初中数学综合课件第33课时 相似图形的应用

第33课时 相似图形的应用(68分)一、选择题(每题6分，共24分)1．为了测量被池塘隔开的A ，B 两点之间的距离，根据实际情况，作出如图33－1所示的图形，其中AB ⊥BE ，EF ⊥BE ，AF 交BE 于点D ，点C 在BD 上．有四位同学分别测量出以下4组数据：①BC ，∠ACB ；②CD ，∠ACB ，∠ADB ；③EF ，DE ，BD ；④DE ，DC ，BC .能根据所测数据，求出A ，B 间距离的有 ( C )图33－1A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组【解析】 此题比较综合，要多方面考虑．①因为知道∠ACB 和BC 的长，所以可利用∠ACB 的正切来求AB 的长； ②可利用∠ACB 和∠ADB 的正切求出AB ； ③因为△ABD ∽△FED ，可利用AB FE ＝DEDB 求出AB ； ④无法求出A ，B 间距离．故共有3组数据可以求出A ，B 间距离．故选C.2．如图33－2是小明设计的用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，且测得AB ＝1.2 m ，BP ＝1.8 m ，图33－2PD＝12 m，那么该古城墙的高度是(B) A．6 m B．8 m C．18 m D．24 m【解析】由平面镜的入射角等于反射角，易得∠APB＝∠CPD.又∵∠B＝∠D＝90°，∴△ABP∽△CDP，∴PBPD＝ABCD，即1.812＝1.2CD，解得CD＝8 m.3．[2016·烟台]如图33－3，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为13，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为(A)A．(3，2) B．(3，1)C．(2，2) D．(4，2)4．[2015·聊城模拟]如图33－4，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1 m的竹竿的影长是0.8 m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，她先测得留在墙壁上的影高为1.2 m，又测得地面的影长为2.6 m，请你帮她算一下，树高是(C)A．3.25 m B．4.25 mC．4.45 m D．4.75 m【解析】BD是BC在地面的影子，设树高为x，根据竹竿的高与其影长的比值和树高与其影长的比值相同，得CBBD＝10.8，而CB＝1.2，∴BD＝0.96 m，图33－3图33－4∴树在地面的实际影长是0.96＋2.6＝3.56(m)，再由竹竿的高与其影长的比值和树高与其影长的比值相同，得x3.56＝10.8，解得x＝4.45 m．故选C.二、填空题(每题6分，共24分)5．[2015·黄岛区校级模拟]有一支夹子如图33－5，AB ＝2BC ，BD ＝2BE ，在夹子前面有一个长方体硬物，PQ 长为6 cm ，如果想用夹子的尖端A ，D 两点夹住P ，Q 两点，那么手握的地方EC 至少要张开__3__cm.【解析】 ∵AB ＝2BC ，BD ＝2BE ，∠ABD ＝∠CBE ， ∴△ADB ∽△CEB ， ∴DA ∶EC ＝AB ∶CB ， 当DA ＝PQ ＝6 cm 时， ∴6∶EC ＝2∶1， 解得EC ＝3 cm.6．如图33－6，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若光源到幻灯片的距离为20 cm ，到屏幕的距离为60 cm ，且幻灯片中图形的高度为6 cm ，则屏幕上图形的高度为__18__cm.【解析】 根据相似三角形的性质，对应高的比等于相似比进行解答．7．[2016·环县模拟]《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第九章“勾股”，主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求的关系．如图33－7，其中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”译文：“今有一座长方形小城，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各城墙正中均开一城门．走出东门15里处有棵大树，问走出南门多少步恰好能望见这棵树？”(注：1里＝300步)你的计算结果是：出南门__315__步而见木．图33－5图33－6图33－7 第7题答图【解析】 如答图，由题意，得AB ＝15里，AC ＝4.5里，CD ＝3.5里， ∵△ACB ∽△DEC ， ∴AC DE ＝AB DC ，即4.5DE ＝153.5， 解得DE ＝1.05里＝315步，∴走出南门315步恰好能望见这棵树．8．[2015·达州]如图33－8，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使顶点C 恰好落在AB 边的中点C ′上，点D 落在点D ′处，C ′D ′交AE 于点M .若AB ＝6，BC ＝9，则AM 的长为__94__.【解析】 ∵C ′是AB 的中点，AB ＝6，∴AC ′＝BC ′＝3，∵四边形DCFE 沿EF 翻折至D ′C ′FE ， ∴CF ＝C ′F ，∠C ＝∠MC ′F ， ∴BC ＝BF ＋FC ＝BF ＋FC ′＝9， ∴FC ′＝9－BF ，在Rt △BC ′F 中，根据勾股定理，得BF 2＋BC ′2＝FC ′2， 即32＋BF 2＝(9－BF )2， 解得BF ＝4，∴FC ′＝5，又∵∠BFC ′＋∠BC ′F ＝90°，∠AC ′M ＋∠BC ′F ＝90°，图33－8∴∠BFC ′＝∠AC ′M ，∵∠A ＝∠B ＝90°，∴△FC ′B ∽△C ′MA ， ∴BF AC ′＝BC ′AM ，即43＝3AM ， ∴AM ＝94.三、解答题(共20分)9．(10分)[岳阳中考]如图33－9，矩形ABCD 为台球桌面．AD ＝260 cm ，AB ＝130 cm.球目前在E 点位置，AE ＝60 cm.如果小丁瞄准BC 边上的点F 将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D 点的位置． (1)求证：△BEF ∽△CDF ； (2)求CF 的长．解：(1)证明：由题意，得∠EFG ＝∠DFG ， ∵∠EFG ＋∠BFE ＝90°，∠DFG ＋∠CFD ＝90°， ∴∠BFE ＝∠CFD ，∵∠B ＝∠C ＝90°， ∴△BEF ∽△CDF ；(2)∵△BEF ∽△CDF ，∴BE CD ＝BFCF ， ∴70130＝260－CFCF ，∴CF ＝169 cm.10．(10分)[2015·菏泽]如图33－10，M ，N 为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞，工程人员为计算工程量，必须计算M ，N 两点之间的直线距离，选择测量点A ，B ，C ，点B ，C 分别在AM ，AN 上，现测得AM ＝1 km ，AN ＝1.8 km ，AB ＝54 m ，BC ＝45 m ，AC ＝30 m ，求M ，N 两点之间的直线距离．图33－9图33－10 第10题答图解：如答图，连结MN .∵AC AM ＝301 000＝3100，AB AN ＝541 800＝3100， ∴AC AM ＝AB AN ，∵∠BAC ＝∠NAM ，∴△BAC ∽△NAM ， ∴BC MN ＝3100，∴45MN ＝3100， ∴MN ＝1 500.答：M ，N 两点之间的直线距离为1 500 m.(20分)11．(10分)[2015·邵阳]如图33－11，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF 来测量操场旗杆AB 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF 与地面保持平行，并使边DE 与旗杆顶点A 在同一直线上，已知DE ＝0.5 m ，EF ＝0.25 m ，目测点D 到地面的距离DG ＝1.5 m ，到旗杆的水平距离DC ＝20 m ，求旗杆的高度．【解析】 根据题意，可得△DEF ∽△DCA ，进而利用相似三角形的性质得出AC 的长，即可得出答案．解：由题意，可得△DEF ∽△DCA ，则DE DC ＝EF CA ， ∵DE ＝0.5 m ，EF ＝0.25 m ，图33－11DG ＝1.5 m ，DC ＝20 m ， ∴0.520＝0.25AC ，解得AC ＝10，故AB ＝AC ＋BC ＝10＋1.5＝11.5(m)， 答：旗杆的高度为11.5 m.12．(10分)[2016·凉山]如图33－12，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，A 是BDC ︵的中点，AE ⊥AC 于点A ，与⊙O 及CB 的延长线交于点F ，E ，且BF ︵＝AD ︵. (1)求证：△ADC ∽△EBA ；(2)如果AB ＝8，CD ＝5，求tan ∠CAD 的值． 解：(1)证明：∵四边形ABCD 内接于⊙O ， ∴∠CDA ＝∠ABE . ∵BF ︵＝AD ︵， ∴∠DCA ＝∠BAE ， ∴△ADC ∽△EBA ； (2)∵A 是BDC ︵的中点， ∴AB ︵＝AC ︵， ∴AB ＝AC ＝8， ∵△ADC ∽△EBA ， ∴∠CAD ＝∠AEC ， ∴CD AB ＝CA AE ， 即58＝8AE ，∴AE ＝645，图33－12∴tan ∠CAD ＝tan ∠AEC ＝AC AE ＝ 8 645＝58.(12分)13．(12分)[2015·德州](1)问题如图33－13①，在四边形ABCD 中，P 为AB 上一点，∠DPC ＝∠A ＝∠B ＝90°.求证：AD ·BC ＝AP ·BP ； (2)探究如图②，在四边形ABCD 中，P 为AB 上一点，当∠DPC ＝∠A ＝∠B ＝θ时，上述结论是否依然成立？说明理由； (3)应用请利用(1)(2)获得的经验解决问题：如图③，在△ABD 中，AB ＝6，AD ＝BD ＝5.点P 以每秒1个单位长度的速度，由点A 出发，沿边AB 向点B 运动，且满足∠DPC ＝∠A .设点P 的运动时间为t (s)，当以D 为圆心，以DC 为半径的圆与AB 相切，求t 的值．图33－13解：(1)证明：∵∠DPC ＝∠A ＝∠B ＝90°， ∴∠ADP ＋∠APD ＝90°， ∠BPC ＋∠APD ＝90°， ∴∠ADP ＝∠BPC . ∴△ADP ∽△BPC . ∴AD BP ＝AP BC . ∴AD ·BC ＝AP ·BP ；(2)结论AD ·BC ＝AP ·BP 仍成立．理由：∵∠BPD ＝∠DPC ＋∠BPC ， 又∵∠BPD ＝∠A ＋∠ADP ，∴∠DPC ＋∠BPC ＝∠A ＋∠ADP .∵∠DPC ＝∠A ＝θ，∴∠BPC ＝∠ADP ，又∵∠A ＝∠B ＝θ，∴△ADP ∽△BPC ，∴AD BP ＝AP BC ，∴AD ·BC ＝AP ·BP ；(3)如答图，过点D 作DE ⊥AB 于点E . ∵AD ＝BD ＝5，AB ＝6.∴AE ＝BE ＝3.由勾股定理，得DE ＝4.∵以D 为圆心，以DC 为半径的圆与AB 相切．∴DC ＝DE ＝4.∴BC ＝5－4＝1，又∵AD ＝BD ，∴∠A ＝∠B .∵∠DPC ＝∠A ，∴∠DPC ＝∠A ＝∠B .由(1)，(2)的经验可知，AD ·BC ＝AP ·BP . 又∵AP ＝t ，BP ＝6－t ，∴t (6－t )＝5×1.第13题答图解得t1＝1，t2＝5.∴t的值为1 s或5 s.。