北京市海淀区2011-2012学年高三年级第一学期期中练习数学试卷(理科)(精校版)
2012届北京市海淀区高三期末数学理科试题(WORD精校版)
北京市海淀区2012届高三上学期期末考试试题数学（理）2012.01一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）复数52i=+ ( )（A ）2i-（B ）21i 55+（C ）105i-（D ）105i33-（2）如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点.那么=EF （A ）1123AB AD -（B ）1142AB AD+（C ）1132AB DA+（D ）1223AB AD-（3）若数列n a 满足：119a =，13(*)nn a a nN ，则数列n a 的前n 项和数值最大时，n 的值是（A ）6（B ）7（C ）8（D ）9（4）已知平面，，直线l ，若^，l =，则（A ）垂直于平面的平面一定平行于平面（B ）垂直于直线l 的直线一定垂直于平面（C ）垂直于平面的平面一定平行于直线l（D ）垂直于直线l 的平面一定与平面,都垂直（5）函数()sin(2)(,)f x A x A =+R 的部分图象如图所示，那么(0)f =（）（A ）12-（B ）32-FEDC BA（C ）1-（D ）3-（6）执行如图所示的程序框图，输出的i 值为（）（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8（7）已知函数2()cos sin f x xx ，那么下列命题中假命题．．．是（）（A ）()f x 既不是奇函数也不是偶函数（B ）()f x 在[,0]-上恰有一个零点（C ）()f x 是周期函数（D ）()f x 在(,2上是增函数（8）点P 到图形C 上每一个点的距离的最小值称为点P 到图形C 的距离，那么平面内到定圆C 的距离与到定点A 的距离相等的点的轨迹不可能．．．是（）（A ）圆（B ）椭圆（C ）双曲线的一支（D ）直线二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上.（9）5(1)x +的展开式中2x 的系数是. （用数字作答）（10）若实数,x y 满足40,20,250,x y x y x y ì+-???--í??+-??则2z x y =+的最大值为.（11）抛物线2x ay =过点1(1,)4A ，则点A 到此抛物线的焦点的距离为.甲城市乙城市开始i=1,s=0 s=s+2i -1is ≤100i= i +1 输出i 结束是否（12）甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温（单位：C °）用茎叶图记录如下，根据茎叶图可知，两城市中平均温度较高的城市是____________，气温波动较大的城市是____________.（13）已知圆C：22(1)2xy，过点(1,0)A 的直线l 将圆C 分成弧长之比为1:3的两段圆弧，则直线l 的方程为.（14）已知正三棱柱'''ABC A B C -的正（主）视图和侧（左）视图如图所示. 设,'''ABC A B C 的中心分别是,'O O ，现将此三棱柱绕直线'OO 旋转，射线OA 旋转所成的角为x 弧度（x 可以取到任意一个实数），对应的俯视图的面积为()S x ，则函数()S x 的最大值为；最小正周期为 .8,3说明：“三棱柱绕直线'OO 旋转”包括逆时针方向和顺时针方向，逆时针方向旋转时，OA旋转所成的角为正角，顺时针方向旋转时，OA 旋转所成的角为负角.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分13分）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2A B ，3sin 3B.（Ⅰ）求cos A 及sin C 的值；（Ⅱ）若2b =，求ABC 的面积.908773 12472247侧（左）视图正（主）视图43(16)（本小题满分13分）为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛.（Ⅰ）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；（Ⅱ）若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为X ，求X 的分布列和数学期望.(17)（本小题满分14分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，90ABC ?，2AB PB PC BC CD ====，平面PBC ^平面ABCD .（Ⅰ）求证：AB ^平面PBC ；（Ⅱ）求平面PAD 和平面BCP 所成二面角（小于90°）的大小；（Ⅲ）在棱PB 上是否存在点M 使得CM ∥平面PAD ？若存在，求PM PB的值；若不存在，请说明理由.(18)（本小题满分13分）已知函数2()e ()xf x xaxa ，其中a 是常数.PABCD(Ⅰ)当1a 时，求曲线()y f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若存在实数k ，使得关于x 的方程()f x k 在[0,)上有两个不相等的实数根，求k 的取值范围.(19)（本小题满分14分）已知焦点在x 轴上的椭圆C 过点(0,1)，且离心率为32,Q 为椭圆C 的左顶点.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知过点6(,0)5的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点.（ⅰ）若直线l 垂直于x 轴，求AQB 的大小;（ⅱ）若直线l 与x 轴不垂直，是否存在直线l 使得QAB 为等腰三角形？如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明理由.(20)（本小题满分14分）已知集合{1,2,3,,}(*)M n n=N ，若集合12{,,,}(*)m A a a a M m=臀N ，且对任意的b M ?，存在,(1)i j a a A i j m 危＃，使得12ij b a a =+（其中12,{1,0,1}?），则称集合A 为集合M 的一个m 元基底. （Ⅰ）分别判断下列集合A 是否为集合M 的一个二元基底，并说明理由；①{1,5}A =，{1,2,3,4,5}M =；②{2,3}A =，{1,2,3,4,5,6}M =.（Ⅱ）若集合A 是集合M 的一个m 元基底，证明：(1)m m n +；（Ⅲ）若集合A 为集合{1,2,3,,19}M =的一个m 元基底，求出m 的最小可能值，并写出当m 取最小值时M 的一个基底A .参考答案及评分标准2012．01一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案ADBDCABD二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）5（10）7（11）54（12）乙，乙（13）3(1)3y x =+或3(1)3y x =-+（14）8；3注：（13）题正确答出一种情况给3分，全对给5分；（12）、（14）题第一空3分；第二空2分.三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2A B ，所以2cos cos212sin A B B ==-.,,,,,,,,,,,,,,,2分因为3sin 3B，所以11cos 1233A =-?. ,,,,,,,,,,,,,,,3分由题意可知，(0,)2B ?.所以26cos 1sin 3B B =-=. ,,,,,,,,,,,,,,,5分因为22sin sin 22sin cos 3A B B B ===.,,,,,,,,,,,,,,,6分所以sin sin[()]sin()C A B A B =-+=+53sin cos cos sin 9A B A B =+=. ,,,,,,,,,,,,,,,8分（Ⅱ）因为sin sin b a B A=，2b =，,,,,,,,,,,,,,,,10分所以232233a =.所以463a =. ,,,,,,,,,,,,,,,11分所以1202sin 29ABCSab C ==. ,,,,,,,,,,,,,,,13分(16)（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件A ，则23!15!10P A. ,,,,,,,,,,,,,,,4分所以甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为110.,,,,,,,,,,,,,,,5分（Ⅱ）随机变量X 的可能取值为0, 1, 2, 3. ,,,,,,,,,,,,,,,6分24!205!5P X ，323!315!10P X ，22!32!125!5P X ，23!135!10P X.,,,,,,,,,,,,,,,10分随机变量X 的分布列为：X 0123P2531015110因为231101231510510EX ，所以随机变量X 的数学期望为1.,,,,,,,,,,,,,,,13分(17)（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为90ABC ?，所以AB BC .,,,,,,,,,,,,,,,1分因为平面PBC ^平面ABCD ，平面PBC 平面ABCD BC =，AB ì平面ABCD ，所以AB^平面PBC .,,,,,,,,,,,,,,,3分（Ⅱ）解：取BC 的中点O ，连接PO .因为PB PC =，所以PO BC .因为平面PBC ^平面ABCD ，平面PBC平面ABCD BC =，PO ì平面PBC ，所以PO ^平面ABCD .,,,,,,,,,,,,,,,4分如图，以O 为原点，OB 所在的直线为x 轴，在平面ABCD 内过O 垂直于BC 的直线为y 轴，OP 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系O xyz ．不妨设2BC =.由直角梯形ABCD 中2AB PB PC BC CD ====可得(0,0,3)P ，(1,1,0)D -，(1,2,0)A .所以(1,1,3)DP =-，(2,1,0)DA =.设平面PAD 的法向量(,,)=x y z m .因为0,0.DP DAì???í????m m 所以(,,)(1,1,3)0,(,,)(2,1,0)0,x y z x y z ì??=?í???即30,20.x y z x y ì?-+=?í?+=?令1x =，则2,3y z =-=-.所以(1,2,3)=--m .,,,,,,,,,,,,,,,7分取平面BCP 的一个法向量n0,1,0. 所以2cos ,2m n m nm n.所以平面ADP 和平面BCP 所成的二面角（小于90°）的大小为4.,,,,,,,,,,,,,,,9分（Ⅲ）解：在棱PB 上存在点M 使得CM ∥平面PAD ，此时12PM PB=. 理由如下：,,,,,,,,,,,,,,,10分取AB 的中点N ，连接CM ，CN ，MN .则MN ∥PA ，12AN AB =.因为2AB CD =，OzyxPA B C DNMPABCD所以AN CD =.因为AB ∥CD ，所以四边形ANCD 是平行四边形. 所以CN ∥AD . 因为,MNCN N PAAD A ==，所以平面MNC ∥平面PAD .,,,,,,,,,,,,,,,13分因为CM ì平面MNC ，所以CM ∥平面PAD .,,,,,,,,,,,,,,,14分(18)（本小题满分13分）解：(Ⅰ)由2()e ()x f x xax a 可得2'()e [(2)]xf x x a x . ,,,,,,,,,,,,,,,2分当1a时,(1)e f ,'(1)4e f .,,,,,,,,,,,,,,,4分所以曲线()y f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为e 4e 1y x ，即4e 3e yx .,,,,,,,,,,,,,,,5分（Ⅱ）令2'()e ((2))0xf x xa x ，解得(2)x a 或0x . ,,,,,,,,,,,,,,,6分当(2)0a ，即2a时，在区间[0,)上，'()0f x ，所以()f x 是[0,)上的增函数.所以方程()f x k 在[0,)上不可能有两个不相等的实数根.,,,,,,,,,,,,,,,8分当(2)0a ，即2a时，'(),f x f x 随x 的变化情况如下表x(0,(2))a (2)a((2),)a'()f x 0-0+()f x a↘24ea a ↗由上表可知函数()f x 在[0,)上的最小值为24((2))ea a f a .,,,,,,,,,,,,,,,10分因为函数()f x 是(0,(2))a 上的减函数，是((2),)a 上的增函数，且当x a 时，有()f x e ()aa a . ,,,,,,,,,,,,,,,11分所以要使方程()f x k 在[0,)上有两个不相等的实数根，k 的取值范围必须是24(,]ea a a .,,,,,,,,,,,,,,13分(19)（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b ab，且222a b c =+.由题意可知：1b =，32c a=. ,,,,,,,,,,,,,,,2分所以24a =.所以，椭圆C 的标准方程为2214xy.,,,,,,,,,,,,,,3分（Ⅱ）由（Ⅰ）得(2,0)Q .设1122(,),(,)A x y B x y .（ⅰ）当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为65x.由226,514xxy解得：6,545xy或6,54.5x y即6464(,),(,)5555A B （不妨设点A 在x 轴上方）.,,,,,,,,,,,,,,,5分则直线AQ 的斜率1AQ k ，直线BQ 的斜率1BQk .因为1AQ BQ k k ，所以AQ BQ ^. 所以2AQB. ,,,,,,,,,,,,,,,6分（ⅱ）当直线l 与x 轴不垂直时，由题意可设直线AB 的方程为6()(0)5yk xk .由226(),514yk xxy消去y得：2222(25100)2401441000k xk x k.因为点6(,0)5-在椭圆C 的内部，显然0.21222122240,25100144100.25100kx x k kx x k ,,,,,,,,,,,,,,,8分因为1122(2,),(2,)QAx y QB x y ，116()5y k x ，226()5y k x ，所以1212(2)(2)QA QBx x y y 121266(2)(2)()()55x x k x k x 2221212636(1)(2)()4525k x x k x x k2222222144100624036(1)(2)()402510052510025kkk k kkk.所以QAQB .所以QAB 为直角三角形.,,,,,,,,,,,,,,,11分假设存在直线l 使得QAB 为等腰三角形，则QA QB .取AB 的中点M ，连接QM ，则QM AB ^.NQ BAOyx记点6(,0)5-为N .另一方面，点M 的横坐标22122212024225100520M x x kkx k k+==-=-++，所以点M 的纵坐标266()5520M M ky k x k=+=+.所以222221016666(,)(,)520520520520k k k QM NM kk kk+?++++222601320(520)kk +=+.所以QM 与NM 不垂直，矛盾.所以当直线l 与x 轴不垂直时，不存在直线l 使得QAB 为等腰三角形.,,,,,,,,,,,,,,,13分(20)（本小题满分14分）解：（Ⅰ）①{1,5}A =不是{1,2,3,4,5}M =的一个二元基底. 理由是1212315(,{1,0,1})棺+孜-；②{2,3}A =是{1,2,3,4,5,6}M =的一个二元基底.理由是11213,21203,30213=-?????，41212,51213,61313=?????.,,,,,,,,,,,,,,,3分（Ⅱ）不妨设12m a a a <<<，则形如10i j a a ?(1)i jm ＃的正整数共有m 个；形如11ii a a ?(1)im ＃的正整数共有m 个；形如11i j a a ?(1)ij m ?的正整数至多有2mC 个；形如(1)1i j a a -?(1)ijm ?的正整数至多有2mC 个.又集合{1,2,3,,}M n =含n 个不同的正整数，A 为集合M 的一个m 元基底.故22m mm m C C n +++，即(1)m m n +. ,,,,,,,,,,,,,,,8分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知(1)19m m +，所以4m3.当4m =时，(1)191m m+-=，即用基底中元素表示出的数最多重复一个. *假设1234{,,,}A a a a a =为{1,2,3,,19}M =的一个4元基底，不妨设1234a a a a <<<，则410a 3. 当410a =时，有39a =，这时28a =或7.如果28a =，则由1109,198,1899,18108=-=-=+=+，与结论*矛盾. 如果27a =，则16a =或5.易知{6,7,9,10A =和{5,7,9,10}A =都不是{1,2,3,,19M =的4元基底，矛盾. 当411a =时，有38a =，这时27a =，16a =，易知{6,7,8,11}A =不是{1,2,3,,19M =的4元基底，矛盾.当412a =时，有37a =，这时26a =，15a =，易知{5,6,7,12}A =不是{1,2,3,,19M =的4元基底，矛盾.当413a =时，有36a =，25a =，14a =，易知{4,5,6,1A =不是{1,2,3,,1M =的4元基底，矛盾. 当414a =时，有35a =，24a =，13a =，易知{3,4,5,1A =不是{1,2,3,,M =的4元基底，矛盾.当415a =时，有34a =，23a =，12a =，易知{2,3,4,1A =不是{1,2,3,,1M =的4元基底，矛盾.当416a =时，有33a =，22a =，11a =，易知{1,2,3,16}A =不是{1,2,3,,M =的4元基底，矛盾.当417a 3时，A 均不可能是M 的4元基底.当5m =时，M 的一个基底{1,3,5,9,16}A =；或{3,7,8,9,10}；或{4,7,8,9,10}等，只要写出一个即可. 综上，m 的最小可能值为 5.,,,,,,,,,,,,,,,14分。
2011海淀区高三期中练习理科数学试题及答案
海淀区高三年级第一学期期中练习数 学 (理科) 2010.11一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1．已知集合{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}1,3,5,7A =，{}1,3,5,6,7B =，则集合()U A B ⋂ð是（ ）A ． {2,4,6}B ． {1,3,5,7}C ． {2,4}D ．{2,5,6} 2. 下列函数中，是奇函数且在区间(0,1)内单调递减的函数是A ．12log y x = B ．1y x=C ．3y x =D ．x y tan =3．已知命题:0p x ∃≥，23x =，则A ．:0p x ⌝∀<，23x ≠B ．:0p x ⌝∀≥，23x ≠C ．:0p x ⌝∃≥，23x ≠D ．:0p x ⌝∃<，23x ≠4．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项的和，254a a +=，721S =，则7a 的值为A ．6B ．7C ．8D ． 95. 把函数()(0,1)x f x a a a =>≠的图象1C 向左平移一个单位，再把所得图象上每一个点的纵坐标扩大为原来的2倍，而横坐标不变，得到图象2C ，此时图象1C 恰与2C 重合，则a 为 A ． 4 B ． 2 C ．12D ．146．已知向量=a （1，0），=b （0，1），b a c λ+=（∈λR ），向量d 如图所示.则（ ）A ．存在0>λ，使得向量c 与向量d 垂直B ．存在0λ>，使得向量c 与向量d 夹角为︒60C ．存在0λ<，使得向量c 与向量d 夹角为30︒D ．存在0>λ，使得向量c 与向量d 共线7．已知函数1)()14sin() (1)32x f x x x ππ⎧>⎪=⎨-≤≤⎪⎩，则()f x 的最小值为 A ． -4 B ． 2 C ．D ．48．在平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，设函数()(2)3f x k x =-+的图象为直线l ，且l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，给出下列四个命题： ① 存在正实数m ，使△AO B 的面积为m 的直线l 仅有一条；② 存在正实数m ，使△AO B 的面积为m 的直线l 仅有两条； ③ 存在正实数m ，使△AO B 的面积为m 的直线l 仅有三条； ④ 存在正实数m ，使△AO B 的面积为m 的直线l 仅有四条. 其中所有真命题．．．的序号是 A ．①②③ B ．③④ C ．②④ D ．②③④二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9．30cos x dx π=⎰_________ ．10．函数()ln 2f x x x =-的极值点为_________． 11．已知⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=ππαα,2,53sin ，则cos sin 44ππαα⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为________ ． 12．在A B C ∆中，90A ∠=，且1AB BC ⋅=-,则边AB 的长为 ．13．如图（１）是反映某条公共汽车线路收支差额（即营运所得票价收入与付出成本的差）y 与乘客量x 之间关系的图象．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图（２）（３）所示.给出下说法：①图（2）的建议是：提高成本，并提高票价；②图（2）的建议是：降低成本，并保持票价不变； ③图（3）的建议是：提高票价，并保持成本不变； ④图（3）的建议是：提高票价，并降低成本．(1)(2)(3)其中所有说法正确的序号是 ．14．对于数列{}n a ,定义数列}{m b 如下：对于正整数m ，m b 是使得不等式n a m ≥成立的所有n 中的最小值．（Ⅰ）设{}n a 是单调递增数列,若34a =，则4b =____________ ；（Ⅱ）若数列{}n a 的通项公式为*21,n a n n N =-∈，则数列{}m b 的通项是________． 三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15. （本小题共12分）在锐角△ABC 中，角,,A B C 的对边的长分别为,,,a b c 已知5b =，sin 4A =，4ABC S ∆=.（I ）求c 的值； （II ）求sin C 的值.16. （本小题共13分）在等比数列}{n a 中，)(0*N n a n ∈>，且134a a =，13+a 是2a 和4a 的等差中项.（I ）求数列}{n a 的通项公式；（II ）若数列}{n b 满足12log n n n b a a +=+（1,2,3...n =），求数列}{n b 的前n 项和n S .已知函数2()f x ax bx c =++，[0,6]x ∈的图象经过(0,0)和(6,0)两点，如图所示，且函数()f x 的值域为[0,9].过动点(,())P t f t 作x 轴的垂线，垂足为A ，连接O P . （I ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）记OAP ∆的面积为S ，求S 的最大值.18. （本小题共14分）已知数列{}n a 满足：123,(1,2,3,)n n a a a a n a n ++++=-=（I ）求123,,a a a 的值；（Ⅱ）求证：数列{1}n a -是等比数列；（Ⅲ）令(2)(1)n n b n a =--（1,2,3...n =），如果对任意*n N ∈，都有214n b t t +≤，求实数t 的取值范围.19. （本小题共14分）已知函数2(2)()1x a a xf x x -+=+（0a ≥）.（I ）当1a =时，求()f x 在点(3,(3))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 在[0,2]上的最小值.已知有穷数列A ：12,,,n a a a ，(2n ≥).若数列A 中各项都是集合{|11}x x -<<的元素，则称该数列为Γ数列.对于Γ数列A ，定义如下操作过程T ：从A 中任取两项,i j a a ，将1i j i ja a a a ++的值添在A 的最后，然后删除,i j a a ,这样得到一个1n -项的新数列1A (约定:一个数也视作数列). 若1A 还是Γ数列，可继续实施操作过程T ，得到的新数列记作2A ， ,如此经过k 次操作后得到的新数列记作k A . （Ⅰ）设11:0,,.23A 请写出1A 的所有可能的结果； （Ⅱ）求证：对于一个n 项的Γ数列A 操作T 总可以进行1n -次； （Ⅲ）设5111511111:,.7654623456A ----，，，，，，，，求9A 的可能结果，并说明理由.海淀区高三第一学期期中练习数 学 (理科)参考答案及评分标准一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分） (9)2(10)12(答案写成坐标形式,扣3分) (11)4950(12) 1 (13) ② ③(14) 43b =， ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=是偶数是奇数m m m m b m,22,21（也可以写成：⎪⎩⎪⎨⎧∈=+∈-==)(2,1)(12,**N k k m k N k k m k b m 或(1)3()24mm m b n Z -+=+∈ ）.三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15. （本小题共12分） 解：（I ）由1sin 24ABC S bc A ∆==…………....……..….…2分可得，6c = ……………....……..….….4分（II ）由锐角△ABC 中sin 4A =3cos 4A =…………………...…….....6分由余弦定理可得：22232cos 253660164a b c bc A =+-⨯=+-⨯=， ……..….….8分有：4a =…….. …………....…….9分由正弦定理：sin sin c a CA=， …….. …………....…….10分即6sin 4sin 48c A C a⨯=== ................................12分16. （本小题共13分）解：（I ）设等比数列}{n a 的公比为q .由134a a =可得224a =， ……………………………………1分因为0n a >，所以22a = ……………………………………2分 依题意有)1(2342+=+a a a ，得3432a a a q == ……………………………………3分 因为30a >，所以，2=q …………………………………………..4分 所以数列}{n a 通项为12-=n n a ………………………………………...6分 （II ）12log 21n n n n b a a n +=+=+- ………………………………………....8分 可得232(12)(1)(222...2)[123...(1)]122nnn n nS n --=+++++++++-=+- ….......12分1(1)222n n n +-=-+…………………………………....13分17. （本小题共13分）解：（I ）由已知可得函数()f x 的对称轴为3=x ，顶点为)9,3(. . ..........2分 方法一：由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=944320)0(2a b ac a bf 得0,6,1==-=c b a ...........5分 得2()6,[0,6]f x x x x =-∈ ...........6分方法二：设9)3()(2+-=x a x f ...........4分由0)0(=f ，得1-=a ...........5分2()6,[0,6]f x x x x =-∈ ...........6分（II ）)6,0(),6(2121)(2∈-=⋅=t t t t AP OA t S ...........8分)4(23236)('2t t tt t S -=-= ...........9分列表 ...........11分由上表可得4t =时，三角形面积取得最大值. 即2m ax 1()(4)4(644)162S t S ==⨯⨯-=. ...........13分18. （本小题共14分） 解：（I ）123137,,248a a a ===…………………………………..3分（II ）由题可知：1231n n n a a a a a n a -+++++=- ①123111n n n a a a a a n a +++++++=+- ② ②-①可得121n n a a +-= …………………………..5分 即：111(1)2n n a a +-=-，又1112a -=-…………………………………..7分所以数列{1}n a -是以12-为首项，以12为公比的等比数列…………………..…..8分（Ⅲ）由(2)可得11()2n n a =-， ………………………………………...9分22n nn b -=………………………………………...10分由111112212(2)302222n n n nn n n n n n n b b +++++-------=-==>可得3n <由10n n b b +-<可得3n > ………………………………………....11分 所以 12345n b b b b b b <<=>>>> 故n b 有最大值3418b b ==所以，对任意*n N ∈，有18n b ≤ ………………………………………....12分如果对任意*n N ∈，都有214n b t t +≤，即214n b t t ≤-成立，则2m ax 1()4n b t t ≤-，故有：21184t t ≤-， ………………………………………....13分解得12t ≥或14t ≤-所以，实数t 的取值范围是11(,][42-∞-+∞ ，）………………………………14分 19. （本小题共14分） 解：（I ） 当1a =时，23()1x x f x x -=+， ………………1分2223()(1)x x f x x +-'=+， 1x ≠- ………………3分所以()f x 在点(3,(3))f 处的切线方程为3(3)4y x =-，即3490x y --=………………5分（II ） 1x ≠- ………..…………6分2222(2)[(2)]()()(1)(1)x x a a x a x a f x x x +-+++-'==++， ………..…………8分①当0a =时，在(0,2]上导函数222()0(1)x x f x x +'=>+，所以()f x 在[0,2]上递增，可得()f x 的最小值为(0)0f =；………………………………………………………………..…………10分 ②当02a <<时，导函数()f x '的符号如下表所示所以()f x 的最小值为222(2)()1a a a f a a a -+==-+； ………………..………12分③当2a ≥时，在[0,2)上导函数()0f x '<，所以()f x 在[0,2]上递减，所以()f x 的最小值为242(2)244(2)3333a a f a a -+==--+…………………..………14分20. （本小题共14分）解：（Ⅰ）1A 有如下的三种可能结果：11111115:,;:,;:0,32237A A A …………………………3分（Ⅱ）∀,{|11}a b x x ∈-<<，有(1)(1)1011a ba b abab+----=<++且(1)(1)(1)0.11a b a b abab+++--=>++所以1a bab++{|11}x x ∈-<<，即每次操作后新数列仍是Γ数列.又由于每次操作中都是增加一项，删除两项，所以对Γ数列A 每操作一次，项数就减少一项，所以对n 项的Γ数列A 可进行1n -次操作（最后只剩下一项）……………………7分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知9A 中仅有一项.对于满足,{|11)a b x x ∈-<<的实数,a b 定义运算：1a b a b ab+=+ ，下面证明这种运算满足交换律和结合律。
北京市海淀区2004届高三年级第一学期期末练习数学(理科)
海淀区高三年级第一学期期末练习数学(理科) 2014.01本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.复数i(i 1)+等于A. 1i +B. 1i --C. 1i -D.1i -+2.设非零实数,a b 满足a b <，则下列不等式中一定成立的是 A.11a b> B.2ab b < C. 0a b +> D.0a b -< 3.下列极坐标方程表示圆的是 A. 1ρ= B. 2πθ=C.sin 1ρθ=D.(sin cos )1ρθθ+=4.阅读如右图所示的程序框图，如果输入的n 的值为6，那么运行相应程序，输出的n 的值为 A. 3B. 5 C. 10D. 165. 322x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为A. 12B. 12-C.6D. 6-6.若实数,x y 满足条件20,0,3,x y x y y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩则34z x y =-的最大值是 A.13- B. 3- C.1- D.17.已知椭圆C :22143x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，椭圆C 上点A 满足212AF F F ⊥. 若点P 是椭圆C 上的动点，则12F P F A ⋅的最大值为开始 结束输入n 输出n i =0n 是奇数n =3n +1i<3i =i +12n n =是否B.233 C.94D. 1548.如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了3个水果，且从这周的第二天开始，每天所吃水果的个数与前一天相比，仅存在三种可能：或“多一个”或“持平”或“少一个”，那么，小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有 A.50种B.51种C.140种D.141种二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市海淀区2018届高三上学期期中考试数学(理)试题Word版含解析
海淀区高三年级第一学期期中练习数学（理科）第一部分（选择题，共40 分）一、选择题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分。
在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项。
1.若会合，，则（）A. B.C. D.【答案】 C【分析】由于会合，,因此,应选 C.2. 以下函数中，既是偶函数又在区间上单一递加的是（）A. B.C. D.【答案】 A【分析】对于A, , 是偶函数，且在区间上单调递加，切合题意；对于B, 对于对于 C,是奇函数，不合题意；对于不合题意，只有合题意，应选3. 已知向量，，则既不是奇函数，又不是偶函数，不合题意；D,在区间上单一递减，A.（）A. B.C. D.【答案】 D【分析】向量错误；错误；错误；，4. 已知数列知足正确，应选，则D.（）A. B.C. D.【答案】 D【分析】依据条件获得：可设，，故两式做差获得：，故数列的每一项都为0，故 D 是正确的。
A ， B， C，都是不正确的。
故答案为 D 。
5. 将的图象向左平移个单位，则所得图象的函数分析式为（）A. B.C. D.【答案】 B【分析】将函数的图象向左平移个单位，获得函数的图象 ,所求函数的分析式为，应选 B.6. 设，则“ 是第一象限角”是“”的（）A. 充足而不用要条件B. 必需而不充足条件C. 充足必需条件D. 既不充足也不用要条件【答案】 C【分析】充足性：若是第一象限角，则, ,可得，必需性：若，不是第三象限角，，，则是第一象限角，“ 是第一象限角”是“”的充足必需条件，应选 C.【方法点睛】此题经过随意角的三角函数主要考察充足条件与必需条件，属于中档题.判断充要条件应注意：第一弄清条件和结论分别是什么，而后直接依照定义、定理、性质试试.对于带有否认性的命题或比较难判断的命题，除借助会合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、抗命题和否命题的等价性，转变为判断它的等价命题；对于范围问题也能够转变为包括关系来办理.7. 设（），则以下说法不正确的选项是（）A.为上偶函数B.为的一个周期C.为的一个极小值点D.在区间上单一递减【答案】 D【分析】对于 A ，，为上偶函数，A正确；对于B, , 为的一个周期 ,B 正确；对于 C，), ，, 为的一个极小值点 ,C 正确，综上，切合题意的选项为D, 应选 D.8. 已知非空会合知足以下两个条件：（ⅰ ），；（ⅱ ）的元素个数不是中的元素，的元素个数不是中的元素，则有序会合对的个数为（）A. B. C. D.【答案】 A【分析】若会合中只有个元素，则会合中只有个元素，则，即，此时有，同理，若会合中只有个元素，则会合中只有个元素，有，若会合中只有个元素，则，即，此时有，，同理，若会合中只有个元素，则会合中只有个元素，有，若会合中只有个元素，则会合中只有个元素，则，不知足条件，因此知足条件的有序会合对的个数为，应选 A.【方法点睛】此题主要考察会合的交集、并集及会合与元素的关系、分类议论思想的应用 . 属于难题 .分类议论思想解决高中数学识题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，特别在解决含参数问题发挥着奇异功能，大大提升认识题能力与速度.运用这类方法的重点是将题设条件研究透，这样才能迅速找准打破点. 充足利用分类议论思想方法能够使问题条理清楚，从而顺利解答，希望同学们能够娴熟掌握并应用与解题中间.第二部分（非选择题，共110 分）二、填空题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分。
北京市海淀区2012届高三上学期期中练习(物理)WORD版
北京市海淀区2011-2012学年高三第一学期期中练习 物 理 2011.11一、本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，有的小题只有一个选项是正确的，有的小题有多个选项是正确的。
全部选对的得3分，选不全的得2分，有选错或不答的得0分。
把你认为正确答案的代表字母填写在题后的括号内。
1．某同学用如图1所示的实验装置验证“力的平行四边形定则”。
将弹簧测力计A 挂于固定点P ，下端用细线挂一重物M 。
弹簧测力计B 的挂钩处系一细线，把细线的另一端系在弹簧测力计A 下端细线上的O 点处，手持弹簧测力计B 水平向左拉，使O 点缓慢地向左移动，且总保持弹簧测力计B 的拉力方向不变。
不计弹簧测力计所受的重力，两弹簧测力计的拉力均不超出它们的量程，则弹簧测力计A 、B 的示数FA 、FB 的变化情况是（ ）A ．FA 变大，FB 变小 B ．FA 变小，FB 变大 C ．FA 变大，FB 变大D ．FA 变小，FB 变小2.如图2所示，旋臂式起重机的旋臂保持不动，可沿旋臂“行走”的天车有两个功能，一是吊着货物沿竖直方向运动，二是吊着货物沿旋臂水平运动。
现天车吊着货物正在沿水平方向向右匀速行驶，同时又启动天车上的起吊电动机，使货物沿竖直方向做匀加速运动。
此时，我们站在地面上观察到货物运动的轨迹可能是图3中的 ( )3.一雨滴从空中由静止开始沿竖直方向落下，若雨滴下落过程中所受重力保持不变，且空气对雨滴阻力随其下落速度的增大而增大，则图4所示的图象中可能正确反映雨滴整个下落过程运动情况的是 （ ）4．某同学用一个空的“易拉罐”做实验，他在靠近罐底的侧面打一个小洞，用手指堵住图4B DC A 图3 ABCDA O图1 BM 图2旋臂洞口，向“易拉罐”里面注满水，再把它悬挂在电梯的天花板上。
当电梯静止时，他移开手指，水就从洞口喷射出来，在水未流完之前，电梯启动加速上升。
关于电梯启动前、后的两个瞬间水的喷射情况，下列说法中正确的是（ ）A ．电梯启动前后水的喷射速率不变B ．电梯启动后水不再从孔中喷出C ．电梯启动后水的喷射速率突然变大D ．电梯启动后水的喷射速率突然变小5.如图5甲所示，一个单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置时开始计时，相对平衡位置的位移x 随时间t 变化的图象如图5乙所示。
海淀区2014届高三上学期期中考试 理科数学【word版】(201311.6)
海淀区高三年级第一学期期中练习数学(理科) 2013.11本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知集合{1,1,2}A =-，{|10}B x x =+≥，则A B = ( A ) A. {1,1,2}-B. {1,2}C. {1,2}-D.{2}2.下列函数中，值域为(0,)+∞的函数是( C )A. ()f x =B. ()ln f x x =C. ()2x f x =D.()tan f x x =3. 在ABC ∆中，若tan 2A =-，则cos A =( B )B.D. 4. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,0),(0,1),(1,2),(,0)O A B C m -，若//OB AC，则实数m 的值为( C )A. 2-B. 12-C.12D. 25.若a ∈R ，则“2a a >”是“1a >”的（B ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知数列{}n a 的通项公式2(313)nn a n =-，则数列的前n 项和n S 的最小值是（B ） A. 3SB. 4SC. 5SD. 6S7.已知0a >，函数2πsin ,[1,0),()21,[0,),x x f x ax ax x ⎧∈-⎪=⎨⎪++∈+∞⎩若11()32f t ->-，则实数t 的取值范围为（D ）A. 2[,0)3-B.[1,0)-C.[2,3)D. (0,)+∞8.已知函数sin cos ()sin cos x xf x x x+=，在下列给出结论中：①π是()f x 的一个周期；②()f x 的图象关于直线x 4π=对称； ③()f x 在(,0)2π-上单调递减.其中，正确结论的个数为（C ） A. 0个B.1个C. 2个D. 3个二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市海淀区2023-2024学年高三上学期期中测试化学试题及答案
海淀区2023-2024学年第一学期期中练习高三化学本试卷考试时长90分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
可能用到的相对原子质量：H 1C 12N 14O 16S 32Cl 35.5Fe 56Cu 64第一部分本部分共14题，每题3分，共42分。
在每题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。
1．均热板广泛应用于电子器件内部，主要起到散热作用。
下列对某均热板部分材料或部件的主要成分的分类不正确．．．的是（ ） 选项 ABCD材料或部件 传热材料上下盖板主要成分 32CH CFCl40%甲醇溶液 铜粉 金刚石粉 分类烃混合物金属单质非金属单质2．3FeTiO 是钛铁矿的主要成分，在工业上可以用于制备金属钛。
下列说法不正确．．．的是（ ） A ．基态2Fe +价层电子排布式为63d B ．Fe 在元素周期表中位于ds 区C ．基态Ti 价层电子轨道表示式为D ．O 在元素周期表中位于第二周期ⅥA 族 3．下列事实可用范德华力大小解释的是（ ） A ．热稳定性：HCI ＞HBr B ．氧化性：22Cl Br > C ．熔点：22I Br >D ．沸点：22H O H S >4．下列物质的性质与其用途的对应关系正确的是（ ） 选项 性质用途A 2SO 具有氧化性 可用作漂白剂B 4NH Cl 溶液呈酸性可用作氮肥 C NaClO 溶液呈碱性可用作消毒剂D22Na O 能与2CO 反应生成2O可用作潜水艇中的供氧剂5．双氯芬酸是一种非甾体抗炎药，具有抗炎、镇痛及解热作用，分子结构如图所示。
下列关于双氯芬酸的说法不正确．．．的是（ ）A ．能发生加成、取代反应B ．最多能与2mol NaOH 反应C ．既能与强碱反应，又能与强酸反应D ．能与3NaHCO 溶液反应制得水溶性更好的双氯芬酸钠 6．用A N 代表阿伏加德罗常数的值。
下列说法正确的是（ ） A ．1mol 羟基含有的电子数目为A 10NB ．56g Fe 与足量稀3HNO 反应转移的电子数目为A 3NC ．2L 10.1mol L −⋅的3AlCl 溶液中，3Al +的数目为A 0.2N D ．1mol 2N 与5mol 2H 充分反应可生成3NH 数目为A 2N 7．下列各组离子在指定溶液中一定能大量共存的是（ ）A ．遇酚酞变红的溶液中：Na +、K +、24SO −、F −B ．无色透明溶液中：2Cu +、3Al +、3HCO −、24SO −C ．能使品红褪色的溶液中：4MnO −、2Mg +、I −、2Ca + D ．与Al 反应能生成氢气的溶液中：4NH +、3Fe +、3NO −、24SO −8．下列反应的离子方程式书写正确的是（ ） A ．电解饱和食盐水制2Cl ：222Cl H OCl H OH −−+↑+↑+通电B ．用小苏打治疗胃酸过多：322H HCO H O CO +−++↑C ．用FeS 除去废水中的2Hg +：22S Hg HgS −++↓D ．用稀3HNO 处理银镜反应后试管内壁的Ag：322Ag 2H NO Ag NO H O +−++++↑+9．下列实验设计能达成对应的实验目的的是（ ） 选项 ABCD实 验 设 计实验 目的实验室制3NH比较Cl 、Br 、I 得电子能力强弱除去2CO 中的少量2SO配制100mL11mol L −⋅ NaCl 溶液10．几种含硫物质的转化如下图（部分反应条件略去），下列判断不正确．．．的是（ ）A ．①中，试剂a 可以是CuB ．②中，需要确保NaOH 溶液足量C ．③中，生成1mol 223Na S O 时，转移4mol 电子D ．③中，将S 换为2Cl ，氧化产物为24Na SO11．有研究表明，铜和稀3HNO 反应后的溶液中有2HNO 。
海淀数学2012年1月期末试题答案理
海淀区高三年级第一学期期末练习数 学（理科）参考答案及评分标准 2012．01一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. （9）5 （10）7 （11）54（12）乙，乙（13）1)y x =+或1)y x =-+ （14）8；3π注：（13）题正确答出一种情况给3分，全对给5分；（12）、（14）题第一空3分；第二空2分.三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2A B =，所以2cos cos 212sin A B B ==-. ………………………………………2分因为sin B =， 所以11cos 1233A =-?. ………………………………………3分 由题意可知，(0,)2B πÎ.所以cos B =………………………………………5分因为sin sin 22sin cos A B B B ===.………………………………………6分 所以sin sin[()]sin()C A B A B π=-+=+sin cos cos sin A B A B =+=………………………………………8分（Ⅱ）因为sin sin b aB A=，2b =， ………………………………………10分3=.所以a =. ………………………………………11分所以1sin 2ABC S ab C ∆==. ………………………………………13分 (16)（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件A ，则()23!15!10P A ⨯==. ………………………………………4分 所以 甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为110.………………………………………5分（Ⅱ）随机变量X 的可能取值为0, 1, 2, 3. ………………………………………6分()24!205!5P X ⨯===， ()323!315!10P X ⨯⨯===，()22!32!125!5P X ⨯⨯⨯===，()23!135!10P X ⨯===. ………………………………………10分随机变量X 的分布列为：因为 01231510510EX =⨯+⨯+⨯+⨯=， 所以 随机变量X 的数学期望为1. ………………………………………13分(17)（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为 90ABC? ，所以 AB BC ⊥. ………………………………………1分因为 平面PBC ^平面ABCD ，平面PBC 平面ABCD BC =，AB Ì平面ABCD ，所以 AB ^平面PBC . ………………………………………3分 （Ⅱ）解：取BC 的中点O ，连接PO . 因为PB PC =， 所以 PO BC ⊥.因为 平面PBC ^平面ABCD ，平面PBC 平面ABCD BC =，PO Ì平面PBC ，所以 PO ^平面ABCD . ………………………………………4分如图，以O 为原点，OB 所在的直线为x 轴，在平面ABCD 内过O 垂直于BC 的直 线为y 轴，OP 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系O xyz -．不妨设2BC =.由 直角梯形ABCD 中2AB PB PC BC CD ====可得P ，(1,1,0)D -，(1,2,0)A .所以(1,1DP =- ，(2,1,0)DA =.设平面PAD 的法向量(,,)=x y z m .因为 0,0.DP DAìï?ïíï?ïî m m所以(,,)(1,0,(,,)(2,1,0)0,x y z x y z ìï?=ïíï?ïî即0,20.x y x y ìï-+=ïíï+=ïî 令1x =，则2, y z =-=-所以(1,2,=--m . ………………………………………7分取平面BCP 的一个法向量n ()0,1,0=. 所以cos ,2⋅==-m n m n m n . 所以 平面ADP 和平面BCP 所成的二面角（小于90°）的大小为4π. ………………………………………9分 （Ⅲ）解：在棱PB 上存在点M 使得CM ∥平面PAD ，此时12PM PB =. 理由如 下： ………………………………………10分取AB 的中点N ，连接CM ，CN ，MN . 则 MN ∥PA ，12AN AB =. 因为 2AB CD =， 所以 AN CD =. 因为 AB ∥CD ，所以 四边形ANCD 是平行四边形. 所以 CN ∥AD .因为 , MN CN N PA AD A == ，所以 平面MNC ∥平面PAD . ………………………………………13分 因为 CM Ì平面MNC ，所以 CM ∥平面PAD . ………………………………………14分(18)（本小题满分13分）解：(Ⅰ)由2()e ()x f x x ax a =+-可得2'()e [(2)]x f x x a x =++. ………………………………………2分 当1a =时,(1)e f = ,'(1)4e f =. ………………………………………4分 所以 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为()e 4e 1y x -=-，即4e 3e y x =-. ………………………………………5分 （Ⅱ） 令2'()e ((2))0xf x x a x =++=，解得(2)x a =-+或0x =. ………………………………………6分 当(2)0a -+≤，即2a ≥-时，在区间[0,)+∞上，'()0f x ≥，所以()f x 是[0,)+∞上的增函数.所以 方程()f x k =在[0,)+∞上不可能有两个不相等的实数根.………………………………………8分当(2)0a -+>，即2a <-时，()'(),f x f x 随x 的变化情况如下表NMPABCD由上表可知函数()f x 在[0,)+∞上的最小值为24((2))e a a f a ++-+=. ………………………………………10分 因为 函数()f x 是(0,(2))a -+上的减函数，是((2),)a -++∞上的增函数， 且当x a ≥-时，有()f x e ()a a a -≥->-. ………………………………………11分 所以 要使方程()f x k =在[0,)+∞上有两个不相等的实数根，k 的取值范围必须是24(,]ea a a ++-. ……………………………………13分 (19)（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，且222a b c =+.由题意可知：1b =，2c a =. ………………………………………2分 所以24a =.所以，椭圆C 的标准方程为2214x y +=. ……………………………………3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得(2,0)Q -.设1122(,),(,)A x y B x y . （ⅰ）当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为65x =-. 由226,514x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得：6,545x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或6,54.5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 即6464(,), (,)5555A B ---（不妨设点A 在x 轴上方）.………………………………………5分则直线AQ 的斜率1AQ k =，直线BQ 的斜率1BQ k =-. 因为 1AQ BQ k k ⋅=-， 所以 AQ BQ ^. 所以 2AQB π∠=. ………………………………………6分（ⅱ）当直线l 与x 轴不垂直时，由题意可设直线AB 的方程为6()(0)5y k x k =+≠.由226(),514y k x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得：2222(25100)2401441000k x k x k +++-=. 因为 点6(,0)5-在椭圆C 的内部，显然0∆>. 21222122240,25100144100.25100k x x kk x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩………………………………………8分 因为 1122(2,), (2,)QA x y QB x y =+=+ ，116()5y k x =+，226()5y k x =+，所以 1212(2)(2)QA QB x x y y ⋅=+++121266(2)(2)()()55x x k x k x =++++⋅+ 2221212636(1)(2)()4525k x x k x x k =++++++ 2222222144100624036(1)(2)()402510052510025k k k k k k k -=+++-++=++. 所以 QA QB ⊥.所以 QAB ∆为直角三角形. ………………………………………11分 假设存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形，则QA=取AB 的中点M ，连接QM ，则QM AB ^.记点6(,0)5-为N .另一方面，点M 的横坐标22122212024225100520M x x k k x k k +==-=-++，所以 点M 的纵坐标266()5520M M k y k x k =+=+. 所以 222221016666(,)(,)520520520520k k k QM NMk k k k +? ++++222601320(520)k k += +. 所以 QM 与NM不垂直，矛盾.所以 当直线l 与x 轴不垂直时，不存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形.………………………………………13分(20)（本小题满分14分）解：（Ⅰ）①{1,5}A =不是{1,2,3,4,5}M =的一个二元基底. 理由是 1212315(,{1,0,1})λλλλ棺+孜-；②{2,3}A =是{1,2,3,4,5,6}M =的一个二元基底. 理由是 11213,21203,30213=-????? ， 41212,51213,61313=????? .………………………………………3分 （Ⅱ）不妨设12m a a a <<< ，则 形如10i j a a ? (1)i j m ＃ 的正整数共有m 个； 形如11i i a a ? (1)im ＃的正整数共有m 个；形如11ij a a ? (1)ij m ? 的正整数至多有2m C 个；形如(1)1i j a a -? (1)ij m ? 的正整数至多有2m C 个.又集合{1,2,3,,}M n = 含n 个不同的正整数，A 为集合M 的一个m 元基底.故22m m m m C C n +++ ，即(1)m m n + . ………………………………………8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知(1)19m m + ，所以4m ³.当4m =时，(1)191m m +-=，即用基底中元素表示出的数最多重复一个. * 假设1234{,,,}A a a a a =为{1,2,3,,19}M = 的一个4元基底， 不妨设1234a a a a <<<，则410a ³.当410a =时，有39a =，这时28a =或7.如果28a =，则由1109,198,1899,18108=-=-=+=+，与结论*矛盾. 如果27a =，则16a =或5.易知{6,7,9,10A =和{5,7,9,10}A =都不是{1,2,3,,19M = 的4元基底，矛盾.当411a =时，有38a =，这时27a =，16a =，易知{6,7,8,11}A =不是{1,2,3,,19M = 的4元基底，矛盾. 当412a =时，有37a =，这时26a =，15a =，易知{5,6,7,12}A =不是{1,2,3,,19M = 的4元基底，矛盾. 当413a =时，有36a =，25a =，14a =，易知{4,5,6,1A =不是{1,2,3,,1M = 的4元基底，矛盾.当414a =时，有35a =，24a =，13a =，易知{3,4,5,1A =不是{1,2,3,,M = 的4元基底，矛盾.当415a =时，有34a =，23a =，12a =，易知{2,3,4,1A =不是{1,2,3,,1M = 的4元基底，矛盾.当416a =时，有33a =，22a =，11a =，易知{1,2,3,16}A =不是{1,2,3,,M = 的4元基底，矛盾.当417a ³时，A 均不可能是M 的4元基底. 当5m =时，M 的一个基底{1,3,5,9,16}A =.综上，m 的最小可能值为5. ………………………………………14分。
海淀区高三年级第一学期期中练习参考答案高三理科数学2013.11答案
海淀区高三年级第一学期期中练习（答案）数学(理科) 2013.11一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
ACBC BBDC二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。
9.210.5(1)2n -11. a b c >>12.2π3,π613.2λ>14.14；6(31)n - 说明：第12和14题的两空，第一空3分，第二空2分三、解答题: 本大题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程。
15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由60A = 和ABC S ∆=1sin602bc = 分所以6bc =， --------------------------------------3分又32,b c =所以2,3b c ==. ------------------------------------5分（Ⅱ）因为2,3b c ==,60A = ,由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得 ------------------------------------7分2222367a =+-=，即a =. ------------------------------------9分由正弦定理sin sin a b A B =2sin B =，-----------------12分所以sin B =.------------------------------------13分 16. （本小题满分14分）解：（I ）π()cos(4)2f x x x =-+------------------------------------2分sin 4x x +------------------------------------4分π2sin(4)3x =+------------------------------------6分()f x 最小正周期为πT 2=，------------------------------------8分（II ）因为ππ64x -≤≤，所以ππ4π4333x -≤+≤-----------------------------------10分所以πsin(4)123x -≤+≤-----------------------------------12分所以π2sin(4)23x +≤， -----------------------------------13分所以()f x 取值范围为[. ------------------------------------14分 17.（本小题满分13分）解：（I ）由已知11,AH t PH =- -------------------------------------1分所以APH ∆的面积为1()(111112f t t t =--<<. ---------------------4分（II ）解法1. 1'()(11)2f t t =⨯-= -------------------------------------7分 由'()0f t =得3t =， -------------------------------------8分 函数()f t 与'()f t 在定义域上的情况如下：-----------------------------------12分所以当3t =时，函数()f t 取得最大值8. ------------------------------------13分解法2.由1()(111112f t t t =-=-<< 设2()(11)(1),111g t t t t =-+-<<， -------------------------------------6分 则2'()2(11)(1)(11)(11)(1122)3(3)(11)g t t t t t t t t t =--++-=--++=--.-------7分 函数()g t 与'()g t 在定义域上的情况如下：------------------------------------11分所以当3t =时，函数()g t 取得最大值， -----------------------------------12分所以当3t =时，函数()f t 8.------------------------------------13分 18.（本小题满分13分）解：（I ）由②可得2112a a ⋅=，3122a a ⋅= -------------------------------2分由①可得12a =.-------------------------------4分（II ）由②可得112n n a a +⋅=， ------------------------------6分所以数列{}n a 的通项公式2n n a =. ------------------------------8分 （III ）由（II ）可得21(1)421n n n n b a +=+=++，------------------------------9分 易得数列1{4},{2}n n +分别是公比为4和2的等比数列，由等比数列求和公式可得124(14)4(12)1(416)214123n n n n n S n n ++--=++=-++--.--13分（说明：未舍12a =-扣1分，若以下正确，给一半分；三个求和公式各1分，化简结果1分）19.（本小题满分14分）解：（I ）因为1a =，2()42ln f x x x x =-+,所以2242'()(0)x x f x x x-+=>, ------------------------------1分(1)3f =-，'(1)0f =, ------------------------------3分 所以切线方程为3y =-. ------------------------------4分 (II ）222(1)22(1)()'()(0)x a x a x x a f x x x x-++--==>,由'()0f x =得12,1x a x ==, ----------------------------5分 ①当01a <<时，函数()f x 与'()f x 在定义域上的情况如下：分②当1a =时，在(0,)x ∈+∞时'()0f x ≥且仅有'(1)0f =，所以()f x 的单调增区间是(0,)+∞； -----------------------8分 ③当1a >时，函数()f x 与'()f x 在定义域上的情况如下：分 (III ）①当01a <≤时，由（II ）可知，()f x 在区间[1,e]上单调递增，所以()f x 最大值是(e)f ，所以满足题意需且仅需(e)0f ≤，解得2e 2e2e 2a -≥-， ----------------------------11分所以2e 2e 12e 2a -≤≤-；②当1a >时，由（II ）可知，()f x 在区间[1,e]上的最大值为(1)f 或(e)f ，所以满足题意需且仅需(e)0f ≤且(1)0f ≤，解得12a ≥-且2e 2e2e 2a -≥-；------13分所以2e 2e2e 2a -≥-；所以，当2e 2e2e 2a -≥-时，满足()0f x ≤在区间[1,e]上恒成立.--------------------14分20.（本小题满分13分）解：（I ）27,9,3；8,9,3；6,2,3.--------------------------------------3分（II ）若k a 被3除余1，则由已知可得11k k a a +=+,2312,(2)3k k k k a a a a ++=+=+；若k a 被3除余2,则由已知可得11k k a a +=+,21(1)3k k a a +=+,31(1)13k k a a +≤++；若k a 被3除余0，则由已知可得113k k a a +=,3123k k a a +≤+；所以3123k k a a +≤+，所以312(2)(3)33k k k k k a a a a a +-≥-+=-所以，对于数列{}n a 中的任意一项k a ，“若3k a >，则3k k a a +>”. 因为*k a ∈N ，所以31k k a a +-≥.所以数列{}n a 中必存在某一项3m a ≤（否则会与上述结论矛盾！）若3m a =,则121,2m m a a ++==；若2m a =,则123,1m m a a ++==,若1m a =,则122,3m m a a ++==,由递推关系易得{1,2,3}A ⊆. ---------------------------------------8分（III ）集合A 中元素个数()Card A 的最大值为21. --------------------------------------9分由已知递推关系可推得数列{}n a 满足：当{1,2,3}m a ∈时，总有3n n a a +=成立，其中,1,2,n m m m =++ . 下面考虑当12014a a =≤时，数列{}n a 中大于3的各项： 按逆序排列各项，构成的数列记为{}n b ，由（I ）可得16b =或9，由（II ）的证明过程可知数列{}n b 的项满足：3n n b b +>，且当n b 是3的倍数时，若使3n n b b +-最小，需使2112n n n b b b ++=-=-，所以，满足3n n b b +-最小的数列{}n b 中，34b =或7，且33332k k b b +=-，所以33(1)13(1)k k b b +-=-，所以数列3{1}k b -是首项为41-或71-的公比为3的等比数列，所以131(41)3k k b --=-⨯或131(71)3k k b --=-⨯，即331k k b =+或3231k k b =⨯+， 因为67320143<<，所以，当2014a ≤时，k 的最大值是6，所以118a b =，所以集合A 中元素个数()Card A 的最大值为21.---------------13分 说明：对于以上解答题的其它解法，可对照答案评分标准相应给分。
20.三角函数的化简求值
1.广东省2012年高考数学考前十五天每天一练（4） 已知tan 2θ=，则22sin sin cos 2cos θθθθ+-=（D ） A ． 43-B ．54C ．34-D ．452.陕西省西工大附中2011届高三第八次适应性训练数学（文） 观察下列几个三角恒等式:①tan10tan 20tan 20tan 60tan 60tan101++= ； ②tan13tan35tan35tan 42tan 42tan131++= ； ③tan 5tan100tan100tan(15)+-tan(15)tan 51+-=；一般地,若tan ,tan ,tan αβγ都有意义,你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论为 .【答案】90,tan tan tan tan tan tan 1αβγαββγγα++=++=当时3.陕西省咸阳市2012届高三上学期高考模拟考试（文科数学） sin 330 的值是（ ）A ．12 B. 12- C. D. 【答案】B4.2012北京宏志中学高考模拟训练-数学理cos300= （ ）(A)-12 (C)12【答案】C5.2012北京宏志中学高考模拟训练-数学理 已知2sin 3α=，则cos(2)πα-= （ ）（A ） （B ）19-6..山东省烟台市2012届高三五月份适应性练习 数学文（二）（2012烟台二模）22sin(250)cos 70cos 155sin 25-︒︒︒-︒的值为A ．B ．一12C ．12D 【答案】C7.山东省烟台市2012届高三五月份适应性练习 数学文（三）已知倾斜角为α的直线的值为则平行与直线α2tan 022，y x l =+- A.54 B.34 C.43 D.32 【答案】A4．（福建省厦门市2012年高中毕业班适应性考试）已知a ∈（3,2ππ），且cos 5α=-，则tan α DA ．43B ．一43C ．-2D ．22．（2011年江苏海安高级中学高考数学热身试卷）已知tan 2α=，则s i n ()c o s ()s i n ()c o s ()παπααα++--+-＝ ． 【答案】1贵州省五校联盟2012届高三年级第三次联考试题)10.如果33sin cos cos sin θθθθ->-，且()0,2θπ∈，那么角θ的取值范围是（ ）A ．0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3,24ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．5,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ． 5,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭C(贵州省五校联盟2012届高三第四次联考试卷) 5.已知πα<<0，21cos sin =+αα ，则α2cos 的值为 （ ） A．4- B.47 C.47± D.43- A(贵州省2012届高三年级五校第四次联考理) 13.函数sin y x x =-的最大值是 . 2(贵州省2012届高三年级五校第四次联考文) 4. 若4cos ,,0,52παα⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．17 B ．7 C ．177或D ．177-或-A洋浦中学2012届高三第一次月考数学理科试题13．已知函数22()1xf x x =+，则11(1)(2)(3)()()23f f f f f ++++= .25冀州市中学2012年高三密卷（一）6. 已知角α2的顶点在原点, 始边与x 轴非负半轴重合, 终边过⎪⎪⎭⎫⎝⎛-23,21, )[πα2,02∈ 则 =αtan ( )A. 3-B. 3C. 33D. 33±B冀州中学高三文科数学联排试题 10．已知sin θ+cos θ=15，θ∈(0，π)，则tan θ的值为 A ． 43- B ．34- C ．43或43- D ．43-或34-A河北省南宫中学2012届高三8月月考数学（文） 6.已知2tan =α，则ααcos sian 的值为（ ）A.21B.32C.52D.1C冀州中学第三次模拟考试文科数学试题13. 已知2()4f x x x =-，则(sin )f x 的最小值为 -32012年普通高考理科数学仿真试题(三) 12.定义一种运算：⎩⎨⎧≤=⊗a b b a a b a ,,,令()()45sin cos 2⊗+=x x x f ，且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，则函数⎪⎭⎫⎝⎛-2πx f 的最大值是 A.45B.1C.—1D.45-【答案】A2012年普通高考理科数学仿真试题(四) 17.（本小题满分12分）已知函数()().1cos 2267sin 2R x x x x f ∈-+⎪⎭⎫⎝⎛-=π （I ）求函数()x f 的周期及单调递增区间；＞b.（II ）在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c,已知点⎪⎭⎫ ⎝⎛21,A 经过函数()x f 的图象，b,a,c 成等差数列，且9=⋅AC AB ，求a 的值. 【答案】9（广东省韶关市2012届第二次调研考试）．已知A 是单位圆上的点，且点A 在第二象限，点B 是此圆与x 轴正半轴的交点，记AOB α∠=, 若点A 的纵坐标为35．则sin α=35_____________; tan(2)πα-=___247____________. 5（广东省深圳市2012高三二模文）. tan 2012︒∈A. (0,3B. (3C. (1,3--D. (3- 【答案】B16(上海市财大附中2012届第二学期高三数学测验卷理）对任意的实数α、β，下列等式恒成立的是( ) AA ()()2sin cos sin sin αβαβαβ⋅=++-B ．()()2cos sin sin cos αβαβαβ⋅=++-C ．cos cos 2sinsin22αβαβαβ+-+=⋅ D ．cos cos 2coscos22αβαβαβ+--=⋅17.（上海市财大附中2012届第二学期高三数学测验卷文）已知πα<<0，21cos sin =+αα ，则α2cos 的值为( ) A A ．47- B ．47 C ．47± D ．43-3．广东省中山市2012届高三期末试题数学文 已知233sin 2sin ,(,),52cos πθθθπθ=-∈且则的值等于 A ．23 B ．43 C ．—23 D ．—43AB7. 广东实验中学2011届高三考前 已知24sin 225α=-, (,0)4πα∈-，则s i n c o s αα+=A ．15-B ．51 C ．75- D ．5716. 北海市合浦县教育局教研室2011-2012学年高一下学期期中考试数学试题 已知函数R x x x x f ∈-=,cos sin 3)(，若1)(≥x f ，则x 的取值范围是 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+z k k x k x ,232ππππ 15. 北海市合浦县教育局教研室2011-2012学年高一下学期期中考试数学试题若⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=)0(21)0(6sin )(x x x x x f π，则=)]1([f f 21- 。
2011海淀区高三期中练习文科数学试题及答案
海淀区高三年级第一学期期中练习数 学(文科) 2010.11一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1．已知集合{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}1,3,5,7A =，{}1,3,5,6,7B =，则集合()U A B ⋂ð是（ ）A ． {2,4,6}B ． {1,3,5,7}C ． {2,4}D ．{2,5,6} 2. 下列函数中，是奇函数且在区间(0,1)内单调递减的函数是（ ） A ．12log y x = B ．1y x=C ．3y x =D ．x y tan =3．已知命题:0p x ∃≥，使23x =，则A ．:0p x ⌝∀<，使23x ≠B ．:0p x ⌝∀≥，使23x ≠C ．:0p x ⌝∃≥，使23x ≠D ．:0p x ⌝∃<，使23x ≠ 4．函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的一段图象如图所示，则ω ＝（ ）A. 41 B.21 C.4πD.2π5.已知160sin ,3log ,222===c b a ，则c b a ,,的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．b c a <<C ． b a c <<D ． a b c <<6．已知向量=a （1，0），=b （0，1），b a c λ+=（∈λR ），向量d 如图所示.则（ ） A ．存在0>λ，使得向量c 与向量d 垂直 B ．存在0λ>，使得向量c 与向量d 夹角为︒60C ．存在0λ<，使得向量c 与向量d 夹角为30︒D ．存在0>λ，使得向量c 与向量d 共线7. 已知321,,a a a 为一等差数列，321,,b b b 为一等比数列，且这6个数都为实数，则下面四个结论中正确的是（ ）①21a a <与32a a >可能同时成立； ②21b b <与32b b >可能同时成立； ③若021<+a a ，则032<+a a ； ④若021<⋅b b ，则032<⋅b bA ．①③B ．②④C ．①④D ．②③ 8．若存在负实数使得方程 112-=-x a x成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．),2(+∞ B. ),0(+∞ C. )2,0( D. )1,0(二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9．已知角α的终边经过点)1,1(-, 则αsin 的值是____________.10. 在锐角ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知,47sin ,6,5===A c b 则==a A ______,cos __________.11．已知直线ex y =与函数xe xf =)(的图象相切，则切点坐标为 .12．在矩形A B C D 中，,12== 且点F E ,分别是边CD BC ,的中点，则=⋅+AC AF AE )(_________.13．如图（１）是反映某条公共汽车线路收支差额（即营运所得票价收入与付出成本的差）y 与乘客量x 之间关系的图象．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图（２）（３）所示.(1)(2)(3)给出下说法：①图（2）的建议是：提高成本，并提高票价；②图（2）的建议是：降低成本，并保持票价不变； ③图（3）的建议是：提高票价，并保持成本不变； ④图（3）的建议是：提高票价，并降低成本．其中所有说法正确的序号是 ．14．设数列{}n a 的通项公式为*23,(),n a n n N =-∈ 数列}{m b 定义如下：对于正整数m ，m b 是使得不等式n a m ≤成立的所有n 中的最大值，则2b =____________，数列}{m b 的通项公式m b =________．三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15．（本小题共13分）已知在等比数列}{n a 中，11=a ，且2a 是1a 和13-a 的等差中项. （I ）求数列}{n a 的通项公式；（II ）若数列}{n b 满足)(12*N n a n b n n ∈+-=，求}{n b 的前n 项和n S .16. （本小题共13分）已知函数x x x f 2cos )62sin()(+-=π.（I ）若1)(=θf ，求θθcos sin ⋅的值； （II ）求函数)(x f 的单调增区间.17．（本小题共14分）已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且0≥x 时，xx f )21()(=.（I ）求)1(-f 的值； （II ）求函数)(x f 的值域A ； （III ）设函数a x a x x g +-+-=)1()(2的定义域为集合B ，若B A ⊆，求实数a 的取值范围.18．（本小题共13分）已知定义在区间]6,0[上的二次函数c bx ax x f ++=2)(满足0)6()0(==f f ，且最大值为9.过动点))(,(t f t P 作x 轴的垂线，垂足为A ，连接O P （其中O 为坐标原点）. （I ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）记OAP ∆的面积为S ，求S 的最大值. 19．（本小题共14分）在数列}{n a 中，123...n n a a a a n a ++++=-（1,2,3...n =）． （I ）求123,,a a a 的值；（II ）设1-=n n a b ，求证：数列}{n b 是等比数列；（III ）设)(2n n b c n n -⋅= （1,2,3...n =），如果对任意*n N ∈，都有5t c n <，求正整数t 的最小值.20．（本小题共13分）对x R ∈，定义1, 0sgn()0, 01, 0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩．（I ）求方程)sgn(132x x x =+-的根；（II ）求函数)ln ()2sgn()(x x x x f -⋅-=的单调区间； （III ）记点集()()(){}sgn 1sgn 1,10,0,0x y S x y xyx y --=⋅=>>，点集()(){}lg ,lg ,T x y x y S =∈，求点集T 围成的区域的面积．海淀区高三第一学期期中练习数 学 (文科)参考答案及评分标准一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）分） （9）22 （10）3, 44（11） ),1(e （12）215 （13） ②③（14）2， ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=是偶数是奇数m m m m b m,22,23也可以写成：⎪⎩⎪⎨⎧∈=+∈-=+=)(2,1)(12,1**N k k m k N k k m k b m 三、解答题(本大题共6小题,共80分) （15）（本小题共13分）解：（I ）设等比数列}{n a 的公比为 q 2a 是1a 和13-a 的等差中项3312)1(2a a a a =-+=∴ ……………………………………….2分 223==∴a a q ………………………………………4分)(2*111N n qa a n n n ∈==∴--………………………………………6分 （II ）n n a nb +-=12)212()25()23()11(12-+-+++++++=∴n n n S . ……….8分)2221()]12(531[12-+++++-+++=n n ………..9分21212)12(1--+⋅-+=nn n ……….11分122-+=n n ....……13分 16．（本小题共13分） 解：（I ）22cos 16sin2cos 6cos2sin )(xx x x f ++-=ππ...3分（只写对一个公式给2分）212sin 23+=x ..........5分由1)(=θf ，可得332sin =θ ............7分所以θθθ2sin 21cos sin =⋅ ............8分63= ............9分（II ）当Z k k x k ∈+≤≤+-,22222ππππ， ...........11分即Z k k k x ∈++-∈],4,4[ππππ时，)(x f 单调递增.所以，函数)(x f 的单调增区间是Z k k k ∈++-],4,4[ππππ........... 13分17．（本小题共14分）解：（I ） 函数)(x f 是定义在R 上的偶函数)1()1(f f =-∴ ...........1分又 0≥x 时，xx f )21()(=21)1(=∴f ...........2分 21)1(=-f ...........3分（II ）由函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，可得函数)(x f 的值域A 即为0≥x 时，)(x f 的取值范围. ..........5分当0≥x 时，1)21(0≤<x...........7分故函数)(x f 的值域A =]1,0( ...........8分 （III ）a x a x x g +-+-=)1()(2∴定义域}0)1({2≥+-+-=a x a x x B ...........9分 方法一 ：由0)1(2≥+-+-a x a x 得0)1(2≤---a x a x ，即 0)1)((≤+-x a x ...........11分 B A ⊆],,1[a B -=∴且1≥a ...........13分 ∴实数a 的取值范围是}1{≥a a ...........14分 方法二：设a x a x x h ---=)1()(2B A ⊆当且仅当⎩⎨⎧≤≤0)1(0)0(h h ...........11分 即⎩⎨⎧≤---≤-0)1(10a a a ...........13分∴实数a 的取值范围是}1{≥a a ...........14分18．（本小题共13分）解：（I ）由已知可得函数()f x 的对称轴为3=x ，顶点为)9,3( ..........2分 方法一：由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=944320)0(2a b ac a bf 得0,6,1==-=c b a ...........5分 得2()6,[0,6]f x x x x =-∈ ...........6分方法二：设9)3()(2+-=x a x f ...........4分由0)0(=f ，得1-=a ...........5分2()6,[0,6]f x x x x =-∈ ...........6分（II ）)6,0(),6(2121)(2∈-=⋅=t t t t AP OA t S ...........8分)4(23236)('2t t tt t S -=-= ...........9分列表 ...........11分由上表可得4t =时，三角形面积取得最大值. 即2m ax 1()(4)4(644)162S t S ==⨯⨯-=. ...........13分19．（本小题共14分） 解：（I ）由已知可得 111a a -=，得211=a ...........1分2212a a a -=+，得432=a ...........2分33213a a a a -=++，得873=a ...........3分（II ）由已知可得：n n a n S -= 2≥∴n 时，11)1(----=n n a n S2≥∴n 时，111--+-=-=n n n n n a a S S a ……….4分得21211+=-n n a a ..........5分2≥∴n 时，)1(212121111-=-=---n n n a a a ……….6分即2≥n 时，121-=n n b b ，021111≠-=-=a b ...........7分 ∴数列}{n b 是等比数列，且首项为21-，公比为21 ............8分（III ）由（II ）可得，nn b 21-= ...........9分∴nn n n n n n b c 2)(22-=-⋅= ...........10分∴121212)3(22)1()1(+++-=--+-+=-n nn n n n n n n n n c c ...........11分∴ >>=<<54321c c c c c∴n c 有最大值4343==c c ...........12分对任意*n N ∈，都有5t c n <，当且仅当543t <， ...........13分即415>t ，故正整数t 的最小值是4. ...........14分20． （本小题共13分）解：（I ）当0>x 时，1)sgn(=x ，解方程1132=+-x x ，得0=x （舍）或3=x当0=x 时，0)sgn(=x ，0不是方程0132=+-x x 的解 当0<x 时，1)sgn(-=x ，解方程1132-=+-x x ，得1=x （舍）或2=x （舍） 综上所述，3=x 是方程)sgn(132x x x =+-的根. ...........3分 （每一种情况答对即得1分）（II ）函数)(x f 的定义域是}0{>x x ...........4分 当2>x 时，x x x f ln )(-=，011)('>-=xx f 恒成立 ...........5分 当20<<x 时，)ln ()(x x x f --=，11)('-=xx f解0)('>x f 得10<<x ...........6分 解0)('<x f 得21<<x ...........7分 综上所述，函数)ln ()2sgn()(x x x x f -⋅-=的单调增区间是),2(),1,0(+∞，单调减区间是)2,1(. ...........8分（III ）设点(),P x y T ∈，则()10,10x yS ∈．于是有10)10()10()110sgn()110sgn(=⋅--yxy x ，得()()sgn 101sgn 1011xyx y ⋅-+⋅-=当0>x 时，x x xx x =-=->-)110sgn(,1)110sgn(,0110当0<x 时，x x xx x -=--=-<-)110sgn(,1)110sgn(,0110∴x x x=-)110sgn(同理，y y y=-)110sgn(∴}1),{(=+=y x y x T ...........11分点集T 2． ...........13分 说明：其它正确解法按相应步骤给分.。
北京市海淀区高三上期中考试数学试题(理)含答案
海淀区高三年级第一学期期中练习数学（理科） .11本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合，则集合中元素的个数为A．1 B．2 C．3 D．42．下列函数中为偶函数的是3．在△ABC中，的值为A．1 B．－1 C．12D．－124．数列的前n项和为，则的值为A．1 B．3 C．5 D．65．已知函数，下列结论错误的是A． B．函数的图象关于直线x＝0对称C．的最小正周期为 D．的值域为6．“x＞0 ”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．如图，点O为坐标原点，点A（1,1）．若函数且）的图象与线段OA分别交于点M，N，且M，N恰好是线段OA的两个三等分点，则a，b满足8． 已知函数函数．若函数恰好有2个不同零点，则实数a 的取值范围是二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 9．10．在△AB C 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若 c ＝4，则11．已知等差数列的公差，且39108a a a a +=-．若n a ＝0 ，则n ＝12．已知向量，点A （3,0） ，点B 为直线y ＝2x 上的一个动点．若AB a ，则点B 的坐标为 ． 13．已知函数，若的图象向左平移个单位所得的图象与的图象向右平移个单位所得的图象重合，则的最小值为 14．对于数列，都有为常数）成立，则称数列具有性质． ⑴ 若数列的通项公式为，且具有性质，则t 的最大值为 ；⑵ 若数列的通项公式为，且具有性质，则实数a 的取值范围是三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分） 已知等比数列的公比，其n 前项和为（Ⅰ）求公比q 和a 5的值； （Ⅱ）求证：16．（本小题满分13分）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的最小正周期和单调递增区间．17．（本小题满分13分）如图，在四边形ABCD中，AB＝8，BC＝3，CD＝5，（Ⅰ）求BD的长；（Ⅱ）求证：18．（本小题满分13分）已知函数，曲线在点（0,1）处的切线为l（Ⅰ）若直线l的斜率为－3，求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数是区间［－2，a］上的单调函数，求a的取值范围．19．（本小题满分14分）已知由整数组成的数列各项均不为0，其前n项和为，且（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的通项公式；（Ⅲ）若=15时，Sn取得最小值，求a的值．20．（本小题满分14分）已知x为实数，用表示不超过x的最大整数，例如对于函数f(x)，若存在，使得，则称函数函数．（Ⅰ）判断函数是否是函数；（只需写出结论）（Ⅱ）设函数f(x)是定义R在上的周期函数，其最小正周期为T，若f(x)不是函数，求T的最小值．（Ⅲ）若函数是函数，求a的取值范围．海淀区高三年级第一学期期中练习参考答案 数 学 （理科） .11阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2011年海淀区高三第一学期(理科)数学期末题word
北京市海淀区2011届高三年级第一学期期末练习数学试题（理科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．sin 600︒的值为 （ ）AB．C ．12-D ．122．若0.32121,0.3,log 2,,,2a b c a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭则的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b a c >>3．一个空间几何体的三视图如图所示，则该 几何体的体积为 （ ） A ．12 B ．6 C ．4 D ．24．如图，半径为2的O 中，90AOB ∠=︒， D 为OB 的中点，AD 的延长线交O 于 点E ，则线段DE 的长为 （ ）ABCD5．已知各项均不为零的数列{}n a ，定义向量*1(,),(,1),n n n n c a a b n n n N +==+∈，下列命题中真命题是（ ）A ．若*n N ∀∈总有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等差数列B ．若*n N ∀∈总有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等比数列C ．若*n N ∀∈总有n n c b ⊥成立，则数列{}n a 是等差数列B ．若*n N ∀∈总有n n c b ⊥成立，则数列{}n a 是等比数列6．由数字0，1，2，3，4，5组成的奇偶数字相间且无重复数字的六位数的个数是（ ） A ．72 B ．60 C ．48 D ．127．已知椭圆22:14x y E m +=，对于任意实数k ，下列直线被椭圆E 截得的弦长与:1l y kx =+被椭圆E 截得的弦长不可能．．．相等的是（ ）A ．0kx y k ++=B ．10kx y --=C ．0kx y k +-=D ．20kx y +-=8．如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点，F 是侧面CDD 1C 1上的动点，且B 1F//平面A 1BE ，则B 1F 与平面CDD 1C 1所成角的正切值构成的集合是（ ）A ．{2}B ．C ．{}2t t ≤≤D ．{|2}t t ≤≤第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上。
北京市海淀区2012届高三上学期期末考试英语试题(WORD精校版)
北京海淀区2011—2012学年度高三年级第一学期期末练习英语试题本试卷共150分。
考试时间120分钟。
注意事项:1．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
2．答题前考生务必将答题卡上的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔填写。
3．答题卡上选择题必须用2B铅笔作答，将选中项涂满涂黑，黑度以盖住框内字母为准，修改时用橡皮擦除干净。
非选择题必须用黑色字迹的签字笔接照题号顺序在各题目的答题区域内作答，末在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。
第一部分:听力理解（共三节，30分）第一节（共5小题;每小题1．5分，共7．5分）听下面5段对话。
每段对话后有一道小题，从每题所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。
听完每段对话后，你将有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话你将听一遍。
1．Who does the man remember?A．Kate．B．Mary．C．Susan．2．How does the man want his eggs?A．Over-easy．B．Sunny side-up．C．Over-hard．3．What is the man having trouble with?A．His printer．B．His computer．C．His cellphone．4．What is the woman probably doing?A．Asking for help．B．Checking information．C．Giving a suggestion．5．What makes the man annoyed?A．The weather．B．The museums．C．The restaurants．第二节（共15小题；每题1．5分，满分22．5分）听下面5段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A，B，C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
海淀区期末理科数学试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √9B. √16C. √25D. √362. 已知等差数列{an}的公差为2，若a1=1，则a10=（）A. 19B. 20C. 21D. 223. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，则f(2)的值为（）A. 0B. 2C. 4D. 84. 下列命题中，正确的是（）A. 对于任意实数x，都有x^2 ≥ 0B. 若x > 0，则x + 1 > 0C. 若x < 0，则x^2 > 0D. 若x^2 = 1，则x = ±15. 已知等比数列{an}的公比为q，若a1=2，a3=8，则q=（）A. 2C. 8D. 166. 已知函数f(x) = 3x - 2，若f(x) > 0，则x的取值范围是（）A. x > 2/3B. x > 2C. x < 2/3D. x < 27. 下列各图中，是双曲线的图形是（）8. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=3，d=2，则S5=（）A. 35B. 40C. 45D. 509. 下列各数中，无理数是（）A. √4B. √9C. √16D. √2510. 已知函数f(x) = |x - 2|，则f(3)的值为（）A. 1B. 2C. 3二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知函数f(x) = x^2 - 3x + 2，则f(2)的值为______。
12. 等差数列{an}的公差为d，若a1=1，d=2，则a10=______。
13. 已知等比数列{an}的公比为q，若a1=3，a3=27，则q=______。
14. 已知函数f(x) = 2x - 1，若f(x) > 0，则x的取值范围是______。
15. 已知函数f(x) = |x + 3|，则f(-1)的值为______。
16. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=5，d=3，则S7=______。
2011届北京海淀高三第一学期期末练习——数学(理)及答案
北京海淀区2011届高三年级第一学期期末练习数学试题（理科）2011.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．sin 600︒的值为 （ ）AB．C ．12-D ．122．若0.32121,0.3,log 2,,,2a b c a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭则的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b a c >>3．一个空间几何体的三视图如图所示，则该 几何体的体积为 （ ） A ．12 B ．6 C ．4 D ．24．如图，半径为2的O 中，90AOB ∠=︒， D 为OB 的中点，AD 的延长线交O 于 点E ，则线段DE 的长为 （ ）ABCD5．已知各项均不为零的数列{}n a ，定义向量*1(,),(,1),n n n n c a a b n n n N +==+∈，下列命题中真命题是（ ）A ．若*n N ∀∈总有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等差数列B ．若*n N ∀∈总有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等比数列C ．若*n N ∀∈总有n n c b ⊥成立，则数列{}n a 是等差数列B ．若*n N ∀∈总有n n c b ⊥成立，则数列{}n a 是等比数列6．由数字0，1，2，3，4，5组成的奇偶数字相间且无重复数字的六位数的个数是（ ） A ．72 B ．60 C ．48 D ．127．已知椭圆22:14x y E m +=，对于任意实数k ，下列直线被椭圆E 截得的弦长与:1l y kx =+被椭圆E 截得的弦长不可能．．．相等的是（ ）A ．0kx y k ++=B ．10kx y --=C ．0kx y k +-=D ．20kx y +-=8．如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点，F 是侧面CDD 1C 1上的动点，且B 1F//平面A 1BE ，则B 1F 与平面CDD 1C 1所成角的正切值构成的集合是（ ）A ．{2}B ．C ．{}2t t ≤≤D ．{|2}t t ≤≤第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上。
北京市海淀区2022-2023学年高三上学期期中数学试卷(含答案)
北京市海淀区2022-2023学年第一学期期中练习高三数学本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），满分150分，考试时长120分钟。
考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项。
1. 已知全集{}0U x x =>，集合{}23A x x =≤≤，则U C A = A.(0,2][3,)+∞U B.(0,2)(3,)+∞U C.(,2][3,)-∞+∞UD.(,2)(3,)-∞+∞U2. 在同一个坐标系中，函数log a y x =与x y a =(01)a a >≠且的图像可能是A BC D3. 已知向量,a b 在正方形网格中的位置如图所示. 若网格中每个小正方形的边长均为1，则 ⋅=a bA.4B. C.4-D.-4. 若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11a b =，222a b ==，48a =，则{}n b 的公比为 A.2 B.2- C.4 D.4-5. 已知实数,a b 满足a b >，则下列不等式中正确的是 A.||a b > B.||a b >C.2a ab >D.2ab b >6. 在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均已Ox 为始边，它们的终边关于直线y x =对称. 若3sin 5α=，则cos β= A.45-B.45 C.35-D.357. 已知函数()f x . 甲同学将()f x 的图像向上平移1个单位长度，得到图像1C ；乙同学将 ()f x 的图像上所有点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），得到图像2C . 若1C 与2C 恰好重合，则下列给出的()f x 中符合题意的是A.12()log f x x =B.2()log f x x =C.()2x f x =D.1()()2x f x =8. 已知函数()e e x x f x a b -=+(0)ab ≠，则“0a b +=”是“()f x 为奇函数”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9. 若P 是ABC △内部或边上的一个动点，且AP xAB yAC =+u u u r u u u r u u u r，则xy 的最大值是 A.14B.12C.1D.210. 我们可以用下面的方法在线段上构造出一个特殊的点集：如图，取一条长度为1的线段，第1次操作，将该线段三等分，去掉中间一段，留下两段；第2次操作，将留下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留下四段；按照这种规律一直操作下去. 若经过n 次这样的操作后，去掉的所有线段的长度总和大于99100，则n 的最小值为（参考数据：lg 20.301≈，lg30.477≈） A.9 B.10C.11D.12第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
北京市海淀区2012 - 2013学年度高三第一学期期末考试
北京市海淀区2012 - 2013学年度高三第一学期期末考试数学（理科）（时间：120分钟总分：150分）第1卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．化简复数i-12的结果为 ( ) i A +1. i B +-1. i C -1. i D --1.2．已知直线t t y t x l （⎪⎩⎪⎨⎧--=+=2,2:为参数）与圆⎩⎨⎧=+=θθsin 2,1cos 2:y x C θ(为参数），则直线L 的倾斜角及圆心C 的直角坐标分别是 ( ))0,1(,4.πA )0,1(,4-⋅πB )0,1(,43.πC )0,1(,43.-πD 3．向量),2,(),4,3(x b a =-若|,|a b a =⋅则实数x 的值为 ( )1.-A 21.-B 31.-C 1.D 4．某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的p 为24，则输出的n ，S 的值分别为( )30,4.==S n A 30,5.==S n B 45,4.==S n C 45,5.==S n D5．如图，PC 与圆0相切于点C ，直线PO 交圆0于A ，B 两 点，弦CD ⊥AB 于点E ．则下面结论中，错误的是( )DEA BEC A ∆∆~. ACP ACE B ∠=∠. EP OE DE C ⋅=2. AB PA PC D ⋅=2.6．数列}{n a 满足R r N n r a r a a n n ∈∈+⋅==*+,(,111且=/r ),0则，“”1=r 是“数列}{n a 成等差数列”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件7．用数字0，1，2，3组成数字可以重复的四位数，其中有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为( )144.A 120.B 108.C 72.D8．椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点分别为,,21F F 若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得 P F F 21∆为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是 ( ))32,31.(A )1,21.(B )1,32.(C )1,21()21,31.( D 第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．以y=±x 为渐进线 且经过 点(2，O)的双曲线方程为 ．10.数列}{n a 满足,21=a 且对任意的*,,N n m ∈都有=+m m n a a,n a 则=3a }{;n a 的前n 项和=n s 11．在62)31(x x+的展开式中，常数项为 ．（用数字作答） 12.三棱锥D-ABC 及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱BD 的长为13.点P(x ，y)在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+≥≤+⋅≥1,3,0x y y x x 表示的平面区域内，若点P(x ，y)到直线1-=kx y 的最大距离为,22则=k14.已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，动点P 在正方体1111D C B A ABCD -表面上运动，且r PA =),30(<<r 记点P 的轨迹的长度为),(r f 则)21(f = ；关于r 的方程k r f =)(的解的个数可以为 ．（填上所有可能的值）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）已知函数+=2cos 2sin 3)(x x x f ,212cos 2-x △ABC 三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b,c ．(I)求)(x f 的单调递增区间； (Ⅱ)若,1,3,1)(===+b a C B f 求角C 的大小．16.（本小题共13分）汽车租赁公司为了调查A ，B 两种车型的出租情况，现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表：(I)从出租天数为3天的汽车（仅限A ，B 两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A 型车的概率；(Ⅱ)根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A 型车，一辆B 型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；(Ⅲ)如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A ，B 两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由．17.（本小题共14分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，E AA AC AB BAC ,2,901====∠ 是BC中点．(I)求证：//1B A 平面;1AEC(Ⅱ)若棱1AA 上存在一点M ，满足,11E C M B ⊥求AM 的长；(Ⅲ)求平面1AEC 与平面11A ABB 所成锐二面角的余弦值18．（本小题共13分）已知函数⋅-=1)(x e x f ax（I ）当a=l 时，求曲线)(x f 在))0(,0(f 处的切线方程；(Ⅱ)求函数)(x f 的单调区间．19.（本小题共14分）已知点E(2，2)是抛物线Px y C 2:2=上一点，经过点(2，O)的直线L 与抛物线C交于A ，B 两点(不同于点E)，直线EA ，EB 分别交直线x=-2于点 M,N ．(I)求抛物线方程及其焦点坐标；(Ⅱ)已知0为原点，求证：∠MON 为定值．20．（本小题共13分）已知函数)(x f 的定义域为),,0(+∞ 若),0()(+∞=在x x f y 上为增函数，则称)(x f 为“一阶比增函数”；若2)(x x f y =在),0(+∞上为增函数，则称)(x f 为“二阶比增函数”．我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为,1Ω所有“二阶比增函数”组成的集合记为⋅Ω2(I)已知函数,2)(23hx hx x x f --=若,)(1Ω∈x f 且,)(2Ω∉x f 求实数h 的取值范围．(Ⅱ)已知1)(,0Ω∈<<<x f c b a 且)(x f 的部分函数值由下表给出，求证：.0)42(>-+t d d(Ⅲ)定义集合,)(|)({2Ω∈=ψx f x f 且存在常数k ，使得任意}.)(),,0(k x f x <+∞∈请问：是否存在常数M ，使得,0,)(（∈∀ψ∈∀x x f ),∞+有M x f <)(成立？若存在，求出M 的最小值；若不存在，说明理由.。
2011年海淀区高三上期中练习数学(理科)
2011年海淀区高三年级第一学期期中练习数学（理科）2011．11选择题（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1． 设集合()(){}|2130A x x x =--<，{}|14B x x =≤≤，则A B =∩（ ）A ．[)10，B ．()23，C ．142⎛⎤⎥⎝⎦，D ．(]14，2． 若()()2lg 1f x x =-，则()f x 的定义域是（ ） A ．()1+∞，B ．()()011+∞，∪，C ．()()110-∞--，∪，D ．()()001-∞，∪， 3． 已知等差数列{}n a 中，11a =，33a =-，则12345a a a a a ----=（ ）A ．15B ．17C ．15-D ．164．已知非零向量a，b，那么“0a b ⋅> ”是“向量a，b方向相同”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5． 下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间ππ2⎛⎫⎪⎝⎭，上为减函数的是（ ）A ．sin 2y x =B ．2cos y x =C ．cos 2x y = D ．()tan y x =-6． 函数()1xf x e =-的图象大致是（ ）AB C D7． 要得到函数sin cos y x x =-的图象，只需将函数cos sin y x x =-的图象（ ）A ．向左平移π4个单位长度 B ．向右平移π2个单位长度 C ．向右平移π个单位长度D ．向左平移3π4个单位长度8． 已知定义域为()0+∞，的单调函数()f x ，若对任意()0x ∈+∞，，都有()12log 3f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭则方程()2f x =+）A ．3B ．2C ．1D ．0非选择题（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 9． 曲线1y x=在2x =处的切线的斜率为 ．10． 在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若22a =，则132a a +的最小值是 ．11． 点A 是函数()sin f x x =的图象与x 轴的一个交点（如图所示）．若图中阴影部分的面积等于矩形O ABC 的面积，那么边AB 的长等于 ．12． 已知点()11A ，，()53B ，，向量AB 绕点A 逆时针旋转3π2到AC 的位置，那么点C 的坐标是 ．13． 在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，8a =，10b =，ABC △的面积为，则ABC △中最大角的正切值是 ． 14． 已知数列()12.3n A a a a n ，≥∶，令{}|1A k k T x x a a i j n ==+<，≤≤，()card A T 表示集合AT 中元素的个数．①若24816A ，，，∶，则()card A T = ；②若1i i a a c +-=（c 为常数，11i n -≤≤），则()card A T = ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15． （本小题共13分）已知函数()2sin 2cos 22f x x x x =-． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间π04⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．16． （本小题共13分）已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，23a -，且5a 是4a ，5a 的等比中项． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，求使n n a S =成立的的有n 的值． 17． （本小题共13分）某工厂生产某种产品，每日的成本C （单位：C ）与日产量x （单位：吨）满足函数关系式1000020C x =+，每日的销售额R （单位：元）与日产量x 满足函数关系式52129001203020400120.x ax x x R x ⎧-++<<⎪=⎨⎪⎩，，，≥ 已知每日的利润y R C =-，且当30x =时，100y =-．（Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）当日产量为多少吨时，每日的利润率可达到最大，并求出最大值． 18． （本小题共13分）已知函数()()22ln f x x ax a x a =+-∈R ．（Ⅰ）若1x =是函数()y f x =的极值点，求a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间． 19． （本小题共14分）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1n n S a λ=-（λ为常数，123n = ，，，）． （Ⅰ）若232a a =，求λ的值；（Ⅱ）是否存在实数λ，使得数列{}n a 是等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）当2λ=时，若数列{}n b 满足()1123n n n b a b n +=+= ，，，，且132b =，令()1nn n na c ab =+，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 20． （本小题共14分）已知函数()22x x P f x x x x M ⎧∈⎪=⎨-+∈⎪⎩，，，，其中P ，M 是非空数集，且P M =∅∩．设()(){}|f P y y f x x P ==∈，， ()(){}|f M y y f x x M ==∈，． （Ⅰ）若()0P =-∞，，[]04M =，，求()()f P f M ∪；（Ⅱ）是否存在实数3a >-，使得[]3P M a =-∪，，且()()[]323f P f M a =--∪，？若存在，请求出满足条件的实数a ；若不存在，请说明现由；（Ⅲ）若P M =R ∪，且0M ∈，1P ∈，()f x 是单调递增函数，求集合P ，M参考答案一、选择题对于任意()0,x ∈+∞，()12log 3f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，意味着()12log f x x +的值不随x 的变化而变化，设其值为m ，则()()12log 3f x x mf m +=⎧⎪⎨⎪=⎩，即12log 3m m -=．方程左边的式子随着m 的增大而增大，且可以观察得知2m =是方程的解，于是2m =是其唯一解．于是方程()2f x =+122log2x -=+2log x =t =，0t >，有22t t =．画函数图象可知，方程22t t =在()0,+∞上有两解．于是选B ．二、填空题9、14-10、 11、2π12、()3,3-13、314、6；1,023,0c n c =⎧⎨-≠⎩三、解答题15． （I ）()11cos 4sin 422xf x x -=-1sin 44222x x=+-πsin 432x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∴()f x 的最小正周期是2ππ42=．（II ）∵π04x ≤≤，∴ππ4π4333x +≤≤，因此πsin 4123x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤ ∴()12f x -≤，因此()f x 在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围是,12⎡-⎢⎣⎦． 16． （I ）设数列{}n a 的公差为d ，则52333a a d d =+=+，42232a a d d =+=+，82636a a d d=+=+于是2548a a a =⋅即()()()2333236d d d +=++，解得2d =- 因此125a a d =-=，()1172n a a n d n =+-=-．（II ）72n a n =-，∴26n S n n =-+，因此n n a S =，即2672n n n -+=-，解得1n =或7n =．17． （I ）32127010000,0120301040020,120x ax x x y R C x x ⎧-++-<<⎪=-=⎨⎪-⎩≥，当30x =时，3213030270301000010030y a =-⋅+⋅+⋅-=-解得3a =．（II ）主要研究函数()32132701000030f x x x x =-++-，利用导数()21627010f x x x '=-++()()1903010x x =--+根据边界点()0,10000-，()120,8000和极值点()90,14300，画函数草图如下：于是当日产量为90吨时，每日的利润可以达到最大，且此最大值为14300元． 18． （I ）利用数列前n 项和与通项公式的关系：111111111n n n n n n n n n n n n n S a S S a a a a a a a S a λλλλλλλλ------=-⎫⇒-=-⇒=-⇒=⎬=--⎭ 而111S a λ=-，即111a a λ=-，解得111a λ=-于是()221a λλ=-，()2331a λλ=-，代入232a a =，得()()223411λλλλ=--，于是常数2λ=（0λ=舍去）． （II ）由（I ）1λλ-0≠，于是{}n a 是等比数列，若{}n a 同时也为等差数列，则{}n a 为非零常数列． 此时11λλ=-，无解．因此不存在常数λ使得{}n a 是等差数列．（III ）当2λ=时，12n n a -=，而112n n n n b b b -+=-=△，∴11111131221222n n n n n b b ----=+=+-=+∑于是()()()11111221121212121212122n nn n n n nn n c -----⎛⎫===- ⎪++⎛⎫++⎝⎭++ ⎪⎝⎭ 累加，有n T =1122122121n n⎛⎫-=-⎪++⎝⎭．20、（I ）如图：若(),0P =-∞，则()()0,f P =+∞； 若[]0,4M =，则()[]8,1f M =-； 于是()()[)8,f P f M =-+∞ ．（II ）如图，画出直线3y =-，与22y x x =-+交于点()1,3--和()3,3-，于是可知[]1,3M ⊆-；∵[]3,P M a =- ，∴[]3,1--P ⊆，于是[][]1,33,23a ⊆--，因此233a -≥，即3a ≥； 当3a ≥时，∵22x x x >-+，∴函数的最大值为a ，因此23a a =-，解得3a =． 经检验，3a =时，取[][]3,01,3P =- ，()0,1M =即可． 于是满足条件的实数a 的值为3．（III ）如图，()f x 是单调递增函数，于是(],0M -∞⊆，[)1,P +∞⊆ 当()0,1P ⊆时，P =()0,+∞，(],0M =-∞； 当()0,1M ⊆时，[)1,P =+∞，(),1M =-∞．。
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海淀高三年级第一学期期中练习
数学(理科) 2011.11
一．选择题
1.设集合{|(21)(3)0}A x x x =--<，{}
41≤≤=x x B ，则=B A ( ) A. [)3,1
B.()3,2
C.⎥⎦
⎤ ⎝⎛4,2
1
D.(]4,1
2. 若2
()lg(1)
f x x =
-，则()f x 的定义域是( )
A.()+∞,1
B ()()+∞,11,0 C.()()0,11,--∞-
D.()()1,00, ∞-
3. 已知等差数列{}n a 中，11a =，33a =-，则12345a a a a a ----=( ) A. 15
B.17
C.15-
D.16
4. 已知非零向量 a ， b ，那么“·
0> a b ”是“向量 a ，
b 方向相同”的( ) A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C.充要条件
D. 既不充分也不必要条件
5. 下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间(),2
π
π上为减函数的是( )
A. sin 2y x =
B. 2|cos |y x =
C.cos
2
x y = D. tan()y x =-
6. 函数||
()1x f x e =-的图象大致是( )
A
B
C
D
7. 要得到函数sin cos y x x =-的图象，只需要将函数cos sin y x x =-的图象多少个单位长度( )
A. 向左平移4
π
B. 向右平移2
π
C. 向右平移π
D. 向左平移4
3π
8. 已知定义域为()+∞,0的单调函数，若对任意(0,)x ∈+∞，都有12
(()log )3f f x x +=，则
O
x
y O
y x
O
y x
O
y x
方程()2f x x =+解的个数是( )
A.3
B.2
C.1
D. 0
二．填空题 9. 曲线1
y x
=
在2x =处的切线的斜率为________. 10. 在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若22a =，则132a a +的最小值是________.
11. 点A 是函数()sin f x x =的图象与x 轴的一个交点（如图所示）.若图中阴影部分的面积等于矩形OABC 的面积，那么边AB 的长等于________.
12. 已知点(1,1)A ，(5,3)B ，向量AB 绕点A 逆时针旋转32
π到AC
的位置，那么点C 的坐标是________.
13. 在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，8a =，10b =，ABC ∆的面积为203，则A B C ∆中最大角的正切值是__________.
14. 已知数列()3,...,:21≥n a a a A n ，令{}
n j i a a x x T j i A ≤<≤+==1,，card()A T 表示集合A T 中元素的 个数.
①若:,,248,16A ，则card()A T =________；
②若1i i a c a +-=（c 为常数，11-≤≤n i ），则card()A T =____________. 三．解答题
15. 已知函数2()sin 2cos23si 2n x f x x x =-. （I)求()f x 的最小正周期； （II)求()f x 在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡4,0π上取值范围.
16. 已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，23a =，且5a 是4a ，8a 的等比中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，求使n n a S =成立的所有n 的值.
17. 某工厂生产某种产品，每日的成本C （单位：元）与日产量x （单位：吨），满足函数关系式：
1000020C x =+，每日的销售额R （单位：元）与日产量x 满足函数关系式
⎪⎩⎪⎨⎧≥<<++-=.120,20400
,
1200,29030
12
3x x x ax x R 已知每日的利润y R C =-，且当30x =时，100y =-. （I ）求a 的值；
（II ）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值.
18. 已知函数22()ln (R)f x x ax x a a =+-∈. （I ）若1x =是函数()y f x =的极值点，求a 的值； （II ）求函数()f x 的单调区间.
19. 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1n n S a λ=-（λ为常数，1,2,3,n = ）.
（I ）若2
32a a =，求λ的值；
（II ）是否存在实数λ，使得数列{}n a 是等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由； （III ）当2λ=时，若数列{}n b 满足1n n n a b b +=+（1,2,3,n = ），且132b =，令(1)n n n n
a a
b
c =+， 求数{}n c 的前n 项和n T .
20. 已知函数2
|,
),
2,|,
(P x f x x x M x x ⎧=⎨
-∈+∈⎩其中
P ，M 是非空数集，且P M ⋂=∅；设
(){|(),f P y y f x P x ==∈，(){|(),}f M y y f x M x ==∈.
（I ）若,0),[](0,4P M ∞==-，求)(()f P f M ⋃；
（II ）是否存在实数3a >-，使得[3,]M a P ⋃=-，且()[),2(33]f P f M a ⋃=--？若存在，请求出满足条件的实数a ；若不存在，请说明理由；
（III ）若R P M ⋃=，且0,1M P ∈∈，()f x 是单调递增函数，求集合P ，M .。