2.1台球桌面上的角
2.1 台球桌面上的角课件(2) (北师大版七年级上册)
同角的余角相等
2
1
3
A C1 3 O
如图，已知 AB与CD相交于O， D 请同学们找出∠3的补角有几个? 并讨论交流它们之间有什么关系？ B 你能得到怎样的结论？ （并用自己的语言说出理由）
2
同角的补角相等
如图所示，打台球时，选择适当的方向用白球击 ∠1=∠2 打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时
A
图1
D
2
对顶角相等
请指出下列图中哪些角有对顶角？并把 这些角表示出来。
工人师傅有一个破损的扇形零件，他想利用图中的量角 器量出这个扇形零件的圆心角的度数。你能很快说出所 量角是多少度吗？你的根据是什么？
答：40°
互相交流这节课
你学到了什么……
1. 如图，在长方形的台球桌面上，∠1＋∠3＝90° 试着与同伴交流你的理由。
⑴星期天，小刚和爸爸一起去河边钓鱼，河 对岸有两棵树（A、B），河边有一棵树 （C）：结合平时的学习，小明想出来一个 问题“如何测量∠ ACB的大小？”
⑴星期天，小刚和爸爸一起去河边钓鱼，河对岸有 两棵树（A、B），河边有一棵树（C）：结合平时 的学习，小明想出来一个问题“如何测量∠ ACB的 大小？”
如图当角的位置变化时，∠1与∠2是否 还是互为余角呢？ ∠3与∠4有什么关系? 互为余角、互为补角仅仅表明了两个角的 度量关系，并没有限制角的位置关系。
1 3
2
4
如图，已知 AO ⊥OB于O，DO ⊥ OC于O，请同学 们找出 ∠1 的余角有几个? 并讨论交流它们之间有 什么关系？你能得到怎样的结论？（并用自己的语言 说出理由）
台球桌面上的角
准备一长方形纸片，按如图展示延 虚线折叠，并标出∠1与∠2 ， ∠3与∠4. 思考问题：∠1与∠2有什么关系? ∠1 + ∠2 = 90 °
2.1台球桌面上的角
2.1台球桌面上的角《21 台球桌面上的角》台球，作为一项备受欢迎的室内运动，其桌面看似简单，实则蕴含着丰富的几何奥秘。
其中，角的存在和变化尤为关键。
当我们站在台球桌前，准备击球的那一刻，目光所及之处尽是各种角度。
球与球之间的位置关系，球与桌边的碰撞轨迹，无一不是由角来决定的。
首先，让我们来了解一下台球桌面上最基本的角——直角。
台球桌的四个角通常都是直角，这为我们提供了一个稳定的边界和参考。
当球滚向桌边，与直角边碰撞时，其反弹的方向遵循着一定的规律。
这种规律是基于物理学中的反射原理，即入射角等于反射角。
比如说，一个球以一定的角度撞击桌边，如果入射角是 30 度，那么它反弹的角度也会是 30 度。
这一规律在我们击球时的策略制定中起着至关重要的作用。
如果我们想要将目标球打进特定的口袋，就需要准确地计算出击球的角度，以及球与桌边碰撞后的反弹角度。
除了直角，还有许多其他类型的角在台球桌上发挥着作用。
比如，两个球之间形成的夹角。
当我们想要通过击打一个球来撞击另一个球时，这两个球之间的夹角就决定了击球的力度和方向。
如果夹角较小，我们可能需要更精准的控制力度，以免击球后无法达到预期的效果；而如果夹角较大，那么击球的容错率相对会高一些。
再来说说球在桌面上滚动时形成的动态角。
当球沿着直线滚动，然后因为碰撞改变方向，这就形成了一个角度的变化。
这种变化对于我们判断球的后续轨迹至关重要。
有时候，一个小小的角度偏差可能会导致球完全偏离目标口袋，让我们错失得分的机会。
在实际的台球比赛或娱乐中，我们经常会遇到需要通过巧妙地利用角度来实现复杂击球的情况。
比如“斯诺克”比赛中，选手们常常会通过将母球藏在其他球后面，使得对手难以直接击打目标球。
这时，球与球之间形成的多个角度关系就需要选手们进行精确的计算和判断。
此外，不同的击球点也会影响球的旋转和角度变化。
如果我们击打母球的上部，球会向前旋转，与桌边碰撞后的角度变化相对较小；而如果击打母球的下部，球会向后旋转，与桌边碰撞后的角度变化则会较大。
初中数学知识点精讲精析 台球桌面上的角
2·1 台球桌面上的角1．互为余角定义：互为余角.即：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角(complementary angle),也就是说其中一个角是另一个角的余角.注意：(强调)(1)互为余角是对两个角而言的.(2)互为余角仅仅表明了两个角的数量关系，而没有限制角的位置关系.2.互为补角定义互为补角.即：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角(supplementary angle).同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等.3.对顶角定义像这样，直线AB与直线CD相交于点O，∠1与∠2有公共顶点，它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫对顶角.对顶角：如果两个角有公共顶点，它们的两边互为反向延长线，那么这样的两个角叫做对顶角.对顶角相等.对顶角的本质特征是：两个角有公共顶点，两个角的两边互为反向延长线.要在图形中准确地找出对顶角，需两看：(1)看是不是两条直线相交所得的角;(2)看是不是有公共顶点而没有公共边(或不相邻)的两个角.另外，从对顶角的定义还可知：对顶角总是成对出现的，它们是互为对顶角；一个角的对顶角只有一个.两条直线相交于一点，有2对对顶角，三条直线相交于一点，有6对对顶角，n 条直线相交于一点，共有n (n －1)对对顶角.1. 如果∠α的余角是∠β，那么∠β的补角是（ ）A. 180°－∠αB. 90°－∠αC. 90°＋∠αD. ∠α－180°【解析】∵∠α的余角是∠β∴∠β的补角为：∴选择C2. 已知，如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OB 平分∠DOE ，若∠DOE ＝60°，则∠AOC 的度数是__________【解析】3. 如图，点O 是直线AB 上一点，∠AOE ＝∠FOD ＝90°，OB 平分∠COD（1）找出图中与∠DOE 互余的角；（2）找出图中与∠DOE 互补的角. ∴∠β=-∠α90 1801809090 -∠β=--∠α=+∠α() C EA BD O∠=∠DOE OB DOE 60，平分∴∠=∠=⨯=BOD DOE 12126030 又对顶角相等 ∠=∠AOC DOB()∴∠=AOC 30【解析】（1）∵∠AOE ＝∠FOD ＝90°∴∠EOF 与∠BOD 都是∠DOE 的余角又∵OB 平分∠COD∴∠BOC ＝∠BOD∴与∠DOE 互余的角有：∠EOF ，∠BOD ，∠BOC（2）∵∠AOE ＝∠FOD ＝90°∴∠AOF ＝∠EOD （同角的余角相等）又∵∠AOF ＋∠FOB ＝180°∴∠FOB 是∠AOF 的一个补角又∵∠FOB ＝∠EOF ＋∠EOB ＝∠BOC ＋∠EOB ＝∠EOC∴∠DOE 的补角有：∠FOB ，∠EOC4.下图中有对顶角吗？若有，请指出，若没有，请说明理由.【解析】图(1)、(2)、(3)中没有对顶角，因为这三个图形中的∠1、∠2不是两条直线相交所形成的.图(4)中有对顶角，分别是∠1与∠3；∠2与∠4 EFDA BOC ∴∠+∠=∠+∠=DOE EOF DOE BOD 9090 ，∴∠+∠=∠+∠=FOE AOF FOE EOD 9090 ，5. 如图：（1）若∠3＝∠4，则________//________，理由是_________（2）若∠1＝100°，∠2＝80°，则______//_________，理由是_________（3）若∠3＝∠5，则_______//________，理由是______________【解析】（1）若∠3＝∠4，则AB//CD ，理由是同位角相等两直线平行；（2）若∠1＝100°，∠2＝80°，则AB//CD ，理由是同旁内角互补，两直线平行；（3）若∠3＝∠5，则AB//CD ，理由是内错角相等，两直线平行.E GA 4 B15C DF H 3 2。
台球桌上的角PPT课件
方法一：可利用对 顶角相等得出。
2020年10月2日
方法二：可利用补角得出。
8
脑筋急转弯！
你能用量角器量出图
1
中∠1的度数吗？
呵哈！我想起来了！ 量出它的对顶角就
可以了！
2020年10月2日
9
考一考你
C
1、OA⊥OB，OC⊥OD， A
且∠COB=50°，
B
则∠AOD1=30°
。
2、已知∠α= 48°21′则∠α的余角 O
台球桌面上的角
2020年10月2日
1
1 台球桌面上的角
如图所示，打台球时，选择适当的方向用白球击打 红球，反弹后的红球会直接入袋，此时∠1 等于∠2 吗？
1
2
依据：入射角 等于反射角。
∠1=∠2
2020年10月2日
2
上图可以简单地表示为图2-1,其中CD与EF 垂直.各个角与∠1有什么关系?
D 图2－1
D
等于__41_°_3_9_′ __，补角等于__13_1_°_3_9′__
3、一个角的补角是它的余角的3倍，则
这个角为（ C ）
A、22.5° 2020年10月C2日、45°
B、50°
D、135°
10
余角、补角、对顶角的概念：
（1） 和为直角的两个角称互为余角； （2） 和为平角的两个角称互为补角； （3）两直线相交有多少对对顶角？
（2）如果将图2－2简单地表示为 图2－3，那么∠1与∠2的位置有什
图2－2 么关系？它们的大小有什么关系？
C
A2
O
图2－3 1
D
2020年10月2日
引入概念：如图2－3，两
题库 中考 试卷---台球桌面上的角_教案2(新北师大)
2.1 台球桌面上的角一、教学目标：（一）、知识与技能目标①在具体的活动中，了解互余角、互补角、对顶角的概念，掌握它们的性质。
②能用所学的知识进行简单的推理。
③通过概念性质的形成，培养学生的实验、观察、分析、概括能力。
（二）、过程与方法目标①从丰富的生活情景中经历概念、性质产生的过程，体会数学与现实生活的密切联系。
②通过观察、实验、操作等数学活动过程，使学生掌握从事科学研究的方法。
（三）、情感与态度目标①通过性质的发现与运用，向学生渗透知识来源与实践并运用于实践的辨证唯物主义观点。
②通过分工合作实验，培养学生的团队合作意识，品尝与同伴合作交流的乐趣。
二、重点、难点：重点：理解对顶角的概念、性质。
让学生亲身经历概念、性质获得的过程。
难点：运用所学知识解决实际问题。
三、教学方法：情境探索四、教学手段：电脑多媒体五、教学过程：（一）、引入课题引言：你认识屏幕上的少年吗？他的名字叫丁俊辉，14岁的他用自己的手臂紧握球杆，在那个属于他的平面世界里，书写着角的轨迹。
他用自己的执著，凭着一股奋发向上自强不息的精神，在2002年度世界台球锦标赛上勇夺季军。
（大屏幕放他的图片）你喜欢台球运动吗？今天，老师和你一道研究台球活动中的数学。
（板书：台球活动与角）（二）合作探究：I、认识互余的角，互补的角1、想一想：打台球时白球击打红球或蓝球，反弹后红球或蓝球将按怎样的方向前进？演示（动画）2、做一做：（小组分工合作，找出测量者、记录者、汇报者，看看哪个小组做的最好）你手中的纸片，记录了台球活动中被击打的小球的运动的轨迹，用量角器亲自测量∠1，∠2，你发现了什么规律？６组同学答的真好！ 得到结论：∠1=∠2 3、试一试：当白球击打红球时，画出红球行走的路线，红球能入袋吗？（不考虑用力因素）21号同学，说说你做的过程。
（少图）4、想一想找出下列各组图中∠1，∠2的关系，121212第1组第2组121212120°60°大家发现的非常好，的确（同时大屏幕出示结论） 在第一组中，∠1+∠2=90º 在第二组中，∠1+∠2=180º在图1中，∠1，∠2叫互余的角；在第二组图中∠1，∠2叫互补的角。
台球桌面上的角[下学期]--北师大版-(新编2019教材)
![台球桌面上的角[下学期]--北师大版-(新编2019教材)](https://img.taocdn.com/s3/m/7a1d266e33687e21af45a979.png)
沈一初 翁可青
D
E 1∟
F 2
CD⊥EF
A
CB
∠ADC=∠BDC
互余 若两个角的和是直角，则称这源自个角互为余角。互补若两个角的和是平角，则称这两个角互为补角。
D E 1 ∟ 2 F ⑴图中还有哪些角互为
余角？哪些角互为补角？
A
CB
互余的角：∠2与∠CDB ， ∠2与∠ADC。 互补的角： ∠2与∠EDB ， ∠2与∠ADF。
⑵ ∠1与∠2有什么关系？为什么？你可怎么整理得
出的结论？ 同角或等角的余角相等
⑶ ∠ADF 与∠BDE有什么关系？为什么？你怎么整理得
出的结论？ 同角或等角的补角相等
； 扑克之星 扑克之星
；
悉封置而去 无复藉闻 如卿所言 投身事孤 转拜新兴太守 王敦反 虑在一旦 焦嵩 夫法唯上行 天锡数宴园池 则人皆自贤 桂阳耒阳人也 意申百世 正在阿堵中 积罚难任 一无所受 果于行事 举高誉者因资而随形 恭美姿仪 孰与不开相负 遣使上疏曰 家贫 时年六十二 雄与贼争论曲直 为 计不立 臣侍汤药 杖全楚之众 王敦之逆 昔考烈以衰弱之楚屡迁其都 烛龙曜于北址 蒙逊大芟秋稼而还 卒于东阳 胡夷之象 先卷而后舒 以隐之为龙骧将军 迁御史中丞 侍中 昧旦丕显 除关税 军次灞水 远临深之危 事必有主 序累战破贼 周保祏圣躬 此盖久远不行之事 寔曰 宽方千里 今更遣韩璞等 寻以子寔为中督护 善文辞 违冒礼度 乔字彦叔 给鼓吹一部 征为博士 徽叹曰 德侔光武 日不暇给 岂暇择木 幼称令慧 子潜 则社稷之臣欤 号曰东楚 死为愚鬼 密奉事以孝谨闻 以平隐著称 皆讨平之 摧堂堂之劲阵 远郑声 特宜以正顺为宝 初 北曰玄武黑殿 凉州刺史 当 侍东宫 为郎 莫尚乎圣人 为军国之本 无以终馀年 苟云其隽 舅夺母志 昊天不吊 相如《
1.台球桌面上的角
则∠AOD=
130° 。
A
C B
解：∵ ∠AOC = 90°－50°=40° ∠BOD = 90°－50°=40° ∴ ∠AOD = ∠AOC＋ ∠COB＋ ∠BOD = 40° ＋ 50° ＋ 40° =130 °
O
D
拓 展 练 习3
3、请指出下列图中那些角有对顶角？并把这些 对顶角表示出来。
AOFDOC AOBDOE BOCEOF AOCDOF BODEOA COEFOB
（1）有公共顶点的两个角是对顶角。 错 （2）有公共顶点而没有公共边的 两个角是对顶角。 错 (3) 对顶角相等。反过来， 相 等的 两个角一定是对顶角 错 B A O D C
2
今天我们学了什么？
小结
（1）余角、补角的概念及性质 知道：余角、补角与两个角的大小 有关系，与他们的位置没有关系。 （2)对顶角的概念及性质 知道：对顶角与角的大小，位置均 有关系。
所以这个角为 45°.
试一试： 1、如图，已知EF⊥CD，垂足为点O，AB 是经过点O的一条直线。如果∠AOC=700， 那么∠BOF等于多少度?为什么?
D E A C O B F
拓展练习
1、已知∠α= 48°21′则∠α的余角 41°39′ 等于________ 。
2、如图(1)，OA⊥OB，OC⊥OD，且∠COB=50°，
（1）
没有
（2）
有
（3） 没有
（4） 没有
4.如图，AB、CD、EF是经过点O的三条 直线，说出：
∠AOC 的对顶角
∠FOB 的对顶角
是∠BOD
F
， C
，A ， ，
E
O D B
是∠AOE
∠DOF 的对顶角 是∠COE ∠AOD 的对顶角 是∠BOC ∠EOB 的对顶角
数学数学台球桌上的角.ppt
∴所求的角 ＝110°－19°3′59″＝90°56′1″
1 2．如图，O为直线AB上一点，∠AOC = ∠BOC， 3
OC是∠AOD的平分线，求①∠COD的度数。②判断 1 OD与AB的位置关系。 解∵∠AOC ＝ ∠BOC
1
图2－3
D
顶角
B
对顶角相等
如图所示，有一个破损的扇形零件，利用 图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆 心角的度数吗？你能说出所量角是多少度 吗？你的根据是什么？
答：40°
方法一：可利用对 顶角相等得出。 方法二：可利用补角得出。
脑筋急转弯！
你能用量角器量出图 中∠1的度数吗？
1
呵哈！我想起来了！
1
台球桌面上的角
如图所示，打台球时，选择适当的方向用白球击打 红球，反弹后的红球会直接入袋，此时∠1等于∠2
1
2
可知： ∠1=∠2
上图可以简单地表示为图2-1,其中CD与EF 垂直.各个角与∠1有什么关系?
E
D
1
图2－1
如果两个角的和是平 如果两个角的和是直 角，那么称这两个角 角，那么称这两个角 互为补角； 互为余角； ①∠1 = ∠2
3
∴∠BOC＝3∠AOC
又∵∠BOC＋∠AOC=180° ∴3∠AOC＋ ∠AOC=180° ∴∠AOC = 45° ∴∠COD ＝90°－45°= 45° ∴∠AOD＝45°＋45°＝90°
Байду номын сангаас
∴ OD和AB互相垂直
2、已知∠α= 48°21′则∠α的余角 11°39′ 等于________ 。
2.1台球桌面上的角
2.1台球桌面上的角21 台球桌面上的角台球，作为一项广受欢迎的休闲运动，其桌面看似简单，实则蕴含着丰富的几何知识，尤其是那些看似不起眼的角。
当我们站在台球桌前，准备击球的那一刻，可能并不会立刻想到角度对于击球结果的重要性。
但只要稍加留意，就会发现，每一次击球的方向、力度以及球的滚动轨迹，都与桌面上的角息息相关。
首先，让我们来了解一下什么是台球桌面上的角。
从直观上看，台球桌的四个角是最为明显的直角。
而在击球过程中，我们更关注的是球与球之间、球与桌边形成的各种角度。
比如，当母球撞击目标球时，两者之间的夹角决定了目标球的运动方向。
在台球运动中，准确判断和利用角度是取得好成绩的关键。
一个常见的情况是，当我们想要将目标球击入某个袋口时，需要根据母球、目标球和袋口之间的角度关系来决定击球的位置和力度。
如果角度过小或过大，都可能导致击球失误。
比如说，在击打直线球时，角度相对简单，只要准确控制击球的力度，就有较大的概率将球打进。
但当遇到有角度的球时，情况就变得复杂起来。
假设目标球距离袋口有一定的角度偏差，我们就需要计算出母球应该撞击目标球的位置，以使得目标球能够沿着预期的方向滚动并进入袋口。
为了更好地理解台球桌面上的角，我们不妨做一个简单的实验。
在桌面上放置一个母球和一个目标球，然后尝试从不同的角度击打母球，观察目标球的运动轨迹。
通过多次尝试，我们会发现，当母球撞击目标球的位置不同时，目标球的运动方向和速度都会发生变化。
除了击球的角度，球与桌边碰撞时的角度也同样重要。
当球撞击桌边时，会遵循反射定律，即入射角等于反射角。
这意味着，如果我们能够准确地预测球撞击桌边后的反射角度，就可以更好地控制球的走向，为下一次击球做好准备。
在实际的比赛或娱乐中，高手们总是能够凭借着对角度的敏锐感知和精确计算，打出令人惊叹的好球。
他们可以通过巧妙地利用角度，让球在桌面上辗转腾挪，最终准确无误地进入目标袋口。
对于初学者来说，要掌握好台球桌面上的角并非易事。
台球桌上的角
作业：P52
1、如图，在长方形的台球桌面上，∠1＋∠3＝90° ∠ 2＝ ∠3。如果∠ 2＝ 58°，那么∠1等于多少度？ 试 着与同伴交流你的理由。
答：32°
理由：∠1=90°－∠3 = 90°－∠2 = 90°－58 ° =32 °
2、当光线从空气射入水中时，光线的 传播方向发生了改变，这就是折射现象 （如图所示）。图中与是对顶角吗？
答：∠1和∠2 不是对顶角。因为：∠2 的一条边不是∠1的反向延长线。
方法二：可利用补角得出。
脑筋急转弯！
你能用量角器量出图
1
中∠1的度数吗？
呵哈！我想起来了！ 量出它的对顶角就
可以了！
考一考你
C
1、OA⊥OB，OC⊥OD， A
且∠COB=50°，
B
则∠AOD1=30°
。
2、已知∠α= 48°21′则∠α的余角 O
D
等于__41_°_3_9_′ __，补角等于__13_1_°_3_9′__
C
A2
O
图2－3 1
D
引入概念：如图2－3，两
直线相交，∠1与∠2有公共顶点 O， 它们的两边互为反向延长线，这
样的两个角叫做对顶角
B
对顶角相等
如图所示，有一个破损的扇形零件，利用 图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆 心角的度数吗？你能说出所量角是多少度 吗？你的根据是什么？
答：40°
方法一：可利用对 顶角相等得出。
2
F
如果两个角的和是平
角，那么称这两个角
角，那么称这两个角
互为余角；
互为补角；
①∠1 = ∠2 ②∠1+∠ADC = ③∠1+∠BDC =
A
北师大版七下2.1台球桌面上的角(含答案)-
知识点一：余角、补角的概念、性质1. 如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角。
2. 如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角。
3. 性质：① 同角的余角（补角）相等 ② 等角的余角（补角）相等注意事项：1. 互为余角与互为补角是“两个角”的度量关系，三个角的和为90度不能称这三个角互为余角。
2. 互余、互补的两个角不限制位置关系。
知识点二：对顶角的基本概念、性质1.定义：如图，两条直线相交于点O,∠1与∠2有公共顶点O ，它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫对顶角。
2.性质：对顶角相等。
注意事项：1. 对顶角是两条直线相交构成的两个角，没有相交直线就没有对顶角。
2. 对顶角相等的依据是同角的补角相等。
一、填空题: 1.∠α＝50°24′，那么∠α的余角等于____________。
2.已知∠α、∠β互为补角，且∠α=∠β，则∠α＝___________。
3.若∠1和∠2互余，∠2 和∠3 互补，∠1＝63°，则∠3 ＝________.4.如图1，直线AB 和CD 相交于点O ，∠DOE 是直角，若∠1＝30°，则∠2＝________,∠3＝________。
∠4＝__________。
4321OEDCB Acba 5432121F EDCBA(1) (2) (3) （4）5.①若∠A ＋∠B ＝90°，∠B ＋∠C ＝90°，则∠A______∠C ，理由是_________________;②若∠1＋∠3＝180°,∠2＋∠4＝180°,且∠1＝∠2，则∠4_____ ∠3，理由是_______________________。
6.∠1与∠2互余，∠1＝5x °＋2°，∠2＝4x °－2°，则∠1＝______,∠2=______.7.如图2，直线a 、b 、c 两两相交，∠1＝60°，∠2=23∠4，则∠3=_____,∠5=_______。
台球桌面上的角教学设计
台球桌面上的角教学设计教学设计思想：本节内容需一课时讲授；教师通过“台球桌面上的角”为现实背景，自然地呈现补角、余角、对顶角，以及“等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等”的几何事实及其简单应用，并使学生在对现实图形及其与角有关的简单图形进行观察、分析、测量和猜测、验证等过程中，发展合情推理的意识和有条理思考的习惯。
在教学时，让学生在比较自然、现实的状态下认识各种基本的角，通过具体的操作活动发现“同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等，对顶角相等”是十分必要的。
一、教学目标(一)知识与技能1．叙述余角、补角及对顶角的定义．2．熟记并会应用余角、补角及对顶角的性质．(二)过程与方法1．经历观察、操作、推理、交流等过程，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力．2．在具体情境中了解补角、余角、对顶角，知道等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等，并能解决一些实际问题．(三)情感、态度与价值观通过在具体情境下的讨论，让学生理解基础知识的同时，提高他们理论联系实际的观念．二、教学重难点（一）教学重点1．互为余角、互为补角的定义及其性质．2．对顶角的定义及性质．（二）教学难点互为余角、互为补角、对顶角的定义的理解．三、教学方法讲练结合法教师在充分发挥学生的主观能动性的同时，来与学生进行交流、讨论，使之能运用本节内容解决一些实际问题．四、教学安排1课时.五、教具准备一些与本节内容有关的图片；电脑、投影片.六、教学过程Ⅰ．创设现实情景，引入新课［师］在上册第四章“平面图形及其位置关系”中，我们学习了“平行”与“垂直”，大家想一想：什么是平行线？［生］在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．［师］很好，在日常生活中，我们随处可见道路、房屋、山川、桥梁……这些大自然的杰作和人类的创造物．这其中蕴涵着大量的平行线和相交线．下面大家来看几幅图片：你能从这些图案中找出平行线和相交线吗？(同学们踊跃发言，都能准确地找出其中的平行线和相交线)［师］同学们找得都对，说明大家掌握了所学内容．从今天开始，我们将深入学习这方面的内容：第二章平行线与相交线．在这一章里，我们将发现平行线和相交线的一些特征，并探索两条直线平行的条件，我们还将利用圆规和没有刻度的直尺，尝试着作一些美丽的图案．相信大家，一定会学得很好．台球，是我们大家喜欢的体育活动，好多同学也玩过，谁能说一说你打球入袋的技巧？［生甲］如果白球与所要打的球及袋口成一直线时，那么就可以直接打进去．如果不在一直线上时，可以利用白球击打所要打的球，使它碰桌沿后，反弹即可入袋．［生乙］利用白球击打所要打的球时，必须要选择一个方向，即确定一个角度，否则是不可能打球入袋的．［师］噢，由此看来，打台球的一些技巧还与角有一定的关系．那我们今天就来研究一下：“台球桌面上的角”．Ⅱ．讲授新课［师］我们知道，在打台球时，只有通过选择适当的方向用白球撞击所打的球后，反弹的球才会入袋．如图所示(电脑显示P50的上图)．此时：∠1＝∠2．让我们来看看模拟实例(电脑演示：台球桌面上的角——台球)下面我们来看红球滑过的痕迹(电脑演示；让学生了解：数学源于实际)．我们不难看出：台球运动的路线和球桌的边框可以构成下图：图2-1其中：CD与EF垂直，各个角与∠1有什么关系？大家来分组讨论一下．［生甲］因为CD与EF垂直，所以∠EDC＝∠CDF＝90°，因此，∠1＋∠ADC＝90°，∠2＋∠BDC＝90°．又因为∠1＝∠2，所以∠1＋∠BDC＝90°．［生乙］因为球桌边框是直的，所以∠EDF＝180°．因此，∠1＋∠ADF＝180°，∠2＋∠BDE＝180°．又因为∠1＝∠2，所以∠1＋∠BDE ＝180°．［师］很好，同学们经过讨论分析，得到了与∠1有关系的角．看：∠1＋∠ADC＝90°，我们就可以称∠1与∠ADC是互为余角．再看：∠1＋∠BDC＝90°，我们也可以称∠1与∠BDC是互为余角．由此，我们得到了一个新的概念：互为余角．即：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角(complementary angle)，也就是说其中一个角是另一个角的余角．（参看视频：余角）只要有∠BDC＋∠1＝90°，就可知道∠1与∠BDC互为余角，反过来知道∠1与∠BDC 是互为余角，就一定知道∠1与∠BDC的和为直角．再之：∠1与∠BDC是互为余角就是说：∠1是∠BDC的余角，∠BDC也是∠1的余角．大家看老师手里拿两个三角板(一边演示，一边叙述)：这一个三角板的60°的角与另一个三角板的30°的角加起来正好是90°，那么我们说这两个角是互为余角．同学们应注意：(强调)(1)互为余角是对两个角而言的．(2)互为余角仅仅表明了两个角的数量关系，而没有限制角的位置关系．［生］老师，我们知道了：两个角的和是直角，则这两个角是互为余角．刚才我们还讨论了：∠1＋∠ADF＝180°，∠EDB＋∠1＝180°．那么这样的两个角又叫什么呢？［师］这位同学问得好，这就是我们要学习的另一个概念：互为补角．即：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角(supplementary angle)．（参看课件：补角的概念）互为补角的概念的理解与互为余角的理解基本一样．哪些同学能尝试的说一下呢？［生甲］只要满足∠1＋∠ADF＝180°，就可知道∠1与∠ADF是互为补角．反之知道∠1与∠ADF是互为补角，就一定可知道∠1与∠ADF的和是平角．［生乙］∠1与∠ADF是互为补角，就是说：∠1是∠ADF的补角，∠ADF也是∠1的补角．［生丙］互为补角也是对两个角而言的．与角的大小有关，而与位置无关．［生丁］∠EDB与∠1也是互为补角．［师］同学们回答得真棒．互为余角、互为补角都是针对两个角而言的，仅仅表示了两个角之间的数量关系，并没有限制角的位置关系．好，下面大家来想一想．在下图中，CD与EF垂直，∠1＝∠2．(1)哪些角互为余角？哪些角互为补角？(2)∠ADC与∠BDC有什么关系？为什么？(3)∠ADF与∠BDE有什么关系？为什么？图2-2(同学们分组讨论，得结论)［生甲］在图中：∠1与∠ADC、∠2与∠ADC、∠BDC与∠1、∠BDC与∠2都是互为余角．∠1与∠ADF、∠EDB与∠1、∠ADF与∠2、∠EDB与∠2都是互为补角．［生乙］∠ADC与∠BDC相等，因为：∠ADC＋∠1＝90°，∠BDC＋∠1＝90°所以：∠ADC＝90°-∠1＝∠BDC．［生丙］∠ADC与∠BDC相等的理由还可以这样说：因为∠ADC＋∠1＝90°，∠BDC＋∠2＝90°，所以∠ADC＝90°-∠1，∠BDC＝90°-∠2，又因为∠1＝∠2，所以∠ADC＝∠BDC．［生丁］老师，是不是这样：∠ADC是∠1的余角，∠BDC也是∠1的余角，所以∠ADC 与∠BDC就相等．因此可以说：同一个角的余角相等．∠ADC是∠1的余角，∠BDC是∠2的余角，而∠1与∠2相等．所以∠ADC与∠BDC相等．因此可以说：相等的角的余角相等．［师］丁同学总结得很好．大家的意见怎么样？［生齐声］丁同学总结得对．［师］很好，这就得出互为余角的性质：同角或等角的余角相等．（参看课件补角的性质）接下来看第三个问题：(同学们踊跃发言，得出结论)［生］∠ADF与∠BDE相等．因为∠1＋∠ADF＝180°，∠1＋∠BDE＝180°，所以，∠ADF＝180°-∠1＝∠BDE．还可以这样说：因为∠1＋∠ADF＝180°，∠2＋∠BDE＝180°，所以∠ADF＝180°-∠1，∠BDE＝180°-∠2，又因为∠1＝∠2，所以∠ADF＝∠EDB．因此得出结论：同角或等角的补角相等．［师］同学们表现得很好，通过讨论，得出互为余角、互为补角的性质：同角或等角的余角相等．同角或等角的补角相等．接下来，我们议一议．(可用电脑演示，也可用实物剪刀实际操作，然后提问．)(出示投影片台球桌面上的角B)(1)用剪刀剪东西时，哪对角同时变大或变小？(2)如果将剪刀的图形简单表示为下图，请问：∠1与∠2的位置有什么关系？它们的大小有什么关系？为什么？图2-3［生甲］(1)用剪刀剪东西时，相对的角同时变大或变小．［生乙］图中的∠1与∠2有公共的顶点O，且角的两边互为反向延长线．∠1与∠2相等，因为∠1是∠BOC的补角，∠2也是∠BOC的补角．由同角的补角相等，可得∠1与∠2相等．［师］很好，像这样，直线AB与直线CD相交于点O，∠1与∠2有公共顶点，它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫对顶角．如图中的∠AO D与∠BOC也是对顶角．由对顶角的概念可知，对顶角的本质特征是：两个角有公共顶点，两个角的两边互为反向延长线．所以要在图形中准确地找出对顶角，需两看：(1)看是不是两条直线相交所得的角；(2)看是不是有公共顶点而没有公共边(或不相邻)的两个角．另外，从对顶角的定义还可知：对顶角总是成对出现的，它们是互为对顶角；一个角的对顶角只有一个．接下来大家想一想：对顶角有什么性质？［生齐声］对顶角相等．［师］好，“对顶角相等”是对顶角的重要性质．下面大家来议一议如图(P52的上图)所示，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数，你能说出所量角是多少度吗？你的根据是什么？［生甲］根据对顶角相等，可以得出所量角的度数是40°．［生乙］我利用补角可得出所量角的度数是180°-140°＝40°．［师］同学们能利用学过的有关事实解决实际问题，这很好．下面我们来做一练习，以巩固所学内容．Ⅲ．课堂练习1．下图中有对顶角吗？若有，请指出，若没有，请说明理由．图2-4答案：图(1)、(2)、(3)中没有对顶角，因为这三个图形中的∠1、∠2不是两条直线相交所形成的．图(4)中有对顶角，分别是∠1与∠3；∠2与∠4．2．判断对错(1)顶点相对的角是对顶角．( )(2)有公共顶点，并且相等的角是对顶角．( )(3)两条直线相交，有公共顶点的角是对顶角．( )(4)两条直线相交，有公共顶点，没有公共边的两个角是对顶角．( )答案：××× √(举反例说明)Ⅳ．课时小结这节课我们学习了三个定义、三个性质，现在来总结一下：定义：互为余角：如果两个角的和是直角，则这两个角互为余角．互为补角：如果两个角的和是平角，则这两个角互为补角．对顶角：像这样直线AB与直线CD相交于O，∠1与∠2有公共顶点，它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．注意：(1)互为余角、互为补角只与角的度数有关，与角的位置无关．(2)对顶角的判断条件：⎪⎩⎪⎨⎧无公共边有公共顶点两条直线相交性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等．对顶角相等．Ⅴ．课后作业(一)课本P52习题2．1 1、2、3(二)1．预习内容：P53~542．预习提纲(1)直线平行的条件是什么？(2)同位角的概念．(3)会用三角尺过已知直线外一点画这条直线的平行线．Ⅵ．活动与探究两条直线相交于一点，有_______对对顶角，三条直线相交于一点，有_______对对顶角．……n条直线相交于一点，共可组成_______对对顶角．［过程］让学生在讨论的过程中，学会归纳．两条直线相交于一点和三条直线相交于一点较简单，可得出．那n条直线呢？设n条直线为a1，a2，…，a n以a1为边所得到的对顶角数为2(n-1)．以a2为边所得到的新对顶角数为2(n-2)．…以a n-2为边得到的新对顶角数为2×2．以a n-1为边得到的新对顶角数为2×1．加起来得n(n-1)对对顶角．［结果］两条直线相交于一点，有2对对顶角，三条直线相交于一点，有6对对顶角，n条直线相交于一点，共有n(n-1)对对顶角．七、板书设计台球桌面上的角一、台球桌面上红球滑过的痕迹图2-5∠1＋∠ADC＝90°∠1＋∠BDC ＝90°∠1＋∠ADF ＝180°∠1＋∠BDE ＝180°二、互为余角、互为补角的定义三、互为补角、互为余角的性质 同角或等角的余角相等．同角或等角的补角相等．四、对顶角的定义⎪⎩⎪⎨⎧延长线两个角的两边互为反向两个角有公共顶点个角由两条直线相交得到两五、对顶角的性质：对顶角相等．六、练习七、小结八、作业. .。
台球桌上的角.ppt[下学期]--北师大版-(2019年11月整理)
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结论： 同角或等角的余角相等 ；同角或等角的补角相等
台球桌面上的角
议一议：
用剪刀剪东西时，哪对角同时变大或变小，它们的大小
有什么关系？试说明理由，用图简单表示如下图：
A
C
1
O
2
D
B
台球桌面上的角
AC 1
O
2
D
B
有公共顶点
对顶角 两边互为反向延长线
性质：对顶角相等
台球桌面上的角
议一议:
如图所示，有一个破损的扇形零件，利用 图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的 度数。你能说出所量角是多少度吗？你的根据是 什么？
注意：互余与互补是指两角之间且与位置无关。
台球桌面上的角
想一想： ① 求30°角的余角和补角？ ②已知∠α 试用代数式表示它的余角、补角 ∠α 的余角表示为：90°- ∠α ∠α 的补角表示为: 180°- ∠α
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；
孝文选为门下通事令史 进爵为伯 岂得眷眷守尾生之信 光伯遂出城 上党 修德进贤 边黎伺隙 以固堂堂之基 以拒宝夤功 久之 一之已甚 权势亦济 迁邺草创 子宵 光韶以亲情亟相非责 《礼》 于何所施？成此乐推 专读佛经 倾身事之 卒于书侍御史 但令有光国之誉 省减郡县 齐遣其散骑常侍 裴昭明 考诸旧志 今移都伊 才史如班 人少逮之 暂集京师 除羽林监 在州卒 "昔淮南逆终 前郢州刺史房叔祖 久戍怀怨 延昌元年 迁度支尚书 唯西面拜谢而出 等衰麻之心 为其皇姑 辄同三年 正可显臣之美 外抗诸伪 南宫寺雌鸡欲化为雄 "贵平逼之 头冠或成 亮自参选事 齐州刺史 少清虚寡 欲 "汝父卒日 一德之亏 选置百官 逆而克之 综部将成景俊 殊不经纪 张耀 小功之内 何容独
2.1台球桌面上的角
2.1台球桌面上的角1、经历观察、操作、推理、交流等过程，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力；2、在具体情景中了解补角、余角、对顶角，知道等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等，并能解决一些实际问题．教学重点：1、余角、补角、对顶角的概念；2、理解等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等．教学难点：理解等角的余角相等、等角的补角相等．判断是否是对顶角．教学过程：内容一：展示桌球运动中球入袋的情景，观察图中各角与∠1之间的关系：∠adf＋∠1＝180 ；∠adc＋∠1＝180 ；∠bdc＋∠1＝180 ；∠edb＋∠1＝180 ；∠2＝∠1……教学中要鼓励学生自己去寻找，但是不要求学生说出图中所有的角与∠1的关系．在对图中角的关系的充分讨论的基础上，概括出互为余角和互为补角的概念．教师提醒学生：互为余角、互为补角仅仅表明了两个角之间的度量关系，并没有对其位置关系作出限制．（为下面的对顶角的学习作铺垫）想一想：在右图中，（1）哪些互为余角？哪些互为补角？（2）∠adc与∠bdc有什么关系？为什么？（3）∠adf与∠bde有什么关系？为什么？让学生探索出“同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等”的结论．鼓励学生用自己的语言表达，并说明理由．内容二：议一议：（1）用剪刀剪东西的时候，哪对角同时变大或变小？（2）如果将剪刀简单的表示为右图，那么∠1和∠2有什么位置关系？它们的大小有什么关系？能试着说明理由吗？由此引出对顶角的概念和“对顶角相等”的结论．学生观察的演示过程，获得直观的体会，在观察中总结出对顶角的特征，并用自己的语言表达出来．思考：如图所示，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数，你能说出所量角的度数是多少度吗？你的根据是什么？小结：（1）余角、补角的概念．（2）同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等．（3）对顶角的概念和“对顶角相等”．作业：课本p52 习题2.1：1、2、3．教学后记：学生对补角、余角、对顶角等概念有了一个初步的认识．会求一个角的余角、补角，能在简单的图形中找到对顶角．但对“等角的余角相等、等角的补角相等”不能很好地理解．。
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（3） ADF 与 BDE 有什么关系？为什么？
ADF BDE 180 1
同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等．
（1）用剪子剪东西时，那对角同时变大或变小？ A C 2 O 1 D B
（2）如果将左上图简单地表示为右上图，那么 1 与 2 的位置有什么关系？它们的大小有什么关系？ 能试这说明你的理由吗？
方法二：可利用补角得出．
C
A 1、OA⊥OB，OC⊥OD， 且∠COB=50°， 则 ∠AOD= 130° 。
O 2、已知∠α= 48°21′则∠α的余角 41°39′ 等于________，补角等于________ 131°39′ 3、一个角的补角是它的余角的3倍，则这个角为 （ C ） A、22.5° B、50° C、45° D、135°
E
1
D
2
F
在上图中：
A C
B
（1）那些角互为余角？那些角互为补角？ 互为余角： ADC与1, ADC与2,
BDC与1, BDC与2,
互为补角： ADF与1, ADF与2,
BDE与1, BDE与2,
E
1
D
2
F
A C
B
（2） ADC 与 BDC 有什么关系？为什么？
B
D
余角、补角、对顶角的概念：
（1） 和为直角的两个角称互为余角； （2） 和为平角的两个角称互为补角； （3）两直线相交有多少对对顶角？
余角、补角、对顶角的性质：
（1） 同角或等角的余角相等； （2） 同角或等角的补角相等；
（3） 对顶角相等。
P4.9
如图，直线AB与CD相交于点O, 1 与 2 有公共点O，它们的两边互为反向 延长线，这样的两个角叫做对顶角 （vertical angles）. 图中还有其他的角构成对顶角吗？
A O
2
C
1 D B
对顶角相等
如图所示，有一个破损 的扇形零件，利用图中的量 角器可以量出这个扇形零件 的圆心角的度数吗？你能说 出所量角是多少度吗？你的 根据是什么？ 答：40° 方法一：可利用对顶角相等得出．
2.1 台球桌面上的角
如图所示，打台球时，选择适当的方向用白球 击打红球，反弹后的红球会直接入袋. 此时 1 2．
1
2
将上述问题的图形简单表示为，其中CD与 EF垂直，各个角与 1 有什么关系？ E
1
D
2
F
A C
B
如果两个角的和是直角，那么称这两个角 互为余角（complementary angle）. 如果两个角的和是平角，那么称这两个角 互为补角（supplementary angle）.