2020高考数学 全国各地模拟试题分类汇编6 数列1 理
2020年普通高等学校招生全国统一考试模拟六数学理试题Word版含答案
2017年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题数学(理科)(六)第丨卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合A = {xI(x-2)(x +1) <0},5 = {x G ZI-1 <^< 1},则=A. {—1,0}B. {0,1}C. {—1,0,1}D. {—1,2} 2•方程〃 + 6x +13 = 0的一个根是A. —3 + 2i B・ 3 + 2/ C. —2 + 3/ D・ 2 + 3z3.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(-co,0)上单调递增，若实数"满足/(2M)>/(-V2),实数"的取值范围是A. B.4.如图，设区域Z) = {(^.y)IO<A：<l,O<y<l},向区域内随机投一点，且投入到区域内任一点都是等可能的，则点落到由曲线y = ^与y =X2所围成阴影区域内的概率是A. -B. -C.丄D.-6 3 2 35.执行如图所示的程序框图，若输出的5 = 86,则判断框内的正整数的值为A.7B. 6,7C. 6,7,8D. &95=1*=■0.6.向量讥满足p +片=2辰，且(方―可门=0,则方』的夹角的余弦值为j=r+2*A. 0B. -C. -D.—3 2 2G古束)第II 卷 (非选择题共90分)二.填空题：本大题共4小题,每小题5分，共20分.10.在体积为*的三棱锥S 一 ABC 中.AB = BC = 2.ZABC = 120 ,SA = SC 9且平面 SAC 丄平面ABC 9若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为2 211.已知点人迅是双曲线C$-计=1(“>0小>0)的左、右焦点，0为坐标原点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足再鸟= 引13|啓则双曲线C 的离心率的取值范围为A. (1,+co)B.1 — 11 — xL X G (—2 ),则函数 g(X)= f(X)-COS7TX 在区间[0,8] 3/(x-2),xe[2,+oo) 内所有零点的和为 A. 16 B. 30 C. 327. 已知等差数列｛©｝中，S “为其前"项和，若= an 2+4“+a—4(d w R),记数列、孑、n “的前项和为人，则心=&已知aj^c 均为正数，且(d+c)(Z? + c) = 2,则a + 2b+3c 的最小值是A. y/2B. 2>/2C. 4D. 89•某几何体的三视图如下图所示，且该几何体的体积为 芈则正视图和的值为A” B. 2 亦C. £2D.- 320逅兀A. -----------3B.芈C. 20龙 D&12•已知函数/(兀)=彳D. 40C.D.\+y-2<013.已知满足约束条件x-2y-2<0,若2x+y + A:>0恒成立，则实数斤的取值范2x-y+2>0围为________________ .14.若(1 — 2x) = a()+ ciyX + • • • +(x € R) 9则q + 2d? + …+ 201 厶勺仍= _______ •2 215.已知点A,F分别是椭圆C:-^- + p- = l(«>/7>0)的上顶点和左焦点，若AF与圆O:x2+y2=4相切于点T,且点T是线段AF靠近点A的三等分点，则椭圆C的标准方程为________________ .16.若数列｛①｝满足a2一% > a3 -①> 5 -佝> …〉冷+1 -则称数列｛。
2020高考数学模拟试题(13套)数学6
2020高考数学模拟试题(13套)数学6第一卷〔共50分〕一、选择题，每题 5分，共50分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目 要求的。
1•假设非空集合 A,B,C 满足A U B=C ，且B 不是A 的子集，那么 A. ” x € C "是” x € A "的充分条件但不是必要条件 B. ” x € C "是” x € A "的必要条件但不是充分条件 C. ” x € C "是” x € A "的充分条件D. ” x € C "是” x € A "的充分条件也不是” x € A "必要条件 2 •用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为n,那么球的休积为8A. 一33.函数 f(x)=：—1n(、x 2x3x 22x 3x 4)的定义域为A.(- -,-4) [U 2,+ o o:B.(-4,0) U (0,1)C. [-4,0 : u 〔 0, 仁 i :D. :-4, 0U 〔 0, 1〕1sincos24. tan，那么---- = ()2cos2〔A 〕2〔 B]- -2〔c 〕3〔D 〕-35. 复数i 3 (1 i)2〕A . 2B 2C .2i D . 2i)上为增函数，且f(1) 0，那么不等式f(x) f(x) 0xB. ( , 1)U (01) D. ( 1,0) U (01)C.8 . 232D.36 •假设点 P(2,0)到双曲线 2x""2 a2yb 2 1的一条渐线的距离为■- 2 ,那么双曲线的离心率为()〔A 〕 ,2〔E 〕〔C 〕2、..2〔D 〕2.、37.函数f(x)2, 2,那么不等式f(x) x 2的解集是()〔A 〕[ 1,1]〔B 〕 [2,2] 〔C 〕[ 2,1] 〔D 〕[ 1,2]8.设奇函数f(x)在(0, 的解集为〔〕A. ( 1,0)卩(1，) C. (, 1巾(1,)9. 假设定义在R上的函数f(x)满足：对任意X i,X2 R有f (X i+X2)=f(X i)+f (X2)+1,, 那么以下讲法一定正确的选项是()(A) f (X)为奇函数〔B〕f(X)为偶函数(C) f (X)+1为奇函数〔D〕f(X)+1为偶函数310. 假设数列a n是首项为I，公比为a 3的无穷等比数列，且a n各项的和为a,那么a的值是〔〕1 5A. 1B. 2C. -D.-2 4二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.把答案填在题中横线上.〔11〕〔1-2x〕2(1-x)4展开式中X2的系数为_______________ .〔12〕直线l2-x-y+4=0与圆C:〔x-1〕2+(y-1)2=2,那么C上各点到I距离的最小值为(13) 0O的方程是x2+y2-2=0, O O'的方程是x2+y2-8x+10=0,由动点P向O O和O O'所引的切线长相等，那么动点P的轨迹方程是______________________ .(14) 下面有五个命题：①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是.k②终边在y轴上的角的集合是｛a|a= —,k Z |.2③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点.④把函数y 3sin(2x )的图象向右平移—得到y 3sin2x的图象.3 6⑤函数y sin(x 3)在〔0,丨上是减函数.其中真命题的序号是_______________ 〔写出所有情形〕三、解答题：本大题共6小题，共80分，解承诺写出文字讲明，证明过程或演算步骤〔15〕〔本小题总分值12分〕cos 1,cos((i)求tan2的值.〔n〕求16. 〔本小题总分值12分〕袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个〔n=1,2,3,4〕.现从袋中任取一球.E表示所取球的标号.〔I〕求E的分布列，期望和方差；〔n〕假设n =a E -b,E n =1,D n =11,试求a,b 的值.17. 〔本小题共14分〕菱形ABCD的顶点A, C在椭圆x2 3y2 4上，对角线BD所在直线的斜率为1.〔I〕当直线BD过点(0,1)时，求直线AC的方程;〔n〕当ABC 60：时，求菱形ABCD面积的最大值.3 218.〔14 分〕函数f (x) x ax x 1, a R .〔I〕讨论函数f(x)的单调区间；2 1〔n〕设函数f(x)在区间-1 1内是减函数，求a的取值范畴.3 319. 〔本小题总分值14分〕数列｛a n｝的前N 项和为S n,a1 1,S n 1 2S n 3n 1(n N*).〔I丨证明：数列｛a n 3｝是等比数列；*、口S n a n3n,n 2k 1, 2〔II〕对k N ,设f(n) 求使不等式f(m) f(2m )成立log 2 (a n 3),n 2k,的自然数m的最小值.20. 〔本小题总分值14分〕设f (x)是定义在1, 1上的奇函数，且当 1 x 0时，f(x) 2x3 5ax224a x b .(I )求函数f (x)的解析式；(n )当1 a 3时，求函数f (x)在0,1上的最大值g(a)；(川)假如对满足1 a 3的一切实数a ,函数f (x)在0,1上恒有f(x) 0 ,求实数b 的取值范畴.选择BBDCD AADCB填空，11〕-6. 12 〕 2 。
2020年全国各地高中数学真题分类汇编—数列(含答案)
2020年全国各地⾼考真题分类汇编—数列1．（2020•浙江）已知等差数列{a n}的前n项和S n，公差d≠0，且≤1．记b1＝S2，b n+1＝S2n+2﹣S2n，n∈N*，下列等式不可能成⽴的是（）A．2a4＝a2+a6B．2b4＝b2+b6C．a42＝a2a8D．b42＝b2b82．（2020•北京）在等差数列{a n}中，a1＝﹣9，a5＝﹣1．记T n＝a1a2…a n（n＝1，2，…），则数列{T n}（）A．有最⼤项，有最⼩项B．有最⼤项，⽆最⼩项C．⽆最⼤项，有最⼩项D．⽆最⼤项，⽆最⼩项3．（2020•新课标Ⅰ）设{a n}是等⽐数列，且a1+a2+a3＝1，a2+a3+a4＝2，则a6+a7+a8＝（）A．12B．24C．30D．324．（2020•新课标Ⅱ）如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12．设1≤i＜j＜k≤12．若k﹣j＝3且j﹣i＝4，则a i，a j，a k为原位⼤三和弦；若k﹣j＝4且j﹣i＝3，则称a i，a j，a k 为原位⼩三和弦．⽤这12个键可以构成的原位⼤三和弦与原位⼩三和弦的个数之和为（）A．5B．8C．10D．155．（2020•新课标Ⅱ）0﹣1周期序列在通信技术中有着重要应⽤．若序列a1a2…a n…满⾜a i∈{0，1}（i＝1，2，…），且存在正整数m，使得a i+m＝a i（i＝1，2，…）成⽴，则称其为0﹣1周期序列，并称满⾜a i+m＝a i（i＝1，2…）的最⼩正整数m为这个序列的周期．对于周期为m的0﹣1序列a1a2…a n…，C（k）＝a i a i+k（k＝1，2，…，m﹣1）是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0﹣1序列中，满⾜C（k）≤（k＝1，2，3，4）的序列是（）A．11010…B．11011…C．10001…D．11001…6．（2020•新课标Ⅱ）记S n为等⽐数列{a n}的前n项和．若a5﹣a3＝12，a6﹣a4＝24，则＝（）A．2n﹣1B．2﹣21﹣n C．2﹣2n﹣1D．21﹣n﹣17．（2020•新课标Ⅱ）数列{a n}中，a1＝2，a m+n＝a m a n．若a k+1+a k+2+…+a k+10＝215﹣25，则k＝（）A．2B．3C．4D．58．（2020•新课标Ⅱ）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中⼼有⼀块圆形⽯板（称为天⼼⽯），环绕天⼼⽯砌9块扇⾯形⽯板构成第⼀环，向外每环依次增加9块．下⼀层的第⼀环⽐上⼀层的最后⼀环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层⽐中层多729块，则三层共有扇⾯形⽯板（不含天⼼⽯）（）A．3699块B．3474块C．3402块D．3339块9．（2020•上海）已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，且a1+a10＝a9，则＝．10．（2020•新课标Ⅱ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a1＝﹣2，a2+a6＝2，则S10＝．11．（2020•浙江）已知数列{a n}满⾜a n＝，则S3＝．12．（2020•海南）将数列{2n﹣1}与{3n﹣2}的公共项从⼩到⼤排列得到数列{a n}，则{a n}的前n项和为．13．（2020•江苏）设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公⽐为q的等⽐数列．已知数列{a n+b n}的前n项和S n＝n2﹣n+2n﹣1（n∈N*），则d+q的值是．14．（2020•新课标Ⅰ）数列{a n}满⾜a n+2+（﹣1）n a n＝3n﹣1，前16项和为540，则a1＝．15．（2020•天津）已知{a n}为等差数列，{b n}为等⽐数列，a1＝b1＝1，a5＝5（a4﹣a3），b5＝4（b4﹣b3）．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）记{a n}的前n项和为S n，求证：S n S n+2＜S n+12（n∈N*）；（Ⅲ）对任意的正整数n，设c n＝求数列{c n}的前2n项和．16．（2020•海南）已知公⽐⼤于1的等⽐数列{a n}满⾜a2+a4＝20，a3＝8．（1）求{a n}的通项公式；（2）求a1a2﹣a2a3+…+（﹣1）n﹣1a n a n+1．17．（2020•江苏）已知数列{a n}（n∈N*）的⾸项a1＝1，前n项和为S n．设λ和k为常数，若对⼀切正整数n，均有S n+1﹣S n＝λa n+1成⽴，则称此数列为“λ﹣k”数列．（1）若等差数列{a n}是“λ﹣1”数列，求λ的值；（2）若数列{a n}是“﹣2”数列，且a n＞0，求数列{a n}的通项公式；（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{a n}为“λ﹣3”数列，且a n≥0？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由．18．（2020•新课标Ⅰ）设{a n}是公⽐不为1的等⽐数列，a1为a2，a3的等差中项．（1）求{a n}的公⽐；（2）若a1＝1，求数列{na n}的前n项和．19．（2020•⼭东）已知公⽐⼤于1的等⽐数列{a n}满⾜a2+a4＝20，a3＝8．（1）求{a n}的通项公式；（2）记b m为{a n}在区间（0，m]（m∈N*）中的项的个数，求数列{b m}的前100项和S100．20．（2020•新课标Ⅲ）设等⽐数列{a n}满⾜a1+a2＝4，a3﹣a1＝8．（1）求{a n}的通项公式；（2）记S n为数列{log3a n}的前n项和．若S m+S m+1═S m+3，求m．。
2020高考数学(理)全真模拟卷6(附解析)
备战2020高考全真模拟卷6数学（理）（本试卷满分150分，考试用时120分钟）第Ⅰ卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}1,2A =，{}1,1,1B a =-+且A B ⊆，则a =（ ）A ．1B ．0C ．1-D ．2【答案】A【解析】【分析】由题知：12a +=，解得：1a =.【详解】因为A B ⊆，所以，解得：1a =.故选：A【点睛】本题考查集合的子集关系，理解子集的概念是关键，属于简单题.2．命题“存在x 0∈R ，使得x 02﹣2x 0+1＜0”的否定为（ ）A ．任意x ∈R ，都有x 2﹣2x +1＞0B ．任意x ∈R ,都有x 2﹣2x +1≥0C ．任意x ∈R ，都有x 2﹣2x +1≤0D ．不存在x ∈R ,使得x 2﹣2x +1≥0【答案】B【解析】【分析】直接根据特称命题的否定判断即可.【详解】“存在x 0∈R ,使得x 02﹣2x 0+1＜0”的否定为“任意x ∈R ,都有x 2﹣2x +1≥0.”故选：B【点睛】本题主要考查了特称命题的否定,属于基础题型.3．i 为虚数单位，复数(1)(3)i i -+=（ ）A ．3i -B ．42i -C ．2D ．42i +【答案】B【解析】【分析】根据复数的乘法运算,展开化简即可求解.【详解】由复数的乘法运算可得(1)(3)i i -+2=33i i i +--=42i -故选:B【点睛】本题考查了复数的乘法与加法运算,属于基础题.4．高三年级有8个班级，分派4位数学老师任教，每个教师教两个班，则不同的分派方法有（） A ．22228642P P P P B ．22822642C C C C C ．22224s s 424C C C C P D ．222286424!C C C C【答案】B【解析】【分析】根据题意，依次分析4位老师的任教分配的方法数目，由分步计数原理计算可得答案.【详解】根据题意，对于4位老师按先后分4步进行讨论:第一位老师，从8个班级中任选2个，安排其任教,有28C 种分派方法；第二位老师，从剩下的6个班级中任选2个，安排其任教，有26C 种分派方法；第三位老师，从剩下的4个班级中任选2个，安排其任教，有24C 种分派方法；第四位老师，还剩2个班级,安排其任教，有22C 种分派方法；故不同的分派方法有22822642C C C C 种；故选: B.【点睛】本题主要考查的是分步计数原理的应用，考查学生的分析问题解决问题能力，是基础题.5．已知,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，且l αP ，m β⊥，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．若αβ∥，则l β∥B ．若αβ⊥，则l m ⊥C ．若l m ⊥，则l β∥D ．若αβ∥，则m α⊥ 【答案】D【解析】【分析】利用线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理对选项分别分析选择.【详解】选项A,C 直线l 可能在β平面内，故不正确；选项B, 若αβ⊥，m β⊥，则，m αP 或m 在平面α内，而l αP ，故l 与m 可能平行，相交或异面，故不正确；对于选项D ：由 m β⊥， αβ∥，结合面面平行的性质和线面垂直的判定定理，可得出直线m α⊥，故为正确.故选：D【点睛】本题考查了线面平行、面面平行、线面垂直的性质定理和判定定理，注意定理成立的条件，属于基础题. 6．若正数,a b 满足：121a b +=，则2112a b +--的最小值为（ ） A ．2B ．322C ．52D ．3214+ 【答案】A【解析】【分析】 把121a b+=化为()()122a b --=，利用基本不等式可求最小值. 【详解】 因为121a b +=，,a b 为正数，所以1201,01a b<<<<，从而1,2a b >>. 又121a b +=可化为()()122a b --=，故2121221212a b a b +≥⨯=----，当且仅当3,3a b ==时等号成立， 所以2112a b +--的最小值为2. 故选：A.【点睛】本题考查基本不等式的应用，应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.7．已知数列{}n a 是等差数列，且1472a a a π++=，则35t (an )a a +的值为（ ）.A ．3B ．3-C ．33D ．33- 【答案】A【解析】试题分析：1472a a a π++=，所以443543524432,,2,tan()tan 3333a a a a a a a ππππ==+==+== 考点：1、等差数列；2、三角函数求值.8．执行如图所示的程序框图，输出的S (= )A ．25B ．9C ．17D ．20【答案】C【解析】【分析】直接利用循环结构，计算循环各个变量的值，当41620T S =+=>，不满足判断框的条件，退出循环输出结果即可．【详解】按照程序框图依次执行为1S =，0n =，0T =；S 9=，2n =，044T =+=；17S =，4n =，41620T S =+=>，退出循环，输出17S =．故应选C ．【点睛】解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.9．斜率为33的直线l 过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F ，若l 与圆22:(2)4M x y -+=相切，则p =（ ）A ．12B ．8C ．10D ．6 【答案】A【解析】【分析】 由直线的斜率为33可得倾斜角为30°，数形结合分析可得. 【详解】 解：因为直线的斜率为33，所以倾斜角为30°，即30MFA ∠=︒ 结合题意作图，由图可得||2||4MF AM ==，2242p r ∴-==，解得12p =.故选：A .【点睛】本题考查直线与圆的综合应用，以及抛物线的标准方程，属于基础题.10．已知函数22()1log log (4)=+--f x x x ，则（ ）A ．()y f x =的图像关于直线2x =对称B ．()y f x =的图像关于点(2,1)对称C ．()f x 在(0,4)单调递减D ．()f x 在(0,4)上不单调【答案】B【解析】【分析】观察函数的特点，求出定义域，在定义域内根据选项代入特殊值判断函数的对称性和单调区间，再进一步证明.【详解】 解：040x x >⎧⎨->⎩，得函数定义域为(0,4)， 222(1)1log log (41)1l 13og f =+--=-，222(3)1log log (43)1l 33og f =+--=+，所以(1)(3)f f ≠，排除A ；(1)(3)f f <，排除C ；2log x 在定义域内单调递增，2log (4)x -在定义域内单调递减，故22()1log log (4)=+--f x x x 在定义域内单调递增，故排除D ；现在证明B 的正确性：2222()(4)1log log (4)1log (4)log 2f x f x x x x x +-=+--++--=，所以()y f x =的图像关于点(2,1)对称，故选：B.【点睛】本题考查函数的基本性质，定义域、单调性、对称性，是中档题.11．函数2()1sin 1e x f x x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭图象的大致形状是 A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题可得()21e 1sin sin 1e 1e x x x f x x x -⎛⎫=-=⋅ ⎪++⎝⎭， 则()()()()1e e 11e sin sin sin 1e e 11e x x xx x xf x x x x f x ------=⋅-=⋅-=⋅=+++， 则()f x 是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除B ，D ；当1x =时，()1e 1sin101ef -=⋅<+，排除A ， 本题正确选项为C.【名师点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数奇偶性和对称性的性质以及函数值的对应性，利用排除法是解决本题的关键．解答本题时，根据条件先判断函数的奇偶性和对称性，利用()1f 的值的符号进行排除即可．12．已知直线y kx =与双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>相交于不同的两点A ，B ，F 为双曲线C 的左焦点，且满足3AF BF =，OA b =（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．5【答案】B【解析】【分析】如图所示：1F 为双曲线右焦点，连接1AF ，计算得到13,AF a AF a ==，再利用余弦定理得到2221022a c b =+，化简得到答案.【详解】如图所示：1F 为双曲线右焦点，连接1AF ，根据对称性知1BF AF =133AF BF AF ==，12AF AF a -=，13,AF a AF a ==在AOF ∆和1AOF ∆中，分别利用余弦定理得到：22292cos a c b bc AOF =+-∠，22212cos a c b bc AOF =+-∠ 两式相加得到22222102233a c b c a e =+∴=∴=故选：B【点睛】 本题考查了双曲线的离心率，根据条件计算出13,AF a AF a ==是解题的关键.第Ⅱ卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2020全国各地市高考数学模拟试题分类解析汇编6 数列
全国各地市2020年模拟试题分类解析汇编：数列【山东省日照市2020届高三12月月考文】（12）若数列{}()为常数满足d N n d a a a nn n ,111*+∈=-，则称数列{}n a 为“调和数列”.已知正项数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1为“调和数列”，且90921=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++b b b ，则64b b ⋅的最大值是 A.10B.100C.200D.400【答案】B【解析】由已知得{}n b 为等差数列，且，＞b b b n 0,2064又=+所以.100226464=⎪⎭⎫⎝⎛+≤⋅b b b b【2020三明市普通高中高三上学期联考文】设等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 2a 、4a 是方程220x x --=的两个根，5S = A.52 B.5 C.52- D.-5 【答案】A【解析】2a 、4a 是方程220x x --=的两个根，2a ＋4a ＝1，5S =15()5522a a +⨯=【2020黄冈市高三上学期期末考试文】已知等比数列{}n a 的公比q=2，其前4项和460S =，则2a 等于 （ ）A ．8B ．6C ．-8D ．-6【答案】A【解析】本题主要考查等比数列及其前n 项的和公式. 属于基础知识、基本运算的考查.4141(1)60,260151a q S q a q-==⇒=⇒=-【山东实验中学2020届高三一次诊断文】14. __________________ 已知数列为等比数列，且.,则=________.【答案】16 【解析】解：59259757974,64,{}==256=16n a a a a a a a a a a ==∴Q Q g Q 是等比数列，又，，符号相同，所以 【山东实验中学2020届高三一次诊断文】3. 设为等差数列的前《项和，已知，那么A:2B. 8C. 18D. 36【答案】C 【解析】解：因为1311115199563126,42()9992182设等差数列的公差为，则由可得++d a a a a d a d a a a S a ++==∴==+⨯===⨯=Q因此答案为C【山东实验中学2020届高三第一次诊断性考试理】4. 已知{a n }为等差数列，其公差为-2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{an}的前n 项和，n ∈N*，则S 10的值为（ ） (A). -110 (B). -90(C). 90 (D). 110【答案】D【解析】解：a 7是a 3与a 9的等比中项，公差为-2，所以a 72=a 3•a 9，所以a 72=（a 7+8）（a 7-4），所以a 7=8，所以a 1=20，所以S 10= 10×20+10×9/2×(-2)=110。
2020年高考全真模拟卷理科数学06(含解析)
2020年高考全真模拟卷（6）数学（理）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数z =21i+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合{}230,{|17},M x x x N x x =->=≤≤，则()R C M N =I （ ）A ．{}37x x <≤B ．{}37x x ≤≤C ．{}13x x ≤≤D ．{}13x x ≤<3．下列叙述中正确的是（ ）A ．函数222()2f x x x =++的最小值是2 B ．“04m <„”是“210mx mx ++…”的充要条件C ．若命题2:,10p x R x x ∀∈-+≠，则2000:,10p x R x x ⌝∃∈-+=D ．“已知,x y R ∈，若1xy <，则,x y 都不大于1”的逆否命题是真命题4．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为且两条渐近线互相垂直，则该双曲线的实轴长为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．85．函数3x xe e y x x--=-的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．6．一个几何体的三视图如右图所示，且其左视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（ ）A B C D ．(4π+7．设a =20．1，b =ln 12，c =log 32，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．b >c >a8．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．213log 32+B ．2log 3C ．2D ．39．设函数()3sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ） A ．()y f x =在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，其图象关于直线4x π=对称B ．()y f x =在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，其图象关于直线2x π=对称C ．()y f x =在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，其图象关于直线4x π=对称D ．()y f x =在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，其图象关于直线2x π=对称10．6(1)(1)ax x -+的展开式中，3x 项的系数为-10，则实数a 的值为（ ）A ．23B ．2C ．2-D ．23-11．已知球O 的半径为R ，,,A B C 三点在球O 的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为12R ，2AB AC ==，120BAC ︒∠=，则球O 的表面积为（ ）A ．169π B ．163π C ．649π D ．643π 12．若存在0a >，使得函数2()6ln f x a x =与2()4g x x ax b =--的图象在这两个函数图象的公共点处的切线相同，则b 的最大值为（ ） A ．213e -B ．216e -C ．216e D ．213e 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若,x y 满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为 ．14．已知向量()()1,,2,4a k b =-=-v v ，若()3//a b a +v v v，则实数k = ．15．已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线交抛物线C 于P ，Q 两点，交l 于点A ，若3PF FQ =u u u r u u u r ，则AQQF= ． 16．在ABC ∆中，AB AC =，D 为AC 边上的点，且AC 3AD =，4BD =，则ABC ∆面积的最大值为 ．三、解答题：（本大题共6小题，共计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 为等差数列，7210a a -=，且1621a a a ，，依次成等比数列． （I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，若225n S =，求n 的值．18．（本小题满分12分）某职业学校有2000名学生，校服务部为了解学生在校的月消费情况，随机调查了100名学生，并将统计结果绘成直方图如图所示．（I）试估计该校学生在校月消费的平均数；（II）根据校服务部以往的经验，每个学生在校的月消费金额x（元）和服务部可获得利润y（元），满足关系式：10,200400,30,400800,50,8001200,xy xx≤<⎧⎪=≤<⎨⎪≤≤⎩根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，回答下列问题：（i）将校服务部从一个学生的月消费中，可获得的利润记为ξ，求ξ的分布列及数学期望．（ii）若校服务部计划每月预留月利润的14，用于资助在校月消费低于400元的学生，估计受资助的学生每人每月可获得多少元？19．（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，//AF DE ，AF AD ⊥，且平面BED ⊥平面ABCD ．（I ）求证：AF CD ⊥；（II ）若60BAD ∠=o ，12AF AD ED ==，求二面角A FB E --的余弦值．20．（本小题满分12分）设直线l 与抛物线22x y =交于A ，B 两点，与椭圆22143x y +=交于C ，D 两点，直线OA ，OB ，OC ，OD （O 为坐标原点）的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k ，若OA OB ⊥．（I ）是否存在实数t ，满足1234()k k t k k +=+，并说明理由； （II ）求OCD ∆面积的最大值．21．（本小题满分12分） 设函数()ln 1af x x x =+-，()0a > （I ）当130a =时，求函数()f x 的单调递增区间； （II ）若()f x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭内有极值点，当()10,1x ∈，()21,x ∈+∞，求证：()()21423f x f x e ->-．()2.71828e =⋯请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos (22sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （I ）求曲线C 的极坐标方程；（II ）设,A B 为曲线C 上不同两点（均不与O 重合），且满足4AOB π∠=，求OAB ∆的最大面积．23．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分） 设函数()|2||2|f x x x =+-- （I ）解不等式()2f x ≥；（II ）当x ∈R ，01y <<时，证明：11|2||2|1x x y y+--≤+-．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数z =21i+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】由题意得22(1)2(1)11(1)(1)2i i z i i i i --====-++-，∴复数21iz =+在复平面内对应的点的坐标为(1,1)-，位于第四象限，故选D ．2．已知集合{}230,{|17},M x x x N x x =->=≤≤，则()R C M N =I （ ）A ．{}37x x <≤ B ．{}37x x ≤≤C ．{}13x x ≤≤D ．{}13x x ≤<【答案】C【解析】由{}{2303M x x x x x =->=>或}0x <，∴{}03R C M x x =≤≤，又{|17}N x x =≤≤，(){}13R C M N x x ∴⋂=≤≤，故选C ．3．下列叙述中正确的是（ ）A ．函数222()2f x x x =++的最小值是2 B ．“04m <„”是“210mx mx ++…”的充要条件C ．若命题2:,10p x R x x ∀∈-+≠，则2000:,10p x R x x ⌝∃∈-+=D ．“已知,x y R ∈，若1xy <，则,x y 都不大于1”的逆否命题是真命题 【答案】C【解析】对于A ：()2222222222f x x x x x =+=++-++2≥中，22222x x +=+的等号不成立，A 错；当0m =时210mx mx ++≥也成立，B 错；当13x =，2y =时1xy <也成立，又原命题与逆否命题真假性一致，∴D 错，故选C ．4．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为且两条渐近线互相垂直，则该双曲线的实轴长为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B【解析】∵双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线为b y x a=±，∵两条渐近线互相垂直，∴21b a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得a b =，∵双曲线焦距为，∴c =222c a b =+可知228a =，∴2a =，∴实轴长为24a =，故选B ．5．函数3x xe e y x x--=-的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】令()3x xe ef x x x--=-，则()()f x f x -=，故函数为偶函数，图像关于y 轴对称，排除C 选项．由30x x -≠，解得0x ≠且1x ≠±．()0.50.510.500.1250.5e e f -=<-，排除D 选项．()10101101100010e ef -=>-，故可排除B 选项．故选A ．6．一个几何体的三视图如右图所示，且其左视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（ ）ABCD．(4π+【答案】B【解析】该几何体是圆锥的一半与一四棱锥的组合体．圆锥底半径为1，四棱锥的底面是边长为2的正方形，高均为B ． 7．设a =20．1，b =ln 12，c =log 32，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．b >c >a【答案】B【解析】由题意得a =20．1>1，b =ln 12<0，c =log 32∈(0，1)，∴a >c >b ，故选B ． 8．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．213log 32+ B ．2log 3C ．2D ．3【答案】C【解析】模拟程序的运行，可得s ＝3，i=1；满足条件i 3≤，执行循环体s ＝3+log i=2；满足条件i 3≤，执行循环体s ＝3+log +log ，i=3；满足条件i 3≤，执行循环体，s ＝3+log +4log log +=，i=4；不满足条件i 3≤，退出循环，输出s 的值为s ＝242log =；故选C ． 9．设函数()3sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ） A ．()y f x =在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，其图象关于直线4x π=对称B ．()y f x =在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，其图象关于直线2x π=对称C ．()y f x =在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，其图象关于直线4x π=对称D ．()y f x =在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，其图象关于直线2x π=对称【答案】B【解析】∵()3sin 2cos 2244f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由222,πππ-+≤≤∈k x k k Z 得,2πππ-+≤≤∈k x k k Z ，由222,k x k k Z πππ≤≤+∈得,2πππ≤≤+∈k x k k Z ，即()y f x =的单调递增区间为,,2πππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z ；单调递减区间为,,2πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z ；∴()y f x =在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增；由2,π=∈x k k Z 得,2k x k Z π=∈；即函数()y f x =的对称轴为：,2k x k Z π=∈；因此其图象关于直线2x π=对称，故选B ．10．6(1)(1)ax x -+的展开式中，3x 项的系数为-10，则实数a 的值为（ ） A ．23B ．2C ．2-D ．23-【答案】B【解析】6(1)x +展开式的通项公式为16r r r T C x +=，分别令2,3x x ==，可求得2x 的系数为2615C =，3x 的系数为3620C =，故6(1)(1)ax x -+的展开式中，3x 项的系数为1201510a ⨯-=-，解得2a =，故选B ．11．已知球O 的半径为R ，,,A B C 三点在球O 的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为12R ，2AB AC ==，120BAC ︒∠=，则球O 的表面积为（ ）A ．169π B ．163π C ．649π D ．643π 【答案】D【解析】在ABC V 中，2120AB AC BAC ==∠=︒Q ，，BC ∴==正弦定理可得平面ABC 截球所得圆的半径（即ABC V 的外接圆半径），2r ==，又∵球心到平面ABC 的距离12d R =， ∴球的O半径2163R R =∴=，故球O 的表面积26443S R ππ==， 故选D ． 12．若存在0a >，使得函数2()6ln f x a x =与2()4g x x ax b =--的图象在这两个函数图象的公共点处的切线相同，则b 的最大值为（ ） A ．213e-B ．216e-C ．216eD ．213e【答案】D【解析】设曲线()y f x =与()y g x =的公共点为()00,x y ，∵26(),a f x x'=()24g x x a '=-，∴200624a x a x -=，则220230x ax a --=，解得0x a =-或3a ， 又00x >，且0a >，则03x a =．∵()()00f x g x =，∴2200046ln x ax b a x --=，2236ln 3b a a a =--(0)a >．设()h a b =，∴()12(1ln3)h a a a '=-+，令()0h a '=，得13ea =． ∴当103e a <<时，()0'>h a ；当13e a >时，()0h a '<，∴b 的最大值为2113e 3eh ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故选D ． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若,x y 满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为 ．【答案】4【解析】当直线z ＝2x ＋y 经过直线2x －y ＝0与直线x ＋y ＝3的交点(1，2)时，z 取最大值2×1＋2＝4．14．已知向量()()1,,2,4a k b =-=-v v ，若()3//a b a +v v v，则实数k = ．【答案】2．【解析】由题意，得()()()331,2,45,34a b k k +=-+-=--r r，∵()3//a b a +r r r ，∴()()13450k k ⨯----=，解得2k =，故答案为：2．15．已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线交抛物线C 于P ，Q 两点，交l 于点A ，若3PF FQ =u u u r u u u r ，则AQQF= ．【答案】2【解析】过P ，Q 分别作PM ，QN 垂直准线l 于,M N ，如图，3PF FQ =u u u r u u u rQ ，1||||4QF PQ ∴=，由抛物线定义知，||||,||||PM PF QF QN ==，||3||PM QN ∴=，//PM QN Q ，||||1||||3AQ QN AP PM ∴==， 11||||4||2||22AQ QP QF QF ∴==⨯=，2AQ QF ∴=，故答案为：2．16．在ABC ∆中，AB AC =，D 为AC 边上的点，且AC 3AD =，4BD =，则ABC ∆面积的最大值为 ． 【答案】9【解析】∵AC 3AD =，∴3ABC ABD S S ∆∆=，设AD x =，则3AB x =，由343x x x x +>>-得12x <<，222291658cos 233x x x A x x x +--==⋅⋅，sin A ==11sin 322ABDS AB AD A x ∆=⋅=⋅⋅==，∵12x <<，∴252x =时，ABD S ∆取得最大值3=，∴ABC S ∆最大值为9，故答案为：9． 三、解答题：（本大题共6小题，共计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 为等差数列，7210a a -=，且1621a a a ，，依次成等比数列． （I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，若225n S =，求n 的值． 【解析】（I ）设数列{a n }为公差为d 的等差数列，a 7﹣a 2＝10，即5d ＝10，即d ＝2， a 1，a 6，a 21依次成等比数列，可得a 62＝a 1a 21，即（a 1+10）2＝a 1（a 1+40），解得a 1＝5， 则a n ＝5+2（n ﹣1）＝2n +3． （II ）b n ()()111123252n n a a n n +===++（112325n n -++）， 即有前n 项和为S n 12=（11111157792325n n -+-++-++L ）12=（11525n -+）()525n n =+， 由S n 225=，可得5n ＝4n +10，解得n ＝10． 18．（本小题满分12分）某职业学校有2000名学生，校服务部为了解学生在校的月消费情况，随机调查了100名学生，并将统计结果绘成直方图如图所示．（I ）试估计该校学生在校月消费的平均数；（II ）根据校服务部以往的经验，每个学生在校的月消费金额x （元）和服务部可获得利润y （元），满足关系式：10,200400,30,400800,50,8001200,x y x x ≤<⎧⎪=≤<⎨⎪≤≤⎩根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，回答下列问题：（i ）将校服务部从一个学生的月消费中，可获得的利润记为ξ，求ξ的分布列及数学期望． （ii ）若校服务部计划每月预留月利润的14，用于资助在校月消费低于400元的学生，估计受资助的学生每人每月可获得多少元？【解析】（I ）学生月消费的平均数113(300500700400010001000x =⨯+⨯+⨯ 119001100)20068020004000+⨯+⨯⨯=． （II ）（i ）月消费值落入区间[)200,400、[)400,800、[]800,1200的频率分别为0．05、0．80、0．15， 因此()100.05P ξ==，()300.80P ξ==，()500.15P ξ==， 即ξ的分布列为ξ的数学期望值()100.05300.80500.1532E ξ=⨯+⨯+⨯=．（ii ）服务部的月利润为32200064000⨯=（元），受资助学生人数为20000.05100⨯=， 每个受资助学生每月可获得1640001001604⨯÷=（元）． 19．（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，//AF DE ，AF AD ⊥，且平面BED ⊥平面ABCD ．（I ）求证：AF CD ⊥；（II ）若60BAD ∠=o ，12AF AD ED ==，求二面角A FB E --的余弦值． 【解析】（I ）证明：连接AC ，由四边形ABCD 为菱形可知AC BD ⊥，∵平面BED ⊥平面ABCD ，且交线为BD ，∴AC ⊥平面BED ，∴AC ED ⊥， 又//AF DE ，∴AF AC ⊥，∵,AF AD AC AD A ⊥⋂=，∴AF ⊥平面ABCD ，∵CD ⊂平面ABCD ，∴AF CD ⊥． （II ）解：设AC BD O ⋂=，过点O 作DE 的平行线OG ，由（I ）可知,,OA OB OG 两两互相垂直， 则可建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，设()1202AF AD ED a a ===>，则)())(),0,0,0,,0,,0,2,0,,4A B a F a E a a -，∴()()()),,0,0,0,2,0,2,4,,,2AB a AF a BE a a BF a a ===-=-u u u v u u u v u u u v u u u v，设平面ABF 的法向量为(),,m x y z v=，则·0·0m AB m AF ⎧=⎨=⎩u u u v v u u u v v ，即020y z ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，取y =则()m =v 为平面ABF 的一个法向量，同理可得()0,2,1n =v为平面FBE的一个法向量，则cos ,5m n ==， 又二面角A FB E --的平面角为钝角，则其余弦值为．20．（本小题满分12分）设直线l 与抛物线22x y =交于A ，B 两点，与椭圆22143x y +=交于C ，D 两点，直线OA ，OB ，OC ，OD （O 为坐标原点）的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k ，若OA OB ⊥．（I ）是否存在实数t ，满足1234()k k t k k +=+，并说明理由； （II ）求OCD ∆面积的最大值．【解析】设直线l 方程为y kx b =+，()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，联立y kx b =+和22x y =，得2220x kx b --=，则122x x k +=，122x x b =-，21480k b ∆=+>．由OA OB ⊥，∴12120x x y y +=，得2b =．联立2y kx =+和223412x y +=，得()22341640kxkx +++=，∴3421634k x x k +=-+，342434x x k =+．由22192480k ∆=->，得214k >． （I ）∵121212y y k k k x x +=+=，3434346y y k k k x x +=+=-，∴123416k k k k +=-+．（II）根据弦长公式34CD x =-，得：CD =．根据点O 到直线CD的距离公式，得d =，∴21234OCDS CD d k∆=⋅=+0t =>，则24OCD S t ∆=≤+，∴当2t =，即5k =±时，OCD S ∆21．（本小题满分12分） 设函数()ln 1af x x x =+-，()0a > （I ）当130a =时，求函数()f x 的单调递增区间； （II ）若()f x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭内有极值点，当()10,1x ∈，()21,x ∈+∞，求证：()()21423f x f x e ->-．()2.71828e =⋯【解析】（I ）函数()f x 的定义域为()()0,11,+∞U ，当130a =时，()()25665'1x x f x x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=-， 令()'0f x >，得：65x >或56x <，∴函数单调增区间为：50,6⎛⎫ ⎪⎝⎭，6,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． （II ）证明：()()()()222211'11x a x af x x x x x -++=-=--， 令()()()()2210g x x a x x m x n =-++=--=，∴2m n a +=+，1mn =，若()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内有极值点，不妨设10m e<<，则1n e m =>，且122a m n e e =+->+-， 由()'0f x >得：0x m <<或x n >；由()'0f x <得：1m x <<或1x n <<， ∴()f x 在()0,m 递增，(),1m 递减；()1,n 递减，(),n +∞递增，当()10,1x ∈时，()()1ln 1af x f m m m ≤=+-； 当()21,x ∈+∞时，()()2ln 1af x f n n ≥=+-，∴()()()()2111ln ln 2ln 1111a a f x f x f n f m n m n a n m n m ⎛⎫-≥-=+--=+- ⎪----⎝⎭12ln n n n =+-，n e >．设()12ln F n n n n =+-，n e >，则()222'10F n n n =++>，∴()F n 是增函数，∴()()12F n F e e e>=+-． 又()()23131411031032203333e e e e e e e e e e e ----+-⎛⎫+---=--+==> ⎪⎝⎭，∴()()21423f x f x e ->-．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos (22sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （I ）求曲线C 的极坐标方程；（II ）设,A B 为曲线C 上不同两点（均不与O 重合），且满足4AOB π∠=，求OAB ∆的最大面积．【解析】（I ）设曲线C 上任意点的极坐标为(,)ρθ，由题意，曲线C 的普通方程为22(2)4x y +-=，即2240x y y +-=，则24sin ρρθ=，故曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=．（II ）设1(,)A ρθ，则2(,)4B πρθ+，故3(0,)4πθ∈， ∵点,A B 在曲线C 上，则14sin ρθ=，24sin()4πρθ=+，1sin 2AOB S OA OB AOB ∆∴=∠ ()23sin 4sin sin cos 2sin 22cos 22220,444θθθθθθθθθ⎛⎫πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=-+=-+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故38πθ=时，OAB ∆取到最大面积为2． 23．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分） 设函数()|2||2|f x x x =+-- （I ）解不等式()2f x ≥；（II ）当x ∈R ，01y <<时，证明：11|2||2|1x x y y+--≤+-． 【解析】（I ）由已知可得：()4,22,224,2x f x x x x ≥⎧⎪=-<<⎨⎪-≤-⎩，当2x ≥时，42＞成立；当22x -<<时，22x ≥，即1x ≥，则12x ≤＜． ∴()2f x ≥的解集为{|1}x x ≥． （II ）由（I ）知，224x x +--≤，由于01y ＜＜，则()1111112224111y yy y y y y y y y⎛⎫-⎡⎤+=++-=++≥+= ⎪⎣⎦---⎝⎭，当且仅当1=1y y y y --，即12y =时取等号，则有11221x x y y +--≤+-．。
2020高考数学模拟试题(理)《数列》分类汇编(含答案)
2020高考数学模拟试题（理）《数列》分类汇编一．选择题（共28小题）1．（2020•涪城区校级模拟）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，设其前n 项和n S ，若*14()n n n a a n N +=∈，则5(S = ) A ．30B．C．D ．622．（2020•眉山模拟）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14121n n S a n +-=-，11a =，*n N ∈，则{}n a 的通项公式(n a = )A ．nB ．1n +C ．21n -D ．21n +3．（2020•龙岩一模）已知数列{}n a满足12n a +=，则12020a a +的最大值是()A．4-B．8C．4+D．8+4．（2020•涪城区校级模拟）已知数列{}n a 中，12a =，21a =，且满足11112(2)111n n n n a a a -++=+++，则(n a = ) A ．51nn -+ B ．22n -C ．3n -D ．62n + 5．（2020•涪城区校级模拟）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且43a =-，1224S =，若0(i j a a i +=，*j N ∈，且1)i j ，则i 的取值集合是( )A ．{1，2，3}B ．{1，2，3，4，5}C ．{6，7，8}D ．{6，7，8，9，10}6．（2020•眉山模拟）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4763a a a +=+，则9(S =) A ．27B ．272C ．9D ．37．（2020•眉山模拟）已知数列{}n a 为正项的递增等比数列，1612a a +=，2520a a =，则2020201920102009(a a a a -=- )A ．5B ．10C ．25D ．1058．（2020•道里区校级一模）已知等差数列{}n a 的公差为2020，若函数()cos f x x x =-，且122020()()()1010f a f a f a π++⋯+=，记n S 为{}n a 的前n 项和，则2020S 的值为( )A ．1010πB ．20212π C ．2020π D ．40412π9．（2020•咸阳二模）已知数列1a ，21a a ，32a a ，⋯，1n n a a -是首项为8，公比为12的等比数列，则3a 等于( ) A ．64B ．32C ．2D ．410．（2020•内蒙古模拟）已知等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项的和，424S =，999S =，则7(a = )A ．13B ．14C ．15D ．1611．（2020•咸阳二模）已知数列1a ，21a a -，32a a -，⋯，1n n a a --是首项为1，公差为2的等差数列，则3a 等于( ) A ．9B ．5C ．4D ．212．（2020•重庆模拟）已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，12a =，32216a a =+，则29log (a = ) A ．15B ．16C ．17D ．1813．（2020•金安区校级模拟）已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2a ，5a ，9a 成等比数列，则577(5S S = ) A ．57B ．79C ．1011D ．112314．（2020•临汾模拟）在进行123100+++⋯⋯+的求和运算时，德国大数学家高斯提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列24034n na m =+，则122016(m a a a +++⋯⋯+= )A ．5042m+ B ．5044m+ C ．504m + D ．2504m +15．（2020•道里区校级一模）已知数列{}n a 满足211112nn n n n n a a a a a a -+-++=++，n S 为其前n 项和，若11a =，23a =，则6(S = ) A ．128B ．126C ．124D ．12016．（2020•香坊区校级模拟）古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，⋯，我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的锥垛（如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球，)⋯．若一“落一形”三角锥垛有10层，则该堆垛总共球的个数为( )A ．55B ．220C ．285D ．38517．（2020•吉林二模）长久以来，人们一直认为黄金分割比例是最美的，人们都不约而同的使用黄金分割，如果一个矩形的宽与长的比例是黄金比例5151(0.61822--≈称为黄金分割比例），这样的矩形称为黄金矩形，黄金矩形有一个特点：如果在黄金矩形中不停分割出正方形，那么余下的部分也依然是黄金矩形，已知图中最小正方形的边长为1，则矩形ABCD 的长为( )（结果保留两位小数）A ．10.09B ．11.85C ．9.85D ．11.0918．（2020•吉林二模）在区间[3-，3]上随机取一个数x ，使得301xx --成立的概率为等差数列{}n a 的公差，且264a a +=-，若0n a >，则n 的最小值为( ) A ．8B ．9C ．10D ．1119．（2020•厦门模拟）定义{max a ，,},a a b b b a b⎧=⎨<⎩．若函数2(){2f x max x =-+，4}x -，数列{}n a 满足()(*)n l n a f a n N +=∈，若{}n a 是等差数列，则1a 的取值范围是( ) A ．{2-，1}B ．(-∞，3][2-，)+∞C ．(-∞，3]{2--⋃，1}D ．(-∞，3][2-，){2U +∞-，1}20．（2020•厦门模拟）已知数列{}n a 满足11a =，1211(2)n n a a a a n -=++⋯++，则7(a =) A ．31B ．32C ．63D ．6421．（2020•邵阳一模）在数列{}n a 中，若11a =，23a =，21(1)n n n a a a n ++=-，则该数列的前50项之和是( ) A ．18B ．8C ．9D ．422．（2020•湖北模拟）已知函数2()(1)x f x e x =+，令1()()f x f x '=，1()()n n f x f x '+=，若2()()x n n n n f x e a x b x c =++，记数列2{}2nn na cb -的前n 项和为n S ，则下列选项中与2019S 的值最接近的是( ) A ．32B ．53C ．74 D ．9523．（2020•临汾模拟）已知等比数列{}n a 中，5115a a -=，426a a -=，则公比(q = ) A ．12或2- B ．12-或2C ．12-或2-D ．12或2 24．（2020•金安区校级模拟）已知数列{}n a 满足13n n a a +=，11a =，012123164nn n n n n a C a C a C a C ++++⋯+=，则21(1)(2)n x x x--展开式中的常数项为( )A ．160-B ．80-C ．80D ．16025．（2020•武汉模拟）已知数列{}n a 满足11a =，211(1)4n n n n a a a a +++-=，且1(*)n n a a n N +>∈，则数列{}n a 的通项公式(n a = ) A ．2nB ．2nC ．2n +D ．32n -26．（2020•淮北一模）已知等差数列{}n a 满足225910a a +，则12345a a a a a ++++的最大值为( ) A．B ．20C ．25D ．10027．（2020•鼓楼区校级模拟）已知数列{}n a ，{}n b ，*n N ∈都是公差为1的等差数列，且113a b +=，1a ，*1b N ∈，设*()n n a c b n N =∈，则数列{}n c 的前7项和等于( )A ．17B ．26C ．35D ．4428．（2020•武昌区模拟）已知数列{}n a 的前n 项和23122n S n n =-，设11n n n b a a +=，n T 为数列{}n b 的前n 项和，若对任意的*n N ∈，不等式93n T n λ<+恒成立，则实数λ的取值范围为( ) A ．(,48)-∞B ．(,36)-∞C ．(,16)-∞D ．(16,)+∞二．解答题（共12小题）29．（2020•广州一模）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，112(*)2n n n S a n N --=∈． （1）求1n n a a ++；（2）令2n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列，并求其前n 项和n T ．30．（2020•桥东区校级模拟）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，0n a ≠，且11a =，2211()8n n n S a a λ+=+-． （1）求λ的值及{}n a 的通项公式； （2）设1n n n n n a Sb S S +=+，求{}n b 的前n 项和n T ． 31．（2020•龙岩一模）已知{}n a 是公差为1的等差数列，数列{}n b 满足11b =，212b =，11n n n n a b b nb +++=．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）设1n n n c b b +=，求数列{}n c 的前n 项和n S ．32．（2020•宜昌模拟）已知数列{}n a 为公差不为零的等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且1a 、2a 、5a 成等比数列，749S =．设数列{}n b 的前n 项和为n T ，且满足2log (2)n T +=． （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）令*()nn na c n Nb =∈，证明：123n c c c ++⋯+<．33．（2020•五华区校级模拟）已知{}n a 是公差不为零的等差数列，413a =，且1a ，2a ，7a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设1(1)n n n b a +=-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求2019T ．34．（2020•龙岩一模）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，若611a =，且2a ，5a ，14a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 35．（2020•咸阳二模）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3718a a +=，636S =． ()I 求数列{}n a 的通项公式及前n 项和为n S ； ()II 设n T 为数列1{}n S n+的前n 项的和，求证：1n T <． 36．（2020•七星区校级一模）已知数列{}n a 中，11a =，23a =，点(n a ，1)n a +在直线210x y -+=上，（Ⅰ）证明数列1{}n n a a +-为等比数列，并求其公比．（Ⅱ）设2log (1)n n b a =+，数列{}n b 的前n 项和为n S ，若(1)m m S a λ+，求实数λ的最小值． 37．（2020•番禺区模拟）设数列{}n a 是公差不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，11a =．若1a ，2a ，5a 成等比数列．（1）求n a 及n S ； （2）设*2112()1n a n n b n N a+=+∈-，求数列{}n b 前n 项和n T ．38．（2020•福清市一模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足22n n a S -=． （Ⅰ）求n a（Ⅱ）若数列{}n b 满足*14()nn n n a b n N S S +=∈，{}n b 的前n 项和n T ． 39．（2020•邵阳一模）已知正项数列{}n a 中，11a =，2211230n n n n a a a a ++--=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n n b a -是等差数列，且12b =，314b =，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 40．（2020•荔湾区校级模拟）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足341S a +=，231S a +=．（1）求{}n a 的通项公式n a ；（2）记12n n n n b S S +=，12n n T b b b =++⋯+，试比较n T 与1的大小．答案解析一．选择题（共28小题）1．（2020•涪城区校级模拟）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，设其前n 项和n S ，若*14()n n n a a n N +=∈，则5(S = ) A ．30B．C．D ．62【解答】解：等比数列{}n a 的各项均为正数，设其前n 项和n S ，*14()n n n a a n N +=∈，124a a ∴=，2316a a =，且0q >，解得2q =，1a =5S ∴==．故选：B ．2．（2020•眉山模拟）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14121n n S a n +-=-，11a =，*n N ∈，则{}n a 的通项公式(n a = )A ．nB ．1n +C ．21n -D ．21n +【解答】解：14121n n S a n +-=-， 1(21)41n n n a S +∴-=-①， 1(23)41(2)n n n a S n -∴-=-②，①-②得：1(21)(23)4(2)n n n n a n a a n +---=， 整理得：121(2)21n n a n n a n ++=-， 1232112321n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -----∴=⋯21232553123252731n n n n n n ---=⋯---21(2)n n =-，又11a =，符合上式，21n a n ∴=-．故选：C ．3．（2020•龙岩一模）已知数列{}n a满足12n a +=，则12020a a +的最大值是()A．4-B．8C．4+D．8+【解答】解：依题意12n a +=221(2)(2)4n n a a +-+-=， 令2(2)n n b a =-，则14n n b b ++=，214n n b b ++∴+=，于是2n n b b +=，211(2)b a ∴=-，2202022(2)b b a ==-，12020124b b b b ∴+=+=，即2212020(2)(2)4a a -+-=，法一：112020202022cos 4)42222sin 4a a a a θπθθ=+⎧⇒+=+++⎨=+⎩（当且仅当4πθ=时等号成立）；法二：2222x yx y ++ 11202012020((2)(2)4244a a a a a -∴+=--+⨯=+（当且仅当120202a a ==+法三：2212020(2)(2)4a a -+-=，即1(a，2020)a 在22(2)(2)4x y -+-=上， 令z x y =+，即0x y z +-=，2d ∴=，|4|22z ∴-，42422z ∴-+ 4max z ∴=+．故选：C ．4．（2020•涪城区校级模拟）已知数列{}n a 中，12a =，21a =，且满足11112(2)111n n n n a a a -++=+++，则(n a = ) A ．51nn -+ B ．22n - C ．3n -D ．62n + 【解答】解：11112(2)111n n n n a a a -++=+++， ∴数列1{}1n a +是等差数列，其首项为11213=+，公差211111111236d a a =-=-=++， ∴1111(1)1366n n n a +=+-⨯=+， 611n a n ∴+=+， 51n na n -∴=+． 故选：A ．5．（2020•涪城区校级模拟）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且43a =-，1224S =，若0(i j a a i +=，*j N ∈，且1)i j ，则i 的取值集合是( )A ．{1，2，3}B ．{1，2，3，4，5}C ．{6，7，8}D ．{6，7，8，9，10}【解答】解：等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，设公差为d ，且43a =-，1224S =， 即133a d +=-，1121112242a d ⨯+⨯=， 求得19a =-，2d =，9(1)211n a n d n ∴=-+-=-．若0(i j a a i +=，*j N ∈，且1)i j ，则2112110i j a a i j +=-+-=，即11i j +=， 1i ∴=，10j =； 或2i =，9j =； 或3i =，8j =；或4i =，7j =；或5i =，6j =，则i 的取值集合是{1，2，3，4，5 }， 故选：B ．6．（2020•眉山模拟）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4763a a a +=+，则9(S =) A ．27B ．272C ．9D ．3【解答】解：由等差数列的性质可得，475663a a a a a +=+=+， 53a ∴=，则19959()9272a a S a +===． 故选：A ．7．（2020•眉山模拟）已知数列{}n a 为正项的递增等比数列，1612a a +=，2520a a =，则2020201920102009(a a a a -=- )A ．5B ．10C ．25D ．105【解答】解：数列{}n a 为正项的递增等比数列，1612a a +=，2520a a =，∴51125112200a a q a q q ⎧+=⎪=⎨⎪>⎩，解得12a =，q =， ∴20192018201810202020192009200820082010200922(1)2522(1)a a q q q q q a a q q q q ---====---． 故选：C ．8．（2020•道里区校级一模）已知等差数列{}n a 的公差为2020，若函数()cos f x x x =-，且122020()()()1010f a f a f a π++⋯+=，记n S 为{}n a 的前n 项和，则2020S 的值为( )A ．1010πB ．20212π C ．2020π D ．40412π 【解答】解：设{}n a 的公差为d ，由()cos f x x x =-，且122020()()()1010f a f a f a π++⋯+=， 可得122020122020()(cos cos cos )1010a a a a a a π++⋯+-++⋯+=， 即120201*********()(cos cos cos )1010a a a a a π+-++⋯+=，① 又对11010i π．i Z ∈，有20212(20212)2(20212)(20212)(20212)cos cos cos[]cos[]2222i i i i a i d a i d i d i da a -+-+---+=-++2021120202(20212)(20212)(20212)(20212)2coscos 2cos cos 2cos cos222222i i i a i d a a a a i d i d i d-+-++---===． 设120202a a m +=，则①即为1202022019101010112020[(cos cos )(cos cos )(cos cos )]1010m a a a a a a π-++++⋯++=，即2019201720202cos [coscos cos ]1010222d d dm m π-++⋯+=②， 设20192017()20202cos [coscos cos ]1010222d d dg x x x π=-++⋯+-，由2020d =， 可得20192017()20202sin [coscos cos ]202020200222d d dg x x '=+++⋯+>-=， 所以()g x 在R 上递增，且()02g π=， 又由②可得()0g m =，所以2m π=，即1202022a a π+=， 所以102020202020()10102a a S π+==．故选：A ．9．（2020•咸阳二模）已知数列1a ，21a a ，32a a ，⋯，1n n a a -是首项为8，公比为12的等比数列，则3a 等于( ) A ．64B ．32C ．2D ．4【解答】解：由 题意可得，1118()2n n n a a --=⨯，18a =， 所以214a a =即232a =，322a a =， 所以364a =． 故选：A ．10．（2020•内蒙古模拟）已知等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项的和，424S =，999S =，则7(a = )A ．13B ．14C ．15D ．16【解答】解：因为424S =，999S =， 11462493699a d a d +=⎧⎨+=⎩，解可得，13a =，2d = 则71615a a d =+=． 故选：C ．11．（2020•咸阳二模）已知数列1a ，21a a -，32a a -，⋯，1n n a a --是首项为1，公差为2的等差数列，则3a 等于( ) A ．9B ．5C ．4D ．2【解答】解：由题意可得，112(1)21n n a a n n --=+-=-，11a =， 故24a =，39a =， 故选：A ．12．（2020•重庆模拟）已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，12a =，32216a a =+，则29log (a = ) A ．15B ．16C ．17D ．18【解答】解：数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，12a =，32216a a =+，222216q q ∴=⨯+，且0q >， 解得4q =，8292log 2417a log ∴=⨯=． 故选：C ．13．（2020•金安区校级模拟）已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2a ，5a ，9a 成等比数列，则577(5S S = ) A ．57B ．79C ．1011D ．1123【解答】解：设{}n a 的公差为d ，且0d ≠，2a ，5a ，9a 成等比数列，可得2529a a a =， 即2111(4)()(8)a d a d a d +=++， 整理可得18a d =，故1553741775()7821025583117()2a a S a d d S a d d a a ⨯++====+⨯+． 故选：C ．14．（2020•临汾模拟）在进行123100+++⋯⋯+的求和运算时，德国大数学家高斯提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列24034n na m =+，则122016(m a a a +++⋯⋯+= )A ．5042m+ B ．5044m+ C ．504m + D ．2504m +【解答】解：依题意24034n na m =+，记122016m S a a a +=++⋯⋯+，则122015201624034240342403424034m m S m m m m ++=++⋯++++++， 又201620152124034240342403424034m m S m m m m ++=++⋯++++++， 两式相加可得201720172017201720162240342403424034240342m m m m m S m m m m +++++=++⋯++=++++， 则201650444m mS +==+． 故选：B ．15．（2020•道里区校级一模）已知数列{}n a 满足211112nn n n n n a a a a a a -+-++=++，n S 为其前n 项和，若11a =，23a =，则6(S = ) A ．128B ．126C ．124D ．120【解答】解：211112nn n n n n a a a a a a -+-++=++，11a =，23a =， 22213132a a a a a a ∴+=++，即39621a +=+，解得：37a =；同理，由23324242a a a a a a +=++，即4491443a +=+， 解得：415a =；同理解得：531a =；663a =， 6137153163120S ∴=+++++=，故选：D ．16．（2020•香坊区校级模拟）古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，⋯，我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的锥垛（如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球，)⋯．若一“落一形”三角锥垛有10层，则该堆垛总共球的个数为( )A ．55B ．220C ．285D ．385 【解答】解：数列{}n a 如1，3，6，10，15，⋯，可得通项公式(1)2n n n a +=． 2221212(1)(21)(1)22122n n n n n n n n S ++⋯+++⋯++++∴=+=+． 10n =时，可得：101011211011220122S ⨯⨯⨯=+=．故选：B ．17．（2020•吉林二模）长久以来，人们一直认为黄金分割比例是最美的，人们都不约而同的使用黄金分割，如果一个矩形的宽与长的比例是黄金比例5151(0.61822--≈称为黄金分割比例），这样的矩形称为黄金矩形，黄金矩形有一个特点：如果在黄金矩形中不停分割出正方形，那么余下的部分也依然是黄金矩形，已知图中最小正方形的边长为1，则矩形ABCD 的长为( )（结果保留两位小数）A ．10.09B ．11.85C ．9.85D ．11.09【解答】解：根据题意，如图：若图中最小正方形的边长为1，即1HP =，则矩形HPLJ 中，5151LP HJ +===- 则在矩形HJIF 中，251(51HF +==-，同理：351()2FC +=，451()2DC +=， 则551()11.092BC +=≈； 故选：D ．18．（2020•吉林二模）在区间[3-，3]上随机取一个数x ，使得301xx --成立的概率为等差数列{}n a 的公差，且264a a +=-，若0n a >，则n 的最小值为( ) A ．8B ．9C ．10D ．11【解答】解：由题意，本题符合几何概型，区间[3-，3]长度为6， 使得得301xx --成立的x 的范围为(1，3]的区间长度为2， 故使得301xx --成立的概率为2163=，即差数列{}n a 的公差13d =， 又26442a a a +=-=，42a ∴=-，1102(4)33n n a n -=-+-=， 令0n a >，则有10n >，故n 的最小值为11， 故选：D ．19．（2020•厦门模拟）定义{max a ，,},a a bb b a b⎧=⎨<⎩．若函数2(){2f x max x =-+，4}x -，数列{}n a 满足()(*)n l n a f a n N +=∈，若{}n a 是等差数列，则1a 的取值范围是( ) A ．{2-，1}B ．(-∞，3][2-，)+∞C ．(-∞，3]{2--⋃，1}D ．(-∞，3][2-，){2U +∞-，1}【解答】解：令224x x -+=-，解得2x =，3-．()24,322,32x x x f x x x --⎧∴=⎨-+-<<⎩或．{}n a 是等差数列，1()n n n n a a f a a +∴-=-=常数．①144n n n n a a a a +-=--=-为常数，14(1)n a a n =--．224n n a a -+-，解得3n a -或2n a 恒成立，则13a -．②若{}n a 为常数列，则212n n n a a a +==-，解得2n a =-或1．1a ∴的取值范围是(-∞，3]{2--⋃，1}，故选：C ．20．（2020•厦门模拟）已知数列{}n a 满足11a =，1211(2)n n a a a a n -=++⋯++，则7(a =) A ．31B ．32C ．63D ．64【解答】解：依题意，当2n 时，由121111n n n a a a a S --=++⋯++=+，①可得 11n n a S +=+，②②-①，可得11n n n n n a a S S a +--=-=， 整理，得12n n a a +=．∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列．11122n n n a --∴==，*n N ∈． 717264a -∴==． 故选：D ．21．（2020•邵阳一模）在数列{}n a 中，若11a =，23a =，21(1)n n n a a a n ++=-，则该数列的前50项之和是( ) A ．18B ．8C ．9D ．4【解答】解：在数列{}n a 中，若11a =，23a =，21(1)n n n a a a n ++=-， 3312a ∴=-=，4231a =-=-， 5123a =--=-，6312a =-+=-， 7231a =-+=， 8123a =+=，∴数列{}n a 是以6为周期的数列．50682=⨯+，∴该数列的前50项之和是：50123456128()S a a a a a a a a =⨯+++++++8(132132)134=++---++=．故选：D ．22．（2020•湖北模拟）已知函数2()(1)x f x e x =+，令1()()f x f x '=，1()()n n f x f x '+=，若2()()x n n n n f x e a x b x c =++，记数列2{}2nn na cb -的前n 项和为n S ，则下列选项中与2019S 的值最接近的是( ) A ．32B ．53C ．74 D ．95【解答】解：由22()(1)(21)x x f x e x e x x =+=++， 得21()()(43)x f x f x e x x ='=++，221()()(67)x f x f x e x x '==++， 232()()(813)x f x f x e x x '==++，⋯21()()[2(1)(1)(2)1]x n n f x f x e x n x n n '+==++++++． 又2()()x n n n n f x e a x b x c =++， 1n a ∴=，2n b n =，(1)1n c n n =++．∴222212221n n n a c b n n ==-++． 令22211111(2)21(1)1n n n n a d n c b n n n n n n==<<=--+--，则2019123111111313(1)()()2223122n S d d d d n n n =+++⋯+<+-+-+⋯+-=-<-． ∴与2019S 的值最接近的是32． 故选：A ．23．（2020•临汾模拟）已知等比数列{}n a 中，5115a a -=，426a a -=，则公比(q = ) A ．12或2- B ．12-或2C ．12-或2-D ．12或2 【解答】解：5115a a -=，426a a -=，则4131(1)15()6a q a q q ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩， 22520q q ∴-+=， 解可得，2q =或12q =． 故选：D ．24．（2020•金安区校级模拟）已知数列{}n a 满足13n n a a +=，11a =，012123164n n n n n n a C a C a C a C ++++⋯+=，则21(1)(2)n x x x--展开式中的常数项为( )A ．160-B ．80-C ．80D ．160【解答】解：因为13n n a a +=，所以数列{}n a 为等比数列，所以13n n a -=，所以0121231n n n n n n a C a C a C a C ++++⋯+0011223333n nn n n n C C C C =+++⋯+(13)464n n =+==，所以3n =， 所以61(1)(2)x x x--，其中61(2)x x-展开式的第1r +项为66621661(2)()(1)2r r r r rr r r T C x C x x---+=-=-，令621r -=-，得72r =（舍去），令3r =可得4160T =-，所以二项式2321(1)(44)x x x-+-，展开式中常数项为：1(160)160-⨯-=． 故选：D ．25．（2020•武汉模拟）已知数列{}n a 满足11a =，211(1)4n n n n a a a a +++-=，且1(*)n n a a n N +>∈，则数列{}n a 的通项公式(n a = ) A ．2nB ．2nC ．2n +D ．32n -【解答】解：11a =，211(1)4n n n n a a a a +++-=，且1(*)n n a a n N +>∈， 111n n n n a a a ++∴+-=，∴1=1，∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列，∴1(1)1n n =+-⨯=，2n a n ∴=． 故选：B ．26．（2020•淮北一模）已知等差数列{}n a 满足225910a a +，则12345a a a a a ++++的最大值为( )A ．B ．20C ．25D ．100【解答】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，由225910a a +， 得2233(2)(6)10a d a d +++， 即223320850d a d a ++-； 由△2233(8)420(5)0a a =-⨯⨯-， 化简得2325a ， 解得355a -，所以123453525a a a a a a ++++=， 即12345a a a a a ++++的最大值为25． 故选：C ．27．（2020•鼓楼区校级模拟）已知数列{}n a ，{}n b ，*n N ∈都是公差为1的等差数列，且113a b +=，1a ，*1b N ∈，设*()n n a c b n N =∈，则数列{}n c 的前7项和等于( )A ．17B ．26C ．35D ．44【解答】解：113a b +=，1a ，*1b N ∈， 可得11a =，12b =或12a =，11b =，数列{}n a ，{}n b ，*n N ∈都是公差为1的等差数列，可得11n a n n =+-=，211n b n n =+-=+；或1n a n =+，n b n =， 则1n n a n c b b n ===+，数列{}n c 的前7项和等于17(28)352⨯⨯+=，故选：C ．28．（2020•武昌区模拟）已知数列{}n a 的前n 项和23122n S n n =-，设11n n n b a a +=，n T 为数列{}n b 的前n 项和，若对任意的*n N ∈，不等式93n T n λ<+恒成立，则实数λ的取值范围为( ) A ．(,48)-∞B ．(,36)-∞C ．(,16)-∞D ．(16,)+∞【解答】解：由题意，当1n =时，2113111122a S ==-=． 当2n 时，2213131[(1)(1)]322222n n n a S S n n n n n -=-=-----=-，32n a n ∴=-，*n N ∈．则111111()(32)(31)33231n n n b a a n n n n +===--+-+． 设数列{}n b 的前n 项和n T ，则 12n n T b b b =++⋯+11111111(1)()()3434733231n n =-+-+⋯+--+ 111111(1)34473231n n =-+-+⋯+--+11(1)331n =-+ 31nn =+． 对任意的*n N ∈，不等式93n T n λ<+恒成立，∴对任意的*n N ∈，不等式9331nn n λ<++恒成立， 即对任意的*n N ∈，不等式23(31)n nλ+<恒成立．构造数列{}n c ：令23(31)n n c n+=，*n N ∈．22213(34)3(31)3(991)01(1)n n n n n n c c n n n n ++++--=-=>++，*n N ∈．∴数列{}n c 是单调递增数列． ∴数列{}n c 的最小值为148c =．48λ∴<．故选：A ．二．解答题（共12小题）29．（2020•广州一模）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，112(*)2n n n S a n N --=∈． （1）求1n n a a ++；（2）令2n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列，并求其前n 项和n T ． 【解答】解：（1）由1122n n n S a --=，可得1n =时，11a S =，又1121S a -=，即11a =； 2n 时，1n n n a S S -=-，112122n n n S a ----=，又1122n n n S a --=， 两式相减可得1112n n n a a --+=-， 即有112n n na a ++=-； （2）证明：由（1）可得112n n na a ++=-， 即有12112n n n a a ++++=-， 两式相减可得2112n n n n b a a ++=-=，则1122122n n n n b b +++==，可得数列{}n b 是首项为14，公比为12的等比数列， 前n 项和111(1)114212212n n n T +-==--． 30．（2020•桥东区校级模拟）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，0n a ≠，且11a =，2211()8n n n S a a λ+=+-． （1）求λ的值及{}n a 的通项公式； （2）设1n n n n n a Sb S S +=+，求{}n b 的前n 项和n T ． 【解答】解：（1）数列{}n a 是等差数列，11a =，设公差为d ， 又2211()8n n n S a a λ+=+-， 221111(())8a a a d λ∴=++-，即2211[1(1)]8d λ=++-①；2212111[()(2)]8a a a d a d λ+=+++-，即22111[(1)(12)]8d d d λ++=+++-②，联立①②得：2d =或1d =-， 当2d =时，2λ=；当1d =-时，20a =，不符合题意，舍去． 1(1)221n a n n ∴=+-⨯=-．（2）1111111n n n n n n n n n n n n n n a S a S a a a b S S S S S S ++++++-=+=+=-+， 121121a a b S S ∴=-+， 322231a ab S S =-+，⋯，1111n nn n na ab S S ---=-+， 111n n n n n a a b S S ++=-+， 将以上n 个式子左右分别相加得：1112211211(1)n n n n a a n T b b b n n S S n +++=++⋯+=-+=+-+． 31．（2020•龙岩一模）已知{}n a 是公差为1的等差数列，数列{}n b 满足11b =，212b =，11n n n n a b b nb +++=．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）设1n n n c b b +=，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 【解答】解：（1）由题意，可知1221a b b b +=， 即111122a +=，解得11a =． 又数列{}n a 是公差为1的等差数列， 11n a n n ∴=+-=．111(1)n n n n n a b b n b nb +++∴+=+=，∴数列{}n nb 是常数数列，即111n nb b ==，1n b n∴=，*n N ∈． （2）由（1）知，1111(1)1n n n c b b n n n n +===-++， 故12n n S c c c =++⋯+ 1111112231n n =-+-+⋯+-+ 111n =-+ 1nn =+． 32．（2020•宜昌模拟）已知数列{}n a 为公差不为零的等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且1a 、2a 、5a 成等比数列，749S =．设数列{}n b 的前n 项和为n T ，且满足2log (2)n T +=． （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）令*()nn na c n Nb =∈，证明：123n c c c ++⋯+<． 【解答】解：（1）设数列{}n a 为公差d 不为零的等差数列，由1a 、2a 、5a 成等比数列，可得2215a a a =，即2111()(4)a d a a d +=+，化为12d a =， 由749S =，可得172149a d +=，即有14949a =，解得11a =，2d =， 可得12(1)21n a n n =+-=-，*n N ∈； 又21(121)2n S n n n =+-=，由数列{}n b 的前n 项和为n T，且2log (2)1n T n +==+， 可得122n n T ++=，即122n n T +=-，当1n =时，112b T ==；2n 时，1122222n n n n n n b T T +-=-=--+=，对1n =也成立， 则2n n b =，*n N ∈； （2）证明：由*()n n n a c n N b =∈，可得1(21)()2n n c n =-， 设21211113()(21)()222n n n R c c c n =++⋯+=++⋯+-， 23111111()3()(21)()2222n n R n +=++⋯+-， 上面两式相减可得211111112[()()](21)()22222n n n R n +=++⋯+--1111(1)11422(21)()12212n n n -+-=+---，化简可得13(23)()2n n R n =-+，由1(23)()02n n +>，可得123n c c c ++⋯+<．33．（2020•五华区校级模拟）已知{}n a 是公差不为零的等差数列，413a =，且1a ，2a ，7a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设1(1)n n n b a +=-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求2019T ． 【解答】解：（1）设{}n a 的公差为d ，0d ≠， 1a ，2a ，7a 成等比数列，∴2217a a a =，可得2111()(6)a d a a d +=+，又0d ≠，得14d a =， 又41313a a d =+=，联立可得11a =，4d =， 14(1)43n a n n ∴=+-=-；（2）11(1)(1)(43)n n n n b a n ++=-=--，2019122009T b b b ∴=++⋯+(15)(913)(80658069)8073=-+-+⋯+-+ (4)100980734037=-⨯+=．34．（2020•龙岩一模）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，若611a =，且2a ，5a ，14a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 【解答】解：（1）611a =，1511a d ∴+=，①2a ，5a ，14a 成等比数列，∴2111(4)()(13)a d a d a d +=++，化简得12d a =，②由①②可得，11a =，2d =．∴数列的通项公式是21n a n =-；（2）由（1）得111111()(21)(21)22121n n n b a a n n n n +===--+-+， 1211111111(1)(1)2335212122121n n nS b b b n n n n ∴=++⋯+=-+-+⋯+-=-=-+++． 35．（2020•咸阳二模）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3718a a +=，636S =． ()I 求数列{}n a 的通项公式及前n 项和为n S ； ()II 设n T 为数列1{}n S n+的前n 项的和，求证：1n T <． 【解答】()I 解：()I 由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，则112818656362a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩． ∴数列{}n a 的通项公式为12(1)21n a n n =+-=-，*n N ∈．2(1)122n n n S n n -=+=． ()II 证明：由()I 知，211111(1)1n S n n n n n n n ===-++++． 则1211112n n T S S S n=++⋯++++ 1111112231n n =-+-+⋯+-+ 1111n =-<+． 即1n T <．36．（2020•七星区校级一模）已知数列{}n a 中，11a =，23a =，点(n a ，1)n a +在直线210x y -+=上，（Ⅰ）证明数列1{}n n a a +-为等比数列，并求其公比．（Ⅱ）设2log (1)n n b a =+，数列{}n b 的前n 项和为n S ，若(1)m m S a λ+，求实数λ的最小值． 【解答】解：（Ⅰ）证明：点(n a ，1)n a +在直线210x y -+=上，可得121n n a a +=+， 即有112(1)n n a a ++=+，可得{1}n a +为首项为2，公比为2的等比数列，可得12n n a +=， 即21n n a =-，1121(21)2n n n n n a a ++-=---=， 可得数列1{}n n a a +-为等比数列，其公比为2； （Ⅱ）设22log (1)log 2n n b a =+=n n =，1(1)2n S n n =+，(1)m m S a λ+即为1(1)22m m m λ+，可得(1)22mm m λ+恒成立， 由(1)2m m m m c +=，111(1)(2)(1)(1)(2)222m mm m m m m m m m m c c +++++++--=-=， 当1m =时，21c c >，2m =时，32c c =，2m >时，1m m c c +<， 即12345c c c c c <=>>>⋯，可得2332c c ==为最大值，即有32λ， 则34λ，即实数λ的最小值为34．37．（2020•番禺区模拟）设数列{}n a 是公差不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，11a =．若1a ，2a ，5a 成等比数列．（1）求n a 及n S ； （2）设*2112()1n a n n b n N a+=+∈-，求数列{}n b 前n 项和n T ．【解答】解：（1）设数列{}n a 是公差为d ，且不为零的等差数列，11a =．若1a ，2a ，5a 成等比数列，可得2152a a a =， 即有21(14)(1)d d +=+，解得2d =， 则12(1)21n a n n =+-=-；21(121)2n S n n n =+-=；（2）21212211111122()21(21)141n a n n n n b a n n n --+=+=+=-+-+-+， 可得前n 项和21111111(1)(282)42231n n T n n -=-+-+⋯+-+++⋯++112(14)2(1)(41)4114443n n n n n -=-+=+-+-+． 38．（2020•福清市一模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足22n n a S -=． （Ⅰ）求n a（Ⅱ）若数列{}n b 满足*14()nn n n a b n N S S +=∈，{}n b 的前n 项和n T ． 【解答】解：（1）22n n a S -=．2n ∴时，1122n n a S ---=，可得：1220n n n a a a ---=，可得：12n n a a -=．1n =时，1122a a -=，解得12a =，∴数列{}n a 是首项公比都为2的等比数列．2n n a ∴=．（2）由（1）可得：2(21)2(21)21n n n S -==--．11211(21)(21)2121n n n n n n b ++∴==-----． ∴数列{}n b 的前n 项和223111111111121212*********n n n n T ++=-+-+⋯⋯+-=--------． 39．（2020•邵阳一模）已知正项数列{}n a 中，11a =，2211230n n n n a a a a ++--=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n n b a -是等差数列，且12b =，314b =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【解答】解：（1）正项数列{}n a 中，11a =，2211230n n n n a a a a ++--=．11(3)()0n n n n a a a a ++∴-+=，13n n a a +∴=，∴数列{}n a 为等比数列．13n n a -∴=．（2）设等差数列{}n n b a -的公差为d ，且12b =，314b =， 2143212d ∴-=-+，解得2d =． 12(1)21n c n n ∴=+-=-．∴数列{}n b 的前n 项和21(1321)1333n n S n -=++⋯⋯+-++++⋯⋯+2(121)3131222n n n n n +---=+=+． 40．（2020•荔湾区校级模拟）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足341S a +=，231S a +=．（1）求{}n a 的通项公式n a ；（2）记12nn n n b S S +=，12n n T b b b =++⋯+，试比较n T 与1的大小．【解答】解：（1）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足341S a +=，231S a +=． 设公比为q ，首项为1a ，则：12341a a a a +++=①，1231a a a ++=，由①②得：123412311a a a a a a a +++=⎧⎨++=⎩整理得：342a a =， 解得2q =．11a =． 所以11122n n n a --==． （2）由于12n n a -=，所以(21)2121n n n S -==--，1121n n S ++=-，则：1112211(21)(21)2121n n n n n n n n n b S S +++===-----． 所以：1211111111111337212121n n n n n T b b b ++=++⋯+=-+-+⋯+-=-<---。
浙江省2020年高考数学模拟题分项汇编 6 数列与数学归纳法( 原卷版)
第六章 数列与数学归纳法数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有.其中，小题重点考查等差数列、等比数列基础知识以及数列的递推关系，和其它知识综合考查的趋势明显，小题难度加大趋势明显；解答题的难度中等或稍难，随着文理同卷的实施，数列与不等式综合热门难题(压轴题)，有所降温，难度趋减，将稳定在中等变难程度.往往在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后往往与不等式、函数、最值等问题综合.在考查等差数列、等比数列的求和基础上，进一步考查“裂项相消法”、“错位相减法”等，与不等式结合，“放缩”思想及方法尤为重要．关于数学归纳法的考查，主要与数列、不等式相结合.一.选择题1．(浙江省杭州市第二中学2020届高三上学期开学考)已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且132a ，34a ，2a 成等差数列，则20191817a a a a +=+( )A ．9B ．6C ．3D ．12.(2020届浙江省浙南名校联盟高三上学期第一次联考)已知数列{}n a 满足()*11112n n n na a n a a +++=+∈N ，则( ) A ．当()*01n a n <<∈N 时，则1n n aa +> B ．当()*1n a n >∈N时，则1n n aa +<C ．当112a =时，则111n n a a +++>D ．当12a =时，则111n n a a +++>3.(2020届浙江省五校高三上学期联考)已知数列{}n a 是公差为d 的等差数列，其前n 项和为n S ，则( ) A ．0d <时，n S 一定存在最大值 B ．0d >时，n S 一定存在最大值 C ．n S 存在最大值时，0d <D ．n S 存在最大值时，0d >4.(2020届浙江省宁波市慈溪市高三上期中)已知数列{}n a 满足：()*2121,22n n n n n a a a n n a a ----=∈>-¥，若1231,7a a ==，则2019a =( ) A ．38075 B ．36054C ．56058D ．540365.(2020届浙江省宁波市镇海中学高三上期中)已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且244,18S S ==，则6S 等于( ) A ．50B ．42C ．38D ．366.(2019·9月浙江省丽水四校高三联考)数列{}n a 满足143a =，2*11(N )n n n a a a n +=-+∈，则122013111m a a a =+++L 的整数部分是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．47.(2020届浙江省金丽衢十二校高三上学期第一次联考)设等差数列1a ，2a ，…，n a (3n ≥，*N n ∈)的公差为d ，满足1211n a a a a ++⋅⋅⋅+=-2121122n a a a a +-+⋅⋅⋅+-=+++2n a m +⋅⋅⋅++=，则下列说法正确的是( ) A ．3d ≥B ．n 的值可能为奇数C ．存在*i N ∈，满足21i a -<<D ．m 的可能取值为118.(2020届浙江省高三上学期百校联考)设无穷数列{}n a 满足1(0)a p p =>，2(0)a q q =>，()*21122n n n a a n a ++⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N ，若{}n a 为周期数列，则pq 的值为( )A ．12B ．1C ．2D ．49.(2020届浙江省台州五校高三上学期联考)若集合，则集合中的元素个数是( )A ．2016B ．2017C ．2018D ．201910.(2020届浙江学军中学高三上期中中)已知数列{}n a 满足112a =-，2131n n n a a a +=++，若12n n b a =+，设数列{}n b 的前项和为n S ，则使得2019S k -最小的整数k 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．311.(2020届浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)高三上学期第一次联考)已知数列{}n a 满足：1102a <<，()1ln 2n n n a a a +=+-．则下列说法正确的是( )A ．2019102a <<B ．2019112a << C ．2019312a <<D ．2019322a <<二.填空题12.(2020届浙江省台州五校高三上学期联考)设等比数列的前项和为，满足对任意的正整数，均有，则_______，公比_______.13.(2019年9月浙江省嘉兴市高三测试)已知{}n a 是公差为2-的等差数列，n S 为其前n 项和，若21a +，51a +，71a +成等比数列，则1a =_____，当n =_______时，n S 取得最大值．14.(2020届浙江学军中学高三上期中中)等比数列{}n a 中，12a =323a =，则2201382019a a a a +=+__________，1234a a a a =__________．15.(2019·9月浙江省丽水四校高三联考)已知数列{}n a 满足：2111,2n n n a a a a +==+，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则122012111111a a a ⎡⎤+++⎢⎥+++⎣⎦L 的值等于_____ 16．(2020届浙江省宁波市慈溪市高三上期中)设等差数列{}n a 的前项和为()*n S n ∈N，若153,11a a ==-，则3a =________，5S =________.17.(2019年9月浙江省超级全能生高三第一次联考)已知数列{}n a ，满足()21n n na k a a +=-.若1112a k ==，则1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最小值是___________，若12a =，且存在常数0M >，使得任意n a M ≤，则k 的取值范围是______________.18.(浙江省杭州市第二中学2020届高三上学期开学考)已知正项数列{}n a 满足()()22112120nn n n n a n a a na+++++⋅-=，14a =，则数列()()12n a n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⋅+⎪⎪⎩⎭的前n 项和为___________．19.(2020届浙江省五校高三上学期联考)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()()112nnn n S a n N *⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭，则3a =______，7S =______.20.(2020届浙江省宁波市镇海中学高三上期中)已知{}n a 是等比数列，且0n a >，243546225a a a a a a ++=，则35a a +=__________，4a 的最大值为__________．21.(浙江省宁波市宁波十校2020届高三11月联考)已知常数p ＞0，数列{a n }满足a n +1＝|p ﹣a n |+2a n +p (n ∈N *)，首项为a 1，前n 项和为S n ．若S n ≥S 3对任意n ∈N *成立，则1a p的取值范围为_____． 三.解答题22.(2020届浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)高三上学期第一次联考)已知数列{}n a 为等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且55a =，36S a =，数列{}n b 满足24,b =1122(22)2n n n a b a b a b n b +++=-+L ． (1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； (2)令*,nn na c n Nb =∈，证明：122n c c c ++<L ． 23.(2020届浙江省高三上学期百校联考)已知各项为正数的数列{}n a ，其前n 项和为n S ，8121n n S a +=+，且11a =.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若23nn n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .24.(2020届浙江省台州五校高三上学期联考)已知函数.(Ⅰ)求方程的实数解；(Ⅱ)如果数列满足，()，是否存在实数，使得对所有的都成立？证明你的结论． (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，设数列的前项的和为，证明：．25.(2019年9月浙江省嘉兴市高三测试)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足231n n S a =-(n ∈N *)．(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)设32log n n n a b a +=，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求证：154n T <． 26．(2019年9月浙江省超级全能生高三第一次联考)已知等比数列{}n a 的公比1q >2a ，3a 的等比中项，31a +为2a ，4a 的等差中项. (Ⅰ)求q 的值；(Ⅱ)设()()*11nn n b a n N +=+-∈，数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，求证：53nS <. 27.(2020届浙江学军中学高三上期中中)已知正项等差数列{}n a 满足：233312n n S a a a L =+++，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)令()()()1412121n n n n n b a a -=--+，证明：122221n n b b b n ++++≤+L .28.(2020届浙江湖州、衢州、丽水三地市高三上期中)已知数列{}n a 满足()*11()11,1n n a a n N n a +==∈+.(1)求23,a a ，并猜想{}n a 的通项公式(不需证明)； (2)求证()*)1n N <∈.29.(2020届浙江省金丽衢十二校高三上学期第一次联考)在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+，*N n ∈.(Ⅰ)证明：数列{}n a n -是等比数列；(Ⅱ)记()n n b a n n =-，求数列{}n b 的前n 项和n S .30.(2020届浙江省五校高三上学期联考)设数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，若223a b ==，359a b ==.(1)若nn nn b c a ⋅=，数列{}n c 中的最大项是第k 项，求k 的值(2)设n n n d a b =⋅，求数列{}n d 的前n 项和n T31.(浙江省宁波市宁波十校2020届高三11月联考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2+2a 4＝a 9，S 6＝36． (1)求a n ，S n ；(2)若数列{b n }满足b 1＝1，1n n b b +=121111nb b b +++≥L (n ∈N *)． 32.(2020届浙江省宁波市镇海中学高三上期中)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：()*11232n n a a S n N +==-+∈，．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)数列{}n b 满足12b =-，()()()2132n n n b b n n n a +-+=+，求数列{}n b 通项公式．33.(2020届浙江省宁波市慈溪市高三上期中)记数列{}n a 的前n 项和为1231nn n i i S a a a a a ==++++=∑L ，已知数列{}n a 满足20202020*11,,A 0,1n i i i i a R n N a a ==∈∈==∑∑.(1)若数列{}n a 为等比数列，求20201ii ia=∑的值；(2)证明：|2020120192i i ia =≤∑. 34.(2019·9月浙江省丽水四校高三联考)已知数列{}n a ，0n a ≥，10a =，22111()n n n a a a n N *+++-=∈．记12n n S a a a =+++L ．112121111(1)(1)(1)(1)(1)n n T a a a a a a =+++++++++L L 求证：(Ⅰ)当n *∈N 时(Ⅰ)101n n a a +≤<<； (Ⅱ)2n S n >-； (Ⅲ)3n T <35.(2020届浙江省温州市11月适应测试)已知等差数列{}n a 的首项11a =，数列{}2na 的前n 项和为nS，且12S +，22S +，32S +成等比数列．(1)求通项公式n a ；(2)求证：11n <L *n N ∈)； 36.(2020届浙江省浙南名校联盟高三上学期第一次联考)已知等比数列{}n a 的公比1q >，且13542a a a ++=，39a +是15,a a 的等差中项，数列{}n b的通项公式nn b =，*n N ∈.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)证明：12n b b b +++<L ，*n N ∈.。
2020年高考各省市模拟试题分类汇编： 数列(解析版)
2020年高考各省市模拟试题分类汇编： 数列1．（2020·东北师大附中高三模拟（文））设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111a =-，286a a +=-，则n S 的最小值等于（ ） A ．-34 B ．-36C ．-6D ．6【答案】B【解析】设数列{}n a 的公差为d ， ∵286a a +=-， ∴1286a d +=-， 又111a =-， ∴2d =， ∴n S ()112n n dna -=+()111n n n =-+-212n n =-()2636n =--，∴当6n =时，n S 有最小值636S =-，故选B 。
2．（2020·安徽省滁州市定远育才学校高三模拟（文））在等比数列{}n a 中，182n a a +=，3281n a a -=，且前n 项和121n S =，则此数列的项数n 等于（ ） A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由等比数列的性质可得：13281n n a a a a -==， 又182n a a +=，1a ∴和n a 是方程282810x x -+=的两根，解方程得1x =或81x =. 若等比数列{}n a 递增，则11a =，81n a =，121n S =Q ，118112111n a a q qq q--==--解得3q =，18113n -∴=⨯，解得5n =； 若等比数列{}n a 递减，则181a =，1n a =，121n S =Q ，18112111n a a q q q q --==--，解得13q =，118113n -⎛⎫∴=⨯ ⎪⎝⎭，解得5n =. 则此数列的项数n 等于5，故选B 。
3．（2020·福建省华安一中、龙海二中高三联考（文））在等差数列{}n a 中，15487a a a +==，，则5a =（ ） A ．11 B ．10C ．7D ．3【答案】B【解析】依题意，有11148,37a a d a d ++=+=，解得1512,3,410a d a a d =-==+=。
2020高考数学 全国各地模拟试题分类汇编6 数列 文
2020 全国各地模拟分类汇编 6（文）：数列【辽宁抚顺二中 2020 届高三第一次月考文】7．已知数列{a } n的各项均为正数，其前 n 项和为 S ，若 {log a } n2n是公差为-1 的等差数列，且S63 8, 则a 1 等于（）A ．421B ．6 31C ．8 21D ．12 31【答案】A【山东省曲阜师大附中 2020 届高三 9 月检测】已知等差数列 17 项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是 【答案】3{a }的公差 d0 ，它的第 1、5、n【山东省兖州市 2020 届高三入学摸底考试】等差数列{a } a , a n12011为方程 x 210 x 16 0的两根，则a a21006a2010（ ）A ． 15B ．10C ．20D ．40 【答案】A【山东省冠县武训高中 2020 届高三第二次质检文】等比数列｛ a S 21 ，则数列｛ a ｝的公比为（ ）3nn｝中， a 7 3 ，前 3 项之各A.1B.1 或12c.1 2D.-1 或1 2【答案】B【四川省南充高中 2020 届高三第一次月考文】等比数列a中，a 4, an14 1 2 ，S 是数列 na前nn 项的和，则 Sn为（）1n A ． 812B ．4112C ．161n12D ． 18112【答案】A【2020 四川省成都市石室中学高三第一次月考】设等比数列8aa0 ，则下列式子中数值不能确定的是（ ） 25{a } 的前 n n项和为 S ，若na A ． 5a3 S B ． 5S3 a C ． n1an S D ． n 1Sn【答案】D【2020 四川省成都市石室中学高三第一次月考】向量V =(a的前20 项的和为___.向量，a =1,则数列1nan 1中，若nna a2n,n122an)为直线y=x的方向【答案】2020【云南省建水一中2020届高三9月月考文】已知等差数列{a}n S S{a}，则数列的公差（）321n321A．B．1C．22的前n项和为D．3Sn，且满足【答案】C2020浙江省杭州师范大学附属中学高三适应文】设3S a 2，3 43S a 2，则公比q （）2 3S为等比数列a的前n项和，已知n nA．3【答案】BB．4C．5D．6【重庆市涪陵中学2020届高三上学期期末文】在数列{a}n 中，a 11，aa na 1n，则a10的值为A.1111B. C. D. 111098【答案】B【重庆市涪陵中学2020届高三上学期期末文】等差数列{a}n 中前n项和为Sn，已知S 255，a 3，则a .24【答案】7【江西省白鹭洲中学2020届高三第二次月考文】设{a}n是公比为q的等比数列，令b a 1(n 1,2,L) n n则q等于()，若数列{b}n的连续四项在集合{—53，—23，19，37，82}中，A．43B．323C．或-22334D．或-43【答案】C【河北省保定二中2020届高三第三次月考】数列2a成等差数列，则其公比为（）3a n是首项a 41的等比数列，且4a，a，15A．1 B.1 C.1或1 D.2【答案】C【河北省保定二中2020届高三第三次月考】已知等比数列a n的公比为正数，且a a 4a 3724，a 2，则a21。
2020年全国各地高中数学真题分类汇编—数列(含答案)
2020年全国各地⾼考真题分类汇编—数列1．（2020•浙江）已知等差数列{a n}的前n项和S n，公差d≠0，且≤1．记b1＝S2，b n+1＝S2n+2﹣S2n，n∈N*，下列等式不可能成⽴的是（）A．2a4＝a2+a6B．2b4＝b2+b6C．a42＝a2a8D．b42＝b2b82．（2020•北京）在等差数列{a n}中，a1＝﹣9，a5＝﹣1．记T n＝a1a2…a n（n＝1，2，…），则数列{T n}（）A．有最⼤项，有最⼩项B．有最⼤项，⽆最⼩项C．⽆最⼤项，有最⼩项D．⽆最⼤项，⽆最⼩项3．（2020•新课标Ⅰ）设{a n}是等⽐数列，且a1+a2+a3＝1，a2+a3+a4＝2，则a6+a7+a8＝（）A．12B．24C．30D．324．（2020•新课标Ⅱ）如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12．设1≤i＜j＜k≤12．若k﹣j＝3且j﹣i＝4，则a i，a j，a k为原位⼤三和弦；若k﹣j＝4且j﹣i＝3，则称a i，a j，a k 为原位⼩三和弦．⽤这12个键可以构成的原位⼤三和弦与原位⼩三和弦的个数之和为（）A．5B．8C．10D．155．（2020•新课标Ⅱ）0﹣1周期序列在通信技术中有着重要应⽤．若序列a1a2…a n…满⾜a i∈{0，1}（i＝1，2，…），且存在正整数m，使得a i+m＝a i（i＝1，2，…）成⽴，则称其为0﹣1周期序列，并称满⾜a i+m＝a i（i＝1，2…）的最⼩正整数m为这个序列的周期．对于周期为m的0﹣1序列a1a2…a n…，C（k）＝a i a i+k（k＝1，2，…，m﹣1）是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0﹣1序列中，满⾜C（k）≤（k＝1，2，3，4）的序列是（）A．11010…B．11011…C．10001…D．11001…6．（2020•新课标Ⅱ）记S n为等⽐数列{a n}的前n项和．若a5﹣a3＝12，a6﹣a4＝24，则＝（）A．2n﹣1B．2﹣21﹣n C．2﹣2n﹣1D．21﹣n﹣17．（2020•新课标Ⅱ）数列{a n}中，a1＝2，a m+n＝a m a n．若a k+1+a k+2+…+a k+10＝215﹣25，则k＝（）A．2B．3C．4D．58．（2020•新课标Ⅱ）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中⼼有⼀块圆形⽯板（称为天⼼⽯），环绕天⼼⽯砌9块扇⾯形⽯板构成第⼀环，向外每环依次增加9块．下⼀层的第⼀环⽐上⼀层的最后⼀环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层⽐中层多729块，则三层共有扇⾯形⽯板（不含天⼼⽯）（）A．3699块B．3474块C．3402块D．3339块9．（2020•上海）已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，且a1+a10＝a9，则＝．10．（2020•新课标Ⅱ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a1＝﹣2，a2+a6＝2，则S10＝．11．（2020•浙江）已知数列{a n}满⾜a n＝，则S3＝．12．（2020•海南）将数列{2n﹣1}与{3n﹣2}的公共项从⼩到⼤排列得到数列{a n}，则{a n}的前n项和为．13．（2020•江苏）设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公⽐为q的等⽐数列．已知数列{a n+b n}的前n项和S n＝n2﹣n+2n﹣1（n∈N*），则d+q的值是．14．（2020•新课标Ⅰ）数列{a n}满⾜a n+2+（﹣1）n a n＝3n﹣1，前16项和为540，则a1＝．15．（2020•天津）已知{a n}为等差数列，{b n}为等⽐数列，a1＝b1＝1，a5＝5（a4﹣a3），b5＝4（b4﹣b3）．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）记{a n}的前n项和为S n，求证：S n S n+2＜S n+12（n∈N*）；（Ⅲ）对任意的正整数n，设c n＝求数列{c n}的前2n项和．16．（2020•海南）已知公⽐⼤于1的等⽐数列{a n}满⾜a2+a4＝20，a3＝8．（1）求{a n}的通项公式；（2）求a1a2﹣a2a3+…+（﹣1）n﹣1a n a n+1．17．（2020•江苏）已知数列{a n}（n∈N*）的⾸项a1＝1，前n项和为S n．设λ和k为常数，若对⼀切正整数n，均有S n+1﹣S n＝λa n+1成⽴，则称此数列为“λ﹣k”数列．（1）若等差数列{a n}是“λ﹣1”数列，求λ的值；（2）若数列{a n}是“﹣2”数列，且a n＞0，求数列{a n}的通项公式；（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{a n}为“λ﹣3”数列，且a n≥0？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由．18．（2020•新课标Ⅰ）设{a n}是公⽐不为1的等⽐数列，a1为a2，a3的等差中项．（1）求{a n}的公⽐；（2）若a1＝1，求数列{na n}的前n项和．19．（2020•⼭东）已知公⽐⼤于1的等⽐数列{a n}满⾜a2+a4＝20，a3＝8．（1）求{a n}的通项公式；（2）记b m为{a n}在区间（0，m]（m∈N*）中的项的个数，求数列{b m}的前100项和S100．20．（2020•新课标Ⅲ）设等⽐数列{a n}满⾜a1+a2＝4，a3﹣a1＝8．（1）求{a n}的通项公式；（2）记S n为数列{log3a n}的前n项和．若S m+S m+1═S m+3，求m．21．（2020•浙江）已知数列{a n}，{b n}，{c n}满⾜a1＝b1＝c1＝1，c n＝a n+1﹣a n，c n+1＝c n，（n∈N*）．（Ⅰ）若{b n}为等⽐数列，公⽐q＞0，且b1+b2＝6b3，求q的值及数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若{b n}为等差数列，公差d＞0，证明：c1+c2+c3+…+c n＜1+，n∈N*．22．（2020•上海）已知各项均为正数的数列{a n}，其前n项和为S n，a1＝1．（1）若数列{a n}为等差数列，S10＝70，求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}为等⽐数列，a4＝，求满⾜S n＞100a n时n的最⼩值．参考答案与试题解析⼀．选择题（共8⼩题）1．（2020•浙江）已知等差数列{a n}的前n项和S n，公差d≠0，且≤1．记b1＝S2，b n+1＝S2n+2﹣S2n，n∈N*，下列等式不可能成⽴的是（）A．2a4＝a2+a6B．2b4＝b2+b6C．a42＝a2a8D．b42＝b2b8【解答】解：在等差数列{a n}中，a n＝a1+（n﹣1）d，∴a2＝a1+d，a4＝a1+3d，a8＝a1+7d，b n+1＝S2n+2﹣S2n，∴b2＝S4﹣S2＝a3+a4，b4＝S8﹣S6＝a7+a8，b6＝S12﹣S10＝a11+a12，b8＝S16﹣S14＝a15+a16，A.2a4＝a2+a6，根据等差数列的性质可得A正确，B．若2b4＝b2+b6，则2（a7+a8）＝a3+a4+a11+a12＝（a3+a12）+（a4+a11），成⽴，B正确，C．若a42＝a2a8，则（a1+3d）2＝（a1+d）（a1+7d），即a12+6a1d+9d2＝a12+8a1d+7d2，得a1d＝d2，∵d≠0，∴a1＝d，符合≤1，C正确；D．若b42＝b2b8，则（a7+a8）2＝（a3+a4）（a15+a16），即4a12+52a1d+169d2＝4a12+68a1d+145d2，得16a1d＝24d2，∵d≠0，∴2a1＝3d，不符合≤1，D错误；故选：D．2．（2020•北京）在等差数列{a n}中，a1＝﹣9，a5＝﹣1．记T n＝a1a2…a n（n＝1，2，…），则数列{T n}（）A．有最⼤项，有最⼩项B．有最⼤项，⽆最⼩项C．⽆最⼤项，有最⼩项D．⽆最⼤项，⽆最⼩项【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，由a1＝﹣9，a5＝﹣1，得d＝，∴a n＝﹣9+2（n﹣1）＝2n﹣11．由a n＝2n﹣11＝0，得n＝，⽽n∈N*，可知数列{a n}是单调递增数列，且前5项为负值，⾃第6项开始为正值．可知T1＝﹣9＜0，T2＝63＞0，T3＝﹣315＜0，T4＝945＞0为最⼤项，⾃T5起均⼩于0，且逐渐减⼩．∴数列{T n}有最⼤项，⽆最⼩项．故选：B．3．（2020•新课标Ⅰ）设{a n}是等⽐数列，且a1+a2+a3＝1，a2+a3+a4＝2，则a6+a7+a8＝（）A．12B．24C．30D．32【解答】解：{a n}是等⽐数列，且a1+a2+a3＝1，则a2+a3+a4＝q（a1+a2+a3），即q＝2，∴a6+a7+a8＝q5（a1+a2+a3）＝25×1＝32，故选：D．4．（2020•新课标Ⅱ）如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12．设1≤i＜j＜k≤12．若k﹣j＝3且j﹣i＝4，则a i，a j，a k为原位⼤三和弦；若k﹣j＝4且j﹣i＝3，则称a i，a j，a k 为原位⼩三和弦．⽤这12个键可以构成的原位⼤三和弦与原位⼩三和弦的个数之和为（）A．5B．8C．10D．15【解答】解：若k﹣j＝3且j﹣i＝4，则a i，a j，a k为原位⼤三和弦，即有i＝1，j＝5，k＝8；i＝2，j＝6，k＝9；i＝3，j＝7，k＝10；i＝4，j＝8，k＝11；i＝5，j ＝9，k＝12，共5个；若k﹣j＝4且j﹣i＝3，则a i，a j，a k为原位⼩三和弦，可得i＝1，j＝4，k＝8；i＝2，j＝5，k＝9；i＝3，j＝6，k＝10；i＝4，j＝7，k＝11；i＝5，j ＝8，k＝12，共5个，总计10个．故选：C．5．（2020•新课标Ⅱ）0﹣1周期序列在通信技术中有着重要应⽤．若序列a1a2…a n…满⾜a i∈{0，1}（i＝1，2，…），且存在正整数m，使得a i+m＝a i（i＝1，2，…）成⽴，则称其为0﹣1周期序列，并称满⾜a i+m＝a i（i＝1，2…）的最⼩正整数m为这个序列的周期．对于周期为m的0﹣1序列a1a2…a n…，C（k）＝a i a i+k（k＝1，2，…，m﹣1）是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0﹣1序列中，满⾜C（k）≤（k＝1，2，3，4）的序列是（）A．11010…B．11011…C．10001…D．11001…【解答】解：对于A选项：序列1101011010C（1）＝a i a i+1＝（1+0+0+0+0）＝，C（2）＝a i a i+2＝（0+1+0+1+0）＝，不满⾜C（k）≤（k＝1，2，3，4），故排除A；对于B选项：序列1101111011C（1）＝a i a i+1＝（1+0+0+1+1）＝，不满⾜条件，排除；对于C选项：序列100011000110001C（1）＝a i a i+1＝（0+0+0+0+1）＝，C（2）＝a i a i+2＝（0+0+0+0++0）＝0，C（3）＝a i a i+3＝（0+0+0+0+0）＝0，C（4）＝a i a i+4＝（1+0+0+0+0）＝，符合条件，对于D选项：序列1100111001C（1）＝a i a i+1＝（1+0+0+0+1）＝不满⾜条件．故选：C．6．（2020•新课标Ⅱ）记S n为等⽐数列{a n}的前n项和．若a5﹣a3＝12，a6﹣a4＝24，则＝（）A．2n﹣1B．2﹣21﹣n C．2﹣2n﹣1D．21﹣n﹣1【解答】解：设等⽐数列的公⽐为q，∵a5﹣a3＝12，∴a6﹣a4＝q（a5﹣a3），∴q＝2，∴a1q4﹣a1q2＝12，∴12a1＝12，∴a1＝1，∴S n＝＝2n﹣1，a n＝2n﹣1，∴＝＝2﹣21﹣n，故选：B．7．（2020•新课标Ⅱ）数列{a n}中，a1＝2，a m+n＝a m a n．若a k+1+a k+2+…+a k+10＝215﹣25，则k＝（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：由a1＝2，且a m+n＝a m a n，取m＝1，得a n+1＝a1a n＝2a n，∴，则数列{a n}是以2为⾸项，以2为公⽐的等⽐数列，则，∴a k+1+a k+2+…+a k+10＝＝215﹣25，∴k+1＝5，即k＝4．故选：C．8．（2020•新课标Ⅱ）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中⼼有⼀块圆形⽯板（称为天⼼⽯），环绕天⼼⽯砌9块扇⾯形⽯板构成第⼀环，向外每环依次增加9块．下⼀层的第⼀环⽐上⼀层的最后⼀环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层⽐中层多729块，则三层共有扇⾯形⽯板（不含天⼼⽯）（）A．3699块B．3474块C．3402块D．3339块【解答】解：⽅法⼀：设每⼀层有n环，由题意可知从内到外每环之间构成等差数列，且公差d＝9，a1＝9，由等差数列的性质可得S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n成等差数列，且（S3n﹣S2n）﹣（S2n﹣S n）＝n2d，则n2d＝729，则n＝9，则三层共有扇⾯形⽯板S3n＝S27＝27×9+×9＝3402块，⽅法⼆：设第n环天⽯⼼块数为a n，第⼀层共有n环，则{a n}是以9为⾸项，9为公差的等差数列，a n＝9+（n﹣1）×9＝9n，设S n为{a n}的前n项和，则第⼀层、第⼆层、第三层的块数分别为S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n，∵下层⽐中层多729块，∴S3n﹣S2n＝S2n﹣S n+729，∴﹣＝﹣+729，∴9n2＝729，解得n＝9，∴S3n＝S27＝＝3402，故选：C．⼆．填空题（共6⼩题）9．（2020•上海）已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，且a1+a10＝a9，则＝．【解答】解：根据题意，等差数列{a n}满⾜a1+a10＝a9，即a1+a1+9d＝a1+8d，变形可得a1＝﹣d，所以＝＝＝＝．故答案为：．10．（2020•新课标Ⅱ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a1＝﹣2，a2+a6＝2，则S10＝25．【解答】解：因为等差数列{a n}中，a1＝﹣2，a2+a6＝2a4＝2，所以a4＝1，3d＝a4﹣a1＝3，即d＝1，则S10＝10a1＝10×（﹣2）+45×1＝25．故答案为：2511．（2020•浙江）已知数列{a n}满⾜a n＝，则S3＝10．【解答】解：数列{a n}满⾜a n＝，可得a1＝1，a2＝3，a3＝6，所以S3＝1+3+6＝10．故答案为：10．12．（2020•海南）将数列{2n﹣1}与{3n﹣2}的公共项从⼩到⼤排列得到数列{a n}，则{a n}的前n项和为3n2﹣2n．【解答】解：将数列{2n﹣1}与{3n﹣2}的公共项从⼩到⼤排列得到数列{a n}，则{a n}是以1为⾸项、以6为公差的等差数列，故它的前n项和为n×1+＝3n2﹣2n，故答案为：3n2﹣2n．13．（2020•江苏）设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公⽐为q的等⽐数列．已知数列{a n+b n}的前n项和S n＝n2﹣n+2n﹣1（n∈N*），则d+q的值是4．【解答】解：因为{a n+b n}的前n项和S n＝n2﹣n+2n﹣1（n∈N*），因为{a n}是公差为d的等差数列，设⾸项为a1；{b n}是公⽐为q的等⽐数列，设⾸项为b1，所以{a n}的通项公式a n＝a1+（n﹣1）d，所以其前n项和S＝＝n2+（a1﹣）n，当{b n}中，当公⽐q＝1时，其前n项和S＝nb1，所以{a n+b n}的前n项和S n＝S+S＝n2+（a1﹣）n+nb1＝n2﹣n+2n﹣1（n∈N*），显然没有出现2n，所以q≠1，则{b n}的前n项和为S＝＝+，所以S n＝S+S＝n2+（a1﹣）n+﹣＝n2﹣n+2n﹣1（n∈N*），由两边对应项相等可得：解得：d＝2，a1＝0，q＝2，b1＝1，所以d+q＝4，故答案为：4．14．（2020•新课标Ⅰ）数列{a n}满⾜a n+2+（﹣1）n a n＝3n﹣1，前16项和为540，则a1＝7．【解答】解：由a n+2+（﹣1）n a n＝3n﹣1，当n为奇数时，有a n+2﹣a n＝3n﹣1，可得a n﹣a n﹣2＝3（n﹣2）﹣1，…a3﹣a1＝3•1﹣1，累加可得a n﹣a1＝3[1+3+…+（n﹣2）]﹣＝3•＝；当n为偶数时，a n+2+a n＝3n﹣1，可得a4+a2＝5，a8+a6＝17，a12+a10＝29，a16+a14＝41．可得a2+a4+…+a16＝92．∴a1+a3+…+a15＝448．∴＝448，∴8a1＝56，即a1＝7．故答案为：7．三．解答题（共8⼩题）15．（2020•天津）已知{a n}为等差数列，{b n}为等⽐数列，a1＝b1＝1，a5＝5（a4﹣a3），b5＝4（b4﹣b3）．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）记{a n}的前n项和为S n，求证：S n S n+2＜S n+12（n∈N*）；（Ⅲ）对任意的正整数n，设c n＝求数列{c n}的前2n项和．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，等⽐数列{b n}的公⽐为q，由a1＝1，a5＝5（a4﹣a3），则1+4d＝5d，可得d＝1，∴a n＝1+n﹣1＝n，∵b1＝1，b5＝4（b4﹣b3），∴q4＝4（q3﹣q2），解得q＝2，∴b n＝2n﹣1；（Ⅱ）证明：法⼀：由（Ⅰ）可得S n＝，∴S n S n+2＝n（n+1）（n+2）（n+3），（S n+1）2＝（n+1）2（n+2）2，∴S n S n+2﹣S n+12＝﹣（n+1）（n+2）＜0，∴S n S n+2＜S n+12（n∈N*）；法⼆：∵数列{a n}为等差数列，且a n＝n，∴S n＝，S n+2＝，S n+1＝，∴＝＝＜1，∴S n S n+2＜S n+12（n∈N*）；（Ⅲ），当n为奇数时，c n＝＝＝﹣，当n为偶数时，c n＝＝，对任意的正整数n，有c2k﹣1＝（﹣）＝﹣1，和c2k＝＝+++…+，①，由①×可得c2k＝++…++，②，①﹣②得c2k＝+++…+﹣﹣，∴c2k＝﹣，因此c2k＝c2k﹣1+c2k＝﹣﹣．数列{c n}的前2n项和﹣﹣．16．（2020•海南）已知公⽐⼤于1的等⽐数列{a n}满⾜a2+a4＝20，a3＝8．（1）求{a n}的通项公式；（2）求a1a2﹣a2a3+…+（﹣1）n﹣1a n a n+1．【解答】解：（1）设等⽐数列{a n}的公⽐为q（q＞1），则，∵q＞1，∴，∴．（2）a1a2﹣a2a3+…+（﹣1）n﹣1a n a n+1＝23﹣25+27﹣29+…+（﹣1）n﹣1•22n+1，＝＝．17．（2020•江苏）已知数列{a n}（n∈N*）的⾸项a1＝1，前n项和为S n．设λ和k为常数，若对⼀切正整数n，均有S n+1﹣S n＝λa n+1成⽴，则称此数列为“λ﹣k”数列．（1）若等差数列{a n}是“λ﹣1”数列，求λ的值；（2）若数列{a n}是“﹣2”数列，且a n＞0，求数列{a n}的通项公式；（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{a n}为“λ﹣3”数列，且a n≥0？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）k＝1时，a n+1＝S n+1﹣S n＝λa n+1，由n为任意正整数，且a1＝1，a n≠0，可得λ＝1；（2）﹣＝，则an+1＝S n+1﹣S n＝（﹣）•（+）＝•（+），因此+＝•，即＝，Sn+1＝a n+1＝（S n+1﹣S n），从⽽S n+1＝4S n，⼜S1＝a1＝1，可得S n＝4n﹣1，a n＝S n﹣S n﹣1＝3•4n﹣2，n≥2，综上可得a n＝，n∈N*；（3）若存在三个不同的数列{a n}为“λ﹣3”数列，则S n+1﹣S n＝λa n+1，则S n+1﹣3S n+1S n+3S n+1S n﹣S n＝λ3a n+1＝λ3（S n+1﹣S n），由a1＝1，a n≥0，且S n＞0，令p n＝（）＞0，则（1﹣λ3）p n3﹣3p n2+3p n﹣（1﹣λ3）＝0，λ＝1时，p n＝p n2，由p n＞0，可得p n＝1，则S n+1＝S n，即a n+1＝0，此时{a n}唯⼀，不存在三个不同的数列{a n}，λ≠1时，令t＝，则p n3﹣tp n2+tp n﹣1＝0，则（p n﹣1）[p n2+（1﹣t）p n+1]＝0，①t≤1时，p n2+（1﹣t）p n+1＞0，则p n＝1，同上分析不存在三个不同的数列{a n}；②1＜t＜3时，△＝（1﹣t）2﹣4＜0，p n2+（1﹣t）p n+1＝0⽆解，则p n＝1，同上分析不存在三个不同的数列{a n}；③t＝3时，（p n﹣1）3＝0，则p n＝1，同上分析不存在三个不同的数列{a n}．④t＞3时，即0＜λ＜1时，△＝（1﹣t）2﹣4＞0，p n2+（1﹣t）p n+1＝0有两解α，β，设α＜β，α+β＝t﹣1＞2，αβ＝1＞0，则0＜α＜1＜β，则对任意n∈N*，＝1或＝α3（舍去）或＝β3，由于数列{S n}从任何⼀项求其后⼀项均有两种不同的结果，所以这样的数列{S n}有⽆数多个，则对应的数列{a n}有⽆数多个．则存在三个不同的数列{a n}为“λ﹣3”数列，且a n≥0，综上可得0＜λ＜1．18．（2020•新课标Ⅰ）设{a n}是公⽐不为1的等⽐数列，a1为a2，a3的等差中项．（1）求{a n}的公⽐；（2）若a1＝1，求数列{na n}的前n项和．【解答】解：（1）设{a n}是公⽐q不为1的等⽐数列，a1为a2，a3的等差中项，可得2a1＝a2+a3，即2a1＝a1q+a1q2，即为q2+q﹣2＝0，解得q＝﹣2（1舍去），所以{a n}的公⽐为﹣2；（2）若a1＝1，则a n＝（﹣2）n﹣1，na n＝n•（﹣2）n﹣1，则数列{na n}的前n项和为S n＝1•1+2•（﹣2）+3•（﹣2）2+…+n•（﹣2）n﹣1，﹣2S n＝1•（﹣2）+2•（﹣2）2+3•（﹣2）3+…+n•（﹣2）n，两式相减可得3S n＝1+（﹣2）+（﹣2）2+（﹣2）3+…+（﹣2）n﹣1﹣n•（﹣2）n＝﹣n•（﹣2）n，化简可得S n＝，所以数列{na n}的前n项和为．19．（2020•⼭东）已知公⽐⼤于1的等⽐数列{a n}满⾜a2+a4＝20，a3＝8．（1）求{a n}的通项公式；（2）记b m为{a n}在区间（0，m]（m∈N*）中的项的个数，求数列{b m}的前100项和S100．【解答】解：（1）∵a2+a4＝20，a3＝8，∴+8q＝20，解得q＝2或q＝（舍去），∴a1＝2，∴a n＝2n，（2）记b m为{a n}在区间（0，m]（m∈N*）中的项的个数，∴2n≤m，∴n≤log2m，故b1＝0，b2＝1，b3＝1，b4＝2，b5＝2，b6＝2，b7＝2，b8＝3，b9＝3，b10＝3，b11＝3，b12＝3，b13＝3，b14＝3，b15＝3，b16＝4，…，可知0在数列{b m}中有1项，1在数列{b m}中有2项，2在数列{b m}中有4项，…，由＜100，＞100可知b63＝5，b64＝b65＝…＝b100＝6．∴数列{b m}的前100项和S100＝0+1×2+2×4+3×8+4×16+5×32+6×37＝480．20．（2020•新课标Ⅲ）设等⽐数列{a n}满⾜a1+a2＝4，a3﹣a1＝8．（1）求{a n}的通项公式；（2）记S n为数列{log3a n}的前n项和．若S m+S m+1═S m+3，求m．【解答】解：（1）设公⽐为q，则由，可得a1＝1，q＝3，所以a n＝3n﹣1．（2）由（1）有log3a n＝n﹣1，是⼀个以0为⾸项，1为公差的等差数列，所以S n＝，所以+＝，m2﹣5m﹣6＝0，解得m＝6，或m＝﹣1（舍去），所以m＝6．21．（2020•浙江）已知数列{a n}，{b n}，{c n}满⾜a1＝b1＝c1＝1，c n＝a n+1﹣a n，c n+1＝c n，（n∈N*）．（Ⅰ）若{b n}为等⽐数列，公⽐q＞0，且b1+b2＝6b3，求q的值及数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若{b n}为等差数列，公差d＞0，证明：c1+c2+c3+…+c n＜1+，n∈N*．【解答】（Ⅰ）解：由题意，b2＝q，b3＝q2，∵b1+b2＝6b3，∴1+q＝6q2，整理，得6q2﹣q﹣1＝0，解得q＝﹣（舍去），或q＝，∴c n+1＝•c n＝•c n＝•c n＝•c n＝4•c n，∴数列{c n}是以1为⾸项，4为公⽐的等⽐数列，∴c n＝1•4n﹣1＝4n﹣1，n∈N*．∴a n+1﹣a n＝c n＝4n﹣1，则a1＝1，a2﹣a1＝1，a3﹣a2＝41，•••a n﹣a n﹣1＝4n﹣2，各项相加，可得a n＝1+1+41+42+…+4n﹣2＝+1＝．（Ⅱ）证明：依题意，由c n+1＝•c n（n∈N*），可得b n+2•c n+1＝b n•c n，两边同时乘以b n+1，可得b n+1b n+2c n+1＝b n b n+1c n，∵b1b2c1＝b2＝1+d，∴数列{b n b n+1c n}是⼀个常数列，且此常数为1+d，b n b n+1c n＝1+d，∴c n＝＝•＝（1+）•＝（1+）（﹣），⼜∵b1＝1，d＞0，∴b n＞0，∴c1+c2+…+c n＝（1+）（﹣）+（1+）（﹣）+…+（1+）（﹣）＝（1+）（﹣+﹣+…+﹣）＝（1+）（﹣）＝（1+）（1﹣）＜1+，∴c1+c2+…+c n＜1+，故得证．22．（2020•上海）已知各项均为正数的数列{a n}，其前n项和为S n，a1＝1．（1）若数列{a n}为等差数列，S10＝70，求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}为等⽐数列，a4＝，求满⾜S n＞100a n时n的最⼩值．【解答】解：（1）数列{a n}为公差为d的等差数列，S10＝70，a1＝1，可得10+×10×9d＝70，解得d＝，则a n＝1+（n﹣1）＝n﹣；（2）数列{a n}为公⽐为q的等⽐数列，a4＝，a1＝1，可得q3＝，即q＝，则a n＝（）n﹣1，S n＝＝2﹣（）n﹣1，S n＞100a n，即为2﹣（）n﹣1＞100•（）n﹣1，即2n＞101，可得n≥7，即n的最⼩值为7．考点卡⽚1．数列的函数特性【知识点的认识】1、等差数列的通项公式：a n＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式S n＝na1+n（n﹣1）d或者S n＝2、等⽐数列的通项公式：a n＝a1q n﹣1；前n项和公式S n＝＝（q≠1）3、⽤函数的观点理解等差数列、等⽐数列（1）对于等差数列，a n＝a1+（n﹣1）d＝dn+（a1﹣d），当d≠0时，a n是n的⼀次函数，对应的点（n，a n）是位于直线上的若⼲个点．当d＞0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d＝0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；d＜0时，函数是减函数，对应的数列是递减函数．若等差数列的前n项和为S n，则S n＝pn2+qn（p、q∈R）．当p＝0时，{a n}为常数列；当p≠0时，可⽤⼆次函数的⽅法解决等差数列问题．（2）对于等⽐数列：a n＝a1q n﹣1．可⽤指数函数的性质来理解．当a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1时，等⽐数列是递增数列；当a1＞0，0＜q＜1或a1＜0，q＞1时，等⽐数列{a n}是递减数列．当q＝1时，是⼀个常数列．当q＜0时，⽆法判断数列的单调性，它是⼀个摆动数列．【典型例题分析】典例1：数列{a n}满⾜a n＝n2+kn+2，若不等式a n≥a4恒成⽴，则实数k的取值范围是（）A．[﹣9，﹣8]B．[﹣9，﹣7]C．（﹣9，﹣8）D．（﹣9，﹣7）解：a n＝n2+kn+2＝，∵不等式a n≥a4恒成⽴，∴，解得﹣9≤k≤﹣7，故选：B．典例2：设等差数列{a n}满⾜a1＝1，a n＞0（n∈N*），其前n项和为S n，若数列{}也为等差数列，则的最⼤值是（）A．310B．212C．180D．121解：∵等差数列{a n}满⾜a1＝1，a n＞0（n∈N*），设公差为d，则a n＝1+（n﹣1）d，其前n项和为S n＝，∴＝，＝1，＝，＝，∵数列{}也为等差数列，∴＝+，∴＝1+，解得d＝2．∴S n+10＝（n+10）2，＝（2n﹣1）2，∴＝＝，由于为单调递减数列，∴≤＝112＝121，故选：D．2．等差数列的通项公式【知识点的认识】等差数列是常⻅数列的⼀种，数列从第⼆项起，每⼀项与它的前⼀项的差等于同⼀个常数，已知等差数列的⾸项a1，公差d，那么第n项为a n＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m项为a m，则第n项为a n＝a m+（n﹣m）d．【例题解析】eg1：已知数列{a n}的前n项和为S n＝n2+1，求数列{a n}的通项公式，并判断{a n}是不是等差数列解：当n＝1时，a1＝S1＝12+1＝2，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n2+1﹣（n﹣1）2﹣1＝2n﹣1，∴a n＝，把n＝1代⼊2n﹣1可得1≠2，∴{a n}不是等差数列考察了对概念的理解，除掉第⼀项这个数列是等差数列，但如果把⾸项放进去的话就不是等差数列，题中a n的求法是数列当中常⽤到的⽅式，⼤家可以熟记⼀下．eg2：已知等差数列{a n}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7则这个数列的通项公式为解：∵等差数列{a n}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7，∴2（2a+1）＝a﹣1+a+7，解得a＝2．∴a1＝2﹣1＝1，a2＝2×2+1＝5，a3＝2+7＝9，∴数列a n是以1为⾸项，4为公差的等差数列，∴a n＝1+（n﹣1）×4＝4n﹣3．故答案：4n﹣3．这个题很好的考察了的呢公差数列的⼀个重要性质，即等差中项的特点，通过这个性质然后解⽅程⼀样求出⾸项和公差即可．【考点点评】求等差数列的通项公式是⼀种很常⻅的题型，这⾥⾯往往⽤的最多的就是等差中项的性质，这也是学习或者复习时应重点掌握的知识点．3．等差数列的前n项和【知识点的认识】等差数列是常⻅数列的⼀种，如果⼀个数列从第⼆项起，每⼀项与它的前⼀项的差等于同⼀个常数，这个数列就叫做等差数列，⽽这个常数叫做等差数列的公差，公差常⽤字⺟d表示．其求和公式为S n＝na1+n（n﹣1）d或者S n＝【例题解析】eg1：设等差数列的前n项和为S n，若公差d＝1，S5＝15，则S10＝解：∵d＝1，S5＝15，∴5a1+d＝5a1+10＝15，即a1＝1，则S10＝10a1+d＝10+45＝55．故答案为：55点评：此题考查了等差数列的前n项和公式，解题的关键是根据题意求出⾸项a1的值，然后套⽤公式即可．eg2：等差数列{a n}的前n项和S n＝4n2﹣25n．求数列{|a n|}的前n项的和T n．解：∵等差数列{a n}的前n项和S n＝4n2﹣25n．∴a n＝S n﹣S n﹣1＝（4n2﹣25n）﹣[4（n﹣1）2﹣25（n﹣1）]＝8n﹣29，该等差数列为﹣21，﹣13，﹣5，3，11，…前3项为负，其和为S3＝﹣39．∴n≤3时，T n＝﹣S n＝25n﹣4n2，n≥4，T n＝S n﹣2S3＝4n2﹣25n+78，∴．点评：本题考查等差数列的前n项的绝对值的和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运⽤．其实⽅法都是⼀样的，要么求出⾸项和公差，要么求出⾸项和第n项的值．【考点点评】等差数列⽐较常⻅，单独考察等差数列的题也⽐较简单，⼀般单独考察是以⼩题出现，⼤题⼀般要考察的话会结合等⽐数列的相关知识考察，特别是错位相减法的运⽤．4．等⽐数列的性质【等⽐数列】（⼜名⼏何数列），是⼀种特殊数列．如果⼀个数列从第2项起，每⼀项与它的前⼀项的⽐等于同⼀个常数，这个数列就叫做等⽐数列，因为第⼆项与第⼀项的⽐和第三项与第⼆项的⽐相等，这个常数叫做等⽐数列的公⽐，公⽐通常⽤字⺟q表示（q≠0）．注：q＝1时，a n 为常数列．等⽐数列和等差数列⼀样，也有⼀些通项公式：①第n项的通项公式，a n＝a1q n﹣1，这⾥a1为⾸项，q为公⽐，我们发现这个通项公式其实就是指数函数上孤⽴的点．②求和公式，S n＝，表示的是前⾯n项的和．③若m+n＝q+p，且都为正整数，那么有a m•a n ＝a p•a q．例：2，x，y，z，18成等⽐数列，则y＝．解：由2，x，y，z，18成等⽐数列，设其公⽐为q，则18＝2q4，解得q2＝3，∴y＝2q2＝2×3＝6．故答案为：6．本题的解法主要是运⽤了等⽐数列第n项的通项公式，这也是⼀个常⽤的⽅法，即知道某两项的值然后求出公⽐，继⽽可以以已知项为⾸项，求出其余的项．关键是对公式的掌握，⽅法就是待定系数法．【等⽐数列的性质】（1）通项公式的推⼴：a n＝a m•q n﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{a n}为等⽐数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则a k•a l＝a m•a n（3）若{a n}，{b n}（项数相同）是等⽐数列，则{λa n}（λ≠0），{a}，{a n•b n}，仍是等⽐数列．（4）单调性：或 {a n}是递增数列；或 {a n}是递减数列；q＝1 {a n}是常数列；q＜0 {a n}是摆动数列．5．等⽐数列的通项公式【知识点的认识】1．等⽐数列的定义如果⼀个数列从第2项起，每⼀项与它的前⼀项的⽐值等于同⼀个常数，那么这个数列叫做等⽐数列，这个常数叫做等⽐数列的公⽐，通常⽤字⺟q表示（q≠0）．从等⽐数列的定义看，等⽐数列的任意项都是⾮零的，公⽐q也是⾮零常数．2．等⽐数列的通项公式设等⽐数列{a n}的⾸项为a1，公⽐为q，则它的通项a n＝a1•q n﹣13．等⽐中项：如果在a与b中间插⼊⼀个数G，使a，G，b成等⽐数列，那么G叫做a与b的等⽐中项．G2＝a•b（ab≠0）4．等⽐数列的常⽤性质（1）通项公式的推⼴：a n＝a m•q n﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{a n}为等⽐数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则a k•a l＝a m•a n（3）若{a n}，{b n}（项数相同）是等⽐数列，则{λa n}（λ≠0），{a}，{a n•b n}，仍是等⽐数列．（4）单调性：或 {a n}是递增数列；或 {a n}是递减数列；q＝1 {a n}是常数列；q＜0 {a n}是摆动数列．6．等⽐数列的前n项和【知识点的知识】1．等⽐数列的前n项和公式等⽐数列{a n}的公⽐为q（q≠0），其前n项和为S n，当q＝1时，S n＝na1；当q≠1时，S n＝＝．2．等⽐数列前n项和的性质公⽐不为﹣1的等⽐数列{a n}的前n项和为S n，则S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n仍成等⽐数列，其公⽐为q n．7．数列的应⽤【知识点的知识】1、数列与函数的综合2、等差数列与等⽐数列的综合3、数列的实际应⽤数列与银⾏利率、产品利润、⼈⼝增⻓等实际问题的结合．8．数列的求和【知识点的知识】就是求出这个数列所有项的和，⼀般来说要求的数列为等差数列、等⽐数列、等差等⽐数列等等，常⽤的⽅法包括：（1）公式法：①等差数列前n项和公式：S n＝na1+n（n﹣1）d或S n＝②等⽐数列前n项和公式：③⼏个常⽤数列的求和公式：（2）错位相减法：适⽤于求数列{a n×b n}的前n项和，其中{a n}{b n}分别是等差数列和等⽐数列．（3）裂项相消法：适⽤于求数列{}的前n项和，其中{a n}为各项不为0的等差数列，即＝（）．（4）倒序相加法：推导等差数列的前n项和公式时所⽤的⽅法，就是将⼀个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+a n）．（5）分组求和法：有⼀类数列，既不是等差数列，也不是等⽐数列，若将这类数列适当拆开，可分为⼏个等差、等⽐或常⻅的数列，然后分别求和，再将其合并即可．【典型例题分析】典例1：已知等差数列{a n}满⾜：a3＝7，a5+a7＝26，{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）令b n＝（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．分析：形如的求和，可使⽤裂项相消法如：．解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3＝7，a5+a7＝26，∴，解得a1＝3，d＝2，∴a n＝3+2（n﹣1）＝2n+1；S n＝＝n2+2n．（Ⅱ）由（Ⅰ）知a n＝2n+1，∴b n＝＝＝＝，∴T n＝＝＝，即数列{b n}的前n项和T n＝．点评：该题的第⼆问⽤的关键⽅法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常⽤的⽅法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分⺟的⼀般就可以⽤裂项求和．【解题⽅法点拨】数列求和基本上是必考点，⼤家要学会上⾯所列的⼏种最基本的⽅法，即便是放缩也要往这⾥⾯考．9．数列递推式【知识点的知识】1、递推公式定义：如果已知数列{a n}的第1项（或前⼏项），且任⼀项a n与它的前⼀项a n﹣1（或前⼏项）间的关系可以⽤⼀个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．2、数列前n项和S n与通项a n的关系式：a n＝．在数列{a n}中，前n项和S n与通项公式a n的关系，是本讲内容⼀个重点，要认真掌握．注意：（1）⽤a n＝S n﹣S n﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成⽴的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由a n的表达式，则a n不必表达成分段形式，可化统⼀为⼀个式⼦．（2）⼀般地当已知条件中含有a n与S n的混合关系时，常需运⽤关系式a n＝S n﹣S n﹣1，先将已知条件转化为只含a n或S n的关系式，然后再求解．3、数列的通项的求法：（1）公式法：①等差数列通项公式；②等⽐数列通项公式．（2）已知S n（即a1+a2+…+a n＝f（n））求a n，⽤作差法：a n＝．⼀般地当已知条件中含有a n与S n的混合关系时，常需运⽤关系式，先将已知条件转化为只含或的关系式，然后再求解．（3）已知a1•a2…a n＝f（n）求a n，⽤作商法：a n，＝．（4）若a n+1﹣a n＝f（n）求a n，⽤累加法：a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．（5）已知＝f（n）求a n，⽤累乘法：a n＝（n≥2）．（6）已知递推关系求a n，有时也可以⽤构造法（构造等差、等⽐数列）．特别地有，①形如a n＝ka n﹣1+b、a n＝ka n﹣1+b n（k，b为常数）的递推数列都可以⽤待定系数法转化为公⽐为k的等⽐数列后，再求a n．②形如a n＝的递推数列都可以⽤倒数法求通项．（7）求通项公式，也可以由数列的前⼏项进⾏归纳猜想，再利⽤数学归纳法进⾏证明．10．等差数列与等⽐数列的综合【知识点的知识】1、等差数列的性质（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；（2）有穷等差数列中，与⾸末两端“等距离”的两项和相等，并且等于⾸末两项之和；（3）m，n∈N+，则a m＝a n+（m﹣n）d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则a s+a t＝a p+a q，其中a s，a t，a p，a q是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有a s+a t＝2a p；（5）若数列{a n}，{b n}均是等差数列，则数列{ma n+kb n}仍为等差数列，其中m，k均为常数．（6）a n，a n﹣1，a n﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．（7）从第⼆项开始起，每⼀项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2a n+1＝a n+a n+2，2a n＝a n﹣m+a n+m，（n≥m+1，n，m∈N+）（8）a m，a m+k，a m+2k，a m+3k，…仍为等差数列，公差为kd（⾸项不⼀定选a1）．2、等⽐数列的性质．（1）通项公式的推⼴：a n＝a m•q n﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{a n}为等⽐数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则a k•a l＝a m•a n（3）若{a n}，{b n}（项数相同）是等⽐数列，则{λa n}（λ≠0），{a}，{a n•b n}，仍是等⽐数列．（4）单调性：或 {a n}是递增数列；或 {a n}是递减数列；q＝1 {a n}是常数列；q＜0 {a n}是摆动数列．31。
2020年高考数学文模拟试卷分类汇编：专题06数列版含解析(52020高考)
1.【2021高|考新课标1 ,文7】{}n a 是公差为1的等差数列 ,n S 为{}n a 的前n 项和 ,假设844S S = ,那么10a = ( )(A )172 (B )192(C )10 (D )12 【答案】B【解析】∵公差1d = ,844S S = ,∴11118874(443)22a a +⨯⨯=+⨯⨯ ,解得1a =12,∴1011199922a a d =+=+= ,应选B. 【考点定位】等差数列通项公式及前n 项和公式【名师点睛】解等差数列问题关键在于熟记等差数列定义、性质、通项公式、前n 项和公式 ,利用方程思想和公式列出关于首||项与公差的方程 ,解出首||项与公差 ,利用等差数列性质可以简化计算.2.【2021高|考陕西 ,文13】中位数为1010的一组数构成等差数列 ,其末项为2021 ,那么该数列的首||项为________ 【答案】5【解析】假设这组数有21n +个 ,那么11010n a += ,212015n a += ,又12112n n a a a +++= ,所以15a =；假设这组数有2n 个 ,那么1101022020n n a a ++=⨯= ,22015n a = ,又121n n n a a a a ++=+ ,所以15a =；故答案为5【考点定位】等差数列的性质.m n p q m n p q a a a a +=+⇒+=+.2.此题属于根底题 ,注意运算的准确性.3.【2021高|考广东 ,文13】假设三个正数a ,b ,c 成等比数列 ,其中526a =+526c =- ,那么b = ．【答案】1【解析】因为三个正数a ,b ,c 成等比数列 ,所以(2565261b ac ==+-= ,因为0b > ,所以1b = ,所以答案应填：1．【考点定位】等比中项．【名师点晴】此题主要考查的是等比中项 ,属于容易题．解题时要抓住关键字眼 "正数〞 ,否那么很容易出现错误．解此题需要掌握的知识点是等比中项的概念 ,即假设a ,G ,b 成等比数列 ,那么G 称为a 与b 的等比中项 ,即2G ab =．4.【2021高|考福建 ,文16】假设,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点 ,且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列 ,也可适当排序后成等比数列 ,那么p q + 的值等于________．【答案】9【解析】由韦达定理得a b p += ,a b q ⋅= ,那么0,0a b >> ,当,,2a b -适当排序后成等比数列时 ,2-必为等比中项 ,故4a b q ⋅== ,4b a =．当适当排序后成等差数列时 ,2-必不是等差中项 ,当a 是等差中项时 ,422a a =- ,解得1a = ,4b =；当4a是等差中项时 ,82a a=- ,解得4a = ,1b = ,综上所述 ,5a b p +== ,所以p q +9=．【考点定位】等差中项和等比中项．【名师点睛】此题以零点为载体考查等比中项和等差中项 ,其中分类讨论和逻辑推理是解题核心．三个数成等差数列或等比数列 ,项与项之间是有顺序的 ,但是等差中项或等比中项是唯一的 ,故可以利用中项进行讨论 ,属于难题．5.【2021高|考浙江 ,文10】{}n a 是等差数列 ,公差d 不为零．假设2a ,3a ,7a 成等比数列 ,且1221a a += ,那么1a = ,d = ． 【答案】2,13- 【解析】由题可得 ,2111(2)()(6)a d a d a d +=++ ,故有1320a d += ,又因为1221a a += ,即131a d += ,所以121,3d a =-=. 【考点定位】1.等差数列的定义和通项公式；2.等比中项.【名师点睛】此题主要考查等差数列的定义和通项公式.主要考查学生利用等差数列的定义以及等比中项的性质 ,建立方程组求解数列的首||项与公差.此题属于容易题 ,主要考查学生正确运算的能力.6.【2021高|考新课标1 ,文13】数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和 ,假设126n S = ,那么n = .【答案】6【解析】∵112,2n n a a a +== ,∴数列{}n a 是首||项为2 ,公比为2的等比数列 ,∴2(12)12612n n S -==- ,∴264n = ,∴n =6.考点：等比数列定义与前n 项和公式【名师点睛】解等差数列问题关键在于熟记等比数列定义、性质、通项公式、前n 项和公式 ,利用方程思想和公式列出关于首||项与公比的方程 ,解出首||项与公比 ,利用等比数列性质可以简化计算.7.【2021高|考安徽 ,文13】数列}{n a 中 ,11=a ,211+=-n n a a (2≥n ) ,那么数列}{n a 的前9项和等于 . 【答案】27【解析】∵2≥n 时 ,21,21121+=+=-a a a a n n 且 ∴{}1a a n 是以为首||项 ,21为公差的等差数列 ∴2718921289199=+=⨯⨯+⨯=S 【考点定位】此题主要考查等差数列的定义、通项公式和前n 项和公式的应用.【名师点睛】能够从递推公式判断数列的类型或采用和种方法是解决此题的关键 ,这需要考生平时多加积累 ,同时此题还考查了等差数列的根本公式的应用 ,考查了考生的根本运算能力. 8.【2021高|考福建 ,文17】等差数列{}n a 中 ,24a = ,4715a a +=． (Ⅰ )求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ )设22n a n b n -=+ ,求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．【答案】 (Ⅰ )2n a n =+； (Ⅱ )2101． 【解析】 (I )设等差数列{}n a 的公差为d ．由得()()11143615a d a d a d +=⎧⎪⎨+++=⎪⎩ ,解得131a d =⎧⎨=⎩．所以()112n a a n d n =+-=+． (II )由 (I )可得2n n b n =+．所以()()()()231012310212223210b b b b +++⋅⋅⋅+=++++++⋅⋅⋅++()()2310222212310=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+()()1021211010122-+⨯=+-()112255=-+ 112532101=+=．【考点定位】1、等差数列通项公式；2、分组求和法．【名师点睛】确定等差数列的根本量是1,a d ．所以确定等差数列需要两个独立条件 ,求数列前n 项和常用的方法有四种： (1 )裂项相消法 (通过将通项公式裂成两项的差或和 ,在前n 项相加的过程中相互抵消 )；(2 )错位相减法 (适合于等差数列乘以等比数列型 )； (3 )分组求和法(根据数列通项公式的特点 ,将其分解为等差数列求和以及等比数列求和)； (4 )奇偶项分析法 (适合于整个数列特征不明显 ,但是奇数项之间以及偶数项之间有明显的等差数列特征或等比数列特征 )．9.【2021高|考北京 ,文16】 (本小题总分值13分 )等差数列{}n a 满足1210a a += ,432a a -=．(I )求{}n a 的通项公式；(II )设等比数列{}n b 满足23b a = ,37b a = ,问：6b 与数列{}n a 的第几项相等 ? 【答案】 (I )22n a n =+； (II )6b 与数列{}n a 的第63项相等. 【解析】试题分析：此题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等根底知识 ,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力. (I )利用等差数列的通项公式 ,将1234,,,a a a a 转化成1a 和d ,解方程得到1a 和d 的值 ,直接写出等差数列的通项公式即可； (II )先利用第|一问的结论得到2b 和3b 的值 ,再利用等比数列的通项公式 ,将2b 和3b 转化为1b 和q ,解出1b 和q 的值 ,得到6b 的值 ,再代入到上一问等差数列的通项公式中 ,解出n 的值 ,即项数. 试题解析： (Ⅰ )设等差数列{}n a 的公差为d . 因为432a a -= ,所以2d =.又因为1210a a += ,所以1210a d += ,故14a =. 所以42(1)22n a n n =+-=+ (1,2,)n =.(Ⅱ )设等比数列{}n b 的公比为q . 因为238b a == ,3716b a == , 所以2q = ,14b =. 所以61642128b -=⨯=. 由12822n =+ ,得63n =. 所以6b 与数列{}n a 的第63项相等. 考点：等差数列、等比数列的通项公式.【名师点晴】此题主要考查的是等差数列的通项公式和等比数列的通项公式 ,属于中档题．此题通过求等差数列和等比数列的根本量 ,利用通项公式求解．解此题需要掌握的知识点是等差数列的通项公式和等比数列的通项公式 ,即等差数列的通项公式：()11n a a n d =+- ,等比数列的通项公式：11n n a a q -=．10.【2021高|考安徽 ,文18】数列{}n a 是递增的等比数列 ,且14239,8.a a a a +== (Ⅰ )求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ )设n S 为数列{}n a 的前n 项和 ,11n n n n a b S S ++=,求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】 (Ⅰ )12n n a -= (Ⅱ ) 112221n n ++--【解析】(Ⅰ )由题设可知83241=⋅=⋅a a a a , 又941=+a a , 可解的⎩⎨⎧==8141a a 或⎩⎨⎧==1841a a (舍去 )由314q a a =得公比2=q ,故1112--==n n n q a a .(Ⅱ )1221211)1(1-=--=--=n nn n q q a S 又1111111n n n n n n n n n n a S S b S S S S S S +++++-===-所以1113221211111...1111...++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++=n n nn n S S S S S S S S b b b T12111--=+n .【考点定位】此题主要考查等比数列的通项公式、性质 ,等比数列的前n 项和 ,以及利用裂项相消法求和.【名师点睛】此题利用 "假设q p n m +=+ ,那么q p n m a a a a =〞 ,是解决此题的关键 ,同时考生发现1111111n n n n n n n n n n a S S b S S S S S S +++++-===-是解决此题求和的关键,此题考查了考生的根底运算能力.11.【2021高|考广东 ,文19】 (本小题总分值14分 )设数列{}n a 的前n 项和为n S ,n *∈N ．11a = ,232a =,354a = ,且当2n ≥ 时 ,211458n n n n S S S S ++-+=+． (1 )求4a 的值； (2 )证明：112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； (3 )求数列{}n a 的通项公式．【答案】 (1 )78； (2 )证明见解析； (3 )()11212n n a n -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭．【解析】试题分析： (1 )令2n =可得4a 的值； (2 )先将211458n n n n S S S S ++-+=+ (2n ≥ )转化为2144n n n a a a +++= ,再利用等比数列的定义可证112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列； (3 )先由 (2 )可得数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的通项公式 ,再将数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的通项公式转化为数列12n n a ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭是等差数列 ,进而可得数列{}n a 的通项公式． 试题解析：(1)当2n =时 ,4231458S S S S +=+ ,即435335415181124224a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,解得：478a =(2 )因为211458n n n n S S S S ++-+=+ (2n ≥ ) ,所以21114444n n n n n n S S S S S S ++-+-+-=- (2n ≥ ) ,即2144n n n a a a +++= (2n ≥ ) ,因为3125441644a a a +=⨯+== ,所以2144n n n a a a +++= ,因为()2121111111114242212142422222n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a +++++++++++-----====---- ,所以数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以21112a a -=为首||项 ,公比为12的等比数列(3 )由 (2 )知：数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以21112a a -=为首||项 ,公比为12的等比数列 ,所以111122n n n a a -+⎛⎫-= ⎪⎝⎭即1141122n n n na a ++-=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,所以数列12n n a ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭是以1212a =为首||项 ,公差为4的等差数列 ,所以()2144212nna n n =+-⨯=-⎛⎫⎪⎝⎭,即()()111422122nn n a n n -⎛⎫⎛⎫=-⨯=-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,所以数列{}n a 的通项公式是()11212n n a n -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的通项公式；3、等差数列的通项公式.【名师点晴】此题主要考查的是等比数列的定义、等比数列的通项公式和等差数列的通项公式 ,属于难题．此题通过将n S 的递推关系式转化为n a 的递推关系式 ,利用等比数列的定义进行证明 ,进而可得通项公式 ,根据通项公式的特点构造成等差数列进行求解．解题时一定要注意关键条件 "2n ≥〞 ,否那么很容易出现错误．解此题需要掌握的知识点是等比数列的定义、等比数列的通项公式和等差数列的通项公式 ,即等比数列的定义：1n na q a += (常数 ) ,等比数列的通项公式：11n n a a q -= ,等差数列的通项公式：()11n a a n d =+-．12.【2021高|考湖北 ,文19】设等差数列{}n a 的公差为d ,前n 项和为n S ,等比数列{}n b 的公比为q ．11b a = ,22b = ,q d = ,10100S =． (Ⅰ )求数列{}n a ,{}n b 的通项公式； (Ⅱ )当1d >时 ,记nn na cb =,求数列{}n c 的前n 项和n T ． 【答案】 (Ⅰ )121,2.n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或11(279),929().9n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩； (Ⅱ )12362n n n T -+=-.【考点定位】此题综合考查等差数列、等比数列和错位相减法求和 ,属中档题.【名师点睛】这是一道简单综合试题 ,其解题思路：第|一问直接借助等差、等比数列的通项公式列出方程进行求解 ,第二问运用错位相减法直接对其进行求和.表达高|考坚持以根底为主 ,以教材为蓝本 ,注重计算能力培养的根本方向.13.【2021高|考湖南 ,文19】 (本小题总分值13分 )设数列{}n a 的前n 项和为n S ,121,2a a == ,且13n n a S +=*13,()n S n N +-+∈ ,(I )证明：23n n a a +=； (II )求n S .【答案】 (I )略；(II) 2*2*23(531),(21,)23(31),(2,)2n n nn k k N S n k k N -⎧⨯-=+∈⎪⎪=⎨⎪-=∈⎪⎩ 【解析】 试题分析：(I)当*,2n N n ∈≥时 ,由题可得23n n a S +=*13,()n S n N +-+∈ ,113n n a S +-=*3,()n S n N -+∈ ,两式子相减可得2113n n n n a a a a +++-=- ,即23,(2)n n a a n +=≥ ,然后验证当n =1时 ,命题成立即可； (II)通过求解数列{}n a 的奇数项与偶数项的和即可得到其对应前n 项和的通项公式. 试题解析： (I )由条件 ,对任意*n N ∈ ,有23n n a S +=*13,()n S n N +-+∈ , 因而对任意*,2n N n ∈≥ ,有113n n a S +-=*3,()n S n N -+∈ , 两式相减 ,得2113n n n n a a a a +++-=- ,即23,(2)n n a a n +=≥ , 又121,2a a == ,所以3121121333()33a S S a a a a =-+=-++= , 故对一切*n N ∈ ,23n n a a += . (II )由 (I )知 ,0n a ≠ ,所以23n na a += ,于是数列21{}n a -是首||项11a = ,公比为3的等比数列 ,数列2{}n a 是首||项12a = ,公比为3的等比数列 ,所以112123,23n n n n a a ---==⨯ , 于是21221321242()()n n n n S a a a a a a a a a -=+++=+++++++1113(31)(133)2(133)3(133)2n n n n ----=+++++=++=从而1221223(31)323(531)22n n n n n n S S a ----=-=-⨯=⨯- , 综上所述 ,2*2*23(531),(21,)23(31),(2,)2n n nn k k N S n k k N -⎧⨯-=+∈⎪⎪=⎨⎪-=∈⎪⎩ . 【考点定位】数列递推关系、数列求和【名师点睛】数列{a n }的前n 项和S n ,求数列的通项公式 ,其求解过程分为三步：(1)先利用a 1＝S 1求出a 1；(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系 ,利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；(3)对n ＝1时的结果进行检验 ,看是否符合n ≥2时a n 的表达式 ,如果符合 ,那么可以把数列的通项公式合写；如果不符合 ,那么应该分n ＝1与n ≥2两段来写．数列求和的常用方法有倒序相加法 ,错位相减法 ,裂项相消法 ,分组求和法 ,并项求和法等 ,可根据通项特点进行选用.14 .【2021高|考湖南 ,文21】 (本小题总分值13分 )函数2()cos ([0,)f x ae x x =∈+∞ ,记n x 为()f x 的从小到大的第*()n n N ∈个极值点 . (I )证明：数列{()}n f x 是等比数列；(II )假设对一切*,()n n n N x f x ∈≤恒成立 ,求a 的取值范围 .【答案】 (I )略；(II) 2,)π-+∞【解析】试题分析： (I )由题()cos()4x f x x π'=+ ,令()0f x '= ,求出函数的极值点 ,根据等比数列定义即可得到结果；(II)由题意问题等价于3434n e n ππππ-≤-恒成立问题 ,设()(0)te g t t t => ,然后运用导数知识得到2min1254[()]min[(),()]min[(),()]()444n g x g x g x g g g e πππππ==== ,所以24e ππ≤ ,求得2a π-≥ ,得到a 的取值范围；试题解析：(I )()cos sin cos()4x x x f x ae x ae x x π'=-=+令()0f x '= ,由0x ≥ ,得42x m πππ+=- ,即*3,4x m m N ππ=-∈ ,而对于cos()4x π+,当k Z ∈时 ,假设22242k x k πππππ-<+<+,即32244k x k ππππ-<<+ ,那么cos()04x π+>；假设322242k x k πππππ+<+<+,即52244k x k ππππ+<<+,那么cos()04x π+<；因此 ,在区间3((1),)4m m πππ--与3(,)44m m ππππ-+上 ,()f x '的符号总相反 ,于是当*3,4x m m N ππ=-∈时 ,()f x 取得极值 ,所以*3,4n x n n N ππ=-∈ ,此时, 33443()cos()(1)4n n n n f x aen ππππππ--+=-=- ,易知()0n f x ≠ ,而1()()n n f x e f x π+==-是常数 , 故数列{()}n f x 是首||项为41()f x ae π= ,公比为e π-的等比数列 .(II )对一切*,()n n n N x f x ∈≤恒成立 ,即3434n n ππππ--≤恒成立 ,亦即3434n e n ππππ-≤-恒成立 ,设()(0)t e g t t t => ,那么2(1)()t e t g t t-'= ,令()0g t '=得1t = , 当01t <<时 ,()0g t '< ,所以()g t 在区间(0,1)上单调递减； 当1t >时 ,()0g t '> ,所以()g t 在区间(1,)+∞上单调递增； 因为(0,1)n x ∈ ,且当2n ≥时 ,1(1,),,n n n x x x +∈+∞<所以2min1254[()]min[(),()]min[(),()]()444n g x g x g x g g g e πππππ====因此 ,*,()n n n N x f x ∈≤恒成立 ,24e ππ≤ ,解得2a π-≥ ,故实数a的取值范围是2,)π-+∞ .【考点定位】恒成立问题；等比数列的性质【名师点睛】解决数列与函数的综合问题时 ,如果是证明题要根据等比数列的定义明确证明的方向 ,如果是不等式恒成立问题 ,要使用不等式恒成立的各种不同解法 ,如变量别离法、最||值法、因式分解法等 ,总之解决这类问题把数列看做特殊函数 ,并把它和不等式的知识巧妙结合起来综合处理就行了．15.【2021高|考山东 ,文19】数列{}n a 是首||项为正数的等差数列 ,数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬•⎩⎭的前n 项和为21nn +. (I )求数列{}n a 的通项公式；(II )设()12n an n b a =+⋅ ,求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】 (I )2 1.n a n =- (II) 14(31)4.9n n n T ++-⋅=【解析】(I )设数列{}n a 的公差为d , 令1,n =得12113a a = ,所以123a a =. 令2,n =得12231125a a a a += ,所以2315a a =. 解得11,2a d == ,所以2 1.n a n =-(II )由 (I )知24224,n n n b n n -=⋅=⋅所以121424......4,n n T n =⋅+⋅++⋅ 所以23141424......(1)44,n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅ 两式相减 ,得121344......44n n n T n +-=+++-⋅114(14)13444,1433n n n n n ++--=-⋅=⨯--所以113144(31)44.999n n n n n T ++-+-⋅=⨯+= 【考点定位】1.等差数列的通项公式；2.数列的求和、 "错位相减法〞.【名师点睛】此题考查了等差数列的通项公式、等比数列的求和、 "错位相减法〞等 ,解答此题的关键 ,首||先是注意运用从一般到特殊的处理方法 ,准确确定等差数列的通项公式；其次就是能对所得数学式子准确地变形 ,此题易错点在于错位相减后求和时 ,弄错数列的项数 ,或忘记从3n T -化简到n T .此题是一道能力题 ,属于中等题.在考查等差数列、等比数列等根底知识的同时 ,考查考生的计算能力.此题是教科书及教辅材料常见题型 ,能使考生心理更稳定 ,利于正常发挥. 16.【2021高|考陕西 ,文21】设2()1,, 2.n n f x x x x n N n =+++-∈≥(I)求(2)n f '；(II)证明：()n f x 在20,3⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个零点 (记为n a ) ,且1120233nn a ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭.【答案】(I) (2)(1)21n n f n '=-+ ；(II)证明略 ,详见解析.试题解析：(I)由题设1()12n n f x x nx -'=+++ ,所以1(2)1222n n f n -'=+⨯++ ①由 22(2)12222n n f n '=⨯+⨯++ ② ①-②得21(2)12222n n n f n -'-=++++-2122(1)2112n n n n -=-⋅=--- , 所以 (2)(1)21n n f n '=-+ (II)因为(0)10f =-<222133222()112120233313nn n f ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-=-⨯≥-⨯> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- ,所以()n f x 在2(0,)3内至||少存在一个零点 , 又1()120n n f x x nx -'=+++>所以()n f x 在2(0,)3内单调递增 ,因此 ,()n f x 在2(0,)3内有且只有一个零点n a ,由于1()11nn x f x x -=-- ,所以10()11nn n n na f a a -==--由此可得1111222n n n a a +=+> 故1223n a << 所以111112120222333n nn n n a a ++⎛⎫⎛⎫<-=<⨯=⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【考点定位】1.错位相减法；2.零点存在性定理；3.函数与数列.【名师点睛】 (1 )在函数出现多项求和形式 ,可以类比数列求和的方法进行求和； (2 )证明零点的唯一可以从两点出发：先使用零点存在性定理证明零点的存在性 ,再利用函数的单调性证明零点的唯一性； (2 )有关函数中的不等式证明 ,一般是先构造函数 ,再求出函数在定义域范围内的值域即可； (4 )此题属于中档题 ,要求有较高逻辑思维能力和计算能力. 17.【2021高|考四川 ,文16】设数列{a n }(n ＝1 ,2 ,3…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 3 ,且a 1 ,a 2＋1 ,a 3成等差数列. (Ⅰ)求数列的通项公式； (Ⅱ)设数列1{}na 的前n 项和为T n ,求T n . 【解析】(Ⅰ) 由S n ＝2a n －a 1 ,有 a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)即a n ＝2a n －1(n ≥2)从而a 2＝2a 1 ,a 3＝2a 2＝4a 1 , 又因为a 1 ,a 2＋1 ,a 3成等差数列 即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1) ,解得a 1＝2所以 ,数列{a n }是首||项为2 ,公比为2的等比数列 故a n ＝2n .(Ⅱ)由(Ⅰ)得112n n a =所以T n ＝211[1()]111122 (11222212)n n n -+++==--【考点定位】此题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式与前n 项和等根底知识 ,考查运算求解能力.【名师点睛】数列问题放在解答题第|一题 ,通常就考查根本概念和根本运算 ,对于条件是S n 与a n 关系式的问题 ,根本处理方法是 "变更序号作差〞 ,这种方法中一定要注意首||项a 1是否满足一般规律(代入检验即可 ,或者根据变换过程中n 的范围和递推关系中的表达式判断).数列求和时 ,一定要注意首||项、公比和项数都不能出错.同时注意 ,对于较为简单的试题 ,解析步骤一定要详细具体 ,不可随意跳步.属于简单题.18.【2021高|考天津 ,文18】 (本小题总分值13分 )n a 是各项均为正数的等比数列,n b 是等差数列,且112331,2a b b b a ,5237a b .(I )求n a 和n b 的通项公式; (II )设*,nn n c a b n N ,求数列n c 的前n 项和.【答案】 (I )12,n n a n -*=∈N ,21,n b n n *=-∈N ; (II )()2323nn S n =-+ 【解析】(I )列出关于q 与d 的方程组,通过解方程组求出q ,d ,即可确定通项; (II )用错位相减法求和.试题解析: (I )设n a 的公比为q ,n b 的公差为d ,由题意0q > ,由,有24232,310,q d q d ⎧-=⎨-=⎩消去d得42280,q q --= 解得2,2q d == ,所以n a 的通项公式为12,n n a n -*=∈N , n b 的通项公式为21,n b n n *=-∈N .(II )由 (I )有()1212n n c n -=- ,设n c 的前n 项和为n S ,那么()0121123252212,n n S n -=⨯+⨯+⨯++-⨯()1232123252212,n n S n =⨯+⨯+⨯++-⨯两式相减得()()2312222122323,n n n n S n n -=++++--⨯=--⨯-所以()2323nn S n =-+ .【考点定位】此题主要考查等差、等比数列的通项公式及错位相减法求和,考查根本运算能力. 【名师点睛】近几年高|考试题中求数列通项的题目频频出现,尤其对等差、等比数列的通项考查较多,解决此类 问题要重视方程思想的应用.错位相减法求和也是高|考考查频率较高的一类方法,从历年考试情况来看,这类问题,运算失误较多,应引起考生重视.19.【2021高|考浙江 ,文17】 (此题总分值15分 )数列n a 和n b 满足 ,*1112,1,2(n N ),n n a b a a +===∈*12311111(n N )23n n b b b b b n+++++=-∈. (1 )求n a 与n b ；(2 )记数列n n a b 的前n 项和为n T ,求n T . 【答案】(1)2;nn n a b n ==；(2)1*(1)22()n n T n n N +=-+∈【解析】(1)根据数列递推关系式 ,确定数列的特点 ,得到数列的通项公式；(2)根据(1)问得到新的数列的通项公式 ,利用错位相减法进行数列求和. 试题解析：(1)由112,2n n a a a +== ,得2nn a =. 当1n =时 ,121b b =- ,故22b =. 当2n ≥时 ,11n n n b b b n +=- ,整理得11n n b n b n++=, 所以n b n =.(2)由(1)知 ,2nn n a b n =⋅ 所以23222322n n T n =+⋅+⋅++⋅2341222232(1)22n n n T n n +=+⋅+⋅++-⋅+⋅所以2311222222(1)22n n n n n n T T T n n ++-=-=++++-⋅=--所以1(1)22n n T n +=-+.【考点定位】1.等差等比数列的通项公式；2.数列的递推关系式；3.错位相减法求和. 【名师点睛】此题主要考查等差数列、等比数列的通项公式以及数列的求和.根据数列递推关系式推理得到数列的性质和特点 ,以此得到数列的通项公式 ,利用错位相减法计算新组合的数列的求和问题.此题属于中等题 ,主要考查学生根本的运算能力. 20.【2021高|考重庆 ,文16】等差数列{}n a 满足3a =2 ,前3项和3S =92. (Ⅰ)求{}n a 的通项公式 ,(Ⅱ)设等比数列{}n b 满足1b =1a ,4b =15a ,求{}n b 前n 项和n T . 【答案】 (Ⅰ )+1=2n n a , (Ⅱ )21n n T .【解析】试题分析： (Ⅰ )由及等差数列的通项公式和前n 项和公式可得关于数列的首||项a 1和公式d 的二元一次方程组 ,解此方程组可求得首||项及公差的值 ,从而可写出此数列的通项公式 , (Ⅱ )由 (Ⅰ )的结果可求出b 1和b 4的值 ,进而就可求出等比数列的公比 ,再由等比数列的前n 项和公式1(1)1n nb q T q即可求得数列{}n b 前n 项和n T ．试题解析： (1 )设n a 的公差为d ,那么由条件得1132922,3,22a d a d 化简得11322,,2a d a d解得11=1,2a d， 故通项公式1=1+2n n a ,即+1=2n n a .(2)由 (1 )得141515+1=1==82b b a ，.设n b 的公比为q,那么341q 8b b ,从而2q .故n b 的前n 项和1(1)1(12)21112n n n nb q T q .【考点定位】1. 等差数列 ,2. 等比数列.【名师点睛】此题考查等差数列及等比数列的概念、通项公式及前n 项的求和公式 ,利用方程组思想求解.此题属于根底题 ,注意运算的准确性.【2021高|考上海 ,文23】 (此题总分值16分 )此题共3小题.第1小题4分 ,第2小题6分 ,第3小题6分.数列}{n a 与}{n b 满足)(211n n n n b b a a -=-++ ,*∈N n . (1 )假设53+=n b n ,且11=a ,求数列}{n a 的通项公式；(2 )设}{n a 的第0n 项是最||大项 ,即)N (0*∈≥n a a n n ,求证：数列}{n b 的第0n 项是最||大项；(3 )设130a λ=< ,n n b λ=)N (*∈n ,求λ的取值范围 ,使得对任意m ,*∈N n ,0n a ≠ ,且1(,6)6m na a ∈. 【答案】 (1 )56-=n a n ； (2 )详见解析； (3 ))0,41(-. 【解析】 (1 )因为)(211n n n n b b a a -=-++ ,53+=n b n , 所以)(211n n n n b b a a -=-++6)5383(2=--+=n n ,所以}{n a 是等差数列 ,首||项为11=a ,公差为6 ,即56-=n a n . (2 )由)(211n n n n b b a a -=-++ ,得n n n n b a b a 2211-=-++ ,所以}2{n n b a -为常数列 ,1122b a b a n n -=- ,即1122b a b a n n -+= , 因为n n a a ≥0 ,*∈N n ,所以111122220b a b b a b n n -+≥-+ ,即n n b b ≥0 , 所以}{n b 的第0n 项是最||大项.(3 )因为n n b λ= ,所以)(211n n n n a a λλ-=-++ ,当2≥n 时 ,112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-+⋅⋅⋅+-+-=--- λλλλλλλ3)(2(2)(22211+-+⋅⋅⋅+-+-=---n n n nλλ+=n 2 , 当1=n 时 ,λ31=a ,符合上式 , 所以λλ+=n n a 2 ,因为031<=λa ,且对任意*∈N n ,)6,61(1∈n a a , 故0<n a ,特别地0222<+=λλa ,于是)0,21(-∈λ , 此时对任意*∈N n ,0≠n a , 当021<<-λ时 ,λλλ>+=n n a 22||2 ,λλλ<+-=--1212||2n n a , 由指数函数的单调性知 ,}{n a 的最||大值为0222<+=λλa ,最||小值为λ31=a , 由题意 ,n m a a 的最||大值及最||小值分别是12321+=λa a 及31212+=λa a , 由61312>+λ及6123<+λ ,解得041<<-λ , 综上所述 ,λ的取值范围是)0,41(-.【考点定位】数列的递推公式 ,等差数列的性质 ,常数列 ,数列的最||大项 ,指数函数的单调性.【名师点睛】数列是高中数学的重要内容之一 ,是衔接初等数学与高等数学的桥梁 ,在高|考中的地位举足轻重 ,近年来的新课标高|考都把数列作为核心内容来加以考查 ,并且创意不断 ,常考常新．公众号：惟微小筑。
2020届高考理科数学(理数)高三模拟试卷(全国1卷)pdf参考答案
理科数学答案全解全析一、选择题1. 【答案】D【解析】集合 A 满足： x2 3x 4 0 ，( x 4)( x 1) 0 ， x 4 或x 1 ， A {x | x 4 或 x 1} ， CU A={x | 1 x 4} ， y 2x 2 2 ， B {y | y 2} ，可知 (CU A) B {x | 2 x 4} .故选 D. 2. 【答案】A【解析】 z 1 i (1 i)(1 2i) 1 3i ，复数 z 的虚部为 3 ，1 2i555故错误；② | z | ( 1)2 ( 3)2 10 ，故错误；③复数 z 对应的555点为 ( 1 ， 3) 为第三象限内的点，故正确；④复数不能比较大小， 55故错误.故选 A.3. 【答案】C【解析】 Sn 2an 4 ，可得当 n 1 时， a1 2a1 4 ， a1 4 ，当n 2时，S n 12 an 14与已知相减可得an an 12，可知数列{ an } 是首项为 4，公比为 2 的等比数列， a5 4 24 64 .故选 C.4. 【答案】D【解析】可知降落的概率为pA22 A55 A661 3.故选D.5. 【答案】C【解析】函数 f (x) 2 020x sin 2x 满足 f (x) 2 020x sin 2x f (x) ，且 f (x) 2 020 2cos 2x 0 ，可知函数 f (x) 为单调递增的奇函数， f (x2 x) f (1 t) 0 可以变为 f (x2 x) f (1 t) f (t 1) ，可知 x2 x t 1 ，t x2 x 1 ，x2 x 1 (x 1)2 2 3 3 ，可知实数 t 3 ，故实数 t 的取值范围为 (∞，3] .故选 C.44446. 【答案】A【解析】双曲线的渐近线方程为 y 3x ，可得双曲线的方程为x2 y2 ，把点 P(2，3) 代入可得 4 3= ， 1 ，双曲线的 3方程为 x2 y2 1，c2 1 3 4，c 2，F(2，0) ，可得 A(2，2 3) ， 3B(2， 23)，可得SAOB1 224343 .故选 A.7. 【答案】B【解析】 f (x) sin(x π )sin x cos2 x3 (sin x cos π cos x sin π )sin x 1 cos 2x332 3 sin 2x 1 cos 2x 3 1 ( 3 sin 2x 1 cos 2x) 3444 2224 1 sin(2x π ) 3264把函数 f (x) 的图象向右平移 π 单位，再把横坐标缩小到原来的一 6半，得到函数 g(x) ，可得 g (x) 1 sin(4x π ) 3 ，最小正周期为2642π π ，故选项 A 错误； x π ， 4x π 4 π π π ，故选426666 2项 B 正确；最大值为 1 3 5 ，故选项 C 错误；对称中心的方程 244为 (kπ π ，3)(k Z) ，故选项 D 错误.故选 B. 4 24 48. 【答案】D【解析】可知 BDC 120°，且 AD 3 ，BD DC 1 ，在 BDC中，根据余弦定理可得 BC 2 1 1 2 11 cos120° 3， BC 3 ，据正弦定理可得 BC 2r ， sin120°3 32r，r 1 ， O1 为 BDC2的外心，过点 O1 作 O1O 平面 BDC ， O 为三棱锥 A BCD 的外 接球的球心，过点 O 作 OK AD ， K 为 AD 的中点，连接 OD 即为外接球的半径 R 12 ( 3 )2 7 ，可得外接球的表面积为22S 4πR2 4π ( 7 )2 7π .故选 D. 29. 【答案】C【解析】二项式 (x y)n 的展开式的二项式项的系数和为 64 ，可得 2n 64 ，n 6 ，(2x 3)n (2x 3)6 ，设 x 1 t ，2x 3 2t 1 ，(2x 3)n (2x 3)6 (2t 1)6 a 0 a1t a 2t 2 a 6t 6 ，可得 Tr1 C64 (2t)6414 C64 22t 2 60t 2 ，可知 a2 60 .故选 C. 10.【答案】A【解析】设点 P(x0 ，y0) ，则 x0 y0 6 0 ，则过点 P 向圆 C 作切 线，切点为 A，B ，连接 AB ，则直线 AB 的方程为 xx0 yy0 4 ，可得y0x06，代入可得(xy) x06y40，满足 x y 0 6y 4 0 x 2 3，故过定点为M(2，2).故选A. y2 33311.【答案】B【解析】f (x) log2 (x2 e|x|) ，定义域为 R ，且满足 f ( x) f (| x |) ，当 x 0 时，单调递增，而 (5)0.2 1 ， 0 (1)0.3 1 ， b a ，42cf(log 125) 4f( log25) 4f(log25 4)，而0log25 4 log221， 2( 1 )0.3 21 2， log 25 4 (1)0.3 ， 2f(log25) 4f(( 1 )0.3 ) 2，故 c a，故 c a b .故选 B.12.【答案】D【解析】f (x1) f (x2 ) x1 x21 x1x2，不妨设 x1x2 ，则f( x1) f (x2 ) 1 x21 x1，整理可得f (x1) 1 x1f (x2 ) 1 x2，设函数 h(x) f (x) 1 xa ln xx1 x在[e2 ，e4 ]上单调递减，可知 h'(x)a(1 ln x2x)1 x20，可知 a 1 1 lnx，而函数F ( x)1 1 lnx在[e2，e4 ]单调递增，F (x)maxF (4)11 41 3，可知实数a 1 3.故选D.二、填空题13.【答案】 9 5 5【解析】向量 a b在 a上的投影为| a b|cos (a b) a|a| (1，5) (1，2) 9 5 .5514.【答案】 5 2 6【解析】首先作出可行域，把 z ax by(a 0，b 0) 变形为 y a x z ，根据图象可知当目标函数过点 A 时，取最大值为 1， bb理科数学答案第 1 页（共 4 页） x 2x y 1 0 y40A(3，2)，代入可得3a2b1，则1 a1 b3a a2b 3a 2b 3 2b 3a 2 5 2 2b 3a 5 2 6 ，当且仅当bababb 6 a 取等号，可知最小值为 5 2 6 .故选 C. 215.【答案】 4 3【解析】 cos A cos B 2 3 sin C ，根据正弦定理 sin B cos A ab3asin Acos B 2 3 sin B sin C ，可知 sin( A B) 2 3 sin B sin C ，33sin C 2 3 sin B sin C ，sin B 3 ，在 ABC 内，可知 B π 或3232π ，因为锐角 ABC ，可知 B π ，利用余弦定理可得 b2 a2 c2 332ac cos B a2 c2 ac 2ac ac ac ，可知 ac 16 ，则 ABC 的面积的最大值 1 ac sin B 1 16 3 4 3 ，当且仅当 a c 时，取222等号，故面积的最大值为 4 3 .16.【答案】 4 5【解析】抛物线 C ：y2 2 px( p 0) 的准线方程为 x 2 ，可知抛物线 C 的方程为：y2 8x ，设点 A(x1 ，y1) ，B(x2 ，y2 ) ，AB 的中点为 M (x0 ，y0 ) ，则 y12 8x1 ，y22 8x2 两式相减可得 ( y1 y2 )( y1 y2 ) 8(x1 x2 )，y1 y2 x1 x2 8 y1 y2 ，可知 8 (1) 1 2 y0 x0 y0 6 0，解得 x0 y02 4，可得 M(2，4)，则 OA OB 2OM 2(2，4) (4，8) ，可得 | OA OB | | (4，8) | 42 82 4 5 .三、解答题17.【解析】（1） a1 1，an1 2an 1 ，可得 an1 1 2(an 1) ，{an 1} 是首项为 2，公比为 2 的等比数列.--------------- 2 分 an 1 2 2n1 2n ， an 2n 1 .即数列 { an } 的通项公式 an 2n 1 .--------------- 4 分数列 { bn } 的前 n 项的和为 Sn n2 ，可得 b1 S1 1 ，当 n 2 时， bn Sn Sn1 n2 (n 1)2 2n 1 ，故数列 { bn } 的通项公式为 bn 2n 1 .--------------- 6 分（2）可知 cn bn an (2n 1) (2n 1) (2n 1) 2n (2n 1) --------------- 7 分设 An 1 2 3 22 5 23 (2n 1) 2 n ， 2 An 1 22 3 23 (2n 3) 2 n (2n 1) 2 n 1 ， 两式相减可得 An 2 2(22 23 2 n) (2n 1) 2 n 1 ，可得 An 6 (2n 1) 2n1 2n2 ，--------------- 10 分而数列 {2n 1}的前n项的和为Bn(1 2n 1) 2nn2，所以 Tn 6 (2n 1) 2n1 2n2 n2 .--------------- 12 分 18.【解析】（1）证明： PD 面 ABCD ， PD BC ，在梯形 ABCD 中，过 B 作 BH DC 交 DC 于 H ， BH 1 ，BD DH 2 BH 2 1 1 2 ，BC 2 ，( 2)2 ( 2)2 22 ，即 DB2 BC 2 DC 2 ，即 BC DB .--------------- 2 分 BC DB ， PD BD D ， BC 平面 PDB ， BC 平面 EBC 平面 PBC 平面 PDB .--------------- 4 分 （2）连接 PH ， BH 面 PDC ，BPH 为 PB 与面 PDC 所成的角， tan BPH BH 1 ， BH 1 ， PH 2 ， PH 2 PD2 DH 2 PH 2 ， PD2 1 2 ， PD 1 ，--------------- 6 分以 D 为原点，分别以 DA ， DC 与 PD 为 x ，y ，z 轴，建立如图所示的E(空0间，2直，角12)坐，标可系知，则PBP(0(1，，01，，1) ，1)A，(A1，B0，(00)，，1B，(01)，1，，0) ，C (0，2，0) ，设平面PAB 可知 PB a AB a 设平面 PEB的法向量为 a (x，y，z) ， 0 0 xy y z 00，可取 a(1，0，1)，-----------的法向量为 b(x，y ，z ) ，BE(1，1，1)，8分2可知 PB BE b b 0 0 x x y y z 1 2 z0 0 ，可取 b(3，1，4)，-----10分可知两向量的夹角的余弦值为 cos a b 1 3 0 11 4| a || b | 1 1 32 1 42 7 13 ，可知两平面所成的角为钝角，可知两平面所成角的余弦 26值为 7 13 .--------------- 12 分 2619.【解析】（1）完成 2 2 列联表， 满意 不满意总计男生302555女生50合计80156540120 ----------- 4 分根据列联表中的数据，得到 K 2 120 (30 15 25 50)2 55 65 80 40 960 6.713 6.635 ，所以有 99% 的把握认为对“线上教育是否 143满意与性别有关”.--------------- 6 分（2）由（1）可知男生抽 3 人，女生抽 5 人， 0，1，2，3 .P(0)C53 C835 ，P( 28 1)C52C31 C8315 28，P(2)C51C32 C8315 ，P( 563)C33 C831 56.---------------8分可得分布列为0123P515152828561------------ 10 分56可得 E( ) 0 5 1 15 2 15 3 1 9 .--------------- 12 分 28 28 56 56 820.【解析】（1）x2 4 y ，焦点 F (0 ， 1) ，代入得 b 1，e c 2 ， a2a2 b2 c2 ，解得 a2 2，b2 1 ， x2 y2 1 ，-------------- 2 分 2 直线的斜率为 1，且经过 (1，0) ，则直线方程为 y x 1 ，联立 x2 2y2 1，解得y x 1，x y 0 1或 x y 4 3 1 3， ，C(0，1) ，D( 4 ，1) ，--------------- 4 分 33理科数学答案第 2 页（共 4 页）| CD | 4 2 ，又原点 O 到直线 y x 1 的距离 d 为 2 ，32 SCOD1 2| CD|d1 242 32 2 .--------------- 6 分 23（2）根据题意可知直线 m 的斜率存在，可设直线 m 的方程为： y kx t，ykxt，联立 x2 2y2 1，(2k 2 1)x24ktx2t 220，可得 (4kt)2 4(2k 2 1)(2t 2 2) 0 ，整理可得 t 2 2k 2 1 ，可知 F2 (1，0) ， A(1，k t)，B(2，2k t) ，--------------- 8 分则 | AF2 | (1 1)2 (k t 0)2 k 2 2kt t2| BF2 | (2 1)2 (2k t 0)2 1 (4k 2 4kt t2) k 2 2kt t2 2 为定值.--------------- 12 分 2k 2 4kt 2t 2 221.【解析】（1）函数 f (x) 的定义域为 (0， ∞) ，f (x) x a 1 x2 ax 1 ，设 h(x) x2 ax 1 ，xx函数 h(x) 在 (1，3) 内有且只有一个零点，满足 h(1) h(3) 0 ，可得 (1 a 1)(9 3a 1) 0 ，解得 2 a 10 ， 3故实数 a 的取值范围为 (2，10) .--------------- 4 分3（2） 2 f (x) 2x 2 (a 1)x2 ，可以变形为 2ln x 2x 2 a(x22x)，因为x0，可得a 2ln x x2 2x 2x2，--------------6分设g(x)2ln x 2x x2 2x2，g' ( x)2(x 1)(2ln x (x2 2x)2x).设 h(x) 2 ln x x ，h(x) 在 (0， ∞) 单调递增，h(1 ) 2ln 2 1 0 ， h(1) 1 0 .22故存在一点 x0 (0.5，1) ，使得 h(x0 ) 0 ，--------------- 8 分当 0 x x0 时， h(x) 0，g'(x) 0 ，函数 g(x) 单调递增；当 x x0 时， h(x) 0，g'(x) 0 ，函数 g(x) 的最大值为 g(x0) ，且 2 ln x0 x0 0 ，--------------- 10 分g (x)max g(x0) 2ln x0 2x0 2 x02 2x01 x0，可知 a 1 x0，又1 x0 (1，2) ，可得整数 a 的最小值为 2.--------------- 12 分22.【解析】（1）由题可知：2 2 2 cos2 6 ， 2(x2 y2 ) x2 6 ，曲线 C 的直角坐标方程为 y2 x2 1 ， 32直线 l 的普通方程为 3x 4 y 4 3a 0 ，--------------- 3 分两方程联立可得 33x2 6 (4 3a)x (4 3a)2 48 0 ，可知 [6 (4 3a)]2 4 33 [(4 3a)2 48] 0 ，解得 a 66 4 或 a 66 4 .--------------- 6 分33（2）曲线 C 的方程y2x21，可设x 2 cos ，32 y 3 sin则 2x 3y 2 2 cos 3 3 sin (2 2)2 (3 3)2 sin( ) ，其中 tan 2 6 ，可知最大值为 9(2 2)2 (3 3)2 35 .--------------- 10 分 23.【解析】（1）当 a 1 时， f (x) | 3x 6 | | x 1 | x 10 ，当 x 1时， (3x 6) (x 1) x 10 ，解得 x 1 ， 可得 x 1；--------------- 2 分 当 1 x 2 时， (3x 6) (x 1) x 10 ，解得 x 1 ， 可得 x 1； 当 x 2 时， (3x 6) (x 1) x 10 ，解得 x 5 ， 综上可得 {x | x 5或x 1} .--------------- 4 分 （2）由 f (x) 0 可知， f (x) | 3x 6 | | x 1| ax 0 ， | 3x 6 | | x 1| ax ，设 g(x) | 3x 6 | | x 1| ， h(x) ax ， 同一坐标系中作出两函数的图象如图所示，--------------- 6 分 4x 5，x 1， g(x) 2x 7，1 x 2，可得 A(2，3) ， 4x 5，x 2， 当函数 h(x) 与函数 g (x) 的图象有两个交点时，方程 f (x) 0 有两 个不同的实数根，--------------- 8 分由函数图象可知，当 3 a 4 时，有两个不同的解，故实数 a 的 2取值范围为 ( 3 ，4) .--------------- 10 分 2理科数学答案第 3 页（共 4 页）理科数学答案第 4 页（共 4 页）。
2020年高考数学模拟试题附参考答案解析(各省市模拟题汇编)(6)
求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共
12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1． [2019 ·金山中学 ] 已知集合 A x x 2 3x 4 0 ， B x x 1 ，则 eR A B （
）
A．
B． 0,4
C． 1,4
D． 4,
2． [2019 ·湘钢一中 ] 已知 i 为虚数单位，若复数 1 ai 2 i 是纯虚数，则实数 a 等于（
为（
）
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（ 12 分）[2019 ·顺义统考 ] 已知 an 是等差数列， bn 是等比数列， 且 b2 2 ，b5 16 ，a1 2b1 ， a3 b4 ． （ 1）求 bn 的通项公式； （ 2）设 cn an bn ，求数列 cn 的前 n 项和．
线方程为（
）
A． 3x 4 y 0
B． 3x 5y 0
C． 4 x 3 y 0
D． 5 x 4 y 0
7． [2019 ·天一大联考 ] 已知 f x A sin x
B A 0, 0,
π 的图象如图所示，则函数 2
f x 的对称中心可以为（
）
A． π,0 6
B． π,1 6
C． π,0 6
D． π,1 6
下表记录了我国在改革开放后某市 A， B，C， D， E 五个家庭在五个年份的恩格尔系数．
2
19．（ 12 分） [2019 ·云南毕业 ] 在四棱锥 P ABCD 中，四边形 ABCD 为菱形，且 ABC 2π， M ， 3
N 分别为棱 AP ， CD 的中点． （ 1）求证： MN∥ 平面 PBC ； （ 2）若 PD 平面 ABCD ， PB 2AB 2 ，求点 M 到平面 PBC 的距离．
2020全国各地市高考数学模拟试题分类解析汇编6 数列
全国各地市2020年模拟试题分类解析汇编：数列【山东省日照市2020届高三12月月考文】（12）若数列{}()为常数满足d N n d a a a nn n ,111*+∈=-，则称数列{}n a 为“调和数列”.已知正项数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1为“调和数列”，且90921=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++b b b ，则64b b ⋅的最大值是 A.10B.100C.200D.400【答案】B【解析】由已知得{}n b 为等差数列，且，＞b b b n 0,2064又=+所以.100226464=⎪⎭⎫⎝⎛+≤⋅b b b b【2020三明市普通高中高三上学期联考文】设等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 2a 、4a 是方程220x x --=的两个根，5S = A.52 B.5 C.52- D.-5 【答案】A【解析】2a 、4a 是方程220x x --=的两个根，2a ＋4a ＝1，5S =15()5522a a +⨯=【2020黄冈市高三上学期期末考试文】已知等比数列{}n a 的公比q=2，其前4项和460S =，则2a 等于 （ ）A ．8B ．6C ．-8D ．-6【答案】A【解析】本题主要考查等比数列及其前n 项的和公式. 属于基础知识、基本运算的考查.4141(1)60,260151a q S q a q-==⇒=⇒=-【山东实验中学2020届高三一次诊断文】14. __________________ 已知数列为等比数列，且.,则=________.【答案】16 【解析】解：59259757974,64,{}==256=16n a a a a a a a a a a ==∴Q Q g Q 是等比数列，又，，符号相同，所以 【山东实验中学2020届高三一次诊断文】3. 设为等差数列的前《项和，已知，那么A:2B. 8C. 18D. 36【答案】C 【解析】解：因为1311115199563126,42()9992182设等差数列的公差为，则由可得++d a a a a d a d a a a S a ++==∴==+⨯===⨯=Q因此答案为C【山东实验中学2020届高三第一次诊断性考试理】4. 已知{a n }为等差数列，其公差为-2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{an}的前n 项和，n ∈N*，则S 10的值为（ ） (A). -110 (B). -90(C). 90 (D). 110【答案】D【解析】解：a 7是a 3与a 9的等比中项，公差为-2，所以a 72=a 3•a 9，所以a 72=（a 7+8）（a 7-4），所以a 7=8，所以a 1=20，所以S 10= 10×20+10×9/2×(-2)=110。
2020年高考理科数学模拟试题含答案及解析5套)
绝密 ★ 启用前2020年高考模拟试题（一）理科数学时间：120分钟 分值：150分注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知，都是实数，那么“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．抛物线的焦点坐标为（ ） A ．B ．C ．D ．3．十字路口来往的车辆，如果不允许掉头，则行车路线共有（ ）此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A．24种B．16种C．12种D．10种4．设，满足约束条件，则目标函数的最小值为（）A．B．C．D．5．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该“阳马”最长的棱长为（）A．B．C．D．6．大致的图象是（）A．B．C．D．7．函数在上单调递增，则的取值不可能为（）A．B．C．D．8．运行如图所示的程序框图，设输出数据构成的集合为，从集合中任取一个元素，则函数，是增函数的概率为（）A．B．C．D．9．已知，是函数的图象上的相异两点，若点，到直线的距离相等，则点，的横坐标之和的取值范围是（）A．B．C．D．10．在四面体中，若，，，则四面体的外接球的表面积为（）A．B．C．D．11．设是函数的极值点，数列满足，，，若表示不超过的最大整数，则=（ ）A ．2017B ．2018C ．2019D ．202012．已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围（ ） A ． B ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13．命题“00x ∃>，20020x mx +->”的否定是__________．14．在ABC △中，角B 2π3C =，BC =，则AB =__________．15．抛物线24y x =的焦点为F ，过F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且满足4AFBF=，点O 为原点，则AOF △的面积为__________．16．已知函数()()2cos2cos 0222xxxf x ωωωω=+>的周期为2π3，当π03x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，函数()()g x f x m=+恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是__________．三、解答题：共70分。
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2020全国各地模拟分类汇编理：数列（1）【四川省绵阳南山中学2020届高三九月诊断理】等差数列}{n a 中，若39741=++a a a ，27963=++a a a ，则前9项的和9S 等于A ．99B ．66C ．144D ．297 【答案】A【四川省南充高中2020届高三第一次月考理】等比数列{}n a 中，1414,2a a ==，n S 是数列{}n a 前n 项的和，则nn S ∞→lim 为（ ）A ．⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-n 2118B ．8C ．⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-n 21116 D ． 16【答案】B【四川省德阳市2020届高三第一次诊断理】在等比数列{}n a 中，5113133,4a a a a ⋅=+=，则155a a = （ ）A ．3B ．13C ．3或13D ．133--或 【答案】C【四川省成都市双流中学2020届高三9月月考理】设n S 是等差数列的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k =（ ）A ．5B ．6C ．7D ． 8 【答案】A【浙江省杭州第十四中学2020届高三12月月考】若数列 {}n a 为等差数列，且35791120a a a a a ++++=，则 8912a a -=(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 【答案】B【黑龙江省绥棱一中2020届高三理科期末】已知等比数列{n a }的公比为正数，且23744a a a =，22a =， 则1a = （ ）B 1C 2D 2【答案】B【甘肃省天水一中2020学年度第一学期高三第四阶段考】数列{}n a 中，1a =1，1+n a =n a +)11lg(n+，则10a =（ ）A.1B. 2C. 3D.4 【答案】B【福建省南安一中2020届高三上期末】等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若301272=++a a a ，则13S 的值是( )A ．130B ．65C ．70D ．75 【答案】A【安徽省六校教育研究会2020届高三联考】数列{}n a 满足11=a ，12=a ，222(1sin )4cos 22n n n n a a ππ+=++，则109,a a 的大小关系为 （ ）（A ）109a a > （B ）109a a =（C ）109a a <（D ）大小关系不确定【答案】C【北京市朝阳区2020届高三上学期期末考试】设数列{}n a 是公差不为0的等差数列，11a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S 等于（ ）A ． 2788n n +B ．2744n n +C ．2324n n+ D ．2n n +【答案】A【北京市东城区2020学年度高三数第一学期期末】在等差数列{}n a 中，若475=+a a ，286-=+a a ，则数列{}n a 的公差等于 ； 其前n 项和n S 的最大值为．【答案】3-，57【广东省执信中学2020学年度第一学期期末】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,376a a +=-,则当n S 取最小值时,n 等于（ ）A ．9B ．8C ．7D ．6【答案】D【北京市西城区 2020学年度第一学期期末】已知{}n a 是公比为2的等比数列，若316a a -=，则1a = ；22212111na a a +++=L ______．【答案】2；1(14)3n --【浙江省宁波四中2020届高三上学期第三次月考理】（本题满分14分）设数列}{n a 的前n 项和为n S ，31=a 且321+=+n n S a ，数列}{n b 为等差数列，且公差0>d ，15321=++b b b （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若3322113,3,3b a b ab a +++成等比数列，求数列}{n b 的前n 项和n T 【答案】解：（1）由321+=+n n S a ，得)2(321≥+=-n S a n n …………（2分） 相减得：)(211-+-=-n n n n S S a a ，即n n n a a a 21=-+，则31=+nn a a ……（5分）∵当1=n 时，93212=+=a a ，∴312=a a …………（6分）∴数列}{n a 是等比数列，∴nn n a 3331=⋅=-…………（7分）（2）∵2313212,15b b b b b b =+=++，∴52=b …………（8分）由题意)3)(3()3(3311222b a b a b a ++=+，而93,33,13321===a aa设d b b d b +==-=5,5,5321，∴)95)(15(64+++-=d d ，∴02082=-+d d ，得2=d 或10-=d （舍去）…………（13分）故nn n n n d n n nb T n 222)1(32)1(21+=⋅-+=-+=……………(14分)【四川省成都市双流中学2020届高三9月月考理】本题满分12分）等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9a a a a a +==（1）求数列{}n a 的通项公式.（2）设31323log log log n n b a a a =+++L 求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 【答案】解：（1）设数列{a n }的公比为q ，由23269a a a =得22349a a =所以219q =。
有条件可知0n a >，故13q =。
……………………4分 由12231a a +=得11231a a q +=，所以113a =…………………5分故数列{a n }的通项式为13nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭……………………………6分（2）31323log log log n n b a a a =+++L =()12n -+++L=()12n n +-.……………………………………………………8分故()211211n b n n n n ⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭………………………… 10分12111111112...2((1)()...())22311n n b b b n n n +++=--+-++-=-++所以数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为21nn -+ ………………………………………12分 【四川省绵阳南山中学2020届高三九月诊断理】（12分）在数列{a n }中，0122311=+-=+n n a a a 且满足 （1）求数列{ a n }的通项公式； （2） 计算nn n a ns -∞→lim.【答案】解：⑴由211}1{),1(21:012111=---=-=+-++a a a a a a n n n n n 是以则得为首项，以2为公比的等比数列， 4分 （文6分） （2）由（1）.12,221121+=⨯=---n n n n a a 即 （也可以求几项，猜结论，数学归纳法证明） 8分 （文12分）（3）n S n n n +++++=++++++++=--)22121()12()12()11()121(22ΛΛ.212212limlim ,212211=+-=-∴-+=--∞→∞→-n n n n n n n a n S n 12分 【安徽省六校教育研究会2020届高三联考】如果一个数列的各项都是实数，且从第二项起，每一项与它的前一项的平方差是同一个常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫这个数列的公方差．（Ⅰ）若数列{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，求证：该数列是常数列；（Ⅱ）已知数列{}n a 是首项为2，公方差为2的等方差数列，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且满足n n n b a 122+=．若不等式2222n n n n a m S -⋅>⋅对*n ∀∈N 恒成立，求m 的取值范围．【答案】（1）解：依题212221-+-=-n n n n a a a a ))(())((1111--+++-=+-⇒n n n n n n n n a a a a a a a a又{}n a 为等差数列，设公差为d ，则0020)(211=⇒=⇒=--+--+d d a a a a d n n n n故{}n a 是常数列.4分（2）由{}n a 是首项为2，公方差为2的等方差数列. 即{}2n a 为首项为4，公差为2的的等差数列，22)1(242+=-+=∴n n an6分由n n nb a 122+=得n n nn n n n a b 212222112+=+==++ n n n S 212423132+++++=Λ ① 132212232221++++++=n n n n n S Λ ② 11132212123212112121212121121++++--=+--+=+-++++=⇒n n n n n n n n n n S Λ n n n S 233+-=⇒ 10分不等式2222n nn n a m S -⋅>⋅即442)3(23--⋅>+-⋅n m n nn也即132)3(+<⋅-n m n，即nn m 2133+<-恒成立 由于1,2,3n =时，312n n +>；4n =时，312n n +<； 假设(4)n k k =≥时，312k k +<， 那么12222(31)3(1)1(32)3(1)1k k k k k k +=⋅>+=+++->++，由归纳法原理知：4n ≥时，312k k +<，所以3102nn +>03≤-⇒m ， 故m 的取值范围为3≤m14分 【湖北省武昌区2020届高三年级元月调研】已知数列1*11{}:2,332().n n n n n a a a a n N ++==+-∈满足（I ）设2,3nn n na b -=证明：数列{}n b 为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （II ）求数列{}n n a n S 的前项和； （III ）设**1(),,n n n k na C n N k N C C a +=∈∈≤是否存在使得对一切正整数n 均成立，并说明理由。
【答案】解：（Ⅰ）n n n n n n n n a a b b 32321111---=-++++Θ132********=----+=+++nnn n n n n n a a ， }{n b ∴为等差数列．又0=1b ，1-=∴n b n ． ()n n n n a 231+⋅-=∴． …………………（4分）（Ⅱ）设nn n T 3)1(313021⋅-++⋅+⋅=Λ，则 31323)1(3130+⋅-++⋅+⋅=n n n T Λ．11123)1(31)31(93)1(332+-+⋅----=⋅--++=-∴n n n n n n n T Λ．493)32(23)1(439111+⋅-=⋅-+-=∴+++n n n n n n T ．()()412332222312++-=++++=∴++n n nn n n T S Λ．…………………（8分）（Ⅲ）由已知得()n n n n n n n C 2312311+-+⋅=++，从而求得Λ,62259,1362,213321===C C C 猜测C 1最大，下证：1111211]23)1[(132)23(a a n n a a a a C C n n n n n n n n ⋅+⋅--⋅+⋅=-=-+++Θ02.93)713(1≤⋅-⋅-=a a n n nn ，∴存在1=k ，使得k n C C ≤对一切正整数n 均成立． …………………（12分） 【黑龙江省绥棱一中2020届高三理科期末】函数3()f x x =，在等差数列{n a }中，37a =，12312a a a ++=，记n S f =，令n n n b a S =，数列{n b }的前n 项和为n T （1）求{n a }的通项公式和n S （2）求证13n T <。