【随堂优化训练】2014年数学(人教A版)必修5配套课件：3.3.4 简单线性规划问题的实际应用
新课标高中数学人教A版必修五全册课件3.3.2简单的线性规划问题(1)
引入新课
1. 某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种 产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗 时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗 时2h，该厂最多可从配件厂获得16个A配 件和12个B配件，按每天工作8h计算，该 厂所有的日生产安排是什么？ (1) 设甲、乙两种产品分别生产x、y件，
引入新课
(3)若生产一件甲产品获利2万元，生产一 件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排 利润最大？ 设生产甲产品x乙产品y件时，工厂获得的 利润为z,则z=2x+3y.上述问题就转化为： 当x、y满足不等式※并且为非负整数时， z的最大值是多少？
讲授新课
1. 上述问题中，不等式组是一组对变量 x、y的约束条件，这组约束条件都是 关于x、y的一次不等式，所以又叫线 性约束条件.
课堂小结
解答线性规划问题的步骤：
第一步：根据约束条件画出可行域； 第二步：令z＝0，画直线l0； 第三步：观察，分析，平移直线l0，
从而找到最优解； 第四步：求出目标函数的最大值或最
小值.
课外作业
1. 阅读教科书P.87-P.88； 2. 教科书P.91面练习第1题(2)； 3.《习案》第二十九.
讲授新课
1. 上述问题中，不等式组是一组对变量 x、y的约束条件，这组约束条件都是 关于x、y的一次不等式，所以又叫线 性约束条件. 线性约束条件除了用一次不等式表示 外，有时也用一次方程表示.
讲授新课
2. 欲求最大值或最小值的函数z=2x+3y 叫做目标函数.
讲授新课
2. 欲求最大值或最小值的函数z=2x+3y 叫做目标函数. 由于 z=2x+y又是x、y的一次解析式， 所以又叫线性目标函数.
随堂优化训练2014年数学人教A版必修5配套：334简单线性规划问题的实际应用ppt课件
【变式与拓展】
1.某糖果厂生产 A，B 两种糖果，A 种糖果每箱获利润 40 元，B 种糖果每箱获利润 50 元，其生产过程分为混合、烹调、 包装三道工序，下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间(单
位：分钟).
糖果种类 混合 烹调 包装
A
1
5
3
B
2
4
1
每种糖果的生产过程中，混合的设备至多能用 12 小时，烹
(5)判断__最__优__解____，求出目标函数的__最__值____，并回到原 问题中作答.
练习：有 5 辆 6 吨的运输任务的线性目标函数为__z_＝__6_x_＋__4_y__.
【问题探究】 1.简单线性规划在实际生产生活中主要解决哪些问题？ 答案：简单的线性规划在实际生产生活中应用非常广泛， 主要解决的问题是：在资源的限制下，如何使用资源来完成最 多的生产任务；或是给定一项任务，如何合理安排和规划，能 以最少的资源来完成，如常见的任务安排问题、配料问题、下 料问题、布局问题、库存问题，通常解法是将实际问题转化为 数学模型，归结为线性规划，使用图解法解决.
燃料种类 产品 A 产品 B 产品 C
燃料甲/吨
10
7
5
燃料乙/吨
5
9
13
现知每吨燃料甲与燃料乙的价格之比为 2∶3，现需要三种
产品 A，B，C 各 50 吨，63 吨，65 吨.问如何使用两种燃料，才
能使该厂成本最低？
思维突破：由于该厂成本与两种燃料使用量有关，而产品 A，B，C 又与这两种燃料有关，且这三种产品的产量也有限制， 因此这是一道求线性目标函数在线性约束条件下的最小值问 题，这类简单的线性规划问题一般都可以利用二元一次不等式 组求在可行域上的最优解.
人教A版高中数学必修五一轮复习随堂训练简单的线性规划问题人教
第3讲 简单的线性规划问题随堂演练巩固1.如图,表示图中阴影部分的二元一次不等式组是… ( )A. 1220y x y ≥-⎧⎨-+≥⎩ B. 1220y x y ≥-⎧⎨-+≤⎩C. 01220x y x y ≤⎧⎪≥-⎨⎪-+≥⎩D. 01220x y x y ≤⎧⎪≥-⎨⎪-+≤⎩【答案】 C2.在平面直角坐标系xOy 中,已知平面区域A={(x,y)|1x y +≤,且00x y ≥,≥},则平面区域B={(x+y,x-y)|()x y A ,∈}的面积为( ) A.2 B.1 C.12D.14【答案】 B【解析】 令 u x y v x y =+,⎧⎨=-,⎩ 则 22u v x u v y +⎧=,⎪⎨-⎪=,⎩∵ 100x y x y +≤,⎧⎪≥,⎨⎪≥,⎩ ∴ 100u u v u v ≤,⎧⎪+≥,⎨⎪-≥,⎩作出此不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,是等腰直角三角形,可求出其面积12112S =⨯⨯=,选B.3.若实数x,y 满足不等式组 250270,00x y x y x y +-≥,⎧⎪+-≥⎨⎪≥,≥,⎩则3x+4y 的最小值是( )A.13B.15C.20D.28【答案】 A【解析】 由题意得x,y 所满足的区域如图所示:令u=3x+4y,则3144y x u =-+,先作0l :34y x =-,如图所示,将0l 平行移动至过点B 时,u 取得最小值,联立 270250x y x y +-=,⎧⎨+-=,⎩ 解得 31x y =,⎧⎨=,⎩∴min 334113u =⨯+⨯=.4.已知变量x,y 满足约束条件 20170x y x x y -+≤,⎧⎪≥,⎨⎪+-≤,⎩则y x 的取值范围是( )A.9[6]5,B.9(][6)5-∞,⋃,+∞C.(3][6)-∞,⋃,+∞D.(3,6] 【答案】 A【解析】 作出可行域(如图中阴影部分所示).yx可看作可行域内的点与原点连线的斜率,由图易得yx的取值范围为9[6]5,.5.不等式组 2020220x y x y x y -+≥,⎧⎪++≥,⎨⎪--≤⎩所确定的平面区域记为D.点(x,y)是区域D 内的点,若圆O:222x y r +=上的所有点都在区域D 内,则圆O 的面积的最大值是 . 【答案】 45π【解析】 画出不等式组 2020220x y x y x y -+≥,⎧⎪++≥,⎨⎪--≤⎩所表示的平面区域如图中阴影部分所示,故r所以圆O的面积的最大值是45π. 课后作业夯基基础巩固1.设变量x,y满足约束条件121x yx yx y-≥,⎧⎪+≤,⎨⎪+≥,⎩则目标函数z=5x+y的最大值为( )A.2B.3C.4D.5 【答案】 D【解析】如图,由z=5x+y,得y=-5x+z,目标函数在点(1,0)处取最大值,即max 5105z=⨯+=.2.已知x,y满足40230440x yx yx y+-≤,⎧⎪--≤,⎨⎪+-≥,⎩则使目标函数z=4x+y-10取得最小值的最优解有( )A.1个B.2个C.3个D.无数多个【答案】 D【解析】画出可行域如图,作直线0l :4x+y=0.由z=4x+y-10得y=-4x+z+10,所以求z 的最小值,即求直线y=-4x+z+10在y 轴上截距的最小值,因为将0l 向右上方平移到与4x+y-4=0重合时z 最小,故最优解有无数多个,故选D.3.设变量x,y 满足 110x y x y x +≤,⎧⎪-≤,⎨⎪≥,⎩则x+2y 的最大值和最小值分别为( )A.1,-1B.2,-2C.1,-2D.2,-1【答案】 B【解析】 由线性约束条件 110x y x y x +≤,⎧⎪-≤,⎨⎪≥⎩画出可行域如图中阴影部分所示设z=x+2y,则122z y x =-+,作出直线0l :12y x =-,平移0l ,可知过A 点时z 取最大值max z ,=0+212⨯=,过B 点时z 取最小值min 02(1)2z ,=+⨯-=-.4.设z=x+y,其中x,y满足20x yx yy k+≥,⎧⎪-≤,⎨⎪≤≤,⎩若z的最大值为6,则z的最小值为( )A.-2B.-3C.-4D.-5 【答案】 B【解析】由线性约束条件20x yx yy k+≥,⎧⎪-≤,⎨⎪≤≤.⎩画出可行域如图,由题意知当y=-x+z过点A(k,k)时max 6z k k,=+=,k=3,z=x+y在点B处取得最小值,B点在直线x+2y=0上,则 B(-6,3),∴min 633z=-+=-.5.若不等式组3434xx yx y≥,⎧⎪+≥,⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域被直线y=kx+43分为面积相等的两部分,则k的值是( )A.73B.37C.43D.34【答案】 A【解析】由题意做出线性约束条件的可行域如下图,由图可知可行域为△ABC 的边界及内部,y=kx+43恰过点4(0)3A ,43y kx ,=+将区域平均分成面积相等的两部分,故过BC 的中点51()22D ,,即57142233k k =⨯+,=.6.满足条件 202305350y x x y x y -≤,⎧⎪++>,⎨⎪+-<⎩的可行域中共有整点的个数为 ( )A.3B.4C.5D.6【答案】 B【解析】 画出可行域,由可行域知有4个整点,分别是(0,0),(0,-1),(1,-1),(2,-2).7.如果点P 在平面区域 22021020x y x y x y -+≥,⎧⎪-+≤,⎨⎪+-≤⎩上,点Q 在曲线22(2)1x y ++=上,那么|PQ|的最小值为( )A.1-B.1-C.1-D.1-【答案】 A【解析】 由图可知不等式组确定的区域为阴影部分(包括边界),点P 到点Q 的距离的最小值为点(-1,0)到点(0,-2)的距离减去圆的半径1,由图可知|PQ|min 11==.8.不等式(x-2y+1)(3)0x y +-≤在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是( )【答案】 C【解析】 (x-2y+1)(3)0x y +-≤⇔ 21030x y x y -+≥,⎧⎨+-≤⎩ 或 21030x y x y -+≤,⎧⎨+-≥.⎩结合图形可知选C. 9.设D 是由 ()()00x y x y y -+≥,⎧⎨≥⎩所确定的平面区域,记D 被夹在直线x=-1和([11])x t t =∈-,间的部分的面积为S,则函数S =f(t)的大致图象为( )【答案】 B【解析】如图,由不等式组画出平面区域,根据题意,由函数S=f(t)的单调递增情况易选出答案B.10.若A为不等式组2xyy x≤,⎧⎪≥,⎨⎪-≤⎩表示的平面区域,则当a从-2连续变化到1时,动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为 .【答案】7 4【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,直线x+y=a 扫过的区域为四边形AOBC. ∵AODCBDAOBC S SS=-四边形71122224=⨯⨯-=.11.已知实数x,y 满足 111y x x y ≤,⎧⎪≤,⎨⎪+≥,⎩则22z x y =+的最小值为 .【答案】 12【解析】 实数x,y 满足的可行域如图中阴影部分所示,则z 的最小值为原点到直线AB 的距离的平方,故min z=212=12.由约束条件 021(01)y y x y x t x t t ≥,⎧⎪≤,⎪⎨≤-,⎪⎪≤≤+<<⎩ 所确定的平面区域的面积S=f(t),试求f(t)的表达式.【解】 由约束条件所确定的平面区域是五边形ABCEP,如图中阴影部分所示,其面积()OPDAOBECDS f t SSS==--,而11212OPD S =⨯⨯=. 2211(1)22OAB ECD S t S t =,=-, 所以222111()1(1)222S f t t t t t ==---=-++.13.已知x,y 满足条件 7523071104100x y x y x y --≤,⎧⎪+-≤,⎨⎪++≥,⎩求:(1)4x-3y 的最大值和最小值;22(2)x y +的最大值和最小值;8(3)5y x +-的最大值和最小值. 【解】 原不等式组表示的平面区域如图所示,其中A(4,1),B(-1,-6),C(-3,2).（1）设z=4x-3y,则433z y x z =-,就是斜率为43的直线在y 轴上截距的-3倍, 作一组斜率为43的平行线,当它扫过可行域时, 由图可知,当它经过C 点时z 值最小,当它经过B 点时z 值最大.min 4(3)3218z =⨯--⨯=-,max 4(1)3(6)14z =⨯--⨯-=.(2)设22u x y =+,则u 就是点(x,y)与原点距离的平方由图可知,B 点到原点的距离最大.而当(x,y)在原点时,距离为0,所以22max min (1)(6)370u u =-+-=,=.（3）设85y k x +=,-则k 就是点(x,y)与P(5,-8)连线的斜率, 由图可知,AP 连线斜率最小,BP 连线斜率最大. 所以min max 193k k =-,=-. 拓展延伸14.若x,y 满足约束条件 1122x y x y x y +≥,⎧⎪-≥-,⎨⎪-≤,⎩(1)求目标函数1122z x y =-+的最值; (2)若目标函数z=ax+2y 仅在点(1,0)处取得最小值,求a 的取值范围.【解】 (1)可求得A(3,4),B(0,1),C(1,0). 平移初始直线102x y -=,过点A(3,4)时,z 取最小值-2,过点C(1,0)时,z 取最大值1. ∴z 的最大值为1,最小值为-2.（2）直线ax+2y=z 仅在点(1,0)处取得最小值, 由图象可知122a -<-<,即-4<a<2.。
【随堂优化训练】数学(人教a版)必修5课后作业：第2章数列
2.2 等差数列 2． 2.1 等差数列的定义及通项公式
1．设数列 { an} 的通项公式 an＝ f(n) 是一个函数，则它的定义域是 ( )
A ．非负整数
B．N * 的子集
C．N *
*
D．N
或{1,2,3
，…，
n}
2．在等差数列 { an} 中， a1＝ 21， a7＝ 18，则公差 d＝ ( )
第二章 数列 2． 1 数列的概念与简单表示法 2． 1.1 数列的概念及表示方法
1．下列说法不正确的是 ( ) A ．数列可以用图象来表示 B．数列的通项公式不唯一
C．数列的项不能相等 D ．数列可以用一群孤立的点表示
2．关于以下 4 个数列： (1)－ 1,1，－ 1,1，…；
(2)1,3,5,7 ，…； (3)*)，求
1120是这个数列的第几项．
1
8．在数列 { an} 中， a1＝ 2， an＋ 1＝ an＋ ln 1＋n ，则 an＝(
)
A ． 2＋ lnn B． 2＋ (n－ 1)lnn
C．2＋ nlnn D． 1＋ n＋ lnn
9．在图 K2- 1-2 中， (1)(2)(3) ，…是由花盆摆成的图案．
)
A ．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D ．摆动数列
4．已知数列 { an} 对任意的 p， q∈N *满足 ap＋q＝ ap＋ aq，且 a2＝－ 6，那么 a10＝ (
)
A ．－ 165 B．－ 33
C．－ 30 D．－ 21
5．数列 { an} 的前 n 项和为
Sn，已知
Sn＝
tannπ，则 3
5．已知数列 1， 3， 7， 15，…， 2n－ 1，…，那么 63是该数列的第几项 (
人教A版高中数学必修五课件：3.3.2《简单的线性规划》
在生产与营销活动中，我们常常需要考
虑：怎样利用现有的资源（人力、物力、
资金……），取得最大的收益。或者，
怎样以最少的资源投入去完成一项给定 的任务。我们把这一类问题称为“最优 化”问题。 不等式的知识是解决“最优化”问题的得 力工具。
我们将借助二元一次不等式（组）的几 何表示，学习“最优化”问题中的简单 “线性规划”问题。
C B
500
400
300 200
x+2y=800
： 30x+40y=0
100
O
A
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
且OABC内的其它各点都在l的包含直线l0 的同一侧，很容易证明该点到l0的距离最 大，用此法区域OABC内的点B为所求。
3x 2 y 1200 解方程组 x 2 y 800
画直线l0：2x+y=0，平行移动l0到直线l的 位置，使l过可行域中的某点，并且可行 域内的其它各点都在l的不包含直线l0的另 外一侧。
画直线l0：2x+y=0，平行移动l0到直线l的 位置，使l过可行域中的某点，并且可行 域内的其它各点都在l的不包含直线l0的另 外一侧。
10 2x-y=4 该点到直线l0的距离最小， 8 x+y=10 6 则这一点的坐标使目标 4 M y=2 2 x
3.3.2《简单的线性规划》
教学目标
• （1）了解线性规划的意义、了解可行域的意义； • （2）掌握简单的二元线性规划问题的解法． • （3）巩固图解法求线性目标函数的最大、最小值 的方法； • （4）会用画网格的方法求解整数线性规划问题． • （5）培养学生的数学应用意识和解决问题的能力 ． • 教学重点、难点 • 二元线性规划问题的解法的掌握．
【随堂优化训练】2014年数学(人教a版)必修5自主检测第2章数列(数学备课大师网为您整理)
第二章自主检测(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(每小题5分，共50分)1．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则a 2＋a 10＝( )A ．12B ．16C ．20D ．242．已知在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 5＝8，则a 3＝( )A ．4B ．－4C ．±4D ．53．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 7＋a 11＝12，则S 13＝( )A ．52B ．54C ．56D ．584．已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则S 10的值为( )A ．－110B ．－90C ．90D ．1105．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列．若a 1＝1，则S 3＝( )A ．7B ．8C ．15D ．166．在正项等比数列{a n }中，S 2＝7，S 6＝91，则S 4为( )A ．28B ．32C ．35D ．497．在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 10＝3，则a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9＝( )A ．81B ．C. 3 D ．2438．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝( )A ．3×44B ．3×44＋1C ．44D ．44＋19．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5＝( ) A ．1 B ．12C ．13D ．1410．在等差数列{a n }中，d ＝1，S 98＝137，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 98＝( )A ．91B ．92C ．93D ．94二、填空题(每小题5分，共20分)11．等差数列的第5项是8，第8项是5，则公差d ＝________，a 13＝________.12．在等差数列中，a 3＋a 4＝9，a 2a 5＝18，则a 3a 4＝________.13．已知{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ≠0，S n 为其前n 项和，若a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 8＝________.14．等比数列{a n }的各项都是正数，若a 1＝81，a 5＝16，则它的前5项和是________．三、解答题(共80分)15．(12分)已知在等差数列{a n }中，a 3a 7＝－16，a 4＋a 6＝0，求{a n }前n 项和S n .16．(12分)设数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝3a n ，n ∈N *.(1)求{a n }的通项公式及前n 项和S n ；(2)已知{b n }是等差数列，T n 为前n 项和，且b 1＝a 2，b 3＝a 1＋a 2＋a 3，求T 20的值．17．(14分)已知数列{log 2(a n －1)}(n ∈N *)为等差数列，且a 1＝3，a 3＝9.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n<1. 18．(14分)已知数列{a n }的首项a 1＝23，a n ＋1＝2a n a n ＋1，n ＝1,2,3，….(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等比数列； (2)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n a n 的前n 项和S n . 19．(14分)已知在等差数列{a n }中，a 2＋a 4＝10，a 5＝9，在数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＋1＝b n ＋a n .(1)求数列{a n }的通项公式，写出它的前n 项和S n ；(2)求数列{b n }的通项公式；(3)若c n ＝2a n ·a n ＋1，求数列{c n }的前项和T n . 20．(14分)若数列{A n }满足A n ＋1＝A 2n ，则称数列{A n }为“平方递推数列”．已知在数列{a n }中，a 1＝2，点(a n ，a n ＋1)在函数f (x )＝2x 2＋2x 的图象上，其中n 为正整数．(1)证明数列{2a n ＋1}是“平方递推数列”，且数列{lg(2a n ＋1)}为等比数列；(2)设在(1)中“平方递推数列”的前n 项之积为T n ，即T n ＝(2a 1＋1)·(2a 2＋1)·…·(2a n ＋1)，求数列{a n }的通项及T n 关于n 的表达式；(3)记b n ＝21log n a +T n ，求数列{b n }的前n 项和S n .第二章自主检测1．B 2.A 3.A 4.D 5.A6．A 解析：∵{a n }为等比数列，∴S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也为等比数列，即7，S 4－7,91－S 4成等比数列，即(S 4－7)2＝7(91－S 4)，解得S 4＝28或－21(舍去)．7．A 解析：因为{a n }是等比数列，所以a 2a 3a 4a 5·…·a 9＝(a 2a 9)(a 3a 8)(a 4a 7)(a 5a 6)＝(a 1a 10)4＝81.8．A9．A 解析：S 9S 5＝9a 55a 3＝95×59＝1. 10．C 解析：∵S 98＝137，∴(a 1＋a 3＋…＋a 97)＋(a 2＋a 4＋…＋a 98)＝137,2(a 2＋a 4＋…＋a 98)－49d ＝137，∴a 2＋a 4＋…＋a 98＝93.11．－1 0 解析：d ＝5－88－5＝－1，a 13＝a 5＋(13－5)d ＝8－8＝0. 12．20 13.6414．211 解析：a 5＝a 1q 4⇒81q 4＝16⇒q 4＝1681.∵数列的各项都是正数，∴q ＝23.∴S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝81⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫2351－23＝35·⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫235＝35－25＝211. 15．解：设{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ (a 1＋2d )(a 1＋6d )＝－16，a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a 21＋8da 1＋12d 2＝－16，a 1＝－4d .解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－8，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，d ＝－2. 因此S n ＝－8n ＋n (n －1)＝n (n －9)，或S n ＝8n －n (n －1)＝－n (n －9)．16．解：(1)由题设知{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，∴a n ＝3n －1.∴S n ＝1－3n 1－3＝12(3n －1)． (2)b 1＝a 2＝3，b 3＝1＋3＋9＝13，b 3－b 1＝10＝2d ，∴公差d ＝5.故T 20＝20×3＋20×192×5＝1010.17．(1)解：设等差数列{log 2(a n －1)}的公差为d . 由a 1＝3，a 3＝9，得2(log 22＋d )＝log 22＋log 28，即d ＝1. ∴log 2(a n －1)＝1＋(n －1)×1＝n ，即a n ＝2n ＋1.(2)证明：∵1a n ＋1－a n ＝12n ＋1－2n ＝12n ， ∴1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n＝121＋122＋123＋…＋12n ＝12－12n ×121－12＝1－12n <1. 18．解：(1)∵a n ＋1＝2a n a n ＋1，∴1a n ＋1＝a n ＋12a n ＝12＋12·1a n. ∴1a n ＋1－1＝12⎝⎛⎭⎫1a n －1.又∵a 1＝23，∴1a 1－1＝12. ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是以12为首项，12为公比的等比数列． (2)由(1)知：1a n －1＝12·12n －1＝12n ，即1a n ＝12n ＋1. ∴n a n ＝n 2n ＋n . 设T n ＝12＋222＋323＋…＋n 2n ， ① 则12T n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n 2n ＋1. ② 由①－②，得12T n ＝12＋122＋…＋12n －n 2n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12－n 2n ＋1＝1－12n －n 2n ＋1. ∴T n ＝2－12n －1－n 2n . 又∵1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎫n a n 的前n 项和 S n ＝2－2＋n 2n ＋n (n ＋1)2＝n 2＋n ＋42－n ＋22n . 19．解：(1)设a n ＝a 1＋(n －1)d ，由题意，易得a 1＝1，d ＝2.所以a n ＝2n －1，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n 2. (2)b 1＝a 1＝1，b n ＋1＝b n ＋a n ＝b n ＋2n －1， 所以b 2＝b 1＋1，b 3＝b 2＋3＝b 1＋1＋3，… b n ＝b 1＋1＋3＋…＋(2n －3)＝1＋(n －1)2＝n 2－2n ＋2(n ≥2)． 又当n ＝1时，n 2－2n ＋2＝1＝a 1， 所以数列{b n }的通项b n ＝n 2－2n ＋2.(3)c n ＝2a n ·a n ＋1＝2(2n －1)(2n ＋1)＝12n －1－12n ＋1，T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝⎝⎛⎭⎫11－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1＝1－12n ＋1＝2n 2n ＋1. 20．解：(1)因为a n ＋1＝2a 2n ＋2a n ，2a n ＋1＋1＝2(2a 2n ＋2a n )＋1＝(2a n ＋1)2，所以数列{2a n ＋1}是“平方递推数列”． 由以上结论，得lg(2a n ＋1＋1)＝lg(2a n ＋1)2＝2lg(2a n ＋1), 所以数列{lg(2a n ＋1)}是首项为lg5公比为2的等比数列．(2)lg(2a n ＋1)＝[lg(2a 1＋1)]×2n －1＝2n －1lg5＝lg 125n -，2a n ＋1＝125n -，a n ＝12(125n -－1)． lg T n ＝lg(2a 1＋1)＋…＋lg(2a n ＋1)＝(2n －1)lg5， T n ＝125n -. (3)因为b n ＝lg T n lg (2a n ＋1)＝(2n－1)lg52n －1lg5＝2－12n －1， 所以S n ＝2n －2＋12n －1.。
《随堂优化训练》2014年数学(人教A版)必修5配套课件2.2.2等差数列的性质
【变式与拓展】
1．已知等差数列{an}的前 3 项依次为 a－1，a＋1，2a＋3，
则此数列的通项 an 为( B )
A．2n－5
B．2n－3
C．2n－1
D．2n＋1
2．数列{an}为等差数列，a2 与 a6 的等差中项为 5，a3 与 a7 的等差中项为 7，则数列的通项 an 为___2_n_－__3___.
练习2：如果数列{an}是等差数列，则( B )
A．a1＋a8<a4＋a5
B．a1＋a8＝a4＋a5
C．a1＋a8>a4＋a5
D．a1a8＝a4a5
练习 3：(2014 年广东清远一模)如果在等差数列{an}中，有
a1＋a3＝6，那么 a2＝( B )
A．2
B．3
C．4
D．6
【问题探究】
若等差数列{an}的第 n 项与第 m 项分别为 an，am，请写出 公差 d 与这两项的关系式．
4．已知单调递增的等差数列{an}的前3项之和为21，前3 项之积为231，求数列{an}的通项公式．
解：∵a1＋a2＋a3＝21，∴3a2＝21.∴a2＝7. 又∵a1a2a3＝231， ∴a1a3＝33.∴aa11＋ a3＝a3＝ 331. 4， 解得aa31＝＝131， 或aa13＝ ＝131. ，
练习1：在等差数列{an}中，若 a3＝50，a5＝30，则a7＝_1_0__.
2．等差数列的性质
(1)an＝am＋(n－m )d. (2)若{an}是等差数列，且 k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)， 则___a_k_＋__a_l＝__a__m＋__a__n __．
人教A版数学必修五3.3.2《简单的线性规划问题(二)》实用课件(共34张PPT)
x y x y
人教A版数学必修五3.3.2《简单的线 性规划 问题（ 二）》 实用课 件(共34 张PPT)
人教A版数学必修五3.3.2《简单的线 性规划 问题（ 二）》 实用课 件(共34 张PPT)
线性规划的有关概念：
③可行解、可行域和最优解： 满足线性约束条件的解（x,y）
叫可行解． 由所有可行解组成的集合叫
做可行域． 使目标函数取得最大或最小
值的可行解叫线性规划问题 的最优解． ④线性规划问题： 一般地，求线性目标函数在 线性约束条件下的最大值或 最小值的问题，统称为线性 规划问题．
人教A版数学必修五3.3.2《简单的线 性规划 问题（ 二）》 实用课 件(共34 张PPT)
人教A版数学必修五3.3.2《简单的线 性规划 问题（ 二）》 实用课 件(共34 张PPT)
BD
人教A版数学必修五3.3.2《简单的线 性规划 问题（ 二）》 实用课 件(共34 张PPT)
解题反思
人教A版数学必修五3.3.2《简单的线 性规划 问题（ 二）》 实用课 件(共34 张PPT)
人教A版数学必修五3.3.2《简单的线 性规划 问题（ 二）》 实用课 件(共34 张PPT)
课堂小结
我学习了…… 我感受到了……
我将继续学习的……
画
hua 化
华
画 画图
化
实际问题 不等式组
函数Z=2x+y 方程Z=2x+y 变：直线Z=2x+y点
特殊 抽象
数学问题 平面区域
方程Z=2x+y 直线Z=2x+y 不变：相应2x+y值 一般 具体
华 升华
谢 谢！
人教A版数学必修五3.3.2《简单的线 性规划 问题（ 二）》 实用课 件(共34 张PPT)
高中数学人教A版必修5 3.简单的线性规划优 课件
目标函数
问题： （线性目标函数） 约束条件
设z=2x+y，式中变量满足
下列条件： 最优解
3xx45yy235 x 1
任何一个满足不 等式组的（x,y）
求z的最大值与最小值。
线性规划问题
可行域 所有的 可行解
线性规划
线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最 大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
3
x
5
y
25
x 1
求z的最大值和最小值.
截距为-z的直线
y x 1
由 z 2 xy y 2 x z C
A(5,2) C (1, 22 )
5
zmin
212212 55
•B
O
zm ax2 528
x4y30
•A
3x5y25 0
x
解线性规划问题的步骤：
（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域, 和直线 a x b y 不0 ( 全a , b 为 目标0 函， 数为 z a x b y ) ;
8.少年时阅历不够丰富，洞察力、理 解力有 所欠缺 ，所以 在读书 时往往 容易只 看其中 一点或 几点， 对书中 蕴含的 丰富意 义难以 全面把 握。
9.自信让我们充满激情。有了自信， 我们才 能怀着 坚定的 信心和 希望， 开始伟 大而光 荣的事 业。自 信的人 有勇气 交往与 表达， 有信心 尝试与 坚持， 能够展 现优势 与才华 ，激发 潜能与 活力， 获得更 多的实 践机会 与创造 可能。
若生产1件甲种产品获利2万元,生产1 件乙 种产品获利3万元,采用哪种生产安排利润最大?
设甲,乙两种产品分别生产x,y件,由己知条件可得:
x 2y 8
y
2014年数学(人教a版)必修5配套课件：3.3.3 简单的线性规划问题(二)(数学备课大师网 为您整理)
11＋1 ∴zmax＝ ＝12. 0＋1
y－b 斜率模型：形如 的最值，应转化为可行域内 x－a y 的两点(x， y)， (a， b)连线的斜率的最值.x表示点(x， y)与原点(0,0) y－b 连线的斜率； 表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率. x－a
【变式与拓展】
y－2 (－1,2) 2.(1) 表示点 P(x，y)与___________ 连线的斜率； x＋1
(1，－2) 的距离 (2)(x－1)2＋(y＋2)2 表示点 P(x，y) 与____________ 的平方.
题型 1 非线性目标函数(斜率)
y＋1 【例 1】 求 z＝ 的最大值，其中 x，y 满足约束条件 x＋1 x＋2y≤24， 3x＋2y≤36， 0≤x≤10， 0≤y≤11.
图 D18
得
22 A1， 5 ，
得 B(5,2).
22 2 ∴zmax＝ 5 ，zmin＝5.
x－y≥0， y x ＋ y ≥ 0 ， 则 的最大值是( B ) 2.设变量满足约束条件 x ＋ 1 2x＋y≤1，
A.1
1 B.4
1 C.2
D.2
题型 2 非线性目标函数(距离)
x－4y＋3≤0， 练习：变量 x，y 满足3x＋5y－25≤0， x≥1， y 设 z＝x，求 z 的
y z＝x 最小值和最大值.其中_________ 为非线性目标函数.
【问题探究】
y－b 1.常见非线性目标函数 z＝ ，z＝ x－a2＋y－b2 x－a
(a，b为常数)分别是什么类型的目标函数？ 答案：分别是“斜率型”“两点间距离型”的目标函数.
|2×0＋5×－1－15| 20 29 即 zmin＝ ＝ 29 . 2 2 2 ＋5
【随堂优化训练】2014年数学(人教A版)必修5配套课件：3.4.3 基本不等式的实际应用
1 当且仅当 ＝x－3，即 x＝4 时取等号， x－3 ∴f(x)的最小值为 5.
(2)令 x－3＝t，则 x＝t＋3，且 t＞0. t＋32－3t＋3＋1 1 ∴f(x)＝ ＝t＋ t ＋3 t ≥2 1 t· t ＋3＝5.
1 当且仅当 t＝ t ，即 t＝1 时取等号，此时 x＝4， ∴当 x＝4 时，f(x)有最小值为 5.
4 ≥2 x＋1· ＋5＝9. x＋1 4 当且仅当 x＋1＝ ，即 x＝1 时，取等号. x＋1 ∴当 x＝1 时，函数 y 的最小值为 9.
1 16 (2)∵x ＋ y ＝1，
1 16 16x y ＋ ∴x＋y＝(x＋y)· y ＝17＋ y ＋x x
≥17＋2
16x y y · x＝25.
解：设矩形温室的左侧边长为a m，后侧边长为b m，则ab
＝800.
蔬菜的种植面积
S＝(a－4)(b－2)
＝ab－4b－2a＋8＝808－2(a＋2b).
所以 S≤808－4 2ab＝648(m2).
当 a＝2b，即 a＝40 m，b＝20 m 时，S 最大值＝648 m2.
答：当矩形温室的左侧边长为40 m，后侧边长为20 m 时， 蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为 648 m2.
解：设宣传画的长，宽分别为 x，y m， 则 xy＝72，设纸张面积为 S， 则 S＝(x＋2)(y＋1)＝xy＋x＋2y＋2.
72 144 由 xy＝72，得 y＝ x 代入上式，得 S＝74＋x＋ x ≥74＋2 144 x× x ＝98， 144 当且仅当 x＝ x ，即 x＝12 m 时，Smin＝98 m2.
S2 值________. 4
练习 1：已知 a＞0，b＞0，若 ab＝9，则 a＋b 有最小值为 6 4 ______ ；若 a＋b＝4，则 ab 有最大值为______. 1 2 练习 2：已知函数 y＝x＋ x，当 x＞0 时，ymin＝________.
人教A版高中数学必修五课件3.3.3简单的线性规划(习题课).pptx
跟踪
训练
x＋y≥1，
1．设x，y满足约束条件 x－y≥－1， 则z
2x－y≤2，
栏目链接
＝x＋2y的最小值是________，最大值是 ________．
跟踪 训练
解析：如图所示，由题意得A(3,4)，由图可以看出，直线x＋2y ＝z过点(1,0)时，zmin＝1，过点(3,4)时，zmax＝3＋2×4＝11.
栏目链接
栏目链接
基础 梳理
A．1 B.13 C．6 D．3
答案：A
自测 自评
栏目链接
1．目标函数z＝3x－y，将其看成直线方程时，z的意义是
(C)
A．该直线的截距
B．该直线纵截距
C．该直线的纵截距的相反数 D．该直线横截距
自测
自评
2．在下图所示的可行域内(阴影部分且包括
边界)，目标函数z＝x－y，则使z取得最小值的点
栏目链接
解析：(1)作出不等式组表示的平面区域(即可行域)，如下图所 示．
(2)令z＝0，得直线l1：2x＋y＝0和直线l2：2x－y＝0，并分别在 上图中表示出来，当直线2x＋y＝0向下平移并过 B点 时，目标函数 z＝2x＋y有最小值，此时最优解就是B点．
解方程组xx－ ＋yy＋ －51＝ ＝00， 得点B的坐标是：B(－2,3)．
跟踪
训练
3．某公司承担了每天至少搬运 280 t 水泥的任务，已知该公司有 6 辆 A 型卡车和 4 辆 B 型卡车，已知 A 型卡车每天每辆的运载量为 30 t， 成本费为 0.8 千元，B 型卡车每天每辆的运载量为 40 t，成本费为 1 千 元．问：公司如何安排每天的车辆，能使所花的成本最小？
得点A的坐标为(4,4)，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
易错分析：对线性的约束条件考虑不清不全，没考虑甲、 乙两车供油后，自己还须返回这一条件，导致约束条件出错. 解：设考察行至B 处用了x 天，从B 处到最远处用了y 天， 则有 2[3(x＋y)＋2x]≤14×5，
即 5x＋3y≤35，且 x>0，y>0.
同时从其余 3 辆车的载油量考虑， 14×5－(5＋2)x≤14×3，即 x≥4.
3.3.4 简单线性规划问题的实际应用
【学习目标】 1.从实际情境中抽象出简单的线性规划问题，建立数学模
型.
2.掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单 的实际问题. 线性规划的理论和方法主要用于解决以下两类问题：一是 在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完 成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能
因此，只需求 2x＋3y 的最小值即可.
10x＋5y≥50， 又由题意，可得 x，y 满足条件7x＋9y≥63， 5x＋13y≥65.
作出不等式组所表示的平面区域(如图 3-3-4).
图 3-3-4
10x＋5y＝50， 由 7x＋9y＝63， 7x＋9y＝63， 由 5x＋13y＝65，
x＋2y＝720， 解方程组 5x＋4y＝1800
得，C(120,300).
∴zmax＝40×120＋50×300＝19 800. 即生产A 种糖果120 箱，生产B 种糖果300 箱，可得最大 利润 19 800 元.
题型 2 降低资源消耗问题 【例 2】 某工厂利用两种燃料生产三种不同的产品 A，B，
【变式与拓展】 1.某糖果厂生产 A，B 两种糖果，A 种糖果每箱获利润 40 元，B 种糖果每箱获利润 50 元，其生产过程分为混合、烹调、 包装三道工序，下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间(单 位：分钟).
糖果种类
混合烹调包装 NhomakorabeaA 1 5 3 B 2 4 1 每种糖果的生产过程中，混合的设备至多能用 12 小时，烹
C，每消耗一吨燃料与产品 A，B，C 有下列关系：
燃料种类 燃料甲/吨 燃料乙/吨
产品 A
10 5
产品 B
7 9
产品 C
5 13
现知每吨燃料甲与燃料乙的价格之比为 2∶3，现需要三种 产品 A，B，C 各 50 吨，63 吨，65 吨.问如何使用两种燃料，才 能使该厂成本最低？
思维突破：由于该厂成本与两种燃料使用量有关，而产品
思维突破：将文字语言转化为数学式子建立线性规划模型.
解：设该厂每月生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为x，
y 套，月利润为z 元，由题意，得
4x＋5y≤200， 3x＋10y≤300， x≥0，x∈N， y≥0，x∈N.
目标函数为 z＝700x＋1200y.
作出可行域如图 D19 所示
题型 3 整数解处理
【例 3】 (2013 年湖北)某旅行社租用 A，B 两种型号的客
车安排 900 名客人旅行，A，B 两种车辆的载客量分别为 36 人 和 60 人，租金分别为 1600元/辆和 2400元/辆，旅行社要求租 车总数不超过 21 辆，且 B 型车不多于 A 型车 7 辆，则租金最 少为( ) B.36 000 元 D.38 400 元
以最少的人力、财力、物力、资金等资源来完成该项任务.
线性规划解应用题的一般步骤
x，y，z (1)设出______________ ； 目标函数 ； 约束条件 ，确定__________ (2)列出__________ 可行域 ； (3)画出__________
(4)作目标函数表示的一族平行直线，使其中某条直线与 可行域 有交点，且使其截距最大或最小； __________
5x＋3y≤35， 于是问题转化为在约束条件 x≥4， y>0 求 z＝x＋y 的最大值.
(x，y∈N)下
作可行域(如图D21)，则M(4,5).
图D21 作直线 l：x＋y＝0，向右平移过点 M 时，zmax＝9. ∴最远路程为 200×(4＋5)＝1800(千米).
[方法· 规律· 小结]
A.31 200 元 C.36 800 元
思维突破：设A 型客车x 辆，B 型客车y 辆.问题转化为线 性规划问题.同时应注意到题中的x，y 只能取整数. 解析：设分别租用 A，B 两种型号的客车 x 辆，y 辆(x，
y∈N)，所用的总租金为 z 元，则 z＝1600x＋2400y，其中 x，y 满足不等式组
36x＋60y≥900， x＋y≤21， y－x≤7，
画出可行域如图 D20，根据线性规划中截距问题，可求得 最优解为 x＝5，y＝12，此时 z 最小为 36 800.故选 C.
图D20 答案：C
根据已知条件写出不等式组是做题的第一步； 第二步画出可行域；第三步找出最优解.其中最困难的是第二步. 整数解的线性规划问题.若取最小值时不是整数点，则考虑此点 附近的整数点.
下，
求目标函数z＝40x＋50y的最大值，作出可行域(如图D22)，其边 界OA：y＝0，AB：3x＋y－900＝0，BC：5x＋4y－1800＝0， CD：x＋2y－720＝0，DO：x＝0.
图 D22
4 4 z 由 z＝40x＋50y，得 y＝－5x＋50，它表示斜率为－5，截 z z 距为50的平行直线系，50越大，z 越大，从而可知：过点 C 时 截距最大，z 取得了最大值.
图D19
7 z 目标函数可变形为 y＝－12x＋1200， 4 7 3 ∵－5<－12<－10， 7 z z ∴当直线 y＝－12x＋1200通过图中的点 A 时，1200最大， 这时 z 最大.
4x＋5y＝200， 解 3x＋10y＝300，
得点 A 的坐标为(20,24).
将点 A(20,24)代入 z＝700x＋1200y， 得 zmax＝700×20＋1200×24＝42 800(元). 答：当该厂生产奥运会标志和吉祥物分别为 20,24 套时， 月利润最大，最大利润为 42 800 元.
调的设备至多只能用机 30 小时，包装的设备只能用 15 小时，
试求每种糖果各生产多少箱可获得最大利润.
解：设生产 A 种糖果 x 箱，B 种糖果 y 箱，可获得利润 z x＋2y≤720， 5x＋4y≤1800， 元，则此问题的数学模式在约束条件3x＋y≤900， x≥0，y≥0， x，y∈N
1.线性规划的两类重要实际问题的解题思路： (1)应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定 线性目标函数. (2)用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域 内求得使目标函数取最值的解.
(3)还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的
解，即结合实际情况求得最优解.
2.应用线性规划处理实际问题时应注意的问题： (1)在求解实际问题时，除严格遵循线性规划求目标函数最 值的方法外，还应考虑实际意义的约束，要认真解读题意，仔
最优解 ，求出目标函数的________ 最值 ，并回到原 (5)判断__________
问题中作答. 练习：有 5 辆 6 吨的汽车，4 辆 4 吨的汽车，要运送最多 z＝6x＋4y 的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为____________.
【问题探究】
1.简单线性规划在实际生产生活中主要解决哪些问题？
z 上的截距为2，随 z 的变化而运动的一组平行直线.
3 z z 由图可知：当直线 y＝－2x＋2经过点 A 时，截距2最小， 即 z 最小.
5x＋7y＝35， 由 10x＋4y＝40，
得
14 A 5 ，3，
14 72 ∴zmin＝3× 5 ＋2×3＝ 5 . 14 ∴当甲种原料 5 ×10＝28(g)，乙种原料 3×10＝30(g)时， 费用最省.
【变式与拓展】 2.医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐，甲种
原料每 10 g 含 5 个单位蛋白质和 10 个单位铁质，售价 3 元；
乙种原料每 10 g 含 7 个单位蛋白质和 4 个单位铁质，售价 2 元. 若病人每餐至少需要 35 个单位蛋白质和 40 个单位铁质.试问： 应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？
2.应用线性规划的图解方法，应具备哪些条件？
答案：线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：
(1)根据题意，设出变量 x，y；
(2)找出线性约束条件； (3)确定线性目标函数 z＝f(x，y)；
(4)画出可行域(即各约束条件所示区域的公共区域)； (5)利用线性目标函数作平行直线系 f(x，y)＝t(t 为参数)； (6)观察图形，找到直线 f(x，y)＝t 在可行域上使 t 取得欲求
【例 4】 某沙漠地带，考察车每天行驶 200 千米，每辆考
察车可以装载供行驶 14 天的汽油.现有 5 辆考察车，同时从驻 地 A 出发，计划完成任务后，再沿原路返回驻地，为了让其中 3 辆车尽可能向更远的地方进行考察(然后再一起返回)，甲、乙 两车行至 B 处后，仅留足自己返回驻所必需的汽油，将多余的 汽油供给另外 3 辆使用，问：其他 3 辆可以行进的最远路是多 少千米？
细推敲并挖掘相关条件，同时还应具备批判性检验思维，以保
证解决问题的准确和完美. (2)在处理实际问题时，x≥0，y≥0 常被忽略，在解题中应 注意. (3)在求解最优解时，一般采用图解法求解.
解：设甲、乙两种原料分别用 10x g 和 10y g，
5x＋7y≥35， 10x＋4y≥40， 总费用为 z，则 x≥0， y≥0， 目标函数为 z＝3x＋2y，作出可行域 如图 D23.
图 D23 3 3 z 把 z＝3x＋2y 变形为 y＝－2x＋2，得到斜率为－2，在 y 轴
答案：简单的线性规划在实际生产生活中应用非常广泛，
主要解决的问题是：在资源的限制下，如何使用资源来完成最