高考数学复习专题平面向量的基本定理及坐标表示练习(无答案)文
高三数学平面向量基本定理及坐标表示试题答案及解析
高三数学平面向量基本定理及坐标表示试题答案及解析1.已知向量_________.【答案】10【解析】所以答案应填：10.【考点】1、平面向量的坐标运算；2、向量的模；3、向量的数量积.2.如图，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AB=2，AD=DC=1，P是线段BC上一动点，Q是线段DC上一动点，，则的取值范围是．【答案】【解析】解：建立平面直角坐标系如图所示，则因为，所以所以，,所以，故答案应填.【考点】1、平面向量基本定理；2、向量的坐标表示；3、向量的数量积；4、一元二次函数的最值.3.在△ABC中，D为边BC上任意一点，＝λ＋μ，则λμ的最大值为( )A．1B．C．D．【答案】D【解析】依题意得，λ＋μ＝1，λμ＝λ(1－λ)≤2＝，当且仅当λ＝1－λ，即λ＝时取等号，因此λμ的最大值是，选D.4.在下列条件中,使M与A,B,C一定共面的是()A．=2--B．=++C．++=0D．+++=0【答案】C【解析】++=0,即=-(+),所以M与A,B,C共面.5.已知A(2,-2),B(4,3),向量p的坐标为(2k-1,7)且p∥,则k的值为()A．-B．C．-D．【答案】D【解析】=(2,5),由p∥得5(2k-1)-2×7=0,所以k=.6.已知向量a=(cosα,-2),b=(sinα,1)且a∥b,则tan(α-)等于()A．3B．-3C．D．-【答案】B【解析】选B.∵a=(cosα,-2), b=(sinα,1)且a∥b,∴=(经分析知cosα≠0),∴tanα=-.∴tan(α-)===-3,故选B.【方法技巧】解决向量与三角函数的综合题的方法向量与三角函数的结合是近几年高考中出现较多的题目,解答此类题目的关键是根据条件将所给的向量问题转化为三角问题,然后借助三角恒等变换再根据三角求值、三角函数的性质、解三角形的问题来解决.7.平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),回答下列问题:(1)求3a+b-2c.(2)求满足a=mb+nc的实数m,n.(3)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k.【答案】(1) (0,6 (2) (3)k=-.【解析】(1)3a+b-2c=3(3,2)+(-1,2)-2(4,1)=(9,6)+(-1,2)-(8,2)=(0,6).(2)∵a=mb+nc,∴(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n).∴解得(3)∵(a+kc)∥(2b-a),又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2).∴2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0,∴k=-.8.已知向量a＝(3,1)，b＝，若a＋λb与a垂直，则λ等于________．【答案】4【解析】根据向量线性运算、数量积运算建立方程求解．由条件可得a＋λb＝，所以(a＋λb)⊥a⇒3(3－λ)＋1＋λ＝0⇒λ＝4.9.设向量，若，则实数的值为 .【答案】【解析】根据向量平行的坐标表示，由得，，解得.【考点】向量平行的坐标表示.10.定义平面向量之间的一种运算“”如下，对任意的，，令，下面说法错误的是（）A．若与共线，则B．C．对任意的，有D．【答案】B【解析】根据题意可知，对于任意的，，令，则可知对于A.若与共线，则成立，对于 B.显然不相等，故错误，对于C.对任意的，有，验证成立，对于D. 同样满足向量的数量积运算，故选B.【考点】新定义点评：主要是考查了向量的计算，属于基础题。
2023年高考数学微专题练习专练26平面向量基本定理及坐标表示含解析理
专练26 平面向量基本定理及坐标表示命题范围：平面向量基本定理及坐标表示，用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算，用坐标表示的平面向量共线的条件．[基础强化]一、选择题1．如果e 1，e 2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( )A ．e 1与e 1＋e 2B ．e 1－2e 2与e 1＋2e 2C ．e 1＋e 2与e 1－e 2D ．e 1＋3e 2与6e 2＋2e 12．已知平面向量a ＝(1，1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b ＝( )A ．(－2，－1)B ．(－2，1)C ．(－1，0)D ．(－1，2)3．已知a ＝(2，1)，b ＝(1，x )，c ＝(－1，1).若(a ＋b )∥(b －c )，且c ＝m a ＋n b ，则m ＋n 等于( )A ．14B ．1 C ．－13D ．－124．设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b ，0)，a ＞0，b ＞0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋2b的最小值是( )A.2B ．4 C ．6D ．85．已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN →＝－3a ，则点N 的坐标为( ) A.(2，0) B ．(－3，6) C ．(6，2) D ．(－2，0)6．已知向量m ＝(sin A ，12)与向量n ＝(3，sin A ＋3cos A )共线，其中A 是△ABC 的内角，则角A 的大小为( )64C ．π3D ．π27．已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(x ，3y －5)，且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则xy 的最大值是( )A ．26B ．2512C ．2524D ．2568．设向量a ＝(－3，4)，向量b 与向量a 方向相反，且|b |＝10，则向量b 的坐标为( ) A ．(－65，85) B ．(－6，8)C ．(65，－85)D ．(6，－8)9．[2022·安徽省蚌埠市质检]如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC 且AB ＝2DC ，点E 为线段BC 靠近点C 的一个四等分点，点F 为线段AD 的中点，AE 与BF 交于点O ，且AO →＝xAB →＋yBC →，则x ＋y 的值为( )A ．1B ．57C ．1417D ．56 二、填空题10．[2021·全国甲卷]已知向量a ＝(3，1)，b ＝(1，0)，c ＝a ＋k b .若a ⊥c ，则k ＝________． 11．[2022·安徽省滁州市质检]已知a ＝(1，3)，a ＋b ＝(－1，2)，则|a －b |＋a ·b ＝________．12．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________．[能力提升]13．已知在Rt△ABC 中，A ＝π2，AB ＝3，AC ＝4，P 为BC 上任意一点(含B ，C )，以P为圆心，1为半径作圆，Q 为圆上任意一点，设AQ →＝aAB →＋bAC →，则a ＋b 的最大值为( )124C ．1712D ．191214．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AD ＝DC ＝2AB ，E 为AD 的中点，若CA →＝λCE →＋μDB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为( )A ．65B ．85C ．2D ．8315．[2022·东北三省三校模拟]在正六边形ABCDEF 中，点G 为线段DF (含端点)上的动点，若CG →＝λCB →＋μCD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是________．16．如图，已知平面内有三个向量OA →、OB →、OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝2 3.若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________．专练26 平面向量基本定理及坐标表示1．D 选项A 中，设e 1＋e 2＝λe 1，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝λ，1＝0无解；选项B 中，设e 1－2e 2＝λ(e 1＋2e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝λ，－2＝2λ无解；选项C 中，设e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝λ，1＝－λ无解；选项D 中，e 1＋3e 2＝12(6e 2＋2e 1)，所以两向量是共线向量，不能作为平面内所有向量的一组基底．2．D 12a －32b ＝(12，12)－(32，－32)＝(－1，2).3．C ∵a ＋b ＝(3，1＋x )，b －c ＝(2，x －1)， ∵(a ＋b )∥(b －c )，∴3(x －1)＝2(x ＋1)， 得x ＝5，∴b ＝(1，5)，又c ＝m a ＋n b ， ∴(－1，1)＝m (2，1)＋n (1，5)∴⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝－1，m ＋5n ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－23，n ＝13，∴m ＋n ＝－23＋13＝－13.4．D ∵AB →＝OB →－OA →＝(a －1，1)，CB →＝(a ＋b ，－1)， ∵A ，B ，C 三点共线，∴(a －1)×(－1)＝1×(a ＋b )，∴2a ＋b ＝1， 又a ＞0，b ＞0，∴1a ＋2b ＝(1a ＋2b )(2a ＋b )＝4＋b a ＋4ab≥4＋2b a ·4a b ＝8(当且仅当b a ＝4a b 即a ＝14，b ＝12时等号成立)5．A 设点N 的坐标为(x ，y )，则MN →＝(x －5，y ＋6) 又MN →＝－3a ＝(－3，6)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －5＝－3，y ＋6＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.6．C ∵m ∥n ，∴sin A (sin A ＋3cos A )－32＝0，∴2sin 2A ＋23sin A cos A ＝3. 可化为1－cos2A ＋3sin2A ＝3， ∴sin (2A －π6)＝1.∵A ∈(0，π)，∴(2A －π6)∈(－π6，11π6).因此2A －π6＝π2，解得A ＝π3.故选C.7．C ∵a ∥b ，∴3y －5＝－2x ，∴2x ＋3y ＝5，又x ，y 均为正数，∴5＝2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ，(当且仅当2x ＝3y ，即：x ＝54，y ＝56时等号成立)，∴xy ≤2524，故选C.8．D 由题意不妨设b ＝(－3m ，4m )(m <0)，则|b |＝（－3m ）2＋（4m ）2＝10，解得m ＝－2或m ＝2(舍去)，所以b ＝(6，－8)，故选D.9．C 根据向量的线性运算法则，可得AO →＝xAB →＋yBC →＝xAB →＋y (BA →＋AC →) ＝xAB →－yAB →＋yAC →＝(x －y )AB →＋y ·(AD →＋DC →)＝(x －y )AB →＋y ·(2AF →＋12AB →)＝(x －y )AB →＋2yAF →＋12yAB →＝(x －y 2)AB →＋2yAF →，因为B ，O ，F 三点共线，可得x －y2＋2y ＝1，即2x ＋3y －2＝0；又由BO →＝BA →＋AO →＝BA →＋xAB →＋yBC →＝BA →－xBA →＋y ·43BE →＝(1－x )BA →＋4y 3BE →，因为A ，O ，E 三点共线，可得1－x ＋4y3＝1，即3x －4y ＝0，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －2＝03x －4y ＝0，解得x ＝817，y ＝617，所以x ＋y ＝1417.10．－103解析：c ＝(3，1)＋(k ，0)＝(3＋k ，1)，a ·c ＝3(3＋k )＋1×1＝10＋3k ＝0，得k ＝－103. 11．0解析：a ＝(1，3)，a ＋b ＝(－1，2)，b ＝(－1，2)－(1，3)＝(－2，－1)，a －b ＝(3，4)，|a －b |＋a ·b ＝9＋16＋(－2－3)＝0. 12．3解析：∵MA →＋MB →＋MC →＝0，∴M 为△ABC 的重心，则AM →＝12(AB →＋AC →)×23＝13(AB →＋AC →)，∴AB →＋AC →＝3AM →，∴m ＝3. 13．C根据题设条件建立如图所示的平面直角坐标系，则C (0，4)，B (3，0)，易知点Q 运动的区域为图中的两条线段DE ，GF 与两个半圆围成的区域(含边界)，由AQ →＝aAB →＋bAC →＝(3a ，4b )，设z ＝a ＋b ，则b ＝z －a ，所以AQ →＝(3a ，4z －4a ).设Q (x ，y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3a ，y ＝4z －4a ，消去a ，得y ＝－43x ＋4z ，则当点P 运动时，直线y ＝－43x ＋4z 与圆相切时，直线的纵截距最大，即z 取得最大值，不妨作AQ ⊥BC 于Q ，并延长交每个圆的公切线于点R ，则|AQ |＝125，|AR |＝175，所以点A 到直线y ＝－43x ＋4z ，即4x ＋3y －12z ＝0的距离为175，所以|－12z |32＋42＝175，解得z ＝1712，即a ＋b 的最大值为1712. 14．B建立如图所示的平面直角坐标系，则D (0，0).不妨设AB ＝1，则CD ＝AD ＝2，所以C (2，0)，A (0，2)，B (1，2)，E (0，1)，∴CA →＝(－2，2)，CE →＝(－2，1)，DB →＝(1，2)，∵CA →＝λCE →＋μDB →，∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2λ＋μ＝－2，λ＋2μ＝2，解得λ＝65，μ＝25，则λ＋μ＝85.故选B.15．[1，4]解析：根据题意，不妨设正六边形ABCDEF 的边长为23，以中心O 为原点建立平面直角坐标系，如图所示：则可得F (－23，0)，D (3，3)，C (23，0)，B (3，－3)， 设点G 的坐标为(m ，n )，则CG →＝(m －23，n )， CB →＝(－3，－3)，CD →＝(－3，3)，由CG →＝λCB →＋μCD →可得：m －23＝－3λ－3μ， 即λ＋μ＝－33m ＋2， 数形结合可知：m ∈[－23，3]，则－33m ＋2∈[1，4]，即λ＋μ的取值范围为[1，4].16．6解析：解法一：如图，作平行四边形OB 1CA 1，则OC →＝OB 1＋OA 1，因为OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，所以∠B 1OC ＝90°.在Rt△OB 1C 中，∠OCB 1＝30°，|OC |＝23， 所以|OB 1|＝2，|B 1C |＝4，所以|OA 1|＝|B 1C |＝4，所以OC →＝4OA →＋2OB →，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6. 解法二：以O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (1，0)，B (－12，32)，C (3，3). 由OC →＝λOA →＋μOB →，得⎩⎪⎨⎪⎧3＝λ－12μ，3＝32μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4，μ＝2.所以λ＋μ＝6.。
高中数学 平面向量的基本定理及坐标表示例题
在平面内任取一点O，作 = ， = ， = ．过点C作平行于直线OB的直线，与直线OA交于点 M；过点C作平行于直线OA的直线，与直线OB交于点N．由向量的线性运算性质可知，存在实数 、 ，使
得
，
任一向量 都可以表示成
．由于 的形式．
，所以
．也就是说，
下面给出平面向量基本定理：
如果 、 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 ，有且只有一对实数 、
A. 和
B.
和
2
C.
和
D.
和
5. 在 A. B. C. D.
中， 为 边上的中线， 为 的中点，则
（ ）．
6. 已知点 在 A. B. C. D.
. 如图，在
中，点 在线段 上，且
，若
，则 （ ）．
A. B. C. D.
8. 如图，正方形
中， 为 的中点，若
平面向量的基本定理及坐标表示
一、平面向量的基本定理
给定平面内任意两个向量 、 ，我们综合利用向量的加减法运算和数乘运算，可以轻松做出向量
．那么平面内的任一向量是否都可以用形如
的向量表示呢？
如下图：
设 、 是同一平面内两个不共线的向量， 是这平面内的任一向量，我们通过作图研究 与 、 之间 的关系．
如下图：
，其中 ，
，则
13. 如图，在
中，点 在线段 上，且
，若
，则
．
二、平面向量的坐标表示
4
在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形．把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分 解．
如下图：
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量 、 作为基底．
高考数学专题《平面向量的基本定理及坐标表示》习题含答案解析
专题6.2 平面向量的基本定理及坐标表示1．（2021·全国高一课时练习）已知向量()1,2a =- ，()3,1b =- ，(),2c m = ，(2)c a b ⊥- ，则m 的值为（ ）ABC ．2D ．10【答案】C 【解析】先求出2a b -的坐标，再借助向量垂直的坐标表示即可得解.【详解】因()1,2a =- ，()3,1b =- ，则()25,5a b -=- ，而(),2c m = ，(2)c a b ⊥-，于是得(2)0c a b ⋅-=，即5520m -+⋅=，解得2m =，所以m 的值为2.故选：C2．（2021·全国高三其他模拟（文））已知()24,4,3a b a b ==-=- ，，记a 与b 夹角为θ，则cos θ的值为（ ）A ．1320B ．516-C ．34D ．57-【答案】B 【解析】利用平面向量数量积的定义以及模长公式求解即可.【详解】因为()4,3a b -=- ，所以5a b -=，因为a b -== 所以25416=+-16cos θ，所以5cos 16θ=-．故选:B .练基础3.（2021·天津和平区·高一期末）已知正方形ABCD 的边长为2，E 是BC 的中点，F 是线段AE 上的点，则AF CF ⋅的最小值为（ ）A ．95B ．95-C ．1D ．1-【答案】B 【解析】根据题意，建立适当的平面直角坐标系，转化为坐标运算即可.【详解】如图所示，建立平面直角坐标系，由题意知，()0,0A ，()2,1E ，()2,2C ，由F 是线段AE 上的点，设,2x F x ⎛⎫⎪⎝⎭，且02x ≤≤，因此,2x AF x ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，2,22x CF x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，故()25223224x x xAF x x x CF ⋅⎛⎫=-+-=- ⎪⎝⎭，因02x ≤≤，所以当65x =时，AF CF ⋅ 取最小值95-.故选：B.4．（2021·全国高三其他模拟（文））如图，平行四边形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 在线段BE 上，且3BF FE =，记a BA = ，b BC = ，则CF =（）A ．2133a b+ B ．2133a b-C ．1348a b-+D ．3548a b-【答案】D 【解析】取a BA = ，b BC = 作为基底，把BE 、BF用基底表示出来，利用向量的减法即可表示出CF .【详解】取a BA = ，b BC =作为基底，则12BE a b =+ .因为3BF FE =，所以3313344248BF BE a b a b ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭ ，所以33354848CF BF BC a b b a b =-=+-=-.故选：D.5.（2021·全国高一专题练习）已知A B P ，，三点共线，O 为直线外任意一点，若OP xOA y OB →→→=+，则x y += ________.【答案】1【解析】由共线可设AB BP λ→→=，进而得OB OA OP OB λ→→→→⎛⎫= ⎪⎝-⎭-，化简对应的,x y 即可得解.【详解】∵,,A B P 三点共线，∴存在非零实数λ，使得AB BP λ→→=，∴OB OA OP OB λ→→→→⎛⎫= ⎪⎝-⎭-∴11OP OB OAλλλ→→→+=-∵OP xOA y OB →→→=+，∴111x y λλλ+⎛⎫+=-= ⎪⎭+⎝.故答案为：16．（辽宁高考真题）在平面直角坐标系中，四边形的边，，已知点，，则D 点的坐标为___________.【答案】【解析】平行四边形中，，∴，即点坐标为，故答案为.7．（2021·中牟县教育体育局教学研究室高一期中）设已知向量()1,1a =，向量()3,2b =- .（1）求向量2a b -的坐标；（2）当k 为何值时，向量ka b +与向量2a b -垂直.【答案】（1）()7,3-；（2）274k =.【解析】（1）进行向量坐标的减法和数乘运算即可得出2(7,3)a b -=-；（2）可求出(3,2)ka b k k +=-+ ，然后根据ka b + 与2a b - 垂直即可得出7(3)3(2)0k k --+=，解出k 即可．【详解】（1）∵()1,1a =，()3,2b =- ，∴()27,3a b -=-r r.（2）∵()3,2ka b k k +=-+r r ，且ka b + 与2a b - 垂直，∴()()73320k k --+=，解得274k =.8．（2021·江西新余市·高一期末（文））已知||4a =，(b =-xoy ABCD //AB DC //AD BC ()20A -，()68B ，()8,6C ()0,2-ABCD OB OD OA OC +=+()()()()2,08,66,80,2OD OA OC OB =+=+----=D ()0,2-()0,2-（1）若//a b ，求a的坐标；（2）若a 与b的夹角为120°，求a b -r r .【答案】（1）(2,-或(2,-；（2）.【解析】（1）先求与向量b 共线的单位向量，结合//a b ，即可得出a的坐标；（2）先根据夹角求出a b ⋅，根据模的运算律22a a = ，即可得到a b -r r .【详解】解：（1）(b =- Q ，||2b ∴=∴与b共线的单位向量为12b c b ⎛=±=±- ⎝.||4a = Q ，//a b，(||2,a a c ∴==-或(2,-.（2）||4a = Q ，||2b =，,120a b <>=︒ ，||||cos ,4a b a b a b ∴⋅==-，222()228a b a a b b ∴-=-⋅+=，||a b ∴-=9．（2021·全国高一专题练习）如图，在△ABC 中，D ，E 分别为AC ，AB 边上的点，12CD AE DA EB ==，记BC a →= ，CA b →= .试用向量a →，b →表示DE .【答案】1()3DE b a →→=- 【解析】根据向量的减法及向量的数乘，化简即可求解.【详解】因为111()()333AE AB CB CA a b →→==-=-- ，2233AD AC b →==- ，所以121()()()333DE AE AD a b b b a →→→→→=-=----=- .即1()3DE b a →→=- 10．（2021·江西省万载中学高一期末（理））已知向量(1,3),(1,)a b t →→=-=，若(2)a b a →→→+⊥，（1）求向量a →与b →的夹角；（2）求3a b →→-的值．【答案】（1）34π；（2）．【解析】（1）根据(2)a b a →→→+⊥得到2t =，再求出=5a b →→⋅-，a →=，b →=，即得解；（2）直接利用向量的模的坐标公式求解.【详解】（1）Q (1,-3),(1,)a b t →→==，()23,32a b t →→∴+=-+，Q (2)a b a →→→+⊥，()(2)=3132-30a b a t →→→+⋅⨯+-+⨯=∴（），解得2t =，11-325a b →→∴⋅=⨯+⨯=-（），a →=，b →=，cos ,a ba b a b→→→→→→⋅∴<>===⋅，所以向量a →与b →的夹角为34π.（2）Q 2223969106-55125a b a a b b →→→→→→-=-⋅+=⨯-⨯+=（），3a b →→∴-=．练提升1．【多选题】（2021·浙江高一期末）任意两个非零向量和m ，n ，定义：m n m n n n⋅⊗=⋅，若平面向量,a b满足||2||0a b ≥> ，a 与b 的夹角πθ0,3æöç÷Îç÷èø，且a b ⊗ 和b a ⊗ 都在集合4n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，则a b ⊗ 的值可能为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】CD 【解析】由已知得集合{|}4nn Z ∈的元素特征，再分析a b ⊗ 和b a ⊗ 的范围，再由定义计算后，可得答案.【详解】首先观察集合311113{|},1,,,,0,,,,1,4424424n n Z ⎧⎫∈=⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⎨⎬⎩⎭，从而分析a b ⊗ 和b a ⊗ 的范围如下：因为(0,3πθ∈，∴1cos 12θ<<，而cos b b a b a a a a θ⋅⊗==⋅，且||2||0a b ≥> ，可得10cos 2b a θ<< ，又∵b a ⊗∈ {|}4n n Z ∈中，∴1cos 4b a θ= ，从而14cos b a θ= ，∴2cos 4cos a a b a b b b b θθ===⋅⋅⊗ ，又21cos 14θ<<，所以214cos 4a b θ⊗<=< ．且a b ⊗ 也在集合{|}4n n Z ∈中，故有2a b ⊗= 或3．故选：CD.2．（2021·江西新余市·高一期末（文））如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC mOA nOB =+，则m n +的取值范围是___________.【答案】(1,0)-【解析】如图所示，由A ，B ，D 三点共线，利用向量共线定理可得：存在实数λ满足(1)OD OA OB λλ=+-，OD tOC = ，1t<-，(1)tOC OA OB λλ=+- ，即1OC OA OB t tλλ-=+，与OC mOA nOB =+两比较，即可得出．【详解】解：如图所示，A Q ，B ，D 三点共线，∴存在实数λ满足(1)OD OA OB λλ=+-，又OD tOC =，1t <-，(1)tOC OA OB λλ∴=+-，即1OC OA OB t tλλ-=+，与OC mOA nOB =+两比较，可得m tλ=，1n tλ-=，则1(1,0)m n t+=∈-．m n ∴+的取值范围是(1,0)-．故答案为：(1,0)-．3．（2021·宁夏银川市·高三其他模拟（理））已知A (1，1)，B (0，1)，C (1，0)，M 为线段BC 上一点，且CM CB λ= ，若MA BC MB MC ⋅>⋅，则实数λ的取值范围是___________.【答案】1⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】根据CM CB λ=可得1x y λλ=-⎧⎨=⎩，再表示出MA MB MC BC ，，，坐标，由条件可得2220x y y +-≤，再将1x y λλ=-⎧⎨=⎩代入可得关于λ的不等式，从而可得答案.【详解】解析：设点(),M x y ，由CM CB λ=，得()()1,1,1x y λ-=-，所以1x y λλ=-⎧⎨=⎩.因为MA BC MB MC ⋅>⋅，所以()()()()1,11,1,11,x y x y x y --⋅-≥----，即2211x y x x y y --+≥-+-+，化简得2220x y y +-≤将1x y λλ=-⎧⎨=⎩代入2220x y y +-≤，得()22120λλλ-+-≤，即22410λλ-+≤，解得11λ≤≤+因为M 为线段BC 上一点，且CM CB λ=，所以01λ≤≤.综上，可知11λ≤≤.故实数λ的取值范围是1⎡⎤⎢⎥⎣⎦.4．（江苏高考真题）在同一个平面内，向量OA ,OB ,OC 的模分别为与OC 的夹角为α，且tan α=7,OB 与OC 的夹角为45∘，若OC =mOA +nOB (m,n ∈R )，则m +n =_________．【答案】3【解析】以OA 为x 轴，建立直角坐标系，则A (1,0)，由OC 的模为2与OA 与OC 的夹角为α，且tan α=7知，cos α=210,sinα=210 ，可得B (cos(α+45∘),sin (α+45∘))，∴B ―35,，由OC =mOA +nOB可得=m ―35n,45n=m ―35n75=45nm =54,n =74，∴m +n =3，故答案为3.5．（2021·福建漳州市·高一期末）在平面直角坐标系xOy中，已知向量m =，()sin ,cos n x x = ，()0,x π∈．若//m n u r r，则x =______；若存在两个不同的x 值，使得n m t n += 恒成立，则实数t 的取值范围为______．【答案】34π)2．【解析】根据向量平行的坐标表示可求34x π=；用坐标表示出n m t n += ，结合三角函数的图象可得实数t 的取值范围.【详解】x x =，则tan 1x =-，又()0,x π∈，则34x π=；计算得sin ,cos m n x x +=+ ，则m n +== ，又存在两个不同的x 值，使得n m t n +=恒成立，则t =()0,π上有两个不同的解，令()22sin ,0,4y x x ππ⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭，由()0,x π∈，得3,444x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，2t <<．故答案为：34π；)2．6．（2021·天津滨海新区·高一期末）已知四边形ABCD ，0AB BC ⋅= ，AD BC λ=u u u r u u u r，1AB AD ==，且||||CB CD CB CD ⋅= ，（i ）λ=___________；（ii ）若2DE EC = ，动点F 在线段BE 上，则DF FC ⋅ 的最大值为___________.【答案】12 613 【解析】利用向量的数量积可得4BCD π∠=，过点D 作BC 的垂线，垂足为O ，可得1DO OC ==，进而可得2BC AD =，求出λ；以B 为坐标原点，,BC BD 为,x y 建立平面直角坐标系，首先求出点E 坐标，设(),F x y ，利用向量共线求出5x y =，再由向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】由||||CB CD CB CD ⋅= 1212cos e e e e BCD ⋅=∠= 因为[]0,BCD π∠∈，所以4BCD π∠=，过点D 作BC 的垂线，垂足为O ，可得1DO OC ==，因为1AB AD ==，所以2BC AD =，由AD BC λ=u u u r u u u r ，所以12λ=.以B 为坐标原点，,BC BD 为,x y 建立平面直角坐标系，如图：则()1,1D ，()2,0C ，设(),E m n由2DE EC =，即()()1,122,0m n m n --=--，解得51,33m n ==，即51,33E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设(),F x y ，503x ≤≤，103y ≤≤， 则51,33BE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(),BF x y = ，因为,,B F E 三点共线，所以5133y x =，即5x y =，()1,1DF x y =-- ，()2,FC x y =-- ，所以()()()()()21215125DF FC x x y y y y y y⋅=--+-=--+- 224626162261313y y y ⎛⎫=-+-=--+ ⎪⎝⎭，当413y =时，DF FC ⋅ 取得最大值为613.故答案为：12；6137．（2021·全国高一专题练习）已知A (-2，4)，B (3，-1)，C (-3，-4).设,,AB a BC b CA c === ，且3,2CM c CN b ==- .（1）求33a b c +-；（2）求满足a mb nc =+ 的实数m ，n ；（3）求M ，N 的坐标及向量MN 的坐标.【答案】（1）(6，-42)；（2）11m n =-⎧⎨=-⎩；（3）M (0，20)，N (9，2)，(9,18)MN =- .【解析】（1）利用向量加、减、数乘的坐标运算即可求解.（2）利用向量加法的坐标运算以及向量相等即可求解.（3）利用向量减法的坐标运算即可求解.【详解】由已知得a =(5，-5)，b =(-6，-3)，c=(1，8).（1）33a b c +-=3(5，-5)+(-6，-3)-3(1，8)=(15-6-3，-15-3-24)=(6，-42).（2）∵mb nc + =(-6m +n ，-3m +8n )，∴65385m n m n -+=⎧⎨-+=-⎩，解得11m n =-⎧⎨=-⎩.（3）设O 为坐标原点，∵3CM OM OC c =-=，∴3OM c OC =+ =(3，24)+(-3，-4)=(0，20).∴M (0，20).又∵2CN ON OC b =-=- ，∴2ON b OC =-+=(12，6)+(-3，-4)=(9，2)，∴N (9，2)，∴MN =(9，-18).8．（2021·全国高一课时练习）已知△ABC 的面积为S 23S ≤≤，且AB ·BC ＝3，AB 与BC 的夹角为θ.求AB 与BC 夹角的取值范围．【答案】,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】可设AB 与BC 夹角为θ，则据题意得出θ为锐角，且3||||cos AB BC θ= ，从而根据ABC V 的面积32S ∈tan 1θ…，这样根据正切函数在(0,2π的单调性即可求出θ的范围．【详解】解：Q 3AB BC ⋅= ，∴,AB BC 的夹角为锐角，设,AB BC 的夹角为θ，则：||||cos 3AB BC θ= ，∴3||||cos AB BC θ=，又3]2S ∈；∴()13||||sin 22AB BC πθ- …，∴13||||sin 22AB BC θ …，∴33tan 22θ…，∴tan 1θ…，∴64ππθ……，∴AB 与BC 夹角的取值范围为[,]64ππ．9．（2021·全国高一专题练习）已知O ，A ，B 是不共线的三点，且(,)OP mOA nOB m n R =+∈ （1）若m +n =1，求证：A ，P ，B 三点共线；（2）若A ，P ，B 三点共线，求证：m +n =1.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）由1m n +=原式可代换为()1OP mOA m OB =+- ，再由()1OP m m OP =+-⎡⎤⎣⎦ ，两式联立变形即可求证；（2）由A ，P ，B 三点共线，可得AP PB λ= ，变形得()OP OA OB OP λ-=- ，整理成OP 关于,OA OB 的表达式，再结合OP mOA nOB =+ ，由对应关系即可求证【详解】（1）证明：若m +n =1，则()1OP mOA m OB =+- ，()1OP m m OP =+-⎡⎤⎣⎦ ，故()()11mOP m OP mOA m OB +-=+- ，即()()()1m OP OA m OB OP -=-- ，()1mAP m PB =- ，即,AP BP 共线，又,AP BP 有公共点，则A ，P ，B 三点共线；（2）证明：若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使得AP PB λ= ，变形得()OP OA OB OP λ-=- ，即()1OP OB OA λλ+=+ ，111OB OA OB OA OP λλλλλ+==++++ ，又OP mOA nOB =+ ，1111λλλ+=++，故1m n +=10．（2021·北京首都师大二附高一期末）在△ABC 中.∠BAC =120°，AB =AC =1（1）求AB BC ⋅ 的值；（2）如图所示，在直角坐标系中，点A 与原点重合，边AB 在x 轴上，设动点P 在以A 为圆心，AB 为半径的劣弧BC 上运动.求⋅ BP CP 的最小值.【答案】（1）32-；（2）12-.【解析】（1）由()10B ,，12C ⎛- ⎝，利用坐标公式求得数量积即可.（2）设点P 坐标为()2cos ,sin 03πθθθ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭，求得⋅ BP CP 1sin 26πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，利用三角函数的最值求得数量积的最值.【详解】解：（1）()10B ,，12C ⎛- ⎝，AB BC ⋅ ()331,022⎛=⋅-=- ⎝.（2）点P 在以A 为圆心，AB 为半径的劣弧BC 上运动，设点P 坐标为()2cos ,sin 03πθθθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，又()10B ,，12C ⎛- ⎝，⋅ BP CP ()1cos 1,sin cos ,sin 2θθθθ⎛=-⋅+ ⎝2211cos cos cos sin 22θθθθθ=-+-+1sin 26πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，又203πθ≤≤，则5666πππθ≤+≤1sin 126πθ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，故当sin 16πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，⋅ BP CP 有最小值12-.1.（2019·全国高考真题（理））已知=(2,3)，=(3，t )，=1，则=（ ）A ．-3B ．-2C ．2D ．3【答案】C【解析】由，，得，则，．故选C ．2.（2021·全国高考真题（理））已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+ ．若a c ⊥ ，则k =________．【答案】103-.【解析】利用向量的坐标运算法则求得向量c的坐标，利用向量的数量积为零求得k 的值【详解】()()()3,1,1,0,3,1a b c a kb k ==∴=+=+ Q ,(),33110a c a c k ⊥∴=++⨯=Q n ，解得103k =-,故答案为：103-.3．（2021·全国高考真题（理））已知向量()()1,3,3,4a b == ，若()a b b λ-⊥ ，则λ=__________．【答案】35AB AC ||BC AB BC ⋅(1,3)BC AC AB t =-=- 1BC == 3t =(1,0)BC = (2,3)(1,0)21302AB BC ⋅=⋅=⨯+⨯=u u u r u u u r 练真题【解析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．【详解】因为()()()1,33,413,34a b λλλλ-=-=-- ，所以由()a b b λ-⊥ 可得，()()3134340λλ-+-=，解得35λ=．故答案为：35．4.（2021·全国高考真题（文））已知向量()()2,5,,4a b λ== ，若//a b r r ，则λ=_________．【答案】85【解析】利用向量平行的充分必要条件得到关于λ的方程，解方程即可求得实数λ的值.【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：2450λ⨯-⨯=，解方程可得：85λ=.故答案为：85.5.（2018·北京高考真题（文））（2018年文北京卷）设向量a=（1,0），b=（−1,m ）,若a ⊥(ma ―b )，则m =_________.【答案】-1.【解析】∵a =(1,0),b =(―1,m )，∴ma ―b =(m ,0)―(―1,m )=(m +1,―m )，由a ⊥(ma ―b )得：a ⋅(ma ―b )=0，∴a ⋅(ma ―b )=m +1=0，即m =―1.6．（2020·北京高考真题）已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+ ，则||PD = _________；PB PD ⋅= _________．1-【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+= ，则点()2,1P ，()2,1PD ∴=- ，()0,1PB =- ，因此，PD == ，()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=- .1-.。
高三数学平面向量基本定理及坐标表示试题答案及解析
高三数学平面向量基本定理及坐标表示试题答案及解析1.设平面向量，，若，则等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，得，故，则，故=．【考点】1、向量共线；2、向量的模和坐标运算.2.如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量．【答案】【解析】以为原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系.设正方形的边长为，则设 .又向量所以，∴，∴，∴．由题意得∴当时，同时，时，取最小值为.【考点】平面向量的坐标运算，三角函数的性质.3.已知向量，则向量的坐标为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为,则根据向量加法的坐标运算可得,故选D.【考点】向量的坐标运算4.在下列条件中,使M与A,B,C一定共面的是()A．=2--B．=++C．++=0D．+++=0【答案】C【解析】++=0,即=-(+),所以M与A,B,C共面.5.已知平面向量，，，则下列说法中错误的是( )A．∥B．C．对同一平面内的任意向量，都存在一对实数，使得D．向量与向量的夹角为【答案】C【解析】选项A正确，因为，所以；选项B正确，因为，所以；选项C 错误，因为，所以向量与向量是共线向量，由平面向量的基本定理可知，它们的线性组合不能表示出同一平面内的任意向量；选项D正确，，所以，，，所以，所以向量与向量的夹角为.【考点】1.平面向量的基本定理；2.平面向量的坐标运算；3.平面向量的夹角6.如图,在等腰三角形中,底边, , , 若, 则= ．【答案】【解析】以BC为x轴，BC的中点为原点建立直角坐标系，则设，可得，，故=，解得（负值舍去），故，，则 .【考点】1.平面向量的数量积；2.坐标法在向量中的运用.7.如图，在中，已知为线段上的一点，（1）若，求，的值；（2）若，，，且与的夹角为60°时，求的值。
【答案】（1），；（2）.【解析】（1）本题的背景是三点共线向量定理，我们都熟悉当为的中点时，，本题重在考查证明过程，切不可直接应用结论，证明思路就是把向量拆成向量表示，结论自然得证；（2）由于已知向量的模和夹角，很自然得联想到平面向量基本定理，将其它向量用基底表示，将所有向量的运算转化为基底的运算，问题不难解决.试题解析：（1）∵，∴，即， 3分∴，即， 5分（2）∵，∴，即 7分∴ 8分∴， 9分10分12分14分【考点】向量的线性运算、平面向量基本定理、向量的数量积.8.在中，点在上，且，点是的中点，若，，则( )A．B．C．D．【答案】D【解析】设 .因为是的中点，所以，即,解得，.【考点】1.平面向量的基本定理；2.向量运算的坐标表示.9.如图所示，是圆上的三点，线段的延长线于线段的延长线交于圆外的一点，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】线段的延长线与线段的延长线的交点为，则，在圆外，，又、、共线，故存在，使得，且，又，.，.选D.【考点】圆的性质，平面向量基本定理.10.已知向量在x轴上一点P使有最小值，则P的坐标为（）. A．（-3，0）B．（2，0）C．（3，0）D．（4，0）【答案】C【解析】设P的坐标为，则，，当时，值最小，此时P的坐标为，选C.【考点】1.向量的坐标运算；2.向量的数量积.11.已知向量，若与垂直，则______.【答案】【解析】，，.【考点】1.向量的模；2.向量垂直.12.已知向量，向量，则的最大值为．【答案】4【解析】因为向量，向量，所以=4+4－4（）=8-8sin(),其最大值为16，所以的最大值为4.【考点】本题主要考查平面向量的坐标运算，向量模的计算，向量的数量积，三角函数的性质。
2020年高考数学一轮复习专题5.2平面向量的基本定理练习(含解析)
5.2 平面向量的坐标运算一、平面向量的坐标运算 1．向量坐标的求法（1）若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. （2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则AB =（x 2－x 1，y 2－y 1）. 2．向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a ＋b =（x 2+x 1，y 2+y 1），a －b =（x 1－x 2，y 1－y 2），λa =（λx 1，λy 1）， |a |a ＋b 3．平面向量共线的坐标表示设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1=0. 4．向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA =a ，OB =b ，则∠AOB =θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a 与b 的夹角.如果向量a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b .考向一 坐标运算【例1】（1）已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN →＝－3a ，则点N 的坐标为．(2)已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，a ＝m b ＋n c (m ，n ∈R )，则m ＋n ＝ 【答案】（1）(2,0) （2）-2【解析】（1） 设N (x ，y )，则(x －5，y ＋6)＝(－3,6)，∴x ＝2，y ＝0. （2）由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.∴m ＋n ＝－2.【举一反三】1.设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a＋2b的最小值是( )A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】 D【解析】 由题意可得，OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，所以AB →＝OB →－OA →＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1，2)．又∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →，即(a －1)×2－1×(－b －1)＝0，∴2a ＋b ＝1，又∵a >0，b >0，∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (2a ＋b )＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋4a b ≥4＋4＝8，当且仅当b a ＝4a b时，取“＝”．故选D.2．已知点P (－1,2)，线段PQ 的中点M 的坐标为(1，－1)．若向量PQ →与向量a ＝(λ，1)共线，则λ＝________. 【答案】 －23【解析】 点P (－1,2)，线段PQ 的中点M 的坐标为(1，－1)， ∴向量PQ →＝2PM →＝2(1＋1，－1－2)＝(4，－6)．又PQ →与向量a ＝(λ，1)共线，∴4×1＋6λ＝0，即λ＝－23.3.已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则c 等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，83 C.⎝⎛⎭⎪⎫133，43D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－43【解析】 由已知3c ＝－a ＋2b ＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4)．所以c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－43.考向二 平面向量在几何中 的运用【例2】已知△ABC 的三个顶点的坐标为A (0，1)，B (1,0)，C (0，－2)，O 为坐标原点，动点M 满足|CM →|＝1，则|OA →＋OB →＋OM →|的最大值是( )A.2＋1B.7＋1C.2－1D.7－1 【答案】 A【解析】 设点M 的坐标是(x ，y )，∵C (0，－2)，且|CM →|＝1，∴x 2＋(y ＋2)2＝1，则x 2＋(y ＋2)2＝1， 即动点M 的轨迹是以C 为圆心、1为半径的圆， ∵A (0,1)，B (1,0)，∴OA →＋OB →＋OM →＝(x ＋1，y ＋1)，则|OA →＋OB →＋OM →|＝(x ＋1)2＋(y ＋1)2，几何意义表示：点M (x ，y )与点N (－1，－1)之间的距离，即圆C 上的点与点N (－1，－1)的距离，∵点N (－1，－1)在圆C 外部，∴|OA →＋OB →＋OM →|的最大值是|NC |＋1＝(0＋1)2＋(－2＋1)2＋1＝2＋1.故选A. 【举一反三】1.在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与圆相交于两点，．若点在圆上，则实数（ ）A ．B ．C ．D ．O :10l x ky -+=22:4C x y +=, A B OM OA OB =+M C k =2-1-01考向三 向量中的坐标【例3】给定两个长度为1的平面向量,OA OB ，它们的夹角为120.如图1所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动.若,OC xOA yOB =+其中,x y R ∈，则x y +的最大值是______. 【答案】2【解析】解法1（ 考虑特值法） 当C 与A 重合时，10,OC OA OB =⨯+⨯1x y +=，当C 与B 重合时，01,OC OA OB =⨯+⨯1x y +=， 当C 从AB 的端点向圆弧内部运动时，1x y +>， 于是猜想当C 是AB 的中点时，x y +取到最大值.当C 是AB 的中点时，由平面几何知识OACB 是菱形， ∴,OC OA OB =+∴11 2.x y +=+= 猜想x y +的最大值是2.解法二（考虑坐标法）建立如图3，所示的平面直角坐标系，设AOC α∠=，则1(1,0),((cos ,sin )2A B C αα-.于是OC xOA yOB =+可化为：1(cos ,sin )(1,0)(,22x y αα=+-，∴1cos ,2sin .x y y αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（1）解法2 函数法求最值由方程组（1）得：cos ,.x y ααα⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴cos 2sin(30)x y ααα+=+=+，又0120α≤≤， ∴当30α=时，max () 2.x y += 解法3 不等式法求最值由方程组（1）得：222221sin cos ()3x y xy x y xy αα=+=+-=+-，∴211()33xy x y =+-， 由0,0x y >>，及x y +≥2()4x y xy +≥， ∴2()4x y +≤，∴2x y +≤，当且仅当1x y ==时取等号. ∴max () 2.x y +=思考方向三 考虑向量的数量积的运算 解法4 两边点乘同一个向量∵,OC xOA yOB =+∴,.OC OA xOA OA yOB OA OC OB xOA OB yOB OB ⎧⋅=⋅+⋅⎪⎨⋅=⋅+⋅⎪⎩ 设AOC α∠=，则 120BOC α∠=-，又||||||1OC OA OB ===，∴1cos ,21cos(120).2x y x y αα⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-+⎪⎩∴2[cos cos(120)]2sin(30)x y ααα+=+-=+， ∴当30α=时，max () 2.x y += 解法5 两边平方法∵,OC xOA yOB =+∴22(),OC xOA yOB =+∴2221()3x y xy x y xy =+-=+-222()()()344x y x y x y ++≥+-⋅=， ∴2x y +≤，当且仅当1x y ==时取等号， ∴max () 2.x y +=思考方向四 考虑平行四边形法则过C 作CM ∥OB 交OA 于M ，作CN ∥OA 交OB 于N ，则OM CN 是平行四边形，由向量加法的平行四边形法则得：OC OM ON =+，在OMC ∆中，设AOC α∠=，则 120BOC α∠=-， 且||,||.OM x MC y == 解法6 利用正弦定理sin sin sin OM MC OCOCM COM OMC==∠∠∠， 1sin(60)sin sin 60x y αα==+，由等比性值得：1sin(60)sin sin 60x y αα+=++，∴2sin(30)x y α+=+，∴当30α=时，max () 2.x y += 解法7 利用余弦定理222||||||2||||cos60,OC OM MC OM MC =+-⋅∴2221()3x y xy x y xy =+-=+-222()()()344x y x y x y ++≥+-⋅=，∴2x y +≤，当且仅当1x y ==时取等号， ∴max () 2.x y += 【举一反三】1.如图，已知平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝2 3.若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，求λ＋μ的值．【答案】6【解析】 方法一 如图，作平行四边形OB 1CA 1，则OC →＝OB 1→＋OA 1→，因为OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°， 所以∠B 1OC ＝90°.在Rt △OB 1C 中，∠OCB 1＝30°，|OC →|＝23， 所以|OB 1→|＝2，|B 1C →|＝4，所以|OA 1→|＝|B 1C →|＝4， 所以OC →＝4OA →＋2OB →，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.方法二 以O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (1,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，C (3，3)．由OC →＝λOA →＋μOB →，得⎩⎪⎨⎪⎧3＝λ－12μ，3＝32μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4，μ＝2.所以λ＋μ＝6.2.如图，四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得DE ＝CD ，若点P 为CD 的中点，且AP →＝λAB →＋μAE →，则λ＋μ＝.【答案】 52【解析】 由题意，设正方形的边长为1，建立平面直角坐标系如图，则B (1,0)，E (－1,1)， ∴AB →＝(1,0)，AE →＝(－1,1)， ∵AP →＝λAB →＋μAE →＝(λ－μ，μ)， 又∵P 为CD 的中点，∴AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝12，μ＝1，∴λ＝32，μ＝1，∴λ＋μ＝52.1．在▱ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则向量BD →的坐标为__________． 【答案】 (－3，－5)【解析】 ∵AB →＋BC →＝AC →，∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)，∴BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(－3，－5)．2.已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)，若a －2b 与c 共线，则k ＝________. 【答案】 1【解析】 ∵a －2b ＝(3，3)，且a －2b ∥c ，∴3×3－3k ＝0，解得k ＝1.3.线段AB 的端点为A (x,5)，B (－2，y )，直线AB 上的点C (1,1)，使|AC →|＝2|BC →|，则x ＋y ＝. 【答案】 －2或6【解析】 由已知得AC →＝(1－x ，－4)，2BC →＝2(3,1－y )．由|AC →|＝2|BC →|，可得AC →＝±2BC →，则当AC →＝2BC →时，有⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＝6，－4＝2－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝3，此时x ＋y ＝－2；当AC →＝－2BC →时，有⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＝－6，－4＝－2＋2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝－1，此时x ＋y ＝6.综上可知，x ＋y ＝－2或6.4. 已知O 为坐标原点，点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为． 【答案】 (3,3)【解析】 方法一 由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4,4λ)．又AC →＝OC →－OA →＝(－2,6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0， 解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3,3)，所以点P 的坐标为(3,3)．方法二 设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4,4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y 4，即x ＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2,6)，且AP →与AC →共线，所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以点P 的坐标为(3,3)．5.已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，x 2，b ＝(x,1)，其中x >0，若(a －2b )∥(2a ＋b )，则x ＝.【答案】 4【解析】 ∵向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，x 2，b ＝(x,1)，∴a －2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8－2x ，x2－2，2a ＋b ＝(16＋x ，x ＋1)，∵(a －2b )∥(2a ＋b )，∴(8－2x )(x ＋1)－(16＋x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x2－2＝0，即－52x 2＋40＝0，又∵x >0，∴x ＝4.6．在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为． 【答案】 3【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，则C 点坐标为(2,1)．设BD 与圆C 切于点E ，连结CE ，则CE ⊥BD . ∵CD ＝1，BC ＝2， ∴BD ＝12＋22＝5，EC ＝BC ·CD BD ＝25＝255，即圆C 的半径为255，∴P 点的轨迹方程为(x －2)2＋(y －1)2＝45.设P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2＋255cos θ，y 0＝1＋255sin θ(θ为参数)，而AP →＝(x 0，y 0)，AB →＝(0,1)，AD →＝(2,0)．∵AP →＝λAB →＋μAD →＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)， ∴μ＝12x 0＝1＋55cos θ，λ＝y 0＝1＋255sin θ.两式相加，得λ＋μ＝1＋255sin θ＋1＋55cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3⎝ ⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝55，cos φ＝255， 当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.7.在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，DC ∥AB ，AD ＝DC ＝2，AB ＝4，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DEM 上变动(如图所示)．若AP →＝λED →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则2λ－μ的取值范围是．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，12 【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，E (2,0)，D (0,2)，F (3,1)，P (cos α，sin α)⎝⎛⎭⎪⎫－π2≤α≤π2，即AP →＝(cos α，sin α)，ED →＝(－2,2)，AF →＝(3,1)． ∵AP →＝λED →＋μAF →，∴(cos α，sin α)＝λ(－2,2)＋μ(3,1)， ∴cos α＝－2λ＋3μ，sin α＝2λ＋μ，∴λ＝18(3sin α－cos α)，μ＝14(cos α＋sin α)，∴2λ－μ＝12sin α－12cos α＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4.∵－π2≤α≤π2，∴－3π4≤α－π4≤π4.∴－22≤22sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4≤12.8.如图，在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1，圆心在线段CD (含端点)上运动，P 是圆Q 上及内部的动点，设向量AP →＝mAB →＋nAF →(m ，n 为实数)，求m ＋n 的最大值．【答案】5【解析】如图所示，①设点O 为正六边形的中心， 则AO →＝AB →＋AF →.当动圆Q 的圆心经过点C 时，与边BC 交于点P ，点P 为边BC 的中点．连结OP ， 则AP →＝AO →＋OP →， ∵OP →与FB →共线，∴存在实数t ，使得OP →＝tFB →， 则AP →＝AO →＋tFB →＝AB →＋AF →＋t (AB →－AF →) ＝(1＋t )AB →＋(1－t )AF →，∴此时m ＋n ＝1＋t ＋1－t ＝2，取得最小值．②当动圆Q 的圆心经过点D 时，取AD 的延长线与圆Q 的交点为P ，则AP →＝52AO →＝52()AB →＋AF →＝52AB →＋52AF →，此时m ＋n ＝5，为最大值．9.在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝60°，点P 是△ABC 内一点(含边界)，若AP →＝23AB →＋λAC →，则|AP →|的最大值为________． 【答案】2133【解析】 以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的坐标系，∵AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝60°， ∴A (0,0)，B (3,0)，C (1，3)，设点P 为(x ，y )，0≤x ≤3，0≤y ≤3， ∵AP →＝23AB →＋λAC →，∴(x ，y )＝23(3,0)＋λ(1，3)＝(2＋λ，3λ)，∴⎩⎨⎧x ＝2＋λ，y ＝3λ，∴y ＝3(x －2)，① 直线BC 的方程为y ＝－32(x －3)，② 联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝73，y ＝33，此时|AP →|最大，∴|AP →|＝499＋13＝2133. 10.已知三角形ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，∠BAC ＝120°，BE →＝3EC →，若点P 是BC 边上的动点，则AP →·AE →的取值范围是________．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，103 【解析】 因为AB ＝AC ，BC ＝4，∠BAC ＝120°，所以∠ABC ＝30°，AB ＝433.因为BE →＝3EC →，所以BE →＝34BC →.设BP →＝tBC →，则0≤t ≤1，所以AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋tBC →，又AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋34BC →，所以AP →·AE →＝(AB →＋tBC →)·⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋34BC →＝AB →2＋tBC →·AB →＋34BC →·AB →＋34tBC →2＝163＋t ×4×433cos150°＋34×4×433cos150°＋34t ×42＝4t －23， 因为0≤t ≤1，所以－23≤4t －23≤103，即AP →·AE →的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，103.11在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，P 为矩形内一点，且AP ＝52，若AP →＝λAB →＋μAD →(λ，μ∈R )，则5λ＋3μ的最大值为______． 【答案】102【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，设P (x ，y )，B (5，0)，C (5，3)，D (0，3)．∵AP ＝52，∴x 2＋y 2＝54. 点P 满足的约束条件为 ⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤5，0≤y ≤3，x 2＋y 2＝54，∵AP →＝λAB →＋μAD →(λ，μ∈R )， ∴(x ，y )＝λ(5，0)＋μ(0，3)，∴⎩⎨⎧x ＝5λ，y ＝3μ，∴x ＋y ＝5λ＋3μ.∵x ＋y ≤2(x 2＋y 2)＝2×54＝102， 当且仅当x ＝y 时取等号， ∴5λ＋3μ的最大值为102. 12.如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________．【答案】 (－1,0)【解析】 由题意得，OC →＝kOD →(k ＜0)， 又|k |＝|OC →||OD →|＜1，∴－1＜k ＜0.又∵B ，A ，D 三点共线，∴OD →＝λOA →＋(1－λ)OB →， ∴mOA →＋nOB →＝k λOA →＋k (1－λ)OB →， ∴m ＝k λ，n ＝k (1－λ)， ∴m ＋n ＝k ，从而m ＋n ∈(－1,0)．。
2021高考数学复习专题 平面向量的基本定理及坐标表示(文 精练)
专题5.2 平面向量的基本定理及坐标表示1. (2020·湖南省张家界市一中模拟)向量a=(3，2)可以用下列向量组表示出来的是( ) A.e 1=(0，0)，e 2=(1，2) B.e 1=(-1，2)，e 2=(5，-2) C.e 1=(3，5)，e 2=(6，10)D.e 1=(2，-3)，e 2=(-2，3)2. (2020·广西南宁市八中模拟)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c=λa+μb(λ，μ∈R)，则λμ=( )A.2B.4C.12D.143. (2020·广东省广州市新华中学模拟)在▱ABCD 中，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2，8)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3，4)，对角线AC 与BD 相交于点M ，则AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.(-12，-6) B.(-12，6) C.(12，-6)D.(12，6)4. (2020·四川省泸州市一中模拟)在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PC ⃗⃗⃗⃗ ，点Q 是AC 的中点.若PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4，3)，PQ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，5)，则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A.(-2，7) B.(-6，21) C.(2，-7)D.(6，-21)5. (2020·一中模拟)已知平面直角坐标系内的两个向量a=(1，2)，b=(m ，3m-2)，且平面内的任一向量c 都可以唯一地表示成c=λa+μb(λ，μ为实数)，则m 的取值范围是( )A.(-∞，2)B.(2，+∞)C.(-∞，+∞)D.(-∞，2)∪(2，+∞)6. (2020·陕西省西安市二中模拟)若平面内两个向量a=(2cos θ，1)与b=(1，cos θ)共线，则cos 2θ等于( )A.12B.1C.-1D.07. (2020·浙江省永嘉中学模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知A(1，0)，B(0，1)，C 为坐标平面第一象限内一点，且∠AOC=π4，且|OC|=2.若OC⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ=( ) A.2√2B.√2C.2D.4√28. (2020·江苏省锡山高级中学模拟)在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合).若AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB⃗⃗⃗⃗⃗ +(1-x)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x 的取值范围是( )A.(0，12) B.(0，13) C.(-12，0)D.(-13，0)9. (2020·安徽省淮南一中模拟)若α，β是一组基底，向量γ=xα+yβ(x ，y ∈R)，则称(x ，y)为向量γ在基底α，β下的坐标.现已知向量a 在基底p=(1，-1)，q=(2，1)下的坐标为(-2，2)，则a 在另一组基底m=(-1，1)，n=(1，2)下的坐标为( )A.(2，0)B.(0，-2)C.(-2，0)D.(0，2)10. (2020·福建省长乐市一中模拟)如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则( )A.x=23，y=13 B.x=13，y=23C.x=14，y=34D.x=34，y=1411. (2020·江西省九江同文中学模拟)在Rt △ABC 中，∠A=90°，点D 是边BC 上的动点，且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0，μ>0)，则当λμ取得最大值时，|AD⃗⃗⃗⃗⃗ |的值为( ) A.72B.3C.52D.12512. (2020·山东省淄博市六中模拟)已知平面内有三点A(0，-3)，B(3，3)，C(x ，-1)，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x 的值为__________.13. (2020·湖北省黄山市一中 模拟)若平面向量a ，b 满足|a+b|=1，a+b 平行于x 轴，b=(2，-1)，则a=__________.14. (2020·河南省新乡市一中模拟)如图，在▱ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点.已知AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，AN ⃗⃗⃗⃗⃗ =d ，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =__________，AD⃗⃗⃗⃗⃗ =__________ .(用c ，d 表示)15. (2020·湖南省长沙市十五中模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，且3a BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +4b CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +5c AB⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则a ∶b ∶c=__________. 16.(2020·广东省深圳市南头中学模拟)已知向量a=(m ，2m-1)，b=(1，-2)，若a ∥b ，则|4a+2b|=__________.专题5.2 平面向量的基本定理及坐标表示1. (2020·湖南省张家界市一中模拟)向量a=(3，2)可以用下列向量组表示出来的是( ) A.e 1=(0，0)，e 2=(1，2) B.e 1=(-1，2)，e 2=(5，-2) C.e 1=(3，5)，e 2=(6，10) D.e 1=(2，-3)，e 2=(-2，3)【答案】B【解析】由题意知，A 选项中e 1=0，C ，D 选项中两个向量均共线，都不符合基底条件，故选B. 2. (2020·广西南宁市八中模拟)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c=λa+μb(λ，μ∈R)，则λμ=( )A.2B.4C.12D.14【答案】B【解析】以向量a 和b 的交点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形的边长为1)，则A(1，-1)，B(6，2)，C(5，-1).所以a=AO⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1，1)，b=OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6，2)，c=BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1，-3). ∵c=λa+μb ，∴(-1，-3)=λ(-1，1)+μ(6，2)， ∴{-λ+6μ=-1，λ+2μ=-3，解得{λ=-2，μ=-12，∴λμ=4.3. (2020·广东省广州市新华中学模拟)在▱ABCD 中，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2，8)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3，4)，对角线AC 与BD 相交于点M ，则AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.(-12，-6)B.(-12，6)C.(12，-6)D.(12，6)【答案】B【解析】因为在▱ABCD 中，有AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(-1，12)=(-12，6)，故选B. 4. (2020·四川省泸州市一中模拟)在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PC ⃗⃗⃗⃗ ，点Q 是AC 的中点.若PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4，3)，PQ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，5)，则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A.(-2，7) B.(-6，21) C.(2，-7) D.(6，-21)【答案】B【解析】如图，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PC ⃗⃗⃗⃗ =3(2PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ −PA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=6PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ -3PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(6，30)-(12，9)=(-6，21).5. (2020·一中模拟)已知平面直角坐标系内的两个向量a=(1，2)，b=(m ，3m-2)，且平面内的任一向量c 都可以唯一地表示成c=λa+μb(λ，μ为实数)，则m 的取值范围是( )A.(-∞，2)B.(2，+∞)C.(-∞，+∞)D.(-∞，2)∪(2，+∞)【答案】D【解析】因为平面内的任一向量c 都可以唯一地表示成c=λa+μb(λ，μ为实数)，所以a ，b 一定不共线，所以3m-2-2m≠0，解得m≠2，所以m 的取值范围是(-∞，2)∪(2，+∞)，故选D.6. (2020·陕西省西安市二中模拟)若平面内两个向量a=(2cos θ，1)与b=(1，cos θ)共线，则cos 2θ等于( )A.12 B.1 C.-1 D.0【答案】D【解析】由向量a=(2cos θ，1)与b=(1，cos θ)共线，知2cos θ·cos θ-1×1=0，所以2cos 2θ-1=0，所以cos 2θ=0，故选D.7. (2020·浙江省永嘉中学模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知A(1，0)，B(0，1)，C 为坐标平面第一象限内一点，且∠AOC=π4，且|OC|=2.若OC⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ=( ) A.2√2 B.√2 C.2 D.4√2【答案】A【解析】因为|OC|=2，∠AOC=π4，C 为坐标平面第一象限内一点，所以C(√2，√2).又因为OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以(√2，√2)=λ(1，0)+μ(0，1)=(λ，μ). 所以λ=μ=√2，所以λ+μ=2√2.8. (2020·江苏省锡山高级中学模拟)在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合).若AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB⃗⃗⃗⃗⃗ +(1-x)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x 的取值范围是( ) A.(0，12) B.(0，13) C.(-12，0) D.(-13，0)【答案】D【解析】依题意，设BO⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中1<λ<43， 则AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(1-λ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ . 又AO⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1-x)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线， 于是有x=1-λ∈(-13，0)， 即x 的取值范围是(-13，0).9. (2020·安徽省淮南一中模拟)若α，β是一组基底，向量γ=xα+yβ(x ，y ∈R)，则称(x ，y)为向量γ在基底α，β下的坐标.现已知向量a 在基底p=(1，-1)，q=(2，1)下的坐标为(-2，2)，则a 在另一组基底m=(-1，1)，n=(1，2)下的坐标为( )A.(2，0)B.(0，-2)C.(-2，0)D.(0，2)【答案】D【解析】∵a 在基底p ，q 下的坐标为(-2，2)，∴a=-2p+2q=(2，4). 令a=xm+yn=(-x+y ，x+2y)， 则{-x +y =2，x +2y =4，解得{x =0，y =2.10. (2020·福建省长乐市一中模拟)如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则( )A.x=23，y=13B.x=13，y=23C.x=14，y=34 D.x=34，y=14【答案】A【解析】由题意知OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以x=23，y=13.11. (2020·江西省九江同文中学模拟)在Rt △ABC 中，∠A=90°，点D 是边BC 上的动点，且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，AD⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0，μ>0)，则当λμ取得最大值时，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |的值为( ) A.72 B.3C.52D.125【答案】C【解析】因为AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，而D ，B ，C 三点共线， 所以λ+μ=1，所以λμ≤(λ+μ2)2=14，当且仅当λ=μ=12时取等号，此时AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以D 是线段BC 的中点， 所以|AD⃗⃗⃗⃗⃗ |=12|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=52.故选C. 12. (2020·山东省淄博市六中模拟)已知平面内有三点A(0，-3)，B(3，3)，C(x ，-1)，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x 的值为 .【答案】1【解析】由题意，得AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(3，6)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ，2). ∵AB⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴6x-6=0，解得x=1. 13. (2020·湖北省黄山市一中模拟)若平面向量a ，b 满足|a+b|=1，a+b 平行于x 轴，b=(2，-1)，则a= .【答案】(-1，1)或(-3，1)【解析】由|a+b|=1，a+b 平行于x 轴， 得a+b=(1，0)或a+b=(-1，0)，则a=(1，0)-(2，-1)=(-1，1)或a=(-1，0)-(2，-1)=(-3，1).14. (2020·河南省新乡市一中模拟)如图，在▱ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点.已知AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，AN ⃗⃗⃗⃗⃗ =d ，则AB⃗⃗⃗⃗⃗ = ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ = .(用c ，d 表示)【答案】23(2d-c) 23(2c-d)【解析】设AB⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b.因为M ，N 分别为DC ，BC 的中点，所以BN ⃗⃗⃗⃗⃗ =12b ，DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12a. 又{c =b +12a ，d =a +12b ，所以{a =23(2d -c )，b =23(2c -d )，即AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =23(2d-c)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =23(2c-d). 15. (2020·湖南省长沙市十五中模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，且3a BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +4b CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +5c AB⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则a ∶b ∶c= . 【答案】20∶15∶12【解析】∵3a BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +4b CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +5c AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴3a(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+4b CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +5c AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. ∴(3a-5c)BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(3a-4b)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 在△ABC 中，∵BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线， ∴{3a =5c ，3a =4b ，解得{c =35a ，b =34a . ∴a ∶b ∶c=a ∶34a ∶35a=20∶15∶12.16.(2020·广东省深圳市南头中学模拟)已知向量a=(m ，2m-1)，b=(1，-2)，若a ∥b ，则|4a+2b|= . 【答案】3√5【解析】∵向量a=(m ，2m-1)，b=(1，-2)，且a ∥b ， ∴-2m=2m-1，解得m=14，∴a=(14，-12)， ∴4a+2b=(3，-6)， ∴|4a+2b|=√32+(-6)2=3√5.。
高考数学复习、高中数学 平面向量基本定理及坐标表示附答案解析
第2节 平面向量基本定理及坐标表示基础巩固题组（建议用时：40分钟）一、单项选择题1．已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(1,3)，则|2a －b |＝( ) A.2 B ．2 C.10 D ．102. 已知向量m ＝(1,7)与向量n ＝(k ，k ＋18)平行，则k 的值为( )A ．－6B ．3C ．4D ．63．已知点(1,3)A ，(4,1)B -，则与向量AB 同方向的单位向量为（ ）A ．B ．C ．D ．4. 已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m,1)，则“m ＝1”是“a ∥b ”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．已知向量a ＝(1，1)，点A (3，0)，点B 为直线y ＝2x 上的一个动点，若AB ∥a ，则点B 的坐标为（ ）A. (－3，6)B. (3，－6)C. (3，6)D. (－3，－6)6. 已知在Rt∥ABC 中，∥BAC ＝90°，AB ＝1，AC ＝2，D 是∥ABC 内一点，且∥DAB ＝60°，设()R ∈+=μλμλ,，则μλ＝( ) A.233B.33C.3D.23 二、多项选择题7. 在下列向量组中，可以把向量()3,2=a 表示出来的是 （ ）A ．12(0,0),(1,2)==e e B ．12(1,2),(5,2)=-=-e e C ．12(2,5),(6,10)==e e D ．12(2,3),(2,3)=-=-e e8. 已知向量＝(3,4)，＝(6，－3)，＝(5－m ，－3－m )，若点A ，B ，C 能构成三3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，角形，则实数m 的值可能为（ ）A. 21B. 53C.107D.107-三、填空题9.已知平行四边形ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5，6)，则顶点D 的坐标为________.10.已知平面向量a ＝(1，m )，b ＝(2，5)，c ＝(m ，3)，且(a ＋c )∥(a －b )，则m ＝________.11.平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C (－1，c )(c>0)，且＝2，若μλ+=，则实数λ＋μ的值为__________．12. 在∥ABC 中，41=，若P 是直线BN 上的一点，且满足m 52+=，则实数m 的值为 .能力提升题组（建议用时：20分钟）13．已知在平面直角坐标系xOy 中，P 1(3,1)，P 2(－1,3)，P 1，P 2，P 3三点共线且向量3OP 与向量a ＝(1，－1)共线，若213)1(OP OP OP λλ-+=，则λ＝( )A ．－3B ．3C ．1D ．－114. 如图，在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若μλ+=，则λ＋μ＝( )A.43B.53C.158D ．2 15. 给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动．若y x +=，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值为 .16. 在∥ABC 中，点D 满足=，当点E 在线段AD 上移动时，若μλ+=，则22)1(μλ+-=t 的最小值是 .第2节 平面向量基本定理及坐标表示1. C.2. B ．3. A ．4. A.5. D ．6. A.7. BC ．8. ABC【解析】 因为-=＝(3，－7)，-=＝(2－m ，－7－m )，点A ，B ，C 能构成三角形，所以点A ，B ，C 不共线，即AB 与AC 不共线，所以3×(－7－m )－(－7)×(2－m )≠0，解得m ≠－710，故实数m 应满足m ≠－710. 9. (1，5)10. 3±172 11.3－1＝2＝1＋c 2＝4，因为c >0，所以c ＝ 3. 因为μλ+=，所以(－1，3)＝λ(1,0)＋μ(0,1)，所以λ＝－1，μ＝3， 所以λ＋μ＝3－1.`12. -1【解析】根据题意设BP →＝nBN →(n ∈R )，则AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋nBN →＝AB →＋n (AN →－AB →)＝AB →＋n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-51＝(1－n )AB →＋n 5AC →. 又m 52+=，∥⎪⎩⎪⎨⎧==-,525,1n m n 解得⎩⎨⎧-==.1,2m n 12.D【解析】设3OP ＝(x ，y )，则由3OP ∥a 知x ＋y ＝0，于是3OP ＝(x ，－x )．若213)1(OP λλ-+=，则有(x ，－x )＝λ(3,1)＋(1－λ)(－1,3)＝(4λ－1,3－2λ)，即⎩⎨⎧-=-=,23,1-4x x λλ所以4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1，故选D. 13. B【解析】以点A 为坐标原点，分别以，的方向为x 轴，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系(图略)．设正方形的边长为2，则A (0,0)，C (2,2)，M (2,1)，B (2,0)，D (0,2)，所以＝(2,2)，AM ＝(2,1)，BD ＝(－2,2)，所以λAM ＋μBD ＝(2λ－2μ，λ＋2μ)，因为＝λAM ＋μ，所以⎩⎨⎧=+=，，2222-2μλμλ解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==，，3134μλ所以λ＋μ＝53. 15. 2【解析】 以O 点坐标原点，OA 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (1,0)，B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2321-，.设∥AOC ＝α（⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈320πα，），则C (cos α，sin α)， 由y x +=，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=,23sin ,21cos y y x αα所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α，所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πα， 又⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈320πα，，所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值2. 16.21【解析】因为=，所以2121+=，又μλ+=，点E 在线段AD 上移动，所以AD AE //，则μλ2121=，即⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤=210λμλ. 所以2121-212-2)1(2222+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=+-=λλλμλt ， 当21=λ时，t 的最小值是21.。
考点18 高中数学-平面向量的基本定理及坐标表示-考点总结及练习题
考点18平面向量的基本定理及坐标表示【命题趋势】平面向量的基本定理的利用要灵活掌握，用坐标表示平面向量并进行运算是考查的重点，具体要求是：（1）了解平面向量的基本定理及其意义.（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.（3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件.【重要考向】一、平面向量基本定理的应用二、平面向量的坐标运算三、向量共线（平行）的坐标表示平面向量基本定理的应用如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使1122λλ+=a e e .其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.（1）平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量．（2）选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．（3）强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．【巧学妙记】1.如图，已知△OCB 中，A 是CB 的中点，D 是将OB →分成2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)用a 和b 表示向量OC →，DC →；(2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．解(1)由题意知，A 是BC 的中点，且OD →＝23OB →，由平行四边形法则，得OB →＋OC →＝2OA →，所以OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ，DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .(2)由题意知，EC →∥DC →，故设EC →＝xDC →.因为EC →＝OC →－OE →＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，DC →＝2a －53b .所以(2－λ)a －b ＝a －53b因为a 与b 不共线，由平面向量基本定理，－λ＝2x，1＝－53x，＝35，＝45.故λ＝45.2.在△ABC中，点P是AB上一点，且CP→＝23CA→＋13CB→，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又CM→＝tCP→，则t的值为________．【答案】34【解析】∵CP→＝23CA→＋13CB→，∴3CP→＝2CA→＋CB→，即2CP→－2CA→＝CB→－CP→，∴2AP→＝PB→，即P为AB的一个三等分点，如图所示．∵A，M，Q三点共线，∴CM→＝xCQ→＋(1－x)CA→＝x2CB→＋(x－1)AC→，而CB→＝AB→－AC→，∴CM→＝x2AB→.又CP→＝CA→－PA→＝－AC→＋13AB→，由已知CM→＝tCP→，可得x2AB→＝AC→＋13AB又AB→，AC→不共线，＝t3，1＝－t，解得t＝34.3.如图所示，在ABO△中，14OC OA=，12OD OB=，AD与BC相交于点M，设OA = a ，OB = b.（1）试用向量a ，b 表示OM；（2）过点M 作直线EF ，分别交线段AC ，BD 于点E ，F .记OE λ= a ，OF μ=b ，求证：13λμ+为定值.【解析】（1）由A ，M ，D 三点共线，可设()1OM mOA m OD =+- 12m m -=+a b ，由B ，M ，C 三点共线，可设()1OM nOC n OB =+- ()14nn =+-a b ，∴14112m n m n⎧=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩，解得17m =，47n =，∴1377OM =+ a b .（2）由E ，M ，F 三点共线，设()1OM kOE k OF =+-()1k k λμ=+-a b ，由（1）知17k λ=，()317k μ-=，∴17k λ=，377k μ=-，∴137λμ+=，为定值.平面向量的坐标运算1．向量坐标的求法（1）若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则AB=（x 2－x 1，y 2－y 1）.2．向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a ＋b =（x 2+x 1，y 2+y 1），a －b =（x 1－x 2，y 1－y 2），λa =（λx 1，λy 1），|a |，|a ＋b |.3．平面向量共线的坐标表示设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1=0.4．向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA =a ，OB=b ，则∠AOB =θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b 的夹角.如果向量a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b .【巧学妙记】4.已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN →＝－3a ，则点N 的坐标为()A ．(2,0)B ．(－3,6)C ．(6,2)D ．(－2,0)【答案】A【解析】设N (x ，y )，则(x －5，y ＋6)＝(－3,6)，∴x ＝2，y ＝0.5.线段AB 的端点为A (x,5)，B (－2，y )，直线AB 上的点C (1,1)，使|AC →|＝2|BC →|，则x ＋y ＝________.【答案】－2或6【解析】由已知得AC →＝(1－x ，－4)，2BC →＝2(3,1－y )．由|AC →|＝2|BC →|，可得AC →＝±2BC →，则当AC →＝2BC →－x ＝6，4＝2－2y ，＝－5，＝3，此时x ＋y ＝－2；当AC →＝－2BC →－x ＝－6，4＝－2＋2y ，＝7，＝－1，此时x＋y＝6.综上可知，x＋y＝－2或6.6.已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且MP→＝12MN→，则P点的坐标为()A．(－8,1)1D．(8，－1)【答案】B【解析】设P(x，y)，则MP→＝(x－3，y＋2)．而12MN→＝12(－8,1)4－3＝－4，＋2＝12，＝－1，＝－32，∴1故选B.向量共线（平行）的坐标表示1．利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．2．利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若11(,)x y=a，22(,)x y=b，则∥a b的充要条件是1221x y x y=”解题比较方便．3．三点共线问题．A，B，C三点共线等价于AB与AC共线．4．利用向量共线的坐标运算求三角函数值：利用向量共线的坐标运算转化为三角方程，再利用三角恒等变换求解.【巧学妙记】7.已知平面向量a ＝(2，－1)，b ＝(1,1)，c ＝(－5,1)，若(a ＋k b )∥c ，则实数k 的值为()A ．－114 B.12C ．2D.114【答案】B【解析】因为a ＝(2，－1)，b ＝(1,1)，所以a ＋k b ＝(2＋k ，－1＋k )，又c ＝(－5,1)，由(a ＋k b )∥c得(2＋k )×1＝－5×(k －1)，解得k ＝12，故选B.8.已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(－k,10)，且A ，B ，C 三点共线，则实数k 的值是________．【答案】－23【解析】AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →＝(－2k ，－2)．∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →，AC →共线，∴－2×(4－k )＝－7×(－2k )，解得k ＝－23.9.已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与3a －b 平行，则实数x 的值是__________________．【答案】2【解析】∵a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，∴a ＋b ＝(3，x ＋1)，3a －b ＝(1,3－x )，∵a ＋b 与3a －b 平行，∴3(3－x )－(x ＋1)＝0，解得x ＝2.一、单选题1．已知点(0,1)(3,2)A B ，，则向量AB =uu u r（）A ．(3,1)B ．(3,1)--C ．(3,1)-D ．(3,1)-2．设x ∈R ，向量a →＝（x ，1），b →＝（1，﹣2），且a →∥b →，则|a →+b →|＝（）A 5B ．102C 5D ．53．ABC 中，点M 为AC 上的点，且2MC AM =，若BM BA BC λμ=+，则 λμ-的值是（）A ．13B ．12C ．1D ．234．地砖是一种地面装饰材料，也叫地板砖，用黏土烧制而成质坚、耐压、耐磨、防潮．地板砖品种非常多，图案也多种多样．如图是某公司大厅的地板砖铺设方式，地板砖有正方形与正三角形两种形状，且它们的边长都相同，若OA a = ，OB b = ，则AF =（）A ．5122a b-- B ．33232a b⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭C ．33233a b⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭D ．33233a b⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭ 5．如图两块斜边相等的直角三角板拼在一起，若AD xAB y AC =+，则（）A ．2313x =+，233y =B ．233x =，2313y =+C ．2x =+，y =D ．312x =+，32y =二、多选题6．己知向量()()2,1,3,1a b ==-，则（）A ．()a b a+⊥ B ．25a b +=C ．向量a在向量b方向上的投影是2-D ．与向量a方向相同的单位向量是255,55⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭7．设a 是已知的平面向量且0a ≠ ，向量b ，c 和a在同一平面内且两两不共线，关于向量a的分解，下列说法正确的是（）A ．给定向量b ，总存在向量c ，使a b c =+；B ．给定向量b 和c，总存在实数λ和μ，使a b c λμ=+ ；C ．给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使a b c λμ=+；D ．给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c ，使a b c λμ=+ .三、填空题8．已知向量(a b t ==，若a 和b共线，则实数t =___________．9．已知向量()()2,4,1,12a b λ=-=-- ，若//a b ，则λ=___________.10．已知向量()2,1a =-r，()1,2b = ，()//2a a kb + ，则k =______．11．已知向量()2,1a =- ，()4,b x = ，且//a b，则2a b += ___________.一、单选题1．（2015·四川高考真题（文））设向量a ＝（2，4）与向量b＝（x ，6）共线，则实数x ＝（）A ．2B ．3C ．4D ．62．（2013·陕西高考真题（文））已知向量a =（1，m ），b =（m ，2），若a ∥b ，则实数m等于（）A ．2-B 2C ．0D ．2-23．（2008·广东高考真题（文））已知平面向量(1,2),(2,)a b m ==-，且//a b ，则23a b +=A ．(5,10)--B ．()4,8--C ．()3,6--D ．()2,4--4．（2014·北京高考真题（文））已知向量()2,4a = ，()1,1b =- ，则2a b -=A ．()5,7B ．()5,9C ．()3,7D ．()3,95．（2014·广东高考真题（文））已知向量()1,2a =，()3,1b = ，则b a -=A ．()2,1-B ．()2,1-C ．()2,0D ．()4,36．（2012·广东高考真题（文））若向量AB =（1,2），BC =（3,4），则AC=A ．（4,6）B ．(-4，-6)C ．(-2，-2)D ．(2,2)7．（2009·重庆高考真题（文））已知向量(1,1),(2,),a b x ==若a b + 与42b a -平行，则实数x 的值是（）A ．-2B ．0C ．1D ．28．（2015·全国高考真题（文））（2015新课标全国Ⅰ文科）已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =-- ，则向量BC =A ．(7,4)--B ．(7,4)C ．(1,4)-D ．(1,4)9．（2012·天津高考真题（文））ABC ∆中，90A ∠=︒,2,3,AB AC ==设点,P Q 满足,(1)AP AB AQ AC λλ==- .R λ∈若1BQ CP ⋅=,则λ=（）A ．13B ．23C ．43D ．210．（2016·四川高考真题（文））已知正三角形ABC 的边长为，平面ABC 内的动点P ，M 满足||1AP = ，PM MC =，则2||BM 的最大值是A ．B ．C ．D ．二、填空题11．（2017·山东高考真题（文））已知向量a =（2,6）,b =(1,)λ-,若a ∥b ,则λ=____________.12．（2014·上海高考真题（文））已知曲线C ：x =l ：x=6.若对于点A （m ，0）,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为.13．（2009·辽宁高考真题（文））在平面直角坐标系xoy 中，四边形ABCD 的边//AB DC ，//AD BC ，已知点()20A -，，()68B ，，()8,6C 则D 点的坐标为___________.14．（2014·天津高考真题（文））已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ︒∠=，点,E F 分别在边,BC DC 上，3BC BE =，DC DF λ=.若1AE AF ⋅=，则λ的值为__________15．（2015·天津高考真题（文））在等腰梯形ABCD 中,已知AB DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠= 点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上,且21,,36BE BC DF DC == 则AE AF ⋅的值为________．一、单选题1．（2021·奉新县第一中学高三三模（文））已知向量(2,3)a =，(1,)b λ=-，若向量2a b-与向量a共线，则λ=（）A ．32-B ．132C 13D ．1342．（2021·宁夏银川市·贺兰县景博中学高三二模（文））设向量(1,1)=-a x ，(3,1)b x =+，则a与b一定不是（）A ．平行向量B ．垂直向量C ．相等向量D ．相反向量3．（2021·山东泰安市·高一期中）如果用,i j分别表示x 轴和y 轴正方向上的单位向量，且()()2,3,4,2A B ，则AB可以表示为（）A ．2i j- B ．42i j+ C ．23i j + D ．2i j-+ 4．（2021·浙江高一期末）设12,e e为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是（）A ．12e e + 和12e e - B ．1224e e + 和2124e e -C ．122e e + 和12e e +D ．122e e -和2142e e - 5．（2021·全国高三其他模拟）已知ABC 中，9AB =，12AC =，15BC =，ABC ∠与BAC ∠的平分线交于点O ，则BO =（）A ．1243AB AC-+B ．2134AB AC-+C ．3143AB AC-+D ．1334AB AC-+6．（2021·浙江高一期末）如图Rt ABC 中，,22,2ABC AC AB BAC π∠===∠的平分线交ABC 的外接圆于点D ，则AD BC ⋅=（）A ．32B ．32C ．32-D ．327．（2021·上海高一专题练习）已知菱形ABCD 的对角线相交于点O ，点E 为AO 的中点，若2AB =，60BAD ∠=︒，则AB DE ⋅=（）A ．2-B ．12-C ．72-D ．12二、填空题8．（2021·安徽黄山市·高三二模（文））已知()3,a x = ，()1,2b =-r ，若//a b r r，则23a b +=______．9．（2021·全国高一课时练习）已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，CM ＝3CA ，CN＝2CB ，则MN的坐标为________．10．（2021·北京市育英学校高三其他模拟）已知平面向量(,3)a m = ，(1,6)= b ，若//a b r r ，则m =________．11．（2021·定远县私立启明民族中学高三月考（理））设向量()1,2a =- ，(),1b m =r ，如果向量2a b + 与2a b - 平行，则a b +=___________.12．（2021·上海高一单元测试）已知向量(4,3)a =-，点(1,1)A ，(2,1)B -，记A B '' 为AB在向量a 上的投影向量，若A B λa =''，则λ=_________．三、解答题13．（2021·浙江高一期末）已知,,a b c →→→是同一平面的三个向量，其中(3,33)a →=．（1）若2b →=，且//a b →→，求b →的坐标；（2）若c →与a →的夹角θ的余弦值为2，且3a c a c →→→→⎛⎫⎛⎫-⊥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求c →．14．（2021·浙江高一期末）在直角梯形ABCD 中，已知//,90,4,2AB CD DAB AB AD CD ∠=︒===，对角线AC 交BD 于点O ，点M 在AB 上，且满足OM BD ⊥．（1）以,AB AD →→为基底分别表示向量,BD AO →→；（2）求AM BD →→⋅的值．参考答案跟踪训练1．A 【分析】利用平面向量的坐标运算直接得解.【详解】(0,1)A ，(3,2)B ，(3,1)AB ∴=故选：A 2．A 【分析】由向量共线求得未知数x ，根据模长的坐标表示求得即可.【详解】解：根据题意，向量a →＝（x ，1），b →＝（1，﹣2），若a →∥b →，则﹣2x ＝1，解可得x ＝﹣12，则a →＝（﹣12，1），故a →+b →＝（12，﹣1），则|a →+b →|，故选：A ．3．A 【分析】由已知结合向量的线性表示及平面向量基本定理可求．【详解】因为2MC AM =，所以13AM AC = ，1121()3333BM BA AM BA AC BA BC BA BA BC =+=+=+-=+ ，若BM BA BC λμ=+，则23λ=，13μ=，13λμ-=．故选：A ．4．D 【分析】以AB 的中点M 为坐标原点建立平面直角坐标系，根据平面向量的坐标运算公式，结合平面向量基本定理进行求解即可.【详解】以AB 的中点M 为坐标原点建立平面直角坐标系，设2AB =，则(O ，()1,0A -，()10B ,，(1,2F +，所以(1,OA =-，(1,OB =，(2,2AF =+ ．设AF OA OB λμ=+，则22λμ-+=⎧⎪=+，解得2333λμ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以33233AF OA ⎛=-+- ⎝⎭ ，即23AF a b b ⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭，故选：D 【点睛】方法点睛：用一组基底表示平面向量往往利用平面向量的坐标表示公式以及平面向量运算的坐标表示公式进行求解.5．D 【分析】以以,AB AC 为,x y 轴建立平面直角坐标系，设(1,0)B ，则有(,)D x y ，因此求出D 点坐标即可，易知sin sin135y BD DAB BD =∠=︒，从而得cos 45x AB BD =+︒，故得结论．【详解】如图，以,AB AC 为,x y 轴建立平面直角坐标系，设(1,0)B ，则(0,1)C ，(,)AD x AB y AC x y =+=，即(,)D x y，BC DF ==36sin 6022DB DF =︒==，又135ABD ∠=︒，ABD △中，设BAD θ∠=，则sin sin135BD ADθ=︒，所以623sin sin135222AD BD θ=︒=⨯=，所以2y =，cos 4511222x AB BD =+︒=+⨯=+．故选：D．【点睛】思路点睛：本题考查平面向量的线性运算，解题方法是建立平面直角坐标系,设1AB =，则(,)x y 是D 点坐标，求得BD 长即可得．6．ABCD 【分析】根据向量的坐标表示形式的运算及性质对选项一一分析即可.【详解】()(23,11)(2,1)(1,2)(2,1)0a b a →→→+⋅=-+⋅=-⋅=，则()a b a →→→+⊥，故A 正确；2(2,1)(6,2)(4,3)5a b →→+=+-=-=，故B 正确；向量a →在向量b →上的投影是102a bb→→→⋅==-，故C 正确；与a →方向相同的单位向量为255(,55a a→→==，故D 正确；故选：ABCD 7．AB 【分析】由平面向量的加减法可判断A ，由平面向量基本定理可判断B ，举出反例可判断C 、D.【详解】对于A ，给定向量b ，总存在向量c a b =- ，使a b c =+，故A 正确；对于B ，因为向量a ，b ，c在同一平面内且两两不共线，由平面向量基本定理可得：总存在实数λ和μ，使a b c λμ=+，故B 正确；对于C ，设()0,4a = ，给定()1,0,1b μ== ，则不存在单位向量c和实数λ，使a b c λμ=+ ，故C 错误；对于D,设()0,4a = ，给定1,1λμ==，则不存在单位向量b和单位向量c ，使a b c λμ=+ ，故D 错误.故选：AB.8．2【分析】由向量共线，结合向量共线的坐标表示可得0=，即可求参数t .【详解】由a 和b共线，知：0=，解得2t =，故答案为：29．12【分析】利用向量平行的充要条件得到方程求解.【详解】解： 向量()()2,4,1,12,//a b a b λ=-=--，∴()21241λ---=⨯，解得12λ=.故答案为：1.2【点睛】平面向量()()1122,,,a x y b x y ==平行的的充分必要条件1221x y x y =.10．0【分析】首先求出2a kb +，再根据向量平行的坐标表示计算可得；【详解】解：因为()2,1a =-r，()1,2b = ，所以()()()222,11,24,22a kb k k k +=-+=-++ 因为()//2a a kb +，所以444k k --=-+，则0k =．故答案为：011．【分析】本题首先可根据//a b求出2x =-以及()4,2b =- ，然后求出()210,5a b +=- ，最后根据向量的模的相关性质即可得出结果.【详解】因为()2,1a =- ，()4,b x = ，//a b ，所以24x =-，2x =-，()4,2b =-，则()210,5a b +=- ，2a b +==，故答案为：.真题再现1．B 【详解】由向量平行的性质，有2∶4＝x ∶6，解得x ＝3，选B考点：本题考查平面向量的坐标表示，向量共线的性质，考查基本的运算能力.2．D 【分析】直接利用共线向量的坐标运算求解即可．【详解】向量a=（1，m ），b=（m ，2），若a∥b，则m 2=2，解得或故选D ．【点睛】本题考查向量的坐标运算，共线向量的应用，基本知识的考查．3．B 【详解】试题分析：因为(1,2)a =，(2,)b m =- ，且//a b，所以40,4m m +==-，()()2321,232,4a b +=+--=(4,8)--，故选B.考点：1、平面向量坐标运算；2、平行向量的性质.4．A 【详解】因为2(4,8)a =，所以2(4,8)(1,1)a b -=--=（5，7），故选A.考点：本小题主要考查平面向量的基本运算，属容易题.5．B 【详解】试题分析：由题意得()()()3,11,22,1b a -=-=- ，故选B.考点：本题考查平面向量的坐标运算，属于容易题.6．A【详解】()()()1,23,44,6AC AB BC =+=+=.7．D【详解】因为(1,1),(2,)a b x == ，所以(3,1),42(6,42),a b x b a x +=+-=- 由于a b + 与42b a - 平行，得6(1)3(42)0x x +--=，解得2x =.8．A【解析】试题分析：(31)(43)(74)BC BA AC =+=--+--=-- ，，，,选A.考点：向量运算9．D【详解】试题分析：以A 为坐标原点，,AB AC 分别为,x y 轴建立如图所示的直角坐标系，则(0,0)A ，(2,0)B ，(0,3)C ，则(2,0)AP λ= ，(0,3(1))AQ λ=- ，(2,3(1))BQ AQ AB λ=-=-- ，CP AP AC =- ＝(2,3)λ-，所以223(1)(3)1BQ CP λλ⋅=-⨯+-⨯-=，2λ=．故选D ．考点：平面向量的线性运算，平面向量的数量积．10．B【详解】试题分析：如图可得120,2ADC ADB BDC DA DB DC ∠=∠=∠=︒=== .以D 为原点，直线DA 为x 轴建立平面直角坐标系，则()()()2,0,1,3,1,3.A B C ---设(),,P x y 由已知1AP =，得()2221x y -+=，又13133,,,,,2222x y x y PM MC M BM ⎛⎫⎛⎫-+++=∴∴= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()(222133||4x y BM +++∴= ，它表示圆()2221x y -+=上的点(),x y 与点(1,33--的距离的平方的14，()()2222max 149333144BM ⎫∴=+=⎪⎭ ，故选B.【考点】向量的夹角，解析几何中与圆有关的最值问题【名师点睛】本题考查平面向量的夹角与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们要把它用一个参数表示出来，解题时首先对条件进行化简变形，本题中得出120ADC ADB BDC ∠=∠=∠=︒，且2DA DB DC === ，因此我们采用解析法，即建立直角坐标系，写出点,,,A B C D 的坐标，同时动点P 的轨迹是圆，则()(22214x y BM +++= ，因此可用圆的性质得出最值．因此本题又考查了数形结合的数学思想．11．-3【详解】由a b ∥可得162 3.λλ-⨯=⇒=-【名师点睛】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略：(1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则a b ∥的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便．(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地,在求与一个已知向量a 共线的向量时,可设所求向量为λa (λ∈R),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．(3)三点共线问题．A ,B ,C三点共线等价于与共线.12．[2,3]【详解】故答案为[2,3].13．()0,2-【分析】根据平行四边形的性质易得OB OD OA OC +=+ ，将向量用坐标表示，进行坐标运算即可得结果.【详解】平行四边形ABCD 中，OB OD OA OC +=+，∴()()()()2,08,66,80,2OD OA OC OB =+=+----= ，即D 点坐标为()0,2-，故答案为()0,2-.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，属于基础题.14．.【分析】根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论．【详解】∵BC ＝3BE ，DC ＝λDF ，∴13BE BC = ，1DF DC λ= ，1133AE AB BE AB BC AB AD =+=+=+ ，11AF AD DF AD DC AD AB λλ=+=+=+ ，∵菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，∴|AB |＝|AD |＝2，AB •AD = 2×2×cos120°＝﹣2，∵AE •AF =1，∴（13AB AD + ）•（1AD AB λ+ ）22113AD AB λ=++ （113λ+）AB •AD = 1，即13⨯41λ+⨯4﹣2（113λ+）＝1，整理得10533λ=，解得λ＝2，故答案为2．【点睛】本题主要考查向量的基本定理的应用，以及数量积的计算，要求熟练掌握相应的计算公式．15．2918【详解】在等腰梯形ABCD 中,由AB DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠= 得12AD BC ⋅= ,1AB AD ⋅= ,12DC AB = ,所以()()AE AF AB BE AD DF ⋅=+⋅+ 22121111129131231218331818AB BC AD AB AB AD BC AD AB BC AB ⎛⎫⎛⎫=+⋅+=⋅+⋅++⋅=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.考点：平面向量的数量积.模拟检测1．A【分析】有题意可得2=(4,32)a b λ-- ，根据向量平行可得其坐标间关系，即可求得答案.【详解】由题意得：2=(4,32)a b λ-- ，因为向量2a b - 与向量a 共线，所以43=2(32)λ⨯⨯-，解得32λ=-.故选：A2．C【分析】根据已知向量的坐标，结合//a b 、a b ⊥ 、a b = 、a b =- 的坐标表示判断参数是否存在，即可确定正确选项.【详解】假设//a b ，即(1)(1)30x x -+-=，2x =±，假设a b ⊥ ，即3(1)(1)0x x -++=，12x =，假设a b = ，即1311x x -=⎧⎨=+⎩，无解，假设a b =- ，即131(1)x x -=-⎧⎨=-+⎩，2x =-，故选：C ．3．A【分析】由已知点坐标写出AB 的坐标，根据平面向量的基本定理，可写出,i j 表示AB的代数形式.【详解】由题意知：(4,2)(2,3)(2,1)AB =-=- ，∴2AB i j =-uu u r r r.故选：A.4．D【分析】根据平面向量基本定理可知，只有不共线的两个向量才能做基底，即可求解．【详解】解：由题意可知，12,e e 是不共线的两个向量，可以判断选项A ，B ，C 都可以做基底，选项D ，122112(42)2e e e e -=-- ，故选项D 不能做基底．故选：D ．5．B【分析】根据222AB AC BC +=，以A 为原点建立平面直角坐标系，由AB AC r AB AC BC ⨯=++求得内切圆的半径，进而得到O ，B ，C 的坐标，再利用平面向量的基本定理求解.【详解】由已知得222AB AC BC +=，则90BAC ∠=︒．以A 为原点建立如图所示的平面直角坐标系，则ABC 内切圆半径912391215AB AC r AB AC BC ⨯⨯===++++，所以()3,3O ，()9,0B ，()0,12C ．设BO mAB nAC =+ ，则()()()6,39,00,12m n -=+，解得23m =-，14n =，故2134BO AB AC =-+ ，故选：B ．6．D【分析】连接BO 、DO 、BD ，根据题意，可得四边形ABDO 为菱形，即可求得各个边长可角度，又,AD AO OD BC OC OB =+=- ，根据数量积公式，即可求得答案.【详解】连接BO 、DO 、BD ，如图所示：由题意得：,222ABC AC AB π∠===，AD 为BAC ∠的平分线，所以四边形ABDO 为菱形，即1AO OD AB BD ====，又1cos 2AB BAC AC ∠==，所以60BAC ∠=︒，所以60BOA BOD DOC ∠=∠=∠=︒，又,AD AO OD BC OC OB =+=-，所以()()AD BC AO OD OC OB AO OC AO OB OD OC OD OB ⋅=+⋅-=⋅-⋅+⋅-⋅ =cos 0cos120cos 60cos 60AO OC AO OB OD OC OD OB ⋅-⋅︒+⋅︒-⋅︒=111312222⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭.故选：D7．B【分析】根据题意,以对角线交点为坐标原点，对角线所在直线为,x y 轴建立直角坐标系,利用坐标法求解.【详解】解：如图，以点O 为坐标原点，,OD OA 所在直线为,x y 轴建立平面直角坐标系，由2AB =，60BAD ∠=︒，所以(A ，()1,0B -，()1,0D，0,2E ⎛⎝⎭，所以(31,,1,2AB DE ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以31122AB DE ⋅=-=- .故选：B【点睛】本题考查向量的数量积运算，解题的关键在于根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标法求解，考查运算求解能力，是中档题.8．()3,6-【分析】由向量平行的坐标表示求得x ，再由向量线性运算的坐标表示计算．【详解】因为()3,a x = ，()1,2b =-r，所以由//a b r r，有()321x ⨯=-⨯，解得6x =-，所以()()()236,123,63,6a b +=-+-=- ，故答案为：()3,6-．9．(9，－18)【分析】根据平面向量坐标表示公式，结合平面向量的加法的运算性质进行计算即可.【详解】因为CM ＝33(1,8)(3,24)CA == ，CN ＝22(6,3)(12,6)CB ==，所以(3,24)(12,6)(9,18)MN MC CN CM CN =+=-+=-+=- ，故答案为：(9，－18)10．12【分析】由向量共线的坐标表示计算．【详解】由题意630m -=，12m =．故答案为：12．11．3,32⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】先求出向量2a b + 与2a b -的坐标，根据向量平行求出参数m 的值，从而得出答案.【详解】()221,4a b m +=- ，()22,3a b m -=-- ，由向量2a b + 与2a b - 平行，()()423210m m ∴----=，解得12m =-，则3,32a b ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.故答案为：3,32⎛⎫-⎪⎝⎭.12．25-【分析】先求得AB 在向量a 上的投影，再根据A B '' 为AB 在向量a 上的投影，求得A B '' 的坐标，然后由A B λa ='' 求解.【详解】因为点(1,1)A ，(2,1)B -，所以(1,2)AB =- ，又向量(4,3)a =-，所以AB 在向量a 上的投影1025AB a a=⋅-=- ，所以862,55a A B a ⎛⎫''=-⨯=- ⎪⎝⎭ 因为A B λa =''，所以λ=25-，故答案为：25-13．（1）(或(1,-；（2）【分析】（1）根据题意得()3b a λλ→→==，再结合2b →=得13λ=±，进而得答案；（2）根据题意得223340a c a c a c c →→→→→→→⎛⎫⎛⎫-⋅-=+-⨯⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再结合6a →=可得23360c →-+=，解方程即可得答案.【详解】解：（1）∵//a b →→，∴存在实数λ使得(()3b a λλλ→→===，∵2b →=，∴62b λ→===，解得13λ=±，∴(b →=或(1,b →=-.（2）∵3a c a c →→→→⎛⎫⎛⎫-⊥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，c →与a →的夹角θ的余弦值为32∴2222334340a c a c a c a c a c c →→→→→→→→→→→⎛⎫⎛⎫-⋅-=+-⋅=+-⨯⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵a →=，∴6a →==，∴23360c →-+=，解得c →=【点睛】本题考查向量的共线与垂直的坐标表示，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于熟练掌握向量共线与垂直定义与坐标表示，进而求解.14．（1）BD AD AB →→→=-；2133AO AD AB →→→=+；（2）83-.【分析】（1）直接利用平面向量的线性运算求解即可；（2）根据//AB CD ，2AB CD =，得到2AO OC =；再把AM BD →→⋅转化为23AC BD →→⋅进一步整理即可得到结论.【详解】（1）BD AD AB →→→=-；11121()33333AO AD DO AD DB AD BD AD AD AB →→→→→→→→→→→→=+=+=-=--=+.（2）在梯形ABCD 中，因为//AB CD ，2AB CD =，所以2AO OC =，∴()AM BD AO OM BD AO BD OM BD AO BD→→→→→→→→→→→⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅23AC BD →→=⋅222()())33AD DC AD AB AD DC AB →→→→→→→=+⋅-=-⋅28(424)33=-⨯=-.【点睛】方法点睛：平面向量问题的求解常用的方法有：（1）基底法；（2）坐标法.要根据已知条件灵活选择方法求解.。
高考数学一轮复习专题训练—平面向量基本定理及坐标表示
平面向量基本定理及坐标表示考纲要求1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．知识梳理1．平面向量的基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．3．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.4．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.1．平面内不共线向量都可以作为基底，反之亦然．2．若a 与b 不共线，λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.3．向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．()(2)设a ，b 是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.()(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可以表示成x 1x 2＝y 1y 2.()(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．()答案(1)×(2)√(3)×(4)√解析(1)共线向量不可以作为基底．(3)若b ＝(0,0)，则x 1x 2＝y1y 2无意义．2.若P 1(1,3)，P 2(4,0)，且P 是线段P 1P 2的一个三等分点(靠近点P 1)，则点P 的坐标为()A ．(2,2)B ．(3，－1)C ．(2,2)或(3，－1)D ．(2,2)或(3,1)答案A解析由题意得P 1P →＝13P 1P 2→且P 1P 2→＝(3，－3)，设P (x ，y )，则(x －1，y －3)＝(1，－1)，所以x ＝2，y ＝2，则点P (2,2)．3．已知向量a ＝(－1,3)，b ＝(2,1)，则3a －2b ＝()A ．(－7,7)B ．(－3，－2)C ．(6,2)D ．(4，－3)解析3a －2b ＝(－3,9)－(4,2)＝(－7,7)．4．(2021·南阳调研)已知向量a ＝(m,1)，b ＝(3，m －2)，则m ＝3是a ∥b 的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件答案A解析∵a ＝(m,1)，b ＝(3，m －2)，若a ∥b ，则m (m －2)－3＝0，得m ＝3或m ＝－1，所以“m ＝3”是“a ∥b ”的充分不必要条件．5．(2020·合肥质检)设向量a ＝(－3,4)，向量b 与向量a 方向相反，且|b |＝10，则向量b 的坐标为()－65，B ．(－6,8)C D ．(6，－8)答案D解析因为向量b 与a 方向相反，则可设b ＝λa ＝(－3λ，4λ)，λ<0，则|b |＝9λ2＋16λ2＝5|λ|＝10，∴λ＝－2，b ＝(6，－8)．6．(2021·贵阳模拟)如图，在平行四边形ABCD 中，F 是BC 的中点，CE →＝－2DE →，若EF →＝xAB →＋yAD →，则x ＋y ＝()A ．1B ．6C ．16D ．13解析因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB →＝DC →，AD →＝BC →，因为CE →＝－2DE →，所以ED →＝－13DC →＝－13AB →，连接AF ，在△AEF 中，所以EF →＝EA →＋AF →＝ED →－AD →＋AB →＋BF →＝－13AB →－AD →＋AB →＋12BC →＝23AB →－12AD →，又因为EF →＝xAB →＋yAD →，所以x ＝23y ＝－12，故x ＋y ＝16.考点一平面向量的坐标运算1．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为()B C ．(3,2)D ．(1,3)答案A解析设D (x ，y )，AD →＝(x ，y －2)，BC →＝(4,3)，又BC →＝2AD →＝2x ，＝2y －2，解得＝2，＝72，故选A.2．向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R)，则λμ＝()A ．1B ．2C ．3D ．4答案D解析以向量a 和b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A (1，－1)，B (6,2)，C (5，－1)，∴a ＝AO →＝(－1,1)，b ＝OB →＝(6,2)，c ＝BC →＝(－1，－3)，∵c ＝λa ＋μb ，∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，λ＝－2，μ＝－12，∴λμ＝－2－12＝4.3．(2021·西安调研)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，OA →＝32，12OA →绕点O 逆时针旋转60°得到向量OB →，则OB →＝()A ．(0,1)B ．(1,0)32，－12D ．12，－32答案A解析∵OA →32，12，∴OA →与x 轴的夹角为30°，依题意，向量OB →与x 轴的夹角为90°，则点B 在y 轴正半轴上，且|OB →|＝|OA →|＝1，∴点B (0,1)，则OB →＝(0,1)．4．(2021·衡水检测)如图，原点O 是△ABC 内一点，顶点A 在x 轴上，∠AOB ＝150°，∠BOC ＝90°，|OA →|＝2，|OB →|＝1，|OC →|＝3，若OC →＝λOA →＋μOB →，则μλ＝()A ．－33B ．33C ．－3D ．3答案D解析由三角函数定义，易知A (2,0)，－32，C (3cos 240°，3sin 240°)，即－32，－因为OC →＝λOA →＋μOB →，－32，－λ(2,0)＋－32，－32μ＝－32，＝－332，＝－3，＝－33.所以μλ＝ 3.感悟升华1.向量的坐标表示把点与数联系起来，实际上是向量的代数表示，即引入平面向量的坐标可以使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算．2．向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算法则进行计算．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用．考点二平面向量基本定理及其应用【例1】如图所示，已知在△OCB 中，A 是CB 的中点，D 是将OB →分成2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)用a 和b 表示向量OC →，DC →；(2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．解(1)依题意，A 是BC 的中点，∴2OA →＝OB →＋OC →，即OC →＝2OA →－OB →＝2a －b .DC →＝OC →－OD →＝OC →－23OB→＝2a －b －23b ＝2a －53b .(2)设OE →＝λOA →(0<λ<1)，则CE →＝OE →－OC →＝λa －(2a －b )＝(λ－2)a ＋b .∵CE →与DC →共线，∴存在实数k ，使CE →＝kDC →，(λ－2)a ＋b ＝a －53b λ＝45.感悟升华1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．【训练1】(2021·银川调研)在△ABC 中，M ，N 分别是边AB ，AC 的中点，点O 是线段MN 上异于端点的一点，且满足λOA →＋3OB →＋4OC →＝0(λ≠0)，则λ＝________.答案7解析法一由已知得OA →＝－3λOB →－4λOC →，①由M ，O ，N 三点共线，知∃t ∈R ，使OM →＝tON →，故2OM →＝2tON →，故OA →＋OB →＝t (OA →＋OC →)，整理得OA →＝1t －1OB →＋t 1－tOC →，②对比①②－3λ＝1t －1，－4λ＝t 1－t，t ＝－43，λ＝7.法二因为M 是AB 的中点，所以OM →＝12(OA →＋OB →)，于是OB →＝2OM →－OA →，同理OC →＝2ON →－OA →，将两式代入λOA →＋3OB →＋4OC →＝0，整理得(λ－7)OA →＋6OM →＋8ON →＝0，因为M ，O ，N 三点共线，故∃p ∈R ，使得OM →＝pON →，于是(λ－7)OA →＋(6p ＋8)ON →＝0，显然OA →，ON →不共线，故λ－7＝6p ＋8＝0，故λ＝7.考点三平面向量共线的坐标表示角度1利用向量共线求向量或点的坐标【例2】已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，O 为坐标原点，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________．答案(3,3)解析法一由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4,4λ)．又AC →＝OC →－OA →＝(－2,6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3,3)，所以点P 的坐标为(3,3)．法二设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4,4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y4，即x ＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2,6)，且AP →与AC →共线，所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以点P 的坐标为(3,3)．角度2利用向量共线求参数【例3】(1)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________.(2)(2021·福州八校联考)设向量OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，其中O 为坐标原点，且a >0，b >0，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋2b 的最小值为()A ．8B ．9C ．6D ．4答案(1)12(2)A解析(1)由题意得2a ＋b ＝(4,2)，因为c ＝(1，λ)，且c ∥(2a ＋b )，所以4λ－2＝0，即λ＝12.(2)由题意知AB →＝OB →－OA →＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1,2)．因为A ，B ，C 三点共线，设AB →＝λAC →，则(a －1,1)＝λ(－b －1,2)．－1＝λ－b －1，＝2λ，得2a ＋b ＝1.又a >0，b >0，则1a ＋2b＝a ＋b )＝2＋2＋b a ＋4ab ≥4＋2b a ·4a b ＝8，当且仅当b a ＝4a b，即a ＝14，b ＝12时，等号成立．∴1a ＋2b 的最小值为8.感悟升华1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0；(2)若a ∥b (b ≠0)，则a ＝λb .2．向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．【训练2】(1)(2021·太原联考)已知向量e 1＝(1,1)，e 2＝(0,1)，若a ＝e 1＋λe 2与b ＝－(2e 1－3e 2)共线，则实数λ＝________.(2)(2021·安徽江南十校调研)在直角坐标系xOy 中，已知点A (0,1)和点B (－3,4)，若点C 在∠AOB 的平分线上，且|OC →|＝310，则向量OC →的坐标为________．答案(1)－32(2)(－3,9)解析(1)由题意知a ＝e 1＋λe 2＝(1,1＋λ)，b ＝－(2e 1－3e 2)＝(－2,1)．由于a ∥b ，所以1×1＋2(1＋λ)＝0，解得λ＝－32.(2)因为点C 在∠AOB 的平分线上，所以存在λ∈(0，＋∞)，使得OC →＝∴OC →＝λ(0,1)＋－35，－35λ，95λ又|OC →|＝310，所以－35λ＝(310)2，解得λ＝5.故向量OC →＝(－3,9).A 级基础巩固一、选择题1．设A (0,1)，B (1,3)，C (－1,5)，D (0，－1)，则AB →＋AC →等于()A ．－2AD →B ．2AD→C ．－3AD→D ．3AD→答案C解析由题意得AB →＝(1,2)，AC →＝(－1,4)，AD →＝(0，－2)，所以AB →＋AC →＝(0,6)＝－3(0，－2)＝－3AD →.2．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(3,4)，c ＝(1，m )，若实数λ满足a ＋b ＝λc ，则λ＋m 等于()A ．5B ．6C ．7D ．8答案B解析由平面向量的坐标运算法则可得a ＋b ＝(5,5)，λc ＝(λ，λm )＝5，＝5，解得λ＝5，m ＝1，∴λ＋m ＝6.3．(2021·郑州质检)已知向量AB →＝(1,4)，BC →＝(m ，－1)，若AB →∥AC →，则实数m 的值为()A.14B ．－4C ．4D ．－14答案D解析∵向量AB →＝(1,4)，BC →＝(m ，－1)，∴AC →＝AB →＋BC →＝(1＋m,3)，又AB →∥AC →，所以1×3－4(1＋m )＝0，解得m ＝－14.4．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为第一象限内一点，且∠AOC ＝π4，且|OC |＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ＝()A ．22B ．2C ．2D ．42答案A解析因为|OC |＝2，∠AOC ＝π4，所以C (2，2)，又OC →＝λOA →＋μOB →，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2.5．(2020·济南调研)在△ABC 中，AN →＝14NC →，若P 是直线BN 上的一点，且满足AP →＝mAB →＋25AC →，则实数m 的值为()A ．－4B ．－1C ．1D ．4答案B解析根据题意设BP →＝nBN →(n ∈R)，则AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋nBN →＝AB →＋n (AN →－AB →)＝AB →＋－(1－n )AB →＋n 5AC →.又AP →＝mAB →＋25AC →，n ＝m ，＝25，＝2，＝－1.6．(2021·东北师大附中等五校联考)已知向量a tan b ＝(cos α，1)，αa ∥b ，则()A ．－13B ．13C ．223D ．－223答案C解析向量a tan b ＝(cos α，1)，且a ∥b ，则13＝tan α·cos α＝sin α，又αcos α＝－223，所以cos α＝223.7.给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为90°，如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是()A ．1B ．2C ．3D ．2答案B解析因为点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上，所以|OC →|2＝|xOA →＋yOB →|2＝x 2＋y 2＋2xyOA →·OB→＝x 2＋y 2，∴x 2＋y 2＝1，则2xy ≤x 2＋y 2＝1.又(x ＋y )2＝x 2＋y 2＋2xy ≤2，当x ＝y 时取等号，故x ＋y 的最大值为 2.8．(2021·合肥检测)△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，m ＝(a ，b )，n ＝(cos B ，cos A )，则“m ∥n ”是“△ABC 是等腰三角形”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案D解析由m ∥n 得b cos B －a cos A ＝0，即sin B cos B ＝sin A cos A ，可得sin 2B ＝sin 2A ，因为角A ，B ，C 分别是△ABC 的内角，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，可得△ABC 是等腰三角形或直角三角形．因此，由“m ∥n ”不能推出“△ABC 是等腰三角形”．因为由“△ABC 是等腰三角形”不能推出“A ＝B ”，所以由“△ABC 是等腰三角形”也不能推出“m ∥n ”．故“m ∥n ”是“△ABC 是等腰三角形”的既不充分也不必要条件．二、填空题9．已知A (2,3)，B (4，－3)，点P 在线段AB 的延长线上，且|AP |＝32|BP |，则点P 的坐标为________．答案(8，－15)解析设P (x ，y )，由点P 在线段AB 的延长线上，则AP →＝32BP →，得(x －2，y －3)＝32(x －4，y ＋3)，－2＝32x －4，－3＝32y ＋3.＝8，＝－15.所以点P 的坐标为(8，－15)．10．(2021·百校联盟联考)已知非零向量a ＝(2x ，y )，b ＝(1，－2)，且a ∥b ，则xy ＝________.答案－14解析因为a ＝(2x ，y )，b ＝(1，－2)，且a ∥b ，所以2x ·(－2)－y ·1＝0，所以x y ＝－14.11．已知矩形ABCD 的两条对角线交于点O ，点E 为线段AO 的中点，若DE →＝mAB →＋nAD →，则m ＋n 的值为________．答案－12解析如图所示，因为点E 为线段AO的中点，所以DE →＝12(DA →＋DO →)＝12DA →＋14DB→＝－12AD →＋14AB →－14AD →＝14AB →－34AD →.又DE →＝mAB →＋nAD →，所以m ＝14，n ＝－34，故m ＋n ＝－12.12．已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．答案k ≠1解析若点A ，B ，C 能构成三角形，则向量AB →，AC →不共线．∵AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)，∴1×(k ＋1)－2k ≠0，解得k ≠1.B 级能力提升13．(2021·西安质检)已知在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝1，AC ＝2，D 是△ABC 内一点，且∠DAB ＝60°，设AD →＝λAB →＋μAC →(λ，μ∈R)，则λμ＝()A.233B ．33C ．3D ．23答案A解析如图，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则B 点的坐标为(1,0)，C 点的坐标为(0,2)，因为∠DAB ＝60°，所以设D 点的坐标为(m ，3m )(m >0)．AD →＝(m ，3m )＝λAB →＋μAC →＝λ(1,0)＋μ(0,2)＝(λ，2μ)，则λ＝m ，且μ＝32m ，所以λμ＝233.14．已知点P 为四边形ABCD 所在平面内一点，且满足AB →＋2CD →＝0，AP →＋BP →＋4DP →＝0，AP →＝λAB →＋μBC →(λ，μ∈R)，则λμ＝()A.76B ．－76C ．－13D ．13答案D解析如图，取AB 的中点O ，连接DO .由AB →＋2CD →＝0，知AB ∥CD ，AB ＝2CD ，所以CD 綉OB ，所以四边形OBCD 为平行四边形．又由AP →＋BP →＋4DP →＝0，得－2PO →＋4DP →＝0，即PO →＝2DP →，所以D ，P ，O 三点共线，且P 为OD 上靠近D 的三等分点，所以AP →＝AO →＋OP →＝12AB →＋23OD →＝12AB →＋23BC →，所以λ＝12，μ＝23，所以λμ＝13.15．如图，在正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，若AC →＝λAM →＋μBN →，则λ＋μ＝________.答案85解析以AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，设正方形的边长为1，则AM →＝1，12，BN →－12，1AC →＝(1,1)．∵AC →＝λAM →＋μBN →λ－12μ，λ2μ，λ－12μ＝1，λ2μ＝1，λ＝65，μ＝25，∴λ＋μ＝85.16．(2021·兰州调研)在△ABC 中，点D ，E 是线段BC 上的两个动点，且AD →＋AE →＝xAB →＋yAC →，则xy 的最大值为________．答案1解析设DE 的中点为M ，连接AM (如图)．则AD →＋AE →＝2AM →＝xAB →＋yAC →，所以AM →＝x 2AB →＋y 2AC →，又B ，C ，M 三点共线，所以x ＋y ＝2，且x >0，y >0，又x ＋y ≥2xy ，当且仅当x ＝y ＝1时，取等号，∴xy ≤1，即xy 的最大值为1.。
高考数学复习第四单元第24讲平面向量基本定理及坐标表示练习文含解析新人教A版
高考数学复习第四单元第24讲平面向量基本定理及坐标表示练习文含解析新人教A 版第24讲 平面向量基本定理及坐标表示1.[2018·吉林三调] 下列各组向量中,可以作为基底的是 ( ) A .e 1=(0,0),e 2=(1,2) B .e 1=(2,-3),e 2=(12,-34)C .e 1=(3,5),e 2=(6,10)D .e 1=(-1,2),e 2=(5,7)2.[2018·郑州质检] 设平面向量a=(-1,0),b=(0,2),则2a-3b 等于 ( ) A .(6,3) B .(-2,-6) C .(2,1) D .(7,2)3.[2018·青岛二模] 已知AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,-3),点C (-1,3),AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则点D 的坐标是 ( ) A .(11,-3) B .(9,-3) C .(9,3) D .(4,0)图K24-14.[2019·湖南师大附中月考] 如图K24-1,已知AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( ) A .34b-13a B .512a-34bC .34a-13b D .512b-34a5.已知向量a=(4,-2),向量b=(x ,5),且a ∥b ,那么x= .6.如果向量a=(k ,1),b=(4,k )共线且方向相反,则实数k 的值为 ( ) A .±2 B .2 C .-2 D .07.[2018·河南中原名校联考] 如图K24-2所示,矩形ABCD 的对角线相交于点O ,E 为AO 的中点,若AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μAA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ为实数),则λ2+μ2等于 ( )图K24-2A .58 B .14 C .1 D .5168.[2018·山西孝义一模] 已知平面向量AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2),AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,4),则向量AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的模是 ( )A.√2B.√5C.2√2D.59.[2018·北京西城区161中模拟]已知向量a=(1,3),b=(m,2m-3),平面上任意向量c都可以唯一地表示为c=λa+μb(λ,μ∈R),则实数m的取值范围是()A.(-∞,0)∪(0,+∞)B.(-∞,3)C.(-∞,-3)∪(-3,+∞)D.[-3,3)10.已知O是正三角形ABC的中心.若AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μAA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,其中λ,μ∈R,则AA的值为()A.-14B.-13C.-12D.211.[2018·洛阳一模]在△ABC中,点P满足AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,过点P的直线与AB,AC所在直线分别交于点M,N,若AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =n AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (m>0,n>0),则m+2n的最小值为()A.3B.4C.83D.10312.[2018·赤峰模拟]已知向量a=(2,1),b=(x,1),若a+b与a-b共线,则实数x的值是.13.向量AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2),AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,且|AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√5,则AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为.14.[2018·合肥三模]已知AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,0),AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2),AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,t∈R,当|AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |最小时,t= .15.在△ABC中,AB=2,AC=3,BC=√13,若向量m满足|m-2AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,则|m|的最大值与最小值的和为()A.7B.8C.9D.10图K24-316.[2018·德阳二诊]如图K24-3所示,在三角形OPQ中,M,N分别是边OP,OQ的中点,点R 在直线MN上,且AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (x,y∈R),则√A2+A2-A-A+12的最小值为.课时作业(二十四)1.D [解析] 由于选项A,B,C 中的向量e 1,e 2都共线,故不能作为基底.而选项D 中的向量e 1,e 2不共线,故可作为基底.2.B [解析]2a-3b=(-2,0)-(0,6)=(-2,-6).3.B [解析] 由条件知AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(10,-6),设O 为坐标原点,则AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -(-1,3)=(10,-6),所以AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(9,-3).故选B .4.D [解析]AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )-13AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =512b-34a.故选D .5.-10 [解析] 由向量平行的充分必要条件可得4×5=-2x ,求解可得x=-10.6.C [解析] 因为向量a=(k ,1),b=(4,k ),所以a=λb ,所以(k ,1)=λ(4,k ),所以k=4λ,1=λk ,所以1=4λ2,因为两向量共线且方向相反,所以λ=-12,所以k=-2,故选C .7.A [解析]AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -34AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以λ=14,μ=-34,故λ2+μ2=58,故选A .8.C[解析]∵向量AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2),AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,4),∴AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)-(3,4)=(-2,-2),∴|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√2,故选C . 9.C [解析] 根据已知可知,向量a ,b 不共线.由a=(1,3),b=(m ,2m-3)得2m-3≠3m ,解得m ≠-3,即实数m 的取值范围是(-∞,-3)∪(-3,+∞).故选C .10.C [解析] 由O 是正三角形ABC 的中心,延长CO 交AB 于D ,则AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2312(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=13(-AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -23AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即λ=13,μ=-23,故A A =-12.故选C .11.A[解析]∵AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13A AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23AAA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .∵M ,P ,N 三点共线,∴13A +23A=1,则m+2n=(m+2n )13A +23A=13+43+2A 3A +2A 3A ≥53+2√2A3A ·2A 3A =53+43=3,当且仅当m=n=1时等号成立.故选A .12.2 [解析] 由a=(2,1),b=(x ,1),得a+b=(2+x ,2),a-b=(2-x ,0).因为a+b 与a-b 共线,所以(2+x )×0=2(2-x ),解得x=2.13.(3,6)或(-1,-2) [解析]∵AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(t ,2t ).又|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=2√5,∴t 2+4t 2=5t 2=20,解得t=±2.当t=2时,AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)+(-2,-4)=(-1,-2);当t=-2时,AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)+(2,4)=(3,6).14.34[解析]∵AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t (AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ),得AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(1-t )AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3-2√3t ,2t ),|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(2√3-2√3A )2+4A 2=2√4(A -34)2+34,显然当t=34时,|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |取得最小值.15.D [解析] 由AB=2,AC=3,BC=√13得BC 2=AB 2+AC 2,即A 为直角,以A 点为原点,以AB 所在直线为x轴,AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),C(0,3).设m的起点为A,终点坐标为(x,y),∵|m-2AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,∴(x-4)2+(y-3)2=9,故|m|的最大值与最小值分别为圆(x-4)2+(y-3)2=9上的点到原点距离的最大值和最小值,故最大值为5+3=8,最小值为5-3=2,它们的和为10.故选D.16.√24[解析]∵M,N分别是边OP,OQ的中点,∴AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2y AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .∵M,N,R三点共线,∴2x+2y=1,即x+y=12,∴xy≤A+A22=116,当且仅当x=y=14时取等号,∴√A2+A2-A-A+12=√(A+A)2-2AA-(A+A)+12=√14-2AA≥√14-18=√24.。
2023年新高考数学一轮复习6-2 平面向量的基本定理及坐标表示(真题测试)含详解
专题6.2 平面向量的基本定理及坐标表示（真题测试）一、单选题1．（2019·全国·高考真题（文））已知向量()()2332a b ==，，，，则|–|a b =（ ） AB ．2C ．D ．502．（2019·全国·高考真题（理））已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，BC =1，则AB BC ⋅=（ ） A ．-3 B ．-2 C ．2D ．33.（2020·山东·高考真题）已知点()4,3A ，()4,2B -，点P 在函数243y x x =--图象的对称轴上，若PA PB ⊥，则点P 的坐标是（ ） A ．()2,6-或()2,1 B ．()2,6--或()2,1- C ．()2,6或()2,1-D ．()2,6-或()2,1--4．（2022·全国·高三专题练习）正方形ABCD 的边长为2，以AB 为直径的圆M ，若点P 为圆M 上一动点，则·PC PD 的取值范围为（ ）A ．[]04，B ．[]08，C ．[]18-，D ．[]14-， 5．（2022·广东·大埔县虎山中学高三阶段练习）已知ABC 是边长为a 的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（ ） A ．22a -B ．238a -C ．243a -D ．2a -6．（2022·上海奉贤·二模）已知平面向量a ，m ，n ，满足4a =，221010m a m n a n ⎧-⋅+=⎪⎨-⋅+=⎪⎩，则当m 与n 的夹角最大时，m n -的值为（ ） A ．4B ．2CD ．17．（2017·全国·高考真题（理））已知ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值是( ) A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-8.（2016·四川·高考真题（文））已知正三角形ABC 的边长为，平面ABC 内的动点P ，M 满足||1AP =，PM MC =，则2||BM 的最大值是（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题9．（2022·广东广州·三模）已知向量()3,1a =-，()1,2b =-，则下列结论中正确的是（ ） A ．5a b ⋅= B ．5a b -=C ．,4a b π=D ．a b ∥10．（2022·湖北·模拟预测）正方形ABCD 的边长为2，E 是BC 中点，如图，点P 是以AB 为直径的半圆上任意点，AP λ=AD AE μ+，则（ ）A ．λ最大值为12B ．μ最大值为1C ．AP AD ⋅最大值是2 D ．AP AE ⋅211．（2022·湖北·荆州中学模拟预测）已知向量()3,1a =，()()cos ,sin 0b θθθπ=≤≤，则下列命题正确的是（ ）A ．若a b ⊥，则tan θ=B ．存在θ，使得a b a b +=-C ．与a 共线的单位向量只有一个为12)D ．向量a 与b 夹角的余弦值范围是[ 12．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知向量(1,sin ),(cos ,2)a b θθ==，则下列命题正确的是（ ）A ．存在θ，使得 //a bB ．当tan θ=时，a 与b 垂直C ．对任意θ，都有||||a b ≠D ．当3a b ⋅=-时，tan θ=三、填空题13．（2020·全国高考真题（理））设,a b 为单位向量，且||1a b +=，则||a b -=______________. 14.（2018·全国·高考真题（理））已知向量()=1,2a ，()=2,2b -，()=1,c λ．若()2+ca b ，则λ=________．15.（2021·全国·高考真题（理））已知向量()()1,3,3,4a b ==，若()a b b λ-⊥，则λ=__________． 16.（2022·浙江·高考真题）设点P 在单位圆的内接正八边形128A A A 的边12A A 上，则222182PA PA PA +++的取值范围是_______． 四、解答题17．（2022·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是(2,1)-、(1,3)-、(3,4). 若OB OA OD λμ=+，求λμ+的值18．（2022·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是（-2，1）、（-1，3)、(3，4). O 为坐标原点，若动点S 满足向量2DS =，求OS 的最大值19．（2023·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD 中，2EC DE =，2FC BF =，2FG GE =.(1)用AB ，AD 表示AG ；(2)若6AB =，32AD =45BAD ∠=︒，如图建立直角坐标系，求GB 和DF 的坐标. 20．（2023·全国·高三专题练习）已知向量a →＝（1，2），b →＝（－3，k ）． (1)若a →∥b →，求b →的值；(2)若a →⊥（a →＋2b →），求实数k 的值；(3)若a →与b →的夹角是钝角，求实数k 的取值范围．21．（2022·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是（-2，1）、（-1，3)、(3，4). 若Q 是线段BC 上的动点，求·AQ DQ 的最值22．（2017·江苏·高考真题）已知向量()([]330a cosx sinx b x π==-∈，，，，，．（1）若a b，求x的值；（2）记()f x a b=⋅，求函数y＝f（x）的最大值和最小值及对应的x的值．专题6.2 平面向量的基本定理及坐标表示（真题测试）一、单选题1．（2019·全国·高考真题（文））已知向量()()2332a b ==，，，，则|–|a b =（ ） AB ．2C ．D ．50【答案】A 【解析】 【分析】本题先计算a b -，再根据模的概念求出||a b -． 【详解】由已知，(2,3)(3,2)(1,1)a b -=-=-，所以2||(1)a b -=-= 故选A2．（2019·全国·高考真题（理））已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，BC =1，则AB BC ⋅=（ ） A ．-3 B ．-2 C ．2 D ．3【答案】C 【解析】 【分析】根据向量三角形法则求出t ，再求出向量的数量积. 【详解】由(1,3)BC AC AB t =-=-，211BC =，得3t =，则(1,0)BC =，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=．故选C ．3.（2020·山东·高考真题）已知点()4,3A ，()4,2B -，点P 在函数243y x x =--图象的对称轴上，若PA PB ⊥，则点P 的坐标是（ ） A ．()2,6-或()2,1B ．()2,6--或()2,1-C ．()2,6或()2,1-D ．()2,6-或()2,1--【答案】C 【解析】 【分析】由二次函数对称轴设出P 点坐标，再由向量垂直的坐标表示计算可得． 【详解】由题意函数243y x x =--图象的对称轴是2x =，设(2,)P y ，因为PA PB ⊥，所以(2,3)(6,2)12(3)(2)0PA PB y y y y ⋅=-⋅--=-+--=，解得6y =或1y =-，所以(2,6)P 或(2,1)P -， 故选：C ．4．（2022·全国·高三专题练习）正方形ABCD 的边长为2，以AB 为直径的圆M ，若点P 为圆M 上一动点，则·PC PD 的取值范围为（ ）A ．[]04，B ．[]08，C ．[]18-，D ．[]14-， 【答案】B 【解析】 【分析】以AB 为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，写出,C D 坐标，设(cos ,sin )P θθ，用数量积的坐标表示计算数量积后由正弦函数性质得范围． 【详解】以AB 为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，如图，则(1,2)C ，(1,2)D -， 圆方程为221x y +=，P 在圆上，设(cos ,sin )P θθ， (1cos ,2sin )PC θθ=--，(1cos ,2sin )PD θθ=---，2(1cos )(1cos )(2sin )PC PD θθθ⋅=---+-22cos 144sin sin θθθ=-+-+44sin θ=-，sin [1,1]θ∈-，所以[0,8]PC PD ⋅∈．故选：B ．5．（2022·广东·大埔县虎山中学高三阶段练习）已知ABC 是边长为a 的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（ ） A ．22a - B ．238a -C ．243a -D ．2a -【答案】B 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，用坐标表示出PA 、PB 和PC ，计算()PA PB PC ⋅+的最小值即可． 【详解】解：以BC 中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则30,2A a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,02B a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,02C a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设(,)P x y ，则PA x y ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，1,2PB a x y ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，1,2PC a x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以()2,2PB x y PC --+=，所以()22(2)(2)22PA PB PC x x y y x y ⎫⋅+=-⋅-+-⋅-=+⎪⎪⎝⎭2223228x y a ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭；所以当0x =，y =时，()PA PB PC ⋅+取得最小值是238a -．故选：B ．6．（2022·上海奉贤·二模）已知平面向量a ，m ，n ，满足4a =，221010m a m n a n ⎧-⋅+=⎪⎨-⋅+=⎪⎩，则当m 与n 的夹角最大时，m n -的值为（ ） A ．4 B ．2 CD ．1【答案】C 【解析】 【分析】以O 为原点建立平面坐标系，设(4,0)a =，(,)m x y =，根据向量的数量积的运算公式，分别求得向量,m n 的终点所表示的轨迹方程，进而根据圆的性质，即可求解． 【详解】设,,a m n 的起点均为O ，以O 为原点建立平面坐标系，如图所示， 不妨设(4,0)a =，(,)m x y =，则222m x y =+，4a m x ⋅=， 由210m a m -⋅+=可得22410x y x +-+=，即22(2)3x y -+=， ∴m 的终点M 在以(2,0) 同理n 的终点N 在以(2,0)显然当OM ，ON 为圆的两条切线时，MON ∠最大，即m 与n 的夹角最大．设圆心为A ，则AM =1OM =，则sin MOA ∠= ∴60MOA ∠=︒，设MN 与x 轴交于点B ，由对称性可知MN x ⊥轴，且2MN MB =，∴22sin 21MN MB OM MOA ==⋅∠=⨯= 即当m 与n 的夹角最大时，3m n -= 故选：C7．（2017·全国·高考真题（理））已知ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值是( ) A ．2- B ．32-C ．43-D ．1-【答案】B 【解析】 【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可． 【详解】建立如图所示的坐标系，以BC 中点为坐标原点，则A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)P x y ，则()PA x y =-，(1,)PB x y =---，(1,)PC x y =--，则22223()222[(]4PA PB PC x y x y +=-+=+-∴当0x =，y =332()42⨯-=-，故选：B ．8.（2016·四川·高考真题（文））已知正三角形ABC 的边长为，平面ABC 内的动点P ，M 满足||1AP =，PM MC =，则2||BM 的最大值是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：如图可得120,2ADC ADB BDC DA DB DC ∠=∠=∠=︒===.以D 为原点，直线DA 为x 轴建立平面直角坐标系，则()((2,0,1,,.A B C --设(),,P x y 由已知1AP =，得()2221x y -+=，又131,,,,222x y x PM MC M BM ⎛⎫⎛-++=∴∴= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭()()222133||4x y BM +++∴=，它表示圆()2221x y -+=上的点(),x y 与点()1,33--的距离的平方的14，()()2222max149333144BM⎛⎫∴=++= ⎪⎝⎭，故选B. 【考点】向量的夹角，解析几何中与圆有关的最值问题【名师点睛】本题考查平面向量的夹角与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们要把它用一个参数表示出来，解题时首先对条件进行化简变形，本题中得出120ADC ADB BDC ∠=∠=∠=︒，且2DA DB DC ===，因此我们采用解析法，即建立直角坐标系，写出点,,,A B C D 的坐标，同时动点P 的轨迹是圆，则()(22214x y BM +++=，因此可用圆的性质得出最值．因此本题又考查了数形结合的数学思想． 二、多选题9．（2022·广东广州·三模）已知向量()3,1a =-，()1,2b =-，则下列结论中正确的是（ ） A ．5a b ⋅= B ．5a b -=C ．,4a b π=D ．a b ∥【答案】ABC 【解析】 【分析】按照向量数量积的坐标运算、模的坐标运算、夹角公式及平行的坐标公式依次判断即可. 【详解】31(1)(2)5a b ⋅=⨯+-⨯-=，A 正确；2(2,1),21a b a b -=-=+B 正确；22223(1)10,1(2)5a b =+-==+-=，则52cos ,,,2452a b a b a b a bπ⋅====，C 正确； ()()3211⨯-≠-⨯，D 错误.故选：ABC.10．（2022·湖北·模拟预测）正方形ABCD 的边长为2，E 是BC 中点，如图，点P 是以AB 为直径的半圆上任意点，AP λ=AD AE μ+，则（ ）A ．λ最大值为12 B ．μ最大值为1C ．AP AD ⋅最大值是2 D ．AP AE ⋅2【答案】BCD 【解析】 【分析】以AB 中点O 为原点建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，根据三角函数的性质可判断各选项. 【详解】以AB 中点O 为原点建立平面直角坐标系，()1,0A -，()1,2D -，()1,1E ，设BOP α∠=，则()cos ,sin P αα，()cos 1,sin AP αα=+，()0,2AD =，由AP AD AE λμ=+，得2cos 1μα=+且2sin λμα+=，[]0,απ∈()()112sin cos 144λαααθ=--=--A 错； 0α=时max 1μ=，故B 正确；2sin 2AP AD α⋅=≤，故C 正确；()sin 2cos 222AP AE αααφ⋅=++=++，故D 正确． 故选：BCD.11．（2022·湖北·荆州中学模拟预测）已知向量()3,1a =，()()cos ,sin 0b θθθπ=≤≤，则下列命题正确的是（ ）A ．若a b ⊥，则tan θ=B ．存在θ，使得a b a b +=-C ．与a 共线的单位向量只有一个为12)D ．向量a 与b 夹角的余弦值范围是[ 【答案】AB 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示判断A 、B ，根据单位向量的定义判断C ，根据向量夹角的坐标表示及正弦函数的性质判断D ； 【详解】解：对于A 选项：若a b ⊥，则0a b ⋅=， ∴sin 0θθ+=，∴tan θ=A 正确；对于B ：若a b a b +=-，则22a b a b +=-，即222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，所以0a b ⋅=，即a b ⊥，由A 可知，tan θ=0θπ≤≤，所以23πθ=，故B 正确；对于C 选项：与a 共线的单位向量为aa ±，故为12⎫⎪⎪⎝⎭或12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，故C 选项错误；对于D 选项：设向量a 与b 夹角为α，则cos sin 3πθα⎛⎫+ ⎪⎝=⎭，因为0θπ≤≤，所以4333πππθ≤+≤，所以sin 13πθ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，故cos 1α≤≤，故D 错误；故选：AB ．12．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知向量(1,sin ),(cos ,2)a b θθ==，则下列命题正确的是（ ）A ．存在θ，使得 //a bB ．当tan θ=时，a 与b 垂直C ．对任意θ，都有||||a b ≠D ．当3a b ⋅=-时，tan θ=【答案】BD 【解析】 【分析】A 选项，利用向量平行及三角函数恒等变换得到方程，sin 21θ=，故A 错误；B 选项，利用垂直得到方程，求出正切值；C 选项，计算出两向量的模长，得到ππ,2k k Z θ=+∈，C 错误；利用向量的数量积列出cos a b θθ⋅==2tan 20θ-θ+=，求出正切值.【详解】对于选项A ：若 //a b sin cos =θθ，即sin 21θ=， 所以不存在这样的θ，故A 错误；对于选项B ：若a b ⊥，则cos 0θθ=，即cos θ=θ，得tan 2θ=，故B 正确； 对于选项C ：22||1sin ,||2cos a b θθ=+=+，当||||a b =时，cos21θ=-， 此时ππ,2k k Z θ=+∈，故C 错误；对于选项D ：cos a b θθ⋅==两边同时平方得2222cos 2sin sin 3cos 3sin θθθθθθ++⋅=+，化简得222cos sin cos 0θ+θ-θθ=，等式两边同除以2cos θ得2tan 20θ-θ+=，即2(tan 0θ-=，所以tan θ=D 正确.故选：BD. 三、填空题13．（2020·全国高考真题（理））设,a b 为单位向量，且||1a b +=，则||a b -=______________.【解析】因为,a b 为单位向量，所以1a b == 所以()2222221a b a b a a b b a b +=+=+⋅+=+⋅=解得：21a b ⋅=- 所以()22223a b a b a a b b -=-=-⋅+=14.（2018·全国·高考真题（理））已知向量()=1,2a ，()=2,2b -，()=1,c λ．若()2+c a b ，则λ=________．【答案】12 【解析】 【分析】由两向量共线的坐标关系计算即可． 【详解】由题可得()24,2a b +=()//2,c a b +()1,c λ=4λ20∴-=,即1λ2=故答案为1215.（2021·全国·高考真题（理））已知向量()()1,3,3,4a b ==，若()a b b λ-⊥，则λ=__________．【答案】35【解析】 【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出． 【详解】因为()()()1,33,413,34a b λλλλ-=-=--，所以由()a b b λ-⊥可得，()()3134340λλ-+-=，解得35λ=． 故答案为：35．16.（2022·浙江·高考真题）设点P 在单位圆的内接正八边形128A A A 的边12A A 上，则222182PA PA PA +++的取值范围是_______．【答案】[12+ 【解析】 【分析】根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点，37A A 所在直线为x 轴，51A A 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设(,)P x y ，再根据平面向量模的坐标计算公式即可得到()2222212888PA PA PA x y +++=++，然后利用cos 22.5||1OP ≤≤即可解出．【详解】以圆心为原点，37A A 所在直线为x 轴，51A A 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示：则1345726222222(0,1),,,(1,0),,,(0,1),,,(1,0)222222A A A A A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,822,22A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，设(,)P x y ,于是()2222212888PA PA PA x y +++=++，因为cos 22.5||1OP ≤≤，所以221cos 4512x y +≤+≤，故222128PA PA PA +++的取值范围是[12+.故答案为：[12+． 四、解答题17．（2022·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是(2,1)-、(1,3)-、(3,4). 若OB OA OD λμ=+，求λμ+的值【答案】136【解析】【分析】设出D ，利用向量的坐标公式求出四边对应的向量，据对边平行得到向量相等，利用向量相等的充要条件列出方程组求出D 的坐标，从而求出OB 、OA 、OD 的坐标，再根据平面向量线性运算的坐标表示得到方程组，解得即可． 【详解】解：设(,)D x y ，(2,1)A -，(1,3)B -，(3,4)C ，则(1,2)AB =，(3,4)DC x y =--，又AB DC =，3142x y -=⎧∴⎨-=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，即()2,2D ， 所以()1,3OB =-，()2,1OA =-，()2,2OD =，因为OB OA OD λμ=+，所以()()()1,32,12,2λμ-=-+，所以22123λμλμ-+=-⎧⎨+=⎩，解得4356λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以136λμ+= 18．（2022·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是（-2，1）、（-1，3)、(3，4). O 为坐标原点，若动点S 满足向量2DS =，求OS 的最大值【答案】2 【解析】 【分析】先利用AB DC =求出D 点坐标，再结合2DS =求出S 的轨迹是圆，最后利用O 到圆心的距离加半径求出最大值即可. 【详解】设(,)D a b ，()(1,2),3,4AB DC a b ==--，由AB DC =得3142a b -=⎧⎨-=⎩，解得22a b =⎧⎨=⎩，故(2,2)D ，设(,)S x y ，(2,2)DS x y =--，则由2DS =得()()22224x y -+-=，即S 的轨迹是以()2,2为圆心，2为半径的圆，故OS 的最大值为O22=.19．（2023·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD 中，2EC DE =，2FC BF =，2FG GE =.(1)用AB ，AD 表示AG ；(2)若6AB =，32AD =45BAD ∠=︒，如图建立直角坐标系，求GB 和DF 的坐标. 【答案】(1)5799=+AD AG AB (2)17,33GB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()4,2DF =-【解析】 【分析】（1）根据向量的加法及数乘运算求解；（2）建立平面直角坐标系，利用坐标运算求解即可. (1)13AE AD AB =+，13AF AD AB =+，又2FG GE =，所以2()AG AF AE AG -=- 所以21573399AG AE AF AB AD =+=+(2)过点D 作AB 的垂线交AB 于点D ，如图，于是在Rt ADD '△中，由45BAD ∠=︒可知，3AD '=根据题意得各点坐标：()0,0A ，()6,0B ，()9,3C ，()3,3D ，()5,3E ，()7,1F ，5757(60)(3,3)9999AG AB AD =+=+=，177,33⎛⎫ ⎪⎝⎭所以177,33G ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以()6,0AB =，177,33AG =⎛⎫⎪⎝⎭，()4,2DF =-,17,33GB AB AG ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭20．（2023·全国·高三专题练习）已知向量a →＝（1，2），b →＝（－3，k ）．(1)若a →∥b →，求b →的值；(2)若a →⊥（a →＋2b →），求实数k 的值；(3)若a →与b →的夹角是钝角，求实数k 的取值范围．【答案】(2)k ＝14；(3)k ＜32且k ≠－6.【解析】 【分析】（1）解方程1×k －2×(3)-＝0即得解； （2）解方程1×(5)-＋2×(22)k +＝0即得解； （3）解不等式1×(3)-＋2×k ＜0且k ≠－6，即得解. (1)解：因为向量a →＝（1，2），b →＝（－3，k ），且a →∥b →， 所以1×k －2×(3)-＝0，解得k ＝－6，所以b →(2)解：因为a →＋2b →＝(5,22)k -+，且a →⊥(2)a b →→+，所以1×(5)-＋2×(22)k +＝0，解得k ＝14．(3)解：因为a →与b →的夹角是钝角，则a b →→⋅＜0且a →与b →不共线．即1×(3)-＋2×k ＜0且k ≠－6，所以k ＜32且k ≠－6．21．（2022·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是（-2，1）、（-1，3)、(3，4). 若Q 是线段BC 上的动点，求·AQ DQ 的最值 【答案】最小值614- ，最大值57. 【解析】 【分析】根据平行四边形，求出D 点的坐标，分别求出AQ DQ 的解析式， 根据解析式求出最值，再综合考虑即可. 【详解】依题意作上图，点D 的位置有3个，分别为12,,D D D ，下面分别求出这3个位置的坐标：设(),D x y ，则有()()1,23,4AB DC x y ===-- ，解得()2,2,2,2x y D ==∴ ；()(),1,23,4AB CD x y ==-- ，解得()14,6,4,6x y D === ； ()(),4,12,1BC DA x y ==--- ，解得()26,0,6,0x y D =-=- ；∵点Q 在BC 上，设(),,Q m n BQ BC λ= ，则有()()1,34,1m n λ+-= ， 41,3m n λλ=-=+ ([]0,1λ∈) ，()41,2AQ λλ=++ ，()43,1DQ λλ=-+ ，()145,3DQ λλ=-- ， ()245,3D Q λλ=++ ，21751AQ DQ λλ=-- ，当534λ=时，取最小值=9368- ，最大值=11；21171711AQ DQ λλ=-- ，当12λ= 时，取最小值=614-，最大值=-11； 22172911AQ D Q λλ=++，当0λ= 时，取最小值=11，最大值=57；所以在以A ，B ，C 为顶点的平行四边形中，AQ DQ 的最小值为614-，最大值为57；综上，最小值为614-，最大值为57. 22．（2017·江苏·高考真题）已知向量()([]330a cosx sinx b x π==-∈，，，，，． （1）若a b ，求x 的值；（2）记()f x a b =⋅，求函数y ＝f （x ）的最大值和最小值及对应的x 的值．【答案】（1）5π6x =（2）0x =时，()f x 取到最大值3； 5π6x =时，()f x 取到最小值- 【解析】 【分析】（1）根据a b ，利用向量平行的充要条件建立等式，即可求x 的值．（2）根据()f x a b =⋅求解求函数y ＝f （x ）解析式，化简，结合三角函数的性质即可求解最大值和最小值及对应的x 的值． 【详解】解：（1）∵向量()([]330a cosx sinx b x π==-∈，，，，，． 由a b ，可得：3sinx =，即tanx = ∵x ∈[0，π] ∴56x π=．（2）由()233f x a b cosx x π⎛⎫=⋅==+ ⎪⎝⎭∵x ∈[0，π]，∴225333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴当2233x ππ+=时，即x ＝0时f （x ）max ＝3；当2332x ππ+=，即56x π=时()min f x =-。
高三数学专题练习-平面向量的基本定理及坐标表示
35，－
4 5
.
→
→
8．若 A，B，C，D 四点共线，且满足 AB＝(3a,2a)(a≠0)，CD＝
(2，t)，则 t 等于 ( )
3
4
A. 4
B.3
C．3
D ．－ 3
答案： B
→→ 解析：因为 A，B，C，D 四点共线， 所以 AB∥CD，故 3a·t＝2a·2，
4 t＝3.故选 B.
二、非选择题
9．在平面直角坐标系 xOy 中，已知 a＝ ( 3，1)，若将向量－ 2a
绕坐标原点 O 逆时针旋转 120°得到向量 b，则 b 的坐标为 ________．
答案： (2 3，－ 2)
解析： 因为 a＝ ( 3，1)，所以－ 2a＝(－2 3，－ 2)，如图所示，
易知向量－ 2a 与 x 轴正半轴的夹角 α＝ 150°.向量－ 2a 绕坐标原点 O
－2)，且 (a＋b)∥b，则 m＝( )
22 A ．－ 3 B.3
C．－ 8 D．8 答案： A
解析：由题意得 a＋b＝(4，m－2)．因为 (a＋b)∥b，所以 43＝m－－22，
解得
m＝－
2 3.故选
A.
5．[2019 ·湖南联考 ]已知圆心为 O，半径为 1 的圆上有不同的三
→→
→→→
个点 A，B，C，其中 OA·OB＝0，存在实数 λ，μ满足 OC＋λOA＋μOB
→→ → 解析： 设点 P(x，y)，则由 AP＝AB＋tAC(t∈R)，得 (x－2，y－1)
x－2＝1＋ t，
x＝ 3＋t，
＝ (1,4)＋t (1,1)＝(1＋ t, 4＋t )，所以
解得
由
y－1＝4＋ t，
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平面向量基本定理及其坐标表示
一、知识爬升
1：已知(3,2),(0,1)a b ，求24,43a b a b 的坐标。
2、已知点(1,5)A 和向量(2,3)a ，若3AB a ，则点B 的坐标是。
3、设,,,A B C D 四点的坐标依次是(1,0),(0,2),(4,3),(3,1)，则四边形ABCD 是。
4、已知向量(2,3),(3,)a b ，若//a b ，则。
5、若三点(1,1),(2,4),(,9)A B C x 共线，则x 。
6、在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若)3,1(),4,2(AC AB ，则BD 。
7、下列各组的向量中，①
12(1,2),(5,7)e e ，②12(3,5),(6,10)e e ，③1213(2,3),(,)24e e ，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是。
8、已知
(1,2),(3,2)a b ，当k 为何值时，（1）b a k 与b a 平行？（2）ka b 与3a b 平行？平行时它们是同向还是反向？
9、已知),(),1,3(),1,1(b a C B A ，（1）若C B A ,,三点共线，求b a,的关系式；
（2）AB AC 2，求点C 的坐标。
二、终极题
10：（1）已知ABCD 的三个顶点,,A B C 的坐标分别为(2,1),(1,3),(3,4)，求点D 的坐标。
（2）已知(2,4),(3,1),(3,4)A B C ，且3,2CM CA CN CB ，求,,M N MN 人坐标。
11：（1）已知向量
2(3,34)a x x x ，(1,2),(3,2)A B ，若//a AB ，求x 值。
（2）已知(1,2),(3,2)a b ，当实数k 取何值时2ka
b 与24a b 平行。