材料力学第9章-压杆稳定3+第8章-能量法1

dx
Fcr
2 EIy '' dx 2 y ' dx l
所以挠曲线确定后，就可以知道临界压力的大小。
挠曲线一般可以采用满足位移边界条件的近似曲线代替。
9.6 用能量法求压杆的临界载荷 例 用能量法求两端球铰的压杆的临界压力。 设压杆微弯曲时的挠曲线方程为： y 解： 该挠曲线满足位移边界条件： A
基于式：
Fcr
M
l l
2
EI dx
的结果比基于式
2 y ' dx
Fcr
2 EIy '' dx l 2 y ' dx l
的结果更精确。
2 2 l l M x Fcr y Fcr a x 2 2
9.4 压杆的稳定条件
二、折减系数法
st 其中： 为许用压应力。 为折减系数，位于0和1之间。
折减系数同时取决于材料性质和压杆的柔度（参考图9.11)。 根据折减系数法，压杆的稳定条件可写为：

1.稳定校核
稳定计算的三类问题
2.选择截面 3.确定许用载荷
q l
M x y qcr d
x
l
x
f x y x q x
又
截面上的挠度为，
f 1 cos 2l

x
代入上式有， x 2l x M x fqcr l x cos 1 sin 则有： qcr 2l 2l
式中 T ——圆杆横截面上的扭矩； Ip ——圆杆横截面对圆心的极惯性矩。
能量法/杆件的应变能
•受力复杂的圆截面杆(扭矩沿杆的轴线为变量) 可取微段分析：
整个杆件的拉压应变能
FN ( x)dx U dU L L 2 EA
2
能量法/杆件的应变能
2、圆截面杆的扭转
Mx
Mx
TL M x L GI p GI p
A

Mx L

O B
圆截面杆的应变能
2 2 M L T L GI p 2 1 x U W M x 2 2GI p 2GI p 2L
能量法/基本概念
能量法有关的几个基本概念
1、外力功:线弹性体系在外力的作用下产生变形，每个外力
在与它相对应的位移上所作的功 W。
2、应变能:弹性体受外力作用下产生变形而储存了能量，这个
被储存的能量即为应变能或变形能 U。
3、能量守恒：忽略缓慢加载过程中动能和其它形式的能量损
失，杆件能量守恒，即杆内所储存的应变能U
E cr 2
一、合理选择材料
细长压杆

l
i
临界力只与弹性模量有关。由于各种钢材的E值大致相等，所以 选用高强度钢或低碳钢并无差别。 中柔度杆 临界应力与材料的强度有关，选用高强度钢在一定程度上可以 提高压杆的稳定性。
9.5 压杆的合理设计
二、合理选择截面
柔度越小，临界应力越大。
E cr 2
2
Fcr F Fst nst
或
st
Fcr n nst F
能量法
第八章
一、杆件的应变能
能量法
二、应变能普遍表达式(克拉贝隆原理) 三、卡氏定理 四、互等定理 五、虚功原理 六、超静定问题 七、冲击应力
单位力法 力法
图乘法
9.6 用能量法求压杆的临界载荷 又
4 2 1 l EI f 2 U EIy '' dx 2 0 64l 3
由：
W U
有：
8.30 EI qcr l3
精确解：
与精确解相差6%
7.83EI qcr l3
9.6 用能量法求压杆的临界载荷
解法二： 取如图两套坐标系，
则有x截面上的弯矩为：
W U
B点的轴向位移：
ds A x
ds dx
l
B
dx l B´ Fcr x
其中：
ds
dx dy
2
2
1 2 1 y ' dx 1 y ' dx 2
2
所以：
1 y '2dx 2l
Fcr 2 W Fcr y ' dx 2 l
l
2 3 M 2 x f 2 qcr l 1 9 32 U dx 2 3 跟精确值相差 0.77% 0 2 EI 2 EI 6
7.89 EI l2
材料力学
第九章 压杆稳定
欧拉临界载荷
EI Fcr 2 l
2
欧拉临界应力 稳定条件 折减系数法
x
q l
x
f x
1 x 2 2 f 2 l x x y ' dx x sin 2 0 2 16l l
2 2 q f 均布载荷所做的功： W x q dx cr 1 cr 0 8 4 l
能量法的基本思路： 1、在临界载荷作用下，压杆可在微弯状态平衡。 2、压力沿轴线方向所做的功转化为压杆微弯状态下的应变能。
3、假设出符合位移边界条件的挠曲线方程，则根据第2条，可 以求出临界载荷的大小。
9.6 用能量法求压杆的临界载荷 如图所示压杆，假设在临界载荷作用下达到微弯平衡状态， 临界压力在轴向位移上所做的功等于压杆微弯状态下的应变能 y 即：
因为挠曲线只是近似曲线，如果对它求两次导数，会引起数值上 更大的偏差。
9.6 用能量法求压杆的临界载荷 例 如图细长杆，一端固定，另一端自由，承受集度为q的轴向 均布载荷作用。试用能量法确定载荷q的临界值qcr。 假设压杆微弯时的挠曲线方程为： 解： x y f 1 cos 2l 其中 f 为压杆自由端的挠度。 解法一： 压杆微弯时，横截面x的轴向位移为：
材料力学
第九章 压杆稳定
9.1 引言
9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷 9.3 中、小柔度压杆的临界应力
9.4 压杆的稳定条件
9.5 压杆的合理设计 9.6 用能量法求压杆的临界载荷
9.6 用能量公式，是用求解压杆微弯时 的挠曲线平衡方程的方法求压杆的临界载荷。但对于比较复杂的 载荷，支承方式或截面变化，采用能量法比较简洁。
材料力学
第九章 压杆稳定
9.1 引言
9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷 9.3 中、小柔度压杆的临界应力
9.4 压杆的稳定条件
9.5 压杆的合理设计 9.6 用能量法求压杆的临界载荷
9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷 各种支承约束条件下等截面细长压杆临界载荷的欧拉公式
支承情况 失 稳 时 挠 曲 线 形 状 两端铰支 一端固定 另端铰支 两端固定 一端固定 另端自由
l l z y i z i y
9.5 压杆的合理设计
•增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状）
9.5 压杆的合理设计
三、改变压杆的约束条件
细长压杆的临界压力与相当长度的二次方成反比，所以 增强对压杆的约束可极大的提高其临界压力。 如采用稳定性比较好的约束方式，或者在压杆中间增添支座， 都可以有效的提高压杆的稳定性。
2
所以有：
10 EI Fcr 2 l
l
如果根据式 Fcr
l
2 EIy '' dx
y'
l
2
dx
则有：
l EI EI 2 2 U y '' dx 2 a dx 2 EIa 2l 0 2 0 2
12 EI Fcr 2 l
精确解：
Fcr
EI
2
l2
9.6 用能量法求压杆的临界载荷
在数值上与外力所作的功 W 相等。功能原理
U＝W
能量法/杆件的应变能
一、杆件产生基本变形时的应变能 1、轴向拉伸或压缩
F A L L F L O B 式中
1 U W F L 2 2 2 F L FN L 2 EA 2 EA EA 2 L 2L
——轴力， FN
FN L FL L EA EA
E cr 2
2
l i l A I
在面积不变的情况下，应该选择惯性矩比较大的截面。 如空心杆等。 同时要考虑失稳的方向性，尽量做到各个可能失稳方向的柔度 大致相等。 如压杆两端为销铰支承，由于两个方向的 不同，则应该选 择 I y I z 的截面，使得两个方向上的柔度大致相等，即：
9.6 用能量法求压杆的临界载荷
Fcr 2 W Fcr y ' dx 2 l 又：
M 2 x EI 2 U dx y '' dx 2 EI 2 l l
y ds A x dx l
l
B
B´
Fcr x
由以上两式有：
Fcr
M
l l
2
EI dx
2
y'
Li——结构中第i杆的长度， Ai ——第i杆的截面面积
能量法/杆件的应变能
•受力复杂杆(轴力沿杆的轴线变化)的应变能
x dx q L 取微段研究：
FN ( x)dx d(L) EA
FN ( x)
dx
FN ( x) dFN
(dx)
微段的应变能：
FN 2 ( x)dx 1 dU FN ( x)d(L) 2 2 EA
9.4 压杆的稳定条件
压杆稳定性计算步骤
a、计算 、 与 :