高二数学最新教案-高二数学不等式的证明2 精品

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高二数学教案：6.3.2不等式的证明

第一单元区域地理环境与人类活动第二节自然环境和人类活动的区域差异教学目标：1知识与技能：能够说出不同区域的自然要素和人文要素2过程与方法：通过比较两个区域的自然环境和人类活动的差异，初步掌握比较区域的差异的基本方法3情感态度与价值观：以我国的区域差异为例，从地图上提取信息，列出中国三大自然区自然环境和人类活动的区域差异，探讨区内整体性特征和区际差异的形成原因教学重点、难点：1比较区域差异的基本方法2比较区域的自然环境和人类活动的差异，并探讨其原因教学方法：自学分析法、分析归纳法教学过程：[ 复习、导入]回顾一下上节课上节课学习基础知识。

上一节课，我们通过分析海南岛的自然地理条件及其对经济发展的影响，我们掌握了如何去研究一个区域。

如果给你两个区域，你从那下手，分析哪些方面，如何去分析呢？我们这节课就以日本和英国为例，学习区域差异比较方法。

[新授课]一、依据学案展示课前预习成果1、区域差异。

一、师生互相问好二、宣布本次课的内容和任务三、准备活动(一)热身跑(二)活动各关节(三)原地熟悉球性、控制球练习教学任务：初步掌握熟悉球性、控制球性的练习方法。

1、胸前指拨球2、单、双手抛接球3、腰、膝绕环4、胯下抛接球5、胯下绕8字6、前踢腿腿下交接球四、学习移动技术(一)教学任务：基本掌握移动技术的动作方法(二)概念：移动是篮球运动中队员为了改变位置、方向、速度和争取高度、空间所采用的各种脚步动作的总称。

(三)动作方法与要点1、基本站立姿势：动作方法：两脚前后或左右开立，距离约与肩同宽。

身体重心落在两脚之间，略收腹含胸，屈肘，两手放于体侧前方。

防守时站立姿势稍有不同，两脚开立略比肩宽。

屈肘降低重心，含胸，两臂张开。

动作要点：屈膝、降低重心，抬头，目光注视全场。

2、起动动作方法：按基本姿势站立，向前起动时上体迅速前倾向前移动重心，一只脚用力蹬地，另一只脚迅速向前跨出。

向侧起动时，向起动方向一侧移动重心，上体迅速转向起动方向，异侧脚用力蹬地，同时脚尖转向起动方向，并向起动方向跨出。

高中数学第二讲证明不等式的基本方法一比较法学案新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-

一比较法1.理解和掌握比较法证明不等式的理论依据．2.掌握利用比较法证明不等式的一般步骤．3．通过学习比较法证明不等式，培养对转化思想的理解和应用．比较法的定义比较法证明不等式可分为作差比较法和作商比较法两种．(1)作差比较法：要证明a >b ，只要证明a －b >0；要证明a 0，b >0，要证明a >b ，只要证明ab >1；要证明b >a ，只要证明b a>1.这种证明不等式的方法，叫做作商比较法．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在证明条件不等式时，要注意所给条件的应用．( ) (2)作差比较法是与1比较，作商比较法是与0比较．( )(3)因式分解、配方、放缩(基本不等式，有界性)，凑成若干个平方和等是作差比较的常用变形方法．( )(4)分子放(缩)，分母不变；分子不变，分母放(缩)；分子放(缩)，同时分母缩(放)，是作商比较时常用的方法．( )答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√2．设a ≠b ，则a 2＋3b 2和2b (a ＋b )的大小关系是( ) A ．a 2＋3b 2>2b (a ＋b ) B ．a 2＋3b 2≥2b (a ＋b ) C ．a 2＋3b 2<2b (a ＋b )D ．a 2＋3b 2≤2b (a ＋b )解析：选A.(a 2＋3b 2)－2b (a ＋b ) ＝a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2，因为a ≠b ，所以(a －b )2>0，所以a 2＋3b 2>2b (a ＋b )．3．设a ∈R ，a ≠1，则2a1＋a 2与1的大小关系是( )A ．2a 1＋a 2>1B ．2a 1＋a 2<1C ．2a 1＋a 2≥1D ．2a 1＋a2≤1 答案：B作差比较法[学生用书P25] 已知b <a <0，求证：a 2－b 2a 2＋b 2<a －ba ＋b .【证明】 a 2－b 2a 2＋b 2－a －ba ＋b＝（a 2－b 2）（a ＋b ）－（a －b ）（a 2＋b 2）（a 2＋b 2）（a ＋b ）＝（a －b ）[（a ＋b ）2－（a 2＋b 2）]（a 2＋b 2）（a ＋b ）＝2ab （a －b ）（a 2＋b 2）（a ＋b ）. 因为a <0，b <0，所以ab >0，a 2＋b 2>0，a ＋b <0，又因为b <a <0，所以a －b >0，所以2ab （a －b ）（a 2＋b 2）（a ＋b ）<0.所以a 2－b 2a 2＋b 2－a －b a ＋b <0.即a 2－b 2a 2＋b 2<a －b a ＋b.作差比较法证明不等式的技巧(1)作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少．(2)变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．(3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断差式的符号，常将差式变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的差式是某字母的二次三项式时，常用判别式法判断符号．1.若a >b >c ，求证bc 2＋ca 2＋ab 2b >c ，所以b －a <0，c －a <0，c －b <0，所以(b －a )(c －a )(c －b )<0，所以bc 2＋ca 2＋ab 20，b >0，求证：a a b b≥(ab )a ＋b2.【证明】因为a a b b>0，(ab )a ＋b2>0，所以a a b b （ab ）a ＋b 2＝a a －b 2·b b －a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b2. 当a ＝b 时，显然有⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b2＝1；当a >b >0时，a b >1，a －b 2>0，所以由指数函数单调性，有⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b 2>1；当b >a >0时，0<a b<1，a －b2<0，所以由指数函数的单调性，有⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b2>1. 综上可知，对任意实数a ，b ，都有a a b b≥(ab )a ＋b2.作商比较法证明不等式的一般步骤(1)作商：将不等式左右两边的式子进行作商． (2)变形：化简商式到最简形式．(3)判断：判断商与1的大小关系，也就是判断商大于1或小于1或等于1. (4)得出结论．已知a >0，b >0，c >0，a 2＋b 2＝c 2.求证：当n ≥3时，a n ＋b n <c n. 证明：因为a 2＋b 2＝c 2，所以可设a ＝c cos θ，b ＝c sin θ(0<θ<π2)．所以a n＋b n＝c ncos nθ＋c nsin nθ ＝c n(cos nθ＋sin nθ)，所以a n ＋b n c n ＝c n （cos n θ＋sin n θ）cn＝cos n θ＋sin nθ. 又因为0<cos θ<1，0<sin θ<1，所以当n ≥3时，cos n θ<cos 2θ， sin n θ<sin 2θ，所以cos nθ＋sin nθ<cos 2θ＋sin 2θ＝1，所以a n ＋b ncn <1，所以a n＋b n<c n.1．在证明不等式的各种方法中，作差比较法是最基本、最重要的方法．作差比较法是通过确定不等式两边的差的符号来证明不等式的，因而其应用非常广泛．2．不等式两边的差的符号是正是负，一般必须利用不等式的性质经过变形才能判断，其中变形的目的在于判断差的符号，而不必考虑差的值是多少．变形的方法主要有配方法、通分法、因式分解法等．因此常把差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个数的平方和的形式，或者变形为一个分式，或者变形为几个因式的积的形式等．总之能够判断出差的符号即可．1．设m ＝a ＋2b ，n ＝a ＋b 2＋1，a ，b ∈R ，则以下正确的是( ) A ．m >n B ．m ≥n C ．m <nD ．m ≤n解析：选D.因为n －m ＝a ＋b 2＋1－(a ＋2b ) ＝b 2－2b ＋1＝(b －1)2≥0.故m ≤n .2．已知0<a <1b ，且M ＝11＋a ＋11＋b ，N ＝a 1＋a ＋b1＋b ，则M ，N 的大小关系是( )A ．M <NB ．M >NC ．M ＝ND ．不确定解析：选B.M －N ＝(11＋a ＋11＋b )－(a 1＋a ＋b 1＋b )＝1－a 1＋a ＋1－b1＋b＝（1－a ）（1＋b ）＋（1＋a ）（1－b ）（1＋a ）（1＋b ）＝2（1－ab ）（1＋a ）（1＋b ），因为0<a <1b，所以1＋a >0，1＋b >0，ab <1，即1－ab >0，所以M －N >0，故M >N .3．已知a 1≤a 2，b 1≤b 2，则a 1b 1＋a 2b 2与a 1b 2＋a 2b 1的大小关系是________．解析：因为(a 1b 1＋a 2b 2)－(a 1b 2＋a 2b 1) ＝(a 1－a 2)(b 1－b 2)≥0. 所以a 1b 1＋a 2b 2≥a 1b 2＋a 2b 1. 答案：a 1b 1＋a 2b 2≥a 1b 2＋a 2b 14．已知a ，b 均为实数，用比较法证明：a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(当且仅当a ＝b 时等号成立)．证明：a 2＋b 22－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝a 2＋b 22－a 2＋2ab ＋b 24＝a 2－2ab ＋b 24＝⎝⎛⎭⎪⎫a －b 22≥0，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(当且仅当a ＝b 时等号成立)．。

高二数学归纳法证明不等式

第四讲：数学归纳法证明不等式数学归纳法证明不等式是高中选修重点内容之一，包含数学归纳法定义与数学归纳法证明根本步骤，用数学归纳法证明不等式。

数学归纳法是高考考察重点内容之一，在数列推理能力考察中占有重要地位。

本讲主要复习数学归纳法定义、数学归纳法证明根本步骤、用数学归纳法证明不等式方法：作差比拟法、作商比拟法、综合法、分析法与放缩法，以及类比与猜测、抽象与概括、从特殊到一般等数学思想方法。

在用数学归纳法证明不等式具体过程中，要注意以下几点：〔1〕在从n=k 到n=k+1过程中，应分析清楚不等式两端〔一般是左端〕项数变化，也就是要认清不等式构造特征；〔2〕瞄准当n=k+1时递推目标，有目地进展放缩、分析；〔3〕活用起点位置；〔4〕有试题需要先作等价变换。

例题精讲例1、用数学归纳法证明分析：该命题意图：此题主要考察数学归纳法定义，证明根本步骤证明： 1当n=1时，左边=1-21=21，右边=111 =21，所以等式成立。

2假设当n=k 时，等式成立，即kk k k k 212111211214131211+++++=--++-+-。

那么，当n=k+1时，这就是说，当n=k+1时等式也成立。

综上所述，等式对任何自然数n 都成立。

点评：数学归纳法是用于证明某些与自然数有关命题一种方法．设要证命题为P 〔n 〕．〔1〕证明当n 取第一个值n 0时，结论正确，即验证P 〔n 0〕正确；〔2〕假设n=k 〔k ∈N 且k≥n 0〕时结论正确，证明当n=k+1时，结论也正确，即由P 〔k 〕正确推出P 〔k+1〕正确，根据〔1〕，〔2〕，就可以判定命题P 〔n 〕对于从n 0开场所有自然数n 都正确．要证明等式左边共2n 项，而右边共n 项。

f(k)与f(k+1)相比拟，左边增加两项，右边增加一项，并且二者右边首项也不一样，因此在证明中采取了将11+k 与221+k 合并变形方式，这是在分析了f(k)与f(k+1)差异与联系之后找到方法。

高二数学人选修课件证明不等式的基本方法复习

05
学生自主练习与提高
练习题选讲与答案提示
练习题一
证明不等式 $sqrt{a+b} leq sqrt{a} + sqrt{b}$ 对任意非负实数 $a, b$ 成立。
提示
运用平方差公式和均值不等式进行证明。
练习题二
证明不等式 $frac{a}{b} + frac{b}{a} geq 2$ 对任意正实数 $a, b$ 成立。
分析法证明不等式
寻找中间量
通过分析寻找一个合适的中间量，使得原不等式可以通过这个中间量进行转化，进而证明。
逐步推导
从要证明的不等式出发，逐步分析并推导出使不等式成立的条件，直到找到显然成立的条件为止。
04
典型例题分析与解答
一元二次不等式解法举例
题目
解不等式 $2x^2 - 5x + 2 > 0$
高二数学人选修课件证明不等式的基本方法复习
汇报人：XX
汇报时间：20XX-01-17
目录
• 引言 • 不等式基本概念及性质回顾 • 证明不等式的基本方法 • 典型例题分析与解答 • 学生自主练习与提高 • 总结回顾与展望未来
01
引言
复习目的与要求
03
掌握证明不等式的基本方法
提高解题能力
培养数学思维
柯西不等式应用举例
题目
分析
已知 $a_i, b_i > 0 (i = 1, 2, ldots, n)$，证明 $left( sum_{i=1}^{n} a_i b_i right)^2 leq left( sum_{i=1}^{n} a_i^2 right) left( sum_{i=1}^{n} b_i^2 right)$

高二数学证明不等式的基本方法2

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例4、已知x, y 0, 且x y 2.试证： 1 x 1 y , 中至少有一个小于2. y x
例5、已知a, b, c为实数，a b c 0, ab bc ca 0, abc 0, 求证：a 0, b 0, c 0.
五、放缩法证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的.我们把这种方法称为放缩法.
2 2 2 2 2 2
四、反证法
例3、证明aHale Waihona Puke b 0时，a bn n
(n N ,n 2)成立
*
假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理，定义，定理，性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件（或已证明的定理、性质、明显成立的事实等）矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立.
例6、已知a, b, c, d R ,求证 a b c d 1< 2 abd bca cd b d ac
例7、已知a, b是实数，求证 ab 1 a b a 1 a b 1 b
六、利用函数的单调性证明不等式
例7、已知a, b是实数，求证 ab 1 a b a 1 a b 1 b
证明不等式的基本方法(2)
三、分析法证明命题时，从要证的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要证的命题成立.
例1、试比较 2 7与 3 6的大小.
例2、已知a, b, c 0, 求证 a b b c c a abc abc
小结：证明不等式的方法：比较法，综合法，分析法，反证法，放缩法，利用函数的单调性.

高中数学第二讲证明不等式的基本方法 2.1 比较法课件 a选修45a高二选修45数学课件

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温馨提示使用作商比较法证明不等式 a＞b 时，一定要注意 b＞0 这个前提条件．
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1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)当b＞0时，a＞b⇔ab＞1.( ) (2)当b＞0时，a＜b⇔ab＜1.( ) (3)当a＞0，b＞0时，ab＞1⇔a＞b.( ) (4)当 ab＞0 时，ab＞1⇔a＞b.( )
第二讲证明(zhèngmíng)不等式的，共三十三页。
2．1 比较法
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第二页，共三十三页。
[学习目标] 1.理解用比较法证明不等式的一般方法与步骤(重点)． 2.了解比较法分为作差比较法、作商比较法． 3.会用比较法证明具体的不等式(重点、难点)．
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[变式训练] 已知 a＞b＞c，证明：a2b＋b2c＋c2a＞ ab2＋bc2＋ca2.
证明：a2b＋b2c＋c2a－ab2－bc2－ca2＝(a2b－bc2)＋
(b2c－ab2)＋(c2a－ca2)＝b(a2－c2)＋b2(c－a)＋ac(c－a)＝
(a－c)(ba＋bc－b2－ac)＝(a－c)(a－b)(b－c)．
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解析：对于(1)，当 b＞0 时，a＞b，两边同除以 b，所以ab＞1，所以(1)正确；对于(2)，当 b＞0 时，a＜b，两边同除以 b，所以ab＜1，所以(2)正确；对于(3)，当 a＞0， b＞0 时，ab＞1，两边同乘以 b，所以 a＞b，所以(3)正确；
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2．用比较法证明不等式时，当差式或商式中含有字母时，一般需对字母的取值进行分类讨论．

高二数学教案第六章不等式教材分析

第六章不等式教材分析本章教材是在初中介绍了不等式的概念，学习了一元一次不等式，一元一次不等式组的解法，高一学习了一元二次不等式，简单的分式不等式和含绝对值不等式的解法的基础上，研究了不等式的性质，不等式的证明和一些不本章教学约需17课时，具体分配如下：6．1不等式的性质约3课时6．2算术平均数与几何平均数约2课时6．3不等式的证明约6课时6．4不等式的解法举例约2课时6．5含有绝对值的不等式约2课时小结与复习约2课时一、内容与要求式、方程、函数、三角等有密切的联系，在解因此，不等式是进一步学习数学的基础，是掌握现代科学(一)本章的主要内容是不等式的基本性质，不等式的证明，一些不等式的解法和含有绝对值不等式的定理等(二)章头引言安排了一个实际问题——问题是一个求函数的最小值的问题，可以用函数的知识来解决，但如果用算术平均数与几何第一小节是“不等式的性质”教科书首先通过数形结合，给出了比较实数大小的方法，在这个基础上，给出了不等式的性质，一共讲了五个定理和三个推论，并给出了严格的证明不等式的其他性质，都可由它们推导出来，另外，本小节还增加了两个利用不等式的性质证明不等式的例题，这一方面有利于学生运用、掌握不等式的性质及其推论，另一方面，也为第二小节是“算术平均平均数与几何平均数”教科书首先证明了一个重要的不等式，通过这一公式，得出了两个正数的算术平均数与几何平均数的定理，最后，通过几个例题，说明此定理在解决数学问题和实际问题中的应第三小节是“不等式的证明”教科书通过七个例题分别介绍了证明不等式的三种基本第四小节是“不等式的解法”教科书通过例1、例2，复习、总结了一元二次不等式、一元二次不等式组，简单的含有绝对值的不等第五小节是“含有绝对值的不等式”在这一小节里，教科书介绍了含有绝对值的不等式的一个定理及其证明，并给出了它的两个推(三)本章的教学要求1．理解不等式的性质及其证明2．掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理(不扩展到三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理)，3．掌握分析法、综合法、比较法等几种4．掌握某些简单不等式的解法5．理解不等式。

人教A版数学高二选修4-5第二讲证明不等式的基本方法本讲知识归纳学案

对应学生用书P27 考情分析从近两年的高考试题来看，不等式的证明主要考查比较法与综合法，而比较法多用作差比较，综合法主要涉及基本不等式与不等式的性质，题目难度不大，属中档题．在证明不等式时，要依据命题提供的信息选择合适的方法与技巧进行证明．如果已知条件与待证结论之间的联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”“恒成立”等方式给出，可考虑用反证法．在必要的情况下，可能还需要使用换元法、放缩法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．真题体验1．(福建高考)设不等式|2x －1|＜1的解集为M . ①求集合M ；②若a ，b ∈M ，试比较ab ＋1与a ＋b 的大小．解：①由|2x －1|＜1得－1＜2x －1＜1，解得0＜x ＜1，所以M ＝{x |0＜x ＜1}．②由①和a ，b ∈M 可知0＜a ＜1,0＜b ＜1. 所以(ab ＋1)－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)＞0，故ab ＋1＞a ＋b .2．(辽宁高考)设f (x )＝ln x ＋x －1，证明： (1)当x >1时，f (x )<32(x －1)；(2)当1<x <3时，f (x )<9(x －1)x ＋5.解：(1)法一：记g (x )＝ln x ＋x －1－32(x －1)，则当x >1时，g ′(x )＝1x ＋12x －32<0.又g (1)＝0，故g (x )<0，即f (x )<32(x －1)．法二：由均值不等式，当x >1时，2x <x ＋1，故x <x 2＋12.①令k (x )＝ln x －x ＋1，则k (1)＝0，k ′(x )＝1x －1<0，故k (x )<0，即ln x <x －1.②由①②得，当x >1时，f (x )<32(x －1)．(2)法一：记h (x )＝f (x )－9(x －1)x ＋5，当1<x <3时，由(1)得h ′(x )＝1x ＋12x －54(x ＋5)2＝2＋x 2x －54(x ＋5)2<x ＋54x －54(x ＋5)2＝(x ＋5)3－216x 4x (x ＋5)2.令l (x )＝(x ＋5)3－216x,1<x <3， l ′(x )＝3(x ＋5)2－216<0，因此l (x )在(1,3)内是递减函数，又由l (1)＝0，得l (x )<0，所以h ′(x )<0. 因此h (x )在(1,3)内是递减函数，又由h (1)＝0，得h (x )<0. 于是当1<x <3时，f (x )<9(x －1)x ＋5.法二：记h (x )＝(x ＋5)f (x )－9(x －1)，则当1<x <3时，由(1)得h ′(x )＝f (x )＋(x ＋5)f ′(x )－9 <32(x －1)＋(x ＋5)⎝⎛⎭⎫1x ＋12x －9 ＝12x [3x (x －1)＋(x ＋5)(2＋x )－18x ] <12x[3x (x －1)＋(x ＋5)⎝⎛⎭⎫2＋x 2＋12－18x ] ＝14x (7x 2－32x ＋25)<0，因此h (x )在(1,3)内单调递减，又h (1)＝0，所以h (x )<0，即f (x )<9(x －1)x ＋5.对应学生用书P27比较法证明不等式比较法证明不等式的依据是：不等式的意义及实数比较大小的充要条件．作差比较法证明的一般步骤是：①作差；②恒等变形；③判断结果的符号；④下结论．其中，变形是证明推理中一个承上启下的关键，变形的目的在于判断差的符号，而不是考虑差能否化简或值是多少，变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．[例1] 设a ，b 为实数，0＜n ＜1,0＜m ＜1，m ＋n ＝1，求证：a 2m ＋b 2n ≥(a ＋b )2.[证明] ∵a 2m ＋b 2n －(a ＋b )2＝na 2＋mb 2mn －nm (a 2＋2ab ＋b 2)mn＝na 2(1－m )＋mb 2(1－n )－2mnab mn＝n 2a 2＋m 2b 2－2mnab mn ＝(na －mb )2mn ≥0，∴a 2m ＋b 2n≥(a ＋b )2.综合法证明不等式综合法证明不等式的思维方向是“顺推”，即由已知的不等式出发，逐步推出其必要条件(由因导果)，最后推导出所要证明的不等式成立．综合法证明不等式的依据是：已知的不等式以及逻辑推证的基本理论．证明时要注意的是：作为依据和出发点的几个重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同，应用时要先考虑是否具备应有的条件，避免错误，如一些带等号的不等式，应用时要清楚取等号的条件，即对重要不等式中“当且仅当……时，取等号”的理由要理解掌握．[例2] 已知a ，b ，c 为△ABC 的三条边，求证： a 2＋b 2＋c 2<2(ab ＋bc ＋ca )[证明] 设a ，b 两边的夹角为θ，则由余弦定理： cos θ＝a 2＋b 2－c 22ab∵因为0<θ<π， ∴cos θ<1. ∴a 2＋b 2－c 22ab <1.即a 2＋b 2－c 2<2ab .同理可证：b 2＋c 2－a 2<2bc ， c 2＋a 2－b 2<2ac .将上面三个同向不等式相加，即得：a 2＋b 2＋c 2<2(ab ＋bc ＋ca )．分析法证明不等式分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论．分析法证明不等式的思维方向是“逆推”，即由待证的不等式出发，逐步寻找使它成立的充分条件(执果索因)，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式．当要证的不等式不知从何入手时，可考虑用分析法去证明，特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更为有效．分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，而综合法是“由因导果”，逐步推导出不等式成立的必要条件，两者是对立统一的两种方法．一般来说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法可结合使用．[例3] 已知a >b >0.求证：a －b <a －b . [证明] 要证a －b <a －b 只需证：a <a －b ＋b ，只需证：(a )2<(a －b ＋b )2，只需证：a <a －b ＋b ＋2b (a －b )，只需证：0<2b (a －b ). ∵a >b >0.上式显然成立，∴原不等式成立．即a －b <a －b .反证法证明不等式用直接法证明不等式困难的时候，可考虑用间接证法予以证明，反证法是间接证法的一种．假设欲证的命题是“若A 则B ”，我们可以通过否定B 来达到肯定B 的目的，如果B 只有有限多种情况，就可用反证法．用反证法证明不等式，其实质是从否定结论出发，通过逻辑推理，导出与已知条件或公理或定理或某些性质相矛盾的结论，从而肯定原命题成立．[例4] 已知：在△ABC 中，∠CAB >90°，D 是BC 的中点，求证：AD <12BC (如右图所示)．[证明] 假设AD ≥12BC .(1)若AD ＝12BC ，由平面几何中定理“若三角形一边上的中线等于该边长的一半，那么，这条边所对的角为直角”，知∠A ＝90°，与题设矛盾．所以AD ≠12BC .(2)若AD >12BC ，因为BD ＝DC ＝12BC ，所以在△ABD 中，AD >BD ，从而∠B >∠BAD . 同理∠C >∠CAD .所以∠B ＋∠C >∠BAD ＋∠CAD . 即∠B ＋∠C >∠A .因为∠B ＋∠C ＝180°－∠A ，所以180°－∠A >∠A 即∠A ＜90°，与已知矛盾，故AD ＞12BC 不成立．由(1)(2)知AD ＜12BC 成立.放缩法证明不等式放缩法是在顺推法逻辑推理过程中，有时利用不等式关系的传递性，作适当的放大或缩小，证明比原不等式更强的不等式来代替原不等式的一种证明方法．放缩法的实质是非等价转化，放缩没有一定的准则和程序，需按题意适当．．放缩，否则达不到目的．[例5] 已知|x |<3，|y |<6，|z |<9，求证：|x ＋2y －3z |<ɛ. [证明] ∵|x |<3，|y |<6，|z |<9，∴|x ＋2y －3z |＝|x ＋2y ＋(－3z )| ≤|x |＋|2y |＋|－3z |＝|x |＋2|y |＋3|z | <3＋2×6＋3×9＝ɛ. ∴原不等式成立．对应学生用书P49(时间：90分钟，总分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．用分析法证明不等式的推论过程一定是( ) A ．正向、逆向均可进行正确的推理 B ．只能进行逆向推理 C ．只能进行正向推理D ．有时能正向推理，有时能逆向推理解析：在用分析法证明不等式时，是从求证的不等式出发，逐步探索使结论成立的充分条件即可，故只需能进行逆向推理即可．答案：B2．设a ＝(m 2＋1)(n 2＋4)，b ＝(mn ＋2)2，则( ) A ．a ＞b B ．a ＜b C ．a ≤bD ．a ≥b解析：∵a －b ＝(m 2＋1)(n 2＋4)－(mn ＋2)2＝4m 2＋n 2－4mn ＝(2m －n )2≥0，∴a ≥b . 答案：D3．已知a ，b ，c ，d 为实数，ab ＞0，－c a ＜－db ，则下列不等式中成立的是( )A ．bc ＜adB ．bc ＞ad C.a c ＞bdD.a c ＜b d解析：将－c a ＜－db 两边同乘以正数ab ，得－bc ＜－ad ，所以bc ＞ad . 答案：B4．用反证法证明命题“如果a ＞b ，那么3a >3b ”时，假设的内容应是( ) A.3a ＝3bB.3a <3bC.3a ＝3b 且3a <3bD.3a ＝3b 或3a <3b解析：3a 与3b 大小包括3a >3b ，3a ＝3b ，3a <3b 三方面的关系，所以3a >3b 的反设应为3a ＝3b 或3a <3b .答案：D5．(山东高考)用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根解析：至少有一个实根的否定是没有实根，故做的假设是“方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根”．答案：A6．使不等式3＋8＞1＋a 成立的正整数a 的最大值为( ) A ．10 B ．11 C ．12D ．13解析：用分析法可证a ＝12时不等式成立，a ＝13时不等式不成立．答案：C7．设a ，b ∈R ＋，且a ≠b ，P ＝a 2b ＋b 2a ，Q ＝a ＋b ，则( )A ．P >QB ．P ≥QC ．P <QD ．P ≤Q解析：P －Q ＝a 2b ＋b 2a －(a ＋b )＝a 3＋b 3－ab (a ＋b )ab＝(a ＋b )(a 2＋b 2－2ab )ab＝(a ＋b )(a －b )2ab，∵a ，b 都是正实数，且a ≠b ， ∴(a ＋b )(a －b )2ab >0.∴P >Q .答案：A8．已知a ，b 为非零实数，则使不等式：a b ＋ba ≤－2成立的一个充分而不必要条件是( )A ．ab ＞0B ．ab ＜0C ．a ＞0，b ＜0D ．a ＞0，b ＞0 解析：因为a b 与b a 同号，由a b ＋b a ≤－2，知a b ＜0，b a ＜0，即ab ＜0，又若ab ＜0，则ab＜0，ba＜0，所以a b ＋b a＝－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－a b ＋⎝⎛⎭⎫－b a ≤－2⎝⎛⎭⎫－a b ·⎝⎛⎭⎫－b a ＝－2，综上，ab ＜0是a b ＋ba≤－2成立的充要条件，所以a ＞0，b ＜0是a b ＋ba ≤－2成立的一个充分而不必要条件．答案：C9．如果log a 3>log b 3，且a ＋b ＝1，那么( ) A ．0<a 0，b >0，又a ＋b ＝1，故a <1，b <1，利用对数函数图像的特点：当底数小于1大于0时，底数越小，图像越接近x 轴，∴a log b 3⇒1log 3a －1log 3b >0⇒log 3b －log 3a log 3a ·log 3b >0，由0<a <1,00， ∴log 3b －log 3a >0，log 3b >log 3a .故b >a . 答案：A10．若a >b >0，下列各式中恒成立的是( ) A.2a ＋b a ＋2b >ab B.b 2＋1a 2＋1>b 2a 2C ．a ＋1a >b ＋1bD ．a a >b b 解析：利用不等式性质得，当a >b >0时，1a <1b ，由此可知，C 不恒成立；当0<a <1，a >b时，可知a a <b b ，D 不能恒成立；选取适当的特殊值，若a ＝2，b ＝1，可知2a ＋b a ＋2b ＝54，ab ＝2，由此可见A 不恒成立．由于本题为单选题，仅有一个结论成立，综上可知排除A ，C ，D.答案：B二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上) 11．用反证法证明“在△ABC 中，若∠A 是直角，则∠B 一定是锐角”时，应假设________________．解析：“∠B 一定是锐角”的否定是“∠B 不是锐角”．答案：∠B 不是锐角12．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则实数a ，b 应该满足的条件是________．解析：由a 知a ≥0，b 知b ≥0，而a a ＋b b ≠a b ＋b a ，知b ≠a .此时a a ＋b b －(a b ＋b a )＝(a －b )2(a ＋b )>0，不等式成立．答案：a ≥0，b ≥0，a ≠b13．记A ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1，则A 与1的大小关系为________．解析：∵211－1＝210＋(210－1)， ∴A 是210项之和．∵A ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1＜1210＋1210＋…＋1210＝1210×210＝1.答案：A <114．已知a ＞1，a lg b ＝100，则lg(ab )的最小值是________．解析：对a lg b ＝100两边取常用对数得lg a lg b ＝2， ∵lg a lg b ≤⎝⎛⎭⎫lg a ＋lg b 22＝⎣⎡⎦⎤lg (ab )22，∴lg(ab )≥2 2.当且仅当lg a ＝lg b ＝2时，等号成立．答案：2 2三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)设|a |＜1，|b |＜1，求证：|a ＋b |＋|a －b |＜2. 证明：当a ＋b 与a －b 同号时，|a ＋b |＋|a －b |＝|a ＋b ＋a －b |＝2|a |＜2；当a ＋b 与a －b 异号时，|a ＋b |＋|a －b |＝|a ＋b －(a －b )|＝2|b |＜2. ∴|a ＋b |＋|a －b |＜2.16．(本小题满分12分)求证：2(a 2＋1)32＋1a 2＋1≥3.证明：2(a 2＋1)32＋1a 2＋1＝2a 2＋1＋1a 2＋1 ＝a 2＋1＋a 2＋1＋1a 2＋1≥33a 2＋12·1a 2＋1＝3.17．(本小题满分12分)已知a 2＋b 2＋c 2＝1，求证：－12≤ab ＋bc ＋ca ≤1.证明：因为(a ＋b ＋c )2≥0，所以a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥0.又因为a 2＋b 2＋c 2＝1，所以ab ＋bc ＋ca ≥－12.因为ab ≤a 2＋b 22，bc ≤b 2＋c 22，ac ≤a 2＋c 22，所以ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋a 2＋c 22＝a 2＋b 2＋c 2＝1. 所以－12≤ab ＋bc ＋ca ≤1.18．(本小题满分14分)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) 中的a ，b ，c 均为整数，且f (0)，f (1)均为奇数．求证：方程f (x )＝0无整数根．证明：假设方程f (x )＝0有一个整数根k ，则ak 2＋bk ＋c ＝0.① ∵f (0)＝c ，f (1)＝a ＋b ＋c 均为奇数，则a ＋b 必为偶数．当k 为偶数时，令k ＝2n (n ∈Z )，则 ak 2＋bk ＝4n 2a ＋2nb ＝2n (2na ＋b )必为偶数． ak 2＋bk ＋c 必为奇数，与①式矛盾；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1(n ∈Z )，则ak 2＋bk ＝(2n ＋1)(2na ＋a ＋b )为一奇数与一偶数之积，必为偶数，也与①式相矛盾，所以假设不正确，即方程f (x )＝0无整数根．。

高二数学学案——均值不等式(二)

学案内容
学生纠错（教师点拨）
3.求函数（）的最大值以及相应的x的值
4.已知，求函数 = 的最小值以及相应的的值.
5.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨.
6.已知y=x+ (x≠0)，证明|y|≥2.
高二数学课时学案
课题
均值不等式（2）
编制人
审核人
学习
目标
与
评价
设计
目标及要求
是否达标
识记理解Biblioteka 应用利用均值不等式证明不等式
1，
,2，6
利用均值不等式解决实际应用问题
4，
,3，5
重点
难点
利用均值不等式解决实际应用问题
预习学案
学生纠错（教师点拨）
学案内容
。
一课前练习：
1．下列结论正确的是()
A．当x>0且x≠1时，lgx＋ ≥2
课堂小结：
第4页
学案内容
学生笔记（教师点拨）
自我反思
课堂总结：
二、自主梳理：
第2页
课堂学案
学生笔记（教师点拨）
学案内容
【新知学习】
二、典例探究
例1.已知a，b都是正数，且a＋b＝1，
求证：(1＋ )(1＋ )≥9.
第3页
学生笔记（教师点拨）
学案内容
【当堂训练】
1.已知a，b都是正数，且a＋b＝1，求。
2.某人购买小汽车，购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元，问这种汽车使用多少年报废最合算，它的年平均费用最少?

高中数学_不等式复习(基础篇)教学设计学情分析教材分析课后反思

高考专题复习之六――不等式(基础篇)学情分析一、整体情况1、所教学生为文科实验班，共34人，是高三新成立的班，这些学生在高一、高二时都分布在平行班中，高一、高二时学生在班内相对较好。

2、数学数学基础相对较好，但数学学习习惯不够规范，具体表现在：书写不规范、思维不够清晰，缺乏思维的深度、数学运算能力不强、在数学问题中对数学知识和方法的提取与转化能力弱、缺少做题的灵活性个性品质需要再进一步提高二、本部分知识掌握情况对于本部分知识，学生在新授课和一轮复习时对一些基础题型已经能够较熟练地处理，再加之新授课中对基本题型如不等式性质的运用、解一元二次不等式等相关的单一的基本题型已经掌握较好，本节课的重点是通过对典型问题的解读分析，在思维上让学生再进一步提高，使学生能够站在更高的高度看待与不等式有关的问题，对知识点的辨认、提取、讨论、解决方面能够再上一个台阶。

三、教学目标知识1、进一步掌握不等式的性质2、掌握基本不等式的特征及运用条件3、掌握一元二次不等式与对应一元二次方程和一元二次函数的关系方法1、能较清晰地识别、辨认并能有针对性地处理与不等式有关的常见题型.2、能够较熟练地解一元二次不等式3、能够较熟练地运用基本不等式求最大（小）值4、初步掌握分类讨论的分类标准思想1、进一步提高分类整合、数形结合的能力2、通过观察、归纳、抽象等方式，培养学生求真求实的科学精神，体会数学的应用价值，提高学生的逻辑推理能力和学数学用数学的意识.四、教学策略与教学手段根据复习课的特点以及数学知识的特点，在课堂上主要采用以题促学、以题促思、学生在老师指导下进行互助合作的模式；在复习基本题型的同时突出复习重点、攻克思维难点，同时辅以多媒体演示，最大限度地提高教学效率。

高考专题复习之六:不等式(基础篇)效果分析对于本节课，我认为自己做到了以下几点：1、对所教学生的学习情况做了细致、全面的了解和分析；2、对所复习知识点在高考中的地位和作用做了全面的分析；3、对所选题目进行了精心的筛选，力争做到具有代表性，能反应高考考查的方向；4、对重点难点的突破做到了循序渐进；5、在课堂控制方面坚持以学生为主体充分挖掘学生的潜力；学生方面：1、对不等式部分有了更深刻的认识；2、对于不等式部分在高考中的地位和作用认识更到位；3、从思维层面上对不等式相关的综合题目有了一定的理性认识.专题复习之六――不等式（基础篇）教材分析一、考试大纲及考试说明的要求：1、不等关系了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景.2、一元二次不等式（1）会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.（2）通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.（3）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.3、基本不等式：2a b +≥ (0,0)a b ≥≥ （1）了解基本不等式的证明过程.（2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.二、教材分析1、本部分教材是高中数学必修五中的内容，由于本部分知识即具有知识性、工具性的特点，但在整个数学知识体系中本部分有着举足轻重的作用。

高中数学第三章不等式 3.4 基本不等式(第2课时)教案高二数学教案

3.4.2 基本不等式（第2课时）一、教学目标知识与技能1.构建基本不等式解决函数的值域、最值问题；2.让学生探究用基本不等式解决实际问题；3.通过富有现实意义的实际问题的解决，去培养学生对数学这门学科的热爱.过程与方法1.采用探究法，按照观察、阅读、归纳、思考、交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学；2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；3.设计较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣.情感态度与价值观1.通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行类比、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯；2.学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘，数学的简洁美，数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣.二、教学重点与难点:重点：1.构建基本不等式解决函数的值域、最值问题.2.让学生探究用基本不等式解决实际问题；3.通过富有现实意义的实际问题的解决，去培养学生对数学这门学科的热爱.难点：1.让学生探究用基本不等式解决实际问题；2.基本不等式应用时等号成立条件的考查；3.通过富有现实意义的实际问题的解决，去培养学生对数学这门学科的热爱.三、教学模式与教法教学模式：根据本节课的教学内容，应用观察、阅读、归纳、逻辑分析、思考、合作交流、探究，对基本不等式展开实际应用，进行启发、探究式教学并使用投影仪辅助.教具准备投影仪、胶片、三角板、刻度尺四、教学过程教学环节教学内容师生活动设计意图一、创设情景，提出问题;前一节课我们对基本不等式展开了一些简单的应用.通过数与形的结合及证明应用，我们进一步领悟到基本不等式成立的条件是a ＞0、b ＞0.在应用的过程中，我们对基本不等式2ba ab +≤的结构特征已是充分认识，并能够灵活把握.本节课，我们将对基本不等式展开一些在求有关函数值域、最值的应用，更重要的是对基本不等式展开一些实际应用.二、分析问题，解决问题师已知ab b a ≥+2，若ab 为常数k ，那么a +b 的值如何变化？师若a ＋b 为常数s ，那么ab 的值如何变化？师同学们回答得非常好，对变量与定量理解的很清楚.由上面的研究可知，解决有关最值问题的关键就是如何构造这些“定和”或“定积”. (此时，老师用投影仪给出本节课的第一组问题)1.最值练习：解答下列各题：(１)求函数y ＝2x 2＋x 3（x ＞0）的最小值.(２)求函数y ＝x 2＋41x（x ＞0）的最小值. (３)求函数y ＝3x 2－2x 3（0＜x ＜23）的引导学生总结运用基本不等式的解题步骤和方法．生1；当且仅当a ＝b 时，a ＋b 就有最小值为2k.生2.当且仅当a ＝b 时，ab 就有最大值s 21（或ab 有最大值241s ）.。

高二数学《基本不等式》教案分析

高二数学《基本不等式》教案分析高二数学《基本不等式》教案分析一、教材分析【教材地位与作用】基本不等式又称为均值不等式，选自北京师范高校出版社一般中学课程标准试验教科书数学必修5第3章第3节内容。

教学对象为高二学生，本节课为第一课时，重在探讨基本不等式的证明与几何意义。

本节课是在系统的学习了不等关系和驾驭了不等式性质的基础上绽开的，作为重要的基本不等式之一,为后续进一步了解不等式的性质与运用，探讨最值问题奠定基础。

因此基本不等式在学问体系中起了承上启下的作用，同时在生活与生产实际中有着广泛的应用，它也是对学生进行情感价值观教化的好素材，所以基本不等式应重点探讨。

【教学目标】依据《新课程标准》对《不等式》学段的目标要求和学生的实际状况，特确定如下目标：学问与技能目标：理解驾驭基本不等式，理解算数平均数与几何平均数的概念，学会构造条件运用基本不等式；过程与方法目标：通过探究基本不等式，使学生体会学问的形成过程，培育分析、解决问题的实力；情感与看法目标：通过问题情境的设置，使学生相识到数学是从实际中来，培育学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培育学生擅长思索、勤于动手的良好品质。

【教学重难点】重点：理解驾驭基本不等式，能借助几何图形说明基本不等式的意义。

难点：利用基本不等式推导不等式.关键是对基本不等式的理解驾驭.二、教法分析本节课采纳视察——感知——抽象——归纳——探究；启发诱导、讲练结合的教学方法，以学生为主体，以基本不等式为主线，从实际问题动身，放手让学生探究思索。

利用多媒体协助教学，直观地反映了教学内容，使学生思维活动得以充分绽开，从而优化了教学过程，大大提高了课堂教学效率．三、学法指导新课改的精神在于以学生的发展为本，把学习的主动权还给学生，提倡主动主动，勇于探究的学习方法，因此，本课主要实行以自主探究与合作沟通的学习方式，通过让学生想一想，做一做，用一用，建构起自己的学问，使学生成为学习的主子。

高二人教A版必修5教案：3-1不等关系与不等式

分析：假设截得 500mm 的钢管 x 根，截得 600mm 的钢管 y 根.. 根据题意，应有如下的不等关系：（1）解得两种钢管的总长度不能超过 4000mm；（2）截得 600mm 钢管的数量不能超过 500mm 钢管数量的 3 倍；（3）解得两钟钢管的数量都不能为负。由以上不等关系，可得不等式组：
提高 0.1 元，销量就相应地减少 2000 本。若把提价后杂志的定价设为 x 元，怎样用不等式
表示销售的总收入还不底于 20 万元呢？
（教师示范 → 学生板演 → 小结）
3、小结：文字语言与数学语言之间的转换，实数的运算性质与大小顺序之间的关系.
三、巩固练习：
１.某电脑拥护计划使用不超过 500 元的资金购买单价分别为 60 元、70 元的单片软件和盒装
教学重点：理解不等式的性质及其证明.
教学难点：从实际的不等关系中抽象出具体的不等式.
教学过程：
一、复习准备：
1. 提问：实数的运算性质与大小顺序之间的关系
2. 设点Ａ与平面之间的距离为 d，Ｂ为平面上任意一点，则点Ａ与平面的距离小于
或等于Ａ，Ｂ两点间的距离，请将上述不等关系写成不等式.
二、讲授新课：
三、本节难点
用不等式（组）正确表示出不等关系。
四、知识储备
“作差法”比较两个实数的大小和常用的不等式的基本性质 ① 用“作差法”比较两个实数大小的关键是判断差的正负，常采用配方、因式分解、有理
化等方法.常用的结论有 x2 0，− x2 0，|x| 0，-|x| 0 等.
② “作差法”的一般步骤是： ①作差；②变形；③判断符号；④得出结论. ③常用的不等式的基本性质
_____________.
④.配制 A, B 两种药剂需要甲、乙两种原料，已知配一剂 A 种药需甲料 3 毫克，乙料 5 毫克，配一剂 B 药需甲料 5 毫克，乙料 4 毫克。今有甲料 20 毫克，乙料 25 毫克，若 A, B 两种药至少各配一剂，则 A, B 两种药在配制时应满足怎样的不等关系呢？用不等式表示出来.

高考数学证明法高二

高考数学证明法高二第一篇：高考数学证明法高二數學证明法（高二）明确复习目标1．理解不等式的性质和证明;2．掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。

建构知识网络1.比较法证明不等式是最基本的方法也是最常用的方法。

比较法的两种形式：（1）比差法：步骤是：①作差；②分解因式或配方；③判断差式符号；（2）比商法：要证a>b且b>0，只须证 a 1。

b说明：①作差比较法证明不等式时，通常是进行通分、因式分解或配方，利用各因式的符号或非负数的性质进行判断；②证幂、乘积的不等式时常用比商法，证对数不等式时常用比差法。

运用比商法时必须确定两式的符号；2.综合法：利用某些已经证明过的不等式（如均值不等式，常用不等式，函数单调性）作为基础，再运用不等式的性质推导出所要证的不等式的方法。

3.分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。

这种证明方法叫做分析法。

要注意书写的格式, 综合法是分析法的逆过程4．对较复杂的不等式先用分析法探求证明途径，再用综合法,或比较法加以证明。

5.要掌握证明不等式的常用方法，此外还要记住一些常用不等式的形式特点,运用条件,等号、不等号成立的条件等。

经典例题做一做【例1】（1）已知a,b∈R,求证:a2+b2+1>ab+aa22b22（2）设a>0,b>0,求证()+()≥a2+b2.ba【例2】已知a+b+c=0，求证：ab+bc+ca≤0.1111【例3】已知∆ABC的三边长为a,b,c,且m为正数.求证:abc+>.a+mb+mc+m【例4】设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0），方程f（x）－x=0的两根x1、x2满足1＜x1＜x2＜1.a（1）当x∈（0，x1）时，证明x＜f（x）＜x1；（2）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，求证x0＜x1.2【研讨.欣赏】已知a＞1，m＞0，求证：loga（a+m）＞loga+m （a+2m）.提炼总结以为师1.比较法是一种最重要的、常用的基本方法，其应用非常广泛，一定要熟练掌握.步骤是：作差→变形(分解因式或配方)→判断符号.对于积或幂的式子可以作商比较,作商比较必须弄清两式的符号.2.对较复杂的不等式需要用分析法,分析使不等式成立的充分条件,再证这个条件(不等式)成立.3.综合法是最简捷明快的方法,常需用分析法打前站,用分析法找路,综合法写出.有时也需要几种方法综合运用.4.要熟练掌握均值不等式、四种平均值之间的关系，记住一些常用的不等式，记住它们的形式特点、证明方法和内在联系。

高二数学最新教案-不等式的性质与证明(2) 精品

课题：不等式的证明【课前预习】1、已知+∈R b a ,且b a ≠，求证：322355b a b a b a +>+2、已知R c b a ∈,,，求证：ca bc ab c b a ++≥++2223、已知：1,1222222=++=++z y x c b a ，求证：1≤++cz by ax4、求证：)3(321≥---<--a a a a a5、已知2,,>+∈+y x R y x ，求证：y x x y ++1,1至少有一个小于26、21,122≥+=+b a b a 求证：【例题讲解】1、+∈R b a ,，+∈N n m ,，且n m >求证：n m n n n m n m b a b ab a --+>+2、设+∈R c b a ,,，求证：)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++3、已知：1||,1||<<b a ，求证：1|1|<++abb a4、求证：21332≤-+≤-x x5、已知：R q p ∈,，且233=+q p ，求证：2≤+q p【课后作业】1、设R y x n m ∈,,,，且满足4,92222=+=+y x n m ，则ny mx +的最大值是（） A213 B 6 C 211 D 6 2、若R b a ∈,，且1022=+b a ，则b a -的取值范围是（） A [52,52-] B [102,102-] C [10,10-] D [0，10]3、设+∈R c b a ,,，则三个数，则三个数ac c b b a 111+++，，中（） A 都不大于2 B 都不小于2C 至少有一个不大于2D 至少有一个不小于24、已知0,,≠∈ab R b a ，则在（1）ab b a ≥+222；（2）2≥+b a a b ；（3）2)2(b a ab +≤；（4）2)2(222b a b a +≤+，这4个式子中，恒成立的个数是（）A 1B 2C 3D 45、P=231+，Q=25-，则P 、Q 的大小关系是（）A P<QB P=QC P>QD 以上都不对6、若2,0,0b a b a b a ++>>与则的大小关系是。

高二数学教案设计5篇

高二数学教案设计5篇高二数学教案设计5篇作为一名优秀的教育工作者，常常需要进行教案编写工作，编写教案助于教师积累教学经验，不断提高教学质量。

下面是小编给大家整理的高二数学教案设计，希望大家喜欢！高二数学教案设计（精选篇1）选修Ⅱ1.概率与统计（14课时）离散型随机变量的分布列。

离散型随机变量的期望值和方差。

抽样方法。

总体分布的估计。

正态分布。

线性回归。

实习作业。

教学目标：（1）了解随机变量、离散型随机变量的意义，会求出某些简单的离散型随机变量的分布列。

（2）了解离散型随机变量的期望值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差。

（3）会用随机抽样、系统抽样、分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本。

（4）会用样本频率分布估计总体分布。

（5）了解正态分布的意义及主要性质。

（6）通过生产过程的质量控制图了解假设检验的基本思想。

（7）了解线性回归的方法。

（8）实习作业以抽样方法为内容，培养学生用数学解决实际问题的能力。

2. 极限（12课时）数学归纳法。

数学归纳法应用举例。

数列的极限。

函数的极限。

极限的四则运算。

函数的连续性。

教学目标：（1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

（2）从数列和函数的变化趋势理解数列极限和函数极限的概念。

（3）掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限。

（4）了解连续的意义，借助几何直观理解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质。

3.导数与微分（16课时）导数的概念。

导数的几何意义。

几种常见函数的导数。

两个函数的和、差、积、商的导数。

复合函数的导数。

基本导数公式。

微分的概念与运算。

利用导数研究函数的单调性和极值。

函数的最大值和最小值。

教学目标：（1）了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。

（2）熟记基本导数公式（c，xm（m为有理数）， sin x， cos x， ex，ax， ln x， logax的导数）；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。