2012版数学一轮精品复习学案：1.2命题及其关系、充分条件与必要条件

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高考数学(理科)一轮复习命题及其关系、充分条件与必要条件学习型教学案

高考数学（理科）一轮复习命题及其关系、充分条件与必要条件学案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案2 命题及其关系、充分条件与必要条件导学目标：.能写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．自主梳理．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系四种命题一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用綈p和綈q分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若綈p则綈q；逆否命题：若綈q则綈p．四种命题间的关系四种命题的真假性①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．②两个命题为逆命题或否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件与必要条件若p⇒q，则p叫做q的充分条件；若q⇒p，则p叫做q的必要条件；如果p⇔q，则p叫做q的充要条件．自我检测．下列命题中的假命题是A．∃x∈R，lgx＝0B．∃x∈R，tanx＝1c．∀x∈R，x3>0D．∀x∈R,2x>0答案 c解析对于c选项，当x＝0时，03＝0，因此∀x ∈R，x3>0是假命题．2．“a>0”是“|a|>0”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件c．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析a>0⇒|a|>0，|a|>0a>0，∴“a>0”是“|a|>0”的充分不必要条件．3．“x>0”是“x≠0”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件c．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析对于“x>0”⇒“x≠0”，反之不一定成立，因此“x>0”是“x≠0”的充分而不必要条件．4．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s 是p的逆命题t的A．逆否命题B．逆命题c．否命题D．原命题答案 c解析由四种命题逆否关系知，s是p的逆命题t的否命题．5．与命题“若a∈m，则bm”等价的命题是A．若am，则bmB．若bm，则a∈mc．若am，则b∈mD．若b∈m，则am答案 D解析因为原命题只与逆否命题是等价命题，所以只需写出原命题的逆否命题即可．探究点一四种命题及其相互关系例1 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．实数的平方是非负数；等底等高的两个三角形是全等三角形；弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧．解题导引给出一个命题，判断其逆命题、否命题、逆否命题等的真假时，如果直接判断命题本身的真假比较困难，则可以通过判断它的等价命题的真假来确定．解逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．真命题．否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．真命题．逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．真命题．逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．真命题．否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．真命题．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．假命题．逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．真命题．否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧．真命题．逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．真命题．变式迁移1 有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．其中真命题的序号为________．答案①③解析①的逆命题是“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，真；②的否命题是“不全等的三角形的面积不相等”，假；③若q≤1，则Δ＝4－4q≥0，所以x2＋2x＋q＝0有实根，其逆否命题与原命题是等价命题，真；④的逆命题是“三个内角相等的三角形是不等边三角形”，假．探究点二充要条件的判断例2 给出下列命题，试分别指出p是q的什么条件．p：x－2＝0；q：＝0.p：两个三角形相似；q：两个三角形全等．p：m<－2；q：方程x2－x－m＝0无实根．p：一个四边形是矩形；q：四边形的对角线相等．解∵x－2＝0⇒＝0；而＝0x－2＝0.∴p是q的充分不必要条件．∵两个三角形相似两个三角形全等；但两个三角形全等⇒两个三角形相似．∴p是q的必要不充分条件．∵m<－2⇒方程x2－x－m＝0无实根；方程x2－x－m＝0无实根m<－2.∴p是q的充分不必要条件．∵矩形的对角线相等，∴p⇒q；而对角线相等的四边形不一定是矩形，∴qp.∴p是q的充分不必要条件．变式迁移2 下列各小题中，p是q的充要条件的是①p：m<－2或m>6；q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点；②p：f－xfx＝1；q：y＝f是偶函数；③p：cosα＝cosβ；q：tanα＝tanβ；④p：A∩B＝A；q：∁UB⊆∁UA.A．①②B．②③c．③④D．①④答案 D解析①q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点⇔q：Δ＝m2－4>0⇔q：m<－2或m>6⇔p；②当f＝0时，由qp；③若α，β＝kπ＋π2，k∈Z时，显然cosα＝cosβ，但tanα≠tanβ；④p：A∩B＝A⇔p：A⊆B⇔q：∁UA⊇∁UB.故①④符合题意．探究点三充要条件的证明例3 设a，b，c为△ABc的三边，求证：方程x2＋2ax ＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.解题导引有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，由“条件”⇒“结论”是证明命题的充分性，由“结论”⇒“条件”是证明命题的必要性．证明要分两个环节：一是充分性；二是必要性．证明必要性：设方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根x0，则x20＋2ax0＋b2＝0，x20＋2cx0－b2＝0，两式相减可得x0＝b2c－a，将此式代入x20＋2ax0＋b2＝0，可得b2＋c2＝a2，故∠A＝90°，充分性：∵∠A＝90°，∴b2＋c2＝a2，b2＝a2－c2.①将①代入方程x2＋2ax＋b2＝0，可得x2＋2ax＋a2－c2＝0，即＝0.将①代入方程x2＋2cx－b2＝0，可得x2＋2cx＋c2－a2＝0，即＝0.故两方程有公共根x＝－．所以方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.变式迁移3 已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.证明必要性：∵a＋b＝1，∴a＋b－1＝0.∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝－＝＝0.充分性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，即＝0.又ab≠0，∴a≠0且b≠0.∵a2－ab＋b2＝2＋34b2>0.∴a＋b－1＝0，即a＋b＝1.综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.转化与化归思想的应用例已知两个关于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0和x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，且m∈Z.求两方程的根都是整数的充要条件．【答题模板】解∵mx2－4x＋4＝0是一元二次方程，∴m≠0.[2分]另一方程为x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，两方程都要有实根，∴Δ1＝161－m≥0，Δ2＝16m2－44m2－4m－5≥0，解得m∈[－54，1]．[6分]∵两根为整数，故和与积也为整数，∴4m∈Z4m∈Z4m2－4m－5∈Z，∴m为4的约数，[8分]∴m＝－1或1，当m＝－1时，第一个方程x2＋4x－4＝0的根为非整数，而当m＝1时，两方程均为整数根，∴两方程的根均为整数的充要条件是m＝1.[12分]【突破思维障碍】本题涉及到参数问题，先用转化思想将生疏复杂的问题化归为简单、熟悉的问题解决，两方程有实根易想Δ≥0.求出m的范围，要使两方程根都为整数可转化为它们的两根之和与两根之积都是整数．【易错点剖析】易忽略一元二次方程这个条件隐含着m≠0，不易把方程的根都是整数转化为两根之和与两根之积都是整数．．研究命题及其关系时，要分清命题的题设和结论，把命题写成“如果……，那么……”的形式，当一个命题有大前提时，必须保留大前提，只有互为逆否的命题才有相同的真假性．2．在解决充分条件、必要条件等问题时，要给出p与q 是否可以相互推出的两次判断，同时还要弄清是p对q而言，还是q对p而言．还要分清否命题与命题的否定的区别．3．本节体现了转化与化归的数学思想．一、选择题．给出以下四个命题：①若ab≤0，则a≤0或b≤0；②若a>b，则am2>bm2；③在△ABc中，若sinA＝sinB，则A＝B；④在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，若b2－4ac<0，则方程有实数根．其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是A．①B．②c．③D．④答案 c解析对命题①，其原命题和逆否命题为真，但逆命题和否命题为假；对命题②，其原命题和逆否命题为假，但逆命题和否命题为真；对命题③，其原命题、逆命题、否命题、逆否命题全部为真；对命题④，其原命题、逆命题、否命题、逆否命题全部为假．2．设0<x<π2，则“xsin2x<1”是“xsinx<1”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件c．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析∵0<x<π2，∴0<sinx<1.∴xsinx<1⇒xsin2x<1，而xsin2x<1xsinx<1.故选B.3．“α＝π6＋2kπ”是“cos2α＝12”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件c．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析由α＝π6＋2kπ可得到cos2α＝12.由cos2α＝12得2α＝2kπ±π3．∴α＝kπ±π6．所以cos2α＝12不一定得到α＝π6＋2kπ．4．关于命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题，下列结论成立的是A．都真B．都假c．否命题真D．逆否命题真答案 D解析本题考查四种命题之间的关系及真假判断．对于原命题：“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅”，这是一个真命题，所以其逆否命题也为真命题，但其逆命题：“若{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax2＋bx＋c<0的解集非空时，可以有a>0，即抛物线的开口可以向上．因此否命题也是假命题．5．集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x<a}，则“A⊆B”是“a>5”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件c．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析A＝{x|－4≤x≤4}，若A⊆B，则a>4，a>4a>5，但a>5⇒a>4.故选B.二、填空题6．“x1>0且x2>0”是“x1＋x2>0且x1x2>0”的________条件．答案充要7．已知p：＝0，q：2＋2＝0，则p是q的____________条件．答案必要不充分解析由＝0得x＝1或y＝2，由2＋2＝0得x＝1且y ＝2，所以由q能推出p，由p推不出q,所以填必要不充分条件．8．已知p：x2＋2x－m>0，如果p是假命题，p是真命题，则实数m的取值范围为________．答案[3,8)解析因为p是假命题，所以1＋2－m≤0，解得m≥3；又因为p是真命题，所以4＋4－m>0，解得m<8.故实数m的取值范围是3≤m<8.三、解答题9．分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．若q<1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根；若ab＝0，则a＝0或b＝0；若x2＋y2＝0，则x、y全为零．解逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q<1，为假命题．否命题：若q≥1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根，为假命题．逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q≥1，为真命题．逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0，为真命题．否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0，为真命题．逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0，为真命题．逆命题：若x、y全为零，则x2＋y2＝0，为真命题．否命题：若x2＋y2≠0，则x、y不全为零，为真命题．逆否命题：若x、y不全为零，则x2＋y2≠0，为真命题．0．设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0；q：实数x满足x2－x－6≤0，或x2＋2x－8>0，且綈p 是綈q的必要不充分条件，求a的取值范围．解设A＝{x|p}＝{x|x2－4ax＋3a2<0，a<0}＝{x|3a<x<a，a<0}，B＝{x|q}＝{x|x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0}＝{x|x2－x－6≤0}∪{x|x2＋2x－8>0}＝{x|－2≤x≤3}∪{x|x<－4或x>2}＝{x|x<－4或x≥－2}．∵綈p是綈q的必要不充分条件，∴綈q⇒綈p，且綈p綈q.则{x|綈q}{x|綈p}，而{x|綈q}＝∁RB＝{x|－4≤x<－2}，{x|綈p}＝∁RA＝{x|x≤3a或x≥a，a<0}，∴{x|－4≤x<－2}{x|x≤3a或x≥a，a<0}，则3a≥－2，a<0或a≤－4，a<0.综上，可得－23≤a<0或x≤－4.1．已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q，求证：数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.证明充分性：当q＝－1时，a1＝S1＝p＋q＝p－1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1．当n＝1时也成立．于是an＋1an＝pnp－1pn－1p－1＝p，即数列{an}为等比数列．必要性：当n＝1时，a1＝S1＝p＋q.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1．∵p≠0，p≠1，∴an＋1an＝pnp－1pn－1p －1＝p.∵{an}为等比数列，∴a2a1＝an＋1an＝p，即pp－1p＋q ＝p，即p－1＝p＋q.∴q＝－1.综上所述，q＝－1是数列{an}为等比数列的充要条件．。

高三一轮充要与必要条件的复习学案

命题及其关系,充分条件,必要条件一．知识梳理：1．命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以的陈述句叫做命题．其中的语句叫真命题，的语句叫2．四种命题及其关系(1)四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题否命题逆否命题(2)四种命题间的逆否关系(3)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性4．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的，q是p的；(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的5．充分条件、必要条件、充要条件的判断(1)定义法若p q，但q p，则p是q的充分而不必要条件；若q p，但p q，则p是q的必要而不充分条件；若p q且q p，则p是q的充要条件；若p q且q p，则p是q的既不充分也不必要条件．(2)集合法首先建立与p，q相应的集合，即p：A＝{x|p(x)}；q：B＝{x|q(x)}．若A⊆B，则p是q的；若B⊆A，则p是q的；若A B，则p是q的充分而不必要条件；若B A，则p是q的必要而不充分条件；若A B，则p是q的充要条件；若A B，B A，则p是q的既不充分也不必要条件．题型一四种命题及真假判断例1 (1)下面是关于复数z ＝2－1＋i的四个命题： p 1：|z |＝2，p 2：z 2＝2i ，p 3：z 的共轭复数为1＋i ，p 4：z 的虚部为－1.其中的真命题为( )A ．p 2，p 3B ．p 1，p 2C ．p 2，p 4D ．p 3，p 4(2)已知命题“若函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是增函数，则m ≤1”，则下列结论正确的是 ( )A ．否命题“若函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是减函数，则m >1”是真命题B ．逆命题“若m ≤1，则函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是增函数”是假命题C ．逆否命题“若m >1，则函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是减函数”是真命题D ．逆否命题“若m >1，则函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题(1)命题“若α＝π3，则cos α＝12”的逆命题是 ( )A ．若α＝π3，则cos α≠12B ．若α≠π3，则cos α≠12C ．若cos α＝12，则α＝π3D ．若cos α≠12，则α≠π3(2)命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是 ( ) A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数 B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数题型二充要条件的判定【例2】►指出下列命题中，p 是q 的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC 中，p ：∠A ＝∠B ，q ：sin A ＝sin B ；(2)对于实数x 、y ，p ：x ＋y ≠8，q ：x ≠2或y ≠6；(3)非空集合A 、B 中，p ：x ∈A ∪B ，q ：x ∈B ；(4)已知x 、y ∈R ，p ：(x －1)2＋(y －2)2＝0，q ：(x －1)(y －2)＝0.(1)(2012·福建)已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，则a ⊥b 的充要条件是( ) A ．x ＝－12 B ．x ＝－1 C ．x ＝5 D ．x ＝0(2)设集合A ＝{x ∈R|x －2>0}，B ＝{x ∈R|x <0}，C ＝{x ∈R|x (x －2)>0}，则“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件题型三充分条件与必要条件的应用例3 (1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－2x ＋a ，x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是 ( ) A ．a <0 B ．0<a <12 C.12<a <1 D ．a ≤0或a >1 (2)设p ：|4x －3|≤1，q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若非p 是非q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是 ( )A.⎣⎡⎦⎤0，12B.⎝⎛⎭⎫0，12 C ．(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ D ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞(1)若“x 2>1”是“x <a ”的必要不充分条件，则a 的最大值为________．(2)已知命题p ：实数m 满足m 2＋12a 2<7am (a >0)，命题q ：实数m 满足方程x 2m －1＋y 22－m ＝1表示的焦点在y 轴上的椭圆，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为_______．(3)已知集合A ＝{y |y ＝x 2－32x ＋1，x ∈[34，2]}，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，并且p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．一、选择题1.下列命题中为真命题的是 ( )A ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题B ．命题“若x >1，则x 2>1”的否命题C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题D ．命题“若x 2>0，则x >1”的逆否命题2．若集合A ＝{x |2<x <3}，B ＝{x |(x ＋2)(x －a )<0}，则“a ＝1”是“A ∩B ＝∅”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知向量a ＝(m 2，－9)，b ＝(1，－1)，则“m ＝－3”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.x 2<4的必要不充分条件是( )A.-2≤x ≤2B.-2<x<0C.0<x ≤2D.1<x<3 5.给出如下三个命题：①四个非零实数a ，b ，c ，d 依次成等比数列的充要条是ad ＝bc ；②设a ，b ∈R ，且ab ≠0，若a b ＜1，则b a ＞1；③若f (x )＝log 2x ，则f (|x |)是偶函数．其中不正确命题的序号是( )．A ．①②③B ．①②C ．②③D ．①③6．(2012·天津)设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．“λ<1”是“数列a n＝n2－2λn(n∈N+)是递增数列”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．(2013·海口模拟)已知集合A＝{x∈R|12＜2x＜8}，B＝{x∈R|－1＜x＜m＋1}，若x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A，则实数m的取值范围是( )A．m≥2 B．m≤2 C．m＞2 D．－2＜m＜29.“若a≤b，则ac2≤bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是________．10.“x＝2”是“向量a＝(x＋2,1)与向量b＝(2,2－x)共线”的________条件．11.若命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．12.若x<m－1或x>m＋1是x2－2x－3>0的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．13．(2012·南昌模拟)若“x2－2x－8＞0”是“x＜m”的必要不充分条件，则m的最大值为__________．14.下列四个结论中：①“λ＝0”是“λa＝0”的充分不必要条件；②在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件；③若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b全不为零”的充要条件；④若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为零”的充要条件．正确的是________．15．(2013·江西南昌三中月考)已知命题p：x1、x2是方程x2－mx－2＝0的两个实根，不等式a2－5a－3≥|x1－x2|对任意实数m∈[－1,1]恒成立；命题q：不等式ax2＋2x－1＞0有解．若命题p是真命题，命题q为假命题，求实数a的取值范围．。

高三数学一轮复习精品学案1：1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件

1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件『基础知识梳理』1．命题及其关系（1）①命题：；常用小写的拉丁字母p ，q ，r ，s ，……表示命题．（2）四种命题的真假性之间的关系：两个命题互为逆否命题，它们有② 的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性③ 关系．2．充分条件、必要条件与充要条件（1）一般地，如果已知④ ，那么就说：p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；若⑤ ，则p 是q 的充分必要条件，简称充要条件．（2）从集合与集合之间的关系上看：已知{A x x =满足条件}p ，{B x x =满足条件}q ：若⑥ ，则p 是q 充分条件；若⑦ ，则p 是q 必要条件．——★ 参考答案 ★——①可以判断真假的语句；②相同；③没有；④p q ⇒；⑤p q ⇔；⑥A B ⊆；⑦B A ⊆；『核心考点讲练』题型一：命题之间的关系『典例1』（2014·陕西卷）原命题为“若，，则为递减数列”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断是．『解析』∵112n n n n n a a a a a +++<⇔<，n N +∈，∴{}n a 为递减数列，命题是真命题；其否命题是：若12n n n a a a ++，n N +∈，则{}n a 不是递减数列，是真命题；又命题与其逆否命题同真同假，命题的否命题与逆命题是互为逆否命题，∴命题的逆命题，逆否命题都是真12n n n a a a ++<n N +∈{}n a命题．『答案』真、真、真．『技巧点拔』理解命题及四种命题的真假性之间的关系，两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．题型二：充分条件和必要条件『典例2』（2014·北京卷）设a ，b 是实数，则“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的条件．『解析』若，则，故不充分；若，则，而，故不必要．『答案』既不充分也不必要．『技巧点拔』判断充分条件或必要条件时可以举反例，从而确定之间的关系．『当堂演练』（2014·浙江卷）设四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC BD”的条件．『解答过程』『解析』四边形ABCD 的两条对角线为AC ，BD ，则“四边形ABCD 为菱形”那么菱形的对角线垂直，即“四边形ABCD 为菱形”“AC ⊥BD”，但是“AC ⊥BD”推不出“四边形ABCD 为菱形”，例如对角线垂直的等腰梯形，或筝形四边形；∴四边形ABCD 的两条对角线为AC ，BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD”的充分不必要条件．『答案』充分不必要．2,0-==b a 22b a <0,2=-=b a 22a b >b a <⊥⇒专题热点集训（时间：20分钟）1.（2012·湖南文）命题“若4πα=，则1tan =α”的逆否命题是________.2．（南通市2013届一模）已知命题p :“正数a 的平方不等于0”,命题q :“若a 不是正数,则它的平方等于0”,则p 是q 的________.(从“逆命题、否命题、逆否命题、否定”中选一个填空)3．（南京市、盐城市2015届一模）设向量(sin 2,cos )θθ=a ，(cos ,1)θ=b ，则“//a b ”是“1tan 2θ=”成立的条件 (选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”) .4．（南通市2015届一模）在平面直角坐标系xOy 中，“直线b x y +=，R b ∈与曲线21y x -=相切”的充要条件是“ ”．5.（2011·湖南理）设集合M={1,2}，N={a }2，则“a=1”是“M N ⊆”的_______.6．（无锡市2013届一模）已知P:|x -a|<4；q:(x -2)(3-x)>0,若⌝p 是⌝q 的充分不必要条件,则a 的取值范围为________________.7．（南京市2015届三模）记不等式x 2＋x －6＜0的解集为集合A ，函数y ＝lg(x －a )的定义域为集合B ．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则实数a 的取值范围为．参考答案与解析1．【答案】由逆否命题的概念知，否定原命题的条件“4πα≠”做结论，否定原命题的结论“1tan ≠α”做条件.原命题的逆否命题是“若1tan ≠α则4πα≠”.2．【答案】否命题.3．【答案】必要不充分．4.【答案】2-=b ． 5．【答案】当a=1时，N={1}，可推出“M N ⊆”.当“M N ⊆”时，有22a 1a 2==或.得到21±=±=a a 或不能推出a=1.所以前者是后者的充分不必要条件.6．【答案】16a -≤≤．7．【答案】(－∞，－3]【命题立意】本题旨在考查不等式的求解，函数的定义域，充要条件的判定。

高三数学一轮复习精品学案8：§1.2命题及其关系、充分条件与必要条件

§1.2命题及其关系、充分条件与必要条件考纲要求1.理解命题的概念.2.了解“若p ，则q ”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.考情分析1.重点考＋命题真假的判断.2.题型以选择题为主，涉及知识广泛，属中低档题.小题热身1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)语句x 2－3x ＋2＝0是命题.( )(2)一个命题的逆命题与否命题，它们的真假没有关系.( )(3)命题“如果p 不成立，则q 不成立”等价于“如果q 成立，则p 成立”.( )(4)“p 是q 的充分不必要条件”与“p 的充分不必要条件是q ”表达的意义相同.( )2．已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是( )A ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2＜3B ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2＜3C ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2≥3D ．若a 2＋b 2＋c 2≥3，则a ＋b ＋c ＝33．设集合A ＝{x ∈R |x －2＞0}，B ＝{x ∈R |x ＜0}，C ＝{x ∈R |x (x －2)＞0}，则“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．在△ABC 中，“A ＝π4”是“cos A ＝2”的( ) A ．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件知识重温一、必记3●个知识点1．命题在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以①________________叫做命题.其中②__________的语句叫做真命题，③____________的语句叫做假命题.2．四种命题及其关系(1)四种命题(2)四种命题间的关系(3)四种命题的真假关系(ⅰ)两个命题互为逆否命题，它们有⑩______的真假性；(ⅱ)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性⑪__________.3．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，那么p是q的⑫__________，q是p的⑬__________.(2)如果p⇒q且q⇒p，那么p是q的⑭__________.二、必明2●个易误点1．易混否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论.2．注意区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒/A)与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A ⇒/B)两者的不同.考点一四种命题及其真假判断典例1 (1)已知命题α：如果x＜3，那么x＜5；命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果x≥5，那么x≥3.关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是()①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题.②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题.③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题.A．①③B．②C．②③D．①②③(2)以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号).①“若log2a＞0，则函数f(x)＝log a x(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题.方法总结在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系.要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”；判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可.对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手.通一类1．已知：命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是()A．否命题是“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m＞1”，是真命题B．逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题C．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题D．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题考点二充分条件、必要条件的判断典例2 (1)设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的() A．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)“x ＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(3)给定两个命题p ，q .若¬p 是q 的必要而不充分条件，则p 是¬q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断.(2)集合法：根据p ，q 成立的对应的集合之间的包含关系进行判断.(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的何种条件，即可转化为判断“x ＝1且y ＝1”是“xy ＝1”的何种条件.通一类2．设点P (x ，y )，则“x ＝2且y ＝－1”是“点P 在直线l ：x ＋y －1＝0上”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．如果a ＝(1，k )，b ＝(k,4)，那么“a ∥b ”是“k ＝－2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞02x －a ，x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是( ) A ．a ≤0或a ＞1 B ．0＜a ＜12 C.12＜a ＜1 D ．a ＜0考点三充分条件、必要条件的应用典例3 已知集合M ＝{x |x ＜－3或x ＞5}，P ＝{x |(x －a )·(x －8)≤0}.(1)求实数a 的取值范围，使它成为M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}的充要条件；(2)求实数a 的一个值，使它成为M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}的一个充分但不必要条件；(3)求实数a 的取值范围，使它成为M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}的一个必要但不充分条件.与充要条件有关的参数问题的求解方法解决此类问题一般是根据条件把问题转化为集合之间的关系，并由此列出关于参数的不等式(组)求解.5．已知p ：－2≤x ≤10，q ：(x －a )(x －a －1)＞0，若p 是q 成立的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是__________.高考模拟1.原命题为“若12n n a a ++＜a n ，n ∈N ＋，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，真，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假2．x ＞1”是“log 12(x +2)＜0”的( ) A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．设a ，b 都是不等于1的正数，则“3a ＞3b ＞3”是“log a 3＜log b 3”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．若l ，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l ⊥m ”是“l ∥α”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知p ：⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，且¬p 是¬q 的必要而不充分条件，则实数m 的取值范围是________.——★ 参考答案 ★——小题热身1． (1)×(2)×(3)√(4) ×『解析』(1)错误.无法判断真假，故不是命题.(2)错误.一个命题的逆命题与否命题是互为逆否命题，它们的真假性相同.(3)正确.一个命题与其逆否命题等价.(4)错误.“p 是q 的充分不必要条件”即为“p ⇒q 且q ⇒/ p ”，“p 的充分不必要条件是q ”即为“q ⇒p 且p ⇒/ q ”.2．A『解析』a ＋b ＋c ＝3的否定是a ＋b ＋c ≠3，a 2＋b 2＋c 2≥3的否定是a 2＋b 2＋c 2＜3.3．C『解析』A ∪B ＝{x ∈R |x ＜0或x ＞2}，C ＝{x ∈R |x ＜0或x ＞2}，∵A ∪B ＝C ，∴x ∈A ∪B 是x ∈C 的充分必要条件．4．C『解析』在△ABC 中，0＜A ＜π，由“A ＝π4”⇔“cos A ＝2 ”，故选C. 知识重温一、必记3●个知识点1．①判断真假的陈述句②判断为真③判断为假2． (1)④若q 则p ⑤若¬p 则¬q ⑥若¬q 则¬p(2)⑦逆命题⑧否命题⑨逆否命题(3) ⑩相同⑪没有关系3．⑫充分条件⑬必要条件⑭充要条件考点一四种命题及其真假判断典例1 (1) A(2)②『解析』(1)逆命题是互换原命题的条件与结论，否命题是把原命题的条件和结论都否定，逆否命题是把原命题中的条件和结论先否定，然后互换得到.故①正确，②错误，③正确.(2)对于①，若log 2a ＞0＝log 21，则a ＞1，所以函数f (x )＝log a x 在其定义域内是增函数，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知该说法正确；对于③，原命题的逆命题是“若x ＋y 是偶数，则x ，y 都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4是偶数，但3和1均为奇通一类1．D『解析』由f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是增函数，则f ′(x )＝e x －m ≥0恒成立，∴m ≤1.∴命题“若函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是增函数，则m ≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m ＞1，则函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题.考点二充分条件、必要条件的判断典例2 (1) C(2) B(3)A『解析』(1)依题意，若A ⊆C ，则∁U C ⊆∁U A ，当B ⊆∁U C ，可得A ∩B ＝∅；若A ∩B ＝∅，不妨令C ＝A ，显然满足A ⊆C ，B ⊆∁U C ，故满足条件的集合C 是存在的.(2)由ln(x ＋1)＜0，得0＜x ＋1＜1，即－1＜x ＜0，由于{x |－1＜x ＜0} {x |x ＜0}，故“x ＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的必要不充分条件.(3)因为¬ p 是q 的必要不充分条件，则q ⇒ ¬ p 但¬ p ⇒/ q ，其逆否命题为p ⇒ ¬ q 但¬ q ⇒/ p ，所以p 是¬ q 的充分不必要条件.2．A『解析』当x ＝2且y ＝－1时，满足方程x ＋y －1＝0，但方程x ＋y －1＝0有无数多个解，不能确定x ＝2且y ＝－1，∴“x ＝2且y ＝－1”是“点P 在直线l 上”的充分而不必要条件.3．B『解析』因为a ∥b ，所以1×4－k 2＝0，即4＝k 2，所以k ＝±2.所以“a ∥b ”是“k ＝－2”的必要不充分条件.4．D『解析』因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞02x －a ，x ≤0有且只有一个零点的充要条件为a ≤0或a ＞1.由选项可知，使“a ≤0或a ＞1”成立的充分条件为选项D.考点三充分条件、必要条件的应用典例3 解：(1)由M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}，得－3≤a ≤5，因此M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}的充要条件是{a |－3≤a ≤5}；(2)求实数a 的一个值，使它成为M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}的一个充分但不必要条件，就是在集合{a |－3≤a ≤5}中取一个值，如取a ＝0，此时必有M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}；反之，M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}未必有a ＝0，故a ＝0是所求的一个充分不必要条件；(3)求实数a 的取值范围，使它成为M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}的一个必要不充分条件就是另求一个集合Q ，使{a |－3≤a ≤5}是集合Q 的一个真子集．如果{a |a ≤5}时，未必有M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}，但是M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}时，必有a ≤5，故{a |a ≤5}是所求的一个必要不充分条件.5．(－∞，－3)∪(10，＋∞)『解析』由(x －a )(x －a －1)＞0，得x ＞a ＋1或x ＜a ，由题意，得{x |－2≤x ≤10} {x |x ＞a ＋1或x ＜a }.所以a ＋1＜－2或a ＞10，即a ＜－3或a ＞10.高考模拟1.A『解析』从原命题的真假入手，由于12n n a a ++＜a n ⇔a n ＋1＜a n ⇔{a n }为递减数列，即原命题和否命题均为真命题，又原命题与逆否命题同真同假，则逆命题、否命题和逆否命题均为真命题，选A.2．B『解析』由log 12(x +2)＜0，得x ＋2＞1，解得x ＞－1，所以“x ＞1”是“log 12(x +2)＜0”的充分而不必要条件，故选B. 3．B『解析』由指数函数的性质知，若3a ＞3b ＞3，则a ＞b ＞1，由对数函数的性质，得log a 3＜log b 3；反之，取a ＝12，b ＝13，显然有log a 3＜log b 3，此时0＜b ＜a ＜1，于是3＞3a ＞3b ，所以“3a ＞3b ＞3”是“log a 3＜log b 3”的充分不必要条件，选B.4．B『解析』由“m ⊥α且l ⊥m ”推出“l ⊂α或l ∥α”，但由“m ⊥α且l ∥α”可推出“l ⊥m ”，所以“l ⊥m ”是“l ∥α”的必要而不充分条件，故选B.5『9，＋∞)『解析』方法一：由⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x ≤10， ∴¬p ：A ＝{x |x ＞10或x ＜－2}.由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，得1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)，∴¬q ：B ＝{x |x ＞1＋m 或x ＜1－m ，m ＞0}.∵¬p 是¬q 的必要而不充分条件，∴B A ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞01－m ≤－21＋m ≥10，解得m ≥9.方法二：∵¬p 是¬q 的必要而不充分条件，∴q 是p 的必要而不充分条件，∴p 是q 的充分而不必要条件.由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，得1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0).∴q ：Q ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m ＞0}.又由⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x ≤10， ∴p ：P ＝{x |－2≤x ≤10}.∴P Q ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞01－m ≤－21＋m ≥10，解得m ≥9.。

高三数学一轮复习精品学案5：1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件

1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件导学目标：1.能写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．自主梳理1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用¬p和¬q分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是原命题：若p则q(p⇒q)；逆命题：若q则p(q⇒p)；否命题：若¬p则¬q(¬p⇒¬q)；逆否命题：若¬q则¬p(¬q⇒¬p)．(2)四种命题间的关系(3)四种命题的真假性①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．②两个命题为逆命题或否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件与必要条件若p⇒q，则p叫做q的充分条件；若q⇒p，则p叫做q的必要条件；如果p⇔q，则p 叫做q的充要条件．自我检测1．(2010·湖南)下列命题中的假命题是()A．∃x∈R，lg x＝0 B．∃x∈R，tan x＝1C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R,2x>02．(2010·陕西)“a>0”是“|a|>0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．(2009·浙江)“x>0”是“x≠0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的逆命题t的() A．逆否命题B．逆命题C．否命题D．原命题5．(2011·宜昌模拟)与命题“若a∈M，则b∉M”等价的命题是()A．若a∉M，则b∉MB．若b∉M，则a∈MC．若a∉M，则b∈MD．若b∈M，则a∉M探究点一四种命题及其相互关系例1写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；(3)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧．变式迁移1有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．其中真命题的序号为________．探究点二充要条件的判断例2给出下列命题，试分别指出p是q的什么条件．(1)p：x－2＝0；q：(x－2)(x－3)＝0.(2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等．(3)p：m<－2；q：方程x2－x－m＝0无实根．(4)p：一个四边形是矩形；q：四边形的对角线相等．变式迁移2(2011·邯郸月考)下列各小题中，p是q的充要条件的是()①p ：m <－2或m >6；q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点；②p ：f －x f x＝1；q ：y ＝f (x )是偶函数； ③p ：cos α＝cos β；q ：tan α＝tan β；④p ：A ∩B ＝A ；q ：∁U B ⊆∁U A .A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④探究点三充要条件的证明例3 设a ，b ，c 为△ABC 的三边，求证：方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根的充要条件是∠A ＝90°.变式迁移3 已知ab ≠0，求证：a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.转化与化归思想的应用例 (12分)已知两个关于x 的一元二次方程mx 2－4x ＋4＝0和x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，且m ∈Z .求两方程的根都是整数的充要条件．1．研究命题及其关系时，要分清命题的题设和结论，把命题写成“如果……，那么……”的形式，当一个命题有大前提时，必须保留大前提，只有互为逆否的命题才有相同的真假性．2．在解决充分条件、必要条件等问题时，要给出p 与q 是否可以相互推出的两次判断，同时还要弄清是p 对q 而言，还是q 对p 而言．还要分清否命题与命题的否定的区别．3．本节体现了转化与化归的数学思想．答案自我检测1．『答案』C『解析』对于C选项，当x＝0时，03＝0，因此∀x∈R，x3>0是假命题．2．『答案』A『解析』a>0⇒|a|>0，|a|>0 a>0，∴“a>0”是“|a|>0”的充分不必要条件．3．『答案』A『解析』对于“x>0”⇒“x≠0”，反之不一定成立，因此“x>0”是“x≠0”的充分而不必要条件．4．『答案』C『解析』由四种命题逆否关系知，s是p的逆命题t的否命题．5．『答案』D『解析』因为原命题只与逆否命题是等价命题，所以只需写出原命题的逆否命题即可探究点一四种命题及其相互关系例1『答案』(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．真命题．否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．真命题．逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．真命题．(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．真命题．否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．真命题．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．假命题．(3)逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．真命题．否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧．真命题．逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．真命题．变式迁移1『答案』①③『解析』①的逆命题是“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，真；②的否命题是“不全等的三角形的面积不相等”，假；③若q ≤1，则Δ＝4－4q ≥0，所以x 2＋2x ＋q ＝0有实根，其逆否命题与原命题是等价命题，真；④的逆命题是“三个内角相等的三角形是不等边三角形”，假．探究点二充要条件的判断例2『答案』(1)∵x －2＝0⇒(x －2)(x －3)＝0；而(x －2)(x －3)＝0x －2＝0.∴p 是q 的充分不必要条件．(2)∵两个三角形相似两个三角形全等；但两个三角形全等⇒两个三角形相似．∴p 是q 的必要不充分条件．(3)∵m <－2⇒方程x 2－x －m ＝0无实根；方程x 2－x －m ＝0无实根m <－2.∴p 是q 的充分不必要条件．(4)∵矩形的对角线相等，∴p ⇒q ；而对角线相等的四边形不一定是矩形，∴qp .∴p 是q 的充分不必要条件．变式迁移2『答案』D『解析』①q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点⇔q ：Δ＝m 2－4(m ＋3)>0⇔q ：m <－2或m >6⇔p ；②当f (x )＝0时，由q p ；③若α，β＝k π＋π2，k ∈Z 时，显然cos α＝cos β，但tan α≠tan β；④p ：A ∩B ＝A ⇔p ：A ⊆B ⇔q ：∁U A ⊇∁U B .故①④符合题意．探究点三充要条件的证明例3证明 (1)必要性：设方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根x 0，则x 20＋2ax 0＋b 2＝0，x 20＋2cx 0－b 2＝0，两式相减可得x 0＝b 2c －a，将此式代入x 20＋2ax 0＋b 2＝0，可得b 2＋c 2＝a 2，故∠A ＝90°，(2)充分性：∵∠A ＝90°，∴b 2＋c 2＝a 2，b 2＝a 2－c 2.①将①代入方程x 2＋2ax ＋b 2＝0，可得x 2＋2ax ＋a 2－c 2＝0，即(x ＋a －c )(x ＋a ＋c )＝0.将①代入方程x 2＋2cx －b 2＝0，可得x 2＋2cx ＋c 2－a 2＝0，即(x ＋c －a )(x ＋c ＋a )＝0.故两方程有公共根x ＝－(a ＋c )．所以方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根的充要条件是∠A ＝90°.变式迁移3证明 (1)必要性：∵a ＋b ＝1，∴a ＋b －1＝0.∴a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－(a 2－ab ＋b 2)＝(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0.(2)充分性：∵a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0，即(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0.又ab ≠0，∴a ≠0且b ≠0.∵a 2－ab ＋b 2＝(a －b 2)2＋34b 2>0. ∴a ＋b －1＝0，即a ＋b ＝1.综上可知，当ab ≠0时，a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.转化与化归思想的应用例『答题模板』『答案』∵mx 2－4x ＋4＝0是一元二次方程，∴m ≠0. 『2分』另一方程为x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，两方程都要有实根，∴⎩⎪⎨⎪⎧ Δ1＝161－m ≥0，Δ2＝16m 2－44m 2－4m －5≥0，解得m ∈『－54，1』．『6分』∵两根为整数，故和与积也为整数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4m ∈Z 4m ∈Z 4m 2－4m －5∈Z ，∴m 为4的约数，『8分』∴m ＝－1或1，当m ＝－1时，第一个方程x 2＋4x －4＝0的根为非整数，而当m ＝1时，两方程均为整数根，∴两方程的根均为整数的充要条件是m ＝1. 『12分』『突破思维障碍』本题涉及到参数问题，先用转化思想将生疏复杂的问题化归为简单、熟悉的问题解决，两方程有实根易想Δ≥0.求出m 的范围，要使两方程根都为整数可转化为它们的两根之和与两根之积都是整数．『易错点剖析』易忽略一元二次方程这个条件隐含着m ≠0，不易把方程的根都是整数转化为两根之和与两根之积都是整数．1．研究命题及其关系时，要分清命题的题设和结论，把命题写成“如果……，那么……”的形式，当一个命题有大前提时，必须保留大前提，只有互为逆否的命题才有相同的真假性．2．在解决充分条件、必要条件等问题时，要给出p 与q 是否可以相互推出的两次判断，同时还要弄清是p 对q 而言，还是q 对p 而言．还要分清否命题与命题的否定的区别．3．本节体现了转化与化归的数学思想．。

高考数学一轮复习 1.2命题及其关系、充分条件与必要条件精品学案

2012版高三数学一轮精品复习学案：第一章集合与常用逻辑用语第二节命题及其关系、充分条件与必要条件【高考目标导航】一、考纲点击 1、理解命题的概念；2、了解“若p ，则q ”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；3、理解必要条件、充分条件与充要条件的意义。

二、热点、难点提示1、充分必要条件的判断和四种命题及其关系是本节考查的热点；2、多以选择题、填空题的形式出现，由于知识载体丰富，具有较强的综合性，属于中、低档题目；有时也在解答题中出现，考查对概念的理解与应用，难度不会太大。

【考纲知识梳理】 1、命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。

2、四种命题及其关系（1）四种命题命题表述形式原命题若p ，则q 逆命题若q ，则p 否命题若p ⌝，则q ⌝ 逆否命题若q ⌝，则p ⌝（3）四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为命题，它们的真假性没有关系；注：否命题是命题的否定吗？答：不是。

命题的否命题既否定命题的条件，又否定命题的结论，而命题的否定只否定命题的结论。

3、充分条件与必要条件（1）“若p ，则q ”为真命题，记p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。

（2）如果既有p q ⇒，又有q p ⇒，记作p q ⇔，则p 是q 的充要条件，q 也是p 的充要条件。

【要点名师透析】一、命题的关系与真假的判断 1、相关链接（1）对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假。

（2）四种命题的关系的应用掌握原命题和逆否命题，否命题和逆命题的等价性，当一个命题直接判断它的真假不易进行时，可以转而判断其逆否命题的真假。

注：当一个命题有大前提而写出其他三种命题时，必须保留大前提，大前提不动。

高考数学一轮复习第1章第2节命题及其关系、充分条件与必要条件学案文

第二节命题及其关系、充分条件与必要条件【考纲下载】1．理解命题的概念．2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件与必要条件(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)若p⇔q，则p与q互为充要条件．(3)若p⇒/ q，且q⇒/ p，则p是q的既不充分也不必要条件．1．在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中，其真命题的个数能否为1或3?提示：由于原命题与逆否命题是等价命题，逆命题与否命题是等价命题，所以真命题的个数可能为0,2,4，不可能为1或3.2．一个命题的否命题与这个命题的否定是同一个命题吗？提示：不是，一个命题的否命题是既否定该命题的条件，又否定该命题的结论，而这个命题的否定仅是否定它的结论．3．“p 是q 的充分不必要条件”与“p 的一个充分不必要条件是q ”两者的说法相同吗？提示：两者说法不相同．“p 的一个充分不必要条件是q ”等价于“q 是p 的充分不必要条件”，显然这与“p 是q 的充分不必要条件”是截然不同的．1．(2013·安徽高考)“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选B (2x －1)x ＝0⇒x ＝12或x ＝0；x ＝0⇒(2x －1)·x ＝0.2．命题“若x 2＞y 2，则x ＞y ”的逆否命题是( ) A ．“若x ＜y ，则x 2＜y 2” B ．“若x ＞y ，则x 2＞y 2” C ．“若x ≤y ，则x 2≤y 2” D ．“若x ≥y ，则x 2≥y 2”解析：选C 根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x 2＞y 2，则x ＞y ”的逆否命题是“若x ≤y ，则x 2≤y 2”．3．(教材习题改编)命题“如果b 2－4ac ＞0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实根”的否命题、逆命题和逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 原命题为真，则它的逆否命题为真，逆命题为“若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实根，则b 2－4ac ＞0”，为真命题，则它的否命题也为真．4．命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是 ( ) A ．若f (x )是偶函数，则f (－x )是偶函数 B ．若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数 C ．若f (－x )是奇函数，则f (x )是奇函数 D ．若f (－x )不是奇函数，则f (x )不是奇函数解析：选B 原命题的否命题是既否定题设又否定结论，故“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是B 选项．5．下面四个条件中，使a ＞b 成立的充分而不必要的条件是 ( ) A ．a ＞b ＋1 B ．a ＞b －1 C ．a 2＞b 2D ．a 3＞b 3解析：选A 由a ＞b ＋1，且b ＋1＞b ，得a ＞b ；反之不成立.方法博览(一)三法破解充要条件问题1．定义法定义法就是将充要条件的判断转化为两个命题——“若p ，则q ”与“若q ，则p ”的判断，根据两个命题是否正确，来确定p 与q 之间的充要关系．[典例1] 设0＜x ＜π2，则“x sin 2x ＜1”是“x sin x ＜1”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[解题指导] 由0＜x ＜π2可知0＜sin x ＜1，分别判断命题“若x sin 2x ＜1，则x sin x＜1”与“若x sin x ＜1，则x sin 2x <1”的真假即可．[解析] 因为0<x <π2，所以0<sin x <1，不等式x sin x <1两边同乘sin x ，可得x sin 2x <sin x ，所以有x sin 2x <sin x <1.即x sinx <1⇒x sin 2x <1；不等式x sin 2x <1两边同除以sin x ，可得x sin x <1sin x ，而由0<sin x <1，知1sin x >1，故x sin x <1不一定成立，即x sin 2x <1⇒/ x sin x <1.综上，可知“x sin 2x <1”是“x sin x <1”的必要不充分条件． [答案] C[点评] 判断p 、q 之间的关系，只需判断两个命题A ：“若p ，则q ”和B ：“若q ，则p ”的真假．(1)若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件； (2)若q ⇒p ，则p 是q 的必要条件； (3)若p ⇒q 且q ⇒p ，则p 是q 的充要条件； (4)若p ⇒q 且q ⇒/ p ，则p 是q 的充分不必要条件； (5)若p ⇒/ q 且q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件； (6)若p ⇒/ q 且q ⇒/ p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件． 2．集合法集合法就是利用满足两个条件的参数取值所构成的集合之间的关系来判断充要关系的方法．主要解决两个相似的条件难以进行区分或判断的问题．[典例2] 若A ：log 2a <1，B ：x 的二次方程x 2＋(a ＋1)x ＋a －2＝0的一个根大于零，另一根小于零，则A 是B 的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[解题指导] 分别求出使A 、B 成立的参数a 的取值所构成的集合M 和N ，然后通过集合M 与N 之间的关系来判断．[解析] 由log 2a <1，解得0<a <2，所以满足条件A 的参数a 的取值集合为M ＝{a |0<a <2}；而方程x 2＋(a ＋1)x ＋a －2＝0的一根大于零，另一根小于零的充要条件是f (0)<0，即a －2<0，解得a <2，即满足条件B 的参数a 的取值集合为N ＝{a |a <2}，显然M N ，所以A 是B 的充分不必要条件．[答案] B[点评] 利用集合间的关系判断充要条件的方法等价转化法就是在判断含有逻辑联结词“否”的有关条件之间的充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断．[典例3] 已知条件p ：4x －1≤－1，条件q ：x 2－x <a 2－a ，且非q 的一个充分不必要条件是非p ，则a 的取值范围是________．[解题指导] “非q 的一个充分不必要条件是非p ”等价于“p 是q 的一个必要不充分条件”．[解析] 由4x －1≤－1，得－3≤x <1. 由x 2－x <a 2－a ，得(x －a )[x ＋(a －1)]<0，当a >1－a ，即a >12时，不等式的解为1－a <x <a ；当a ＝1－a ，即a ＝12时，不等式的解为∅；当a <1－a ，即a <12时，不等式的解为a <x <1－a .由非q 的一个充分不必要条件是非p ，可知非p 是非q 的充分不必要条件，即p 为q 的一个必要不充分条件，即条件q 对应的x 取值集合是条件p 对应的x 取值集合的真子集．当a >12时，由{x |1－a <x <a } {x |－3≤x <1}，得⎩⎪⎨⎪⎧－3≤1－a ，1≥a ，解得12<a ≤1；当a ＝12时，因为空集是任意一个非空集合的真子集，所以满足条件；当a <12时，由{x |a <x <1－a } {x |－3≤x <1}，得⎩⎪⎨⎪⎧－3≤a ，1≥1－a ，解得0≤a <12.综上，a 的取值范围是[0,1]． [答案] [0,1][点评] 条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假.。

一轮复习配套讲义：第1篇第2讲命题及其关系、充分条件与必要条精品教案导学案

由 q：x2－2x＋1－m2≤0，
得 1－m≤x≤1＋m，
∴q：Q＝{x|1－m≤x≤1＋m}，
| |x－1
1－
由 p：
3 ≤2，
解得－2≤x≤10，
∴p：P＝{x|－2≤x≤10}．
∵p 是 q 的充分而不必要条件，
∴P Q，∴Error!或Error!
即 m≥9 或 m＞9.∴m≥9.
故实数 m 的取值范围是[9，＋∞)．
C．[－1，＋∞) D．(－∞，－3]
解析由 x2＋2x－3＞0，得 x＜－3 或 x＞1，由綈 q 的一个充分不必要条件是綈 p，可知綈 p 是綈 q 的充分不必要条件，等价于 q 是 p 的充分不必要条件．故 a≥1. 答案 A
对应学生用书 P221
基础巩固题组 (建议用时：40 分钟)
一、选择题
p⇔q
p 是 q 的既不充分也不必要条件
p q且q p
辨析感悟
1．对四种命题的认识 π
(1)(2012·湖南卷改编)命题“α＝4，则 tan
π α＝1”的否命是“若 α＝4，则 tan
α≠1”．(×)
(2)若原命题“若 p，则 q”为真，则在这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中真命题的个数为 1 或 2.(×) (3)命题“若 x2－3x＋2＞0，则 x＞2 或 x＜1”的逆否命题是“若 1≤x≤2，则 x2－3x＋2≤0”．(√) 2．对充分条件、必要条件的理解 (4)给定两个命题 p，q.若 p 是 q 的充分不必要条件，则綈 p 是綈 q 的必要不充分条件．(√) (5)“(2x－1)x＝0”的充分不必要条件是“x＝0”．(√)
1 (6)在△ABC 中，“A＝60°”是“cos A＝2”的充分不必要条件．(×) (7)(2013·浙江卷改编)已知函数 f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x∈R)，则“f(x)是

高考数学一轮总复习第一章 1.2命题及其关系、充分条件与必要条件

思维升华
(1)写一个命题的其他三种命题时，需注意： ①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写； ②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提. (2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题需举出反例即可. (3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真
师生共研
题型二充分、必要条件的判定
(2)设n∈N*，则一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条解析由Δ＝16－4n≥0，得n≤4，又n∈N*，则n＝1,2,3,4. 当n＝1,2时，方程没有整数根；当n＝3时，方程有整数根1,3，当n＝4时，方程有整数根2.综上可知，n＝3或4.
核心素养之逻辑推理
HEXINSUYANGZHILUOJITUILI
(2)已知条件p：x>1或x<－3，条件q：5x－6>x2，则綈p是綈q的
√A.充分不必要条件
C.充要条件
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
解析由5x－6>x2，得2<x<3，即q：2<x<3.
所以q⇒p，p⇏q，所以綈p⇒綈q，綈q⇏綈p，
所以綈p是綈q的充分不必要条件，故选A.
思维升华
解由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10} 由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.
1－m≤1＋m，则1－m≥－2， ∴0≤m≤3.

1＋m≤10，
引申探究
若本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条解若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，
3.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条
p是q的充分不必要条件

高三数学一轮复习优质教案6：1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件教学设计

1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件一、必记个知识点1．命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及相互关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．4．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．二、必明2个易误区1．易混否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．2．注意区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B ⇒/A)；与A的充分不必要条件是B(B⇒A 且A⇒/B)两者的不同．三、必会2个方法1．判断充分条件和必要条件的方法(1)命题判断法：设“若p，则q”为原命题，那么：①原命题为真，逆命题为假时，p是q的充分不必要条件；②原命题为假，逆命题为真时，p是q的必要不充分条件；③原命题与逆命题都为真时，p是q的充要条件；④原命题与逆命题都为假时，p是q的既不充分也不必要条件．(2)集合判断法：从集合的观点看，建立命题p，q相应的集合：p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}，那么：①若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；若A B 时，则p 是q 的充分不必要条件；②若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件；若B A 时，则p 是q 的必要不充分条件；③若A ⊆B 且B ⊆A ，即A ＝B 时，则p 是q 的充要条件．(3)等价转化法：p 是q 的什么条件等价于⌝q 是⌝p 的什么条件．2．转化与化归思想由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．考点一命题及其相互关系1.命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( ) A ．若α≠π4，则tan α≠1 B ．若α＝π4，则tan α≠1 C ．若tan α≠1，则α≠π4 D ．若tan α≠1，则α＝π4『解析』选C 命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”．考点二充分必要条件的判定『典例』 (1)(2013·山东高考)给定两个命题p ，q .若⌝p 是q 的必要而不充分条件，则p 是⌝q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2013·北京高考)“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件『解析』 (1)由q ⇒⌝p 且⌝p ⇒/ q 可得p ⇒⌝q 且⌝q ⇒/p ，所以p 是⌝q 的充分而不必要条件．(2)由sin φ＝0可得φ＝k π(k ∈Z )，此为曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点的充要条件，故“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的充分而不必要条件．『答案』 (1)A (2)A『针对训练』下列各题中，p 是q 的什么条件？(1)在△ABC 中，p ：A ＝B ，q ：sin A ＝sin B ；(2)p ：|x |＝x ，q ：x 2＋x ≥0.解：(1)若A ＝B ，则sin A ＝sin B ，即p ⇒q .又若sin A ＝sin B ，则2R sin A ＝2R sin B ，即a ＝b .故A ＝B ，即q ⇒p .所以p 是q 的充要条件．(2)p ：{x ||x |＝x }＝{x |x ≥0}＝A ，q ：{x |x 2＋x ≥0}＝{x |x ≥0，或x ≤－1}＝B ，∵A B ，∴p 是q 的充分不必要条件．考点三充分必要条件的应用『典例』已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．(1)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件，若存在，求出m 的范围；(2)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的必要条件，若存在，求出m 的范围．『解』 (1)由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10，∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，∵x ∈P 是x ∈S 的充要条件，∴P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9，这样的m 不存在．(2)由题意x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P .∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴m ≤3. 综上，可知m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件．课后作业『试一试』1．(2013·福建高考)设点P (x ，y )，则“x ＝2且y ＝－1”是“点P 在直线l ：x ＋y －1＝0上”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件『解析』选A “x ＝2且y ＝－1”满足方程x ＋y －1＝0，故“x ＝2且y ＝－1”可推出“点P 在直线l ：x ＋y －1＝0上”；但方程x ＋y －1＝0有无数多个解，故“点P 在直线l ：x ＋y －1＝0上”不能推出“x ＝2且y ＝－1”，故“x ＝2且y ＝－1”是“点P 在直线l ：x ＋y －1＝0上”的充分不必要条件．2．“在△ABC 中，若∠C ＝90°，则∠A 、∠B 都是锐角”的否命题为：____________________. 『解析』原命题的条件：在△ABC 中，∠C ＝90°，结论：∠A 、∠B 都是锐角．否命题是否定条件和结论．即“在△ABC 中，若∠C ≠90°，则∠A 、∠B 不都是锐角”．『答案』“在△ABC 中，若∠C ≠90°，则∠A 、∠B 不都是锐角”『练一练』1．(2014·济南模拟)设x ∈R ，则“x 2－3x >0”是“x >4”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件『解析』选B 由x 2－3x >0得x >3或x <0，此时得不出x >4，但当x >4时，不等式x 2－3x >0恒成立，所以正确选项为B.2．与命题“若a ∈M ，则b ∉M ”等价的命题是________．『解析』原命题与其逆否命题为等价命题．『答案』若b ∈M ，则a ∉M做一做1．(2013·安徽高考)“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件『解析』选B 由(2x －1)x ＝0可得x ＝12或0，因为“x ＝12或0”是“x ＝0”的必要不充分条件．2．(2013·九江一模)命题“若x 2>y 2，则x >y ”的逆否命题是( )A ．“若x <y ，则x 2<y 2”B ．“若x >y ，则x 2>y 2”C ．“若x ≤y ，则x 2≤y 2”D ．“若x ≥y ，则x 2≥y 2”『解析』选C 根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x 2>y 2，则x >y ”的逆否命题是“若x ≤y ，则x 2≤y 2”．3．(2014·福建质检)已知向量a ＝(m 2,4)，b ＝(1,1)，则“m ＝－2”是“a ∥b ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件『解析』选A 依题意，当m ＝－2时，a ＝(4,4)，b ＝(1,1)，所以a ＝4b ，a ∥b ，即由m ＝－2可以推出a ∥b ；当a ∥b 时，m 2＝4，得m ＝±2，所以不能推得m ＝－2，即“m ＝－2”是“a ∥b ”的充分而不必要条件．4．(2013·聊城期末)设集合A ，B 是全集U 的两个子集，则A B 是(∁U A )∪B ＝U 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件『解析』选A 如图所示，A B ⇒(∁U A )∪B ＝U ；但(∁U A )∪B ＝U ⇒/A B ，如A ＝B ，因此A B 是(∁U A )∪B ＝U 的充分不必要条件．5．命题“若a >b ，则a －1>b －1”的否命题是________．『答案』若a ≤b ，则a －1≤b －1 6.创新题已知集合A ＝{x |y ＝lg(4－x )}，集合B ＝{x |x <a }，若P ：“x ∈A ”是Q ：“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．『解析』A ＝{x |x <4}，由题意得A B 结合数轴易得a >4.『答案』(4，＋∞)『课下提升考能』1．设集合M ＝{x |0<x ≤3}，N ＝{x |0<x ≤2}，那么“a ∈M ”是“a ∈N ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件『解析』选B M ＝{x |0<x ≤3}，N ＝{x |0<x ≤2}，所以NM ，故a ∈M 是a ∈N 的必要不充分条件．2．(2013·潍坊模拟)命题“若△ABC 有一内角为π3，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题( )A ．与原命题同为假命题B ．与原命题的否命题同为假命题C ．与原命题的逆否命题同为假命题D ．与原命题同为真命题『解析』选D 原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC 的三内角成等差数列，则△ABC 有一内角为π3”，它是真命题． 3．(2013·乌鲁木齐质检)“a >0”是“a 2＋a ≥0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件『解析』选A a >0⇒a 2＋a ≥0；反之a 2＋a ≥0⇒a ≥0或a ≤－1，不能推出a >0，选A.。

高三数学复习学案1.2命题及其关系、充分条件与必要条件

1．2命题及其关系、充分条件与必要条件复习指导：复习时一定要紧扣概念，联系具体数学实例，理清命题之间的相互关系，重点解决：(1)命题的概念及命题构成；(2)四种命题及四种命题间的相互关系；(3)充分条件、必要条件、充要条件的概念的理解及判定．基础梳理:1．命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题(2)四种命题间的逆否关系(3)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．一个区别否命题与命题的否定是两个不同的概念：①否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；②命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．两条规律(1)逆命题与否命题互为逆否命题；(2)互为逆否命题的两个命题同真假．三种方法充分条件、必要条件的判断方法(1)定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．(2)等价法：利用p⇒q与綈q⇒綈p，q⇒p与綈p⇒綈q，p⇔q与綈q⇔綈p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(3)集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．当堂练习：1．以下三个命题：①“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件；②“|a|＞|b|”是“a2＞b2”的必要条件；③“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要条件．其中真命题的序号是________．解析①由2＞－3⇒/ 22＞(－3)2知，该命题为假；②a2＞b2⇒|a|2＞|b|2⇒|a|＞|b|，该命题为真；③a＞b⇒a＋c＞b＋c，又a＋c＞b＋c⇒a＞b；∴“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要条件为真命题．答案②③2．设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是( )．A．若a≠－b，则|a|≠|b| B．若a＝－b，则|a|≠|b|C．若|a|≠|b|，则a≠－b D．若|a|＝|b|，则a＝－b解析“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是“若|a|＝|b|，则a＝－b”．答案 D3．对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的( )．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析若y＝f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，∴|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，∴y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，但若y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，如y＝f(x)＝x2，而它不是奇函数，故选B.答案 B4．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )．A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数解析原命题是全称命题，则其否定是特称命题，故选D.答案 D5．命题“若a＞b，则2a＞2b－1”的否命题为 .答案若a≤b，则有2a≤2b－1例题分析：例1设集合A、B，有下列四个命题：①A B⇔对任意x∈A都有x∉B；②A B⇔A∩B＝∅；③A B⇔B A；④A B⇔存在x∈A，使得x∉B.其中真命题的序号是______(把符合要求的命题序号都填上)．[审题视点] 对于假命题，举出恰当的反例是一难点．解析①不正确，如A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，有A B但2∈A且2∈B.②不正确，如A＝{1,2}，B＝{2,3}，有A B而A∩B＝{2}．③不正确，如A＝{1,2}，B＝{2}，有A B但B⊆A.④正确．答案④方法总结：正确的命题要有充分的依据，不一定正确的命题要举出反例，这是最基本的数学思维方式，也是两种不同的解题方向，有时举出反例可能比进行推理论证更困难，二者同样重要．训练1、给出如下三个命题：①四个非零实数a，b，c，d依次成等比数列的充要条件是ad＝bc；②设a，b∈R，且ab≠0，若ab＜1，则ba＞1；③若f(x)＝log2x，则f(|x|)是偶函数．其中不正确命题的序号是( )．A．①②③B．①②C ．②③D ．①③解析对于①，可举反例：如a ，b ，c ，d 依次取值为1,4,2,8，故①错；对于②，可举反例：如a 、b 异号，虽然a b ＜1，但b a ＜0，故②错；对于③，y ＝f (|x |)＝log 2|x |，显然为偶函数，故选B.答案 B考向二四种命题的真假判断例2已知命题“若函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是增函数，则m ≤1”，则下列结论正确的是( )．A ．否命题是“若函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是减函数，则m ＞1”，是真命题B ．逆命题是“若m ≤1，则函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题C ．逆否命题是“若m ＞1，则函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题D ．逆否命题是“若m ＞1，则函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题[审题视点] 分清命题的条件和结论，理解四种命题间的关系是解题关键．解析 f ′(x )＝e x －m ≥0在(0，＋∞)上恒成立，即m ≤e x 在(0，＋∞)上恒成立，故m ≤1，这说明原命题正确，反之若m ≤1，则f ′(x )＞0在(0，＋∞)上恒成立，故逆命题正确，但对增函数的否定不是减函数，而是“不是增函数”，故选D.答案 D方法总结：判断四种形式的命题真假的基本方法是先判断原命题的真假，再判断逆命题的真假，然后根据等价关系确定否命题和逆否命题的真假．如果原命题的真假不好判断，那就首先判断其逆否命题的真假．训练2 已知命题“函数f (x )、g (x )定义在R 上，h (x )＝f (x )·g (x )，如果f (x )、g (x )均为奇函数，则h (x )为偶函数”的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数是( )．A ．0B ．1C ．2D ．3解析由f (x )、g (x )均为奇函数，可得h (x )＝f (x )·g (x )为偶函数，反之则不成立，如h (x )＝x 2是偶函数，但函数f (x )＝x 2e x ，g (x )＝e x都不是奇函数，故逆命题不正确，故其否命题也不正确，即只有原命题和逆否命题正确．答案 C考向三充要条件的判断例3指出下列命题中，p 是q 的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC 中，p ：∠A ＝∠B ，q ：sin A ＝sin B ；(2)对于实数x 、y ，p ：x ＋y ≠8，q ：x ≠2或y ≠6；(3)非空集合A 、B 中，p ：x ∈A ∪B ，q ：x ∈B ；(4)已知x、y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.审题视点结合充分条件，必要条件的定义判断所给命题间的关系．解(1)在△ABC中，∠A＝∠B⇒sin A＝sin B，反之，若sin A＝sin B，因为A与B不可能互补(因为三角形三个内角和为180°)，所以只有A＝B.故p是q的充要条件．(2)易知，綈p：x＋y＝8，綈q：x＝2且y＝6，显然綈q⇒綈p，但綈p⇒/ 綈q，即綈q是綈p的充分不必要条件，根据原命题和逆否命题的等价性知，p是q的充分不必要条件．(3)显然x∈A∪B不一定有x∈B，但x∈B一定有x∈A∪B，所以p是q的必要不充分条件．(4)条件p：x＝1且y＝2，条件q：x＝1或y＝2，所以p⇒q但q⇒/ p，故p是q的充分不必要条件．方法总结：判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q，二是由条件q能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．训练3设{a n}是首项大于零的等比数列，则“a1＜a2”是“数列{a n}是递增数列”的( )．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析a1＜a2且a1＞0，则a1(1－q)＜0，a1＞0且q＞1，则数列{a n}递增；反之亦然．答案：C。

2012届高考数学(文)一轮复习课件2命题及其关系充分条件与必要条件(人教A版)

题､否命题､逆否命题这四个命题中真命题的个数可能是0个､2 个､ 4个 .
2019/4/12
【典例2】分别写出下列命题的逆命题､否命题､逆否命题､命题
的否定,并判断它们的真假: (1)若q≤1,则方程x2+2x+q=0有实根; (2)若xy=0,则x=0或y=0; (3)若x2+y2=0,则x、y全为0.
2019/4/12
(2)m>2时,取m=3,此时方程为x2-3x+6=0无实根,即m>2不能推出
x1>1且x2>1.
由(1)(2)知m>2是方程的两根都大于1的必要不充分条件.
答案:B
2019/4/12
3.(2010·陕西)对于数列{an},“an+1>|an|(n=1,2,…)”是“{an}为递
2019/4/12
[探究] 是否存在实数p,使“4x+p<0”是“x2-x-2>0”的充分条件?
如果存在,求出p的取值范围.
[分析] “4x+p<0”是条件,“x2-x-2>0”是结论,先解出这两个不
等式,再探求符合条件的p的范围.
2019/4/12
[解]x 2 x 2 0的解是x 2或x 1,由4x p 0得 p p x .要想使x 时x 2或x 1成立, 必须有 4 4 p p ≤ 1, 即p≥4, 所以当p≥4时, ≤ 1 x 1 4 4 2 2 x x 2 0, 所以p≥4时“ , 4x p 0”是“x x 2 0” 的充分条件.
2019/4/12
[反思感悟] 本题用集合的包含关系去理解更容易解答,注意结合
数轴确定p的范围.

(通用版)高考数学一轮复习1.2命题及其关系、充分条件与必要条件讲义理

第二节命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系四种命题间的相互关系四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系3．充分条件、必要条件的判定⇐充分条件与必要条件的定义从集合角度理解若 p⇒q，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必 p 成立的对象的集合为 A，q 成立的对象要条件的集合为 Bp 是 q 的充分不必要条件p⇒q 且 q⇒/ pA 是 B 的真子集p 是 q 的必要不充分条件p⇒/ q 且 q⇒ pp 是 q 的充要条件p⇔qB 是 A 的真子集 A＝B集合与充要条件的关系⇐p 是 q 的既不充分也不必要条件p⇒/ q 且 q ⇒/ pA，B 互不包含否命题对题设和结论都进行否定．在判断充分、必要条件的时候，一定要从 p 能否推出 q，q 能否推出 p 两方面去判断：对于 q⇒p，要能够证明，而对于 p⇒/ q，只需举一反例即可．小可以推大，大不可以推小，如 x>2(小范围)⇒x>1(大范围)，x>1(大范围)⇒/ x>2(小范围)． [熟记常用结论]1．充分条件与必要条件的两个特征 (1)对称性：若 p 是 q 的充分条件，则 q 是 p 的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”． (2)传递性：若 p 是 q 的充分(必要)条件，q 是 r 的充分(必要)条件，则 p 是 r 的充分(必要)条件，即“p⇒q 且 q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q 且 q⇐r”⇒“p⇐r”)． 2．利用互为逆否命题“同真、同假”的特点，可得： (1)p⇒q 等价于綈 q⇒綈 p； (2)q⇒/ p 等价于綈 p ⇒/ 綈 q.[小题查验基础] 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)“x2＋2x－8＜0”是命题．( ) (2)一个命题非真即假．( ) (3)四种形式的命题中，真命题的个数为 0 或 2 或 4.( ) 答案：(1)×　(2)√　(3)√ 二、选填题 1．已知命题 p：若 x≥a2＋b2，则 x≥2ab，则下列说法正确的是( ) A．命题 p 的逆命题是“若 x＜a2＋b2，则 x＜2ab” B．命题 p 的逆命题是“若 x＜2ab，则 x＜a2＋b2” C．命题 p 的否命题是“若 x＜a2＋b2，则 x＜2ab” D．命题 p 的否命题是“若 x≥a2＋b2，则 x＜2ab” 解析：选 C　命题 p 的逆命题是“若 x≥2ab，则 x≥a2＋b2”，故 A、B 都错误；命题 p 的否命题是“若 x＜ a2＋b2，则 x＜2ab”，故 C 正确，D 错误． 2．“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选 A　因为 cos 2α＝cos2α－sin2α＝0，所以 sin α＝±cos α，所以“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的充分不必要条件．故选 A.3．原命题“设 a，b，c∈R，若 a>b，则 ac2>bc2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A．0 B．1C．2D．4解析：选 C　当 c＝0 时，ac2＝bc2，所以原命题是假命题；由于原命题与逆否命题的真假一致，所以逆否命题也是假命题；逆命题为“设 a，b，c∈R，若 ac2>bc2，则 a>b”，它是真命题；由于否命题与逆命题的真假一致，所以否命题也是真命题．综上所述，真命题有 2 个．4．(2019·青岛模拟)命题“若 a，b 都是偶数，则 ab 是偶数”的逆否命题为______________________．答案：若 ab 不是偶数，则 a，b 不都是偶数5．“x(x－1)＝0”是“x＝1”的________条件(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)．解析：x(x－1)＝0⇒x＝0 或 x＝1，即 x(x－1)＝0 不一定有 x＝1 成立；但 x＝1 能推出 x(x－1)＝0 成立．故“x(x－1)＝0”是“x＝1”的必要不充分条件．答案：必要不充分考点一[基础自学过关] 命题及其关系[题组练透]1．命题“若 x2＋y2＝0(x，y∈R)，则 x＝y＝0”的逆否命题是( )A．若 x≠y≠0(x，y∈R)，则 x2＋y2＝0B．若 x＝y≠0(x，y∈R)，则 x2＋y2≠0C．若 x≠0 且 y≠0(x，y∈R)，则 x2＋y2≠0D．若 x≠0 或 y≠0(x，y∈R)，则 x2＋y2≠0解析：选 D　x2＋y2＝0 的否定为 x2＋y2≠0；x＝y＝0 的否定为 x≠0 或 y≠0.故“若 x2＋y2＝0(x，y∈R)，则 x＝y＝0”的逆否命题为“若 x≠0 或 y≠0(x，y∈R)，则 x2＋y2≠0”．2．有以下命题：①“若 xy＝1，则 x，y 互为倒数”的逆命题；②“面积相等的两个三角形全等”的否命题；③“若 m≤1，则 x2－2x＋m＝0 有实数解”的逆否命题；④“若 A∩B＝B，则 A⊆B”的逆否命题．其中真命题为( )A．①② B．②③C．④D．①②③解析：选 D　①“若 x，y 互为倒数，则 xy＝1”是真命题；②“面积不相等的两个三角形一定不全等”，是真命题；③若 m≤1，则 Δ＝4－4m≥0，所以原命题是真命题，故其逆否命题也是真命题；④由 A∩B＝B，得 B⊆A，所以原命题是假命题，故其逆否命题也是假命题．故选 D.3．给出命题：若函数 y＝f(x)是幂函数，则函数 y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )A．3B．2C．1D．0解析：选 C　易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题、否命题是假命题，故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题只有一个．[名师微点]1．由原命题写出其他 3 种命题的方法由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．[提醒]　(1)对于不是“若 p，则 q”形式的命题，需先改写；(2)当命题有大前提时，写其他三种命题时需保留大前提．2．判断命题真假的 2 种方法(1)直接判断：判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．(2)间接判断：根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其逆否命题的真假．考点二[师生共研过关] 充分条件、必要条件的判定[典例精析]| | (1)(2018·天津高考)设 x∈R，则“ x－12＜1”是“x3＜1”的( ) 2A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2018·北京高考)设 a，b，c，d 是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d 成等比数列”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(3)“a＝0”是“函数 f(x)＝sin x－1x＋a 为奇函数”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件| | | | [解析]　(1)由 x－12＜12，得 0＜x＜1，则 0＜x3＜1，即“ x－12＜1”⇒“x3＜1”； 2| | 由 x3＜1，得 x＜1，当 x≤0 时， x－12≥1， 2| | 即“x3＜1”⇒/ “ x－12＜1”． 2| | 所以“ x－12＜1”是“x3＜1”的充分而不必要条件． 2(2)a，b，c，d 是非零实数，若 a＜0，d＜0，b>0，c>0，且 ad＝bc，则 a，b，c，d 不成等比数列(可以假设 a＝－2，d＝－3，b＝2，c＝3)．若 a，b，c，d 成等比数列，则由等比数列的性质可知 ad＝bc.所以“ad＝bc”是“a，b，c，d 成等比数列”的必要而不充分条件．(3)f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，当 a＝0 时，f(x)＝sin x－1x，f(－x)＝sin(－x)－－1x＝－sin x( ) ＋1x＝－ sin x－1x ＝－f(x)，故 f(x)为奇函数；反之，当 f(x)＝sin x－1x＋a 为奇函数时，f(－x)＋f(x)＝0，又 f(－x)＋f(x)＝sin(－x)－－1x＋a＋sin x－1x＋ a＝2a，故 a＝0，所以“a＝0”是“函数 f(x)＝sin x－1x＋a 为奇函数”的充要条件，故选 C.[答案]　(1)A　(2)B　(3)C[解题技法]充分、必要条件的判断 3 种方法利用定义判直接判断“若 p，则 q”“若 q，则 p”的真假．在判断时，确定条件是什么、结断论是什么从集合的角利用集合中包含思想判定．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，度判断即可解决充分必要性的问题利用等价转化法条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假[过关训练]1．(2018·衡阳模拟)对于函数 y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于 y 轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选 B　若 y＝f(x)为奇函数，则 y＝|f(x)|的图象关于 y 轴对称，反过来不成立，因为当 y＝f(x)为偶函数时，y＝|f(x)|的图象也关于 y 轴对称．故选 B.2．(2018·北京高考)设 a，b 均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选 C　由|a－3b|＝|3a＋b|，得(a－3b)2＝(3a＋b)2，即 a2＋9b2－6a·b＝9a2＋b2＋6a·b.又 a，b 均为单位向量，所以 a2＝b2＝1，所以 a·b＝0，能推出 a⊥b.由 a⊥b 得|a－3b|＝ 10，|3a＋b|＝ 10，能推出|a－3b|＝|3a＋b|，所以“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的充分必要条件．3．设 a，b 是实数，则“a>b”是“a2>b2”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选 D　a>b 不能推出 a2>b2，例如 a＝－1，b＝－2；a2>b2 也不能推出 a>b，例如 a＝－2，b＝1.故“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件．考点三[师生共研过关] 充分条件、必要条件的探求与应用[典例精析](1)命题“∀x∈[1,3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A．a≥9B．a≤9C．a≥10D．a≤10(2)已知 P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合 S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若 x∈P 是 x∈S 的必要条件，则 m 的取值范围为________．[解析]　(1)命题“∀x∈[1,3]，x2－a≤0”⇔“∀x∈[1,3]，x2≤a”⇔9≤a.则 a≥10 是命题“∀x∈[1,3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件．(2)由 x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}．∵x∈P 是 x∈S 的必要条件，则 S⊆P，∴Error!解得 0≤m≤3，故 0≤m≤3 时，x∈P 是 x∈S 的必要条件．[答案]　(1)C　(2)[0,3][变式发散] 1．(变条件)本例(2)中条件“若 x∈P 是 x∈S 的必要条件”变为“綈 P 是綈 S 的必要不充分条件”，其他条件不变．求实数 m 的取值范围．解：由例题知 P＝{x|－2≤x≤10}．∵綈 P 是綈 S 的必要不充分条件，∴P 是 S 的充分不必要条件，∴P⇒S 且 S⇒/ P. ∴[－2,10]⇐[1－m,1＋m]．∴Error!或Error!∴m≥9，则 m 的取值范围是[9，＋∞)．2．(变设问)本例(2)条件不变，问是否存在实数 m，使 x∈P 是 x∈S 的充要条件？并说明理由．解：由例题知 P＝{x|－2≤x≤10}．若 x∈P 是 x∈S 的充要条件，则 P＝S，∴Error!∴Error!这样的 m 不存在．[解题技法]根据充分、必要条件求解参数范围的方法及注意点(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．[过关训练]1．使 a>0，b>0 成立的一个必要不充分条件是( )A．a＋b>0B．a－b>0C．ab>1 D.ab>1 解析：选 A　因为 a>0，b>0⇒a＋b>0，反之不成立，而由 a>0，b>0 不能推出 a－b>0，ab>1，ab>1，故选 A.2．已知命题 p：x2＋2x－3>0；命题 q：x>a，且綈 q 的一个充分不必要条件是綈 p，则 a 的取值范围是( )A．[1，＋∞)B．(－∞，1]C．[－1，＋∞)D．(－∞，－3]解析：选 A　由 x2＋2x－3>0，得 x＜－3 或 x>1，由綈 q 的一个充分不必要条件是綈 p，可知綈 p 是綈 q 的充分不必要条件，等价于 q 是 p 的充分不必要条件，故 a≥1.故选 A.[课时跟踪检测]一、题点全面练1．命题“若 a>b，则 a＋c>b＋c”的否命题是( )A．若 a≤b，则 a＋c≤b＋c　B．若 a＋c≤b＋c，则 a≤bC．若 a＋c>b＋c，则 a>bD．若 a>b，则 a＋c≤b＋c解析：选 A　“若 p，则 q”的否命题是“若綈 p，则綈 q”，所以原命题的否命题是“若 a≤b，则 a＋c≤b＋c”，故选 A.2．命题“若 α＝π，则 tan α＝1”的逆否命题是( ) 4A．若 α≠π，则 tan α≠1 4B．若 α＝π，则 tan α≠1 4C．若 tan α≠1，则 α≠π 4D．若 tan α≠1，则 α＝π 4解析：选 C　以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若 α＝π，则 tan α＝ 41”的逆否命题是“若 tan α≠1，则 α≠π”． 43．有下列几个命题：①“若 a>b，则1a>1b”的否命题； ②“若 x＋y＝0，则 x，y 互为相反数”的逆命题；③“若 x2＜4，则－2＜x＜2”的逆否命题．其中真命题的序号是( )A．① B．①②C．②③D．①②③解析：选 C　①原命题的否命题为“若 a≤b，则1a≤1b”，假命题；②原命题的逆命题为“若 x，y 互为相反数，则 x＋y＝0”，真命题；③原命题为真命题，故逆否命题为真命题．所以真命题的序号是②③.4．设 A，B 是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选 C　由 A∩B＝A 可得 A⊆B，由 A⊆B 可得 A∩B＝A.所以“A∩B＝A”是“A⊆B”的充要条件．故选C.5．(2019·西城区模拟)设平面向量 a，b，c 均为非零向量，则“a·(b－c)＝0”是“b＝c”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选 B　由 b＝c，得 b－c＝0，得 a·(b－c)＝0；反之不成立．故“a·(b－c)＝0”是“b＝c”的必要不充分条件．6．(2019·抚州七校联考)A，B，C 三个学生参加了一次考试，A，B 的得分均为 70 分，C 的得分为 65分．已知命题 p：若及格分低于 70 分，则 A，B，C 都没有及格．则下列四个命题中为 p 的逆否命题的是( )A．若及格分不低于 70 分，则 A，B，C 都及格B．若 A，B，C 都及格，则及格分不低于 70 分C．若 A，B，C 至少有一人及格，则及格分不低于 70 分D．若 A，B，C 至少有一人及格，则及格分高于 70 分解析：选 C　根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题 p 的逆否命题是若 A，B，C 至少有一人及格，则及格分不低于 70 分．故选 C.7．(2019·湘东五校联考)“不等式 x2－x＋m>0 在 R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A．m>14 C．m>0B．0＜m＜1 D．m>1解析：选 C　若不等式 x2－x＋m>0 在 R 上恒成立，则 Δ＝(－1)2－4m＜0，解得 m>1，因此当不等式 4x2－x＋m>0 在 R 上恒成立时，必有 m>0，但当 m>0 时，不一定推出不等式在 R 上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是 m>0.8．(2019·安阳模拟)设 p：f(x)＝ex＋2x2＋mx＋1 在[0，＋∞)上单调递增，q：m＋5≥0，则 p 是 q 的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A　函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，只需f′(x)＝e x＋4x＋m≥0在[0，＋∞)上恒成立，又因为f′(x)＝e x＋4x＋m在[0，＋∞)上单调递增，所以f′(0)＝1＋m≥0，即m≥－1，故p是q的充分不必要条件．二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．已知α，β是两个不同的平面，直线l⊂β，则“α∥β”是“l∥α”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A　∵α，β是两个不同的平面，直线l⊂β，则“α∥β”⇒“l∥α”，反之不成立，∴α，β是两个不同的平面，直线l⊂β，则“α∥β”是“l∥α”的充分不必要条件．故选A.”的( )2．(2019·太原模拟)“m＝2”是“函数y＝|cos mx|(m∈R)的最小正周期为π2A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A　∵当函数y＝|cos mx|(m∈R)的最小正周期为π时，m＝±2，∴“m＝2”是“函数y＝|cos mx|(m2”的充分不必要条件．∈R)的最小正周期为π23．“单调函数不是周期函数”的逆否命题是_______________________________．解析：原命题可改写为“若函数是单调函数，则函数不是周期函数”，故其逆否命题是“若函数是周期函数，则函数不是单调函数”，简化为“周期函数不是单调函数”．答案：周期函数不是单调函数(二)素养专练——学会更学通4．[逻辑推理]若命题A的逆命题为B，命题A的否命题为C，则B是C的( )A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．都不对解析：选C　根据题意，设命题A为“若p，则q”，则命题B为“若q，则p”，命题C为“若綈p，则綈q”，显然，B与C是互为逆否命题．故选C.5．[逻辑推理]若a，b都是正整数，则a＋b>ab成立的充要条件是( )A．a＝b＝1 B．a，b至少有一个为1C．a＝b＝2 D．a>1且b>1解析：选B　∵a＋b>ab，∴(a－1)(b－1)＜1.∵a，b∈N*，∴(a－1)(b－1)∈N，∴(a－1)(b－1)＝0，∴a＝1或b＝1.故选B.6．[数学运算]圆x2＋y2＝1与直线y＝kx－3有公共点的充分不必要条件是( )A．k≤－22或k≥22B．k≤－22C．k≥2D．k≤－22或k>2≤1，即k2＋1解析：选B　若直线与圆有公共点，则圆心(0,0)到直线kx－y－3＝0的距离d＝|－3|k2＋1≥3，∴k2＋1≥9，即k2≥8，∴k≥22或k≤－22，∴圆x2＋y2＝1与直线y＝kx－3有公共点的充分不必要条件是k≤－22，故选B.7．[数学运算]方程x2－2x＋a＋1＝0有一正一负两实根的充要条件是( )A．a＜0 B．a＜－1C．－1＜a＜0 D．a>－1解析：选B　∵方程x2－2x＋a＋1＝0有一正一负两实根，∴Error!解得a＜－1.故选B.8．[数学抽象]能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立，则f(x)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是________．解析：设f(x)＝sin x，则f(x)在[0，π2]上是增函数，在[π2，2]上是减函数．由正弦函数图象的对称性知，当x∈(0,2]时，f(x)>f(0)＝sin 0＝0，故f(x)＝sin x满足条件f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立，但f(x)在[0,2]上不一直都是增函数．答案：f(x)＝sin x(答案不唯一)。

2012高考数学文北师大版一轮复习课后练习2命题及其关系、充分条件与必要条件

2012届高考（文科）数学一轮复习课时作业2命题及其关系、充分条件与必要条件一、选择题1．与命题“若a ∈M ，则b ∉M ”等价的命题是( ) A ．若a ∉M ，则b ∉M B ．若b ∉M ，则a ∈M C ．若a ∉M ，则b ∈MD ．若b ∈M ，则a ∉M解析：因为原命题只与逆否命题是等价命题，所以只需写出原命题的逆否命题即可．故选D.答案：D2．（2011年陕西高考文1）设a ，b 是向量，命题“若a b =-，则||||a b =”的逆命题是（）A ．若a b ≠-，则||||a b ≠B ．若a b =-，则||||a b ≠C ．若||||a b ≠，则a b ≠-D ．若||||a b =，则a b =-解析：原命题的条件是a b =-，作为逆命题的结论；原命题的结论是||||a b =，作为逆命题的条件，即得逆命题“若||||a b =，则a b =-”，故选D ．若a >－3，则a >－6是真命题，则它的逆否命题也是真命题，它的否命题是：若a ≤－3，则a ≤－6，是假命题，它的逆命题是：若a >－6，则a >－3，是假命题．答案：D3．(2011年湖北八校联考)“a ＝－1”是“直线a 2x －y ＋6＝0与直线4x －(a －3)y ＋9＝0互相垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：B4．已知p ：x 2－x <0，那么命题p 的一个必要不充分条件是( ) A ．0<x <1 B ．－1<x <1 C.12<x <23D.12<x <2解析：由x 2－x <0得0<x <1.答案：B5．(2010年海口模拟)已知集合A ＝{x ∈R |12<2x <8}，B ＝{x ∈R |－1<x <m ＋1}，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥2B ．m ≤2C ．m >2D ．－2<m <2解析：A ＝{x ∈R |12<2x <8}＝{x |－1<x <3}∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ∴A B∴m ＋1>3，即m >2. 答案：C6． “函数y ＝(a －1)x ＋b 在区间(－∞，＋∞)上是减函数”是“函数y ＝a x －1(a >0且a ≠1)在区间(－∞，＋∞)上是减函数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：函数y ＝(a －1)x ＋b 在区间(－∞，＋∞)上是减函数的充要条件是a <1，函数y ＝a x－1(a >0且a ≠1)在区间(－∞，＋∞)上是减函数的充要条件是0<a <1，从而易知选B.答案：B 二、填空题7．若“x ∈[2,5]或x ∈{x |x <1或x >4}”是假命题，则x 的取值范围是________．解析：x ∉[2,5]且x ∉{x |x <1或x >4}是真命题．由⎩⎨⎧x <2或x >5，1≤x ≤4得1≤x <2. 答案：[1,2)8．(2011年蚌埠市包集中学)设有两个命题： ①不等式2004x ＋4>m >2x －x 2对一切实数x 恒成立；②函数f (x )＝－(7－2m )x 是R 上的减函数．使这两个命题都是真命题的充要条件，用m 可表示为________．解析：由命题①得4≥m >1＝(2x －x 2)min ，由命题②得7－2m >1，即3>m ，从而可得．答案：1<m <3 9．给出下列命题：①原命题为真，它的否命题为假； ②原命题为真，它的逆命题不一定为真； ③一个命题的逆命题为真，它的否命题一定为真； ④一个命题的逆否命题为真，它的否命题一定为真；⑤“若m >1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集为R ”的逆命题．其中真命题是________．(把你认为正确命题的序号都填在横线上)解析：原命题为真，而它的逆命题、否命题不一定为真，互为逆否命题同真同假，故①④错误，②③正确．又因为不等式mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集为R ，由⎩⎨⎧ m >0Δ＝4(m ＋1)2－4m (m ＋3)<0⇒⎩⎨⎧m >0m >1⇒m >1. 故⑤正确．答案：②③⑤ 三、解答题10．(2010年山东济宁模拟)已知命题p ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －10≤0，命题q ：1－m ≤x ≤1＋m ，m >0，若¬p 是¬q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解：p ：x ∈[－2,10]，q ：x ∈[1－m,1＋m ]，m >0，∴[－2,10][1－m,1＋m ]． ∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m ≥10.∴m ≥9.11．求证：关于x 的方程ax 3＋bx 2＋cx ＋d ＝0有一根为1的充要条件是a ＋b ＝－(c ＋d )．证明：充分性： ∵a ＋b ＝－(c ＋d )，∴a ＋b ＋c ＋d ＝0，∴a ×13＋b ×12＋c ×1＋d ＝0成立，故x ＝1是方程ax 3＋bx 2＋cx ＋d ＝0的一个根．必要性：关于x 的方程ax 3＋bx 2＋cx ＋d ＝0有一个根为1， ∴a ＋b ＋c ＋d ＝0， ∴a ＋b ＝－(c ＋d )成立．12．(2010年潍坊模拟)已知全集U ＝R ，非空集合A ＝{x |x －2x －(3a ＋1)<0}，B ＝{x |x －a 2－2x －a <0}．(1)当a ＝12时，求(∁U B )∩A ；(2)命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝12时，A ＝{x |2<x <52}，B ＝{x |12<x <94}，∁U B ＝{x |x ≤12或x ≥94}，(∁U B )∩A ＝{x |94≤x <52}．(2)若q 是p 的必要条件，即p ⇒q ，可知A ⊆B ，由a 2＋2>a ，得B ＝{x |a <x <a 2＋2}，当3a ＋1>2，即a >13时，A ＝{x |2<x <3a ＋1}，⎩⎨⎧a ≤2a 2＋2≥3a ＋1，解得13<a ≤3－52；当3a ＋1＝2，即a ＝13时，A ＝Ø，符合题意；当3a ＋1<2，即a <13时，A ＝{x |3a ＋1<x <2}．⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3a ＋1a 2＋2≥2，解得－12≤a <13；综上，a ∈[－12，3－52]．。

一轮复习课时训练§1.2：命题及其关系、充分条件与必要条件

第一章§2：命题及其关系、充分条件与必要条件(与一轮复习课件对应的课时训练)满分100，训练时间40分钟一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是A．3 B．2 C．1 D．02．已知P＝{x|xx－2<0，x∈R}，Q＝{x|x>x2，x∈R}，则“x∈P”是“x∈Q”的A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．不充分也不必要条件3．设m、n是平面α内的两条不同直线，l1、l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是A．m∥β且l1∥α B．m∥l1且n∥l2C．m∥β且n∥β D．m∥β且n∥l24．下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；②“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题；③在△ABC中“若A＝B，则△ABC是等腰三角形”的逆否命题；④“若向量a∥b，则a＋b＝0”的逆命题．其中真命题的个数是A．0 B．1 C．2 D．35．有限集合S中元素的个数记作card(s)，若A，B都是有限集合，给出下列命题：①A∩B＝∅的充要条件是card(A＋B)＝card(A)＋card(B)②A⊆B的充要条件是card(A)≤card(B)③A＝B的充要条件是card(A)＝card(B)其中正确的个数是A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．“α＝π6”是“cos2α＝12”的________条件． 7．命题“若c ＞0，则y ＝x 2＋x －c 的图象与x 轴有两个交点”的否命题是__________．8．设p ：log a x ＜0，q ：(12)1-x ＞1，则p 是q 的充分不必要条件时，a 的取值范围是________．三、解答题：本大题共2小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本小题满分16分，（1）小问8分，（2）小问8分））命题甲：关于x 的不等式x 2＋(a －1)x ＋a 2≤0的解集为Φ；命题乙：函数y ＝(2a 2－a)x 为增函数．分别求出符合下列条件的实数a 的取值范围．(1)甲、乙至少有一个是真命题；(2)甲、乙中有且只有一个是真命题．10．（本小题满分16分）求证：△ABC 是等边三角形的充要条件是a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋bc ＋ac.(a ，b ，c 是△ABC 的三条边)参考答案及其解析一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.1．解析：当f(x)是幂函数时，f(x)＝x α，而x ＞0时，f(x)＝x α＞0，∴原命题为真命题．同时逆否命题为真．原命题的逆命题是：若函数y ＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y ＝f(x)是幂函数．当y ＝f(x)＝x ＋1时，f(x)图象不过第四象限，但f(x)不是幂函数，因此逆命题为假，则否命题也为假．答案：C2．解析：由已知P ＝{x|0<x<2}，Q ＝{x|0<x<1}，则“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要不充分条件．答案：C3．解析：∵m ∥l 1且n ∥l 2时l 1∥α，l 2∥α.又l 1与l 2是平面β内的两条相交直线，∴α∥β，而当α∥β时，不一定推出m ∥l 1且n ∥l 2，故B 项正确．答案：B4．解析：对于①，当x ，y 互为相反数时，x ＋y ＝0显然成立，即逆命题为真命题，∴否命题为真命题．对于②，若x 2＋x －2＝0，解得x ＝1或x ＝－2，∴逆命题为假，∴否命题为假．对于③，原命题显然为真，∴逆否命题为真．对于④，当a ＋b ＝0时，a ＝－b ，从而a ∥b ，∴逆命题为真．故真命题有3个．答案：D5．解析：①显然正确，对②是A ⊆B 时一定有card(A)≤card(B)，但当card(A)≤card(B)时A ⊆B 不一定成立，如A ＝{1}，B ＝{2,3}，对③当card(A)＝card(B)时A ＝B 不一定成立，如A ＝{1}，B ＝{2}．因此只有①正确．答案：B二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．解析：当α＝π6时，cos2α＝cos π3＝12；当α＝－π6时，cos2α＝cos(－π3)＝12. 即当cos2α＝12时，α除π6外还可以取其他的值．故α＝π6是cos2α＝12的充分不必要条件．答案：充分不必要7．解析：把条件、结论都否定就可得到否命题．答案：若c ≤0，则y ＝x 2＋x －c 的图象与x 轴最多有一个交点8．解析：由已知q ：x ＜1.当a ＞1时，p ：0＜x ＜1，符合条件．当0＜a ＜1时，p ：x ＞1，不符合条件．答案：(1，＋∞)三、解答题：本大题共2小题，共36分．9. （本小题满分16分，（1）小问8分，（2）小问8分））解：甲命题为真时，Δ＝(a －1)2－4a 2<0，即a>13，或a<－1，乙命题为真时，2a 2－a>1，即a>1，或a<－12. (1)甲、乙至少有一个是真命题，即上面两个范围的并集为a<－12，或a>13； ∴甲、乙至少有一个是真命题时a 的取值范围是{a|a<－12，或a>13}． (2)甲、乙有且只有一个是真命题，有两种情况：当甲真乙假时，13<a ≤1；当甲假乙真时，－1≤a<－12. ∴甲、乙中有且只有一个真命题时a 的取值集合为{a|13<a ≤1，或－1≤a<－12}． 10. （本小题满分16分）证明：(必要性)∵△ABC 是等边三角形，且a ，b ，c 是其三边，∴a ＝b ＝c ，∴a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋bc ＋ac.(充分性)由a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋bc ＋ac ，得12(a －b)2＋12(b －c)2＋12(a －c)2＝0，(a －b)2＋(b －c)2＋(a －c)2＝0， ∴a ＝b ＝c ，∵a ，b ，c 是△ABC 的三边，∴△ABC 是等边三角形．∴△ABC 是等边三角形的充要条件是a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋bc ＋ac.。

高三数学一轮复习精品学案7：§1.2命题及其关系、充分条件与必要条件

§1.2命题及其关系、充分条件与必要条件知识梳理1.命题用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题,可写成“若p,则q”的形式.其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.2.四种命题及其关系注意:原命题与其逆否命题的真假性相同,原命题的否命题与原命题的逆命题的真假性也相同.3.充分、必要条件的概念4.充分、必要条件与集合之间的包含关系5.常用的数学方法与思想集合法、转化化归思想.基础自测1.判断下列说法是否正确(打“√”或“×”).(1)语句“2a+1>0”是命题.()(2)语句“2016≥2015”是真命题.()(3)命题“三角形的内角和是180°”的否命题是“三角形的内角和不是180°”.()(4)已知集合A,B,则A∪B=A∩B的充要条件是A=B.()2.设A,B是两个集合,则“A∩B=A”是“A⊆B”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知i为虚数单位,a为实数,复数z=(a-2i)(1+i)在复平面内对应的点为M,则“a=12”是“点M在第四象限”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知命题p:实数m满足m2-7am+12a2<0(a>0),命题q:实数m满足方程x 2m−1+y22−m=1表示焦点在y轴上的椭圆,且非q是非p的充分不必要条件,则实数a的取值范围是.考点1四种命题及其真假的判定典例1分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假.(1)矩形的对角线相等;(2)若q<1,则方程x2+2x+q=0有实根;(3)若x2+y2=0,则实数x,y全为零.方法提炼四种命题形式的变换及真假判断(1)(改)原命题改写成“若p,则q”形式,然后再写出其他命题.(2)(查)检查有大前提时,在改写其他命题时大前提不变,含有“且”与“或”时其否定要对应改成“或”与“且”.(3)若说明命题为真命题,必须证明;而说明命题为假命题,则只需举出一个反例即可.变式训练已知m∈R,“函数y=2x+m-1有零点”是“函数y=log m x在(0,+∞)上为减函数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件考点2充分条件与必要条件的判定典例2设x∈R,则“|x-2|<1”是“x2+x-2>0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件变式训练已知m∈R,“函数y=2x+m-1有零点”是“函数y=log m x在(0,+∞)上为减函数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件考点3充分条件与必要条件的应用典例3已知命题p:-2≤x≤10,命题q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),且¬ p是¬ q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.规律方法应用充分条件、必要条件求参数时的两点注意(1)充分条件与必要条件主要应用于求参数的取值范围.对于条件或结论含有参数的命题,可先将其转化为最简形式,分别求出其真时对应的不等式(组),再利用韦恩图或数轴的直观性列出方程或不等式,即可求出参数的值或取值范围.(2)当从原命题入手较难时可转化为其逆否命题求解.变式训练对于任意实数x,规定『x』表示不大于x的最大整数,则不等式4『x』2-12『x』+5<0成立的充分不必要条件是()A.x∈(12,52)B.x∈(12,3)C.x∈『1,2』D.x∈『1,3)判断充分必要条件的常用方法探究1.定义法:若p⇒q为真,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.典例1已知p,q都是r的必要条件,s是r的充分条件,q是s的充分条件,那么s是q的什么条件?r是q的什么条件?p是q的什么条件?2.等价命题判断法:利用原命题与其逆否命题等价,当原命题不太好求解时,可利用其等价命题来求解.典例2判断命题:“如果方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根,则a≤1”的真假.3.直观图象判断法:利用韦恩图(或数轴)判断.图(1)表示p是q的充分不必要条件;图(2)表示p是q的必要不充分条件;图(3)表示p是q的充要条件;图(4)与图(5)表示p是q的既不充分又不必要条件.典例3已知命题p:x=1或x=2,命题q:x-1=√3−x,则p是q的什么条件?1.已知p:|x+1|>3,q:x>a,且p是q的必要不充分条件,则a的取值范围是()A.(-∞,2』B.『2,+∞)C.(2,+∞)D.(-∞,4』2.设p:函数f(x)=x3+2x2+mx+1在(-∞,+∞)上单调递增,q:函数g(x)=x2-4x+3m的最小值大于0,则p是q的_______条件.(填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”或“既不充分也不必要”)——★参考答案★——知识梳理3.①充分不必要条件②必要不充分条件③充要条件④既不充分也不必要条件4.①A是B②B是A③A=B1. (1)×(2)√(3)×(4)√2. C『解析』由交集运算及子集的概念知,若A∩B=A,则A⊆B,若A⊆B,则A∩B=A,故为充要条件.3. A『解析』z=(a-2i)(1+i)=(a+2)+(a-2)i,a=12时,z=52−32i对应的点在第四象限,反之当点M在第四象限时,有{a+2>0,a-2<0,解得−2<a<2,因此“a=12”是“点M在第四象限”的充分不必要条件.4.[13,3 8 ]『解析』由m2−7am+12a2<0(a>0)⇒3a<m<4a,即命题p:3a<m<4a;由实数m满足方程x2m−1+y22−m=1表示焦点在y轴上的椭圆,可知2−m>m−1>0⇒1<m<32,即命题q:1<m<32.又因为非q是非p的充分不必要条件等价于p为q的充分不必要条件,因此应有{3a≥1,4a≤32,解得13≤a≤38,故实数a的取值范围是[13,38].考点1四种命题及其真假的判定典例1解对于(1),要从矩形的对角线的性质去着手;对于(2),要从方程根的存在性去判断;而对于(3),要从实数的平方不小于0的角度去着手.(1)逆命题:对角线相等的四边形是矩形.假命题.否命题:有一些矩形的对角线不相等.假命题.逆否命题:对角线不相等的四边形不是矩形.真命题.(2)逆命题:若方程x2+2x+q=0有实根,则q<1.假命题.否命题:若q≥1,则方程x2+2x+q=0无实根.假命题.逆否命题:若方程x2+2x+q=0无实根,则q≥1.真命题.(3)逆命题:若实数x,y全为零,则x2+y2=0.真命题.否命题:若x2+y2≠0,则实数x,y不全为零.真命题.逆否命题:若实数x,y不全为零,则x2+y2≠0.真命题.变式训练B『解析』当m∈R,“函数y=2x+m-1有零点”时,必有m-1<0,解得m<1.而“函数y=log m x在(0,+∞)上为减函数”时必有0<m<1,因此m∈R,“函数y=2x+m-1有零点”是“函数y=log m x在(0,+∞)上为减函数”的必要不充分条件,即选项B正确.考点2充分条件与必要条件的判定典例2A『解析』由|x-2|<1得1<x<3;由x2+x-2>0得x<-2或x>1,故“|x-2|<1”是“x2+x-2>0”的充分不必要条件.变式训练B『解析』当m∈R,“函数y=2x+m-1有零点”时,必有m-1<0,解得m<1.而“函数y=log m x在(0,+∞)上为减函数”时必有0<m<1,因此m∈R,“函数y=2x+m-1有零点”是“函数y=log m x在(0,+∞)上为减函数”的必要不充分条件,即选项B正确.考点3充分条件与必要条件的应用典例3解先将命题q的不等式化简,得到1-m≤x≤1+m,再将p, q求出,利用数轴列不等式组求解或转化为其等价命题求解.解法1:由命题q:x2-2x+1-m2≤0,得1-m≤x≤1+m,∴¬ q:A={x|x>1+m或x<1-m,m>0}.∵命题p:-2≤x≤10,∴p:B={x|x>10或x<-2}.∵¬ p是¬ q的必要不充分条件,∴A⊆B,∴即m≥9或m>9,∴m≥9,∴实数m的取值范围是『9,+∞).解法2:∵¬ p是¬ q的必要不充分条件,∴p是q的充分不必要条件.由q:x2-2x+1-m2≤0,m>0,得1-m≤x≤1+m,∴q:Q={x|1-m≤x≤1+m},p:P={x|-2≤x≤10}.∵p是q的充分不必要条件,∴P⊆Q,∴即m≥9或m>9,∴m≥9,∴实数m的取值范围是『9,+∞).变式训练C『解析』由4『x』2-12『x』+5<0,可得12<『x』<52,又由于『x』表示不大于x的最大整数,所以1≤『x』≤2,则可得x∈『1,3),对比选项知x∈『1,2』为不等式成立的一个充分不必要条件.判断充分必要条件的常用方法探究典例1解p,q都是r的必要条件可表示为r⇒p,r⇒q,s是r的充分条件可表示为s⇒r,q是s 的充分条件,可表示为q⇒s.由传递性可知s⇔q,故s是q的充要条件,由传递性可知q⇔r,故r是q的充要条件;由传递性可知p是q的必要条件.s是q的充要条件,r是q的充要条件,p是q的必要条件.典例2原命题的等价命题为“如果a>1,则方程ax2+2x+1=0没有负实根”,因为a>1时,Δ=4-4a<0,所以方程ax2+2x+1=0没有负实根,即原命题的逆否命题为真,典例3p是q的必要不充分条件『解析』q:x-1=√3−x⇒q:x=2,由韦恩图易知p是q的必要不充分条件.针对训练1.B『解析』∵|x+1|>3,∴x+1>3或x+1<-3,∴p:A={x|x>2或x<-4},q:B={x|x>a}.∵p是q的必要不充分条件,∴B⊆A,∴a≥2.2.必要不充分『解析』若函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,;则f'(x)≥0在(-∞,+∞)上恒成立,即3x2+4x+m≥0在(-∞,+∞)上恒成立,即Δ1=16-12m≤0,即m≥43若函数g(x)的最小值大于0,.则Δ2=16−12m<0,即m>43则p成立时q不一定成立,q成立时p一定成立,故p是q的必要不充分条件.。

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2012版数学一轮精品复习学案：1.2命题及其关系、充分条件与必要条件2012版高三数学一轮精品复习学案：第一章集合与常用逻辑用语第二节命题及其关系、充分条件与必要条件【高考目标导航】一、考纲点击1、理解命题的概念；2、了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；3、理解必要条件、充分条件与充要条件的意义。

【考纲知识梳理】1、命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。

2、四种命题及其关系（1）四种命题（3）四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为命题，它们的真假性没有关系；注：否命题是命题的否定吗？答：不是。

命题的否命题既否定命题的条件，又否定命题的结论，而命题的否定只否定命题的结论。

3、充分条件与必要条件（1）“若p，则q”为真命题，记p q⇒，则p是q的充分条件，q是p的必要条件。

（2）如果既有p q⇔，则p是q的充要条件，q也是p的充⇒，记作p q⇒，又有q p要条件。

【要点名师透析】一、命题的关系与真假的判断1、相关链接（1）对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假。

注：当一个命题有大前提而写出其他三种命题时，必须保留大前提，大前提不动。

2、例题解析〖例1〗设原命题是“已知p、q、m、n是实数，若p=q，m=n，则p＋m=q＋n”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．解：逆命题：“已知p、q、m、n∈R，若p＋m=q＋n，则p=q，m=n(假)．原命题：“已知p、q、m、n∈R，若p≠q，m≠n，则p＋m≠q＋n”(假)逆否命题：“已知p、q、m、n∈R，若p＋m≠q＋n，则p≠q或m≠n”(真)注，否命题“若p≠q，m≠n”应理解为“p≠q或m≠n”即是指：①p≠q，但m=n，②p=q但m≠n，而不含p≠q且m≠n．因为原命题中的条件：“若p=q，m=n．”应理解为“若p=q且m=n，”而这一语句的否定应该是“p≠q或m≠n”．〖例2〗以下列命题为原命题，分别写出它们的逆命题，否命题和逆否命题．①内接于圆的四边形的对角互补；②已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d；分析：首先应当把原命题改写成“若p则q”形式，再设法构造其余的三种形式命题．解析：对①：原命题：“若四边形内接于圆，则它的对角互补”；逆命题：“若四边形对角互补，则它必内接于某圆”；否命题：“若四边形不内接于圆，则它的对角不互补”；逆否命题：“若四边形的对角不互补，则它不内接于圆”．对②：原命题：“已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d”，其中“已知a、b、c、d是实数”是大前提，“a＝b，c＝d”是条件，“a＋c＝b＋d”是结论．所以：逆命题：“已知a、b、c、d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d”；否命题：“已知a、b、c、d是实数，若a≠b或c≠d，则a＋c≠b＋d”(注意“a＝b，c＝d”的否定是“a≠b或c≠d”只需要至少有一个不等即可)；逆否命题：“已知a、b、c、d是实数，若a＋c≠b＋d则a≠b或c≠d”．逆否命题还可以写成：“已知a、b、c、d是实数，若a＋c≠b＋d则a＝b，c＝d 两个等式至少有一个不成立”说明：要注意大前题的处理．试一试：写出命题“当c ＞0时，若a ＞b ，则ac ＞bc ”的逆命题，否命题，逆否命题，并分别判定其真假．二、充分条件与必要条件的判定 1、相关链接（1）利用定义判断①若p q ⇒，则p 是q 的充分条件；注：“p 是q 的充分条件”是指有p 就有q ，但无p 也可能有q ．如“两个三角形全等”是“两个三角形面积相等”的一个充分(不必要)条件，但无“两个三角形全等”也可推出“两个三角形面积相等”，如“两个三角形同底等高”就又是“两个三角形面积相等”的另一个充分(不必要)条件．②若q p ⇒，则p 是q 的必要条件；注：ⅰ “q 是p 的必要条件”是指有q 才能有p ，但有q 未必有p ．如，一个偶数未必能被6整除(q ：为偶数，p ：能被6整除)．ⅱ③若p q ⇒且q p ⇒，p 是q 的充要条件； ④⑤p 是q 的必要而不充分条件．⑥（2）利用集合判断记条件p 、q 对应的集合分别为A 、B ，则：若,A B ⊆则p 是q 的充分条件; 若AB ，则p 是q 的充分不必要条件；若,A B p q ⊇则是的必要条件；若BA ，则p 是q 的必要不充分条件；若A=B ，则p 是q 的充要条件；注：p 与q 之间的关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆。

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