与三角形有关的角
与三角形有关的角(提高) 知识讲解(82)
与三角形有关的角（提高）知识讲解
【要点梳理】
要点一、三角形的内角
1. 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．
要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：
①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；
②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；
③求一个三角形中各角之间的关系．
2. 直角三角形：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形.
要点诠释：如果直角三角形中有一个锐角为45°，那么这个直角三角形的另一个锐角也是45°，且此直角三角形是等腰直角三角形.
要点二、三角形的外角
1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.
要点诠释：
(1)外角的特征：
①顶点在三角形的一个顶点上；
②一条边是三角形的一边；
③另一条边是三角形某条边的延长线．
（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．
2．性质：
（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．
要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．
3.三角形的外角和：
三角形的外角和等于360°.
要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．
专题02 与三角形相关的角(知识点串讲)(解析版)
专题02 与三角形有关的角
知识网络
重难突破
一、三角形的内角和等于180°
1. 三角形三个内角和等于180°．
2．几种常见的证明三角形内角和为180 的方法：
①添加平行线： 2211
22
1
1 ②折叠：
332211
③把三角形的三个内角剪下来能拼成一个平角．
典例1．（2021·山西九年级二模）在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【分析】根据“直角三角形两锐角互余”是由三角形内角和定理推导的判断即可．
【解析】解：∵“直角三角形两锐角互余” 是由三角形内角和定理推导的
即，作CD AB ⊥后，利用直角三角形两锐角互余得到三角形内角和是180°的证明方法不正确， 故选：C ．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，要证明三角形的内角和等于180°即三角形三个内角的和是平角，就要作辅助线，使得三角形的三个内角的和转化成组成平角的三个角之和．
典例2．（2021·全国）直角三角形的两个锐角的度数比为1：3，则较小的锐角是__．
【答案】22.5°．
【分析】设两个锐角度数为x °，3x °，根据直角三角形中两个锐角互余列方程求解即可．
【解析】设两个锐角度数为x °，3x °，
由题意得：x +3x ＝90，
解得：x ＝22.5，
∴较小的锐角是22.5°．
故答案为：22.5°．
【点睛】本题考查了直角三角形两个锐角互余，以及一元一次方程的应用，根据性质列出方程是解答本题的关键．
典例3．如图，ABC 中，50A ∠=︒，点E ，F 在,AB AC 上，沿EF 向内折叠AEF ，得DEF ，则图中12∠+∠等于（ ）
与三角形有关的角 教案
与三角形有关的角教案
以下是查字典数学网为您推荐的与三角形有关的角教案，希望本篇文章对您学习有所帮助。
与三角形有关的角
第一课时 7.2-1 三角形的内角
重点：三角形的内角和定理
难点：三角形的内角和定理
一、阅读教材P72-P74的内容
二、独立思考
1、在ABC中，(1)若A=40B=30,则C=___________;(2)若
A=50B=C，则C=______________。
2、三角形的三个内角之比为2：3：4，则这个三角形的最大内角是__________。
3、ABC中，A= B= C，求出A，，C的度数，并判断它是什么三角形。
4、ABC中，(1)若B=C，则ABC是__________三角形;(2)若A=3(C)，则A的度数是__________。
5、三角形的三个内角中，最多有__________个锐角，最少有_________个锐角。
:怎样证明任意一个三角形的内角和为180度。
:用其他的方法解教材P73例1。
一、课堂练习：
1、教材P74练习第1、2题;
2、教材P76习题7.2第1题
2、如图，2+4等于多少度?
二、作业布置
1、教材P76习题7.2第3、4题，P77习题7.2第7题
三、自我检测
(一)选择题
1、下列不能判定三角形是直角三角形的条件是( )
A、B=C
B、B= C
C、A=90B
D、B=90
2、在ABC的内角中( )
A、最多有两个锐角
B、至少有一个直角
C、至少有两个锐角
D、至少有一个钝角
3、如图所示，已知ABBD，ACCD，A=45，则D度数为( )
A、45
B、55
C、65
D、35
第二节 与三角形有关的角-学而思培优
第二节与三角形有关的角-学而思培优
第二节与三角形有关的角
本节主要讲解三角形内角和定理、三角形外角和定理以及它们的应用。同时，介绍了一些几何模型和思想方法，帮助学生更好地理解和掌握这些知识点。
1.三角形内角和定理及其应用
三角形内角和定理指出，三角形三个内角的和是180度。这个定理在解决三角形相关问题时非常有用，可以用来求解未知角度，证明角之间的关系等。
2.三角形的外角
三角形的外角是指三角形一边与另一边的延长线组成的角。它有一些重要的性质，例如一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。此外，三
角形外角和定理指出，三角形外角和是360度。这些性质和定理可以用来求解未知角度，证明角之间的关系等。
3.几何模型
在研究三角形内角和定理和三角形外角和定理时，可以使用一些几何模型来帮助理解和记忆。例如，“小旗”模型、“飞镖”模型、“8”字模型和角平分线相关模型等。
4.思想方法
在解决三角形相关问题时，可以使用分类讨论、方程思想等思想方法，帮助学生更好地理解和解决问题。
基础演练
1.若副三角板按图11-2-1所示方式叠放在一起，则图中角α的度数是65度。
2.在△ABC中，若∠XXX∠C=∠XXX，∠A=∠ABD，则∠A的度数为72度。
3.已知等腰三角形的一个内角为40度，则这个等腰三角
形的顶角为100度。
4.(1) 在△ABC中，若∠A:∠B:∠C=2:3:4，则∠A=40度，∠B=60度，∠C=80度。
2) 在△ABC中，若∠A=∠B=11，则∠C=58度。
3) 若三角形的三个外角的比是2:3:4，则这个三角形按角
【能力培优】与三角形有关的角(含答案)
11.2与三角形有关的角
专题一利用三角形的内角和求角度
1．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点，∠A=50°，则∠D=（）
A．15° B．20° C．25° D．30°
2．如图，已知：在直角△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D. 若AP平分∠BAC且交BD于P，求∠BPA的度数．
3．已知：如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：__________；
（2）在图2中，若∠D=40°，∠B=30°，试求∠P的度数；（写出解答过程）
（3）如果图2中∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试写出∠P与∠D、∠B之间的数量关系．（直接写出结论即可）
专题二利用三角形外角的性质解决问题
4．如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A=50°，∠D=10°，则∠P的度数为（）
A．15°B．20° C．25° D．30°
5．如图，△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，CE是AB边上的高，若∠A=40°，
∠B=72°．
（1）求∠DCE的度数；
（2）试写出∠DCE与∠A、∠B的之间的关系式．（不必证明）
6．如图：
（1）求证：∠BDC=∠A+∠B+∠C；
（2）如果点D与点A分别在线段BC的两侧，猜想∠BDC、∠A、∠ABD、∠ACD这4个角之间有怎样的关系，并证明你的结论．
专题02 与三角形有关的角(八大类型)(原卷版)
专题02 与三角形有关的角（八大类型）
【题型1 运用三角形内角和直接求角的度数】
【题型2 三角形内角和定理与角平分线、高的综合运算】
【题型3 三角形内角和定理与平分线的性质综合运用】
【题型4三角形内角和定理与折叠问题综合】
【题型5三角形内角和定理与新定义问题综合】
【题型6 运用三角形内角和定理探究角的数量关系】
【题型7 判断直角三角形】
【题型8 运用直角三角形两锐角互余的性质】
【题型1 运用三角形内角和直接求角的度数】
1．（2023•石家庄三模）根据图中的数据，可得x+y的值为（）
A．180B．110C．100D．70 2．（2023春•渝中区校级期中）△ABC中，若∠A+∠B＝4∠C，则∠C度数为（）
A．32°B．34°C．36°D．38°3．（2023春•沈北新区期中）△ABC中，∠A＝45°，∠B＝63°，则∠C＝（）A．72°B．92°C．108°D．180°4．（2023春•历下区期中）如图，在△ABC中，∠B的度数是（）
A．20°B．30°C．40°D．60°
【题型2 三角形内角和定理与角平分线、高的综合运算】
5．（2023•合肥模拟）如图，△ABC中，BD⊥AC，BE平分∠ABC，若∠A＝2∠C，∠DBE＝20°，则∠ABC＝（）
A．50°B．60°C．70°D．80°6．（2023春•东台市月考）如图，AD是△ABC的角平分线，且AD⊥BC，E为CA延长线上的点，过E作EG⊥BC于G，交AB于点F．
（1）试说明∠3＝∠E；
（2）若∠B＝32°，求∠E的度数．
7．（2023春•朝阳区校级期中）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE 为角平分线，若∠BFC＝114°，求∠BCF的度数．
与三角形有关的角知识点归纳
6x Ｂ
Ｄ Ｃ
Ａ 第(3)题 第(4)
与三角形有关的角知识点归纳
知识点篇:
知识点一：三角形的内角和定理:三角形内角和为180°
知识点二:三角形外角的性质:1.三角形的一个外角与相邻的内角互补;2.三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和;3. 三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角.
基础篇:
(1)在△ABC 中，若7836A '∠=，5724B '∠=，则C ∠= ．
(2) 在ABC △中，BC 边不动，点A 竖直向上运动，A ∠越来越小，B C ∠∠，越来越大．若A ∠减少α度，B ∠增加β度，C ∠增加γ度，则αβγ，，三者之间的等量关系是 ．
(3)如图，在Rt ADB △中，90D ∠=，C 为AD 上一点，则x 可能是 （ ） Ａ.10 Ｂ20 Ｃ.30
Ｄ40
(4)如图， 在锐角△ABC 中，CD 、BE 分别是AB 、AC 上的高，• 且CD 、BE 交于一点P ， 若∠A=50°，则∠BPC 的度数是（ ） （A ）150° （B ）130°（C ）120°（D ）100°
(5)四边形ABCD 中，如果∠A+∠C+∠D=280°，则∠B 的度数是（ ） （A ）80° （B ）90°（C ）170°（D ）20°
(6)若一个多边形的内角和等于1080°,则这个多边形的边数是( ) （A ）9 （B ）8 （C ）7 （D ）6
方法篇:
A.注意方程思想的应用 例题1．已知△ABC 中,
(1)∠A=20°,∠B －∠C=40°,则∠B=____°; (2)∠A=120°,2∠B+∠C=80°,则∠B=___°; (3)∠B=∠A+40°,∠C=∠B-50°,则∠B=_____°; (4)∠A:∠B:∠C=1:3:5,则∠B=_____°.
与三角形有关的角
与三角形有关的角
一、三角形的内角和定理
三角形的内角和等于180°．
证明三角形内角和定理的几种辅助线的作法： （1）如图①，过点A 作DE ∥BC ；
（2）如图②，过BC 上任意一点，作DE ∥AC ，DF ∥AB ； （3）如图③，过点C 作射线CD ∥AB ．
A
B
C A
B
C A
B
C
D
E
D E
F
D
①
②③
二、三角形的外角及其性质
三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 性质1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 性质2：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．
A
B
C
D
知识点一：三角形的内角和定理
例1. 已知一个三角形三个内角的度数比是1∶5∶6，则其最大内角的度数为（ ） A. 60° B. 75° C. 90° D. 120°
例2. 如图所示，D 是△ABC 的BC 边上一点，∠B ＝∠BAD ，∠ADC ＝80°，∠BAC ＝70°，求：
（1）∠B 的度数； （2）∠C 的度数．
A
B
C
D
例3. 如图所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝40°，AD 是BC 边上的高，AE 平分∠BAC ，求∠DAE 的度数．
A
B
C
D E
例4. 如图所示，已知在△ABC 中，∠A ＝60°，∠B 与∠C 的角平分线相交于点D ．求∠BDC 的度数．
A
B
C D
知识点二：三角形的外角
例5. 如图所示，△ABC 中，∠A ＝90°，∠D 是∠B 、∠C 的外角平分线的夹角，求∠D 的度数．
A
B C
D
E
F
1
23
4
例6. 如图所示，∠C ＝48°，∠E ＝25°，∠BDF ＝140°，求∠A 与∠EFD 的度数．
与三角形有关的角
∴∠DAC=12 ∠EAC(角平分线的定义).
∴∠DAC=∠C(等量代换).
例题是运 用了“内 错角相等, 两直线平 行”得到 了证实.
∴ AD∥BC (内错角相等,两直线平行).
想一想
一题多解思维灵活
例1 已知:如图,在△ABC中,AD平分 外角∠EAC,∠B= ∠C.
AE· D
则AD ∥ BC,请说明理由
∴ ∠B C A +∠A +∠B = 180° ﹙ 等量代换﹚
证法三
已知：△A B C. 求证：∠A +∠B +∠C=180°。
A
B
C
证法三
已知：△A B C. 求证：∠A +∠B +∠C=180°。
A
B
C
证法三
已知：△A B C. 求证：∠A +∠B +∠C=180°。
A
B
C
证法三
已知：△A B C. 求证：∠A +∠B +∠C=180°。
﹙一﹚什么是三角形？三角形的表示方法是 什么？
﹙二﹚三角形中的主要线段。
﹙三﹚三角形三边的关系。
人教版八年级上册
11.2与三角形有关的角
（第1课时）
外角
请同学们自己任意画一个三角形,三个 内角的度数是多少度？小组交流。
如何证明这个结论的正确性？
与三角形有关的角课件
)
又 ∵∠2+∠1+∠BAC=180° E
∴∠B+∠C+∠BAC=180°
A
21
F
注意:辅助线应该用虚线表示
B
C
三角形的内角和等于1800.
证法2：作BC的延长线CD，
过C作CE∥BA，
∵ CE∥BA
∴∠B=∠2 (两直线平行，同位角相等) A
∠1=∠A(两直线平行， 内错角相等) 又∵∠1+∠2+∠ACB=180°
一 、选择题
(1) 在△ABC中，∠A:∠B:∠C =1:2:3，则∠B =（ B ）
A. 300 B. 600 C. 900 D. 1200
(2) 在△ABC中，∠A =500, ∠B =800,则∠C =（ B ）
A. 400 B. 500 C. 100 D. 1100
（3）在△ABC中，∠A =800, ∠B =∠C，则∠B =（ A ）
分析：根据三角形内角和定理可知：
∠A+∠B+∠C=1800，然后结合已知条件便可以求出
.解：在△ABC中， ∠A+∠B+∠C=1800（三角形內角和定理） 联立∠A-∠C=250，∠B-∠A=100可得， ∠A=650，∠B=750，∠C=400
答：∠B的度数是750.
4.如图：已知在△ABC中， EF与AC交于点G，与BC的延
与三角形的角有关模型
与三角形有关的角
基础知识点回顾：
1、三角形的内角：三角形的内角和为180°；
2、三角形的外角：三角形一边与另一边延长线组成的角；
三角形外角定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
知识讲解概览：
1、“8”字模型
2
3
一、“8
（1）“8
（2
例1
例2H。求证：2∠
（1
（2
（3
例3G－∠DAE＝
2019-8-5
第二节 与三角形有关的角-学而思培优
第二节与三角形有关的角一、课标导航
二、核心纲要
1.三角形内角和定理及其应用
180
(1)三角形内角和定理：三角形三个内角的和是.
(2)三角形内角和定理的应用
①在三角形中已知两角可求第三角，或已知各角之间关系，求各角；
②证明角之间的关系．
2．三角形的外角
(1)定义：三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
(2)性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，
三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．
360
(3)三角形外角和定理：三角形外角和是.
(4)三角形外角的性质的应用
①已知外角和与它不相邻两个内角中的一个可求“另一个”；
②可证一个角等于另两个角的和；
③利用它作为中间关系式证明两个角相等；
④利用它证明角的不等关系．
3．几何模型
4．思想方法 (1)分类讨论． (2)方程思想，
本节重点讲解：一个性质（外角的性质），两大定理（三角形内、外角和定理），两个思想，四个模型（“小旗”模型，“飞镖”模型，“8”字模型和角平分线相关模型）．
三、全能突破
基 础 演 练
1．-副三角板，按图11-2—1所示方式叠放在一起，则图中α∠的度数是( )．
75.A o B 60. 65.C o D 55.
2．如图11-2 -2所示，在△ABC 中，,,ABD A BDC C ABC ∠=∠∠=∠=∠则A ∠的度数为( )．
36.A 72.B 108.C 144.D
3．我们知道：等腰三角形的两个底角相等，已知等腰三角形的一个内角为,40
则这个等腰三角形的顶角 为( )．
40.A 100.B o C 10040.或 005070.或D
人教版八年级上册 第十一章《三角形》—与三角形相关的角解答题、证明题训练(附有答案)
第十一章《三角形》与三角形有关的角
证明题及解答题训练
1.已知，如图D是△ABC中BC边延长线上一点，DF⊥AB交AB于F，交AC于E，∠A＝46°，∠D＝50°．求∠ACB的度数．
2.已知，如图△ABC中，三条高AD、BE、CF相交于点O．若∠BAC＝60°，
求∠BOC的度数．
3.已知，如图△ABC中，∠B＝65°，∠C＝45°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC 的平分线．求∠DAE的度数．
4.已知：AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，且AD∥BC．求证：∠B＝∠C．
5.已知，如图CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，BE是∠ABC内任一射线，交CE于E．求证：∠EBC＜∠ACE．
6.已知：如图P是△ABC内任一点，
(1)求证：AB＋AC＞BP＋PC．(2)求证：∠BPC＞∠A．
7.如图，△ABC中，∠B＝34°，∠ACB＝104°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC 的平分线，求∠DAE的度数．
8.如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，∠B=50°，∠BAD=30°，将△ABD
沿AD折叠得到△AED，AE与BC交于点F.
（1）填空：∠AFC=______度；
（2）求∠EDF的度数.
9.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC.若∠ABC＝64°，∠AEB＝70°，求∠CAD的度数．
10.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC.（此题为求同一顶点的角平分线与高线的夹角的度数）
(1)若∠C＝70°，∠B＝40°，求∠DAE的度数；
(2)若∠C－∠B＝30°，求∠DAE的度数；
初中数学知识点总结：与三角形有关的线段、角
初中数学知识点总结：与三角形有关的线段、角
知识点总结
【一】三角形的有关概念
1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接
组成的图形叫三角形。
三角形的特征：①不在同一直线上;②三条线段;③首尾
顺次相接;④三角形具有稳定性。
2.三角形中的三条重要线段：角平分线、中线、高
(1)角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对
边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
(2)中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的
线段叫做三角形的中线。
(3)高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
说明：①三角形的角平分线、中线、高都是线段;
②三角形的角平分线、中线都在三角形内部且都交于一点;三角形的高可能在三角形的内部(锐角三角形)、外部(钝角三角形)，也可能在边上(直角三角形)，它们(或延长线)相交于一点。
【二】三角形的边和角
三边关系：三角形中任意两边之和大于第三边。
由三边关系可以推出：三角形任意两边之差小于第三边。
【三】三角形内、外角的关系
1.三角形的内角和等于180°。
2.直角三角形的两个锐角互余。
3.三角形的一外角等于和它不相邻的两个内角之和，三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
4.三角形的外角和为360°。
【四】等腰三角形与直角三角形:
1.等腰三角形：有两条边相等的三角形称为等腰三角形，相等的两边叫做等腰三角形的腰，三条边都相等的三角形叫做等边三角形(或正三角形)。
说明：等边三角形是等腰三角形的特殊情况。
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第2讲与三角形有关的角
一、知识重点
1．三角形内角和定理
(1)定理：三角形三个内角的和等于180°.
(2)证明方法：
(3)理解与延伸：
因为三角形内角和为180°，所以延伸出三角形中很多的角的特定关系如：①一个三角形中最多只有一个钝角或直角；②一个三角形中最少有一个角不小于60°；③直角三角形两锐角互余；④等边三角形每个角都是60°等．
(4)作用：已知两角求第三角或已知三角关系求角的度数．
谈重点三角形内角和定理的理解三角形内角和定理是最重要的定理之一，是求角的度数问题中最基础的定理，应用非常广泛．
【例1】填空：
(1)在△AB C中，若∠A＝80°，∠C＝20°，则∠B＝__________°；
(2)若∠A＝80°，∠B＝∠C，则∠C＝__________°；
(3)已知△ABC的三个内角的度数之比∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，则∠B＝__________°，∠C＝__________°.
2．直角三角形的性质与判定
(1)直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余．
如图所示，在Rt△ABC中，如果∠C＝90°，那么∠A＋∠B＝90°.
【例2－1】将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α＝43°，则∠β的度数是()．
A．43°B．47°C．30°D．60°
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答案：B
(2)直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．
如图所示，在△ABC中，如果∠A+∠B=90°，那么∠C=90°，即△ABC是直角三角形．
【例2－2】如图所示，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，求证：△EPF是直角三角形．
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3．三角形的外角
(1)定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．如图，∠ACD 就是△ABC其中的一个外角．
(2)特点：①三角形的一个外角和与它同顶点的内角互为邻补角，这是内、外角联系的纽带．
②一个三角形有6个外角，其中两两互为对顶角，如图所示．
破疑点三角形外角的理解外角是相对于内角而言的，也是三角形中重要的角，一个角对一个三角形来说是外角，而对于另一个三角形来说可能是内角；三角形的角是指的三角形的内角，这点要注意．
【例3】在△ABC中，∠A等于和它相邻的外角的四分之一，这个外角等于∠B的两倍，那么∠A＝__________，∠B＝__________，∠C＝__________.
4.三角形外角性质
(1)性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．如图所示：∠1＝∠B＋∠C(或
∠B＝∠1－∠C，∠C＝∠1－∠B)．
注意：三角形的外角和不是所有外角的和，是每个顶点处取一个外角，是一半数目外角的和.
(2)作用：①求角的度数，在外角、不相邻的两内角中知道两角能求第三角，也能求出相邻内角的度数；
②证明角相等，一般是把外角作为中间关系式证明角相等．
析规律三角形外角的性质的理解①三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角和，是由三角形内角和是180°和邻补角关系推导出来的，是它们应用的延伸，所以用这个性质能得出的结论，用三角形内角和也能推出，但走了弯路．②因为三角形外角是通过图表现出来的，具有隐蔽性，所以应用时要注意观察图形．
【例4】如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1＋∠2＝__________.
5．三角形外角和
(1)定义(规定)：如图所示，在每一个顶点上取一个外角，如∠1，∠2，∠3，它们的和叫做三角形的外角和．
(2)三角形外角和定理：三角形的外角和等于360°.
注意：三角形的外角和不是所有外角的和，是每个顶点处取一个外角，是一半数目外角的和．
【例5】如图所示．用两种方法说明∠1＋∠2＋∠3＝360°.
点评：同一顶点上的内、外角互为邻补角是内、外角关系转换的最基础的依据．
6.三角形内角和定理应用
三角形内角和定理是三角形中最重要的定理之一，是三角形中关于角度计算的基础，也是其他多边形求角度数问题必备的基础知识，目前它的应用方式主要表现在以下几个方面：
(1)已知两角求第三角
这是内角和定理最简单、直接的应用，一般是直接或间接给出三个内角中的两角，求第三角，比较简单，直接用180°减去两角度数得出，往往与考查角的单位换算相联系．
(2)已知三角的比例关系求各角
这类题目一般给出三个角的比例关系，通过设未知数列方程的方法求解，一般是设每一份为x度，用含未知数的式子分别表示出每一个角的度数，根据它们的和是180°列方程求解，然后再求出每一个角的度数．有时是通过求角的度数判断三角形的形状，但熟练后从比例关系中可以直接确定三角形的形状．
(3)已知三角之间相互关系求未知角
这类题目一般是已知各角之间的和、差、倍、分等的数量关系，通过等式变形，用一共同的角表示其他两角，然后根据内角和是180°列出等式，求出其中一角，然后再根据它们之间的数量关系分别求出另两角，有时也可以列方程(组)求角的度数．
解技巧利用三角形内角和求三角形的内角运用三角形内角和定理求角的度数题目形式多样，方法也不同，要根据实际灵活运用．
7．三角形外角性质的应用
外角性质应用：三角形外角性质是三角形角度计算中的重要定理，也是求角度运算中常用的定理．如图所示，∠1是△ABC的一个外角，在∠1，∠B，∠C三个角中，知道任意两个角就可以求出第三个角．
①∠1＝∠B＋∠C；
②∠B＝∠1－∠C；
③∠C＝∠1－∠B.
破疑点利用三角形外角的性质求一个角的方法因三角形外角的性质是由三角形内角和与邻补角定义推出的，所以用外角性质能进行的运算，用三角形内角和也能进行运算，但有外角时，应用外角性质更简便，所以要改变原来习惯用三角形内角和定理的思维定式，学会运用外角性质定理解决问题．
8．三角形内角和定理、外角性质、平行线性质综合运用
三角形内角和定理、外角性质定理都反映了角之间的数量关系，在求角度数问题中占有重要地位．同样平行线中也蕴含了大量的角之间的关系(两直线平行，内错角相等、同位角相等、同旁内角互补)，因此它们常常结合在一起，综合应用，通过角的等量转化，以求角的度数或证明角相等．
解技巧三角形内角和、外角性质的综合运用因为三角形的内角、外角以及形成的邻补角、对顶角等都是通过图形反映出来的，在已知中不提及，因此运用时要注意观察图形，善于发现各角之间的位置关系，进而确定它们的大小关系．
【例6－1】在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，则∠C＝__________°.
【例6－2】已知在△ABC中，∠A＝40°，∠B－∠C＝40°，则∠B＝__________，∠C ＝__________.
【例6－3】在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝5∶3∶2，那么△ABC是()．
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．任意三角形
【例6－4】锐角三角形的三个内角是∠A，∠B，∠C.如果∠α＝∠A＋∠B，∠β＝∠B ＋∠C，∠γ＝∠C＋∠A，那么∠α，∠β，∠γ这三个角中()．
A．没有锐角B．有1个锐角
C．有2个锐角D．有3个锐角
【例7】填空：(1)如图(1)，P为△ABC中BC边的延长线上一点，∠A＝50°，∠B＝70°，则∠ACP＝________°.
(2)如图(2)所示，已知∠ABE＝142°，∠C＝72°，则∠A＝__________°，∠ABC＝__________°.
(3)如图(3)，∠3＝120°，则∠1－∠2＝________°.