《应用多元分析》第三版PPT(第四章)

72.5 2.841 112.5714 / 8 1 72.5 2.841 112.5714 / 8
即
79 2.841 103.1429 / 8 2 79 2.841 103.1429 / 8
61.84≤μ1≤83.16，68.80≤μ2≤89.20 这两个区间分别正是椭圆在μ1轴α。 若tα/2k(n−1)≤Tα ，则邦弗伦尼区间比T2区间要窄，这时宜采用 前者作为联合置信区间；反之，若tα/2k(n−1)>Tα，则邦弗伦尼 区间比T2 区间宽，宜采用后者作为联合置信区间。 当k=p时，邦弗伦尼区间要比T2 区间窄。故在求μ的所有p个 分量μ1, μ2,⋯, μp的联合置信区间时，应采用邦弗伦尼区间。

例4.3.1 设x~Np(μ,Σ)，μ=(μ1,μ2,⋯,μp)′，Σ>0，x1,x2,⋯,xn是取 自该总体的一个样本，欲检验 H0：μ1=μ2=⋯=μp，H1：μi≠μj,至少存在一对i≠j 令 1 1 0 0 1 0 1 0 C 1 0 0 1 则上面的假设可表达为 H0：Cμ=0，H1：Cμ≠0 检验统计量为
§4.3 单个总体均值分量间 结构关系的检验


设x1,x2,⋯,xn是取自多元正态总体Np(μ,Σ)的一个样本，Σ>0， n>p，欲检验 H0：Cμ=φ，H1：Cμ≠φ 其中C为一已知的k×p矩阵，k＜p,rank(C)=k，φ为已知的k维 向量。 根据多元正态分布的性质知 Cx~Nk(Cμ,CΣC′) 由于 1 1 1 2 2 2 rank CΣC rank CΣ CΣ rank CΣ rank C k
即

63.63≤μ1≤81.37，70.51≤μ2≤87.49 这个联合置信区间在精确度方面要好于T2联合置信 区间。由该联合置信区间可得到置信度至少为0.90 的矩形置信区域（见图4.2.1中的实线矩形），但其 矩形面积要大于椭圆面积。
图4.2.1 置信椭圆和联合置信区间
利用置信区域进行假设检验
平α，拒绝规则为：
2 2 T T 若 ，则拒绝H0 p n 1 2 F p, n p 。 其中 T n p

例4.2.1 对某地区农村的6名2周岁男婴的身高、胸围、上半 臂围进行测量，得样本数据如表4.2.1所示。根据以往资料， 该地区城市2周岁男婴的这三个指标的均值μ0=(90,58,16)′， 现欲在多元正态性假定下检验该地区农村男婴是否与城市男 婴有相同的均值。这是假设检验问题： H0：μ=μ0，H1：μ≠μ0
第四章 多元正态总体的统计推断
§4.1 §4.2 §4.3 §4.4 §4.5 §4.6 §4.7

一元情形的回顾 单个总体均值的推断 单个总体均值分量间结构关系的检验 两个总体均值的比较推断 两个总体均值分量间结构关系的检验 多个总体均值的比较检验（多元方差分析） 总体相关系数的推断
§4.2 单个总体均值的推断
一、均值向量的检验
二、置信区域 三、联合置信区间
一、均值向量的检验
设x1,x2, ⋯,xn是取自总体x~Np (μ, Σ)的一个样本，这 里Σ>0,n>p，欲检验 H0：μ=μ0，H1：μ≠μ0 1.Σ已知 检验统计量为

T02 n x μ0 Σ 1 x μ0

μ1和μ2的0.90邦弗伦尼联合置信区间为（t0.025(7)= 2.3646）
72.5 2.3646 112.5714 / 8 1 72.5 2.3646 112.5714 / 8 79 2.3646 103.1429 / 8 2 79 2.3646 103.1429 / 8
三、联合置信区间
P a x T a Sa n a μ a x T a Sa n a 即 a x T a Sa n a μ a x T a Sa


1
n

以1−α的概率对一切a∈Rp成立，称它为一切线性组合｛a′μ， a∈Rp｝的置信度为1−α的联合置信区间（simultaneous confidence intervals）。 对k个线性组合｛ai′μ，i=1,2,⋯,k｝，有
的置信度一般会明显地大于1−α，因而上述区间会显得过宽 ，即精确度明显偏低。这时，我们可以考虑采用邦弗伦尼 （Bonferroni）联合置信区间：
ai x t /2k n 1 aiSai n ai μ ai x t /2k n 1 aiSai i 1, 2, , k
T nx C CSC Cx
2 1

对于给定的显著性水平α，拒绝规则为： 若 T 2 T2 ，则拒绝H0 其中 p 1 n 1 2 T F p 1, n p 1 n p 1 由于C是行满秩的，且每行均为对比向量（即有一个1和一个 −1，其余皆为0），故称C为对比矩阵。 该例中对比矩阵C的选择不是惟一的，比如也可以选取对比 矩阵为
k P ai x T aiSai i 1

n ai μ ai x T aiSai
n 1


当k很小时，联合T2置信区间 aix T aiSai n ai μ ai x T aiSai
n , i 1, 2, , k
某地区农村男婴的体格测量数据 身高(cm) 78 76 92 81 81 84 胸围(cm) 60.6 58.1 63.2 59.0 60.8 59.5 上半臂围(cm) 16.5 12.5 14.5 14.0 15.5 14.0 编 号 1 2 3 4 5 6
表4.2.1
82.0 8.0 x 60.2 , x μ0 2.2 14.5 1.5 31.600 8.040 0.500 S 8.040 3.172 1.310 0.500 1.310 1.900 14.6210 8.9464 4.3107 1 S 1 23.13848 14.6210 59.7900 37.3760 8.9464 37.3760 35.5936 T 2 n x μ S 1 x μ 6 70.0741 420.445
拒绝规则为： 2 2 T 若0 p ，则拒绝H0

2. Σ未知 检验统计量为
T 2 n x μ0 S 1 x μ0
称之为霍特林（Hotelling）T2 统计量。当 H0
n p 2 T 服从F(p,n−p) ，对给定的显著性水 为真时 p n 1

0


0

查表得F0.01(3,3)=29.5，于是 3 5 2 T0.01 F0.01 3,3 147.5 3 故在显著性水平α=0.01下，拒绝原假设H0，即认为农村与城 市的2周岁男婴上述三个指标的均值有显著差异(p=0.002)。
二、置信区域
T 2 n x μ S 1 x μ n p 2 T F p, n p p n 1 n p 2 P T F p, n p 1 p n 1 1 2 P n x μ S x μ T 1

μ的置信度为1−α的置信区域为

μ : n x μ S 1 x μ T2

当p=1时，它是一个区间；当p=2时，它是一个椭圆， 这时可将其在坐标平面上画出；当p=3时，它是一 个椭球；当p＞3时，它是一个超椭球；它们均以 x 为中心。 同置信区间与假设检验的关系一样，置信区域与假 设检验之间也有着同样的密切关系。一般来说，μ0 包含在上述置信区域内，当且仅当原假设 H0：μ=μ0 在显著性水平α下被接受。因此，可以通过构造的置 信区域的方法来进行假设检验。
87
80
91
54
61
79
84
n=8,p=2，取1−α=0.90，F0.10(2,6)=3.46，于是，T0.10=2.841。
72.5 112.5714 96.1429 x , S 79 96.1429 103.1429 0.0436 0.0406 1 S 0.0406 0.0475

例4.2.2 为评估某职业培训中心的教学效果，随机抽取8名受 训者，进行甲和乙两个项目的测试，其数据列于表4.2.2。假 定x=(x1,x2)′服从二元正态分布。
表4.2.2 编 号 1 两个项目的测试成绩 2 3 4 5 6 7 8
甲项成绩x1
乙项成绩x2

62
70
80
77
66
75
84
87
75


在例4.2.2中，如果在 α=0.10下对假设 H0：μ=μ0，H1：μ≠μ0 进行检验，其中μ=(μ1,μ2)′，μ0=(μ01,μ02)′ ，则我们容易利用图 4.2.1中的椭圆得出检验的结果。若被检验值μ0位于图4.2.1中 的椭圆外，则拒绝；反之，则接受。 图4.2.1中的虚线矩形在μ1和μ2轴上的区间范围分别是μ1和μ2 的0.90置信区间。当μ0位于椭圆外虚线矩形内的位置（如图 中A点）时，检验结果虽拒绝H0，但如在α=0.10下分别检验 H01：μ1=μ01，H11：μ1≠μ01 和 H02：μ2=μ02，H12：μ2≠μ02 则检验结果都将接受原假设；当μ0位于椭圆内虚线矩形外的 位置（如图中B点）时，检验结果虽接受H0，但H01：μ1=μ01 和H02：μ2=μ02都将会被拒绝。

故CΣC′>0。故我们可以用上一节检验假设H0：μ=μ0的方法 来检验上述假设。检验统计量为 1 T 2 n Cx φ CSC Cx φ 当原假设H0：Cμ=φ为真时， nk T 2 F k, n k k n 1 对于给定的显著性水平α，拒绝规则为： 2 2 若T T ，则拒绝H0 k n 1 2 F k , n k 。 其中T nk 特别地，若欲检验 H0：Cμ=0，H1：Cμ≠0 则T2可简化为 1 T 2 nx C CSC Cx