初一几何证明典型例题讲解(培优2)_2

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七年级下册数学几何证明题讲解

七年级下册数学几何证明题讲解
当涉及数学几何证明题时，通常需要遵循一定的逻辑和推理过程来证明一个结论。

在七年级下册数学几何中，常见的证明题可能涉及到角的性质、三角形的性质、平行线性质等。

这里简单介绍一下如何进行几何证明：
1.观察题目：首先仔细阅读题目，并认真理解题目所给的条件和要证明的结
论。

2.列出已知条件：将题目中已知的条件列出来，包括给定的角度、线段长度、
图形性质等。

3.确定证明思路：根据题目中的要求，考虑使用何种方法进行证明，可以根
据条件来尝试使用等腰三角形、相似三角形、平行线性质等。

4.逻辑推理：根据已知条件，运用几何性质和定理展开逻辑推理，逐步推导
出待证结论。

5.结论归纳：最终得出结论，并确保证明过程清晰且连贯，每一步之间都有
明确的推理关系。

在七年级下册的数学几何证明题中，可能包括角的平分线、垂直角的性质、三角形的全等条件等内容。

《初中几何证明题》课件

示例题目和解答
1
Exam ple 1
证明：在等腰三角形中，底边中点到两腰的距离相等。
2
解答
1. 连接底边中点和两腰的端点。
2. 利用等腰三角形的性质和割线相等的性质。
3. 推导出两条线段相等。
4. 得出结论。
常见的错误和注意事项
1 错误
概念混淆、逻辑错误、证明不完整。
2 注意事项
画图准确、假设严谨、用词准确、步骤完整。
《初中几何证明题》PPT 课件
PPT课件介绍
重要性
初中几何证明题培养学生逻辑思维和推理能力，扩展数学思维，提高问题解决能力。
常见的几何证明题类型
三角形性质证明
如三角形全等、相似、垂直等性质的证明。
圆的性质证明
如弧度、切线性质、圆相切等性质的证明。
平行线性质证明
如平行线夹角内、外错角等性质的证明。
练习题目及参考答案
题目证明：两条平行线上的对应角相等。证明：四边形对角线互相垂直。证明：弦切线相交角等于弦上对应的弧度。
参考答案构建割线证明，利用平行线性质推导。使用相交直线性质和垂直线性质结合进行证明。运用圆的性质和弦角和、对角线性质等的证明。
解题步骤和技巧
步骤
1. 理解题意和给定条件 2. 确定证明方法和构建逻辑链 3. 利用几何知识和性质进行推导 4. 结论的逻辑推理和表述 5. 检查证明的严谨性和完整性
技巧
• 尝试倒证法 • 画图辅助推理过程 • 利用已知条件割线等辅助线 • 灵活应用几何性质和公式

初中生如何做好几何证明题(含答案)

14.若何做几何证实题【常识精读】1. 几何证实是平面几何中的一个主要问题,它对造就学生逻辑思维才能有着很大感化.几何证实有两种根本类型：一是平面图形的数目关系;二是有关平面图形的地位关系.这两类问题经常可以互相转化,如证实平行关系可转化为证实角等或角互补的问题.2. 控制剖析.证实几何问题的经常运用办法：（1）综正当（由因导果）,从已知前提动身,经由过程有关界说.定理.正义的运用,慢慢向前推动,直到问题的解决;（2）剖析法（执果索因）从命题的结论斟酌,斟酌使其成立须要具备的前提,然后再把所需的前提算作要证的结论持续斟酌,如斯慢慢往上逆求,直到已知事实为止;（3）两端凑法：将剖析与综正当归并运用,比较起来,剖析法利于思虑,综正当易于表达,是以,在现实思虑问题时,可归并运用,灵巧处理,以利于缩短题设与结论的距离,最后达到证实目标.3. 控制结构根本图形的办法：庞杂的图形都是由根本图形构成的,是以要擅长将庞杂图形分化成根本图形.在更多时刻须要结构根本图形,在结构根本图形时往往须要添加帮助线,以达到分散前提.转化问题的目标.【分类解析】1.证实线段相等或角相等两条线段或两个角相等是平面几何证实中最根本也是最主要的一种相等关系.许多其它问题最后都可化归为此类问题来证.证实两条线段或两角相等最经常运用的办法是运用全等三角形的性质,其它如线段中垂线的性质.角等分线的性质.等腰三角形的剖断与性质等也经经常运用到.例1. 已知：如图1所示,∆ABC中,∠=︒===90，，，.C AC BC AD DB AE CF求证：DE＝DF剖析：由∆ABC是等腰直角三角形可知,∠=∠=︒A B45,由D是AB中点,可斟酌贯穿连接CD,易得CD AD=,∠=︒DCF45.从而不难发明∆∆≅DCF DAE证实：贯穿连接CD解释：在直角三角形中,作斜边上的中线是经常运用的帮助线;在等腰三角形中,作顶角的等分线或底边上的中线或高是经常运用的帮助线.显然,在等腰直角三角形中,更应当贯穿连接CD,因为CD既是斜边上的中线,又是底边上的中线.本题亦可延伸ED到G,使DG＝DE,贯穿连接BG,证∆EFG是等腰直角三角形.有兴致的同窗无妨一试.例2. 已知：如图2所示,AB＝CD,AD＝BC,AE＝CF.求证：∠E＝∠F证实：贯穿连接AC在∆ABC和∆CDA中,在∆BCE和∆DAF中,解释：运用三角形全等证实线段求角相等.常须添帮助线,制作全等三角形,这时应留意：（1）制作的全等三角形应分离包含求证中一量;（2）添帮助线可以或许直接得到的两个全等三角形.2.证实直线平行或垂直在两条直线的地位关系中,平行与垂直是两种特别的地位.证两直线平行,可用同位角.内错角或同旁内角的关系来证,也可经由过程边对应成比例.三角形中位线定理证实.证两条直线垂直,可转化为证一个角等于90°,或运用两个锐角互余,或等腰三角形“三线合一”来证.例3. 如图3所示,设BP.CQ是∆ABC的内角等分线,AH.AK分离为A到BP.CQ 的垂线.求证：KH∥BC剖析：由已知,BH等分∠ABC,又BH⊥AH,延伸AH交BC于N,则BA＝BN,AH＝HN.同理,延伸AK交BC于M,则CA＝CM,AK＝KM.从而由三角形的中位线定理,知KH∥BC.证实：延伸AH交BC于N,延伸AK交BC于M∵BH等分∠ABC又BH⊥AHBH＝BH同理,CA＝CM,AK＝KM∴KH是∆AMN的中位线即KH//BC解释：当一个三角形中消失角等分线.中线或高线重应时,则此三角形必为等腰三角形.我们也可以懂得成把一个直角三角形沿一条直角边翻折（轴对称）而成一个等腰三角形.例4. 已知：如图4所示,AB＝AC,∠，，90.A AE BF BD DC=︒==求证：FD⊥ED证实一：贯穿连接AD在∆ADE和∆BDF中,解释：有等腰三角形前提时,作底边上的高,或作底边上中线,或作顶角等分线是经常运用帮助线.证实二：如图5所示,延伸ED到M,使DM＝ED,贯穿连接FE,FM,BM解释：证实两直线垂直的办法如下：（1）起首剖析前提,不雅察可否用供给垂直的定理得到,包含添经常运用帮助线,见本题证二.（2）找到待证三直线所构成的三角形,证实个中两个锐角互余.（3）证实二直线的夹角等于90°.3.证实一线段和的问题（一）在较长线段上截取一线段等一较短线段,证实其余部分等于另一较短线段.（截长法）例5. 已知：如图6所示在∆ABC中,∠=︒B60,∠BAC.∠BCA的角等分线AD.CE 订交于O.求证：AC＝AE＋CD剖析：在AC上截取AF＝AE.易知∆∆B60,知≅,∴∠=∠AEO AFO12.由∠=︒，，.∴∠=∠=∠=∠=︒∠+∠=︒∠=︒∠+∠=︒566016023120123460,得：≅∴=，∆∆FOC DOC FC DC证实：在AC上截取AF＝AE又∠=︒B60即AC AE CD=+（二）延伸一较短线段,使延伸部分等于另一较短线段,则两较短线段成为一条线段,证实该线段等于较长线段.（补短法）例6. 已知：如图7所示,正方形ABCD中,F在DC上,E在BC上,∠=︒EAF45.求证：EF＝BE＋DF剖析：此题若模仿例1,将会碰到艰苦,不轻易运用正方形这一前提.无妨延伸CB至G,使BG＝DF.证实：延伸CB至G,使BG＝DF在正方形ABCD中,∠=∠=︒=90，ABG D AB AD又∠=︒EAF45即∠GAE＝∠FAE4.中考题：如图8所示,已知∆ABC为等边三角形,延伸BC到D,延伸BA到E,并且使AE＝BD,贯穿连接CE.DE.求证：EC＝ED证实：作DF//AC交BE于F∆ABC是正三角形∴∆BFD是正三角形又AE＝BD即EF＝AC题型展现：证实几何不等式：例题：已知：如图9所示,∠=∠>12，AB AC.求证：BD DC>证实一：延伸AC到E,使AE＝AB,贯穿连接DE在∆ADE和∆ADB中,证实二：如图10所示,在AB上截取AF＝AC,贯穿连接DF则易证∆∆≅ADF ADC解释：在有角等分线前提时,常以角等分线为轴翻折结构全等三角形,这是经常运用帮助线.【实战模仿】1. 已知：如图11所示,∆ABC 中,∠=︒C 90,D 是AB 上一点,DE⊥CD 于D,交BC 于E,且有AC AD CE ==.求证：DE CD =122. 已知：如图12所示,在∆ABC 中,∠=∠A B 2,CD 是∠C 的等分线. 求证：BC ＝AC ＋AD3. 已知：如图13所示,过∆ABC 的极点A,在∠A 内任引一射线,过B.C 作此射线的垂线BP 和CQ.设M 为BC 的中点.求证：MP ＝MQ4. ∆ABC 中,∠=︒⊥BAC AD BC 90，于D,求证：()AD AB AC BC <++14【试题答案】1. 证实：取CD 的中点F,贯穿连接AF又∠+∠=︒∠+∠=︒14901390，2. 剖析：本题从已知和图形上看仿佛比较简略,但一时又不知若何下手,那么在证实一条线段等于两条线段之和时,我们经常采取“截长补短”的手段.“截长”即将长的线段截成两部分,证实这两部分分离和两条短线段相等;“补短”即将一条短线段延伸出另一条短线段之长,证实其和等于长的线段.证实：延伸CA 至E,使CE ＝CB,贯穿连接ED在∆CBD 和∆CED 中,又∠=∠+∠BAC ADE E3. 证实：延伸PM 交CQ 于R又BM CM BMP CMR，=∠=∠∆斜边上的中线∴QM是Rt QPR4. 取BC中点E,贯穿连接AE。

初中生如何做好几何证明题(含答案)

14、如何做几何证明题之阿布丰王创作【知识精读】1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题,它对培养学生逻辑思维能力有着很年夜作用.几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系.这两类问题经常可以相互转化,如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题.2. 掌握分析、证明几何问题的经常使用方法：（1）综合法（由因导果）,从已知条件动身,通过有关界说、定理、公理的应用,逐步向前推进,直到问题的解决；（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑,推敲使其成立需要具备的条件,然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲,如此逐步往上逆求,直到已知事实为止；（3）两头凑法：将分析与综合法合并使用,比力起来,分析法利于思考,综合法易于表达,因此,在实际思考问题时,可合并使用,灵活处置,以利于缩短题设与结论的距离,最后到达证明目的.3. 掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的,因此要善于将复杂图形分解成基本图形.在更多时候需要构造基本图形,在构造基本图形时往往需要添加辅助线,以到达集中条件、转化问题的目的.【分类解析】1、证明线段相等或角相等两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系.很多其它问题最后都可化归为此类问题来证.证明两条线段或两角相等最经常使用的方法是利用全等三角形的性质,其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经经常使用到.例 1. 已知：如图1所示,中求证：DE＝DF分析：由D是AB中点,可考虑连结CD,易从而不难发现证明：连结CD说明：在直角三角形中,作斜边上的中线是经常使用的辅助线；在等腰三角形中,作顶角的平分线或底边上的中线或高是经常使用的辅助线.显然,在等腰直角三角形中,更应该连结CD,因为CD既是斜边上的中线,又是底边上的中线.本题亦可延长ED到G,使DG＝DE,连结BG,.有兴趣的同学无妨一试.例2. 已知：如图2所示,AB＝CD,AD＝BC,AE＝CF.求证：∠E＝∠F证明：连结AC,,说明：利用三角形全等证明线段求角相等.常须添辅助线,制造全等三角形,这时应注意：（1）制造的全等三角形应分别包括求证中一量；（2）添辅助线能够直接获得的两个全等三角形.2、证明直线平行或垂直在两条直线的位置关系中,平行与垂直是两种特殊的位置.证两直线平行,可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证,也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明.证两条直线垂直,可转化为证一个角即是90°,或利用两个锐角互余,或等腰三角形“三线合一”来证.例3. 如图3所示,设BP、CQ,AH、AK分别为A到BP、CQ的垂线.求证：KH∥BC分析：由已知,BH平分∠ABC,又BH⊥AH,延长AH交BC于N,则BA ＝BN,AH＝HN.同理,延长AK交BC于M,则CA＝CM,AK＝KM.从而由三角形的中位线定理,知KH∥BC.证明：延长AH交BC于N,延长AK交BC于M∵BH平分∠ABC又BH⊥AHBH＝BH同理,CA＝CM,AK＝KM即KH//BC说明：当一个三角形中呈现角平分线、中线或高线重合时,则此三角形必为等腰三角形.我们也可以理解成把一个直角三角形沿一条直角边翻折（轴对称）而成一个等腰三角形.例4. 已知：如图4所示,AB＝求证：FD⊥ED证明一：连结AD,说明：有等腰三角形条件时,作底边上的高,或作底边上中线,或作顶角平分线是经常使用辅助线.证明二：如图5所示,延长ED到M,使DM＝ED,连结FE,FM,BM说明：证明两直线垂直的方法如下：（1）首先分析条件,观察能否用提供垂直的定理获得,包括添经常使用辅助线,见本题证二.（2）找到待证三直线所组成的三角形,证明其中两个锐角互余.（3）证明二直线的夹角即是90°.3、证明一线段和的问题（一）在较长线段上截取一线段等一较短线段,证明其余部份即是另一较短线段.（截长法）例5. 已知：如图6∠BAC、∠BCA的角平分线AD、CE相交于O.求证：AC＝AE＋CD分析：在AC上截取AF＝AE.易由,知得：证明：在AC上截取AF＝AE（二）延长一较短线段,使延长部份即是另一较短线段,则两较短线段成为一条线段,证明该线段即是较长线段.（补短法）例 6. 已知：如图7所示,正方形ABCD中,F在DC上,E在BC上求证：EF＝BE＋DF分析：此题若仿照例1,将会遇到困难,不容易利用正方形这一条件.无妨延长CB至G,使BG＝DF.证明：延长CB至G,使BG＝DF在正方形ABCD中即∠GAE＝∠FAE4、中考题：如图8所示,,延长BC到D,延长BA到E,而且使AE＝BD,连结CE、DE.求证：EC＝ED证明：作DF//AC交BE于F又AE＝BD即EF＝AC题型展示：证明几何不等式：例题：已知：如图9所示证明一：延长AC到E,使AE＝AB,连结DE,证明二：如图10所示,在AB上截取AF＝AC,连结DF说明：在有角平分线条件时,常以角平分线为轴翻折构造全等三角形,这是经常使用辅助线.【实战模拟】1. 已知：如图11所示是AB上一点,DE⊥CD于D,交BC于E,2. 已知：如图12所示,是∠C的平分线.求证：BC＝AC＋AD3. 已知：如图13所示,A,在∠A内任引一射线,过B、C作此射线的垂线BP和CQ.设M为BC的中点.求证：MP＝MQD,【试题谜底】1. 证明：取CD的中点F,连结AF2. 分析：本题从已知和图形上看好象比力简单,但一时又不知如何下手,那么在证明一条线段即是两条线段之和时,我们经常采纳“截长补短”的手法.“截长”即将长的线段截成两部份,证明这两部份分别和两条短线段相等；“补短”即将一条短线段延长出另一条短线段之长,证明其和即是长的线段.证明：延长CA至E,使CE＝CB,连结ED,3. 证明：延长PM交CQ于R4. 取BC中点E,连结AE。

初中经典几何证明练习题(含问题详解)

初中几何证明题经典题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ．求证：CD ＝GF ．证明：过点G 作GH ⊥AB 于H ，连接OE ∵EG ⊥CO ，EF ⊥AB∴∠EGO=90°，∠EFO=90° ∴∠EGO+∠EFO=180° ∴E 、G 、O 、F 四点共圆 ∴∠GEO=∠HFG∵∠EGO=∠FHG=90° ∴△EGO ∽△FHG ∴FG EO =HGGO∵GH ⊥AB ，CD ⊥AB ∴GH ∥CD∴CD COHG GO =∴CDCO FG EO = ∵EO=CO ∴CD=GF2、已知：如图，P 是正方形ABCD 部的一点，∠PAD ＝∠PDA ＝15°。

求证：△PBC 是正三角形．（初二）证明：作正三角形ADM ，连接MP ∵∠MAD=60°，∠PAD=15° ∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75° ∵∠BAD=90°，∠PAD=15°∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75° ∴∠BAP=∠MAP ∵MA=BA ，AP=AP ∴△MAP ≌△BAP∴∠BPA=∠MPA ，MP=BP 同理∠CPD=∠MPD ，MP=CP ∵∠PAD ＝∠PDA ＝15°∴PA=PD ，∠BAP=∠CDP=75° ∵BA=CD∴△BAP ≌∠CDP ∴∠BPA=∠CPD∵∠BPA=∠MPA ，∠CPD=∠MPD ∴∠MPA=∠MPD=75°∴∠BPC=360°-75°×4=60°∵MP=BP ，MP=CP ∴BP=CP ∴△BPC 是正三角形3、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．证明:连接AC ，取AC 的中点G,连接NG 、MG ∵CN=DN ，CG=DG ∴GN ∥AD ，GN=21AD ∴∠DEN=∠GNM ∵AM=BM ，AG=CG ∴GM ∥BC ，GM=21BC ∴∠F=∠GMN ∵AD=BC ∴GN=GM∴∠GMN=∠GNM ∴∠DEN=∠F经典题（二）1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ．（1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）证明：（1）延长AD 交圆于F ，连接BF ，过点O 作OG ⊥AD 于G ∵OG ⊥AF ∴AG=FG ∵AB⌒ =AB ⌒ ∴∠F=∠ACB又AD ⊥BC ，BE ⊥AC ∴∠BHD+∠DBH=90° ∠ACB+∠DBH=90° ∴∠ACB=∠BHD ∴∠F=∠BHD∴BH=BF 又AD ⊥BC ∴DH=DF∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2（GH+DH ）=2GD 又AD ⊥BC ，OM ⊥BC ，OG ⊥AD ∴四边形OMDG 是矩形 ∴OM=GD ∴AH=2OM （2）连接OB 、OC∵∠BAC=60∴∠BOC=120° ∵OB=OC ，OM ⊥BC ∴∠BOM=21∠BOC=60°∴∠OBM=30° ∴BO=2OM由（1）知AH=2OM ∴AH=BO=AO2、设MN 是圆O 外一条直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条割线交圆O 于B 、C 及D 、E ，连接CD并延长交MN 于Q ，连接EB 并延长交MN 于P. 求证：AP ＝AQ ．证明：作点E 关于AG 的对称点F ，连接AF 、CF 、QF ∵AG ⊥PQ ∴∠PAG=∠QAG=90°又∠GAE=∠GAF ∴∠PAG+∠GAE=∠QAG+∠GAF 即∠PAE=∠QAF∵E 、F 、C 、D 四点共圆 ∴∠AEF+∠FCQ=180° ∵EF ⊥AG ，PQ ⊥AG ∴EF ∥PQ∴∠PAF=∠AFE ∵AF=AE∴∠AFE=∠AEF ∴∠AEF=∠PAF ∵∠PAF+∠QAF=180° ∴∠FCQ=∠QAF ∴F 、C 、A 、Q 四点共圆 ∴∠AFQ=∠ACQ 又∠AEP=∠ACQ ∴∠AFQ=∠AEP3、设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二）证明：作OF ⊥CD 于F ，OG ⊥BE 于G ，连接OP 、OQ 、OA 、AF 、AG ∵C 、D 、B 、E 四点共圆 ∴∠B=∠D ，∠E=∠C ∴△ABE ∽△ADC ∴DFBGFD 2BG 2DC BE AD AB === ∴△ABG ∽△ADF ∴∠AGB=∠AFD ∴∠AGE=∠AFC ∵AM=AN ， ∴OA ⊥MN 又OG ⊥BE ，∴∠OAQ+∠OGQ=180° ∴O 、A 、Q 、E 四点共圆 ∴∠AOQ=∠AGE 同理∠AOP=∠AFC ∴∠AOQ=∠AOP又∠OAQ=∠OAP=90°，OA=OA ∴△OAQ ≌△OAP ∴AP=AQ 4、如图,分别以△ABC 的AB 和AC 为一边,在△ABC 的外侧作正方形ABFG 和正方形ACDE ，点O 是DF 的中点，在△AEP 和△AFQ 中 ∠AFQ=∠AEP AF=AE ∠QAF=∠PAE ∴△AEP ≌△AFQ ∴AP=AQOP ⊥BC求证：BC=2OP （初二）证明：分别过F 、A 、D 作直线BC 的垂线，垂足分别是L 、M 、N ∵OF=OD ，DN ∥OP ∥FL ∴PN=PL∴OP 是梯形DFLN 的中位线 ∴DN+FL=2OP ∵ABFG 是正方形 ∴∠ABM+∠FBL=90° 又∠BFL+∠FBL=90° ∴∠ABM=∠BFL又∠FLB=∠BMA=90°，BF=AB ∴△BFL ≌△ABM ∴FL=BM同理△AMC ≌△CND ∴CM=DN∴BM+CN=FL+DN ∴BC=FL+DN=2OP经典题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初二）证明：连接BD 交AC 于O 。

截长补短法培优第二课时

截长补短法培优第二课时(学生练习)(总5页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--“截长补短法”在几何证明中的运用专题万全县第三初级中学李彦军截长补短法是几何证明题中十分重要的方法，通常来证明几条线段的数量关系；截长补短法有多种方法。

截长法：（1）过某一点作长边的垂线；（2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等；… 补短法：（1）延长短边；（2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起；…引例：已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD =∠FAE . 求证：BE +DF =AE .FEDCBA例1.以ABC ∆的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ∆、ACE ∆，连结CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DOE ∠．FABCDEOOEDCBA例2.如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．DNMCBA例3.如图所示，在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的外角平分线，P 是AD 上异于点A 的任意一点，试比较PB PC +与AB AC +的大小，并说明理由．DPC BA【补充】在ABC ∆中，AB AC >，AD 是BAC ∠的平分线．P 是AD 上任意一点．求证：AB AC PB PC ->-．CD B PA【补充】如图，ABC ∆中，AB AC =，108A ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于D 点．求证：BC AC CD =+．AB CD【补充】如图所示，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AD AB =，CM AD ⊥于M ，求证2AB AC AM +=．MD CBA【补充】已知等腰ABC ∆，100A ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于D ，则BD AD BC +=．BAF EDC321CBA截长补短强化训练1、如图，ABC ∆中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC2、如图，已知在ABC 内，060BAC ∠=，040C ∠=，P ，Q 上，并且AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。

初中生如何做好几何证明题(含答案)上课讲义

初中生如何做好几何证明题(含答案)14、如何做几何证明题【知识精读】1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。

几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。

这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。

2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法：（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；（3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。

3. 掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。

在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。

【分类解析】1、证明线段相等或角相等两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。

很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。

证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。

例1. 已知：如图1所示，∆ABC 中，∠=︒===C AC BC AD DB AE CF 90，，，。

求证：DE ＝DF分析：由∆ABC 是等腰直角三角形可知，∠=∠=︒A B 45，由D 是AB 中点，可考虑连结CD ，易得CD AD =，∠=︒DCF 45。

从而不难发现∆∆DCF DAE ≅ 证明：连结CDAC BC A BACB AD DBCD BD AD DCB B A AE CF A DCB AD CD=∴∠=∠∠=︒=∴==∠=∠=∠=∠=∠=90，，，，∴≅∴=∆∆ADE CDFDE DF说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。

初中几何证明题PPT课件

∵∠DEC+∠DEB＝180°．
∴ ∠A+∠C=180°.
例2 如图，在四边形ABCD中，AB=BC, ∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD，垂足为E． S四边形ABCD =9，求BE的长.
B AE
F 提示： C 过点B作BF⊥DC交DC的延长
线于点F．证明△BAE≌△BCF, D 四边形BEDF是正方形，BE=3.
（2009南京中考模拟题）写出下列命题的已知、
求证，并完成证明过程．
命题：如果一个三角形的两个角相等，那么这两
个角所对的边也相等（简称：“等角对等
边”）．
A
已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C．求证：AB＝AC．
证明：过点A作AD⊥BC，垂足为D．在△ABD和△ACD中， ∵∠B＝∠C，∠ADB＝∠ADC，AD＝AD， ∴△ABD≌△ACD． B D C ∴AB＝AC．
D
F
A
E
B
●添加辅助线的规范
• 添加辅助线经常出现在几何证明题中，我们如何使用正确规范的语言添加辅助线显得尤为重要．经常使用的辅助线词语，如 “连接”，“延长…到…使得…”， “作…与…平行”“ 作…与…垂直，垂足为…”．
• 但也有同学会出现如“连接A,B两点，使得——”，或者“延长——使得…与…平行”这样的不规范或错误．
（1）∵ABC≌BAD， ∴∠CAB＝∠DBA． ∴OA＝OB．
（3）角的正确表示
同样在上面证明中，也有同学将角的符号表示错误或者漏写．证明：（2）∵△ABC≌△BAD， ∴AC＝BD．又∵OA＝OB， ∴ OC＝OD．
∴∠C＝ODC．
2．格式规范 “∵∴” 的书写和推出符号的使用应统一． ∵△ABC≌△BAD =〉 AC＝BD．又∵OA＝OB， =〉 OC＝OD =〉 ∠OCD＝∠ODC．

七年级下册数学几何证明题

七年级下册数学几何证明题七年级下册数学几何证明题一、直线平分角在平面几何中，对于给定的角，如果有一条直线能够将这个角划分成两个相等的小角，我们称这条直线是该角的平分线。

接下来我们将证明两个定理和一个引理。

定理1：如果直线ab平分角BAC，则直线ab与弧BCB′的切点C相同。

引理：如果点D在圆弧BCB′上，且点D在角BAC的平分线ab上，则BD=DC。

定理2：如果点E在角BAC的平分线ab上，且BE=CE，则直线ab平分角BAC。

证明：首先，我们先证明引理。

根据圆的性质，半径与弦垂直且平分弦。

又因为BD=DC，所以BD和DC分别是圆弧BCB′的半径，从而BD⊥BC，DC⊥BC。

又因为点D在角BAC的平分线ab上，所以BD⊥BA，DC⊥CA。

综上所述，BD⊥BA，BD⊥BC，BD是角BAC的平分线上任意一点至圆弧BCB′的切线。

同理，DC是角BAC的平分线上任意一点至圆弧BCB′的切线。

这样，我们就证明了引理。

接下来，我们证明定理1。

假设直线ab平分角BAC，且ab与弧BCB′的切点为C′。

根据引理，如果D是角BAC的平分线上的一点，且D在圆弧BCB′上，则BD=DC。

所以，当切点C与切点C′不同时，就会导致BD≠DC，与引理矛盾。

所以，点C和点C′必须是同一个点，即直线ab与弧BCB′的切点C唯一。

综上所述，我们证明了定理1。

最后，我们证明定理2。

假设点E在角BAC的平分线ab上，且BE=CE。

根据定理1，直线ab与弧BCB′的切点C唯一。

假设BE和CE分别与圆弧BCB′交于点F和G。

根据弧与切线的性质，∠BCF≤90°，∠BCG≤90°。

又因为BE=CE，所以∠BEF=∠CEG。

综上所述，∠BCF=∠BEF=∠BAC，∠BCG=∠CEG=∠BAC。

所以，直线ab平分角BAC。

综上所述，我们证明了定理2。

二、垂直平分线在平面几何中，对于给定的线段，如果有一条直线能够将这个线段划分成两个相等的小线段，并且与这个线段垂直相交，我们称这条直线是该线段的垂直平分线。

北师大版数学七年级下册专题十四几何证明课件

证明：∵ ∠ = ∠，
∴ ∠ + ∠ = ∠ + ∠，即∠ = ∠.
在△ 和△ 中，
∠ = ∠,
ቐ∠ = ∠,
= ,
∴△ ≌△ ，∴ = .
4.如图，完成下列推理过程：
如图所示，点E在△ ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于点
= ,
ቐ = ′ ,
= ′ ,
∴△ ≌△ ′ .
（2）若∠BAC = 100∘ ，求∠DAE的度数.
解：∵△ ≌△ ′，
∴ ∠ = ∠′，∴ ∠ = ∠′ = ∘ ，
∵ 以△ 的边所在直线为对称轴作△ 的轴对称图形△ ′，
∴ ∠ + ∠ = ∘ ，∵ ∠ = ∘ ，
∴ ∠ + ∠ 中，
∠ = ∠ = ∘ ,
ቐ∠ = ∠,
∴△ ≌△ .
= ,
（2）当AD = 3，BE = 1时，求DE的长.
解：∵△ ≌△ ，∴ = = ， = = ，∴ = + =
+ = .
类型二与轴对称有关的几何证明
8.如图，在△ ABC中，AB = AC，D，E是BC边上的点，连
接AD，AE，以△ ADE的边AE所在直线为对称轴作△ ADE
的轴对称图形△ AD′E，连接D′C，若BD = CD′.
∠ABC交AC于点F，AE ⊥ BF交BF的延长线于点E，AE，BC的
延长线交于点M.
（1）求证：AB = BM；
证明：由题意得 ⊥ ，∴ ∠ = ∠ = ∘ .
∵ 平分∠，∴ ∠ = ∠.
在△ 和△ 中，
∠ = ∠ = ∘ ,
∴ ∠ = ∠′ =

初一数学几何证明题的常见解题方法

初⼀是刚接触⼏何的知识，关于⼏何的证明题是很多的，这些该怎么解答呢？下⾯就是百分⽹店铺给⼤家整理的初⼀⼏何证明题内容，希望⼤家喜欢。

初⼀⼏何证明题解答 1)D是三⾓形ABC的BC边上的点且CD=AB，⾓ADB=⾓BAD，AE是三⾓形ABD的中线，求证AC=2AE。

(2)在直⾓三⾓形ABC中，⾓C=90度，BD是⾓B的平分线，交AC于D，CE垂直AB于E，交BD于O，过O作FG平⾏AB，交BC于F，交AC于G。

求证CD=GA。

延长AE⾄F，使AE=EF。

BE=ED，对顶⾓。

证明ABE全等于DEF。

=》AB=DF，⾓B=⾓EDF⾓ADB=⾓BAD=》AB=BD，CD=AB=》CD=DF。

⾓ADE=BAD+B=ADB+EDF。

AD=AD=》三⾓形ADF全等于ADC=》AC=AF=2AE。

题⼲中可能有笔误地⽅：第⼀题右边的E点应为C点，第⼆题求证的CD不可能等于GA，是否是求证CD=FA或CD=CO。

如上猜测准确，证法如下：第⼀题证明:设F是AB边上中点，连接EF⾓ADB=⾓BAD，则三⾓形ABD为等腰三⾓形，AB=BD;∵ AE是三⾓形ABD的中线，F是AB边上中点。

∴ EF为三⾓形ABD对应DA边的中位线，EF∥DA，则∠FED=∠ADC，且EF=1/2DA。

∵∠FED=∠ADC,且EF=1/2DA，AF=1/2AB=1/2CD∴△AFE∽△CDA∴ AE:CA=FE:DA=AF:CD=1:2AC=2AE得证第⼆题：证明:过D点作DH⊥AB交AB于H，连接OH，则∠DHB=90°;∵∠ACB=90°=∠DHB，且BD是⾓B的平分线，则∠DBC=∠DBH，直⾓△DBC与直⾓△DBH有公共边DB;∴△DBC≌△DBH，得∠CDB=∠HDB，CD=HD;∵ DH⊥AB，CE⊥AB;∴ DH∥CE，得∠HDB=∠COD=∠CDB，△CDO为等腰三⾓形，CD=CO=DH;四边形CDHO中CO与DH两边平⾏且相等，则四边形CDHO为平⾏四边形，HO∥CD 且HO=CD∵ GF∥AB，四边形AHOF中，AH∥OF，HO∥AF，则四边形AHOF为平⾏四边形，HO=FA∴CD=FA得证有很多题 1.已知在三⾓形ABC中，BE,CF分别是⾓平分线，D是EF中点，若D到三⾓形三边BC,AB,AC的距离分别为x,y,z，求证：x=y+z 证明;过E点分别作AB,BC上的⾼交AB,BC于M,N点. 过F点分别作AC,BC上的⾼交于P,Q点. 根据⾓平分线上的点到⾓的2边距离相等可以知道FQ=FP,EM=EN. 过D点做BC上的⾼交BC于O点. 过D点作AB上的⾼交AB于H点,过D点作AB上的⾼交AC于J点. 则X=DO,Y=HY,Z=DJ. 因为D 是中点,⾓ANE=⾓AHD=90度.所以HD平⾏ME，ME=2HD 同理可证FP=2DJ。

华师大版七年级数学上册立体几何证明专题

华师大版七年级数学上册立体几何证明专题简介本文档介绍了华师大版七年级数学上册立体几何证明专题。

立体几何是数学中的一个重要分支，主要研究空间中的图形和对象。

本文档将涵盖常见的立体几何证明题目和解题方法，帮助读者提高解题能力。

目录1. 证明题目一: 零件的组合2. 证明题目二: 三棱柱的表面积3. 证明题目三: 平行四边形棱台的体积4. 证明题目四: 正方体的表面积和体积证明题目一: 零件的组合这个题目要求证明一个图形由几个零件组合而成。

我们需要分析每个零件的特征和位置，然后通过证明每个零件的特征是相等的，进而得出整个图形的特征是相等的。

具体的证明步骤和思路将在文中详细解释。

证明题目二: 三棱柱的表面积这个题目要求证明一个三棱柱的表面积的公式。

我们可以通过拆解三棱柱为几个简单的平面图形，然后计算每个平面图形的面积，最后将它们相加得出整个三棱柱的表面积。

在文中，将详细解释这个证明过程。

证明题目三: 平行四边形棱台的体积这个题目要求证明一个平行四边形棱台的体积的公式。

我们可以将平行四边形棱台拆解为两个三棱柱和一个平行四边形棱台，然后分别计算它们的体积并相加得出整个平行四边形棱台的体积公式。

具体的证明过程将在文中详细解释。

证明题目四: 正方体的表面积和体积这个题目要求证明一个正方体的表面积和体积的公式。

我们可以通过拆解正方体为六个面，然后计算每个面的面积和体积，最后将它们相加得出整个正方体的表面积和体积。

在文中，将详细解释这个证明过程。

总结立体几何证明题目需要通过分析和推理，来得出图形特征或公式的证明过程。

通过理解每个题目的要求，我们可以运用合适的解题方法，来解决立体几何证明题目。

本文档提供了一些常见题目的证明方法，希望读者能够在学习立体几何的过程中有所帮助。

七年级上册数学几何图形初步(培优篇)(Word版含解析)

一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）1．（1）问题发现：如图 1，已知点 F，G 分别在直线 AB，CD 上，且 AB∥CD，若∠BFE=40°，∠CGE=130°，则∠GEF 的度数为________；（2）拓展探究：∠GEF，∠BFE，∠CGE 之间有怎样的数量关系？写出结论并给出证明；答：∠GEF=▲ .证明：过点 E 作 EH∥AB，∴∠FEH=∠BFE（▲），∵AB∥CD，EH∥AB，（辅助线的作法）∴EH∥CD（▲），∴∠HEG=180°-∠CGE（▲），∴∠FEG=∠HFG+∠FEH=▲ .（3）深入探究：如图 2，∠BFE 的平分线 FQ 所在直线与∠CGE 的平分线相交于点 P，试探究∠GPQ 与∠GEF 之间的数量关系，请直接写出你的结论.【答案】（1）90°（2）解：∠GEF＝∠BFE＋180°−∠CGE，证明：过点 E 作 EH∥AB，∴∠FEH=∠BFE（两直线平行，内错角相等），∵AB∥CD，EH∥AB，（辅助线的作法）∴EH∥CD（平行线的迁移性），∴∠HEG=180°-∠CGE（两直线平行，同旁内角互补），∴∠FEG=∠HFG+∠FEH=∠BFE＋180°−∠CGE ，故答案为：∠BFE＋180°−∠CGE；两直线平行，内错角相等；平行线的迁移性；两直线平行，同旁内角互补；∠BFE＋180°−∠CGE；（3）解：∠GPQ＋∠GEF＝90°，理由是：如图2，∵FQ平分∠BFE，GP平分∠CGE，∴∠BFQ＝∠BFE，∠CGP＝∠CGE，在△PMF中，∠GPQ＝∠GMF−∠PFM＝∠CGP−∠BFQ，∴∠GPQ＋∠GEF＝∠CGE− ∠BFE＋∠GEF＝ ×180°＝90°.即∠GPQ＋∠GEF＝90°.【解析】【解答】（1）解：如图1，过E作EH∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EH，∴∠HEF＝∠BFE＝40°，∠HEG＋∠CGE＝180°，∵∠CGE＝130°，∴∠HEG＝50°，∴∠GEF＝∠HEF＋∠HEG＝40°＋50°＝90°；故答案为：90°；【分析】（1）如图1，过E作EH∥AB，根据平行线的性质可得∠HEF＝∠BFE＝40 ，∠HEG＝50 ，相加可得结论；（2）由①知：∠HEF＝∠BFE，∠HEG＋∠CGE＝180°，则∠HEG＝180°−∠CGE，两式相加可得∠GEF＝∠BFE＋180°−∠CGE；（3）如图2，根据角平分线的定义得：∠BFQ＝∠BFE，∠CGP＝∠CGE，由三角形的外角的性质得：∠GPQ＝∠GMF−∠PFM＝∠CGP−∠BFQ，计算∠GPQ＋∠GEF并结合②的结论可得结果.2．如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．【答案】（1）解：AB∥CD.理由如下：如图1，∵∠1与∠2互补，∴∠1+∠2=180°．又∵∠1=∠AEF，∠2=∠CFE，∴∠AEF+∠CFE=180°，∴AB∥CD；（2）证明：如图2，由（1）知，AB∥CD，∴∠BEF+∠EFD=180°．又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，∴∠FEP+∠EFP= （∠BEF+∠EFD）=90°，∴∠EPF=90°，即EG⊥PF．∵GH⊥EG，∴PF∥G H；（3）解：∠HPQ的大小不发生变化，理由如下：如图3，∵∠1=∠2，∴∠3=2∠2．又∵GH⊥EG，∴∠4=90°-∠3=90°-2∠2．∴∠EPK=180°-∠4=90°+2∠2．∵PQ平分∠EPK，∴∠QPK= ∠EPK=45°+∠2．∴∠HPQ=∠QPK-∠2=45°，∴∠HPQ的大小不发生变化，一直是45°．【解析】【分析】（1）利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角∠AEF、∠CFE互补，所以易证AB∥CD；（2）利用（1）中平行线的性质推知°；然后根据角平分线的性质、三角形内角和定理证得∠EPF=90°，即EG⊥PF，故结合已知条件GH⊥EG，易证PF∥GH；（3）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得∠4=90°-∠3=90°-2∠2；然后由邻补角的定义、角平分线的定义推知∠QPK= ∠EPK=45°+∠2；最后根据图形中的角与角间的和差关系求得∠HPQ的大小不变，是定值45°．3．如图，数轴上线段AB=2（单位长度），CD=4（单位长度），点A在数轴上表示的数是﹣10，点C在数轴上表示的数是16．若线段AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．（1）问运动多少时BC=8（单位长度）？（2）当运动到BC=8（单位长度）时，点B在数轴上表示的数是________；（3）P是线段AB上一点，当B点运动到线段CD上时，是否存在关系式 =3，若存在，求线段PD的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：设运动t秒时，BC=8单位长度，①当点B在点C的左边时，由题意得：6t+8+2t=24解得：t=2（秒）；②当点B在点C的右边时，由题意得：6t﹣8+2t=24解得：t=4（秒）（2）解：4或16（3）解：存在关系式 =3．设运动时间为t秒，1）当t=3时，点B和点C重合，点P在线段AB上，0＜PC≤2，且BD=CD=4，AP+3PC=AB+2PC=2+2PC，当PC=1时，BD=AP+3PC，即 =3；2）当3＜t＜时，点C在点A和点B之间，0＜PC＜2，①点P在线段AC上时，BD=CD﹣BC=4﹣BC，AP+3PC=AC+2PC=AB﹣BC+2PC=2﹣BC+2PC，当PC=1时，有BD=AP+3PC，即 =3；点P在线段BC上时，BD=CD﹣BC=4﹣BC，AP+3PC=AC+4PC=AB﹣BC+4PC=2﹣BC+4PC，当PC= 时，有BD=AP+3PC，即 =3；3°当t= 时，点A与点C重合，0＜PC≤2，BD=CD﹣AB=2，AP+3PC=4PC，当PC= 时，有BD=AP+3PC，即 =3；4°当＜t 时，0＜PC＜4，BD=CD﹣BC=4﹣BC，AP+3PC=AB﹣BC+4PC=2﹣BC+4PC，PC= 时，有BD=AP+3PC，即 =3．∵P在C点左侧或右侧，∴PD的长有3种可能，即5或3.5【解析】【解答】解：（2）当运动2秒时，点B在数轴上表示的数是4；当运动4秒时，点B在数轴上表示的数是16．【分析】（1）设运动t秒时，BC=8（单位长度），然后分点B在点C的左边和右边两种情况，根据题意列出方程求解即可；（2）由（1）中求出的运动时间即可求出点B在数轴上表示的数；（3）随着点B的运动，分别讨论当点B和点C重合、点C在点A和B之间及点A与点C重合时的情况．4．如图1，直线MN与直线AB，CD分别交于点E，F，∠1与∠2互补（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH（3）如图3，在(2)的条件下，连结PH，在GH上取一点K，使得∠PKG=2∠HPK，过点P 作PQ平分∠EPK交EF于点Q，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．(温馨提示：三角形的三个内角和为180°．)【答案】（1）解：如图，∵∠1和∠2互补，∠2和∠3互补，∴∠1=∠3∴AB∥CD（2）解：如图，由(1)得AB∥CD，∴∠BEF+∠EFD=180°又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，∴∠FEP+∠EFP= (∠BEF+∠EFD)=90°，∴∠EPF=90°，即EG⊥PF∵GH⊥EG，∴PF∥GH．（3）解：∠HPQ的大小不发生变化，理由如下：∵EG⊥HG，∴∠KGP=90°∴∠EPK=180°-∠4=180°-(180-∠3-∠KGP)=90°+∠3∵∠3=2∠6，∴∠EPK=90°+2∠6∵PQ平分∠EPK，∴∠QPK= ∠EPK=45°+∠6∴∠HPQ=∠QPK-∠6=45°∴∠HPQ的大小不发生变化，一直是45°【解析】【分析】（1）利用邻补角的定义可证得∠2与∠3互补，再根据同角的补角相等，可证得∠1=∠3，然后利用同位角相等，两直线平行，可证得结论。

一道初中几何证明题的三种解法（共五篇）

一道初中几何证明题的三种解法（共五篇）第一篇：一道初中几何证明题的三种解法证明题：证明：AB+AC>BD+DE+EC解法1：解题思路：要证1.AB+AC>BD+DE+EC先证2.AB+AC>GB+GC 再证3.GB+GC>BD+DE+EC由2.和3.证得1.证明：延长BD交AC于点F，延长CE交DF于点G。

∵AB+AF>BF,FC+FG>GC;……….两边之和大于第三边CC∴AB+AF+FC+FG>BF+GC;……..不等式性质（如果A>B,C>D，那么A+C>B+D）∵AF+FC=AC;∴AB+AC+FG>BF+GC;∵BF=BG+FG;∴AB+AC+FG> BG+FG+GC;∴AB+AC> BG+ GC;………不等式性质:如果a>b,那么a+c>b+c(不等式的可加性).此处为同加-FG。

∵GD+GE>DE∴GD +GE+DB +EC> DE+DB+ EC……不等式的可加性。

∵GD+DB=GB,GE+EC=GC;∴GB+GC>DE+D B+EC;∴AB+AC>DE+DB+EC……..不等式的传递性（AB+AC> BG+ GC>DE+DB+EC）解法 2.解题思路：要证 1.AB+AC>BD+DE+EC先证2.AB+AC>BF+FC再证3.BF+FC>BD+DE+EC由2.和3.证得1.证明：延长BD、CE,交于点F,过点F作直线交AB 于点G，交AC于点H.∵AG+AH>GH,GH=GF+FH;∴AG+AH>GF+FH;∴AG+AH+GB+HC>GF+FH+GB+HC;∵AG+GB=AB,AH+HC= AC;∴AB+AC>GF+FH+GB+HC;∵GF+GB>FB,FH+HC>FC;∴GF+FH+GB+HC>FB+FC;∴AB+AC> FB+FC;∵FD+FE>DE;C∴FD+FE+DB+EC>DE+BD+EC;∵FD+DB=FB,FE+EC=FC;∴FB+FC>DE+BD+EC;∴AB+AC>BD+DE+EC.解法 3.解题思路：要证1.AB+AC>BD+DE+EC先证 2.AB+AC>BG+GD+DE+EH+HC再证3.BG+GH+HC>BD+DE+EC由2.和3.证得1.证明：延长DE交AC于点H,延长ED交AB于点G.∵AG+AH>GH,GH=GD+DE+EH;∴AG+AH> GD+DE+EH;∴AG+AH+BG+HC> GD+DE+EH+BG+HC;∵AG+GB=AB,AH+HC=AC;∴AB+AC>GD+DE+EH+BG+HC;∵BG+GD>BD,EH+HC>EC;∴GD+DE+EH+BG+HC>BD+DE+EC;∴AB+AC>BD+DE+EC.C第二篇：初中几何证明题(1)如图，在三角形ABC中，BD,CE是高，FG分别为ED,BC的中点，O是外心，求证AO∥FG 问题补充：证明:延长AO,交圆O于M,连接BM,则:∠ABM=90°,且∠M=∠ACB.∠AEC=∠ADB=90°,∠EAC=∠DAB,则⊿AEC∽⊿ADB,AE/AD=AC/AB;又∠EAD=∠CAB,则⊿EAD∽⊿CAB,得∠AED=∠ACB=∠M.∴∠AED+∠BAM=∠M+∠BAM=90°,得AO⊥DE.--------(1)连接DG,EG.点G为BC的中点,则DG=BC/2;(直角三角形斜边的中线等于斜边的一半)同理可证:EG=BC/2.故DG=EG.又F为DE的中点,则FG⊥DE.(等腰三角形底边的中线也是底边的高)-----------------(2)所以,AO∥FG.(2)已知梯形ABCD中，对角线AC与腰BC相等，M 是底边AB的中点，L是边DA延长线上一点连接LM并延长交对角线BD于N点延长LM至E，使LM＝ME。

七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导专题15 几何证明

专题15 几何证明专题解读】几何证明题的一般结构由已知条件和求证目标两部分组成.解答几何证明题的一般步骤如下：审题，寻找证明的思路，书写证明过程，最终实现求证目标.几何证明是初中数学学习的重要组成部分，也是学好初中数学的重要一环.要学好几何证明，不但需要我们具有扎实的基础、科学的方法、良好的数学学习习惯，还需要具有敢于尝试、不怕挫折的勇气，更需要有吃苦耐劳、持之以恒的精神.思维索引】例1.△ABC中，三个内角的平分线交于点O，过点O作∠ODC=∠AOC，交边BC于点D.B图1 图2（1）如图1，求∠BOD的度数；（2）如图2，作∠ABC外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F.①求证：BF∥OD；②若∠F=50°，求∠BAC的度数；③若∠F=∠ABC=40°，将△BOD绕点O顺时针旋转一定角度后得△B'OD'（0°<<360°），B'D'所在直线与FC平行，请直接写出所有符合条件的旋转角度的值.例2.如图1，直线MN 与直线AB 、CD 分别交于点E 、F ，∠1与∠2互补. （1）试判断直线AB 与直线CD 的位置关系，并说明理由；（2）如图2，∠BEF 与∠EFD 的角平分线交于点P ，EP 与CD 交于点G ，点H 是MN 上一点，且 GH EG ，求证：PF /∥GH ；（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH ，K 是GH 上一点使∠PHK =∠HPK ，作PQ 平分∠EPK ，问∠HPQ 的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由.CA图1 图2 图3例3.在△ABC中，∠BAC=100°，∠ABC=∠ACB，点D在直线BC上运动（不与点B、C重合），点E 在射线AC上运动，且∠ADE=∠AED，设∠DAC=n.（1）如图①，当点D在边BC上时，且n=36°，则∠BAD=_______，∠CDE=______；（2）如图②，当点D运动到点B的左侧时，其他条件不变，请猜想∠BAD和∠CDE的数量关系，并说明理由；（3）当点D运动到点C的右侧时，其他条件不变，∠BAD和∠CDE还满足（2）中的数量关系吗？请画出图形，并说明理由.BD①②③素养提升1.如图，AB CD ，∠1=58°，FG 平分∠EFD ，则∠FGB 的度数等于（） A .122°B .151°C .116°D .97°CA（第1题）（第2题）（第3题）2.如图，直线l ∥m ，将含有45°角的三角形板ABC 的直角顶点C 放在直线m 上.若∠1=25°，则∠2的度数为（） A .20°B .35°C .44°D .67°3.如图，在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，点A 、B 是方格纸中的两个格点（网格线的交点称格点），在这个7×7的方格纸中，找出格点C ，使△ABC 的面积为3，则满足条件的格点C 的个数是（） A .2个B .4个C .5个D .6个4.如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则图中∠1的度数是（） A .15°B .22.5°C .30°D .45°5.如图，AB ∥CD ，OE 平分∠BOC ，,OFOE OP CD ，∠ABO =，则下列结论：①∠BOE =1902；②OF 平分∠BOD ；③∠POE =∠BOF ；④∠POB =2∠DOF ，其中不正确的个数有（） A .1个B .2个C .3个D .4个CDA（第4题）（第5题）（第6题）6.如图，长方形ABCD 中，AB =4cm ，BC =3cm ，点E 是CD 的中点，动点P 从A 点出发，以每秒1cm 的速度沿A →B →C →E 运动，最终到达点E .若点P 运动的时间为x 秒，那么当x =_______时，△APE 的面积等于5.7.各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有_______个.8．如图，点A 、C 、F 、B 在同一直线上，CD 平分∠ECB ，FG //CD ．若∠ECA 为a ，则∠GFB 为．GDEB C DPC NEMABP 8P 7P 6P 5P 4P 3P 2P 1（第8题）（第9题）（第10题）9．如图，∠ABC =∠ACB ，BD 、CD 、BE 分别平分△ABC 的内角∠ABC 、外角∠ACP 、外角∠MBC ．以下结论：①AD //BC ；②DB ⊥BE ：③∠BDC +∠ABC =90°；④∠A +2∠BEC =180°；⑤DB 平分∠ADC ．其中正确的结论有：（填序号）．10．如图，若平面内有点P 1、P 2、P 3、P 4、P 5、P 6、P 7、P 8，连接P 1P 3、P 2P 4、P 3P 5、P 4P 6、P 5P 7、P 6P 8、P 7P 1、P 8P 2，则∠P 1+∠P 2+∠P 3+∠P 4+∠P 5+∠P 6+∠P 7+∠P 8的度数是．11．在△ABC 中，∠ACB =90°，BD 是△ABC 的角平分线，P 是射线AC 上任意一点（不与A 、D 、C 三点重合），过点P 作PQ ⊥AB ，垂足为Q ，交直线BD 于E ．（1）如图1，当点P 在线段AC 上时，说明∠PDE =∠PED ．（2）作∠CPO 的角平分线交直线AB 于点F ，则PF 与BD 有怎样的位置关系？画出图形并说明理由．图 1 图 2CBAE DQP CBA12．探究与发现：如图1，在△ABC 中，∠B =∠C =45°，点D 在BC 边上，点E 在AC 边上，且∠ADE =∠AED ，连接DE ．（1）当∠BAD =60°时，求∠CDE 的度数；（2）当点D 在BC （点B 、C 除外）边上运动时，试探究∠BAD 与∠CDE 的数量关系；（3）深入探究：如图2，若∠B =∠C ，但∠C ≠45°，其它条件不变，试继续探究∠BAD 与∠CDE 的数量关系．图 1 图 2ABCDE EDCBA13．如图，AC⊥CB，垂足为C点，AC=CB=8cm，点Q是AC的中点，动点P由B点出发，沿射线BC 方向匀速移动．点P的运动速度为2cm/s．设动点P运动的时间为t s．为方便说明，我们分别记三角形ABC 面积为S，三角形PCQ的面积为S1，三角形P AQ的面积为S2，三角形ABP的面积为S3．（1）S3= cm2（用含t的代数式表示）；（2）当点P运动几秒，S1=1S，说明理由；4（3）请你探索是否存在某一时刻，使得S1=S2=S3？若存在，求出t值；若不存在，说明理由．AQC B14．某课题研究小组就图形面积问题进行专题研究，他们发现如下结论：（1）有一条边对应相等的两个三角形面积之比等于这条边上的对应高之比；（2）有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比；……现请你继续对下面问题进行探究，探究过程可直接应用上述结论．（S表示面积）问题1：如图1，现有一块三角形纸板ABC，P1、P2三等分边AB，R1、R2三等分边AC．经探究知四边，请证明．形P1P2R2R1的面积恰为△ABC的面积的13问题2：若有另一块三角形纸板，可将其与问题1中的拼合成四边形ABCD，如图2，Q1、Q2三等分边DC．请探究四边形P1Q1Q2P2的面积与四边形ABCD的面积之间的关系．问题3：如图3，P1，P2，P3，P4五等分边AB，Q1，Q2，Q3，Q4五等分边DC．若S四边形ABCD=1，求四边形P2Q2Q3P3的面积.问题4：如图4，P1，P2，P3四等分边AB，Q1，Q2，Q3四等分边DC，P1Q1，P2Q2，P3Q3将四边形ABCD 分成四个部分，面积分别为S1，S₂，S3，S4．请直接写出含有S1，S₂，S3，S4的一个等式．专题15几何证明思维索引】例1．(1)∠BOD ＝90°； (2)．①略 ②∠BAC ＝2∠F ＝100° ③x ＝30°，210° 例2．略例3．(1)64°，32° (2)∠BAD ＝2∠CDE (3)∠BAD ＝2∠CDE 素养提升】1．B ； 2．A ； 3．C ； 4．A ； 5．A ； 6．103或5；7．20；8．90°－2α：9．①②③④；10．720°； 11．(1)略； (2)当P 在线段AC 上时，此时PF ∥BD ，当P 在线段AC 的延长线上时，PF ⊥BD ； 12．(1)30°； (2)∠EDC ＝12∠BAD ； (3)∠EDC ＝12∠BAD ； 13．(1)8t ； (2)当点P 运动2秒或6秒时，S 1＝14； (3)当43t =时，S 1＝S 2＝S 3； 14．(1) 122113ABC P P R R S S =△四边形； (2) 11223ABCD PQ Q P S S =四边形四边形； (3) 22331155P Q Q P ABCD S S ==四边形四边形； (4)S 2＋S 3＝S 1＋S 4．。

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