混沌初步-2

Sensitivity to initial conditions. In red, x(t) under initial conditions (0.1, 0.2, 0.3). In black, x(t) under (0.1的投影
罗斯勒系统是 三维的，考察它 的相轨线在平面 内的投影。 取方程中参数： a = b = 0.2 得不同c值下的 相轨线及它们的 功率谱 c =2.6 c =3.5 c =4.1
特征方程： 其解：
(l b )[l2 (s 1)l s(1 r )] 0 1 l1,2 s 1) [(s 1)2 4s r ]1/ 2 2
l3 b
在 0< r <1 范围内，所有根 l<0 ，坐标原点是稳定的。
C1与 C2的稳定性
当 r >1, 坐标原点为鞍点，两个新平衡点 C1与 C2是稳定的焦点，它们是 与邻域螺旋线的吸引点，如图所示。 C1、C2 坐标为：
发生霍夫分叉-极限环（r=24.736）
发生霍夫分叉-极限环（r=28>24.736）
罗斯勒吸引子
罗斯勒（德国物理化学家）方程组-化学反应
根据相空间的伸展与折叠思想，罗斯勒( Rossler )在简化的洛伦茨方程 的基础上，于1976年设计了一个新的吸引子方程组，称为罗斯勒方程组：
罗 斯 勒 方 程 组
洛 伦 兹 方 程
dx d s ( x y ) dy rx y xz d dz bz xy d
dx dy dz 0 dt dt dt
x y z 0 x y b ( r 1) , z r 1
rc
s(s b 3) 24.7368, (s 10, b 8 / 3) s (b 1)
r rc 时两个平衡点与发展成了中心点，其邻域的相轨线是椭圆。
r rc 时，这时将出现一次霍夫分岔，平衡点C1与C2发展成奇怪吸引子。
Time series for Lorenz‘s system variables. Initial conditions are (0.3, 0.3, 0.3) for black lines. In x(t) series initial conditions are changed (0.300000005, 0.3, 0.3) (red line)
式中：
C 1,2 b (r 1)
特征方程
l3 (s b 1)l2 b (s r )l 2sb (r 1) 0
l1 (s b 1)
有一实根和一对共轭复根，其中实根 说明沿一方向有稳定结点。共轭复根的实部为负，说明两个新平衡点与是稳 定的焦点，它们是与邻域螺旋线的吸引点。稳定焦点的出现说明贝纳德实验 形成了稳定的定态对流。
c =4.18
c =4.21
c =4.6
罗斯勒吸引子在平面的投影
参数：a = b = 0.2。当c=2.6时，相轨线是简单单周期的极限环，其功率谱 为系统的基频f（~16Hz）及其谐波； 当c=3.5时，得二周期运动相轨线，其功率谱为f/2、f及其谐波； 当c=4.1时，为四周期的极限环，功率谱为f/4、f/2、f及其谐波； 当c=4.18时，为八周期的极限环，功率谱为f/8、f/4、f/2、f及谐波。 可见随 c 增加，存在一系列时倍周期分岔，直到倍周期积累点 c ~ 4.2 。过 积累点后，随 c 增加，轨线展宽开来，相近相轨线合并形成宽阔相轨道。 在c=4.21时，相轨线仍是八周期极限环，在功率谱上除f/8、f/4、f/2、f及其 谐波外，还有 f/16 的弱峰。 在c=4.6时，相轨线成了一条粗大的环线，表明运动已无任何周期，功率谱 是在很高的噪声背景谱上存在着频率 f 及其谐波的尖峰。 后者奇怪吸引子功率谱的特征。
稳定性证明：洛伦兹方程可写成行列式：
s x r z y z y s 0 x 1 x y x b z
对原点 x = y = z = 0 附近作线性化处理，即在原点附近有：
dx dt ( y z ) dy x ay dt dz dt b ( x c) z
洛 伦 兹 方 程 组
dx d s ( x y ) dy rx y xz d dz bz xy d
Bifurcation diagram xn versus r generated by computer solution of the R¨ossler equations computed by the exact transformed equations with the parameters given in Eq.. The points xn are the values of x recorded at those times t = tn at which this coordinate reaches a maximum. The arrow indicates the location of the 1 2 bifurcation at r (a)a = b = 0.2, r= 2.83 (b)a = 0.3，b = 0.2, r= 2.00.
0 s s 0 x 0 x y r 1 0 0 y 0 z 0 0 b 0 z 0
(s l) s r (1 l ) 0 0 0 0 (b l ) 0
令：rc
s(s b 3) 24.7368, (s 10, b 8 / 3) s (b 1)
由稳定性理论中罗斯判据得到
r rc 时两个平衡点与发展成了中心点，其邻域的相轨线是椭圆。
不稳定的。这时将出现一次新分岔－霍夫分岔，平衡点C1与C2失稳发展成 为奇怪吸引子。
r rc 时共轭复根的实部为正值，已成了不稳定的焦点。定态对流失稳，是
V (t ) V0 exp[ (s 1 b)t ] 于是有： 为初始相空间的体积。参数 b 0与s 0，可见洛伦兹方程的相空间体积是 V 0 随时间收缩的。初始时的有限相体积 随时间收缩到一点，这点应是坐标 V0 的原点 x。 yz0 耗散系统意味着系统存在吸引子。
洛伦兹方程解的分岔
洛伦兹方程的耗散性质
证明： 在x,y,z的三维相空间，取一个闭合曲面。曲面所包围的体积V 随时间的 变化与其中代表点的运动有如下关系： d dV d d x y z dV dt V dx dy dz 应用于洛伦兹方程，得：
d d d s, 1, z b x y dx dy dz
x(t), y(t) and z(t) for the dynamical equations of the Rössler system starting from the initial condition (0.1, 0.2, 0.3) with a = 0.2, b = 0.2 and c = 6.7.
x 1, 2 y 1, 2 b ( r 1) z 1, 2 r 1
在平衡点处有： y z, x az
b z az c
z1, 2
c c 4ab 2a
2
取参数 a = b = 0.2 ，c =5.7时计 算得罗斯勒吸引子图象 。 不稳定的平衡点在 (x,y) 平面内。 相轨线先在(x,y)平面内绕平衡点从内 向外绕，绕了若干圈在离开平衡点有 一定距离后，离开平面 (x,y) 进入z 方 向空间转动，达到一定高度后突然折 回进离平衡点较近平面内。 相点沿相轨线从空间折回进平面 时，与准确平衡点总有某些差距，由 于平衡点是不稳定的，相点又继续按 上述方式运动，不断重复进行。
Bifurcation diagram for the Lorenz system by using r as the order parameter
Lorenz系统动画显示
原点为稳定的平衡点（r<1）
原点不稳定并分叉出两个稳定的焦点（r<1<13.962）
环绕焦点的螺旋线合并-同宿环（r=13.962）
现说明贝纳德实验形成了稳定的定态对流。
x 1,2 y 1,2 b ( r 1) z 1, 2 r 1
稳定性证明：
对C1与 C2 附近作线性化处理，即在附近有：
1 s s 0 x 1 x 1 1 1 C y 1 y z C C b z 1 1
奇怪吸引子
吸引子 能量耗散系统最终收缩到的一种定常状 态。这是一个动力系统在t →∞时所呈现的与时 间无关的定态，并且不管选取什么样的初始值 其终值的定态只有一个，也就是说终值与初始 值无关。这类吸引子也称平庸吸引子。 如：阻尼单摆有不动点吸引子，范德玻耳方程 有极限环吸引子，等等。 奇怪吸引子 相对于平庸吸引子而言，它们的 特点之一是终态值与初始值密切相关，或者说 对初始值具有极端敏感性；初始取值的细微差 别可能会导致完全不同的结果，这时的吸引子 毫无周期可言，即所谓混沌。
归纳以上所述，浑沌运动的奇怪吸引子至少有以下特点：
（ 1 ）从整体上说，系统是稳定的：吸引子外的一切轨
线最后都要收缩进入到吸引子中。但是，就局部来说， 吸引子内的运动有时不稳定的；相邻轨道要相互排斥而 按指数形式分离。所以奇怪吸引子是这种整体稳定性和 局部不稳定性一对矛盾的结合体。 （ 2 ）但是如何才能使系统克服蝴蝶效应而获得整体稳 定性从而形成奇怪吸引子呢？只有吸引子中的轨道都受 到折叠作用才能做到这一点（如洛伦茨吸引子和若斯勒
吸引子）。而且正是由于这种折叠作用才是轨道相互交
叉，从而使运动复杂化并出现随机性，单纯的轨道分离