最优化方法复习题66882.docx

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《最优化方法》复习题(含答案)

附录5 《最优化方法》复习题

1、设n n A R ⨯∈是对称矩阵，,n b R c R ∈∈，求1()2

T f x x Ax b x c =++在任意点x 处的梯度和Hesse 矩阵．

解 2(),()f x Ax b f x A ∇=+∇=．

2、设()()t f x td ϕ=+，其中:n f R R →二阶可导，,,n n x R d R t R ∈∈∈，试求()t ϕ''．解 2()(),()()T T t f x td d t d f x td d ϕϕ'''=∇+=∇+．

3、设方向n d R ∈是函数()f x 在点x 处的下降方向，令

()()()()()

T T

dd f x f x H I d f x f x f x ∇∇=--∇∇∇，其中I 为单位矩阵，证明方向()p H f x =-∇也是函数()f x 在点x 处的下降方向．证明由于方向d 是函数()f x 在点x 处的下降方向，因此()0T f x d ∇<，从而

()()()T T f x p f x H f x ∇=-∇∇

()()()()()()()()

T T

T T dd f x f x f x I f x d f x f x f x ∇∇=-∇--∇∇∇∇

()()()0T T f x f x f x d =-∇∇+∇<，

所以，方向p 是函数()f x 在点x 处的下降方向．

4、n S R ⊆是凸集的充分必要条件是12122,,,,,,,,m m m x x x S x x x ∀≥∀∈L L 的一切凸组合都属于S ．

最优化复习题及答案

一、选择题

1. 最优化问题中，目标函数的值随着决策变量的变动而变动，我们称之为：

A. 约束条件

B. 可行域

C. 目标函数

D. 决策变量

答案：C

2. 在线性规划问题中，如果所有约束条件和目标函数都是线性的，则该问题被称为：

A. 非线性规划

B. 整数规划

C. 线性规划

D. 动态规划

答案：C

3. 以下哪个算法是用于求解无约束最优化问题的？

A. 单纯形法

B. 梯度下降法

C. 拉格朗日乘子法

D. 分支定界法

答案：B

二、填空题

4. 在最优化问题中，满足所有约束条件的解称为________。

答案：可行解

5. 当目标函数达到最大值或最小值时的可行解称为________。

答案：最优解

6. 拉格朗日乘子法主要用于求解带有等式约束条件的________问题。

答案：最优化

三、简答题

7. 简述单纯形法的基本思想。

答案：单纯形法是一种用于求解线性规划问题的算法。它通过在可行域的顶点之间移动，逐步逼近最优解。在每一步中，选择一个进入基的变量，使得目标函数值增加最多，同时选择一个离开基的变量，使得目标函数值不降低。通过这种方法，单纯形法能够找到线性规划问题的最优解。

8. 解释什么是局部最优解和全局最优解。

答案：局部最优解是指在目标函数的邻域内没有其他解比当前解更优的解。而全局最优解是指在整个可行域内没有其他解比当前解更优的解。局部最优解不一定是全局最优解，但全局最优解一定是局部最优解。

四、计算题

9. 假设有一个生产问题，需要最小化成本函数 C(x, y) = 3x + 4y，其中 x 和 y 分别表示生产两种产品的产量，且满足以下约束条件： - 2x + y ≤ 12

最优化方法(试题+答案)

一、填空题
1.若，则， .
2.设连续可微且，若向量满足，则它是在处的一个下降方向。
3.向量关于3阶单位方阵的所有线性无关的共轭向量有.
4.设二次可微，则在处的牛顿方向为.
5.举出一个具有二次终止性的无约束二次规划算法：.
6.以下约束优化问题：
的K-K-T条件为：
.
7.以下约束优化问题：
2.采用精确搜索的BFGS算法求解下面的无约束问题：
3.用有效集法求解下面的二次规划问题：
4.用可行方向算法（Zoutendijk算法或Frank Wolfe算法）求解下面的问题（初值设为 ,计算到即可)：
参考答案
一、填空题
1. 2. 3. ，（答案不唯一）。4.
5. 牛顿法、修正牛顿法等（写出一个即可）
0
1/2
1
2
2
3.解：取初始可行点求解等式约束子问题
得解和相应的Lagrange乘子
转入第二次迭代。求解等式约束子问题
得解
令
转入第三次迭代。求解等式约束子问题
得解和相应的Lagrange乘子
由于，故得所求二次规划问题的最优解为
，
相应的Lagrange乘子为
4.解：计算梯度得
当时，， . 是下面线性规划问题的解：
当时，，，故；
当时，，，故 .

《最优化方法》课程复习考试

《最优化方法》复习提要第一章最优化问题与数学预备知识

§1. 1 模型

无约束最优化问题 12min (),(,,

,)T n n f x x x x x R =∈．

约束最优化问题（},,2,1,0)(;,,2,1,0)(,|{l j x h m i x g R x x S j i n ===≥∈=∧

）

min ();...f x s t x S ⎧⎨

∈⎩ 即 m i n ();

..()0,1,2,,,

()0,1,2,

i j f x s t g x i m h x j l ⎧⎪

≥=⎨⎪==

⎩

其中()f x 称为目标函数，12,,

,n x x x 称为决策变量，S 称为可行域，

()0(1,2,

,),()0(1,2,

,)i j g x i m h x j l ≥===称为约束条件．

§1. 2 多元函数的梯度、Hesse 矩阵及Taylor 公式

定义设:,n n f R R x R →∈．如果n ∃维向量p ，n x R ∀∆∈，有

()()()T f x x f x p x o x +∆-=∆+∆．

则称()f x 在点x 处可微，并称()T df x p x =∆为()f x 在点x 处的微分．

如果()f x 在点x 处对于12(,,

,)T n x x x x =的各分量的偏导数

()

,1,2,,i

f x i n x ∂=∂

都存在，则称()f x 在点x 处一阶可导，并称向量

()()

()()(

,,,

f x f x f x f x x x x ∂∂∂∇=∂∂∂ 为()f x 在点x 处一阶导数或梯度．

最优化方法试卷及答案5套

《最优化方法》1

一、填空题：

1．最优化问题的数学模型一般为：____________________________，其中

___________称为目标函数，___________称为约束函数，可行域D 可以表示

为_____________________________，若______________________________，

称*x 为问题的局部最优解，若_____________________________________，称*x 为问题的全局最优解。

方向导数为___________________，几何意义为_________________________

___________________________________。

3．设严格凸二次规划形式为：

012.

.222)(min 21212

221≥≥≤+--+=x x x x t s x x x x x f

则其对偶规划为___________________________________________。

4．求解无约束最优化问题：n R x x f ∈),(min ，设k x 是不满足最优性条件的第k 步迭代点，则：

《最优化方法》复习题(含答案)

附录5 《最优化方法》复习题

1、设n n A R ⨯∈是对称矩阵，,n b R c R ∈∈，求1()2

T f x x Ax b x c =++在任意点x 处的梯度和Hesse 矩阵．

解 2(),()f x Ax b f x A ∇=+∇=．

2、设()()t f x td ϕ=+，其中:n f R R →二阶可导，,,n n x R d R t R ∈∈∈，试求()t ϕ''．解 2()(),()()T T t f x td d t d f x td d ϕϕ'''=∇+=∇+．

3、设方向n d R ∈是函数()f x 在点x 处的下降方向，令

()()()()()

T T

()()()T T f x p f x H f x ∇=-∇∇

()()()()()()()()

T T

T T dd f x f x f x I f x d f x f x f x ∇∇=-∇--∇∇∇∇

()()()0T T f x f x f x d =-∇∇+∇<，

所以，方向p 是函数()f x 在点x 处的下降方向． 4、n S R ⊆是凸集的充分必要条件是12122,,,

,,,,

,m m m x x x S x x x ∀≥∀∈的一切

凸组合都属于S ．

最优化方法试卷及答案5套.docx

《最优化方法》1

一、填空题:

1. _______________________________________________________ 最优化问题的数学模型一般为：_____________________________________________ ,其中

___________ 称为目标函数，___________ 称为约束函数，可行域D可以表示

为_______________________________ ，若 ________________________________ ，称/为问题的局部最优解，若为问题的全局最优解。

2.设f(x)= 2斤+2“2-兀|+5花，则其梯度为

__________ ^x = (l,2)r?6/ = (l,0)r,则f(x)在壬处沿方向d的一阶方向导数为

___________ ，几何意义为_____________________________________ ，二阶

方向导数为____________________ ,几何意义为_____________________________

3.设严格凸二次规划形式为：

min /(%) = 2兀］2 + 2x； - 2兀］-x2

s.t. 2%! 4- x2 < 1

> 0

x2 > 0

则其对偶规划为_______________________________________________

min%（d ） = f （x k +ad k ）

的最优步长为务=—叫）F.

d kT Gd k

2. （10分）证明凸规划

最优化方法(试题+答案)

一、填空题

1.若()()⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫

⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=212121

312112)(x x x x x x x f ，

则=∇)(x f ，=∇)(2x f .

2.设f 连续可微且0)(≠∇x f ，若向量d 满足，则它是f 在x 处的一个下降方向。

3.向量T

)3,2,1(关于3阶单位方阵的所有线性无关的共轭向量有 . 4. 设R R f n →:二次可微，则f 在x 处的牛顿方向为 . 5.举出一个具有二次终止性的无约束二次规划算法： .

6.以下约束优化问题：

)(01)(..)(min 212121

≥-==+-==x x x g x x x h t s x x f

的K-K-T 条件为：

. 7.以下约束优化问题：

..)(min 212

21=++=x x t s x x x f

的外点罚函数为（取罚参数为μ） .

二、证明题（7分+8分）

1.设1,2,1,:m i R R g n i =→和m m i R R h n

i ,1,:1+=→都是线性函数，证明下

面的约束问题：

}

,,1{,

0)(},1{,

0)(..)(min 1112

m m E j x h m I i x g t s x x f j i n

k k

+=∈==∈≥=∑=

是凸规划问题。

2.设R R f →2

:连续可微，n i R a ∈，R h i ∈，m i ,2,1=，考察如下的约束条件问题：

}

,1{,0}

2,1{,0..)

(min 11m m E i b x a m I i b x a t s x f i T i i T

《最优化原理与方法》复习题

一．美佳公司计划制造 I 、II 两种家电产品。已知各制造一件时分别占用设备 A 、B 的台时、调试时间、调试工序每天可用于这种家电的能力、各售出一件时的获利情况，如下表所示。

（1）试写出上述问题的数学规划模型；（2）给出求解该模型的lingo 代码。

二．将下列线性规划化为标准型，并列出初始单纯形表。

12341234123412341234min 3425, s.t. 4 22, 314,

2322,

,,0,;

y x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =-+-+-+-=-++-≤-+-+≥≥无约束

三．已知线性规划问题

;

,0,0, ,209 9912 ,85376 ,5 3 s.t. ,432 max 43214321432143214321无约束x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ≤≥≤+--≥-++=--+-+++ 写出其对偶规划。

四．试选用一种方法求解下述线性规划问题

;

0, , ,

623 ,824 s.t. ,32min 32121321321≥≥+≥++++=x x x x x x x x x x x z

五. 用表格单纯形法求解线性规划。

0,, ,224 ,222 s.t. ,max 321321321321≥≤++≤++++=x x x x x x x x x x x x z

六. 已知线性规划问题

;

0, ,3 ,1423 ,42 s.t. ,23max 2121212121≥≤-≤+≤+-+=x x x x x x x x x x z （1）写出对偶问题；

最优化方法试卷与答案5套

《最优化方法》1

一、填空题：

1 •最优化问题的数学模型一般为：_____________________________ ,其中

___________ 为目标函数， _____________ 为约束函数，可行域D可以表示

为 _______________________________ ，若 _______________________________ ，

称x*为问题的局部最优解，若 _________________________________________ 称X*为问题的全局最优解。

2 •设f(x)= 2x1 2x1X2 X i 5X2 ,则其梯度为_______________________ ,海色矩阵

___________ ,令x (1,2)T,d (1,0)T,则f(x)在x处沿方向d的一阶方向导数为

___________ 几何意义为________________________________________ 二阶

方向导数为 ____________________ ,几何意义为_____________________________

3 •设严格凸二次规划形式为：

min f (x) 2x； 2x| 2x1x2

s.t. 2x1x21

x10

x20

则其对偶规划为

4•求解无约束最优化问题：min f(x), x R n，设x k是不满足最优性条件的第k 步迭代点，则:

用最速下降法求解时，搜索方向d k= ___________

用Newton法求解时，搜索方向d k= ____________

最优化方法试卷及答案5套

《最优化方法》1

一、填空题：

1．最优化问题的数学模型一般为：____________________________，其中

___________称为目标函数，___________称为约束函数，可行域D 可以表示

为_____________________________，若______________________________，

称*x 为问题的局部最优解，若_____________________________________，称*x 为问题的全局最优解。

方向导数为___________________，几何意义为_________________________

___________________________________。

3．设严格凸二次规划形式为：

012.

.222)(min 21212

221≥≥≤+--+=x x x x t s x x x x x f

则其对偶规划为___________________________________________。

4．求解无约束最优化问题：n R x x f ∈),(min ，设k x 是不满足最优性条件的第k 步迭代点，则：

最优化方法测验及答案套

《最优化方法》1

一、填空题：

1．最优化问题的数学模型一般为：____________________________，其中 ___________称为目标函数，___________称为约束函数，可行域D 可以表示为_____________________________，若______________________________，称*x 为问题的局部最优解，若_____________________________________，称*x 为问题的全局最优解。

2．设f(x)= 212121522x x x x x +-+，则其梯度为___________，海色矩阵___________,令,)0,1(,)2,1(T T d x ==则f(x)在x 处沿方向d 的一阶方向导数为___________，几何意义为___________________________________,二阶方向导数为___________________，几何意义为_________________________ ___________________________________。 3．设严格凸二次规划形式为：

012.

.222)(min 21212

221≥≥≤+--+=x x x x t s x x x x x f

则其对偶规划为___________________________________________。

4．求解无约束最优化问题：n R x x f ∈),(min ，设k x 是不满足最优性条件的第k 步迭代点，则：

最优化方法试卷

华东理工大学研究生《最优化方法》考试卷

专业 ________ 班级 ________ 学号 ________ 姓名 ________ 成绩 ________

2014年12月11日一、简答题（40分，每小题4分）

1．请写出最优化问题的一般模型形式。 2．试叙述局部最优解和全局最优解的定义。 3．请给出优化算法收敛速度的定义。 4．请给出优化算法的终止准则。 5．给出下降方向的定义和判别方法？ 6．简述下降迭代法的基本步骤。

7．何谓共轭方向？你知道由线性无关向量组构造共轭向量组的方法吗？ 8．最速下降法是最好的优化算法吗？为什么？ 9．何谓可行方向及如何判别？

10．优化问题的最优解与可行下降方向有什么关系？

二、（10分）试用最速下降法（梯度法）求解如下问题，初始点⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=110x ，只迭代一次，并

判断迭代结果是否为最优解。

212

22122)(min 2x x x x x f R

x -+=∈

三、（10分）试叙述Powell 基本算法步骤或单纯形替换法的步骤，并简述其特点。四、（10分）试用惩罚函数求解如下的优化问题

8 ..)3()(min 2≥--=x t s x x f

五、（10分）考虑下述线性规划问题

1223 1832 ..233)(max 321321321321≥=++=+++-=x x x x x x x x x t s x x x x f ，，

1．求出该问题的所有基本解，并指出哪些是基本可行解； 2．该问题是否有最优解？若有，请求出其最优解。

六、（10分）考虑问题

010)3( 010)3( ..)(max 2113

最优化方法试卷及答案5套

《最优化方法》1

一、填空题：

则其对偶规划为___________________________________________。

4．求解无约束最优化问题：n R x x f ∈),(min ，设k x 是不满足最优性条件的第k 步迭代点，则：

用最速下降法求解时，搜索方向k d =___________ 用Newton 法求解时，搜索方向k d =___________ 用共轭梯度法求解时，搜索方向k d =_______________

最优化方法试卷及答案5套【整理版】

《最优化方法》1

一、填空题：

1．最优化问题的数学模型一般为：____________________________，其中

___________称为目标函数，___________称为约束函数，可行域D 可以表示

为_____________________________，若______________________________，

称*x 为问题的局部最优解，若_____________________________________，称*x 为问题的全局最优解。

方向导数为___________________，几何意义为_________________________

___________________________________。

3．设严格凸二次规划形式为：

012.

.222)(min 21212

221≥≥≤+--+=x x x x t s x x x x x f

则其对偶规划为___________________________________________。

4．求解无约束最优化问题：n R x x f ∈),(min ，设k x 是不满足最优性条件的第k 步迭代点，则：

最优化方法练习题(答案)

练习题一

1、建立优化模型应考虑哪些要素? 答：决策变量、目标函数和约束条件。

2、讨论优化模型最优解的存在性、迭代算法的收敛性及停止准则。

答：针对一般优化模型()()min ()

0,1,2, 0,1,

,i j f x s t g x i m h x j p

≥===，讨论解的可行域D ，若存在一点*X D ∈，对于X D ∀∈ 均有*()()f X f X ≤则称*X 为优化模型最优解，最优解存在；迭代算法的收敛性是指迭代所得到的序列(1)(2)()

,K X X X ，满足(1)()()()K K f X f X +≤，

则迭代法收敛；收敛的停止准则有(1)()k k x x ε+-<，

(1)()

()

k k k x x x ε+-<，

()()(1)()k k f x f x ε+-<，

()()()

(1)()()k k k f x f x f x ε+-<，()()k f x ε∇<等等。

练习题二

1、某公司看中了例2.1中厂家所拥有的3种资源R 1、R

2、和R 3，欲出价收购（可能用于生产附加值更高的产品）。如果你是该公司的决策者，对这3种资源的收购报价是多少？（该问题称为例2.1的对偶问题）。

解：确定决策变量对3种资源报价123,,y y y 作为本问题的决策变量。

确定目标函数问题的目标很清楚——“收购价最小”。

确定约束条件资源的报价至少应该高于原生产产品的利润，这样原厂家才可能卖。

因此有如下线性规划问题：123min 170100150w y y y =++