金融工程原理-第七章

7.3.1 框架
• 考虑长度为δ的一个区间序列： t0<…<ti<…<T，其中ti+1-ti=δ。 • 假设市场参与者只面临两个流动市场。
– 第一个是短期借贷市场，由符号Bt表示。Bt是t0时投资1美元在 t时的价值。以年浮动利率Lti增长且到期日为δ，Bt在tn时的值 可表示为Btn=(1+ Lt0δ)(1+ Lt1δ)… (1+ Ltn-1δ)。 – 第二个流动是无违约风险纯贴现债券市场，t时价格为B(t,T)。 这种债券在t时以B(t,T)的价格卖出，在T时支付100美元。
– 最后我们需要确认目标资产的（信用）风险与合成资产的风 险相同。合成资产的组合就是所谓的复制资产组合。
7.3 静态复制方法的回顾
• 总结这些合成的两个重要特性。
– 首先，通过建立其他三种工具的头寸，我们在t时构 造了合成工具。需要强调的是，一旦头寸建立，那么 在目标工具到期前我们无需再次修改或者重新调整买 卖的工具的数量，尽管市场风险将在区间(t,T)内会有 变化。 – 第二，我们的目的是构造与目标工具相同的到期现金 流。因为在区间[t, T]中，复制不需要其他现金的流入 或流出，所以目标工具在t时的价值将与合成工具的 价值相同。
• 参与者只能利用这两种流动工具，{Bt，B(t,T)}，来构造 合成。假设不存在其他流动工具。
7.3.2 带有缺失资产的合成
• 考虑市场参与者在上述市场中进行操作。假 设该参与者想要在t0时购买一个两期无违约 风险的纯贴现债券，记为B(t0,T2)，这里到期 日T2=t2。现在只有三期债券是唯一的流动债 券，记为B(t0,T3)，这里到期日T3=t3。该市 场参与者决定通过合成来构造B(t0,T2)。 • 首先我们判断出静态复制在这种情况下是不 可行的。图7-2表示了一期借贷Bt和二期债券 的现金流图。
第七章 动态复制方法与合成 张玉鹏，华师大金统学院
7.1 引言
• 前几章讨论了现金流的静态复制。所讨论 的合成结构也是静态的，这意味着直至目 标工具到期或终止，复制的资产组合不需 要任何调整。 • 在金融工程中静态复制有时不能实现，而 且复制资产组合可能需要持续的调整（再 平衡）来保持与目标工具等价。这种情况 由许多不同的原因造成。
7.4 特定合成
• 我们如何复制二期债券呢？有两种答案。
– 一个精确的复制需要使用动态复制方法，这个问题将在本章 的后半部讨论。 – 另一种解决方法是使用不太精确的特定合成方法。即免疫策 略。
• 假设δ=1，因此ti表示年。我们假设存在3个工具。这 些工具具有相同的风险因子，但由于各自价值方程的 强非线性，它们的敏感性不同。令3种资产{S1t ，S2t ，S3t}的定价函数为： {S1t= f(xt)，S2t=h(xt), S3t=g(xt)}。 • 这里h(· f(· ), )和g(· )是非线性的。xt是所有价格的共同风 险因子。S1t表示目标工具，{S2t, S3t}将用来形成合成 工具。
• 首先，静态复制方法依赖于其他一些资产的存在，对这些资 产允许运用合约方程。为了复制目标证券，合约方程右端工 具的数量必须有一个最低值。 • 第二，工具也许存在，但其不具备流动性。复制只能利用具 有流动性且与组成工具“相近”但不等同的资产来完成。 • 第三，被复制的资产可能是高度非线性的。用线性工具来复 制非线性资产会涉及各种各样的近似。至少，复制资产组合 需要定期的再平衡。包含期权的资产就属于这种情况。 • 最后，在资产定价中起到重要作用的参数可能发生变化，并 且这种情况也可能需要对复制资产组合进行再平衡。 • 除了需要定期再平衡外，通过动态方法复制合成资产与用静 态方法复制遵循的原理是相同的。
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• 需要注意以下事实：
– 二阶以及高阶的敏感性不匹配。所以，这个资产 组合不是原始债券B(t0,T2)的精确合成。 “合成” 与 原始工具的二阶敏感性对dy的反应不同，因此权 重θi ，i=1,2随着时间的推移需要不断地调整。 调整本身就需要现金的注入或流出，这意味着资 产组合不是自融资的。另外，我们需要考虑该利 用哪种敏感性进行估计。
– 其次，收益曲线极少平行移动，而且这三种工具 的收益率变化也不同，这些都破坏了一阶敏感性 相同的原则。
7.5 动态复制原理
• 我们回到利用存款Bt和“长期”债券B(t0,T3)构造“短 债券B(t0,T2)的合成问题上。 • 合成的最好方法是建立包含Bt和B(t0,T3)的“聪明”头 寸，使得在t1时由Bt调整产生的多余的现金流足够调 整B(t0,T3) 。换句话说，我们是决定在t1时调整t0时 确定的头寸来满足T2时二期债券的支付，在调整时 不需要任何净现金的注入或流出。
例
• 假设零附息债券收益曲线是一条直线y=8%， 并且只平行移动。那么，2年、3年和6个月的 债券价值为
• 利用“长期”债券B(t0,T3)和“短期”债券B(t0,T ，我们构造一个初始费用为85.73的资产组合 。这与目标工具B(t0,T2)在t0时的价值相等。
例
• 并且希望资产组合的敏感性与原始工具的敏感性相同。 因此，需要解如下方程：
• 该定价方法是不完美的。潜在的现金流入或者流出意 味着在t0时合成的真实费用是未知的。因此，我们不能 仅利用一期借贷完成对B(t0,T2)的静态合成。
2.含Bt和B(t,T3)的合成
• 引入具有流动性且较长时期的债券B(t,T3)同样不能对 静态合成有所帮助。图7-4说明了无论我们在t0时如何 操作，三期债券在到期日T3时依然存在多余的、非随 机的现金流。这个多余的现金流使得我们不能在t0时精 确复制B(t0,T2)产生的现金流。 • 如果远期贷款以及“长期”债券B(t0,T3)存在，我们就可 以构造B(t0,T2)的合成。如图7-4所示，此合成包含买入 （1+ft0δ）单位B(t0,T3)的同时以远期利率ft0进行一期 贷款。这样，我们成功地在静态情况下构造了二期债 券的合成。 • 但这种方法是建立在远期市场存在和具有流动性的假 设上。如果这些市场不存在，我们只好选择动态复制 了。
7.3.2 带有缺失资产的合成
• 图7-2的上面部分表示在t0 时支付B(t0,T2)以购买债券 ，该债券在到期日T2时获得100美元。遗憾的是，只 利用一期借贷Bt不能重新构造这些简单的现金流，如 图7-2第二部分所示。 • 二期债券包含t0和T2时的两种已知现金流。如果没有 任何的流入或流出，在t0时利用Bt复制T2时100美元的 现金流是不可能的。 • 1. 仅利用Bt的合成。 • 假设我们利用滚动策略：
• 我们首先讨论静态复制策略。因为敏感性不同， 第3章至第6章中的静态方法在这里不能使用。 • 风险因子xt将随机地变化，而Sit(i=1,2,3)对xt的这 种变化的反应也不相同。利用S2t和S3t构造S1t的 合成的特定方法如下。
– 在t时我们构造与S1t等值的资产组合，权重分别为θ2 和θ3，使得资产组合θ2S2t+θ3S3t的敏感性关于风 险因子xt与相应的S1t的敏感性尽可能地接近。 – 利用一阶敏感性，我 们得到包含两个未知 量 {θ2,θ3}的方程：
7.3.1 框架
• 下面说明市场的不存在或非流动性以及某些工具的凸性 如何改变构造静态合成资产的方法。首先说明在这些情 况下，利用静态方法复制的困难，然后叙述构造动态合 成资产方法的思路。 • 只要涉及资产组合的再平衡和动态复制，就需要另外一 个基础的解析框架。特别地，我们需要注意调整的时机 ，尤其是要注意在没有现金流入或流出的情况下进行调 整的方式。 • 我们使用一个基本例子来说明构造动态合成资产的简单 环境。这里使用的是贴现债券，并假定无风险借贷是现 有的唯一资产。此外假定不存在有关外汇、利率远期或 非常短期限的欧元存款账户的市场。
– 在已知利率Lt0下，在t0时借出一期现金； – 收集t1时所得现金； – 在t1时将现金借出，利率为Lt1，以便在t2时获得100美元的 净现金流。
1. 仅利用Bt的合成
• 该滚动策略存在两个问题：
– 在t0时Lt1未知，因此在t0时我们不能确定Lt1的值以及借出多 少现金可以复制t2时的现金流。金额 是为在t2时获得100美元所应投资的资金，该金额是未知的。 – 我们可以在 0时投资Bt0，一旦t1时得知Lt1，就能添加或者减 去数量为tB的现金以确保 第二个问题是在t1时添加或者减去的现金是未知的。这使得 我们的策略用于对冲无效，因为资产组合不是自融资的且附 加资金的需求不能彼此抵消。
• 如果在t1时调整成功，那么调整后的资产组合在T2 时的价值一定是100，复制也就完成了。这种复制 方法不是静态的，它将需要进一步调整。
7.5 动态复制原理
• 重要的是，在t0时需要清楚投入多少资金才能在T2 时得到100美元。 • 上述策略是可行的，因为Bt1和B(t0,T3)都依赖于同样 在t0时未知的利率Lt1,且二者都有已知的价值公式。 通过巧妙地建立这两个资产相互抵消的头寸，我们 可以消除t0时未知的Lt1的影响。 • 这个策略是在t0时利用不完美却相关的两个工具来 构造合成，由于资产的权重和随机变量的相关性在t0
时未知，合成需要持续的再平衡。如果这些随机变量以 某种方式相关，那么就可以使用相互间的这些相关性来 消除现金的注入或流出的需求。t0时资产组合的成本就 是原始资产的无套利价值。
7.5 动态复制原理
• 动态复制的一般原则如下：
– 我们需要确定证券期限内无分红或其他支付。复 制资产组合的现金流必须与最终现金流相等。 – 复制过程中，不存在任何净现金的注入或流出。 因此，初始投入的资金应同复制策略的真实成本 相等。 – 合成工具与目标工具的信用风险应相同。7.3 静态复制方法的回顾
• 简单回顾一下静态复制的基本步骤
– 首先，我们写出将被复制的标的资产的现金流，图7-1重复了 复制存款的例子。图中的现金流表示期限为T的欧元存款。这 个工具包含了在不同时间t和T的两个现金流。现金流用美元表 示。 – 接下来，我们将这些现金流分解，由此构造某些流动资产， 使得新的现金流垂直相加可以与目标资产吻合，如图7-1中上 面部分所示。用货币X远期购买美元的远期货币合约，货币X 的存款和即期FX操作产生的现金流在垂直相加时复制了欧元 存款的现金流。