第十章 误差椭圆

坐标的中误差 x 和 y 表示点位在x方向和y方向上的中 误差。一般地， x y ，即点位在不同方向上的中误差 一般是不相等的。
既然点位在不同方向上的中误差不相等，就有必要研究点 位在任意方向 上的中误差。
第十章——误差椭圆
为此，将坐标轴旋转一个角度 。点位在任意方向 上 的中误差，就是点位在 X 轴上的中误差 x '
P 2 x 2 y 2
x’
x
Δx
Δy ΔP Δs P
P’ Δu
y’
A
y
第十章——误差椭圆
ˆ, y ˆ ) 。且方差协方差矩阵为: 平后待定点P 的坐标为 ( x
DX ˆX ˆ
2 Q Q xy x xy 2 xx 0 Q Q 2 xy yy xy y
第十章——误差椭圆
GPS 网 三 维 无 约 束 平 差 误 差 椭 圆
第十章——误差椭圆
GPS 网 三 维 无 约 束 平 差 误 差 椭 圆
第十章——误差椭圆
§10-5 相对误差椭圆
在平面控制网中，绘出各待定点的位误差椭圆后，就可应用点位误 差椭圆图解各待定点与已知点之间的边长中误差与方位角中误差。 但不能用同样的方法图解待定点与待定点之间的边长中误差与方位 角中误差。而在实际工作中，重要的却是任意两个待定点之间的相 对精度。为此，有必要研究任意两个待定点之间的相对精度问题。 设有任意两个待定点 为：
第十章——误差椭圆
第十章
§10-1 概述 §10-2 点位误差
误差椭圆
§10-3 误差曲线
§10-4 误差椭圆
§10-5 相对误差椭圆
第十章——误差椭圆
§10-1 概述
待定点P的真实位置和平差位置之间存在差值：
ˆ x ~ xx ~ ˆ y y y
由此而产生的距离P 称为P点的点位真误差，简称真位差:
0 90 0 2 180 sin2 0 0 ； 当 即 时， 0 0 sin2 0 0； 180 2 360 当 即 90 0 180 时， 0 又因为对于 0 和180+ 0 ， sin 2 0 的符号不变，所以： 当 Q xy 0 时，极大值在一、三象限； 极小值在二、四象限。




第十章——误差椭圆
（4）式的中括号内有两项，第一项恒大于零，第二项的 2ctg 2 2 0 1 也恒大于零。 第二项中的Q xy 和sin 2 0有正有 负。只有它们同号，第二项大于零，才能使 Q 取 极大值。当它们异号时，第二项小于零， Q 0 0 取极小值。
0 0
2 2 cos E 乘以（5）式的第一、第二 sin 若分别以 E 和
式，并求和，经与以上同样的推导，得：
1 2 Qxx Qyy Qxx Qyy y2 （8） E 2 sin 2 E F 2 cos2 E 0 2
第十章——误差椭圆
（7）式和（8）式就是用极值E、F计算纵横坐标中误差 的公式。 若规定任何方向都由E 轴起算，则纵坐标轴X相对于E轴 的方位角为 360 E （如图）。故（7）式可写为：
示任意方向上的位差，分别以
cos 2 E 和 sin 2 E 乘以（5）
式的第一、第二式，并求和，得：
第十章——误差椭圆
因为
1 2 E cos E F sin E 0 Qxx Q yy K cos 2 E （6） 2
2 2 2 2
tan 2 0
2Q xy Q xx Q yy
长半轴E的方位角 E 确定。
因此，称E、F和 E 为误 差椭圆的三个参数。
第十章——误差椭圆
误差椭圆除了在长轴 E、短轴F上能精确表 示位差外,其它任何 方向都不能直接从误 差椭圆上量取位差的 大小。 要通过误差椭圆得到 任意方向位差的大小， 其方法是： 垂直任意方向 作 误差椭圆的切线PD， 则垂足D至O的长度就 是任意方向 上的 _____ 位差，即 OD
第十章——误差椭圆
为此，下面就来求 x 。 如图，由相似变换公式得： 应用协方差传播律，得：
ˆ x cos sin x y sin cos y ˆ
2 2 2 2 2 x x ˆ cos y ˆ sin x ˆy ˆ sin 2 2 2 2 2 2 y x ˆ sin y ˆ cos x ˆy ˆ sin 2
2 x E 2 cos2 (360 E ) F 2 sin 2 (360 E )
由于X轴是以E轴起算的所有方向中 的一个特定方向，所以以E轴起算 的任意方向 上的位差为： 2 E 2 cos2 F 2 sin 2 （9） （9）式就是以E轴为起算方向，用 极值E、F计算任意方向 上的位 差的实用公式。
2 2
代入（2）式，得：
1 cos 2 0 1 cos 2 0 Q00 Qxx Q yy Qxy sin 2 0 2 2 1 Qxx Q yy (Qxx Q yy ) cos 2 0 2Qxy sin 2 0 2 （4） 2Qxy 1 Qxx Q yy cos 2 0 2Qxy sin 2 0 2 tan 2 0 1 Qxx Qyy 2 ctg 2 20 1 Qxy sin 20 2
（2）
将两个垂直方向的位差相加，得：
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x (sin cos ) (sin cos ) ˆ ˆ ˆ ˆ y x y x y
上式表明点位在任意两垂直方向上的方差之和为不变量。 为此，定义点位在两垂直方向上的方差之和为点位方差：
当 Q xy 0 时，极大值在二、四象限； 极小值在一、三象限。 F和 F 180 表示极大值与极小值方向。 用 E和 E 180, 知道了极大值与极小值的方向，下面再来研究极大值与极 小值的大小。
第十章——误差椭圆
将极大值方向 E 与极小值方向 F 代入（2）式，就可以 得到极大值与极小值。实用上，通常重新推导一套公式： 1 因为 sin 2 1 1 2 sin 2 0 0 cos2 2 0 1 ctg 2 2 0 1 ctg 2 2 0 1 2 顾及
(Q xx Q yy ) sin 2 0 2Q xy cos 2 0 0
于是有三角方程：
tan 2 0 2Q xy Q xx Q yy

（3）
因为
2 0 和 2 0 180 。则极值方 所以（3）式有两个解： 90 向也有两个： 0 和 0 ，即一个极大值方向，一 个极小值方向，且极大值方向与极小值方向正交。
2


第十章——误差椭圆
2 令： K (Q xx Q yy ) 2 4Q xy K为算术平方根，恒大于零。 1 则有： Q Q xx Q yy K 2 用E表示位差的极大值，F表示位差的极小值，则有： 1 2 2 2 E 0 Q E E 0 Q xx Q yy K 2 （5） 1 2 2 2 F 0 Q F F 0 Q xx Q yy K 2 （5）式就是计算位差极大值与极小值的实用公式。
知，该曲线关于E轴和F轴对 称。称该曲线为点位误差曲线。
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§10-4 误差椭圆
点位误差曲线不是标准曲线，在计算机普遍使用之前作 图不方便。为此，总是用一个长半轴等于E，短半轴等 于F的椭圆来近似表示（如图），并称此椭圆为点位误 差椭圆，简称误差椭圆。 由图知，此误差椭圆仅由 长半轴E、短半轴F、以及
所以
2Qxy sin 2 0 sin 2 0 ， 2 cos 2 0 (Qxx Q yy ) 2 4Qxy
cos 2 E
Qxx Q yy 2Qxy
2Qxy (Qxx Q yy ) 4Q
2 2 xy

Qxx Q yy K
将上式代入（6）式，得：
1 2 2 7） Qxx Qyy Qxx Qyy （ E 2 cos2 E F 2 sin 2 E 0 x 2
即点位在任意方向上的方差为
2 2 2 2 2 x ( Q cos Q sin Q xy sin 2 ) 0 xx yy
（1）
习惯上，称点位在某方向上的方差为该方向上的位差。
习题：10.2.07
第十章——误差椭圆
点位在任意方向 上的协因数为：
Q Q xx cos2 Q yy sin 2 Q xy sin 2
1 2 0 Q xx Q yy K 2 1 2 Qxx Q yy K 0 2
2 K (Q xx Q yy ) 2 4Q xy
教材：10－1 习题：10.2.08
第十章——误差椭圆
4、以极值表示任意方向上的位差
任意方向上的位差公式(1)式中的任意方向 是从X轴起 算的。若从极大值方向（E轴）起算，其公式会是怎样 的呢？下面来推导。 如图，从X轴起算的任意方 向 ，若从极大值方向（E轴） 起算则为 。为了导出极值表




第十章——误差椭圆
极值方向
当
当
tan 2 0
2Q xy Q xx Q yy
Q xy 0 时，极大值在一、三象限；
Q xy
极小值在二、四象限。 时，极大值在二、四象限； 0 极小值在一、三象限。
极大值与极小值
E Q E E
2 2 0 2 F2 0 Q F F
tan 2 0 2Q xy Q xx Q yy