正方体的截面问题研究

研究性学习报告

————正方体的截面问题

课题目的：探索正方体可能的截面形状，通过实践和图示来证明其结果，列举特例，拓展空间观念与全面考虑问题的能力。

探究方法：首先通过猜想，列出预计猜想到得截面，其次进行画图或实践等方法证明猜想的正确与否。再通过网络的资料查询，寻找未猜想到的情况。

阶段探究：

1.猜想阶段：

根据日常经验及想象，我们小组做出下列猜想：

（1）正方形（2）矩形（3）平行四边形（4）三角形

2.猜想及其他可能的证明：

1.正方形：

因为该立体几何图形是正方体，所以用从任意位置与该正方体上下底面平行的平面进行截取可以得到，或者和侧面平行进行截取，由下列图示证明：

====》》》

由图示可知，水平方向截取正方体，得到的截面为正方形。

====》》》

由图示可知，竖直方向截取正方体，得到的截面为正方形。

2.矩形：

因为正方形也属于矩形，所以对正方形的证明同适用于矩形。其次，当长宽不等的矩形截面的图示如下：

由上图所示可知，按不同角度截取正方体可以得到矩形。

3.平行四边形：

当平面与正方体的各面都不平行时，所得截面为平行四边形，图示如下：

==》

由上图所示可知，当截面不与正方体的各面平行时，所得截面可能为平行四边形。

4.三角形：

根据一定角度过正方体的三条棱进行截取可以得到三角形的截面，图示如下:

==》》》

由上图可知，正方体可以截得三角形截面。

特别的，当截面刚好经过三个面的对角线时，所得的三角形截面为正三角形，图示如下：

==》得到：正三棱锥

5.猜想之外的截面形状：

（1）菱形：

如下图所示，当A,B为所在棱的中点时，该截面为菱形：

（2）梯形：

如图所示，当按一定角度使截面在正方体的上下底面上所存在的线段长短有异时，所得截面可能是梯形：

==》》》

（3）五边形：

如图所示，可以截得五边形截面：

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通过实践及资料查询可知，无法得到正五边形。

（4）六边形：

如图所示，可以截得六边形截面：

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特别的，当平面与正方体各棱的交点为中点时，截面为正六边形，如图所示：

拓展探究：1.正方体最大面积的截面三角形2.正方体最大面积的截面四边形3.最大面积的截面形状4.截面五边形、六边形性质

1. 正方体最大面积的截面三角形：

如该图所示可证明，由三角面对角线构成的三角形。

2. 正方体最大面积的截面四边形:

通过猜想及查询资料可知，正方体截面可能得到的四边形有：正方形、矩形、梯形、平行四边形。

根据四边形的面积公式：面积=长*宽

联系正方体图形：

得到：当由两条平行的面对角线和两对平行棱构成的四边形的长最大，又因为在各个情况下的宽不变。

则由猜想得到：“最大面积的截面四边形：由两条平行的面对角线和两对平行棱构成的四边形。”

3. 最大面积的截面形状：

正方体的截面可以分为：三角形、正方形、梯形、矩形、平行四边形、五边形、六边形、正六边形。其中三角形还分为锐角三角型、等边、等腰三角形。梯形分位非等腰梯形和等腰梯形。

首先比较三角形与五边形和六边形，所得这三种截面的情况有一共同特点：不能完整在该截面所在平面在正方体内所截的范围的最大值，有部分空间空出。

因此可以得到：最大面积一定是四边形。

所以最大面积的截面形状：即最大截面四边形（猜想）。初步推断为如图所示的矩形：

4. 截面五边形、六边形性质

通过课本及资料查询知：截面五边形：有两组边互相平行.

截面六边形：三组对边平行的六边形.

正方体的截面图

达到水平

得到了所需结论，达到了验证猜想及针对于课题进行探究及扩展探究的要求：

结论如下：

可能出现的：

锐角三角型、等边、等腰三角形，正方形、矩形、

非矩形的平行四边形、非等腰梯形等腰梯形、

五边形、六边形、正六边形

不可能出现：

钝角三角形、直角三角形、直角梯形、正五边形、

七边形或更多边形

成就，问题，解决

成就：通过资料进行文字探究，拥有三个阶段性探究（1.猜想探究2.思考、查询探究3.拓展探究）并有相关图片文字证明，基本框架完成，基本达到预计目的。

问题：

1对图片的解释不够准确

解决：熟读课本概念，提高语言能力，更清楚的表达与证明。

2 对研究性学习的理解不够透彻

解决：在之后的学习中增加探究次数，扩充相关内容与探究方法。

3 未找到所预计的特例，内容不够完整

解决：多多练习，全面考虑问题。

《正方体的截面问题》研究性学习小组

2010.2.24