•CD=1×=．∴AD2=AC•CD．（2）∵AD=BC，AD2=AC•CD，∴BC2=AC•CD，即．又∵∠C=∠C，∴△BCD∽△ACB．∴，∠DBC=∠A．∴DB=CB=AD．∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC．设∠A=x，则∠ABD=x，∠DBC=x，∠C=2x．∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴x+2x+2x=180°．解得：x=36°．∴∠ABD=36°．【点评】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用，证得△BCD∽△ABC是解题的关键．18．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD为角平分线，DE⊥AB，垂足为E．（1）写出图中一对全等三角形和一对相似比不为1的相似三角形；（2）选择（1）中一对加以证明．【考点】相似三角形的判定．【分析】（1）利用相似三角形的判定以及全等三角形的判定方法得出符合题意的答案；（2）利用相似三角形的判定以及全等三角形的判定方法分别得出即可．【解答】解：（1）△ADE≌△BDE，△ABC∽△BCD；（2）证明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD为角平分线，∴∠ABD=∠ABC=36°=∠A，在△ADE和△BDE中∵，∴△ADE≌△BDE（AAS）；证明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD为角平分线，∴∠DBC=∠ABC=36°=∠A，∵∠C=∠C，∴△ABC∽△BCD．【点评】此题主要考查了相似三角形以及全等三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．19．（2016•广州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与直线AD交于点A（，），点D的坐标为（0，1）（1）求直线AD的解析式；（2）直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点（不与点B重合），当△BOD与△BCE相似时，求点E的坐标．【考点】相似三角形的性质．【分析】（1）设直线AD的解析式为y=kx+b，用待定系数法将A（，），D（0，1）的坐标代入即可；（2）由直线AD与x轴的交点为（﹣2，0），得到OB=2，由点D的坐标为（0，1），得到OD=1，求得BC=5，根据相似三角形的性质得到或，代入数据即可得到结论．【解答】解：（1）设直线AD的解析式为y=kx+b，将A（，），D（0，1）代入得：，解得：．故直线AD的解析式为：y=x+1；（2）∵直线AD与x轴的交点为（﹣2，0），∴OB=2，∵点D的坐标为（0，1），∴OD=1，∵y=﹣x+3与x轴交于点C（3，0），∴OC=3，∴BC=5∵△BOD与△BEC相似，∴或，∴==或，∴BE=2，CE=，或CE=，∵BC•EF=BE•CE，∴EF=2，CF==1，∴E（2，2），或（3，）．【点评】本题考查了相似三角形的性质，待定系数法求函数的解析式，正确的作出图形是解题的关键．20．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D．点E、F分别在边AB、AC 上，且BE=AF，FG∥AB交线段AD于点G，连接BG、EF．（1）求证：四边形BGFE是平行四边形；（2）若△ABG∽△AGF，AB=10，AG=6，求线段BE的长．【考点】相似三角形的性质．【专题】综合题．【分析】（1）根据FG∥AB，又AD平分∠BAC，可证得，∠AGF=∠GAF，从而得：AF=FG=BE，又因为FG∥AB，所以可知四边形BGFE是平行四边形；（2）根据△ABG∽△AGF，可得，求出AF的长，再由（1）的结论：AF=FG=BE，即可得BE的长．【解答】（1）证明：∵FG∥AB，∴∠BAD=∠AGF．∵∠BAD=∠GAF，∴∠AGF=∠GAF，AF=GF．∵BE=AF，∴FG=BE，又∵FG∥BE，∴四边形BGFE为平行四边形．（4分）（2）解：△ABG∽△AGF，∴，即，∴AF=3.6，∵BE=AF，∴BE=3.6．【点评】解决此类题目，要掌握平行四边形的判定及相似三角形的性质．21．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米，求旗杆的高度．【考点】利用标杆测量物体的高度．【分析】根据题意可得：△DEF∽△DCA，进而利用相似三角形的性质得出AC的长，即可得出答案．【解答】解：由题意可得：△DEF∽△DCA，则=，∵DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5m，DC=20m，∴=，解得：AC=10，故AB=AC+BC=10+1.5=11.5（m），答：旗杆的高度为11.5m．【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，得出△DEF∽△DCA是解题关键．22．如图，是一个照相机成像的示意图．（1）如果像高MN是35mm，焦距是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m，拍摄点离景物有多远？（2）如果要完整的拍摄高度是2m的景物，拍摄点离景物有4m，像高不变，则相机的焦距应调整为多少？【考点】利用镜子测量物体的高度．【分析】（1）利用相似三角形对应边上的高等于相似比即可列出比例式求解；（2）和上题一样，利用物体的高和拍摄点距离物体的距离及像高表示求相机的焦距即可．【解答】解：根据物体成像原理知：△LMN∽△LBA，∴．（1）∵像高MN是35mm，焦距是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m，∴，解得：LD=7，∴拍摄点距离景物7米；（2）拍摄高度是2m的景物，拍摄点离景物有4m，像高不变，∴，解得：LC=70，∴相机的焦距应调整为70mm．【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是根据题意得到相似三角形，并熟知相似三角形对应边上的高的比等于相似比．学习名言警句：1.在科学上面没有平坦的大道，只有不畏劳苦沿着陡峭山路攀登的人，才有希望到达光辉的顶点。
新北师大版2017-2018九数学 期末综合测试
2017—2018学年度第一学期九年级数学(期末综合2)班别学号姓名 成绩1、一元二次方程的一般形式是：()A.ax 2+bx +c =0 B . x 2－bx +c =0 C.ax 2+bx =c D.ax 2+bx +c =0 (a ≠0) 2、下列一元二次方程中，没有实数根的方程是()A .x 2－2x ＋1=0B .x 2＋x －2=0C .x 2－2x －1=0D .x 2＋x ＋2=0 3、下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()4、抛物线y = (x －2)2＋3的顶点坐标是() A .(2，3)B .(2，－3) C .(－2，3)D .(－2，－3)5、如图，四边形ABCD 内接于圆，则图中与∠ABD 相等的角是() A .∠CAD B .∠ACD C .∠CBD D .∠ACB6、如图，AB 是⊙O 的弦，OC 是半径，OC ⊥AB ，AB =8，OD =3，则⊙O 的半径为()A .4B .5C .6D .87、下列事件是必然事件的是()A .抛掷一枚硬币，正面朝上B .打开电视正在播放足球比赛C .射击运动员射击一次命中十环D .方程x 2－2x =0必有实数根 8、在如图的地板行走，随意停下来时，站在黑色地板上的概率是()A .31B .21C .43D .41 9、某扇形的圆心角为120°，半径为3cm，则该扇形的面积为（）A 、π B、2π C 、3π D 、4π10、二次函数y =ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的大致图象如图所示， 关于该二次函数，下列说法不正确的是()A .该函数有最小值B .y 随x 的增大而减小C .对称轴是直线21=x D .当21<<-x 时，0<yA B C D C DB A 第5题图第6题图第8题图第10题图二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11、方程x 2＋2x =0的根是．12、抛物线y = 2(x －3)2＋1的对称轴是． 13、点M (－3，2)关于原点对称的点的坐标是． 14、点(1，4)在反比例函数xky =（0≠k ）的图象上，则=k ． 15、如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°,∠A=30°，AC =10，把Rt △ABC 绕点B 顺时针旋转到Rt △A'B'C'的位置，点C'在AC 上，A'C'与AB 相交于点D ，则C'D 的长为．16、如图，△OAB 中，OA =OB =4，∠A=30°，AB 与⊙O 相切于点C ，则图中阴影部分的面积是．三、解答题（本大题共4小题，每小题9分，共36分）17、解方程：x 2＋4x ＋1=0．18、如图，△ABC 是等边三角形．(1)作△ABC 的外接⊙O (2)若AB =6cm ，求⊙O 的半径．19、随着人们节能意识的增加，节能产品的销量逐年增加，某商场在2015年销售高效节能灯5万只，在刚过去的2016年达到7.2万只，求该商场2015年到2017年高效节能灯销量的平均增长率．20、如图，AB 是⊙O 的直径，AP 是⊙O 的切线，点A 为切点，BP 与⊙O 交于点C ， 点D 是AP 的中点，连结CD ．(1)证明：CD 是⊙O 的切线；(2)若AB =2，∠P =30°，求CD 的长；CAC'CA A'D第15题图第16题图CBPO。
2017-2018学年度第一学期新北师大版九年级数学上册期末测试卷含答案-(1)
新北师大版 2017-2018 学年度第一学期九年级数学上册期末总复习模拟试题卷班级姓名得分亲爱的同学：你好！数学就是力量，自信决定成绩。
请你灵便智慧，周祥思虑，认真作答，努力吧，祝你成功 !第一卷（选择题，共2页，满分 30分）一、精心选一选（本大题共10 小题，每题 3 分，共 30 分．每题给出四个答案，其中只有一个是正确的）．1、 sin45 °的值等于（）A.1B.2C.3D.1 2222、一元二次方程x2=2x 的根是（）A．x=2B．x=0C．x1=0，x2=2D．x1=0，x2=-23、等腰三角形的两条边长分别为3， 6，那么它的周长为（）A．15B．12C．12或15D．不能确定4、如图，空心圆柱的左视图是（）A. B. C. D.5、以下列图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的地址应选在（）A. △ ABC的三条中线的交点B. △ ABC三边的中垂线的交点C. △ ABC三条高所在直线的交点D. △ ABC三条角均分线的交点6、如图， DE是△ ABC的中位线，若BC的长为 3cm，则 DE的长是（）A. 1cmB. 1.2cmC. 1.5cmD. 2cm7、直角三角形两直角边的长分别为x，y，它的面积为 3，则 y 与 x 之间的函数关系用图象表示大体是（）A． B. C. D.8、由于国家出台对房屋的限购令，我省某地的房屋价格原价为8400 元 / 米2，经过连续两次降价a% 后，售价变为6000 元 / 米2，以下方程中正确的选项是（）A. 8400(1a2 )6000B.C. 8400(1a)26000D.9、以下命题中真命题是（）A. 若是 m是有理数，那么m是整数B.4 的平方根是26000(1 a 2 ) 8400 8400(1 a)26000C.等腰梯形两底角相等D.若是四边形 ABCD是正方形，那么它是菱形10、图 1 为两个相同的矩形，若阴影地域的面积为10，则图 2 的阴影面积等于（）A.40B.30C.20D.10第二卷（非选择题，满分70 分）第一节认真填一填（本大题共 5 小题，每题 3 分，共 15 分．请你把答案填在横线的上方）．11 、已知反比率函数y k．的图象经过点（ 2， 5），则 k=2x．12、抛物线 y=x -2x+3 的极点坐标是13、命题“平行四边形的对角线互相均分”的抗命题是．14、如图，在△ ABC中， AB=BC，∠ B=120°， AB 的垂直均分线交AC于点 D．若AC=6cm，则 AD=cm．15、定义新运算“ * ”．规则： a*b=a （ a≥b）也许 a*b=b （a＜ b）如 1*2=2 ，（ -3 ）*2=2 ．若 x2+x-1=0的根为 x1、x2，则 x1*x 2的值为：．第二节专心做一做（本大题共 2 小题，每题 5 分，共 10 分）．16、如图，已知AC均分∠ BAD， AB=AD．求证：△ ABC≌△ ADC．解：17、如图，在平行四边形ABCD中， BF=DE．求证：四边形 AFCE是平行四边形．解：四、沉稳沉稳，周祥思虑（本大题共 2 小题，每题 6 分，共 12 分）．18、我市某中学对全校学生进行文明礼仪知识测试，为认识测试结果，随机抽取部分学生的成绩进行解析，将成绩分为三个等级：不合格、一般、优秀，并绘制成以下两幅统计图（不完满）．请你依照图中所给的信息解答以下问题：（ 1）请将以上两幅统计图补充完满；（2分）（ 2）若“一般”和“优秀”均被视为达标成绩，则该校被抽取的学生中有人达标；（2分）（3）若该校学生有 1200 人，请你估计此次测试中，全校达标的学生有多少人？（ 2 分）解：19、如图经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，若是这三种可能性大小相同，现有两辆汽车经过这个十字路口．(1)试用树状图或列表法中的一种列举出这两辆汽行驶方向所有可能的结果；(2)求最少有一辆汽车向左转的概率．解：五、满怀信心，再接再厉（本大题共 3 小题，每题 6 分，共 18 分）．20（本题满分 6 分）如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为 40cm，灯罩 BC长为 30cm，底座厚度为 2cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°．使用发现，光辉最正确时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少 cm？（结果精确到0.1cm ，参照数据： 3 ≈1.732）解：W（台），21、（本题满分 6 分）某商场销售一种进价为20 元 / 台的台灯，经检查发现，该台灯每天的销售量销售单价x（元）满足W=-2x+80，设销售这种台灯每天的利润为y（元）．（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；（2）当销售单价定为多少元时．毎天的利润最大？最大利润多少？150 元的利润，应（ 3）在保证销售量尽可能大的前提下．该商场每天还想获得将销售单价定位为多少元？解：22、（本题满分6 分）以下列图，制作一种产品的同时，需将原资料加热，设该资料温度为y℃，从加热开始计算的时间为x 分钟．据认识，该资料在加热过程中温度y 与时间 x 成一次函数关系，已知该资料在加热前的温度为l5 ℃，加热 5 分钟使资料温度达到60℃时停止加热，停止加热后，资料温度逐渐下降，这时温度y 与时间 x 成反比率函数关系．（ 1）分别求出该资料加热和停止加热过程中y 与 x 的函数关系（要写出x 的取值范）；（2）依照工艺要求，在资料温度不低于 30℃的这段时间内，需要对该资料进行特别办理，那么对该资料进行特别办理所用的时间为多少分钟？解：茂名市2012年第一学期初三期末模拟考试数学试题（一）参照答案一、选择题（本大题共10 小题，每题 3 分，共 30 分．）题号12345678答案B C A C D C B D二、填空题（本大题共 5 小题，每题 3 分，共 15 分．）11、 10 12、(1,2)13、对角线互相均分的四边形是平行四边形．9D10D14、2 15 、152三、（本大题共 3 小题，每题7 分，共 21 分．）16、证明：∵ AC均分∠ BAD，∴∠ BAC=∠DAC，在△ ABC和△ ADC中，AB ADBAC DAC ，AC AC∴△ ABC≌△ ADC．17、证明：∵平行四边形ABCD，∴AB∥CD，AB=CD．∵ BF=DE，∴AF=CE．∵在四边形AFCE中， AF∥ CE，∴四边形AFCE是平行四边形．四、（本大题共 2 小题，每题7 分，共 14 分）19、解：（ 1）成绩一般的学生占的百分比 =1-20%-50%=30%，测试的学生总数 =24÷ 20%=120人，成绩优秀的人数=120× 50%=60人，所补充图形以下所示：（ 2）该校被抽取的学生中达标的人数=36+60=96．（3） 1200×（ 50%+30%） =960（人）．答：估计全校达标的学生有960 人．20、解法 l ：（ 1）依照题意，可以画出出以下的“树状图”：∴这两辆汽乖行驶方向共有9 种可能的结果；（ 2）由（ 1）中“树状图”知，最少有一辆汽车向左转的结果有5 种，且所有结果的可能性相等（最少有一辆汽车向左转）= 5．∴P9解法 2：依照题意，可以列出以下的表格：左直左 （左，左） （左，直） 直 （直，左） （直，直） 右（右，左）（右，直）以下解法同．五、（本大题共 3 小题，每题 8 分，共 24 分）21、解：右（左，右）（直，右）（右，右）∵灯罩 BC 长为 30cm ，光辉最正确时灯罩BC 与水平线所成的角为 30°，∴ sin30 ° =CMCM ， BC30∴ CM =15cm ， ∵ sin60 ° =BF，BA∴3 BF 2，40解得： BF 203 ，∴ CE=2+15+20 3 ≈ 51.6cm ．答：此时灯罩顶端C 到桌面的高度 CE 是 51.6cm ．22、解：（ 1） y=（ x-20 ）（ -2x+80 ），2（ 2）∵ y=-2x 2+120x-1600 ，=-2 （ x-30 ） 2+200， ∴当 x=30 元时，最大利润y=200 元；（ 3）由题意， y=150，即： -2 （ x-30 ） 2+200=150，解得： x 1=25， x 2=35，又销售量 W=-2x+80随单价 x 的增大而减小，所以当 x=25 时，既能保证销售量大，又可以每天获得 150 元的利润．。
北师大版九年级数学上册全套单元测试卷
北师大版九年级数学上册全套单元测试卷特别说明：本试卷为最新北师大版中学生九年级试卷。
全套试卷共13份。
（含答案）试卷内容如下：1. 第一单元使用（2份）2. 第二单元使用（2份）3. 第三单元使用（2份）4. 第四单元使用（2份）5. 第五单元使用（2份）6. 第六单元使用（2份）7. 期末检测卷（1份）第一章达标测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．如图，已知菱形ABCD的边长等于2，∠DAB＝60°，则对角线BD的长为() A．1 B. 3 C．2 D．232．已知正方形的面积为36，则其对角线的长为()A．6 B．6 2 C．9 D．923．如图，矩形ABCD的对角线AC＝8 cm，∠AOD＝120°，则AB的长为()A. 3 cm B．2 cm C．2 3 cm D．4 cm4．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6 cm，8 cm，则这个菱形的周长为()A．5 cm B．10 cm C．14 cm D．20 cm5．下列命题中，真命题是()A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形6．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，分别交AB，CD于点E，F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的()A.15 B.14 C.13 D.3107．如图，在△ABC中，AB＝AC，四边形ADEF为菱形，S△ABC＝83，则S菱形ADEF 等于()A．4 B．4 6C．4 3 D．288．在四边形ABCD中，点O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是()A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B．AD∥BC，∠BAD＝∠BCDC．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC9．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，AE⊥BC于E，若线段AE＝6，则四边形ABCD的面积是()A．3 B．4 C．2 6 D．610．如图，把矩形OABC放入平面直角坐标系中，点B的坐标为(10，8)，点D 是OC上一点，将△BCD沿边BD折叠，点C恰好落在OA上的点E处，则点D的坐标是()A．(0，4) B．(0，5) C．(0，3) D．(0，2)二、填空题(每题3分，共30分)11．在R t△ABC中，如果斜边上的中线CD＝4 cm，那么斜边AB＝________．12．已知菱形的两条对角线长分别为2 cm，3 cm，则它的面积是________．13．如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16 cm，若墙上钉子间的距离AB ＝BC＝16 cm，则∠1＝________．14．已知矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，当添加条件__________时，矩形ABCD是正方形(只填一个即可)．15．矩形的对角线相交所成的角中，有一个角是60°，这个角所对的边长为1 cm，则其对角线长为________，矩形的面积为________．16．如图，菱形ABCD的顶点A在x轴上，点B的坐标为(8，2)，点D的坐标为(0，2)，则点C的坐标为________．17．如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，则∠BED＝________．18．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，DH⊥AB于点H，则线段BH的长为________．19．如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC，BD，CE平分∠ACD交BD 于点E，则DE＝________．20．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G.下列结论：①BE＝DF；②∠DAF＝15°；③AC 垂直平分EF；④BE＋DF＝EF；⑤S△CEF＝2S△ABE，其中正确结论的序号为__________．三、解答题(21题8分，26题12分，其余每题10分，共60分)21．如图，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为点E，F.求证：BE＝CF.22.如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE.(1)求证：BD＝EC；(2)若∠E＝50°，求∠BAO的大小．23．如图，点E是正方形ABCD内一点，△CDE是等边三角形，连接EB，EA，延长BE交边AD于点F.(1)求证：△ADE≌△BCE；(2)求∠AFB的度数．24．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，连接PE，PB.(1)在AC上找一点P，使△BPE的周长最小(作图说明)；(2)求出△BPE周长的最小值．25．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AH⊥BC于点H，点E是AH上一点，延长AH至点F，使FH＝EH，连接BE，CE，BF，CF.(1)求证：四边形EBFC是菱形；(2)如果∠BAC＝∠ECF，求证：AC⊥CF.26．在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD 的中点G，连接EG，CG，如图①，易证EG＝CG且EG⊥CG.(1)将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图②，则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想．(2)将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图③，则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明．答案一、1.C 2.B 3.D 4.D 5.C 6.B 7．C 8.C 9.D 10.C 二、11.8 cm 12.3 cm 2 13.120° 14．AC ⊥BD (答案不唯一)15．2 cm ； 3 cm 2 16.(4，4) 17.45° 18.5013 19.2－1 20.①②③⑤ 三、21.证明：∵四边形ABCD 为矩形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ＝BD . ∴BO ＝CO .∵BE ⊥AC 于E ，CF ⊥BD 于F ， ∴∠BEO ＝∠CFO ＝90°. 又∵∠BOE ＝∠COF ， ∴△BOE ≌△COF (AAS)． ∴BE ＝CF .22．(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD .又∵E 在AB 的延长线上，且BE ＝AB ， ∴BE ∥CD ，BE ＝CD .∴四边形BECD 是平行四边形． ∴BD ＝EC .(2)解：∵四边形BECD 是平行四边形，∴BD ∥CE .∴∠ABO ＝∠E ＝50°. 又∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD .∴∠BAO ＝90°－∠ABO ＝40°. 23．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DAB ＝∠ADC ＝∠BCD ＝90°，AD ＝BC .∵△CDE 是等边三角形，∴∠CDE ＝∠DCE ＝60°，DE ＝CE . ∴∠ADE ＝∠BCE ＝30°. 在△ADE 和△BCE 中，⎩⎨⎧AD ＝BC ，∠ADE ＝∠BCE ，DE ＝CE ，∴△ADE ≌△BCE (SAS)． (2)解：∵△ADE ≌△BCE ，∴AE ＝BE . ∴∠BAE ＝∠ABE .又∵∠BAE ＋∠DAE ＝90°， ∠ABE ＋∠AFB ＝90°， ∴∠DAE ＝∠AFB .∵∠ADE ＝30°，DE ＝DC ＝DA ， ∴∠DAE ＝75°. ∴∠AFB ＝75°.24．解：(1)如图，连接DE ，交AC 于点P ′，连接BP ′，则此时P ′B ＋P ′E 的值最小，即△BPE 的周长最小．(2)∵四边形ABCD 是正方形，∴B ，D 关于AC 对称． ∴P ′B ＝P ′D . ∴P ′B ＋P ′E ＝DE . ∵BE ＝2，AE ＝3BE ， ∴AE ＝6，AD ＝AB ＝8. ∴DE ＝62＋82＝10.∴PB＋PE的最小值是10.∴△BPE周长的最小值＝10＋BE＝10＋2＝12. 25．证明：(1)∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝CH.∵FH＝EH，∴四边形EBFC是平行四边形.又∵EF⊥BC，∴四边形EBFC是菱形．(2)如图所示．∴∠2＝∠3＝12∠ECF.∵AB＝AC，AH⊥BC，∴∠4＝12∠BAC.又∵∠BAC＝∠ECF，∴∠4＝∠3.∵∠4＋∠1＋∠2＝90°，∴∠3＋∠1＋∠2＝90°，即AC⊥CF.26．解：(1)EG＝CG，EG⊥CG.(2)EG＝CG，EG⊥CG.证明如下：延长FE交DC的延长线于点M，连接MG，如图所示．易得∠AEM＝90°，∠EBC＝90°，∠BCM＝90°，∴四边形BEMC是矩形．∴BE＝CM，BC＝EM，∠EMC＝90°.易知∠ABD＝45°，∴∠EBF＝45°.又∵∠BEF＝90°，∴△BEF为等腰直角三角形．∴BE＝EF，∠F＝45°.∴EF＝CM.∵∠EMC ＝90°，FG ＝DG ， ∴MG ＝12FD ＝FG . ∵BC ＝EM ，BC ＝CD ， ∴EM ＝CD .∵EF ＝CM ，∴FM ＝DM . 又∵FG ＝DG ，∴∠CMG ＝12∠EMC ＝45°. ∴∠F ＝∠CMG . 在△GFE 和△GMC 中，⎩⎨⎧FG ＝MG ，∠F ＝∠GMC ，EF ＝CM ，∴△GFE ≌△GMC (SAS)． ∴EG ＝CG ，∠FGE ＝∠MGC . ∵MF ＝MD ，FG ＝DG ， ∴MG ⊥FD .∴∠FGE ＋∠EGM ＝90°. ∴∠MGC ＋∠EGM ＝90°， 即∠EGC ＝90°. ∴EG ⊥CG .第一章达标测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．菱形、矩形、正方形都具有的性质是( )A ．四条边相等，四个角相等B ．对角线相等C ．对角线互相垂直D ．对角线互相平分2．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝5，∠BCD ＝120°，则△ABC 的周长等于( )A ．20B ．15C ．10D ．53．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB，CD于点E，F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的()A．15B．14C．13D．3104．如图，菱形ABCD的周长为24 cm，对角线AC，BD相交于点O，点E是AD 的中点，连接OE，则线段OE的长等于()A．3 cm B．4 cm C．2.5 cm D．2 cm5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为()A．3 B．2 2 C. 6 D．336．顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是()A．菱形B．对角线互相垂直的四边形C．矩形D．对角线相等的四边形7．如图，把一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为120°的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为()A．15°或30° B．30°或45°C．45°或60° D．30°或60°8．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E，F分别为BC，CD的中点，则∠EAF等于()A．75°B．45°C．60°D．30°9．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，则下列结论错误的是()A．AF＝AEB．△ABE≌△AGFC．EF＝2 5D．AF＝EF10．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G，下列结论：①BE＝DF；②∠DAF＝15°；③AC 垂直平分EF；④BE＋DF＝EF；⑤S△CEF＝2S△ABE.其中正确结论有()A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题(每题3分，共24分)11．如图是一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α的度数为________时，两条对角线长度相等．12．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边的正方形ACEF 的周长为________．13．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠EDC∶∠EDA＝1∶2，且AC＝10，则EC的长度是________．14．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，若△ABE的面积为18，CE＝4，则线段BE的长为________．15．菱形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A的坐标为(1，0)，点B的坐标为(0，3)，动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B→……的路径，在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动，移动到第2 019 s时，点P的坐标为________．16．如图，四边形ABCD为矩形，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E，取BE的中点F，连接DF，DF＝4.设AB＝x，AD＝y，则x2＋(y－4)2的值为________．17．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，点E为AD的中点，点F为BC 边上任一点，过点F分别作EB，EC的垂线，垂足分别为点G，H，则FG ＋FH＝________.18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形的对角线交于点O，连接OC.已知AC＝5，OC＝62，则另一直角边BC的长为________．三、解答题(19，20题每题9分，21题10分，22，23题每题12分，24题14分，共66分)19．如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延长线于点E，DF⊥BC交BC的延长线于点F.求证：DE＝DF.20．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作CE∥OD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E.(1)求证：四边形OCED是矩形．(2)若AB＝4，∠ABC＝60°，求矩形OCED的面积．21．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作AC的平行线交DC的延长线于点E.(1)求证：BD＝BE.(2)若BE＝10，CE＝6，连接OE，求△ODE的面积．22．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交BC于点E.(1)求证：△DCE≌△BFE.(2)若CD＝2，∠ADB＝30°，求BE的长．23．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，以点A为顶点的一个60°的∠EAF绕点A旋转，∠EAF的两边分别交BC，CD于点E，F，且E，F 不与B，C，D重合，连接EF.(1)求证：BE＝CF.(2)在∠EAF绕点A旋转的过程中，四边形AECF的面积是否发生变化？如果不变，求出其定值；如果变化，请说明理由．24．在正方形ABCD的外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F.(1)依题意补全图①；(2)若∠P AB＝20°，求∠ADF的度数；(3)如图②，若45°＜∠P AB＜90°，用等式表示线段AB，EF，FD之间的数量关系，并给出证明．答案一、1．D2．B3．B4．A点拨：∵菱形ABCD的周长为24 cm，∴AB＝24÷4＝6 (cm)，OB＝OD.又∵E为AD边的中点，∴OE是△ABD的中位线．∴OE＝12AB＝12×6＝3 (cm)．故选A.5．D6．D7．D8．C9．D点拨：如图，由折叠的性质得∠1＝∠2.∵AD∥BC，∴∠3＝∠1.∴∠2＝∠3.∴AE＝AF.故选项A正确．由折叠的性质得CD＝AG，∠D＝∠G＝90°.∵AB＝CD，∴AB＝AG.又∵AE＝AF，∠B＝90°，∴Rt△ABE≌Rt△AGF(HL)．故选项B正确．设DF＝x，则GF＝x，AF＝8－x.又∵AG＝AB＝4，∴在Rt△AGF中，根据勾股定理得(8－x)2＝42＋x2.解得x＝3.∴AF＝8－x＝5.则AE＝AF＝5，∴BE＝AE2－AB2＝52－42＝3.过点F作FM⊥BC于点M，则FM＝4，EM＝5－3＝2.在Rt△EFM中，根据勾股定理得EF＝EM2＋FM2＝22＋42＝20＝25，则选项C正确．∵AF＝5，EF＝25，∴AF≠EF.故选项D错误．10．C 点拨：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ，∠B ＝∠BCD ＝∠D ＝∠BAD ＝90°. ∵△AEF 是等边三角形， ∴AE ＝EF ＝AF ，∠EAF ＝60°. ∴∠BAE ＋∠DAF ＝30°. 在Rt △ABE 和Rt △ADF 中，∴Rt △ABE ≌Rt △ADF (HL)． ∴BE ＝DF (故①正确)， ∠BAE ＝∠DAF .∴∠DAF ＋∠DAF ＝30°，即∠DAF ＝15°(故②正确)． ∵BC ＝CD ，∴BC －BE ＝CD －DF ，即CE ＝CF ， 又∵AE ＝AF ，∴AC 垂直平分EF (故③正确)．设EC ＝x ，由勾股定理，得EF ＝AE ＝2x ，∴EG ＝CG ＝22x . ∴AG ＝62x . ∴AC ＝6x ＋2x2. ∴AB ＝BC ＝3x ＋x 2.∴BE ＝3x ＋x 2－x ＝3x －x2.∴BE ＋DF ＝3x －x ≠2x (故④错误)． 易知S △CEF ＝x 22，S △ABE ＝3x －x 2·3x ＋x 22＝x 24，∴2S △ABE ＝x 22＝S △CEF (故⑤正确)．综上所述，正确的有4个．二、11．90° 12．16 13．2.514．213 点拨：设正方形的边长为a ，∵S △ABE ＝18，∴S 正方形ABCD ＝2S △ABE ＝36，∴a 2＝36.∵a ＞0，∴a ＝6. 在Rt △BCE 中，∵BC ＝6，CE ＝4，∠C ＝90°， ∴BE ＝BC 2＋CE 2＝62＋42＝213. 15．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，334 16．16 点拨：∵四边形ABCD 是矩形，AB ＝x ，AD ＝y ，∴CD ＝AB ＝x ，BC ＝AD ＝y ，∠BCD ＝90°.又∵BD ⊥DE ，点F 是BE 的中点，DF ＝4，∴BF ＝DF ＝EF ＝4，∴CF ＝4－BC ＝4－y.在Rt △DCF 中，DC 2＋CF 2＝DF 2，即x 2＋(4－y )2＝42＝16.∴x 2＋(y －4)2＝16. 17．3105 点拨：如图，连接EF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB ＝3，AD ＝BC ＝2，∠A ＝∠D ＝90°. ∵点E 为AD 的中点，∴AE ＝DE ＝1，∴BE ＝AE 2＋AB 2＝12＋32＝10，CE ＝DE 2＋DC 2＝12＋32＝10， ∴CE ＝BE .∵S △BCE ＝S △BEF ＋S △CEF ，∴12BC ·AB ＝12BE ·FG ＋12CE ·FH ，∴BC ·AB ＝BE (FG ＋FH )，即2×3＝10(FG ＋FH )，解得FG ＋FH ＝3105.18．7 点拨：如图，过点O 作OM ⊥CA ，交CA 的延长线于点M ，过点O作ON ⊥BC 于点N ，易证△OMA ≌△ONB ，CN ＝OM ，∴OM ＝ON ，MA ＝N B.又∵∠ACB ＝90°，∠OMA ＝∠ONB ＝90°，OM ＝ON ， ∴四边形OMCN 是正方形． ∴△OCM 为等腰直角三角形． ∵OC ＝62，∴CM ＝OM ＝6. ∴MA ＝CM －AC ＝6－5＝1.∴BC ＝CN ＋NB ＝OM ＋MA ＝6＋1＝7. 故答案为7.三、19．证明：连接DB.∵四边形ABCD是菱形，∴BD平分∠ABC.又∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE＝DF.20．(1)证明：∵CE∥OD，DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形．又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，即∠COD＝90°，∴四边形OCED是矩形．(2)解：∵在菱形ABCD中，AB＝4，∴AB＝BC＝CD＝4.又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝4，∴OC＝12AC＝2，∴OD＝42－22＝23，∴矩形OCED的面积是23×2＝4 3.21．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AB∥CD.又∵BE∥AC，E在DC的延长线上．∴四边形ABEC是平行四边形，∴AC＝BE，∴BD＝BE.(2)解：如图，过点O作OF⊥CD于点F.∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，∴∠BCE＝90°.在Rt△BCE中，根据勾股定理可得BC＝8.∵BE＝BD，∴CD＝CE＝6，∴DE＝12.∵OD＝OC，∴CF＝DF，又OB＝OD，∴OF为△BCD的中位线，∴OF＝12BC＝4，∴S△ODE＝12DE·OF＝12×12×4＝24.22．(1)证明：∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C＝90°，∴∠ADB＝∠DBC.根据折叠的性质得∠ADB＝∠FDB，∠F＝∠A＝90°，∴∠DBC＝∠FDB，∠C＝∠F.∴BE＝DE.在△DCE和△BFE中，∴△DCE≌△BFE.(2)解：在Rt△BCD中，∵CD＝2，∠DBC＝∠ADB＝30°，∴BD＝4.∴BC＝2 3.在Rt△ECD中，易得∠EDC＝30°.∴DE＝2EC.∴(2EC)2－EC2＝CD2.又∵CD＝2，∴CE＝23 3.∴BE＝BC－EC＝43 3.23．(1)证明：如图，连接AC.∵四边形ABCD为菱形，∠BAD＝120°，∴AB＝BC＝CD＝DA，∴∠BAC＝∠DAC＝60°，∴△ABC 和△ADC都是等边三角形，∴∠ABE＝∠ACF＝60°，∠1＋∠2＝60°.∵∠3＋∠2＝∠EAF＝60°，∴∠1＝∠3.∵∠ABC＝60°，AB＝BC，∴△ABC为等边三角形．∴AB ＝AC .∴△ABE ≌△ACF . ∴BE ＝CF .(2)解：四边形AECF 的面积不变． 由(1)知△ABE ≌△ACF ， 则S △ABE ＝S △ACF ，故S 四边形AECF ＝S △AEC ＋S △ACF ＝S △AEC ＋S △ABE ＝S △ABC . 如图，过点A 作AM ⊥BC 于点M ，则BM ＝MC ＝2， ∴AM ＝AB 2－BM 2＝42－22＝2 3.∴S △ABC ＝12BC ·AM ＝12×4×23＝4 3.故S 四边形AECF ＝4 3. 24．解：(1)如图①.(2)如图②，连接AE ，∵点E 是点B 关于直线AP 的对称点， ∴∠P AE ＝∠P AB ＝20°，AE ＝AB. ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AE ＝AB ＝AD ，∠BAD ＝90°.∴∠AED ＝∠ADE ，∠EAD ＝∠DAB ＋∠BAP ＋∠P AE ＝130°. ∴∠ADF ＝180°－130°2＝25°. (3)EF 2＋FD 2＝2AB 2.证明如下：如图③，连接AE ，BF ，BD ，由轴对称和正方形的性质可得，EF ＝BF ，AE ＝AB ＝AD ，易得∠ABF ＝∠AEF ＝∠ADF .∵∠BAD ＝90°， ∴∠ABF ＋∠FBD ＋∠ADB ＝90°. ∴∠ADF ＋∠ADB ＋∠F BD ＝90°.∴∠BFD ＝90°.在Rt △BFD 中，由勾股定理得BF 2＋FD 2＝BD 2. 在Rt △ABD 中，由勾股定理得BD 2＝AB 2＋AD 2＝2AB 2， ∴EF 2＋FD 2＝2AB 2.第二章达标测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1.下列方程中，是一元二次方程的是()A．x2＋3x＋y＝0 B．x2＋1x＋5＝0 C.2x2＋13＝x＋12D．x＋y＋1＝02．一元二次方程x2－2x－3＝0配方后可变形为()A．(x－1)2＝2 B．(x－1)2＝4 C．(x－1)2＝1 D．(x－1)2＝7 3．已知关于x的方程x2－kx－6＝0的一个根为x＝3，则实数k的值为() A．1 B．－1 C．2 D．－24．根据下面表格中的对应值：判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的一个解x的范围是() A．1＜x＜1.33 B．1.33＜x＜1.34C．1.34＜x＜1.35 D．1.35＜x＜1.365．下列一元二次方程中，没有．．实数根的是()A．x2＋2x－3＝0 B．x2＋x＋14＝0C．x2＋2x＋1＝0 D．－x2＋3＝06．某校办工厂生产的某种产品，今年产量为200件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，使得三年的总产量达到1 400件．若设这个百分数为x，则可列方程为()A．200＋200(1＋x)2＝1 400B．200＋200(1＋x)＋200(1＋x)2＝1 400C．200(1＋x)2＝1 400D．200(1＋x)＋200(1＋x)2＝1 4007．x1，x2是一元二次方程3(x－1)2＝15的两个解，且x1＜x2，下列说法正确的是()A．x1小于－1，x2大于3 B．x1小于－2，x2大于3C．x1，x2在－1和3之间D．x1，x2都小于38．已知x1，x2是一元二次方程3x2＝6－2x的两根，则x1－x1x2＋x2的值是()A．－43 B.83C．－83 D.439．若关于x的一元二次方程kx2＋2(k－1)x＋k－1＝0有实数根，则k的取值范围是()A．k＜1 B．k≤1 C．k＜1且k≠0 D．k≤1且k≠010．已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根，则该三角形的周长是()A．5 B．7 C．5或7 D．10二、填空题(每题3分，共30分)11．把一元二次方程(x－3)2＝4化为一般形式是____________，其中二次项为________，一次项系数为________．12．若关于x的方程(a－2)x a2－2＋2x＝0是一元二次方程，则a＝________．13．方程(x＋3)2＝x＋3的解是______________．14．若一元二次方程ax2－bx－2 019＝1有一根为x＝－1，则a＋b＝________．15．已知方程x2＋mx＋3＝0的一个根是x＝1，则它的另一个根是________，m ＝________．16．当k＝________时，关于x的一元二次方程(k＋1)x2＋2x－1＝0没有实数根(写出一个你喜欢的k的值)．17．若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC＝3，请写出一个符合题意的一元二次方程：________________．18．若正数a是一元二次方程x2－5x＋m＝0的一个根，－a是一元二次方程x2＋5x－m＝0的一个根，则a的值是________．19．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，AE＝EB＝EC＝a，且a是一元二次方程x2＋2x－3＝0的根，则▱ABCD的周长是________．20．如图，在一条矩形床单的四周绣上宽度相等的花边，剩下部分的面积为1.6 m2.已知床单的长是2 m，宽是1.4 m，则花边的宽度为________．三、解答题(21题12分，22题8分，其余每题10分，共60分) 21．用适当的方法解下列方程：(1)(6x－1)2＝25；(2)x2－2x＝2x－1；(3)x2－2x＝2；(4)x(x－7)＝8(7－x)．22．已知关于x的方程(k－1)x2－(k－1)x＋14＝0有两个相等的实数根．(1)求k的值；(2)求此时该方程的根．23．已知关于x的一元二次方程x2－(t－1)x＋t－2＝0.(1)求证：对于任意实数t，方程都有实数根．(2)当t为何值时，方程的两个根互为相反数？请说明理由．24．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．(1)求该快递公司投递总件数的月平均增长率．(2)如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年六月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？25．某小商品市场以每副60元的价格购进800副羽毛球拍．九月份以单价100元销售，售出了200副．十月份如果销售单价不变，预计仍可售出200副．该小商品市场为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，销售单价每降低5元，可多售出10副，但最低销售单价应高于购进的价格．十月份结束后，批发商将对剩余的羽毛球拍一次性清仓，清仓时销售单价为50元．设十月份销售单价降低x元．(1)填表：(2)如果该小商品市场希望通过销售这批羽毛球拍获利9 200元，那么十月份的销售单价应是多少元？26．请阅读下列材料．问题：已知方程x 2＋x －1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的根的2倍．解：设所求方程的根为y ，则y ＝2x ，所以x ＝y2. 把x ＝y 2代入已知方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＋y2－1＝0.化简，得y 2＋2y －4＝0. 故所求方程为y 2＋2y －4＝0.这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求：把所求方程化为一般形式)． (1)已知方程x 2＋x －2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的根的相反数；(2)已知关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的根的倒数．答案一、1.C 2.B 3.A 4.C 5.C 6.B 7．A 8.D 9.D 10.B 二、11.x 2－6x ＋5＝0；x 2；－6 12.－2 13．x 1＝－3，x 2＝－2 14.2 020 15．x ＝3；－4 16.－3(答案不唯一) 17．x 2－9x ＋6＝0(答案不唯一) 18.5 19．4＋22 20.0.2 m三、21.解：(1)两边开平方，得6x －1＝±5，即6x －1＝5或6x －1＝－5. ∴x 1＝1，x 2＝－23. (2)移项，得x 2－4x ＝－1. 配方，得x 2－4x ＋4＝－1＋4， 即(x －2)2＝3.两边开平方，得x －2＝±3， 即x －2＝3或x －2＝－ 3. ∴x 1＝2＋3，x 2＝2－ 3.(3)将原方程化为一般形式，得x 2－2x －2＝0. ∵b 2－4ac ＝(－2)2－4×1×(－2)＝10， ∴x ＝2±102×1. ∴x 1＝2＋102，x 2＝2－102. (4)移项，得x (x －7)＋8(x －7)＝0.变形，得(x －7)(x ＋8)＝0. ∴x －7＝0或x ＋8＝0. ∴x 1＝7，x 2＝－8.22．解：(1)∵关于x 的方程(k －1)x 2－(k －1)x ＋14＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b 2－4ac ＝[－(k －1)]2－4·(k －1)·14＝0， 即(k －1)2－(k －1)＝0. 解得k ＝2或k ＝1.∵原方程是一元二次方程，∴k －1≠0，即k ≠1，则k ＝2. (2)当k ＝2时，原方程为x 2－x ＋14＝0，解得x 1＝x 2＝12.23．(1)证明：∵Δ＝b2－4ac＝[－(t－1)]2－4(t－2)＝t2－6t＋9＝(t－3)2≥0，∴对于任意实数t，方程都有实数根．(2)解：设此一元二次方程的两个根是x1，x2.由题意得x1＝－x2，即x1＋x2＝0.利用根与系数的关系可得x1＋x2＝t－1＝0，∴t＝1.24．解：(1)设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x.根据题意，得10(1＋x)2＝12.1，解得x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1(不合题意，舍去)．答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%.(2)今年六月份的快递投递任务是12.1×(1＋10%)＝13.31(万件)．∵平均每人每月最多可投递快递0.6万件，∴21名快递投递业务员每月最多能完成的快递投递任务是0.6×21＝12.6(万件)．∵12.6＜13.31，∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年六月份的快递投递任务．∵(13.31－12.6)÷0.6＝111 60，∴至少需要增加2名业务员．25．解：(1)100－x；200＋2x；400－2x(2)根据题意，得100×200＋(100－x)(200＋2x)＋50(400－2x)－60×800＝9 200.解得x1＝20，x2＝－70(舍去)．当x＝20时，100－x＝80＞60，符合题意．答：十月份的销售单价应是80元．26．解：(1)设所求方程的根为z，则z＝－x，∴x＝－z.把x＝－z代入已知方程，得z2－z－2＝0，故所求方程为z2－z－2＝0.(2)设所求方程的根为t，则t＝1x(x≠0)，于是x＝1t(t≠0)．把x＝1t代入方程ax2＋bx＋c＝0，得a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2＋b ·1t ＋c ＝0. 去分母，得a ＋bt ＋ct 2＝0.若c ＝0，则有ax 2＋bx ＝0，于是方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为0，不符合题意，∴c ≠0.故所求方程为ct 2＋bt ＋a ＝0(c ≠0)．第二章达标测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．下列等式中是关于x 的一元二次方程的是( )A ．3(x ＋1)2＝2(x ＋1)B ．1x 2＋1x －2＝0C ．ax 2＋bx ＋c ＝0D ．x 2＋2x ＝x 2－12．一元二次方程x 2－6x ＋5＝0配方后可化为( )A ．(x －3)2＝－14B ．(x ＋3)2＝－14C ．(x －3)2＝4D ．(x ＋3)2＝143．关于x 的一元二次方程(m －1)x 2－2x －1＝0有两个实数根，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥0B ．m ＞0C ．m ≥0且m ≠1D ．m ＞0且m ≠14．已知关于x 的一元二次方程x 2＋mx －8＝0的一个实数根为2，则另一个实数根及m 的值分别为( )A ．4，－2B ．－4，－2C ．4，2D ．－4，25．已知x 为实数，且满足(x 2＋3x )2＋2(x 2＋3x )－3＝0，那么x 2＋3x 的值为( )A ．1B ．－3或1C ．3D ．－1或36．某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排10场比赛，则参加比赛的球队应有( )A ．7队B ．6队C ．5队D ．4队7．关于x 的方程x 2－ax ＋2a ＝0的两根的平方和是5，则a 的值是( )A ．－1或5B ．1C ．5D ．－18．已知x ＝2是关于x 的方程x 2－2mx ＋3m ＝0的一个根，并且等腰三角形ABC的腰长和底边长恰好是这个方程的两个根，则△ABC 的周长为( )A．10 B．14 C．10或14 D．8或109．若关于x的方程2x2＋mx＋n＝0的两个根是－2和1，则nm的值为() A．－8 B．8 C．16 D．－1610．如图，将边长为2 cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△AB C沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为1 cm2，则它移动的距离AA′等于()A．0.5 cmB．1 cmC．1.5 cmD．2 cm二、填空题(每题3分，共24分)11．一元二次方程x(x－7)＝0的解是________．12．若关于x的一元二次方程(a－1)x2＋x＋a2－1＝0的一个根是0，则a＝________.13．已知关于x的方程x2－6x＋k＝0的两根分别是x1，x2，且满足1x1＋1x2＝3，则k＝________.14．某市加大了对雾霾的治理力度，2017年第一季度投入资金100万元，第二季度和第三季度共投入资金260万元，求这两个季度投入资金的平均增长率．设这两个季度投入资金的平均增长率为x，根据题意可列方程为________________________．15．关于x的两个方程x2－4x＋3＝0与1x－1＝2x＋a有一个解相同，则a＝________.16．已知线段AB的长为2，以AB为边在AB的下方作正方形ABCD，取AB边上一点E(不与点A，B重合)，以AE为边在AB的上方作正方形AENM.过点E作EF⊥CD，垂足为点F，如图．若正方形AENM与四边形EFCB的面积相等，则AE的长为________．17．已知(2a＋2b＋1)(2a＋2b－1)＝19，则a＋b＝________.18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16 cm，AD为BC边上的高，动点P从点A出发，沿A→D方向以 2 cm/s的速度向点D运动．设△ABP 的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t s(0<t<8)，则t＝________时，S1＝2S2.三、解答题(19题12分，20～23题每题8分，24题10分，25题12分，共66分)19．用适当的方法解下列方程．(1)x2－x－1＝0; (2)3x(x－2)＝x－2；(3)x2－22x＋1＝0; (4)(x＋8)(x＋1)＝－12.20．已知关于x的一元二次方程(m－2)x2＋2mx＋m＋3＝0有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围；(2)当m取满足条件的最大整数时，求方程的根．21．解方程(x－1)2－5(x－1)＋4＝0时，我们可以将x－1看成一个整体，设x－1＝y，则原方程可化为y2－5y＋4＝0，解得y1＝1，y2＝4.当y＝1时，即x－1＝1，解得x＝2；当y＝4时，即x－1＝4，解得x＝5，所以原方程的解为x1＝2，x2＝5.请利用这种方法求方程(2x＋5)2－4(2x＋5)＋3＝0的解．22．关于x的一元二次方程x2＋3x＋m－1＝0的两个实数根分别为x1，x2.(1)求m的取值范围；(2)若2(x1＋x2)＋x1x2＋10＝0，求m的值．23．一个矩形周长为56 cm.(1)当矩形的面积为180 cm2时，长和宽分别为多少？(2)这个矩形的面积能为200 cm2吗？请说明理由．24．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，若点P从点A出发沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，两点同时出发．(1)问几秒后，△PBQ的面积为8 cm2?(2)出发几秒后，线段PQ的长为4 2 cm?(3)△PBQ的面积能否为10 cm2若能，求出时间；若不能，请说明理由．25．某中学九年级准备组织学生去方特梦幻王国进行春游活动．方特梦幻王国给出了学生团体门票的优惠价格：如果学生人数不超过30名，那么门票为每张240元；如果人数超过了30名，则每超过1名，每张门票就降低2元，但每张门票最低不能少于200元．(1)若一班共有40名学生参加了春游活动，则需要交门票费多少元？(2)若二班共有52名学生参加了春游活动，则需要交门票费多少元？(3)若三班交了门票费9 450元，请问该班参加春游的学生有多少名？答案一、1．A2．C3．C4．D5．A6．C7．D8．B9．C10．B点拨：设AC交A′B′于H.∵∠DAC＝45°，∠AA′H＝90°，∴△AA′H是等腰直角三角形．设AA′＝x cm，则A′H＝x cm，A′D＝(2－x)cm.∴x(2－x)＝1，解得x1＝x2＝1，即AA′＝1 cm.故选B.二、11．x1＝0，x2＝712．－113．2点拨：∵x2－6x＋k＝0的两根分别为x1，x2，∴x1＋x2＝6，x1x2＝k.∴1x1＋1x2＝x1＋x2x1x2＝6k＝3.解得k＝2.经检验，k＝2满足题意．14．100(1＋x)＋100(1＋x)2＝260点拨：根据题意知：第二季度投入资金100(1＋x)万元，第三季度投入资金100(1＋x)2万元，∴100(1＋x)＋100(1＋x)2＝260.15．1点拨：由方程x2－4x＋3＝0，得(x－1)(x－3)＝0，∴x－1＝0或x－3＝0.解得x1＝1，x2＝3.当x＝1时，分式方程1x－1＝2x＋a无意义；当x＝3时，13－1＝23＋a，解得a＝1.经检验，a＝1是方程13－1＝23＋a的解．16．5－1点拨：本题主要考查了根据几何图形列一元二次方程，解题的关键是根据已知条件和图形找出等量关系，列出方程．17．±5 点拨：设t ＝2(a ＋b )，则原方程可化为(t ＋1)(t －1)＝19，整理，得t 2＝20，解得t ＝±25，则a ＋b ＝t 2＝± 5.技巧点拨：换元法的一般步骤是：(1)设新元，即根据问题的特点或关系，引进适当的辅助元作为新元；(2)换元，用新元去代替原问题中的代数式或旧元；(3)求解新元，将解出的新元代回所设的换元式，求解原问题的未知元．18．6 点拨：∵在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝16 cm ，AD 为BC 边上的高，∴AD ＝BD ＝CD ＝8 2 cm.又∵AP ＝2t cm ，∴S 1＝12AP ·BD ＝12×2t ×82＝8t(cm 2)，PD ＝(82－2t )cm.易知PE ＝AP ＝2t cm ，∴S 2＝PD ·PE ＝(82－2t )·2t cm 2.∵S 1＝2S 2，∴8t ＝2(82－2t )·2t .解得t 1＝0(舍去)，t 2＝6.三、19.解：(1)(公式法)a ＝1，b ＝－1，c ＝－1，∴b 2－4ac ＝(－1)2－4×1×(－1)＝5.∴x ＝－b ±b 2－4ac 2a＝1±52， 即原方程的根为x 1＝1＋52，x 2＝1－52.(2)(因式分解法)移项，得3x (x －2)－(x －2)＝0，即(3x －1)(x －2)＝0，∴x 1＝13，x 2＝2.(3)(配方法)配方，得(x －2)2＝1，∴x －2＝±1，∴x 1＝2＋1，x 2＝2－1.(4)(因式分解法)原方程可化为x 2＋9x ＋20＝0，即(x ＋4)(x ＋5)＝0，解得x1＝－4，x2＝－5.20．解：(1)∵关于x的一元二次方程(m－2)x2＋2mx＋m＋3＝0有两个不相等的实数根，∴m－2≠0且Δ＝(2m)2－4(m－2)(m＋3)＝－4(m－6)＞0，解得m＜6且m≠2.∴m的取值范围是m＜6且m≠2.(2)在m＜6且m≠2的范围内，最大整数为5.此时，方程化为3x2＋10x＋8＝0，解得x1＝－2，x2＝－4 3.21．解：设2x＋5＝y，则原方程可化为y2－4y＋3＝0，所以(y－1)(y－3)＝0，解得y1＝1，y2＝3.当y＝1时，即2x＋5＝1，解得x＝－2；当y＝3时，即2x＋5＝3，解得x＝－1，所以原方程的解为x1＝－2，x2＝－1.22．解：(1)由题意得Δ＝9－4(m－1)≥0，∴m≤13 4.(2)由根与系数的关系得x1＋x2＝－3，x1x2＝m－1.∵2(x1＋x2)＋x1x2＋10＝0，∴－6＋(m－1)＋10＝0，∴m＝－3，∵m≤134，∴m的值为－3.23．解：(1)设矩形的长为x cm，则宽为(28－x)cm，由题意列方程，得x(28－x)＝180，整理，得x2－28x＋180＝0，解得x1＝10(舍去)，x2＝18.答：矩形的长为18 cm，宽为10 cm.(2)不能．理由如下：设矩形的长为y cm，则宽为(28－y) cm，由题意列方程，得y(28－y)＝200，整理，得y2－28y＋200＝0，则Δ＝(－28)2－4×200＝784－800＝－16＜0.∴该方程无实数解．故这个矩形的面积不能为200 cm2.24．解：(1)设t s后，△PBQ的面积为8 cm2，则PB＝(6－t)cm，BQ＝2t cm，∵∠B＝90°，∴12(6－t)×2t＝8，解得t1＝2，t2＝4，∴2 s或4 s后，△PBQ的面积为8 cm2.(2)设出发x s后，PQ＝4 2 cm，由题意，得(6－x)2＋(2x)2＝(42)2，解得x1＝25，x2＝2，故出发25s或2 s后，线段PQ的长为4 2 cm.(3)不能．理由：设经过y s，△PBQ的面积等于10 cm2，则12×(6－y)×2y＝10，即y2－6y＋10＝0，∵Δ＝b2－4ac＝36－4×10＝－4＜0，∴该方程无实数解．∴△PBQ的面积不能为10 cm2.25．解：(1)240－(40－30)×2＝220(元)，220×40＝8 800(元)．答：若一班共有40名学生参加了春游活动，则需要交门票费8 800元．(2)240－(52－30)×2＝196(元)，∵196＜200，∴每张门票200元．200×52＝10 400(元)．答：若二班共有52名学生参加了春游活动，则需要交门票费10 400元．(3)∵9 450不是200的整数倍，且240×30＝7 200(元)＜9 450元，∴每张门票的价格高于200元且低于240元．设三班参加春游的学生有x名，则每张门票的价格为[240－2(x－30)]元，根据题意，得[240－2(x－30)]x＝9 450，整理，得x2－150x＋4 725＝0，解得x1＝45，x2＝105，∵240－2(x－30)＞200，∴x＜50.∴x＝45.答：若三班交了门票费9 450元，则该班参加春游的学生有45名．第三章达标测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．从－5，0，4，π，3.5这五个数中随机抽取一个，则抽到无理数的概率是()A．15B．25C．35D．452．从1，2，－3三个数中，随机抽取两个数相乘，积是正数的概率是()A．0 B．13C．23D．13．在一个不透明的袋中装着3个红球和1个黄球，它们只有颜色上的区别，随机从袋中摸出2个小球，两球恰好是一个黄球和一个红球的概率为()A．12B．13C．14D．164．在元旦游园晚会上有一个闯关活动：将5张分别画有正方形、圆、平行四边形、等边三角形、菱形的卡片任意摆放(卡片大小、质地、颜色完全相同)，将有图形的一面朝下，从中任意翻开一张，如果翻开的图形是中心对称图形，就可以过关．那么一次过关的概率是()A．15B．25C．35D．455．在一个不透明的盒中有20个除颜色外均相同的球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4，由此可估计盒中红球的个数为()A．4个B．6个C．8个D．12个6．某种幼树在一定条件下移植成活的概率为0.9，下列说法正确的是() A．移植10棵幼树，结果一定是“9棵幼树成活”B．移植100棵幼树，结果一定是“90棵幼树成活”和“10棵幼树不成活”C．移植10n棵幼树，恰好有“n棵幼树不成活”D．移植n棵幼树，当n越来越大时，幼树成活的频率会越来越稳定于0.9 7．用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色．那么可配成紫色的概率是()。
2017-2018学年北师大版九年级数学上册 第4章综合测评
时间：60分钟 分值：100分一、选择题(每小题4分，共32分) 1．已知a 2＝b 3＝c4≠0，则a ＋b c 的值为(B) A.45 B ．54 C ．2D ．12解析：设a 2＝b 3＝c 4＝k ，则a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k ，代入可得值为54. 2．线段AB ＝10，点C 是AB 上靠近点B 的黄金分割点，则AC 的值为(B) A ．0.618 B ．6.18 C ．3.82D ．6.18或3.82解析：因为点C 是AB 上靠近点B 的黄金分割点，所以AC ＝10×5－12＝55－5≈6.18.故选 B.3．(2016·武威)如果两个相似三角形的面积比是1∶4，那么它们的周长比是(D)A ．1∶16B ．1∶4C ．1∶6D ．1∶24．如图，AB 是斜靠在墙上的长梯，梯脚B 距墙脚1.4 m ，梯上点D 距墙1.2 m ，BD 长0.5 m ，且△ADE ∽△ABC .则梯子的长为(A)A ．3.5 mB ．3 mC ．4 mD ．4.2 m解析：∵△ADE ∽△ABC ，∴AD∶AB＝DE∶BC，即(AB－0.5)∶AB＝1.2∶1.4，所以AB＝3.5(m)．故梯子AB的长为3.5 m．故选A.5．在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：①ABA′B′＝BCB′C′；②BCB′C′＝ACA′C′；③∠A＝∠A′；④∠C＝∠C′.如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有(C)A．1组B．2组C．3组D．4组解析：共有3组，其组合分别是①和②：三边成比例的两个三角形相似；②和④：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；③和④：两角分别相等的两个三角形相似．故选C.6.如图，AB∥CD，AE∥FD，AE，FD分别交BC于点G，H，则图中共有相似三角形(C)A．4对B．5对C．6对D．7对解析：题图中具备“有两角分别相等的三角形”条件的共有4个，它们两两相似，共有6对．第6题图第7题图7．如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB＝90°，AC⊥BC，AC＝BC ，∠ABC 的平分线分别交AD ，AC 于点E ，F ，则BFEF 的值是(C)A.2－1 B ．2＋2 C.2＋1D ． 2解析：如图，作FG ⊥AB 于点G ，∵∠DAB ＝90°，∴AE ∥FG ， ∴BF EF ＝BG GA ，∵AC ⊥BC ，∴∠ACB ＝90°， 又∵BE 是∠ABC 的平分线， ∴FG ＝FC ，在Rt △BGF 和Rt △BCF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧BF ＝BF ，CF ＝GF ，∴Rt △BGF ≌Rt △BCF (HL)， ∴CB ＝GB ，∵AC ＝BC ， ∴∠CBA ＝45°，∴AB ＝2BC ，∴BF EF ＝BG GA ＝BC 2BC －BC ＝12－1＝2＋1.故选C.8. (2015·武汉)如图，在直角坐标系中，有两点A (6,3)，B (6,0)．以原点O 为位似中心，相似比为13，在第一象限内把线段AB 缩小后得到线段CD .则点C 的坐标为(A)A．(2,1) B．(2,0) C．(3,3) D．(3,1) 解析：∵A(6,3)，B(6,0)，∴AB⊥x轴，OB＝6，AB＝3.∵△OCD∽△OAB，且相似比为1 3，∴CD⊥x轴，CDAB＝ODOB＝13，即CD3＝OD6＝13，解得CD＝1，OD＝2，∴点C的坐标为(2,1)．二、填空题(每小题4分，共24分)9．若线段a，b，c，d成比例，其中a＝3 cm，b＝6 cm，c＝2 cm，则d＝__4__ cm.解析：根据比例线段的定义可知：3∶6＝2∶d，即d＝4(cm)．10．如图，锐角三角形ABC的边AB，AC上的高线EC，BF相交于点D，请写出图中的两对相似三角形：△BDE∽△CDF，△ABF∽△ACE.(用相似符号连接)解析：由于∠CEA＝∠BF A＝90°，∠EDB＝∠FDC，所以△BDE∽△CDF；由于∠CEA＝∠BF A＝90°，∠A＝∠A，所以△ABF∽△ACE.第10题图第11题图11．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别交边AB ，AC 于D ，E 两点，若AD ∶AB ＝1∶3，则△ADE 与△ABC 的面积比为1∶9.解析：由DE ∥BC 可得∠ADE ＝∠ABC ，∠AED ＝∠ACB ，所以△ADE ∽△ABC ，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以△ADE 与△ABC 的面积比为(AD ∶AB )2＝(1∶3)2＝1∶9.12．(2015·沈阳)如图，△ABC 与△DEF 位似，位似中心为点O ，且△ABC 的面积等于△DEF 面积的49，则AB ∶DE ＝2∶3.解析：∵△ABC 与△DEF 位似，位似中心为点O ， ∴△ABC ∽△DEF .∴△ABC 的面积∶△DEF 的面积＝(AB DE )2＝49. ∴AB ∶DE ＝2∶3.第12题图第13题图13．如图，在长为8 cm ，宽为4 cm 的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似，则留下矩形的面积是8_cm 2.解析：依题意，原矩形的面积等于8×4＝32(cm 2)，留下的矩形长刚好是原矩形的宽，即两个矩形的相似比等于4∶8，此时，要求阴影部分的面积，利用相似多边形的面积比等于相似比的平方求得．设图中阴影部分的面积为x cm 2，因为两个矩形相似，所以x 32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫482，解得x ＝8.14．如图，AB ∥GH ∥DC ，点H 在BC 上，AC 与BD 交于点G ，AB ＝2，CD ＝3，则GH 的长为1.2.解析：方法1：∵AB ∥GH ， ∴△CGH ∽△CAB .∴GH AB ＝CH CB ，即GH 2＝CH CB .① ∵GH ∥CD ，∴△BGH ∽△BDC . ∴GH CD ＝BH BC ，即GH 3＝BH BC .② ∴①＋②，得GH 2＋GH3＝1， 解得GH ＝1.2； 方法2：∵AB ∥CD ， ∴△ABG ∽△CDG . ∴BG DG ＝AB CD ＝23. ∴BG BG ＋GD ＝22＋3＝25. ∵GH ∥CD ，∴△BGH ∽△BDC . ∴GH CD ＝BG BD ＝25，即GH 3＝25. ∴GH ＝1.2.三、解答题(共44分)15．(12分)(2015·陕西)晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞，小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高．于是，两人在灯下沿直线NQ移动，如图，当小聪正好站在广场的A点(距N点5块地砖长)时，其影长AD恰好为1块地砖长，当小军正好站在广场的B点(距N点9块地砖长)时，其影长BF恰好为2块地砖长．已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身高AC为1.6米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ.请你根据以上信息，求出小军身高BE的长．(结果精确到0.01米)解：由题意，得∠CAD＝∠MND＝90°，∠CDA＝∠MDN，∴△CAD∽△MND.∴CAMN＝ADND，即1.6MN＝1×0.8(5＋1)×0.8，∴MN＝9.6(米)．又∵∠EBF＝∠MNF＝90°，∠EFB＝∠MFN，∴△EBF∽△MNF.∴EBMN＝BFNF，即EB9.6＝2×0.8(2＋9)×0.8，∴EB≈1.75(米)．答：小军的身高约为1.75米．16．(16分) (2016·武威)如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，∠AED＝∠B.射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且ADAC＝DFCG.(1)求证：△ADF∽△ACG；(2)若ADAC＝12，求AFFG的值(1)证明：∵∠AED ＝∠B ，∠DAE ＝∠CAB ， ∴△ADE ∽△ACB . ∴∠ADE ＝∠C . 又∵AD AC ＝DF CG ， ∴△ADF ∽△ACG . (2)解：∵△ADF ∽△ACG . ∴AD AC ＝AF AG ＝12. ∴AFFG ＝1.17．(16分)已知在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4.点Q 是线段AC 上的一个动点，过点Q 作AC 的垂线交线段AB (如图1)或线段AB 的延长线(如图2)于点P .(1)当点P 在线段AB 上时，求证：△AQP ∽△ABC ； (2)当△PQB 为等腰三角形时，求AP 的长．图1 图2 证明：(1)∵PQ ⊥AC ， ∴∠AQP ＝90°＝∠ABC . ∵∠A ＝∠A ，∴△AQP ∽△ABC ；(2)当点P 在线段AB 上时，显然∠APQ ＜90°，所以∠BPQ＞90°，∴当△PQB为等腰三角形时必为PQ＝PB，设PQ＝PB＝x，则P A＝3－x. 在Rt△ABC中，AC＝AB2＋BC2＝5，由(1)知△AQP∽△ABC，∴APAC＝PQ BC，∴AP·BC＝AC·PQ，∴(3－x)·4＝x·5，解得x＝43，∴AP＝3－x＝53；当点P在线段AB延长线上时，显然∠ABQ≤90°，所以∠QBP≥90°，∴当△PQB为等腰三角形时必为BQ＝BP，∴∠P＝∠PQB，∵∠P＋∠A＝∠PQB＋∠AQB＝90°，∴∠A＝∠AQB，∴AB＝BQ＝BP，∴AP＝2AB＝6.综上所述，当△PQB为等腰三角形时，AP的长为53或6.。
2017-2018学年北师大版九年级数学上册检测卷：第4章达标检测卷
第四章达标检测卷(120分，90分钟)一、选择题(每题3分，共30分) 1．若m ＋n n ＝52，则m n 等于( )A .52B .23C .25D .322．若两个相似多边形的面积之比为，则它们的周长之比为( ) A ．B ．C ．D ．3．如图，在△ABC 中，若DE ∥BC ，AD ＝3，BD ＝6，AE ＝2，则AC 的长为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．8(第3题)(第4题)(第5题)(第6题)4．如图，在平面直角坐标系中，有点A(6，3)，B(6，0)，以原点O 为位似中心，相似比为13，在第一象限内把线段AB 缩小后得到CD ，则点C 的坐标为( )A ．(2，1)B ．(2，0)C ．(3，3)D ．(3，1)5．如图，在△ABC 中，点D 在线段BC 上，且△ABC ∽△DBA ，则下列结论一定正确的是( )A ．AB 2＝BC·BD B ．AB 2＝AC·BDC ．AB·AD ＝BD·BC D ．AB·AD ＝AD·CD6．如图，为估算某河的宽度(河两岸平行)，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得BE＝20 m，CE＝10 m，CD＝20 m，则河的宽度AB等于()A．60 m B．40 m C．30 m D．20 m7．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形与△ABC相似的是()(第7题)8．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E是AD的中点，CF⊥BE于点F，则CF等于()A．2 B．2.4 C．2.5 D．2.25(第8题)(第9题)(第10题)(第13题)(第14题)9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝18，BC＝12，正方形DEFG的顶点E，F在△ABC 内，顶点D，G分别在AB，AC上，AD＝AG，DG＝6，则点F到BC的距离为() A．1 B．2 C．122－6 D．62－610．如图，在钝角三角形ABC中，分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF，EM平分∠AEB交AB于点M，取BC的中点D，AC 的中点N ，连接DN ，DE ，DF.下列结论：①EM ＝DN ；②S △CND ＝13S 四边形ABDN ；③DE ＝DF ；④DE ⊥DF.其中正确结论的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 二、填空题(每题3分，共24分)11．假期，爸爸带小明去A 地旅游，小明想知道A 地与他所居住的城市的距离，他在比例尺为1∶500 000的地图上测得所居住的城市距A 地32 cm ，则小明所居住的城市与A 地的实际距离为________．12．已知a 5＝b 7＝c8，且3a －2b ＋c ＝9，则2a ＋4b －3c 的值为________．13．如图，已知点C 是线段AB 的黄金分割点，且BC>AC.若S 1表示以BC 为边的正方形的面积，S 2表示长为AD(AD ＝AB)、宽为AC 的矩形的面积，则S 1与S 2的大小关系为____________．14．如图，已知D ，E 分别是△ABC 的AB ，AC 边上的点，DE ∥BC ，且S △ADE四边形DBCE＝，那么＝________．15．将一副三角尺如图所示叠放在一起，则BEEC的值是________．(第15题)(第16题)(第17题)(第18题)16．如图，利用标杆BE 测量建筑物的高度，标杆BE 高1.5 m ，测得AB ＝2 m ，BC ＝14 m ，则楼高CD 为________．17．如图，已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB＝3，BF⊥BP，垂足是点B，若在射线BF上找一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，则BM 的长为________．18．如图，正三角形ABC的边长为2，以BC边上的高AB1为边作正三角形AB1C1，△ABC与△AB1C1公共部分的面积记为S1，再以正三角形AB1C1边B1C1上的高AB2为边作正三角形AB2C2，△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2，…，以此类推，则S n＝________.(用含n的式子表示，n为正整数)三、解答题(19，21题每题8分，24题14分，其余每题12分，共66分)19．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，试求出x及∠α的大小．(第19题)20．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－2，4)，B(－2，1)，C(－5，2)．(1)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；(2)将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘－2，得到对应的点A2，B2，C2，请画出△A2B2C2；(3)求△A1B1C1与△A2B2C2的面积比．(不写解答过程，直接写出结果)21．如图，AB∥FC，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，分别延长FD和CB交于点G.(1)求证：△ADE≌△CFE；(2)若GB＝2，BC＝4，BD＝1，求AB的长．(第21题)22．如图，一条河的两岸BC与DE互相平行，两岸各有一排景观灯(图中黑点代表景观灯)，每排相邻两景观灯的间隔都是10 m，在与河岸DE的距离为16 m的A处(AD⊥DE)看对岸BC，看到对岸BC上的两个景观灯的灯杆恰好被河岸DE上两个景观灯的灯杆遮住．河岸DE上的两个景观灯之间有1个景观灯，河岸BC上被遮住的两个景观灯之间有4个景观灯，求这条河的宽度．(第22题)23．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝24，BC＝12，点E沿BC边从点B开始向点C以每秒2个单位长度的速度运动；点F沿CD边从点C开始向点D以每秒4个单位长度的速度运动．如果E，F同时出发，用t(0≤t≤6)秒表示运动的时间．请解答下列问题：(1)当t为何值时，△CEF是等腰直角三角形？(2)当t为何值时，以点E，C，F为顶点的三角形与△ACD相似？(第23题)24．如图，E，F分别是正方形ABCD的边DC，CB上的点，且DE＝CF，以AE为边作正方形AEHG，HE与BC交于点Q，连接DF.(1)求证：△ADE≌△DCF.(2)若E是CD的中点，求证：Q为CF的中点．(3)连接AQ，设S△CEQ＝S1，S△AED＝S2，S△EAQ＝S3，在(2)的条件下，判断S1＋S2＝S3是否成立？并说明理由．(第24题)答案一、1.D 2.B3．C 点拨：因为DE ∥BC ，所以AE ∶AC ＝AD ∶AB ＝3∶9＝1∶3，则AC ＝6. 4．A5．A 点拨：因为△ABC ∽△DBA ，所以AB DB ＝BC BA ＝ACDA.所以AB 2＝BC·BD ，AB·AD ＝AC·DB.6．B 点拨：∵AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，∴∠ABC ＝∠DCE ＝90°. 又∵∠AEB ＝∠DEC ， ∴△ABE ∽△DCE. ∴AB DC ＝BE CE ，即AB 20＝2010. ∴AB ＝40 m . 7．A8．B 点拨：由∠ABC ＝90°，CF ⊥BE ，易证△ABE ∽△FCB. ∴AB BE ＝CF BC .由AE ＝12×3＝1.5， AB ＝2，易得BE ＝2.5， ∴22.5＝CF3.∴CF ＝2.4.(第9题)9．D 点拨：如图，过点A 作AM ⊥BC 于点M ，交DG 于点N ，延长GF 交BC 于点H.∵AB ＝AC ，AD ＝AG ，∴AD ∶AB ＝AG ∶AC. 又∠BAC ＝∠DAG ， ∴△ADG ∽△ABC. ∴∠ADG ＝∠B. ∴DG ∥BC.∴AN ⊥DG . ∵四边形DEFG 是正方形， ∴FG ⊥DG.∴FH ⊥BC. ∵AB ＝AC ＝18，BC ＝12，∴BM ＝12BC ＝6.∴AM ＝AB 2－BM 2＝12 2. ∵AN AM ＝DG BC ，即AN 122＝612， ∴AN ＝6 2.∴MN ＝AM －AN ＝6 2.∴FH ＝MN －GF ＝62－6.故选D .10．D 点拨：∵△ABE 是等腰直角三角形，EM 平分∠AEB ， ∴EM 是AB 边上的中线． ∴EM ＝12AB.∵点D ，点N 分别是BC ，AC 的中点，∴DN 是△ABC 的中位线．∴DN ＝12AB ，DN ∥AB.∴EM ＝DN.①正确．由DN ∥AB ，易证△CDN ∽△CBA. ∴S △CND S △CAB ＝⎝⎛⎭⎫DN AB 2＝14. ∴S △CND ＝13S 四边形ABDN .②正确．(第10题)如图，连接DM ，FN ，则DM 是△ABC 的中位线， ∴DM ＝12AC ，DM ∥AC.∴四边形AMDN 是平行四边形． ∴∠AMD ＝∠AND.易知∠ANF ＝90°，∠AME ＝90°， ∴∠EMD ＝∠DNF. ∵FN 是AC 边上的中线， ∴FN ＝12AC.∴DM ＝FN.∴△DEM ≌△FDN.∴DE ＝DF ，∠FDN ＝∠DEM. ③正确．∵∠MDN ＋∠AMD ＝180°，∴∠EDF ＝∠MDN －(∠EDM ＋∠FDN)＝180°－∠AMD －(∠EDM ＋∠DEM)＝180°－(∠AMD ＋∠EDM ＋∠DEM)＝180°－(180°－∠AME)＝180°－(180°－90°)＝90°.∴DE ⊥DF.④正确．故选D .二、11.160 km 点拨：设小明所居住的城市与A 地的实际距离为x km ，根据题意可列比例式为1500 000＝32x ×105，解得x ＝160.12．14 点拨：由a 5＝b 7＝c8，可设a ＝5k ，b ＝7k ，c ＝8k.∵3a －2b ＋c ＝9，∴3×5k －2×7k ＋8k ＝9，∴k ＝1.∴2a ＋4b －3c ＝10k ＋28k －24k ＝14k ＝14.13．S 1＝S 2 点拨：∵点C 是线段AB 的黄金分割点，且BC>AC ， ∴BC 2＝AC·AB ，又∵S 1＝BC 2，S 2＝AC·AD ＝AC·AB ，∴S 1＝S 2. 14．1∶3 15.33点拨：由∠B ＝45°，∠BAC ＝90°，可知AC ＝AB ，由∠D ＝30°，∠ACD ＝90°，可知CD ＝3AC ，则CD ＝3AB.即AB CD ＝13＝33.易知△ABE ∽△DCE ， ∴BE EC ＝AB CD ＝33. 16．12 m17.163或3 点拨：∵∠ABC ＝∠FBP ＝90°，∴∠ABP ＝∠CBF.当△MBC ∽△ABP 时，BM ∶AB ＝BC ∶BP ，得BM ＝4×4÷3＝163；当△CBM ∽△ABP 时，BM ∶BP ＝CB ∶AB ，得BM ＝4×3÷4＝3.18.32×⎝⎛⎭⎫34n点拨：在正三角形ABC 中，AB 1⊥BC ，∴BB 1＝12BC ＝1.在Rt △ABB 1中，AB 1＝AB 2－BB 12＝22－12＝3， 根据题意可得△AB 2B 1∽△AB 1B ，记△AB 1B 的面积为S ， ∴S 1S ＝⎝⎛⎭⎫322.∴S 1＝34S. 同理可得S 2＝34S 1，S 3＝34S 2，S 4＝34S 3，….又∵S ＝12×1×3＝32，∴S 1＝34S ＝32×34，S 2＝34S 1＝32×⎝⎛⎭⎫342，S 3＝34S 2＝32×⎝⎛⎭⎫343，S 4＝34S 3＝32×⎝⎛⎭⎫344，…， S n ＝32×⎝⎛⎭⎫34n. 三、19.解：因为四边形ABCD ∽四边形EFGH ，所以∠H ＝∠D ＝95°，则∠α＝360°－95°－118°－67°＝80°.再由x ∶7＝12∶6，解得x ＝14.20．解：(1)如图，△A 1B 1C 1即为所求．(2)如图，△A 2B 2C 2即为所求．(3)S △A 1B 1C 1∶S △A 2B 2C 2＝1∶4.(第20题)21．(1)证明：∵AB ∥FC ，∴∠A ＝∠ECF.又∵∠AED ＝∠CEF ，且DE ＝FE ，∴△ADE ≌△CFE.(2)解：方法一：∵AB ∥FC ，∴∠GBD ＝∠GCF ，∠GDB ＝∠F.∴△GBD ∽△GCF.∴GB GC ＝BD CF . ∴22＋4＝1CF.∴CF ＝3. 由(1)得△ADE ≌△CFE.∴AD ＝CF ＝3，∴AB ＝AD ＋BD ＝3＋1＝4.(第21题)方法二：如图，取BC 的中点H ，连接EH.∵△ADE ≌△CFE ，∴AE ＝CE.∴EH 是△ABC 的中位线．∴EH ∥AB ，且EH ＝12AB.∴∠GBD ＝∠GHE ，∠GDB ＝∠GEH.∴△GBD ∽△GHE.∴DB EH ＝GB GH .∴1EH ＝22＋2.∴EH ＝2.∴AB ＝2EH ＝4.22．解：由题意可得DE ∥BC ，所以AD AB ＝AE AC .又因为∠DAE ＝∠BAC ，所以△ADE ∽△ABC.所以AD AB ＝DE BC ，即AD AD ＋DB ＝DE BC .因为AD ＝16 m ，BC ＝50 m ，DE ＝20 m ，所以1616＋DB ＝2050.所以DB ＝24 m .所以这条河的宽度为24 m .23．解：(1)由题意可知BE ＝2t ，CF ＝4t ，CE ＝12－2t.因为△CEF 是等腰直角三角形，∠ECF 是直角，所以CE ＝CF.所以12－2t ＝4t ，解得t ＝2.所以当t ＝2时，△CEF 是等腰直角三角形．(2)根据题意，可分为两种情况：①若△EFC ∽△ACD ，则EC AD ＝FC CD ，所以12－2t 12＝4t 24，解得t ＝3，即当t ＝3时，△EFC ∽△ACD.②若△FEC ∽△ACD ，则FC AD ＝EC CD ，所以4t 12＝12－2t 24，解得t ＝1.2，即当t ＝1.2时，△FEC ∽△ACD.因此，当t 为3或1.2时，以点E ，C ，F 为顶点的三角形与△ACD 相似．24．(1)证明：由AD ＝DC ，∠ADE ＝∠DCF ＝90°，DE ＝CF ，得△ADE ≌△DCF.(2)证明：因为四边形AEHG 是正方形，所以∠AEH ＝90°.所以∠QEC ＋∠AED ＝90°.又因为∠AED ＋∠EAD ＝90°，所以∠QEC ＝∠EAD.又因为∠C ＝∠ADE ＝90°，所以△ECQ ∽△ADE.所以CQ DE ＝EC AD. 因为E 是CD 的中点，所以EC ＝DE ＝12CD ＝12AD.所以EC AD ＝12.因为DE ＝CF ，所以CQ DE ＝CQ CF ＝12.即Q 是CF 的中点．(3)解：S 1＋S 2＝S 3成立．理由：因为△ECQ ∽△ADE ，所以CQ DE ＝QE AE .所以CQ QE ＝CE AE .又因为∠C ＝∠AEQ ＝90°，所以△ECQ ∽△AEQ.所以△AEQ ∽△ECQ ∽△ADE.所以S 1S 3＝⎝⎛⎭⎫EQ AQ 2，S 2S 3＝⎝⎛⎭⎫AE AQ 2.所以S 1S 3＋S 2S 3＝⎝⎛⎭⎫EQ AQ 2＋⎝⎛⎭⎫AE AQ 2＝EQ 2＋AE2AQ 2.在Rt △AEQ 中，由勾股定理，得EQ 2＋AE 2＝AQ 2， 所以S 1S 3＋S 2S 3＝1，即S 1＋S 2＝S 3.。
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第四章达标检测卷(120分，90分钟)一、选择题(每题3分，共30分) 1．若m ＋n n ＝52，则m n 等于( )A .52B .23C .25D .322．若两个相似多边形面积之比为，则它们周长之比为( ) A ．B ．C ．D ．3．如图，在△ABC 中，若DE ∥BC ，AD ＝3，BD ＝6，AE ＝2，则AC 长为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．8(第3题)(第4题)(第5题)(第6题)4．如图，在平面直角坐标系中，有点A(6，3)，B(6，0)，以原点O 为位似中心，相似比为13，在第一象限内把线段AB 缩小后得到CD ，则点C 坐标为( ) A ．(2，1) B ．(2，0) C ．(3，3) D ．(3，1)5．如图，在△ABC 中，点D 在线段BC 上，且△ABC ∽△DBA ，则下列结论一定正确是( )A ．AB 2＝BC·BD B ．AB 2＝AC·BDC ．AB·AD ＝BD·BC D ．AB·AD ＝AD·CD6．如图，为估算某河宽度(河两岸平行)，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得BE＝20 m，CE＝10 m，CD＝20 m，则河宽度AB等于()A．60 m B．40 m C．30 m D．20 m7．如图，小正方形边长均为1，则下列图中三角形与△ABC相似是()(第7题)8．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E是AD中点，CF⊥BE于点F，则CF等于()A．2 B．2.4 C．2.5 D．2.25(第8题)(第9题)(第10题)(第13题)(第14题)9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝18，BC＝12，正方形DEFG顶点E，F在△ABC内，顶点D，G分别在AB，AC上，AD＝AG，DG＝6，则点F到BC距离为() A．1 B．2 C．122－6 D．62－610．如图，在钝角三角形ABC中，分别以AB和AC为斜边向△ABC外侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF，EM平分∠AEB交AB于点M，取BC中点D，AC中点N，连接DN ，DE ，DF.下列结论：①EM ＝DN ；②S △CND ＝13S四边形ABDN ；③DE ＝DF ；④DE ⊥DF.其中正确结论个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 二、填空题(每题3分，共24分)11．假期，爸爸带小明去A 地旅游，小明想知道A 地与他所居住城市距离，他在比例尺为1∶500 000地图上测得所居住城市距A 地32 cm ，则小明所居住城市与A 地实际距离为________．12．已知a 5＝b 7＝c8，且3a －2b ＋c ＝9，则2a ＋4b －3c 值为________．13．如图，已知点C 是线段AB 黄金分割点，且BC>AC.若S 1表示以BC 为边正方形面积，S 2表示长为AD(AD ＝AB)、宽为AC 矩形面积，则S 1与S 2大小关系为____________．14．如图，已知D ，E 分别是△ABCAB ，AC 边上点，DE ∥BC ，且S △ADE 四边形DBCE ＝，那么＝________．15．将一副三角尺如图所示叠放在一起，则BEEC值是________．(第15题)(第16题)(第17题)(第18题)16．如图，利用标杆BE 测量建筑物高度，标杆BE 高1.5 m ，测得AB ＝2 m ，BC ＝14 m ，则楼高CD 为________．17．如图，已知点P 是边长为4正方形ABCD 内一点，且PB ＝3，BF ⊥BP ，垂足是点B ，若在射线BF上找一点M，使以点B，M，C为顶点三角形与△ABP相似，则BM长为________．18．如图，正三角形ABC边长为2，以BC边上高AB1为边作正三角形AB1C1，△ABC与△AB1C1公共部分面积记为S1，再以正三角形AB1C1边B1C1上高AB2为边作正三角形AB2C2，△AB1C1与△AB2C2公共部分面积记为S2，…，以此类推，则S n＝________.(用含n式子表示，n 为正整数)三、解答题(19，21题每题8分，24题14分，其余每题12分，共66分)19．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，试求出x及∠α大小．(第19题)20．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点坐标分别为A(－2，4)，B(－2，1)，C(－5，2)．(1)请画出△ABC关于x轴对称△A1B1C1；(2)将△A1B1C1三个顶点横坐标与纵坐标同时乘－2，得到对应点A2，B2，C2，请画出△A2B2C2；(3)求△A1B1C1与△A2B2C2面积比．(不写解答过程，直接写出结果)(第20题)21．如图，AB∥FC，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，分别延长FD和CB交于点G.(1)求证：△ADE≌△CFE；(2)若GB＝2，BC＝4，BD＝1，求AB长．(第21题)22．如图，一条河两岸BC与DE互相平行，两岸各有一排景观灯(图中黑点代表景观灯)，每排相邻两景观灯间隔都是10 m，在与河岸DE距离为16 m A处(AD⊥DE)看对岸BC，看到对岸BC上两个景观灯灯杆恰好被河岸DE上两个景观灯灯杆遮住．河岸DE上两个景观灯之间有1个景观灯，河岸BC上被遮住两个景观灯之间有4个景观灯，求这条河宽度．23．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝24，BC＝12，点E沿BC边从点B开始向点C以每秒2个单位长度速度运动；点F沿CD边从点C开始向点D以每秒4个单位长度速度运动．如果E，F同时出发，用t(0≤t≤6)秒表示运动时间．请解答下列问题：(1)当t为何值时，△CEF是等腰直角三角形？(2)当t为何值时，以点E，C，F为顶点三角形与△ACD相似？(第23题)24．如图，E，F分别是正方形ABCD边DC，CB上点，且DE＝CF，以AE为边作正方形AEHG，HE与BC交于点Q，连接DF.(1)求证：△ADE≌△DCF.(2)若E是CD中点，求证：Q为CF中点．(3)连接AQ，设S△CEQ＝S1，S△AED＝S2，S△EAQ＝S3，在(2)条件下，判断S1＋S2＝S3是否成立？并说明理由．(第24题)答案一、1.D 2.B3．C点拨：因为DE∥BC，所以AE∶AC＝AD∶AB＝3∶9＝1∶3，则AC＝6.4．A5．A点拨：因为△ABC∽△DBA，所以ABDB＝BCBA＝ACDA.所以AB2＝BC·BD，AB·AD＝AC·DB.6．B点拨：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠ABC＝∠DCE＝90°.又∵∠AEB ＝∠DEC ， ∴△ABE ∽△DCE. ∴AB DC ＝BE CE ，即AB 20＝2010. ∴AB ＝40 m . 7．A8．B 点拨：由∠ABC ＝90°，CF ⊥BE ，易证△ABE ∽△FCB. ∴AB BE ＝CF BC .由AE ＝12×3＝1.5， AB ＝2，易得BE ＝2.5， ∴22.5＝CF3.∴CF ＝2.4.(第9题)9．D 点拨：如图，过点A 作AM ⊥BC 于点M ，交DG 于点N ，延长GF 交BC 于点H. ∵AB ＝AC ，AD ＝AG ，∴AD ∶AB ＝AG ∶AC. 又∠BAC ＝∠DAG ， ∴△ADG ∽△ABC. ∴∠ADG ＝∠B. ∴DG ∥BC.∴AN ⊥DG . ∵四边形DEFG 是正方形， ∴FG ⊥DG.∴FH ⊥BC. ∵AB ＝AC ＝18，BC ＝12， ∴BM ＝12BC ＝6.∴AM ＝AB 2－BM 2＝12 2. ∵AN AM ＝DG BC ，即AN 122＝612， ∴AN ＝6 2.∴MN ＝AM －AN ＝6 2.∴FH ＝MN －GF ＝62－6.故选D .10．D 点拨：∵△ABE 是等腰直角三角形，EM 平分∠AEB ， ∴EM 是AB 边上中线．∴EM ＝12AB.∵点D ，点N 分别是BC ，AC 中点，∴DN 是△ABC 中位线．∴DN ＝12AB ，DN ∥AB.∴EM ＝DN.①正确．由DN ∥AB ，易证△CDN ∽△CBA. ∴S △CND S △CAB ＝⎝⎛⎭⎫DN AB 2＝14. ∴S △CND ＝13S 四边形ABDN .②正确．(第10题)如图，连接DM ，FN ，则DM 是△ABC 中位线， ∴DM ＝12AC ，DM ∥AC.∴四边形AMDN 是平行四边形． ∴∠AMD ＝∠AND.易知∠ANF ＝90°，∠AME ＝90°， ∴∠EMD ＝∠DNF. ∵FN 是AC 边上中线， ∴FN ＝12AC.∴DM ＝FN.∴△DEM ≌△FDN.∴DE ＝DF ，∠FDN ＝∠DEM. ③正确．∵∠MDN ＋∠AMD ＝180°，∴∠EDF ＝∠MDN －(∠EDM ＋∠FDN)＝180°－∠AMD －(∠EDM ＋∠DEM)＝180°－(∠AMD ＋∠EDM ＋∠DEM)＝180°－(180°－∠AME)＝180°－(180°－90°)＝90°.∴DE ⊥DF.④正确．故选D .二、11.160 km 点拨：设小明所居住城市与A 地实际距离为x km ，根据题意可列比例式为1500 000＝32x ×105，解得x ＝160.12．14 点拨：由a 5＝b 7＝c8，可设a ＝5k ，b ＝7k ，c ＝8k.∵3a －2b ＋c ＝9，∴3×5k －2×7k＋8k ＝9，∴k ＝1.∴2a ＋4b －3c ＝10k ＋28k －24k ＝14k ＝14.13．S 1＝S 2 点拨：∵点C 是线段AB 黄金分割点，且BC>AC ，∴BC 2＝AC·AB ，又∵S 1＝BC 2，S 2＝AC·AD ＝AC·AB ，∴S 1＝S 2. 14．1∶3 15.33点拨：由∠B ＝45°，∠BAC ＝90°，可知AC ＝AB ，由∠D ＝30°，∠ACD ＝90°，可知CD ＝3AC ，则CD ＝3AB.即AB CD ＝13＝33. 易知△ABE ∽△DCE ， ∴BE EC ＝AB CD ＝33. 16．12 m 17.163或3 点拨：∵∠ABC ＝∠FBP ＝90°，∴∠ABP ＝∠CBF.当△MBC ∽△ABP 时，BM ∶AB ＝BC ∶BP ，得BM ＝4×4÷3＝163；当△CBM ∽△ABP 时，BM ∶BP ＝CB ∶AB ，得BM ＝4×3÷4＝3.18.32×⎝⎛⎭⎫34n点拨：在正三角形ABC 中，AB 1⊥BC ，∴BB 1＝12BC ＝1.在Rt △ABB 1中，AB 1＝AB 2－BB 12＝22－12＝3， 根据题意可得△AB 2B 1∽△AB 1B ，记△AB 1B 面积为S ， ∴S 1S ＝⎝⎛⎭⎫322.∴S 1＝34S. 同理可得S 2＝34S 1，S 3＝34S 2，S 4＝34S 3，….又∵S ＝12×1×3＝32，∴S 1＝34S ＝32×34，S 2＝34S 1＝32×⎝⎛⎭⎫342，S 3＝34S 2＝32×⎝⎛⎭⎫343，S 4＝34S 3＝32×⎝⎛⎭⎫344，…，S n ＝32×⎝⎛⎭⎫34n.三、19.解：因为四边形ABCD ∽四边形EFGH ，所以∠H ＝∠D ＝95°，则∠α＝360°－95°－118°－67°＝80°.再由x ∶7＝12∶6，解得x ＝14. 20．解：(1)如图，△A 1B 1C 1即为所求． (2)如图，△A 2B 2C 2即为所求． (3)S △A 1B 1C 1∶S △A 2B 2C 2＝1∶4.(第20题)21．(1)证明：∵AB ∥FC ，∴∠A ＝∠ECF.又∵∠AED ＝∠CEF ，且DE ＝FE ，∴△ADE ≌△CFE.(2)解：方法一：∵AB ∥FC ，∴∠GBD ＝∠GCF ，∠GDB ＝∠F.∴△GBD ∽△GCF.∴GB GC ＝BD CF .∴22＋4＝1CF .∴CF ＝3.由(1)得△ADE ≌△CFE.∴AD ＝CF ＝3，∴AB ＝AD ＋BD ＝3＋1＝4.(第21题)方法二：如图，取BC 中点H ，连接EH.∵△ADE ≌△CFE ，∴AE ＝CE.∴EH 是△ABC 中位线．∴EH ∥AB ，且EH ＝12AB.∴∠GBD ＝∠GHE ，∠GDB ＝∠GEH.∴△GBD ∽△GHE.∴DB EH ＝GB GH .∴1EH ＝22＋2.∴EH ＝2.∴AB ＝2EH ＝4.22．解：由题意可得DE ∥BC ，所以AD AB ＝AE AC .又因为∠DAE ＝∠BAC ，所以△ADE ∽△ABC.所以AD AB ＝DE BC ，即AD AD ＋DB ＝DE BC. 因为AD ＝16 m ，BC ＝50 m ，DE ＝20 m ，所以1616＋DB ＝2050. 所以DB ＝24 m .所以这条河宽度为24 m .23．解：(1)由题意可知BE ＝2t ，CF ＝4t ，CE ＝12－2t.因为△CEF 是等腰直角三角形，∠ECF 是直角，所以CE ＝CF.所以12－2t ＝4t ，解得t ＝2.所以当t ＝2时，△CEF 是等腰直角三角形．(2)根据题意，可分为两种情况：①若△EFC ∽△ACD ，则EC AD ＝FC CD， 所以12－2t 12＝4t 24，解得t ＝3， 即当t ＝3时，△EFC ∽△ACD.②若△FEC ∽△ACD ，则FC AD ＝EC CD， 所以4t 12＝12－2t 24，解得t ＝1.2， 即当t ＝1.2时，△FEC ∽△ACD.因此，当t 为3或1.2时，以点E ，C ，F 为顶点三角形与△ACD 相似．24．(1)证明：由AD ＝DC ，∠ADE ＝∠DCF ＝90°，DE ＝CF ，得△ADE ≌△DCF.(2)证明：因为四边形AEHG 是正方形，所以∠AEH ＝90°.所以∠QEC ＋∠AED ＝90°.又因为∠AED ＋∠EAD ＝90°，所以∠QEC ＝∠EAD.又因为∠C ＝∠ADE ＝90°，所以△ECQ ∽△ADE.所以CQ DE ＝EC AD. 因为E 是CD 中点，所以EC ＝DE ＝12CD ＝12AD.所以EC AD ＝12. 因为DE ＝CF ，所以CQ DE ＝CQ CF ＝12.即Q 是CF 中点． (3)解：S 1＋S 2＝S 3成立．理由：因为△ECQ ∽△ADE ，所以CQ DE ＝QE AE .所以CQ QE ＝CE AE. 又因为∠C ＝∠AEQ ＝90°，所以△ECQ ∽△AEQ.所以△AEQ ∽△ECQ ∽△ADE.所以S 1S 3＝⎝⎛⎭⎫EQ AQ 2，S 2S 3＝⎝⎛⎭⎫AE AQ 2. 所以S 1S 3＋S 2S 3＝⎝⎛⎭⎫EQ AQ 2＋⎝⎛⎭⎫AE AQ 2＝EQ 2＋AE 2AQ 2. 在Rt △AEQ 中，由勾股定理，得EQ 2＋AE 2＝AQ 2，所以S 1S 3＋S 2S 3＝1，即S 1＋S 2＝S 3.。